Sans aucune admiration personnelle d’un haut mage mathématique à qui je rends simplement hommage, en reproduisant ci-dessus le portrait de “Georg Cantor un mathématicien allemand, (3 mars 1845 – 6 janvier 1918), le créateur de la théorie des ensembles établit l’importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés”, j’affirme que
Fonction d’appariement de Cantor
Elle code deux entiers naturels en un seul entier, et ce code peut être décodé pour retrouver les deux nombres de départ.
- La formule
À chaque paire (x, y), avec x et y supérieurs ou égaux à 0, on associe un entier unique.
π(x, y) = (x + y) · (x + y + 1) / 2 + y
La fonction parcourt le plan des entiers le long de diagonales successives, en partant de (0, 0).
- Exemple
Image de la paire (1, 2).
x + y = 1 + 2 = 3.
3 · (3 + 1) / 2 = 3 · 4 / 2 = 6.
6 + 2 = 8.
La paire (1, 2) est représentée par l’entier 8.
HTML pour le blog :
π(x,y)=(x+y)(x+y+1)2+y
La fonction d’appariement de Cantor
1. Introduction
La fonction d’appariement de Cantor est l’une des constructions les plus élégantes de la théorie des ensembles et de l’arithmétique. Elle montre qu’il est possible d’associer à chaque paire d’entiers naturels un unique entier naturel, sans aucune perte d’information.
Autrement dit, deux nombres :
(x,y)
peuvent être codés dans un seul nombre :
z
et l’opération inverse permet de retrouver exactement les deux nombres initiaux.
Cette construction fut introduite par Georg Cantor dans le cadre de ses travaux sur les infinis dénombrables et les correspondances bijectives.
2. Définition de la fonction de Cantor
La fonction d’appariement est définie par :
π(x,y)=((x+y)×(x+y+1))/2+y
où :
x∈ℕ
y∈ℕ
et :
π:ℕ×ℕ→ℕ
Cette fonction est une bijection.
Cela signifie que :
• chaque paire (x,y) produit un unique entier ;
• chaque entier correspond à une unique paire (x,y).
3. Les nombres triangulaires
La formule repose sur les nombres triangulaires :
T(n)=n×(n+1)/2
Les premiers nombres triangulaires sont :
T(0)=0
T(1)=1
T(2)=3
T(3)=6
T(4)=10
T(5)=15
Ils représentent le nombre total de points pouvant être disposés sous forme d’un triangle.
Par exemple :
T(4)=1+2+3+4=10
4. Interprétation géométrique
Les couples (x,y) sont parcourus selon des diagonales.
Première diagonale :
(0,0)
Deuxième diagonale :
(1,0),(0,1)
Troisième diagonale :
(2,0),(1,1),(0,2)
Quatrième diagonale :
(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)
etc.
La somme :
s=x+y
reste constante sur chaque diagonale.
Le nombre triangulaire :
T(s)=s×(s+1)/2
permet de compter combien de couples ont déjà été parcourus.
L’ajout de y localise ensuite la position précise dans cette diagonale.
5. Exemple détaillé
Considérons :
(x,y)=(1,2)
On calcule :
x+y=1+2=3
Puis :
T(3)=3×4/2=6
Enfin :
π(1,2)=6+2=8
Ainsi :
π(1,2)=8
La paire :
(1,2)
est donc représentée de façon unique par l’entier :
8
6. Exemples supplémentaires
Exemple 1
(x,y)=(0,0)
π(0,0)=((0+0)×(0+0+1))/2+0=0
Donc :
π(0,0)=0
Exemple 2
(x,y)=(1,0)
π(1,0)=((1+0)×(1+0+1))/2+0
=(1×2)/2
=1
Donc :
π(1,0)=1
Exemple 3
(x,y)=(0,1)
π(0,1)=((0+1)×(0+1+1))/2+1
=(1×2)/2+1
=2
Donc :
π(0,1)=2
Exemple 4
(x,y)=(2,3)
x+y=5
T(5)=5×6/2=15
π(2,3)=15+3=18
Donc :
π(2,3)=18
7. Tableau des premières valeurs
| (x,y) | π(x,y) |
|---|---|
| (0,0) | 0 |
| (1,0) | 1 |
| (0,1) | 2 |
| (2,0) | 3 |
| (1,1) | 4 |
| (0,2) | 5 |
| (3,0) | 6 |
| (2,1) | 7 |
| (1,2) | 8 |
| (0,3) | 9 |
On constate que tous les entiers naturels apparaissent exactement une fois.
