1.C) L’EXPRESSION NUMERIQUEMENT CALCULABLE DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE D’APPARTENANCE ET DE NON APPARTENANCE.
1.C.1) La définition et l’expression algébrique numériquement calculable manquante à celle de la fonction caractéristique plus générale que la fonction caractéristique ou indicatrice implicitement d’appartenance et de non-appartenance :
Et enfin, j’écris l’expression algébrique numériquement calculable de cette nouvelle cinquième loi mathématique scientifique après avoir tout d’abord remarqué l’absence dans cette formulation de la symbolisation du vide, pourtant l’un des trois concepts mathématiques fondamentaux à toute description d’un objet mathématique énoncé dans cette nouvelle loi ; ensuite après avoir remarqué qu’à l’origine cette formulation n’est pas sans ignorer le résultat de l’observation de la définition et de l’expression algébrique numériquement calculable manquante à celle de la fonction caractéristique plus générale que la fonction caractéristique ou indicatrice implicitement d’appartenance et de non-appartenance, sachant que les fonctions caractéristiques ou fonctions indicatrices, sont définies sur un ensemble X qui explicite soit l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble X de tout élément x de l’ensemble X, mais la question se pose de savoir si formellement les fonctions caractéristiques seraient par définition toujours des fonctions caractéristiques d’appartenance. Les fonctions caractéristiques ou fonctions indicatrices (« Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité.« , extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.), sont notées généralement χA, mais je les note 1A, car conventionnellement, la notation anglo-saxonne pour la fonction caractéristique de A s’écrit avec la lettre A en indice du 1 et par extension la fonction caractéristique de n’importe quel sous-ensemble d’un ensemble donc des éléments d’un sous-ensemble et d’un ensemble aussi noté par ma propre convention la notation de toutes fonctions caractéristiques soit notée ici pour l’exemple, 1A(x), mais avec la lettre du sous-ensemble A ou de l’ensemble et qui n’est plus seulement A mais E pour n’importe quelle autre lettre majuscule écrite en indice car une autre notation est souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA(x), parfois aussi IA(x) (i majuscule), et sont notées comme suit, avec x ∈ X et A un sous ensemble de X :
- 1A : X → {0, 1}
- 1A(x)∼χA(x) ∼IA(x)= 1, si x ∈ A (A.1)
- 1A(x)∼χA(x) ∼IA(x)= 0, si x ∉ A. (A.2)
Cette notation standard de la fonction caractéristique ou indicatrice 1A(x) n’est que sa définition algébrique numériquement non calculable et donc devient calculable en recherchant son algorithme de calcul numérique par la méthode de résolution des problèmes dite des essais et erreurs, en considérant la séquence de nombre c’est-à-dire des nombres disposés dans un ordre ou un motif spécifique tel que par exemple la séquence X, notée SeqX=(xi)1≤i≤10= (12, 7, 1.5, 4, 0.5, 0, 5, 0.3, 1, 2), et le nombre x=2 dont nous déterminons intuitivement l’appartenance de x=2 à cette séquence SeqX=(xi)1≤i≤10 dans une première étape en soustrayant successivement ce nombre x=2 de chacun des nombres de cette séquence. Nous obtenons ainsi le calcul de la séquence de nombres suivante soit, SeqX=(xi)1≤i≤10-2 = (12-2, 7-2, 1.5-2, 4-2, 0.5-2, 0-2, 5-2, 0.3-2, 1-2, 2-2 ), c’est-à-dire la séquence de nombres qui en résulte soit, SeqX’=(SeqX=(xi)1≤i≤10-2)1≤i≤10 = (10 , 5 , 0,5 , 2 , 1,5 , 2 , 3 , 1.7 , -1 , 0). Intuitivement encore il suffirait alors de diviser chaque nombre de cette dernière séquence par lui-même en mettant le tout en valeur absolue soit, |(SeqX=(xi)1≤i≤10-2)/(SeqX=(xi)1≤i≤10-2)| =(|10/10|, |5/5|, |0.5/0.5|, |2/2|, |1.5/1.5|, |2/2|, |3/3|, |1.7/1.7|, |-1/-1|, |0/0|), pour obtenir SeqX »=(|(SeqX=(xi)1≤i≤10-2)/(SeqX=(xi)1≤i≤10-2)|i)1≤i≤10 =(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0/0), séquence dont les nombres correspondent alors presque aux deux valeurs de 0 et 1 de la fonction caractéristique ou indicatrice de A explicitant l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble X de tout élément x de l’ensemble X et qui est notée χA(x) : { 1 si x ∈ A ; 0 si x ∉ A et intuitivement encore par extension à une séquence