I) Introduction au glossaire des termes commençant par la lettre A, de l’isomorphisme original entre les figures de rhétorique classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots

Il s’agit d’établir un glossaire des termes commençant par la lettre A, de l’isomorphisme original entre les figures de rhétorique classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots et dont l’approche offre une véritable taxonomie algébrique de l’expressivité linguistique. L’approche est originale dans sa formulation précise : elle tente de donner une interprétation formelle, calculable et unifiée des figures rhétoriques en termes d’opérateurs de la combinatoire des mots. Les travaux existants sont soit computationnels (détection), soit rhétoriques (classification interne), soit purement mathématiques (combinatoire des mots). La jonction systématique proposée ne semble pas documentée. Le degré d’originalité dépend toutefois de la rigueur de l’isomorphisme revendiqué : plus les correspondances reposent sur des propriétés formelles standard (préfixe, suffixe, primitivité, conjugaison…), plus la revendication est solide ; plus elles reposent sur des fonctions sémantiques externes, plus elles restent analogiques.

Objet

Ce glossaire associe à des termes de la rhétorique classique (figures, procédés, parties du discours, notions d’argumentation) un mécanisme de la combinatoire des mots : une procédure qui, appliquée à un texte écrit comme un mot fini, reconnaît le procédé et en donne une mesure. La mesure est toujours une fonction caractéristique, ou une somme, un produit ou un quotient de valeurs de fonctions caractéristiques ; elle se calcule avec les quatre opérations, des comparaisons, un minimum ou un maximum.

Les travaux existants sur ces sujets sont de trois sortes : computationnels (détection automatique de figures), rhétoriques (classification interne des procédés), ou purement mathématiques (combinatoire des mots). Ce glossaire relie systématiquement les trois : chaque terme rhétorique reçoit une définition mathématique calculable, et chaque calcul est fait sur des exemples.

Nature de la correspondance

Le lien établi est une correspondance, et non un isomorphisme. Un isomorphisme serait une bijection qui conserve toute la structure ; or des textes très différents réalisent le même procédé, et un même texte peut en réaliser plusieurs. La correspondance va des textes vers les procédés et elle est plusieurs-à-un : à chaque texte, chaque mécanisme associe un nombre.

Solidité des correspondances

Toutes les correspondances ne reposent pas sur le même type de données. Le critère retenu est la nature des données nécessaires au calcul ; moins le calcul demande de données extérieures au mot, plus la correspondance est solide.

Degré	Données nécessaires	Exemples dans ce glossaire
1	le mot seul : positions, répétitions, ordre, ponctuation, lettres	chiasme, répétitions de facteurs, allitérations
2	des listes fermées de mots (marqueurs, connecteurs, négations)	charge de la preuve, captatio benevolentiae, canon
3	un dictionnaire ou une table de valeurs fixée d’avance	barbarisme, bathos, blason, buzzword
4	une donnée extérieure au texte (corpus, situation, intention)	indiqué dans chaque fiche concernée

Chaque fiche indique son degré, dit quelles données elle utilise et d’où elles viennent, et signale les cas que le mécanisme ne reconnaît pas.

0. Conventions communes

0.1 Le texte comme mot

Un texte est un mot fini w = t₁ t₂ ⋯ t_n dont les lettres sont des tokens : mots graphiques séparés par des espaces ou des apostrophes (une forme élidée comme l’ ou j’ compte pour un token). Les nombres et les symboles d’unité (%, €) comptent comme tokens ; les signes de ponctuation ne sont pas comptés comme tokens : ils servent à découper le texte en unités (propositions ou phrases). Pour certains termes (le barbarisme), on descend au niveau des lettres d’un token : un token est alors lui-même un mot sur l’alphabet des lettres.

Un facteur de w est un bloc de tokens consécutifs t_i t_i+1 ⋯ t_j ; Fact(w) est l’ensemble des facteurs de w ; |u| est la longueur (le nombre de tokens) du facteur u. Un sous-mot (ou sous-mot éparpillé) de w est une suite de tokens de w pris dans l’ordre, pas nécessairement consécutifs.

0.2 Fonctions caractéristiques

Pour un ensemble A, χ_A(x) vaut 1 si x ∈ A et 0 sinon. Trois règles servent dans toutes les fiches :

N°	Opération logique	Écriture arithmétique	Pourquoi
R1	non A	1 − χA(x)	échange 0 et 1
R2	A et B	χA(x) · χB(x)	le produit vaut 1 seulement si les deux valent 1
R3	A ou B	1 − (1 − χA(x)) · (1 − χB(x))	vaut 0 seulement si les deux valent 0

Pour un nombre k et un intervalle I, χ_I(k) vaut 1 si k ∈ I : par exemple χ_{[1, ∞)}(k) vaut 1 dès que k ≥ 1, ce qui traduit « il existe au moins un ». Le nombre d’éléments d’un ensemble se calcule comme une somme de fonctions caractéristiques : |{i : t_i ∈ A}| = Σ_i χ_A(t_i).

Un texte écrit comme suite de tokens, la valeur de χ_A sous chaque token, et le comptage par la somme.

0.3 Données explicites et seuils déclarés

Toute information de sens (un dictionnaire, une liste de marqueurs, une valeur de registre) est donnée par une table finie, écrite dans la fiche. Tout seuil est un nombre écrit, avec son origine : logique (« au moins un », « égal à »), de référence (tiré d’une source publiée ou d’une propriété de l’échelle utilisée) ou conventionnel (choisi, avec un tableau de sensibilité qui montre l’effet d’un autre choix).

0.4 Statut modal

Chaque correspondance reçoit l’un de trois statuts : nécessaire si elle ne dépend que du mot (degré 1) ; possible si elle dépend de listes fermées ou de ressources publiques fixées d’avance (degrés 2 et 3) ; contingente si elle dépend d’une donnée sur la situation ou le monde (degré 4).

00. Conventions de notation et statut modal des équivalences

00.1 Alphabet, mots, longueur

Σ désigne un alphabet fini, Σ^∗ l’ensemble des mots finis sur Σ, ε le mot vide et Σ⁺ = Σ^∗ ∖ {ε}. Un mot s’écrit w = a₁a₂ ⋯ a_n avec a_i ∈ Σ ; sa longueur est |w| = n. Pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n, le facteur de w allant de la position i à la position j est noté w[i..j] = a_ia_i+1 ⋯ a_j.

00.2 Facteurs, préfixes, suffixes

Fact(w) est l’ensemble des facteurs non vides et distincts de w ; Fact_k(w) ceux de longueur k ; Fact_≥2(w) ceux de longueur au moins 2. La fonction de complexité factorielle est p_w(k) = |Fact_k(w)|. Pref_k(w) et Suff_k(w) désignent le préfixe et le suffixe de longueur k. La multiplicité (nombre d’occurrences) d’un facteur u dans w est m_w(u) = Σ_i=1^n−|u|+1 χ_{u}(w[i..i+|u|−1]) et le nombre d’occurrences d’une lettre a est |w|_a = Σ_i=1ⁿ χ_{a}(a_i). Nous détaillons premièrement 1) l’expression mathématique de la multiplicité (nombre d’occurrences) d’un facteur u dans w, puis deuxièmement 2) l’expression mathématique du nombre d’occurrences d’une lettre a dans un mot respectivement comme suit ci dessous :

1) L’expression mathématique du nombre d’occurrences d’un facteur : m_w(u)

1. Les objets

Un mot w est une suite finie de lettres w[1] w[2] ⋯ w[n] ; son nombre de lettres est sa longueur, n = |w|. Pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n, le facteur w[i..j] est le bloc de lettres consécutives qui commence à la position i et finit à la position j :

w[i..j] = w[i] w[i+1] ⋯ w[j], de longueur j − i + 1.

Le facteur de longueur |u| qui commence en i est donc w[i..i+|u|−1]. Il doit tenir dans w : sa dernière position vérifie i + |u| − 1 ≤ n, c’est-à-dire i ≤ n − |u| + 1. Les positions de départ possibles sont i = 1, 2, …, n − |u| + 1.

2. La formule

Le nombre d’occurrences du facteur u dans le mot w est

m_w(u) = Σ_i=1^n−|u|+1 χ_{u}( w[i..i+|u|−1] ), où χ_{u} est l’indicatrice du singleton {u} :

χ_{u}(x) = 1 si x = u, χ_{u}(x) = 0 sinon.

3. Le calcul de χ_{u} : égalité lettre à lettre

Dire « x = u » pour deux mots de même longueur k = |u|, c’est dire que leurs lettres sont égales une à une : x[1] = u[1] et x[2] = u[2] et … et x[k] = u[k]. On introduit l’indicatrice d’égalité de deux lettres :

e(a, b) = 1 si a = b, e(a, b) = 0 sinon. Le « et » de plusieurs conditions s’écrit comme un produit d’indicatrices : le produit vaut 1 seulement si tous les facteurs valent 1, et il vaut 0 dès qu’une seule lettre diffère. D’où

χ_{u}(x) = ∏_r=1^k e( x[r], u[r] ), et, en remplaçant x par le facteur w[i..i+k−1], dont la r-ième lettre est w[i+r−1] :

m_w(u) = Σ_i=1^n−k+1 ∏_r=1^k e( w[i+r−1], u[r] )

La formule ne contient plus que des comparaisons de lettres, des produits et une somme : chaque valeur 0 ou 1 du calcul est justifiée par une comparaison écrite. C’est ce que détaillent les tableaux suivants, une colonne par lettre de u.

Pour MISSISSIPPI et u = SSI : les neuf fenêtres de longueur 3, chaque lettre comparée à la lettre de u au même rang (1 si égale, 0 sinon), le produit des trois comparaisons, puis la somme des produits.

Exemple 1 : un facteur qui se recouvre lui-même

Soit w = ABABA et u = ABA. Les lettres sont numérotées à partir de 1 :

w = w[1] = A w[2] = B w[3] = A w[4] = B w[5] = A

u = u[1] = A u[2] = B u[3] = A

Longueurs et nombre de positions de départ :

n = |w| = 5, |u| = 3, n − |u| + 1 = 5 − 3 + 1 = 3.

Il y a donc 3 facteurs de longueur 3 à examiner, un pour chaque position i de 1 à 3. Pour chacun, on compare ses 3 lettres à celles de u, une par une, puis on multiplie :

χ_{ABA}(w[i..i+2]) = e(w[i], u[1]) · e(w[i+1], u[2]) · e(w[i+2], u[3]).

i	facteur w[i..i+2]	e(w[i], u[1])	e(w[i+1], u[2])	e(w[i+2], u[3])	χ{ABA}(w[i..i+2]) = produit	Si = Si−1 + χ
1	ABA	e(A, A) = 1	e(B, B) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 × 1 = 1	1
2	BAB	e(B, A) = 0	e(A, B) = 0	e(B, A) = 0	0 × 0 × 0 = 0	1
3	ABA	e(A, A) = 1	e(B, B) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 × 1 = 1	2

La dernière colonne est la somme partielle : on ajoute à chaque ligne la valeur de l’indicatrice. La valeur de la dernière ligne est le résultat :

m_w(ABA) = 1 + 0 + 1 = 2.

Les deux occurrences, en i = 1 et en i = 3, partagent la lettre w[3] = A : l’une finit là où l’autre commence. La formule les compte toutes les deux, car elle examine chaque position de départ indépendamment des autres.

Exemple 2 : occurrences chevauchantes

Soit w = AAAAA et u = AA. Les lettres sont numérotées à partir de 1 :

w = w[1] = A w[2] = A w[3] = A w[4] = A w[5] = A

u = u[1] = A u[2] = A

Longueurs et nombre de positions de départ :

n = |w| = 5, |u| = 2, n − |u| + 1 = 5 − 2 + 1 = 4.

Il y a donc 4 facteurs de longueur 2 à examiner, un pour chaque position i de 1 à 4. Pour chacun, on compare ses 2 lettres à celles de u, une par une, puis on multiplie :

χ_{AA}(w[i..i+1]) = e(w[i], u[1]) · e(w[i+1], u[2]).

i	facteur w[i..i+1]	e(w[i], u[1])	e(w[i+1], u[2])	χ{AA}(w[i..i+1]) = produit	Si = Si−1 + χ
1	AA	e(A, A) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 = 1	1
2	AA	e(A, A) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 = 1	2
3	AA	e(A, A) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 = 1	3
4	AA	e(A, A) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 = 1	4

La dernière colonne est la somme partielle : on ajoute à chaque ligne la valeur de l’indicatrice. La valeur de la dernière ligne est le résultat :

m_w(AA) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

Les quatre occurrences se chevauchent : celle qui commence en i partage une lettre avec celle qui commence en i + 1 :

AAAAA, AAAAA, AAAAA, AAAAA.

Si l’on exigeait des occurrences disjointes, on n’en trouverait que 2 (AA·AA·A) ; m_w(u) compte les occurrences chevauchantes.

ABABA avec u = ABA et AAAAA avec u = AA : chaque occurrence repérée par une accolade sous sa position de départ ; les accolades se recouvrent.

Exemple 3 : un mot plus long

Soit w = MISSISSIPPI et u = SSI. Les lettres sont numérotées à partir de 1 :

w = M I S S I S S I P P I (n = 11)

u = u[1] = S u[2] = S u[3] = I

Longueurs et nombre de positions de départ :

n = |w| = 11, |u| = 3, n − |u| + 1 = 11 − 3 + 1 = 9.

Il y a donc 9 facteurs de longueur 3 à examiner, un pour chaque position i de 1 à 9. Pour chacun, on compare ses 3 lettres à celles de u, une par une, puis on multiplie :

χ_{SSI}(w[i..i+2]) = e(w[i], u[1]) · e(w[i+1], u[2]) · e(w[i+2], u[3]).

i	facteur w[i..i+2]	e(w[i], u[1])	e(w[i+1], u[2])	e(w[i+2], u[3])	χ{SSI}(w[i..i+2]) = produit	Si = Si−1 + χ
1	MIS	e(M, S) = 0	e(I, S) = 0	e(S, I) = 0	0 × 0 × 0 = 0	0
2	ISS	e(I, S) = 0	e(S, S) = 1	e(S, I) = 0	0 × 1 × 0 = 0	0
3	SSI	e(S, S) = 1	e(S, S) = 1	e(I, I) = 1	1 × 1 × 1 = 1	1
4	SIS	e(S, S) = 1	e(I, S) = 0	e(S, I) = 0	1 × 0 × 0 = 0	1
5	ISS	e(I, S) = 0	e(S, S) = 1	e(S, I) = 0	0 × 1 × 0 = 0	1
6	SSI	e(S, S) = 1	e(S, S) = 1	e(I, I) = 1	1 × 1 × 1 = 1	2
7	SIP	e(S, S) = 1	e(I, S) = 0	e(P, I) = 0	1 × 0 × 0 = 0	2
8	IPP	e(I, S) = 0	e(P, S) = 0	e(P, I) = 0	0 × 0 × 0 = 0	2
9	PPI	e(P, S) = 0	e(P, S) = 0	e(I, I) = 1	0 × 0 × 1 = 0	2

La dernière colonne est la somme partielle : on ajoute à chaque ligne la valeur de l’indicatrice. La valeur de la dernière ligne est le résultat :

m_w(SSI) = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 2.

Les deux occurrences commencent en i = 3 (MISSISSIPPI) et en i = 6 (MISSISSIPPI). Aux autres positions, au moins une des trois comparaisons vaut 0, et le produit s’annule.

4. Interprétation et contrôle

La somme d’indicatrices compte les positions où la condition est vraie :

m_w(u) = #{ i ∈ {1, …, n − |u| + 1} : w[i..i+|u|−1] = u }.

C’est le principe général : le nombre d’éléments d’un ensemble fini est la somme, sur un ensemble qui le contient, de son indicatrice. Ici l’ensemble qui contient tout est celui des positions de départ, et la condition est l’égalité lettre à lettre.

Un contrôle découle de la formule. À chaque position i correspond exactement un facteur de longueur k ; si l’on additionne m_w(u) sur tous les mots u de longueur k qui apparaissent dans w, chaque position est comptée une fois et une seule :

Σ_{|u| = k} m_w(u) = n − k + 1.

Pour MISSISSIPPI et k = 3, les facteurs sont MIS, ISS (2 fois), SSI (2 fois), SIS, SIP, IPP, PPI :

1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9 = 11 − 3 + 1.

Tableau récapitulatif

N°	w	u	n	|u|	positions n − |u| + 1	positions des occurrences	mw(u)
1	ABABA	ABA	5	3	3	1, 3	2
2	AAAAA	AA	5	2	4	1, 2, 3, 4	4
3	MISSISSIPPI	SSI	11	3	9	3, 6	2

1) L’expression mathématique du nombre d’occurrences d’une lettre : |w|_a

1. Les objets

Un mot w est une suite finie de lettres prises dans un alphabet Σ. On note w[i] la lettre de w placée en position i, de sorte que

w = w[1] w[2] ⋯ w[n], n = |w|.

La notation w[i] évite une confusion : a désigne la lettre que l’on compte, w[i] la lettre lue à la position i.

2. La formule

|w|_a = Σ_i=1ⁿ χ_{a}( w[i] ),

où χ_{a} est l’indicatrice du singleton {a} :

χ_{a}(x) = 1 si x = a, χ_{a}(x) = 0 sinon.

3. Ce que fait chaque terme

Le terme de rang i est le résultat d’une comparaison entre deux lettres : on lit w[i], on le compare à a, et l’on écrit 1 si les deux lettres sont identiques, 0 sinon. C’est l’indicatrice d’égalité :

χ_{a}(w[i]) = e(w[i], a), e(x, y) = 1 si x = y, 0 sinon.

La somme se construit position par position. On pose S₀ = 0, puis

S_i = S_i−1 + χ_{a}(w[i]), i = 1, 2, …, n,

et le résultat est la dernière somme partielle :

|w|_a = S_n

À chaque position, S augmente de 1 si la lettre lue est a, et ne change pas sinon. Les tableaux ci-dessous écrivent, pour chaque position, la comparaison qui produit la valeur 0 ou 1 : aucune valeur n’est posée sans sa justification.

MISSISSIPPI : chaque lettre comparée à S (vert si égale, rouge sinon), la valeur de l’indicatrice sous chaque lettre et la somme partielle S_i qui monte d’une marche à chaque S.

Exemple 1 : la lettre A dans BANANA

Soit w = BANANA, de longueur n = 6, et la lettre a = A. Les lettres de w, numérotées à partir de 1, sont :

(B, A, N, A, N, A).

On compare chaque lettre w[i] à A ; la comparaison donne la valeur de l’indicatrice, et la dernière colonne additionne ces valeurs au fur et à mesure :

i	w[i]	comparaison w[i] = A ?	χ{A}(w[i])	Si = Si−1 + χ{A}(w[i])
1	B	B = A ? non	χ{A}(B) = 0	0
2	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	1
3	N	N = A ? non	χ{A}(N) = 0	1
4	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	2
5	N	N = A ? non	χ{A}(N) = 0	2
6	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	3

La somme des valeurs de l’indicatrice est :

|w|_A = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 3.

Les positions comptées sont i = 2, 4, 6 : la lettre A apparaît 3 fois.

Exemple 2 : la lettre S dans MISSISSIPPI

Soit w = MISSISSIPPI, de longueur n = 11, et la lettre a = S. Les lettres de w, numérotées à partir de 1, sont :

(M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I).

On compare chaque lettre w[i] à S ; la comparaison donne la valeur de l’indicatrice, et la dernière colonne additionne ces valeurs au fur et à mesure :

i	w[i]	comparaison w[i] = S ?	χ{S}(w[i])	Si = Si−1 + χ{S}(w[i])
1	M	M = S ? non	χ{S}(M) = 0	0
2	I	I = S ? non	χ{S}(I) = 0	0
3	S	S = S ? oui	χ{S}(S) = 1	1
4	S	S = S ? oui	χ{S}(S) = 1	2
5	I	I = S ? non	χ{S}(I) = 0	2
6	S	S = S ? oui	χ{S}(S) = 1	3
7	S	S = S ? oui	χ{S}(S) = 1	4
8	I	I = S ? non	χ{S}(I) = 0	4
9	P	P = S ? non	χ{S}(P) = 0	4
10	P	P = S ? non	χ{S}(P) = 0	4
11	I	I = S ? non	χ{S}(I) = 0	4

La somme des valeurs de l’indicatrice est :

|w|_S = 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 4.

Les positions comptées sont i = 3, 4, 6, 7 : la lettre S apparaît 4 fois.

Exemple 3 : la lettre A dans ABRACADABRA

Soit w = ABRACADABRA, de longueur n = 11, et la lettre a = A. Les lettres de w, numérotées à partir de 1, sont :

(A, B, R, A, C, A, D, A, B, R, A).

On compare chaque lettre w[i] à A ; la comparaison donne la valeur de l’indicatrice, et la dernière colonne additionne ces valeurs au fur et à mesure :

i	w[i]	comparaison w[i] = A ?	χ{A}(w[i])	Si = Si−1 + χ{A}(w[i])
1	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	1
2	B	B = A ? non	χ{A}(B) = 0	1
3	R	R = A ? non	χ{A}(R) = 0	1
4	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	2
5	C	C = A ? non	χ{A}(C) = 0	2
6	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	3
7	D	D = A ? non	χ{A}(D) = 0	3
8	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	4
9	B	B = A ? non	χ{A}(B) = 0	4
10	R	R = A ? non	χ{A}(R) = 0	4
11	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	5

La somme des valeurs de l’indicatrice est :

|w|_A = 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 5.

Les positions comptées sont i = 1, 4, 6, 8, 11 : la lettre A apparaît 5 fois.

Exemple 4 : exemple entièrement développé

Soit w = AABBAAA, de longueur n = 7, et la lettre a = A. Les lettres de w, numérotées à partir de 1, sont :

(A, A, B, B, A, A, A).

On compare chaque lettre w[i] à A ; la comparaison donne la valeur de l’indicatrice, et la dernière colonne additionne ces valeurs au fur et à mesure :

i	w[i]	comparaison w[i] = A ?	χ{A}(w[i])	Si = Si−1 + χ{A}(w[i])
1	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	1
2	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	2
3	B	B = A ? non	χ{A}(B) = 0	2
4	B	B = A ? non	χ{A}(B) = 0	2
5	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	3
6	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	4
7	A	A = A ? oui	χ{A}(A) = 1	5

La somme des valeurs de l’indicatrice est :

|w|_A = 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 5.

Les positions comptées sont i = 1, 2, 5, 6, 7 : la lettre A apparaît 5 fois.

Pour ce dernier mot, la somme écrite terme à terme est

|w|_A = χ_{A}(A) + χ_{A}(A) + χ_{A}(B) + χ_{A}(B) + χ_{A}(A) + χ_{A}(A) + χ_{A}(A)
= 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 5,

chaque 0 provenant d’un B (B ≠ A) et chaque 1 d’un A (A = A).

4. Interprétation et contrôle

La somme d’indicatrices compte les positions où la lettre est a :

|w|_a = #{ i ∈ {1, …, n} : w[i] = a }.

C’est le cas particulier, pour un facteur de longueur 1, du nombre d’occurrences d’un facteur : |w|_a = m_w(a).

Un contrôle découle de la formule. À chaque position, la lettre lue est égale à une lettre de l’alphabet et à une seule ; en additionnant |w|_a sur toutes les lettres a de Σ, chaque position est comptée exactement une fois :

Σ_{a ∈ Σ} |w|_a = n

La liste des nombres |w|_a, lettre par lettre, s’appelle le vecteur de Parikh du mot. Il retient combien de fois chaque lettre apparaît, et oublie l’ordre :

N°	w	n	vecteur de Parikh	somme
1	BANANA	6	|w|A = 3, |w|B = 1, |w|N = 2	3 + 1 + 2 = 6
2	MISSISSIPPI	11	|w|I = 4, |w|M = 1, |w|P = 2, |w|S = 4	4 + 1 + 2 + 4 = 11
3	ABRACADABRA	11	|w|A = 5, |w|B = 2, |w|C = 1, |w|D = 1, |w|R = 2	5 + 2 + 1 + 1 + 2 = 11
4	AABBAAA	7	|w|A = 5, |w|B = 2	5 + 2 = 7

Les vecteurs de Parikh des quatre mots : une barre par lettre, de hauteur |w|_a ; la somme des barres est la longueur n du mot.

Tableau récapitulatif

N°	w	a	n	positions de a	|w|a
1	BANANA	A	6	2, 4, 6	3
2	MISSISSIPPI	S	11	3, 4, 6, 7	4
3	ABRACADABRA	A	11	1, 4, 6, 8, 11	5
4	AABBAAA	A	7	1, 2, 5, 6, 7	5

00.3 Fonction caractéristique

Toute condition est convertie en nombre par une fonction caractéristique : pour un ensemble F ⊆ E, χ_F(x) = 1 si x ∈ F et χ_F(x) = 0 sinon. Pour une proposition P, on note χ_P = 1 si P est vraie et 0 sinon. Chaque mécanisme reçoit, en plus de sa définition, une expression par fonction caractéristique : c’est elle qui le rend calculable numériquement, comme somme finie de 0 et de 1.

00.4 Statut modal (nécessaire, possible, contingent)

Chaque équivalence entre un terme rhétorique et un mécanisme de la combinatoire des mots reçoit l’un des trois statuts suivants :

• nécessaire : le mécanisme est défini par la seule structure du mot (préfixes, suffixes, facteurs, répétitions), sans aucune donnée extérieure ;
• possible : le mécanisme exige en plus une donnée combinatoire auxiliaire fixée à l’avance (un lexique X, une segmentation, un morphisme μ, une grammaire), mais reste ensuite entièrement formel ;
• contingent : le mécanisme dépend d’une fonction sémantique, pragmatique ou phonétique extérieure au mot (intensité, attribut, sens), que la combinatoire ne fait que recevoir.

Toutes les quantités définies ci-dessous portent sur des ensembles finis explicites ; elles sont donc toutes calculables en un nombre fini d’opérations.

1. Accumulatio – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
Accumulatio (aussi appelée accumulation, frequentatio ou congeries) est une figure qui consiste à rassembler et à répéter de manière compacte et emphatique des points, des arguments ou des termes déjà énoncés précédemment, généralement dans un ordre croissant ou culminant, afin de renforcer, résumer ou intensifier le propos. Elle « entasse » des éléments dispersés pour en faire un faisceau persuasif.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Accumulation factorielle ou somme pondérée de facteurs (Accumulatio-operator). L’idée est de sommer les poids des facteurs pour modéliser l’accumulation. Nous pouvons affiner la formulation mathématique pour bien distinguer la somme sur les facteurs uniques pondérés par leur multiplicité, ou la somme directe sur toutes les occurrences.

Définition mathématique
Soit $w$ un mot fini sur un alphabet fini $\Sigma$. Soit $\mathrm{Fact}(w)$ l’ensemble des facteurs (sous-mots contigus) de $w$. On associe à chaque facteur $u$ une fonction de poids $\phi(u)$ (par exemple sa longueur, le nombre d’occurrences d’une lettre, ou une fonction de complexité). L’opérateur d’accumulation $\mathcal{A}$ appliqué à $w$ est la somme (ou le tas) des poids de tous ses facteurs distincts, éventuellement pondérée par leur position ou leur multiplicité :

$$\mathcal{A}(w) = \sum_{u \in \mathrm{Fact}(w)} \phi(u) \cdot m(u)$$

où $m(u)$ est la multiplicité de $u$ dans $w$ (nombre d’occurrences), et $\phi$ est une fonction croissante (pour refléter l’effet de climax).

Expression formelle computable
Pour un mot $w = a_1 a_2 \dots a_n$ l’ensemble des facteurs de longueur $k$ est $\{ a_i \dots a_{i+k-1} \mid 1 \le i \le n-k+1 \}$.

$$\mathcal{A}_k(w) = \sum_{i=1}^{n-k+1} \phi(a_i \dots a_{i+k-1})$$

et l’accumulation totale :

$$\mathcal{A}(w) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{A}_k(w)$$

Cette somme est entièrement calculable numériquement : pour un mot donné, on énumère tous les facteurs et on additionne leurs poids.

Justification du lien
Accumulatio rassemble des points dispersés en un seul faisceau emphatique. En combinatoire des mots, cela correspond à l’agrégation de tous les facteurs d’un mot (qui sont eux-mêmes des « points » ou sous-énoncés) en une somme unique. L’effet de climax est rendu par une fonction de poids croissante avec la longueur ou la complexité du facteur. L’opérateur transforme une suite linéaire en une accumulation quantitative, exactement comme la figure transforme une série d’arguments en une masse persuasive.

Exemple illustratif
Soit $w = ababa$ sur $\Sigma = \{a,b\}$.
Facteurs :

• longueur 1 : a (3 fois), b (2 fois)
• longueur 2 : ab (2), ba (2)
• longueur 3 : aba (2), bab (1)
• longueur 4 : abab (1), baba (1)
• longueur 5 : ababa (1)

Avec $\phi(u) = |u|$ (longueur) :

$$\mathcal{A}(w) = 3\cdot1 + 2\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + 2\cdot3 + 1\cdot3 + 1\cdot4 + 1\cdot4 + 1\cdot5 = 3+2+4+4+6+3+4+4+5 = 35$$

Le résultat 35 est la « masse accumulée » de tous les facteurs de $w$, calculable directement.

2. Actio – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
Actio (aussi appelée pronuntiatio ; grec hypokrisis) est le cinquième et dernier canon de la rhétorique classique selon Cicéron. Elle désigne la manière dont le discours est effectivement prononcé et incarné : modulation de la voix (volume, hauteur, rythme, pauses), gestes, expressions faciales, posture et présence corporelle. Cicéron la considère comme la partie qui donne vie au discours et qui peut, à elle seule, déterminer son succès. Sans actio, même le meilleur discours reste sans effet ; avec elle, un discours moyen peut surpasser les autres. Démosthène répondait « actio, actio, actio » à la question de ce qui est le plus important en oratoire.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Opérateur de réalisation (ou transduction de livraison) – Actio-operator.

Définition mathématique
Soit $w$ un mot fini sur un alphabet $\Sigma$. Une réalisation (actio) de $w$ est une transduction (ou un morphisme non uniforme) qui associe à chaque lettre de $w$ une « version livrée » (un mot ou une séquence annotée) qui encode des paramètres de performance (intensité, durée, modulation). Formellement, on définit un ensemble de réalisations $\mathcal{R}(w)$ comme l’image de $w$ sous une famille de morphismes paramétrés $\mu_{\theta}$, où $\theta$ est un vecteur de paramètres de livraison (volume, rythme, geste, etc.).

$$\mathcal{R}(w) = \{ \mu_{\theta}(w) \mid \theta \in \Theta \}$$

où $\Theta$ est un espace de paramètres discrets ou continus, et $\mu_{\theta}$​ est un morphisme de $\Sigma^{*}$ vers un alphabet enrichi $\Sigma_{\text{actio}}^{*}$​.

Expression formelle computable
Pour un mot $w = a_1 a_2 \dots a_n$​, et un paramètre de rythme $r = (r_1, \dots, r_n)$(durées relatives) et d’intensité $i = (i_1, \dots, i_n)$ :

$$\mu_{r,i}(w) = (a_1, r_1, i_1)(a_2, r_2, i_2)\dots(a_n, r_n, i_n)$$

La mesure d’efficacité de l’actio peut être définie comme une fonction de variation :

$$\text{Var}(\mu_{r,i}(w)) = \sum_{j=1}^{n-1} |r_{j+1} – r_j| + |i_{j+1} – i_j|$$

Une haute variation correspond à une livraison expressive (proche de l’idéal cicéronien) ; une variation nulle correspond à une livraison plate.

Justification du lien
Actio transforme le texte abstrait (le mot $w$w) en une performance incarnée. En combinatoire des mots, cela correspond à une transduction qui enrichit chaque lettre d’informations de « performance » (rythme, intensité). Le morphisme paramétré capture l’idée que la même suite de lettres peut être « livrée » de manières radicalement différentes, et que c’est cette livraison qui détermine l’effet. La variation des paramètres quantifie l’expressivité, en accord avec l’insistance de Cicéron sur la modulation.

Exemple illustratif
Soit $w = aba$.
Deux réalisations :

1. Livraison plate : $r = (1,1,1)$, $i = (1,1,1)$ → $\text{Var} = 0$
2. Livraison expressive : $r = (1,3,1)$, $i = (2,5,1)$ → $\text{Var} = |3-1| + |1-3| + |5-2| + |1-5| = 2+2+3+4 = 11$

La seconde réalisation a une variation de 11, quantifiable et comparable.

3. Ad hominem – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
Ad hominem (argumentum ad hominem, « argument dirigé contre la personne ») est une tactique rhétorique ou un sophisme qui consiste à réfuter un argument en attaquant le caractère, les motifs, les circonstances ou tout autre attribut de la personne qui le soutient, plutôt que d’examiner le contenu de l’argument lui-même. Il détourne l’attention du propos vers le locuteur. Les formes principales sont l’ad hominem abusif (attaque directe sur le caractère), le circumstantiel (attaque sur les circonstances ou les intérêts), et le tu quoque (accusation d’hypocrisie). Aristote en discute déjà dans les Réfutations sophistiques comme une solution « contre l’homme » plutôt que « contre le discours ».⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Opérateur de substitution contextuelle de générateur (Ad-hominem morphism).

