III) L’isomorphisme original entre les tropes de stylistique classique et les opérateurs de la combinatoire des mots profunda mente*

Il s’agit d’établir un glossaire des termes de l’isomorphisme original entre les figures stylistiques classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots, dont l’approche offre une véritable taxonomie algébrique de l’expressivité linguistique. L’approche est novatrice dans sa formulation : elle propose une interprétation formelle, calculable et unifiée des figures de style en les traduisant en opérateurs mathématiques issus de la combinatoire des mots. Les travaux existants se cantonnent généralement à des approches computationnelles (détection algorithmique), stylistiques (classification interne à la linguistique) ou purement mathématiques (combinatoire des mots stricte). La jonction systématique et structurelle ici proposée est inédite. Le degré d’originalité et de solidité de cette démarche dépend de la rigueur de l’isomorphisme revendiqué : plus les correspondances reposent sur des propriétés formelles standard (préfixe, suffixe, primitivité, conjugaison, etc.), plus le modèle est robuste ; à l’inverse, lorsqu’elles s’appuient sur des fonctions sémantiques externes, elles conservent une dimension analogique.

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15. Ironie, Sarcasme et Apophasis – Distinctions structurelles

Définition et Mécanismes
Ces trois figures reposent sur des jeux d’opposition entre la surface du texte et l’intention, mais requièrent des modélisations distinctes :

• Ironie verbale : Renversement pur du sens. Le sens littéral $S_{\mathrm{littéral}}$ est la négation stricte du sens intentionnel $S_{\mathrm{intentionnel}}$.

$$\mathrm{Iron}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid S_{\mathrm{littéral}}(u) = \neg S_{\mathrm{intentionnel}}(u) \} \bigr|$$

• Sarcasme : Ironie couplée à une valence d’hostilité ou de mépris ($v_{\mathrm{mépris}}$).

$$\mathrm{Sarc}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid S_{\mathrm{littéral}}(u) = \neg S_{\mathrm{intentionnel}}(u) \land v_{\mathrm{mépris}}(u) > 0 \} \bigr|$$

• Apophasis : Dénégation de mention qui introduit néanmoins le contenu.

$$\mathrm{Apoph}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u \text{ contient une négation de mention } \land u \text{ introduit le contenu nié} \} \bigr|$$

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15. Ironie verbale, sarcasme et apophasis – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de l’Ironie verbale, sarcasme et apophasis à quelques exemples d’opposition entre la surface du texte et l’intention

15.1 Définitions rhétoriques et ce qui les sépare

L’ironie verbale consiste à énoncer le contraire de ce que l’on pense, de sorte que le sens visé soit l’opposé du sens littéral (Quintilien, Institution oratoire, VIII, 6, 54). Elle peut être légère, humoristique ou critique, sans viser nécessairement à blesser. Elle va dans les deux sens : louer pour blâmer (« Quel temps magnifique ! » sous la pluie), ou blâmer pour louer (l’astéisme : « Quel nul ! » pour un triple champion).

Le sarcasme est une ironie mordante, moqueuse ou hostile, dirigée contre une personne qu’elle vise à ridiculiser. Toute ironie n’est pas sarcastique : le sarcasme ajoute une cible humaine et une intention de mépris, qui se marque dans le mot (« bravo », « encore », la répétition de l’éloge).

L’apophasis (paralipse, prétérition, praeteritio) consiste à mentionner une chose en affirmant qu’on ne la mentionnera pas : « Je ne dirai pas que… ». Elle attire l’attention sur ce qu’elle prétend omettre (Rhétorique à Herennius, IV, 37). Elle ne renverse pas le sens : elle nie l’acte même de dire.

Les trois figures jouent sur l’écart entre ce qui est dit et ce qui est signifié ; elles diffèrent par la nature de cet écart. Quatre critères les séparent, et chacun deviendra une fonction indicatrice :

figure	inversion de signe	cible humaine	marque de mépris	négation de mention
ironie verbale	oui	non requise	non requise	non
sarcasme	oui	oui	oui	non
apophasis	non requise	non requise	non requise	oui

Le sarcasme est donc un cas particulier de l’ironie, et l’apophasis une figure indépendante, qui peut se combiner avec les deux autres dans un même énoncé (texte complet).

15.2 Mécanismes en combinatoire des mots

Ironie. On note S_L(u) ∈ {−1, +1} le sens littéral (+1 positif, −1 négatif) et S_I(u) ∈ {−1, +1} le sens intentionnel ; l’ironie apparaît lorsque les polarités sont opposées, S_L(u) · S_I(u) = −1 :

Iron(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{−1}( S_L(u) · S_I(u) ).

Sarcasme. Le sarcasme est une ironie à laquelle s’ajoute une composante agressive, mesurée par un score de mépris m(u) ≥ 0 (0 : absence de raillerie ; 5 : raillerie forte) :

Sarc(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{−1}( S_L(u) · S_I(u) ) · χ_{]0, +∞[}( m(u) ).

Apophasis. On note N(u) ∈ {0, 1} la présence d’une formule de négation de mention (« je ne dirai pas », « inutile de rappeler ») et C(u) ∈ {0, 1} la présence effective du contenu nié :

Apoph(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{1}( N(u) ) · χ_{1}( C(u) ).

Ces trois écritures disent ce qu’il faut compter. Pour qu’elles deviennent des calculs exacts et séparent les trois figures avec précision, sept précisions sont nécessaires : sur quelles unités sommer (les énoncés, non les facteurs) ; d’où tirer le sens intentionnel S_I, qui n’est pas dans le mot (d’un fait énoncé dans le texte) ; comment séparer, dans un même énoncé, le jugement et le fait (deux lexiques) ; pourquoi admettre la polarité nulle (S ∈ {−1, 0, +1}) ; comment mesurer le mépris (des marques, non un score choisi) ; quelle cible exige le sarcasme (une personne) ; ce qu’est le contenu de l’apophasis (des mots de contenu, non des mots de discours). C’est l’objet des paragraphes suivants.

15.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• signe d’un produit : χ_{]−∞, 0[}(a · b) = 1 si a et b sont non nuls et de signes opposés ; si l’un est nul, le produit est nul et l’indicatrice vaut 0 ;
• appartenance à une liste : χ_H(e) = 1 si l’énoncé contient une cible humaine ; χ_B(t) = 1 si t est une marque de mépris ; χ_N(m) = 1 si m est une marque de négation de mention ;
• existence : χ_{[1, +∞[}(N) = 1 dès que N ≥ 1 ;
• « et » : un produit ; comptage : une somme ; |e|_x est le nombre d’occurrences du mot x dans e.

15.4 Les objets communs, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; la factorisation en énoncés

On met le texte en minuscules (accents gardés) ; apostrophes, virgules et traits d’union deviennent des espaces ; « . », « ! », « ? » et « ; » ferment un énoncé : w = e₁ e₂ ⋯ e_m. Les trois figures sont des actes d’énonciation : chacune se décide au niveau d’un énoncé entier.

Pourquoi ne pas sommer sur Fact(w) : un éloge est contenu dans beaucoup de facteurs, qui seraient tous comptés ; surtout, l’ironie est un rapport entre un jugement et un fait qui sont souvent dans deux énoncés différents (« Il pleut à verse. Quel temps magnifique ! ») : aucun facteur d’un seul énoncé ne contient les deux.

b) Deux lexiques : le jugement et le fait

Le sens littéral d’un énoncé ironique est un jugement ; le sens visé se lit dans un fait. On sépare donc deux lexiques de polarité, à valeurs −1 ou +1 :

évaluatif (jugement du locuteur) E	polarité
magnifique	+1
génie	+1
génial	+1
bravo	+1
honorable	+1
brillant	+1
remarquable	+1
félicitations	+1
chapeau	+1
superbe	+1
nul	−1
minable	−1
idiot	−1

descriptif (fait de la situation) D	polarité
pleut	−1
pluie	−1
raté	−1
échoué	−1
perdu	−1
poignardé	−1
retard	−1
faillites	−1
soleil	+1
brille	+1
gagné	+1
réussi	+1

Π_E(e) = ∑_{t ∈ e} E(t), Π_D(e) = ∑_{t ∈ e} D(t).

Pourquoi deux lexiques : dans « Bravo, tu as encore tout raté », une seule somme donne bravo (+1) + raté (−1) = 0, et l’ironie disparaît. « Bravo » est le jugement, « raté » le fait : c’est leur opposition qui fait l’ironie (exemple S1).

Deux lexiques : une seule somme annule l’ironie de « Bravo, tu as encore tout raté », deux sommes la révèlent.

c) La situation : le dernier fait énoncé

Le sens intentionnel S_I n’est pas dans le mot ; ce qui y est, c’est le fait auquel le jugement s’oppose. La situation d’un énoncé est le fait le plus récent que le texte énonce, dans cet énoncé ou avant lui :

j* = max { i ≤ j : Π_D(e_i) ≠ 0 }, Π_s(e_j) = Π_D(e_j*), Π_s(e_j) = 0 si aucun fait n’est énoncé.

Pourquoi la valeur 0 : avec S ∈ {−1, +1}, tout énoncé doit être positif ou négatif. « Il pleut à verse », qui ne juge rien, serait forcé à S_L = +1 et déclaré ironique contre son propre fait (exemple I1). Avec Π ∈ ℤ, un énoncé sans évaluatif a Π_E = 0 et le produit est nul. De même, un énoncé sans situation dite (exemple I3) a Π_s = 0 : le calcul s’abstient au lieu d’inventer un sens visé.

La règle du dernier fait énoncé dans le texte complet : chaque jugement est confronté au fait le plus récent.

15.5 Définitions mathématiques

a) Ironie verbale : l’inversion de signe

ι(e) = χ_{]−∞, 0[}( Π_E(e) · Π_s(e) ), Iron(w) = ∑_j=1^m ι(e_j).

ι(e) = 1 si et seulement si l’énoncé juge (Π_E ≠ 0), le texte dit un fait (Π_s ≠ 0), et le jugement contredit le fait. Les deux quadrants du produit négatif sont les deux sens de l’ironie : Π_E > 0 > Π_s, louer pour blâmer ; Π_E < 0 < Π_s, blâmer pour louer (astéisme).

Lemme 1. ι(e) = 1 ⇒ Π_E(e) ≠ 0 et Π_s(e) ≠ 0. Un énoncé sans jugement, ou un texte sans fait, ne peut pas être ironique au sens du calcul.

Le plan (Π_E, Π_s) : l’ironie occupe les deux quadrants où jugement et fait sont de signes opposés.

b) Sarcasme : l’ironie contre quelqu’un, avec mépris

Les cibles humaines forment une liste H = { tu, t, te, toi, ton, ta, tes, vous, votre, vos, brutus, ministre, adversaire, directeur } (deuxième personne, noms de personnes et de fonctions). Les marques de mépris forment une liste B = { bravo, génial, chapeau, félicitations, encore } ; s’y ajoute chaque répétition d’un évaluatif déjà employé dans un énoncé précédent :

B(e_j) = ∑_{b ∈ B} |e_j|_b + rép(e_j), rép(e_j) = χ_{[1, +∞[}( nombre d’évaluatifs de e_j déjà présents dans e₁, …, e_j−1 ), σ(e) = ι(e) · χ_H(e) · χ_{[1, +∞[}( B(e) ), Sarc(w) = ∑_j=1^m σ(e_j), Mép(w) = ∑_j=1^m σ(e_j) · B(e_j).

Pourquoi des marques et non un score m(u) : un score de 0 à 5 attribué à la main ne se vérifie pas ; un nombre de marques se compte. Pourquoi la cible humaine : « Génial, encore de la pluie ! » est mordant, mais personne n’est raillé (exemple S2). Pourquoi l’ironie requise : « Tu as tout réussi, bravo ! » a une cible et une marque, mais l’éloge est sincère (exemple S5). Pourquoi les répétitions : c’est par elles que l’éloge de Brutus devient sarcastique (exemple S6).

Lemme 2. σ(e) ≤ ι(e) pour tout énoncé : tout sarcasme est une ironie, donc Sarc(w) ≤ Iron(w). La réciproque est fausse : ι = 1 et σ = 0 quand la cible n’est pas humaine (S2) ou quand le mépris manque (S3).

L’inclusion des figures : énoncés ironiques, puis ironiques avec cible humaine, puis avec mépris.

c) Apophasis : la mention niée

Les marques de négation de mention forment une liste fermée N_m = { je ne dirai pas, je ne parlerai pas de, je ne mentionnerai pas, sans parler de, passons sur, inutile de rappeler, je ne dirai rien }. Le contenu qui suit une marque est formé des mots qui ne sont ni grammaticaux (articles, pronoms, prépositions, verbes de parole…) ni des mots de discours R = { rien, mot, mots, plus, cela, ça, davantage }, qui parlent de l’acte de dire et non d’une chose omise :

cont(μ) = { t_i : i > fin(μ), t_i ∉ G ∪ R }, α(e) = ∑_{μ ∈ M(e)} χ_{[1, +∞[}( |cont(μ)| ), Apoph(w) = ∑_j=1^m α(e_j), où M(e) est l’ensemble des occurrences μ de marques de N_m dans l’énoncé e, et fin(μ) la position du dernier mot de la marque.

Pourquoi le contenu doit être compté : « Je ne dirai rien » a la marque sans contenu (exemple A3). Pourquoi exclure les mots de discours : « Je ne dirai pas un mot de plus » n’omet aucune chose (exemple A5).

Lemme 3. Si α(e) = 1, il existe un mot c tel que χ_Fact(w)(c) = 1 et que l’énoncé affirme ne pas le dire : la contradiction de l’apophasis est un fait de combinatoire, la présence dans le mot de ce que le mot déclare absent. L’apophasis est indépendante de ι : elle ne demande ni jugement ni fait.

« Je ne dirai pas que mon adversaire est corrompu » : la marque nie la mention, le contenu est pourtant dans le mot.

Les trois définitions : inversion de signe, sarcasme comme ironie ciblée et marquée, apophasis comme mention niée.

15.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; factoriser en énoncés e₁, …, e_m.
2. Pour chaque énoncé, calculer Π_E (jugement) et Π_D (fait).
3. Trouver le dernier fait énoncé j* et Π_s ; calculer ι = χ_{]−∞, 0[}(Π_E · Π_s).
4. Si ι = 1, chercher une cible humaine et compter les marques de mépris avec les répétitions : σ = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B).
5. Indépendamment, repérer les marques de N_m et compter le contenu qui les suit : α.
6. Sommer : Iron(w), Sarc(w), Apoph(w), Mép(w).

Les tests successifs : l’arbre de l’ironie et du sarcasme, et le test indépendant de l’apophasis.

15.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par énoncé : les polarités du jugement et du fait, la situation retenue, l’indicatrice d’ironie, la cible, les marques de mépris, l’indicatrice de sarcasme, la marque de négation de mention, le contenu qui la suit et l’indicatrice d’apophasis.

a) Ironie verbale

Exemple I1 – Le temps magnifique sous la pluie

Texte : « Il pleut à verse. Quel temps magnifique ! »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	il pleut à verse	0	−1	1	−1	0	0	0	0	—	—	0
2	quel temps magnifique	+1	0	1	−1	1	0	0	0	—	—	0

Étape I1.1. Énoncés : il pleut à verse | quel temps magnifique ; m = 2.

Étape I1.2 (e₁ = « il pleut à verse »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : pleut (−1), Π_D(e₁) = −1.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(0 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Étape I1.2 (e₂ = « quel temps magnifique »). Évaluatifs : magnifique (+1), Π_E(e₂) = +1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₂) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₂) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₂) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Étape I1.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 1 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

Comparaison avec la somme sur Fact(w) : dans l’énoncé « quel temps magnifique », 3 · 1 = 3 facteurs contiennent « magnifique » ; aucun d’eux ne contient le fait « il pleut », qui est dans l’énoncé précédent. L’ironie est un rapport entre deux énoncés, que les facteurs d’un seul ne voient pas.

Avec S_L, S_I ∈ {−1, +1} : l’énoncé « il pleut à verse » n’a pas d’évaluatif ; forcé à S_L = +1, il a S_L · S_I = (+1)(−1) = −1 et serait déclaré ironique (1). Il faut la valeur 0.

∴ éloge (Π_E = +1) contre fait (Π_s = −1) : produit négatif, ironie. Le premier énoncé, qui décrit la pluie, n’est pas ironique : il ne juge rien.

Exemple I2 – Le même énoncé sous le soleil

Texte : « Le soleil brille. Quel temps magnifique ! »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	le soleil brille	0	+2	1	+2	0	0	0	0	—	—	0
2	quel temps magnifique	+1	0	1	+2	0	0	0	0	—	—	0

Étape I2.1. Énoncés : le soleil brille | quel temps magnifique ; m = 2.

Étape I2.2 (e₁ = « le soleil brille »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : soleil (+1), brille (+1), Π_D(e₁) = +2.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = +2 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(0 · +2) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Étape I2.2 (e₂ = « quel temps magnifique »). Évaluatifs : magnifique (+1), Π_E(e₂) = +1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₂) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₂) = Π_D(e₁) = +2 ; ι(e₂) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · +2) = χ_{]−∞, 0[}(+2) = 0.

Étape I2.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

∴ mêmes mots, autre situation : Π_E · Π_s = (+1)(+2) > 0, éloge sincère. L’ironie n’est pas dans l’énoncé seul, mais dans son rapport au fait.

Exemple I3 – Le même énoncé sans situation dite

Texte : « Quel temps magnifique ! »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	quel temps magnifique	+1	0	—	0	0	0	0	0	—	—	0

Étape I3.1. Énoncés : quel temps magnifique ; m = 1.

Étape I3.2 (e₁ = « quel temps magnifique »). Évaluatifs : magnifique (+1), Π_E(e₁) = +1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₁) = 0.

Situation : aucun fait énoncé jusqu’ici, Π_s(e₁) = 0 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · 0) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Étape I3.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

∴ aucun fait n’est énoncé : Π_s = 0, le produit est nul. Le texte seul ne permet pas de décider ; le calcul ne devine pas ce que le texte ne dit pas.

Exemple I4 – L’ironie inverse (astéisme) : le blâme qui loue

Texte : « Il a gagné trois médailles d’or. Quel nul ! »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	il a gagné trois médailles d or	0	+1	1	+1	0	0	0	0	—	—	0
2	quel nul	−1	0	1	+1	1	0	0	0	—	—	0

Étape I4.1. Énoncés : il a gagné trois médailles d or | quel nul ; m = 2.

Étape I4.2 (e₁ = « il a gagné trois médailles d or »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : gagné (+1), Π_D(e₁) = +1.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = +1 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(0 · +1) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Étape I4.2 (e₂ = « quel nul »). Évaluatifs : nul (−1), Π_E(e₂) = −1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₂) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₂) = Π_D(e₁) = +1 ; ι(e₂) = χ_{]−∞, 0[}(−1 · +1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Étape I4.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 1 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

∴ blâme (Π_E = −1) contre succès (Π_s = +1) : produit négatif, ironie de sens inverse, qui loue en feignant de blâmer.

b) Sarcasme

Exemple S1 – « Bravo, tu as encore tout raté »

Texte : « Bravo, tu as encore tout raté. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	bravo tu as encore tout raté	+1	−1	1	−1	1	1	2	1	—	—	0

Étape S1.1. Énoncés : bravo tu as encore tout raté ; m = 1.

Étape S1.2 (e₁ = « bravo tu as encore tout raté »). Évaluatifs : bravo (+1), Π_E(e₁) = +1 ; descriptifs : raté (−1), Π_D(e₁) = −1.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Cible : tu, χ_H(e₁) = 1 ; mépris : marques bravo, encore, B(e₁) = 2 ; σ(e₁) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 1 · 1 · 1 = 1.

Étape S1.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 1 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 1 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 2.

Avec une seule somme de polarités sur l’énoncé, bravo (+1) et raté (−1) s’annulent : Π = 0 et l’ironie disparaît. Les deux lexiques séparent le jugement (bravo) du fait (raté).

∴ ironie (bravo contre raté), cible humaine (tu), deux marques de mépris (bravo, encore) : sarcasme d’intensité 2.

Exemple S2 – Ironie mordante sans cible humaine

Texte : « Génial, encore de la pluie ! »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	génial encore de la pluie	+1	−1	1	−1	1	0	2	0	—	—	0

Étape S2.1. Énoncés : génial encore de la pluie ; m = 1.

Étape S2.2 (e₁ = « génial encore de la pluie »). Évaluatifs : génial (+1), Π_E(e₁) = +1 ; descriptifs : pluie (−1), Π_D(e₁) = −1.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Cible : aucune personne, χ_H(e₁) = 0 ; mépris : marques génial, encore, B(e₁) = 2 ; σ(e₁) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 1 · 0 · 1 = 0.

Étape S2.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 1 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

Sans le test de cible humaine (σ = ι · χ_{]0, +∞[}(m), définition corrigée), l’énoncé serait un sarcasme : 1.

∴ ironie et marques de mépris (génial, encore), mais la cible est la pluie : aucune personne n’est raillée. Ironie, non sarcasme.

Exemple S3 – Ironie bienveillante envers une personne

Texte : « Tu arrives avec une heure de retard. Tu es d’une ponctualité remarquable. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	tu arrives avec une heure de retard	0	−1	1	−1	0	1	0	0	—	—	0
2	tu es d une ponctualité remarquable	+1	0	1	−1	1	1	0	0	—	—	0

Étape S3.1. Énoncés : tu arrives avec une heure de retard | tu es d une ponctualité remarquable ; m = 2.

Étape S3.2 (e₁ = « tu arrives avec une heure de retard »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : retard (−1), Π_D(e₁) = −1.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(0 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Cible : tu, χ_H(e₁) = 1 ; mépris : marques aucune, B(e₁) = 0 ; σ(e₁) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 0 · 1 · 0 = 0.

Étape S3.2 (e₂ = « tu es d une ponctualité remarquable »). Évaluatifs : remarquable (+1), Π_E(e₂) = +1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₂) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₂) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₂) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Cible : tu, χ_H(e₂) = 1 ; mépris : marques aucune, B(e₂) = 0 ; σ(e₂) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 1 · 1 · 0 = 0.

Étape S3.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 1 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

∴ ironie et cible humaine (tu), mais aucune marque de mépris : taquinerie, non sarcasme.

Exemple S4 – Insulte directe : ni ironie ni sarcasme

Texte : « Tu as tout raté. Tu es vraiment nul. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	tu as tout raté	0	−1	1	−1	0	1	0	0	—	—	0
2	tu es vraiment nul	−1	0	1	−1	0	1	0	0	—	—	0

Étape S4.1. Énoncés : tu as tout raté | tu es vraiment nul ; m = 2.

Étape S4.2 (e₁ = « tu as tout raté »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : raté (−1), Π_D(e₁) = −1.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(0 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Cible : tu, χ_H(e₁) = 1 ; mépris : marques aucune, B(e₁) = 0 ; σ(e₁) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 0 · 1 · 0 = 0.

Étape S4.2 (e₂ = « tu es vraiment nul »). Évaluatifs : nul (−1), Π_E(e₂) = −1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₂) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₂) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₂) = χ_{]−∞, 0[}(−1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(+1) = 0.

Cible : tu, χ_H(e₂) = 1 ; mépris : marques aucune, B(e₂) = 0 ; σ(e₂) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 0 · 1 · 0 = 0.

Étape S4.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

∴ le blâme (−1) confirme le fait (−1) : le produit est positif, il n’y a pas d’inversion. Une insulte franche n’est pas un sarcasme.

Exemple S5 – Éloge sincère avec marque et cible

Texte : « Tu as tout réussi, bravo ! »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	tu as tout réussi bravo	+1	+1	1	+1	0	1	1	0	—	—	0

Étape S5.1. Énoncés : tu as tout réussi bravo ; m = 1.

Étape S5.2 (e₁ = « tu as tout réussi bravo »). Évaluatifs : bravo (+1), Π_E(e₁) = +1 ; descriptifs : réussi (+1), Π_D(e₁) = +1.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = +1 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · +1) = χ_{]−∞, 0[}(+1) = 0.

Cible : tu, χ_H(e₁) = 1 ; mépris : marques bravo, B(e₁) = 1 ; σ(e₁) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 0 · 1 · 1 = 0.

Étape S5.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

Sans exiger l’ironie (cible et mépris seuls), l’éloge sincère serait un sarcasme : 1.

∴ cible (tu) et marque (bravo) sont présentes, mais l’éloge confirme le succès : sans ironie, pas de sarcasme.

Exemple S6 – Shakespeare : « Brutus est un homme honorable »

Texte : « Brutus a poignardé César. Brutus est un homme honorable. Brutus est un homme honorable. Brutus est un homme honorable. Brutus est un homme honorable. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	brutus a poignardé césar	0	−1	1	−1	0	1	0	0	—	—	0
2	brutus est un homme honorable	+1	0	1	−1	1	1	0	0	—	—	0
3	brutus est un homme honorable	+1	0	1	−1	1	1	1	1	—	—	0
4	brutus est un homme honorable	+1	0	1	−1	1	1	1	1	—	—	0
5	brutus est un homme honorable	+1	0	1	−1	1	1	1	1	—	—	0

Étape S6.1. Énoncés : brutus a poignardé césar | brutus est un homme honorable | brutus est un homme honorable | brutus est un homme honorable | brutus est un homme honorable ; m = 5.

Étape S6.2 (e₁ = « brutus a poignardé césar »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : poignardé (−1), Π_D(e₁) = −1.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(0 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Cible : brutus, χ_H(e₁) = 1 ; mépris : marques aucune, B(e₁) = 0 ; σ(e₁) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 0 · 1 · 0 = 0.

Étape S6.2 (e₂ = « brutus est un homme honorable »). Évaluatifs : honorable (+1), Π_E(e₂) = +1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₂) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₂) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₂) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Cible : brutus, χ_H(e₂) = 1 ; mépris : marques aucune, B(e₂) = 0 ; σ(e₂) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 1 · 1 · 0 = 0.

Étape S6.2 (e₃ = « brutus est un homme honorable »). Évaluatifs : honorable (+1), Π_E(e₃) = +1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₃) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₃) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₃) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Cible : brutus, χ_H(e₃) = 1 ; mépris : marques aucune + répétition de l’éloge (honorable), B(e₃) = 1 ; σ(e₃) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 1 · 1 · 1 = 1.

Étape S6.2 (e₄ = « brutus est un homme honorable »). Évaluatifs : honorable (+1), Π_E(e₄) = +1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₄) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₄) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₄) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Cible : brutus, χ_H(e₄) = 1 ; mépris : marques aucune + répétition de l’éloge (honorable), B(e₄) = 1 ; σ(e₄) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 1 · 1 · 1 = 1.

Étape S6.2 (e₅ = « brutus est un homme honorable »). Évaluatifs : honorable (+1), Π_E(e₅) = +1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₅) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₅) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₅) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Cible : brutus, χ_H(e₅) = 1 ; mépris : marques aucune + répétition de l’éloge (honorable), B(e₅) = 1 ; σ(e₅) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 1 · 1 · 1 = 1.

Étape S6.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 4 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 3 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 3.

Sans compter les répétitions comme marques de mépris : σ = 0, 0, 0, 0, 0 ; le discours d’Antoine ne serait qu’une ironie.

∴ la première louange est une ironie ; chaque répétition ajoute une marque de mépris et la change en sarcasme. Le discours d’Antoine (Jules César, III, 2) devient mordant par la répétition.

c) Apophasis

Exemple A1 – « Je ne dirai pas que mon adversaire est corrompu »

Texte : « Je ne dirai pas que mon adversaire est corrompu. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	je ne dirai pas que mon adversaire est corrompu	0	0	—	0	0	1	0	0	je ne dirai pas	adversaire, corrompu	1

Étape A1.1. Énoncés : je ne dirai pas que mon adversaire est corrompu ; m = 1.

Étape A1.2 (e₁ = « je ne dirai pas que mon adversaire est corrompu »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₁) = 0.

Marque « je ne dirai pas » ; mots après : que, mon, adversaire, est, corrompu ; contenu (hors mots grammaticaux et mots de discours) : adversaire, corrompu ; α(e₁) = χ_{[1, +∞[}(2) = 1.

Étape A1.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 1 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

∴ la marque nie la mention, et le contenu (adversaire, corrompu) est pourtant dans le mot : apophasis.

Exemple A2 – « Je ne mentionnerai pas ses faillites »

Texte : « Je ne mentionnerai pas ses faillites financières. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	je ne mentionnerai pas ses faillites financières	0	−1	1	−1	0	0	0	0	je ne mentionnerai pas	faillites, financières	1

Étape A2.1. Énoncés : je ne mentionnerai pas ses faillites financières ; m = 1.

Étape A2.2 (e₁ = « je ne mentionnerai pas ses faillites financières »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : faillites (−1), Π_D(e₁) = −1.

Marque « je ne mentionnerai pas » ; mots après : ses, faillites, financières ; contenu (hors mots grammaticaux et mots de discours) : faillites, financières ; α(e₁) = χ_{[1, +∞[}(2) = 1.

Étape A2.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 1 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

∴ deux mots de contenu après la marque : apophasis. Le mot « faillites » est un fait négatif, mais l’énoncé ne juge pas : pas d’ironie.

Exemple A3 – « Je ne dirai rien » : la marque sans contenu

Texte : « Je ne dirai rien. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	je ne dirai rien	0	0	—	0	0	0	0	0	je ne dirai rien	—	0

Étape A3.1. Énoncés : je ne dirai rien ; m = 1.

Étape A3.2 (e₁ = « je ne dirai rien »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₁) = 0.

Marque « je ne dirai rien » ; mots après : aucun ; contenu (hors mots grammaticaux et mots de discours) : aucun ; α(e₁) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0.

Étape A3.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

En comptant la marque seule, sans contenu, le silence serait une apophasis : 1.

∴ rien ne suit la marque : on se tait vraiment. Pas d’apophasis.

Exemple A4 – Le contenu sans la marque

Texte : « Il a eu des faillites financières. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	il a eu des faillites financières	0	−1	1	−1	0	0	0	0	—	—	0

Étape A4.1. Énoncés : il a eu des faillites financières ; m = 1.

Étape A4.2 (e₁ = « il a eu des faillites financières »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : faillites (−1), Π_D(e₁) = −1.

Aucune marque de négation de mention : α(e₁) = 0.

Étape A4.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

∴ le contenu est dit franchement, sans prétendre le taire : pas d’apophasis.

Exemple A5 – La marque suivie de mots de discours

Texte : « Je ne dirai pas un mot de plus. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	je ne dirai pas un mot de plus	0	0	—	0	0	0	0	0	je ne dirai pas	—	0

Étape A5.1. Énoncés : je ne dirai pas un mot de plus ; m = 1.

Étape A5.2 (e₁ = « je ne dirai pas un mot de plus »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₁) = 0.

Marque « je ne dirai pas » ; mots après : un, mot, de, plus ; contenu (hors mots grammaticaux et mots de discours) : aucun ; α(e₁) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0.

Étape A5.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 0 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

En comptant tout mot qui suit la marque (définition corrigée), « mot » et « plus » feraient une apophasis : 1.

∴ « mot » et « plus » parlent du discours lui-même, non d’un contenu omis : ils sont exclus. Pas d’apophasis.

Exemple A6 – Faux positif assumé : l’annonce de sujet

Texte : « Je ne parlerai pas de politique ce soir, mais de cuisine. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	je ne parlerai pas de politique ce soir mais de cuisine	0	0	—	0	0	0	0	0	je ne parlerai pas de	politique, soir, cuisine	1

Étape A6.1. Énoncés : je ne parlerai pas de politique ce soir mais de cuisine ; m = 1.

Étape A6.2 (e₁ = « je ne parlerai pas de politique ce soir mais de cuisine »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₁) = 0.

Marque « je ne parlerai pas de » ; mots après : politique, ce, soir, mais, de, cuisine ; contenu (hors mots grammaticaux et mots de discours) : politique, soir, cuisine ; α(e₁) = χ_{[1, +∞[}(3) = 1.

Étape A6.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 0 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 0 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 1 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 0.

∴ le calcul compte une apophasis (politique suit la marque) ; mais l’orateur écarte vraiment ce sujet pour en traiter un autre. L’intention d’attirer l’attention n’est pas visible dans le mot.

d) Texte complet

Exemple T – Texte complet : les trois figures ensemble

Texte : « Il pleut à verse depuis ce matin. Quel temps magnifique ! Notre ministre a promis le soleil. Inutile de rappeler que notre brillant ministre a encore échoué. Je ne dirai rien de plus. »

j	énoncé ej	ΠE(ej)	ΠD(ej)	j*	Πs(ej)	ι(ej)	χH	B(ej)	σ(ej)	marque de Nm	contenu après	α(ej)
1	il pleut à verse depuis ce matin	0	−1	1	−1	0	0	0	0	—	—	0
2	quel temps magnifique	+1	0	1	−1	1	0	0	0	—	—	0
3	notre ministre a promis le soleil	0	+1	3	+1	0	1	0	0	—	—	0
4	inutile de rappeler que notre brillant ministre a encore échoué	+1	−1	4	−1	1	1	1	1	inutile de rappeler	brillant, ministre, encore, échoué	1
5	je ne dirai rien de plus	0	0	4	−1	0	0	0	0	je ne dirai rien	—	0

Étape T.1. Énoncés : il pleut à verse depuis ce matin | quel temps magnifique | notre ministre a promis le soleil | inutile de rappeler que notre brillant ministre a encore échoué | je ne dirai rien de plus ; m = 5.

Étape T.2 (e₁ = « il pleut à verse depuis ce matin »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₁) = 0 ; descriptifs : pleut (−1), Π_D(e₁) = −1.

Situation : j* = 1, Π_s(e₁) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₁) = χ_{]−∞, 0[}(0 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Cible : aucune personne, χ_H(e₁) = 0 ; mépris : marques aucune, B(e₁) = 0 ; σ(e₁) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 0 · 0 · 0 = 0.

Aucune marque de négation de mention : α(e₁) = 0.

Étape T.2 (e₂ = « quel temps magnifique »). Évaluatifs : magnifique (+1), Π_E(e₂) = +1 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₂) = 0.

Situation : j* = 1, Π_s(e₂) = Π_D(e₁) = −1 ; ι(e₂) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Cible : aucune personne, χ_H(e₂) = 0 ; mépris : marques aucune, B(e₂) = 0 ; σ(e₂) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 1 · 0 · 0 = 0.

Aucune marque de négation de mention : α(e₂) = 0.

Étape T.2 (e₃ = « notre ministre a promis le soleil »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₃) = 0 ; descriptifs : soleil (+1), Π_D(e₃) = +1.

Situation : j* = 3, Π_s(e₃) = Π_D(e₃) = +1 ; ι(e₃) = χ_{]−∞, 0[}(0 · +1) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Cible : ministre, χ_H(e₃) = 1 ; mépris : marques aucune, B(e₃) = 0 ; σ(e₃) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 0 · 1 · 0 = 0.

Aucune marque de négation de mention : α(e₃) = 0.

Étape T.2 (e₄ = « inutile de rappeler que notre brillant ministre a encore échoué »). Évaluatifs : brillant (+1), Π_E(e₄) = +1 ; descriptifs : échoué (−1), Π_D(e₄) = −1.

Situation : j* = 4, Π_s(e₄) = Π_D(e₄) = −1 ; ι(e₄) = χ_{]−∞, 0[}(+1 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(−1) = 1.

Cible : ministre, χ_H(e₄) = 1 ; mépris : marques encore, B(e₄) = 1 ; σ(e₄) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 1 · 1 · 1 = 1.

Marque « inutile de rappeler » ; mots après : que, notre, brillant, ministre, a, encore, échoué ; contenu (hors mots grammaticaux et mots de discours) : brillant, ministre, encore, échoué ; α(e₄) = χ_{[1, +∞[}(4) = 1.

Étape T.2 (e₅ = « je ne dirai rien de plus »). Évaluatifs : aucun, Π_E(e₅) = 0 ; descriptifs : aucun, Π_D(e₅) = 0.

Situation : j* = 4, Π_s(e₅) = Π_D(e₄) = −1 ; ι(e₅) = χ_{]−∞, 0[}(0 · −1) = χ_{]−∞, 0[}(0) = 0.

Cible : aucune personne, χ_H(e₅) = 0 ; mépris : marques aucune, B(e₅) = 0 ; σ(e₅) = ι · χ_H · χ_{[1, +∞[}(B) = 0 · 0 · 0 = 0.

Marque « je ne dirai rien » ; mots après : de, plus ; contenu (hors mots grammaticaux et mots de discours) : aucun ; α(e₅) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0.

Étape T.3. Iron(w) = ∑_j ι(e_j) = 2 ; Sarc(w) = ∑_j σ(e_j) = 1 ; Apoph(w) = ∑_j α(e_j) = 1 ; mépris total Mép(w) = ∑_j σ · B = 1.

∴ Iron(w) = 2, Sarc(w) = 1, Apoph(w) = 1 ; le quatrième énoncé cumule les trois figures : il loue (brillant) un échec, vise une personne avec mépris (encore), et prétend ne pas rappeler ce qu’il rappelle.

Le texte complet : cinq énoncés, et le quatrième qui cumule ironie, sarcasme et apophasis.

15.8 Distinctions et versions de la définition

Le tableau suivant reprend tous les énoncés où au moins un critère est présent, et montre comment les quatre critères les répartissent entre les trois figures :

énoncé	inversion ι	cible χH	mépris B	σ	négation de mention	α	classement
I1.2 : quel temps magnifique	1	0	0	0	—	0	ironie
I4.2 : quel nul	1	0	0	0	—	0	ironie
S1.1 : bravo tu as encore tout raté	1	1	2	1	—	0	sarcasme
S2.1 : génial encore de la pluie	1	0	2	0	—	0	ironie
S3.2 : tu es d une ponctualité remarquable	1	1	0	0	—	0	ironie
S5.1 : tu as tout réussi bravo	0	1	1	0	—	0	aucune figure
S6.2 : brutus est un homme honorable	1	1	0	0	—	0	ironie
S6.3 : brutus est un homme honorable	1	1	1	1	—	0	sarcasme
S6.4 : brutus est un homme honorable	1	1	1	1	—	0	sarcasme
S6.5 : brutus est un homme honorable	1	1	1	1	—	0	sarcasme
A1.1 : je ne dirai pas que mon adversaire est corrompu	0	1	0	0	je ne dirai pas	1	apophasis
A2.1 : je ne mentionnerai pas ses faillites financières	0	0	0	0	je ne mentionnerai pas	1	apophasis
A3.1 : je ne dirai rien	0	0	0	0	je ne dirai rien	0	aucune figure
A5.1 : je ne dirai pas un mot de plus	0	0	0	0	je ne dirai pas	0	aucune figure
A6.1 : je ne parlerai pas de politique ce soir mais de cuisine	0	0	0	0	je ne parlerai pas de	1	apophasis
T.2 : quel temps magnifique	1	0	0	0	—	0	ironie
T.4 : inutile de rappeler que notre brillant ministre a encore échoué	1	1	1	1	inutile de rappeler	1	sarcasme + apophasis
T.5 : je ne dirai rien de plus	0	0	0	0	je ne dirai rien	0	aucune figure

Les critères énoncé par énoncé : inversion, cible, mépris, négation de mention, et la figure qui en résulte.

On compare ensuite, figure par figure, les versions possibles sur les trente énoncés des exemples. Réponse attendue : la classe donnée dans chaque exemple, l’annonce de sujet de l’exemple A6 n’étant pas une apophasis.

Ironie verbale.

version	détections	erreurs (sur 30 énoncés)	énoncés mal classés
définition corrigée : SL, SI ∈ {−1, +1}, χ{−1}(SL · SI)	19	8	I1.1, S3.1, S4.1, S6.1, A2.1, A4.1, T.1, T.5
situation limitée à l’énoncé lui-même	3	8	I1.2, I4.2, S3.2, S6.2, S6.3, S6.4, S6.5, T.2
retenue : Π ∈ ℤ, situation = dernier fait énoncé	11	0

Sarcasme.

version	détections	erreurs (sur 30 énoncés)	énoncés mal classés
définition corrigée : χ{−1}(SL · SI) · χ]0, +∞[(m), sans cible	6	1	S2.1
sans le test de cible humaine	6	1	S2.1
sans exiger l’ironie (cible et mépris seuls)	6	1	S5.1
sans compter les répétitions	2	3	S6.3, S6.4, S6.5
retenue : ι · χH · χ[1, +∞[(B)	5	0

Apophasis.

version	détections	erreurs (sur 30 énoncés)	énoncés mal classés
définition corrigée : tout mot après la marque	6	3	A5.1, A6.1, T.5
marque seule, sans contenu	7	4	A3.1, A5.1, A6.1, T.5
retenue : contenu hors mots grammaticaux et mots de discours	4	1	A6.1

Les polarités binaires de la définition corrigée déclarent ironiques tous les énoncés qui décrivent un fait négatif sans le juger ; limiter la situation à l’énoncé lui-même perd toutes les ironies dont le fait est dit avant. Pour le sarcasme, chaque condition retirée produit ses propres erreurs : la pluie raillée sans personne, l’éloge sincère, la répétition de Brutus. Pour l’apophasis, la version retenue ne garde que l’annonce de sujet. Aucun seuil numérique n’est à régler : les trois définitions ne comparent qu’à zéro ou à un.

Erreurs des versions pour les trois figures : chaque condition de la définition retenue est nécessaire.

15.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois les lexiques E, D, H, B, N_m et R fixés, ι, σ et α découlent nécessairement du calcul ; les lemmes σ ≤ ι et ι = 1 ⇒ Π_E · Π_s ≠ 0 sont nécessaires.
• Contingent : les polarités du jugement et du fait relèvent du lexique et de la culture (« génial » peut être sincère) ; la situation dépend de ce que le texte choisit de dire.
• Possible : l’apophasis est possible dès qu’une marque de N_m est suivie d’un contenu ; elle ne dépend ni de la situation ni du lexique de polarité, seulement d’une liste fermée et d’un comptage.

15.10 Justification et limites

Les trois figures sont voisines parce qu’elles jouent toutes sur l’écart entre ce qui est dit et ce qui est signifié ; le calcul les sépare par la nature de cet écart. L’ironie inverse le signe entre un jugement et un fait ; le sarcasme inverse le signe contre quelqu’un, avec des marques de mépris ; l’apophasis ne change pas le signe, elle nie l’acte même de dire tout en l’accomplissant. Les tests sont successifs pour l’ironie et le sarcasme (σ ≤ ι), indépendants pour l’apophasis, ce qui permet de les combiner sur un même énoncé.

Trois limites sont assumées. Le calcul ne connaît que la situation que le texte énonce : une ironie dont le fait reste hors du texte (« Quel temps magnifique ! » seul) n’est pas détectée. Les marques de mépris peuvent être sincères hors de l’ironie ; c’est pourquoi le sarcasme exige ι = 1. Enfin, l’intention de l’apophasis (attirer l’attention) n’est pas visible : une annonce de sujet qui écarte vraiment un thème est comptée (exemple A6).

⁂

16. Litote – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
La litote (du grec litotēs, « simplicité, atténuation ») consiste à dire moins pour faire entendre plus. Sa forme la plus caractéristique est la négation du contraire : au lieu d’affirmer une qualité, on nie la qualité opposée. « Va, je ne te hais point » (Corneille, Le Cid, acte III, scène 4) fait entendre « je t’aime » ; « ce n’est pas mauvais » fait entendre « c’est bon » ; en anglais, « not bad », « he’s no fool », « no small feat ». La litote exprime une affirmation forte par la négation de son contraire (ex. « Je ne te hais point »).

Mécanisme en combinatoire des mots
Elle se modélise par l’application conjointe d’une fonction de négation et d’une fonction d’opposition lexicale.

Définition mathématique
Soient $N$ l’opérateur de négation et $\mathrm{Opp}$ l’opérateur d’antonymie. Une litote $u$ affirmant un contenu $v$ s’écrit formellement $u = N(\mathrm{Opp}(v))$.

$$\mathrm{Lit}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u = N(\mathrm{Opp}(v)) \text{ pour un } v \} \bigr|$$

⁂

16. Litote – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de la litote à quelques exemples d’application conjointe d’une fonction de négation et d’une fonction d’opposition lexicale.

16.1 Définition rhétorique

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une négation : un mot de négation (ne … pas, ne … point, pas, not, no) dont la portée atteint un terme ;
• un terme du pôle négatif : le terme nié est l’opposé d’un terme positif (haïr pour aimer, laid pour beau, mauvais pour bon) ;
• une atténuation : nier le contraire ne donne pas tout le terme positif, mais une version adoucie ; « pas laid » est moins que « beau ».

La litote se distingue de figures voisines. L’euphémisme (fiche 13) adoucit par le choix d’un synonyme, sans négation ; l’ironie (fiche 15) inverse la polarité, alors que la litote la garde : elle dit du bien en niant le mal. Nier le pôle positif (« ce n’est pas bon ») est la négation ordinaire ; nier l’un de deux contradictoires (« il n’est pas mort ») ne laisse aucun milieu, donc aucune atténuation.

16.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule u = N(Opp(v)) capture l’idée rhétorique de la « négation de l’opposé ». Pour obtenir une définition entièrement calculable, on introduit explicitement une fonction d’opposition, une fonction de négation et une fonction indicatrice.

Fonction d’opposition. Soit Opp : L → L, où L est le lexique : Opp(bon) = mauvais, Opp(intelligent) = stupide, Opp(beau) = laid. Fonction de négation. N(x) est l’opérateur qui construit la négation d’un facteur : N(laid) = « pas laid », N(stupide) = « pas stupide ». Fonction témoin. Pour chaque facteur u et chaque v :

d(u, v) = 1 si u = N(Opp(v)), d(u, v) = 0 sinon ; L(u) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{v ∈ L} d(u, v) ) = 1 si ∃ v, u = N(Opp(v)), 0 sinon.

Le nombre total de litotes est alors, en compréhension puis sous forme de double somme :

Lit(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{[1, +∞[}( ∑_{v ∈ L} χ_{N(Opp(v))}(u) ), Lit(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{v ∈ L} χ_{N(Opp(v))}(u).

Avec une valence ν : L → ℝ, l’atténuation se mesure par LitInt = |ν(v)| − |ν(N(Opp(v)))| : plus cette valeur est grande, plus la litote est forte.

Ces formules ne manipulent que des égalités de facteurs, des sommes finies et des indicatrices ; elles sont calculables dès que Opp et N sont définies. Pour qu’elles comptent exactement les litotes, cinq précisions sont nécessaires : (1) N(x) n’est pas un seul facteur mais un langage fini, car la négation française est discontinue (« ne te hais point ») ; (2) v doit parcourir le seul pôle positif L⁺, sinon « pas bon » est compté ; (3) les couples contradictoires, sans milieu, n’atténuent rien et doivent être exclus, ce que fait la mesure d’intensité elle-même ; (4) une question oratoire neutralise la litote ; (5) Fact(w) doit être lu comme l’ensemble des occurrences de facteurs, non des facteurs distincts, et la valeur ν(N(Opp(v))) doit être calculée par une règle et non donnée à la main. C’est l’objet des paragraphes suivants ; la double somme est conservée.

16.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance à une liste de mots : χ_NE, χ_P, χ_C, χ_Z pour les mots de négation et de liaison, χ_L⁻ pour les formes du pôle négatif ;
• appartenance à un langage fini : χ_N(Opp(v))(u) = 1 si le facteur u est l’une des négations de Opp(v) ;
• « il existe » : χ_{[1, +∞[}(∑ …) = 1 dès qu’un terme de la somme vaut 1 ;
• seuil strict : χ_{]0, +∞[}(x) = 1 si x > 0 ;
• « et » : un produit ; « non » : 1 − χ ; comptage : une somme, ici une double somme sur les facteurs u et les termes v.

16.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les énoncés

On met le texte en minuscules (accents gardés) ; virgules, deux-points, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces, les signes . ! ? ; sont gardés comme mots ; chaque mot devient une lettre de l’alphabet Σ des mots : w = t₁ ⋯ t_n. « N’est-il » donne n, est, il. Les signes . ! ? ; coupent w en énoncés e₁, …, e_m ; q_j = 1 si e_j finit par « ? », 0 sinon. Un facteur u ne franchit jamais une fin d’énoncé.

b) Le lexique polarisé et l’opposition

Le lexique L est partagé en deux pôles, L = L⁺ ∪ L⁻. Opp : L → L est une involution sans point fixe qui échange les pôles : Opp(Opp(v)) = v et Opp(L⁺) = L⁻. Chaque terme x a un ensemble de formes F(x) (« hais », « hait », « haïr » pour haïr), deux à deux disjoints. Chaque couple porte une valence ν et un type : graduables (un milieu existe entre les deux termes) ou contradictoires (l’un est exactement la négation de l’autre).

v ∈ L⁺	formes F(v)	ν(v)	Opp(v) ∈ L⁻	formes F(Opp(v))	ν(Opp(v))	type	ρ	LitInt(v)
aimer	aime, aimes, aimer	10	haïr	hais, hait, haïr	−10	graduables	1/2	5
beau	beau, belle, beaux	8	laid	laid, laide, laids, laides	−8	graduables	1/2	4
intelligent	intelligent, intelligente, clever	10	stupide	stupide, stupides, fool	−10	graduables	1/2	5
bon	bon, bonne	6	mauvais	mauvais, mauvaise	−6	graduables	1/2	3
bien	bien	6	mal	mal	−6	graduables	1/2	3
good	good	6	bad	bad	−6	graduables	1/2	3
important	important, importante	6	rien	rien	−6	graduables	1/2	3
vivant	vivant, vivante	10	mort	mort, morte	−10	contradictoires	1	0

Les valences reprennent celles de la définition (ν(beau) = 8, ν(laid) = −8, ν(intelligent) = 10, ν(stupide) = −10) et sont symétriques : ν(Opp(v)) = −ν(v). La colonne ρ et la colonne LitInt sont expliquées au paragraphe d).

c) La négation N(x) : un langage fini

N(laid) = « pas laid » est la forme la plus simple, mais la négation française encadre souvent le verbe (« ne … point ») et admet des mots de liaison (« pas si mauvais », « pas du tout mauvais »). On pose quatre listes : NE = {ne, n}, P = {pas, point, guère, jamais, not, no}, C = {te, me, le, la, l, se, nous, vous, lui, en, y, t, m, s} (pronoms placés entre ne et le verbe), Z = {si, du, tout, trop, un, une, a, so} (mots de liaison après la négation). Alors :

N(x) = { ne c₁ ⋯ c_m x′ p : x′ ∈ F(x), c_l ∈ C, p ∈ P, 0 ≤ m ≤ 2 } ∪ { p z₁ ⋯ z_m x′ : x′ ∈ F(x), z_l ∈ Z, p ∈ P, 0 ≤ m ≤ 2 }.

La première partie (motif A) est la négation discontinue : « ne te hais point » (m = 1). La seconde (motif B) est la négation antéposée : « pas laid » (m = 0), « pas si mal » (m = 1), « pas du tout mauvais » (m = 2). N(laid) = « pas laid » de la définition est l’élément de motif B avec m = 0 et x′ = laid. N(x) est fini : avec les listes ci-dessus, N(laid) contient 11880 facteurs ; l’égalité u = N(Opp(v)) devient l’appartenance u ∈ N(Opp(v)), et l’indicatrice du singleton χ_{N(Opp(v))} devient celle du langage, χ_N(Opp(v)).

Pourquoi des mots de liaison fixés et non une distance quelconque : dans « il n’aime pas les gens laids », « pas » est à trois mots de « laids », mais il nie « aime » ; « les gens » ne sont pas des mots de liaison (exemple 8). La portée de la négation est grammaticale, non métrique.

La portée de la négation : motif A (ne … p) et motif B (p … x) ; « les gens » coupe la portée.

d) Le pôle, le type et l’intensité

La litote nie le pôle négatif. Si v parcourait tout L, « ce n’est pas bon » = N(Opp(mauvais)) serait compté ; c’est pourtant la négation ordinaire, qui dit ce qu’elle dit (exemple 5). La somme intérieure porte donc sur v ∈ L⁺ : le terme nié Opp(v) est dans L⁻.

La valence de la négation se calcule par une règle et non à la main. Nier x ne donne pas Opp(x) tout entier mais une valeur intermédiaire, de signe opposé à ν(x) :

ν(N(x)) = −ρ · ν(x), ρ = 1/2 pour un couple graduable, ρ = 1 pour un couple contradictoire ; LitInt(v) = |ν(v)| − |ν(N(Opp(v)))| = |ν(v)| − ρ · |ν(Opp(v))|.