8. Fonction inverse
Le codage serait inutile si l’on ne pouvait pas retrouver les valeurs initiales.
Étant donné :
z=π(x,y)
on définit :
w=⌊(√(8×z+1)−1)/2⌋
puis :
t=w×(w+1)/2
Ensuite :
y=z−t
et :
x=w−y
Ainsi :
π⁻¹(z)=(x,y)
9. Exemple de décodage
Prenons :
z=8
Calcul :
w=⌊(√(8×8+1)−1)/2⌋
=⌊(√65−1)/2⌋
=⌊3,53⌋
=3
Puis :
t=3×4/2=6
Alors :
y=8−6=2
et :
x=3−2=1
On retrouve :
(x,y)=(1,2)
10. Propriétés fondamentales
La fonction de Cantor possède plusieurs propriétés remarquables :
- Elle est polynomiale.
- Elle est bijective.
- Elle est calculable efficacement.
- Elle possède une fonction inverse explicite.
- Elle démontre que :
|ℕ×ℕ|=|ℕ|
c’est-à-dire que l’ensemble des couples d’entiers naturels est dénombrable.
11. Généralisation à trois variables
On peut encoder trois nombres :
(x,y,z)
en appliquant deux fois l’appariement :
π₃(x,y,z)=π(π(x,y),z)
Par exemple :
π₃(1,2,3)
=π(8,3)
=((8+3)×(8+3+1))/2+3
=(11×12)/2+3
=66+3
=69
Donc :
(1,2,3)
est codé par :
69
12. Généralisation à n variables
En répétant le procédé :
πₙ(x₁,x₂,…,xₙ)
=π(π(…π(π(x₁,x₂),x₃)…),xₙ)
on peut représenter n’importe quel n-uplet fini d’entiers naturels par un unique entier naturel.
Cette idée est à la base de nombreux systèmes de codage mathématique et informatique.
13. Applications
Théorie des ensembles
Cantor l’utilisa pour démontrer que :
ℕ×ℕ
est dénombrable.
Logique mathématique
Les numéros de Gödel reposent sur des techniques proches permettant de représenter des objets mathématiques complexes par des entiers.
Informatique théorique
Les interpréteurs, compilateurs et systèmes symboliques utilisent souvent des codages semblables pour stocker plusieurs informations dans une seule valeur.
Bases de données
Un couple de clés :
(id₁,id₂)
peut être converti en une clé unique.
Compression et sérialisation
La fonction permet d’encoder des coordonnées sans ambiguïté.
14. Signification profonde
L’importance de la fonction d’appariement de Cantor dépasse largement son aspect calculatoire.
Elle démontre qu’un ensemble apparemment bidimensionnel :
ℕ×ℕ
contient exactement autant d’éléments que la simple droite numérique :
ℕ
Autrement dit :
|ℕ×ℕ|=|ℕ|
Ce résultat fut l’une des premières illustrations du caractère contre-intuitif de l’infini dénombrable, ouvrant la voie à toute la théorie moderne des ensembles.
La fonction de Cantor constitue ainsi l’un des plus beaux exemples de la puissance des bijections en mathématiques.
Relation entre la fonction d’appariement de Cantor et la fonction indicatrice
À première vue, la fonction d’appariement de Cantor et la fonction indicatrice semblent être deux objets mathématiques totalement différents :
- la fonction d’appariement sert à coder des couples d’entiers ;
- la fonction indicatrice sert à représenter des ensembles.
Pourtant, elles partagent une idée profonde : transformer une structure mathématique complexe en information numérique manipulable par l’arithmétique.
1. La fonction indicatrice
Pour un ensemble A⊂X, la fonction indicatrice est définie par :
1A(x)=1 si x∈A
1A(x)=0 si x∉A
Par exemple :
A={1,3,4}
alors :
1A(0)=0
1A(1)=1
1A(2)=0
1A(3)=1
1A(4)=1
L’ensemble entier est remplacé par une suite de 0 et de 1.