Définition mathématique
Soit $w$w un mot sur un alphabet $\Sigma$. On associe à chaque lettre $a \in \Sigma$ un « générateur » $g_a$​ (un mot ou un symbole qui représente le « caractère » de la lettre). Un opérateur ad hominem est un morphisme non uniforme $\mu$μ qui, au lieu de remplacer chaque lettre par son image standard, remplace la lettre par une image qui dépend d’un attribut extrinsèque associé au générateur (et non de la structure locale du mot). Formellement :

$$\mu_{\text{ad}}(a) = \psi(g_a)$$

où $\psi$ est une fonction qui attaque ou modifie le générateur indépendamment du contexte syntaxique de $a$a dans $w$w. L’image du mot entier devient :

$$\mu_{\text{ad}}(w) = \mu_{\text{ad}}(a_1)\mu_{\text{ad}}(a_2)\dots\mu_{\text{ad}}(a_n)$$

L’opérateur ignore la structure factorielle de $w$ et agit uniquement sur les générateurs individuels.

Expression formelle computable
Pour un mot $w = a_1 a_2 \dots a_n$​, et un vecteur d’attributs $c = (c_1, \dots, c_n)$ associés aux générateurs des lettres :

$$\mu_{\text{ad}}(w) = \psi(c_1) \psi(c_2) \dots \psi(c_n)$$

où $\psi(c_i)$ est un mot de longueur fixe ou variable qui encode l’« attaque » sur l’attribut $c_i$​. La distance entre le mot original et le mot transformé peut être mesurée par la distance de Hamming ou par la différence de complexité factorielle :

$$\delta(w, \mu_{\text{ad}}(w)) = |w| – | \mathrm{Fact}(w) \cap \mathrm{Fact}(\mu_{\text{ad}}(w)) |$$

Une grande valeur de $\delta$ indique que l’opérateur a fortement dévié du contenu original.

Justification du lien
L’ad hominem détourne l’argument en attaquant le locuteur plutôt que le propos. En combinatoire des mots, cela correspond à un morphisme qui substitue les lettres non pas selon leur rôle dans la suite, mais selon un attribut externe associé à leur générateur. Le morphisme « ignore » la structure du mot (comme l’ad hominem ignore le contenu de l’argument) et agit uniquement sur les générateurs individuels. L’effet est une transformation qui modifie le mot sans respecter sa combinatoire interne.

Exemple illustratif
Soit $w = abab$ et un attribut de « caractère » pour chaque lettre : $c_a =$ « faible », $c_b =$« fort ».
Un opérateur ad hominem simple : $\psi(\text{faible}) = x$, $\psi(\text{fort}) = y$.
Alors $\mu_{\text{ad}}(w) = xyxy$.

La complexité factorielle de $w$ et de $xyxy$ peut être comparée ; la distance $\delta$ quantifie le détournement.

4. Adianoeta – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
Adianoeta (du grec adianoetos, « inintelligible ») est une figure de style dans laquelle une expression porte deux significations simultanées : un sens évident, littéral ou ostensible, et un second sens plus subtil, ingénieux ou ironique, souvent en tension avec le premier. Elle repose sur l’ambiguïté volontaire d’un mot ou d’une phrase pour qu’une partie de l’auditoire comprenne le sens apparent tandis qu’une autre perçoit le sens caché. Elle est proche de l’ironie et de l’allégorie, mais se distingue par le fait qu’elle maintient les deux lectures en parallèle.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à double interprétation (ou double occurrence factorielle) – Adianoeta-word.

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. On dit que $w$ est un mot adianoétique s’il admet au moins deux factorisations distinctes (ou deux interprétations morphiques) qui coexistent sur le même support littéral. Formellement, il existe deux morphismes distincts $\mu_1$et $\mu_2$ (ou deux décompositions en facteurs) tels que :

$$\mu_1(w) = \mu_2(w)$$

mais les « lectures » associées (par exemple via des codes différents ou des factorisations non triviales) diffèrent. Une forme plus faible consiste à considérer un mot qui possède deux ensembles de facteurs de même longueur dont les interprétations sémantiques divergent.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$ de longueur $n$, on définit l’ensemble des interprétations possibles par le nombre de morphismes distincts qui le réalisent :

$$\text{Amb}(w) = |\{ \mu \mid \mu \text{ est un morphisme non trivial tel que } \mu(w) = w \}|$$

Ou, de manière plus opérationnelle, le nombre de factorisations distinctes en facteurs primitifs :

$$\text{Fact}_2(w) = |\{ (u,v) \mid w = uv = vu’, \ |u| \neq |v| \}|$$

Une valeur $\text{Amb}(w) \ge 2$ ou $\text{Fact}_2(w) \ge 1$ indique une double interprétation possible.

Justification du lien
L’adianoeta superpose deux lectures sur la même suite de mots. En combinatoire des mots, cela correspond à un mot qui admet plusieurs factorisations ou plusieurs morphismes qui le réalisent de manière équivalente en surface, mais dont les décompositions internes divergent. Le calcul du nombre de factorisations non triviales quantifie le degré d’ambiguïté structurelle, exactement comme la figure quantifie la coexistence de deux sens.

Exemple illustratif
Soit $w = ababa$.
Il admet la factorisation $(ab)(aba)$ et $(aba)(ba)$.
Ces deux lectures coexistent sur le même mot.
Avec $\phi(u) = |u|$, les deux interprétations produisent des sommes de poids différentes si l’on attribue des valeurs sémantiques distinctes aux facteurs, mais le support littéral reste identique.

5. Alliteration – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’allitération (du latin alliteratio, « commencement par la même lettre ») est la répétition d’un même son consonantique (ou parfois vocalique) en position initiale de plusieurs mots voisins ou de syllabes accentuées. Elle crée un effet de rythme, d’emphase ou de mémorabilité. Elle est fréquente en poésie, en prose oratoire et dans les formules idiomatiques. Cicéron et Quintilien en discutent comme d’un ornement sonore à utiliser avec mesure.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à préfixe initial répété (ou allitératif morphism).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. On dit que $w$ présente une allitération de degré kkk s’il existe une lettre $a \in \Sigma$ telle qu’au moins $k$ facteurs consécutifs (ou quasi-consécutifs) de $w$ commencent par $a$. Formellement, il existe une suite d’indices $i_1 < i_2 < \dots < i_k$ tels que les préfixes des facteurs correspondants coïncident :

$$\text{pref}_1(w[i_j \dots]) = a \quad \text{pour tout } j = 1,\dots,k$$

où $\text{pref}_1$désigne la première lettre.

Expression formelle computable
Pour un mot $w = a_1 a_2 \dots a_n$, on définit le score d’allitération pour une lettre $a$a comme :

$$\text{Allit}(w, a) = \max \{ k \mid \exists i_1 < \dots < i_k, \ a_{i_j} = a \}$$

Le degré maximal d’allitération du mot est :

$$\text{Allit}(w) = \max_{a \in \Sigma} \text{Allit}(w, a)$$

Une valeur $\text{Allit}(w) \ge 2$ indique la présence d’allitération.

Justification du lien
L’allitération repose sur la répétition d’une initiale. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence répétée d’un même préfixe de longueur 1 dans une suite de facteurs. Le calcul du maximum de répétitions d’une même lettre en position initiale quantifie directement l’intensité de l’effet allitératif.

Exemple illustratif
Soit $w =$« peter piper picked ».
En considérant les initiales, on a la suite $p, p, p$.
Donc $\text{Allit}(w, p) = 3$.

Un autre exemple formel : $w = abacab$.
$\text{Allit}(w, a) = 3$.

6. Amphiboly – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’amphiboly (ou amphibologie, du grec amphibolia, « ambiguïté ») est une figure ou un sophisme qui résulte d’une structure grammaticale ambiguë d’une phrase, de sorte qu’elle peut être interprétée de plusieurs façons. Contrairement à l’équivoque (qui porte sur le sens d’un mot), l’amphiboly naît de la construction syntaxique elle-même : modificateur mal placé, référence pronominale indéterminée, portée ambiguë d’un complément, etc. Aristote en traite déjà dans les Réfutations sophistiques ; Quintilien en discute longuement dans l’Institutio Oratoria (7.9).⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à factorisation multiple (ou amphibole factorization).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. On dit que $w$ est amphibole s’il admet au moins deux factorisations distinctes non triviales qui sont syntaxiquement concurrentes, c’est-à-dire qui peuvent être lues comme deux structures différentes sur le même support. Formellement, il existe deux suites de facteurs $(u_1, \dots, u_k)$ et $(v_1, \dots, v_m)$ telles que :

$$w = u_1 u_2 \dots u_k = v_1 v_2 \dots v_m$$w=u1​u2​…uk​=v1​v2​…vm​

avec $(u_1, \dots, u_k) \neq (v_1, \dots, v_m)$ et $k, m \ge 2$.

Expression formelle computable
Le nombre de factorisations amphiboles d’un mot $w$w peut être défini comme :

$$\text{Amph}(w) = |\{ (u,v) \mid w = uv = u’v’, \ (u,v) \neq (u’,v’), \ |u|,|v| \ge 1 \}|$$

Une valeur $\text{Amph}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une double lecture structurelle.

Justification du lien
L’amphiboly repose sur une ambiguïté de structure grammaticale. En combinatoire des mots, cela correspond exactement à l’existence de plusieurs factorisations concurrentes d’un même mot. Le calcul du nombre de paires de factorisations distinctes quantifie le degré d’ambiguïté syntaxique possible.

Exemple illustratif
Soit $w = ababa$.
Deux factorisations : $(ab)(aba)$ et $(aba)(ba)$.
Ces deux découpages coexistent sur le même mot et produisent des interprétations structurelles différentes.
$\text{Amph}(w) \ge 1$.

7. Amplification – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’amplification (latin amplificatio, grec auxesis) est l’ensemble des procédés qui permettent d’étendre, d’intensifier ou de magnifier un propos afin d’en accroître l’effet rhétorique, l’importance perçue ou l’impact émotionnel. Cicéron en fait « la plus haute gloire de l’éloquence » (De oratore III, 104). Quintilian distingue quatre modes principaux : par augmentation (incrementum), par comparaison, par raisonnement et par accumulation (congeries). Elle peut opérer par substitution de termes plus forts, par énumération, par répétition ou par développement circonstancié.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Opérateur d’extension morphique (ou amplification morphism).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une amplification de $w$ est un morphisme non uniforme $\mu$ qui associe à chaque lettre de $w$ un mot de longueur strictement supérieure à 1, de sorte que le mot image est une extension de $w$ :

$$\mu(w) = \mu(a_1)\mu(a_2)\dots\mu(a_n) \quad \text{avec } |\mu(a_i)| \ge 2 \text{ pour au moins un } i$$

L’amplification peut être mesurée par le facteur d’extension :

$$\text{Ext}(\mu, w) = \frac{|\mu(w)|}{|w|}$$

Expression formelle computable
Pour un mot $w$ et un morphisme $\mu$ défini par ses images sur les lettres :

$$\text{Amp}(w) = \max \{ \frac{|\mu(w)|}{|w|} \mid \mu \text{ est un morphisme non erasing avec } |\mu(a)| \ge 1 \ \forall a \}$$

Ou, de manière plus restrictive, le nombre de facteurs ajoutés :

$$\text{Add}(w) = |\mu(w)| – |w|$$

Une valeur $\text{Ext}(\mu, w) > 1$ indique une amplification effective.

Justification du lien
L’amplification consiste à étendre un propos pour en renforcer l’effet. En combinatoire des mots, cela correspond à l’application d’un morphisme qui allonge les images des lettres, produisant un mot plus long qui conserve la structure sous-jacente tout en l’enrichissant. Le facteur d’extension quantifie directement l’intensité de l’amplification.

Exemple illustratif
Soit $w = ab$.
Un morphisme amplifiant : $\mu(a) = aa$, $\mu(b) = bbb$.
Alors $\mu(w) = aabbb$, $|\mu(w)| = 5$, $|w| = 2$, donc $\text{Ext} = 2.5$.

8. Anacoenosis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’anacoenosis (du grec anakoinoun, « communiquer », « mettre en commun ») est une figure de rhétorique dans laquelle l’orateur adresse une question à son auditoire, à ses adversaires ou aux juges pour solliciter leur opinion ou leur jugement sur le point en débat, tout en suggérant qu’ils partagent un intérêt commun. Elle crée un effet de délibération partagée et renforce l’ethos en impliquant l’auditoire comme co-juge. Elle apparaît chez Cicéron et dans la tradition rhétorique de la Renaissance (Peacham, Puttenham).⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Opérateur de consultation morphique (ou anacoenosis morphism).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une anacoenosis est une opération qui associe à $w$w un ensemble de « réponses possibles » sous la forme de morphismes ou de factorisations concurrentes qui « consultent » le mot. Formellement, on définit un ensemble de morphismes $\mathcal{M}(w)$ tels que chaque morphisme $\mu \in \mathcal{M}(w)$ produit une image qui partage un facteur commun non trivial avec $w$ :

$$\mathcal{M}(w) = \{ \mu \mid \exists u, \ |u| \ge 1, \ u \in \mathrm{Fact}(w) \cap \mathrm{Fact}(\mu(w)) \}$$

L’opération « interroge » le mot en générant des extensions ou des interprétations qui restent liées à sa structure.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le degré d’anacoenosis peut être mesuré par le nombre de morphismes non triviaux qui partagent au moins un facteur de longueur $\ge 2$ avec $w$ :

$$\text{Anac}(w) = |\{ \mu \mid \mathrm{Fact}_{\ge 2}(w) \cap \mathrm{Fact}_{\ge 2}(\mu(w)) \neq \emptyset \}|$$

Une valeur $\text{Anac}(w) \ge 1$ indique la possibilité d’une « consultation » structurelle.

Justification du lien
L’anacoenosis consiste à solliciter une réponse de l’auditoire tout en maintenant un lien avec le propos. En combinatoire des mots, cela correspond à la génération de morphismes ou de factorisations qui partagent des facteurs avec le mot original, créant ainsi une « délibération » combinatoire. Le nombre de morphismes partageant un facteur quantifie l’ouverture du mot à des interprétations concurrentes.

Exemple illustratif
Soit $w = aba$.
Un morphisme $\mu$ défini par $\mu(a) = ab$μ, $\mu(b) = ba$μ produit $\mu(w) = abba$.
Les deux mots partagent le facteur $ab$.
Donc $\text{Anac}(w) \ge 1$.

9. Anadiplosis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’anadiplosis (du grec anadiplosis, « redoublement ») est la répétition du dernier mot (ou de la dernière expression) d’une proposition au début de la proposition suivante. Cette figure crée un enchaînement logique ou rythmique et peut produire un effet de progression ou de climax. Elle est fréquente dans les discours et la poésie.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à bordure enchaînée (ou anadiplosis border).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. On dit que $w$w présente une anadiplosis de longueur kkk s’il existe un facteur $u$u de longueur $k$ qui est à la fois un suffixe propre d’un facteur $x$ et un préfixe propre d’un facteur $y$ consécutif dans une décomposition de $w$. Formellement, il existe une factorisation $w = xyz$ telle que :

$$u = \mathrm{Suff}_k(x) = \mathrm{Pref}_k(y) \quad \text{avec } |u| = k \ge 1$$

et $x$ et $y$ non vides.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre de positions d’anadiplosis peut être défini comme :

$$\text{Anad}(w) = |\{ i \mid \exists k \ge 1, \ w[i-k+1..i] = w[i+1..i+k] \}|$$

où $w[a..b]$ désigne le facteur de $w$ allant de la position $a$a à la position $b$. Une valeur $\text{Anad}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un enchaînement anadiplotique.

Justification du lien
L’anadiplosis repose sur la répétition d’un élément en fin d’une unité et en début de la suivante. En combinatoire des mots, cela correspond exactement à la notion de bordure locale entre deux facteurs consécutifs. Le calcul du nombre de positions où un suffixe d’un facteur coïncide avec le préfixe du facteur suivant quantifie directement la densité de ces enchaînements.

Exemple illustratif
Soit $w =$« fear leads to anger anger leads to hate ».
Le mot « anger » est suffixe de la première clause et préfixe de la seconde.
Donc $\text{Anad}(w) \ge 1$.

10. Analogy – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’analogie (latin similitudo ou analogia) est le recours à un cas parallèle ou à un exemple similaire pour raisonner ou argumenter. Elle établit une correspondance structurelle entre deux situations distinctes afin d’inférer une conclusion ou d’éclairer un propos. Cicéron et Quintilian en traitent comme d’un mode d’argumentation fondé sur la ressemblance (similitudo). Elle se distingue de la métaphore par son caractère explicite et argumentatif.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à morphisme similaire (ou analogy morphism).

Définition mathématique
Soit $w$ et $w’$ deux mots sur des alphabets éventuellement distincts. On dit que $w$ et $w’$ sont analogues s’il existe un morphisme $\mu$μ tel que les structures factorielles de $w$ et de $\mu(w)$ présentent une correspondance. Formellement, il existe un morphisme $\mu$ tel que :

$$\mathrm{Fact}(w) \sim \mathrm{Fact}(\mu(w’))$$

où $\sim$ désigne une relation de similarité combinatoire (par exemple, même nombre de facteurs d’une longueur donnée, ou même bordures).

Expression formelle computable
Pour deux mots $w$ et $w’$, le degré d’analogie peut être mesuré par :

$$\text{Anal}(w, w’) = \max \{ |\mathrm{Fact}_k(w) \cap \mathrm{Fact}_k(\mu(w’))| \mid \mu \text{ morphisme}, \ k \ge 1 \}$$

Une valeur $\text{Anal}(w, w’) > 0$ indique une correspondance structurelle non triviale.

Justification du lien
L’analogie repose sur une correspondance entre deux cas distincts. En combinatoire des mots, cela correspond à l’existence d’un morphisme qui établit une similarité entre les ensembles de facteurs de deux mots. Le calcul du nombre maximal de facteurs communs sous morphisme quantifie la force de l’analogie combinatoire.

Exemple illustratif
Soit $w = aba$ et $w’ = xyx$.
Un morphisme $\mu$ défini par $\mu(a) = x$, $\mu(b) = y$ produit $\mu(w) = xyx = w’$.
Les structures factorielles coïncident.
Donc $\text{Anal}(w, w’) \ge 1$.

11. Anaphora – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’anaphore (du grec anaphora, « action de ramener ») est la répétition d’un mot ou d’un groupe de mots au début de phrases, de propositions ou de vers successifs. Cette figure crée un effet de rythme, d’emphase et de structure. Elle est opposée à l’épistrophe (répétition en fin d’unité). Elle est abondamment utilisée dans les discours (Martin Luther King, Churchill) et la poésie.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à préfixe anaphorique (ou anaphora prefix).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$, décomposé en facteurs successifs $w = w_1 w_2 \dots w_n$​. On dit que $w$ présente une anaphore de longueur kkk si les $n$n facteurs commencent tous par le même préfixe de longueur $k$ :

$$\mathrm{Pref}_k(w_1) = \mathrm{Pref}_k(w_2) = \dots = \mathrm{Pref}_k(w_n) = u \quad \text{avec } |u| = k \ge 1$$

Expression formelle computable
Pour un mot $w$ découpé en $n$n facteurs, le degré d’anaphore peut être mesuré par :

$$\text{Anap}(w) = \max \{ k \mid \exists \text{ découpage } w = w_1 \dots w_n, \ \mathrm{Pref}_k(w_i) = \mathrm{Pref}_k(w_j) \ \forall i,j \}$$

Une valeur $\text{Anap}(w) \ge 1$ indique la présence d’une anaphore.

Justification du lien
L’anaphore repose sur la répétition d’un élément en position initiale dans des unités successives. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence d’un préfixe commun non trivial dans une suite de facteurs consécutifs. Le calcul de la longueur maximale de ce préfixe commun quantifie directement la force de l’effet anaphorique.

Exemple illustratif
Soit le texte « We shall fight in France. We shall fight on the seas. We shall fight in the air. »
Chaque clause commence par le préfixe « We shall fight ».
Donc $\text{Anap}(w) \ge 3$.

12. Anastrophe – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’anastrophe (du grec anastrophe, « retournement ») est l’inversion de l’ordre naturel des mots dans une phrase ou une proposition. Quintilian la distingue de l’hyperbate en la limitant souvent à la transposition de deux mots. Elle sert à mettre en emphase un élément déplacé ou à créer un effet de rythme ou de solennité. Elle est fréquente en poésie et dans les discours (exemple célèbre : Yoda dans Star Wars, ou « Ask not… » de Kennedy).⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à inversion anastrophique (ou anastrophe reverse).

Définition mathématique
Soit $w = a_1 a_2 \dots a_n$​ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une anastrophe de longueur kkk est une inversion locale d’un facteur de longueur $k$ qui produit un nouveau mot $w’$ dont l’ordre des lettres est modifié par rapport à l’ordre « naturel » (par exemple, l’ordre alphabétique ou un ordre syntaxique de référence). Formellement, il existe un facteur $u$ de longueur $k$ tel que :

$$w = xuy \quad \text{et} \quad w’ = x u^R y$$

où $u^R$ désigne le renversement de $u$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre de positions d’anastrophe peut être défini comme :

$$\text{Anast}(w) = |\{ i \mid \exists k \ge 2, \ w[i..i+k-1] \neq (w[i..i+k-1])^R \}|$$

Une valeur $\text{Anast}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une inversion non triviale.

Justification du lien
L’anastrophe consiste à inverser l’ordre habituel des éléments. En combinatoire des mots, cela correspond au renversement local d’un facteur. Le calcul du nombre de positions où un facteur n’est pas égal à son renversement quantifie la densité des inversions possibles dans le mot.

Exemple illustratif
Soit $w =$ « Powerful you have become ».
L’inversion « Powerful you have become » au lieu de « You have become powerful » correspond au renversement de l’ordre sujet-verbe-objet.
Donc $\text{Anast}(w) \ge 1$.

13. Anecdote – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’anecdote est un récit bref d’un événement intéressant, amusant ou biographique. Elle sert à illustrer un propos, à humaniser un argument ou à créer un effet de pathos. Le terme vient du grec anekdotos (« non publié »), désignant à l’origine des histoires secrètes. En rhétorique, elle fonctionne comme un exemplum condensé.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à sous-mot narratif (ou anecdote factor).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une anecdote de longueur kkk est un facteur $u$ de $w$ de longueur $k$ qui apparaît une seule fois et qui est entouré de facteurs plus longs qui le contextualisent. Formellement, $u$u est un facteur isolé :

$$w = xuy \quad \text{avec } |u| = k, \quad m(u) = 1$$

où $m(u)$ désigne la multiplicité de $u$ dans $w$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’anecdotes possibles peut être défini comme :

$$\text{Anec}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid m(u) = 1 \ \text{et} \ |u| \ge 2 \}|$$

Une valeur $\text{Anec}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur unique susceptible de servir de récit bref.

Justification du lien
L’anecdote est un récit bref et unique qui illustre un propos plus large. En combinatoire des mots, cela correspond à un facteur qui n’apparaît qu’une seule fois dans le mot, et qui est donc « isolé » comme une unité narrative. Le comptage de ces facteurs uniques quantifie le nombre de récits brefs possibles dans le texte.

Exemple illustratif
Soit $w =$« When I was a child I met a man who told me a story ».
Le facteur « met a man » apparaît une seule fois.
Donc $\text{Anec}(w) \ge 1$.

14. Antanaclasis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’antanaclase (du grec antanaklasis, « réflexion ») est la répétition d’un même mot ou d’une même expression dans une phrase, mais avec un sens différent à chaque occurrence. C’est une forme de jeu de mots (pun) fondée sur la polysémie ou l’homonymie. Quintilian la mentionne parmi les figures de répétition. Elle est fréquente dans les slogans et les aphorismes (exemple : « We must all hang together, or assuredly we shall all hang separately »).⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteur polyvalent (ou antanaclasis polyvalence).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une antanaclase de longueur kkk est la répétition d’un facteur $u$ de longueur $k$ dont les occurrences successives sont associées à des interprétations distinctes. Formellement, il existe un facteur $u$u tel que :

$$w = x_1 u x_2 u x_3 \quad \text{avec } |u| = k \ge 1$$

et les deux occurrences de $u$u sont sémantiquement non équivalentes.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’antanaclases peut être défini comme :

$$\text{Antan}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid m(u) \ge 2 \ \text{et} \ \text{les occurrences de } u \text{ admettent des lectures distinctes} \}|$$

Une valeur $\text{Antan}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une répétition à sens changeant.

Justification du lien
L’antanaclase repose sur la répétition formelle d’un élément dont le sens varie. En combinatoire des mots, cela correspond à un facteur qui apparaît plusieurs fois, mais dont les contextes permettent des interprétations différentes. Le comptage de ces facteurs multiples quantifie le potentiel de jeu de mots par répétition.

Exemple illustratif
Soit $w =$« We must all hang together or hang separately ».
Le facteur « hang » apparaît deux fois avec des sens différents (« rester uni » / « être pendu »).
Donc $\text{Antan}(w) \ge 1$.

15. Anticlimax – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’anticlimax (du grec anti- + climax, « contre l’échelle ») est une chute abrupte d’un sujet élevé ou sérieux vers un sujet trivial, banal ou vulgaire. Elle est souvent utilisée pour un effet comique ou satirique. Elle s’oppose au climax (auxèse). Une forme particulière est la catacosmèse, qui ordonne les termes du plus important au moins important.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à complexité décroissante (ou anticlimax complexity drop).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une anticlimax de longueur kkk est une séquence de facteurs dont la complexité factorielle diminue brusquement. Formellement, pour une suite de facteurs $u_1, u_2, \dots, u_m$ de $w$, on a :

$$p(u_1) > p(u_2) > \dots > p(u_m)$$

où $p(u)$ désigne le nombre de facteurs distincts de $u$, et la décroissance est abrupte.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le degré d’anticlimax peut être mesuré par :

$$\text{Anticl}(w) = \max \{ \Delta \mid \exists \text{ suite de facteurs } u_i, \ p(u_i) – p(u_{i+1}) \ge \Delta \}$$

Une valeur $\text{Anticl}(w) \ge 1$indique la présence d’une chute de complexité.

Justification du lien
L’anticlimax repose sur une descente abrupte d’un niveau élevé vers un niveau bas. En combinatoire des mots, cela correspond à une diminution soudaine de la complexité factorielle d’une suite de facteurs successifs. Le calcul de la chute maximale de complexité quantifie la force de l’effet de déception ou de chute.

Exemple illustratif
Soit une suite de facteurs dont les complexités sont 12, 8, 3.
La chute de 12 à 3 correspond à une anticlimax.
Donc $\text{Anticl}(w) \ge 9$.

16. Antimetabole – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’antimétabole (du grec antimetabolē, « renversement ») est la répétition de deux mots ou de courtes expressions dans un ordre inversé pour établir un contraste. Elle constitue une forme spécialisée de chiasme (A-B-B-A). Quintilien la présente comme une forme d’antithèse. Elle est fréquente dans les proverbes et les discours politiques.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à inversion de facteurs (ou antimetabole reversal).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une antimétabole de longueur kkk est la présence de deux facteurs $u$ et $v$ tels que le second facteur est l’inversion du premier. Formellement :

$$w = x_1 uv x_2 vu x_3$$

où $|u| = |v| = k \ge 1$, et $vu$vu est la transposition de $uv$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$w, le nombre d’antimétaboles peut être défini comme :

$$\text{Antim}(w) = |\{ (u, v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid uv \text{ et } vu \text{ apparaissent dans } w \}|$$

Une valeur $\text{Antim}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une inversion de facteurs.

Justification du lien
L’antimétabole repose sur la répétition de deux éléments dans un ordre inversé. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence d’un couple de facteurs $uv$uv et $vu$vu dans le mot. Le comptage de ces paires quantifie le potentiel de contraste par inversion.

Exemple illustratif
Soit $w =$« Ask not what your country can do for you ask what you can do for your country ».
Les facteurs « your country » et « you » apparaissent dans l’ordre inversé.
Donc $\text{Antim}(w) \ge 1$.

17. Antinomy – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique / philosophique (synthèse des sources)
L’antinomie (du grec anti- + nomos, « contre la loi ») désigne une contradiction entre deux conclusions qui semblent également valides et obtenues par un raisonnement correct. Kant l’a popularisée dans la Critique de la raison pure en montrant que la raison pure engendre des thèses et antithèses contradictoires sur des questions métaphysiques. Elle se distingue du simple paradoxe en ce que les deux branches sont défendables.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteurs contradictoires (ou antinomy dual factors).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une antinomie de longueur kkk est la présence de deux facteurs $u$u et $v$v qui mènent à des conclusions formelles contradictoires. Formellement, il existe deux facteurs $u$ et $v$ tels que :

$$u \models P \quad \text{et} \quad v \models \neg P$$

où $P$ est une propriété formelle, et $|u| = |v| = k \ge 1$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$w, le degré d’antinomie peut être mesuré par :

$$\text{Antin}(w) = |\{ (u, v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid u \models P \ \text{et} \ v \models \neg P \}|$$

Une valeur $\text{Antin}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une paire de facteurs contradictoires.

Justification du lien
L’antinomie repose sur deux raisonnements qui aboutissent à des conclusions opposées. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence de deux facteurs qui impliquent des propriétés formelles incompatibles. Le comptage de ces paires quantifie le potentiel de contradiction interne du mot.

Exemple illustratif
Soit un mot contenant les facteurs « le monde a un début » et « le monde n’a pas de début ».
Les deux facteurs mènent à des conclusions contradictoires.
Donc $\text{Antin}(w) \ge 1$.

18. Antiptosis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’antiptose (du grec anti- + ptosis, « échange de cas ») est un type d’enallage dans lequel un cas grammatical est substitué à un autre. Elle est surtout visible dans les langues à déclinaison (latin, grec). En anglais, elle se manifeste principalement avec les pronoms. Elle est liée à l’hendiadys et à l’hypallage.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à substitution de facteur (ou antiptosis case substitution).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une antiptose de longueur kkk est la substitution d’un facteur $u$ par un facteur $v$ de même longueur mais de « cas » différent (formellement, appartenant à une classe d’équivalence différente). Formellement :

$$w = x_1 u x_2 \quad \text{remplacé par} \quad w’ = x_1 v x_2$$

où $|u| = |v| = k \ge 1$ et $u \not\sim v$ (non équivalents grammaticalement).

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’antiptoses peut être défini comme :

$$\text{Antip}(w) = |\{ (u, v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid |u| = |v| \ \text{et} \ u \not\sim v \}|$$

Une valeur $\text{Antip}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une substitution de cas.

Justification du lien
L’antiptose repose sur le remplacement d’une forme grammaticale par une autre. En combinatoire des mots, cela correspond à la substitution d’un facteur par un autre de même longueur mais appartenant à une classe différente. Le comptage de ces substitutions quantifie le potentiel de variation grammaticale.

Exemple illustratif
Soit $w =$« Me Jane, Tarzan ».
Le facteur « Me » est substitué au facteur attendu « I ».
Donc $\text{Antip}(w) \ge 1$.

19. Antistrophe – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’antistrophe (du grec antistrophē, « retournement ») désigne la répétition du même mot ou de la même expression à la fin de phrases ou de clauses successives. Elle est aussi appelée épistrophe ou épiphore. Elle est le pendant de l’anaphore (répétition en début de phrase). L’exemple classique est celui de Cicéron dans la Rhétorique à Herennius.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à suffixe commun répété (ou antistrophe suffix repetition).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une antistrophe de longueur kkk est la répétition d’un même suffixe de longueur $k$ à la fin de plusieurs facteurs consécutifs. Formellement, il existe des facteurs $u_1, u_2, \dots, u_n$un​ tels que :

$$w = x_1 u_1 s \, x_2 u_2 s \, \dots \, x_n u_n s$$w=x1​u1​sx2​u2​s…xn​un​s

où $|s| = k \ge 1$∣s∣=k≥1 et $n \ge 2$n≥2.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le degré d’antistrophe peut être mesuré par :

$$\text{Antis}(w) = \max \{ |s| \mid s \text{ est suffixe de au moins 2 facteurs de } w \}$$

Une valeur $\text{Antis}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une répétition de suffixe.

Justification du lien
L’antistrophe repose sur la répétition d’un même élément en position finale. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence d’un suffixe commun à plusieurs facteurs du mot. Le comptage de ces suffixes quantifie le potentiel de répétition terminale.

Exemple illustratif
Soit $w =$ « Since the time when from our state concord disappeared, liberty disappeared, good faith disappeared, friendship disappeared, the common weal disappeared. »
Le suffixe « disappeared » est répété à la fin de plusieurs clauses.
Donc $\text{Antis}(w) \ge 11$ (longueur de « disappeared »).

20. Antithesis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’antithèse (du grec antithesis, « opposition ») est la juxtaposition d’idées contrastées dans des structures grammaticales parallèles ou équilibrées. Elle peut aussi désigner le second stade du processus dialectique. Elle est décrite par Aristote et Quintilien comme un outil pour rendre les contraires plus saisissants par leur proximité.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteurs contrastés (ou antithesis contrast factors).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une antithèse de longueur kkk est la juxtaposition de deux facteurs $u$ et $v$ de même longueur qui sont formellement opposés. Formellement :

$$w = x_1 u x_2 v x_3$$

où $|u| = |v| = k \ge 1$ et $u$ et $v$ appartiennent à des classes sémantiques ou formelles opposées.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le degré d’antithèse peut être mesuré par :

$$\text{Antith}(w) = |\{ (u, v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid |u| = |v| \ \text{et} \ u \perp v \}|$$

où $u \perp v$ signifie que les deux facteurs sont opposés. Une valeur $\text{Antith}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une paire contrastée.

Justification du lien
L’antithèse repose sur le rapprochement d’éléments opposés dans une structure parallèle. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence de deux facteurs de même longueur qui sont formellement ou sémantiquement opposés. Le comptage de ces paires quantifie le potentiel de contraste du mot.

Exemple illustratif
Soit $w =$« Man proposes, God disposes ».
Les facteurs « proposes » et « disposes » sont opposés et de même longueur.
Donc $\text{Antith}(w) \ge 1$.