Pour beau : ν(pas laid) = −1/2 · (−8) = 4 et LitInt(beau) = 8 − 4 = 4, la valeur de la définition. Pour intelligent : ν(pas stupide) = −1/2 · (−10) = 5 et LitInt(intelligent) = 10 − 5 = 5. La définition donnait ν(pas stupide) = 3 et LitInt = 7 ; ce choix correspond à ρ = 3/10 et ne peut pas coexister avec ν(pas laid) = 4, qui correspond à ρ = 1/2. Avec une seule règle, l’ordre des deux litotes est conservé : « pas stupide » (5) est plus forte que « pas laid » (4), parce que l’intelligence est plus haut sur l’échelle que la beauté.

Lemme 3 (atténuation). Pour des valences symétriques, LitInt(v) = (1 − ρ) · |ν(v)|, donc 0 ≤ LitInt(v) ≤ |ν(v)|, avec LitInt(v) = 0 si et seulement si ρ = 1. ∴ Pour un couple contradictoire, « pas mort » vaut exactement « vivant » : la négation n’atténue rien et il n’y a pas de litote. Le test de type n’est donc pas une condition ajoutée : c’est l’indicatrice de l’atténuation, γ(v) = χ_{]0, +∞[}(LitInt(v)). Avec ρ = 1 pour tous les couples, on retrouve la polarité seule, π(N(x)) = (−1) · π(x).

L’échelle de valence : le terme v, son opposé Opp(v) et la négation N(Opp(v)) placée à −ρ · ν(Opp(v)) ; l’écart à v est l’intensité de la litote.

e) Les occurrences de facteurs et la double somme

La double somme de la définition porte sur u ∈ Fact(w). Si Fact(w) est l’ensemble des facteurs distincts, deux litotes identiques ne comptent qu’une fois : « pas mauvais » apparaît deux fois dans le texte de l’exemple 11. On somme donc sur les occurrences de facteurs, les couples de positions (i, f) avec i ≤ f, et u = t_i ⋯ t_f. Il n’y a pas ici de surcompte : l’indicatrice teste l’égalité de u avec un élément de N(Opp(v)), non le fait que u contienne une négation ; un facteur plus long qui contient « pas mauvais » n’appartient pas à N(mauvais).

Fact(w) = { t_i ⋯ t_f : 1 ≤ i ≤ f ≤ n } (occurrences), Lit(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u), q(u) = q_j pour l’énoncé e_j qui contient u.

Lemme 1 (les deux formes de la définition coïncident). Si les ensembles de formes sont deux à deux disjoints et disjoints des listes NE, P, C, Z, alors pour tout facteur u, ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) ≤ 1, donc χ_{[1, +∞[}(∑_v χ_N(Opp(v))(u)) = ∑_v χ_N(Opp(v))(u). Preuve : un élément de N(Opp(v)) contient exactement un mot qui n’est ni dans NE, ni dans P, ni dans C, ni dans Z, et ce mot est une forme de Opp(v) ; comme les formes sont disjointes, il détermine Opp(v), puis v puisque Opp est injective. ∴ La forme avec χ_{[1, +∞[} et la double somme donnent le même nombre.

Lemme 2 (calcul par position). Chaque facteur compté se termine par son terme nié (motif B) ou juste après lui (motif A) ; il est donc repéré par la position k du terme nié. Avec A_m(k) = χ_NE(t_k−m−1) · χ_C(t_k−m) ⋯ χ_C(t_k−1) · χ_P(t_k+1) et B_m(k) = χ_P(t_k−m−1) · χ_Z(t_k−m) ⋯ χ_Z(t_k−1) :

Lit(w) = ∑_k=1ⁿ (1 − q(k)) · χ_L⁻(t_k) · γ(v_k) · χ_{[1, +∞[}( ∑_m=0² (A_m(k) + B_m(k)) ),

où v_k = Opp de la paire dont t_k est une forme. L’égalité avec la double somme demande que, à chaque position, un seul contexte soit vrai ; une colonne du classeur le vérifie pour chaque mot. C’est cette forme que calcule le classeur, et le programme vérifie qu’elle donne le même résultat que la double somme sur les facteurs pour les onze textes.

La double somme de l’exemple 4 : une ligne par facteur u, une colonne par terme v ∈ L⁺ ; la somme de chaque ligne vaut 0 ou 1 (lemme 1).

f) Le carré de la négation

Le croisement « négation ou non » × « pôle positif ou négatif » donne quatre cas, dont un seul est la litote :

	terme du pôle positif (bon)	terme du pôle négatif (mauvais)
sans négation	« c’est bon » : assertion	« c’est mauvais » : assertion
avec négation dans la portée	« ce n’est pas bon » : négation ordinaire	« ce n’est pas mauvais » : litote, si le couple est graduable et l’énoncé non interrogatif

Le carré de la négation et les deux filtres : la question oratoire (q = 1) et le couple contradictoire (γ = 0).

16.5 Définition mathématique

Lit(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u), γ(v) = χ_{]0, +∞[}( |ν(v)| − ρ · |ν(Opp(v))| ),

Int(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) · LitInt(v), LitInt(v) = |ν(v)| − |ν(N(Opp(v)))|.

Fact(w) désigne les occurrences de facteurs à l’intérieur d’un énoncé. Lit(w) compte les négations d’un terme du pôle négatif graduable, hors question ; Int(w) additionne les atténuations. Par le lemme 1, on peut remplacer la somme intérieure par L(u) = χ_{[1, +∞[}(∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u)) sans changer le résultat ; par le lemme 2, on peut sommer sur les positions k des termes niés.

La définition complète : opposition, négation comme langage fini, double somme, filtres et intensité.

16.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots t₁, …, t_n ; couper en énoncés et calculer q_j.
2. Repérer les mots qui sont des formes d’un couple ; garder ceux du pôle négatif, χ_L⁻(t_k) = 1.
3. Pour chaque tel t_k, calculer A_m(k) et B_m(k) pour m = 0, 1, 2 ; s’il y en a un égal à 1, le facteur u correspondant appartient à N(Opp(v)).
4. Calculer ν(N(Opp(v))) = −ρ · ν(Opp(v)), LitInt(v) et γ(v).
5. Additionner (1 − q) · γ · χ_N(Opp(v))(u) sur les facteurs et les v : Lit(w) ; puis les LitInt : Int(w).

16.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par mot qui est une forme d’un couple d’antonymes : son pôle, son énoncé et q, le nombre de contextes de négation, le facteur u reconnu et son motif, les deux filtres, la contribution à la double somme et l’intensité.

Exemple 1 – « Va, je ne te hais point » : la négation discontinue

Texte : « Va, je ne te hais point. »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
5	hais	−	(aimer, haïr)	1	0	1	« ne te hais point » (A1)	1	1	1	10	5	5

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = va, t₂ = je, t₃ = ne, t₄ = te, t₅ = hais, t₆ = point, t₇ = . ; n = 7.

Étape 1.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 1 ; e₁ finit par « . », q₁ = 0.

Étape 1.3 (t₅ = hais). Forme de Opp(aimer) = haïr ∈ L⁻ ; t₃ = ne ∈ NE, t₄ = te ∈ C, t₆ = point ∈ P : A₁(5) = 1, donc u = « ne te hais point » ∈ N(Opp(aimer)) et χ_{N(Opp(aimer))}(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₁ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(aimer))) = −ρ · ν(haïr) = −1/2 · (−10) = 5 ; LitInt(aimer) = |10| − |5| = 5 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 1.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 1 ; Int(w) = ∑ LitInt = 5.

Avec la seule forme adjacente « pas x » (k = 0) : « te » sépare « ne » de « hais », et la litote est perdue : 0.

∴ la négation ne … point encadre le terme nié « hais » et le pronom « te » : u = « ne te hais point » ∈ N(Opp(aimer)). Litote ; LitInt = 10 − 5 = 5 : Chimène dit « je t’aime » en niant la haine (Corneille, Le Cid, acte III, scène 4).

Exemple 2 – « It’s not bad » : la litote anglaise

Texte : « It’s not bad. »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
4	bad	−	(good, bad)	1	0	1	« not bad » (B0)	1	1	1	6	3	3

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = it, t₂ = s, t₃ = not, t₄ = bad, t₅ = . ; n = 5.

Étape 2.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 1 ; e₁ finit par « . », q₁ = 0.

Étape 2.3 (t₄ = bad). Forme de Opp(good) = bad ∈ L⁻ ; t₃ = not ∈ P : B₀(4) = 1, donc u = « not bad » ∈ N(Opp(good)) et χ_N(Opp(good))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₁ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(good))) = −ρ · ν(bad) = −1/2 · (−6) = 3 ; LitInt(good) = |6| − |3| = 3 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 2.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 1 ; Int(w) = ∑ LitInt = 3.

∴ u = « not bad » ∈ N(Opp(good)) : litote d’intensité 6 − 3 = 3. Le même calcul vaut en anglais, avec les particules not et no.

Exemple 3 – « He’s no fool » : la négation par « no »

Texte : « He’s no fool. »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
4	fool	−	(intelligent, stupide)	1	0	1	« no fool » (B0)	1	1	1	10	5	5

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = he, t₂ = s, t₃ = no, t₄ = fool, t₅ = . ; n = 5.

Étape 3.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 1 ; e₁ finit par « . », q₁ = 0.

Étape 3.3 (t₄ = fool). Forme de Opp(intelligent) = stupide ∈ L⁻ ; t₃ = no ∈ P : B₀(4) = 1, donc u = « no fool » ∈ N(Opp(intelligent)) et χ_{N(Opp(intelligent))}(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₁ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(intelligent))) = −ρ · ν(stupide) = −1/2 · (−10) = 5 ; LitInt(intelligent) = |10| − |5| = 5 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 3.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 1 ; Int(w) = ∑ LitInt = 5.

∴ u = « no fool » ∈ N(Opp(intelligent)) : litote d’intensité 10 − 5 = 5. On entend « il est malin ».

Exemple 4 – L’exemple complet de la définition : quatre énoncés, trois litotes

Texte : « Il n’est pas laid. Il n’est pas stupide. Il est excellent. Ce n’est pas mauvais. »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
5	laid	−	(beau, laid)	1	0	1	« pas laid » (B0)	1	1	1	8	4	4
11	stupide	−	(intelligent, stupide)	2	0	1	« pas stupide » (B0)	1	1	1	10	5	5
21	mauvais	−	(bon, mauvais)	4	0	1	« pas mauvais » (B0)	1	1	1	6	3	3

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = n, t₃ = est, t₄ = pas, t₅ = laid, t₆ = ., t₇ = il, t₈ = n, t₉ = est, t₁₀ = pas, t₁₁ = stupide, t₁₂ = ., t₁₃ = il, t₁₄ = est, t₁₅ = excellent, t₁₆ = ., t₁₇ = ce, t₁₈ = n, t₁₉ = est, t₂₀ = pas, t₂₁ = mauvais, t₂₂ = . ; n = 22.

Étape 4.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 4 ; e₁ finit par « . », q₁ = 0 ; e₂ finit par « . », q₂ = 0 ; e₃ finit par « . », q₃ = 0 ; e₄ finit par « . », q₄ = 0.

Étape 4.3 (t₅ = laid). Forme de Opp(beau) = laid ∈ L⁻ ; t₄ = pas ∈ P : B₀(5) = 1, donc u = « pas laid » ∈ N(Opp(beau)) et χ_N(Opp(beau))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₁ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(beau))) = −ρ · ν(laid) = −1/2 · (−8) = 4 ; LitInt(beau) = |8| − |4| = 4 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 4.3 (t₁₁ = stupide). Forme de Opp(intelligent) = stupide ∈ L⁻ ; t₁₀ = pas ∈ P : B₀(11) = 1, donc u = « pas stupide » ∈ N(Opp(intelligent)) et χ_{N(Opp(intelligent))}(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₂ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(intelligent))) = −ρ · ν(stupide) = −1/2 · (−10) = 5 ; LitInt(intelligent) = |10| − |5| = 5 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 4.3 (t₂₁ = mauvais). Forme de Opp(bon) = mauvais ∈ L⁻ ; t₂₀ = pas ∈ P : B₀(21) = 1, donc u = « pas mauvais » ∈ N(Opp(bon)) et χ_N(Opp(bon))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₄ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(bon))) = −ρ · ν(mauvais) = −1/2 · (−6) = 3 ; LitInt(bon) = |6| − |3| = 3 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 4.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 1 + 1 + 1 = 3 ; Int(w) = ∑ LitInt = 4 + 5 + 3 = 12.

Forme de la définition avec χ_{[1, +∞[} : L(u₁) = L(u₂) = L(u₄) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 et L(u₃) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 pour u₃ = « excellent » ; la somme des L(u) vaut aussi 3 (lemme 1).

∴ les facteurs « pas laid », « pas stupide », « pas mauvais » donnent chacun 1 ; « excellent » n’est la négation d’aucun opposé et donne 0. Lit(w) = 1 + 1 + 0 + 1 = 3, Int(w) = 4 + 5 + 3 = 12.

Exemple 5 – « Ce n’est pas bon » : la négation du pôle positif

Texte : « Ce n’est pas bon. »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
5	bon	+	(bon, mauvais)	1	0	1	« pas bon » (B0)	0	1	0	6	—	—

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = ce, t₂ = n, t₃ = est, t₄ = pas, t₅ = bon, t₆ = . ; n = 6.

Étape 5.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 1 ; e₁ finit par « . », q₁ = 0.

Étape 5.3 (t₅ = bon). Forme de bon ∈ L⁺ : un facteur qui le contient nierait v lui-même, non Opp(v) ; χ_L⁻(t₅) = 0, contribution 0.

Étape 5.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 0 ; Int(w) = ∑ LitInt = 0.

Avec v parcourant tout L (les deux pôles), « n’est pas bon » serait N(Opp(mauvais)) et compterait : 1.

∴ « bon » est au pôle positif : « pas bon » nie v lui-même et non son opposé. C’est la négation ordinaire, qui ne dit pas plus qu’elle ne dit ; aucun v ∈ L⁺ ne vérifie u ∈ N(Opp(v)). Lit = 0.

Exemple 6 – « Il n’est pas mort » : un couple de contradictoires

Texte : « Il n’est pas mort. »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
5	mort	−	(vivant, mort)	1	0	1	« pas mort » (B0)	1	0	0	10	10	0

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = n, t₃ = est, t₄ = pas, t₅ = mort, t₆ = . ; n = 6.

Étape 6.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 1 ; e₁ finit par « . », q₁ = 0.

Étape 6.3 (t₅ = mort). Forme de Opp(vivant) = mort ∈ L⁻ ; t₄ = pas ∈ P : B₀(5) = 1, donc u = « pas mort » ∈ N(Opp(vivant)) et χ_{N(Opp(vivant))}(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₁ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1, ν(N(Opp(vivant))) = −ρ · ν(mort) = −1 · (−10) = 10 ; LitInt(vivant) = |10| − |10| = 0 ; γ = 0 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 0.

Étape 6.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 0 ; Int(w) = ∑ LitInt = 0.

Sans le test γ, « pas mort » serait compté : 1.

∴ entre vivant et mort il n’y a pas de milieu : « pas mort » veut dire exactement « vivant ». ρ = 1, LitInt = 10 − 10 = 0, γ = χ_{]0, +∞[}(0) = 0. La négation ne dit pas moins : pas de litote.

Exemple 7 – « N’est-il pas laid ? » : la question oratoire

Texte : « N’est-il pas laid ? »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
5	laid	−	(beau, laid)	1	1	1	« pas laid » (B0)	1	1	0	8	4	4

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = n, t₂ = est, t₃ = il, t₄ = pas, t₅ = laid, t₆ = ? ; n = 6.

Étape 7.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 1 ; e₁ finit par « ? », q₁ = 1.

Étape 7.3 (t₅ = laid). Forme de Opp(beau) = laid ∈ L⁻ ; t₄ = pas ∈ P : B₀(5) = 1, donc u = « pas laid » ∈ N(Opp(beau)) et χ_N(Opp(beau))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₁ : q = 1, 1 − q = 0 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(beau))) = −ρ · ν(laid) = −1/2 · (−8) = 4 ; LitInt(beau) = |8| − |4| = 4 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 0.

Étape 7.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 0 ; Int(w) = ∑ LitInt = 0.

Sans le test de question : 1.

∴ le facteur « pas laid » est bien présent, mais l’énoncé finit par « ? » : q = 1 et le facteur est neutralisé. La question oratoire affirme la laideur au lieu de l’atténuer.

Exemple 8 – « Il n’aime pas les gens laids » : hors de la portée

Texte : « Il n’aime pas les gens laids. »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
3	aime	+	(aimer, haïr)	1	0	1	« n aime pas » (A0)	0	1	0	10	—	—
7	laids	−	(beau, laid)	1	0	0	—	1	1	0	8	4	4

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = n, t₃ = aime, t₄ = pas, t₅ = les, t₆ = gens, t₇ = laids, t₈ = . ; n = 8.

Étape 8.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 1 ; e₁ finit par « . », q₁ = 0.

Étape 8.3 (t₃ = aime). Forme de aimer ∈ L⁺ : un facteur qui le contient nierait v lui-même, non Opp(v) ; χ_L⁻(t₃) = 0, contribution 0.

Étape 8.3 (t₇ = laids). Forme de Opp(beau) = laid ∈ L⁻ ; aucun contexte de négation : A_m(7) = B_m(7) = 0 pour m = 0, 1, 2 ; aucun facteur de N(Opp(beau)) ne se termine ici. Contribution 0.

Étape 8.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 0 ; Int(w) = ∑ LitInt = 0.

Avec une portée libre de deux mots : « pas les gens laids » est compté, Lit = 1. Avec la co-occurrence dans l’énoncé : 1.

∴ « pas » porte sur « aime », non sur « laids » : entre « pas » et « laids » se trouvent « les gens », qui ne sont pas des mots de liaison de la négation. Une portée libre de deux mots compterait ici une litote.

Exemple 9 – « Pas du tout mauvais » : deux mots de liaison

Texte : « Ce n’est pas du tout mauvais. »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
7	mauvais	−	(bon, mauvais)	1	0	1	« pas du tout mauvais » (B2)	1	1	1	6	3	3

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = ce, t₂ = n, t₃ = est, t₄ = pas, t₅ = du, t₆ = tout, t₇ = mauvais, t₈ = . ; n = 8.

Étape 9.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 1 ; e₁ finit par « . », q₁ = 0.

Étape 9.3 (t₇ = mauvais). Forme de Opp(bon) = mauvais ∈ L⁻ ; t₄ = pas ∈ P, t₅ = du ∈ Z, t₆ = tout ∈ Z : B₂(7) = 1, donc u = « pas du tout mauvais » ∈ N(Opp(bon)) et χ_N(Opp(bon))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₁ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(bon))) = −ρ · ν(mauvais) = −1/2 · (−6) = 3 ; LitInt(bon) = |6| − |3| = 3 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 9.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 1 ; Int(w) = ∑ LitInt = 3.

Avec la seule forme adjacente : 0.

∴ u = « pas du tout mauvais » : la négation, deux mots de liaison (m = 2), le terme nié. Litote d’intensité 3 ; avec la seule forme adjacente « pas x », elle serait perdue.

Exemple 10 – Faux positif assumé : la litote corrigée

Texte : « Ce n’est pas mauvais : c’est épouvantable ! »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
5	mauvais	−	(bon, mauvais)	1	0	1	« pas mauvais » (B0)	1	1	1	6	3	3

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = ce, t₂ = n, t₃ = est, t₄ = pas, t₅ = mauvais, t₆ = c, t₇ = est, t₈ = épouvantable, t₉ = ! ; n = 9.

Étape 10.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 1 ; e₁ finit par « ! », q₁ = 0.

Étape 10.3 (t₅ = mauvais). Forme de Opp(bon) = mauvais ∈ L⁻ ; t₄ = pas ∈ P : B₀(5) = 1, donc u = « pas mauvais » ∈ N(Opp(bon)) et χ_N(Opp(bon))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₁ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(bon))) = −ρ · ν(mauvais) = −1/2 · (−6) = 3 ; LitInt(bon) = |6| − |3| = 3 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 10.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 1 ; Int(w) = ∑ LitInt = 3.

∴ le facteur « pas mauvais » est compté (Lit = 1), mais la suite corrige vers le pire : la négation ne dit pas moins pour dire plus de bien, elle prépare une gradation vers le mal. C’est une épanorthose (fiche 9) ; les deux-points ne coupent pas l’énoncé et le calcul ne lit pas la suite.

Exemple 11 – Texte complet : un compte rendu de restaurant

Texte : « Le dîner n’était pas mauvais ; le vin, pas si mal. N’est-il pas laid, ce restaurant ? Le chef n’est pas mort : il cuisine encore. Il n’aime pas les plats froids. Obtenir une table, ce n’est pas rien. Le patron, lui, n’est pas mauvais non plus. »

k	tk	pôle	paire (v, Opp(v))	énoncé j	qj	∑m (Am(k) + Bm(k))	facteur u	χL⁻(tk)	γ(v) = χ]0, +∞[(LitInt)	contribution	ν(v)	ν(N(Opp(v)))	LitInt(v)
6	mauvais	−	(bon, mauvais)	1	0	1	« pas mauvais » (B0)	1	1	1	6	3	3
12	mal	−	(bien, mal)	2	0	1	« pas si mal » (B1)	1	1	1	6	3	3
18	laid	−	(beau, laid)	3	1	1	« pas laid » (B0)	1	1	0	8	4	4
27	mort	−	(vivant, mort)	4	0	1	« pas mort » (B0)	1	0	0	10	10	0
34	aime	+	(aimer, haïr)	5	0	1	« n aime pas » (A0)	0	1	0	10	—	—
47	rien	−	(important, rien)	6	0	1	« pas rien » (B0)	1	1	1	6	3	3
55	mauvais	−	(bon, mauvais)	7	0	1	« pas mauvais » (B0)	1	1	1	6	3	3

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = dîner, t₃ = n, t₄ = était, t₅ = pas, t₆ = mauvais, t₇ = ;, t₈ = le, t₉ = vin, t₁₀ = pas, t₁₁ = si, t₁₂ = mal, t₁₃ = ., t₁₄ = n, t₁₅ = est, t₁₆ = il, t₁₇ = pas, t₁₈ = laid, t₁₉ = ce, t₂₀ = restaurant, t₂₁ = ?, t₂₂ = le, t₂₃ = chef, t₂₄ = n, t₂₅ = est, t₂₆ = pas, t₂₇ = mort, t₂₈ = il, t₂₉ = cuisine, t₃₀ = encore, t₃₁ = ., t₃₂ = il, t₃₃ = n, t₃₄ = aime, t₃₅ = pas, t₃₆ = les, t₃₇ = plats, t₃₈ = froids, t₃₉ = ., t₄₀ = obtenir, t₄₁ = une, t₄₂ = table, t₄₃ = ce, t₄₄ = n, t₄₅ = est, t₄₆ = pas, t₄₇ = rien, t₄₈ = ., t₄₉ = le, t₅₀ = patron, t₅₁ = lui, t₅₂ = n, t₅₃ = est, t₅₄ = pas, t₅₅ = mauvais, t₅₆ = non, t₅₇ = plus, t₅₈ = . ; n = 58.

Étape 11.2. Énoncés (coupure après . ! ? 😉 : m = 7 ; e₁ finit par « ; », q₁ = 0 ; e₂ finit par « . », q₂ = 0 ; e₃ finit par « ? », q₃ = 1 ; e₄ finit par « . », q₄ = 0 ; e₅ finit par « . », q₅ = 0 ; e₆ finit par « . », q₆ = 0 ; e₇ finit par « . », q₇ = 0.

Étape 11.3 (t₆ = mauvais). Forme de Opp(bon) = mauvais ∈ L⁻ ; t₅ = pas ∈ P : B₀(6) = 1, donc u = « pas mauvais » ∈ N(Opp(bon)) et χ_N(Opp(bon))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₁ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(bon))) = −ρ · ν(mauvais) = −1/2 · (−6) = 3 ; LitInt(bon) = |6| − |3| = 3 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 11.3 (t₁₂ = mal). Forme de Opp(bien) = mal ∈ L⁻ ; t₁₀ = pas ∈ P, t₁₁ = si ∈ Z : B₁(12) = 1, donc u = « pas si mal » ∈ N(Opp(bien)) et χ_N(Opp(bien))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₂ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(bien))) = −ρ · ν(mal) = −1/2 · (−6) = 3 ; LitInt(bien) = |6| − |3| = 3 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 11.3 (t₁₈ = laid). Forme de Opp(beau) = laid ∈ L⁻ ; t₁₇ = pas ∈ P : B₀(18) = 1, donc u = « pas laid » ∈ N(Opp(beau)) et χ_N(Opp(beau))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₃ : q = 1, 1 − q = 0 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(beau))) = −ρ · ν(laid) = −1/2 · (−8) = 4 ; LitInt(beau) = |8| − |4| = 4 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 0.

Étape 11.3 (t₂₇ = mort). Forme de Opp(vivant) = mort ∈ L⁻ ; t₂₆ = pas ∈ P : B₀(27) = 1, donc u = « pas mort » ∈ N(Opp(vivant)) et χ_{N(Opp(vivant))}(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₄ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1, ν(N(Opp(vivant))) = −ρ · ν(mort) = −1 · (−10) = 10 ; LitInt(vivant) = |10| − |10| = 0 ; γ = 0 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 0.

Étape 11.3 (t₃₄ = aime). Forme de aimer ∈ L⁺ : un facteur qui le contient nierait v lui-même, non Opp(v) ; χ_L⁻(t₃₄) = 0, contribution 0.

Étape 11.3 (t₄₇ = rien). Forme de Opp(important) = rien ∈ L⁻ ; t₄₆ = pas ∈ P : B₀(47) = 1, donc u = « pas rien » ∈ N(Opp(important)) et χ_{N(Opp(important))}(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₆ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(important))) = −ρ · ν(rien) = −1/2 · (−6) = 3 ; LitInt(important) = |6| − |3| = 3 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 11.3 (t₅₅ = mauvais). Forme de Opp(bon) = mauvais ∈ L⁻ ; t₅₄ = pas ∈ P : B₀(55) = 1, donc u = « pas mauvais » ∈ N(Opp(bon)) et χ_N(Opp(bon))(u) = 1 ; pour tout autre v′ ∈ L⁺, χ_N(Opp(v′))(u) = 0 ; ∑_{v ∈ L⁺} χ_N(Opp(v))(u) = 1.

Énoncé e₇ : q = 0, 1 − q = 1 ; ρ = 1/2, ν(N(Opp(bon))) = −ρ · ν(mauvais) = −1/2 · (−6) = 3 ; LitInt(bon) = |6| − |3| = 3 ; γ = 1 ; contribution (1 − q) · γ · 1 = 1.

Étape 11.4. Double somme : Lit(w) = ∑_u ∑_{v ∈ L⁺} (1 − q(u)) · γ(v) · χ_N(Opp(v))(u) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ; Int(w) = ∑ LitInt = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Avec Fact(w) pris comme ensemble, le second « pas mauvais » est le même facteur que le premier et n’est compté qu’une fois : 3. Avec la forme adjacente seule, « pas si mal » est perdu : 3.

∴ Lit(w) = 4 et Int(w) = 12 : « pas mauvais » (deux fois), « pas si mal », « pas rien ». La question, le contradictoire « pas mort » et la négation de « aime » ne sont pas comptés.

Exemple 11 : 7 formes de couples dans sept énoncés, quatre litotes.

16.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les onze textes des exemples 1 à 11, par l’écart entre Lit calculé et Lit attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 3, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4 (l’exemple 10 n’est pas une litote).

version	Lit total	erreurs ∑ |Lit − attendu| (sur 11 textes)	textes mal comptés
co-occurrence dans l’énoncé (négation et terme négatif)	17	6	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (6 au lieu de 4)
définition corrigée à la lettre : v ∈ L, Fact(w) ensemble, sans type ni question	18	7	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (6 au lieu de 4)
N(x) = « pas x » adjacent seulement (k = 0)	9	4	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (3 au lieu de 4)
portée libre : deux mots quelconques entre négation et x	13	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0)
deux pôles : v ∈ L tout entier	15	4	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (5 au lieu de 4)
sans le type : contradictoires comptés	14	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (5 au lieu de 4)
sans le test de question	14	3	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (5 au lieu de 4)
Fact(w) pris comme ensemble (facteurs distincts)	11	2	ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (3 au lieu de 4)
retenue	12	1	ex. 10 (1 au lieu de 0)

La co-occurrence dans l’énoncé (une négation et un terme négatif quelque part) ignore la portée, le pôle, le type et la question. La définition prise à la lettre compte la négation du pôle positif, le contradictoire et la question. Chacune des cinq précisions corrige au moins un texte ; la version retenue ne garde qu’une erreur, la litote corrigée de l’exemple 10.

Erreurs des versions : portée grammaticale, pôle positif, atténuation, test de question et occurrences sont nécessaires.

Sensibilité au nombre k de mots de liaison admis dans N(x) :

k (mots de liaison au plus)	N(x) contient	erreurs ∑ |Lit − attendu|	textes mal comptés
0	pas x, ne x pas	4	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (3 au lieu de 4)
1	pas si x, ne te x point	2	ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (1 au lieu de 0)
2	pas du tout x, ne te le x pas	1	ex. 10 (1 au lieu de 0)
3	trois mots de liaison	1	ex. 10 (1 au lieu de 0)

k = 0 (la seule forme « pas x ») perd Chimène et « pas si mal » ; k = 1 perd « pas du tout mauvais ». Au-delà de 2, les listes C et Z empêchent tout faux positif, et le résultat ne change plus ; on retient k = 2, la plus petite valeur sans perte.

Erreurs selon le nombre k de mots de liaison : stables à partir de k = 2.

Sensibilité au coefficient ρ de la négation (il ne change pas Lit pour 0 ≤ ρ < 1, seulement l’intensité) :

ρ	ν(pas laid) = −ρ · (−8)	LitInt(beau) = 8 − 8ρ	ν(pas stupide) = −ρ · (−10)	LitInt(intelligent) = 10 − 10ρ	lecture
0	0	8	0	10	la négation annule tout : « pas laid » serait neutre
3/10	2,4	5,6	3	7	valeur de l’exemple « pas stupide » = 3 de la définition
1/2	4	4	5	5	retenue : le milieu entre neutre et contraire ; donne « pas laid » = 4
7/10	5,6	2,4	7	3	négation presque pleine
1	8	0	10	0	« pas x » = Opp(x) : plus d’atténuation (contradictoires)

ρ = 1/2 place la négation du contraire à mi-chemin entre le neutre et le terme positif ; c’est le seul choix symétrique et il reproduit ν(pas laid) = 4. À ρ = 1, la litote disparaît : c’est le cas des contradictoires.

LitInt en fonction de ρ pour les couples du lexique : décroissance linéaire jusqu’à 0 en ρ = 1.

16.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois le lexique polarisé, les listes de négation, ρ et k fixés, Lit et Int découlent nécessairement du calcul ; les lemmes 1, 2 et 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : la polarité des couples, leur type graduable ou contradictoire et leurs valences relèvent de la langue ; « pas mal » est devenu en français une locution d’éloge presque figée, qui conserve pourtant la structure de la litote.
• Possible : toute négation dans la portée d’un terme négatif graduable est une litote possible ; le contexte peut l’annuler, par une question oratoire, ou la retourner, par une correction vers le pire (exemple 10).

16.10 Justification et limites

La litote est la figure de la négation qui dit plus. La formule u = N(Opp(v)) en donne le mécanisme exact : l’opposition, puis la négation, et la double somme de la définition compte ces facteurs sans ambiguïté, puisque chacun appartient au langage d’un seul terme v (lemme 1). Trois corrections en font un calcul exact : la négation devient un langage fini qui suit la portée grammaticale, la somme intérieure se limite au pôle positif, et l’intensité, calculée par une règle unique, sert elle-même de filtre, puisqu’elle s’annule exactement pour les contradictoires (lemme 3).

Trois limites sont assumées. Le calcul ne lit pas la suite de l’énoncé : une litote corrigée vers le pire reste comptée (exemple 10). Les listes de mots de liaison sont finies : une négation lointaine mais grammaticale (« je ne crois pas qu’il soit laid ») échappe à N(x). Enfin, la double négation (« il n’est pas sans talent ») et la négation lexicale (« pas inintéressant ») sont des litotes que le lexique ne connaît que s’il contient les couples correspondants (talent / sans talent, intéressant / inintéressant).

⁂

17. Métaphore – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
La métaphore transfère le sens d’un comparé (tenor) à un comparant (vehicle) par analogie, sans outil explicite de comparaison.La métaphore (du grec metaphora, « transport ») est un trope qui transporte le sens d’un terme à un autre par analogie, sans outil de comparaison. Aristote la définit comme le transfert à une chose d’un nom qui en désigne une autre (Poétique, 21, 1457b) ; Quintilien la voit comme une comparaison abrégée (Institution oratoire, VIII, 6, 8). On appelle comparé, ou ténor T, la chose dont on parle, et comparant, ou véhicule V, le terme transporté. Exemples : « Achille est un lion », « All the world’s a stage » (Shakespeare, Comme il vous plaira, II, 7), « l’or du soir » (Hugo), « le fleuve du temps », « Juliette est le soleil » (Roméo et Juliette, II, 2).

Mécanisme en combinatoire des mots
L’opérateur de transfert analogique substitue le vehicle au tenor via une fonction d’analogie $A$.

Définition mathématique
Soit un comparé $T$ et un comparant $V$ liés par l’analogie $A$.

$$\mathrm{Met}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u = V(A(T)) \} \bigr|$$

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17. Métaphore – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de la métaphore à quelques exemples d’opérateur de transfert analogique.

17.1 Définition rhétorico-mathématique

Quatre traits la définissent, et chacun deviendra une fonction indicatrice :

• une structure : le comparant est appliqué au comparé dans le texte même, par une copule (« T est V ») ou un génitif (« le V de T ») ;
• un transport : comparé et comparant appartiennent à des domaines différents (humain et animal, durée et nature) ;
• une analogie non dite : aucune marque de comparaison (comme, tel, like) n’est présente ; sinon c’est une comparaison ;
• un fondement : comparé et comparant partagent assez de traits pour que le transport ait un sens ; sinon le rapprochement est gratuit.

La métaphore se sépare ainsi de quatre voisins : l’emploi littéral (même domaine : « le lion est un félin »), la comparaison (fiche 27 : « Achille est comme un lion »), la catachrèse (N°6 : métaphore figée devenue le nom usuel, « le pied de la table ») et le rapprochement sans fondement (« le chat est un bureau »). Plusieurs métaphores tirées d’un même domaine forment une métaphore filée, et, prolongée, une allégorie ( N°1).

17.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La métaphore se modélise comme une substitution de facteur fondée sur une relation d’analogie entre un ténor T et un véhicule V. La formule Met(w) = |{ u ∈ Fact(w) | u = V(A(T)) }| reste une définition en compréhension ; pour la rendre calculable, il faut expliciter le ténor, le véhicule, la relation d’analogie et une fonction indicatrice.

Fonction d’analogie. A : T × V → [0, 1], où A(T, V) mesure la force de l’analogie entre le ténor et le véhicule : A(homme courageux, lion) = 0,9, A(temps, fleuve) = 0,8. Seuil métaphorique. On fixe θ ∈ [0, 1] ; une relation analogique est admise lorsque A(T, V) ≥ θ. Fonction de substitution. S(u, T, V) = 1 si u = V remplace T, 0 sinon, ou sous forme indicatrice S(u, T, V) = χ_{V}(u). Fonction indicatrice de métaphore. Une métaphore existe lorsque le véhicule est effectivement utilisé et que l’analogie dépasse le seuil :

M(u, T, V) = χ_{V}(u) · χ_{[θ, +∞[}(A(T, V)) ∈ {0, 1}, Met(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{(T, V)} χ_{V}(u) · χ_{[θ, +∞[}(A(T, V)), MetInt(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{(T, V)} χ_{V}(u) · A(T, V).

Cette écriture contient déjà l’essentiel : une double somme sur les facteurs et sur les couples, une indicatrice de seuil, une version graduée. Pour qu’elle compte exactement les métaphores, six précisions sont nécessaires : (1) χ_{V}(u) ne teste que la présence du mot V ; il faut tester que V est appliqué à T dans le texte, par une structure ; (2) les domaines de T et de V doivent être disjoints, sinon une classification littérale est comptée ; (3) la marque de comparaison doit être absente ; (4) les expressions figées (catachrèses) doivent être exclues ; (5) A ne peut pas être posé à la main : il se calcule à partir de tables de traits, et le seuil se choisit sur ces valeurs calculées ; (6) la version graduée doit porter la même indicatrice que Met, sans quoi les analogies sous le seuil s’ajoutent à l’intensité. C’est l’objet des paragraphes suivants ; la double somme est conservée.

17.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance à une liste de mots : χ_COP, χ_COMP, χ_DET, χ_PREP pour les mots outils, χ_Lex pour les mots du lexique ;
• appartenance à un langage fini : χ_{Pat(T, V)}(u) = 1 si le facteur u est l’une des formes « T est V » ou « V de T » ;
• ensemble vide : χ_{0}(|X ∩ Y|) = 1 si les ensembles X et Y sont disjoints ;
• seuil : χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 si A ≥ θ ;
• « et » : un produit ; « non » : 1 − χ ; comptage : une somme, ici une double somme sur les facteurs u et les couples (T, V).

17.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les énoncés

On met le texte en minuscules (accents gardés) ; virgules, deux-points, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces ; les signes . ! ? ; sont gardés comme mots et coupent w en énoncés. Chaque mot devient une lettre de l’alphabet Σ des mots : w = t₁ ⋯ t_n. « All the world’s a stage » donne all, the, world, s, a, stage : la copule contractée « ’s » devient le mot s. Un facteur u ne franchit jamais une fin d’énoncé.

b) Le lexique : domaines et traits

Chaque terme x du lexique Lex reçoit un domaine D(x), le champ d’où il vient, et un ensemble de traits F(x), ses propriétés saillantes. Chaque terme a cinq traits (la table en a six, car elle sert aussi de comparé), de sorte que la force de l’analogie prend les valeurs 0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 et 1. Les formes fléchies (lions, nuages, mains) renvoient au lemme.

lemme x	formes	domaine D(x)	traits F(x)
achille	achille	humain	courageux, fort, noble, mortel, guerrier
hector	hector	humain	courageux, fort, noble, mortel, guerrier
frère	frère	humain	courageux, fort, mortel, social, parlant
juliette	juliette	humain	beauté, lumière, vie, jeunesse, centre
main	main, mains	corps	saisir, frapper, membre, habile, doigts
pied	pied, pieds	corps	support, bas, membre, marche, vertical
lion	lion, lions	animal	courageux, fort, noble, sauvage, carnivore
félin	félin, félins	animal	carnivore, sauvage, agile, griffu, nocturne
griffe	griffe, griffes	animal	saisir, frapper, acérée, courbe, dure
mouton	mouton, moutons	animal	blanc, floconneux, laineux, troupeau, docile
cheval	cheval, chevaux	animal	rapide, fort, crinière, monture, pattes
chat	chat, chats	animal	domestique, poilu, agile, joueur, petit
temps	temps	durée	écoulement, continu, irréversible, emportant, abstrait
soir	soir	moment	doré, éclat, déclin, fraîcheur, calme
fleuve	fleuve	nature	écoulement, continu, emportant, eau, sinueux
or	or	métal	doré, éclat, précieux, rare, dur
nuage	nuage, nuages	ciel	blanc, floconneux, mobile, céleste, vaporeux
soleil	soleil	astre	lumière, chaleur, vie, centre, céleste
monde	monde, world	société	vaste, lieu, peuplé, rôles, durable
scène	scène, stage	théâtre	lieu, rôles, public, temporaire, éclairé
table	table	mobilier	meuble, plat, bois, support, bas, pattes
bureau	bureau	mobilier	meuble, bois, plat, travail, tiroirs

Ce sont des données de sens, comme la table des domaines de la catachrèse (fiche 6) : une fois fixées, tout le reste est mécanique. Un même terme peut être comparé dans une phrase et comparant dans une autre ; la table ne dit pas lequel il est, c’est la structure du texte qui le dit.

c) La force de l’analogie, calculée

A(T, V) = |F(T) ∩ F(V)| / |F(V)| = ( ∑_{f ∈ F(V)} χ_F(T)(f) ) / |F(V)| ∈ [0, 1].

A mesure la part des traits du comparant qui passent dans le comparé : c’est ce que la métaphore transporte. Pour Achille et le lion, F(achille) ∩ F(lion) = {courageux, fort, noble} et A = 3/5 ; pour le temps et le fleuve, {écoulement, continu, emportant} et A = 3/5 ; pour le chat et le bureau, l’intersection est vide et A = 0. Les valeurs 0,9 et 0,8 de la définition sont des estimations ; calculées sur des traits explicites, elles deviennent vérifiables.

Lemme 1 (bornes). 0 ≤ A(T, V) ≤ 1 ; A(T, V) = 0 si et seulement si F(T) ∩ F(V) = ∅ ; A(T, V) = 1 si et seulement si F(V) ⊆ F(T). A n’est pas symétrique : A(T, V) se divise par |F(V)|, A(V, T) par |F(T)| ; pour la table et le cheval, A(table, cheval) = 1/5 et A(cheval, table) = 1/6. C’est voulu : la métaphore va du comparant vers le comparé.

Les traits du comparé et du comparant : trois traits communs pour Achille et le lion, un seul pour la table et le cheval.

La matrice A(T, V) pour tous les couples du lexique ; les cases grises ont le même domaine (δ = 0).

d) La structure : le langage fini Pat(T, V)

Le test χ_{V}(u) de la définition est vrai dès que le mot V apparaît, même au sens propre (« le lion dort au zoo », exemple 8), et même si aucun comparé n’est présent. Il faut tester que V est appliqué à T. On pose cinq listes : COP = {est, sont, était, étaient, is, are, was, s}, COMP = {comme, like, as, tel, telle}, DET = {un, une, le, la, l, les, des, du, de, a, an, the}, PREP = {de, du, des, d, of}, DETG = {la, le, l, les, the}. Alors :

Pat(T, V) = { T′ k c^ε d₁ ⋯ d_m V′ : k ∈ COP, c ∈ COMP, ε ∈ {0, 1}, d_l ∈ DET, m ≤ 2 } ∪ { V′ p g₁ ⋯ g_m T′ : p ∈ PREP, g_l ∈ DETG, m ≤ 2 },

où T′ parcourt les formes de T et V′ celles de V. La première partie est la copule (« achille est un lion », « world s a stage ») ; elle admet une marque de comparaison facultative, c^ε, pour que la comparaison soit repérée puis écartée par une indicatrice, et non simplement ignorée. La seconde est le génitif (« fleuve du temps », « or du soir »), où le comparant vient en tête. Pat(T, V) est fini : Pat(achille, lion) contient 15382 facteurs. La fonction de substitution de la définition devient S(u, T, V) = χ_{Pat(T, V)}(u).

Lemme 2 (unicité du couple). Si les formes des lemmes sont deux à deux disjointes et disjointes des listes de mots outils, un facteur u appartient à au plus un langage Pat(T, V) : son premier et son dernier mot sont les seuls mots du lexique, et l’ordre (copule ou préposition) dit lequel est T et lequel est V. ∴ ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) ≤ 1, et la somme sur les couples ne compte jamais deux fois le même facteur.

Avec χ_{V}(u), au contraire, chaque occurrence de « lion » est multipliée par le nombre de comparés T du lexique tels que A(T, lion) ≥ θ : Achille, Hector et le frère, soit trois ; c’est le surcompte de la définition prise à la lettre (exemple 1).

Les deux structures : copule et génitif ; la marque « comme » est reconnue puis écartée par κ.

e) Les trois filtres : domaine, comparaison, figement

δ(T, V) = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|), κ(u) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{x ∈ u} χ_COMP(x) ), φ(u) = χ_Fig(u).

• δ, le transport : « le lion est un félin » a la forme d’une métaphore, mais lion et félin sont du même domaine ; c’est une classification (exemple 7).
• κ, la comparaison : « Achille est comme un lion » a la même analogie que l’exemple 1, mais elle est dite par « comme » (exemple 6).
• φ, le figement : Fig = {pied de la table, pied de table, pieds de la table, bras du fauteuil, aile du moulin} est la liste des catachrèses de la fiche 6 ; « le pied de la table » transporte bien le corps vers le mobilier, mais c’est le nom usuel de la chose (exemple 11).

f) La partition des structures

Pour un facteur u ∈ Pat(T, V), notons s = χ_{[θ, +∞[}(A(T, V)). L’identité 1 = (1 − δ) + δκ + δ(1 − κ)φ + δ(1 − κ)(1 − φ)s + δ(1 − κ)(1 − φ)(1 − s), obtenue en développant 1 = (1 − δ) + δ, puis δ = δκ + δ(1 − κ), et ainsi de suite, est une tautologie : chaque terme est un produit d’indicatrices, et exactement un vaut 1. Chaque structure est donc dans exactement une classe :

terme	classe	exemple
1 − δ	emploi littéral	« le lion est un félin »
δ · κ	comparaison	« Achille est comme un lion »
δ · (1 − κ) · φ	catachrèse	« le pied de la table »
δ · (1 − κ) · (1 − φ) · s	métaphore	« Achille est un lion »
δ · (1 − κ) · (1 − φ) · (1 − s)	rapprochement sans fondement	« le chat est un bureau »

L’arbre de décision : chaque structure trouvée tombe dans exactement une des cinq classes.

17.5 Définition mathématique

Met(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{(T, V) ∈ Lex × Lex} χ_{Pat(T, V)}(u) · δ(T, V) · (1 − κ(u)) · (1 − φ(u)) · χ_{[θ, +∞[}(A(T, V)), θ = 2/5,

MetInt(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · δ(T, V) · (1 − κ(u)) · (1 − φ(u)) · χ_{[θ, +∞[}(A(T, V)) · A(T, V).

Fact(w) désigne les occurrences de facteurs à l’intérieur d’un énoncé. Comme pour la litote, il n’y a pas de surcompte, car l’indicatrice teste l’appartenance de u à un langage fini et non le fait que u contienne un mot ; et par le lemme 2, la somme intérieure vaut 0 ou 1. La fonction de la définition M(u, T, V) = χ_{V}(u) · χ_{[θ, +∞[}(A(T, V)) devient M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A), lue sur le seul couple que u détermine.

Lemme 3 (calcul par position). Chaque facteur compté est repéré par la position k de son comparant : V est le dernier mot dans la copule, le premier dans le génitif. On teste en k neuf contextes, les copules C_c,d(k) (c ∈ {0, 1} marque, d ≤ 2 déterminants) et les génitifs G_d(k) (d ≤ 2) ; par exemple C_0,1(k) = χ_Lex(t_k−3) · χ_COP(t_k−2) · χ_DET(t_k−1) et G₁(k) = χ_PREP(t_k+1) · χ_DETG(t_k+2) · χ_Lex(t_k+3). Le classeur calcule cette forme et vérifie, pour chaque position, qu’un seul contexte est vrai ; le programme vérifie qu’elle donne le même nombre que la double somme sur les facteurs, pour les treize textes.

Deux mesures dérivées se lisent sur les mêmes termes : Comp(w) = ∑ χ_Pat · δ · κ · χ_{[θ, +∞[}(A) compte les comparaisons fondées, et Cata(w) = ∑ χ_Pat · δ · φ les catachrèses. Enfin, si n_d(w) est le nombre de métaphores dont le comparant est du domaine d, Fil(w) = max_d n_d(w) ; la métaphore est filée si Fil(w) ≥ 2, ce qui relie la métaphore isolée à l’allégorie (fiche 1).

La définition complète : structure, trois filtres, seuil, double somme et version graduée.

17.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots t₁, …, t_n et en énoncés.
2. Pour chaque mot du lexique t_k, tester les neuf contextes ; si l’un est vrai, il donne T, V et le facteur u ∈ Pat(T, V).
3. Lire D(T), D(V) : δ ; chercher une marque de comparaison dans u : κ ; chercher u dans Fig : φ.
4. Lire F(T), F(V) ; calculer l’intersection et A(T, V) ; comparer à θ = 2/5.
5. M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) ; additionner : Met(w), puis MetInt(w), Comp(w), Cata(w), Fil(w).

17.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par structure trouvée : la position k du comparant, le facteur u, la structure, le couple (T, V), les domaines, les trois filtres, les traits communs, la force A, le seuil, la contribution M(u) et la classe.

Exemple 1 – « Achille est un lion » : la métaphore par la copule

Texte : « Achille est un lion. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
4	« achille est un lion »	copule, c = 0, d = 1	(achille, lion)	humain / animal	1	0	0	courageux, fort, noble	3/5	1	1	métaphore

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = achille, t₂ = est, t₃ = un, t₄ = lion, t₅ = . ; n = 5.

Étape 1.2. Mots du lexique : t₁ = achille (lemme achille, domaine humain) ; t₄ = lion (lemme lion, domaine animal).

Étape 1.3 (V = t₄ = lion). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₁ : T = achille ; u = « achille est un lion » ∈ Pat(achille, lion), χ_{Pat(achille, lion)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{humain} ∩ {animal}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {courageux, fort, noble}, A = 3/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(3/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 1.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 1 ; MetInt(w) = 3/5 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 0.

Avec la définition prise à la lettre, χ_{lion}(u) est multiplié par tous les comparés T du lexique pour lesquels A(T, lion) ≥ θ (Achille, Hector, frère), et « achille » est lui-même compté comme comparant de lion : 4 au lieu de 1.

∴ u = « achille est un lion » ∈ Pat(achille, lion) ; domaines humain et animal disjoints, pas de marque de comparaison, trois traits communs sur cinq : A = 3/5 ≥ 2/5. Métaphore ; c’est le couple (homme courageux, lion) de la définition, avec la force calculée 3/5 au lieu d’une valeur posée.

Exemple 2 – « Le fleuve du temps » : la métaphore par le génitif

Texte : « Le fleuve du temps emporte tout. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
2	« fleuve du temps »	génitif, d = 0	(temps, fleuve)	durée / nature	1	0	0	écoulement, continu, emportant	3/5	1	1	métaphore

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = fleuve, t₃ = du, t₄ = temps, t₅ = emporte, t₆ = tout, t₇ = . ; n = 7.

Étape 2.2. Mots du lexique : t₂ = fleuve (lemme fleuve, domaine nature) ; t₄ = temps (lemme temps, domaine durée).

Étape 2.3 (V = t₂ = fleuve). Structure génitif, d = 0 vraie, comparé t₄ : T = temps ; u = « fleuve du temps » ∈ Pat(temps, fleuve), χ_{Pat(temps, fleuve)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{durée} ∩ {nature}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {écoulement, continu, emportant}, A = 3/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(3/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 2.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 1 ; MetInt(w) = 3/5 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 0.

∴ u = « fleuve du temps » : le comparant V = fleuve précède la préposition, le comparé T = temps la suit. Domaines durée et nature disjoints ; traits communs écoulement, continu, emportant : A = 3/5. Métaphore.

Exemple 3 – « All the world’s a stage » : la copule anglaise

Texte : « All the world’s a stage. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
6	« world s a stage »	copule, c = 0, d = 1	(monde, scène)	société / théâtre	1	0	0	lieu, rôles	2/5	1	1	métaphore

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = all, t₂ = the, t₃ = world, t₄ = s, t₅ = a, t₆ = stage, t₇ = . ; n = 7.

Étape 3.2. Mots du lexique : t₃ = world (lemme monde, domaine société) ; t₆ = stage (lemme scène, domaine théâtre).

Étape 3.3 (V = t₆ = scène). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₃ : T = monde ; u = « world s a stage » ∈ Pat(monde, scène), χ_{Pat(monde, scène)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{société} ∩ {théâtre}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {lieu, rôles}, A = 2/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(2/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 3.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 1 ; MetInt(w) = 2/5 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 0.

∴ « ’s » est la copule contractée : u = « world s a stage ». Société et théâtre sont disjoints ; lieu et rôles sont communs : A = 2/5. Métaphore (Shakespeare, Comme il vous plaira, II, 7).

Exemple 4 – « L’or du soir » : un génitif métaphorique

Texte : « L’or du soir qui tombe. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
2	« or du soir »	génitif, d = 0	(soir, or)	moment / métal	1	0	0	doré, éclat	2/5	1	1	métaphore

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = l, t₂ = or, t₃ = du, t₄ = soir, t₅ = qui, t₆ = tombe, t₇ = . ; n = 7.