de nombre notée en générale SeqXᵢ₌₁₀ avec le nombre d’éléments de cette séquence en indice, et 1A(x=2) : { 1 si x=2 ∈ SeqXᵢ₌₁₀ ; 0 si x ∉ SeqXᵢ₌₁₀. Mais la division par zéro n’étant pas possible, car 0/0 n’est pas égale à zéro, mais son résultat est indéfini puisqu’intuitivement par exemple, 0=41×0 ↔ 0/0=41 ↔ 0=41 qui un raisonnement contradictoire, ou plus formellement mathématiquement, soit f(x) = 0*x, donc f⁻¹(x) = x/0, mais f⁻¹(x) n’existe pas, car f(x) n’est pas bijectif sur R, f(x) = 0 pour tout x. Donc, afin de contourner la règle de la non divisons par 0, nous ne pouvons obtenir dans une deuxième étape pas plus que la division de chaque nombre de la séquence précédente de notre exemple par lui-même additionné avec 1 en mettant encore le tout en valeur absolue, soit |(SeqX=(xi)1≤i≤10-2)/(SeqX=(xi)1≤i≤10 – 2 +1)|=(|10/(10+1)| , |5/(5+1)|, |0.5/(0.5+1)|, |2/(2+1)|, |1.5/(1.5+1)|, |2/(2+1)|, |3/(3+1)|, |1.7/(1.7+1)|, |-1|/(|-1|+1)|, |0/(0+1)|), pour n’obtenir que la séquence de nombres résultante soit, SeqX »’=(|(SeqX=(xi)1≤i≤10 – 2)/(SeqX=(xi)1≤i≤10-2+1)|i)1≤i≤10 = (0.909090909, 0.833333333, 0.333333333, 0.666666667, 0.6, 0.666666667, 0.75, 0.62962963, 0.5, 0), c’est à dire séquence dont les nombres ne correspondent pas aux deux valeurs de 0 et 1 de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance de x=2 à la séquence de nombre SeqX=(xi)1≤i≤10 = (12, 7, 1.5, 4, 0.5, 0, 5, 0.3, 1, 2), mais à une seule valeur de zéro (la dernière valeur). Enfin dans une troisième étape, pour obtenir la deuxième valeur de 1 nous utilisons alors la fonction arithmétique plafond d’Iverson d’un nombre réel x, qui est notée ⌈x⌉, c’est-à-dire plus précisément, car recouvrant des noms différents « dans le cas où x est un rationnel a ∈ ℤ , b ∈ ℕ* , ou la partie entière de x n’est autre que le quotient euclidien de a par b » : la fonction plafond est la fonction partie entière par excès ou partie entière supérieure d’un nombre réel x, qui est notée ⌈x⌉. C’est Kenneth E. Iverson qui créa, dans son livre de 1962 intitulé « A Programming Language », <
1.C.2) La structure algébrique d’une algèbre ensembliste-séquentielle : nouvel objet mathématiques où nouveaux opérateurs ?
Mais avant de définir algébriquement de manière numériquement calculable par des opérateurs primitifs la fonction indicatrice χA(x) associée à un sous-ensemble A⊂X, il convient de préciser la nature des objets mathématiques sur lesquels cette fonction agit, puisque j’ai introduit dans la dernière phrase du paragraphe précédent, ENSeqX=(xi)1≤i≤10 et 1A(ENSeqX=(xi)1≤i≤10). Afin de disposer d’un objet possédant simultanément les propriétés d’un ensemble et celles d’une séquence, nous introduisons la structure hybride mathématique notée ENSeq ( Ensemble-Séquence ) que je noterais par exemple ENSeqX=(xi)1≤i≤10=({12 ; 7; 1.5 ; 4 ; 0.5 ; 0 ; 5 ; 0.3 ; 1 ; 2}). Mais pour un objet hybride possédant simultanément des propriétés séquentielles avec lesquelles l’ordre des éléments est important et des propriétés ensemblistes avec lesquelles les opérations d’ensemble sont disponibles, il existe une ambiguïté mathématique due à la juxtaposition de la notation ( ) qui désigne traditionnellement une suite, un n-uplet ou une séquence, dans lequel l’ordre est conservé; et de la notation { } qui désigne traditionnellement un ensemble, dans lequel l’ordre est ignoré. Donc pour définir un objet possédant simultanément ces deux structures, il est préférable de rendre cette dualité explicite. Un objet ENSeq est défini par : ENSeq = (S,σ) où : S est la représentation ensembliste ; σ est la représentation séquentielle ordonnée. Par exemple : ENSeq=((12, 7, 1.5, 4, 0.5, 0,5, 0.3, 1,2),{12, 7, 1.5, 4, 0.5, 0, 5, 0.3, 1, 2}) ou, de manière plus compacte, ES=(σ,S). La composante séquentielle est : σ=(xi)1≤i≤10 = (12, 7, 1.5, 4, 0.5, 0,5, 0.3, 1, 2) et la composante ensembliste est : S={xi│1≤i≤10} ={0, 0.3, 0.5, 1, 1.5, 2, 4, 5, 7, 12}. Toutefois, cette représentation présente une difficulté pratique : les données sont stockées deux fois. Lorsqu’une opération est effectuée sur la séquence, il faut simultanément maintenir la cohérence de sa représentation ensembliste. Cette redondance peut devenir lourde dans les calculs. On introduit un symbole dédié : ⟨⟨ 12, 7, 1.5, 4, 0.5, 0, 5, 0.3, 1, 