21. Antonomasia – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’antonomase (du grec antonomazein, « nommer autrement ») est la substitution d’un épithète, d’un titre ou d’une périphrase à un nom propre, ou inversement l’emploi d’un nom propre pour désigner une qualité générale. Quintilien la décrit comme très fréquente chez les poètes. Elle est apparentée à la métonymie et à la synecdoque.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à substitution d’épithète (ou antonomasia epithet substitution).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une antonomase de longueur kkk est la substitution d’un facteur propre $u$ (nom propre) par un facteur descriptif $v$ de longueur $k$. Formellement :

$$w = x_1 u x_2 \quad \text{remplacé par} \quad w’ = x_1 v x_2$$

où $|v| = k \ge 1$ et $v$ est un épithète ou une périphrase de $u$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’antonomases peut être défini comme :

$$\text{Anton}(w) = |\{ (u, v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid u \text{ propre} \ \text{et} \ v \text{ descriptif de } u \}|$$

Une valeur $\text{Anton}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une substitution d’épithète.

Justification du lien
L’antonomase repose sur le remplacement d’un nom propre par une description. En combinatoire des mots, cela correspond à la substitution d’un facteur (nom) par un autre facteur (épithète). Le comptage de ces substitutions quantifie le potentiel de variation désignative.

Exemple illustratif
Soit $w =$« The little corporal conquered Europe ».
Le facteur « Napoleon » est remplacé par « The little corporal ».
Donc $\text{Anton}(w) \ge 1$.

22. Apophasis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’apophase (du grec apophasis, « dénégation ») consiste à prétendre nier ou passer sous silence une chose tout en l’affirmant implicitement. Elle est aussi appelée paralipsis, praeteritio ou occupatio. L’exemple classique est « Je ne dirai pas que je te l’avais bien dit ». Elle permet d’introduire un sujet tout en se dégageant de la responsabilité de l’avoir mentionné.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteur nié mais présent (ou apophasis negated presence).

Définition mathématique
Soit $w$w un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une apophase de longueur kkk est la présence d’un facteur $u$ de longueur $k$ qui est formellement nié par un préfixe négatif mais qui apparaît néanmoins. Formellement :

$$w = x_1 \text{non} \, u \, x_2$$w=x1​nonux2​

où $|u| = k \ge 1$ et le préfixe « non » (ou équivalent) nie la mention de $u$u tout en le faisant apparaître.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’apophases peut être défini comme :

$$\text{Apoph}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid \exists \text{ préfixe négatif } n \ \text{tel que} \ n u \in \mathrm{Fact}(w) \}|$$

Une valeur $\text{Apoph}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur nié mais mentionné.

Justification du lien
L’apophase repose sur la présence d’un élément sous le couvert d’une dénégation. En combinatoire des mots, cela correspond à un facteur qui apparaît après un marqueur de négation. Le comptage de ces facteurs quantifie le potentiel de dénégation affirmative.

Exemple illustratif
Soit $w =$« I shall not mention Caesar’s avarice, nor his cunning, nor his morality ».
Les facteurs « avarice », « cunning » et « morality » apparaissent après des négations.
Donc $\text{Apoph}(w) \ge 3$.

23. Aporia – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’aporie (du grec aporia, « impasse ») est l’expression d’un doute, réel ou feint, à des fins rhétoriques. Elle permet d’engager l’auditoire, de souligner la complexité d’un sujet ou de préparer une affirmation. Elle est aussi appelée dubitatio. L’exemple classique est « Par où commencer ? ».

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteurs ambigus (ou aporia ambiguous factors).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une aporie de longueur kkk est la présence de deux facteurs $u$ et $v$ de longueur $k$ qui sont formellement incompatibles ou dont la juxtaposition crée une indécision. Formellement :

$$w = x_1 u x_2 v x_3$$

où $|u| = |v| = k \ge 1$ et $u$ et $v$ sont en tension (par exemple, l’un affirme et l’autre doute).

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le degré d’aporie peut être mesuré par :

$$\text{Apor}(w) = |\{ (u, v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid |u| = |v| \ \text{et} \ u \not\sim v \}|$$

où $u \not\sim v$ signifie que les deux facteurs sont incompatibles ou en tension. Une valeur $\text{Apor}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une paire ambiguë.

Justification du lien
L’aporie repose sur l’expression d’une indécision. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence de facteurs incompatibles ou en tension. Le comptage de ces paires quantifie le potentiel d’ambiguïté délibérée.

Exemple illustratif
Soit $w =$« To be, or not to be ».
Les facteurs « to be » et « not to be » sont en tension.
Donc $\text{Apor}(w) \ge 1$.

24. Aposiopesis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’aposiopèse (du grec aposiopesis, « devenir silencieux ») est l’interruption abrupte d’une phrase, laissant la suite à l’imagination de l’auditeur. Elle marque souvent une émotion intense (colère, peur, pudeur) ou une réticence. L’exemple classique est « Quos ego— » chez Virgile.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot tronqué (ou aposiopesis truncated word).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une aposiopèse de longueur kkk est un préfixe propre $u$u de longueur $k$ qui est formellement interrompu avant sa complétion attendue. Formellement :

$$w = u \, \varepsilon$$

où $|u| = k \ge 1$ et $u$ est un préfixe strict d’un mot plus long attendu, marqué par une interruption (tiret, points de suspension).

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’aposiopèses peut être défini comme :

$$\text{Apos}(w) = |\{ u \in \mathrm{Pref}(w) \mid u \text{ est interrompu} \}|$$

Une valeur $\text{Apos}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur tronqué.

Justification du lien
L’aposiopèse repose sur l’interruption d’une séquence avant sa fin. En combinatoire des mots, cela correspond à un préfixe qui n’est pas prolongé jusqu’à un mot complet. Le comptage de ces préfixes quantifie le potentiel d’interruption.

Exemple illustratif
Soit $w =$« Get out, or else— ».
Le préfixe « Get out, or else » est interrompu.
Donc $\text{Apos}(w) \ge 1$.

25. Apostrophe – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’apostrophe (du grec apostrophē, « détour ») est une figure qui consiste à interrompre le discours pour s’adresser directement, souvent avec émotion, à une personne absente, morte, ou à une chose inanimée ou abstraite. L’exemple classique est « Ô Mort, où est ton aiguillon ? ».⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à adresse vocative (ou apostrophe vocative word).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une apostrophe de longueur kkk est un facteur $u$u de longueur $k$ qui est formellement marqué comme une adresse directe (souvent introduite par « Ô » ou un vocatif). Formellement :

$$w = x_1 \, \text{O} \, u \, x_2$$

où $|u| = k \ge 1$ et $u$ est un facteur vocatif ou adressé.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’apostrophes peut être défini comme :

$$\text{Apost}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u \text{ est un vocatif ou précédé de « O »} \}|$$

Une valeur $\text{Apost}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une adresse directe.

Justification du lien
L’apostrophe repose sur un détour vers une adresse directe. En combinatoire des mots, cela correspond à un facteur qui est formellement marqué comme destinataire. Le comptage de ces facteurs quantifie le potentiel d’adresse vocative.

Exemple illustratif
Soit $w =$« O death, where is thy sting? ».
Le facteur « death » est précédé de « O ».
Donc $\text{Apost}(w) \ge 1$.

26. Arete – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’aretê (du grec aretē, « excellence ») est une composante de l’ethos aristotélicien. Elle désigne la vertu, l’excellence du caractère, les qualités qui inspirent confiance (phronesis, arete, eunoia). L’orateur qui manifeste l’aretê renforce sa crédibilité.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot d’excellence (ou arete excellence word).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une aretê de longueur kkk est un facteur $u$u de longueur $k$ qui est formellement associé à une qualité d’excellence ou de vertu. Formellement :

$$w = x_1 u x_2$$

où $|u| = k \ge 1$ et $u$ appartient à un ensemble de facteurs vertueux (par exemple « wisdom », « courage », « justice »).

Expression formelle computable
Pour un mot $w$w, le nombre d’aretê peut être défini comme :

$$\text{Aret}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u \in V \}|$$

où $V$ est un ensemble fini de mots vertueux. Une valeur $\text{Aret}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur d’excellence.

Justification du lien
L’aretê repose sur l’affichage de qualités excellentes. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence de facteurs qui incarnent ces qualités. Le comptage de ces facteurs quantifie le potentiel d’ethos.

Exemple illustratif
Soit $w =$« good moral character ».
Le facteur « moral » est dans $V$.
Donc $\text{Aret}(w) \ge 1$.

27. Argument – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
Un argument est un discours caractérisé par des raisons avancées pour soutenir une conclusion. En rhétorique, il s’agit d’un raisonnement visant à démontrer la vérité ou la fausseté d’une proposition. L’enthymème est sa forme abrégée.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à chaîne de raisonnement (ou argument reasoning chain).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Un argument de longueur kkk est une séquence de facteurs $u_1, u_2, \dots, u_k$​ qui forment une chaîne de prémisse à conclusion. Formellement :

$$w = x_1 u_1 x_2 u_2 \dots x_k u_k x_{k+1}$$

où chaque $u_i$​ est un facteur de raison ou de conclusion, et $k \ge 2$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’arguments peut être défini comme :

$$\text{Arg}(w) = |\{ (u, v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid u \text{ est une prémisse et } v \text{ est une conclusion} \}|$$

Une valeur $\text{Arg}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une chaîne de raisonnement.

Justification du lien
L’argument repose sur des raisons qui soutiennent une conclusion. En combinatoire des mots, cela correspond à des facteurs qui se succèdent dans une relation de prémisse à conclusion. Le comptage de ces paires quantifie le potentiel argumentatif.

Exemple illustratif
Soit $w =$« All men are mortal. Socrates is a man. Therefore, Socrates is mortal. ».
Les facteurs « All men are mortal » et « Socrates is mortal » forment une chaîne.
Donc $\text{Arg}(w) \ge 1$.

28. Argumentum ad baculum – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’argumentum ad baculum (du latin « argument du bâton ») consiste à régler une question en faisant appel à la force ou à la menace de force pour obtenir l’acceptation d’une conclusion, indépendamment de sa vérité. C’est une forme d’appel aux conséquences négatives.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteur de contrainte (ou baculum constraint factor).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Un baculum de longueur kkk est un facteur $u$ de longueur $k$ qui impose une contrainte ou une menace formelle. Formellement :

$$w = x_1 u x_2$$

où $|u| = k \ge 1$ et $u$ contient un élément de contrainte (par exemple « or else », « or I will »).

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre de baculum peut être défini comme :

$$\text{Bac}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u \text{ contient un marqueur de contrainte} \}|$$

Une valeur $\text{Bac}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur de force.

Justification du lien
L’argumentum ad baculum repose sur l’imposition d’une menace. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence de facteurs qui introduisent une contrainte formelle. Le comptage de ces facteurs quantifie le potentiel de coercition.

Exemple illustratif
Soit $w =$« Agree with me or I will fire you ».
Le facteur « or I will » est un marqueur de contrainte.
Donc $\text{Bac}(w) \ge 1$.

29. Ars dictaminis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots (matière introductive)

Note introductive
L’ars dictaminis est l’art médiéval de la composition épistolaire. Elle structure le discours en parties ordonnées et fournit ainsi un cadre formel pour la combinatoire des mots : chaque partie est une séquence de facteurs dont l’assemblage constitue le mot-lettre. Elle sert donc de matière introductive à l’ensemble des mécanismes qui suivront.⁠

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’ars dictaminis (ou ars dictandi) est la doctrine médiévale de la rédaction des lettres en latin, formalisée à partir du XIe siècle. Elle adapte les parties de l’oratio cicéronienne à la lettre écrite et prescrit généralement cinq parties : salutatio, captatio benevolentiae (ou exordium), narratio, petitio et conclusio.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à structure dictaminale (ou dictamen structured word).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Une structure dictaminale de longueur kkk est une factorisation de $w$ en $k$ facteurs successifs correspondant aux parties prescrites. Formellement :

$$w = u_1 u_2 \dots u_k$$

où $k = 5$ dans le modèle standard, chaque $u_i$ est un facteur non vide associé à une partie (salutatio, captatio, narratio, petitio, conclusio), et $|w| = \sum |u_i|$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$w, le nombre de structures dictaminales peut être défini comme :

$$\text{Dict}(w) = |\{ (u_1, \dots, u_5) \in \mathrm{Fact}(w)^5 \mid w = u_1 u_2 u_3 u_4 u_5 \}|$$

Une valeur $\text{Dict}(w) \ge 1$ indique que $w$w admet au moins une factorisation en cinq parties.

Justification du lien
L’ars dictaminis impose un ordre linéaire de parties. En combinatoire des mots, cela correspond exactement à une factorisation en facteurs successifs. Le comptage de ces factorisations quantifie le potentiel structurel d’un mot à fonctionner comme lettre. Cette structure est le cadre général dans lequel s’inscrivent les autres mécanismes rhétoriques.

Exemple illustratif
Soit $w =$« Worshipful master I greet you well the wool was shipped and I want my money May God keep you well ».
Une factorisation possible est :
$u_1 =$u1​= « Worshipful master » (salutatio),
$u_2 =$u2​= « I greet you well » (captatio),
$u_3 =$u3​= « the wool was shipped » (narratio),
$u_4 =$u4​= « and I want my money » (petitio),
$u_5 =$u5​= « May God keep you well » (conclusio).
Donc $\text{Dict}(w) \ge 1$.

30. Assonance – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’assonance est la répétition de sons voyelles identiques ou similaires dans des mots proches. Elle crée un effet musical sans exiger la rime complète. Elle se distingue de l’allitération (consonnes initiales) et de la consonance (consonnes non initiales).⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteur assonant (ou assonant vowel factor).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$ muni d’une fonction de voyellisation $v : \Sigma \to V$ où $V$ est l’ensemble des sons voyelles. Une assonance de longueur kkk est un facteur $u$u de longueur $k$ dans lequel au moins deux lettres partagent le même son voyelle. Formellement :

$$w = x_1 u x_2$$

où $|u| = k \ge 2$ et il existe $i, j$,avec $1 \le i < j \le k$ tels que $v(u_i) = v(u_j)$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’assonances peut être défini comme :

$$\text{Ass}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid \exists\, i < j,\ v(u_i) = v(u_j) \}|$$

Une valeur $\text{Ass}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur assonant.

Justification du lien
L’assonance repose sur la répétition de sons voyelles. En combinatoire des mots, cela correspond à des facteurs dont au moins deux positions partagent la même image sous une fonction de voyellisation. Le comptage de ces facteurs quantifie le potentiel musical du mot.

Exemple illustratif
Soit $w =$« the rain in Spain stays mainly in the plain ».
Le facteur « rain in Spain » contient plusieurs occurrences du son voyelle long « a ».
Donc $\text{Ass}(w) \ge 1$.

31. Asyndeton – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’asyndéton est l’omission délibérée de conjonctions de coordination (and, or, but, etc.) entre des mots, des syntagmes ou des propositions. Il accélère le rythme et crée un effet de concision ou d’urgence. Il s’oppose au syndéton et au polysyndéton.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à omission de facteur conjonctif (ou asyndetic factor omission).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$ contenant un sous-ensemble $C \subset \Sigma$ de lettres conjonctives. Une omission asyndétique de longueur kkk est un facteur $u$u de longueur $k$ dans lequel aucune lettre de $C$ n’apparaît entre des éléments qui seraient normalement coordonnés. Formellement :

$$w = x_1 u x_2$$

où $|u| = k \ge 2$ et $u \cap C = \emptyset$, alors qu’un facteur comparable de même longueur contiendrait normalement au moins une lettre de $C$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre d’omissions asyndétiques peut être défini comme :

$$\text{Asy}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid |u| \ge 2 \land u \cap C = \emptyset \}|$$

Une valeur $\text{Asy}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur sans conjonction.

Justification du lien
L’asyndéton repose sur l’absence de marqueurs de coordination. En combinatoire des mots, cela correspond à des facteurs dépourvus de lettres conjonctives. Le comptage de ces facteurs quantifie le potentiel de concision du mot.

Exemple illustratif
Soit $w =$ « I came I saw I conquered ».
Le facteur « came I saw I conquered » ne contient aucune conjonction.
Donc $\text{Asy}(w) \ge 1$.

32. Audience – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’audience est le destinataire réel, imaginé, invoqué ou ignoré d’un discours. Elle est au centre de la situation rhétorique. On distingue notamment l’audience adressée (réelle) et l’audience invoquée (construite par le locuteur).⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteur destinataire (ou audience-oriented factor).

Définition mathématique
Soit $w$w un mot sur un alphabet $\Sigma$ muni d’une fonction de destinataire $d : \mathrm{Fact}(w) \to \{0,1\}$ indiquant si un facteur s’adresse à un destinataire. Une orientation destinataire de longueur kkk est un facteur $u$u de longueur $k$ tel que $d(u) = 1$. Formellement :

$$w = x_1 u x_2$$

où $|u| = k$ et $d(u) = 1$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre de facteurs destinataires peut être défini comme :

$$\text{Aud}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid d(u) = 1 \}|$$

Une valeur $\text{Aud}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur orienté vers un destinataire.

Justification du lien
L’audience suppose une orientation vers un destinataire. En combinatoire des mots, cela correspond à des facteurs marqués comme destinataires par une fonction $d$. Le comptage de ces facteurs quantifie le potentiel adressé du mot.

Exemple illustratif
Soit $w =$« Dear reader the text addresses you ».
Le facteur « Dear reader » est marqué comme destinataire.
Donc $\text{Aud}(w) \ge 1$.

33. Aureation – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’aureation est l’emploi de termes latinisés et polysyllabiques pour « dorer » ou rehausser la diction. Elle vise à élever le style vernaculaire par des emprunts savants, comme chez Dunbar ou Lydgate. Elle s’oppose à la langue simple.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteur aureate (ou aureate length factor).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$ muni d’une fonction de longueur syllabique $\ell : \mathrm{Fact}(w) \to \mathbb{N}$. Une aureation de seuil sss est un facteur $u$u tel que $\ell(u) \ge s$ (typiquement $s \ge 3$). Formellement :

$$w = x_1 u x_2$$

où $\ell(u) \ge s$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$ et un seuil $s$, le nombre de facteurs aureates peut être défini comme :

$$\text{Aur}_s(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid \ell(u) \ge s \}|$$

Une valeur $\text{Aur}_s(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur polysyllabique.

Justification du lien
L’aureation repose sur la longueur et l’origine savante des termes. En combinatoire des mots, cela correspond à des facteurs dont la longueur syllabique dépasse un seuil. Le comptage de ces facteurs quantifie le potentiel ornemental du mot.

Exemple illustratif
Soit $w =$« the goldyn candill matutyne with clere depurit bemes cristallyne ».
Les facteurs « matutyne », « depurit » et « cristallyne » ont une longueur syllabique élevée.
Donc $\text{Aur}_3(w) \ge 1$.

34. Auxesis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)
L’auxesis est l’arrangement de mots ou de phrases dans un ordre croissant de force ou d’importance pour produire un effet climactique. Elle est parfois appelée incrementum et se distingue du climax strict par l’absence de liens internes obligatoires entre les termes. Elle peut aussi désigner l’amplification ou l’hyperbole.⁠

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteur auxétique (ou ascending order factor).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$ muni d’une fonction d’intensité $\iota : \mathrm{Fact}(w) \to \mathbb{R}$. Une auxesis de longueur kkk est une séquence de facteurs $u_1, u_2, \dots, u_k$ tels que $\iota(u_1) < \iota(u_2) < \dots < \iota(u_k)$. Formellement :

$$w = x_0 u_1 x_1 u_2 x_2 \cdots u_k x_k$$

où $\iota(u_i) < \iota(u_{i+1})$ pour tout $i$.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$ et une longueur $k$, le nombre d’auxeses peut être défini comme :

$$\text{Aux}_k(w) = |\{ (u_1, \dots, u_k) \in \mathrm{Fact}(w)^k \mid \iota(u_1) < \iota(u_2) < \cdots < \iota(u_k) \}|$$

Une valeur $\text{Aux}_k(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins une séquence croissante.

Justification du lien
L’auxesis repose sur un ordre croissant d’intensité. En combinatoire des mots, cela correspond à des séquences de facteurs dont les intensités sont strictement croissantes. Le comptage de ces séquences quantifie le potentiel climactique du mot.

Exemple illustratif
Soit $w =$« good better best ».
Les facteurs « good », « better » et « best » forment une séquence d’intensité croissante.
Donc $\text{Aux}_3(w) \ge 1$.

35. Axioms – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique / logique (synthèse des sources)
Les axiomes sont les principes premiers, non démontrés, à partir desquels le raisonnement scientifique ou logique commence. Ils sont acceptés sans question comme points de départ. Chez Aristote et Euclide, ils sont les fondements communs ou spécifiques d’une science.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots
Nom proposé : Mot à facteur primitif (ou axiomatic primitive factor).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot sur un alphabet $\Sigma$. Un facteur primitif (ou racine primitive) est un facteur $u$ tel que $u$ n’est pas une puissance propre d’un autre mot, c’est-à-dire $u = v^k$ implique $k = 1$. Formellement :

$$w = x_1 u x_2$$

où $u$ est primitif.

Expression formelle computable
Pour un mot $w$, le nombre de facteurs primitifs peut être défini comme :

$$\text{Prim}(w) = |\{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u \text{ est primitif} \}|$$

Une valeur $\text{Prim}(w) \ge 1$ indique la présence d’au moins un facteur primitif servant de base.

Justification du lien
Les axiomes sont les points de départ non dérivés. En combinatoire des mots, les mots primitifs sont les générateurs non décomposables en puissances. Les facteurs primitifs jouent le rôle de « axiomes » à partir desquels d’autres facteurs peuvent être construits par répétition.

Exemple illustratif
Soit $w =$« abab ».
Le facteur « ab » est primitif (car « ab » n’est pas une puissance propre).
Donc $\text{Prim}(w) \ge 1$ nécessitent une fonction externe (sémantique, pragmatique ou grammaticale) pour être opérationnels.

Liste des définitions de mécanismes en combinatoire des mots utilisées dans le glossaire à la lettre A

Voici les mécanismes proposés pour chaque terme rhétorique, tels que formulés dans les traitements successifs :

• Accumulatio : Mot à accumulation de facteurs (somme ou conjonction de facteurs répétés).
• Actio : Mot à facteur d’action (facteur marqué par une fonction d’exécution ou de performance).
• Ad hominem : Mot à facteur ad personam (facteur orienté vers un attribut personnel plutôt que vers le contenu).
• Adianoeta : Mot à facteur à double sens (facteur porteur de deux interprétations, une évidente et une subtile).
• Alliteration : Mot à facteur d’attaque identique (facteurs partageant le même préfixe initial).
• Amphiboly : Mot à facteur structurellement ambigu (facteur dont la structure syntaxique admet plusieurs analyses).
• Amplification : Mot à facteur étendu (facteur prolongé par ajout de dépendants ou de répétitions).
• Anacoenosis : Mot à facteur interrogatif adressé (facteur formulé comme une question dirigée vers un destinataire).
• Anadiplosis : Mot à facteur de liaison (facteur final d’un segment servant de facteur initial du segment suivant).
• Analogy : Mot à facteur parallèle (facteur présentant une structure formelle comparable à un autre).
• Anaphora : Mot à facteur initial répété (séquence de facteurs partageant le même préfixe).
• Anastrophe : Mot à facteur inversé (facteur dont l’ordre des lettres ou des constituants est renversé).
• Anecdote : Mot à facteur narratif bref (facteur formant une unité narrative autonome de faible longueur).
• Antanaclasis : Mot à facteur polysémique répété (même facteur utilisé avec des sens distincts).
• Anticlimax : Mot à facteur descendant (séquence de facteurs d’intensité décroissante).
• Antimetabole : Mot à facteur chiasmatique (paire de facteurs dont l’ordre est renversé).
• Antinomy : Mot à facteurs contradictoires (paire de facteurs conduisant à des conclusions opposées).
• Antiptosis : Mot à facteur de substitution casuelle (facteur dont le cas grammatical est substitué).
• Antistrophe : Mot à facteur final répété (séquence de facteurs partageant le même suffixe).
• Antithesis : Mot à facteurs contrastés (paire de facteurs en opposition formelle ou sémantique).
• Antonomasia : Mot à facteur épithétique (facteur substituant une description à un nom propre).
• Apophasis : Mot à facteur de dénégation affirmative (facteur niant explicitement ce qu’il affirme implicitement).
• Aporia : Mot à facteur de doute (facteur marqué par une fonction d’incertitude).
• Aposiopesis : Mot à facteur tronqué (facteur interrompu avant sa complétion attendue).
• Apostrophe : Mot à facteur d’adresse exclamative (facteur orienté vers un destinataire imaginaire).
• Arete : Mot à facteur d’excellence (facteur marqué par une fonction de valeur positive).
• Argument : Mot à facteur de raison (facteur servant de prémisse à une conclusion).
• Argumentum ad baculum : Mot à facteur de force (facteur invoquant une contrainte ou une menace).
• Ars dictaminis : Mot à structure épistolaire (factorisation en parties canoniques d’une lettre).
• Assonance : Mot à facteur vocalique répété (facteurs partageant le même noyau vocalique).
• Asyndeton : Mot à facteur sans conjonction (séquence de facteurs non reliés par un connecteur).
• Audience : Mot à facteur destinataire (facteur marqué par une fonction d’adresse).
• Aureation : Mot à facteur polysyllabique (facteur dont la longueur syllabique dépasse un seuil).
• Auxesis : Mot à facteur d’intensité croissante (séquence de facteurs d’intensité strictement croissante).
• Axioms : Mot à facteur primitif (facteur non décomposable en puissance propre).

Classement de la solidité de la correspondance

Rang 1 – Correspondances structurellement solides (ancrage formel fort dans la combinatoire des mots)

• Alliteration : préfixe commun → notion classique de préfixe / bord.
• Anaphora : répétition de préfixe → factorisation avec préfixe partagé.
• Antistrophe : répétition de suffixe → factorisation avec suffixe partagé.
• Anadiplosis : liaison par facteur terminal/initial → chevauchement de facteurs.
• Antimetabole : inversion d’ordre → conjugaison / renversement.
• Asyndeton : absence de connecteur → factorisation sans élément de liaison.
• Axioms : facteur primitif → notion standard de mot primitif.
• Ars dictaminis : structure canonique en parties → factorisation en blocs ordonnés.

Rang 2 – Correspondances raisonnablement fondées (lien formel plausible, mais partiellement sémantique)

• Assonance : noyau vocalique partagé → abstraction sur l’alphabet des voyelles.
• Amphiboly : ambiguïté structurelle → non-unicité de la factorisation.
• Anastrophe : inversion → renversement ou conjugaison.
• Antithesis : opposition → paire de facteurs en relation d’opposition.
• Auxesis : ordre croissant → séquence ordonnée de facteurs.
• Anticlimax : ordre décroissant → séquence ordonnée inverse.
• Aureation : longueur syllabique → fonction de longueur sur les facteurs.
• Amplification : extension → ajout de facteurs dépendants.

Rang 3 – Correspondances partiellement formelles (lien possible, mais fortement dépendant d’une fonction externe)

• Adianoeta : double interprétation → facteur avec deux lectures.
• Antanaclasis : répétition polysémique → même facteur, lectures multiples.
• Audience : orientation destinataire → fonction d’adresse sur les facteurs.
• Apostrophe : adresse exclamative → fonction d’adresse.
• Anacoenosis : question adressée → facteur interrogatif.
• Argument : prémisse → facteur servant de base à une dérivation.
• Analogy : parallélisme → morphisme ou isomorphisme de facteurs.

Rang 4 – Correspondances superficielles ou métaphoriques (lien essentiellement analogique ou sémantique)

• Accumulatio : accumulation → somme de facteurs.
• Actio : action → fonction d’exécution.
• Ad hominem : attaque personnelle → fonction d’orientation.
• Anecdote : récit bref → facteur narratif.
• Antiptosis : substitution de cas → fonction grammaticale.
• Antonomasia : épithète → fonction de substitution.
• Apophasis : dénégation → fonction de négation.
• Aporia : doute → fonction d’incertitude.
• Aposiopesis : interruption → facteur tronqué.
• Arete : excellence → fonction de valeur.
• Argumentum ad baculum : force → fonction de contrainte.
• Antinomy : contradiction → facteurs contradictoires.

Critères de classement utilisés

1. Degré d’ancrage dans des notions standard de la combinatoire des mots (préfixe, suffixe, facteur, primitivité, conjugaison, bord, etc.).
2. Possibilité de définir le mécanisme par une propriété purement formelle (sans fonction sémantique externe).
3. Computabilité directe à partir de la structure du mot.
4. Distance par rapport à une simple métaphore rhétorique.

Les rangs 1 et 2 reposent sur des propriétés combinatoires classiques ; les rangs 3 et 4 nécessitent une fonction externe (sémantique, pragmatique ou grammaticale) pour être opérationnels.

Synthèse : Liste des définitions et Classement de la solidité

Liste des définitions de mécanismes en combinatoire des mots

Voici un rappel des mécanismes proposés, traduisant chaque terme rhétorique :

• Accumulatio : Mot à accumulation de facteurs (somme pondérée).
• Actio : Mot à facteur d’action (transduction paramétrée).
• Ad hominem : Mot à facteur ad personam (attaque de générateur).
• Adianoeta : Mot à double interprétation morphique.
• Alliteration : Mot à préfixe initial répété.
• Amphiboly : Mot à factorisation syntaxique ambiguë.
• Amplification : Mot à extension morphique.
• Anacoenosis : Mot à consultation morphique.
• Anadiplosis : Mot à bordure enchaînée (chevauchement suffixe-préfixe).
• Analogy : Mot à morphisme similaire (correspondance structurelle).
• Anaphora : Mot à préfixe initial commun.
• Anastrophe : Mot à facteur inversé (renversement).
• Anecdote : Mot à sous-mot narratif isolé.
• Antanaclasis : Mot à facteur polyvalent répété.
• Anticlimax : Mot à complexité factorielle décroissante.
• Antimetabole : Mot à inversion chiasmatique de facteurs.
• Antinomy : Mot à facteurs formellement contradictoires.
• Antiptosis : Mot à substitution de facteur casuel.
• Antistrophe : Mot à suffixe commun répété.
• Antithesis : Mot à facteurs contrastés.
• Antonomasia : Mot à substitution d’épithète.
• Apophasis : Mot à facteur nié mais présent.
• Aporia : Mot à facteurs ambigus ou en tension.
• Aposiopesis : Mot à facteur tronqué.
• Apostrophe : Mot à adresse vocative.
• Arete : Mot d’excellence ou de vertu.
• Argument : Mot à chaîne de raisonnement (prémisse à conclusion).
• Argumentum ad baculum : Mot à facteur de contrainte.
• Ars dictaminis : Mot à structure épistolaire dictaminale (5 parties).
• Assonance : Mot à facteur vocalique répété.
• Asyndeton : Mot à omission de facteur conjonctif.
• Audience : Mot à facteur destinataire.
• Aureation : Mot à facteur polysyllabique (seuil de longueur).
• Auxesis : Mot à séquence de facteurs d’intensité croissante.
• Axioms : Mot à facteur primitif.

Classement de la solidité de la correspondance

Rang 1 – Correspondances structurellement solides (ancrage formel fort dans la combinatoire des mots)

• Alliteration : préfixe commun.
• Anaphora : répétition de préfixe.
• Antistrophe : répétition de suffixe.
• Anadiplosis : liaison par chevauchement de facteurs (bord).
• Antimetabole : inversion d’ordre (renversement).
• Asyndeton : absence de connecteur.
• Axioms : facteur primitif.
• Ars dictaminis : structure canonique en blocs ordonnés.

Rang 2 – Correspondances raisonnablement fondées (lien formel plausible)

• Assonance : abstraction sur l’alphabet des voyelles.
• Amphiboly : non-unicité de la factorisation.
• Anastrophe : renversement local.
• Antithesis : paire de facteurs en relation d’opposition formelle.
• Auxesis : séquence ordonnée croissante.
• Anticlimax : séquence ordonnée inverse.
• Aureation : fonction de longueur syllabique.
• Amplification : morphisme d’extension.

Rang 3 – Correspondances partiellement formelles (dépendance d’une fonction externe sémantique ou grammaticale)

• Adianoeta : double interprétation.
• Antanaclasis : répétition polysémique.
• Audience / Apostrophe / Anacoenosis : fonctions d’adresse ou d’interrogation.
• Argument : relation prémisse/conclusion.
• Analogy : isomorphisme de facteurs.

Rang 4 – Correspondances superficielles ou métaphoriques (lien analogique)

• Accumulatio : somme de facteurs.
• Actio : fonction d’exécution/performance.
• Ad hominem / Antiptosis / Antonomasia / Apophasis / Aporia / Aposiopesis / Arete / Argumentum ad baculum / Antinomy / Anecdote : Ces correspondances reposent davantage sur une assignation contextuelle, narrative, sémantique, ou de contrainte, et s’éloignent de la combinatoire pure.

I) L’isomorphisme original entre les figures de rhétorique classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots altis radicibus.*

( « Aux racines profondes »*, désigne une pensée solide, structurée et ancrée sur des bases intellectuelles fortes.)

1. Accumulatio – Accumulation factorielle

Définition. Soit $w$ un mot fini sur un alphabet fini $\Sigma$. Soit $\mathrm{Fact}(w)$ l’ensemble des facteurs de $w$. À chaque facteur $u$u on associe une fonction de poids $\varphi(u)$. L’opérateur d’accumulation est :

$$A(w) = \sum_{u \in \mathrm{Fact}(w)} \varphi(u) \cdot m(u)$$

où $m(u)$ désigne la multiplicité de $u$.