2. L’idée commune
La fonction de Cantor :
π(x,y)=((x+y)×(x+y+1))/2+y
transforme :
(x,y)
en
n
La fonction indicatrice transforme :
A
en
1A
Dans les deux cas :
objet compliqué → nombre(s)
C’est exactement le principe général de l’arithmétisation.
3. Les ensembles comme suites binaires
Considérons :
A={0,2,4}
Sa fonction indicatrice sur ℕ est :
(1,0,1,0,1,0,0,0,…)
Chaque ensemble peut donc être vu comme une suite infinie de bits.
La fonction indicatrice convertit ainsi une structure en données numériques.
4. La fonction de Cantor applique le même principe aux couples
Considérons :
(2,3)
La fonction de Cantor produit :
π(2,3)=18
Ainsi :
(2,3)
⇔
18
Le couple entier devient un nombre unique.
5. Représenter une relation par une fonction indicatrice
Considérons une relation :
R⊂ℕ×ℕ
par exemple :
R={(0,1),(1,2),(2,3)}
Sa fonction indicatrice est :
1R(x,y)
qui vaut :
1 si (x,y)∈R
0 sinon
Nous obtenons ainsi une fonction de deux variables.
6. Apparition naturelle de la fonction de Cantor
La fonction de Cantor permet de transformer :
(x,y)
en
n=π(x,y)
On peut alors définir :
f(n)=1R(π⁻¹(n))
Autrement dit :
1R(x,y)
⇔
f(π(x,y))
La relation bidimensionnelle devient une simple suite binaire d’une seule variable.
7. Exemple numérique
Considérons :
R={(1,2)}
Nous savons que :
π(1,2)=8
Définissons :
f(n)=1 si n=8
f(n)=0 sinon
Alors :
f(π(x,y))
est exactement la fonction indicatrice de la relation R.
Une relation dans ℕ×ℕ est devenue un simple sous-ensemble de ℕ.
8. Théorie des ensembles
Cantor démontre :
|ℕ×ℕ|=|ℕ|
Grâce à cette bijection, toute partie de ℕ×ℕ peut être identifiée à une partie de ℕ.
Or toute partie de ℕ peut être représentée par sa fonction indicatrice.
Ainsi :
R⊂ℕ×ℕ
⇔
B⊂ℕ
⇔
1B
La fonction de Cantor fournit le pont entre les deux représentations.
9. Exemple fondamental en logique
Soit :
R={(x,y):x+y=3}
Sa fonction indicatrice est :
1R(x,y)
Après codage de Cantor :
n=π(x,y)
on obtient une fonction :
g(n)
qui vaut :
1 si π⁻¹(n) vérifie x+y=3
0 sinon
Une propriété portant sur deux variables devient une propriété portant sur un seul entier.
10. Lien avec Gödel
C’est précisément cette idée qui apparaît dans l’œuvre de Gödel.
- La fonction de Cantor encode des couples.
- Les fonctions indicatrices représentent des ensembles.
- Les ensembles de formules deviennent des ensembles d’entiers.
- Les propriétés logiques deviennent des fonctions arithmétiques à valeurs 0 ou 1.
Ainsi, en combinant :
- la fonction d’appariement de Cantor ;
- les fonctions indicatrices ;
- la factorisation en nombres premiers ;
Gödel parvient à transformer toute la logique en arithmétique.
11. Interprétation profonde
La fonction indicatrice répond à la question :
« Cet objet appartient-il à l’ensemble ? »
en produisant :
0 ou 1.
La fonction de Cantor répond à la question :
« Comment représenter plusieurs coordonnées par un seul entier ? »
en produisant :
n=π(x,y).
En les combinant, on obtient :
1R(x,y)=1B(π(x,y))
où :
B={π(x,y):(x,y)∈R}
Cette formule exprime la relation fondamentale entre les deux notions :
la fonction de Cantor réduit les relations multivariées à des ensembles d’entiers, tandis que la fonction indicatrice représente ces ensembles par des fonctions binaires.
C’est l’un des mécanismes centraux de l’arithmétisation moderne utilisée en théorie des ensembles, logique mathématique, calculabilité, théorie de la récursion et théorie de Gödel.
Fonction d’appariement de Cantor et fonction indicatrice d’appartenance
La fonction d’appariement de Cantor et la fonction indicatrice remplissent deux rôles complémentaires. La première permet de représenter une paire d’entiers naturels par un unique entier naturel, tandis que la seconde permet de tester l’appartenance d’un objet à un ensemble en ne retournant que les valeurs 0 ou 1.