Étape 4.2. Mots du lexique : t₂ = or (lemme or, domaine métal) ; t₄ = soir (lemme soir, domaine moment).

Étape 4.3 (V = t₂ = or). Structure génitif, d = 0 vraie, comparé t₄ : T = soir ; u = « or du soir » ∈ Pat(soir, or), χ_{Pat(soir, or)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{moment} ∩ {métal}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {doré, éclat}, A = 2/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(2/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 4.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 1 ; MetInt(w) = 2/5 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 0.

∴ u = « or du soir » : métal et moment sont disjoints, doré et éclat sont communs : A = 2/5. Métaphore (Hugo, « Demain, dès l’aube… »).

Exemple 5 – « Les nuages sont des moutons » : une analogie de deux traits

Texte : « Les nuages sont des moutons. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
5	« nuages sont des moutons »	copule, c = 0, d = 1	(nuage, mouton)	ciel / animal	1	0	0	blanc, floconneux	2/5	1	1	métaphore

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = les, t₂ = nuages, t₃ = sont, t₄ = des, t₅ = moutons, t₆ = . ; n = 6.

Étape 5.2. Mots du lexique : t₂ = nuages (lemme nuage, domaine ciel) ; t₅ = moutons (lemme mouton, domaine animal).

Étape 5.3 (V = t₅ = mouton). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₂ : T = nuage ; u = « nuages sont des moutons » ∈ Pat(nuage, mouton), χ_{Pat(nuage, mouton)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{ciel} ∩ {animal}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {blanc, floconneux}, A = 2/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(2/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 5.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 1 ; MetInt(w) = 2/5 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 0.

∴ ciel et animal sont disjoints ; blanc et floconneux sont communs : A = 2/5, exactement le seuil. Métaphore ; le seuil 0,7 de la définition la perdrait.

Exemple 6 – « Achille est comme un lion » : la comparaison

Texte : « Achille est comme un lion. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
5	« achille est comme un lion »	copule, c = 1, d = 1	(achille, lion)	humain / animal	1	1	0	courageux, fort, noble	3/5	1	0	comparaison

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = achille, t₂ = est, t₃ = comme, t₄ = un, t₅ = lion, t₆ = . ; n = 6.

Étape 6.2. Mots du lexique : t₁ = achille (lemme achille, domaine humain) ; t₅ = lion (lemme lion, domaine animal).

Étape 6.3 (V = t₅ = lion). Structure copule, c = 1, d = 1 vraie, comparé t₁ : T = achille ; u = « achille est comme un lion » ∈ Pat(achille, lion), χ_{Pat(achille, lion)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{humain} ∩ {animal}|) = 1 ; κ(u) = 1 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {courageux, fort, noble}, A = 3/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(3/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 0 · 1 · 1 = 0 ; classe : comparaison.

Étape 6.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 0 ; MetInt(w) = 0 ; Comp(w) = 1 ; Cata(w) = 0.

Sans le test κ : 1.

∴ le facteur contient la marque « comme » : κ = 1. L’analogie est la même que dans l’exemple 1 (A = 3/5), mais elle est dite : c’est une comparaison (fiche 27), non une métaphore. Met = 0, Comp = 1.

Exemple 7 – « Le lion est un félin » : la classification littérale

Texte : « Le lion est un félin. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
5	« lion est un félin »	copule, c = 0, d = 1	(lion, félin)	animal / animal	0	0	0	carnivore, sauvage	2/5	1	0	emploi littéral (même domaine)

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = lion, t₃ = est, t₄ = un, t₅ = félin, t₆ = . ; n = 6.

Étape 7.2. Mots du lexique : t₂ = lion (lemme lion, domaine animal) ; t₅ = félin (lemme félin, domaine animal).

Étape 7.3 (V = t₅ = félin). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₂ : T = lion ; u = « lion est un félin » ∈ Pat(lion, félin), χ_{Pat(lion, félin)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{animal} ∩ {animal}|) = 0 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {carnivore, sauvage}, A = 2/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(2/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 0 · 1 · 1 · 1 = 0 ; classe : emploi littéral (même domaine).

Étape 7.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 0 ; MetInt(w) = 0 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 0.

Sans la condition de domaine : 1.

∴ lion et félin sont tous deux du domaine animal : δ = 0. La phrase range une espèce dans sa famille ; rien n’est transporté d’un domaine à un autre. Deux traits communs (A = 2/5) ne suffisent pas : sans la condition de domaine, elle serait comptée.

Exemple 8 – « Le lion dort au zoo » : le comparant employé au sens propre

Texte : « Le lion dort au zoo. »

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = lion, t₃ = dort, t₄ = au, t₅ = zoo, t₆ = . ; n = 6.

Étape 8.2. Mots du lexique : t₂ = lion (lemme lion, domaine animal).

Étape 8.3. Aucune position k ne vérifie une structure : pour tout facteur u et tout couple (T, V), χ_{Pat(T, V)}(u) = 0 ; Met(w) = 0.

Avec la définition à la lettre : 3 ; avec le comparant compté une seule fois : 1.

∴ aucun facteur de la forme « T est V » ou « V de T » : le mot lion est employé au sens propre. Le test χ_{V}(u) de la définition, qui ne regarde que le mot V, compterait ici trois métaphores.

Exemple 9 – « Le chat est un bureau » : aucun trait commun

Texte : « Le chat est un bureau. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
5	« chat est un bureau »	copule, c = 0, d = 1	(chat, bureau)	animal / mobilier	1	0	0	aucun	0	0	0	rapprochement sans fondement (A < θ)

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = chat, t₃ = est, t₄ = un, t₅ = bureau, t₆ = . ; n = 6.

Étape 9.2. Mots du lexique : t₂ = chat (lemme chat, domaine animal) ; t₅ = bureau (lemme bureau, domaine mobilier).

Étape 9.3 (V = t₅ = bureau). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₂ : T = chat ; u = « chat est un bureau » ∈ Pat(chat, bureau), χ_{Pat(chat, bureau)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{animal} ∩ {mobilier}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {}, A = 0/5 = 0 ; χ_{[2/5, +∞[}(0) = 0.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 0 = 0 ; classe : rapprochement sans fondement (A < θ).

Étape 9.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 0 ; MetInt(w) = 0 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 0.

Sans seuil : 1.

∴ les domaines sont disjoints et il n’y a pas de comparaison, mais aucun trait n’est commun : A = 0 et χ_{[θ, +∞[}(0) = 0. Le rapprochement n’a pas de fondement : ce n’est pas une métaphore.

Exemple 10 – « La table est un cheval » : un seul trait commun

Texte : « La table est un cheval. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
5	« table est un cheval »	copule, c = 0, d = 1	(table, cheval)	mobilier / animal	1	0	0	pattes	1/5	0	0	rapprochement sans fondement (A < θ)

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = table, t₃ = est, t₄ = un, t₅ = cheval, t₆ = . ; n = 6.

Étape 10.2. Mots du lexique : t₂ = table (lemme table, domaine mobilier) ; t₅ = cheval (lemme cheval, domaine animal).

Étape 10.3 (V = t₅ = cheval). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₂ : T = table ; u = « table est un cheval » ∈ Pat(table, cheval), χ_{Pat(table, cheval)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{mobilier} ∩ {animal}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {pattes}, A = 1/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(1/5) = 0.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 0 = 0 ; classe : rapprochement sans fondement (A < θ).

Étape 10.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 0 ; MetInt(w) = 0 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 0.

Avec θ = 1/5 (un trait commun suffit) : 1.

∴ un seul trait commun, pattes : A = 1/5 < 2/5. Un trait isolé ne fonde pas une image ; ce rapprochement reste sans fondement, et c’est lui qui fixe le seuil au-dessus de 1/5.

Exemple 11 – « Le pied de la table » : la catachrèse

Texte : « Il s’assit près du pied de la table. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
6	« pied de la table »	génitif, d = 1	(table, pied)	mobilier / corps	1	0	1	support, bas	2/5	1	0	catachrèse (figée)

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = s, t₃ = assit, t₄ = près, t₅ = du, t₆ = pied, t₇ = de, t₈ = la, t₉ = table, t₁₀ = . ; n = 10.

Étape 11.2. Mots du lexique : t₆ = pied (lemme pied, domaine corps) ; t₉ = table (lemme table, domaine mobilier).

Étape 11.3 (V = t₆ = pied). Structure génitif, d = 1 vraie, comparé t₉ : T = table ; u = « pied de la table » ∈ Pat(table, pied), χ_{Pat(table, pied)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{mobilier} ∩ {corps}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 1 ; F(T) ∩ F(V) = {support, bas}, A = 2/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(2/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 0 · 1 = 0 ; classe : catachrèse (figée).

Étape 11.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 0 ; MetInt(w) = 0 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 1.

Sans la liste des expressions figées : 1.

∴ corps et mobilier sont disjoints, support et bas sont communs (A = 2/5), mais « pied de la table » est dans la liste des expressions figées : φ = 1. C’est une catachrèse (fiche 6), le nom usuel faute d’autre mot, non une métaphore.

Exemple 12 – Faux positif assumé : le signe du zodiaque

Texte : « Né le 3 août, mon frère est un lion. »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
9	« frère est un lion »	copule, c = 0, d = 1	(frère, lion)	humain / animal	1	0	0	courageux, fort	2/5	1	1	métaphore

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = né, t₂ = le, t₃ = 3, t₄ = août, t₅ = mon, t₆ = frère, t₇ = est, t₈ = un, t₉ = lion, t₁₀ = . ; n = 10.

Étape 12.2. Mots du lexique : t₆ = frère (lemme frère, domaine humain) ; t₉ = lion (lemme lion, domaine animal).

Étape 12.3 (V = t₉ = lion). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₆ : T = frère ; u = « frère est un lion » ∈ Pat(frère, lion), χ_{Pat(frère, lion)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{humain} ∩ {animal}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {courageux, fort}, A = 2/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(2/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 12.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 1 ; MetInt(w) = 2/5 ; Comp(w) = 0 ; Cata(w) = 0.

∴ le calcul trouve u = « frère est un lion », domaines disjoints, courageux et fort communs : A = 2/5, Met = 1. Mais ici « lion » désigne le signe astrologique, et la phrase est littérale : le lexique ne connaît qu’un sens de chaque mot.

Exemple 13 – Texte complet : quatre métaphores, une comparaison, une image filée

Texte : « Le fleuve du temps emporte nos jours. Achille est un lion ; ses mains sont des griffes. Hector est comme un lion. Le lion est un félin. Juliette est le soleil. La table est un cheval ! »

k	u (facteur)	structure	(T, V)	D(T) / D(V)	δ	κ	φ	traits communs	A(T, V)	χ[θ, +∞[(A)	M(u)	classe
2	« fleuve du temps »	génitif, d = 0	(temps, fleuve)	durée / nature	1	0	0	écoulement, continu, emportant	3/5	1	1	métaphore
12	« achille est un lion »	copule, c = 0, d = 1	(achille, lion)	humain / animal	1	0	0	courageux, fort, noble	3/5	1	1	métaphore
18	« mains sont des griffes »	copule, c = 0, d = 1	(main, griffe)	corps / animal	1	0	0	saisir, frapper	2/5	1	1	métaphore
24	« hector est comme un lion »	copule, c = 1, d = 1	(hector, lion)	humain / animal	1	1	0	courageux, fort, noble	3/5	1	0	comparaison
30	« lion est un félin »	copule, c = 0, d = 1	(lion, félin)	animal / animal	0	0	0	carnivore, sauvage	2/5	1	0	emploi littéral (même domaine)
35	« juliette est le soleil »	copule, c = 0, d = 1	(juliette, soleil)	humain / astre	1	0	0	lumière, vie, centre	3/5	1	1	métaphore
41	« table est un cheval »	copule, c = 0, d = 1	(table, cheval)	mobilier / animal	1	0	0	pattes	1/5	0	0	rapprochement sans fondement (A < θ)

Étape 13.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = fleuve, t₃ = du, t₄ = temps, t₅ = emporte, t₆ = nos, t₇ = jours, t₈ = ., t₉ = achille, t₁₀ = est, t₁₁ = un, t₁₂ = lion, t₁₃ = ;, t₁₄ = ses, t₁₅ = mains, t₁₆ = sont, t₁₇ = des, t₁₈ = griffes, t₁₉ = ., t₂₀ = hector, t₂₁ = est, t₂₂ = comme, t₂₃ = un, t₂₄ = lion, t₂₅ = ., t₂₆ = le, t₂₇ = lion, t₂₈ = est, t₂₉ = un, t₃₀ = félin, t₃₁ = ., t₃₂ = juliette, t₃₃ = est, t₃₄ = le, t₃₅ = soleil, t₃₆ = ., t₃₇ = la, t₃₈ = table, t₃₉ = est, t₄₀ = un, t₄₁ = cheval, t₄₂ = ! ; n = 42.

Étape 13.2. Mots du lexique : t₂ = fleuve (lemme fleuve, domaine nature) ; t₄ = temps (lemme temps, domaine durée) ; t₉ = achille (lemme achille, domaine humain) ; t₁₂ = lion (lemme lion, domaine animal) ; t₁₅ = mains (lemme main, domaine corps) ; t₁₈ = griffes (lemme griffe, domaine animal) ; t₂₀ = hector (lemme hector, domaine humain) ; t₂₄ = lion (lemme lion, domaine animal) ; t₂₇ = lion (lemme lion, domaine animal) ; t₃₀ = félin (lemme félin, domaine animal) ; t₃₂ = juliette (lemme juliette, domaine humain) ; t₃₅ = soleil (lemme soleil, domaine astre) ; t₃₈ = table (lemme table, domaine mobilier) ; t₄₁ = cheval (lemme cheval, domaine animal).

Étape 13.3 (V = t₂ = fleuve). Structure génitif, d = 0 vraie, comparé t₄ : T = temps ; u = « fleuve du temps » ∈ Pat(temps, fleuve), χ_{Pat(temps, fleuve)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{durée} ∩ {nature}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {écoulement, continu, emportant}, A = 3/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(3/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 13.3 (V = t₁₂ = lion). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₉ : T = achille ; u = « achille est un lion » ∈ Pat(achille, lion), χ_{Pat(achille, lion)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{humain} ∩ {animal}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {courageux, fort, noble}, A = 3/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(3/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 13.3 (V = t₁₈ = griffe). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₁₅ : T = main ; u = « mains sont des griffes » ∈ Pat(main, griffe), χ_{Pat(main, griffe)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{corps} ∩ {animal}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {saisir, frapper}, A = 2/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(2/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 13.3 (V = t₂₄ = lion). Structure copule, c = 1, d = 1 vraie, comparé t₂₀ : T = hector ; u = « hector est comme un lion » ∈ Pat(hector, lion), χ_{Pat(hector, lion)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{humain} ∩ {animal}|) = 1 ; κ(u) = 1 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {courageux, fort, noble}, A = 3/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(3/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 0 · 1 · 1 = 0 ; classe : comparaison.

Étape 13.3 (V = t₃₀ = félin). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₂₇ : T = lion ; u = « lion est un félin » ∈ Pat(lion, félin), χ_{Pat(lion, félin)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{animal} ∩ {animal}|) = 0 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {carnivore, sauvage}, A = 2/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(2/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 0 · 1 · 1 · 1 = 0 ; classe : emploi littéral (même domaine).

Étape 13.3 (V = t₃₅ = soleil). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₃₂ : T = juliette ; u = « juliette est le soleil » ∈ Pat(juliette, soleil), χ_{Pat(juliette, soleil)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{humain} ∩ {astre}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {lumière, vie, centre}, A = 3/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(3/5) = 1.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : métaphore.

Étape 13.3 (V = t₄₁ = cheval). Structure copule, c = 0, d = 1 vraie, comparé t₃₈ : T = table ; u = « table est un cheval » ∈ Pat(table, cheval), χ_{Pat(table, cheval)}(u) = 1 et χ_{Pat(T′, V′)}(u) = 0 pour tout autre couple ; contextes vrais en k : 1.

δ = χ_{0}(|D(T) ∩ D(V)|) = χ_{0}(|{mobilier} ∩ {animal}|) = 1 ; κ(u) = 0 ; φ(u) = χ_Fig(u) = 0 ; F(T) ∩ F(V) = {pattes}, A = 1/5 ; χ_{[2/5, +∞[}(1/5) = 0.

M(u) = δ · (1 − κ) · (1 − φ) · χ_{[θ, +∞[}(A) = 1 · 1 · 1 · 0 = 0 ; classe : rapprochement sans fondement (A < θ).

Étape 13.4. Double somme : Met(w) = ∑_u ∑_{(T, V)} χ_{Pat(T, V)}(u) · M(u) = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 4 ; MetInt(w) = 3/5 + 3/5 + 2/5 + 3/5 = 11/5 ; Comp(w) = 1 ; Cata(w) = 0.

Contrôle par la double somme sur les facteurs (et non par les positions) : 4. Avec le seuil 7/10 de la définition : 0.

∴ Met(w) = 4, MetInt(w) = 3/5 + 3/5 + 2/5 + 3/5 = 11/5 = 2,2 ; Comp(w) = 1 (Hector) ; deux métaphores ont un comparant du domaine animal (lion, griffes) : l’image est filée, Fil(w) = 2.

Exemple 13 : six structures, quatre métaphores, une image filée dans le domaine animal.

17.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les treize textes des exemples 1 à 13, par l’écart entre Met calculé et Met attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4 (l’exemple 12 est littéral).

version	Met total	erreurs ∑ |Met − attendu| (sur 13 textes)	textes mal comptés
définition à la lettre : χ{V}(u) · χ[θ, +∞[(A(T, V)) sur tous les couples du lexique	44	35	ex. 1 (4 au lieu de 1) ; ex. 2 (2 au lieu de 1) ; ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 4 (2 au lieu de 1) ; ex. 5 (2 au lieu de 1) ; ex. 6 (4 au lieu de 0) ; ex. 7 (3 au lieu de 0) ; ex. 8 (3 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (4 au lieu de 0) ; ex. 13 (17 au lieu de 4)
comparant seul, compté une fois : χ[1, +∞[(∑T …)	28	19	ex. 1 (2 au lieu de 1) ; ex. 2 (2 au lieu de 1) ; ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 4 (2 au lieu de 1) ; ex. 5 (2 au lieu de 1) ; ex. 6 (2 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (2 au lieu de 0) ; ex. 13 (11 au lieu de 4)
structure sans condition de domaine δ	12	3	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (5 au lieu de 4)
structure sans test de comparaison κ	12	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (5 au lieu de 4)
structure sans liste des expressions figées φ	11	2	ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0)
structure sans seuil d’analogie (A quelconque)	13	4	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (5 au lieu de 4)
retenue	10	1	ex. 12 (1 au lieu de 0)

La définition à la lettre compte chaque comparant autant de fois qu’il a de comparés possibles, et même au sens propre ; compté une seule fois, il reste compté sans comparé. Chacun des quatre tests (domaine, comparaison, figement, seuil) corrige au moins un texte ; la version retenue ne garde qu’une erreur, le signe du zodiaque de l’exemple 12.

Erreurs des versions : la structure et les quatre tests sont tous nécessaires.

Sensibilité au seuil θ de la force d’analogie :

θ	traits communs exigés (sur 5)	erreurs ∑ |Met − attendu|	textes mal comptés
0,2	au moins 1	3	ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (5 au lieu de 4)
0,4	au moins 2	1	ex. 12 (1 au lieu de 0)
0,6	au moins 3	4	ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 13 (3 au lieu de 4)
0,7	au moins 4	9	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 13 (0 au lieu de 4)
0,8	au moins 4	9	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 13 (0 au lieu de 4)

θ = 1/5 (un seul trait commun) admet « la table est un cheval » ; θ = 3/5 perd les métaphores à deux traits communs (le monde et la scène, l’or du soir, les nuages) ; le seuil 7/10 de la définition, choisi pour des forces posées à la main (0,9 ; 0,8), perd toutes les métaphores calculées, dont la plus forte vaut 3/5. On retient θ = 2/5 : au moins deux traits communs sur cinq, la seule valeur sans erreur hors du faux positif assumé.

Les forces A des structures des exemples sur [0, 1] et les erreurs selon θ : seul θ = 2/5 sépare les deux groupes.

17.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois le lexique (domaines, traits), les listes de mots outils, la liste Fig et θ fixés, Met, MetInt, Comp, Cata et Fil découlent nécessairement du calcul ; la partition en cinq classes est une tautologie, et les lemmes 1, 2 et 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : les domaines et les traits relèvent du sens et de la culture ; « lion » porte le courage dans la tradition européenne, et un autre lexique donnerait d’autres forces. La liste des expressions figées est une donnée lexicographique.
• Possible : toute structure entre deux domaines disjoints est une métaphore possible ; elle le devient si les traits partagés suffisent, et elle cesse de l’être quand l’usage la fige (la catachrèse) ou qu’une marque la rend explicite (la comparaison).

17.10 Justification et limites

Aristote décrit la métaphore comme un transfert ; le mécanisme en donne les conditions vérifiables. La structure dit où le transfert a lieu, le domaine dit qu’il y a départ et arrivée, l’absence de marque dit qu’il est direct, l’absence de figement dit qu’il est vivant, et les traits communs disent sur quoi il repose. La double somme de la définition est conservée : la somme sur les couples (T, V) ne retient que le couple que le facteur détermine (lemme 2), et la force A, calculée sur des traits, rend le seuil θ vérifiable.

Trois limites sont assumées. Le lexique ne connaît qu’un sens par mot : « lion », signe du zodiaque, est compté (exemple 12). Seules la copule et le génitif sont repérés : la métaphore in absentia, où le comparé n’est pas nommé (« le lion s’élança » pour Achille), et la métaphore verbale (« le temps s’enfuit ») demandent le contexte ou un lexique des verbes. Enfin, la condition de domaine exclut la métaphore à l’intérieur d’un même domaine (« mon chat est un tigre ») : la frontière entre hyperbole et métaphore y passe par la valence (fiche 11), non par le domaine.

⁂

18. Métonymie – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
La métonymie désigne un objet par le nom d’un autre qui lui est lié par contiguïté logique ou matérielle (ex. contenant/contenu, lieu/institution).

Mécanisme en combinatoire des mots
À la différence de la métaphore fondée sur l’analogie, la métonymie repose sur une fonction de contiguïté $\mathrm{Cont}$.

Définition mathématique
Un facteur $u$ substitue un terme cible $C$ à un terme source $T$ via la relation $\mathrm{Cont}$.

$$\mathrm{Meton}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u = C(\mathrm{Cont}(T)) \} \bigr|$$

⁂

18. Métonymie – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de la Métonymie à quelques exemples d’une fonction de contiguïté.

18.1 Définition rhétorique

La métonymie (du grec metōnumia, « changement de nom ») désigne une chose par le nom d’une autre qui lui est liée par contiguïté, c’est-à-dire par un voisinage dans une même situation : le contenant pour le contenu (« boire un verre »), le lieu pour l’institution (« la Maison-Blanche a annoncé »), le symbole pour le titulaire (« la couronne a déclaré la guerre »), l’auteur pour l’œuvre (« lire un Baudelaire »), l’instrument pour l’activité (« the pen is mightier than the sword », Bulwer-Lytton, Richelieu, 1839).

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une anomalie : pris au pied de la lettre, le nom écrit ne convient pas à ce que la phrase en dit (un verre ne se boit pas) ;
• une contiguïté : la table des relations de voisinage associe à ce nom un terme voisin, qui est le terme réellement visé ;
• une réparation : ce terme voisin, lui, convient (on boit la boisson du verre) ; le lecteur rétablit spontanément le voisin.

La métonymie se distingue de la métaphore (N° 17), qui répare l’anomalie par la ressemblance entre deux domaines différents et non par le voisinage, et de la synecdoque (N° 28), qui repose sur l’inclusion de la partie dans le tout (« cent voiles » pour cent navires). L’emploi littéral, enfin, n’a rien à réparer.

18.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule Meton(w) = |{ u ∈ Fact(w) | u = C(Cont(T)) }| reste une définition en compréhension. Pour la rendre entièrement calculable, il faut expliciter la relation de contiguïté, la substitution, la fonction indicatrice et un éventuel degré de proximité.

Relation de contiguïté. Cont : L × L → {0, 1}, où L est le lexique : Cont(x, y) = 1 si x et y sont contigus, 0 sinon ; Cont(couronne, roi) = 1, Cont(Maison-Blanche, présidence) = 1. Fonction de substitution. Soit T(u) le terme réellement visé et C(u) le terme utilisé dans le texte ; une métonymie apparaît lorsque C(u) ≠ T(u) et Cont(C(u), T(u)) = 1. Fonction indicatrice. Les mots n’étant pas des nombres, on code chaque concept par un identifiant lexical, et :

M(u) = χ_{1}( Cont(C(u), T(u)) ) · χ_{ℕ ∖ {0}}( |C(u) − T(u)| ), et, lorsque C(u) remplace effectivement T(u), M(u) = χ_{1}( Cont(C(u), T(u)) ).

Meton(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{1}( Cont(C(u), T(u)) ), MetonInt(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} Cont(C(u), T(u)) si Cont : L × L → [0, 1].

Ces formules disent ce qu’il faut compter. Pour qu’elles le comptent exactement, cinq précisions sont nécessaires : (1) le terme visé T(u) n’est pas écrit dans le texte ; il faut une règle qui le retrouve, et cette règle est le test de sélection du prédicat ; (2) la contiguïté seule ne suffit pas : Cont(couronne, roi) = 1 vaut aussi quand la couronne brille, au sens propre ; c’est l’incompatibilité qui déclenche la lecture métonymique ; (3) l’unité de somme est le couple (prédicat, argument), non tout facteur de w ; (4) la relation partie / tout doit être séparée, car elle fait la synecdoque ; (5) la version graduée doit porter la même indicatrice que Meton, et son degré doit se calculer et non se poser. C’est l’objet des paragraphes suivants.

18.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance à une liste de mots : χ_AUX, χ_LIEN, χ_DET pour les mots outils, χ_Pred pour les prédicats, χ_Nom pour les noms du lexique ;
• appartenance à un ensemble de catégories : χ_R(p)(cat(a)) = 1 si l’argument a la catégorie que le prédicat attend ;
• « il existe » : χ_{[1, +∞[}(|Rep|) = 1 dès qu’un contigu répare l’anomalie ;
• « et » : un produit ; « non » : 1 − χ ; comptage : une somme sur les couples, dont la somme intérieure parcourt les contigus.

18.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot

On met le texte en minuscules (accents gardés) ; ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces, les signes . ! ? ; sont gardés comme mots ; chaque mot devient une lettre de l’alphabet Σ des mots : w = t₁ ⋯ t_n. Les noms composés de la table sont refusionnés en un seul mot : « Maison-Blanche » et « White House » donnent maison-blanche et white-house.

b) Trois tables : catégories, sélection, contiguïté

La table des catégories donne à chaque nom sa catégorie cat(x) ; la table de contiguïté donne ses voisins, avec le type de la relation et la catégorie de chaque voisin :

nom x	catégorie cat(x)	contigus y (type, cat(y))
couronne	objet	roi (symbole / titulaire, humain); monarchie (symbole / institution, institution)
roi	humain	—
monarchie	institution	—
maison-blanche	lieu	présidence (lieu / institution, institution); président (lieu / occupant, humain)
président	humain	—
présidence	institution	—
verre	objet	boisson (contenant / contenu, liquide)
boisson	liquide	—
vin	liquide	—
baudelaire	humain	œuvre (auteur / œuvre, texte)
œuvre	texte	—
pen	objet	écriture (instrument / activité, pouvoir)
écriture	pouvoir	—
sword	objet	force armée (instrument / activité, pouvoir)
force armée	pouvoir	—
salle	lieu	public (lieu / occupants, humain)
public	humain	—
voile	objet	navire (partie / tout, véhicule)
navire	véhicule	—
chat	animal	—
montagne	lieu	—
bouteille	objet	vin (contenant / contenu, liquide)
élysée	lieu	présidence (lieu / institution, institution)

La table de sélection donne, pour chaque prédicat et chaque rôle, l’ensemble R(p) des catégories qu’il accepte :

forme du prédicat	rôle	prédicat p	R(p)
déclaré	sujet	déclarer la guerre	{humain, institution}
annoncé	sujet	annoncer	{humain, institution}
declined	sujet	decline to comment	{humain, institution}
parlé	sujet	parler	{humain, institution}
applaudit	sujet	applaudir	{humain}
mightier	sujet	be mightier	{pouvoir}
entrent	sujet	entrer au port	{véhicule}
brille	sujet	briller	{objet, lieu}
escaladé	sujet	escalader	{humain, animal}
bu	complément	boire	{liquide}
boire	complément	boire	{liquide}
lu	complément	lire	{texte}
lire	complément	lire	{texte}
mightier	complément	be mightier	{pouvoir}
escaladé	complément	escalader	{lieu}
visité	complément	visiter	{lieu, institution}

Ce sont des données de sens, contingentes ; une fois fixées, tout le reste est mécanique. La relation Cont n’est pas symétrique dans son usage : on va du nom écrit C vers le terme visé T.

Le graphe de contiguïté : chaque nom écrit, ses contigus, le type de relation ; la relation partie / tout mène à la synecdoque.

c) Les couples (prédicat, argument) : deux structures

La somme sur Fact(w) compterait chaque mot du domaine de Cont dans tous les facteurs qui le contiennent, et elle ne dit pas à quel prédicat le nom est soumis. L’unité est le couple (p, a), repéré par l’une de deux structures, AUX = {a, ont, is, has, avait}, LIEN = {than, que}, DET = {un, une, le, la, l, les, the, a, tout, toute} :

Sujet : u = a p ou u = a x p (x ∈ AUX) ; Complément : u = p y^ε d₁ ⋯ d_m a (y ∈ LIEN, ε ∈ {0, 1}, d_l ∈ DET, m ≤ 2).

« La couronne a déclaré » est un sujet avec auxiliaire ; « bu un verre » un complément avec un déterminant ; « mightier than the sword » un complément avec lien et déterminant. Un même prédicat peut avoir un rôle sujet et un rôle complément, avec deux ensembles R différents (« escalader » : sujet humain ou animal, complément lieu).

Lemme 1 (unicité du couple). Les formes des noms, des prédicats et des mots outils étant deux à deux disjointes, un facteur u de l’une des deux formes détermine son argument (le seul nom), son prédicat (la seule forme de prédicat) et son rôle (l’ordre). ∴ Chaque couple est compté une fois.

Les deux structures : le sujet a (x) p et le complément p (y) d a ; le facteur u détermine le couple (p, a).

d) Le terme visé, retrouvé par la sélection

Le terme visé T(u) n’est pas écrit ; la définition le suppose donné. On le retrouve par le chemin même du lecteur : d’abord l’anomalie, puis la réparation par un voisin.

σ(u) = χ_R(p)(cat(a)), Rep_M(p, a) = { y : Cont(a, y) = 1, type(a, y) ≠ partie / tout, cat(y) ∈ R(p) }, Rep_S(p, a) = { y : Cont(a, y) = 1, type(a, y) = partie / tout, cat(y) ∈ R(p) }.

σ = 1 : l’argument convient, l’emploi est littéral. σ = 0 : anomalie ; Rep_M est l’ensemble des termes visés possibles, T(u) ∈ Rep_M(p, a). Ainsi « T(u) est le terme visé » devient une appartenance calculée.

Lemme 2 (la condition C(u) ≠ T(u) est conséquence). Si σ(u) = 0 et y ∈ Rep_M(p, a), alors cat(a) ∉ R(p) et cat(y) ∈ R(p), donc cat(y) ≠ cat(a) et y ≠ a. ∴ Le facteur χ_{ℕ ∖ {0}}(|C(u) − T(u)|) de la définition vaut toujours 1 quand l’incompatibilité est réparée ; il n’a pas à être calculé, et il n’oblige plus à coder les mots par des nombres.

Lemme 3 (la contiguïté seule ne suffit pas). « Ils ont visité la Maison-Blanche » : σ = 1 (on visite un lieu), et pourtant la présidence, contigu du bâtiment, est aussi admise par « visiter ». Sans le facteur 1 − σ, ce couple serait compté (exemple 10). La métonymie n’est pas la présence d’un mot qui a des voisins, mais le recours au voisin parce que le mot ne convient pas.

e) La partition des couples

Avec r_M = χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) et r_S = χ_{[1, +∞[}(|Rep_S|), l’identité 1 = σ + (1 − σ) r_M + (1 − σ)(1 − r_M) r_S + (1 − σ)(1 − r_M)(1 − r_S) est une tautologie (développer 1 = σ + (1 − σ), puis 1 = r_M + (1 − r_M), puis 1 = r_S + (1 − r_S)). Chaque couple est donc dans exactement une classe :

terme	classe	exemple
σ	emploi littéral	« la couronne brille »
(1 − σ) · rM	métonymie	« la couronne a déclaré la guerre »
(1 − σ) · (1 − rM) · rS	synecdoque	« cent voiles entrent au port »
(1 − σ) · (1 − rM) · (1 − rS)	anomalie non réparée (métaphore ou personnification possible)	« le chat a déclaré la guerre »

L’arbre de décision : sélection, puis réparation par contiguïté, puis type de relation ; chaque couple dans exactement une classe.

f) Le degré : la détermination du terme visé

La version graduée de la définition demande une contiguïté graduée Cont : L × L → [0, 1], posée à la main. Ce qui se calcule, c’est la part d’incertitude du lecteur : s’il existe un seul voisin qui répare, le terme visé est déterminé ; s’il en existe deux, il hésite entre deux lectures.

Det(u) = 1 / |Rep_M(p, a)| si M(u) = 1, MetonInt(w) = ∑_u M(u) · Det(u).

« Il a bu un verre » : un seul voisin, la boisson, Det = 1. « La couronne a déclaré la guerre » : le roi et la monarchie, Det = 1/2. Lemme 4. 0 < Det(u) ≤ 1 si M(u) = 1, donc 0 ≤ MetonInt(w) ≤ Meton(w), avec égalité si et seulement si chaque métonymie a un seul terme visé possible.

Le degré de détermination : un voisin réparateur (Det = 1) ou deux (Det = 1/2).

18.5 Définition mathématique

Meton(w) = ∑_{u ∈ Cpl(w)} (1 − χ_R(p)(cat(a))) · χ_{[1, +∞[}( ∑_{y ∈ L} Cont(a, y) · (1 − χ_PT(a, y)) · χ_R(p)(cat(y)) ),

MetonInt(w) = ∑_{u ∈ Cpl(w)} M(u) · Det(u), Syn(w) = ∑_{u ∈ Cpl(w)} (1 − σ(u)) · (1 − r_M(u)) · r_S(u).

Cpl(w) est l’ensemble des occurrences de facteurs de w qui ont l’une des deux structures, chacune avec son couple (p, a) ; χ_PT(a, y) = 1 si la relation est partie / tout. La somme intérieure sur y ∈ L est le nombre |Rep_M(p, a)| ; c’est la somme sur les termes visés T que la définition laissait implicite. M(u) = χ_{1}(Cont(C(u), T(u))) devient : il existe un T, voisin de C(u) = a, qui convient au prédicat, alors que a ne convient pas.

La définition complète : sélection, contiguïté, réparation, partition et degré.

18.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots t₁, …, t_n ; refusionner les noms composés.
2. Repérer les couples (p, a) par les deux structures, sujet et complément.
3. Lire cat(a) et R(p) ; si cat(a) ∈ R(p), l’emploi est littéral (σ = 1).
4. Sinon, lire les contigus de a ; garder ceux dont la catégorie est dans R(p) ; séparer les partie / tout.
5. M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) ; Det(u) = 1/|Rep_M| ; additionner Meton(w), MetonInt(w), Syn(w).

18.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par couple (prédicat, argument) : la structure, R(p), la catégorie de l’argument, le test de sélection σ, les contigus, les deux ensembles de réparation, la contribution M(u), le degré Det(u) et la classe.

Exemple 1 – « La couronne a déclaré la guerre » : le symbole pour le titulaire

Texte : « La couronne a déclaré la guerre. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« couronne a déclaré »	sujet : a aux p	déclaré, {humain, institution}	couronne, objet	0	roi (symbole / titulaire); monarchie (symbole / institution)	2	0	1	1/2	métonymie

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = couronne, t₃ = a, t₄ = déclaré, t₅ = la, t₆ = guerre, t₇ = . ; n = 7.

Étape 1.2 (u = « couronne a déclaré »). Structure sujet : a aux p : argument a = t₂ = couronne, prédicat p = t₄ = déclaré (« déclarer la guerre », rôle sujet) ; R(p) = {humain, institution}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(couronne, roi) = 1 (symbole / titulaire), cat(roi) = humain, χ_R(p)(humain) = 1 ; Cont(couronne, monarchie) = 1 (symbole / institution), cat(monarchie) = institution, χ_R(p)(institution) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 2, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1/2 ; classe : métonymie.

Étape 1.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 1 ; MetonInt(w) = 1/2 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 0 ; anomalies non réparées : 0.

Avec la définition prise à la lettre, chaque contigu compte : Cont(couronne, roi) + Cont(couronne, monarchie) = 2.

∴ « déclarer la guerre » attend un humain ou une institution ; la couronne est un objet : incompatibilité. Deux contigus de la couronne la réparent, le roi (humain) et la monarchie (institution) : métonymie, de détermination 1/2.

Exemple 2 – « La Maison-Blanche a annoncé une réforme » : le lieu pour l’institution

Texte : « La Maison-Blanche a annoncé une réforme. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« maison-blanche a annoncé »	sujet : a aux p	annoncé, {humain, institution}	maison-blanche, lieu	0	présidence (lieu / institution); président (lieu / occupant)	2	0	1	1/2	métonymie

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = maison-blanche, t₃ = a, t₄ = annoncé, t₅ = une, t₆ = réforme, t₇ = . ; n = 7.

Étape 2.2 (u = « maison-blanche a annoncé »). Structure sujet : a aux p : argument a = t₂ = maison-blanche, prédicat p = t₄ = annoncé (« annoncer », rôle sujet) ; R(p) = {humain, institution}, cat(a) = lieu ; σ = χ_R(p)(lieu) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(maison-blanche, présidence) = 1 (lieu / institution), cat(présidence) = institution, χ_R(p)(institution) = 1 ; Cont(maison-blanche, président) = 1 (lieu / occupant), cat(président) = humain, χ_R(p)(humain) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 2, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1/2 ; classe : métonymie.

Étape 2.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 1 ; MetonInt(w) = 1/2 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 0 ; anomalies non réparées : 0.

∴ un lieu n’annonce rien ; la présidence (institution) et le président (humain), contigus du bâtiment, peuvent annoncer. Métonymie, détermination 1/2.

Exemple 3 – « The White House declined to comment » : la même métonymie en anglais

Texte : « The White House declined to comment. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« white-house declined »	sujet : a p	declined, {humain, institution}	maison-blanche, lieu	0	présidence (lieu / institution); président (lieu / occupant)	2	0	1	1/2	métonymie

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = the, t₂ = white-house, t₃ = declined, t₄ = to, t₅ = comment, t₆ = . ; n = 6.

Étape 3.2 (u = « white-house declined »). Structure sujet : a p : argument a = t₂ = maison-blanche, prédicat p = t₃ = declined (« decline to comment », rôle sujet) ; R(p) = {humain, institution}, cat(a) = lieu ; σ = χ_R(p)(lieu) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(maison-blanche, présidence) = 1 (lieu / institution), cat(présidence) = institution, χ_R(p)(institution) = 1 ; Cont(maison-blanche, président) = 1 (lieu / occupant), cat(président) = humain, χ_R(p)(humain) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 2, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1/2 ; classe : métonymie.

Étape 3.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 1 ; MetonInt(w) = 1/2 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 0 ; anomalies non réparées : 0.

∴ « White House » est fusionné en un seul mot, comme « Maison-Blanche » ; même incompatibilité, même réparation : métonymie.

Exemple 4 – « Il a bu un verre » : le contenant pour le contenu

Texte : « Il a bu un verre. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« bu un verre »	complément, d = 1 : p det a	bu, {liquide}	verre, objet	0	boisson (contenant / contenu)	1	0	1	1	métonymie

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = a, t₃ = bu, t₄ = un, t₅ = verre, t₆ = . ; n = 6.

Étape 4.2 (u = « bu un verre »). Structure complément, d = 1 : p det a : argument a = t₅ = verre, prédicat p = t₃ = bu (« boire », rôle complément) ; R(p) = {liquide}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(verre, boisson) = 1 (contenant / contenu), cat(boisson) = liquide, χ_R(p)(liquide) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 1, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1 ; classe : métonymie.

Étape 4.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 1 ; MetonInt(w) = 1 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 0 ; anomalies non réparées : 0.

∴ « boire » attend un liquide ; le verre est un objet ; son seul contigu, la boisson, est un liquide. Métonymie de détermination 1 : un seul contenu possible.

Exemple 5 – « Il a lu tout un Baudelaire » : l’auteur pour l’œuvre

Texte : « Il a lu tout un Baudelaire. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« lu tout un baudelaire »	complément, d = 2 : p det det a	lu, {texte}	baudelaire, humain	0	œuvre (auteur / œuvre)	1	0	1	1	métonymie

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = a, t₃ = lu, t₄ = tout, t₅ = un, t₆ = baudelaire, t₇ = . ; n = 7.

Étape 5.2 (u = « lu tout un baudelaire »). Structure complément, d = 2 : p det det a : argument a = t₆ = baudelaire, prédicat p = t₃ = lu (« lire », rôle complément) ; R(p) = {texte}, cat(a) = humain ; σ = χ_R(p)(humain) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(baudelaire, œuvre) = 1 (auteur / œuvre), cat(œuvre) = texte, χ_R(p)(texte) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 1, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1 ; classe : métonymie.

Étape 5.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 1 ; MetonInt(w) = 1 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 0 ; anomalies non réparées : 0.

Avec au plus un déterminant (d ≤ 1) : 0.

∴ « lire » attend un texte ; Baudelaire est un humain ; son œuvre est un texte. Métonymie ; les deux déterminants « tout un » demandent d = 2.

Exemple 6 – « The pen is mightier than the sword » : deux métonymies

Texte : « The pen is mightier than the sword. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« pen is mightier »	sujet : a aux p	mightier, {pouvoir}	pen, objet	0	écriture (instrument / activité)	1	0	1	1	métonymie
« mightier than the sword »	complément, d = 1 : p lien det a	mightier, {pouvoir}	sword, objet	0	force armée (instrument / activité)	1	0	1	1	métonymie

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = the, t₂ = pen, t₃ = is, t₄ = mightier, t₅ = than, t₆ = the, t₇ = sword, t₈ = . ; n = 8.

Étape 6.2 (u = « pen is mightier »). Structure sujet : a aux p : argument a = t₂ = pen, prédicat p = t₄ = mightier (« be mightier », rôle sujet) ; R(p) = {pouvoir}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(pen, écriture) = 1 (instrument / activité), cat(écriture) = pouvoir, χ_R(p)(pouvoir) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 1, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1 ; classe : métonymie.

Étape 6.2 (u = « mightier than the sword »). Structure complément, d = 1 : p lien det a : argument a = t₇ = sword, prédicat p = t₄ = mightier (« be mightier », rôle complément) ; R(p) = {pouvoir}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(sword, force armée) = 1 (instrument / activité), cat(force armée) = pouvoir, χ_R(p)(pouvoir) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 1, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1 ; classe : métonymie.

Étape 6.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 1 + 1 = 2 ; MetonInt(w) = 1 + 1 = 2 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 0 ; anomalies non réparées : 0.

∴ deux couples, l’un sujet (pen, is mightier), l’autre complément (mightier than, sword) ; « be mightier » attend un pouvoir ; plume et épée sont des objets, l’écriture et la force armée des pouvoirs. Meton(w) = 2 (Bulwer-Lytton, Richelieu, 1839).

Exemple 7 – « Cent voiles entrent au port » : la synecdoque

Texte : « Cent voiles entrent au port. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« voiles entrent »	sujet : a p	entrent, {véhicule}	voile, objet	0	navire (partie / tout)	0	1	0	0	synecdoque (partie / tout)

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = cent, t₂ = voiles, t₃ = entrent, t₄ = au, t₅ = port, t₆ = . ; n = 6.

Étape 7.2 (u = « voiles entrent »). Structure sujet : a p : argument a = t₂ = voile, prédicat p = t₃ = entrent (« entrer au port », rôle sujet) ; R(p) = {véhicule}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(voile, navire) = 1 (partie / tout), cat(navire) = véhicule, χ_R(p)(véhicule) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 0, |Rep_S(p, a)| = 1 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 0 = 0 ; Syn(u) = (1 − σ)(1 − χ(|Rep_M|)) χ(|Rep_S|) = 1 ; classe : synecdoque (partie / tout).

Étape 7.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 0 ; MetonInt(w) = 0 ; Syn(w) = 1 ; littéraux : 0 ; anomalies non réparées : 0.

Sans séparer la synecdoque : 1.

∴ « entrer au port » attend un véhicule ; la voile est un objet ; le seul contigu qui répare est le navire, mais la relation est partie / tout. C’est une synecdoque (fiche 28), non une métonymie. Meton = 0, Syn = 1.

Exemple 8 – « Le chat a escaladé la montagne » : deux emplois littéraux

Texte : « Le chat a escaladé la montagne. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« chat a escaladé »	sujet : a aux p	escaladé, {humain, animal}	chat, animal	1	∅	0	0	0	0	emploi littéral
« escaladé la montagne »	complément, d = 1 : p det a	escaladé, {lieu}	montagne, lieu	1	∅	0	0	0	0	emploi littéral

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = chat, t₃ = a, t₄ = escaladé, t₅ = la, t₆ = montagne, t₇ = . ; n = 7.

Étape 8.2 (u = « chat a escaladé »). Structure sujet : a aux p : argument a = t₂ = chat, prédicat p = t₄ = escaladé (« escalader », rôle sujet) ; R(p) = {humain, animal}, cat(a) = animal ; σ = χ_R(p)(animal) = 1.

L’argument a la catégorie attendue : emploi littéral ; 1 − σ = 0, M(u) = 0.

Étape 8.2 (u = « escaladé la montagne »). Structure complément, d = 1 : p det a : argument a = t₆ = montagne, prédicat p = t₄ = escaladé (« escalader », rôle complément) ; R(p) = {lieu}, cat(a) = lieu ; σ = χ_R(p)(lieu) = 1.

L’argument a la catégorie attendue : emploi littéral ; 1 − σ = 0, M(u) = 0.

Étape 8.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 0 + 0 = 0 ; MetonInt(w) = 0 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 2 ; anomalies non réparées : 0.

∴ le chat est un animal, catégorie admise par « escalader » ; la montagne est un lieu, catégorie admise pour le complément. σ = 1 deux fois : rien à réparer, aucune métonymie. Cont(chat, montagne) = 0 n’est même pas consulté.

Exemple 9 – « La couronne brille » : le mot de la table au sens propre

Texte : « La couronne brille. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« couronne brille »	sujet : a p	brille, {objet, lieu}	couronne, objet	1	roi (symbole / titulaire); monarchie (symbole / institution)	0	0	0	0	emploi littéral

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = couronne, t₃ = brille, t₄ = . ; n = 4.

Étape 9.2 (u = « couronne brille »). Structure sujet : a p : argument a = t₂ = couronne, prédicat p = t₃ = brille (« briller », rôle sujet) ; R(p) = {objet, lieu}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 1.

L’argument a la catégorie attendue : emploi littéral ; 1 − σ = 0, M(u) = 0.

Étape 9.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 0 ; MetonInt(w) = 0 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 1 ; anomalies non réparées : 0.

Avec la définition prise à la lettre : 1.

∴ un objet peut briller : σ = 1, emploi littéral. La définition prise à la lettre compte la couronne dès que Cont(couronne, roi) = 1, même ici.

Exemple 10 – « Ils ont visité la Maison-Blanche » : la contiguïté sans incompatibilité

Texte : « Ils ont visité la Maison-Blanche. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« visité la maison-blanche »	complément, d = 1 : p det a	visité, {lieu, institution}	maison-blanche, lieu	1	présidence (lieu / institution); président (lieu / occupant)	1	0	0	0	emploi littéral

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = ils, t₂ = ont, t₃ = visité, t₄ = la, t₅ = maison-blanche, t₆ = . ; n = 6.

Étape 10.2 (u = « visité la maison-blanche »). Structure complément, d = 1 : p det a : argument a = t₅ = maison-blanche, prédicat p = t₃ = visité (« visiter », rôle complément) ; R(p) = {lieu, institution}, cat(a) = lieu ; σ = χ_R(p)(lieu) = 1.

L’argument a la catégorie attendue : emploi littéral ; 1 − σ = 0, M(u) = 0.

Étape 10.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 0 ; MetonInt(w) = 0 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 1 ; anomalies non réparées : 0.

Sans test d’incompatibilité : 1 ; avec la définition à la lettre : 1.

∴ « visiter » admet un lieu : σ = 1. La présidence, contigu du bâtiment, est aussi une catégorie admise (on visite une institution), et le test de contiguïté seul compterait une métonymie. C’est l’incompatibilité qui déclenche la métonymie, non la contiguïté.

Exemple 11 – « Le chat a déclaré la guerre » : une anomalie sans contigu

Texte : « Le chat a déclaré la guerre. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« chat a déclaré »	sujet : a aux p	déclaré, {humain, institution}	chat, animal	0	∅	0	0	0	0	anomalie non réparée

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = chat, t₃ = a, t₄ = déclaré, t₅ = la, t₆ = guerre, t₇ = . ; n = 7.

Étape 11.2 (u = « chat a déclaré »). Structure sujet : a aux p : argument a = t₂ = chat, prédicat p = t₄ = déclaré (« déclarer la guerre », rôle sujet) ; R(p) = {humain, institution}, cat(a) = animal ; σ = χ_R(p)(animal) = 0.

Incompatibilité (1 − σ = 1), mais Cont(chat) = ∅ : |Rep_M| = |Rep_S| = 0 ; anomalie non réparée, M(u) = 0.

Étape 11.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 0 ; MetonInt(w) = 0 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 0 ; anomalies non réparées : 1.

Avec l’incompatibilité seule, sans réparation : 1.

∴ incompatibilité (un animal ne déclare pas la guerre), mais le chat n’a aucun contigu dans la table : anomalie non réparée. C’est le cas Cont(chat, montagne) = 0 de la définition ; si l’anomalie se répare par ressemblance, c’est une métaphore ou une personnification (fiche 17).

Exemple 12 – Faux positif assumé : la couronne du conte

Texte : « Dans le conte, la couronne a parlé au roi. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« couronne a parlé »	sujet : a aux p	parlé, {humain, institution}	couronne, objet	0	roi (symbole / titulaire); monarchie (symbole / institution)	2	0	1	1/2	métonymie

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = dans, t₂ = le, t₃ = conte, t₄ = la, t₅ = couronne, t₆ = a, t₇ = parlé, t₈ = au, t₉ = roi, t₁₀ = . ; n = 10.

Étape 12.2 (u = « couronne a parlé »). Structure sujet : a aux p : argument a = t₅ = couronne, prédicat p = t₇ = parlé (« parler », rôle sujet) ; R(p) = {humain, institution}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(couronne, roi) = 1 (symbole / titulaire), cat(roi) = humain, χ_R(p)(humain) = 1 ; Cont(couronne, monarchie) = 1 (symbole / institution), cat(monarchie) = institution, χ_R(p)(institution) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 2, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1/2 ; classe : métonymie.

Étape 12.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 1 ; MetonInt(w) = 1/2 ; Syn(w) = 0 ; littéraux : 0 ; anomalies non réparées : 0.

∴ le calcul trouve l’incompatibilité (un objet ne parle pas) et la répare par le roi : Meton = 1. Mais dans le conte, c’est la couronne elle-même qui parle : une prosopopée. Le calcul ne connaît pas le genre du récit.