2 ⟩⟩ et l’on déclare que ⟨⟨x1,x2,…,xn⟩⟩ est un objet de type Ensemble-Séquence. On définit alors : SeqX=(x1,…,xn) et ENSX={x1,…,xn}. Cette notation est probablement la plus élégante si l’on souhaite construire une nouvelle théorie, car le symbole lui-même indique immédiatement qu’il ne s’agit ni d’un ensemble ordinaire ni d’une simple séquence. Cependant, même si l’on considère l’objet comme un triplet : ENSeqX=(E,≺,ι) où : E={12, 7, 1.5, 4, 0.5, 0, 5, 0.3, 1, 2} ; ≺ est la relation d’ordre héritée de la séquence ; ι:{1,…,10}→E est l’application d’indexation, et même si les définitions précédentes sont mathématiquement correctes, une difficulté subsiste. Considérons par exemple : ENSeqX ∩ A Doit-on interpréter cette opération comme ensembliste notée Set(ENSeqX) ∩ A ou comme une opération sur la structure séquentielle SeqX * A ? De même : ENSeqX3 fait référence à une coordonnée de la séquence, tandis que 5 ∈ ENSeqX fait naturellement référence à la structure ensembliste et l’on doit donc continuellement deviner quelle composante est utilisée. Une formulation plus rigoureuse et qui se rapproche des constructions modernes de l’algèbre abstraite et de la théorie des catégories serait au lieu de stocker simultanément la séquence et l’ensemble, de définir ENSeq comme un objet séquentiel fondamental : ENSeqX=(xi)1≤i≤n. La vue ensembliste est alors obtenue automatiquement au moyen d’un opérateur : Set(ENSeqX)={xi│1≤i≤n}. La vue séquentielle est : Seq(ENSeqX) = ENSeqX. Ainsi : Seq(ENSeqX)=(12, 7, 1.5, 4, 0.5, 0, 5, 0.3, 1, 2) permet immédiatement d’écrire : ENSeqX3=1.5 pour les opérations séquentielles; et pour les opérations ensemblistes Set(ENSeqX) ∩ A; Set(ENSeqX) ∪ A; Set(ENSeqX) ∖ A; 5 ∈ Set(ENSeqX). Cette approche évite toute duplication, supprime les ambiguïtés et conserve simultanément les propriétés séquentielles et ensemblistes. Pour une théorie destinée à manipuler des pavés, des fonctions indicatrices χA, des fonctions simples et des objets calculables, la définition : ES=(xi)1≤i≤n accompagnée des deux opérateurs canoniques : Seq(ES)=ES et Set(ES)={xi│1≤i≤n}. Cette définition présente l’avantage d’avoir : une unique représentation écrite ; une indexation naturelle des coordonnées ; toutes les opérations ensemblistes disponibles ; aucune duplication d’information ; une compatibilité immédiate avec la définition des pavés de ℝn et des fonctions indicatrices. L’objet n’est alors ni un ensemble pur ni une séquence pure, mais un nouvel objet mathématique possédant simultanément une vue séquentielle et une vue ensembliste, obtenues par les opérateurs Seq et Set. En fait, l’objectif étant de créer un nouvel objet mathématique fondamental, la solution n’est pas d’ajouter les opérateurs Set et Seq, mais de créer une algèbre ensembliste-séquentielle possédant ses propres opérations primitives. Le problème fondamental est que les opérateurs classiques : ∪, ∩, ∖, ⊆ sont définis sur des ensembles, alors que les opérateurs : (xi)i=1n, xk , Shift, Reverse, Sort sont définis sur des séquences. L’objet ENSeq n’étant ni un ensemble pur ni une séquence pure, il est naturel qu’il nécessite sa propre famille d’opérateurs. Par exemple, si ENSeqA=(1,5,3,8) et ENSeqB=(3,5,7), l’union ensembliste classique donnerait : Set(ENSeqA)∪Set(ENSeqB) ={1,3,5,7,8}. Toute l’information d’ordre est alors perdue. À l’inverse, une union séquentielle pourrait être définie par : ENSeqA ⊕ ENSeqB =(1,5,3,8,7), où les éléments déjà présents ne sont pas répétés et les nouveaux éléments sont ajoutés dans leur ordre d’apparition. Par exemple l’opérateur ⊕ serait donc une union ensembliste-séquentielle. De même, l’intersection pourrait devenir : ENSeqA ⊗ ENSeqB =(5,3), c’est-à-dire la conservation des éléments communs et la conservation de l’ordre de référence choisi. L’opérateur ⊗ serait alors une intersection ordonnée. On pourrait également définir : ENSeqA ⊖ ENSeqB comme différence ordonnée : (1,8). De manière générale, cette nouvelle algèbre pourrait être construite sur les principes suivants. Soit ENSeq=(E,σ), où : E représente le contenu ensembliste ; σ représente la structure d’ordre. Toute opération doit simultanément transformer : E ; σ. Autrement dit : Φ(ENSeqA, ENSeqB) → (Φset(EA,EB), Φseq(σA,σB)) où les deux composantes sont calculées