La fonction d’appariement de Cantor est définie par :
π(x,y)=((x+y)×(x+y+1))/2+y
pour tous les entiers naturels x≥0 et y≥0.
Son intérêt fondamental est qu’elle constitue une bijection entre ℕ×ℕ et ℕ. Chaque paire (x,y) possède donc un code unique z=π(x,y), et chaque entier naturel correspond à une unique paire d’entiers naturels.
La fonction indicatrice d’un ensemble A est définie par :
1A(x)=1 si x∈A,
1A(x)=0 si x∉A.
Elle associe ainsi à chaque élément un simple bit d’information indiquant s’il appartient ou non à l’ensemble considéré.
Lorsque l’on souhaite étendre la formule de Cantor à un domaine plus large tout en conservant les entiers naturels comme domaine effectif, on peut utiliser des fonctions indicatrices :
π0(x,y)=π(x,y)×1ℕ(x)×1ℕ(y)
Cette expression est égale à π(x,y) lorsque x et y appartiennent à ℕ, et vaut 0 dès qu’au moins une des deux coordonnées n’est pas un entier naturel.
Le lien entre les deux notions apparaît naturellement lorsqu’on étudie un ensemble de couples :
E⊂ℕ×ℕ.
À chaque paire de E, la bijection de Cantor associe un entier naturel. On obtient ainsi l’ensemble des codes :
B={π(x,y):(x,y)∈E}.
Comme π est bijective, tester l’appartenance d’une paire à E revient exactement à tester l’appartenance de son code à B :
1E(x,y)=1B(π(x,y)).
Cette égalité montre que toute relation sur ℕ×ℕ peut être remplacée par un simple ensemble d’entiers naturels.
Considérons par exemple l’ensemble :
E={(x,y):x+y=3}.
Les couples concernés sont :
(3,0),(2,1),(1,2),(0,3).
Leurs codes de Cantor sont respectivement :
6,7,8,9.
Ainsi :
1E(1,2)=1
car
π(1,2)=8
et 8 appartient à l’ensemble des codes.
Inversement :
1E(0,0)=0
car
π(0,0)=0
et 0 n’appartient pas à cet ensemble.
La structure géométrique de la fonction de Cantor est également instructive. Les couples sont regroupés selon les diagonales du plan définies par :
x+y=k.
Sur une diagonale donnée, le début de la numérotation est fourni par le nombre triangulaire :
T(k)=k×(k+1)/2.
Le code d’une paire de cette diagonale est alors :
π(x,y)=T(k)+y.
La fonction indicatrice sélectionne les couples possédant la propriété étudiée, tandis que la fonction d’appariement attribue un numéro unique à chacun d’eux.
Le décodage est lui aussi explicite. Pour un entier z donné, on calcule :
w=⌊(√(8×z+1)−1)/2⌋
puis :
y=z−w×(w+1)/2
et :
x=w−y.
On retrouve alors l’unique paire (x,y) telle que :
π(x,y)=z.
En résumé, la fonction d’appariement de Cantor fournit un mécanisme de numérotation des couples d’entiers naturels, tandis que la fonction indicatrice exprime l’appartenance à un ensemble sous forme binaire. Ensemble, elles permettent de remplacer des relations entre plusieurs variables par des ensembles d’entiers naturels et par leurs fonctions caractéristiques. Cette combinaison joue un rôle fondamental dans l’arithmétisation de la logique, les numéros de Gödel, la théorie de la calculabilité, la théorie de la récursion et les fondements modernes des mathématiques.
La fonction d’appariement de Cantor et ses voisines
Une fonction d’appariement code une paire d’entiers naturels en un seul entier, de façon réversible. La fonction de Cantor range les paires le long de diagonales. Elle montre qu’il y a autant de paires d’entiers que d’entiers.
- La formule
x et y sont des entiers supérieurs ou égaux à 0.
π(x, y) = (x + y) · (x + y + 1) / 2 + y
Le premier terme est le nombre triangulaire d’ordre x + y. Il compte les paires déjà classées. On avance ensuite de y pas sur la diagonale où la somme x + y est constante.