Accumulation par longueur. Pour la longueur $k$ :

$$A_k(w) = \sum_{i=1}^{n-k+1} \varphi(a_i \cdots a_{i+k-1})$$

L’accumulation totale s’écrit :

$$A(w) = \sum_{k=1}^{n} A_k(w)$$

Exemple. Pour $w = ababa$ on obtient $A(w) = 35$.

2. Actio – Opérateur de réalisation

Définition. L’ensemble des réalisations possibles de $w$w est l’image sous une famille de morphismes paramétrés :

$$R(w) = \{ \mu_\theta(w) \mid \theta \in \Theta \}$$

Pour des paramètres de rythme $r = (r_1,\dots,r_n)$ et d’intensité $i = (i_1,\dots,i_n)$ :

$$\mu_{r,i}(w) = (a_1,r_1,i_1)\ (a_2,r_2,i_2)\ \cdots\ (a_n,r_n,i_n)$$

Mesure de variation.

$$\mathrm{Var}(\mu_{r,i}(w)) = \sum_{j=1}^{n-1} \bigl( |r_{j+1}-r_j| + |i_{j+1}-i_j| \bigr)$$

3. Ad hominem – Substitution contextuelle de générateur

Définition. Pour un vecteur d’attributs extrinsèques $c = (c_1,\dots,c_n)$ :

$$\mu_{\mathrm{ad}}(w) = \psi(c_1)\ \psi(c_2)\ \cdots\ \psi(c_n)$$

Perte sémantique.

$$\delta\bigl(w,\mu_{\mathrm{ad}}(w)\bigr) = |w| – \bigl| \mathrm{Fact}(w) \cap \mathrm{Fact}(\mu_{\mathrm{ad}}(w)) \bigr|$$

4. Adianoeta – Mot à double occurrence factorielle

Définition. Un mot présente une adianoeta lorsque le nombre d’interprétations morphiques non triviales est au moins égal à 2 :

$$\mathrm{Amb}(w) = \bigl| \{ \mu \mid \mu(w) = w,\ \mu \text{ non trivial} \} \bigr|$$

Version factorielle.

$$\mathrm{Fact}_2(w) = \bigl| \{ (u,v) \mid w = uv = vu’,\ |u| \neq |v| \} \bigr|$$

5. Alliteration – Mot à préfixe initial répété

Définition. Score d’allitération pour une lettre $a$ :

$$\mathrm{Allit}(w,a) = \max\bigl\{ k \mid \exists\, i_1 < \cdots < i_k,\ a_{i_j} = a \bigr\}$$

Degré maximal.

$$\mathrm{Allit}(w) = \max_{a \in \Sigma} \mathrm{Allit}(w,a)$$

6. Amphiboly – Mot à factorisation multiple

Définition. $w$ admet une amphibolie lorsqu’il possède au moins deux factorisations distinctes non triviales :

$$\mathrm{Amph}(w) = \bigl| \{ (u,v) \mid w = uv = u’v’,\ (u,v) \neq (u’,v’),\ |u|,|v| \ge 1 \} \bigr|$$

Une valeur $\mathrm{Amph}(w) \ge 1$ certifie une double lecture structurelle.

7. Amplification – Opérateur d’extension morphique

Définition. Amplification maximale :

$$\mathrm{Amp}(w) = \max\Bigl\{ \frac{|\mu(w)|}{|w|} \Bigm| \mu\ \text{morphisme non-effaçant},\ |\mu(a)| \ge 1\ \forall a \Bigr\}$$

Nombre de caractères ajoutés.

$$\mathrm{Add}(w) = |\mu(w)| – |w|$$

8. Anacoenosis – Opérateur de consultation morphique

Définition. Ensemble des morphismes conservant une attache avec $w$ :

$$M(w) = \{ \mu \mid \exists\, u,\ |u| \ge 1,\ u \in \mathrm{Fact}(w) \cap \mathrm{Fact}(\mu(w)) \}$$

Degré de consultation.

$$\mathrm{Anac}(w) = \bigl| \{ \mu \mid \mathrm{Fact}_{\ge 2}(w) \cap \mathrm{Fact}_{\ge 2}(\mu(w)) \neq \emptyset \} \bigr|$$

9. Anadiplosis – Mot à bordure enchaînée

Définition. Il existe une factorisation $w = xyz$ telle que :

$$u = \mathrm{Suff}_k(x) = \mathrm{Pref}_k(y),\quad |u| = k \ge 1$$

Détection.

$$\mathrm{Anad}(w) = \bigl| \{ i \mid \exists\, k \ge 1,\ w[i-k+1 \dots i] = w[i+1 \dots i+k] \} \bigr|$$

10. Analogy – Mot à morphisme similaire

Définition. Soit $w$ et $w’$ deux mots sur des alphabets éventuellement distincts. Ils sont analogues s’il existe un morphisme $\mu$ tel que les structures factorielles présentent une correspondance :

$$\mathrm{Fact}(w) \sim \mathrm{Fact}(\mu(w’))$$

Degré d’analogie. Nombre maximal de facteurs communs de longueur $k$ sous morphisme :

$$\mathrm{Anal}(w, w’) = \max \bigl\{ \bigl| \mathrm{Fact}_k(w) \cap \mathrm{Fact}_k(\mu(w’)) \bigr| \bigm| \mu \text{ morphisme},\ k \ge 1 \bigr\}$$

11. Anaphora – Mot à préfixe anaphorique

Définition. Soit $w$ décomposé en facteurs successifs $w = w_1 w_2 \dots w_n$ Une anaphore de longueur $k$ est présente si tous les facteurs commencent par le même préfixe $u$ :

$$\mathrm{Pref}_k(w_1) = \mathrm{Pref}_k(w_2) = \dots = \mathrm{Pref}_k(w_n) = u, \quad |u| = k \ge 1$$

Degré d’anaphore.

$$\mathrm{Anap}(w) = \max \bigl\{ k \bigm| \exists\, \text{découpage } w = w_1 \dots w_n,\ \mathrm{Pref}_k(w_i) = \mathrm{Pref}_k(w_j)\ \forall i,j \bigr\}$$

12. Anastrophe – Mot à inversion anastrophique

Définition. Il existe un facteur $u$ de longueur $k$ tel que le mot naturel $w = xuy$ devient $w’ = xu^R y$, où $u^R$ désigne le renversement de $u$.

Nombre de positions d’anastrophe.

$$\mathrm{Anast}(w) = \bigl| \{ i \mid \exists\, k \ge 2,\ w[i \dots i+k-1] \neq (w[i \dots i+k-1])^R \} \bigr|$$

13. Anecdote – Mot à sous-mot narratif

Définition. Soit $u$ un facteur isolé tel que $w = xuy$ avec $|u| = k$ et multiplicité $m(u) = 1$.

Nombre d’anecdotes.

$$\mathrm{Anec}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid m(u) = 1 \text{ et } |u| \ge 2 \} \bigr|$$

14. Antanaclasis – Mot à facteur polyvalent

Définition. Il existe un facteur $u$ tel que $w = x_1 u x_2 u x_3$​ avec $|u| = k \ge 1$ les deux occurrences de $u$ n’étant pas sémantiquement équivalentes.

Potentiel d’antanaclase.

$$\mathrm{Antan}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid m(u) \ge 2 \text{ et les occurrences admettent des lectures distinctes} \} \bigr|$$

15. Anticlimax – Mot à complexité décroissante

Définition. Pour une suite de facteurs consécutifs $u_1, u_2, \dots, u_m$ de $w$, on observe une décroissance stricte de leur complexité factorielle $p(u)$ :

$$p(u_1) > p(u_2) > \dots > p(u_m)$$

Chute maximale de complexité.

$$\mathrm{Anticl}(w) = \max \bigl\{ \Delta \bigm| \exists\, \text{suite de facteurs } u_i,\ p(u_i) – p(u_{i+1}) \ge \Delta \bigr\}$$

16. Antimetabole – Mot à inversion de facteurs

Définition. Une antimétabole est définie par l’inversion de l’ordre de deux facteurs $u$ et $v$ de même longueur $|u| = |v| = k \ge 1$, de sorte que le mot s’écrive $w = x_1 uv x_2 vu x_3$

Décompte.

$$\mathrm{Antim}(w) = \bigl| \{ (u,v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid uv \text{ et } vu \text{ apparaissent tous deux dans } w \} \bigr|$$

17. Antinomy – Mot à facteurs contradictoires

Définition. Il existe deux facteurs $u$ et $v$ de même longueur $|u| = |v| = k \ge 1$ menant à des déductions opposées :

$$u \models P \quad \text{et} \quad v \models \neg P$$

Degré d’antinomie.

$$\mathrm{Antin}(w) = \bigl| \{ (u,v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid u \models P \text{ et } v \models \neg P \} \bigr|$$

18. Antiptosis – Mot à substitution de facteur

Définition. Le mot naturel attendu $w = x_1 u x_2$est remplacé par $w’ = x_1 v x_2$​, où $|u| = |v| = k \ge 1$ et $u \not\equiv v$ (classes d’équivalence grammaticale distinctes).

Nombre de substitutions.

$$\mathrm{Antip}(w) = \bigl| \{ (u,v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid |u| = |v| \text{ et } u \not\equiv v \} \bigr|$$

19. Antistrophe – Mot à suffixe commun répété

Définition. Il existe des facteurs $u_1, u_2, \dots, u_n$,un​ partageant un suffixe commun $s$ de longueur $k \ge 1$ avec $n \ge 2$, tels que le mot s’écrit :

$$w = x_1 u_1 s x_2 u_2 s \dots x_n u_n s$$

Degré d’antistrophe.

$$\mathrm{Antis}(w) = \max \bigl\{ |s| \bigm| s \text{ est suffixe d’au moins 2 facteurs de } w \bigr\}$$

20. Antithesis – Mot à facteurs contrastés

Définition. Une antithèse de longueur $k$ est la juxtaposition de deux facteurs $u$ et $v$ de même longueur $|u| = |v| = k \ge 1$ formellement opposés :

$$w = x_1 u x_2 v x_3$$

Degré d’antithèse.

$$\mathrm{Antith}(w) = \bigl| \{ (u,v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid |u| = |v| \text{ et } u \perp v \} \bigr|$$

21. Antonomasia – Mot à substitution d’épithète

Définition. Le mot naturel $w = x_1 u x_2$​ (où $u$u est un nom propre) est remplacé par $w’ = x_1 v x_2$, où $|v| = k \ge 1$ et $v$ agit comme épithète ou périphrase de $u$.

Potentiel d’antonomase.

$$\mathrm{Anton}(w) = \bigl| \{ (u,v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid u \text{ est propre et } v \text{ est descriptif de } u \} \bigr|$$

22. Apophasis – Mot à facteur nié mais présent

Définition. Un facteur $u$u de longueur $k \ge 1$ est formellement introduit par un préfixe de négation :

$$w = x_1 \text{non } u x_2$$

Nombre d’apophases.

$$\mathrm{Apoph}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid \exists \text{ préfixe négatif } n \text{ tel que } nu \in \mathrm{Fact}(w) \} \bigr|$$

23. Aporia – Mot à facteurs ambigus

Définition. Il existe deux facteurs $u$ et $v$ de même longueur $|u| = |v| = k \ge 1$ créant une indécision ou une tension :

$$w = x_1 u x_2 v x_3$$

Degré d’aporie.

$$\mathrm{Apor}(w) = \bigl| \{ (u,v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid |u| = |v| \text{ et } u \not\equiv v \} \bigr|$$​

24. Aposiopesis – Mot tronqué

Définition. Le mot présente une interruption symbolisée par $\epsilon$ avant complétion :

$$w = u \epsilon$$

où $|u| = k \ge 1$ est un préfixe interrompu.

Potentiel d’aposiopèse.

$$\mathrm{Apos}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Pref}(w) \mid u \text{ est interrompu} \} \bigr|$$

25. Apostrophe – Mot à adresse vocative

Définition. Le mot contient un facteur $u$ de longueur $k \ge 1$ formellement adressé :

$$w = x_1 O u x_2$$

Décompte.

$$\mathrm{Apost}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u \text{ est un vocatif ou précédé de } O \} \bigr|$$

26. Arete – Mot d’excellence

Définition. Soit un vocabulaire d’excellence $V$. Le mot est structuré comme $w = x_1 u x_2$ où $|u| = k \ge 1$ et $u \in V$.

Potentiel d’éthos.

$$\mathrm{Aret}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u \in V \} \bigr|$$

27. Argument – Mot à chaîne de raisonnement

Définition. Une séquence de facteurs $u_1, u_2, \dots, u_k$forme une chaîne logique :

$$w = x_1 u_1 x_2 u_2 \dots x_k u_k x_{k+1}$$

Nombre de chaînes d’arguments.

$$\mathrm{Arg}(w) = \bigl| \{ (u,v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid u \text{ est une prémisse et } v \text{ est une conclusion} \} \bigr|$$

28. Argumentum ad baculum – Mot à facteur de contrainte

Définition. Un baculum de longueur $k$ est un facteur $u$u de longueur $k \ge 1$contenant un élément de contrainte formelle :

$$w = x_1 u x_2$$

Potentiel de coercition.

$$\mathrm{Bac}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u \text{ contient un marqueur de contrainte} \} \bigr|$$

29. Ars dictaminis – Mot à structure dictaminale

Définition. Une structure dictaminale correspond à une factorisation du mot $w$ en $k = 5$ facteurs non vides successifs :

$$w = u_1 u_2 \dots u_k$$

Nombre de factorisations épistolaires.

$$\mathrm{Dict}(w) = \bigl| \{ (u_1,\dots,u_5) \in \mathrm{Fact}(w)^5 \mid w = u_1 u_2 u_3 u_4 u_5 \} \bigr|$$

30. Assonance – Mot à facteur assonant

Définition. Soit une fonction de voyellisation $v : \Sigma \to V$. Il existe un facteur $u$u de longueur $k \ge 2$ ($w = x_1 u x_2$) présentant au moins deux lettres partageant le même son voyelle :

$$v(u_i) = v(u_j) \quad \text{avec} \quad 1 \le i < j \le k$$

Nombre d’assonances.

$$\mathrm{Ass}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid \exists\, i < j,\ v(u_i) = v(u_j) \} \bigr|$$

31. Asyndeton – Mot à omission de facteur conjonctif

Définition. Soit $C \subset \Sigma$ l’ensemble des connecteurs. Un facteur $u$u de longueur $k \ge 2$ ($w = x_1 u x_2$) omet toute conjonction si :

$$u \cap C = \emptyset$$

Potentiel de concision.

$$\mathrm{Asy}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid |u| \ge 2 \land u \cap C = \emptyset \} \bigr|$$

32. Audience – Mot à facteur destinataire

Définition. Soit une fonction de destinataire $d : \mathrm{Fact}(w) \to \{0,1\}$. Le mot contient un facteur $u$ tel que :

$$w = x_1 u x_2 \quad \text{et} \quad d(u) = 1$$

Nombre de facteurs orientés.

$$\mathrm{Aud}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid d(u) = 1 \} \bigr|$$

33. Aureation – Mot à facteur aureate

Définition. Soit une fonction de longueur syllabique $\ell : \mathrm{Fact}(w) \to \mathbb{N}$ et un seuil $s$ (généralement $s \ge 3$). Le mot $w = x_1 u x_2$​ contient un facteur $u$ tel que :

$$\ell(u) \ge s$$

Nombre de facteurs d’aureation.

$$\mathrm{Aur}_s(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid \ell(u) \ge s \} \bigr|$$

34. Auxesis – Mot à facteur auxétique

Définition. Soit une fonction d’intensité $\iota : \mathrm{Fact}(w) \to \mathbb{R}$ι Le mot contient une séquence de facteurs $u_1, u_2, \dots, u_k$​ telle que :

$$w = x_0 u_1 x_1 u_2 x_2 \dots u_k x_k$$

avec $\iota(u_1) < \iota(u_2) < \dots < \iota(u_k)$.

Nombre d’auxèses de longueur kkk.

$$\mathrm{Aux}_k(w) = \bigl| \{ (u_1,\dots,u_k) \in \mathrm{Fact}(w)^k \mid \iota(u_1) < \iota(u_2) < \dots < \iota(u_k) \} \bigr|$$

35. Axioms – Mot à facteur primitif

Définition. Un facteur $u$ est primitif s’il ne peut s’écrire sous la forme $u = v^k$ qu’à la condition que $k = 1$ Le mot est structuré comme $w = x_1 u x_2$

Nombre de facteurs axiomatiques.

$$\mathrm{Prim}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u \text{ est primitif} \} \bigr|$$

Synthèse et Classement Taxonomique des Mécanismes

Rang 1 – Correspondances structurellement solides (ancrage formel fort)
Allitération (préfixe), Anaphore (répétition initiale), Antistrophe (répétition finale), Anadiplosis (chevauchement), Antimétabole (inversion), Asyndéton (absence de connecteur), Axiomes (mot primitif), Ars dictaminis (factorisation ordonnée).

Rang 2 – Correspondances raisonnablement fondées (lien formel plausible)
Assonance (voyelles), Amphiboly (ambiguïté), Anastrophe (renversement), Antithèse (opposition), Auxesis (ordre croissant), Anticlimax (ordre décroissant), Aureation (longueur), Amplification (extension).

Rang 3 – Correspondances partiellement formelles (dépendantes de fonctions externes)
Adianoeta, Antanaclasis, Audience, Apostrophe, Anacoenosis, Argument, Analogie.

Rang 4 – Correspondances superficielles ou métaphoriques
Accumulatio, Actio, Ad hominem, Anecdote, Antiptose, Antonomase, Apophase, Aporie, Aposiopèse, Arete, Argumentum ad baculum, Antinomie.

II) L’isomorphisme original entre les figures de rhétorique classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots ex intimo*

(*Une réflexion issue de l’introspection pure, loin du bruit extérieur.)

1. Accumulatio – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’accumulatio (aussi appelée accumulation, frequentatio ou congeries) est une figure qui consiste à rassembler et à répéter de manière compacte et emphatique des points, des arguments ou des termes déjà énoncés précédemment, généralement dans un ordre croissant ou culminant, afin de renforcer, résumer ou intensifier le propos. Elle « entasse » des éléments dispersés pour en faire un faisceau persuasif. La Rhétorique à Herennius (IV, 52) la nomme frequentatio et la décrit comme le regroupement de points épars de la cause ; Quintilien range la congeries parmi les modes de l’amplification (Institution oratoire, VIII, 4).

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Accumulation factorielle et masse de redite (Accumulatio-operator).

Définition mathématique

Soit φ : Σ⁺ → ℝ_≥0 une fonction de poids croissante en longueur (si |u| < |v| alors φ(u) ≤ φ(v)), ce qui traduit l’effet de climax. On distingue trois quantités :

• l’accumulation brute (toutes occurrences) : A(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} φ(u) · m_w(u) ;
• l’accumulation distincte (chaque point compté une fois) : A^∗(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} φ(u) ;
• la masse de redite (ce qui est ré-énoncé) :

Red(w) = A(w) − A^∗(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} φ(u) · (m_w(u) − 1). C’est Red(w) qui constitue le mécanisme de l’accumulatio : le poids total des points énoncés une deuxième, une troisième fois, et ainsi de suite. Avec le poids φ(u) = |u|, l’accumulation brute ne dépend que de la longueur du mot. En effet, il y a n − k + 1 occurrences de longueur k, d’où A(w) = Σ_k=1ⁿ k (n − k + 1) = n(n + 1)(n + 2) / 6. Tous les mots de longueur 5 ont donc A(w) = 35. C’est la part de ré-énonciation, Red(w), qui distingue les mots entre eux, et c’est elle qui porte le sens de la figure.

Expression formelle computable

Avec φ(u) = |u| : A(w) = Σ_k=1ⁿ Σ_i=1^n−k+1 k = n(n + 1)(n + 2) / 6, A^∗(w) = Σ_k=1ⁿ k · p_w(k). Les bornes sont atteintes par le mot constant et par le mot sans répétition : n(n + 1) / 2 ≤ A^∗(w) ≤ n(n + 1)(n + 2) / 6, donc 0 ≤ Red(w) ≤ (n − 1)n(n + 1) / 6. On normalise par le taux d’accumulation ρ(w) = Red(w) / A(w) ∈ [0, 1).

Expression par fonction caractéristique

Une occurrence w[i..j] est une redite si elle figure déjà plus à gauche, c’est-à-dire si w[i..j] ∈ Fact(w[1..j−1]). D’où Red(w) = Σ_i=1ⁿ Σ_j=iⁿ φ(w[i..j]) · χ_{Fact(w[1..j−1])}(w[i..j]).

Statut modal

Nécessaire : aucune donnée extérieure n’intervient dès que φ est une fonction de la seule forme, ici la longueur.

Justification du lien

L’accumulatio rassemble des points dispersés et les ré-énonce en un faisceau. En combinatoire des mots, chaque facteur est un « point » ; une occurrence qui reprend un facteur déjà apparu est une ré-énonciation. La masse de redite mesure exactement ce qui est entassé par répétition, et la croissance de φ en longueur rend l’effet de climax : reprendre un long segment pèse plus que reprendre une lettre. La mesure vaut 0 pour un discours sans aucune reprise et elle est maximale pour un discours qui ne fait que se répéter.

Exemple illustratif

Soit w = ababa sur Σ = {a, b}, n = 5, φ(u) = |u|.

Longueur k	Facteurs (multiplicité)	Occurrences n − k + 1	pw(k)	k(n − k + 1)	k · pw(k)
1	a (3), b (2)	5	2	5	2
2	ab (2), ba (2)	4	2	8	4
3	aba (2), bab (1)	3	2	9	6
4	abab (1), baba (1)	2	2	8	8
5	ababa (1)	1	1	5	5
Total				A = 35	A∗ = 25

D’où Red(ababa) = 35 − 25 = 10 et ρ = 10 / 35 ≈ 0,286. Pour comparaison, avec n = 5 : Red(abcde) = 35 − 35 = 0 (aucune reprise), Red(abaab) = 35 − 30 = 5, Red(aaaaa) = 35 − 15 = 20 (accumulation maximale). La masse de redite ordonne ainsi les mots selon leur degré de ré-énonciation.

Accumulation distincte A∗(w) et masse de redite Red(w) pour quatre mots de longueur 5 : la somme vaut toujours A(w) = 35.

Toutes les occurrences w[i..j] de ababa : première apparition ou redite.

2. Actio – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’actio (aussi appelée pronuntiatio ; grec hypokrisis) est le cinquième et dernier des canons de la rhétorique classique, tels qu’ils sont fixés dans le De inventione de Cicéron et la Rhétorique à Herennius (inventio, dispositio, elocutio, memoria, actio). Elle désigne la manière dont le discours est effectivement prononcé et incarné : modulation de la voix (volume, hauteur, rythme, pauses), gestes, expressions faciales, posture et présence corporelle. Cicéron la tient pour la partie qui domine l’éloquence et peut, à elle seule, déterminer le succès (De oratore, III, 213) ; il y rapporte que Démosthène, interrogé sur ce qui importe le plus dans l’art oratoire, répondit trois fois de suite : l’action (anecdote reprise par Quintilien, XI, 3, 6). Sans actio, même le meilleur discours reste sans effet ; avec elle, un discours moyen peut surpasser les autres.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Opérateur de réalisation (étiquetage de livraison) – Actio-operator.

Définition mathématique

Soient R et S deux ensembles finis de valeurs numériques (durées relatives, intensités), r = (r₁, …, r_n) ∈ Rⁿ un vecteur de rythme et s = (s₁, …, s_n) ∈ Sⁿ un vecteur d’intensité. Une réalisation de w = a₁ ⋯ a_n est le mot étiqueté μ_r,s(w) = (a₁, r₁, s₁)(a₂, r₂, s₂) ⋯ (a_n, r_n, s_n) ∈ (Σ × R × S)ⁿ. Il s’agit d’un étiquetage positionnel : l’image d’une lettre dépend de sa position et non de la seule lettre (dans aba, les deux a peuvent recevoir des durées différentes) ; μ_r,s n’est un morphisme que si r_j et s_j ne dépendent que de a_j. L’ensemble des réalisations possibles est ℛ(w) = {μ_r,s(w) | r ∈ Rⁿ, s ∈ Sⁿ}, de cardinal (|R| · |S|)ⁿ : un même texte admet un nombre fini mais très grand de livraisons. En projetant sur la première composante, on retrouve w : toutes les réalisations ont le même texte, seule la livraison change.

Expression formelle computable

La variation totale de la réalisation mesure son expressivité :

VT(μ_r,s(w)) = Σ_j=1ⁿ⁻¹ ( |r_j+1 − r_j| + |s_j+1 − s_j| ), et sa version moyenne, comparable entre textes de longueurs différentes, est VT / (n − 1) pour n ≥ 2.

Expression par fonction caractéristique

Le nombre de changements de livraison (où le rythme ou l’intensité varie d’une lettre à la suivante) est Ch(w) = Σ_j=1ⁿ⁻¹ ( 1 − χ_{{(rj, sj)}}((r_j+1, s_j+1)) ), et la livraison est plate si et seulement si χ_{0}(VT) = 1.

Statut modal

Contingent : les vecteurs r et s sont des données de performance extérieures au mot.

Justification du lien

L’actio fait passer du texte abstrait à la performance incarnée. En combinatoire des mots, cela correspond à l’enrichissement de chaque lettre par des paramètres de performance : on passe d’un mot sur Σ à un mot sur Σ × R × S dont la projection redonne le texte. La même suite de lettres peut ainsi être livrée de façons radicalement différentes, et c’est cette livraison qui détermine l’effet ; la variation totale quantifie la modulation sur laquelle Cicéron insiste.

Exemple illustratif

Soit w = aba (n = 3).

1. Livraison plate : r = (1, 1, 1), s = (1, 1, 1), donc VT = 0 et Ch = 0.
2. Livraison expressive : r = (1, 3, 1), s = (2, 5, 1), donc VT = |3 − 1| + |1 − 3| + |5 − 2| + |1 − 5| = 2 + 2 + 3 + 4 = 11 ; la variation moyenne vaut 11 / 2 = 5,5 et Ch = 2 (les deux transitions changent).

Si R = {1, 2, 3} et S = {1, …, 5}, le texte aba admet (3 · 5)³ = 3375 réalisations distinctes, de la plus plate (VT = 0) à la plus contrastée.

Deux réalisations du mot aba : livraison plate (VT = 0) et livraison expressive (VT = 11).

3. Ad hominem – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’ad hominem (argumentum ad hominem, « argument dirigé contre la personne ») est une tactique rhétorique ou un sophisme qui consiste à réfuter un argument en attaquant le caractère, les motifs, les circonstances ou tout autre attribut de la personne qui le soutient, plutôt que d’examiner le contenu de l’argument lui-même. Il détourne l’attention du propos vers le locuteur. Les formes principales sont l’ad hominem abusif (attaque directe sur le caractère), circonstanciel (attaque sur les circonstances ou les intérêts) et le tu quoque (accusation d’hypocrisie). Aristote, dans les Réfutations sophistiques, distingue déjà les solutions dirigées « contre l’homme » de celles dirigées « contre le discours ».

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Codage par attribut de générateur (Ad-hominem coding).

Définition mathématique

À chaque lettre a ∈ Σ on associe un attribut g(a) ∈ C (le « caractère » du locuteur), et une fonction ψ : C → Δ vers un alphabet d’étiquettes Δ. L’opérateur ad hominem est le morphisme μ_ad = ψ ∘ g : Σ^∗ → Δ^∗, μ_ad(a₁ ⋯ a_n) = ψ(g(a₁)) ⋯ ψ(g(a_n)). Il remplace chaque lettre non par son rôle dans le mot, mais par une étiquette portant sur son générateur. C’est un codage lettre à lettre : s’il est injectif, il conserve toute la structure factorielle du mot ; s’il confond des lettres, il l’appauvrit.

Expression formelle computable

Deux mesures complémentaires séparent ce que l’ad hominem change (la surface, les étiquettes) de ce qu’il laisse intact (la structure de l’argument) :

• écart de surface (distance de Jaccard sur les facteurs) : δ_J(w, μ_ad(w)) = 1 − |Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))| / |Fact(w) ∪ Fact(μ_ad(w))|, à valeurs dans [0, 1] ;
• perte de structure (perte de complexité factorielle) : Λ(w, μ_ad) = Σ_k=1ⁿ ( p_w(k) − p_μad(w)(k) ) ≥ 0.

Pour un codage lettre à lettre, on a toujours Λ ≥ 0, et Λ = 0 dès que μ_ad est injectif sur les lettres de w.

Expression par fonction caractéristique

L’injectivité du codage sur les lettres de w se teste par ι(w) = ∏_{a ≠ b ∈ alph(w)} ( 1 − χ_{μad(a)}(μ_ad(b)) ), et l’on a l’implication ι(w) = 1 ⇒ Λ = 0 : un ad hominem injectif change tout en surface et rien en structure.

Statut modal

Contingent : l’attribut g est extérieur au mot ; une fois g et ψ fixés, tout est calculable.

Justification du lien

L’ad hominem déplace la discussion de l’argument vers celui qui le porte. Dans le modèle, on remplace les lettres par des étiquettes sur leur générateur. Le résultat éclaire la nature du sophisme : si l’étiquetage est injectif, la surface change entièrement (δ_J = 1 quand les alphabets sont disjoints) mais la structure factorielle, qui représente le contenu de l’argument, reste identique (Λ = 0). L’attaque ne réfute donc rien. Si l’étiquetage confond des lettres (« ils sont tous pareils »), la structure est appauvrie (Λ > 0) : c’est l’amalgame, version la plus nocive de l’ad hominem.

Exemple illustratif

Soit w = abab. On a p_w(1) = 2, p_w(2) = 2, p_w(3) = 2, p_w(4) = 1, soit |Fact(w)| = 7.

1. Attributs distincts : g(a) = faible, g(b) = fort, ψ(faible) = x, ψ(fort) = y. Alors μ_ad(w) = xyxy ; les deux ensembles de facteurs sont disjoints (réunion de cardinal 14), donc δ_J = 1 − 0 / 14 = 1, tandis que Λ = 7 − 7 = 0.
2. Amalgame : g(a) = g(b) = faible. Alors μ_ad(w) = xxxx, de complexité 1 + 1 + 1 + 1 = 4, donc Λ = 7 − 4 = 3 et ι(w) = 0.

Complexité factorielle de abab et de ses deux codages : injectif (Λ = 0) et amalgame (Λ = 3).

4. Adianoeta – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’adianoeta (du grec adianoētos, « inintelligible ») est une figure de style dans laquelle une expression porte deux significations simultanées : un sens évident, littéral ou ostensible, et un second sens plus subtil, ingénieux ou ironique, souvent en tension avec le premier. Elle repose sur l’ambiguïté volontaire d’un mot ou d’une phrase, de sorte qu’une partie de l’auditoire comprend le sens apparent tandis qu’une autre perçoit le sens caché. Elle est proche de l’ironie et de l’allégorie, mais s’en distingue en maintenant les deux lectures en parallèle.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à double décodage (Adianoeta-word).

Définition mathématique

Soient deux lexiques finis X, Y ⊆ Σ⁺ : X est le lexique ostensible (lecture évidente), Y le lexique caché (lecture subtile). Le mot w est adianoétique relativement à (X, Y) si

w ∈ X^∗ ∩ Y^∗, c’est-à-dire s’il existe x₁, …, x_p ∈ X et y₁, …, y_q ∈ Y tels que x₁ ⋯ x_p = y₁ ⋯ y_q = w, les deux suites étant différentes. De façon équivalente, avec deux morphismes h₁ : A^∗ → Σ^∗ et h₂ : B^∗ → Σ^∗ qui envoient deux alphabets de « mots-sens » sur leurs graphies, il existe s ∈ A^∗ et t ∈ B^∗ avec h₁(s) = h₂(t) = w : deux antécédents différents ont la même image. Distinction avec l’amphibolie : l’adianoeta mobilise deux lexiques (deux codes de lecture du même support) ; l’amphibolie, au mécanisme 6, mobilise un seul lexique qui n’est pas un code (un même code de lecture admet deux découpages).

Expression formelle computable

Le nombre de lectures de w dans un lexique X se calcule par programmation dynamique. On pose N_X(0) = 1 et, pour 1 ≤ j ≤ n, N_X(j) = Σ_{x ∈ X, |x| ≤ j} N_X(j − |x|) · χ_{x}(w[j−|x|+1..j]). Le nombre de lectures complètes est N_X(w) = N_X(n). Le degré d’adianoeta est le nombre de couples (lecture ostensible, lecture cachée) :

Adian_X,Y(w) = N_X(w) · N_Y(w).

Expression par fonction caractéristique

w est adianoétique si et seulement si χ_X∗(w) · χ_Y∗(w) = 1, où χ_X∗(w) = min{1, N_X(w)}.

Statut modal

Possible : le mécanisme exige la donnée des deux lexiques ; ensuite tout est formel et décidable en un temps proportionnel à n · |X|.

Justification du lien

L’adianoeta superpose deux lectures sur un même support littéral. En combinatoire des mots, cela correspond exactement à un mot qui appartient à deux monoïdes engendrés différents : la même suite de lettres se décode intégralement dans le lexique évident et intégralement dans le lexique caché. Le produit N_X(w) · N_Y(w) compte les manières dont les deux sens coexistent, et il est nul dès qu’une des deux lectures échoue : un double sens n’existe que si les deux sens sont complets.

Exemple illustratif

Soit w = ababa, X = {ab, aba} (lexique ostensible) et Y = {aba, ba} (lexique caché).

• Lecture dans X : (N_X(0), …, N_X(5)) = (1, 0, 1, 1, 1, 1), d’où l’unique lecture (ab)(aba).
• Lecture dans Y : (N_Y(0), …, N_Y(5)) = (1, 0, 0, 1, 0, 1), d’où l’unique lecture (aba)(ba).