conjointement. C’est précisément ce qui différencie ma théorie d’une simple juxtaposition : ES=(S,σ). Dans la juxtaposition classique, les opérateurs restent ceux des ensembles et des séquences. Dans une véritable algèbre ENSeq, les opérateurs deviennent eux-mêmes des objets nouveaux : ⊕ serait la notation de l’union ensembliste-séquentielle; ⊗ = intersection ensembliste-séquentielle; ⊖ = différence ensembliste-séquentielle; ⊙ = produit ensembliste-séquentiel; ≈ = équivalence ensembliste-séquentielle; ≺ES = ordre induit sur les ENSeq etc. D’un point de vue théorique, je ne crée plus simplement un nouvel objet car je crée une nouvelle structure algébrique que j’appelle l’algèbre ensembliste séquentielle dont les ensembles et les séquences deviennent seulement des cas particuliers dont la hiérarchie est Ensemble ⊂ ENSeq et Séquence ⊂ ENSeq et dont les opérateurs classiques sont des restrictions particulières des opérateurs de l’algèbre ensembliste séquentiel sur l’objet mathématique ENSeq. Les nouvelles structures mathématiques ainsi crées ne sont non pas en seulement de nouveaux objets mathématiques, mais en inventant les opérations naturelles mathématiques qui leur sont propres, situant l’innovation davantage dans les opérateurs ensembliste-séquentiel, que dans la notation ENSeq comme nous le montrerons ultérieurement.
Mais s’il convient encore de préciser la nature des objets mathématiques sur lesquels cette fonction agit, puisque j’ai introduit dans la dernière phrase du paragraphe précédent, ENSeqX=(xi)1≤i≤10 et 1A(ENSeqX=(xi)1≤i≤10), c’est aussi parce ce que dans ℝn, les ensembles élémentaires servant à la construction des fonctions simples sont les pavés. Or un pavé est défini à partir de bornes coordonnées dont l’ordre joue un rôle fondamental tout en représentant simultanément un ensemble de points. Cette double nature motive l’introduction de notre structure hybride ENSeq, conçue pour réunir dans un même objet les propriétés séquentielles nécessaires à l’indexation des coordonnées et les propriétés ensemblistes nécessaires à la description des sous-ensembles. La définition du pavé peut alors être reformulée dans ce cadre avant d’introduire sa fonction indicatrice χA(x). En effet si dans notre exemple précédent la fonction plafond d’Iverson nous permet d’écrire une expression numériquement calculable de la fonction indicatrice, il nous reste néanmoins pour que notre exemple soit généralisable à une expression algébrique numériquement calculable de la fonction caractéristique ou indicatrice χA(x) explicitant l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble X de tout élément x de l’ensemble X, à la définir formellement algébriquement comme un objet mathématique en relation avec d’autres objets mathématiques d’expressions algébriques numériquement calculables. Afin de relier cette notion à des objets mathématiques susceptibles d’être manipulés algébriquement et numériquement dans le cadre de la théorie de la mesure, il est nécessaire d’introduire les pavés de ℝn, dont les fonctions indicatrices constituent les briques élémentaires des fonctions simples. En effet, une fonction simple est définie comme une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices de pavés disjoints. Nous allons donc commencer par définir formellement ces pavés, puis montrer comment leur représentation peut être exprimée au moyen de notre structure hybride ENSeq, laquelle préserve simultanément les propriétés séquentielles des coordonnées et les propriétés ensemblistes des collections de points de la manière suivante :
Soit a = (a₁,…,aₙ), et b = (b₁,…,bₙ) deux éléments a, b ∈ (R ∪ {±∞})ⁿ, et soit l’intervalle [a, b] définissant l’ensemble des points {x₁,…,xₙ} de Rⁿ tels que aᵢ < xᵢ < bᵢ et aᵢ, bᵢ∈ R ∪ {±∞} pour tout i ∈ {1,…,n}, alors cet ensemble {x₁,…,xₙ} est appelé un pavé délimité par a et b, noté [a, b] ={x=(x1,…, xn) ∈ ℝn │ai ≤ xi ≤ bi, ∀ i ∈ {1,…,n} }. Cette définition signifie que chaque coordonnée xi appartient à l’intervalle fermé [ai,bi]={x∈ℝ │ ai≤x≤bi}. Ainsi les deux bornes ai et bi sont incluses dans le pavé. De manière équivalente, le pavé peut être défini comme le produit cartésien [a,b]=∏i=1n[ai,bi]. Par exemple, dans ℝ3, si a=(−∞,0,1) et b=(5,+∞,4), alors [a, b]={(x1, x2, x3) ∈ ℝ3 │ x1≤5, 0≤x2, 1≤x3≤4}.