Exemple 13 – Texte complet : cinq métonymies, une synecdoque, trois emplois littéraux

Texte : « La couronne a déclaré la guerre. La Maison-Blanche a annoncé une réforme. Il a bu un verre ; il a lu un Baudelaire. La salle applaudit. Cent voiles entrent au port. Le chat a escaladé la montagne. La couronne brille. »

u (facteur)	structure	p, R(p)	a, cat(a)	σ = χR(p)(cat(a))	Cont(a) (type)	RepM	RepS	M(u)	Det(u)	classe
« couronne a déclaré »	sujet : a aux p	déclaré, {humain, institution}	couronne, objet	0	roi (symbole / titulaire); monarchie (symbole / institution)	2	0	1	1/2	métonymie
« maison-blanche a annoncé »	sujet : a aux p	annoncé, {humain, institution}	maison-blanche, lieu	0	présidence (lieu / institution); président (lieu / occupant)	2	0	1	1/2	métonymie
« bu un verre »	complément, d = 1 : p det a	bu, {liquide}	verre, objet	0	boisson (contenant / contenu)	1	0	1	1	métonymie
« lu un baudelaire »	complément, d = 1 : p det a	lu, {texte}	baudelaire, humain	0	œuvre (auteur / œuvre)	1	0	1	1	métonymie
« salle applaudit »	sujet : a p	applaudit, {humain}	salle, lieu	0	public (lieu / occupants)	1	0	1	1	métonymie
« voiles entrent »	sujet : a p	entrent, {véhicule}	voile, objet	0	navire (partie / tout)	0	1	0	0	synecdoque (partie / tout)
« chat a escaladé »	sujet : a aux p	escaladé, {humain, animal}	chat, animal	1	∅	0	0	0	0	emploi littéral
« escaladé la montagne »	complément, d = 1 : p det a	escaladé, {lieu}	montagne, lieu	1	∅	0	0	0	0	emploi littéral
« couronne brille »	sujet : a p	brille, {objet, lieu}	couronne, objet	1	roi (symbole / titulaire); monarchie (symbole / institution)	0	0	0	0	emploi littéral

Étape 13.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = couronne, t₃ = a, t₄ = déclaré, t₅ = la, t₆ = guerre, t₇ = ., t₈ = la, t₉ = maison-blanche, t₁₀ = a, t₁₁ = annoncé, t₁₂ = une, t₁₃ = réforme, t₁₄ = ., t₁₅ = il, t₁₆ = a, t₁₇ = bu, t₁₈ = un, t₁₉ = verre, t₂₀ = ;, t₂₁ = il, t₂₂ = a, t₂₃ = lu, t₂₄ = un, t₂₅ = baudelaire, t₂₆ = ., t₂₇ = la, t₂₈ = salle, t₂₉ = applaudit, t₃₀ = ., t₃₁ = cent, t₃₂ = voiles, t₃₃ = entrent, t₃₄ = au, t₃₅ = port, t₃₆ = ., t₃₇ = le, t₃₈ = chat, t₃₉ = a, t₄₀ = escaladé, t₄₁ = la, t₄₂ = montagne, t₄₃ = ., t₄₄ = la, t₄₅ = couronne, t₄₆ = brille, t₄₇ = . ; n = 47.

Étape 13.2 (u = « couronne a déclaré »). Structure sujet : a aux p : argument a = t₂ = couronne, prédicat p = t₄ = déclaré (« déclarer la guerre », rôle sujet) ; R(p) = {humain, institution}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(couronne, roi) = 1 (symbole / titulaire), cat(roi) = humain, χ_R(p)(humain) = 1 ; Cont(couronne, monarchie) = 1 (symbole / institution), cat(monarchie) = institution, χ_R(p)(institution) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 2, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1/2 ; classe : métonymie.

Étape 13.2 (u = « maison-blanche a annoncé »). Structure sujet : a aux p : argument a = t₉ = maison-blanche, prédicat p = t₁₁ = annoncé (« annoncer », rôle sujet) ; R(p) = {humain, institution}, cat(a) = lieu ; σ = χ_R(p)(lieu) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(maison-blanche, présidence) = 1 (lieu / institution), cat(présidence) = institution, χ_R(p)(institution) = 1 ; Cont(maison-blanche, président) = 1 (lieu / occupant), cat(président) = humain, χ_R(p)(humain) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 2, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1/2 ; classe : métonymie.

Étape 13.2 (u = « bu un verre »). Structure complément, d = 1 : p det a : argument a = t₁₉ = verre, prédicat p = t₁₇ = bu (« boire », rôle complément) ; R(p) = {liquide}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(verre, boisson) = 1 (contenant / contenu), cat(boisson) = liquide, χ_R(p)(liquide) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 1, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1 ; classe : métonymie.

Étape 13.2 (u = « lu un baudelaire »). Structure complément, d = 1 : p det a : argument a = t₂₅ = baudelaire, prédicat p = t₂₃ = lu (« lire », rôle complément) ; R(p) = {texte}, cat(a) = humain ; σ = χ_R(p)(humain) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(baudelaire, œuvre) = 1 (auteur / œuvre), cat(œuvre) = texte, χ_R(p)(texte) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 1, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1 ; classe : métonymie.

Étape 13.2 (u = « salle applaudit »). Structure sujet : a p : argument a = t₂₈ = salle, prédicat p = t₂₉ = applaudit (« applaudir », rôle sujet) ; R(p) = {humain}, cat(a) = lieu ; σ = χ_R(p)(lieu) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(salle, public) = 1 (lieu / occupants), cat(public) = humain, χ_R(p)(humain) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 1, |Rep_S(p, a)| = 0 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 1 = 1 ; Det(u) = 1/|Rep_M| = 1 ; classe : métonymie.

Étape 13.2 (u = « voiles entrent »). Structure sujet : a p : argument a = t₃₂ = voile, prédicat p = t₃₃ = entrent (« entrer au port », rôle sujet) ; R(p) = {véhicule}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 0.

Incompatibilité : 1 − σ = 1. Contigus : Cont(voile, navire) = 1 (partie / tout), cat(navire) = véhicule, χ_R(p)(véhicule) = 1.

|Rep_M(p, a)| = 0, |Rep_S(p, a)| = 1 ; M(u) = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_M|) = 1 · 0 = 0 ; Syn(u) = (1 − σ)(1 − χ(|Rep_M|)) χ(|Rep_S|) = 1 ; classe : synecdoque (partie / tout).

Étape 13.2 (u = « chat a escaladé »). Structure sujet : a aux p : argument a = t₃₈ = chat, prédicat p = t₄₀ = escaladé (« escalader », rôle sujet) ; R(p) = {humain, animal}, cat(a) = animal ; σ = χ_R(p)(animal) = 1.

L’argument a la catégorie attendue : emploi littéral ; 1 − σ = 0, M(u) = 0.

Étape 13.2 (u = « escaladé la montagne »). Structure complément, d = 1 : p det a : argument a = t₄₂ = montagne, prédicat p = t₄₀ = escaladé (« escalader », rôle complément) ; R(p) = {lieu}, cat(a) = lieu ; σ = χ_R(p)(lieu) = 1.

L’argument a la catégorie attendue : emploi littéral ; 1 − σ = 0, M(u) = 0.

Étape 13.2 (u = « couronne brille »). Structure sujet : a p : argument a = t₄₅ = couronne, prédicat p = t₄₆ = brille (« briller », rôle sujet) ; R(p) = {objet, lieu}, cat(a) = objet ; σ = χ_R(p)(objet) = 1.

L’argument a la catégorie attendue : emploi littéral ; 1 − σ = 0, M(u) = 0.

Étape 13.3. Somme sur les couples : Meton(w) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 5 ; MetonInt(w) = 1/2 + 1/2 + 1 + 1 + 1 = 4 ; Syn(w) = 1 ; littéraux : 3 ; anomalies non réparées : 0.

∴ Meton(w) = 5 et MetonInt(w) = 1/2 + 1/2 + 1 + 1 + 1 = 4 ; Syn(w) = 1 (les voiles) ; trois couples littéraux (le chat, la montagne, la couronne qui brille).

Exemple 13 : neuf couples, cinq métonymies, une synecdoque, trois emplois littéraux.

18.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les treize textes des exemples 1 à 13, par l’écart entre Meton calculé et Meton attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5 (l’exemple 12 est une prosopopée).

version	Meton total	erreurs ∑ |Meton − attendu| (sur 13 textes)	textes mal comptés
définition à la lettre : ∑u χ{1}(Cont(C(u), T(u))), un par mot du domaine de Cont	18	6	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (7 au lieu de 5)
∑u ∑T Cont(C(u), T) : chaque contigu compte	27	15	ex. 1 (2 au lieu de 1) ; ex. 2 (2 au lieu de 1) ; ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (2 au lieu de 0) ; ex. 10 (2 au lieu de 0) ; ex. 12 (2 au lieu de 0) ; ex. 13 (10 au lieu de 5)
sans test d’incompatibilité (contiguïté réparatrice seule)	14	2	ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0)
incompatibilité seule, sans réparation	16	4	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (6 au lieu de 5)
sans séparer la synecdoque (partie / tout comptée)	15	3	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (6 au lieu de 5)
retenue	13	1	ex. 12 (1 au lieu de 0)

La définition à la lettre compte tout mot qui a un voisin, même au sens propre (la couronne qui brille, la Maison-Blanche visitée) ; comptée sur tous les contigus, elle double les métonymies ambiguës. L’incompatibilité seule compte les anomalies sans voisin ; la contiguïté sans incompatibilité compte la visite ; sans séparer la partie et le tout, la synecdoque est comptée. La version retenue ne garde qu’une erreur, la couronne du conte.

Erreurs des versions : l’incompatibilité, la réparation et la séparation de la synecdoque sont toutes nécessaires.

Aucun seuil numérique n’est à fixer : σ, r_M et r_S sont des appartenances. Le seul paramètre est le nombre d de déterminants admis entre le prédicat et son complément :

d (déterminants au plus)	exemple de complément admis	erreurs ∑ |Meton − attendu|	textes mal comptés
0	bu verre	6	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (1 au lieu de 2) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (3 au lieu de 5)
1	bu un verre	2	ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (1 au lieu de 0)
2	lu tout un Baudelaire	1	ex. 12 (1 au lieu de 0)
3	trois déterminants	1	ex. 12 (1 au lieu de 0)

d = 0 perd « bu un verre », d = 1 perd « lu tout un Baudelaire » ; au-delà de 2, le résultat ne change plus. On retient d = 2.

Erreurs selon le nombre d de déterminants admis : stables à partir de d = 2.

18.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois les trois tables et d fixés, Meton, MetonInt et Syn découlent nécessairement du calcul ; la partition en quatre classes est une tautologie, et les lemmes 1 à 4 sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : les catégories, la sélection des prédicats et les contiguïtés relèvent du sens et de l’usage ; la Maison-Blanche n’est contiguë à la présidence que dans un état et une époque donnés.
• Possible : tout nom qui a un voisin est une métonymie possible ; il le devient quand un prédicat le refuse et que le voisin convient. Le même mot est littéral dans « la couronne brille » et métonymique dans « la couronne a déclaré la guerre ».

18.10 Justification et limites

La métonymie remplace un nom par le nom d’une chose voisine, et le lecteur rétablit spontanément le voisin. Le mécanisme suit exactement ce chemin : il détecte l’anomalie (le verre ne se boit pas) et la répare par la relation de contiguïté (on boit ce qu’il contient). La formule de la définition, χ_{1}(Cont(C(u), T(u))), est conservée, mais T(u) y est calculé : c’est un voisin de C(u) qui satisfait la sélection du prédicat que C(u) ne satisfait pas. La condition C(u) ≠ T(u) en découle (lemme 2), et la version graduée devient la détermination du terme visé.

Trois limites sont assumées. Le calcul ne connaît pas le genre du texte : dans un conte, une couronne qui parle est une prosopopée, non une métonymie (exemple 12). Seules deux structures sont repérées : une métonymie sans prédicat qui la contraigne (« Washington et Moscou » en titre) échappe au calcul. Enfin, une métonymie figée devenue sens propre (« un bureau » pour la pièce et non le meuble) n’est plus une anomalie si la table des catégories l’a enregistrée.

⁂

19. Oxymore – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
L’oxymore (du grec oxys, « aigu », et mōros, « sot » : le mot est lui-même un oxymore) est une figure d’opposition qui réunit, dans un même groupe de mots, deux termes contradictoires, l’un qualifiant l’autre, et crée un paradoxe apparent. Exemples : « cette obscure clarté qui tombe des étoiles » (Corneille, Le Cid, IV, 3) ; « Parting is such sweet sorrow » (Shakespeare, Roméo et Juliette, II, 2) ; « un silence assourdissant » ; « jumbo shrimp » ; « festina lente », hâte-toi lentement. L’oxymore juxtapose deux termes syntaxiquement liés mais sémantiquement contradictoires (ex. « obscure clarté »).

Mécanisme en combinatoire des mots
Il se modélise par la concaténation de deux sous-facteurs adjacents liés par une stricte opposition lexicale.

Définition mathématique
Soit une fonction d’opposition $\mathrm{Opp}$. Un oxymore est un facteur bipartite $u = xy$ tel que :

$$\mathrm{Oxy}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u = xy \text{ et } \mathrm{Opp}(x) = y \} \bigr|$$

⁂

19. Oxymore – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de l’oxymore à quelques exemples de concaténation de deux sous-facteurs adjacents liés par une stricte opposition lexicale

19.1 Définition rhétorique

Quatre traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une même qualité : les deux termes parlent de la même chose (la lumière, le volume, l’agrément), sinon ils ne s’opposent pas ;
• des pôles opposés : ils sont de part et d’autre de cette qualité, et assez loin l’un de l’autre pour se contredire ;
• un resserrement : ils sont voisins dans le texte, sans membre de phrase entre eux ;
• une modification : l’un qualifie l’autre (adjectif et nom, verbe et adverbe), ou les deux qualifient le même nom ; deux noms simplement coordonnés ne se contredisent pas.

L’oxymore se distingue ainsi de l’antithèse, qui oppose des termes placés dans des membres de phrase différents (« la nuit est noire, mais le jour est clair ») ; du merisme, qui coordonne deux opposés pour dire la totalité (« jour et nuit ») ; de la simple nuance (« une pâle lumière ») et du renforcement (« un immense géant »).

19.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition Oxy(w) = |{ u ∈ Fact(w) | u = xy et Opp(x) = y }| est une définition en compréhension. Pour la rendre entièrement calculable, on introduit explicitement une fonction d’opposition Opp : L → L (Opp(silence) = bruit, Opp(obscurité) = lumière, Opp(vivant) = mort), une relation d’adjacence Adj(x, y) = 1 si x est immédiatement suivi de y, 0 sinon, et une fonction indicatrice :

O(x, y) = χ_{1}( Adj(x, y) ) · χ_{y}( Opp(x) ) ∈ {0, 1}, Oxy(w) = ∑_{(x, y) ∈ AdjFact(w)} χ_{y}( Opp(x) ) = ∑_{(x, y) ∈ AdjFact(w)} χ_{1}( Adj(x, y) ) · χ_{y}( Opp(x) ).

Avec un degré d’opposition d_opp(x, y) ≥ 0, la version graduée est Oxy_θ(w) = ∑_{(x, y) ∈ AdjFact(w)} χ_{[θ, +∞[}( d_opp(x, y) ), et le seuil θ = 0,75 retient les couples fortement opposés.

Ces formules ont la bonne forme : une somme sur des couples voisins, une indicatrice d’opposition, un seuil. Pour qu’elles comptent exactement les oxymores, cinq précisions sont nécessaires : (1) l’égalité Opp(x) = y ne reconnaît pas les vrais oxymores, car leurs termes n’ont pas la même catégorie grammaticale (l’antonyme du nom silence est le nom bruit, non l’adjectif assourdissant ; Opp(obscur) = clair, non clarté) ; il faut comparer des positions sur une même échelle ; (2) AdjFact(w), ensemble de toutes les paires de facteurs adjacents, est bien plus grand que nécessaire ; l’unité est la paire de mots voisins, éventuellement reliés par « et » ; (3) des opposés voisins ne font pas un oxymore si aucun ne qualifie l’autre (« jour et nuit ») ; (4) le degré d’opposition se calcule à partir des positions sur l’échelle ; (5) le seuil θ = 0,75 de la définition est conservé, et l’on montre qu’il entraîne à lui seul l’opposition des signes. C’est l’objet des paragraphes suivants.

19.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance à une liste : χ_Lex(x) = 1 si le mot est dans la table des échelles, χ_J(x) = 1 si c’est un mot de liaison ;
• égalité : ε(x, y) = 1 si les deux termes ont la même échelle ;
• signe : χ_{]−∞, 0[}(σ(x) σ(y)) = 1 si les signes sont opposés ;
• seuil : χ_{[θ, 1]}(d) = 1 si le degré d’opposition atteint θ ;
• appartenance à un ensemble de couples : μ(x, y) = χ_M(cat(x), cat(y)) pour la modification ;
• « et » : un produit ; comptage : une somme sur les couples voisins.

19.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les couples voisins

On met le texte en minuscules (accents gardés) ; ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces, les signes . ! ? ; sont gardés comme mots ; chaque mot devient une lettre de l’alphabet Σ des mots : w = t₁ ⋯ t_n. Avec J = {et, mais, and, but}, l’ensemble des couples voisins est :

Adj₁(w) = { (i, i + 1) : 1 ≤ i < n } ∪ { (i, i + 2) : t_i+1 ∈ J }.

Pourquoi pas AdjFact(w) : l’ensemble des paires de facteurs adjacents (u, v), avec uv facteur de w, compte une paire pour chaque position de coupure dans chaque facteur, soit de l’ordre de n³/6 paires ; une opposition entre deux mots y apparaît dans toutes les paires dont les facteurs se terminent et commencent par ces mots. Un oxymore réunit deux mots : on somme sur les couples de mots voisins, au plus 2(n − 1). Pourquoi le mot de liaison : « un plaisir doux et amer » réunit deux adjectifs du même nom, séparés par « et » ; l’adjacence stricte le perdrait.

b) La table des échelles

Chaque terme reçoit une catégorie grammaticale cat(x) (A adjectif, N nom, V verbe, Adv adverbe), une échelle (la qualité dont il parle) et une valeur v(x) ∈ {−1, −1/2, 1/2, 1} sur cette échelle : le signe σ(x) dit le pôle, la valeur absolue l’intensité.

échelle	termes (catégorie, v), du pôle négatif au pôle positif
lumière	obscur (A, −1) ; noir (A, −1) ; nuit (N, −1) ; pâle (A, −1/2) ; lumière (N, 1/2) ; clarté (N, 1) ; blanc (A, 1) ; jour (N, 1) ; clair (A, 1)
volume	silence (N, −1) ; assourdissant (A, 1) ; deafening (A, 1)
agrément	sorrow (N, −1) ; amer (A, −1) ; amertume (N, −1) ; doux (A, 1/2) ; sweet (A, 1) ; plaisir (N, 1)
taille	petit (A, −1) ; shrimp (N, −1/2) ; jumbo (A, 1) ; géant (N, 1) ; grand (A, 1) ; immense (A, 1)
vitesse	lente (Adv, −1) ; festina (V, 1)

La fonction Opp de la définition se déduit de cette table : deux termes de même catégorie, même échelle et valeurs opposées sont antonymes (obscur et clair, petit et grand). Mais la table dit plus : elle place aussi des termes de catégories différentes sur une même échelle, et c’est ce qui permet de reconnaître « obscure clarté ».

Les termes de la table sur leurs échelles ; chaque oxymore relie les deux bouts d’une même échelle.

c) Le degré d’opposition, calculé

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 ∈ [0, 1] pour deux termes d’une même échelle.

d vaut 1 quand les deux termes sont aux deux bouts de l’échelle (obscure, clarté), 3/4 quand l’un est extrême et l’autre modéré (douce, amertume), 1/2 pour deux termes modérés de signes opposés (pâle, lumière), et au plus 1/4 pour deux termes de même signe. Le degré d_opp de la définition, posé à la main (0,95 ; 0,80 ; 0,20 ; 0,90), devient une grandeur lue sur la table.

Lemme 1 (le seuil entraîne l’opposition des signes). Si σ(x) = σ(y), alors |v(x) − v(y)| ≤ 1 − 1/2 = 1/2, donc d(x, y) ≤ 1/4. ∴ Pour tout θ > 1/4, d(x, y) ≥ θ entraîne σ(x) σ(y) < 0 : avec θ = 3/4, l’indicatrice χ_{]−∞, 0[}(σ(x) σ(y)) vaut toujours 1 quand χ_{[θ, 1]}(d) = 1. On la garde dans la formule parce qu’elle dit la contradiction, mais le seuil seul la calcule. Si σ(x) ≠ σ(y), d(x, y) ≥ (1/2 + 1/2)/2 = 1/2.

Le degré d(x, y) pour les couples des exemples : même signe au plus 1/4, signes opposés au moins 1/2 ; le seuil θ = 3/4.

d) La modification : qui qualifie qui

Deux opposés voisins ne se contredisent que si l’un est dit de l’autre. On pose M₀ = {(A, N), (N, A), (V, Adv), (Adv, V), (Adv, A)} pour deux mots adjacents, et M₁ = {(A, A)} pour deux adjectifs reliés par un mot de J, qui qualifient alors le même nom. μ(x, y) = 1 si le couple des catégories est dans M₀ (adjacence) ou M₁ (liaison).

« Jour et nuit » : deux noms coordonnés, (N, N) ∉ M₁, μ = 0 ; c’est un merisme, qui veut dire « tout le temps ». « Doux et amer » : (A, A) ∈ M₁, μ = 1 ; le plaisir est à la fois doux et amer, c’est la contradiction de l’oxymore.

Les couples voisins : adjacence, liaison par « et », et la coordination de deux noms exclue par μ.

e) La partition des couples

Pour un couple de Adj₁(w) dont les deux mots sont dans la table, notons ε = même échelle, μ = modification, τ = χ_{]−∞, 0[}(σ(x) σ(y)) et s = χ_{[θ, 1]}(d). L’identité 1 = (1 − ε) + ε(1 − μ) + εμ(1 − τ) + εμτ(1 − s) + εμτs est une tautologie (développer 1 = (1 − ε) + ε, puis 1 = (1 − μ) + μ, et ainsi de suite) : chaque couple est dans exactement une classe.

terme	classe	exemple
1 − ε	échelles différentes	« clarté, un silence »
ε(1 − μ)	pas de modification : coordination, merisme	« jour et nuit »
εμ(1 − τ)	même signe : renforcement	« un immense géant »
εμτ(1 − s)	nuance : opposition trop faible	« une pâle lumière »
εμτs	oxymore	« obscure clarté »

L’arbre de décision : échelle, modification, signe, degré ; chaque couple dans exactement une classe.

19.5 Définition mathématique

Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} χ_Lex(t_i) χ_Lex(t_j) · ε(t_i, t_j) · μ(t_i, t_j) · χ_{]−∞, 0[}(σ(t_i) σ(t_j)) · χ_{[θ, 1]}(d(t_i, t_j)), θ = 3/4,

OxyInt(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) · d(t_i, t_j).

O(x, y) = χ_{1}(Adj(x, y)) · χ_{y}(Opp(x)) de la définition devient O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · χ_{[θ, 1]}(d), lu sur les couples de Adj₁(w), qui sont adjacents par construction : χ_{1}(Adj) = 1 pour chacun. L’égalité Opp(x) = y est remplacée par « même échelle, signes opposés, degré au moins θ », qui la contient : si y est l’antonyme de dictionnaire de x, ils ont la même échelle et des valeurs opposées, donc d = |v(x)| ≥ 1/2, et d = 1 pour deux termes extrêmes.

Lemme 2 (unicité). Un couple (i, j) de Adj₁(w) est déterminé par ses positions ; deux couples distincts ont des positions distinctes. ∴ Chaque oxymore est compté une fois, et Oxy(w) ≤ |Adj₁(w)| ≤ 2(n − 1).

La définition complète : couples voisins, échelle, modification, signes, degré et seuil.

19.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots t₁, …, t_n.
2. Former les couples (i, i + 1), et (i, i + 2) quand t_i+1 est un mot de liaison.
3. Garder les couples dont les deux mots sont dans la table ; comparer les échelles : ε.
4. Lire les catégories : μ ; les signes : τ ; calculer d = |v(x) − v(y)| / 2 et s = χ_{[3/4, 1]}(d).
5. O = ε · μ · τ · s ; additionner : Oxy(w), puis OxyInt(w) = ∑ O · d.

19.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par couple voisin dont les deux mots sont dans la table : les positions, le facteur, la catégorie, l’échelle et la valeur de chaque terme, puis ε, μ, l’opposition des signes, le degré d, le seuil, la contribution et la classe.

Exemple 1 – « Cette obscure clarté » : l’oxymore de Corneille

Texte : « Cette obscure clarté qui tombe des étoiles. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(2, 3)	« obscure clarté »	A, lumière, −1	N, lumière, 1	1	1	1	1	1	1	oxymore

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = cette, t₂ = obscure, t₃ = clarté, t₄ = qui, t₅ = tombe, t₆ = des, t₇ = étoiles, t₈ = . ; n = 8.

Étape 1.2. Mots de la table : t₂ = obscure (A, lumière, v = −1) ; t₃ = clarté (N, lumière, v = 1).

Étape 1.3 (couple (2, 3) = « obscure clarté », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : lumière, lumière → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |−1 − (1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 1.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 1 ; OxyInt(w) = 1.

Avec la définition à la lettre (antonyme de dictionnaire immédiatement suivant) : 0.

∴ obscure (−1) et clarté (+1) sont les deux bouts de l’échelle de la lumière, adjectif puis nom : d = 1 ≥ 3/4. Oxymore (Corneille, Le Cid, IV, 3). Opp(obscur) = clair et non clarté : le test χ_{y}(Opp(x)) le manquerait.

Exemple 2 – « Un silence assourdissant » : nom puis adjectif

Texte : « Un silence assourdissant. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(2, 3)	« silence assourdissant »	N, volume, −1	A, volume, 1	1	1	1	1	1	1	oxymore

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = un, t₂ = silence, t₃ = assourdissant, t₄ = . ; n = 4.

Étape 2.2. Mots de la table : t₂ = silence (N, volume, v = −1) ; t₃ = assourdissant (A, volume, v = 1).

Étape 2.3 (couple (2, 3) = « silence assourdissant », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : volume, volume → ε = 1 ; μ = χ_M(N, A) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |−1 − (1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 2.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 1 ; OxyInt(w) = 1.

Avec la définition à la lettre : 0.

∴ silence (−1) et assourdissant (+1) sur l’échelle du volume : d = 1. Oxymore. L’antonyme du nom silence est le nom bruit, non l’adjectif assourdissant : il faut comparer des positions sur une échelle, non chercher l’antonyme exact.

Exemple 3 – « Parting is such sweet sorrow »

Texte : « Parting is such sweet sorrow. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(4, 5)	« sweet sorrow »	A, agrément, 1	N, agrément, −1	1	1	1	1	1	1	oxymore

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = parting, t₂ = is, t₃ = such, t₄ = sweet, t₅ = sorrow, t₆ = . ; n = 6.

Étape 3.2. Mots de la table : t₄ = sweet (A, agrément, v = 1) ; t₅ = sorrow (N, agrément, v = −1).

Étape 3.3 (couple (4, 5) = « sweet sorrow », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : agrément, agrément → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1 − (−1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 3.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 1 ; OxyInt(w) = 1.

∴ sweet (+1) et sorrow (−1) sur l’échelle de l’agrément : d = 1. Oxymore (Shakespeare, Roméo et Juliette, II, 2).

Exemple 4 – « Jumbo shrimp » : un oxymore de degré 3/4

Texte : « Jumbo shrimp. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(1, 2)	« jumbo shrimp »	A, taille, 1	N, taille, −1/2	1	1	1	3/4	1	1	oxymore

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = jumbo, t₂ = shrimp, t₃ = . ; n = 3.

Étape 4.2. Mots de la table : t₁ = jumbo (A, taille, v = 1) ; t₂ = shrimp (N, taille, v = −1/2).

Étape 4.3 (couple (1, 2) = « jumbo shrimp », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : taille, taille → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1 − (−1/2)| / 2 = 3/4 ; s = χ_{[3/4, 1]}(3/4) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 4.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 1 ; OxyInt(w) = 3/4.

∴ jumbo (+1) et shrimp (−1/2) sur l’échelle de la taille : d = 3/4, juste au seuil. Oxymore, moins extrême que l’obscure clarté.

Exemple 5 – « Festina lente » : un verbe et un adverbe

Texte : « Festina lente. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(1, 2)	« festina lente »	V, vitesse, 1	Adv, vitesse, −1	1	1	1	1	1	1	oxymore

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = festina, t₂ = lente, t₃ = . ; n = 3.

Étape 5.2. Mots de la table : t₁ = festina (V, vitesse, v = 1) ; t₂ = lente (Adv, vitesse, v = −1).

Étape 5.3 (couple (1, 2) = « festina lente », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : vitesse, vitesse → ε = 1 ; μ = χ_M(V, Adv) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1 − (−1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 5.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 1 ; OxyInt(w) = 1.

∴ festina (hâte-toi, +1) et lente (lentement, −1) sur l’échelle de la vitesse ; le couple verbe, adverbe est une modification : d = 1. Oxymore (devise d’Auguste selon Suétone, « hâte-toi lentement »).

Exemple 6 – « Une douce amertume »

Texte : « Une douce amertume. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(2, 3)	« douce amertume »	A, agrément, 1/2	N, agrément, −1	1	1	1	3/4	1	1	oxymore

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = une, t₂ = douce, t₃ = amertume, t₄ = . ; n = 4.

Étape 6.2. Mots de la table : t₂ = douce (A, agrément, v = 1/2) ; t₃ = amertume (N, agrément, v = −1).

Étape 6.3 (couple (2, 3) = « douce amertume », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : agrément, agrément → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1/2 − (−1)| / 2 = 3/4 ; s = χ_{[3/4, 1]}(3/4) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 6.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 1 ; OxyInt(w) = 3/4.

∴ douce (+1/2) et amertume (−1) sur l’échelle de l’agrément : d = 3/4. Oxymore.

Exemple 7 – « Un plaisir doux et amer » : deux adjectifs coordonnés

Texte : « Un plaisir doux et amer. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(2, 3)	« plaisir doux »	N, agrément, 1	A, agrément, 1/2	1	1	0	1/4	0	0	même signe : renforcement
(3, 5)	« doux et amer »	A, agrément, 1/2	A, agrément, −1	1	1	1	3/4	1	1	oxymore

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = un, t₂ = plaisir, t₃ = doux, t₄ = et, t₅ = amer, t₆ = . ; n = 6.

Étape 7.2. Mots de la table : t₂ = plaisir (N, agrément, v = 1) ; t₃ = doux (A, agrément, v = 1/2) ; t₅ = amer (A, agrément, v = −1).

Étape 7.3 (couple (2, 3) = « plaisir doux », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : agrément, agrément → ε = 1 ; μ = χ_M(N, A) = 1 ; σ(x) · σ(y) = +1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1 − (1/2)| / 2 = 1/4 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1/4) = 0 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 0 · 0 = 0 ; classe : même signe : renforcement.

Étape 7.3 (couple (3, 5) = « doux et amer », relié par « et » ∈ J). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : agrément, agrément → ε = 1 ; μ = χ_M(A, A) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1/2 − (−1)| / 2 = 3/4 ; s = χ_{[3/4, 1]}(3/4) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 7.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 0 + 1 = 1 ; OxyInt(w) = 3/4.

Avec l’adjacence stricte (g = 0) : 0 ; avec une portée libre de deux mots, « plaisir … amer » est compté en plus : 2.

∴ « doux et amer » : deux adjectifs reliés par « et », qui qualifient le même nom ; d = 3/4. Oxymore. Le couple adjacent « plaisir doux » a le même signe : d = 1/4, renforcement.

Exemple 8 – « Un grand arbre » : aucun opposé

Texte : « Un grand arbre. »

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = un, t₂ = grand, t₃ = arbre, t₄ = . ; n = 4.

Étape 8.2. Mots de la table : t₂ = grand (A, taille, v = 1).

Étape 8.3. Aucun couple de Adj₁(w) n’a ses deux termes dans la table : Oxy(w) = 0.

∴ arbre n’est pas dans la table des échelles ; Opp(grand) = petit ≠ arbre. Aucun couple, aucun oxymore.

Exemple 9 – « Une pâle lumière » : une nuance, non une contradiction

Texte : « Une pâle lumière. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(2, 3)	« pâle lumière »	A, lumière, −1/2	N, lumière, 1/2	1	1	1	1/2	0	0	nuance (d < θ)

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = une, t₂ = pâle, t₃ = lumière, t₄ = . ; n = 4.

Étape 9.2. Mots de la table : t₂ = pâle (A, lumière, v = −1/2) ; t₃ = lumière (N, lumière, v = 1/2).

Étape 9.3 (couple (2, 3) = « pâle lumière », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : lumière, lumière → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |−1/2 − (1/2)| / 2 = 1/2 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1/2) = 0 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 0 = 0 ; classe : nuance (d < θ).

Étape 9.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 0 ; OxyInt(w) = 0.

Sans le degré d’opposition : 1.

∴ pâle (−1/2) et lumière (+1/2) ont des signes opposés sur la même échelle, mais d = 1/2 < 3/4 : une lumière faible n’est pas une contradiction. C’est le seuil θ qui l’exclut.

Exemple 10 – « Un immense géant » : même signe, renforcement

Texte : « Un immense géant. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(2, 3)	« immense géant »	A, taille, 1	N, taille, 1	1	1	0	0	0	0	même signe : renforcement

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = un, t₂ = immense, t₃ = géant, t₄ = . ; n = 4.

Étape 10.2. Mots de la table : t₂ = immense (A, taille, v = 1) ; t₃ = géant (N, taille, v = 1).

Étape 10.3 (couple (2, 3) = « immense géant », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : taille, taille → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = +1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1 − (1)| / 2 = 0 ; s = χ_{[3/4, 1]}(0) = 0 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 0 · 0 = 0 ; classe : même signe : renforcement.

Étape 10.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 0 ; OxyInt(w) = 0.

∴ immense (+1) et géant (+1) : même échelle, même signe, d = 0. Les deux termes se renforcent ; c’est l’inverse d’un oxymore, au plus un pléonasme.

Exemple 11 – « Jour et nuit » : la coordination de deux noms

Texte : « Il travaille jour et nuit. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(3, 5)	« jour et nuit »	N, lumière, 1	N, lumière, −1	1	0	1	1	1	0	pas de modification (coordination, merisme)

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = travaille, t₃ = jour, t₄ = et, t₅ = nuit, t₆ = . ; n = 6.

Étape 11.2. Mots de la table : t₃ = jour (N, lumière, v = 1) ; t₅ = nuit (N, lumière, v = −1).

Étape 11.3 (couple (3, 5) = « jour et nuit », relié par « et » ∈ J). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : lumière, lumière → ε = 1 ; μ = χ_M(N, N) = 0 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1 − (−1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 0 · 1 · 1 = 0 ; classe : pas de modification (coordination, merisme).

Étape 11.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 0 ; OxyInt(w) = 0.

Sans la condition de modification : 1.

∴ jour (+1) et nuit (−1) sont les deux bouts de l’échelle de la lumière, d = 1, mais ce sont deux noms coordonnés : l’un ne qualifie pas l’autre. « Jour et nuit » veut dire « tout le temps » ; c’est une totalité (merisme), non une contradiction. μ = 0.

Exemple 12 – « La nuit est noire, mais le jour est clair » : l’antithèse

Texte : « La nuit est noire, mais le jour est clair. »

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = nuit, t₃ = est, t₄ = noire, t₅ = mais, t₆ = le, t₇ = jour, t₈ = est, t₉ = clair, t₁₀ = . ; n = 10.

Étape 12.2. Mots de la table : t₂ = nuit (N, lumière, v = −1) ; t₄ = noire (A, lumière, v = −1) ; t₇ = jour (N, lumière, v = 1) ; t₉ = clair (A, lumière, v = 1).

Étape 12.3. Aucun couple de Adj₁(w) n’a ses deux termes dans la table : Oxy(w) = 0.

Avec une portée libre de deux mots : 1.

∴ les termes opposés sont dans deux membres de phrase différents : noire et jour sont séparés par « mais le », deux mots. C’est une antithèse, non un oxymore ; une portée libre de deux mots la compterait.

Exemple 13 – Faux positif assumé : le film en noir et blanc

Texte : « Un film en noir et blanc. »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(4, 6)	« noir et blanc »	A, lumière, −1	A, lumière, 1	1	1	1	1	1	1	oxymore

Étape 13.1. Mots et positions : t₁ = un, t₂ = film, t₃ = en, t₄ = noir, t₅ = et, t₆ = blanc, t₇ = . ; n = 7.

Étape 13.2. Mots de la table : t₄ = noir (A, lumière, v = −1) ; t₆ = blanc (A, lumière, v = 1).

Étape 13.3 (couple (4, 6) = « noir et blanc », relié par « et » ∈ J). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : lumière, lumière → ε = 1 ; μ = χ_M(A, A) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |−1 − (1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 13.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 1 ; OxyInt(w) = 1.

∴ le calcul trouve deux adjectifs coordonnés, noir (−1) et blanc (+1), d = 1 : Oxy = 1. Mais un film en noir et blanc n’a rien de contradictoire : les deux couleurs se partagent l’image. La table ne sait pas que noir et blanc, ici, se juxtaposent sans se contredire.

Exemple 14 – Texte complet : cinq oxymores, une coordination, une nuance

Texte : « Dans cette obscure clarté, un silence assourdissant régnait. Le petit géant, d’une douce amertume, travaillait jour et nuit sous une pâle lumière. Festina lente ! »

(i, j)	u	x : catégorie, échelle, v	y : catégorie, échelle, v	ε	μ	σ(x) σ(y) < 0	d(x, y)	s = χ[θ, 1](d)	O(x, y)	classe
(3, 4)	« obscure clarté »	A, lumière, −1	N, lumière, 1	1	1	1	1	1	1	oxymore
(6, 7)	« silence assourdissant »	N, volume, −1	A, volume, 1	1	1	1	1	1	1	oxymore
(11, 12)	« petit géant »	A, taille, −1	N, taille, 1	1	1	1	1	1	1	oxymore
(15, 16)	« douce amertume »	A, agrément, 1/2	N, agrément, −1	1	1	1	3/4	1	1	oxymore
(18, 20)	« jour et nuit »	N, lumière, 1	N, lumière, −1	1	0	1	1	1	0	pas de modification (coordination, merisme)
(23, 24)	« pâle lumière »	A, lumière, −1/2	N, lumière, 1/2	1	1	1	1/2	0	0	nuance (d < θ)
(26, 27)	« festina lente »	V, vitesse, 1	Adv, vitesse, −1	1	1	1	1	1	1	oxymore

Étape 14.1. Mots et positions : t₁ = dans, t₂ = cette, t₃ = obscure, t₄ = clarté, t₅ = un, t₆ = silence, t₇ = assourdissant, t₈ = régnait, t₉ = ., t₁₀ = le, t₁₁ = petit, t₁₂ = géant, t₁₃ = d, t₁₄ = une, t₁₅ = douce, t₁₆ = amertume, t₁₇ = travaillait, t₁₈ = jour, t₁₉ = et, t₂₀ = nuit, t₂₁ = sous, t₂₂ = une, t₂₃ = pâle, t₂₄ = lumière, t₂₅ = ., t₂₆ = festina, t₂₇ = lente, t₂₈ = ! ; n = 28.

Étape 14.2. Mots de la table : t₃ = obscure (A, lumière, v = −1) ; t₄ = clarté (N, lumière, v = 1) ; t₆ = silence (N, volume, v = −1) ; t₇ = assourdissant (A, volume, v = 1) ; t₁₁ = petit (A, taille, v = −1) ; t₁₂ = géant (N, taille, v = 1) ; t₁₅ = douce (A, agrément, v = 1/2) ; t₁₆ = amertume (N, agrément, v = −1) ; t₁₈ = jour (N, lumière, v = 1) ; t₂₀ = nuit (N, lumière, v = −1) ; t₂₃ = pâle (A, lumière, v = −1/2) ; t₂₄ = lumière (N, lumière, v = 1/2) ; t₂₆ = festina (V, vitesse, v = 1) ; t₂₇ = lente (Adv, vitesse, v = −1).

Étape 14.3 (couple (3, 4) = « obscure clarté », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : lumière, lumière → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |−1 − (1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 14.3 (couple (6, 7) = « silence assourdissant », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : volume, volume → ε = 1 ; μ = χ_M(N, A) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |−1 − (1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 14.3 (couple (11, 12) = « petit géant », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : taille, taille → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |−1 − (1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 14.3 (couple (15, 16) = « douce amertume », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : agrément, agrément → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1/2 − (−1)| / 2 = 3/4 ; s = χ_{[3/4, 1]}(3/4) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 14.3 (couple (18, 20) = « jour et nuit », relié par « et » ∈ J). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : lumière, lumière → ε = 1 ; μ = χ_M(N, N) = 0 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1 − (−1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 0 · 1 · 1 = 0 ; classe : pas de modification (coordination, merisme).

Étape 14.3 (couple (23, 24) = « pâle lumière », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : lumière, lumière → ε = 1 ; μ = χ_M(A, N) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |−1/2 − (1/2)| / 2 = 1/2 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1/2) = 0 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 0 = 0 ; classe : nuance (d < θ).

Étape 14.3 (couple (26, 27) = « festina lente », adjacent). ε = χ_{1}(échelle(x) = échelle(y)) : vitesse, vitesse → ε = 1 ; μ = χ_M(V, Adv) = 1 ; σ(x) · σ(y) = −1.

d(x, y) = |v(x) − v(y)| / 2 = |1 − (−1)| / 2 = 1 ; s = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; O(x, y) = ε · μ · χ_{]−∞, 0[}(σσ) · s = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 ; classe : oxymore.

Étape 14.4. Oxy(w) = ∑_{(i, j) ∈ Adj₁(w)} O(t_i, t_j) = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 = 5 ; OxyInt(w) = 1 + 1 + 1 + 3/4 + 1 = 19/4.

∴ Oxy(w) = 5 et OxyInt(w) = 1 + 1 + 1 + 3/4 + 1 = 19/4 ; « jour et nuit » est une coordination (μ = 0) et « pâle lumière » une nuance (d = 1/2).

Exemple 14 : sept couples, cinq oxymores, une coordination, une nuance.

19.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les quatorze textes des exemples 1 à 14, par l’écart entre Oxy calculé et Oxy attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5 (l’exemple 13 n’est pas un oxymore).

version	Oxy total	erreurs ∑ |Oxy − attendu| (sur 14 textes)	textes mal comptés
définition à la lettre : χ{y}(Opp(x)) sur les mots voisins (x, y), Opp antonyme de dictionnaire	0	12	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 14 (0 au lieu de 5)
même échelle, signes opposés, à un mot quelconque près	17	5	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (7 au lieu de 5)
portée libre : deux mots quelconques entre les termes	17	5	ex. 7 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (6 au lieu de 5)
sans la condition de modification μ	15	3	ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (6 au lieu de 5)
sans le degré d’opposition (θ = 0)	15	3	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (6 au lieu de 5)
adjacence stricte, sans coordination (g = 0)	11	1	ex. 7 (0 au lieu de 1)
retenue	13	1	ex. 13 (1 au lieu de 0)

La définition à la lettre ne trouve aucun oxymore, parce que les termes d’un oxymore n’ont jamais la même catégorie, ou ne sont jamais antonymes de dictionnaire l’un de l’autre. La comparaison des échelles à un mot quelconque près compte la nuance, la coordination et le merisme ; la portée libre compte l’antithèse. L’adjacence stricte (g = 0) a, elle aussi, une seule erreur, mais d’une autre nature : elle perd « doux et amer », un vrai oxymore, et n’échappe au film en noir et blanc que parce que ces deux adjectifs sont reliés par « et ». On retient g = 1, qui reconnaît la forme coordonnée de l’oxymore ; son unique erreur, le film en noir et blanc, est le prix de cette reconnaissance.

Erreurs des versions : l’échelle, la modification, le degré et la liaison par « et » sont tous nécessaires.

Sensibilité au seuil θ :

θ	erreurs ∑ |Oxy − attendu|	textes mal comptés
0,25	3	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (6 au lieu de 5)
0,5	3	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (6 au lieu de 5)
0,75	1	ex. 13 (1 au lieu de 0)
1	5	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (4 au lieu de 5)

θ = 1/4 et θ = 1/2 comptent la pâle lumière ; θ = 1 perd les oxymores de degré 3/4 (jumbo shrimp, douce amertume, doux et amer). Le seuil 0,75 de la définition est exactement la valeur sans erreur hors du faux positif assumé, et, par le lemme 1, il entraîne l’opposition des signes.

Erreurs selon θ : seul θ = 3/4 sépare les oxymores des nuances.

19.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois la table des échelles, les ensembles M₀, M₁, J et θ fixés, Oxy et OxyInt découlent nécessairement du calcul ; la partition en cinq classes est une tautologie, et les lemmes 1 et 2 sont des conséquences nécessaires des définitions. La condition d’adjacence est purement positionnelle.
• Contingent : l’échelle et la valeur de chaque terme relèvent du sens ; « jumbo » n’est un pôle de la taille que dans l’usage commercial anglais.
• Possible : tout couple de termes opposés d’une même échelle est un oxymore possible ; il le devient quand l’un qualifie l’autre, au contact, avec une opposition assez forte ; éloignés dans deux membres de phrase, les mêmes termes font une antithèse.

19.10 Justification et limites

L’oxymore est une contradiction resserrée en un seul groupe. Le produit négatif des signes formalise la contradiction, l’égalité des échelles garantit qu’elle porte sur une même qualité, la modification qu’elle porte sur une même chose, et l’adjacence en traduit le resserrement. Le seuil θ = 0,75 de la définition est conservé et justifié : sur l’échelle à quatre valeurs, il sépare exactement les contradictions des nuances, et il entraîne l’opposition des signes (lemme 1).

Trois limites sont assumées. La table ne connaît pas l’usage : « noir et blanc » d’un film est compté (exemple 13). Les oxymores de plus de deux mots (« cette obscure clarté qui tombe des étoiles » est complet dès « obscure clarté ») ou à distance syntaxique (« un soleil noir » si noir et soleil n’ont pas d’échelle commune dans la table) dépendent des échelles enregistrées. Enfin, l’oxymore figé (« douce-amère », « aigre-doux ») est compté comme l’oxymore vivant, alors que l’usage l’a rendu ordinaire.

⁂

20. Onomatopée – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
L’onomatopée consiste à créer ou employer un mot dont la forme phonétique imite la chose qu’il désigne (ex. buzz, boom, toc-toc). Quintilien la définit comme l’invention d’un nom (onomatopoeia).

Mécanisme en combinatoire des mots
L’onomatopée se modélise par un facteur dont l’empreinte phonétique est iconique du son désigné, mesurée par une fonction d’iconicité.

Définition mathématique
Soit $Ico$ une fonction d’iconicité phonétique. Une onomatopée est un facteur $u$ tel que :

$$Ico(u) \approx \text{son désigné par } u$$

Le degré d’onomatopée se mesure par le franchissement d’un seuil d’iconicité :

$$\mathrm{Onom}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid Ico(u) \ge \mathrm{seuil} \} \bigr|$$

Onomatopée – combinatoire des mots

20. Onomatopée – Mécanisme en combinatoire des mots

20.1 Définition rhétorique

L’onomatopée consiste à créer ou employer un mot dont la forme sonore imite le bruit qu’il désigne. Quintilien en fait l’une des formes de la création de mots (onomatopoeia, Institution oratoire, VIII, 6, 31). Exemples : miaou, boum, toc-toc, ding-dong, bing ; en anglais buzz, hiss, boom. Elle unit le son et le sens par une ressemblance, ce que la linguistique appelle l’iconicité.

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• un bruit désigné : le texte parle d’un bruit (un chat, une bombe, une porte qu’on frappe), et c’est ce bruit que le mot imite ;
• une ressemblance : les lettres du mot sont celles qui rendent ce bruit (des sifflantes pour un sifflement, des occlusives pour un choc) ;
• une unité : la répétition (toc-toc, ding-dong) forme une seule onomatopée, redoublée.

Le mot qui nomme le bruit sans l’imiter (bruit, frapper, abeille) n’est pas une onomatopée ; un mot qui ressemble à un profil sans qu’aucun bruit soit désigné (papa) non plus.

20.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule Onom(w) = |{ u ∈ Fact(w) | Ico(u) ≥ θ }| est une définition en compréhension. Pour la rendre calculable, on explicite la fonction d’iconicité phonétique : Φ(u) est la représentation phonétique du facteur u, S(u) celle du son réellement désigné, par exemple Φ(« bing ») = [biŋ] et S(cloche) = [biŋ], et, avec une distance phonétique d (par exemple Levenshtein) :

Ico(u) = 1 − d(Φ(u), S(u)) / max(|Φ(u)|, |S(u)|) ∈ [0, 1], O(u) = χ_{[θ, +∞[}(Ico(u)),

Onom(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{[θ, +∞[}( 1 − d(Φ(u), S(u)) / max(|Φ(u)|, |S(u)|) ), OnomInt(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} Ico(u).

La forme est juste : une distance normalisée, une indicatrice de seuil, une somme. Pour qu’elle compte exactement les onomatopées, cinq précisions sont nécessaires : (1) le son de référence S(u) est circulaire : écrire S(cloche) = [biŋ], c’est déjà écrire l’onomatopée ; on le remplace par un profil de lettres propre à chaque bruit, fixé une fois pour toutes ; (2) le bruit désigné doit être lu dans le texte, par des indices (chat, bombe, cloche), sinon Ico n’est pas défini (« la maison ») ou trompe (« papa ») ; (3) la somme sur Fact(w), prise lettre à lettre, compte tous les morceaux d’un mot imitatif : les 15 facteurs de miaou ont tous Ico = 1 ; l’unité est le mot, et la répétition forme une seule unité ; (4) les mots outils et les indices eux-mêmes ne sont pas testés ; (5) la version graduée doit porter la même indicatrice, sinon les mots ordinaires y ajoutent leur part (0,3 dans l’exemple complet de la définition). La distance de Levenshtein est conservée : on montre qu’elle donne exactement le score par profil.

20.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance d’une lettre à un profil : χ_Φ(S)(a) = 1 si la lettre a est dans le profil du bruit S ;
• appartenance d’un mot à une liste : χ_Ind(x) pour les indices de bruit, χ_G(x) pour les mots outils ;
• seuil : χ_{[θ, 1]}(Ico) = 1 si Ico ≥ θ ;
• début de rangée : O_k(1 − O_k−1) = 1 si le mot k est imitatif et le précédent ne l’est pas ;
• « et » : un produit ; « non » : 1 − χ ; comptage : une somme.

20.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les énoncés

On met le texte en minuscules ; ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces, les signes . ! ? ; sont gardés comme mots et coupent w en énoncés e₁, …, e_m. Chaque mot est une lettre de l’alphabet Σ des mots : w = t₁ ⋯ t_n ; et chaque mot est lui-même un mot sur l’alphabet des lettres : t_k = a₁ ⋯ a_ℓ, accents retirés (é → e). L’onomatopée vit à ces deux niveaux : le mot dans le texte, les lettres dans le mot. « Toc-toc » donne deux mots toc, toc.

b) Les profils de bruit et leurs indices

Chaque bruit S a un profil Φ(S), l’ensemble des lettres qui le rendent : sifflantes pour le sifflement, occlusives et voyelles ouvertes pour l’explosion et le coup, nasales pour la résonance. Ces correspondances sont les régularités de symbolisme sonore les plus constantes d’une langue à l’autre. Chaque bruit a aussi ses indices, les mots du texte qui le désignent :

bruit S	profil Φ(S)	|Φ(S)|	indices du bruit
bourdonnement	{z, s, v, m, n, u}	6	abeille, abeilles, bees, mouche, bourdonne
sifflement	{s, z, h, i, f}	5	serpent, snake, siffle
explosion	{b, p, d, t, k, g, o, a, u, m}	10	bombe, canon, explosa, explosion, tonnerre, éclata
coup frappé	{t, k, c, p, o, a}	6	porte, frappe, frappa, frapper
miaulement	{m, i, a, o, u, w}	6	chat, chaton, miaule
tintement	{d, i, n, g, b, l, o}	7	cloche, clocher, bell

Le profil remplace la transcription S(u) de la définition. Il n’est pas l’onomatopée elle-même, mais l’alphabet dans lequel une onomatopée de ce bruit doit être écrite : il est fixé avant de lire le texte, et la circularité disparaît.