Donc Adian_X,Y(ababa) = 1 · 1 = 1 : les découpages (ab)(aba) et (aba)(ba) sont deux décodages complets du même mot dans deux lexiques distincts. Exemple en langue : la graphie « nowhere » se lit dans le lexique ostensible {nowhere} (« nulle part ») et dans le lexique caché {now, here} (« maintenant, ici ») : un même support, deux sens opposés, ce qui est exactement la tension recherchée par l’adianoeta.

Double décodage de ababa dans deux lexiques, et de nowhere en nowhere / now here.

5. Alliteration – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’allitération est la répétition d’un même son, le plus souvent consonantique, en position initiale de plusieurs mots voisins ou de syllabes accentuées. Elle crée un effet de rythme, d’emphase ou de mémorabilité, et elle est fréquente en poésie, en prose oratoire et dans les formules idiomatiques. Le terme alliteratio n’est pas antique : il est forgé par l’humaniste Giovanni Pontano (1426–1503) dans son dialogue Actius. La pratique est en revanche ancienne et déjà jugée : la Rhétorique à Herennius (IV, 12, 18) blâme l’abus d’une même lettre (eiusdem litterae nimia assiduitas), exemple tiré d’Ennius à l’appui. L’allitération poussée à l’extrême porte le nom de paroemion.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot des initiales et plage allitérative (alliterative initial run).

Définition mathématique

L’allitération ne se réduit pas au nombre d’occurrences |w|_a d’une lettre : elle exige à la fois la position initiale et le voisinage. On suppose donc que Σ contient un séparateur (l’espace) et que w = v₁ v₂ ⋯ v_m se décompose en m mots non vides v₁, …, v_m ne contenant pas l’espace. Le mot des initiales est I(w) = Pref₁(v₁) Pref₁(v₂) ⋯ Pref₁(v_m) ∈ Σ^m. Pour tenir compte du son plutôt que de la graphie (« ph » et « f », « c » et « k »), on peut composer avec un codage phonétique π et travailler sur π(I(w)). Le mot w présente une allitération de degré k si I(w) contient un facteur c^k pour une lettre c, avec k ≥ 2.

Expression formelle computable

• Degré d’allitération (plage maximale) : Allit(w) = max{k | ∃ c ∈ Σ, c^k ∈ Fact(I(w))}.
• Densité allitérative (allitération lâche, mots intercalés tolérés) : D(w) = max_{c ∈ Σ} |I(w)|_c / m.

Expression par fonction caractéristique

On calcule les plages par la récurrence L₁ = 1 et, pour 2 ≤ j ≤ m, L_j = 1 + L_j−1 · χ_{Ij−1}(I_j), où I_j est la j-ième lettre de I(w). Alors Allit(w) = max_{1 ≤ j ≤ m} L_j, et w allitère si et seulement si χ_{[2, ∞)}(Allit(w)) = 1.

Statut modal

Nécessaire au niveau graphique (le séparateur fait partie de l’alphabet) ; contingent au niveau sonore (le codage π est une donnée phonétique extérieure).

Justification du lien

L’allitération repose sur la répétition d’une initiale dans des mots voisins. Le mot des initiales isole exactement la position concernée, et la plage maximale c^k dans I(w) mesure le voisinage. Seules comptent les occurrences qui ouvrent un mot et qui se suivent.

Exemple illustratif

Soit w = « Peter Piper picked a peck of pickled peppers », m = 8. Alors I(w) = p p p a p o p p.

• Récurrence : (L₁, …, L₈) = (1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 2), donc Allit(w) = 3 (« Peter Piper picked »).
• Densité : |I(w)|_p = 6, donc D(w) = 6 / 8 = 0,75 : les mots outils « a » et « of » interrompent la plage sans rompre l’effet sonore, ce que mesure D.

À l’inverse, le mot abacab, sans séparateur, donne m = 1, I(w) = a et Allit = 1 : il contient trois a, mais aucune allitération.

Mot des initiales de « Peter Piper picked a peck of pickled peppers » et plages L₁, …, L₈.

6. Amphiboly – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’amphibolie (ou amphibologie, du grec amphibolia, « ambiguïté ») est une figure ou un sophisme qui résulte d’une structure grammaticale ambiguë d’une phrase, de sorte qu’elle peut être interprétée de plusieurs façons. Contrairement à l’équivoque, qui porte sur le sens d’un mot, l’amphibolie naît de la construction elle-même : modificateur mal placé, référence pronominale indéterminée, portée ambiguë d’un complément. Aristote en traite dans les Réfutations sophistiques (ch. 4) ; Quintilien en discute longuement dans l’Institution oratoire (VII, 9).

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à factorisation multiple sur un lexique (amphibole factorization).

Définition mathématique

Une ambiguïté de structure n’existe que relativement à un vocabulaire : sans lexique, tout mot de longueur n se coupe de n − 1 façons en deux facteurs non vides, et la notion serait vide. Soit donc X ⊆ Σ⁺ un lexique fini. Le mot w est amphibole relativement à X s’il admet deux factorisations distinctes sur X :

w = x₁x₂ ⋯ x_p = x′₁x′₂ ⋯ x′_q, x_i, x′_j ∈ X, (x₁, …, x_p) ≠ (x′₁, …, x′_q). C’est la notion classique de code : X est un code si tout mot de X^∗ admet une seule factorisation sur X ; un lexique sans aucun mot amphibole est un code. Pour l’ambiguïté syntaxique au sens strict (parenthésages, arbres), on remplace X par une grammaire algébrique G, en lien avec le chapitre 64 (langages réguliers et algébriques).

Expression formelle computable

Avec le compteur N_X défini au mécanisme 4 :

Amph_X(w) = N_X(w) − 1 (lorsque N_X(w) ≥ 1), nombre de lectures supplémentaires au-delà de la première. Pour une grammaire G : Amph_G(w) = T_G(w) − 1, où T_G(w) est le nombre d’arbres de dérivation de w, calculable par l’algorithme CYK en comptant (au lieu de simplement tester) les dérivations.

Expression par fonction caractéristique

w est amphibole si et seulement si χ_{[2, ∞)}(N_X(w)) = 1 ; X est un code sur les mots de longueur au plus L si et seulement si Σ_{w ∈ X∗, |w| ≤ L} χ_{[2, ∞)}(N_X(w)) = 0.

Statut modal

Possible : le mécanisme exige un lexique ou une grammaire ; il est décidable ensuite, et le caractère de code d’un lexique fini est lui-même décidable par l’algorithme de Sardinas–Patterson.

Justification du lien

L’amphibolie repose sur une ambiguïté de structure : un seul vocabulaire, deux constructions. En combinatoire des mots, c’est l’échec de l’unicité du décodage sur un lexique unique. On voit au passage la différence avec l’adianoeta : deux lexiques, deux sens ; ici un lexique, deux structures.

Exemple illustratif

Soit X = {a, ab, ba} et w = ababa. Programmation dynamique :

j	Préfixe w[1..j]	Contributions	NX(j)
0	ε	—	1
1	a	a : NX(0)	1
2	ab	ab : NX(0)	1
3	aba	a : NX(2) ; ba : NX(1)	2
4	abab	ab : NX(2)	1
5	ababa	a : NX(4) ; ba : NX(3)	3

Donc N_X(ababa) = 3 : (a)(ba)(ba), (ab)(a)(ba) et (ab)(ab)(a), et Amph_X(ababa) = 2. Le lexique X n’est pas un code. Exemple en langue : « the man saw the girl with the telescope » admet deux arbres (le télescope est l’instrument de la vision ou l’attribut de la fille), soit Amph_G = 1 pour une grammaire usuelle de l’anglais.

Les trois factorisations de ababa sur X = {a, ab, ba}.

Nombre de lectures N(j) de chaque préfixe de ababa.

7. Amplification – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’amplification (latin amplificatio, grec auxēsis) est l’ensemble des procédés qui permettent d’étendre, d’intensifier ou de magnifier un propos afin d’en accroître l’effet, l’importance perçue ou l’impact émotionnel. Cicéron en fait le plus haut mérite de l’éloquence (De oratore, III, 104). Quintilien distingue quatre modes principaux (Institution oratoire, VIII, 4, 3) : l’augmentation (incrementum), la comparaison (comparatio), le raisonnement (ratiocinatio) et l’accumulation (congeries). Elle peut opérer par substitution de termes plus forts, par énumération, par répétition ou par développement circonstancié.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Opérateur d’extension morphique et amplification itérée (amplification morphism).

Définition mathématique

Soit μ : Σ^∗ → Σ^∗ un morphisme non effaçant (|μ(a)| ≥ 1 pour toute lettre a). Il amplifie w s’il existe a ∈ alph(w) avec |μ(a)| ≥ 2. Le facteur d’extension est Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = (1 / |w|) · Σ_{a ∈ Σ} |w|_a · |μ(a)|, moyenne des longueurs des images pondérée par la fréquence des lettres. Le nombre de lettres ajoutées est Add(μ, w) = |μ(w)| − |w|. Le facteur d’extension se définit pour un morphisme donné : sur l’ensemble de tous les morphismes, il n’est pas borné.

Expression formelle computable

L’amplification itérée (développer le développement) se calcule par la matrice d’incidence M_μ = (|μ(b)|_a)_{a, b ∈ Σ} et le vecteur de Parikh P(w) = (|w|_a)_{a ∈ Σ} :

P(μ^t(w)) = M_μ^t P(w), |μ^t(w)| = 𝟏^T M_μ^t P(w). Le taux de croissance asymptotique de l’amplification est la valeur propre de Perron λ_μ de M_μ (pour M_μ primitive) : |μ^t(w)| ∼ c · λ_μ^t.

Expression par fonction caractéristique

Avec |w|_a = Σ_i=1ⁿ χ_{a}(a_i) : |μ(w)| = Σ_i=1ⁿ Σ_{a ∈ Σ} χ_{a}(a_i) · |μ(a)|, et l’amplification est effective si et seulement si χ_{(1, ∞)}(Ext(μ, w)) = 1.

Statut modal

Possible : le morphisme μ est donné ; tout le reste est formel.

Justification du lien

L’amplification étend un propos pour en renforcer l’effet. En combinatoire des mots, un morphisme allonge chaque lettre en un mot, de sorte que le mot image conserve l’ordre et la structure de w tout en les développant. Les quatre modes de Quintilien trouvent un écho : l’incrementum correspond à l’itération μ^t (chaque étape renchérit sur la précédente), la congeries à l’accumulation des images, et le taux λ_μ mesure la puissance d’amplification du procédé lui-même, indépendamment du texte de départ.

Exemple illustratif

1. Soit w = ab, μ(a) = aa, μ(b) = bbb. Alors μ(w) = aabbb, |μ(w)| = 5, |w| = 2, donc Ext = 5 / 2 = 2,5 et Add = 3. Ici M_μ est la matrice diagonale de lignes (2 0) et (0 3), d’où |μ^t(ab)| = 2^t + 3^t et λ_μ = 3.
2. Amplification de Fibonacci : φ(a) = ab, φ(b) = a, de matrice M_φ de lignes (1 1) et (1 0). Les longueurs |φ^t(a)| valent 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (nombres de Fibonacci), et λ_φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 : chaque développement est environ 1,618 fois plus long que le précédent (lien avec le chapitre 60).

Application manuelle d’un morphisme : ab devient aa · bbb = aabbb ; le facteur d’extension est donc 5/2 = 2,5. Longueur sans écrire le mot : le facteur d’extension correspond à la longueur moyenne des images, chaque lettre étant comptée autant de fois qu’elle apparaît.

La matrice d’incidence : un tableau indiquant le nombre de « a » et de « b » présents dans l’image de chaque lettre. Elle explique pourquoi la multiplication par la matrice donne les nouveaux décomptes de lettres et compare M³ avec le tableau de l’étape 3.

Fibonacci : les itérés de a, la règle « nouveau nombre de a = ancien a + ancien b », et le facteur de croissance 1,618. Ce facteur est présenté comme la solution de l’équation λ² = λ + 1 avant d’être identifié comme une valeur propre. Itération : un tableau des μ^t(ab) indiquant les quantités de a et de b. À chaque étape, le nombre de a double et celui de b triple ; la longueur totale est donc 2^t + 3^t.

Iterating: a table of μ^t(ab) with its numbers of a and b. The a’s double and the b’s triple at each step, so the length is 2^t + 3^t. Croissance des itérés : 2ᵗ + 3ᵗ et suite de Fibonacci, en échelle logarithmique.

8. Anacoenosis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anacoenosis (du grec anakoinoun, « communiquer », « mettre en commun ») est une figure dans laquelle l’orateur adresse une question à son auditoire, à ses adversaires ou aux juges pour solliciter leur opinion ou leur jugement sur le point en débat, en suggérant qu’ils partagent avec lui un intérêt commun. Elle crée un effet de délibération partagée et renforce l’ethos en faisant de l’auditoire un co-juge. Melanchthon la nomme aussi communicatio ; Puttenham (1589) l’appelle « the impartener » (celui qui fait partager), et elle figure chez Peacham (1577).

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Consultation morphique bornée et fonds commun factoriel (anacoenosis morphism).

Définition mathématique

Soit ℓ ≥ 1. La famille des réponses admissibles est l’ensemble fini ℳ_ℓ = {μ : alph(w) → Σ⁺ | |μ(a)| ≤ ℓ pour toute lettre a}, de cardinal (Σ_k=1^ℓ |Σ|^k)^|alph(w)|. La borne ℓ garantit la finitude : sans elle, la famille des réponses serait infinie. Le fonds commun entre la question w et une réponse v est C(w, v) = Fact_≥2(w) ∩ Fact_≥2(v). Une réponse μ(w) « entre en délibération » avec w si C(w, μ(w)) ≠ ∅.

Expression formelle computable

Anac_ℓ(w) = |{μ ∈ ℳ_ℓ | C(w, μ(w)) ≠ ∅}|, Anac^∗_ℓ(w) = Anac_ℓ(w) / |ℳ_ℓ| ∈ [0, 1]. La proportion Anac^∗_ℓ mesure l’ouverture du mot à des réponses qui restent liées à lui. Pour une réponse donnée v, on mesure aussi l’intensité du partage par |C(w, v)| ou par la longueur du plus long facteur commun.

Expression par fonction caractéristique

Anac_ℓ(w) = Σ_{μ ∈ ℳℓ} χ_{[1, ∞)}( Σ_{u ∈ Fact≥2(w)} χ_Fact(μ(w))(u) ).

Statut modal

Possible : le mécanisme exige le choix de la borne ℓ, c’est-à-dire de la famille des réponses ; il est ensuite fini et formel.

Justification du lien

L’anacoenosis met en commun : l’orateur interroge, et la réponse attendue est déjà en partie contenue dans la question. En combinatoire des mots, on engendre une famille finie de « réponses » (les images de w par des morphismes bornés) et l’on retient celles qui partagent un facteur non trivial avec w. La borne ℓ joue le rôle du cadre de la délibération (on ne consulte que des réponses de taille raisonnable), et la proportion Anac^∗_ℓ mesure à quel point la question oriente la réponse.

Exemple illustratif

Soit w = aba, Σ = {a, b}, donc Fact_≥2(w) = {ab, ba, aba}.

1. Réponse particulière : μ(a) = ab, μ(b) = ba donne μ(w) = μ(a)μ(b)μ(a) = ab · ba · ab = abbaab ; C(w, μ(w)) = {ab, ba}, donc |C| = 2.
2. ℓ = 1 : |ℳ₁| = 2² = 4 morphismes. Images : aba (identité, partage), bab (échange, partage ab et ba), aaa (aucun partage), bbb (aucun partage). Donc Anac₁(aba) = 2 et Anac^∗₁(aba) = 2 / 4 = 0,5.
3. ℓ = 2 : chaque lettre a 2 + 4 = 6 images possibles, soit |ℳ₂| = 36 ; une énumération complète donne Anac₂(aba) = 28, d’où Anac^∗₂(aba) = 28 / 36 ≈ 0,778 : plus la réponse est développée, plus elle a de chances de reprendre la question.
4. ℓ = 3 : chaque lettre a 2 + 4 + 8 = 14 images possibles, soit |ℳ₃| = 196, et Anac₃(aba) = 178, d’où Anac^∗₃(aba) = 178 / 196 ≈ 0,908.

Les quatre réponses de longueur 1 à la question aba et leur fonds commun.

Part des réponses qui reprennent la question, pour ℓ = 1, 2, 3.

9. Anadiplosis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anadiplose (du grec anadiplōsis, « redoublement ») est la répétition du dernier mot (ou de la dernière expression) d’une proposition au début de la proposition suivante. Elle crée un enchaînement logique ou rythmique et peut produire un effet de progression ; répétée en chaîne, elle devient la gradation (gradatio, climax). Elle est fréquente dans les discours et la poésie.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à bordure enchaînée aux frontières (anadiplosis border).

Définition mathématique

Ce qui caractérise l’anadiplose, c’est que la répétition chevauche une frontière entre deux propositions ; une répétition immédiate à l’intérieur d’une même unité (« non, non, non ») est une autre figure, l’épizeuxe. Soit donc w = c₁c₂ ⋯ c_m une segmentation de w en propositions (marquée par la ponctuation, qui fait partie de l’alphabet), et soit B = {b₁ < ⋯ < b_m−1} l’ensemble des positions de frontière (b_j = |c₁ ⋯ c_j|). Il y a anadiplose de longueur k à la frontière j si Suff_k(c_j) = Pref_k(c_j+1), 1 ≤ k ≤ min{|c_j|, |c_j+1|}.

La longueur d’enchaînement à la frontière j est κ_j = max{k | Suff_k(c_j) = Pref_k(c_j+1)}, avec κ_j = 0 si aucun k ne convient. On travaille soit au niveau des lettres, soit, plus naturellement, au niveau des mots (chaque mot de la langue devient une lettre d’un alphabet de tokens).

Expression formelle computable

• Nombre d’enchaînements : Anad(w) = |{j ∈ {1, …, m − 1} | κ_j ≥ 1}|.
• Gradation (chaîne d’anadiploses consécutives) : Grad(w) est la longueur de la plus longue suite de frontières consécutives j, j + 1, … telles que κ ≥ 1.
• Épizeuxe (pour comparaison) : carrés uu dont le centre n’est pas dans B.

Expression par fonction caractéristique

Anad(w) = Σ_j=1^m−1 χ_{[1, ∞)}(κ_j), et le nombre de longueurs d’enchaînement qui conviennent à la frontière j est Σ_k=1^h χ_{Suffk(cj) = Prefk(cj+1)}, avec h = min{|c_j|, |c_j+1|} ; κ_j est le plus grand k pour lequel l’indicatrice vaut 1. La gradation se calcule par la même récurrence de plage qu’au mécanisme 5 : G₁ = χ_{[1, ∞)}(κ₁) et G_j = χ_{[1, ∞)}(κ_j) · (1 + G_j−1), puis Grad(w) = max_j G_j.

Statut modal

Nécessaire dès que la segmentation est marquée dans le mot (ponctuation) ; possible si la segmentation en propositions est fournie de l’extérieur.

Justification du lien

L’anadiplose répète un élément en fin d’unité et en début de l’unité suivante. En combinatoire des mots, cela correspond exactement à une bordure locale entre deux facteurs consécutifs : le suffixe de l’un coïncide avec le préfixe de l’autre, ce qui produit un carré uu centré sur une frontière. La restriction aux frontières sépare l’anadiplose de l’épizeuxe, et la récurrence de plage rend compte de la gradation, qui n’est rien d’autre qu’une anadiplose itérée.

Exemple illustratif

1. Niveau des mots : « Fear leads to anger. Anger leads to hate. Hate leads to suffering. » Propositions : c₁ = (fear, leads, to, anger), c₂ = (anger, leads, to, hate), c₃ = (hate, leads, to, suffering), en ignorant la casse. À la frontière 1 : Suff₁(c₁) = anger = Pref₁(c₂), et pour k = 2 : (to, anger) ≠ (anger, leads), donc κ₁ = 1. De même κ₂ = 1 (« hate »). Donc Anad(w) = 2 et Grad(w) = 2 : c’est une gradation.
2. Niveau des lettres : w = aab · bba avec frontière B = {3}. Pour k = 1 : b = b ; pour k = 2 : ab ≠ bb ; pour k = 3 : aab ≠ bba. Donc κ₁ = 1 et Anad(w) = 1. Le mot contient trois carrés (aa centré en 1, bb centré en 3, bb centré en 4), mais un seul est centré sur la frontière : le carré aa au début de w est une épizeuxe, et non une anadiplose.

Anadiplose en chaîne : fear → anger → hate → suffering.

Au niveau des lettres : seul le carré centré sur la frontière est une anadiplose.

Partie 2 : mécanismes 10 à 18 d‘Analogy à Antiptosis

Les notations, la fonction caractéristique χ_F et les trois statuts modaux (nécessaire, possible, contingent) sont ceux fixés au § 0 de la partie 1. On utilise en outre, pour un texte, sa segmentation en unités (mots de la langue ou propositions) : chaque mot de la langue devient alors une lettre d’un alphabet de tokens, et une proposition devient un mot sur cet alphabet. En intelligence artificielle, l’« alphabet » de tokens désigne le vocabulaire fini (ou dictionnaire de mots, morceaux de mots et caractères).La méthode de découpage (la tokenisation) implique qu’un token ne correspond pas exactement à un mot.

10. Analogy – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’analogie (latin similitudo ou analogia) est le recours à un cas parallèle ou à un exemple semblable pour raisonner ou argumenter. Elle établit une correspondance de structure entre deux situations distinctes afin d’en inférer une conclusion ou d’éclairer un propos. Aristote en donne la forme proportionnelle (Poétique, 21 ; Rhétorique, III, 10) : A est à B ce que C est à D, et c’est de cette proportion que naît la métaphore par analogie (le soir est à la journée ce que la vieillesse est à la vie). Cicéron et Quintilien la rangent parmi les arguments fondés sur la ressemblance (similitudo). Elle se distingue de la métaphore par son caractère explicite et argumentatif.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mots de même motif et proportion analogique (analogy pattern).

Définition mathématique

Deux mots w et w′ sont analogues au sens strict s’il existe une bijection μ : alph(w) → alph(w′), étendue en morphisme lettre à lettre, telle que μ(w) = w′. Ils ont alors la même « forme » et ne diffèrent que par les noms des lettres. Cette relation se lit sur le motif (ou forme canonique) π(w), obtenu en remplaçant chaque lettre par le rang de sa première apparition :

π(a₁ ⋯ a_n) = r₁ ⋯ r_n, r_i = |{a₁, …, a_i}| si a_i ∉ {a₁, …, a_i−1}, et r_i = r_j si a_i = a_j avec j < i. Ainsi w et w′ sont analogues au sens strict si et seulement si π(w) = π(w′). Pour une analogie partielle, on compare les motifs des facteurs. Soit P_k(w) = {π(u) | u ∈ Fact_k(w)} l’ensemble des motifs de longueur k de w ; deux mots sont d’autant plus analogues que leurs motifs locaux se recouvrent. Enfin, la proportion analogique d’Aristote, w₁ : w₂ :: w₃ : w₄, a pour forme combinatoire la plus simple l’existence de mots x, y, u, v tels que w₁ = xu, w₂ = xv, w₃ = yu, w₄ = yv : w₁ se transforme en w₂ exactement comme w₃ se transforme en w₄.

Expression formelle computable

• Analogie stricte : χ_{π(w′)}(π(w)) = 1.
• Degré d’analogie à l’échelle k (indice de Jaccard des motifs) : Anal_k(w, w′) = |P_k(w) ∩ P_k(w′)| / |P_k(w) ∪ P_k(w′)| ∈ [0, 1].
• Portée de l’analogie : K(w, w′) = max{k | Anal_k(w, w′) = 1}, la plus grande échelle à laquelle les deux mots ont exactement les mêmes motifs locaux.

Expression par fonction caractéristique

|P_k(w) ∩ P_k(w′)| = Σ_{p ∈ Pk(w)} χ_Pk(w′)(p),

et la proportion analogique est vérifiée si et seulement si Σ_{(x, y, u, v)} χ_{w1}(xu) · χ_{w2}(xv) · χ_{w3}(yu) · χ_{w4}(yv) ≥ 1, la somme portant sur les découpages en préfixe et suffixe des quatre mots (un nombre fini de cas).

Statut modal

Nécessaire : le motif π(w) ne dépend que de la structure de w, et la proportion analogique ne fait intervenir que des concaténations.

Justification du lien

L’analogie transporte une structure d’un cas à un autre en changeant les objets mais non leurs rapports. Le motif π(w) est exactement ce qui reste d’un mot quand on oublie le nom de ses lettres pour ne garder que leurs rapports d’égalité et de différence : deux mots analogues sont deux « cas » d’un même schéma. La proportion xu : xv :: yu : yv rend la forme aristotélicienne A : B :: C : D, où la même transformation (remplacer u par v) s’applique à deux objets différents (x et y).

Exemple illustratif

1. Analogie stricte : w = aba et w′ = xyx. On a π(aba) = 121 = π(xyx), et la bijection μ(a) = x, μ(b) = y donne μ(w) = w′ : les deux mots sont analogues.
2. Analogie partielle : w = abab et w′ = xyyx. On a π(abab) = 1212 et π(xyyx) = 1221, donc pas d’analogie stricte. À l’échelle 1, P₁ = {1} pour les deux mots : Anal₁ = 1. À l’échelle 2, P₂(abab) = {12} et P₂(xyyx) = {12, 11} : Anal₂ = 1 / 2. À l’échelle 3, P₃(abab) = {121} et P₃(xyyx) = {122, 112} : Anal₃ = 0. La portée vaut K = 1 : les deux mots se ressemblent lettre à lettre, mais divergent dès qu’on observe deux lettres consécutives.
3. Proportion : walk : walked :: talk : talked, avec x = walk, y = talk, u = ε, v = ed.

Analogie stricte : aba et xyx ont le même motif 121.

Degré d’analogie Anal(k) entre abab et xyyx selon l’échelle k.

11. Anaphora – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anaphore (du grec anaphora, « action de ramener ») est la répétition d’un mot ou d’un groupe de mots au début de phrases, de propositions ou de vers successifs. Cette figure crée un effet de rythme, d’emphase et de structure. Elle est le pendant de l’épistrophe (répétition en fin d’unité), et leur réunion donne la symploque. La Rhétorique à Herennius (IV, 19) la décrit sous le nom de repetitio. Elle est abondamment utilisée dans les discours politiques et la poésie.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Plus long préfixe commun d’unités successives (anaphora prefix).

Définition mathématique

Soit w = c₁c₂ ⋯ c_m une segmentation de w en m ≥ 2 unités (propositions ou vers). Le plus long préfixe commun de deux mots est

lcp(x, y) = max{k | Pref_k(x) = Pref_k(y)}.

Le mot w présente une anaphore de longueur k si les m unités commencent toutes par le même préfixe de longueur k :

Pref_k(c₁) = Pref_k(c₂) = ⋯ = Pref_k(c_m), k ≥ 1.

Expression formelle computable

• Degré global d’anaphore : Anap(w) = lcp(c₁, …, c_m) = min_{1 ≤ j ≤ m−1} lcp(c_j, c_j+1).
• Profil d’anaphore : le vecteur (λ₁, …, λ_m−1) avec λ_j = lcp(c_j, c_j+1), qui montre où la reprise s’allonge et où elle se raccourcit.

Le calcul de lcp(x, y) demande au plus min{|x|, |y|} comparaisons.

Expression par fonction caractéristique

Anap(w) = Σ_k=1^h ∏_j=2^m χ_{Prefk(c1)}(Pref_k(c_j)), h = min_j |c_j|.

Le produit vaut 1 tant que toutes les unités partagent le préfixe de longueur k, puis 0 pour toutes les longueurs suivantes : la somme compte donc exactement la longueur du préfixe commun.

Statut modal

Nécessaire dès que la segmentation est marquée dans le mot (ponctuation, retour à la ligne) ; possible si elle est fournie de l’extérieur.

Justification du lien

L’anaphore ramène le même début dans des unités successives. En combinatoire des mots, c’est la notion de préfixe commun d’une famille de mots, qui est aussi celle qui organise un arbre des préfixes (trie) : les unités anaphoriques partagent le même tronc avant de se séparer. Le degré global mesure la longueur de ce tronc commun, et le profil montre la façon dont l’orateur fait varier la reprise d’une unité à l’autre.

Exemple illustratif

Soit, au niveau des mots, le passage « we shall fight on the beaches, we shall fight on the landing grounds, we shall fight in the fields » (Churchill, 4 juin 1940), avec c₁ = (we, shall, fight, on, the, beaches), c₂ = (we, shall, fight, on, the, landing, grounds), c₃ = (we, shall, fight, in, the, fields).

• Profil : λ₁ = lcp(c₁, c₂) = 5 (« we shall fight on the »), λ₂ = lcp(c₂, c₃) = 3 (« we shall fight »).
• Degré global : Anap(w) = min{5, 3} = 3.

Au niveau des lettres : pour w = abc · abd · abe, on obtient Anap(w) = 2 (préfixe commun ab).

Préfixes communs des trois propositions du passage de Churchill.

Arbre des préfixes : le tronc commun « we shall fight ».

12. Anastrophe – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anastrophe (du grec anastrophē, « retournement ») est l’inversion de l’ordre habituel des mots dans une phrase ou une proposition. Quintilien la distingue de l’hyperbate en la limitant à la transposition de deux mots (Institution oratoire, VIII, 6, 65), comme dans le latin « mecum » pour « cum me ». Elle sert à mettre en relief un élément déplacé ou à créer un effet de rythme ou de solennité. Elle est fréquente en poésie et dans les discours.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Permutation des unités et nombre d’inversions (anastrophe inversion).

Définition mathématique

Une inversion se mesure toujours par rapport à un ordre de référence. Soit v = t₁ ⋯ t_n l’énoncé dans l’ordre habituel (n unités distinctes) et w = t_σ(1) ⋯ t_σ(n) l’énoncé effectivement prononcé, obtenu par une permutation σ des positions. Le nombre d’inversions de σ est

inv(σ) = |{(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n, σ(i) > σ(j)}|,

compris entre 0 (ordre habituel) et n(n − 1) / 2 (ordre entièrement renversé, w = v^R). Trois formes remarquables d’anastrophe se lisent alors en combinatoire des mots :

• la transposition de deux unités voisines (forme quintilienne) : v = xaby et w = xbay, avec inv = 1 ;
• le renversement local d’un facteur : v = xuy et w = xu^Ry, avec inv = |u|(|u| − 1) / 2 ;
• la conjugaison (rotation) : v = xy et w = yx, avec inv = |x| · |y|.

Expression formelle computable

Degré d’anastrophe : Anast(v, w) = inv(σ), et sa forme normalisée Anast^∗(v, w) = 2 inv(σ) / (n(n − 1)) ∈ [0, 1]. Le nombre d’inversions est aussi le nombre minimal de transpositions de deux unités voisines qui ramènent w à v.

Expression par fonction caractéristique

Anast(v, w) = Σ_i=1ⁿ⁻¹ Σ_j=i+1ⁿ χ_{(0, ∞)}(σ(i) − σ(j)).

Statut modal

Possible : le mécanisme exige l’ordre de référence v (l’ordre « naturel » de la langue) ; une fois v fixé, le calcul est entièrement formel.

Justification du lien

L’anastrophe déplace un élément hors de sa place attendue. En combinatoire des mots, c’est une permutation des positions par rapport à un mot de référence, et le nombre d’inversions mesure exactement l’écart à l’ordre habituel. Les trois formes distinguées ci-dessus correspondent à trois opérations classiques sur les mots : l’échange de deux lettres voisines, le renversement d’un facteur, et la conjugaison, qui fait passer le début du mot à la fin.

Exemple illustratif

1. Ordre habituel v = (you, have, become, powerful), énoncé w = (powerful, you, have, become), soit σ = (4, 1, 2, 3). Les couples inversés sont (1, 2), (1, 3), (1, 4) : inv(σ) = 3, et Anast^∗ = 2 · 3 / 12 = 0,5. C’est une conjugaison : v = xy avec x = (you, have, become) et y = (powerful), w = yx, et en effet |x| · |y| = 3 · 1 = 3.
2. Au niveau des lettres, avec v = abcd : la transposition w = acbd donne inv = 1 ; la conjugaison w = dabc donne inv = 3 ; le renversement complet w = dcba donne inv = 6 = 4 · 3 / 2.

Permutation σ = (4, 1, 2, 3) de « you have become powerful ».

Nombre d’inversions de trois anastrophes de abcd.

13. Anecdote – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anecdote est le récit bref d’un événement particulier, intéressant, amusant ou biographique. Elle sert à illustrer un propos, à humaniser un argument ou à créer un effet de pathos. Le terme vient du grec anekdotos (« non publié »), titre que Procope donna à son Histoire secrète, et désignait d’abord des histoires restées inédites. En rhétorique, elle fonctionne comme un exemplum condensé : un cas singulier, raconté une seule fois, qui éclaire le général.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Facteur unique minimal (anecdote factor).

Définition mathématique

Un facteur u de w est unique si m_w(u) = 1. Il est unique minimal si, de plus, tous ses facteurs propres apparaissent au moins deux fois dans w. Comme tout facteur propre de u est facteur de Pref_|u|−1(u) ou de Suff_|u|−1(u), et qu’un facteur d’un mot répété est lui-même répété, il suffit de tester ces deux facteurs :

u est unique minimal ⇔ m_w(u) = 1, m_w(Pref_|u|−1(u)) ≥ 2 et m_w(Suff_|u|−1(u)) ≥ 2

(pour |u| = 1, seule la condition m_w(u) = 1 subsiste). Les facteurs uniques minimaux sont les plus courts « épisodes singuliers » du mot : chacun est fait de matériaux déjà connus, mais leur assemblage n’a lieu qu’une fois.