Soit l’ensemble en générale notée ENSeqX=(xi)1≤i≤n éléments du pavé délimité par a et b, et définie par ∀ xᵢ₌ₙ=xᵢ ∈ ENSX=(xi)1≤i≤ₙ={x₁=a₁ , x₂=a₂ , x₃=a₃ , x₄=a₄ , x₅=a₅ , x₆= a₆ , x₇=b₇ ,… xₓ=b₁ , xₙ=bₙ} ⊆ Rⁿ ; et soit la notation χA(x) de la fonction caractéristique ou indicatrice de l’appartenance de l’élément x du sous ensemble A=ENSeqX=(xi)1≤i≤ᵢₙ des éléments xᵢ₌ₙ=xᵢ du pavé délimité par a et b ; et soit, sa définition ensembliste telle que, χA(x) : { 1 si x ∈ A=ENSeqX=(xi)1≤i≤n ; 0 si x ∉ A=ENSeqX=(xi)1≤i≤n (1), alors nous écrivons l’expression algébrique numériquement calculable d’algèbre ensembliste séquentielle correspondante à cette expression ensembliste (1) numériquement représentable mais non numériquement calculable par les opérations algébriques, en généralisant algébriquement en une seule les trois étapes de calcul numérique de notre exemple précédent comprenant, soit l’expression |xᵢ-x| pour la première étape, soit encore l’expression |xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1) pour la deuxième étape, et soit enfin l’expression 1-⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉ pour la troisième étape, et de la manière suivante
χA(x) : { 1 si x ∈ SeqX=(xi)1≤i≤n→ 1A(x) = 1-⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉=1 ; 0 si x ∉ SeqX=(xi)1≤i≤n ⊃ 1A(x) = 1-⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉=0. (A’) ↔ (1),
deux propositions que nous réécrivons comme la formulation attendue et finale conforme à celle de l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance de l’élément x à l’ensemble des éléments de la séquence SeqX=(xi)1≤i≤n, donc soit la notation standard de la fonction caractéristique ou indicatrice χA(x)∼1A(x) (A), de sous expressions (A.1) & (A.2), qui soit maintenant équivalente à l’expression algébrique numériquement calculable 1A(x) = 1-⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉ (A’).
Alors sachant de plus qu’en mathématiques et en logique, ssi est l’abréviation de « si et seulement si » ou notée ⟺, est un connecteur logique d’équivalence, cette expression algébrique numériquement calculable de la fonction caractéristique d’appartenance est définie formellement comme suit :
∀ xᵢ ∈ A=ENSeqX=(xi)1≤i≤n=({xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₂ ; xᵢ₌₃ ; xᵢ₌₄ ; xᵢ₌₅ , xᵢ₌₆ ; xᵢ₌₇… xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊₁ ;… xᵢ₌ₙ}) ⊆ ENSeqR ; ∀ n=nᵢ ∈ ENSeqN=(ni)1≤i≤n=({nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆ ; nᵢ₌₇…nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ}) ⊆ ENSeqN* ↔ ENSeqN=(ni)1≤i≤n=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₙ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ ENSeqN*, alors :
- 1A : A=ENSeqX=(xi)1≤i≤n ⊆ R → {0, 1}
- Si 1A(x) = 1A(x) = 1-⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉, alors 1A(x)=1, ssi xᵢ-x=0 → x ∈ ENSeqX=(xi)1≤i≤n (A’.1).