Les six profils de bruit sur l’alphabet : chaque bruit a ses lettres.

c) Le score d’iconicité, et la distance de Levenshtein

Ico(t, S) = (1/ℓ) · ∑_l=1^ℓ χ_Φ(S)(a_l), t = a₁ ⋯ a_ℓ.

Lemme 1 (le score est une distance de Levenshtein normalisée). Soit Φ(S)^* l’ensemble des mots écrits avec les seules lettres du profil. La distance de Levenshtein de t à ce langage vaut le nombre de lettres de t hors du profil : chacune doit être remplacée ou supprimée (coût 1), et les remplacer toutes suffit. Le mot le plus proche obtenu par remplacements a la même longueur ℓ, donc max(|t|, |v|) = ℓ, et :

Ico(t, S) = 1 − d_Lev(t, Φ(S)^*) / ℓ.

∴ La formule de la définition, 1 − d / max, est conservée exactement ; c’est son second argument qui change : au lieu d’une transcription du son, le langage de toutes les écritures possibles de ce son.

Le calcul lettre par lettre : miaou, boum, buzz, bruit et pont dans leur profil.

d) Le bruit désigné : les indices et la fenêtre

C(e_j) = { S : un indice de S est dans e_j−c ⋯ e_j+c }, Ico_k = max_{S ∈ C(e)} Ico(t_k, S), e = énoncé de t_k, c = 1.

Le bruit est lu dans l’énoncé du mot et dans ses voisins : « Boum ! Le canon tonne » met l’onomatopée dans un énoncé et l’indice dans le suivant (exemple 7). Si C est vide, aucun bruit n’est désigné et le mot n’est pas testé : la maison (exemple 9) et papa (exemple 10) ne sont pas des onomatopées, quel que soit leur profil.

e) Le hasard : combien de mots atteignent le seuil par chance

Un mot de ℓ lettres tirées au hasard dans l’alphabet de 26 lettres a chaque lettre dans un profil de |Φ| lettres avec la probabilité p₀ = |Φ|/26. Le nombre exact de mots de longueur ℓ qui atteignent le seuil est une somme de coefficients binomiaux :

N_ℓ(Φ, θ) = ∑_{j=⌈θℓ⌉}^ℓ C(ℓ, j) · |Φ|^j · (26 − |Φ|)^ℓ−j, π_ℓ = N_ℓ / 26^ℓ.

On choisit j lettres de profil parmi ℓ positions (C(ℓ, j) façons), chacune parmi |Φ| lettres, et les ℓ − j autres parmi les 26 − |Φ| lettres restantes. Le tableau donne π_ℓ pour θ = 3/4 :

profil Φ(S)	|Φ(S)|	p₀ = |Φ(S)|/26	ℓ = 1	ℓ = 2	ℓ = 3	ℓ = 4	ℓ = 5	ℓ = 6
bourdonnement	6	0,231	0,2308	0,0533	0,0123	0,0406	0,0116	0,0032
sifflement	5	0,192	0,1923	0,037	0,0071	0,0243	0,0058	0,0013
explosion	10	0,385	0,3846	0,1479	0,0569	0,1619	0,0757	0,0343
coup frappé	6	0,231	0,2308	0,0533	0,0123	0,0406	0,0116	0,0032
miaulement	6	0,231	0,2308	0,0533	0,0123	0,0406	0,0116	0,0032
tintement	7	0,269	0,2692	0,0725	0,0195	0,0623	0,0206	0,0066

Pour un mot d’une ou deux lettres, le seuil exige que toutes les lettres soient dans le profil, et π_ℓ = p₀ ou p₀² : jusqu’à 0,385 et 0,148 pour le profil le plus large ; le seuil ne distingue presque rien. Pour ℓ = 3, il faut encore trois lettres sur trois, et π₃ ≤ 0,057. La suite n’est pas monotone : pour ℓ = 4, ⌈3/4 · 4⌉ = 3 lettres suffisent, et π₄ remonte jusqu’à 0,162 pour l’explosion ; elle redescend ensuite (0,076 pour ℓ = 5, 0,034 pour ℓ = 6). On ne teste que les mots d’au moins trois lettres (les mots plus courts sont d’ailleurs des mots outils), et le faux positif « pont » (exemple 12) est l’un de ces hasards : un mot de quatre lettres sur six environ atteint le seuil dans le profil de l’explosion, le plus large des six.

Proportion π des mots de longueur ℓ qui atteignent θ = 3/4 par hasard, pour chaque profil.

f) Le mot, la rangée, et la somme sur Fact(w)

La somme de la définition porte sur Fact(w). Lettre à lettre, un mot imitatif de ℓ lettres dont toutes les lettres sont dans le profil a ℓ(ℓ + 1)/2 facteurs, tous d’Ico 1 : miaou compte 15 fois. Mot à mot, « toc-toc » compte deux fois. L’unité retenue est la rangée : une suite maximale de mots imitatifs consécutifs. Avec O_k = χ_{[θ, 1]}(Ico_k) pour un mot candidat, et O_k = 0 sinon :

Onom(w) = ∑_k=1ⁿ O_k · (1 − O_k−1), O₀ = 0 ; OnomInt(w) = ∑_k=1ⁿ O_k · Ico_k.

Lemme 2 (rangées). ∑_k O_k(1 − O_k−1) est le nombre de rangées de 1 dans le mot binaire O₁ ⋯ O_n : chaque rangée a exactement un premier élément, le seul k où O_k = 1 et O_k−1 = 0. ∴ Onom(w) ≤ ∑_k O_k, avec égalité si aucune onomatopée n’est redoublée, et θ · ∑_k O_k ≤ OnomInt(w) ≤ ∑_k O_k.

Le mot binaire O₁ ⋯ Oₙ du texte complet : sept mots imitatifs, cinq rangées.

g) Les candidats

Un mot t_k est candidat s’il a au moins trois lettres, n’est pas un mot outil (G : le, la, dans, the, fit, fait, …) et n’est pas lui-même un indice de bruit. Sans cette exclusion, « bombe » serait comptée (4/5 dans le profil de l’explosion) : le mot qui nomme la source du bruit n’en est pas l’imitation.

20.5 Définition mathématique

O_k = χ_{[3, +∞[}(ℓ(t_k)) · (1 − χ_{G ∪ Ind}(t_k)) · χ_{[1, +∞[}(|C(e(t_k))|) · χ_{[θ, 1]}( max_{S ∈ C(e)} (1 − d_Lev(t_k, Φ(S)^*) / ℓ(t_k)) ), θ = 3/4,

Onom(w) = ∑_k=1ⁿ O_k (1 − O_k−1), OnomInt(w) = ∑_k=1ⁿ O_k · Ico_k.

Le seuil 3/4 est celui de la partie IV du tapuscrit : trois lettres sur quatre dans le profil. Le seuil 0,8 de l’exemple de la définition perd buzz (3/4) ; les deux seuils sont comparés au paragraphe 20.8.

La définition complète : profil, distance au langage du profil, contexte, seuil et rangées.

20.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots et en énoncés ; retirer les accents pour le calcul des lettres.
2. Repérer les indices de bruit ; pour chaque énoncé, former C(e_j) avec la fenêtre c = 1.
3. Pour chaque mot candidat (ℓ ≥ 3, ni mot outil ni indice) d’un énoncé où C n’est pas vide, compter ses lettres dans chaque profil de C ; Ico_k est la plus grande proportion.
4. O_k = χ_{[3/4, 1]}(Ico_k) ; repérer les débuts de rangée O_k(1 − O_k−1).
5. Additionner : Onom(w) = nombre de rangées ; OnomInt(w) = ∑ O_k Ico_k.

20.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par mot d’un énoncé où un bruit est désigné : son énoncé, les bruits de la fenêtre, s’il est candidat, le bruit retenu, ses lettres dans le profil, sa longueur, son score, l’indicatrice et le début de rangée.

Exemple 1 – « Le chat fait miaou »

Texte : « Le chat fait miaou. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
2	chat	1	miaulement	non (indice)	—	—	4	—	0	0
4	miaou	1	miaulement	oui	miaulement	m, i, a, o, u	5	1	1	1

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = chat, t₃ = fait, t₄ = miaou, t₅ = . ; n = 5 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 1.2. Indices de bruit : t₂ = chat → miaulement ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 1.3 (t₄ = miaou). C = {miaulement} ; bruit retenu S = miaulement, Φ(S) = {m, i, a, o, u, w} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 5 (m, i, a, o, u), ℓ = 5 ; Ico = 5/5 = 1 ; O₄ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 1.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 1 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 1) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 1.

Avec la somme sur les facteurs lettre à lettre de la définition : les 15 facteurs de miaou (m, mi, mia, …, iaou, miaou) ont tous Ico = 1 ; total 15.

∴ l’indice « chat » désigne le miaulement ; les cinq lettres de miaou sont dans son profil : Ico = 5/5 = 1. Onomatopée. Le mot « chat » est l’indice, il n’est pas lui-même testé.

Exemple 2 – « La bombe fit boum »

Texte : « La bombe fit boum. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
2	bombe	1	explosion	non (indice)	—	—	5	—	0	0
4	boum	1	explosion	oui	explosion	b, o, u, m	4	1	1	1

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = bombe, t₃ = fit, t₄ = boum, t₅ = . ; n = 5 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 2.2. Indices de bruit : t₂ = bombe → explosion ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 2.3 (t₄ = boum). C = {explosion} ; bruit retenu S = explosion, Φ(S) = {b, p, d, t, k, g, o, a, u, m} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 4 (b, o, u, m), ℓ = 4 ; Ico = 4/4 = 1 ; O₄ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 2.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 1 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 1) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 1.

Sans exclusion des indices, « bombe » (b, o, m, b sur 5 lettres : 4/5) serait compté aussi : 2.

∴ l’indice « bombe » désigne l’explosion ; b, o, u, m sont dans son profil : Ico = 1. Onomatopée.

Exemple 3 – « On frappe à la porte : toc-toc » : la répétition

Texte : « On frappe à la porte : toc-toc. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
2	frappe	1	coup frappé	non (indice)	—	—	6	—	0	0
5	porte	1	coup frappé	non (indice)	—	—	5	—	0	0
6	toc	1	coup frappé	oui	coup frappé	t, o, c	3	1	1	1
7	toc	1	coup frappé	oui	coup frappé	t, o, c	3	1	1	0

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = on, t₂ = frappe, t₃ = à, t₄ = la, t₅ = porte, t₆ = toc, t₇ = toc, t₈ = . ; n = 8 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 3.2. Indices de bruit : t₂ = frappe → coup frappé ; t₅ = porte → coup frappé ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 3.3 (t₆ = toc). C = {coup frappé} ; bruit retenu S = coup frappé, Φ(S) = {t, k, c, p, o, a} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (t, o, c), ℓ = 3 ; Ico = 3/3 = 1 ; O₆ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 3.3 (t₇ = toc). C = {coup frappé} ; bruit retenu S = coup frappé, Φ(S) = {t, k, c, p, o, a} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (t, o, c), ℓ = 3 ; Ico = 3/3 = 1 ; O₇ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 0.

Étape 3.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 1 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 2) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 1 + 1 = 2.

Sans regroupement des répétitions : 2.

∴ « toc-toc » donne deux mots toc, chacun d’Ico 1 dans le profil du coup frappé ; ils forment une seule rangée, donc une seule onomatopée redoublée. Compter chaque mot donnerait 2.

Exemple 4 – « The bees buzz » : le seuil exactement atteint

Texte : « The bees buzz all day. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
2	bees	1	bourdonnement	non (indice)	—	—	4	—	0	0
3	buzz	1	bourdonnement	oui	bourdonnement	u, z, z	4	3/4	1	1
5	day	1	bourdonnement	oui	bourdonnement	aucune	3	0	0	0

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = the, t₂ = bees, t₃ = buzz, t₄ = all, t₅ = day, t₆ = . ; n = 6 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 4.2. Indices de bruit : t₂ = bees → bourdonnement ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 4.3 (t₃ = buzz). C = {bourdonnement} ; bruit retenu S = bourdonnement, Φ(S) = {z, s, v, m, n, u} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (u, z, z), ℓ = 4 ; Ico = 3/4 ; O₃ = χ_{[3/4, 1]}(3/4) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 4.3 (t₅ = day). C = {bourdonnement} ; bruit retenu S = bourdonnement, Φ(S) = {z, s, v, m, n, u} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 0 (aucune), ℓ = 3 ; Ico = 0/3 = 0 ; O₅ = χ_{[3/4, 1]}(0) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 4.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 1 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 1) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 3/4.

∴ u, z, z sont dans le profil du bourdonnement, b ne l’est pas : Ico = 3/4, exactement le seuil. Onomatopée ; avec le seuil 0,8, elle serait perdue.

Exemple 5 – « The snake went hiss »

Texte : « The snake went hiss. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
2	snake	1	sifflement	non (indice)	—	—	5	—	0	0
4	hiss	1	sifflement	oui	sifflement	h, i, s, s	4	1	1	1

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = the, t₂ = snake, t₃ = went, t₄ = hiss, t₅ = . ; n = 5 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 5.2. Indices de bruit : t₂ = snake → sifflement ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 5.3 (t₄ = hiss). C = {sifflement} ; bruit retenu S = sifflement, Φ(S) = {s, z, h, i, f} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 4 (h, i, s, s), ℓ = 4 ; Ico = 4/4 = 1 ; O₄ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 5.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 1 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 1) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 1.

∴ l’indice « snake » désigne le sifflement ; h, i, s, s sont dans son profil : Ico = 1. Onomatopée.

Exemple 6 – « La cloche fait bing » : l’exemple de la définition

Texte : « La cloche fait bing. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
2	cloche	1	tintement	non (indice)	—	—	6	—	0	0
4	bing	1	tintement	oui	tintement	b, i, n, g	4	1	1	1

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = cloche, t₃ = fait, t₄ = bing, t₅ = . ; n = 5 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 6.2. Indices de bruit : t₂ = cloche → tintement ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 6.3 (t₄ = bing). C = {tintement} ; bruit retenu S = tintement, Φ(S) = {d, i, n, g, b, l, o} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 4 (b, i, n, g), ℓ = 4 ; Ico = 4/4 = 1 ; O₄ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 6.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 1 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 1) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 1.

∴ l’indice « cloche » désigne le tintement ; b, i, n, g sont dans son profil : Ico = 1. C’est le couple Φ(« bing ») = [biŋ], S(cloche) = [biŋ] de la définition, calculé sans transcrire le son de la cloche.

Exemple 7 – « Boum ! Le canon tonne » : l’indice dans l’énoncé voisin

Texte : « Boum ! Le canon tonne. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
1	boum	1	explosion	oui	explosion	b, o, u, m	4	1	1	1
4	canon	2	explosion	non (indice)	—	—	5	—	0	0
5	tonne	2	explosion	oui	explosion	t, o	5	2/5	0	0

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = boum, t₂ = !, t₃ = le, t₄ = canon, t₅ = tonne, t₆ = . ; n = 6 ; m = 2 énoncé(s).

Étape 7.2. Indices de bruit : t₄ = canon → explosion ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 7.3 (t₁ = boum). C = {explosion} ; bruit retenu S = explosion, Φ(S) = {b, p, d, t, k, g, o, a, u, m} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 4 (b, o, u, m), ℓ = 4 ; Ico = 4/4 = 1 ; O₁ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 7.3 (t₅ = tonne). C = {explosion} ; bruit retenu S = explosion, Φ(S) = {b, p, d, t, k, g, o, a, u, m} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 2 (t, o), ℓ = 5 ; Ico = 2/5 ; O₅ = χ_{[3/4, 1]}(2/5) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 7.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 1 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 1) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 1.

Sans fenêtre (indice dans le même énoncé) : 0.

∴ « boum » forme à lui seul un énoncé ; l’indice « canon » est dans l’énoncé suivant. Avec une fenêtre d’un énoncé de chaque côté, le bruit est connu et Ico = 1. Sans fenêtre, l’onomatopée isolée serait perdue.

Exemple 8 – « Un bruit éclata » : un mot qui désigne un bruit sans l’imiter

Texte : « Un bruit éclata dans la nuit. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
2	bruit	1	explosion	oui	explosion	b, u, t	5	3/5	0	0
3	éclata	1	explosion	non (indice)	—	—	6	—	0	0
6	nuit	1	explosion	oui	explosion	u, t	4	1/2	0	0

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = un, t₂ = bruit, t₃ = éclata, t₄ = dans, t₅ = la, t₆ = nuit, t₇ = . ; n = 7 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 8.2. Indices de bruit : t₃ = éclata → explosion ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 8.3 (t₂ = bruit). C = {explosion} ; bruit retenu S = explosion, Φ(S) = {b, p, d, t, k, g, o, a, u, m} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (b, u, t), ℓ = 5 ; Ico = 3/5 ; O₂ = χ_{[3/4, 1]}(3/5) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 8.3 (t₆ = nuit). C = {explosion} ; bruit retenu S = explosion, Φ(S) = {b, p, d, t, k, g, o, a, u, m} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 2 (u, t), ℓ = 4 ; Ico = 2/4 = 1/2 ; O₆ = χ_{[3/4, 1]}(1/2) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 8.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 0 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 0) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 0.

∴ « bruit » nomme le bruit mais ne l’imite pas : b, u, t sont dans le profil de l’explosion, r et i non ; Ico = 3/5 < 3/4. Pas d’onomatopée.

Exemple 9 – « La maison est calme » : aucun bruit désigné

Texte : « La maison est calme. »

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = maison, t₃ = est, t₄ = calme, t₅ = . ; n = 5 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 9.2. Aucun indice de bruit : C(e_j) = ∅ pour tout j ; aucun mot n’est testé, Onom(w) = 0.

∴ aucun indice de bruit dans le texte : l’ensemble des bruits C est vide, et Ico n’est pas défini. La valeur 0,167 de la définition suppose un son de référence pour « maison », que rien dans le texte ne fournit.

Exemple 10 – « Papa a tout bu » : la ressemblance sans bruit

Texte : « Papa a tout bu. »

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = papa, t₂ = a, t₃ = tout, t₄ = bu, t₅ = . ; n = 5 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 10.2. Aucun indice de bruit : C(e_j) = ∅ pour tout j ; aucun mot n’est testé, Onom(w) = 0.

Sans contexte, Ico maximal sur tous les bruits pour chaque mot : 4.

∴ p, a, p, a sont tous dans le profil de l’explosion : sans contexte, papa serait une onomatopée parfaite (Ico = 1). Mais aucun bruit n’est désigné ; la ressemblance d’un mot avec un profil ne suffit pas, il faut un bruit à imiter.

Exemple 11 – « Le chat dort sur le tapis » : un bruit désigné, aucune imitation

Texte : « Le chat dort sur le tapis. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
2	chat	1	miaulement	non (indice)	—	—	4	—	0	0
3	dort	1	miaulement	oui	miaulement	o	4	1/4	0	0
6	tapis	1	miaulement	oui	miaulement	a, i	5	2/5	0	0

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = chat, t₃ = dort, t₄ = sur, t₅ = le, t₆ = tapis, t₇ = . ; n = 7 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 11.2. Indices de bruit : t₂ = chat → miaulement ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 11.3 (t₃ = dort). C = {miaulement} ; bruit retenu S = miaulement, Φ(S) = {m, i, a, o, u, w} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 1 (o), ℓ = 4 ; Ico = 1/4 ; O₃ = χ_{[3/4, 1]}(1/4) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 11.3 (t₆ = tapis). C = {miaulement} ; bruit retenu S = miaulement, Φ(S) = {m, i, a, o, u, w} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 2 (a, i), ℓ = 5 ; Ico = 2/5 ; O₆ = χ_{[3/4, 1]}(2/5) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 11.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 0 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 0) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 0.

∴ le miaulement est désigné, mais dort (1/4) et tapis (2/5) restent loin du seuil. Pas d’onomatopée.

Exemple 12 – Faux positif assumé : le pont

Texte : « La bombe a détruit le pont. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
2	bombe	1	explosion	non (indice)	—	—	5	—	0	0
4	détruit	1	explosion	oui	explosion	d, t, u, t	7	4/7	0	0
6	pont	1	explosion	oui	explosion	p, o, t	4	3/4	1	1

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = bombe, t₃ = a, t₄ = détruit, t₅ = le, t₆ = pont, t₇ = . ; n = 7 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 12.2. Indices de bruit : t₂ = bombe → explosion ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 12.3 (t₄ = détruit). C = {explosion} ; bruit retenu S = explosion, Φ(S) = {b, p, d, t, k, g, o, a, u, m} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 4 (d, t, u, t), ℓ = 7 ; Ico = 4/7 ; O₄ = χ_{[3/4, 1]}(4/7) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 12.3 (t₆ = pont). C = {explosion} ; bruit retenu S = explosion, Φ(S) = {b, p, d, t, k, g, o, a, u, m} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (p, o, t), ℓ = 4 ; Ico = 3/4 ; O₆ = χ_{[3/4, 1]}(3/4) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 12.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 1 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 1) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 3/4.

∴ le profil de l’explosion contient p, o, t ; « pont » obtient 3/4 et est compté. C’est un mot ordinaire : le profil est une approximation par lettres, il ne sait pas que pont a son sens propre.

Exemple 13 – Texte complet : cinq onomatopées, dont deux redoublées

Texte : « Boum ! La bombe explosa. Dans la ferme, le chat fit miaou, et les abeilles, zzz, bourdonnaient. Toc-toc ! On frappe à la porte. Ding-dong, la cloche sonne. La maison resta calme. »

k	tk	énoncé j	bruits C (fenêtre)	candidat	bruit S	lettres dans Φ(S)	ℓ	Ico	Ok	début de rangée Ok(1 − Ok−1)
1	boum	1	explosion	oui	explosion	b, o, u, m	4	1	1	1
4	bombe	2	bourdonnement, explosion, miaulement	non (indice)	—	—	5	—	0	0
5	explosa	2	bourdonnement, explosion, miaulement	non (indice)	—	—	7	—	0	0
9	ferme	3	bourdonnement, explosion, miaulement	oui	bourdonnement	m	5	1/5	0	0
11	chat	3	bourdonnement, explosion, miaulement	non (indice)	—	—	4	—	0	0
13	miaou	3	bourdonnement, explosion, miaulement	oui	miaulement	m, i, a, o, u	5	1	1	1
16	abeilles	3	bourdonnement, explosion, miaulement	non (indice)	—	—	8	—	0	0
17	zzz	3	bourdonnement, explosion, miaulement	oui	bourdonnement	z, z, z	3	1	1	1
18	bourdonnaient	3	bourdonnement, explosion, miaulement	oui	explosion	b, o, u, d, o, a, t	13	7/13	0	0
20	toc	4	bourdonnement, coup frappé, miaulement	oui	coup frappé	t, o, c	3	1	1	1
21	toc	4	bourdonnement, coup frappé, miaulement	oui	coup frappé	t, o, c	3	1	1	0
24	frappe	5	coup frappé, tintement	non (indice)	—	—	6	—	0	0
27	porte	5	coup frappé, tintement	non (indice)	—	—	5	—	0	0
29	ding	6	coup frappé, tintement	oui	tintement	d, i, n, g	4	1	1	1
30	dong	6	coup frappé, tintement	oui	tintement	d, o, n, g	4	1	1	0
32	cloche	6	coup frappé, tintement	non (indice)	—	—	6	—	0	0
33	sonne	6	coup frappé, tintement	oui	tintement	o, n, n	5	3/5	0	0
36	maison	7	tintement	oui	tintement	i, o, n	6	1/2	0	0
37	resta	7	tintement	oui	tintement	aucune	5	0	0	0
38	calme	7	tintement	oui	tintement	l	5	1/5	0	0

Étape 13.1. Mots et positions : t₁ = boum, t₂ = !, t₃ = la, t₄ = bombe, t₅ = explosa, t₆ = ., t₇ = dans, t₈ = la, t₉ = ferme, t₁₀ = le, t₁₁ = chat, t₁₂ = fit, t₁₃ = miaou, t₁₄ = et, t₁₅ = les, t₁₆ = abeilles, t₁₇ = zzz, t₁₈ = bourdonnaient, t₁₉ = ., t₂₀ = toc, t₂₁ = toc, t₂₂ = !, t₂₃ = on, t₂₄ = frappe, t₂₅ = à, t₂₆ = la, t₂₇ = porte, t₂₈ = ., t₂₉ = ding, t₃₀ = dong, t₃₁ = la, t₃₂ = cloche, t₃₃ = sonne, t₃₄ = ., t₃₅ = la, t₃₆ = maison, t₃₇ = resta, t₃₈ = calme, t₃₉ = . ; n = 39 ; m = 7 énoncé(s).

Étape 13.2. Indices de bruit : t₄ = bombe → explosion ; t₅ = explosa → explosion ; t₁₁ = chat → miaulement ; t₁₆ = abeilles → bourdonnement ; t₂₄ = frappe → coup frappé ; t₂₇ = porte → coup frappé ; t₃₂ = cloche → tintement ; fenêtre c = 1 énoncé de chaque côté.

Étape 13.3 (t₁ = boum). C = {explosion} ; bruit retenu S = explosion, Φ(S) = {b, p, d, t, k, g, o, a, u, m} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 4 (b, o, u, m), ℓ = 4 ; Ico = 4/4 = 1 ; O₁ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 13.3 (t₉ = ferme). C = {bourdonnement, explosion, miaulement} ; bruit retenu S = bourdonnement, Φ(S) = {z, s, v, m, n, u} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 1 (m), ℓ = 5 ; Ico = 1/5 (maximum sur C = {bourdonnement : 1/5, explosion : 1/5, miaulement : 1/5}) ; O₉ = χ_{[3/4, 1]}(1/5) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 13.3 (t₁₃ = miaou). C = {bourdonnement, explosion, miaulement} ; bruit retenu S = miaulement, Φ(S) = {m, i, a, o, u, w} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 5 (m, i, a, o, u), ℓ = 5 ; Ico = 5/5 = 1 (maximum sur C = {bourdonnement : 2/5, explosion : 4/5, miaulement : 1}) ; O₁₃ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 13.3 (t₁₇ = zzz). C = {bourdonnement, explosion, miaulement} ; bruit retenu S = bourdonnement, Φ(S) = {z, s, v, m, n, u} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (z, z, z), ℓ = 3 ; Ico = 3/3 = 1 (maximum sur C = {bourdonnement : 1, explosion : 0, miaulement : 0}) ; O₁₇ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 13.3 (t₁₈ = bourdonnaient). C = {bourdonnement, explosion, miaulement} ; bruit retenu S = explosion, Φ(S) = {b, p, d, t, k, g, o, a, u, m} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 7 (b, o, u, d, o, a, t), ℓ = 13 ; Ico = 7/13 (maximum sur C = {bourdonnement : 4/13, explosion : 7/13, miaulement : 5/13}) ; O₁₈ = χ_{[3/4, 1]}(7/13) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 13.3 (t₂₀ = toc). C = {bourdonnement, coup frappé, miaulement} ; bruit retenu S = coup frappé, Φ(S) = {t, k, c, p, o, a} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (t, o, c), ℓ = 3 ; Ico = 3/3 = 1 (maximum sur C = {bourdonnement : 0, coup frappé : 1, miaulement : 1/3}) ; O₂₀ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 13.3 (t₂₁ = toc). C = {bourdonnement, coup frappé, miaulement} ; bruit retenu S = coup frappé, Φ(S) = {t, k, c, p, o, a} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (t, o, c), ℓ = 3 ; Ico = 3/3 = 1 (maximum sur C = {bourdonnement : 0, coup frappé : 1, miaulement : 1/3}) ; O₂₁ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 0.

Étape 13.3 (t₂₉ = ding). C = {coup frappé, tintement} ; bruit retenu S = tintement, Φ(S) = {d, i, n, g, b, l, o} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 4 (d, i, n, g), ℓ = 4 ; Ico = 4/4 = 1 (maximum sur C = {coup frappé : 0, tintement : 1}) ; O₂₉ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 1.

Étape 13.3 (t₃₀ = dong). C = {coup frappé, tintement} ; bruit retenu S = tintement, Φ(S) = {d, i, n, g, b, l, o} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 4 (d, o, n, g), ℓ = 4 ; Ico = 4/4 = 1 (maximum sur C = {coup frappé : 1/4, tintement : 1}) ; O₃₀ = χ_{[3/4, 1]}(1) = 1 ; début de rangée : 0.

Étape 13.3 (t₃₃ = sonne). C = {coup frappé, tintement} ; bruit retenu S = tintement, Φ(S) = {d, i, n, g, b, l, o} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (o, n, n), ℓ = 5 ; Ico = 3/5 (maximum sur C = {coup frappé : 1/5, tintement : 3/5}) ; O₃₃ = χ_{[3/4, 1]}(3/5) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 13.3 (t₃₆ = maison). C = {tintement} ; bruit retenu S = tintement, Φ(S) = {d, i, n, g, b, l, o} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 3 (i, o, n), ℓ = 6 ; Ico = 3/6 = 1/2 ; O₃₆ = χ_{[3/4, 1]}(1/2) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 13.3 (t₃₇ = resta). C = {tintement} ; bruit retenu S = tintement, Φ(S) = {d, i, n, g, b, l, o} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 0 (aucune), ℓ = 5 ; Ico = 0/5 = 0 ; O₃₇ = χ_{[3/4, 1]}(0) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 13.3 (t₃₈ = calme). C = {tintement} ; bruit retenu S = tintement, Φ(S) = {d, i, n, g, b, l, o} ; ∑_l χ_Φ(S)(a_l) = 1 (l), ℓ = 5 ; Ico = 1/5 ; O₃₈ = χ_{[3/4, 1]}(1/5) = 0 ; début de rangée : 0.

Étape 13.4. Onom(w) = ∑_k O_k (1 − O_k−1) = 5 (mots d’Ico ≥ 3/4 : 7) ; OnomInt(w) = ∑_k O_k · Ico_k = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7.

∴ Onom(w) = 5 : boum, miaou, zzz, toc-toc, ding-dong ; sept mots d’Ico au moins 3/4, regroupés en cinq rangées ; OnomInt(w) = 7. « Bourdonnaient » (7/13) et « sonne » (3/5) désignent ou accompagnent le bruit sans l’imiter.

Exemple 13 : le score de chaque mot candidat, le seuil 3/4 et les cinq rangées.

20.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les treize textes des exemples 1 à 13, par l’écart entre Onom calculé et Onom attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 5 (l’exemple 12 n’a pas d’onomatopée).

version	Onom total	erreurs ∑ |Onom − attendu| (sur 13 textes)	textes mal comptés
définition à la lettre : ∑u ∈ Fact(w) χ[θ, 1](Ico(u)), facteurs lettre à lettre	195	183	ex. 1 (15 au lieu de 1) ; ex. 2 (10 au lieu de 1) ; ex. 3 (12 au lieu de 1) ; ex. 4 (7 au lieu de 1) ; ex. 5 (10 au lieu de 1) ; ex. 6 (10 au lieu de 1) ; ex. 7 (13 au lieu de 1) ; ex. 8 (5 au lieu de 0) ; ex. 11 (3 au lieu de 0) ; ex. 12 (9 au lieu de 0) ; ex. 13 (101 au lieu de 5)
sans contexte : Ico maximal sur tous les bruits, chaque mot	33	21	ex. 1 (2 au lieu de 1) ; ex. 2 (2 au lieu de 1) ; ex. 3 (4 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (4 au lieu de 0) ; ex. 11 (2 au lieu de 0) ; ex. 12 (3 au lieu de 0) ; ex. 13 (11 au lieu de 5)
sans fenêtre (indice dans le même énoncé seulement, c = 0)	10	4	ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (3 au lieu de 5)
sans regroupement des répétitions (chaque mot compte)	16	4	ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (7 au lieu de 5)
sans exclusion des mots outils et des indices	16	4	ex. 2 (2 au lieu de 1) ; ex. 12 (2 au lieu de 0) ; ex. 13 (6 au lieu de 5)
retenue	13	1	ex. 12 (1 au lieu de 0)

La somme sur les facteurs lettre à lettre compte chaque morceau de chaque mot imitatif ; le score sans contexte compte papa et tous les mots qui ressemblent par hasard à un profil ; sans fenêtre, les onomatopées isolées en tête de phrase sont perdues ; sans regroupement, les onomatopées redoublées comptent deux fois ; sans exclusion, la bombe et la porte sont prises pour leurs propres bruits. La version retenue ne garde qu’une erreur, le pont.

Erreurs des versions : contexte, fenêtre, rangées et exclusion des indices sont tous nécessaires.

Sensibilité au seuil θ :

θ	erreurs ∑ |Onom − attendu|	textes mal comptés
0,5	6	ex. 8 (2 au lieu de 0) ; ex. 12 (2 au lieu de 0) ; ex. 13 (7 au lieu de 5)
0,6	3	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (6 au lieu de 5)
0,75	1	ex. 12 (1 au lieu de 0)
0,8	1	ex. 4 (0 au lieu de 1)
1	1	ex. 4 (0 au lieu de 1)

θ = 1/2 et θ = 3/5 comptent « bruit » (3/5) et d’autres mots ordinaires. θ = 4/5, le seuil de l’exemple de la définition, n’a lui aussi qu’une erreur, mais d’une autre nature : il écarte le faux positif « pont » (3/4) en perdant buzz (3/4), une onomatopée attestée ; pour un mot de quatre lettres, θ = 4/5 exige quatre lettres sur quatre et se confond avec θ = 1. On retient θ = 3/4, trois lettres sur quatre, qui ne perd aucune onomatopée des exemples ; son erreur, « pont », est un hasard de profil dont le paragraphe 20.4 e) mesure la fréquence.

Erreurs selon θ et selon la fenêtre c.

Sensibilité à la fenêtre de contexte c :

c (énoncés de chaque côté)	erreurs ∑ |Onom − attendu|	textes mal comptés
0	4	ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (3 au lieu de 5)
1	1	ex. 12 (1 au lieu de 0)
2	1	ex. 12 (1 au lieu de 0)

c = 0 perd les onomatopées qui forment à elles seules un énoncé (« Boum ! », « Toc-toc ! ») ; c = 2 ne change rien sur ces textes, mais élargit sans nécessité le champ où un mot ordinaire peut ressembler par hasard à un profil. On retient c = 1, la plus petite fenêtre sans perte.

20.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois les profils, les indices, G, θ et c fixés, Onom et OnomInt découlent nécessairement du calcul ; l’égalité entre score par profil et distance de Levenshtein normalisée (lemme 1), le comptage des rangées (lemme 2) et la formule binomiale du hasard sont des résultats nécessaires.
• Contingent : les profils résument des régularités de symbolisme sonore, et les onomatopées varient d’une langue à l’autre (cocorico, cock-a-doodle-doo) ; les indices de bruit sont des données de vocabulaire.
• Possible : tout mot écrit dans l’alphabet d’un bruit est une onomatopée possible ; il le devient quand le texte désigne ce bruit.

20.10 Justification et limites

Une onomatopée est un mot dont la matière sonore ressemble à ce qu’il désigne. Le profil fixe ce que « ressembler » veut dire pour chaque bruit, la proportion de lettres du profil mesure le degré de ressemblance, et elle est exactement la similarité de Levenshtein de la définition, prise par rapport au langage du profil plutôt qu’à une transcription du son. Le contexte dit quel bruit est imité, et les rangées font d’une onomatopée redoublée une seule figure.

Trois limites sont assumées. Le profil compte des lettres, non des sons : « pont » atteint le seuil de l’explosion (exemple 12), et un digramme comme « ch » est lu comme deux lettres. Les formes fléchies (buzzing, miaulait) diluent le score par leur désinence ; il faudrait les ramener à leur racine. Enfin, une onomatopée sans indice dans la fenêtre (« Tic-tac. » seul) n’est pas reconnue, puisque le texte ne dit pas quel bruit elle imite.

⁂

21. Personnification – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
La personnification (prosopopée dans la rhétorique classique, au sens large) consiste à attribuer des qualités, des actions ou des sentiments humains à un objet inanimé, à un animal ou à une abstraction. Quintilien traite de cette fiction sous le nom de prosopopoeia (Institution oratoire, IX, 2, 29–37). Exemples : « le vent murmure », « le temps fuit », « la mer se fâche », « la Justice veille », et les animaux qui parlent des fables. La personnification (ou prosopopée) attribue des qualités ou actions humaines à un objet inanimé ou une abstraction (ex. « le vent chante »).

Mécanisme en combinatoire des mots
Elle se modélise par l’application d’un prédicat appartenant à l’ensemble sémantique humain sur un sujet structurellement non humain.

Définition mathématique
Soit $H$ un ensemble de prédicats humains. Une personnification est un facteur combiné $u = sp$ tel que $s$ (le sujet) est non humain et $p \in H$.

$$\mathrm{Pers}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u = sp \text{ avec } s \text{ non humain et } p \in H \} \bigr|$$

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21. Personnification – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de la personnification à quelques exemples d’un prédicat appartenant à l’ensemble sémantique humain sur un sujet structurellement non humain.

21.1 Définition rhétorique

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une attribution : un prédicat (verbe ou adjectif) est dit d’un sujet ;
• un prédicat d’humain : ce prédicat admet l’être humain parmi ses sujets possibles ;
• un sujet qui ne l’admet pas : le sujet est d’une catégorie (inanimé, abstrait, animal) que le prédicat n’admet pas ; c’est ce « prêt » qui fait la figure.

La personnification se distingue de l’emploi littéral (« le vent souffle », « le chat dort » : le prédicat convient au sujet), de la métonymie (fiche 18 : « la Maison-Blanche a annoncé » désigne un humain voisin), et de l’animalisation, qui prête au sujet un prédicat d’animal (« la mer hululait »).

21.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition Pers(w) = |{ u ∈ Fact(w) | u = sp, s non humain, p ∈ H }| est une définition en compréhension. Pour la rendre entièrement calculable, on introduit l’ensemble des prédicats humains H = {parler, penser, rêver, pleurer, décider, sourire}, son indicatrice χ_H(p), et une fonction d’humanité du sujet h(s) = 1 si s est humain, 0 sinon ; la condition « sujet non humain » devient 1 − h(s). Pour une structure u = sp :

P(s, p) = (1 − h(s)) · χ_H(p) ∈ {0, 1}, Pers(w) = ∑_{u = s p ∈ Fact(w)} (1 − h(s)) · χ_H(p) = ∑_{u = s p ∈ Fact(w)} χ_{0}(h(s)) · χ_H(p).

Avec un degré d’humanité η(p) ∈ [0, 1] des prédicats, la version graduée est PersInt(w) = ∑_{u = s p} (1 − h(s)) · η(p).

La forme est juste : un produit de deux indicatrices sur des couples (sujet, prédicat). Pour qu’elle compte exactement les personnifications, cinq précisions sont nécessaires : (1) « p ∈ H » ne suffit pas : beaucoup de prédicats admettent l’humain et d’autres sujets (souffler, dormir, avancer) ; il faut tester que la catégorie du sujet n’est pas admise ; (2) l’humanité ne se réduit pas à deux valeurs : l’animal, l’inanimé et l’abstrait se comportent différemment, et l’animal reçoit lui aussi des personnifications (les fables) ; (3) un sujet de lieu ou d’institution recevant un prédicat d’humain est souvent une métonymie, qu’il faut écarter ; (4) u = sp, l’adjacence stricte, perd « la mer se fâche » ; (5) le degré η(p) se calcule à partir de la table de sélection, et la version graduée porte la même indicatrice. Les exemples de la définition supposent d’ailleurs χ_H(murmure) = 1, χ_H(se fâcher) = 1 et χ_H(réfléchit) = 1, alors que ces verbes ne sont pas dans l’ensemble H donné : H doit être une table complète, non une liste d’exemples.

21.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance d’une catégorie à un ensemble : χ_R(p)(cat(s)) = 1 si le prédicat admet la catégorie du sujet ;
• appartenance d’une catégorie particulière : χ_R(p)(humain), χ_R(p)(animal) ;
• « il existe » : r_M = χ_{[1, +∞[}(nombre de voisins du sujet admis par le prédicat) ;
• appartenance à une liste de mots : χ_L(x) pour les mots de liaison ;
• « et » : un produit ; « non » : 1 − χ ; comptage : une somme sur les couples.

21.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot

On met le texte en minuscules ; ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces, les signes . ! ? ; sont gardés comme mots ; chaque mot devient une lettre de l’alphabet Σ des mots : w = t₁ ⋯ t_n. « Maison-Blanche » est refusionné en un seul mot ; « s’est » donne s, est.

b) Deux tables : catégories des sujets, sélection des prédicats

Chaque sujet a une catégorie : humain, animal, inanimé, abstrait, lieu ; la fonction h(s) de la définition est χ_{humain}(cat(s)). Le lieu a des voisins, comme à la fiche 18 :

sujet s	catégorie cat(s)	voisins (catégorie, relation)
vent	inanimé	—
mer	inanimé	—
soleil	inanimé	—
lune	inanimé	—
train	inanimé	—
horloge	inanimé	—
temps	abstrait	—
justice	abstrait	—
homme	humain	—
enfant	humain	—
chat	animal	—
renard	animal	—
corbeau	animal	—
chien	animal	—
maison-blanche	lieu	président (humain, lieu / occupant); présidence (institution, lieu / institution)

Chaque prédicat a un ensemble R(p) de catégories de sujets admises. L’ensemble H de la définition est { p : humain ∈ R(p) } ; mais la table dit aussi quelles autres catégories le prédicat admet, et c’est ce qui sépare la figure de l’emploi littéral :

forme	prédicat p	nature	R(p)	η(p) = 1/|R(p)|
murmure	murmurer	verbe	{humain}	1
fâche	se fâcher	verbe	{humain}	1
fâchée	se fâcher	verbe	{humain}	1
réfléchit	réfléchir	verbe	{humain}	1
pense	penser	verbe	{humain}	1
parle	parler	verbe	{humain}	1
sourit	sourire	verbe	{humain}	1
dit	dire	verbe	{humain}	1
écrit	écrire	verbe	{humain}	1
pleure	pleurer	verbe	{humain, animal}	1/2
chante	chanter	verbe	{humain, animal}	1/2
fuit	fuir	verbe	{humain, animal}	1/2
veille	veiller	verbe	{humain, animal}	1/2
dort	dormir	verbe	{humain, animal}	1/2
souffle	souffler	verbe	{humain, animal, inanimé}	1/3
avance	avancer	verbe	{humain, animal, inanimé}	1/3
brille	briller	verbe	{inanimé}	1
hululait	hululer	verbe	{animal}	1
aboie	aboyer	verbe	{animal}	1
annoncé	annoncer	verbe	{humain, institution}	1/2
perfide	perfide	adjectif	{humain}	1

Les catégories des sujets et les catégories admises par chaque prédicat : la personnification est une case hors de R(p) dans une colonne qui contient l’humain.

c) Les couples (sujet, prédicat)

L’unité est le couple (s, p), repéré par une structure : le sujet, puis au plus g = 2 mots de liaison, puis le prédicat. Les mots de liaison sont L = {se, s, ne, n, a, ont, est, était, lui, y, en, encore, toujours, déjà, doucement} et les adjectifs de la table (« la mer perfide hululait » : perfide est franchi pour atteindre hululait) ; un adjectif prédicat se lit au contact du nom (« mer perfide »).

Cpl(w) = { (k, j) : t_k sujet, t_j prédicat, j = k + 1 + m, m ≤ 2, t_k+1, …, t_j−1 ∈ L }.

Pourquoi pas Fact(w) : une somme sur tous les facteurs u = sp dont le premier mot est un sujet et le dernier un prédicat revient à cette somme si l’on fixe ce que u contient entre les deux ; sans cette précision, « la mer, que l’enfant regarde, se fâche » donnerait aussi (enfant, se fâche). Pourquoi g = 2 : « la mer se fâche » demande un mot de liaison, « la mer s’est fâchée » deux (paragraphe 21.8).

Les couples (sujet, prédicat) : adjacents, séparés par un pronom, par un pronom et un auxiliaire.

d) La sélection, et ce qu’elle rend inutile

σ(u) = χ_R(p)(cat(s)), r_M(u) = χ_{[1, +∞[}( |{ y : y voisin de s, cat(y) ∈ R(p) }| ), η(p) = 1 / |R(p)|.

Lemme 1 (1 − h(s) est une conséquence). Si σ(u) = 0 et humain ∈ R(p), alors cat(s) ∉ R(p) et humain ∈ R(p), donc cat(s) ≠ humain : h(s) = 0. ∴ Le facteur 1 − h(s) de la définition vaut toujours 1 quand les deux conditions retenues sont vraies ; il n’a pas à être calculé. La réciproque est fausse : 1 − h(s) = 1 et humain ∈ R(p) n’entraînent pas σ = 0 (« le chat dort », « le vent souffle »).

Lemme 2 (le degré). η(p) = 1 si le prédicat est propre à l’humain (murmurer, se fâcher, dire), 1/2 s’il est partagé avec l’animal (fuir, veiller, chanter), 1/3 s’il admet trois catégories ; comme la personnification exige qu’au moins une catégorie, celle du sujet, soit exclue, η(p) ≥ 1/(nombre de catégories − 1). Les valeurs posées à la main de la définition (0,9 ; 0,2) sont remplacées par cette proportion, qui dit à quel point le prédicat est réservé à l’humain.

e) La partition des couples

Avec τ_h = χ_R(p)(humain) et τ_a = χ_R(p)(animal), l’identité 1 = σ + (1 − σ) r_M + (1 − σ)(1 − r_M) τ_h + (1 − σ)(1 − r_M)(1 − τ_h) τ_a + (1 − σ)(1 − r_M)(1 − τ_h)(1 − τ_a) est une tautologie : chaque couple est dans exactement une classe.

terme	classe	exemple
σ	emploi littéral	« le vent souffle »
(1 − σ) rM	métonymie (fiche 18)	« la Maison-Blanche a annoncé »
(1 − σ)(1 − rM) τh	personnification	« le vent murmure »
(1 − σ)(1 − rM)(1 − τh) τa	animalisation	« la mer hululait »
(1 − σ)(1 − rM)(1 − τh)(1 − τa)	autre anomalie	un prédicat d’inanimé dit d’un humain

L’arbre de décision : sélection, réparation par un voisin, prédicat d’humain, prédicat d’animal.

21.5 Définition mathématique

Pers(w) = ∑_{(s, p) ∈ Cpl(w)} (1 − χ_R(p)(cat(s))) · (1 − r_M(s, p)) · χ_R(p)(humain),

PersInt(w) = ∑_{(s, p) ∈ Cpl(w)} P(s, p) · η(p), Anim(w) = ∑_{(s, p) ∈ Cpl(w)} (1 − σ)(1 − r_M)(1 − χ_R(p)(humain)) χ_R(p)(animal).

P(s, p) = (1 − h(s)) · χ_H(p) de la définition devient P(s, p) = (1 − σ) · (1 − r_M) · χ_R(p)(humain) : χ_H(p) est conservé sous la forme χ_R(p)(humain), et 1 − h(s) est remplacé par 1 − σ, qui l’entraîne (lemme 1) et écarte en plus les emplois littéraux.

La définition complète : couples, sélection, réparation, prédicat d’humain, degré.

21.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots t₁, …, t_n.
2. Repérer les couples (sujet, prédicat) : un sujet, au plus deux mots de liaison, un prédicat.
3. Lire cat(s) et R(p) ; si cat(s) ∈ R(p), emploi littéral.
4. Sinon, chercher un voisin du sujet admis par le prédicat : métonymie ; sinon, regarder si R(p) contient l’humain.
5. P = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) ; η = 1/|R(p)| ; additionner Pers(w), PersInt(w), Anim(w).

21.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par couple (sujet, prédicat) : le nombre de mots de liaison, la catégorie du sujet, R(p), le test de sélection, la réparation métonymique, les deux tests d’humain et d’animal, les contributions P et A, le degré η et la classe.

Exemple 1 – « Le vent murmure »

Texte : « Le vent murmure. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« vent murmure »	0	vent, inanimé	murmure, {humain}	0	0	1	0	1	0	1	personnification

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = vent, t₃ = murmure, t₄ = . ; n = 4.

Étape 1.2 (u = « vent murmure »). Sujet s = t₂ = vent, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₃ = murmure (« murmurer »), R(p) = {humain} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(inanimé) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1 ; classe : personnification.

Étape 1.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 1 ; PersInt(w) = 1 ; Anim(w) = 0.

∴ « murmurer » n’admet que l’humain ; le vent est inanimé : σ = 0, aucun voisin humain du vent, humain ∈ R(p). Personnification, de degré η = 1 : le prédicat est propre à l’humain.

Exemple 2 – « La mer se fâche » : un pronom entre le sujet et le verbe

Texte : « La mer se fâche. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« mer se fâche »	1	mer, inanimé	fâche, {humain}	0	0	1	0	1	0	1	personnification

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = mer, t₃ = se, t₄ = fâche, t₅ = . ; n = 5.

Étape 2.2 (u = « mer se fâche »). Sujet s = t₂ = mer, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₄ = fâche (« se fâcher »), R(p) = {humain} ; séparés par « se » (g = 1).

σ = χ_R(p)(inanimé) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1 ; classe : personnification.

Étape 2.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 1 ; PersInt(w) = 1 ; Anim(w) = 0.

Avec l’adjacence stricte de la définition (u = sp) : 0.

∴ le pronom « se » sépare le sujet du verbe (g = 1) ; « se fâcher » n’admet que l’humain. Personnification. Avec l’adjacence stricte u = sp, elle serait perdue.

Exemple 3 – « La mer s’est fâchée » : pronom et auxiliaire

Texte : « La mer s’est fâchée. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« mer s est fâchée »	2	mer, inanimé	fâchée, {humain}	0	0	1	0	1	0	1	personnification

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = mer, t₃ = s, t₄ = est, t₅ = fâchée, t₆ = . ; n = 6.

Étape 3.2 (u = « mer s est fâchée »). Sujet s = t₂ = mer, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₅ = fâchée (« se fâcher »), R(p) = {humain} ; séparés par « s », « est » (g = 2).

σ = χ_R(p)(inanimé) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1 ; classe : personnification.

Étape 3.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 1 ; PersInt(w) = 1 ; Anim(w) = 0.

Avec au plus un mot de liaison (g = 1) : 0.

∴ « s’ » et « est » séparent le sujet du participe : deux mots de liaison (g = 2). Personnification ; elle demande g = 2.

Exemple 4 – « Le temps fuit »

Texte : « Le temps fuit. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« temps fuit »	0	temps, abstrait	fuit, {humain, animal}	0	0	1	1	1	0	1/2	personnification

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = temps, t₃ = fuit, t₄ = . ; n = 4.

Étape 4.2 (u = « temps fuit »). Sujet s = t₂ = temps, cat(s) = abstrait ; prédicat p = t₃ = fuit (« fuir »), R(p) = {humain, animal} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(abstrait) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 1 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1/2 ; classe : personnification.

Étape 4.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 1 ; PersInt(w) = 1/2 ; Anim(w) = 0.

∴ « fuir » admet l’humain et l’animal, non l’abstrait : personnification de degré η = 1/2, le prédicat étant partagé par deux catégories.

Exemple 5 – « La Justice veille » : une abstraction

Texte : « La Justice veille. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« justice veille »	0	justice, abstrait	veille, {humain, animal}	0	0	1	1	1	0	1/2	personnification

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = justice, t₃ = veille, t₄ = . ; n = 4.

Étape 5.2 (u = « justice veille »). Sujet s = t₂ = justice, cat(s) = abstrait ; prédicat p = t₃ = veille (« veiller »), R(p) = {humain, animal} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(abstrait) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 1 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1/2 ; classe : personnification.

Étape 5.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 1 ; PersInt(w) = 1/2 ; Anim(w) = 0.

∴ l’abstraction « Justice » reçoit « veiller » (humain, animal) : personnification, η = 1/2.

Exemple 6 – « Le renard dit : bonjour » : l’animal qui parle

Texte : « Le renard dit : bonjour. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« renard dit »	0	renard, animal	dit, {humain}	0	0	1	0	1	0	1	personnification

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = renard, t₃ = dit, t₄ = bonjour, t₅ = . ; n = 5.

Étape 6.2 (u = « renard dit »). Sujet s = t₂ = renard, cat(s) = animal ; prédicat p = t₃ = dit (« dire »), R(p) = {humain} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(animal) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1 ; classe : personnification.

Étape 6.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 1 ; PersInt(w) = 1 ; Anim(w) = 0.

Avec la définition de la partie IV (sujet inanimé ou abstrait) : 0.

∴ « dire » n’admet que l’humain ; le renard est un animal : personnification, celle des fables (La Fontaine). La définition de la partie IV, qui ne retient que l’inanimé et l’abstrait, la manquerait.