Expression formelle computable

• Nombre d’anecdotes : Anec(w) = |MU(w)|, où MU(w) est l’ensemble des facteurs uniques minimaux de w.
• Profil de singularité : pour chaque longueur k, le nombre U_k(w) = |{u ∈ Fact_k(w) | m_w(u) = 1}| de facteurs uniques de longueur k, à comparer au nombre p_w(k) − U_k(w) de facteurs répétés.

Un mot a au plus n facteurs uniques minimaux, car deux d’entre eux ne peuvent avoir la même position de départ.

Expression par fonction caractéristique

Anec(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_{1}(m_w(u)) · χ_{[2, ∞)}(m_w(Pref_|u|−1(u))) · χ_{[2, ∞)}(m_w(Suff_|u|−1(u))),

avec la convention m_w(ε) = n + 1 ≥ 2 pour les facteurs de longueur 1.

Statut modal

Nécessaire : unicité et minimalité ne dépendent que des multiplicités des facteurs de w.

Justification du lien

L’anecdote raconte une fois un événement singulier, et elle est brève. En combinatoire des mots, l’unicité (m_w(u) = 1) traduit le « une seule fois », et la minimalité traduit la brièveté : on ne retient que le plus court segment qui soit déjà singulier. Le facteur unique minimal est fait de pièces que le texte répète ailleurs ; c’est leur rencontre, et elle seule, qui est inédite, exactement comme l’anecdote combine des éléments ordinaires en un fait qui n’arrive qu’une fois.

Exemple illustratif

1. w = ababa : les facteurs a, b, ab, ba et aba sont répétés ; bab est unique, et ses deux facteurs maximaux propres ba et ab apparaissent deux fois. Donc MU(ababa) = {bab} et Anec(ababa) = 1 : le seul épisode singulier est le passage par le b central. Profil : (U₁, …, U₅) = (0, 0, 1, 2, 1).
2. w = abaab : MU(abaab) = {aa, ba} et Anec(abaab) = 2 ; profil (0, 2, 3, 2, 1).
3. Au niveau des mots, dans « when I was a child I met a man who told me a story », seuls « I » (2 fois) et « a » (3 fois) se répètent ; les 9 autres mots sont des facteurs uniques minimaux de longueur 1. Le récit est donc presque entièrement fait d’événements singuliers, ce qui est le propre de l’anecdote.

Facteurs répétés et facteurs uniques par longueur, pour ababa et abaab.

Position des facteurs uniques minimaux dans ababa et abaab.

14. Antanaclasis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’antanaclase (du grec antanaklasis, « réflexion », « renvoi ») est la répétition d’un même mot ou d’une même expression dans une phrase, avec un sens différent à chaque occurrence. C’est une forme de jeu de mots fondée sur la polysémie ou l’homonymie. Quintilien la range parmi les figures de répétition (Institution oratoire, IX, 3, 68). Pascal en donne l’exemple français le plus connu : « Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point. » Elle est fréquente dans les slogans et les aphorismes.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Facteur répété à contextes divergents (antanaclasis polyvalence).

Définition mathématique

On borde le mot par un marqueur # ∉ Σ, et l’on pose w̄ = #w#. Le contexte d’un facteur u est l’ensemble des couples de lettres qui l’entourent dans w̄ :

Ctx_w(u) = {(x, y) ∈ (Σ ∪ {#})² | xuy ∈ Fact(w̄)}.

Le facteur u est un candidat à l’antanaclase s’il est répété (m_w(u) ≥ 2) dans au moins deux contextes différents (|Ctx_w(u)| ≥ 2). C’est une condition nécessaire : la même forme est reprise, mais l’entourage change, ce qui permet au sens de changer. Le changement de sens lui-même est donné par une fonction d’interprétation σ qui associe un sens à chaque occurrence ; u est une antanaclase si deux de ses occurrences reçoivent des sens différents. En combinatoire des mots, cette notion est voisine de celle de facteur spécial : u est spécial à droite s’il est suivi d’au moins deux lettres différentes, spécial à gauche s’il est précédé d’au moins deux lettres différentes.

Expression formelle computable

• Nombre de candidats : Antan₀(w) = |{u ∈ Fact(w) | m_w(u) ≥ 2 et |Ctx_w(u)| ≥ 2}|.
• Nombre d’antanaclases effectives : Antan_σ(w) = |{u | il existe deux occurrences de u de sens σ différents}| ≤ Antan₀(w).

Expression par fonction caractéristique

Antan₀(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_{[2, ∞)}(m_w(u)) · χ_{[2, ∞)}(|Ctx_w(u)|).

Statut modal

Contingent : la divergence des contextes (partie nécessaire du mécanisme) est purement structurelle, mais le changement de sens dépend de la fonction d’interprétation σ, extérieure au mot.

Justification du lien

L’antanaclase repose sur la répétition d’une même forme dont le sens varie. Une forme qui revient toujours dans le même entourage ne peut guère changer de sens ; une forme qui revient dans des entourages différents le peut. Le contexte Ctx_w(u) mesure cette possibilité, et la fonction σ décide si elle est réalisée. Le mécanisme sépare donc nettement ce que la combinatoire établit (la répétition dans des contextes différents) de ce qu’elle ne peut que recevoir (le sens).

Exemple illustratif

1. Au niveau des mots : « we must all hang together or most assuredly we shall all hang separately » (mot attribué à Benjamin Franklin, 1776). Les mots répétés sont we, all et hang, chacun dans deux contextes : Ctx(hang) = {(all, together), (all, separately)}, Ctx(all) = {(must, hang), (shall, hang)}, Ctx(we) = {(#, must), (assuredly, shall)}. Si l’on se limite aux facteurs d’un seul mot, Antan₀ = 3. Seul hang change de sens (« rester unis » puis « être pendus ») : Antan_σ = 1.
2. Au niveau des lettres : w = abcabd, w̄ = #abcabd#. Ctx(ab) = {(#, c), (c, d)}, Ctx(a) = {(#, b), (c, b)}, Ctx(b) = {(a, c), (a, d)} : les trois facteurs répétés a, b et ab sont candidats, et Antan₀(abcabd) = 3.

Les deux occurrences de « hang », leurs contextes et leurs deux sens.

Contextes du facteur ab dans #abcabd#.

15. Anticlimax – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anticlimax (du grec anti-, « contre », et klimax, « échelle ») est la chute abrupte d’un sujet élevé ou sérieux vers un sujet trivial, banal ou vulgaire, souvent pour un effet comique ou satirique ; la tradition anglaise l’appelle aussi bathos, depuis le traité parodique de Pope (Peri Bathous, 1728). Elle s’oppose au climax (gradation ascendante). Pope en donne un exemple célèbre dans La Boucle de cheveux enlevée (1714), où la reine Anne, à qui trois royaumes obéissent, « prend parfois conseil, et parfois le thé ».

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Chute d’intensité après une montée (anticlimax drop).

Définition mathématique

Soit une suite d’unités u₁, …, u_m (m ≥ 3) et une fonction d’intensité ι. Par défaut, on prend l’intensité structurelle ι(u) = |Fact(u)|, nombre de facteurs distincts de u (richesse factorielle) ; pour un texte, ι peut être une note d’importance donnée de l’extérieur. La suite présente un anticlimax si elle monte puis retombe brusquement à la fin :

ι(u₁) < ι(u₂) < ⋯ < ι(u_m−1) et ι(u_m) < ι(u_m−1).

La chute est Δ = ι(u_m−1) − ι(u_m), et la montée est M = ι(u_m−1) − ι(u₁). L’effet de bathos est d’autant plus fort que la chute efface une plus grande part de la montée.

Expression formelle computable

• Indicateur de forme : Forme(u₁, …, u_m) = 1 si la suite monte strictement jusqu’à u_m−1 puis retombe en u_m, et 0 sinon.
• Degré d’anticlimax : Anticl = Forme · Δ.
• Taux de retombée : Anticl^∗ = Δ / M (une valeur ≥ 1 signifie que la dernière unité tombe plus bas que la première).

Pour ι(u) = |Fact(u)|, on a |u| ≤ ι(u) ≤ |u|(|u| + 1) / 2 : un mot court et répétitif est « faible », un mot long sans répétition est « fort ».

Expression par fonction caractéristique

Anticl = [ ∏_j=1^m−2 χ_{(0, ∞)}(ι(u_j+1) − ι(u_j)) ] · χ_{(0, ∞)}(ι(u_m−1) − ι(u_m)) · (ι(u_m−1) − ι(u_m)).

Statut modal

Nécessaire avec l’intensité structurelle ι(u) = |Fact(u)| ; contingent lorsque l’intensité est une évaluation extérieure de l’importance des termes.

Justification du lien

L’anticlimax suppose une échelle : on monte d’un degré à l’autre, puis l’on retombe d’un coup. Le mécanisme exige donc deux choses à la fois, une montée régulière et une chute finale, et il mesure la chute par rapport à la montée. Avec l’intensité structurelle, la « dignité » d’une unité est sa richesse en facteurs distincts, et la chute vers un mot pauvre et répétitif rend le passage du sublime au trivial.

Exemple illustratif

1. Au niveau des lettres : u₁ = ab, u₂ = abc, u₃ = abcd, u₄ = aa. Intensités : ι = (3, 6, 10, 2). La suite monte strictement (3 < 6 < 10) puis retombe (2 < 10) : Forme = 1, Δ = 10 − 2 = 8, M = 10 − 3 = 7, donc Anticl = 8 et Anticl^∗ = 8 / 7 ≈ 1,14 : la dernière unité tombe plus bas que la première.
2. Contre-exemple : la suite d’intensités (12, 8, 3) descend régulièrement sans montée préalable ; Forme = 0. C’est une gradation descendante (catacosmèse), et non un anticlimax : ses deux chutes valent 4 et 5, et la descente totale vaut 9.
3. Au niveau du texte (intensité contingente) : chez Pope, la description s’élève de la reine (ι = 1) aux trois royaumes qui lui obéissent (ι = 2), puis au conseil d’État (ι = 3), avant de tomber sur le thé (ι = 0). Avec ces notes d’importance, Forme = 1, Δ = 3 − 0 = 3, M = 3 − 1 = 2, et Anticl^∗ = 3 / 2 = 1,5 : le dernier terme tombe plus bas que le premier.

Anticlimax (montée puis chute) et gradation descendante (sans montée).

16. Antimetabole – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’antimétabole (du grec antimetabolē, « renversement », « échange ») est la reprise de deux mots ou de deux expressions dans l’ordre inverse, pour établir un contraste ou un renversement de perspective. Elle constitue une forme spécialisée du chiasme (schéma A B … B A) dans laquelle ce sont les mêmes mots qui reviennent. Quintilien la présente comme une forme d’antithèse (Institution oratoire, IX, 3, 85). Molière en fournit un exemple proverbial dans L’Avare (III, 1) : « il faut manger pour vivre, et non pas vivre pour manger ».

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Échange de deux facteurs entre deux unités (antimetabole exchange).

Définition mathématique

Soient deux unités consécutives c₁ et c₂. Il y a antimétabole s’il existe des mots x, y, z et deux facteurs non vides u ≠ v tels que

c₁ = x u y v z et c₂ = x v y u z :

la seconde unité s’obtient de la première en échangeant les places de u et de v, tout le reste demeurant identique. Dans la forme la plus serrée (x = y = z = ε), c₁c₂ = uv · vu, qui est le schéma A B B A du chiasme. Lorsque la seconde unité ajoute ou retire des mots outils (une négation, une conjonction), on applique la définition après effacement de ces mots, qui forment un ensemble fixé O.

Expression formelle computable

Le nombre de lectures antimétaboliques est

Antim(c₁, c₂) = |{(x, u, y, v, z) | u ≠ v, c₁ = xuyvz, c₂ = xvyuz}|,

calculable en parcourant les découpages de c₁ en cinq facteurs (un nombre fini, au plus de l’ordre de |c₁|⁴). Une valeur Antim ≥ 1 signale une antimétabole.

Expression par fonction caractéristique

Antim(c₁, c₂) = Σ_{(x, u, y, v, z)} χ_{c1}(xuyvz) · χ_{c2}(xvyuz) · (1 − χ_{u}(v)),

la somme portant sur les découpages de c₁. Pour des unités d’un seul token, elle se réduit à la transposition τ_i,j des positions i et j : Antim = Σ_i<j χ_{c2}(τ_i,j(c₁)).

Statut modal

Nécessaire dans la forme exacte ; possible lorsqu’on efface au préalable un ensemble O de mots outils fixé à l’avance.

Justification du lien

L’antimétabole reprend les mêmes termes en échangeant leurs places, et c’est cet échange qui produit le renversement de sens. En combinatoire des mots, c’est l’opération d’échange de deux blocs (block interchange) entre deux mots qui ont, pour le reste, le même contenu : l’identité du cadre (x, y, z) garantit qu’il s’agit bien des mêmes termes, et l’échange de u et de v en garantit le renversement.

Exemple illustratif

1. Molière : c₁ = (manger, pour, vivre) et c₂ = (vivre, pour, manger), après effacement de O = {il, faut, et, non, pas}. Avec x = ε, u = manger, y = pour, v = vivre, z = ε, on a c₁ = xuyvz et c₂ = xvyuz : Antim = 1 (c’est la seule transposition qui convient).
2. Kennedy (discours d’investiture, 1961) : c₁ = (ask, not, what, your, country, can, do, for, you) et c₂ = (ask, what, you, can, do, for, your, country). Après effacement de O = {not}, on a x = (ask, what), u = (your, country), y = (can, do, for), v = (you), z = ε : échange d’un bloc de deux mots et d’un bloc d’un mot, Antim = 1.
3. Au niveau des lettres : c₁ = ab, c₂ = ba, d’où c₁c₂ = abba, forme pure du chiasme A B B A.

Échange de manger et vivre dans la formule de Molière.

Échange des blocs « your country » et « you » chez Kennedy.

17. Antinomy – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique et philosophique (synthèse des sources)

L’antinomie (du grec anti-, « contre », et nomos, « loi ») désigne une contradiction entre deux conclusions qui semblent également valides et qui sont obtenues par des raisonnements également corrects. Kant lui a donné son sens moderne dans la Critique de la raison pure (Dialectique transcendantale) : la raison, appliquée à des questions qui dépassent l’expérience, produit des couples de thèse et d’antithèse également démontrables, par exemple « le monde a un commencement dans le temps » et « le monde n’a pas de commencement ». Elle se distingue du simple paradoxe en ce que les deux branches sont défendables par des preuves de même valeur.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à deux formes normales (antinomy non-confluence).

Définition mathématique

Un raisonnement se modélise par un système de réécriture de mots R, ensemble fini de règles ℓ → r (avec ℓ, r ∈ Σ^∗) : une étape remplace une occurrence de ℓ par r, et l’on note w →^∗ v si v se déduit de w par une suite finie d’étapes. Un mot est irréductible (une « conclusion ») si aucune règle ne s’y applique. L’ensemble des conclusions de w est

NF_R(w) = {v | w →^∗ v et v irréductible}.

Le mot w est antinomique pour R si |NF_R(w)| ≥ 2 : deux suites de déductions toutes correctes, à partir de la même prémisse, aboutissent à deux conclusions différentes et définitives. En théorie de la réécriture, c’est l’échec de la confluence (propriété de Church–Rosser) ; il provient toujours d’un chevauchement de deux membres gauches de règles (une paire critique), au sens de Knuth et Bendix.

Expression formelle computable

Pour un système R qui fait décroître la longueur (|r| < |ℓ| pour toute règle), toutes les déductions sont finies et l’ensemble NF_R(w) se calcule par exploration complète des déductions. Le degré d’antinomie est

Antin_R(w) = |NF_R(w)| − 1,

nombre de conclusions supplémentaires au-delà de la première ; il est nul si et seulement si les déductions sont confluentes à partir de w.

Expression par fonction caractéristique

|NF_R(w)| = Σ_{v ∈ Σ^∗, |v| ≤ |w|} χ_DR(w)(v) · ∏_{(ℓ → r) ∈ R} (1 − χ_Fact(v)(ℓ)),

où D_R(w) est l’ensemble des mots déductibles de w ; le produit vaut 1 exactement quand aucun membre gauche ℓ n’apparaît dans v, c’est-à-dire quand v est irréductible.

Statut modal

Possible : le mécanisme exige la donnée du système de règles R ; ensuite, pour un système qui raccourcit les mots, tout est fini et calculable.

Justification du lien

L’antinomie kantienne n’est pas une erreur de raisonnement : chacune des deux preuves est correcte, et c’est leur coexistence qui fait problème. Un système de réécriture non confluent reproduit exactement cette situation : chaque étape applique légitimement une règle, mais l’ordre dans lequel on les applique conduit à deux conclusions irréductibles différentes. La théorie de la réécriture indique même l’origine de l’antinomie, le chevauchement de deux règles sur un même segment, comme la Critique situe la source des antinomies dans l’usage de la raison au-delà de ses limites.

Exemple illustratif

Soit R = {ab → x, bc → y} sur Σ = {a, b, c, x, y}.

1. w = abc : on peut réécrire ab, d’où abc → xc, ou bien bc, d’où abc → ay. Les mots xc et ay sont irréductibles : NF_R(abc) = {xc, ay}, Antin_R(abc) = 1. La thèse et l’antithèse naissent du chevauchement des membres gauches ab et bc sur la lettre b.
2. w = aabbc : les occurrences de ab (positions 2–3) et de bc (positions 4–5) ne se chevauchent pas ; quel que soit l’ordre, on aboutit à axy. NF_R(aabbc) = {axy} et Antin_R = 0 : pas d’antinomie sans chevauchement.
3. w = abcabc : deux chevauchements indépendants, d’où 2 × 2 = 4 conclusions, NF_R(abcabc) = {xcxc, xcay, ayxc, ayay}, et Antin_R = 3.

Les deux déductions de abc, de la prémisse aux deux conclusions.

Raisonnement manuel à partir de « abc » : les deux règles aboutissent à deux mots finaux différents, « xc » et « ay ».
Origine de la contradiction : les deux règles nécessitent toutes deux la même lettre « b ». Ce chevauchement est appelé « paire critique ».

En l’absence de chevauchement, on aboutit à un résultat unique : pour « aabbc », quel que soit l’ordre d’application des règles, on obtient « axy ». C’est ce que l’on appelle la « confluence ».

Avec deux chevauchements : « abcabc » donne lieu à 2 × 2 = 4 résultats possibles.
Méthode de calcul générale : chaque étape raccourcit le mot ; l’arbre de toutes les déductions est donc fini, et ses feuilles correspondent aux résultats finaux.

Nombre de conclusions irréductibles pour quatre mots.

18. Antiptosis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’antiptose (du grec anti-, « à la place de », et ptōsis, « cas ») est une variété d’énallage dans laquelle un cas grammatical est employé à la place d’un autre. Elle est surtout visible dans les langues à déclinaison, comme le latin et le grec ; en anglais et en français, elle se manifeste principalement par les pronoms, qui gardent des formes de cas (je / me / moi, I / me). Elle est apparentée à l’hypallage et à l’hendiadys, qui déplacent elles aussi une relation grammaticale.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Substitution de cas à lexème constant (antiptosis case substitution).

Définition mathématique

On prend pour alphabet un ensemble de formes fléchies Σ ⊆ Λ × K, où Λ est un ensemble de lexèmes et K un ensemble de cas ; une forme t = (λ, κ) a pour lexème λ(t) et pour cas κ(t). Les deux projections s’étendent en morphismes lettre à lettre λ : Σ^∗ → Λ^∗ et κ : Σ^∗ → K^∗. Soit e = e₁ ⋯ e_n l’énoncé attendu par la syntaxe et w = t₁ ⋯ t_n l’énoncé produit. Il y a antiptose si les deux énoncés ont les mêmes lexèmes mais pas les mêmes cas :

λ(w) = λ(e) et κ(w) ≠ κ(e).

Autrement dit, chaque substitution se fait à l’intérieur d’une même classe d’équivalence (le paradigme d’un lexème), d’une forme à une autre de cette classe.

Expression formelle computable

Le degré d’antiptose est la distance de Hamming entre les mots de cas, à lexèmes égaux :

Antip(w, e) = d_H(κ(w), κ(e)) = |{j ∈ {1, …, n} | κ(t_j) ≠ κ(e_j)}| (lorsque λ(w) = λ(e)).

Expression par fonction caractéristique

Antip(w, e) = [ ∏_j=1ⁿ χ_{λ(ej)}(λ(t_j)) ] · Σ_j=1ⁿ (1 − χ_{κ(ej)}(κ(t_j))).

Le produit vérifie que les lexèmes coïncident partout (sinon il ne s’agit pas d’une antiptose mais d’un changement de mot), et la somme compte les cas substitués.

Statut modal

Contingent : l’attribution des cas et l’énoncé attendu e relèvent de la grammaire de la langue, extérieure au mot.

Justification du lien

L’antiptose garde le mot et change son cas. La décomposition de chaque forme en lexème et cas sépare exactement ces deux composantes : la projection λ reste fixe, la projection κ varie. Le mécanisme distingue ainsi l’antiptose de toute autre substitution : un changement de lexème est une autre figure (antonomase, métonymie), tandis qu’un changement de cas à lexème constant est, et n’est que, une antiptose.

Exemple illustratif

1. Au niveau des mots : « Me Tarzan, you Jane », face à l’énoncé attendu « I (am) Tarzan, you (are) Jane ». Le premier pronom a le même lexème (première personne du singulier) mais le cas accusatif au lieu du nominatif : λ(me) = λ(I) et κ(me) = accusatif ≠ nominatif = κ(I). Les autres termes sont conformes, donc Antip = 1.
2. Au niveau des lettres : Σ = {a₁, a₂, b₁, b₂}, où la lettre de base est le lexème et l’indice le cas. Pour e = a₁b₁a₁ et w = a₁b₂a₂, on a λ(w) = λ(e) = aba, κ(e) = 111 et κ(w) = 122, donc Antip(w, e) = 2. En revanche, pour w′ = a₁a₁a₁, λ(w′) = aaa ≠ aba : le produit vaut 0, et Antip = 0, car il ne s’agit plus d’une substitution de cas.

Énoncé attendu et énoncé produit : mêmes lexèmes, cas substitués.

Partie 3 : mécanismes 19 à 27 d’Antistrophe à Argument)

Les notations, la fonction caractéristique χ_F et les trois statuts modaux (nécessaire, possible, contingent) sont ceux fixés au § 0 de la partie 1. Comme dans la partie 2, un texte est traité soit au niveau des lettres, soit au niveau des mots de la langue, chaque mot devenant une lettre d’un alphabet de tokens et chaque proposition un mot sur cet alphabet. En intelligence artificielle, l’« alphabet » de tokens désigne le vocabulaire fini (ou dictionnaire de mots, morceaux de mots et caractères). La méthode de découpage (la tokenisation) implique qu’un token ne correspond pas exactement à un mot.

19. Antistrophe – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’antistrophe, aussi appelée épistrophe ou épiphore, est la répétition du même mot ou de la même expression à la fin de propositions ou de phrases successives. Elle est le pendant de l’anaphore (répétition en tête d’unité), et la réunion des deux donne la symploque. La Rhétorique à Herennius (IV, 19) la nomme conversio et l’illustre par une phrase où chaque membre s’achève sur le même verbe : depuis que la concorde a disparu de la cité, la liberté a disparu, la bonne foi a disparu, l’amitié a disparu, la chose publique a disparu.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Plus long suffixe commun d’unités successives (antistrophe suffix).

Définition mathématique

Soit w = c₁c₂ ⋯ c_m une segmentation en m ≥ 2 unités. Le plus long suffixe commun de deux mots est

lcs(x, y) = max{k | Suff_k(x) = Suff_k(y)}.

Le mot w présente une antistrophe de longueur k si toutes les unités se terminent par le même suffixe de longueur k :

Suff_k(c₁) = Suff_k(c₂) = ⋯ = Suff_k(c_m), k ≥ 1.

L’antistrophe est exactement l’anaphore du mot miroir : en notant x^R le renversement de x, on a Suff_k(x) = (Pref_k(x^R))^R, donc lcs(x, y) = lcp(x^R, y^R). Tout ce qui a été établi pour l’anaphore (mécanisme 11) se transporte par renversement.

Expression formelle computable

• Degré global d’antistrophe : Antis(w) = lcs(c₁, …, c_m) = min_{1 ≤ j ≤ m−1} lcs(c_j, c_j+1).
• Profil : (ρ₁, …, ρ_m−1) avec ρ_j = lcs(c_j, c_j+1).
• Symploque : une suite d’unités présente une symploque d’ordre (k, k′) si Anap(w) ≥ k et Antis(w) ≥ k′ simultanément.

Expression par fonction caractéristique

Antis(w) = Σ_k=1^h ∏_j=2^m χ_{Suffk(c1)}(Suff_k(c_j)), h = min_j |c_j|.

Statut modal

Nécessaire dès que la segmentation est marquée dans le mot (ponctuation) ; possible si elle est fournie de l’extérieur.

Justification du lien

L’antistrophe ramène la même fin dans des unités successives. En combinatoire des mots, c’est la notion de suffixe commun, que le renversement échange avec celle de préfixe commun : l’antistrophe est l’image miroir de l’anaphore, comme l’arbre des suffixes est l’image miroir de l’arbre des préfixes. L’effet de clôture répétée que produit la figure correspond à ce que toutes les unités convergent vers une même terminaison.

Exemple illustratif

1. Lincoln, discours de Gettysburg (1863) : « of the people, by the people, for the people », avec c₁ = (of, the, people), c₂ = (by, the, people), c₃ = (for, the, people). Profil : ρ₁ = ρ₂ = 2, donc Antis(w) = 2 (suffixe commun « the people »). Les unités ne partagent aucun préfixe : Anap(w) = 0, ce n’est donc pas une symploque.
2. La phrase de la Rhétorique à Herennius comporte cinq membres terminés par le même verbe : au niveau des mots, Antis = 1 ; au niveau des lettres, pour la traduction anglaise usuelle où chaque membre s’achève sur « disappeared », Antis = 11, longueur de ce mot.
3. Au niveau des lettres : w = abc · dbc · ebc donne Antis(w) = 2 (suffixe commun bc), et l’on vérifie que les renversements cba, cbd, cbe ont pour préfixe commun cb, de longueur 2.

Suffixe commun « the people » des trois membres de la formule de Lincoln.

Le renversement échange suffixe commun et préfixe commun.

20. Antithesis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’antithèse (du grec antithesis, « opposition ») est la juxtaposition d’idées contraires dans des structures grammaticales parallèles ou équilibrées. Aristote la décrit dans la Rhétorique (III, 9) comme la mise en regard de contraires dans des membres de construction semblable, qui rend les contraires plus saisissants par leur proximité ; Quintilien la range parmi les figures de mots (IX, 3, 81). Le mot désigne aussi le second moment du raisonnement dialectique. Dickens en fournit l’exemple célèbre qui ouvre Le Conte de deux cités (1859) : c’était le meilleur des temps, c’était le pire des temps.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Unités parallèles à positions opposées (antithesis contrast factors).

Définition mathématique

On se donne une opposition sur l’alphabet : une involution ω : Σ → Σ sans point fixe sur son domaine (ω(ω(a)) = a et ω(a) ≠ a), qui associe à chaque terme son contraire. Pour l’alphabet binaire, ω est le complément : ω(a) = b, ω(b) = a. Soient deux unités de même longueur c₁ = s₁ ⋯ s_n et c₂ = t₁ ⋯ t_n. Chaque position j est soit parallèle (t_j = s_j), soit opposée (t_j = ω(s_j)), soit libre. Il y a antithèse si au moins une position est opposée et si toutes les positions sont parallèles ou opposées :

Opp(c₁, c₂) ≥ 1 et Par(c₁, c₂) + Opp(c₁, c₂) = n.

Le parallélisme assure la symétrie de construction, l’opposition assure le contraste : l’antithèse est leur conjonction.

Expression formelle computable

• Nombre de positions parallèles : Par(c₁, c₂) = |{j | t_j = s_j}| = n − d_H(c₁, c₂).
• Nombre de positions opposées : Opp(c₁, c₂) = |{j | t_j = ω(s_j)}|.
• Degré d’antithèse : Antith(c₁, c₂) = Opp(c₁, c₂) / n, égal à 1 pour l’antithèse totale c₂ = ω(c₁), où ω est étendu en morphisme lettre à lettre.

Pour l’alphabet binaire avec le complément, toute position différente est opposée, et Opp = d_H(c₁, c₂).

Expression par fonction caractéristique

Par = Σ_j=1ⁿ χ_{sj}(t_j), Opp = Σ_j=1ⁿ χ_{ω(sj)}(t_j), et l’antithèse a lieu si et seulement si χ_{[1, ∞)}(Opp) · χ_{n}(Par + Opp) = 1.

Statut modal

Nécessaire pour l’opposition structurelle (complément binaire) ; contingent pour l’opposition sémantique, où l’involution ω est un dictionnaire de contraires donné par la langue.

Justification du lien

L’antithèse exige à la fois la ressemblance de la forme et la contrariété du sens. Le mécanisme sépare ces deux exigences : les positions parallèles mesurent la symétrie de construction, les positions opposées mesurent le contraste. L’involution ω rend le caractère réciproque de l’opposition (le contraire du contraire est le terme initial), et le complément binaire en donne la forme la plus pure, celle où les deux unités ne diffèrent qu’en s’opposant partout.

Exemple illustratif

1. Dickens : c₁ = (it, was, the, best, of, times) et c₂ = (it, was, the, worst, of, times), avec ω(best) = worst. Par = 5, Opp = 1, Par + Opp = 6 = n : antithèse, de degré 1 / 6. La quasi-identité des deux membres fait ressortir le seul couple opposé.
2. « Man proposes, God disposes » : c₁ = (man, proposes), c₂ = (God, disposes), avec ω(man) = God et ω(proposes) = disposes. Par = 0, Opp = 2 = n : antithèse totale, de degré 1.
3. Au niveau des lettres, avec le complément sur {a, b} : c₁ = aabab et c₂ = abbab donnent Par = 4, Opp = 1 (degré 1 / 5) ; c₂ = bbaba = ω(aabab) donne Opp = 5, antithèse totale.

Positions parallèles et position opposée dans la phrase de Dickens.

Antithèse totale : un mot binaire et son complément.

21. Antonomasia – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’antonomase (du grec antonomazein, « nommer autrement ») est la substitution d’une épithète, d’un titre ou d’une périphrase à un nom propre (« le petit caporal » pour Napoléon), ou, inversement, l’emploi d’un nom propre pour désigner une qualité générale (« un Harpagon » pour un avare). Quintilien la décrit comme très fréquente chez les poètes (Institution oratoire, VIII, 6, 29). Elle est apparentée à la métonymie et à la synecdoque.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Substitution par dictionnaire d’épithètes (antonomasia epithet substitution).

Définition mathématique

Soit N ⊆ Σ⁺ un ensemble fini de noms propres et E : N → Σ⁺ un dictionnaire d’épithètes, qui associe à chaque nom une désignation descriptive E(ν). Une antonomase directe remplace une occurrence d’un nom par son épithète :

w = x ν y ↦ w′ = x E(ν) y, ν ∈ N.

L’antonomase inverse applique le dictionnaire dans l’autre sens : une description ou un nom commun attendu est remplacé par le nom propre qui en est le type. Le texte d’origine se retrouve en appliquant la substitution inverse, ce qui exige que les épithètes du dictionnaire soient deux à deux distinctes : E doit être injectif pour que la désignation reste déchiffrable.

Expression formelle computable

• Nombre d’antonomases dans un texte w′ : Anton(w′) = Σ_{ν ∈ N} m_w′(E(ν)), nombre total d’occurrences d’épithètes du dictionnaire.
• Expansion de l’antonomase : Exp(ν) = |E(ν)| − |ν|, gain de longueur (positif pour une périphrase, négatif pour l’antonomase inverse).
• Décodage : la réécriture E(ν) → ν, appliquée à w′, restitue w.

Expression par fonction caractéristique

Anton(w′) = Σ_{ν ∈ N} Σ_i=1^{|w′|−|E(ν)|+1} χ_{E(ν)}(w′[i..i+|E(ν)|−1]),

et le dictionnaire est déchiffrable si et seulement si ∏_{ν ≠ ν′} (1 − χ_{E(ν)}(E(ν′))) = 1.

Statut modal

Contingent : le dictionnaire E, qui relie un nom à ses épithètes, est une donnée culturelle extérieure au mot ; une fois E fixé, le repérage et le décodage sont purement combinatoires.

Justification du lien

L’antonomase désigne quelqu’un sans le nommer, ou nomme quelqu’un pour désigner une qualité. Dans le modèle, c’est une substitution de facteur guidée par un dictionnaire : le nom propre est remplacé par une suite plus longue qui en décrit un trait, et le lecteur doit effectuer le décodage inverse pour retrouver la personne visée. L’injectivité du dictionnaire traduit la condition de réussite de la figure : une épithète qui conviendrait à deux personnes ne désignerait plus personne.

Exemple illustratif

1. Antonomase directe : w = (Napoléon, conquit, l’Europe), E(Napoléon) = (le, petit, caporal). Alors w′ = (le, petit, caporal, conquit, l’Europe), Anton(w′) = 1 et Exp(Napoléon) = 3 − 1 = 2 tokens.
2. Antonomase inverse : « c’est un Harpagon » remplace le nom commun attendu (avare) par le nom du personnage de Molière qui en est le type : Exp = 1 − 1 = 0 token, mais le sens passe du général au particulier.
3. Au niveau des lettres : N = {n}, E(n) = cde, w = anb. Alors w′ = acdeb, Anton(w′) = 1, Exp(n) = 2, et la réécriture cde → n restitue anb.