- Si 1A(x) = 1A(x)= 1-⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉, alors 1A(x)=0, ssi xᵢ-x≠0 → x ∉ ENSeqX=(xi)1≤i≤n (A’.2).
en considérant l’appartenance de l’élément x à l’ensemble des éléments xᵢ₌ₙ=xᵢ de la séquence SeqX=(xi)1≤i≤n un pavé délimité par a et b, etRemarquons que nous avons introduit dans notre définition ci-dessus, mais sans définir préalablement ce nouvel objet mathématique ENSeqX=(xi)1≤i≤n complémentaire à celui précédemment que j’ai créé en améliorant celui déjà existant SeqX=(xi)1≤i≤n en un quasi nouvel objet mathématique de la fonction caractéristique d’appartenance d’expression algébrique numériquement calculable, et que nous appellerions ensemble séquentiel, nous permettrais non seulement d’améliorer notre notation EnseqXᵢ₌ₙ d’un ensemble qui est aussi une séquence de nombres, mais aussi, et surtout de rectifier l’aporie de notre raisonnement logique, car contradictoire en définissant la représentation de l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique ou indicatrice comme une séquence de nombres, puisque soit d’un ensemble ou l’ordre et la répétition ne sont pas des propriétés, soit d’une séquence ou l’ordre et la répétition sont des propriétés, et donc nous devons considérer un nouvel objet mathématique hybride que j’appelle un ensemble séquentiel, c’est à dire qui à la propriété de préserver les opérations ensemblistes, mais ou l’ordre et la répétition sont des propriétés. Sur ce nouvel objet mathématique équivalent à sa notation précédente EnseqXᵢ₌ₙ, et que nous notons désormais avec les parenthèses devant les accolades et des points-virgules au lieu de virgules comme ENSeqX=(xi)1≤i≤n=({xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₂ ; xᵢ₌₃ ; xᵢ₌₄ ; xᵢ₌₅ ; xᵢ₌₆ ; xᵢ₌₇… xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁ ;… xᵢ₌ₙ}), nous pouvons alors créer de nouvelles opérations dites ensemblistes séquentielles rendant possible la représentation du calcul numérique de l’expression algébrique de la fonction caractéristique d’appartenance d’expression algébrique possiblement numériquement calculable grâce à cette double propriété de l’algèbre ensembliste séquentielle, les propriétés des séquences et des ensembles.
C’est par exemple l’opération ensembliste séquentielle « d’uniontersection » notée ∪∩, permettant la représentation de la fonction caractéristique d’appartenance dont la fonction plafond d’Iverson nous permet aussi de réécrire la représentation de l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance de l’élément x à l’ensemble des éléments de l’ensemble séquentiel SeqX=(xi)1≤i≤net notée 1A(x) = 1-⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉, c’est-à-dire les formes intermédiaires transformées graduellement (cette propriété n’est pas rigoureusement fixée selon des étapes ordonnées, mais seulement visuelles) dans la forme finale comme suit :
- ENSeqX’=(1A(ENSeqX=(xi)1≤i≤n)i)1≤i≤n= ({1-⌈|x₁ -x|/(|x₁ -x|+1)⌉ } ) ∪∩ ( {1-⌈|x₂ -x|/(|x₂ -x|+1)⌉} ) ∪∩ ( {1-⌈|x₃ -x|/(|x₃ -x|+1)⌉} )… ∪∩ ( {1-⌈|xₓ-x|/(|xₓ-x|+1)⌉ } )… ∪∩ ( {1-⌈|xₙ-x|/(|xₙ-x|+1)⌉ } ) ↔ ENSeqX’=(1A(ENSeqX=(xi)1≤i≤n)i)1≤i≤n=({ 1-⌈|x₁ -x|/(|x₁ -x|+1)⌉ ; 1-⌈|x₂ -x|/(|x₂ -x|+1)⌉ ; 1-⌈|x₃ -x|/(|x₃ -x|+1)⌉ ; … ; 1-⌈|xₓ-x|/(|xₓ-x|+1)⌉… ; 1-⌈|xₙ-x|/(|xₙ -x|+1)⌉}) (A’.3).