Exemple 7 – « La mer perfide hululait » : personnification et animalisation

Texte : « La mer perfide hululait. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« mer perfide »	0	mer, inanimé	perfide, {humain}	0	0	1	0	1	0	1	personnification
« mer perfide hululait »	1	mer, inanimé	hululait, {animal}	0	0	0	1	0	1	1	animalisation

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = mer, t₃ = perfide, t₄ = hululait, t₅ = . ; n = 5.

Étape 7.2 (u = « mer perfide »). Sujet s = t₂ = mer, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₃ = perfide (« perfide »), R(p) = {humain} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(inanimé) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1 ; classe : personnification.

Étape 7.2 (u = « mer perfide hululait »). Sujet s = t₂ = mer, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₄ = hululait (« hululer »), R(p) = {animal} ; séparés par « perfide » (g = 1).

σ = χ_R(p)(inanimé) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 0, χ_R(p)(animal) = 1 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 0 = 0 ; A(u) = 1 ; classe : animalisation.

Étape 7.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 1 + 0 = 1 ; PersInt(w) = 1 ; Anim(w) = 1.

∴ « perfide » n’admet que l’humain : personnification. « hululer » n’admet que l’animal : animalisation, comptée à part. Pers = 1, Anim = 1.

Exemple 8 – « L’homme réfléchit » : sujet humain

Texte : « L’homme réfléchit. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« homme réfléchit »	0	homme, humain	réfléchit, {humain}	1	0	1	0	0	0	1	emploi littéral

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = l, t₂ = homme, t₃ = réfléchit, t₄ = . ; n = 4.

Étape 8.2 (u = « homme réfléchit »). Sujet s = t₂ = homme, cat(s) = humain ; prédicat p = t₃ = réfléchit (« réfléchir »), R(p) = {humain} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(humain) = 1 : la catégorie du sujet est admise, emploi littéral ; P(u) = 0.

Étape 8.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 0 ; PersInt(w) = 0 ; Anim(w) = 0.

∴ l’humain est admis par « réfléchir » : σ = 1, emploi littéral. La condition 1 − h(s) de la définition donne le même résultat, et le lemme 1 montre qu’elle découle de σ = 0.

Exemple 9 – « Le vent souffle » : un prédicat qui admet l’inanimé

Texte : « Le vent souffle. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« vent souffle »	0	vent, inanimé	souffle, {humain, animal, inanimé}	1	0	1	1	0	0	1/3	emploi littéral

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = vent, t₃ = souffle, t₄ = . ; n = 4.

Étape 9.2 (u = « vent souffle »). Sujet s = t₂ = vent, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₃ = souffle (« souffler »), R(p) = {humain, animal, inanimé} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(inanimé) = 1 : la catégorie du sujet est admise, emploi littéral ; P(u) = 0.

Étape 9.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 0 ; PersInt(w) = 0 ; Anim(w) = 0.

Avec (1 − h(s)) · χ_H(p), sans test de sélection : 1.

∴ « souffler » admet aussi l’inanimé : σ = 1, emploi littéral. Le test (1 − h(s)) · χ_H(p) le compterait, puisque souffler admet aussi l’humain.

Exemple 10 – « Le chat dort » : un prédicat partagé par l’animal

Texte : « Le chat dort. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« chat dort »	0	chat, animal	dort, {humain, animal}	1	0	1	1	0	0	1/2	emploi littéral

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = chat, t₃ = dort, t₄ = . ; n = 4.

Étape 10.2 (u = « chat dort »). Sujet s = t₂ = chat, cat(s) = animal ; prédicat p = t₃ = dort (« dormir »), R(p) = {humain, animal} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(animal) = 1 : la catégorie du sujet est admise, emploi littéral ; P(u) = 0.

Étape 10.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 0 ; PersInt(w) = 0 ; Anim(w) = 0.

Sans test de sélection : 1.

∴ « dormir » admet l’animal : emploi littéral. Le sujet n’est pas humain et le prédicat admet l’humain, mais rien n’est prêté au chat qu’il n’ait déjà.

Exemple 11 – « Le train avance » : le prédicat de faible degré de la définition

Texte : « Le train avance. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« train avance »	0	train, inanimé	avance, {humain, animal, inanimé}	1	0	1	1	0	0	1/3	emploi littéral

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = train, t₃ = avance, t₄ = . ; n = 4.

Étape 11.2 (u = « train avance »). Sujet s = t₂ = train, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₃ = avance (« avancer »), R(p) = {humain, animal, inanimé} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(inanimé) = 1 : la catégorie du sujet est admise, emploi littéral ; P(u) = 0.

Étape 11.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 0 ; PersInt(w) = 0 ; Anim(w) = 0.

∴ « avancer » admet l’inanimé : σ = 1. La valeur η(avance) = 0,2 de l’exemple gradué de la définition s’ajoutait à l’intensité ; ici, le couple est littéral et n’ajoute rien.

Exemple 12 – « La Maison-Blanche a annoncé » : métonymie, non personnification

Texte : « La Maison-Blanche a annoncé une réforme. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« maison-blanche a annoncé »	1	maison-blanche, lieu	annoncé, {humain, institution}	0	1	1	0	0	0	1/2	métonymie (fiche 18)

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = maison-blanche, t₃ = a, t₄ = annoncé, t₅ = une, t₆ = réforme, t₇ = . ; n = 7.

Étape 12.2 (u = « maison-blanche a annoncé »). Sujet s = t₂ = maison-blanche, cat(s) = lieu ; prédicat p = t₄ = annoncé (« annoncer »), R(p) = {humain, institution} ; séparés par « a » (g = 1).

σ = χ_R(p)(lieu) = 0 ; voisins : président (humain) ; présidence (institution), r_M = 1 ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 0 · 1 = 0 ; A(u) = 0 ; classe : métonymie (fiche 18).

Étape 12.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 0 ; PersInt(w) = 0 ; Anim(w) = 0.

Sans la réparation métonymique : 1.

∴ le lieu reçoit un prédicat d’humain, mais un voisin du lieu, le président, est humain : l’anomalie est réparée par contiguïté. C’est la métonymie de la fiche 18 : le texte ne prête rien au bâtiment, il désigne le président par lui.

Exemple 13 – Faux positif assumé : le Corbeau du village

Texte : « Dans le village, le corbeau écrit encore des lettres anonymes. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« corbeau écrit »	0	corbeau, animal	écrit, {humain}	0	0	1	0	1	0	1	personnification

Étape 13.1. Mots et positions : t₁ = dans, t₂ = le, t₃ = village, t₄ = le, t₅ = corbeau, t₆ = écrit, t₇ = encore, t₈ = des, t₉ = lettres, t₁₀ = anonymes, t₁₁ = . ; n = 11.

Étape 13.2 (u = « corbeau écrit »). Sujet s = t₅ = corbeau, cat(s) = animal ; prédicat p = t₆ = écrit (« écrire »), R(p) = {humain} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(animal) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1 ; classe : personnification.

Étape 13.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 1 ; PersInt(w) = 1 ; Anim(w) = 0.

∴ le calcul trouve un animal qui écrit : Pers = 1. Mais « le Corbeau » est ici le surnom de l’auteur humain des lettres anonymes : la table des catégories ne connaît que l’oiseau.

Exemple 14 – Texte complet : quatre personnifications, trois emplois littéraux, une métonymie

Texte : « Le soleil sourit. Le vent chante dans les arbres, la mer se fâche, mais le chat dort. Le train avance ; la Maison-Blanche a annoncé une trêve. L’enfant chante. La lune veille. »

u (facteur)	g	s, cat(s)	p, R(p)	σ = χR(p)(cat(s))	rM	χR(p)(humain)	χR(p)(animal)	P(u)	A(u)	η(p)	classe
« soleil sourit »	0	soleil, inanimé	sourit, {humain}	0	0	1	0	1	0	1	personnification
« vent chante »	0	vent, inanimé	chante, {humain, animal}	0	0	1	1	1	0	1/2	personnification
« mer se fâche »	1	mer, inanimé	fâche, {humain}	0	0	1	0	1	0	1	personnification
« chat dort »	0	chat, animal	dort, {humain, animal}	1	0	1	1	0	0	1/2	emploi littéral
« train avance »	0	train, inanimé	avance, {humain, animal, inanimé}	1	0	1	1	0	0	1/3	emploi littéral
« maison-blanche a annoncé »	1	maison-blanche, lieu	annoncé, {humain, institution}	0	1	1	0	0	0	1/2	métonymie (fiche 18)
« enfant chante »	0	enfant, humain	chante, {humain, animal}	1	0	1	1	0	0	1/2	emploi littéral
« lune veille »	0	lune, inanimé	veille, {humain, animal}	0	0	1	1	1	0	1/2	personnification

Étape 14.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = soleil, t₃ = sourit, t₄ = ., t₅ = le, t₆ = vent, t₇ = chante, t₈ = dans, t₉ = les, t₁₀ = arbres, t₁₁ = la, t₁₂ = mer, t₁₃ = se, t₁₄ = fâche, t₁₅ = mais, t₁₆ = le, t₁₇ = chat, t₁₈ = dort, t₁₉ = ., t₂₀ = le, t₂₁ = train, t₂₂ = avance, t₂₃ = ;, t₂₄ = la, t₂₅ = maison-blanche, t₂₆ = a, t₂₇ = annoncé, t₂₈ = une, t₂₉ = trêve, t₃₀ = ., t₃₁ = l, t₃₂ = enfant, t₃₃ = chante, t₃₄ = ., t₃₅ = la, t₃₆ = lune, t₃₇ = veille, t₃₈ = . ; n = 38.

Étape 14.2 (u = « soleil sourit »). Sujet s = t₂ = soleil, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₃ = sourit (« sourire »), R(p) = {humain} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(inanimé) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1 ; classe : personnification.

Étape 14.2 (u = « vent chante »). Sujet s = t₆ = vent, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₇ = chante (« chanter »), R(p) = {humain, animal} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(inanimé) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 1 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1/2 ; classe : personnification.

Étape 14.2 (u = « mer se fâche »). Sujet s = t₁₂ = mer, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₁₄ = fâche (« se fâcher »), R(p) = {humain} ; séparés par « se » (g = 1).

σ = χ_R(p)(inanimé) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1 ; classe : personnification.

Étape 14.2 (u = « chat dort »). Sujet s = t₁₇ = chat, cat(s) = animal ; prédicat p = t₁₈ = dort (« dormir »), R(p) = {humain, animal} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(animal) = 1 : la catégorie du sujet est admise, emploi littéral ; P(u) = 0.

Étape 14.2 (u = « train avance »). Sujet s = t₂₁ = train, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₂₂ = avance (« avancer »), R(p) = {humain, animal, inanimé} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(inanimé) = 1 : la catégorie du sujet est admise, emploi littéral ; P(u) = 0.

Étape 14.2 (u = « maison-blanche a annoncé »). Sujet s = t₂₅ = maison-blanche, cat(s) = lieu ; prédicat p = t₂₇ = annoncé (« annoncer »), R(p) = {humain, institution} ; séparés par « a » (g = 1).

σ = χ_R(p)(lieu) = 0 ; voisins : président (humain) ; présidence (institution), r_M = 1 ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 0 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 0 · 1 = 0 ; A(u) = 0 ; classe : métonymie (fiche 18).

Étape 14.2 (u = « enfant chante »). Sujet s = t₃₂ = enfant, cat(s) = humain ; prédicat p = t₃₃ = chante (« chanter »), R(p) = {humain, animal} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(humain) = 1 : la catégorie du sujet est admise, emploi littéral ; P(u) = 0.

Étape 14.2 (u = « lune veille »). Sujet s = t₃₆ = lune, cat(s) = inanimé ; prédicat p = t₃₇ = veille (« veiller »), R(p) = {humain, animal} ; adjacents.

σ = χ_R(p)(inanimé) = 0 ; r_M = 0 (aucun voisin) ; χ_R(p)(humain) = 1, χ_R(p)(animal) = 1 ; P(u) = (1 − σ)(1 − r_M) χ_R(p)(humain) = 1 · 1 · 1 = 1 ; A(u) = 0 ; η(p) = 1/|R(p)| = 1/2 ; classe : personnification.

Étape 14.3. Pers(w) = ∑_u P(u) = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 4 ; PersInt(w) = 1 + 1/2 + 1 + 1/2 = 3 ; Anim(w) = 0.

∴ Pers(w) = 4 et PersInt(w) = 1 + 1/2 + 1 + 1/2 = 3 ; le chat, le train et l’enfant sont des emplois littéraux, la Maison-Blanche une métonymie.

Exemple 14 : huit couples, quatre personnifications, trois emplois littéraux, une métonymie.

21.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les quatorze textes des exemples 1 à 14, par l’écart entre Pers calculé et Pers attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4 (l’exemple 13 n’est pas une personnification).

version	Pers total	erreurs ∑ |Pers − attendu| (sur 14 textes)	textes mal comptés
définition à la lettre : u = s p adjacents, (1 − h(s)) · χH(p)	14	7	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (5 au lieu de 4)
partie IV : sujet inanimé ou abstrait seulement	10	1	ex. 6 (0 au lieu de 1)
sans le test de sélection σ : (1 − h(s)) · χH(p) sur les couples	17	6	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (6 au lieu de 4)
sans la réparation métonymique	14	3	ex. 12 (1 au lieu de 0) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (5 au lieu de 4)
sujet et prédicat adjacents seulement (g = 0)	9	4	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (3 au lieu de 4)
retenue	12	1	ex. 13 (1 au lieu de 0)

La définition à la lettre compte le vent qui souffle, le chat qui dort et le train qui avance, et perd la mer qui se fâche ; la partie IV perd le renard des fables ; sans la sélection, tout prédicat partagé avec l’humain devient une personnification ; sans la réparation, la métonymie est comptée ; l’adjacence stricte perd les verbes pronominaux et les temps composés. La version retenue ne garde qu’une erreur, le Corbeau du village. La définition de la partie IV n’a, elle aussi, qu’une erreur, mais de sens inverse : en excluant les animaux, elle évite le Corbeau et perd le renard. On retient les animaux parce que la définition rhétorique les nomme expressément (« à un objet inanimé, à un animal ou à une abstraction ») et que les fables en sont l’emploi le plus constant ; le surnom d’un humain par un nom d’animal est le prix de ce choix.

Erreurs des versions : sélection, réparation métonymique, animaux et mots de liaison sont tous nécessaires.

Aucun seuil numérique n’est à fixer : σ, r_M et τ_h sont des appartenances. Le seul paramètre est le nombre g de mots de liaison :

g (mots de liaison au plus)	forme admise	erreurs ∑ |Pers − attendu|	textes mal comptés
0	la mer fâche	4	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (3 au lieu de 4)
1	la mer se fâche	2	ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 13 (1 au lieu de 0)
2	la mer s’est fâchée	1	ex. 13 (1 au lieu de 0)
3	trois mots de liaison	1	ex. 13 (1 au lieu de 0)

g = 0 perd « se fâche » ; g = 1 perd « s’est fâchée » ; au-delà de 2, le résultat ne change plus sur ces textes. On retient g = 2.

Erreurs selon g : stables à partir de g = 2.

21.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois les deux tables, les voisins, L et g fixés, Pers, PersInt et Anim découlent nécessairement du calcul ; la partition en cinq classes est une tautologie, et les lemmes 1 et 2 sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : la catégorie des sujets et la sélection des prédicats relèvent du lexique ; « murmurer » s’est étendu à l’eau et au vent dans l’usage, et une table qui l’enregistrerait ferait du « vent murmure » un emploi littéral.
• Possible : tout prédicat qui admet l’humain est une personnification possible pour un sujet qu’il n’admet pas ; elle le devient si aucun voisin humain du sujet n’explique l’attribution.

21.10 Justification et limites

Personnifier, c’est prêter à une chose ce qui n’appartient qu’aux personnes. Le mécanisme rend ce « prêt » visible comme une violation de sélection : le prédicat exige un être d’une catégorie et reçoit un sujet d’une autre, et cette catégorie exigée comprend l’humain. Le produit (1 − h(s)) · χ_H(p) de la définition est conservé dans son second facteur, et son premier facteur est remplacé par le test de sélection, qui l’entraîne et qui écarte les emplois littéraux ; la réparation par un voisin sépare la personnification de la métonymie, comme à la définition N°18.

Trois limites sont assumées. La table ne connaît qu’un sens par mot : « le Corbeau », surnom d’un humain, est compté (exemple 13). Les sujets sont repérés au contact du verbe : une relative ou une incise longue (« la mer, que l’enfant regarde, se fâche ») échappe au calcul. Enfin, la personnification par l’apostrophe ou par la majuscule seule (« Ô Nuit ! ») n’a pas de prédicat et demande une autre structure.

⁂

22. Pléonasme – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
Le pléonasme est une redondance : l’emploi de mots superflus qui répètent une idée déjà exprimée. Quintilien le range parmi les fautes par addition, tout en notant qu’il peut renforcer l’expression (Institution oratoire, IX, 3, 46–47). Exemples : « monter en haut », « prévoir à l’avance », « je l’ai vu de mes propres yeux », « free gift », « the most unkindest cut of all » (Shakespeare, Jules César, III, 2), où le superlatif est marqué deux fois. Le pléonasme est une redondance linguistique consistant à ajouter des mots superflus qui répètent une idée déjà exprimée (ex. « monter en haut », « je l’ai vu de mes propres yeux »).

Mécanisme en combinatoire des mots
Il se modélise par un facteur sécable en deux sous-facteurs dont l’intersection sémantique (redondance) est totale.

Définition mathématique
Soit $Red$ une fonction booléenne de redondance sémantique. Un pléonasme est un facteur $u = xy$ tel que :

$$Red(x,y) = 1 \quad \text{(x et y sont redondants)}$$

$$\mathrm{Ple}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u = xy \text{ et } Red(x,y) = 1 \} \bigr|$$

⁂

22. Pléonasme – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique du pléonasme à quelques exemples d’un facteur sécable en deux sous-facteurs dont l’intersection sémantique (redondance) est totale.

22.1 Définition rhétorico-mathématique

Trois traits le définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• un groupe : un terme principal (la tête) et un terme qui le complète, voisins dans le texte ;
• une inclusion : tout ce que dit le complément est déjà dit par la tête ; le complément n’ajoute aucun trait de sens ;
• ou une double marque : un même trait grammatical (le superlatif, le comparatif) est marqué deux fois sur un seul mot.

Le pléonasme se distingue de la tautologie (fiche 29), qui pose l’équivalence de deux énoncés entiers, et du complément informatif, qui ajoute au moins un trait (« monter rapidement », « monter vers le sommet »).

22.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition Ple(w) = |{ u ∈ Fact(w) | u = xy et Red(x, y) = 1 }| est une définition en compréhension. Pour la rendre calculable, on se donne pour chaque terme x l’ensemble S(x) de ses traits sémantiques et l’on définit le taux de redondance par le coefficient de Jaccard, R(x, y) = |S(x) ∩ S(y)| / |S(x) ∪ S(y)| ∈ [0, 1] (0 : aucun trait commun ; 1 : identité sémantique parfaite), avec un seuil élevé θ = 0,8 :

P(x, y) = χ_{[θ, +∞[}( R(x, y) ), Ple(w) = ∑_{u = xy ∈ Fact(w)} χ_{[θ, +∞[}( |S(x) ∩ S(y)| / |S(x) ∪ S(y)| ), ou Ple(w) = ∑_{u = xy ∈ Fact(w)} χ_{1}( Red(x, y) ),

PleInt(w) = ∑_{u = xy ∈ Fact(w)} R(x, y).

La forme est juste : des ensembles finis de traits, un quotient de cardinaux, un seuil. Pour qu’elle compte exactement les pléonasmes, cinq précisions sont nécessaires : (1) le coefficient de Jaccard mesure l’égalité des deux ensembles, alors que le pléonasme est une inclusion : dans « monter en haut », R = 1/2 et le test échoue, ce que la définition rattrape en posant Red = 1 à la main ; il faut le taux d’inclusion r(x, y) = |S(x) ∩ S(y)| / |S(y)|, qui donne 1 ; (2) les rôles ne sont pas symétriques : il faut savoir lequel des deux termes est la tête et lequel le complément ; (3) le complément peut avoir plusieurs mots et être séparé de la tête (« monter ses valises en haut ») : u = xy adjacent ne suffit pas, et Fact(w) doit être remplacé par les couples (tête, complément) ; (4) la redondance grammaticale (double marque du superlatif) n’est pas une affaire de traits ; (5) la version graduée doit porter la même indicatrice, sinon les compléments informatifs y ajoutent leur part (0,3 dans l’exemple complet de la définition).

22.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance d’un trait à un ensemble : χ_F(x)(f) = 1 si le trait f du complément est déjà un trait de la tête ;
• égalité à 1 : χ_{1}(r) = 1 si tous les traits du complément sont dans la tête ;
• seuil sur un entier : χ_{[2, +∞[}(m) = 1 si un adjectif porte au moins deux marques ;
• « et » : un produit ; comptage : une somme.

22.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot

On met le texte en minuscules ; ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces, les signes . ! ? ; sont gardés comme mots ; chaque mot devient une lettre de l’alphabet Σ des mots : w = t₁ ⋯ t_n. « à l’avance » donne à, l, avance.

b) Les tables de traits

Chaque tête a un ensemble F(x) de traits de sens ; chaque complément, qui peut avoir plusieurs mots, a son ensemble F(y) et une place : après le verbe, avant le nom, après le nom.

tête	nature	formes	traits F(x)
monter	verbe	monter, monte, monta, monté, monterons, montent	{mouvement, vers le haut}
descendre	verbe	descendre, descend, descendent	{mouvement, vers le bas}
sortir	verbe	sortir, sort, sortent	{mouvement, vers l’extérieur}
reculer	verbe	reculer, recule	{mouvement, vers l’arrière}
prévoir	verbe	prévoir, prévoit	{anticipation, futur}
voir	verbe	voir, vu, voit	{perception, par les yeux}
réunir	verbe	réunir, réunit, réunissent	{rassemblement, ensemble}
gift	nom	gift	{transfert, gratuit}
cadeau	nom	cadeau	{transfert, gratuit}
arbre	nom	arbre	{végétal}

complément y	place	traits F(y)
en haut	après V	{vers le haut}
en bas	après V	{vers le bas}
dehors	après V	{vers l’extérieur}
en arrière	après V	{vers l’arrière}
à l’avance	après V	{anticipation, futur}
d’avance	après V	{anticipation, futur}
de mes propres yeux	après V	{par les yeux}
de ses propres yeux	après V	{par les yeux}
ensemble	après V	{ensemble}
rapidement	après V	{vitesse}
vers le sommet	après V	{vers le haut, point culminant}
free	avant N	{gratuit}
gratuit	après N	{gratuit}
grand	avant N	{taille}

Les compléments sont reconnus dans le texte du plus long au plus court, sans chevauchement : « de mes propres yeux » est lu en entier, non comme quatre mots.

c) Le taux d’inclusion, et pourquoi pas Jaccard

r(x, y) = |F(x) ∩ F(y)| / |F(y)| = (1 / |F(y)|) · ∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) ∈ [0, 1].

r mesure la part des traits du complément qui sont déjà dans la tête : r = 1 si et seulement si F(y) ⊆ F(x), c’est-à-dire si le complément n’apporte rien.

Lemme 1 (Jaccard et inclusion). Pour tous ensembles finis non vides, J(x, y) = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| ≤ r(x, y), car |F(x) ∪ F(y)| ≥ |F(y)|. Si F(y) ⊆ F(x), alors J(x, y) = |F(y)| / |F(x)|. ∴ Pour un pléonasme, le test J ≥ 0,8 exige que le complément répète au moins les quatre cinquièmes des traits de la tête : seuls les quasi-synonymes passent (« prévoir à l’avance », J = 1), et les pléonasmes ordinaires, où le complément ne reprend qu’un trait de la tête, échouent (« monter en haut », J = 1/2 ; « voir de ses propres yeux », J = 1/2). J = 1 dit « les deux termes ont les mêmes traits » ; r = 1 dit « le second ne dit rien de plus que le premier » : c’est la seconde phrase qui définit le pléonasme.

Inclusion contre égalité : F(en haut) ⊆ F(monter) donne r = 1, mais Jaccard = 1/2.

r et Jaccard pour chaque couple des exemples : Jaccard ≥ 0,8 ne garde que le quasi-synonyme.

d) Les couples (tête, complément)

Un complément placé après le verbe est rattaché au verbe le plus proche qui le précède, à au plus g = 2 mots, sans ponctuation entre eux ; un adjectif placé avant le nom est rattaché au nom qui le suit, un adjectif placé après le nom au nom qui le précède.

Cpl(w) = { (h, y) : t_h tête, y occurrence de complément, h précède y de g ≤ 2 mots (après le verbe), ou h lui est adjacente (adjectif) }.

Lemme 2 (unicité). Chaque occurrence de complément est rattachée à au plus une tête, la plus proche ; les compléments ne se chevauchent pas. ∴ Chaque pléonasme est compté une fois, et la somme sur Fact(w), qui compterait « monter en haut » dans chacun des facteurs qui le contiennent, est remplacée par une somme sur Cpl(w).

Les couples (tête, complément) : adjacents, séparés par deux mots, adjectif avant le nom.

e) La redondance grammaticale

Un adjectif peut porter trois sortes de marques de degré : une marque inscrite dans le mot (meilleur, pire, moindre), le suffixe -est (unkindest), une marque analytique devant lui (most, more, plus). Leur nombre m(a) est la somme de trois indicatrices :

m(a) = χ_INH(a) + χ_SUF(a) + χ_ANA(t_i−1), G(a) = χ_{[2, +∞[}(m(a)).

Une marque suffit à faire un comparatif ou un superlatif ; la seconde est superflue : le seuil 2 est logique.

f) La partition des couples

Pour chaque couple, l’identité 1 = χ_{0}(r) + χ_{]0, 1[}(r) + χ_{1}(r) range le complément dans exactement une classe : informatif (aucun trait commun : « monte rapidement »), en partie redondant (« monte vers le sommet », r = 1/2), pléonastique (r = 1).

Les trois classes de compléments selon r : informatif, en partie redondant, pléonastique.

22.5 Définition mathématique

Ple(w) = ∑_{(x, y) ∈ Cpl(w)} χ_{1}( (1 / |F(y)|) · ∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) ) + ∑_{a adjectif de w} χ_{[2, +∞[}( m(a) ),

PleInt(w) = ∑_{(x, y) ∈ Cpl(w)} χ_{1}(r(x, y)) · |F(x) ∩ F(y)| + ∑_a G(a) · (m(a) − 1).

Le seuil de la définition, χ_{[θ, +∞[} avec θ = 0,8, est remplacé par χ_{1}, qui équivaut à χ_{[θ, 1]} pour tout θ compris entre la plus grande valeur de r inférieure à 1 et 1 (paragraphe 22.8). PleInt compte les traits répétés et les marques superflues : « prévoir à l’avance » répète deux traits, « monter en haut » un seul.

La définition complète : couples, taux d’inclusion, double marque, intensité.

22.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots t₁, …, t_n.
2. Repérer les compléments, du plus long au plus court ; rattacher chacun à sa tête (verbe précédent à au plus deux mots, ou nom adjacent).
3. Lire F(x) et F(y) ; compter les traits de y présents dans F(x) ; diviser par |F(y)| : r.
4. Pléonasme si r = 1 ; pour chaque adjectif, compter ses marques de degré : pléonasme grammatical si m ≥ 2.
5. Additionner : Ple(w), puis PleInt(w).

22.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le premier tableau donne une ligne par couple (tête, complément) : les traits, leur intersection, r, le coefficient de Jaccard pour comparaison, l’indicatrice et la classe ; le second, s’il y a lieu, une ligne par adjectif marqué.

Exemple 1 – « Monter en haut » : l’inclusion, non l’égalité

Texte : « Il faut monter en haut. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« monter en haut »	monter	en haut	0	{mouvement, vers le haut}	{vers le haut}	{vers le haut}	1	1/2	1	pléonasme

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = faut, t₃ = monter, t₄ = en, t₅ = haut, t₆ = . ; n = 6.

Étape 1.2 (u = « monter en haut »). Tête x = t₃ = monter (« monter »), F(x) = {mouvement, vers le haut} ; complément y = « en haut » (positions 4 à 5), F(y) = {vers le haut} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 1.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 1 + 0 = 1 ; PleInt(w) = 1 (traits ou marques répétés).

Avec le coefficient de Jaccard et le seuil 0,8 : 0.

∴ F(en haut) = {vers le haut} est contenu dans F(monter) = {mouvement, vers le haut} : r = 1/1 = 1. Pléonasme. Le coefficient de Jaccard vaut 1/2 et le manque : il mesure l’égalité des deux ensembles de traits, non l’inclusion de l’un dans l’autre.

Exemple 2 – « Prévoir à l’avance » : le pléonasme maximal

Texte : « Il faut prévoir à l’avance. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« prévoir à l’avance »	prévoir	à l’avance	0	{anticipation, futur}	{anticipation, futur}	{anticipation, futur}	1	1	1	pléonasme

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = faut, t₃ = prévoir, t₄ = à, t₅ = l, t₆ = avance, t₇ = . ; n = 7.

Étape 2.2 (u = « prévoir à l’avance »). Tête x = t₃ = prévoir (« prévoir »), F(x) = {anticipation, futur} ; complément y = « à l’avance » (positions 4 à 6), F(y) = {anticipation, futur} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 2 ; r(x, y) = 2/2 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 2.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 1 + 0 = 1 ; PleInt(w) = 2 (traits ou marques répétés).

Avec le coefficient de Jaccard et le seuil 0,8 : 1.

∴ F(à l’avance) = F(prévoir) = {anticipation, futur} : r = 1 et Jaccard = 1. Pléonasme, qui répète deux traits ; c’est le seul exemple que le test de Jaccard reconnaisse.

Exemple 3 – « Je l’ai vu de mes propres yeux »

Texte : « Je l’ai vu de mes propres yeux. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« vu de mes propres yeux »	vu	de mes propres yeux	0	{perception, par les yeux}	{par les yeux}	{par les yeux}	1	1/2	1	pléonasme

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = je, t₂ = l, t₃ = ai, t₄ = vu, t₅ = de, t₆ = mes, t₇ = propres, t₈ = yeux, t₉ = . ; n = 9.

Étape 3.2 (u = « vu de mes propres yeux »). Tête x = t₄ = vu (« voir »), F(x) = {perception, par les yeux} ; complément y = « de mes propres yeux » (positions 5 à 8), F(y) = {par les yeux} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 3.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 1 + 0 = 1 ; PleInt(w) = 1 (traits ou marques répétés).

∴ le complément de quatre mots « de mes propres yeux » a pour trait {par les yeux}, déjà dans F(voir) : r = 1. Pléonasme d’insistance.

Exemple 4 – « A free gift » : l’adjectif avant le nom

Texte : « A free gift. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« free gift »	gift	free	0	{transfert, gratuit}	{gratuit}	{gratuit}	1	1/2	1	pléonasme

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = a, t₂ = free, t₃ = gift, t₄ = . ; n = 4.

Étape 4.2 (u = « free gift »). Tête x = t₃ = gift (« gift »), F(x) = {transfert, gratuit} ; complément y = « free » (positions 2 à 2), F(y) = {gratuit} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 4.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 1 + 0 = 1 ; PleInt(w) = 1 (traits ou marques répétés).

∴ l’adjectif free précède sa tête gift ; F(free) = {gratuit} ⊆ F(gift) = {transfert, gratuit} : r = 1. Pléonasme.

Exemple 5 – « Il sort dehors »

Texte : « Il sort dehors. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« sort dehors »	sort	dehors	0	{mouvement, vers l’extérieur}	{vers l’extérieur}	{vers l’extérieur}	1	1/2	1	pléonasme

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = sort, t₃ = dehors, t₄ = . ; n = 4.

Étape 5.2 (u = « sort dehors »). Tête x = t₂ = sort (« sortir »), F(x) = {mouvement, vers l’extérieur} ; complément y = « dehors » (positions 3 à 3), F(y) = {vers l’extérieur} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 5.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 1 + 0 = 1 ; PleInt(w) = 1 (traits ou marques répétés).

∴ F(dehors) = {vers l’extérieur} ⊆ F(sortir) : r = 1. Pléonasme.

Exemple 6 – « Il monte ses valises en haut » : deux mots entre la tête et le complément

Texte : « Il monte ses valises en haut. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« monte ses valises en haut »	monte	en haut	2	{mouvement, vers le haut}	{vers le haut}	{vers le haut}	1	1/2	1	pléonasme

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = monte, t₃ = ses, t₄ = valises, t₅ = en, t₆ = haut, t₇ = . ; n = 7.

Étape 6.2 (u = « monte ses valises en haut »). Tête x = t₂ = monte (« monter »), F(x) = {mouvement, vers le haut} ; complément y = « en haut » (positions 5 à 6), F(y) = {vers le haut} ; g = 2.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 6.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 1 + 0 = 1 ; PleInt(w) = 1 (traits ou marques répétés).

Avec l’adjacence stricte (g = 0) : 0.

∴ « ses valises » sépare monter de en haut (g = 2) ; r = 1. Pléonasme ; l’adjacence stricte u = xy le perdrait.

Exemple 7 – « The most unkindest cut of all » : la double marque du superlatif

Texte : « The most unkindest cut of all. »

adjectif a	mot précédent	marque inscrite	suffixe -est	marque analytique	m(a)	χ[2, +∞[(m)
unkindest	most	0	1	1	2	1

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = the, t₂ = most, t₃ = unkindest, t₄ = cut, t₅ = of, t₆ = all, t₇ = . ; n = 7.

Étape 7.3 (adjectif t₃ = unkindest). Marque inscrite 0, suffixe -est 1, marque analytique devant (« most ») 1 : m = 2 ; χ_{[2, +∞[}(2) = 1.

Étape 7.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 0 + 1 = 1 ; PleInt(w) = 1 (traits ou marques répétés).

Sans la redondance grammaticale : 0.

∴ unkindest porte le suffixe -est, et most le précède : deux marques de superlatif, m = 2. Pléonasme grammatical, que Shakespeare emploie pour l’emphase (Jules César, III, 2).

Exemple 8 – « C’est plus meilleur » : la double marque du comparatif

Texte : « C’est plus meilleur. »

adjectif a	mot précédent	marque inscrite	suffixe -est	marque analytique	m(a)	χ[2, +∞[(m)
meilleur	plus	1	0	1	2	1

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = c, t₂ = est, t₃ = plus, t₄ = meilleur, t₅ = . ; n = 5.

Étape 8.3 (adjectif t₄ = meilleur). Marque inscrite 1, suffixe -est 0, marque analytique devant (« plus ») 1 : m = 2 ; χ_{[2, +∞[}(2) = 1.

Étape 8.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 0 + 1 = 1 ; PleInt(w) = 1 (traits ou marques répétés).

∴ meilleur est déjà un comparatif (« plus bon ») ; plus en ajoute une seconde marque : m = 2. Pléonasme grammatical.

Exemple 9 – « Un grand arbre » : aucun trait commun

Texte : « Un grand arbre. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« grand arbre »	arbre	grand	0	{végétal}	{taille}	∅	0	0	0	complément informatif (aucun trait commun)

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = un, t₂ = grand, t₃ = arbre, t₄ = . ; n = 4.

Étape 9.2 (u = « grand arbre »). Tête x = t₃ = arbre (« arbre »), F(x) = {végétal} ; complément y = « grand » (positions 2 à 2), F(y) = {taille} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 0 ; r(x, y) = 0/1 = 0 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 0 ; P = χ_{1}(0) = 0 ; classe : complément informatif (aucun trait commun).

Étape 9.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 0 + 0 = 0 ; PleInt(w) = 0 (traits ou marques répétés).

∴ F(grand) = {taille}, F(arbre) = {végétal} : r = 0. Le complément ajoute toute son information.

Exemple 10 – « Il monte rapidement » : un complément informatif

Texte : « Il monte rapidement. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« monte rapidement »	monte	rapidement	0	{mouvement, vers le haut}	{vitesse}	∅	0	0	0	complément informatif (aucun trait commun)

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = monte, t₃ = rapidement, t₄ = . ; n = 4.

Étape 10.2 (u = « monte rapidement »). Tête x = t₂ = monte (« monter »), F(x) = {mouvement, vers le haut} ; complément y = « rapidement » (positions 3 à 3), F(y) = {vitesse} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 0 ; r(x, y) = 0/1 = 0 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 0 ; P = χ_{1}(0) = 0 ; classe : complément informatif (aucun trait commun).

Étape 10.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 0 + 0 = 0 ; PleInt(w) = 0 (traits ou marques répétés).

∴ F(rapidement) = {vitesse} n’a aucun trait dans F(monter) : r = 0. Pas de pléonasme.

Exemple 11 – « Il monte vers le sommet » : une redondance partielle

Texte : « Il monte vers le sommet. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« monte vers le sommet »	monte	vers le sommet	0	{mouvement, vers le haut}	{vers le haut, point culminant}	{vers le haut}	1/2	1/3	0	complément en partie redondant (r < 1)

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = monte, t₃ = vers, t₄ = le, t₅ = sommet, t₆ = . ; n = 6.

Étape 11.2 (u = « monte vers le sommet »). Tête x = t₂ = monte (« monter »), F(x) = {mouvement, vers le haut} ; complément y = « vers le sommet » (positions 3 à 5), F(y) = {vers le haut, point culminant} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/2 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/3 ; P = χ_{1}(1/2) = 0 ; classe : complément en partie redondant (r < 1).

Étape 11.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 0 + 0 = 0 ; PleInt(w) = 0 (traits ou marques répétés).

Avec le seuil θ = 1/2 : 1.

∴ F(vers le sommet) = {vers le haut, point culminant} : un trait sur deux est déjà dans monter, r = 1/2. Le complément ajoute le point culminant : ce n’est pas un pléonasme, et c’est lui qui fixe le seuil au-dessus de 1/2.

Exemple 12 – « C’est le meilleur » : une seule marque

Texte : « C’est le meilleur. »

adjectif a	mot précédent	marque inscrite	suffixe -est	marque analytique	m(a)	χ[2, +∞[(m)
meilleur	le	1	0	0	1	0

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = c, t₂ = est, t₃ = le, t₄ = meilleur, t₅ = . ; n = 5.

Étape 12.3 (adjectif t₄ = meilleur). Marque inscrite 1, suffixe -est 0, marque analytique devant (« le ») 0 : m = 1 ; χ_{[2, +∞[}(1) = 0.

Étape 12.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 0 + 0 = 0 ; PleInt(w) = 0 (traits ou marques répétés).

∴ meilleur porte une marque, l’article le n’en est pas une : m = 1. Pas de pléonasme.

Exemple 13 – « Elle monte ce qu’il a laissé en haut » : un complément d’un autre verbe

Texte : « Elle monte ce qu’il a laissé en haut. »

Étape 13.1. Mots et positions : t₁ = elle, t₂ = monte, t₃ = ce, t₄ = qu, t₅ = il, t₆ = a, t₇ = laissé, t₈ = en, t₉ = haut, t₁₀ = . ; n = 10.

Étape 13.2. Aucun couple (tête, complément) ni adjectif marqué : Ple(w) = 0.

Avec une portée de cinq mots : 1.

∴ « en haut » complète laissé, non monte ; cinq mots les séparent. Avec g = 2, aucun couple n’est formé ; une portée de cinq mots compterait un pléonasme.

Exemple 14 – Faux positif assumé : monter en haut de la tour

Texte : « Il monte en haut de la tour. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« monte en haut »	monte	en haut	0	{mouvement, vers le haut}	{vers le haut}	{vers le haut}	1	1/2	1	pléonasme

Étape 14.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = monte, t₃ = en, t₄ = haut, t₅ = de, t₆ = la, t₇ = tour, t₈ = . ; n = 8.

Étape 14.2 (u = « monte en haut »). Tête x = t₂ = monte (« monter »), F(x) = {mouvement, vers le haut} ; complément y = « en haut » (positions 3 à 4), F(y) = {vers le haut} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 14.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 1 + 0 = 1 ; PleInt(w) = 1 (traits ou marques répétés).

∴ le calcul trouve « monte en haut » et compte un pléonasme (r = 1). Mais « en haut de la tour » nomme le lieu d’arrivée, le sommet de la tour : l’usage admet cette tournure, qui ajoute une information que le groupe « en haut » seul n’a pas. La table lit « en haut » sans regarder ce qui le suit.

Exemple 15 – Texte complet : cinq pléonasmes de sens, un pléonasme grammatical

Texte : « Il faut prévoir à l’avance : nous monterons en haut ensemble. Ils sortent dehors et se réunissent ensemble. C’est plus meilleur ainsi ; il le voit de ses propres yeux. Il descend rapidement. »

u	tête x	complément y	g	F(x)	F(y)	F(x) ∩ F(y)	r(x, y)	Jaccard	P = χ{1}(r)	classe
« prévoir à l’avance »	prévoir	à l’avance	0	{anticipation, futur}	{anticipation, futur}	{anticipation, futur}	1	1	1	pléonasme
« monterons en haut »	monterons	en haut	0	{mouvement, vers le haut}	{vers le haut}	{vers le haut}	1	1/2	1	pléonasme
« monterons en haut ensemble »	monterons	ensemble	2	{mouvement, vers le haut}	{ensemble}	∅	0	0	0	complément informatif (aucun trait commun)
« sortent dehors »	sortent	dehors	0	{mouvement, vers l’extérieur}	{vers l’extérieur}	{vers l’extérieur}	1	1/2	1	pléonasme
« réunissent ensemble »	réunissent	ensemble	0	{rassemblement, ensemble}	{ensemble}	{ensemble}	1	1/2	1	pléonasme
« voit de ses propres yeux »	voit	de ses propres yeux	0	{perception, par les yeux}	{par les yeux}	{par les yeux}	1	1/2	1	pléonasme
« descend rapidement »	descend	rapidement	0	{mouvement, vers le bas}	{vitesse}	∅	0	0	0	complément informatif (aucun trait commun)

adjectif a	mot précédent	marque inscrite	suffixe -est	marque analytique	m(a)	χ[2, +∞[(m)
meilleur	plus	1	0	1	2	1

Étape 15.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = faut, t₃ = prévoir, t₄ = à, t₅ = l, t₆ = avance, t₇ = nous, t₈ = monterons, t₉ = en, t₁₀ = haut, t₁₁ = ensemble, t₁₂ = ., t₁₃ = ils, t₁₄ = sortent, t₁₅ = dehors, t₁₆ = et, t₁₇ = se, t₁₈ = réunissent, t₁₉ = ensemble, t₂₀ = ., t₂₁ = c, t₂₂ = est, t₂₃ = plus, t₂₄ = meilleur, t₂₅ = ainsi, t₂₆ = ;, t₂₇ = il, t₂₈ = le, t₂₉ = voit, t₃₀ = de, t₃₁ = ses, t₃₂ = propres, t₃₃ = yeux, t₃₄ = ., t₃₅ = il, t₃₆ = descend, t₃₇ = rapidement, t₃₈ = . ; n = 38.

Étape 15.2 (u = « prévoir à l’avance »). Tête x = t₃ = prévoir (« prévoir »), F(x) = {anticipation, futur} ; complément y = « à l’avance » (positions 4 à 6), F(y) = {anticipation, futur} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 2 ; r(x, y) = 2/2 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 15.2 (u = « monterons en haut »). Tête x = t₈ = monterons (« monter »), F(x) = {mouvement, vers le haut} ; complément y = « en haut » (positions 9 à 10), F(y) = {vers le haut} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 15.2 (u = « monterons en haut ensemble »). Tête x = t₈ = monterons (« monter »), F(x) = {mouvement, vers le haut} ; complément y = « ensemble » (positions 11 à 11), F(y) = {ensemble} ; g = 2.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 0 ; r(x, y) = 0/1 = 0 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 0 ; P = χ_{1}(0) = 0 ; classe : complément informatif (aucun trait commun).

Étape 15.2 (u = « sortent dehors »). Tête x = t₁₄ = sortent (« sortir »), F(x) = {mouvement, vers l’extérieur} ; complément y = « dehors » (positions 15 à 15), F(y) = {vers l’extérieur} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 15.2 (u = « réunissent ensemble »). Tête x = t₁₈ = réunissent (« réunir »), F(x) = {rassemblement, ensemble} ; complément y = « ensemble » (positions 19 à 19), F(y) = {ensemble} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 15.2 (u = « voit de ses propres yeux »). Tête x = t₂₉ = voit (« voir »), F(x) = {perception, par les yeux} ; complément y = « de ses propres yeux » (positions 30 à 33), F(y) = {par les yeux} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 1 ; r(x, y) = 1/1 = 1 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 1/2 ; P = χ_{1}(1) = 1 ; classe : pléonasme.

Étape 15.2 (u = « descend rapidement »). Tête x = t₃₆ = descend (« descendre »), F(x) = {mouvement, vers le bas} ; complément y = « rapidement » (positions 37 à 37), F(y) = {vitesse} ; g = 0.

∑_{f ∈ F(y)} χ_F(x)(f) = 0 ; r(x, y) = 0/1 = 0 ; Jaccard = |F(x) ∩ F(y)| / |F(x) ∪ F(y)| = 0 ; P = χ_{1}(0) = 0 ; classe : complément informatif (aucun trait commun).

Étape 15.3 (adjectif t₂₄ = meilleur). Marque inscrite 1, suffixe -est 0, marque analytique devant (« plus ») 1 : m = 2 ; χ_{[2, +∞[}(2) = 1.

Étape 15.4. Ple(w) = ∑_{(x, y)} χ_{1}(r(x, y)) + ∑_a χ_{[2, +∞[}(m(a)) = 5 + 1 = 6 ; PleInt(w) = 7 (traits ou marques répétés).

∴ Ple(w) = 6 : prévoir à l’avance, monterons en haut, sortent dehors, réunissent ensemble, voit de ses propres yeux, plus meilleur ; PleInt(w) = 7 traits ou marques répétés. « monterons … ensemble » et « descend rapidement » ont r = 0.

Exemple 15 : sept couples, cinq pléonasmes de sens, un pléonasme grammatical.

22.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les quinze textes des exemples 1 à 15, par l’écart entre Ple calculé et Ple attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6 (l’exemple 14 n’est pas un pléonasme).

version	Ple total	erreurs ∑ |Ple − attendu| (sur 15 textes)	textes mal comptés
définition à la lettre : Jaccard ≥ 0,8, couple adjacent u = xy	2	12	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 15 (1 au lieu de 6)
Jaccard ≥ 0,8 sur les couples (tête, complément)	2	12	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 15 (1 au lieu de 6)
inclusion sans la redondance grammaticale	12	4	ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 14 (1 au lieu de 0) ; ex. 15 (5 au lieu de 6)
tête et complément adjacents seulement (g = 0)	14	2	ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 14 (1 au lieu de 0)
portée large : cinq mots entre tête et complément	16	2	ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (1 au lieu de 0)
retenue	15	1	ex. 14 (1 au lieu de 0)

Le coefficient de Jaccard ne reconnaît que le quasi-synonyme ; sans la redondance grammaticale, Shakespeare et « plus meilleur » sont perdus ; l’adjacence stricte perd « monte ses valises en haut » ; une portée de cinq mots rattache à monter le complément d’un autre verbe. La version retenue ne garde qu’une erreur, « en haut de la tour ».

Erreurs des versions : inclusion, couples, double marque et portée de deux mots sont tous nécessaires.

Sensibilité au seuil θ du taux d’inclusion :

θ	erreurs ∑ |Ple − attendu|	textes mal comptés
0,5	2	ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (1 au lieu de 0)
0,67	1	ex. 14 (1 au lieu de 0)
0,8	1	ex. 14 (1 au lieu de 0)
1	1	ex. 14 (1 au lieu de 0)

θ = 1/2 compte « monter vers le sommet » (r = 1/2) ; dès θ > 1/2, les verdicts sont ceux de θ = 1 sur ces textes. Le seuil 0,8 de la définition donne donc le bon résultat quand il est appliqué au taux d’inclusion, non au coefficient de Jaccard ; on retient θ = 1, qui a un sens logique : le complément n’ajoute aucun trait.

Erreurs selon θ et selon la portée g.

Sensibilité au nombre g de mots admis entre la tête et le complément :

g (mots entre tête et complément)	erreurs ∑ |Ple − attendu|	textes mal comptés
0	2	ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 14 (1 au lieu de 0)
1	2	ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 14 (1 au lieu de 0)
2	1	ex. 14 (1 au lieu de 0)
3	1	ex. 14 (1 au lieu de 0)
5	2	ex. 13 (1 au lieu de 0) ; ex. 14 (1 au lieu de 0)

g = 0 et g = 1 perdent « monte ses valises en haut » ; g = 3 ne change rien ; g = 5 rattache « en haut » à monte par-dessus « ce qu’il a laissé ». On retient g = 2.

22.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois les tables de traits, les places, les listes de marques et g fixés, Ple et PleInt découlent nécessairement du calcul ; le lemme 1 (Jaccard ≤ r), le lemme 2 et la partition en trois classes sont des conséquences nécessaires des définitions. La double marque se lit dans la forme des mots.
• Contingent : la table de traits relève du sens ; un complément devenu nécessaire par l’usage (« en haut de la tour ») ou un pléonasme lexicalisé (aujourd’hui, qui contenait déjà hui) échappent à la table.
• Possible : tout complément dont les traits sont tous dans la tête est un pléonasme possible ; il peut être une faute ou une insistance voulue (« de mes propres yeux »), ce que le calcul ne distingue pas.

22.10 Justification et limites

Le pléonasme répète une information déjà donnée. L’inclusion des traits du complément dans ceux de la tête en est la définition exacte, et le taux r mesure la part d’information répétée. Le coefficient de Jaccard de la définition est conservé comme point de comparaison : le lemme 1 montre qu’il mesure autre chose, l’égalité des deux termes, et qu’il ne reconnaît le pléonasme que lorsque le complément est un quasi-synonyme de la tête.

Trois limites sont assumées. La table lit le complément sans ce qui le suit : « en haut de la tour » est compté (exemple 14). Le calcul ne sépare pas la faute de l’emphase voulue. Enfin, un pléonasme entre deux propositions (« il est revenu ; il est de retour ») n’a pas de couple (tête, complément) et relève de la répétition ou de la tautologie (fiche 29).

⁂

23. Procatalepsis – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
La procatalepsis (aussi appelée prolepse argumentative ou occupatio, latin praesumptio) est la figure par laquelle l’orateur anticipe une objection et la réfute avant que l’adversaire ne la formule. Quintilien la décrit sous le nom de praesumptio (Institution oratoire, IX, 2, 16–18). Socrate en use dans l’Apologie de Platon : « Peut-être quelqu’un d’entre vous répliquera-t-il… » (20c) ; Frederick Douglass l’emploie dans son discours du 5 juillet 1852 : « But I fancy I hear some one of my audience say… ». Ses formules types sont « on dira que…, mais… », « vous objecterez que…, mais… », « certains prétendront que…, mais… ». La procatalepsis (ou prolepse) anticipe et réfute une objection avant qu’elle ne soit formulée par l’adversaire (ex. « Vous direz que… mais… »).

Mécanisme en combinatoire des mots
Elle se modélise par une structure séquentielle stricte : un facteur d’objection anticipée $o$ immédiatement suivi de son facteur de réfutation $r$.

Définition mathématique
Soit $Obj$ un lexique ou ensemble de facteurs d’objection. Une procatalepsis est un facteur $u = or$ tel que $o \in Obj$ et $r$ réfute $o$.

$$\mathrm{Proc}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid u = or \text{ avec } o \in Obj \text{ et } r \text{ réfute } o \} \bigr|$$

⁂

23. Procatalepsis – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de la procatalepsis à quelques exemples d’un facteur d’objection anticipée $o$ immédiatement suivi de son facteur de réfutation $r$.

23.1 Définition rhétorico-mathématique

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une objection anticipée : une parole attribuée à un adversaire indéterminé ou à l’auditoire, au futur (« on dira que », « vous objecterez que ») ;
• une réfutation : la suite de l’énoncé la combat, ouverte par un pivot adversatif (mais, pourtant, cependant) ;
• un ordre : l’objection vient d’abord, la réponse ensuite, dans le même énoncé.

La procatalepsis se distingue de l’objection simplement rapportée (« certains diront que le risque est grand », sans réponse), de la parole rapportée au passé (« il a dit que…, mais… »), qui répond à ce qui a été dit et n’anticipe rien, et de la simple opposition (« il pleut, mais je sors »).