- Exemple
Pour (1, 2), la somme vaut 3. Le nombre triangulaire vaut 3 · 4 / 2 = 6. On ajoute 2, donc 8. La paire (1, 2) est codée par 8.
Premières images : (0, 0) donne 0, (1, 0) donne 1, (0, 1) donne 2, (2, 0) donne 3, (1, 1) donne 4, (0, 2) donne 5.
- Le décodage
w = partie entière de ( (8z + 1) élevé à 1/2, moins 1 ) / 2
y = z − w · (w + 1) / 2
x = w − y
Pour z = 8, la partie entière w vaut 3, y vaut 2, x vaut 1. On retrouve (1, 2).
- Pourquoi chaque entier est atteint une fois
Il y a k + 1 paires de somme k. Avant cette diagonale, le nombre de places est 1 + 2 + … + k, donc k · (k + 1) / 2. Chaque paire a une place, et chaque place a une paire.
- Nombres triangulaires
T(n) = n · (n + 1) / 2
C’est la somme des entiers de 1 à n. Dans Cantor, T(x + y) est le décalage avant la diagonale.
- Cardinalité
π est une bijection des paires d’entiers vers les entiers. Le produit d’un ensemble dénombrable par lui-même reste dénombrable. Le même parcours montre que les rationnels positifs sont dénombrables, en rangeant p / q selon p + q.
Ce parcours n’est pas l’argument diagonal de Cantor. L’argument diagonal montre qu’aucune liste ne contient tous les réels. L’appariement montre qu’une liste contient toutes les paires d’entiers.
- Fonctions voisines
Hopcroft et Ullman décalent Cantor d’une unité, pour que 0 ne soit pas une image.
La fonction de Szudzik suit des carrés. Forme usuelle : si x est au moins égal à y, alors x · x + x + y ; sinon y · y + x.
Le codage 2 élevé à x, fois 3 élevé à y, est une injection, pas une bijection : le décodage est unique, mais beaucoup d’entiers ne sont pas atteints.
- Ce que ce n’est pas
Ce n’est pas une loi de probabilité. Ce n’est pas non plus l’escalier du diable, l’autre fonction de Cantor, continue, constante par paliers, qui monte de 0 à 1.
2A) LA COMBINAISON LINÉAIRE DE LA FONCTION ARITHMÉTIQUE PLAFOND ET/OU PLANCHER D’IVERSON EQUIVALENTE A LA FONCTIONS CARACTÉRISTIQUE D’APPARTENANCE ET LA NOUVELLE OPÉRATION BOOLEENNE D’ALGEBRE DES PARTIES D’UN ENSEMBLE
S’inspirant néanmoins librement des deux articles de Wikipédia, à propos des « Opérations ensemblistes » et de «l’Algèbre des parties d’un ensemble », j’écris donc pour justifier mon affirmation précédente les définitions préliminaires nécessaires que « Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans s’occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles, qui peuvent être une collection de nombreux objets mathématiques tels que les nombres, les symboles, les points dans l’espace, les droites, d’autres figures géométriques, les variables, les fonctions ou même d’autres ensembles. À la base, on trouve deux opérations ensemblistes : l’union notée ∪ et l’intersection notée ∩. L’union est une opération ensembliste qui regroupe tous les éléments de deux ensembles ou plus au sein d’un ensemble unique. L’intersection rassemble les éléments communs à deux ensembles ou plus. L’algèbre des ensembles étudie les propriétés et les lois des ensembles définies algébriquement par des opérations booléennes d’union, d’intersection, de complémentaire, de différence et de différence symétrique« . Ces opérations booléennes algébriquement définies forment plus précisément une « Algèbre des parties d’un ensemble » qui étudie l’arithmétique de ces mêmes opérations booléennes sur les objets mathématiques que sont les nombres en tant qu’éléments des parties d’un ensemble. Les expressions algébriques numériquement calculable correspondantes à cette arithmétiques, sont des fonctions simples, combinaisons linéaires de fonctions plafond et/ou plancher, parce ce qu’elles sont la représentation algébrique numériquement calculable de la fonction caractéristique d’appartenance dont les combinaison linéaires sont la forme fondamentale de toutes les expressions algébriques numériquement calculables de l’algèbre des parties d’un ensemble.