Afin de mieux visualiser à quoi ressemble cette représentation ensembliste séquentielle de l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance, réécrivons l’exemple précédent, non par facilité, mais pour seulement montrer qu’il s’agit d’une notation pour exprimer une notion, car nous obtenons la séquence de nombres aux valeurs correspondantes alors exactement aux deux valeurs de 0 et 1 des éléments de l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance de x=2 à la l’ensemble séquentiel ENSeqX=(xi)1≤i≤10=( {12 ; 7 ; 1.5 ; 4 ; 0.5 ; 0 ; 5 ; 0.3 ; 1 ; 2} ), c’est-à-dire 1-1A(ENSeqX=(xi)1≤i≤10 = 2)1≤i≤10) : {1-⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉=1, si x=2 ∈ ENSeqX=(xi)1≤i≤10 ; 1-⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉=0, si x ∉ ENSeqX=(xi)1≤i≤10, et dont la représentation ensembliste séquentielle de son ensemble d’arrivée est ENSeq(1-1A(SeqX=(xi)1≤i≤10 = 2)i)1≤i≤10 = ({1-⌈|12 -2|/(|12 -2|+1)⌉ } ) ∪∩ ( {1-⌈|7 -2|/(|7 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {1-⌈|1.5 -2|/(|1.5 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {1-⌈|4-2|/(|4-2|+1)⌉ } ) ∪∩ ({1-⌈|0.5-2|/(|0.5 -2|+1)⌉ } ) ∪∩ ( {1-⌈|0 -2|/(|0 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {1-⌈|5 -2|/(|5 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {1-⌈|0.3-2|/(|0.3-2|+1)⌉ } ) ∪∩ ( {1-⌈|1 -2|/(|1 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {1-⌈|2-2|/(|2-2|+1)⌉ } ) ↔ ENSeq(1-1A(SeqX=(xi)1≤i≤10 = 2)i)1≤i≤10 =({1-⌈|10|/(|10|+1)⌉ ; 1-⌈|5|/(|5|+1)⌉ ; 1-⌈|-0.5|/(|-0.5|+1)⌉ ; 1-⌈|2|/(|2|+1)⌉ ; 1-⌈|-1.5|/(|-1.5 |+1)⌉ ; 1-⌈| -2|/(| -2|+1)⌉} ) ; 1-⌈|3|/(|3|+1)⌉ ; 1-⌈|-1.7|/(|-1.7|+1)⌉ ; 1-⌈|-1|/(|-1|+1)⌉ ; 1-⌈|0|/(|0|+1)⌉ ↔ ENSeq(1-1A(SeqX=(xi)1≤i≤10 = 2)i) 1≤i≤10 = ({0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 }) (A’.3′).
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Puis nous écrivons maintenant aussi l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction caractéristique de non-appartenance comme précédemment en la définissant comme soit a = {a₁,…,aₙ}, et b = {b₁,…,bₙ} deux éléments de {Rⁿ ∪ {±∞}}ⁿ, et soit l’intervalle [a, b[ définissant l’ensemble des points {x₁,…,xₙ} de Rⁿ tels que aᵢ < xᵢ < bᵢ pour tout i ∈ {1,…,n}, alors cet ensemble {x₁ ,…, xₙ} est appelé un pavé délimité par a et b. Soit la séquence en générale notée SeqXᵢ₌ₙ ( l’indice ᵢ₌ₙ indiquant le cardinal de SeqX ) d’éléments de cet ensemble {x₁,…,xₙ}, pavé délimité par a et b, et définie par ∀ xᵢ₌ₙ=xᵢ ∈ ENSX=(xi)1≤i≤n={ xₙ₌₁=a , xₙ₊₁=z , xₙ₊₂=k , xₙ₊₃=w , xₙ₊₄ =h , xₙ₊₅ =r , xₙ₊₆= v , xₙ₊₇=p… xₙ₌ₓ=q } ⊆ {x₁,…,xₙ} ; et soit la notation χA(x) de la fonction caractéristique ou indicatrice de la non-appartenance de l’élément x à l’ensemble des éléments de la séquence SeqX=(xi)1≤i≤n, et soit, sa définition ensembliste telle que, 1-χA(x) : { 1 if x ∉ SeqX=(xi)1≤i≤n ; 0 si x ∈ SeqX=(xi)1≤i≤n (2), alors l’expression numériquement calculable correspondante à cette expression algébrique ensembliste (2) non numériquement calculable est comme suit 1-χA(x) : { 1 si x ∉ SeqX=(xi)1≤i≤n ⊃ 1A(xᵢ-x) = ⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉=1 ; 0 si x ∈ SeqX=(xi)1≤i≤n ⊃ 1A(xᵢ-x) = ⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉=0. (B) ↔ (2), deux propositions que nous réécrivons comme la formulation attendue et finale conforme à celle de l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance de l’élément x à l’ensemble des éléments de la séquence SeqX=(xi)1≤i≤n définie comme suit :
∀ xᵢ ∈ ENSeqX=(xi)1≤i≤n=( {xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₂ ; xᵢ₌₃ ; xᵢ₌₄ , xᵢ₌₅ ; xᵢ₌₆ ; xᵢ₌₇… xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁ … xᵢ₌ₙ } ) ⊆ R ; ∀ n=nᵢ ∈ ENSeqN=(ni)1≤i≤n=( {nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆ ; nᵢ₌₇…nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ } ) ⊆ N* ↔ ENSeqN=(ni)1≤i≤n=( {n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₙ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ) ⊆ N*, alors :
- 1A : A=ENSeqX=(xi)1≤i≤n ⊆ R→ {0, 1}
- Si 1-1A(x)= 1-1A(x)= ⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉, alors 1-1A(x)=0, ssi xᵢ-x=0 → x ∈ ENSeqX=(xi)1≤i≤n (B.1)
- Si 1-1A(x)=1-1A(x) = ⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉, alors 1-1A(x)=1, ssi xᵢ-x≠0 → x ∉ ENSeqX=(xi)1≤i≤n (B.2)
- La représentation ensembliste séquentielle de l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique ou indicatrice de non appartenance, est notée dans sa forme algébrique générale, ENSeq(1-1A(xi))=(xi)1≤i≤n =({⌈|x₁ -x|/(|x₁ -x|+1)⌉ } ) ∪∩ ( {⌈|x₂ -x|/(|x₂ -x|+1)⌉} ) ∪∩ ( {1-⌈|x₃ -x|/(|x₃ -x|+1)⌉} )… ∪∩ ( {⌈|xₓ-x|/(|xₓ-x|+1)⌉ } )… ∪∩ ( {⌈|xₙ-x|/(|xₙ-x|+1)⌉ } ) ↔ ENSeq(1- ENSeqX=(1-1A(xi))1≤i≤n = ({ ⌈|x₁ -x|/(|x₁ -x|+1)⌉ ; ⌈|x₂ -x|/(|x₂ -x|+1)⌉ ; ⌈|x₃ -x|/(|x₃ -x|+1)⌉ ; … ; ⌈|xₓ-x|/(|xₓ-x|+1)⌉… ; ⌈|xₙ-x|/(|xₙ -x|+1)⌉ }) (B.3).