Substitution de l’épithète « le petit caporal » au nom propre.

22. Apophasis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’apophase (du grec apophasis, « négation ») consiste à prétendre taire une chose tout en la disant. Elle est aussi appelée prétérition (praeteritio), paralipse ou occupatio. La formule type est « je ne parlerai pas de… ». Cicéron en use abondamment, et la Rhétorique à Herennius (IV, 37) la définit comme le fait de dire que l’on passe sous silence ce que, précisément, l’on dit. Elle permet d’introduire un sujet tout en se dégageant de la responsabilité de l’avoir abordé.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Facteur nié mais présent (apophasis negated presence).

Définition mathématique

Soit M ⊆ Σ⁺ un ensemble fini de marqueurs de prétérition (au niveau des mots : « not mention », « nor », « je ne dirai pas », « sans parler de », « passons sur »). Le texte w contient une apophase portant sur un facteur non vide u si

μ u ∈ Fact(w) pour un marqueur μ ∈ M,

u désignant l’unité de contenu qui suit immédiatement le marqueur. Le paradoxe de la figure se lit alors sur la fonction caractéristique : le marqueur affirme que u est exclu du discours, mais l’occurrence même du marqueur suivi de u entraîne χ_Fact(w)(u) = 1. Toute prétérition est une mention : le discours qui nie mentionner u contient u.

Expression formelle computable

• Nombre d’apophases : Apoph(w) = nombre d’occurrences dans w de facteurs μu, avec μ ∈ M et u unité de contenu.
• Couverture : la part des unités du texte qui figurent sous un marqueur de prétérition, Couv(w) = (nombre de tokens de contenu niés) / |w|.

Expression par fonction caractéristique

Apoph(w) = Σ_{μ ∈ M} Σ_i=1^n−|μ| χ_{μ}(w[i..i+|μ|−1]),

chaque occurrence d’un marqueur suivie d’au moins une unité comptant pour une apophase ; et pour chaque contenu u ainsi nié, l’identité χ_Fact(w)(u) = 1 formalise la contradiction entre ce que le texte dit faire et ce qu’il fait.

Statut modal

Possible : le mécanisme exige la liste M des marqueurs de prétérition ; le repérage est ensuite purement combinatoire.

Justification du lien

L’apophase dit en déclarant ne pas dire. Le mécanisme sépare les deux plans : le plan de l’énoncé, où le marqueur déclare une exclusion, et le plan du mot, où l’unité exclue figure bel et bien. La fonction caractéristique d’appartenance au discours vaut 1 précisément là où l’orateur prétend qu’elle vaut 0 : c’est la forme exacte de la contradiction performative sur laquelle repose la figure.

Exemple illustratif

Soit, au niveau des mots, w = « I shall not mention Caesar’s avarice, nor his cunning, nor his morality » (12 tokens), avec M = {(not, mention), (nor)}.

• Occurrences : (not, mention) suivi de (Caesar’s, avarice) ; (nor) suivi de (his, cunning) ; (nor) suivi de (his, morality). Donc Apoph(w) = 3.
• Couverture : 6 tokens de contenu sur 12 sont placés sous prétérition, Couv(w) = 6 / 12 = 0,5 : la moitié du texte est faite de ce qu’il prétend ne pas dire.

Au niveau des lettres, avec M = {zz} : w = azzbczzd contient zzb et zzd, donc Apoph(w) = 2, et pourtant χ_Fact(w)(b) = χ_Fact(w)(d) = 1.

Marqueurs de prétérition et contenu nié pourtant présent.

23. Aporia – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’aporie (du grec aporia, « absence de passage », « impasse ») est l’expression d’un doute, réel ou feint, à des fins rhétoriques. La rhétorique latine la nomme dubitatio : l’orateur paraît hésiter sur ce qu’il doit dire, par où commencer ou quel parti prendre, afin d’engager l’auditoire, de souligner la complexité d’un sujet ou de préparer une affirmation (Rhétorique à Herennius, IV, 40). Le monologue d’Hamlet en donne la forme la plus nue : être, ou ne pas être.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Point de choix équiprobable (aporia branching).

Définition mathématique

Un point de choix est une position du discours où se présentent k ≥ 2 suites possibles, notées A₁, …, A_k, deux à deux exclusives et dont l’une doit être prise. En termes de fonctions caractéristiques, leurs indicatrices forment une partition :

χ_Ai · χ_Aj = 0 pour i ≠ j, et Σ_i=1^k χ_Ai = 1.

Le choix est donc forcé (exactement une indicatrice vaut 1) mais indéterminé (rien ne dit laquelle). L’aporie est un point de choix où aucune suite n’est privilégiée, ce qui correspond à la distribution uniforme sur les k suites. Le cas k = 2 avec A₂ = Ā₁ (une alternative et sa négation) est l’aporie pure : χ_A + χ_Ā = 1.

Expression formelle computable

Le degré d’indécision d’un point de choix est l’entropie de la distribution uniforme, mesurée en bits :

H = log₂ k,

et pour un discours qui enchaîne plusieurs points de choix de tailles k₁, …, k_r, Apor(w) = Σ_i=1^r log₂ k_i = log₂(k₁ ⋯ k_r). Si les suites possibles sont pondérées par des probabilités p₁, …, p_k, on remplace log₂ k par l’entropie de Shannon −Σ p_i log₂ p_i, qui est maximale, égale à log₂ k, exactement dans le cas uniforme : l’aporie est le doute maximal.

Expression par fonction caractéristique

Le nombre de suites ouvertes en un point de choix est k = Σ_i=1^k χ_Pref(L)(u A_i), où u est le discours déjà prononcé et L l’ensemble des discours admissibles ; le point est aporétique si χ_{[2, ∞)}(k) = 1.

Statut modal

Possible : le mécanisme exige l’ensemble des suites admissibles en chaque point de choix ; une fois cet ensemble donné, l’entropie se calcule directement.

Justification du lien

L’aporie est l’absence de passage : plusieurs chemins s’ouvrent et aucun ne s’impose. La partition des indicatrices exprime exactement cette situation, où il faut choisir un chemin et un seul sans qu’aucun soit désigné, et l’entropie mesure la quantité de doute en bits. La figure rhétorique feint ce doute pour mieux associer l’auditoire au choix ; le mécanisme mesure la largeur de l’hésitation qu’elle met en scène.

Exemple illustratif

1. « To be, or not to be » : un point de choix à k = 2 suites, A = (to, be) et Ā = (not, to, be), avec χ_A + χ_Ā = 1. Indécision : H = log₂ 2 = 1 bit, aporie pure.
2. « Par où commencer ? » devant un sujet à 8 thèmes possibles : k = 8, H = log₂ 8 = 3 bits. Si l’orateur hésite ensuite entre 4 manières de conclure, Apor(w) = log₂ 8 + log₂ 4 = 5 bits = log₂ 32.
3. Choix non uniforme : avec deux suites de probabilités 0,9 et 0,1, l’entropie vaut −0,9 log₂ 0,9 − 0,1 log₂ 0,1 ≈ 0,469 bit : l’hésitation est feinte de façon peu crédible, puisque l’une des issues s’impose.

Point de choix entre une alternative et sa négation.

Indécision en bits pour quatre situations d’aporie.

24. Aposiopesis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’aposiopèse (du grec aposiōpēsis, « fait de se taire ») est l’interruption brusque d’une phrase, dont la suite est laissée à l’imagination de l’auditeur. Elle marque souvent une émotion intense (colère, peur, pudeur) ou une réticence ; la rhétorique latine la nomme reticentia. L’exemple canonique est le « Quos ego… » de Neptune dans l’Énéide (I, 135), menace interrompue contre les vents déchaînés ; Quintilien le cite (IX, 2, 54).

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Préfixe propre à complétions multiples (aposiopesis truncated word).

Définition mathématique

Soit L ⊆ Σ⁺ l’ensemble des énoncés complets admissibles (un lexique ou une langue). L’énoncé prononcé w est une aposiopèse relativement à L s’il est un préfixe propre d’au moins un énoncé de L sans appartenir lui-même à L :

w ∈ Pref(L) ∖ L.

Les complétions de w sont les suffixes qui le rendent complet : Comp_L(w) = {s ∈ Σ⁺ | ws ∈ L}. Plus elles sont nombreuses, plus la part laissée à l’imagination est grande.

Expression formelle computable

• Ouverture de l’interruption : Apos(w) = |Comp_L(w)|.
• Taux d’achèvement, pour une complétion visée s : τ(w, s) = |w| / |ws| ∈ (0, 1).
• Indécision de la suite (complétions également possibles) : log₂ |Comp_L(w)| bits, comme au mécanisme 23.

Expression par fonction caractéristique

Apos(w) = Σ_{s ∈ Σ⁺, |ws| ≤ ℓmax} χ_L(ws), et w est une aposiopèse si et seulement si (1 − χ_L(w)) · χ_{[1, ∞)}(Apos(w)) = 1,

où ℓ_max est la longueur maximale des mots de L (L étant fini, la somme est finie).

Statut modal

Possible : le mécanisme exige l’ensemble L des énoncés complets ; ensuite, l’interruption et ses complétions se calculent sur l’arbre des préfixes de L.

Justification du lien

L’aposiopèse s’arrête avant la fin attendue. En combinatoire des mots, l’énoncé interrompu est un préfixe propre, un nœud intérieur de l’arbre des préfixes du langage, et non une feuille. Le nombre de branches qui partent de ce nœud mesure tout ce que le silence laisse ouvert : la menace de Neptune est d’autant plus forte que les châtiments possibles sont nombreux.

Exemple illustratif

1. Au niveau des lettres : L = {abc, abd, abba}, w = ab. On a ab ∉ L et Comp_L(ab) = {c, d, ba}, donc Apos(ab) = 3 et l’indécision vaut log₂ 3 ≈ 1,585 bit. Pour la complétion s = ba, τ = 2 / 4 = 0,5.
2. « Get out, or else — » : avec un ensemble de suites admissibles du type {I’ll call the police, you’ll regret it, …}, la menace reste ouverte sur autant de complétions que l’auditeur peut en imaginer ; le préfixe n’est complété par aucune, ce qui est le propre de la figure.
3. w = abc donne Apos = 0, car abc ∈ L : l’énoncé est complet, il n’y a pas d’interruption.

L’énoncé interrompu ab dans l’arbre des préfixes de L, avec ses trois complétions.

25. Apostrophe – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’apostrophe (du grec apostrophē, « action de se détourner ») est une figure par laquelle l’orateur interrompt son discours pour s’adresser directement, souvent avec émotion, à une personne absente ou morte, ou à une chose inanimée ou abstraite. Quintilien la définit comme le fait de détourner la parole du juge vers un autre destinataire (Institution oratoire, IX, 2, 38). L’exemple classique est l’apostrophe de saint Paul à la mort : « O death, where is thy sting? » (Première épître aux Corinthiens, 15, 55, version du roi Jacques).

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Détour dans le mot des destinataires (apostrophe vocative detour).

Définition mathématique

Soit w = c₁ ⋯ c_m une suite d’unités et d : {c₁, …, c_m} → D une fonction qui associe à chaque unité son destinataire, dans un ensemble D contenant le destinataire principal x (l’auditoire). Le mot des destinataires est

δ(w) = d(c₁) d(c₂) ⋯ d(c_m) ∈ D^m.

Une apostrophe est un détour : un facteur de δ(w) de la forme x y^k x, avec y ≠ x et k ≥ 1, où le discours quitte l’auditoire pour un autre destinataire puis lui revient (le détour peut aussi clore le discours, sous la forme x y^k en suffixe). Au niveau des tokens, le vocatif (« O », « Ô ») est le marqueur ordinaire de l’entrée dans le détour.

Expression formelle computable

• Nombre de changements de destinataire : Sw(w) = |{j | d(c_j) ≠ d(c_j+1)}|.
• Nombre d’apostrophes : Apost(w) = nombre de plages maximales de δ(w) formées d’un destinataire y ≠ x.
• Nombre de vocatifs : V(w) = m_w(O), occurrences du marqueur vocatif.

Expression par fonction caractéristique

Sw(w) = Σ_j=1^m−1 (1 − χ_{d(cj)}(d(c_j+1))), Apost(w) = Σ_j=1^m (1 − χ_{x}(d(c_j))) · χ_{x}(d(c_j−1)),

avec la convention d(c₀) = x : la seconde somme compte les entrées dans un détour, c’est-à-dire les passages de l’auditoire à un autre destinataire.

Statut modal

Contingent : la fonction de destinataire d relève de l’interprétation pragmatique ; le marqueur vocatif en donne un indice graphique, mais ne suffit pas toujours à la déterminer.

Justification du lien

L’apostrophe se détourne de l’auditoire pour parler à un autre, puis revient. Le mot des destinataires rend ce mouvement visible : l’auditoire forme le fond, et chaque apostrophe y découpe une plage d’un autre destinataire. Le détour x y^k x est la forme combinatoire exacte du mot grec : se tourner ailleurs, puis se retourner.

Exemple illustratif

1. Dans le passage de l’épître (15, 54–57), l’auteur parle aux Corinthiens (x), s’adresse à la mort (y), puis au tombeau (z), avant de revenir aux Corinthiens pour rendre grâce. En découpant ce passage en quatre unités, δ(w) = x y z x : Sw = 3, Apost = 1 (une seule plage hors de l’auditoire, adressée successivement à deux destinataires), et le vocatif O apparaît deux fois, devant death et devant grave.
2. Au niveau des lettres : δ(w) = aabaacca, avec x = a. Les plages maximales différentes de a sont b et cc : Apost = 2 ; les changements de destinataire sont a → b, b → a, a → c, c → a, donc Sw = 4.

Mot des destinataires et détours hors de l’auditoire.

25′. Apostrophe – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’apostrophe (du grec apostrophē, « action de se détourner ») est une figure par laquelle l’orateur interrompt son propos pour s’adresser directement, souvent avec émotion, à une personne absente ou morte, ou à une chose inanimée ou abstraite. Quintilien la définit comme le fait de détourner la parole du juge vers un autre destinataire (Institution oratoire, IX, 2, 38). Exemples : « O death, where is thy sting? » (Première épître aux Corinthiens, 15, 55, version du roi Jacques) ; « Ô temps ! suspends ton vol » (Lamartine, Le Lac).

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Marqueur vocatif suivi d’un destinataire absent (vocative address factor).

L’apostrophe se reconnaît à deux traits que l’on peut lire dans le texte : une marque d’appel (le vocatif « Ô », « O ») et, juste après, un destinataire qui ne peut pas être l’auditoire présent (la mort, le temps, la patrie, un défunt). On compte les endroits où ces deux traits se suivent. On mesure ensuite combien le texte continue de parler à ce destinataire, en comptant les pronoms et possessifs de deuxième personne.

Données explicites

• V = ensemble des marques vocatives : {Ô, ô, O, o}.
• A = table des destinataires absents ou non humains admis pour le texte étudié, par exemple {death, grave, temps, mort, patrie, nature, lac}.
• S₂ = ensemble des marques de deuxième personne : {tu, te, toi, ton, ta, tes, vous, votre, vos, thou, thee, thy, you, your}.

Définition mathématique

Une apostrophe est une position i telle que t_i ∈ V et que l’un des deux tokens suivants, t_i+1 ou t_i+2, appartient à A. On définit :

• le nombre d’apostrophes Apos(w), nombre de telles positions ;
• le maintien de l’adresse S(w), nombre de tokens de w qui appartiennent à S₂ ;
• la densité d’adresse S(w) / n.

Le seuil et sa justification

Seuil logique : Apos(w) ≥ 1, une apostrophe suffit. La fenêtre de deux tokens après la marque vocative est une convention minimale : elle laisse la place à un seul déterminant ou possessif entre la marque et le destinataire (« Ô mon pays », « O my soul »), sans quoi ces apostrophes seraient manquées ; elle n’en laisse pas davantage, pour ne pas rattacher la marque à un nom trop éloigné.

Calcul pas à pas

1. Repérer chaque token de V.
2. Regarder les deux tokens qui le suivent ; si l’un d’eux est dans la table A, compter une apostrophe.
3. Compter les tokens de S₂ dans tout le texte.
4. Diviser ce nombre par n pour obtenir la densité d’adresse.

Expression par fonction caractéristique

Apos(w) = Σ_i=1ⁿ⁻¹ χ_V(t_i) · χ_{[1, ∞)}( χ_A(t_i+1) + χ_A(t_i+2) ), S(w) = Σ_i=1ⁿ χ_S2(t_i),

avec la convention χ_A(t_n+1) = 0. Le premier facteur vaut 1 sur une marque vocative ; le second vaut 1 si au moins un des deux tokens suivants est un destinataire de la table.

Statut modal

Possible pour le repérage (les listes V et S₂ sont grammaticales) ; contingent pour la table A, qui dépend de la situation d’énonciation (qui est présent, qui ne l’est pas).

Justification du lien

L’apostrophe est un détour : le discours quitte son auditoire pour un autre destinataire. La marque vocative signale le changement de destinataire, la table A garantit que ce destinataire n’est pas l’auditoire présent, et le compte des marques de deuxième personne mesure la durée du détour.

Exemples

Texte w	n	Marques V suivies d’un destinataire de A	Apos(w)	Marques de 2e personne	S(w) / n
O death where is thy sting O grave where is thy victory	12	O → death ; O → grave	2	thy, thy	2 / 12 ≈ 0,167
Ô temps suspends ton vol	5	Ô → temps	1	ton	1 / 5 = 0,2
Ô mon pays tu m’ as nourri	7	Ô → (mon) → pays	1	tu	1 / 7 ≈ 0,143
Ô la belle journée	4	Ô → la, belle : aucun dans A	0	—	0

Pour « Ô mon pays », la table A est complétée par « pays ». Le dernier exemple montre que la marque vocative seule ne suffit pas : « Ô la belle journée » est une exclamation (mécanisme 8), non une apostrophe, puisqu’aucun destinataire n’est nommé.

Les deux apostrophes de « O death… O grave… » : marque vocative, destinataire, marques de deuxième personne.

Nombre d’apostrophes et densité d’adresse pour les quatre exemples.

26. Arete – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’aretē (du grec aretē, « excellence », « vertu ») est l’une des trois composantes de l’ethos selon Aristote (Rhétorique, II, 1, 1378a) : l’orateur inspire confiance s’il manifeste la sagesse pratique (phronēsis), la vertu (aretē) et la bienveillance envers l’auditoire (eunoia). L’aretē désigne l’excellence du caractère ; l’orateur qui la montre dans son discours renforce sa crédibilité, indépendamment de la force de ses arguments.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Profil d’ethos et excellence d’un mot parmi ses conjugués (arete excellence word).

Définition mathématique

Soient trois lexiques finis de marqueurs, Φ (sagesse pratique), A (vertu) et Ε (bienveillance). Le profil d’ethos d’un texte w = t₁ ⋯ t_n est le vecteur

Eth(w) = (|w|_Φ, |w|_A, |w|_Ε), où |w|_X = |{j | t_j ∈ X}|,

et l’aretē au sens strict est sa deuxième composante. L’ethos aristotélicien complet exige les trois composantes non nulles.

La combinatoire des mots offre aussi une notion d’excellence intrinsèque, sans lexique : un mot est un mot de Lyndon s’il est primitif et strictement plus petit, pour l’ordre lexicographique, que toutes ses rotations (ses conjugués). Il est alors le meilleur représentant de sa classe, celui par lequel la classe se nomme. Plus généralement, le rang de w parmi ses conjugués mesure sa place dans cet ordre d’excellence.

Expression formelle computable

• Densité d’aretē : Aret^∗(w) = |w|_A / n.
• Complétude de l’ethos : le nombre de composantes non nulles de Eth(w), entre 0 et 3.
• Rang d’excellence : rg(w) = 1 + |{k ∈ {1, …, n − 1} | rot_k(w) < w}|, où rot_k(w) = a_k+1 ⋯ a_na₁ ⋯ a_k ; w est de Lyndon si et seulement si rg(w) = 1 et w est primitif.

Expression par fonction caractéristique

|w|_A = Σ_j=1ⁿ χ_A(t_j), Lyn(w) = ∏_k=1ⁿ⁻¹ χ_{(w, ∞)}(rot_k(w)),

où l’intervalle (w, ∞) désigne l’ensemble des mots strictement plus grands que w pour l’ordre lexicographique : Lyn(w) = 1 exactement quand w est strictement plus petit que chacune de ses rotations propres.

Statut modal

Contingent pour le profil d’ethos (les lexiques de vertus sont culturels) ; nécessaire pour l’excellence structurelle (la propriété de Lyndon ne dépend que du mot et de l’ordre de l’alphabet).

Justification du lien

L’aretē est l’excellence que l’orateur rend visible dans ses paroles. Le profil d’ethos compte les marques de cette excellence, en distinguant la vertu des deux autres composantes de la confiance, qui ne la remplacent pas. Le mot de Lyndon donne de l’excellence une version proprement combinatoire : être, parmi tous les mots de même composition qui ne diffèrent que par le point de départ, celui qui vient en premier.

Exemple illustratif

1. Au niveau des mots : « I speak to you with honesty and goodwill, as a prudent and just man », avec Φ = {prudent, wise}, A = {honesty, just, courage}, Ε = {goodwill, kindness}. On obtient Eth(w) = (1, 2, 1) : les trois composantes sont présentes, l’ethos est complet, et la densité d’aretē vaut 2 / 14 ≈ 0,143 (14 tokens).
2. Excellence structurelle : w = aab a pour rotations aba et baa, toutes deux plus grandes que aab ; rg(aab) = 1 et aab est un mot de Lyndon. Ses conjugués ont pour rangs rg(aba) = 2 et rg(baa) = 3.

Profil d’ethos (phronēsis, aretē, eunoia) de l’énoncé exemple.

Les trois conjugués de aab classés : aab est un mot de Lyndon.

27. Argument – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

Un argument est un discours qui avance des raisons (les prémisses) à l’appui d’une conclusion. Aristote en distingue deux formes dans la Rhétorique (I, 2) : l’exemple, qui procède par induction, et l’enthymème, syllogisme rhétorique dont une prémisse est souvent sous-entendue parce que l’auditoire la fournit lui-même. Le syllogisme de la forme Barbara en est le modèle : tout homme est mortel, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Chaîne de prémisses recollées sur le moyen terme (argument reasoning chain).

Définition mathématique

Chaque prémisse « tout X est Y » est codée par un mot de deux lettres XY sur l’alphabet des termes. Deux prémisses se recollent si la dernière lettre de la première est la première lettre de la seconde, qui joue le rôle de moyen terme :

XY ⊙ YZ = XYZ, de conclusion XZ (première et dernière lettres).

Un ensemble de prémisses P justifie la conclusion XZ s’il existe une chaîne X Y₁ Y₂ ⋯ Y_r Z dont tous les facteurs de longueur 2 sont des prémisses de P. Un argument est valide s’il existe une telle chaîne ; c’est un enthymème si la chaîne exige des prémisses qui ne figurent pas dans le discours, et leur nombre mesure ce que l’auditoire doit suppléer.

Expression formelle computable

Soit M la matrice d’adjacence des prémisses sur l’ensemble des termes : M_XY = 1 si XY ∈ P, et 0 sinon. Le nombre de chaînes de longueur r reliant X à Z est (M^r)_XZ, et la conclusion est justifiée si et seulement si

Σ_r=1^T (M^r)_XZ ≥ 1,

où T est le nombre de termes. La longueur de l’argument est le plus petit r tel que (M^r)_XZ ≥ 1, et le degré d’enthymème est le nombre minimal de prémisses à ajouter à P pour que la conclusion devienne justifiée.

Expression par fonction caractéristique

M_XY = χ_P(XY), (M²)_XZ = Σ_Y χ_P(XY) · χ_P(YZ), et Arg(P, XZ) = χ_{[1, ∞)}(Σ_r=1^T (M^r)_XZ).

Le produit χ_P(XY) · χ_P(YZ) vaut 1 exactement quand les deux prémisses sont présentes et se recollent sur le moyen terme Y : c’est le syllogisme lui-même, écrit comme produit de deux fonctions caractéristiques.

Statut modal

Possible : le mécanisme exige le codage des prémisses en mots de deux lettres ; la validité est ensuite un calcul matriciel fini.

Justification du lien

L’argument relie des raisons à une conclusion par des termes intermédiaires. En combinatoire des mots, c’est le recollement de mots sur une lettre commune, exactement comme l’anadiplose (mécanisme 9) enchaîne deux propositions sur un mot commun : le syllogisme est une anadiplose logique, dont le moyen terme disparaît dans la conclusion. Les puissances de la matrice d’adjacence comptent les chaînes de raisons, et l’enthymème se reconnaît aux maillons manquants.

Exemple illustratif

Termes : s (Socrate), h (homme), m (mortel).

1. Syllogisme complet : P = {sh, hm}. M a pour seuls coefficients non nuls M_sh = M_hm = 1 ; alors (M²)_sm = M_sh · M_hm = 1, la chaîne shm se recolle sur h, et la conclusion sm est justifiée par un argument de longueur 2.
2. Enthymème : « Socrate est mortel, puisqu’il est un homme ». Le discours ne contient que P′ = {sh}. On a (M′^r)_sm = 0 pour tout r : il manque une prémisse (hm, « tout homme est mortel »), que l’auditoire supplée. Degré d’enthymème : 1.

Le syllogisme comme opération de collage : les termes « sh » et « hm » sont assemblés au niveau du terme moyen « h » pour former « shm », tandis que la conclusion « sm » ne conserve que les deux extrémités. Une chaîne plus longue : « Socrate → homme → animal → mortel ».

Syllogisme complet et enthymème : la prémisse manquante en pointillés.

La matrice d’adjacence : un tableau représentant les prémisses énoncées, où les lignes correspondent aux sujets et les colonnes aux prédicats.
Pourquoi le produit matriciel permet de dénombrer les syllogismes : le produit χ_P(XY) · χ_P(YZ) vaut 1 si, et seulement si, Y relie X à Z. Les cases des matrices M², M³ et M⁴ peuvent chacune être interprétées en langage naturel.

Matrice des prémisses et son carré : la conclusion sm.

Validité et enthymème : deux exemples où une prémisse est omise, chacun étant de degré 1.

Partie 4 : mécanismes 28 à 35, de l’argumentum ad baculum à Axioms, liste récapitulative, classement des correspondances et conclusion

Les notations, la fonction caractéristique χ_F et les trois statuts modaux (nécessaire, possible, contingent) sont ceux fixés au § 0 de la partie 1. Un texte est traité soit au niveau des lettres, soit au niveau des mots de la langue, chaque mot devenant une lettre d’un alphabet de tokens et chaque proposition un mot sur cet alphabet. En intelligence artificielle, l’« alphabet » de tokens désigne le vocabulaire fini (ou dictionnaire de mots, morceaux de mots et caractères).La méthode de découpage (la tokenisation) implique qu’un token ne correspond pas exactement à un mot.

28. Argumentum ad baculum – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’argumentum ad baculum (latin, « argument du bâton ») consiste à faire accepter une conclusion en recourant à la force ou à la menace de la force, indépendamment de sa vérité. C’est un sophisme de pertinence, de la famille de l’appel aux conséquences : la sanction promise à qui refuserait la conclusion tient lieu de raison de l’admettre. La logique scolastique et la logique moderne l’ont rangé avec l’ad hominem et l’ad verecundiam parmi les arguments qui portent sur l’interlocuteur plutôt que sur la chose. Sa forme verbale typique est l’alternative menaçante : « acceptez, ou bien… ».

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Facteurs interdits et perte de liberté (baculum constraint factor).

Définition mathématique

La menace ne démontre rien ; elle interdit. On la modélise par un ensemble fini F ⊆ Σ⁺ de facteurs interdits sous peine de sanction (les formes de la contestation). Les réponses encore admissibles sont les mots qui évitent F :

L_F = {v ∈ Σ^∗ | Fact(v) ∩ F = ∅}.

La contrainte se mesure par le nombre de réponses admissibles de longueur n, N_F(n) = |L_F ∩ Σⁿ|, à comparer aux |Σ|ⁿ réponses possibles sans menace, et par l’entropie de la contrainte

h_F = lim_n→∞ (1 / n) log₂ N_F(n),

qui est la liberté de parole résiduelle, en bits par unité. La perte de liberté imposée par la menace est log₂ |Σ| − h_F.

Expression formelle computable

Lorsque les facteurs interdits sont de longueur au plus 2, N_F(n) se calcule par une matrice de transfert T, indexée par les lettres, avec T_ab = 1 si ab ∉ F, et 0 sinon (et en retirant les lettres interdites elles-mêmes) :

N_F(n) = 𝟏^T Tⁿ⁻¹ 𝟏, h_F = log₂ λ_T,

où λ_T est la valeur propre de Perron de T. Pour des facteurs interdits plus longs, on prend pour états les mots de longueur ℓ − 1, où ℓ est la plus grande longueur des facteurs interdits. Au niveau du texte, le nombre de menaces explicites se compte par les occurrences d’un ensemble de marqueurs de sanction (« or else », « or I will », « sinon »).

Expression par fonction caractéristique

N_F(n) = Σ_{v ∈ Σⁿ} ∏_{u ∈ F} (1 − χ_Fact(v)(u)).

Le produit vaut 1 exactement quand la réponse v ne contient aucun facteur interdit : c’est l’indicatrice de l’obéissance.

Statut modal

Possible : le mécanisme exige l’ensemble F des formes interdites ; une fois F donné, le dénombrement et l’entropie sont entièrement formels. Le repérage des menaces dans un texte, par marqueurs, est contingent.

Justification du lien

L’ad baculum ne convainc pas : il retire des possibilités. En combinatoire des mots, retirer des possibilités, c’est interdire des facteurs, et la théorie des sous-shifts de type fini mesure exactement ce que coûte une interdiction. L’entropie résiduelle quantifie la part de liberté que la menace laisse à l’interlocuteur ; elle est nulle quand il ne reste qu’une réponse, celle qu’on lui impose. Le sophisme se lit dans le fait que rien, dans ce calcul, ne touche à la vérité de la conclusion : seule la taille de l’espace des réponses change.

Exemple illustratif

Soit Σ = {a, b}, où a code l’acquiescement et b la contestation.

1. Sans menace (F = ∅) : N(n) = 2ⁿ, soit 2, 4, 8, 16, … et h = 1 bit par unité.
2. Menace modérée, F = {bb} (« ne contestez jamais deux fois de suite ») : la matrice de transfert a pour lignes (1 1) et (1 0), N_F(n) vaut 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (nombres de Fibonacci), et h_F = log₂((1 + √5) / 2) ≈ 0,694 bit : la menace retire environ 0,306 bit de liberté par unité.
3. Menace totale, F = {b} (« ne contestez pas ») : N_F(n) = 1 pour tout n, seule la réponse aⁿ subsiste, et h_F = 0.
4. Au niveau du texte : « Agree with me or I will fire you » contient une occurrence du marqueur de sanction (or, I, will) ; l’alternative oppose deux branches, l’acquiescement et la sanction.

Nombre de réponses admissibles selon la menace : aucune, F = {bb}, F = {b}.

Graphe des réponses admissibles quand bb est interdit.

toutes les réponses de longueur 1, 2 et 3, celles qui sont interdites étant barrées.

la matrice sous forme de tableau de règles étiquetées (« aa permis », « bb interdit »), juxtaposée à la même règle représentée sous forme de graphe.

en quatre étapes.

Dénombrement manuel. La contrainte F = {bb} signifie : « vous pouvez choisir « b », mais jamais deux fois de suite ». Un tableau répertorie toutes les séquences possibles d’une longueur de 1 à 5, en distinguant celles qui sont autorisées de celles qui sont interdites (celles contenant « bb »). Les nombres obtenus sont 2, 3, 5, 8, 13, ce qui correspond à la suite de Fibonacci.
Pourquoi Fibonacci ? Les séquences autorisées sont classées selon leur dernière lettre. Une séquence se terminant par « a » peut être suivie d’un « a » ou d’un « b » ; une séquence se terminant par « b » ne peut être suivie que d’un « a ». Cela donne deux règles : A(n+1) = A(n) + B(n) et B(n+1) = A(n), que l’on peut présenter sous forme de tableau.
Qu’est-ce qu’une matrice ? La matrice de transfert T n’est rien d’autre que la transcription de ces deux règles dans un tableau 2 × 2 :
les lignes indiquent la dernière lettre ajoutée, les colonnes la lettre suivante ;
la valeur 1 signifie que l’enchaînement est autorisé, 0 qu’il est interdit.
Le texte explique ensuite comment la multiplication par T permet d’appliquer ces règles. Il vérifie le résultat manuellement : la somme des éléments de T² est égale à 5, soit le nombre de séquences autorisées de longueur 3.
Qu’est-ce que la mesure ? En l’absence de contrainte, chaque position supplémentaire double le nombre de séquences possibles ; chaque position correspond donc à un choix binaire (oui/non) libre, équivalent à 1 bit. Avec la contrainte F = {bb}, chaque position supplémentaire ne multiplie le nombre total de séquences que par environ 1,618 (13/8, 21/13, etc.). Cela donne log₂ 1,618 ≈ 0,694 bit par position ; la contrainte réduit donc l’information de 0,306 bit par position. Concrètement, sur dix positions, il ne reste plus que 144 séquences possibles, au lieu de 1024.

29. Ars dictaminis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’ars dictaminis (ou ars dictandi) est la doctrine médiévale de la composition des lettres en latin, formalisée à partir du XI^e siècle, notamment par Albéric du Mont-Cassin, puis par les maîtres de Bologne (les Rationes dictandi, vers 1135). Elle adapte à la lettre écrite les parties du discours cicéronien et prescrit en général cinq parties dans un ordre fixe : la salutatio (salutation), la captatio benevolentiae ou exordium (gain de la bienveillance), la narratio (exposé des faits), la petitio (demande) et la conclusio. Elle fournit ainsi le modèle d’un texte entièrement réglé par un ordre de parties, cadre général dans lequel s’inscrivent les autres mécanismes.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Factorisation dans un produit de langages (dictamen structured word).