23.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule Proc(w) = |{ u ∈ Fact(w) | u = or, o ∈ Obj, r réfute o }| reste une définition en compréhension. Pour la rendre calculable, on introduit un ensemble Obj = {o₁, …, o_m} des facteurs susceptibles de représenter une objection et son indicatrice χ_Obj, une fonction de réfutation Ref(o, r) = 1 si r réfute o, 0 sinon, et une fonction d’ordre Ord(o, r) = 1 si o précède r, 0 sinon. Une occurrence de procatalepsis est P(o, r) = χ_Obj(o) × Ord(o, r) × Ref(o, r) ∈ {0, 1}, et :

Proc(w) = ∑_{(o, r) ∈ Fact(w)²} χ_Obj(o) · Ord(o, r) · Ref(o, r) = ∑_{(o, r) ∈ Fact(w)²} χ_Obj(o) · χ_{1}(Ord(o, r)) · χ_{1}(Ref(o, r)),

ProcInt(w) = ∑_{(o, r)} χ_Obj(o) · Ord(o, r) · ρ(o, r), ρ(o, r) ∈ [0, 1] force de la réfutation.

La forme est juste : trois indicatrices multipliées, une somme. Pour qu’elle compte exactement les procatalepsis, cinq précisions sont nécessaires : (1) Obj et Ref sont posés à la main dans les exemples de la définition (χ_Obj(o) = 1, Ref(o, r) = 1 « on attribue ») ; il faut les lire dans le mot, par une marque d’anticipation et par un pivot adversatif ; (2) la somme sur Fact(w)² compte tous les couples de facteurs, donc toute marque avec tout pivot qui la suit, même dans un autre énoncé ; l’unité est l’énoncé e = o · r ; (3) la marque doit être une parole d’adversaire au futur : « il a dit que » et « je dirai que » ne sont pas des objections anticipées ; (4) Ord n’a plus à être testé, il est garanti par la construction o · r ; (5) la force ρ doit se calculer, et la version graduée doit porter la même indicatrice : dans l’exemple complet de la définition, le couple sans réfutation (Ref = 0) ajoute encore 0,20 à l’intensité.

23.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance à un langage fini de marques : χ_Mo(m) = 1 si le facteur m est une marque d’anticipation ;
• appartenance à une liste de pivots : χ_P(x) = 1 si x est un pivot adversatif ;
• « il existe » : χ_{[1, +∞[}(∑ …) = 1 dès qu’une marque, ou un pivot, est présent ;
• signe final : χ_{?}(dernier signe) = 1 si la réfutation est une question ;
• « et » : un produit ; comptage : une somme sur les énoncés.

23.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les énoncés

On met le texte en minuscules ; ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces, les signes . ! ? ; sont gardés comme mots et coupent w en énoncés e₁, …, e_m ; une forme élidée compte pour un mot (« n’ » donne n). Les longueurs |o| et |r| sont comptées en mots, sans la ponctuation.

b) Le langage des marques d’anticipation

Une marque d’anticipation est un facteur s · c · v · q : un sujet d’adversaire indéterminé s, un complément facultatif c = me, un verbe de parole v au futur accordé au sujet, et la conjonction q (que, qu’, that). Le tableau des accords est :

sujet s	verbes v accordés, au futur
on	dira; objectera; répliquera; prétendra
vous	direz; objecterez; prétendrez; répliquerez
certains	diront; prétendront; affirmeront; objecteront
quelqu’un	dira; objectera
some	will say; will object; may say
you	will say; may object; might say

Mo = { s · c · v · q : v ∈ V(s), c ∈ {ε, me} (français), q ∈ {que, qu} (français) ou {that} (anglais) }, |Mo| = 62.

Le compte se fait par produit : pour chaque sujet français, |V(s)| verbes × 2 choix de complément × 2 formes de que ; pour chaque sujet anglais, |V(s)| verbes × 1 × 1. C’est un langage fini, dont l’indicatrice remplace l’ensemble Obj de la définition : on ne reconnaît pas une objection à son contenu, mais à la forme qui l’attribue à autrui et la place au futur. Le passé (« a dit »), la première personne (« je dirai ») et les sujets déterminés (« il ») n’y sont pas.

Le langage Mo des marques, construit par produit : sujets, complément facultatif, verbes au futur accordés, conjonction.

c) Le pivot, et la coupe o · r

P = {mais, cependant, pourtant, or, but, yet}. Dans un énoncé e qui contient une marque commençant à la position k + 1 (k ≤ 2 : « bien sûr, certains prétendront que » a k = 2), on cherche le premier pivot qui suit la marque. S’il existe, l’énoncé se coupe en o (du début de l’énoncé au pivot exclu) et r (du pivot inclus à la fin).

P(e) = χ_{[1, +∞[}( ∑_k=0² χ_Mo(m_k(e)) ) · χ_{[1, +∞[}( |{ i > fin(m) : t_i ∈ P }| ), e = o · r.

Lemme 1 (Ord et Ref sont lus dans la coupe). Si P(e) = 1, alors o précède r par construction : Ord(o, r) = 1. La réfutation est marquée par χ_P(premier mot de r) = 1 : la fonction Ref(o, r) de la définition, qui exigeait de juger si r réfute o, est remplacée par une appartenance vérifiable. ∴ P(e) = χ_Obj(o) · Ord(o, r) · Ref(o, r) avec χ_Obj(o) = χ_Mo(marque), Ord = 1, Ref = χ_P(pivot).

Lemme 2 (une procatalepsis par énoncé). Chaque énoncé contient au plus une coupe o · r retenue (première marque, premier pivot). ∴ Proc(w) ≤ m, le nombre d’énoncés. La somme sur Fact(w)², au contraire, compte chaque marque avec chaque pivot qui la suit dans tout le texte : pour M marques et N pivots, jusqu’à M · N couples (exemple 12).

La coupe e = o · r : la marque ouvre l’objection, le pivot ouvre la réfutation.

d) Les mesures : β, ρ et q

β(e) = |r| / |o|, ρ(e) = |r| / (|o| + |r|) = β / (1 + β) ∈ ]0, 1[, q(w) = (1 / Proc(w)) · ∑_{e : P(e) = 1} χ_{?}(dernier signe de r).

β est le rapport de développement du tapuscrit : β > 1 si la réfutation est plus longue que l’objection. ρ en est la version bornée, la part de l’énoncé consacrée à la réponse ; elle remplace la force ρ(o, r) posée à la main de la définition. Lemme 3. ρ > 1/2 si et seulement si β > 1, et ρ est une fonction croissante de β. q est la part des réfutations interrogatives, qui sont des questions rhétoriques mises au service de la réfutation.

β et ρ pour les procatalepsis des exemples : ρ = β / (1 + β), ρ > 1/2 si et seulement si β > 1.

e) La partition des énoncés

Avec μ = χ_{[1, +∞[}(marques) et π = χ_{[1, +∞[}(pivots après la marque), l’identité 1 = (1 − μ) + μ(1 − π) + μπ range chaque énoncé dans exactement une classe : sans marque (opposition simple ou énoncé quelconque), objection sans réponse, procatalepsis.

L’arbre de décision : marque d’anticipation, puis pivot ; chaque énoncé dans exactement une classe.

23.5 Définition mathématique

Proc(w) = ∑_j=1^m χ_{[1, +∞[}( ∑_k=0² χ_Mo(m_k(e_j)) ) · χ_{[1, +∞[}( |{ i > fin(m) : t_i ∈ P }| ),

ProcInt(w) = ∑_j P(e_j) · ρ(e_j), q(w) = (1 / Proc(w)) ∑_j P(e_j) · χ_{?}(dernier signe de e_j).

La somme sur Fact(w)² est remplacée par une somme sur les énoncés ; χ_Obj(o) devient χ_Mo, Ref devient χ_P, Ord est garanti par la coupe (lemme 1). ProcInt porte l’indicatrice P(e) : un énoncé sans réfutation n’ajoute rien.

La définition complète : marques, pivot, coupe, rapport β et part ρ.

23.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots et en énoncés.
2. Dans chaque énoncé, chercher une marque de Mo commençant à l’une des trois premières positions.
3. Si une marque est trouvée, chercher le premier pivot qui la suit dans l’énoncé ; couper e = o · r.
4. Compter |o| et |r| en mots ; calculer β, ρ ; noter si r finit par « ? ».
5. Additionner : Proc(w), ProcInt(w) ; calculer q(w).

23.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par énoncé : la marque et son décalage, le pivot, les deux indicatrices, la contribution P(e), les longueurs |o| et |r|, les rapports β et ρ, et la fin interrogative.

Exemple 1 – « Vous direz que…, mais… » : l’exemple de la définition

Texte : « Vous direz que cette mesure coûte trop cher, mais elle économisera dix fois plus. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	« vous direz que » (k = 0)	mais	1	1	1	8	6	3/4 ≈ 0,75	3/7	0

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = vous, t₂ = direz, t₃ = que, t₄ = cette, t₅ = mesure, t₆ = coûte, t₇ = trop, t₈ = cher, t₉ = mais, t₁₀ = elle, t₁₁ = économisera, t₁₂ = dix, t₁₃ = fois, t₁₄ = plus, t₁₅ = . ; n = 15 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 1.2 (énoncé e₁). Marque « vous direz que » ∈ Mo, commençant à la position 1 de l’énoncé (k = 0), de longueur 3 ; premier pivot « mais » ∈ P au mot 9 de l’énoncé : P(e₁) = 1 · 1 = 1.

o = « vous direz que cette mesure coûte trop cher », |o| = 8 ; r = « mais elle économisera dix fois plus », |r| = 6 ; β = 6/8 = 3/4 ≈ 0,75 ; ρ = 6/14 = 3/7 ; fin par « ? » : 0.

Étape 1.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 1 ; ProcInt(w) = ∑ P · ρ = 3/7 ≈ 0,43 ; q(w) = 0.

∴ l’énoncé s’ouvre sur la marque « vous direz que » (sujet adversaire, verbe de parole au futur), et le pivot « mais » ouvre la réfutation. Procatalepsis ; |o| = 8, |r| = 6, β = 3/4 : la réponse est plus brève que l’objection.

Exemple 2 – « Certains diront que…, pourtant… » : un autre pivot

Texte : « Certains diront que le risque est grand, pourtant les statistiques montrent l’inverse. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	« certains diront que » (k = 0)	pourtant	1	1	1	7	6	6/7 ≈ 0,86	6/13	0

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = certains, t₂ = diront, t₃ = que, t₄ = le, t₅ = risque, t₆ = est, t₇ = grand, t₈ = pourtant, t₉ = les, t₁₀ = statistiques, t₁₁ = montrent, t₁₂ = l, t₁₃ = inverse, t₁₄ = . ; n = 14 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 2.2 (énoncé e₁). Marque « certains diront que » ∈ Mo, commençant à la position 1 de l’énoncé (k = 0), de longueur 3 ; premier pivot « pourtant » ∈ P au mot 8 de l’énoncé : P(e₁) = 1 · 1 = 1.

o = « certains diront que le risque est grand », |o| = 7 ; r = « pourtant les statistiques montrent l inverse », |r| = 6 ; β = 6/7 ≈ 0,86 ; ρ = 6/13 ; fin par « ? » : 0.

Étape 2.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 1 ; ProcInt(w) = ∑ P · ρ = 6/13 ≈ 0,46 ; q(w) = 0.

∴ la marque « certains diront que » et le pivot « pourtant » : procatalepsis, β = 6/7.

Exemple 3 – Une réfutation interrogative (première série du tapuscrit)

Texte : « On dira que tout dieu n’est qu’une invention d’un esprit dérangé, mais alors comment expliquer la cohérence millénaire de systèmes théologiques complexes qui ont structuré des civilisations entières ? »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	« on dira que » (k = 0)	mais	1	1	1	14	17	17/14 ≈ 1,21	17/31	1

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = on, t₂ = dira, t₃ = que, t₄ = tout, t₅ = dieu, t₆ = n, t₇ = est, t₈ = qu, t₉ = une, t₁₀ = invention, t₁₁ = d, t₁₂ = un, t₁₃ = esprit, t₁₄ = dérangé, t₁₅ = mais, t₁₆ = alors, t₁₇ = comment, t₁₈ = expliquer, t₁₉ = la, t₂₀ = cohérence, t₂₁ = millénaire, t₂₂ = de, t₂₃ = systèmes, t₂₄ = théologiques, t₂₅ = complexes, t₂₆ = qui, t₂₇ = ont, t₂₈ = structuré, t₂₉ = des, t₃₀ = civilisations, t₃₁ = entières, t₃₂ = ? ; n = 32 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 3.2 (énoncé e₁). Marque « on dira que » ∈ Mo, commençant à la position 1 de l’énoncé (k = 0), de longueur 3 ; premier pivot « mais » ∈ P au mot 15 de l’énoncé : P(e₁) = 1 · 1 = 1.

o = « on dira que tout dieu n est qu une invention d un esprit dérangé », |o| = 14 ; r = « mais alors comment expliquer la cohérence millénaire de systèmes théologiques complexes qui ont structuré des civilisations entières », |r| = 17 ; β = 17/14 ≈ 1,21 ; ρ = 17/31 ; fin par « ? » : 1.

Étape 3.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 1 ; ProcInt(w) = ∑ P · ρ = 17/31 ≈ 0,55 ; q(w) = 1.

∴ |o| = 14, |r| = 17, β = 17/14 ≈ 1,21 : la réfutation est plus développée que l’objection ; elle se termine par « ? », c’est une question rhétorique mise au service de la réfutation. Le mécanisme décrit la forme de l’énoncé, non la valeur de la thèse.

Exemple 4 – « Bien sûr, certains prétendront que… » : la marque après une incise

Texte : « Bien sûr, certains prétendront que l’effort est inutile, mais il ne l’est pas. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	« certains prétendront que » (k = 2)	mais	1	1	1	9	6	2/3 ≈ 0,67	2/5	0

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = bien, t₂ = sûr, t₃ = certains, t₄ = prétendront, t₅ = que, t₆ = l, t₇ = effort, t₈ = est, t₉ = inutile, t₁₀ = mais, t₁₁ = il, t₁₂ = ne, t₁₃ = l, t₁₄ = est, t₁₅ = pas, t₁₆ = . ; n = 16 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 4.2 (énoncé e₁). Marque « certains prétendront que » ∈ Mo, commençant à la position 3 de l’énoncé (k = 2), de longueur 3 ; premier pivot « mais » ∈ P au mot 10 de l’énoncé : P(e₁) = 1 · 1 = 1.

o = « bien sûr certains prétendront que l effort est inutile », |o| = 9 ; r = « mais il ne l est pas », |r| = 6 ; β = 6/9 = 2/3 ≈ 0,67 ; ρ = 6/15 = 2/5 ; fin par « ? » : 0.

Étape 4.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 1 ; ProcInt(w) = ∑ P · ρ = 2/5 ≈ 0,4 ; q(w) = 0.

Avec la marque exigée en tête stricte (k = 0) : 0.

∴ la marque commence au troisième mot, après « bien sûr » (k = 2). Procatalepsis ; avec la marque exigée en tête stricte, elle serait perdue.

Exemple 5 – « Some will say that…, but… » : la forme anglaise

Texte : « Some will say that the plan is too ambitious, but ambition is what we need. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	« some will say that » (k = 0)	but	1	1	1	9	6	2/3 ≈ 0,67	2/5	0

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = some, t₂ = will, t₃ = say, t₄ = that, t₅ = the, t₆ = plan, t₇ = is, t₈ = too, t₉ = ambitious, t₁₀ = but, t₁₁ = ambition, t₁₂ = is, t₁₃ = what, t₁₄ = we, t₁₅ = need, t₁₆ = . ; n = 16 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 5.2 (énoncé e₁). Marque « some will say that » ∈ Mo, commençant à la position 1 de l’énoncé (k = 0), de longueur 4 ; premier pivot « but » ∈ P au mot 10 de l’énoncé : P(e₁) = 1 · 1 = 1.

o = « some will say that the plan is too ambitious », |o| = 9 ; r = « but ambition is what we need », |r| = 6 ; β = 6/9 = 2/3 ≈ 0,67 ; ρ = 6/15 = 2/5 ; fin par « ? » : 0.

Étape 5.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 1 ; ProcInt(w) = ∑ P · ρ = 2/5 ≈ 0,4 ; q(w) = 0.

∴ « some will say that » appartient au langage des marques, « but » est un pivot : procatalepsis, β = 2/3.

Exemple 6 – « Certains diront que le risque est grand » : l’objection sans réponse

Texte : « Certains diront que le risque est grand. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	« certains diront que » (k = 0)	—	1	0	0	—	—	—	—	—

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = certains, t₂ = diront, t₃ = que, t₄ = le, t₅ = risque, t₆ = est, t₇ = grand, t₈ = . ; n = 8 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 6.2 (énoncé e₁). Marque « certains diront que » ∈ Mo, commençant à la position 1 de l’énoncé (k = 0), de longueur 3 ; aucun pivot ne suit dans l’énoncé : P(e₁) = 1 · 0 = 0.

Étape 6.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 0.

∴ la marque est là, mais aucun pivot ne suit dans l’énoncé : l’objection est rapportée, non réfutée. Ref = 0, comme dans la définition.

Exemple 7 – « Il pleut, mais je sors » : le pivot sans objection

Texte : « Il pleut, mais je sors. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	—	—	0	0	0	—	—	—	—	—

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = pleut, t₃ = mais, t₄ = je, t₅ = sors, t₆ = . ; n = 6 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 7.2 (énoncé e₁). Aucune marque d’anticipation parmi les 3 premières positions : χ_Mo = 0, P(e₁) = 0.

Étape 7.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 0.

∴ un pivot adversatif, mais aucune marque d’anticipation : une simple opposition.

Exemple 8 – « Il a dit que…, mais… » : une objection rapportée, non anticipée

Texte : « Il a dit que c’était cher, mais il a payé. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	—	—	0	0	0	—	—	—	—	—

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = a, t₃ = dit, t₄ = que, t₅ = c, t₆ = était, t₇ = cher, t₈ = mais, t₉ = il, t₁₀ = a, t₁₁ = payé, t₁₂ = . ; n = 12 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 8.2 (énoncé e₁). Aucune marque d’anticipation parmi les 3 premières positions : χ_Mo = 0, P(e₁) = 0.

Étape 8.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 0.

Avec la marque libre : 1.

∴ « il a dit que » rapporte une parole déjà dite, au passé, par un sujet déterminé : rien n’est anticipé. La marque libre (tout verbe de parole) la compterait ; le futur et le sujet indéterminé sont la trace de l’anticipation.

Exemple 9 – « Je dirai que…, mais… » : la parole du locuteur

Texte : « Je dirai que c’est cher, mais c’est juste. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	—	—	0	0	0	—	—	—	—	—

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = je, t₂ = dirai, t₃ = que, t₄ = c, t₅ = est, t₆ = cher, t₇ = mais, t₈ = c, t₉ = est, t₁₀ = juste, t₁₁ = . ; n = 11 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 9.2 (énoncé e₁). Aucune marque d’anticipation parmi les 3 premières positions : χ_Mo = 0, P(e₁) = 0.

Étape 9.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 0.

Avec la marque libre : 1.

∴ le locuteur annonce sa propre thèse ; ce n’est pas l’objection d’un adversaire. « je » n’est pas un sujet de marque.

Exemple 10 – « …, quoi qu’on en dise » : l’ordre inversé

Texte : « Le coût est compensé par le gain, quoi qu’on en dise. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	—	—	0	0	0	—	—	—	—	—

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = coût, t₃ = est, t₄ = compensé, t₅ = par, t₆ = le, t₇ = gain, t₈ = quoi, t₉ = qu, t₁₀ = on, t₁₁ = en, t₁₂ = dise, t₁₃ = . ; n = 13 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 10.2 (énoncé e₁). Aucune marque d’anticipation parmi les 3 premières positions : χ_Mo = 0, P(e₁) = 0.

Étape 10.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 0.

∴ la réponse vient d’abord, l’objection n’est qu’évoquée à la fin, sans marque au futur ni pivot : l’ordre o → r n’est pas respecté. Pas de procatalepsis.

Exemple 11 – Faux positif assumé : la consigne

Texte : « Vous direz que je vous aime, mais pas devant mon père. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	« vous direz que » (k = 0)	mais	1	1	1	6	5	5/6 ≈ 0,83	5/11	0

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = vous, t₂ = direz, t₃ = que, t₄ = je, t₅ = vous, t₆ = aime, t₇ = mais, t₈ = pas, t₉ = devant, t₁₀ = mon, t₁₁ = père, t₁₂ = . ; n = 12 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 11.2 (énoncé e₁). Marque « vous direz que » ∈ Mo, commençant à la position 1 de l’énoncé (k = 0), de longueur 3 ; premier pivot « mais » ∈ P au mot 7 de l’énoncé : P(e₁) = 1 · 1 = 1.

o = « vous direz que je vous aime », |o| = 6 ; r = « mais pas devant mon père », |r| = 5 ; β = 5/6 ≈ 0,83 ; ρ = 5/11 ; fin par « ? » : 0.

Étape 11.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 1 ; ProcInt(w) = ∑ P · ρ = 5/11 ≈ 0,45 ; q(w) = 0.

∴ « vous direz que » est ici une consigne donnée à un messager, et « mais » restreint la consigne : aucune objection n’est anticipée ni réfutée. Le calcul compte une procatalepsis : la marque et le pivot ont la forme exacte de la figure.

Exemple 12 – Texte complet : quatre procatalepsis, une objection rapportée

Texte : « On dira que la réforme coûte cher, mais elle rapportera davantage. Vous objecterez que le délai est court, cependant il suffira. Certains prétendront que rien ne changera, mais pourquoi alors tant de résistances ? Il a dit que c’était impossible, mais il s’est trompé. Bien sûr, on me dira que je rêve, mais les chiffres sont là. »

j	marque m (décalage k)	pivot p	χMo	χ[1, +∞[(pivots)	P(e)	|o|	|r|	β = |r| / |o|	ρ = |r| / (|o| + |r|)	fin « ? »
1	« on dira que » (k = 0)	mais	1	1	1	7	4	4/7 ≈ 0,57	4/11	0
2	« vous objecterez que » (k = 0)	cependant	1	1	1	7	3	3/7 ≈ 0,43	3/10	0
3	« certains prétendront que » (k = 0)	mais	1	1	1	6	6	1	1/2	1
4	—	—	0	0	0	—	—	—	—	—
5	« on me dira que » (k = 2)	mais	1	1	1	8	5	5/8 ≈ 0,62	5/13	0

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = on, t₂ = dira, t₃ = que, t₄ = la, t₅ = réforme, t₆ = coûte, t₇ = cher, t₈ = mais, t₉ = elle, t₁₀ = rapportera, t₁₁ = davantage, t₁₂ = ., t₁₃ = vous, t₁₄ = objecterez, t₁₅ = que, t₁₆ = le, t₁₇ = délai, t₁₈ = est, t₁₉ = court, t₂₀ = cependant, t₂₁ = il, t₂₂ = suffira, t₂₃ = ., t₂₄ = certains, t₂₅ = prétendront, t₂₆ = que, t₂₇ = rien, t₂₈ = ne, t₂₉ = changera, t₃₀ = mais, t₃₁ = pourquoi, t₃₂ = alors, t₃₃ = tant, t₃₄ = de, t₃₅ = résistances, t₃₆ = ?, t₃₇ = il, t₃₈ = a, t₃₉ = dit, t₄₀ = que, t₄₁ = c, t₄₂ = était, t₄₃ = impossible, t₄₄ = mais, t₄₅ = il, t₄₆ = s, t₄₇ = est, t₄₈ = trompé, t₄₉ = ., t₅₀ = bien, t₅₁ = sûr, t₅₂ = on, t₅₃ = me, t₅₄ = dira, t₅₅ = que, t₅₆ = je, t₅₇ = rêve, t₅₈ = mais, t₅₉ = les, t₆₀ = chiffres, t₆₁ = sont, t₆₂ = là, t₆₃ = . ; n = 63 ; m = 5 énoncé(s).

Étape 12.2 (énoncé e₁). Marque « on dira que » ∈ Mo, commençant à la position 1 de l’énoncé (k = 0), de longueur 3 ; premier pivot « mais » ∈ P au mot 8 de l’énoncé : P(e₁) = 1 · 1 = 1.

o = « on dira que la réforme coûte cher », |o| = 7 ; r = « mais elle rapportera davantage », |r| = 4 ; β = 4/7 ≈ 0,57 ; ρ = 4/11 ; fin par « ? » : 0.

Étape 12.2 (énoncé e₂). Marque « vous objecterez que » ∈ Mo, commençant à la position 1 de l’énoncé (k = 0), de longueur 3 ; premier pivot « cependant » ∈ P au mot 8 de l’énoncé : P(e₂) = 1 · 1 = 1.

o = « vous objecterez que le délai est court », |o| = 7 ; r = « cependant il suffira », |r| = 3 ; β = 3/7 ≈ 0,43 ; ρ = 3/10 ; fin par « ? » : 0.

Étape 12.2 (énoncé e₃). Marque « certains prétendront que » ∈ Mo, commençant à la position 1 de l’énoncé (k = 0), de longueur 3 ; premier pivot « mais » ∈ P au mot 7 de l’énoncé : P(e₃) = 1 · 1 = 1.

o = « certains prétendront que rien ne changera », |o| = 6 ; r = « mais pourquoi alors tant de résistances », |r| = 6 ; β = 6/6 = 1 ≈ 1 ; ρ = 6/12 = 1/2 ; fin par « ? » : 1.

Étape 12.2 (énoncé e₄). Aucune marque d’anticipation parmi les 3 premières positions : χ_Mo = 0, P(e₄) = 0.

Étape 12.2 (énoncé e₅). Marque « on me dira que » ∈ Mo, commençant à la position 3 de l’énoncé (k = 2), de longueur 4 ; premier pivot « mais » ∈ P au mot 9 de l’énoncé : P(e₅) = 1 · 1 = 1.

o = « bien sûr on me dira que je rêve », |o| = 8 ; r = « mais les chiffres sont là », |r| = 5 ; β = 5/8 ≈ 0,62 ; ρ = 5/13 ; fin par « ? » : 0.

Étape 12.3. Proc(w) = ∑_e χ_Mo(m(e)) · χ_P(p(e)) = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4 ; ProcInt(w) = ∑ P · ρ = 1107/715 ≈ 1,55 ; q(w) = 1/4.

Avec la somme sur Fact(w)², chaque couple (marque, pivot plus loin dans le texte) compte : 13 ; avec un couple par marque mais sans limite d’énoncé : 4.

∴ Proc(w) = 4 ; une réfutation sur quatre est interrogative, q(w) = 1/4 ; l’énoncé « il a dit que…, mais… » rapporte une parole passée et n’est pas compté.

Exemple 12 : cinq énoncés, quatre procatalepsis, une parole rapportée au passé.

23.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les douze textes des exemples 1 à 12, par l’écart entre Proc calculé et Proc attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4 (l’exemple 11 n’est pas une procatalepsis).

version	Proc total	erreurs ∑ |Proc − attendu| (sur 12 textes)	textes mal comptés
définition à la lettre : ∑ sur Fact(w)², chaque couple (marque, pivot plus loin)	19	10	ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (13 au lieu de 4)
sans l’énoncé : pivot cherché dans tout le reste du texte	10	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
marque libre : tout verbe de parole suivi de que, sujet et temps quelconques	13	4	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (5 au lieu de 4)
marque strictement en tête d’énoncé (k = 0)	8	3	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (3 au lieu de 4)
retenue	10	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

La somme sur Fact(w)² compte chaque marque avec tous les pivots qui la suivent : le texte complet donne 13 au lieu de 4. La version sans limite d’énoncé fait ici, elle aussi, une seule erreur : sur ces douze textes, chaque marque est suivie de son pivot dans le même énoncé. L’égalité ne vaut pas en général : dans « Certains diront que le risque est grand. Il pleut, mais je sors. », l’objection sans réponse s’apparie au « mais » de la phrase suivante ; la version sans énoncé compte 1, la version retenue 0. La limite de l’énoncé est donc retenue pour une raison de structure, non de score. La marque libre compte la parole rapportée au passé et la thèse du locuteur ; la marque en tête stricte perd « bien sûr, certains prétendront que ». La version retenue ne garde qu’une erreur, la consigne de l’exemple 11.

Erreurs des versions : le langage Mo, la limite de l’énoncé et la fenêtre k sont tous nécessaires.

Aucun seuil numérique n’est à fixer pour Proc : χ_Mo et χ_P sont des appartenances, et le nombre 1 qui sépare β > 1 de β ≤ 1 est le point d’égalité des longueurs. Le seul paramètre est le nombre k de mots admis avant la marque :

k (mots avant la marque)	erreurs ∑ |Proc − attendu|	textes mal comptés
0	3	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (3 au lieu de 4)
1	3	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (3 au lieu de 4)
2	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
3	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

k = 0 et k = 1 perdent la marque placée après « bien sûr » ; au-delà de 2, le résultat ne change plus. On retient k = 2.

Erreurs selon k : stables à partir de k = 2.

23.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois Mo, P et k fixés, Proc, ProcInt, β, ρ et q découlent nécessairement du calcul ; les lemmes 1 à 3 et la partition sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : les listes de marques et de pivots sont des données de langue ; une procatalepsis sans formule type (« Peut-être quelqu’un d’entre vous répliquera-t-il… ») demande d’étendre Mo.
• Possible : toute marque suivie d’un pivot est une procatalepsis possible ; elle peut être une consigne ou une restriction (exemple 11). Le mécanisme ne juge pas la valeur des arguments : il en décrit la forme.

23.10 Justification et limites

La procatalepsis s’empare de l’argument adverse pour le neutraliser. La structure o · r en est la trace exacte dans le mot : l’objection est citée par avance, introduite par une marque qui l’attribue à autrui et la place au futur, puis le pivot ouvre la réfutation. Le produit χ_Obj · Ord · Ref de la définition est conservé terme à terme : χ_Obj devient l’appartenance à un langage fini de marques, Ord la coupe elle-même, Ref l’appartenance du premier mot de r à la liste des pivots. Le rapport β et la part ρ mesurent le déséquilibre voulu entre l’objection, brièvement concédée, et la réponse.

Trois limites sont assumées. La forme ne garantit pas la fonction : une consigne (« vous direz que je vous aime, mais… ») a la forme exacte de la figure (exemple 11). Une objection et sa réponse séparées par un point-virgule ou par plusieurs phrases échappent à l’unité d’énoncé. Enfin, les marques au conditionnel, interrogatives ou implicites (« Peut-être quelqu’un répliquera-t-il ») demandent d’étendre le langage Mo.

⁂

24. Pun (Calembour) – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
Le pun (calembour, paronomase au sens large) est un jeu de mots qui exploite la polysémie, l’homophonie ou la paronymie d’une forme pour produire un effet humoristique ou rhétorique : une même forme, sonore ou écrite, porte deux interprétations à la fois. Exemples classiques : « I used to be a banker, but I lost interest » ; « Ask for me tomorrow, and you shall find me a grave man » (Mercutio blessé à mort, Roméo et Juliette, III, 1) ; « Tu es Pierre, et sur cette pierre je bâtirai mon Église » (Matthieu, 16, 18) ; « Chassez le naturiste, il revient au bungalow », détournement de « Chassez le naturel, il revient au galop » (Destouches, Le Glorieux, 1732) ; « You can tune a guitar, but you can’t tuna fish ».Le calembour exploite la polysémie ou l’homophonie d’un terme pour déclencher simultanément deux interprétations (ex. « I used to be a banker, but I lost interest »).

Mécanisme en combinatoire des mots
Il se modélise par un facteur dont l’interprétation formelle renvoie un cardinal strictement supérieur à 1 (ambiguïté résolue par superposition).

Définition mathématique
Soit $Amb(u)$ la fonction quantifiant le nombre de lectures distinctes d’un facteur $u$.

$$\mathrm{Pun}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid Amb(u) \ge 2 \} \bigr|$$​

La force de l’effet peut être calculée mathématiquement par l’équilibre probabiliste des lectures :

$$\mathrm{Force}(u) = P(\mathrm{lecture}_1 \mid u) \cdot P(\mathrm{lecture}_2 \mid u)$$

⁂

24. Pun (calembour) –Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique du calembour à quelques exemples d’un facteur dont l’interprétation formelle renvoie un cardinal strictement supérieur à 1 (ambiguïté résolue par superposition).

24.1 Définition rhétorico-mathématique

Trois traits le définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une forme à plusieurs lectures : un mot polysémique (interest), ou un mot qui sonne comme un autre (tuna / tune a, bungalow / galop) ;
• une double activation : le contexte appelle au moins deux de ces lectures à la fois, au lieu d’en choisir une ;
• un équilibre : le jeu est d’autant plus fort qu’aucune lecture ne l’emporte.

Un mot ambigu n’est donc pas forcément un calembour : dans « The bank is closed on Sunday », bank a deux sens au dictionnaire, mais le contexte n’en appelle qu’un. Le calembour se distingue aussi de l’antanaclase : ici une seule unité porte deux sens ; là, deux occurrences portent chacune un sens différent.

24.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule Pun(w) = |{ u ∈ Fact(w) | Amb(u) ≥ 2 }| est une définition en compréhension. Pour la rendre calculable, on pose I(u) = { I₁(u), …, I_k(u) } l’ensemble des lectures distinctes du facteur u, Amb(u) = |I(u)| ∈ ℕ, et l’indicatrice P(u) = χ_{[2, +∞[}(Amb(u)). Alors :

Pun(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{[2, +∞[}(Amb(u)) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{[2, +∞[}(|I(u)|),

Force₂(u) = P(I₁ | u) · P(I₂ | u), P(I₁ | u) + P(I₂ | u) = 1, maximum 1/4 en P(I₁ | u) = P(I₂ | u) = 1/2 ;

Force(u) = − ∑_i=1^Amb(u) p_i log₂ p_i, p_i = P(I_i | u).

La forme est juste : une indicatrice de seuil sur un nombre de lectures, une somme, et une mesure d’équilibre maximale quand les lectures sont égales. Pour qu’elle compte exactement les calembours, six précisions sont nécessaires : (1) |I(u)| est un nombre de lectures possibles, fixé par le lexique ; il compte « bank » dans « The bank is closed on Sunday ». Il faut compter les lectures activées par le contexte ; (2) la somme sur Fact(w) compte, si l’ambiguïté passe aux facteurs qui contiennent la forme, chaque facteur contenant interest : jusqu’à i · (n − i + 1) facteurs pour une seule forme. L’unité est la paire (u, e_j) : une forme dans un énoncé ; (3) les probabilités P(I_i | u) sont posées à la main dans les exemples de la définition (0,5 ; 0,6 ; 0,3 ; 0,1) ; elles se calculent comme parts des soutiens ; (4) une lecture par le son (tuna / tune a) n’est admise que si les deux formes sont phonétiquement proches, ce qui se mesure par une distance d’édition sur les transcriptions ; (5) le produit P(I₁ | u) · P(I₂ | u) ne vaut que pour deux lectures ; sa généralisation exacte est K^K ∏ p_k, qui garde le maximum à l’équilibre ; (6) l’entropie et le produit ne rangent pas toujours les calembours dans le même ordre dès trois lectures (lemme 5).

24.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance au lexique : χ_D(t) = 1 si le mot t est une forme du lexique des formes ambiguës ;
• appartenance à une liste de soutien : χ_Sout(ℓₖ)(t) = 1 si le mot t appelle la lecture ℓ_k ;
• « au moins un » : χ_{[1, +∞[}(s_k) = 1 si la lecture ℓ_k reçoit au moins un soutien ;
• seuil de proximité phonétique : χ_{[θ, 1]}(Par) = 1 si la lecture par le son est admise ;
• « au moins deux » : χ_{[2, +∞[}(Amb) = 1 si au moins deux lectures sont activées.

24.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les énoncés ; les unités

On met le texte en minuscules ; ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces ; les signes . ! ? ; sont gardés comme mots et coupent w en énoncés e₁, …, e_m. Une unité est une paire (u, e_j) où u est une forme du lexique présente dans e_j ; plusieurs occurrences de u dans le même énoncé forment une seule unité (Pierre / pierre).

b) Le lexique des formes ambiguës et des soutiens

Le lexique est une donnée finie, écrite avec la figure : pour chaque forme u, ses lectures ℓ₁, …, ℓ_K ; chaque lecture est un sens (polysémie) ou une autre forme v qui sonne comme u (homophonie, paronymie), et porte une liste de soutien Sout(ℓ_k) : les mots qui l’appellent.

forme u	lecture	type	liste de soutien Sout(ℓk)
interest	ℓ1 : intérêts financiers	sens	banker, bank, money, rate, loan
interest	ℓ2 : curiosité, attention	sens	lost, lose, bored, boring
intérêt	ℓ1 : intérêts financiers	sens	banquier, banque, argent, taux, prêt
intérêt	ℓ2 : curiosité, attention	sens	perdu, perdre, ennui, ennuyeux
grave	ℓ1 : sérieux	sens	man, serious, solemn
grave	ℓ2 : tombe	sens	mort, dead, die, buried, tomb
pierre	ℓ1 : prénom de l’apôtre	sens	tu, es, simon, apôtre
pierre	ℓ2 : roche	sens	bâtirai, église, dure, mur, construire
naturiste	ℓ1 : adepte du nudisme	sens	bungalow, nu, nus, plage, camp
naturiste	ℓ2 : naturel (proverbe)	son → naturel	chassez, revient, galop
nudiste	ℓ1 : adepte du nudisme	sens	bungalow, nu, nus, plage, camp
nudiste	ℓ2 : naturel (proverbe)	son → naturel	chassez, revient, galop
bungalow	ℓ1 : maison de vacances	sens	naturiste, nudiste, vacances, camping, plage
bungalow	ℓ2 : galop (proverbe)	son → galop	chassez, revient, naturel
tuna	ℓ1 : thon	sens	fish, sea, sandwich
tuna	ℓ2 : tune a (accorder un…)	son → tune a	tune, guitar, sing, song
glace	ℓ1 : surface gelée	sens	patineur, patiner, patin, hockey
glace	ℓ2 : miroir	sens	contemplait, reflet, miroir, regardait
glace	ℓ3 : crème glacée	sens	cornet, vanille, chocolat, sorbet
bank	ℓ1 : banque	sens	closed, sunday, money, account, banker
bank	ℓ2 : rive	sens	river, fish, water, grass

s_k(u, e_j) = ∑_{t ∈ eⱼ, t ≠ u} χ_Sout(ℓₖ)(t), nombre de mots de l’énoncé qui appellent la lecture ℓ_k.

Une forme, ses lectures et les mots du contexte qui activent chacune : l’ambiguïté est activée quand chaque lecture reçoit un soutien.

c) La lecture par le son : distance d’édition sur les transcriptions

Pour une lecture par le son, la forme u et la forme évoquée v reçoivent chacune une transcription phonétique φ(u), φ(v), mot sur l’alphabet des phonèmes. La distance d’édition d(φ(u), φ(v)) est le nombre minimal de substitutions, insertions et suppressions de phonèmes qui changent l’un en l’autre ; elle se calcule par la récurrence :

D(i, 0) = i, D(0, j) = j, D(i, j) = min( D(i − 1, j) + 1, D(i, j − 1) + 1, D(i − 1, j − 1) + 1 − χ_{aᵢ}(b_j) ), d = D(|a|, |b|).

Par(u, v) = 1 − d(φ(u), φ(v)) / max(|φ(u)|, |φ(v)|) ∈ [0, 1] ; la lecture est admise si Par(u, v) ≥ θ = 1/2.

forme u	forme évoquée v	φ(u)	φ(v)	d	Par
naturiste	naturel	n a t y ʁ i s t	n a t y ʁ ɛ l	3	5/8
bungalow	galop	b œ̃ g a l o	g a l o	2	2/3
tuna	tune a	t j u n ə	t j u n ə	0	1
nudiste	naturel	n y d i s t	n a t y ʁ ɛ l	6	1/7

Tableau D pour bungalow / galop : la dernière case donne d = 2 ; φ(galop) = g a l o est un facteur, et même un suffixe, de φ(bungalow) = b œ̃ g a l o, ce qui explique que le proverbe s’entende sous le mot substitué.

	ε	g	a	l	o
ε	0	1	2	3	4
b	1	1	2	3	4
œ̃	2	2	2	3	4
g	3	2	3	3	4
a	4	3	2	3	4
l	5	4	3	2	3
o	6	5	4	3	2

Les tableaux de distance d’édition : bungalow / galop (d = 2, Par = 2/3), naturiste / naturel (d = 3, Par = 5/8), nudiste / naturel (d = 6, Par = 1/7).

d) Les lectures activées, la décision, l’équilibre

Amb(u, e_j) = ∑_k=1^K χ_{[1, +∞[}( s_k · χ_{[θ, 1]}(Par_k) ), P(u, e_j) = χ_{[2, +∞[}(Amb(u, e_j)).

Par_k = 1 pour une lecture de sens. Amb remplace |I(u)| : il ne compte que les lectures qui reçoivent au moins un soutien, et, pour une lecture par le son, que si la ressemblance phonétique est suffisante. Lemme 1. Amb(u, e_j) ≤ |I(u)| ; l’égalité a lieu exactement quand toutes les lectures du lexique sont activées. ∴ sur les mêmes unités, la version lexicale ne compte jamais moins que la version activée.

p_k = s_k / ∑_k′ s_k′ ; Éq(u) = P(u) · K^K ∏_{k : sₖ ≥ 1} p_k, K = Amb(u) ; H(u) = − ∑_{k : sₖ ≥ 1} p_k log₂ p_k.

Lemme 2 (le produit à deux lectures). Pour K = 2, Éq = 4 p₁ p₂ = 4 · Force₂ : le facteur 4 ramène le maximum 1/4 à 1. Lemme 3 (maximum à l’équilibre). Par l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique, ∏ p_k ≤ (1/K)^K, avec égalité si et seulement si p₁ = … = p_K = 1/K ; donc Éq ∈ [0, 1] et Éq = 1 exactement pour un calembour équilibré. De même H ≤ log₂ K, avec égalité dans le même cas. Lemme 4 (porte automatique de l’entropie). H(u) = 0 si et seulement si Amb ≤ 1 ; le produit, lui, vaudrait 1¹ · 1 = 1 pour une seule lecture, d’où le facteur P(u) dans Éq. Lemme 5 (ordre). Pour K = 2, Éq et H sont deux fonctions décroissantes de |p₁ − 1/2| : elles rangent les calembours dans le même ordre. Pour K = 3, l’ordre peut s’inverser : s = (1, 1, 3) donne Éq = 81/125 = 0,648 et H ≈ 1,371 ; s = (1, 3, 4) donne Éq = 81/128 ≈ 0,633 et H ≈ 1,406.

Avec les probabilités de l’exemple 2 de la définition, p = (0,6 ; 0,3 ; 0,1) : H = −(0,6 log₂ 0,6 + 0,3 log₂ 0,3 + 0,1 log₂ 0,1) ≈ 1,295 bit, soit H / log₂ 3 ≈ 0,817 ; Éq = 27 × 0,6 × 0,3 × 0,1 = 0,486.

Équilibre Éq = 4 p(1 − p) et entropie H(p) pour deux lectures : même maximum, même ordre ; les calembours des exemples placés sur les courbes.

e) La partition des unités

L’identité 1 = χ_{0}(Amb) + χ_{1}(Amb) + χ_{[2, +∞[}(Amb) range chaque unité dans exactement une classe : forme sans soutien (« Voici la pierre »), ambiguïté résolue (« The bank is closed on Sunday »), calembour.

L’arbre de décision : forme du lexique, soutiens de chaque lecture, contrôle phonétique, nombre de lectures activées.

24.5 Définition mathématique

Pun(w) = ∑_j=1^m ∑_{u ∈ D ∩ eⱼ} χ_{[2, +∞[}( ∑_k=1^K(u) χ_{[1, +∞[}( χ_{[θ, 1]}(Par_k(u)) · ∑_{t ∈ eⱼ, t ≠ u} χ_Sout(ℓₖ)(t) ) ),

PunEq(w) = ∑_{(u, eⱼ)} Éq(u, e_j), Éq = P · K^K ∏ p_k, θ = 1/2.

La somme sur Fact(w) est remplacée par une somme sur les unités (u, e_j) ; |I(u)| devient le nombre de lectures activées ; les probabilités P(I_k | u) deviennent les parts des soutiens ; une lecture par le son passe par la distance d’édition des transcriptions.

La définition complète : lexique, soutiens, contrôle phonétique, lectures activées et équilibre.

24.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots et en énoncés.
2. Repérer dans chaque énoncé les formes du lexique ; une forme répétée dans le même énoncé forme une seule unité.
3. Pour chaque lecture, compter les mots de l’énoncé (autres que la forme) qui la soutiennent : s_k.
4. Pour une lecture par le son, calculer la distance d’édition des transcriptions et Par ; refuser la lecture si Par < θ.
5. Compter les lectures activées : Amb ; si Amb ≥ 2, compter un calembour.
6. Calculer p_k, Éq = K^K ∏ p_k et H ; additionner : Pun(w).

24.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par lecture de chaque unité : le type de lecture, la proximité phonétique Par et son indicatrice, les mots de soutien trouvés, le nombre s_k retenu et la part p_k.

Exemple 1 – « I lost interest » : deux sens d’un même mot

Texte : « I used to be a banker, but I lost interest. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(interest, e1)	ℓ1 : intérêts financiers	sens	1	1	banker	1	1/2
	ℓ2 : curiosité, attention	sens	1	1	lost	1	1/2

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = i, t₂ = used, t₃ = to, t₄ = be, t₅ = a, t₆ = banker, t₇ = but, t₈ = i, t₉ = lost, t₁₀ = interest, t₁₁ = . ; n = 11 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 1.2 (unité (interest, e₁), position 10). |I(interest)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (banker) ; s₂ = 1 (lost).

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/2, 1/2) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 1 ; H = 1 bit ; H / log₂ 2 = 1.

Étape 1.3. Pun(w) = ∑ P = 1.

∴ « banker » active la lecture financière, « lost » la lecture « attention » : s = (1, 1), Amb = 2, calembour parfaitement équilibré, Éq = 1.

Exemple 2 – « A grave man » : le sens appelé par la situation

Texte : « Blessé à mort, Mercutio dit : ask for me tomorrow, and you shall find me a grave man. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(grave, e1)	ℓ1 : sérieux	sens	1	1	man	1	1/2
	ℓ2 : tombe	sens	1	1	mort	1	1/2

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = blessé, t₂ = à, t₃ = mort, t₄ = mercutio, t₅ = dit, t₆ = ask, t₇ = for, t₈ = me, t₉ = tomorrow, t₁₀ = and, t₁₁ = you, t₁₂ = shall, t₁₃ = find, t₁₄ = me, t₁₅ = a, t₁₆ = grave, t₁₇ = man, t₁₈ = . ; n = 18 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 2.2 (unité (grave, e₁), position 16). |I(grave)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (man) ; s₂ = 1 (mort).

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/2, 1/2) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 1 ; H = 1 bit ; H / log₂ 2 = 1.

Étape 2.3. Pun(w) = ∑ P = 1.

∴ « man » appelle « grave = sérieux », « mort » appelle « grave = tombe ». La situation (Mercutio blessé à mort, Roméo et Juliette, III, 1) est écrite dans l’énoncé, où elle devient un mot de soutien comptable.

Exemple 3 – « Tu es Pierre, et sur cette pierre » : une forme répétée, une seule unité

Texte : « Tu es Pierre, et sur cette pierre je bâtirai mon Église. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(pierre, e1)	ℓ1 : prénom de l’apôtre	sens	1	1	tu, es	2	1/2
	ℓ2 : roche	sens	1	1	bâtirai, église	2	1/2

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = tu, t₂ = es, t₃ = pierre, t₄ = et, t₅ = sur, t₆ = cette, t₇ = pierre, t₈ = je, t₉ = bâtirai, t₁₀ = mon, t₁₁ = église, t₁₂ = . ; n = 12 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 3.2 (unité (pierre, e₁), position 3). |I(pierre)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 2 (tu, es) ; s₂ = 2 (bâtirai, église).

Amb = χ_{[1, +∞[}(2) + χ_{[1, +∞[}(2) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/2, 1/2) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 1 ; H = 1 bit ; H / log₂ 2 = 1.

Étape 3.3. Pun(w) = ∑ P = 1.

Sans regroupement des occurrences par énoncé : 2.

∴ les deux occurrences de pierre forment une seule unité (u, e₁) ; « tu, es » soutiennent le prénom, « bâtirai, église » la roche : s = (2, 2), Éq = 1. Compter chaque occurrence donnerait 2 ; la répétition avec changement de sens relève de l’antanaclase (fiche suivante).

Exemple 4 – « Chassez le naturiste, il revient au bungalow » : deux paronymes

Texte : « Chassez le naturiste, il revient au bungalow. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(naturiste, e1)	ℓ1 : adepte du nudisme	sens	1	1	bungalow	1	1/3
	ℓ2 : naturel (proverbe)	son	5/8	1	chassez, revient	2	2/3
(bungalow, e1)	ℓ1 : maison de vacances	sens	1	1	naturiste	1	1/3
	ℓ2 : galop (proverbe)	son	2/3	1	chassez, revient	2	2/3

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = chassez, t₂ = le, t₃ = naturiste, t₄ = il, t₅ = revient, t₆ = au, t₇ = bungalow, t₈ = . ; n = 8 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 4.2 (unité (naturiste, e₁), position 3). |I(naturiste)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (bungalow) ; s₂ = 2 (chassez, revient), lecture par le son : d(φ(naturiste), φ(naturel)) = 3, Par = 1 − 3/8 = 5/8 ≥ θ = 1/2, donc s₂ = 2.

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(2) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/3, 2/3) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 8/9 ≈ 0,889 ; H = 0,918 bit ; H / log₂ 2 = 0,918.

Étape 4.2 (unité (bungalow, e₁), position 7). |I(bungalow)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (naturiste) ; s₂ = 2 (chassez, revient), lecture par le son : d(φ(bungalow), φ(galop)) = 2, Par = 1 − 2/6 = 2/3 ≥ θ = 1/2, donc s₂ = 2.

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(2) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/3, 2/3) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 8/9 ≈ 0,889 ; H = 0,918 bit ; H / log₂ 2 = 0,918.

Étape 4.3. Pun(w) = ∑ P = 1 + 1 = 2.

∴ détournement de « Chassez le naturel, il revient au galop » (Destouches, Le Glorieux, 1732). Chaque mot substitué tient deux lectures : la sienne (soutenue par l’autre mot substitué) et celle du proverbe (soutenue par « chassez, revient »), admise parce que la transcription phonétique est assez proche : Par(naturiste, naturel) = 5/8, Par(bungalow, galop) = 2/3. Pun(w) = 2.

Exemple 5 – « You can’t tuna fish » : l’homophonie exacte

Texte : « You can tune a guitar, but you can’t tuna fish. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(tuna, e1)	ℓ1 : thon	sens	1	1	fish	1	1/3
	ℓ2 : tune a (accorder un…)	son	1	1	tune, guitar	2	2/3

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = you, t₂ = can, t₃ = tune, t₄ = a, t₅ = guitar, t₆ = but, t₇ = you, t₈ = can, t₉ = t, t₁₀ = tuna, t₁₁ = fish, t₁₂ = . ; n = 12 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 5.2 (unité (tuna, e₁), position 10). |I(tuna)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (fish) ; s₂ = 2 (tune, guitar), lecture par le son : d(φ(tuna), φ(tune a)) = 0, Par = 1 − 0/5 = 1 ≥ θ = 1/2, donc s₂ = 2.

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(2) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/3, 2/3) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 8/9 ≈ 0,889 ; H = 0,918 bit ; H / log₂ 2 = 0,918.

Étape 5.3. Pun(w) = ∑ P = 1.

∴ « tuna » et « tune a » ont la même transcription : distance d’édition 0, Par = 1. « fish » soutient le thon, « tune, guitar » la lecture verbale : s = (1, 2), Éq = 8/9.