Encore afin de mieux visualiser à quoi ressemble cette représentation ensembliste séquentielle de l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique ou indicatrice de non-appartenance, réécrivons l’exemple précédent, non par facilité, mais pour seulement montrer qu’il s’agit d’une notation pour exprimer une notion, car nous obtenons la séquence de nombres aux valeurs correspondantes alors exactement aux deux valeurs de 0 et 1 des éléments de l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique ou indicatrice de non-appartenance de x=2 à l’ensemble séquentiel ENSeqX=(xi)1≤i≤10=( {12 ; 7 ; 1.5 ; 4 ; 0.5 ; 0 ; 5 ; 0.3 ; 1 ; 2} ), soit 1-1A(ENSeqX=(xi)1≤i≤10=2) : { ⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉=1, si x=2 ∉ SeqX=(xi)1≤i≤10 ; ⌈|xᵢ-x|/(|xᵢ-x|+1)⌉=0, si x=2 ∈ SeqX=(xi)1≤i≤10, et dont la représentation ensembliste séquentielle de son ensemble d’arrivée est ENSeq(1-1A(SeqX=(xi)1≤i≤10=2)i)1≤i≤10= ({⌈|12 -2|/(|12 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {⌈|7 -2|/(|7 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {⌈|1.5 -2|/(|1.5 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {⌈|4-2|/(|4-2|+1)⌉ } ) ∪∩ ({⌈|0.5-2|/(|0.5 -2|+1)⌉ } ) ∪∩ ( {⌈|0 -2|/(|0 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {⌈|5 -2|/(|5 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {⌈|0.3-2|/(|0.3-2|+1)⌉ } ) ∪∩ ( {⌈|1 -2|/(|1 -2|+1)⌉} ) ∪∩ ( {⌈|2-2|/(|2-2|+1)⌉ } ) ↔ ENSeq(1-1A(SeqX=(xi)1≤i≤10=2)i)1≤i≤10=({⌈|10|/(|10|+1)⌉ ; ⌈|5|/(|5|+1)⌉ ; ⌈|-0.5|/(|-0.5|+1)⌉ ; ⌈|2|/(|2|+1)⌉ ; ⌈|-1.5|/(|-1.5 |+1)⌉ ; ⌈| -2|/(| -2|+1)⌉} ) ; ⌈|3|/(|3|+1)⌉ ; ⌈|-1.7|/(|-1.7|+1)⌉ ; ⌈|-1|/(|-1|+1)⌉ ; ⌈|0|/(|0|+1)⌉ ↔ ENSeq(1-1A(SeqX=(xi)1≤i≤10=2)i)1≤i≤10= ( {1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0 } ) (B.3′).
2. Loi de Morrie et fonction indicatrice d’appartenance ENSeq : test discret d’angle
Si l’on teste un angle mesuré x contre les trois cibles xi ∈ S, 1ENSeq S(x) = 1 − ⌈ |xi − x| / (|xi − x| + 1) ⌉ vaut 1 seulement si x coïncide avec l’une des cibles. La loi de Morrie évaluée sous ENSeq s’écrit PENSeq(x) = P(x) · 1ENSeq S(x). Appartenance exacte : P = 1/8. Non-appartenance : la loi est éteinte (produit caractéristique 0), même si P(x) calcule encore un réel quelconque.
18. Loi arc sinus
ENSeq binaire : appartenance exacte à un point. Arc-sinus : appartenance cumulée à tout le segment (0, t], avec surcharge aux extrémités.