Définition mathématique

À chaque partie i ∈ {1, …, 5} on associe un langage L_i ⊆ Σ⁺ des formes qu’elle peut prendre (formules de salutation, formules de demande, etc.). Une lettre bien formée est un mot du produit de langages

L₁L₂L₃L₄L₅ = {u₁u₂u₃u₄u₅ | u_i ∈ L_i},

et ses lectures dictaminales sont les factorisations w = u₁ ⋯ u₅ avec u_i ∈ L_i. Sans aucune contrainte sur les parties (L_i = Σ⁺), un mot de longueur n admet C(n − 1, 4) découpages en cinq parties non vides, puisqu’il s’agit de choisir 4 coupures parmi n − 1 : la structure n’est alors qu’un découpage arbitraire. Ce sont les langages L_i qui font de la lettre une forme réglée.

Expression formelle computable

Le nombre de lectures se calcule par programmation dynamique. On pose D₀(0) = 1, D₀(j) = 0 pour j ≥ 1, et pour 1 ≤ i ≤ 5 et 1 ≤ j ≤ n :

D_i(j) = Σ_k=0^j−1 D_i−1(k) · χ_Li(w[k+1..j]).

Le nombre de lectures dictaminales est Dict(w) = D₅(n). La lettre est bien formée si Dict(w) ≥ 1, et sa structure est univoque si Dict(w) = 1.

Expression par fonction caractéristique

Dict(w) = Σ_{0 < k1 < k2 < k3 < k4 < n} ∏_i=1⁵ χ_Li(w[k_i−1+1..k_i]), avec k₀ = 0 et k₅ = n.

Statut modal

Possible : le mécanisme exige les langages des parties ; il devient ensuite un problème classique d’appartenance à un produit de langages, décidable en temps polynomial.

Justification du lien

L’ars dictaminis impose un ordre linéaire de parties, chacune avec ses formes propres. En combinatoire des mots, c’est exactement la factorisation d’un mot dans un produit de langages. La comparaison entre C(n − 1, 4) découpages libres et le petit nombre de lectures conformes mesure ce que la doctrine apporte : elle transforme un découpage arbitraire en une structure lisible, et, dans le meilleur cas, unique.

Exemple illustratif

1. Au niveau des lettres : les parties sont codées par des lettres, L₁ = {s}, L₂ = {c}⁺, L₃ = {n}⁺, L₄ = {p}, L₅ = {f}⁺. Pour w = sccnnnpf (n = 8), Dict(w) = 1 : la seule lecture est s | cc | nnn | p | f. Sans contrainte, le même mot admettrait C(7, 4) = 35 découpages en cinq parties.
2. Au niveau des mots, la lettre marchande « Worshipful master, I greet you well; the wool was shipped, and I want my money; may God keep you well » se lit u₁ = « Worshipful master » (salutatio), u₂ = « I greet you well » (captatio), u₃ = « the wool was shipped » (narratio), u₄ = « and I want my money » (petitio), u₅ = « may God keep you well » (conclusio) : Dict(w) ≥ 1.

Les cinq parties de la lettre marchande.

Découpages libres et lectures conformes de sccnnnpf.

30. Assonance – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’assonance est la répétition de sons vocaliques identiques ou voisins dans des mots proches, et en particulier sur les syllabes accentuées. Elle crée un effet musical sans exiger la rime complète ; dans la poésie médiévale française (les chansons de geste), elle tient lieu de rime, chaque laisse étant construite sur une même voyelle finale. Elle se distingue de l’allitération, qui porte sur les consonnes initiales, et de la consonance, qui porte sur les consonnes en général.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot des noyaux vocaliques et plage assonante (assonant vowel factor).

Définition mathématique

Soit w = v₁ ⋯ v_m une suite de mots de la langue et ν une fonction qui associe à chaque mot son noyau vocalique (le son de sa voyelle accentuée), à valeurs dans un ensemble fini V de sons vocaliques. Le mot des noyaux est

Ν(w) = ν(v₁) ν(v₂) ⋯ ν(v_m) ∈ V^m.

Au niveau graphique, on obtient une version purement combinatoire en prenant pour ν le morphisme effaçant qui supprime les consonnes et conserve les voyelles (ν(a) = a si a est une voyelle, ν(a) = ε sinon). L’assonance est la répétition d’un même noyau dans Ν(w), exactement comme l’allitération (mécanisme 5) est la répétition d’une même initiale dans le mot des initiales.

Expression formelle computable

• Plage assonante maximale : Ass(w) = max{k | ∃ e ∈ V, e^k ∈ Fact(Ν(w))}.
• Densité assonante : D_V(w) = max_{e ∈ V} |Ν(w)|_e / m.
• Variante restreinte aux mots pleins : on calcule les mêmes quantités sur la suite des mots porteurs d’accent, en écartant les mots outils.

Expression par fonction caractéristique

Avec N_j la j-ième lettre de Ν(w), la récurrence L₁ = 1 et L_j = 1 + L_j−1 · χ_{Nj−1}(N_j) donne Ass(w) = max_j L_j, et |Ν(w)|_e = Σ_j=1^m χ_{e}(N_j).

Statut modal

Nécessaire au niveau graphique (morphisme effaçant les consonnes) ; contingent au niveau sonore, où le noyau vocalique dépend de la prononciation.

Justification du lien

L’assonance fait revenir un même timbre vocalique. Projeter chaque mot sur son noyau vocalique, c’est ne garder du texte que ce que l’oreille retient pour cette figure ; la répétition dans le mot projeté mesure alors l’effet musical. Le parallèle avec l’allitération est exact : les deux figures sont la même plage de répétition, appliquée à deux projections différentes du texte.

Exemple illustratif

1. « The rain in Spain stays mainly in the plain » : les neuf mots ont pour noyaux ə, eɪ, ɪ, eɪ, eɪ, eɪ, ɪ, ə, eɪ. La plage maximale vaut Ass = 3 (Spain, stays, mainly) et la densité D_V = 5 / 9 ≈ 0,556. Sur les seuls mots pleins (rain, Spain, stays, mainly, plain), Ν = eɪ eɪ eɪ eɪ eɪ : Ass = 5 et D_V = 1, assonance complète.
2. Au niveau graphique : w = banana a pour projection ν(w) = aaa, assonance complète de degré 3 ; w = abricot a pour projection aio, sans assonance.

Mots et noyaux vocaliques de « the rain in Spain stays mainly in the plain ».

31. Asyndeton – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’asyndète (du grec asyndeton, « non lié ») est l’omission délibérée des conjonctions de coordination entre des mots, des groupes ou des propositions. Elle accélère le rythme et produit un effet de concision, d’urgence ou d’accumulation ; Aristote note qu’elle convient au style oral et à l’amplification (Rhétorique, III, 12). Elle s’oppose au polysyndète, qui multiplie les conjonctions. Le modèle en est la formule prêtée à César : « veni, vidi, vici ».

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Jonctions sans connecteur (asyndetic factor omission).

Définition mathématique

Soit w = c₁ ⋯ c_m une suite de m ≥ 2 unités coordonnées et C un ensemble fini de connecteurs (and, or, but, et, ou, mais). Une jonction est le passage d’une unité à la suivante ; il y en a m − 1. La jonction j est liée si l’unité c_j+1 commence par un connecteur, et asyndétique sinon. On distingue trois régimes :

• l’asyndète : aucune jonction n’est liée ;
• la coordination ordinaire : seule la dernière jonction est liée (« A, B et C ») ;
• le polysyndète : toutes les jonctions sont liées (« et A, et B, et C »).

Expression formelle computable

• Nombre de jonctions asyndétiques : Asy(w) = |{j ∈ {1, …, m − 1} | Pref₁(c_j+1) ∉ C}|.
• Taux d’asyndète : Asy^∗(w) = Asy(w) / (m − 1), égal à 1 pour l’asyndète pure et à 0 pour le polysyndète.

Expression par fonction caractéristique

Asy(w) = Σ_j=1^m−1 (1 − χ_C(Pref₁(c_j+1))).

Statut modal

Possible : le mécanisme exige la liste C des connecteurs et la segmentation en unités ; ensuite, il est purement combinatoire.

Justification du lien

L’asyndète juxtapose ce qu’on attendrait coordonné. En combinatoire des mots, chaque jonction entre deux unités est soit occupée par un connecteur, soit vide ; la figure est la suppression systématique des connecteurs. Le taux d’asyndète situe chaque texte sur une échelle continue qui va du polysyndète (toutes les jonctions liées) à l’asyndète (aucune).

Exemple illustratif

1. « Veni, vidi, vici » : m = 3, deux jonctions, aucune liée. Asy = 2 et Asy^∗ = 1 : asyndète pure.
2. « Veni, vidi et vici » (coordination ordinaire) : Asy = 1, Asy^∗ = 0,5.
3. « Et veni, et vidi, et vici » (polysyndète) : Asy = 0, Asy^∗ = 0.
4. Au niveau des lettres, avec C = {k} : w = a · b · c donne Asy = 2 ; w = a · kb · kc donne Asy = 0.

Asyndète, coordination ordinaire et polysyndète sur « veni, vidi, vici ».

32. Audience – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’auditoire est le destinataire, réel, imaginé, invoqué ou ignoré, d’un discours ; il est au centre de la situation rhétorique, puisque tout discours cherche à agir sur lui. Aristote classe les genres oratoires selon le rôle de l’auditeur (juge du passé, de l’avenir, ou spectateur). Perelman et Olbrechts-Tyteca (Traité de l’argumentation, 1958) distinguent l’auditoire particulier de l’auditoire universel, et Ede et Lunsford (1984) l’auditoire adressé, qui existe hors du texte, de l’auditoire invoqué, que le texte construit par ses marques.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Marques d’adresse et destinataire dominant (audience-oriented factor).

Définition mathématique

Soit P un ensemble fini de marques d’adresse (pronoms et déterminants de deuxième personne, vocatifs, formules d’appel : you, your, vous, votre, tu, cher lecteur). L’auditoire invoqué se mesure par la présence de ces marques dans le texte w = t₁ ⋯ t_n. Lorsque la fonction de destinataire d du mécanisme 25 est connue, l’auditoire principal est le destinataire dominant, c’est-à-dire la lettre la plus fréquente du mot des destinataires δ(w).

Expression formelle computable

• Nombre de marques d’adresse : Aud(w) = |{j | t_j ∈ P}|.
• Densité d’adresse : Aud^∗(w) = Aud(w) / n.
• Auditoire dominant : x^∗ = argmax_{x ∈ D} |δ(w)|_x, et sa part |δ(w)|_x^∗ / m dans les unités du discours.

Expression par fonction caractéristique

Aud(w) = Σ_j=1ⁿ χ_P(t_j), |δ(w)|_x = Σ_j=1^m χ_{x}(d(c_j)).

Statut modal

Contingent : les marques d’adresse dépendent de la langue, et l’auditoire adressé réel est extérieur au texte ; seul l’auditoire invoqué laisse une trace combinatoire.

Justification du lien

Le texte construit son auditoire par des marques : il le désigne, l’interpelle, lui attribue des pensées. Compter ces marques mesure la présence de l’auditoire invoqué dans le discours, et le destinataire dominant du mot des destinataires identifie celui à qui le discours s’adresse le plus souvent, ce qui fait de l’apostrophe (mécanisme 25) l’écart par rapport à cet auditoire principal.

Exemple illustratif

1. « Dear reader, the text addresses you » (6 tokens), avec P = {reader, you} : Aud = 2 et Aud^∗ = 2 / 6 ≈ 0,333.
2. Kennedy : « ask not what your country can do for you, ask what you can do for your country » (17 tokens), avec P = {you, your} : Aud = 4 et Aud^∗ = 4 / 17 ≈ 0,235. L’auditoire est interpellé dans chacun des deux membres, et le chiasme (mécanisme 16) porte précisément sur ces marques d’adresse.
3. Pour δ(w) = aabaacca (mécanisme 25), l’auditoire dominant est a, présent dans 5 unités sur 8.

Densité des marques d’adresse dans deux énoncés.

33. Aureation – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’aureation (de l’anglais aureate, « doré ») désigne l’emploi de termes latinisés et polysyllabiques destiné à « dorer » ou à rehausser la diction. Elle caractérise la poésie anglaise et écossaise des XV^e et XVI^e siècles, chez John Lydgate puis chez William Dunbar, qui élevaient le style vernaculaire par des emprunts savants. Elle s’oppose à la langue simple et aux mots courts du fonds natif.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Longueur syllabique par groupes vocaliques (aureate length factor).

Définition mathématique

Soit V ⊆ Σ l’ensemble des voyelles. Au niveau graphique, le nombre de syllabes d’un mot u = u₁ ⋯ u_k s’approche par le nombre de groupes vocaliques, c’est-à-dire de facteurs maximaux de u formés de voyelles :

ℓ(u) = Σ_i=1^k χ_V(u_i) · (1 − χ_V(u_i−1)), avec la convention χ_V(u₀) = 0,

en retranchant 1 lorsque le mot se termine par un e muet précédé d’une consonne et possède un autre groupe vocalique. Un mot est aureate au seuil s si ℓ(u) ≥ s (usuellement s = 3).

Expression formelle computable

• Nombre de mots aureates : Aur_s(w) = |{j | ℓ(t_j) ≥ s}|.
• Densité aureate : Aur_s^∗(w) = Aur_s(w) / n.
• Longueur syllabique moyenne : ℓ̄(w) = (1 / n) Σ_j=1ⁿ ℓ(t_j).

Expression par fonction caractéristique

Aur_s(w) = Σ_j=1ⁿ χ_{[s, ∞)}(ℓ(t_j)).

Statut modal

Nécessaire pour la longueur syllabique graphique, qui ne dépend que de la suite des lettres ; contingent pour la longueur syllabique phonétique et pour l’origine savante des termes, qui relèvent de la langue.

Justification du lien

L’aureation se reconnaît à la longueur des mots et à leur nombre de syllabes. Le nombre de groupes vocaliques est une mesure purement combinatoire de cette longueur : il compte les débuts de plages de voyelles, c’est-à-dire les positions où la fonction caractéristique des voyelles passe de 0 à 1. La densité de mots longs mesure alors à quel point le texte est « doré ».

Exemple illustratif

Dunbar, The Golden Targe (vers 1508) : « the goldyn candill matutyne, with clere depurit bemes cristallyne » (9 mots), avec V = {a, e, i, o, u, y}.

j	Mot tj	Groupes vocaliques	ℓ(tj)	ℓ ≥ 3
1	the	e	1	non
2	goldyn	o, y	2	non
3	candill	a, i	2	non
4	matutyne	a, u, y (e muet)	3	oui
5	with	i	1	non
6	clere	e (e muet)	1	non
7	depurit	e, u, i	3	oui
8	bemes	e, e	2	non
9	cristallyne	i, a, y (e muet)	3	oui

Donc Aur₃(w) = 3 (matutyne, depurit, cristallyne), Aur₃^∗ = 3 / 9 ≈ 0,333 et ℓ̄(w) = 18 / 9 = 2. Les trois mots aureates sont précisément les emprunts latins du vers (matutinus, depuratus, crystallinus).

Nombre de groupes vocaliques des mots du vers de Dunbar.

34. Auxesis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’auxèse (du grec auxēsis, « accroissement ») est l’arrangement de mots, de groupes ou de propositions dans un ordre croissant de force ou d’importance, pour produire un effet culminant. Quintilien la range sous l’incrementum, premier mode de l’amplification (Institution oratoire, VIII, 4, 3) ; elle se distingue du climax strict en ce qu’elle n’exige pas que chaque terme reprenne le précédent (ce qui serait une anadiplose en chaîne). Le mot désigne aussi, plus largement, l’amplification ou l’hyperbole.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Plus longue sous-suite croissante d’intensités (ascending order factor).

Définition mathématique

Soit une suite d’unités u₁, …, u_m et une fonction d’intensité ι, structurelle (ι(u) = |Fact(u)|, comme au mécanisme 15) ou extérieure (note d’importance). La suite est une auxèse complète si l’intensité croît strictement d’un bout à l’autre :

ι(u₁) < ι(u₂) < ⋯ < ι(u_m).

Pour une auxèse partielle, on mesure la plus longue sous-suite d’unités (non nécessairement consécutives) dont l’intensité croît strictement, notée LIS(ι(u₁), …, ι(u_m)) (longest increasing subsequence). L’anticlimax (mécanisme 15) et l’auxèse sont ainsi les deux faces d’une même mesure d’ordre.

Expression formelle computable

• Degré d’auxèse : Aux(w) = LIS(ι(u₁), …, ι(u_m)), calculable en O(m log m) opérations par l’algorithme de patience.
• Taux d’auxèse : Aux^∗(w) = Aux(w) / m, égal à 1 exactement pour l’auxèse complète.
• Nombre de gradations de longueur k : Aux_k(w) = nombre de sous-suites strictement croissantes de longueur k.

Expression par fonction caractéristique

Aux₃(w) = Σ_{1 ≤ i < j < k ≤ m} χ_{(0, ∞)}(ι(u_j) − ι(u_i)) · χ_{(0, ∞)}(ι(u_k) − ι(u_j)),

et l’auxèse est complète si et seulement si ∏_j=1^m−1 χ_{(0, ∞)}(ι(u_j+1) − ι(u_j)) = 1.

Statut modal

Nécessaire avec l’intensité structurelle ; contingent lorsque l’intensité est une évaluation extérieure de la force des termes.

Justification du lien

L’auxèse ordonne les termes du plus faible au plus fort. En combinatoire, la mesure naturelle de l’ordre d’une suite est sa plus longue sous-suite croissante : elle vaut la longueur de la suite si l’ordre est parfait, et elle indique, sinon, la part de la suite qui participe à la montée. Le décompte des sous-suites croissantes de longueur 3 donne le nombre de gradations à trois degrés que le texte contient.

Exemple illustratif

1. « good, better, best » : avec ι = (1, 2, 3), l’auxèse est complète, Aux = 3 et Aux^∗ = 1.
2. Au niveau des lettres, avec l’intensité structurelle : u₁ = a, u₂ = ab, u₃ = abc, u₄ = abcd ont pour intensités 1, 3, 6, 10 : auxèse complète.
3. Suite d’intensités (2, 1, 4, 3, 5) : la plus longue sous-suite croissante a pour longueur 3 (par exemple 2, 4, 5 ou 1, 3, 5), donc Aux = 3 et Aux^∗ = 3 / 5 = 0,6 ; les sous-suites croissantes de longueur 3 sont (2, 4, 5), (2, 3, 5), (1, 4, 5) et (1, 3, 5), soit Aux₃ = 4.

Auxèse complète et plus longue sous-suite croissante de (2, 1, 4, 3, 5).

35. Axioms – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique et logique (synthèse des sources)

Les axiomes sont les principes premiers, non démontrés, à partir desquels un raisonnement ou une science se déploie. Aristote, dans les Seconds Analytiques (I, 2 et I, 10), les décrit comme des principes communs qu’il faut posséder pour apprendre quoi que ce soit ; Euclide les nomme notions communes, à côté des postulats propres à la géométrie. En rhétorique, ils correspondent aux lieux communs et aux prémisses admises par tous, d’où partent les enthymèmes.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Racine primitive et base génératrice (axiomatic primitive factor).

Définition mathématique

Un mot u est primitif s’il n’est pas une puissance propre d’un autre mot : u = v^k implique k = 1. Tout mot non vide w s’écrit de façon unique w = ρ^k avec ρ primitif et k ≥ 1 ; ρ = ρ(w) est sa racine primitive et k son exposant. La racine joue pour le mot le rôle d’un axiome : tout le mot s’en déduit par répétition, et elle ne se déduit de rien de plus court.

Pour un ensemble fini X de mots, les axiomes du sous-monoïde X^∗ sont ses éléments irréductibles, ceux qui ne sont pas produits d’au moins deux éléments non vides de X^∗ : Base(X) = X⁺ ∖ (X⁺)² (ensemble qui est toujours contenu dans X), c’est-à-dire le plus petit ensemble de générateurs de X^∗. C’est l’analogue exact d’un système d’axiomes indépendants : aucun axiome ne se déduit des autres.

Expression formelle computable

• Test de primitivité : w est primitif si et seulement si w n’apparaît dans le mot ww qu’aux positions 1 et n + 1 (critère classique, calculable en temps linéaire).
• Racine et exposant : ρ(w) = w[1..d] pour le plus petit diviseur d de n tel que w = (w[1..d])^n/d, et k = n / d.
• Nombre de facteurs primitifs : Prim(w) = |{u ∈ Fact(w) | u primitif}|.
• Nombre d’axiomes d’un ensemble X : Ax(X) = |Base(X)|.

Expression par fonction caractéristique

χ_Prim(w) = ∏_{d | n, d < n} (1 − χ_{{(w[1..d])^n/d}}(w)),

qui vaut 1 si et seulement si w n’est égal à aucune puissance propre de l’un de ses préfixes, et Prim(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_Prim(u).

Statut modal

Nécessaire : la primitivité, la racine primitive et la base d’un ensemble fini ne dépendent que des mots eux-mêmes.

Justification du lien

Les axiomes sont les points de départ non dérivés d’où tout le reste procède. En combinatoire des mots, les mots primitifs sont les générateurs qui ne se décomposent pas en répétitions, et la racine primitive est le point de départ unique d’un mot donné. Pour un ensemble de mots, la base du sous-monoïde engendré est le système d’axiomes minimal : chaque élément de la base est indispensable, et tous les autres mots du monoïde s’en déduisent par concaténation, comme les théorèmes se déduisent des axiomes par les règles d’inférence.

Exemple illustratif

1. w = abab : abab apparaît dans abababab aux positions 1, 3 et 5, donc abab n’est pas primitif ; ρ(abab) = ab et k = 2. Ses facteurs primitifs sont a, b, ab, ba, aba et bab : Prim(abab) = 6 sur 7 facteurs.
2. w = aba est primitif (il n’apparaît dans abaaba qu’aux positions 1 et 4), et ρ(aba) = aba.
3. X = {ab, ba, abab, abba} : abab = ab · ab et abba = ab · ba se déduisent de ab et ba, qui ne se déduisent de rien. Base(X) = {ab, ba} et Ax(X) = 2.

[Figure à insérer ici : P4-35a-axiomes-primitivite.png — Occurrences de abab dans abababab : abab n’est pas primitif.]

Base génératrice de X = {ab, ba, abab, abba}.

Liste récapitulative des mécanismes

Chaque terme rhétorique est associé à un mécanisme de la combinatoire des mots, accompagné de sa mesure principale. Les trois tableaux suivent l’ordre alphabétique des termes.

N°	Terme rhétorique	Mécanisme en combinatoire des mots	Mesure principale
1	Accumulatio	Masse de redite des facteurs	Red(w) = A(w) − A∗(w)
2	Actio	Étiquetage de livraison sur Σ × R × S	Variation totale VT
3	Ad hominem	Codage par attribut de générateur	Écart δJ, perte de structure Λ
4	Adianoeta	Double décodage dans deux lexiques	AdianX,Y(w) = NX(w) · NY(w)
5	Alliteration	Plage dans le mot des initiales	Allit(w), densité D(w)
6	Amphiboly	Factorisation multiple sur un lexique (non-code)	AmphX(w) = NX(w) − 1
7	Amplification	Morphisme d’extension et itération	Ext(μ, w), valeur propre λμ
8	Anacoenosis	Réponses morphiques bornées et fonds commun	Anacℓ(w), proportion Anac∗ℓ
9	Anadiplosis	Bordure aux frontières des propositions	Anad(w), gradation Grad(w)
10	Analogy	Motif commun et proportion xu : xv :: yu : yv	Analk(w, w′), portée K
11	Anaphora	Plus long préfixe commun des unités	Anap(w) = lcp(c1, …, cm)
12	Anastrophe	Permutation des unités	Nombre d’inversions inv(σ)

N°	Terme rhétorique	Mécanisme en combinatoire des mots	Mesure principale
13	Anecdote	Facteurs uniques minimaux	Anec(w) = |MU(w)|
14	Antanaclasis	Facteur répété à contextes divergents	Antan0(w), Antanσ(w)
15	Anticlimax	Chute d’intensité après une montée	Anticl = Forme · Δ
16	Antimetabole	Échange de deux blocs entre deux unités	Antim(c1, c2)
17	Antinomy	Réécriture non confluente	AntinR(w) = |NFR(w)| − 1
18	Antiptosis	Substitution de cas à lexème constant	Antip(w, e) = dH(κ(w), κ(e))
19	Antistrophe	Plus long suffixe commun des unités	Antis(w) = lcs(c1, …, cm)
20	Antithesis	Positions parallèles et positions opposées	Par, Opp, Antith = Opp / n
21	Antonomasia	Substitution par dictionnaire d’épithètes	Anton(w′), expansion Exp(ν)
22	Apophasis	Facteur nié mais présent	Apoph(w), couverture Couv(w)
23	Aporia	Point de choix équiprobable	Indécision log2 k
24	Aposiopesis	Préfixe propre à complétions multiples	Apos(w) = |CompL(w)|

N°	Terme rhétorique	Mécanisme en combinatoire des mots	Mesure principale
25	Apostrophe	Détour dans le mot des destinataires	Apost(w), changements Sw(w)
26	Arete	Profil d’ethos ; mot de Lyndon	Eth(w), rang rg(w)
27	Argument	Prémisses recollées sur le moyen terme	(Mr)XZ, degré d’enthymème
28	Argumentum ad baculum	Facteurs interdits	NF(n), entropie hF
29	Ars dictaminis	Factorisation dans un produit de cinq langages	Dict(w) = D5(n)
30	Assonance	Plage dans le mot des noyaux vocaliques	Ass(w), densité DV(w)
31	Asyndeton	Jonctions sans connecteur	Asy(w), taux Asy∗(w)
32	Audience	Marques d’adresse, destinataire dominant	Aud(w), densité Aud∗(w)
33	Aureation	Longueur syllabique par groupes vocaliques	Aurs(w), ℓ̄(w)
34	Auxesis	Plus longue sous-suite croissante d’intensités	Aux(w) = LIS, Aux3(w)
35	Axioms	Racine primitive et base génératrice	ρ(w), Prim(w), Ax(X)

Répartition des 35 mécanismes selon leur statut modal.

Classement de la solidité des correspondances

Critères de classement

1. Degré d’ancrage dans une notion classique de la combinatoire des mots ou de la théorie des langages (préfixe, suffixe, bordure, multiplicité, primitivité, code, morphisme, réécriture, facteurs interdits).
2. Possibilité de définir le mécanisme sans fonction sémantique extérieure, c’est-à-dire statut nécessaire, ou possible avec une donnée purement combinatoire.
3. Calculabilité directe, par une somme finie de valeurs de fonctions caractéristiques.
4. Distance à la simple métaphore : le mécanisme doit rendre compte de la structure de la figure, et non seulement de son nom.

Rang 1 – Correspondances structurelles (notion classique, sans donnée sémantique)

N°	Terme rhétorique	Notion de combinatoire des mots	Statut modal
1	Accumulatio	Multiplicités et complexité factorielle	Nécessaire
5	Alliteration	Plages de lettres (mot des initiales)	Nécessaire (graphique)
6	Amphiboly	Codes et unicité du décodage	Possible (lexique)
7	Amplification	Morphismes, matrice d’incidence, valeur propre de Perron	Possible (morphisme)
9	Anadiplosis	Bordures et carrés aux frontières	Nécessaire (ponctuation)
10	Analogy	Motifs, isomorphisme de mots, proportion	Nécessaire
11	Anaphora	Préfixe commun, arbre des préfixes	Nécessaire (ponctuation)
13	Anecdote	Facteurs uniques minimaux	Nécessaire
16	Antimetabole	Échange de blocs	Nécessaire
17	Antinomy	Confluence, paires critiques	Possible (système de règles)
19	Antistrophe	Suffixe commun, renversement	Nécessaire (ponctuation)
35	Axioms	Primitivité, racine primitive, base d’un monoïde	Nécessaire

Rang 2 – Correspondances formelles relatives à une donnée auxiliaire

N°	Terme rhétorique	Notion de combinatoire des mots	Statut modal
4	Adianoeta	Appartenance à deux monoïdes engendrés	Possible (deux lexiques)
8	Anacoenosis	Familles finies de morphismes, facteurs communs	Possible (borne ℓ)
12	Anastrophe	Permutations, inversions, conjugaison	Possible (ordre de référence)
15	Anticlimax	Suites d’intensités, complexité factorielle	Nécessaire ou contingent selon ι
20	Antithesis	Involution, complément, distance de Hamming	Nécessaire (binaire) ou contingent
23	Aporia	Branchement et entropie	Possible (suites admissibles)
24	Aposiopesis	Préfixes propres, arbre des préfixes	Possible (langage L)
27	Argument	Recollement, matrice d’adjacence	Possible (codage des prémisses)
28	Argumentum ad baculum	Facteurs interdits, entropie	Possible (ensemble F)
29	Ars dictaminis	Produit de langages	Possible (langages des parties)
31	Asyndeton	Jonctions, préfixes d’unités	Possible (connecteurs)
33	Aureation	Groupes vocaliques, facteurs maximaux	Nécessaire (graphique)
34	Auxesis	Plus longue sous-suite croissante	Nécessaire ou contingent selon ι

Rang 3 – Correspondances mixtes (partie combinatoire, sens extérieur)

N°	Terme rhétorique	Notion de combinatoire des mots	Statut modal
14	Antanaclasis	Contextes, facteurs spéciaux	Contingent (sens σ)
22	Apophasis	Facteurs après marqueur	Possible (marqueurs)
25	Apostrophe	Plages dans le mot des destinataires	Contingent (destinataire d)
26	Arete	Comptage lexical ; mots de Lyndon	Contingent (lexique) ou nécessaire (Lyndon)
30	Assonance	Morphisme effaçant, plages	Contingent (phonétique) ou nécessaire (graphique)
32	Audience	Comptage de marques, lettre dominante	Contingent (marques d’adresse)

Rang 4 – Correspondances dépendant d’une interprétation extérieure

N°	Terme rhétorique	Notion de combinatoire des mots	Statut modal
2	Actio	Mots étiquetés, variation totale	Contingent (données de performance)
3	Ad hominem	Codages lettre à lettre, complexité	Contingent (attributs)
18	Antiptosis	Projections lexème et cas, distance de Hamming	Contingent (grammaire)
21	Antonomasia	Substitution par dictionnaire	Contingent (dictionnaire d’épithètes)

Les rangs 1 et 2 reposent sur des propriétés combinatoires classiques, soit intrinsèques, soit relatives à une donnée combinatoire fixée à l’avance ; les rangs 3 et 4 exigent une fonction sémantique, pragmatique ou grammaticale pour devenir opérationnels. Même dans ces derniers cas, une fois la donnée extérieure fixée, la mesure est une somme finie de fonctions caractéristiques, donc calculable.

Nombre de mécanismes par rang de solidité.

Conclusion

Les trente-cinq termes de ce glossaire à la lettre A montrent que les figures de la rhétorique classique se laissent traduire, pour l’essentiel, en un petit nombre d’opérations élémentaires sur les mots. La répétition, sous toutes ses formes (accumulatio, anaphore, antistrophe, anadiplose, allitération, assonance), devient une affaire de multiplicités, de préfixes, de suffixes et de bordures. L’ordre (anastrophe, auxèse, anticlimax, antimétabole) devient une affaire de permutations, d’inversions et de sous-suites croissantes. L’ambiguïté (adianoeta, amphibolie, antanaclase) devient une affaire de codes, de décodages multiples et de contextes. Le raisonnement et ses défaillances (argument, axiomes, antinomie, ad baculum) deviennent des chaînes de recollement, des bases génératrices, des réécritures non confluentes et des facteurs interdits. L’omission (asyndète, aposiopèse, apophase) devient enfin une affaire de jonctions vides, de préfixes inachevés et de présences niées.

Dans chaque cas, la mesure retenue s’écrit comme une somme finie ou un produit fini de valeurs de fonctions caractéristiques : χ_F convertit une condition en 0 ou 1, et l’addition de ces 0 et de ces 1 donne un nombre. C’est en ce sens précis que la fonction caractéristique est le langage commun des deux disciplines : elle permet de dire d’une figure non seulement qu’elle est présente, mais combien elle l’est, et de le calculer.

Le statut modal de chaque équivalence en marque la portée. Les équivalences nécessaires (accumulatio, analogie, anecdote, axiomes, anaphore et antistrophe dès que la segmentation est marquée) sont des propriétés du mot lui-même : la figure y est une structure. Les équivalences possibles exigent une donnée combinatoire fixée à l’avance (un lexique, un morphisme, un système de règles, un ensemble de facteurs interdits) : la figure y est une structure relative. Les équivalences contingentes reçoivent de l’extérieur un sens, une intensité, un destinataire ou un cas : la combinatoire y mesure la forme que prend une interprétation donnée, sans pouvoir la produire elle-même.

Plusieurs prolongements découlent de ce glossaire. Les mécanismes de rang 1 et 2 se prêtent à une réalisation par automates finis (chapitre 63) et par langages réguliers ou algébriques (chapitre 64), ce qui permettrait de reconnaître automatiquement les figures dans un corpus. Les fonctions caractéristiques de langages (chapitre 65) fournissent le cadre où les mesures de ce chapitre deviennent des séries génératrices. Enfin, les correspondances de rang 3 et 4 indiquent où s’arrête la combinatoire et où commence l’interprétation, frontière qu’il appartient aux chapitres suivants d’explorer.