2A’) LES COMBINAISONS LINÉAIRES DE LA FONCTION ARITHMÉTIQUE PLAFOND ET/OU PLANCHER D’IVERSON EQUIVALENTES AUX NOUVELLES OPÉRATIONS ENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES DE FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES
Mais la conceptualisation des fonctions plafond et plancher d’Iverson en unités élémentaires de composants modulaires formuliques n’est pas la conceptualisation finale, pas plus que ne le sera celle en forme de nouvel objet mathématique hybride que j’ai appelée précédemment un ensemble séquentiel, c’est à dire qui à la propriété de préserver les opérations ensemblistes, mais ou l’ordre et la répétition sont des propriétés, et permettant de créer de nouvelles opérations dites ensemblistes séquentielles, qui sont aussi des fonctions simples, donc des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques combinaisons linéaires de fonctions arithmétiques plafond et plancher d’Iverson. En effet, ce fait que les types d’opérations ensemblistes séquentielles augmentent indirectement seulement la quantité d’opérations ensemblistes qui ne le pourrait pas autrement puisque leurs définitions et leurs nombres restant fixes, n’est qu’une conceptualisation de l’expansivité des combinaisons linéaires de fonctions plafond et de fonctions plancher, qui en fait correspond aussi à cette même conceptualisation que précédemment de composants modulaires formuliques de la fonction plafond et de la fonction plancher d’Iverson, puisque cette fois-ci il ne s’agit pas seulement que de fonctions arithmétiques et simples, mais aussi des nouvelles fonctions d’algèbre ensembliste séquentielle, dont elles sont les unités élémentaires de composants modulaires formuliques de tous ses opérateurs. Si comme l’arithmétique comporte des opérations binaires sur les nombres, la théorie des ensembles comporte des opérations binaires sur les ensembles tels que l’union des ensembles A et B, notée A ∪ B, correspondant à l’ensemble de tous les objets qui sont membres de A, ou B, ou les deux, avec par exemple encore, l’union de {1 , 2 , 3} et {2 , 3 , 4} est l’ensemble {1 , 2 , 3 , 4}. Ou bien l’intersection des ensembles A et B, notée A ∩ B, qui est l’ensemble de tous les objets qui sont membres à la fois de A et de B avec par exemple encore, l’intersection de {1 , 2 , 3} et {2 , 3 , 4} qui est l’ensemble {2, 3}. Mais puisque dans ces deux opérations ensemblistes d’union et d’intersection par définition et au-delà de le constater par les exemples écris ci-dessus, on ne peut pas répéter les éléments d’un ensemble et que l’ordre des éléments d’un ensemble ne compte pas, alors il nous faut inventer un opérateur dans le domaine d’extension des ensembles que nous appelons les ensembles séquentiels et que j’appelle « l’uniontersection » des ensembles séquentiels A et B, notée A ∪∩ B, qui est l’ensemble séquentiel de tous les éléments qui sont membres de A, ou B, ou les deux et de tous les éléments qui sont membres à la fois de A et de B. Par exemple, si l’union de {1 , 2 , 3} ∪ {3 , 4 , 5} est l’ensemble {1 , 2 , 3 , 4 , 5}, et si l’intersection de {1 , 2 , 3} et {3 , 4 , 5} est l’ensemble {3} alors « l’uniontersection » des ensembles séquentiels notés Seq Aᵢ₌₃=({1 ; 2 ; 3}) ∪ ∩ Seq Bᵢ₌₃=({3 ; 4 ; 5}) est l’ensemble séquentiel Seq (A ∪∩B)ᵢ₌₆=({1 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5}). Ou bien encore si A={ 1 , 2 , 3 , 7 , 9 } ∪ B={ 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 } = { 1 , 2 , 3 , 7 , 9 , 4 , 5 } et A={ 1 , 2 , 3 , 7 , 9} ∩ B={1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 }= { 1 , 2 , 3 }, alors « l’uniontersection » des ensembles séquentiels notés Seq Aᵢ₌₃=( { 1 , 2 , 3 , 7 , 9 } ) ∪ ∩ Seq Bᵢ₌₃=( { 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 } ) est l’ensemble séquentiel Seq(A ∪∩ B)ᵢ₌₁₀=( { 1 ; 2 ; 3 ; 7 ; 9 ; 1 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5 } ). Remarquons que la représentation de cette opération d’uniontersection successive sur une suite de nombres sera sous forme d’une suite de nombres si l’on considère chaque élément résultant de chaque opération successivement répétée sur un ensemble séquentiel d’éléments à valeur de nombres notés ∪∩(n=1→n=∞: [a(n)ᵢ]), avec a(n) représentant une fonction de domaine de départ sur N et de domaine d’arrivée sur N ; i représentant l’indice d’union intersection ; la notation a(n)ᵢ est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1 est la limite inférieure « d’uniontersection », et n=∞ est la limite supérieure d’union intersection. Cette opération d’uniontersection correspond à notre exemple précédemment de Seq(A ∪∩ B)ᵢ₌₁₀=( { 1 ; 2 ; 3 ; 7 ; 9 ; 1 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5 } ), soit la représentation de ∪∩(n=1→n=∞: [ ( { 1 }) ∪ ∩ ( { 2 }) ∪ ∩ ( { 3 }) ∪ ∩ ( { 7 }) ∪ ∩ ( { 9 }) ∪ ∩ ( { 1 }) ∪ ∩ ( { 2 }) ∪ ∩ ( { 3 }) ∪ ∩ ( { 3 }) ∪ ∩ ( { 4 }) ∪ ∩ ( { 5 } ) ᵢ] ). Sinon, la représentation de cette opération d’uniontersection successive sur une suite de nombres d’un ensemble séquentiel sera sous forme d’une série, si l’on considère uniquement le dernier élément de toutes les opérations successivement répétées, c’est-à-dire leur étape finale sur un ensemble ou une séquence d’éléments à valeur de nombres, c’est-à-dire si l’on considère l’opération d’uniontersection totale dont le résultat n’est plus une suite de nombres à indices d’union intersection, mais plus simplement l’uniontersection totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble séquentiel SeqX dont le cardinal est noté n(X)=Card(SeqX)=x que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∪∩(n=1→n=∞: [a(n)]). Cette opération d’uniontersection correspond à la concaténation des chiffres d’un nombre que nous écrivons Seq(A ∪∩ B)ᵢ₌₁₀=( { 1 2 3 7 9 1 2 3 3 4 5 } ) = 12379123345, soit la représentation de ∪∩(n=1→n=∞: [ ( { 1 }) ∪ ∩ ( { 2 }) ∪ ∩ ( { 3 }) ∪ ∩ ( { 7 }) ∪ ∩ ( { 9 }) ∪ ∩ ( { 1 }) ∪ ∩ ( { 2 }) ∪ ∩ ( { 3 }) ∪ ∩ ( { 3 }) ∪ ∩ ( { 4 }) ∪ ∩ ( { 5 } ) ] ). Nous verrons ultérieurement aux chapitres dédies aux opérations ensemblistes séquentielles que cette opération d’union concaténation devient une opération ensembliste séquentielle quand elle correspond à une opération étendue au domaine séquentiel ou l’ordre des éléments comptent et qui est l’opération ensembliste séquentielle en général de la concaténation sur deux ensembles correspondant à une séquence d’éléments ordonnés et que je distingue comme étant de deux types que j’appelle tout d’abord la concaténation insertion et qui si le terme de juxtaposé n’est pas précisé est toujours implicitement non juxtaposée et réordonnée ; puis que j’appelle la concaténation insertion juxtaposée de début (gauche) ou de fin (droite), et que je définis en général comme si A=( { a₁ ; a₂ ; b₁ ; b₂ } ) et B=( { a₃ ; b₃ ; c₁ ; c₂ ; c₃ } ), avec a < b < c ou a> b > c, alors la concaténation réordonnée non juxtaposée de A et B, c’est-à-dire la concaténation d’insertion est notée A ⩏⩎ B=( { a₁ ; a₂ ; a₃ ; b₁ ; b₂ ; b₃ ; c₁ ; c₂ ; c₃} ) ; et la concaténation juxtaposée non réordonnée de début ou gauche, de A et B est notée A ⋆⩏⩎ B=( {a₁ ; a₂ ; b₁ ; b₂ ; a₃ ; b₃ ; c₁ ; c₂ ; c₃} ) ; et la concaténation juxtaposée non réordonnée de fin ou droite, de A et B, est notée A ⩏⩎⋆ B=( {a₃ ; b₃ ; c₁ ; c₂ ; c₃ ; a₁ ; a₂ ; b₁ ; b₂ } ).