Exemple 6 – « …contemplait la glace » : trois lectures activées

Texte : « Le patineur, cornet vanille en main, contemplait la glace. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(glace, e1)	ℓ1 : surface gelée	sens	1	1	patineur	1	1/4
	ℓ2 : miroir	sens	1	1	contemplait	1	1/4
	ℓ3 : crème glacée	sens	1	1	cornet, vanille	2	1/2

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = patineur, t₃ = cornet, t₄ = vanille, t₅ = en, t₆ = main, t₇ = contemplait, t₈ = la, t₉ = glace, t₁₀ = . ; n = 10 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 6.2 (unité (glace, e₁), position 9). |I(glace)| = 3 lectures au lexique ; s₁ = 1 (patineur) ; s₂ = 1 (contemplait) ; s₃ = 2 (cornet, vanille).

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(2) = 3 ; P = χ_{[2, +∞[}(3) = 1 ; p = (1/4, 1/4, 1/2) ; Éq = 3³ · ∏ p_k = 27/32 ≈ 0,844 ; H = 1,5 bit ; H / log₂ 3 = 0,946.

Étape 6.3. Pun(w) = ∑ P = 1.

∴ trois lectures reçoivent un soutien : Amb = 3. Le produit à deux lectures ne s’applique plus ; l’équilibre généralisé vaut 3³ · (1/4)(1/4)(1/2) = 27/32 et l’entropie 1,5 bit sur un maximum de log₂ 3 ≈ 1,585.

Exemple 7 – « The bank is closed on Sunday » : l’ambiguïté résolue

Texte : « The bank is closed on Sunday. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(bank, e1)	ℓ1 : banque	sens	1	1	closed, sunday	2	1
	ℓ2 : rive	sens	1	1	—	0	0

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = the, t₂ = bank, t₃ = is, t₄ = closed, t₅ = on, t₆ = sunday, t₇ = . ; n = 7 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 7.2 (unité (bank, e₁), position 2). |I(bank)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 2 (closed, sunday) ; s₂ = 0 (aucun soutien).

Amb = χ_{[1, +∞[}(2) + χ_{[1, +∞[}(0) = 1 ; P = χ_{[2, +∞[}(1) = 0.

Étape 7.3. Pun(w) = ∑ P = 0.

Version lexicale (|I(u)| ≥ 2 sans le contexte) : 1.

∴ « bank » a deux lectures dans le lexique, mais le contexte n’en active qu’une : s = (2, 0), Amb = 1. Le mot est ambigu ; l’énoncé n’est pas un calembour.

Exemple 8 – « La pierre est dure » : une seule lecture activée

Texte : « La pierre est dure. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(pierre, e1)	ℓ1 : prénom de l’apôtre	sens	1	1	—	0	0
	ℓ2 : roche	sens	1	1	dure	1	1

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = pierre, t₃ = est, t₄ = dure, t₅ = . ; n = 5 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 8.2 (unité (pierre, e₁), position 2). |I(pierre)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 0 (aucun soutien) ; s₂ = 1 (dure).

Amb = χ_{[1, +∞[}(0) + χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; P = χ_{[2, +∞[}(1) = 0.

Étape 8.3. Pun(w) = ∑ P = 0.

∴ « dure » soutient la roche, rien ne soutient le prénom : Amb = 1.

Exemple 9 – « Chassez le naturel, il revient au galop » : le proverbe non détourné

Texte : « Chassez le naturel, il revient au galop. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
aucune forme du lexique	—	—	—	—	—	—	—

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = chassez, t₂ = le, t₃ = naturel, t₄ = il, t₅ = revient, t₆ = au, t₇ = galop, t₈ = . ; n = 8 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 9.2. Aucun t_i n’appartient au domaine du lexique : aucune unité, Pun(w) = 0.

∴ aucune forme du lexique n’est présente : le proverbe original n’est pas un calembour. Le jeu naît de la substitution (exemple 4).

Exemple 10 – « Chassez le nudiste… » : un paronyme trop éloigné

Texte : « Chassez le nudiste, il revient au bungalow. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(nudiste, e1)	ℓ1 : adepte du nudisme	sens	1	1	bungalow	1	1
	ℓ2 : naturel (proverbe)	son	1/7	0	chassez, revient	0	0
(bungalow, e1)	ℓ1 : maison de vacances	sens	1	1	nudiste	1	1/3
	ℓ2 : galop (proverbe)	son	2/3	1	chassez, revient	2	2/3

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = chassez, t₂ = le, t₃ = nudiste, t₄ = il, t₅ = revient, t₆ = au, t₇ = bungalow, t₈ = . ; n = 8 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 10.2 (unité (nudiste, e₁), position 3). |I(nudiste)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (bungalow) ; s₂ = 2 (chassez, revient), lecture par le son : d(φ(nudiste), φ(naturel)) = 6, Par = 1 − 6/7 = 1/7 < θ = 1/2, donc s₂ = 0.

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(0) = 1 ; P = χ_{[2, +∞[}(1) = 0.

Étape 10.2 (unité (bungalow, e₁), position 7). |I(bungalow)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (nudiste) ; s₂ = 2 (chassez, revient), lecture par le son : d(φ(bungalow), φ(galop)) = 2, Par = 1 − 2/6 = 2/3 ≥ θ = 1/2, donc s₂ = 2.

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(2) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/3, 2/3) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 8/9 ≈ 0,889 ; H = 0,918 bit ; H / log₂ 2 = 0,918.

Étape 10.3. Pun(w) = ∑ P = 0 + 1 = 1.

Sans contrôle phonétique (θ = 0) : 2.

∴ « nudiste » a le même sens que « naturiste », mais ne sonne pas comme « naturel » : Par = 1/7 < θ, la lecture « proverbe » est refusée et nudiste n’a qu’une lecture. Seul « bungalow / galop » reste un calembour : Pun(w) = 1.

Exemple 11 – Faux positif assumé : la double activation fortuite

Texte : « The banker sat on the river bank. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(bank, e1)	ℓ1 : banque	sens	1	1	banker	1	1/2
	ℓ2 : rive	sens	1	1	river	1	1/2

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = the, t₂ = banker, t₃ = sat, t₄ = on, t₅ = the, t₆ = river, t₇ = bank, t₈ = . ; n = 8 ; m = 1 énoncé(s).

Étape 11.2 (unité (bank, e₁), position 7). |I(bank)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (banker) ; s₂ = 1 (river).

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/2, 1/2) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 1 ; H = 1 bit ; H / log₂ 2 = 1.

Étape 11.3. Pun(w) = ∑ P = 1.

∴ « banker » soutient la banque, « river » la rive : s = (1, 1), le calcul compte un calembour. L’énoncé décrit simplement un banquier assis au bord de l’eau : la double activation est là, l’intention de jeu ne l’est pas.

Exemple 12 – Texte complet : quatre calembours, deux ambiguïtés non activées

Texte : « Le patineur, cornet vanille en main, contemplait la glace. Ancien banquier, il a perdu tout intérêt. Chassez le naturiste, il revient au bungalow. Tu es en retard. La pierre est dure. Voici la pierre. »

unité (u, ej)	lecture ℓk	type	Par(u, ℓk)	χ[θ, 1](Par)	soutiens trouvés	sk	pk = sk / ∑ s
(glace, e1)	ℓ1 : surface gelée	sens	1	1	patineur	1	1/4
	ℓ2 : miroir	sens	1	1	contemplait	1	1/4
	ℓ3 : crème glacée	sens	1	1	cornet, vanille	2	1/2
(intérêt, e2)	ℓ1 : intérêts financiers	sens	1	1	banquier	1	1/2
	ℓ2 : curiosité, attention	sens	1	1	perdu	1	1/2
(naturiste, e3)	ℓ1 : adepte du nudisme	sens	1	1	bungalow	1	1/3
	ℓ2 : naturel (proverbe)	son	5/8	1	chassez, revient	2	2/3
(bungalow, e3)	ℓ1 : maison de vacances	sens	1	1	naturiste	1	1/3
	ℓ2 : galop (proverbe)	son	2/3	1	chassez, revient	2	2/3
(pierre, e5)	ℓ1 : prénom de l’apôtre	sens	1	1	—	0	0
	ℓ2 : roche	sens	1	1	dure	1	1
(pierre, e6)	ℓ1 : prénom de l’apôtre	sens	1	1	—	0	—
	ℓ2 : roche	sens	1	1	—	0	—

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = patineur, t₃ = cornet, t₄ = vanille, t₅ = en, t₆ = main, t₇ = contemplait, t₈ = la, t₉ = glace, t₁₀ = ., t₁₁ = ancien, t₁₂ = banquier, t₁₃ = il, t₁₄ = a, t₁₅ = perdu, t₁₆ = tout, t₁₇ = intérêt, t₁₈ = ., t₁₉ = chassez, t₂₀ = le, t₂₁ = naturiste, t₂₂ = il, t₂₃ = revient, t₂₄ = au, t₂₅ = bungalow, t₂₆ = ., t₂₇ = tu, t₂₈ = es, t₂₉ = en, t₃₀ = retard, t₃₁ = ., t₃₂ = la, t₃₃ = pierre, t₃₄ = est, t₃₅ = dure, t₃₆ = ., t₃₇ = voici, t₃₈ = la, t₃₉ = pierre, t₄₀ = . ; n = 40 ; m = 6 énoncé(s).

Étape 12.2 (unité (glace, e₁), position 9). |I(glace)| = 3 lectures au lexique ; s₁ = 1 (patineur) ; s₂ = 1 (contemplait) ; s₃ = 2 (cornet, vanille).

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(2) = 3 ; P = χ_{[2, +∞[}(3) = 1 ; p = (1/4, 1/4, 1/2) ; Éq = 3³ · ∏ p_k = 27/32 ≈ 0,844 ; H = 1,5 bit ; H / log₂ 3 = 0,946.

Étape 12.2 (unité (intérêt, e₂), position 17). |I(intérêt)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (banquier) ; s₂ = 1 (perdu).

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/2, 1/2) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 1 ; H = 1 bit ; H / log₂ 2 = 1.

Étape 12.2 (unité (naturiste, e₃), position 21). |I(naturiste)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (bungalow) ; s₂ = 2 (chassez, revient), lecture par le son : d(φ(naturiste), φ(naturel)) = 3, Par = 1 − 3/8 = 5/8 ≥ θ = 1/2, donc s₂ = 2.

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(2) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/3, 2/3) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 8/9 ≈ 0,889 ; H = 0,918 bit ; H / log₂ 2 = 0,918.

Étape 12.2 (unité (bungalow, e₃), position 25). |I(bungalow)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 1 (naturiste) ; s₂ = 2 (chassez, revient), lecture par le son : d(φ(bungalow), φ(galop)) = 2, Par = 1 − 2/6 = 2/3 ≥ θ = 1/2, donc s₂ = 2.

Amb = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(2) = 2 ; P = χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; p = (1/3, 2/3) ; Éq = 2² · ∏ p_k = 8/9 ≈ 0,889 ; H = 0,918 bit ; H / log₂ 2 = 0,918.

Étape 12.2 (unité (pierre, e₅), position 33). |I(pierre)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 0 (aucun soutien) ; s₂ = 1 (dure).

Amb = χ_{[1, +∞[}(0) + χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; P = χ_{[2, +∞[}(1) = 0.

Étape 12.2 (unité (pierre, e₆), position 39). |I(pierre)| = 2 lectures au lexique ; s₁ = 0 (aucun soutien) ; s₂ = 0 (aucun soutien).

Amb = χ_{[1, +∞[}(0) + χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; P = χ_{[2, +∞[}(0) = 0.

Étape 12.3. Pun(w) = ∑ P = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 = 4.

À la lettre (tout facteur contenant une forme ambiguë) : 698 ; version lexicale : 5 ; fenêtre étendue au texte entier : 6.

∴ Pun(w) = 4 : glace (trois lectures), intérêt, naturiste, bungalow. « La pierre est dure » (Amb = 1) et « Voici la pierre » (Amb = 0) ne sont pas des calembours ; avec une fenêtre étendue à tout le texte, « tu es » de la quatrième phrase activerait à tort le prénom.

Exemple 12 : six énoncés, six unités, quatre calembours.

24.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les douze textes des exemples 1 à 12, par l’écart entre Pun calculé et Pun attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 4 (l’exemple 11 n’est pas un calembour).

version	Pun total	erreurs ∑ |Pun − attendu| (sur 12 textes)	textes mal comptés
à la lettre, Amb hérité par tout facteur contenant une forme ambiguë	953	941	11 textes sur 12
lexicale : |I(u)| ≥ 2 sur les formes distinctes de Fact(w)	17	5	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (5 au lieu de 4)
lectures activées, sans contrôle phonétique (θ = 0)	14	2	ex. 10 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
lectures activées, occurrences non regroupées par énoncé	14	2	ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
fenêtre : texte entier	15	3	ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (6 au lieu de 4)
retenue	13	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

La lecture à la lettre, où tout facteur contenant une forme ambiguë hérite de son ambiguïté, compte des centaines de facteurs. La version lexicale compte les formes ambiguës sans regarder le contexte : elle prend « bank is closed » et « la pierre est dure » pour des calembours. Sans contrôle phonétique, « nudiste » passe pour un écho de « naturel ». Sans regroupement, « Tu es Pierre, et sur cette pierre » compte deux fois. Avec tout le texte pour contexte, un soutien venu d’une autre phrase active une lecture que l’énoncé n’appelle pas. La version retenue ne garde qu’une erreur, la double activation fortuite de l’exemple 11.

Erreurs des versions : activation par le contexte, contrôle phonétique, unité (u, e_j) et fenêtre de l’énoncé sont tous nécessaires.

Le seuil θ de proximité phonétique se lit sur les valeurs de Par du lexique : 1/7 (nudiste / naturel), 5/8 (naturiste / naturel), 2/3 (bungalow / galop), 1 (tuna / tune a). Tout θ de ]1/7, 5/8] donne le même résultat ; θ = 1/2, la moitié des phonèmes conservés, est au milieu de cet intervalle.

θ	erreurs ∑ |Pun − attendu|	textes mal comptés
0	2	ex. 10 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
1/7	2	ex. 10 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
1/4	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
1/2	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
5/8	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
2/3	3	ex. 4 (1 au lieu de 2) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (3 au lieu de 4)
1	6	ex. 4 (0 au lieu de 2) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (2 au lieu de 4)

La fenêtre de soutien : une distance maximale |i − i′| ≤ g entre la forme et le mot de soutien, ou l’énoncé entier. Le soutien peut être loin de la forme (« banker » est à quatre mots de « interest », « mort » à treize mots de « grave ») ; l’énoncé entier est la seule fenêtre qui ne dépend d’aucun réglage et ne perd aucun calembour.

fenêtre	erreurs ∑ |Pun − attendu|	textes mal comptés
|i − i′| ≤ 1	12	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 2) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (0 au lieu de 4)
|i − i′| ≤ 2	12	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 2) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (0 au lieu de 4)
|i − i′| ≤ 3	12	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 2) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (0 au lieu de 4)
|i − i′| ≤ 4	6	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (2 au lieu de 4)
|i − i′| ≤ 6	2	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
|i − i′| ≤ 10	2	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
|i − i′| ≤ 15	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
énoncé entier	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

Sensibilité au seuil phonétique θ et à la fenêtre de soutien g.

24.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois le lexique, les transcriptions et θ fixés, Amb, Pun, Éq et H découlent nécessairement du calcul ; les lemmes 1 à 5 et la partition sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : les lectures, les listes de soutien et les transcriptions relèvent de la langue et de la culture ; un calembour dont la lecture cachée n’est pas au lexique échappe au calcul, et la situation d’énonciation ne compte que si elle est écrite.
• Possible : toute double activation est un calembour possible ; elle peut être fortuite (exemple 11). Le mécanisme mesure la coexistence de deux lectures, non l’intention de l’auteur.

24.10 Justification et limites

Le calembour tient les deux sens ensemble au lieu de laisser le contexte en choisir un. La double activation en est la trace exacte dans le mot : chaque lecture est appelée par au moins un mot de l’énoncé. L’indicatrice χ_{[2, +∞[} de la définition est conservée ; elle porte désormais sur le nombre de lectures activées et non sur le nombre de lectures possibles. La distance d’édition des transcriptions rend vérifiable l’affirmation « u sonne comme v », qui fonde l’homophonie et la paronymie. L’équilibre Éq = K^K ∏ p_k généralise exactement le produit 4 p₁ p₂ et mesure ce qui fait un bon jeu de mots : aucune des lectures ne l’emporte.

Trois limites sont assumées. La double activation ne garantit pas l’intention (exemple 11). Les listes de soutien sont finies : un soutien absent du lexique laisse une lecture inactive. Enfin, les transcriptions phonétiques et le seuil θ ne mesurent que la ressemblance des sons, non la reconnaissance d’un proverbe ; c’est pourquoi la lecture « proverbe » exige aussi des mots de soutien (chassez, revient).

⁂

25. Antanaclasis (Antanaclase) – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
L’antanaclase (du grec antanaklasis, « réflexion, renvoi ») est la répétition d’un même mot ou d’une même expression dans une phrase, avec un sens différent à chaque occurrence. Quintilien la range parmi les figures de répétition (Institution oratoire, IX, 3, 68). Exemples : « Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point » (Pascal, Pensées) ; « We must all hang together, or most assuredly we shall all hang separately » (mot attribué à Benjamin Franklin, 1776) ; « Put out the light, and then put out the light » (Othello, V, 2). L’antanaclase consiste à répéter un même mot dans une phrase, mais avec un glissement de sens d’une occurrence à l’autre (ex. « Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point »).

Mécanisme en combinatoire des mots
L’opérateur exige la répétition d’un facteur matériel identique $u_1 = u_2$, couplée à une disjonction de leurs interprétations sémantiques contextuelles $\mathrm{Sem}(u_1) \neq \mathrm{Sem}(u_2)$.

Définition mathématique
Soit $\mathrm{Sem}$ une fonction d’interprétation contextuelle. Le degré d’antanaclase est évalué par :

$$\mathrm{Antan}(w) = \bigl| \{ (u_1, u_2) \mid u_1 = u_2 = u \in \mathrm{Fact}(w) \text{ et } \mathrm{Sem}(u_1) \neq \mathrm{Sem}(u_2) \} \bigr|$$

⁂

25. Antanaclase – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de l’antanaclase à quelques exemples de la répétition d’un facteur matériel identique $u_1 = u_2$, couplée à une disjonction de leurs interprétations sémantiques contextuelles $\mathrm{Sem}(u_1) \neq \mathrm{Sem}(u_2)$.

25.1 Définition rhétorique

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une identité de forme : le même mot revient, éventuellement sous une autre flexion (raisons / raison, voler / volent) ;
• une différence de sens : chaque occurrence reçoit son sens de son propre voisinage, et ces sens diffèrent ;
• une seule unité : un mot répété dans un énoncé forme une antanaclase, quel que soit le nombre de ses occurrences.

L’antanaclase est l’image miroir du calembour : là, une occurrence porte deux sens ; ici, deux occurrences portent chacune un sens. Elle se distingue de la simple reprise (même mot, même sens : « mon chien aboie, ton chien aboie aussi ») et du chiasme (« manger pour vivre et non vivre pour manger »), qui répètent sans changer de sens.

25.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule Antan(w) = |{ (u₁, u₂) | u₁ = u₂ = u, u ∈ Fact(w), Sem(u₁) ≠ Sem(u₂) }| est une définition en compréhension. Pour la rendre calculable, on note Sem(u, c) la lecture du facteur u dans le contexte c, codée par un identifiant numérique, l’identité Eq(u₁, u₂) = χ_{u2}(u₁) et la divergence D(u₁, u₂) = χ_{]0, +∞[}(|Sem(u₁, c₁) − Sem(u₂, c₂)|). Une occurrence d’antanaclase est A(u₁, u₂) = Eq(u₁, u₂) · D(u₁, u₂), et :

Antan(w) = ∑_{(u1, u2)} χ_{u2}(u₁) · χ_{]0, +∞[}( |Sem(u₁, c₁) − Sem(u₂, c₂)| ),

AntanInt(w) = ∑_{(u1, u2)} χ_{u2}(u₁) · d_sem( Sem(u₁), Sem(u₂) ).

La forme est juste : une identité et une divergence, deux indicatrices multipliées, une somme. Pour qu’elle compte exactement les antanaclases, six précisions sont nécessaires : (1) Sem(u, c) est posé à la main (Sem = 1, 2 ; 5, 9 ; 12, 12) ; il faut le lire dans le mot, par les mots de soutien du voisinage ; (2) ce voisinage doit être local : si c est l’énoncé entier, deux occurrences du même mot ont le même contexte et reçoivent le même sens (lemme 2) ; (3) χ_{u2}(u₁) sur les chaînes perd les deux exemples de la définition : raisons ≠ raison, voler ≠ volent ; l’identité porte sur le lemme ; (4) la somme sur les paires compte, pour m occurrences, jusqu’à m(m − 1)/2 paires : l’unité est le lemme répété dans l’énoncé ; (5) |Sem(u₁) − Sem(u₂)| dépend de la numérotation arbitraire des sens : seule sa nullité a un sens, d’où D = 1 − χ_{σ2}(σ₁) ; (6) la distance pondérée doit être indépendante des codes : on prend la distance de Jaccard entre les traits des deux sens.

25.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• identité de lemme : χ_{λ(t′)}(λ(t)) = 1 si deux mots ont le même lemme ;
• appartenance à une liste de soutien : χ_Sout(σₖ)(t) = 1 si le mot t appelle le sens σ_k ;
• égalité de sens : χ_{σ′}(σ) = 1 si deux occurrences ont reçu le même sens ;
• « au moins deux » : χ_{[2, +∞[}(m) pour la répétition, χ_{[2, +∞[}(S) pour la pluralité des sens ;
• « au moins un » : χ_{[1, +∞[}(n_σ) = 1 si le sens σ est attribué à au moins une occurrence.

25.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les énoncés ; les lemmes

On met le texte en minuscules ; ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces ; les signes . ! ? ; coupent w en énoncés e₁, …, e_M. Chaque mot t reçoit un lemme λ(t) par une table finie (raisons → raison, volent → voler, marchent → marcher) ; un mot absent de la table est son propre lemme. Pour un lemme u et un énoncé e_j :

Occ(u, e_j) = { i ∈ e_j : λ(t_i) = u }, m(u, e_j) = |Occ(u, e_j)| = ∑_{i ∈ eⱼ} χ_{u}(λ(t_i)).

b) La table des sens

Pour chaque lemme polysémique, la table donne ses sens σ_k, un code (l’identifiant numérique de la définition), un ensemble de traits F(σ_k) et une liste de soutien Sout(σ_k) : les mots qui appellent ce sens.

lemme u	sens	code	traits F(σ)	liste de soutien Sout(σ)
raison	σ1 : motifs, causes	7	mental, cause	cœur, ses, mes, motif
raison	σ2 : faculté de raisonner	19	mental, capacité, logique	connaît, logique, esprit, penser
voler	σ1 : dérober	5	action, illégal, possession	mal, voleur, voleurs, sac, valise, police
voler	σ2 : se déplacer dans l’air	9	mouvement, air	oiseaux, ailes, ciel, avions, pilote, paris
marcher	σ1 : aller à pied	3	mouvement, corps	route, pieds, chemin, pas
marcher	σ2 : fonctionner, réussir	11	état, réussite	affaires, moteur, commerce, montre
chien	σ1 : animal	12	animal, domestique	aboie, laisse, niche, voisin
chien	σ2 : pièce d’une arme	31	objet, arme	fusil, arme, armer, détente
pièce	σ1 : salle d’un logement	4	lieu, habitation	petite, chambre, maison, salon
pièce	σ2 : œuvre de théâtre	23	œuvre, art, théâtre	jouer, théâtre, acte, auteur
hang	σ1 : rester unis	2	social, union	together, unite, stick
hang	σ2 : être pendus	8	mort, supplice	separately, rope, gallows

c) Le sens de chaque occurrence, lu dans une fenêtre locale

s_k(i) = ∑_{|i′ − i| ≤ g, i′ ∈ eⱼ, λ(tᵢ′) ≠ u} χ_Sout(σₖ)(t_i′), g = 3.

σ(i) = σ_k si s_k(i) > s_k′(i) pour tout k′ ≠ k ; σ(i) = ⊥ (indécis) si le maximum est nul ou atteint deux fois.

Le sens retenu est celui qui reçoit strictement le plus de soutiens dans la fenêtre ; sans soutien, ou à égalité, l’occurrence reste indécise et ne compte pas. Lemme 1 (Sem calculé). σ(i) remplace Sem(u, c_i) de la définition : il est déterminé par les mots de la fenêtre, sans valeur posée à la main. Lemme 2 (la fenêtre doit être locale). Si la fenêtre est l’énoncé entier, toutes les occurrences de u dans e_j ont le même ensemble de soutiens (les mots de même lemme sont exclus), donc le même vecteur s et le même sens : S ≤ 1 et aucune antanaclase n’est jamais détectée. ∴ la différence de sens n’est observable que par des contextes différents, donc locaux.

Chaque occurrence lit son sens dans sa propre fenêtre de trois mots de part et d’autre.

Lemme 2 : avec l’énoncé entier pour contexte, les deux occurrences ont les mêmes soutiens et ne peuvent pas différer.

d) La pluralité des sens et la décision

n_σ(u, e_j) = |{ i ∈ Occ(u, e_j) : σ(i) = σ }|, S(u, e_j) = ∑_σ χ_{[1, +∞[}(n_σ), A(u, e_j) = χ_{[2, +∞[}(m) · χ_{[2, +∞[}(S).

Lemme 3 (des paires aux lemmes). Si toutes les occurrences sont décidées, le nombre de paires de sens différents est ∑_{i < i′} (1 − χ_{σ(i′)}(σ(i))) = m(m − 1)/2 − ∑_σ n_σ(n_σ − 1)/2 ; il est ≥ 1 si et seulement si S ≥ 2. ∴ A(u, e_j) = χ_{[1, +∞[}( ∑_paires D ) : la somme de la définition, ramenée à une indicatrice par lemme, donne exactement la décision retenue. Sans cette indicatrice, trois occurrences de deux sens comptent 2, de trois sens 3 (exemple 6).

Lemme 4 (S ≤ m). Chaque occurrence porte au plus un sens : S ≤ m, et la répétition χ_{[2, +∞[}(m) est donc impliquée par S ≥ 2 ; elle reste écrite pour garder la forme de la définition.

e) La distance entre sens : indépendante des codes

La définition code les sens par des nombres et prend |Sem(u₁) − Sem(u₂)|. Ce nombre dépend de la numérotation : en recodant les sens de raison 7 et 19 en 1 et 2, la « distance » passe de 12 à 1 sans que rien n’ait changé. Seule sa nullité est invariante, d’où D = 1 − χ_{σ2}(σ₁). Pour la version pondérée, on mesure l’écart des traits :

d_J(σ, σ′) = 1 − |F(σ) ∩ F(σ′)| / |F(σ) ∪ F(σ′)| ∈ [0, 1], AntanInt(w) = ∑_{(u, eⱼ)} A(u, e_j) · max_{σ ≠ σ′ attribués} d_J(σ, σ′).

lemme	codes des deux sens	|code − code′| (dépend de la numérotation)	dJ (invariante)
raison	7 et 19	12	3/4
voler	5 et 9	4	1
marcher	3 et 11	8	1
chien	12 et 31	19	1
pièce	4 et 23	19	1
hang	2 et 8	6	1

Lemme 5 (invariance). d_J ne dépend que des ensembles de traits : toute renumérotation des sens la laisse inchangée ; d_J = 0 si et seulement si les deux sens ont les mêmes traits, et d_J = 1 s’ils n’en partagent aucun. Les deux sens de raison partagent le trait « mental » : d_J = 3/4 ; voler, marcher, pièce et chien ont d_J = 1.

Traits des deux sens de chaque lemme : la distance de Jaccard ne dépend pas des codes numériques.

f) La partition des lemmes répétés

Pour un lemme répété (m ≥ 2), l’identité 1 = χ_{0}(S) + χ_{1}(S) + χ_{[2, +∞[}(S) le range dans exactement une classe : sens indécidables ou lemme sans polysémie (S = 0), reprise (S = 1), antanaclase (S ≥ 2).

L’arbre de décision : répétition du lemme, sens de chaque occurrence, nombre de sens distincts.

25.5 Définition mathématique

Antan(w) = ∑_j=1^M ∑_{u ∈ λ(eⱼ)} χ_{[2, +∞[}( m(u, e_j) ) · χ_{[2, +∞[}( ∑_σ χ_{[1, +∞[}( |{ i ∈ Occ(u, e_j) : σ(i) = σ }| ) ),

σ(i) = argmax strict_k ∑_{|i′ − i| ≤ 3} χ_Sout(σₖ)(t_i′), AntanInt(w) = ∑ A · max d_J.

La somme sur les paires est remplacée par une somme sur les lemmes répétés de chaque énoncé ; l’identité de chaîne par l’identité de lemme ; Sem(u, c) par le sens lu dans une fenêtre locale ; |Sem − Sem′| par l’égalité des sens et, pour l’intensité, par la distance de Jaccard des traits.

La définition complète : lemme répété, sens local de chaque occurrence, nombre de sens distincts.

25.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots et en énoncés ; ramener chaque mot à son lemme.
2. Dans chaque énoncé, relever les lemmes répétés (m ≥ 2).
3. Pour chaque occurrence d’un lemme polysémique, compter les soutiens de chaque sens dans la fenêtre de trois mots de part et d’autre.
4. Attribuer le sens qui l’emporte strictement ; sinon noter l’occurrence indécise.
5. Compter les sens distincts S ; si S ≥ 2, compter une antanaclase et calculer d_J.
6. Additionner : Antan(w), AntanInt(w).

25.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par occurrence de chaque lemme répété : la forme et sa position, les mots de soutien trouvés pour chaque sens dans la fenêtre, le vecteur s et le sens attribué.

Exemple 1 – « Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point » : deux formes, un lemme

Texte : « Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(raison, e1)	2	raisons, t5	σ1 : cœur, ses | σ2 : —	(2, 0)	σ1 : motifs, causes
		raison, t8	σ1 : — | σ2 : connaît	(0, 1)	σ2 : faculté de raisonner

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = cœur, t₃ = a, t₄ = ses, t₅ = raisons, t₆ = que, t₇ = la, t₈ = raison, t₉ = ne, t₁₀ = connaît, t₁₁ = point, t₁₂ = . ; n = 12 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 1.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : raison (m = 2).

Étape 1.3 (raison, e₁). t₅ = raisons : fenêtre t₂ … t₈, s = (2, 0), σ = σ₁ : motifs, causes ; t₈ = raison : fenêtre t₅ … t₁₁, s = (0, 1), σ = σ₂ : faculté de raisonner.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 1 sur 1 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 3/4.

Étape 1.4. Antan(w) = ∑ A = 1 ; AntanInt(w) = ∑ A · d_J = 3/4.

Avec l’identité de chaîne (χ_{u2}(u₁) sur les formes) : 0 ; avec les sens lus sur l’énoncé entier : 0.

∴ raisons et raison ont le même lemme ; « cœur, ses » donnent à la première occurrence le sens « motifs », « connaît » donne à la seconde le sens « faculté de raisonner » : S = 2, antanaclase (Pascal, Pensées). Par l’identité de chaîne, raisons ≠ raison et la figure serait perdue.

Exemple 2 – « Voler est mal, sauf pour les oiseaux qui volent » : infinitif et forme conjuguée

Texte : « Voler est mal, sauf pour les oiseaux qui volent. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(voler, e1)	2	voler, t1	σ1 : mal | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : dérober
		volent, t9	σ1 : — | σ2 : oiseaux	(0, 1)	σ2 : se déplacer dans l’air

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = voler, t₂ = est, t₃ = mal, t₄ = sauf, t₅ = pour, t₆ = les, t₇ = oiseaux, t₈ = qui, t₉ = volent, t₁₀ = . ; n = 10 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 2.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : voler (m = 2).

Étape 2.3 (voler, e₁). t₁ = voler : fenêtre t₁ … t₄, s = (1, 0), σ = σ₁ : dérober ; t₉ = volent : fenêtre t₆ … t₁₀, s = (0, 1), σ = σ₂ : se déplacer dans l’air.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 1 sur 1 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 1.

Étape 2.4. Antan(w) = ∑ A = 1 ; AntanInt(w) = ∑ A · d_J = 1.

Avec l’identité de chaîne : 0 ; avec les sens lus sur l’énoncé entier : 0.

∴ « mal » fixe « dérober » autour de la première occurrence, « oiseaux » fixe « se déplacer dans l’air » autour de la seconde. S = 2 ; d_J = 1 : les deux sens n’ont aucun trait commun.

Exemple 3 – « We must all hang together… hang separately » : la forme anglaise

Texte : « We must all hang together, or most assuredly we shall all hang separately. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(we, e1)	2	t1, t9	lemme sans plusieurs sens dans la table	—	—
(all, e1)	2	t3, t11	lemme sans plusieurs sens dans la table	—	—
(hang, e1)	2	hang, t4	σ1 : together | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : rester unis
		hang, t12	σ1 : — | σ2 : separately	(0, 1)	σ2 : être pendus

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = we, t₂ = must, t₃ = all, t₄ = hang, t₅ = together, t₆ = or, t₇ = most, t₈ = assuredly, t₉ = we, t₁₀ = shall, t₁₁ = all, t₁₂ = hang, t₁₃ = separately, t₁₄ = . ; n = 14 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 3.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : we (m = 2), all (m = 2), hang (m = 2).

Étape 3.3 (we, e₁). Le lemme n’a pas plusieurs sens dans la table : S = 0, A = 0.

Étape 3.3 (all, e₁). Le lemme n’a pas plusieurs sens dans la table : S = 0, A = 0.

Étape 3.3 (hang, e₁). t₄ = hang : fenêtre t₁ … t₇, s = (1, 0), σ = σ₁ : rester unis ; t₁₂ = hang : fenêtre t₉ … t₁₄, s = (0, 1), σ = σ₂ : être pendus.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 1 sur 1 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 1.

Étape 3.4. Antan(w) = ∑ A = 0 + 0 + 1 = 1 ; AntanInt(w) = ∑ A · d_J = 1.

∴ « together » et « separately » sont chacun à un mot de leur occurrence : rester unis / être pendus (mot attribué à Benjamin Franklin, 1776). Les mots répétés we et all n’ont qu’un sens : ils ne comptent pas.

Exemple 4 – « Il marche sur la route, et ses affaires marchent bien »

Texte : « Il marche sur la route, et ses affaires marchent bien. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(marcher, e1)	2	marche, t2	σ1 : route | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : aller à pied
		marchent, t9	σ1 : — | σ2 : affaires	(0, 1)	σ2 : fonctionner, réussir

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = marche, t₃ = sur, t₄ = la, t₅ = route, t₆ = et, t₇ = ses, t₈ = affaires, t₉ = marchent, t₁₀ = bien, t₁₁ = . ; n = 11 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 4.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : marcher (m = 2).

Étape 4.3 (marcher, e₁). t₂ = marche : fenêtre t₁ … t₅, s = (1, 0), σ = σ₁ : aller à pied ; t₉ = marchent : fenêtre t₆ … t₁₁, s = (0, 1), σ = σ₂ : fonctionner, réussir.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 1 sur 1 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 1.

Étape 4.4. Antan(w) = ∑ A = 1 ; AntanInt(w) = ∑ A · d_J = 1.

∴ « route » est à trois mots de marche, « affaires » à un mot de marchent : aller à pied / fonctionner. S = 2.

Exemple 5 – « La pièce est trop petite pour jouer cette pièce »

Texte : « La pièce est trop petite pour jouer cette pièce. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(pièce, e1)	2	pièce, t2	σ1 : petite | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : salle d’un logement
		pièce, t9	σ1 : — | σ2 : jouer	(0, 1)	σ2 : œuvre de théâtre

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = pièce, t₃ = est, t₄ = trop, t₅ = petite, t₆ = pour, t₇ = jouer, t₈ = cette, t₉ = pièce, t₁₀ = . ; n = 10 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 5.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : pièce (m = 2).

Étape 5.3 (pièce, e₁). t₂ = pièce : fenêtre t₁ … t₅, s = (1, 0), σ = σ₁ : salle d’un logement ; t₉ = pièce : fenêtre t₆ … t₁₀, s = (0, 1), σ = σ₂ : œuvre de théâtre.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 1 sur 1 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 1.

Étape 5.4. Antan(w) = ∑ A = 1 ; AntanInt(w) = ∑ A · d_J = 1.

∴ « petite » soutient la salle, « jouer » l’œuvre de théâtre. Même chaîne, deux sens : antanaclase.

Exemple 6 – Trois occurrences, deux sens : une seule antanaclase

Texte : « Les voleurs volent les sacs, les oiseaux volent dans le ciel, les avions volent aussi. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(les, e1)	4	t1, t4, t6, t12	lemme sans plusieurs sens dans la table	—	—
(voler, e1)	3	volent, t3	σ1 : voleurs | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : dérober
		volent, t8	σ1 : — | σ2 : oiseaux, ciel	(0, 2)	σ2 : se déplacer dans l’air
		volent, t14	σ1 : — | σ2 : ciel, avions	(0, 2)	σ2 : se déplacer dans l’air

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = les, t₂ = voleurs, t₃ = volent, t₄ = les, t₅ = sacs, t₆ = les, t₇ = oiseaux, t₈ = volent, t₉ = dans, t₁₀ = le, t₁₁ = ciel, t₁₂ = les, t₁₃ = avions, t₁₄ = volent, t₁₅ = aussi, t₁₆ = . ; n = 16 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 6.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : les (m = 4), voler (m = 3).

Étape 6.3 (les, e₁). Le lemme n’a pas plusieurs sens dans la table : S = 0, A = 0.

Étape 6.3 (voler, e₁). t₃ = volent : fenêtre t₁ … t₆, s = (1, 0), σ = σ₁ : dérober ; t₈ = volent : fenêtre t₅ … t₁₁, s = (0, 2), σ = σ₂ : se déplacer dans l’air ; t₁₄ = volent : fenêtre t₁₁ … t₁₆, s = (0, 2), σ = σ₂ : se déplacer dans l’air.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(2) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(3) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 2 sur 3 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 1.

Étape 6.4. Antan(w) = ∑ A = 0 + 1 = 1 ; AntanInt(w) = ∑ A · d_J = 1.

Somme sur les paires d’occurrences : 2.

∴ les sens attribués sont (dérober, se déplacer, se déplacer) : S = 2, une antanaclase. La somme sur les paires compte 2 paires de sens différents ; elle compterait 3 avec trois sens. L’unité est le lemme dans l’énoncé, non la paire.

Exemple 7 – « Mon chien aboie, ton chien aboie aussi » : la simple reprise

Texte : « Mon chien aboie, ton chien aboie aussi. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(chien, e1)	2	chien, t2	σ1 : aboie | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : animal
		chien, t5	σ1 : aboie, aboie | σ2 : —	(2, 0)	σ1 : animal
(aboie, e1)	2	t3, t6	lemme sans plusieurs sens dans la table	—	—

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = mon, t₂ = chien, t₃ = aboie, t₄ = ton, t₅ = chien, t₆ = aboie, t₇ = aussi, t₈ = . ; n = 8 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 7.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : chien (m = 2), aboie (m = 2).

Étape 7.3 (chien, e₁). t₂ = chien : fenêtre t₁ … t₅, s = (1, 0), σ = σ₁ : animal ; t₅ = chien : fenêtre t₂ … t₈, s = (2, 0), σ = σ₁ : animal.

S = χ_{[1, +∞[}(2) + χ_{[1, +∞[}(0) = 1 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(1) = 0 ; paires de sens différents : 0 sur 1.

Étape 7.3 (aboie, e₁). Le lemme n’a pas plusieurs sens dans la table : S = 0, A = 0.

Étape 7.4. Antan(w) = ∑ A = 0 + 0 = 0.

∴ les deux occurrences reçoivent le sens « animal » : S = 1, D = 0. C’est l’exemple 3 de la définition (Sem(u₁) = Sem(u₂) = 12) rendu calculable : une reprise, non une antanaclase.

Exemple 8 – « Les oiseaux volent » : une seule occurrence

Texte : « Les oiseaux volent. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(voler, e1)	1	volent, t3	σ1 : — | σ2 : oiseaux	(0, 1)	σ2 : se déplacer dans l’air

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = les, t₂ = oiseaux, t₃ = volent, t₄ = . ; n = 4 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 8.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : aucun.

Étape 8.3 (voler, e₁). t₃ = volent : fenêtre t₁ … t₄, s = (0, 1), σ = σ₂ : se déplacer dans l’air.

S = χ_{[1, +∞[}(0) + χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; A = χ_{[2, +∞[}(1) · χ_{[2, +∞[}(1) = 0.

Étape 8.4. Antan(w) = ∑ A = 0.

∴ m = 1 : sans répétition, pas d’antanaclase, même pour un mot polysémique. Un mot à deux sens dans une seule occurrence relève du calembour (fiche précédente).

Exemple 9 – « …manger pour vivre et non vivre pour manger » : répétition sans polysémie

Texte : « Il faut manger pour vivre et non vivre pour manger. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(manger, e1)	2	t3, t10	lemme sans plusieurs sens dans la table	—	—
(pour, e1)	2	t4, t9	lemme sans plusieurs sens dans la table	—	—
(vivre, e1)	2	t5, t8	lemme sans plusieurs sens dans la table	—	—

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = faut, t₃ = manger, t₄ = pour, t₅ = vivre, t₆ = et, t₇ = non, t₈ = vivre, t₉ = pour, t₁₀ = manger, t₁₁ = . ; n = 11 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 9.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : manger (m = 2), pour (m = 2), vivre (m = 2).

Étape 9.3 (manger, e₁). Le lemme n’a pas plusieurs sens dans la table : S = 0, A = 0.

Étape 9.3 (pour, e₁). Le lemme n’a pas plusieurs sens dans la table : S = 0, A = 0.

Étape 9.3 (vivre, e₁). Le lemme n’a pas plusieurs sens dans la table : S = 0, A = 0.

Étape 9.4. Antan(w) = ∑ A = 0 + 0 + 0 = 0.

∴ manger, vivre et pour sont répétés (m = 2), mais aucun n’a plusieurs sens dans la table : la figure est un chiasme, non une antanaclase.

Exemple 10 – « Il vole, puis il vole encore » : des sens indécidables

Texte : « Il vole, puis il vole encore. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(il, e1)	2	t1, t4	lemme sans plusieurs sens dans la table	—	—
(voler, e1)	2	vole, t2	σ1 : — | σ2 : —	(0, 0)	⊥ (indécis)
		vole, t5	σ1 : — | σ2 : —	(0, 0)	⊥ (indécis)

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = vole, t₃ = puis, t₄ = il, t₅ = vole, t₆ = encore, t₇ = . ; n = 7 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 10.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : il (m = 2), voler (m = 2).

Étape 10.3 (il, e₁). Le lemme n’a pas plusieurs sens dans la table : S = 0, A = 0.

Étape 10.3 (voler, e₁). t₂ = vole : fenêtre t₁ … t₅, s = (0, 0), σ = ⊥ (indécis) ; t₅ = vole : fenêtre t₂ … t₇, s = (0, 0), σ = ⊥ (indécis).

S = χ_{[1, +∞[}(0) + χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(0) = 0 ; paires de sens différents : 0 sur 1.

Étape 10.4. Antan(w) = ∑ A = 0 + 0 = 0.

∴ aucun mot de soutien autour des deux occurrences : s = (0, 0), le sens n’est pas attribué (⊥). Un sens qu’on ne peut pas lire ne peut pas différer : S = 0.

Exemple 11 – Faux positif assumé : la répétition fortuite

Texte : « Le pilote vole vers Paris, et à l’arrivée on lui vole sa valise. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(voler, e1)	2	vole, t3	σ1 : — | σ2 : pilote, paris	(0, 2)	σ2 : se déplacer dans l’air
		vole, t12	σ1 : valise | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : dérober

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = pilote, t₃ = vole, t₄ = vers, t₅ = paris, t₆ = et, t₇ = à, t₈ = l, t₉ = arrivée, t₁₀ = on, t₁₁ = lui, t₁₂ = vole, t₁₃ = sa, t₁₄ = valise, t₁₅ = . ; n = 15 ; M = 1 énoncé(s).

Étape 11.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : voler (m = 2).

Étape 11.3 (voler, e₁). t₃ = vole : fenêtre t₁ … t₆, s = (0, 2), σ = σ₂ : se déplacer dans l’air ; t₁₂ = vole : fenêtre t₉ … t₁₅, s = (1, 0), σ = σ₁ : dérober.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 1 sur 1 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 1.

Étape 11.4. Antan(w) = ∑ A = 1 ; AntanInt(w) = ∑ A · d_J = 1.

∴ « pilote, paris » donnent « se déplacer », « valise » donne « dérober » : S = 2, le calcul compte une antanaclase. Le récit répète le verbe sans jouer sur l’écart des sens : la structure de la figure est là, l’intention rhétorique ne l’est pas.

Exemple 12 – Texte complet : trois antanaclases, une reprise, une occurrence isolée

Texte : « Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point. Il marche sur la route, et ses affaires marchent bien. Mon chien aboie, ton chien aboie aussi. Les oiseaux volent. Voler est mal, sauf pour les oiseaux qui volent. »

unité (u, ej)	m	occurrence (forme, position)	soutiens par sens	s = (s1, s2)	sens attribué σ(i)
(raison, e1)	2	raisons, t5	σ1 : cœur, ses | σ2 : —	(2, 0)	σ1 : motifs, causes
		raison, t8	σ1 : — | σ2 : connaît	(0, 1)	σ2 : faculté de raisonner
(marcher, e2)	2	marche, t14	σ1 : route | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : aller à pied
		marchent, t21	σ1 : — | σ2 : affaires	(0, 1)	σ2 : fonctionner, réussir
(chien, e3)	2	chien, t25	σ1 : aboie | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : animal
		chien, t28	σ1 : aboie, aboie | σ2 : —	(2, 0)	σ1 : animal
(aboie, e3)	2	t26, t29	lemme sans plusieurs sens dans la table	—	—
(voler, e4)	1	volent, t34	σ1 : — | σ2 : oiseaux	(0, 1)	σ2 : se déplacer dans l’air
(voler, e5)	2	voler, t36	σ1 : mal | σ2 : —	(1, 0)	σ1 : dérober
		volent, t44	σ1 : — | σ2 : oiseaux	(0, 1)	σ2 : se déplacer dans l’air

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = cœur, t₃ = a, t₄ = ses, t₅ = raisons, t₆ = que, t₇ = la, t₈ = raison, t₉ = ne, t₁₀ = connaît, t₁₁ = point, t₁₂ = ., t₁₃ = il, t₁₄ = marche, t₁₅ = sur, t₁₆ = la, t₁₇ = route, t₁₈ = et, t₁₉ = ses, t₂₀ = affaires, t₂₁ = marchent, t₂₂ = bien, t₂₃ = ., t₂₄ = mon, t₂₅ = chien, t₂₆ = aboie, t₂₇ = ton, t₂₈ = chien, t₂₉ = aboie, t₃₀ = aussi, t₃₁ = ., t₃₂ = les, t₃₃ = oiseaux, t₃₄ = volent, t₃₅ = ., t₃₆ = voler, t₃₇ = est, t₃₈ = mal, t₃₉ = sauf, t₄₀ = pour, t₄₁ = les, t₄₂ = oiseaux, t₄₃ = qui, t₄₄ = volent, t₄₅ = . ; n = 45 ; M = 5 énoncé(s).

Étape 12.2. Lemmes répétés dans un même énoncé (m ≥ 2) : raison (m = 2), marcher (m = 2), chien (m = 2), aboie (m = 2), voler (m = 2).

Étape 12.3 (raison, e₁). t₅ = raisons : fenêtre t₂ … t₈, s = (2, 0), σ = σ₁ : motifs, causes ; t₈ = raison : fenêtre t₅ … t₁₁, s = (0, 1), σ = σ₂ : faculté de raisonner.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 1 sur 1 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 3/4.

Étape 12.3 (marcher, e₂). t₁₄ = marche : fenêtre t₁₁ … t₁₇, s = (1, 0), σ = σ₁ : aller à pied ; t₂₁ = marchent : fenêtre t₁₈ … t₂₄, s = (0, 1), σ = σ₂ : fonctionner, réussir.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 1 sur 1 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 1.

Étape 12.3 (chien, e₃). t₂₅ = chien : fenêtre t₂₂ … t₂₈, s = (1, 0), σ = σ₁ : animal ; t₂₈ = chien : fenêtre t₂₅ … t₃₁, s = (2, 0), σ = σ₁ : animal.

S = χ_{[1, +∞[}(2) + χ_{[1, +∞[}(0) = 1 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(1) = 0 ; paires de sens différents : 0 sur 1.

Étape 12.3 (aboie, e₃). Le lemme n’a pas plusieurs sens dans la table : S = 0, A = 0.

Étape 12.3 (voler, e₄). t₃₄ = volent : fenêtre t₃₁ … t₃₇, s = (0, 1), σ = σ₂ : se déplacer dans l’air.

S = χ_{[1, +∞[}(0) + χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; A = χ_{[2, +∞[}(1) · χ_{[2, +∞[}(1) = 0.

Étape 12.3 (voler, e₅). t₃₆ = voler : fenêtre t₃₃ … t₃₉, s = (1, 0), σ = σ₁ : dérober ; t₄₄ = volent : fenêtre t₄₁ … t₄₅, s = (0, 1), σ = σ₂ : se déplacer dans l’air.

S = χ_{[1, +∞[}(1) + χ_{[1, +∞[}(1) = 2 ; A = χ_{[2, +∞[}(2) · χ_{[2, +∞[}(2) = 1 ; paires de sens différents : 1 sur 1 ; d_J(σ₁, σ₂) = 1 − |F ∩ F′| / |F ∪ F′| = 1.

Étape 12.4. Antan(w) = ∑ A = 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3 ; AntanInt(w) = ∑ A · d_J = 11/4.

À la lettre (paires de chaînes identiques dans tout le texte) : 0 ; somme sur les paires : 3.

∴ Antan(w) = 3 : raison, marcher, voler (dernier énoncé). Le chien est une reprise ; « volent » de la quatrième phrase est seul dans son énoncé, il ne se joint pas aux occurrences de la cinquième.

Exemple 12 : cinq énoncés, trois antanaclases, une reprise.

25.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les douze textes des exemples 1 à 12, par l’écart entre Antan calculé et Antan attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 3 (l’exemple 11 n’est pas une antanaclase).

version	Antan total	erreurs ∑ |Antan − attendu| (sur 12 textes)	textes mal comptés
à la lettre : paires de facteurs identiques (chaîne) dans tout le texte, χ{u2}(u1) · D	5	8	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (0 au lieu de 3)
identité de chaîne dans l’énoncé (sans lemme)	4	7	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (0 au lieu de 3)
paires d’occurrences d’un même lemme (au lieu des lemmes)	11	2	ex. 6 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
sens lus sur l’énoncé entier (fenêtre non locale)	0	9	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (0 au lieu de 3)
retenue	10	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

La lecture à la lettre, sur les chaînes identiques, perd toutes les antanaclases à flexion différente (raisons / raison, voler / volent, marche / marchent) et compte les paires. L’identité de chaîne limitée à l’énoncé garde le premier défaut. La somme sur les paires compte deux fois l’exemple 6. Les sens lus sur l’énoncé entier ne détectent plus rien (lemme 2). La version retenue ne garde qu’une erreur, la répétition fortuite de l’exemple 11.

Erreurs des versions : identité de lemme, unité par lemme et fenêtre locale sont toutes nécessaires.

Le seul paramètre est la demi-largeur g de la fenêtre. Trop petite, elle n’atteint pas le mot de soutien (« route » est à trois mots de marche) ; trop grande, elle atteint le soutien de l’autre occurrence et crée une égalité (pour g ≥ 4, « route » arrive aussi près de marchent), jusqu’à l’énoncé entier, où plus rien n’est détecté :

fenêtre g (|i − i′| ≤ g)	erreurs ∑ |Antan − attendu|	textes mal comptés
0	9	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (0 au lieu de 3)
1	7	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (0 au lieu de 3)
2	4	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (2 au lieu de 3)
3	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
4	7	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 3)
5	7	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 3)
6	9	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (0 au lieu de 3)
énoncé entier	9	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (0 au lieu de 3)

g = 3 est la seule valeur sans autre erreur que le faux positif assumé. Ce n’est pas un réglage arbitraire : la fenêtre doit être assez large pour atteindre le soutien de son occurrence, et assez étroite pour ne pas atteindre celui de l’autre ; dans des phrases plus longues, cet intervalle s’élargit.

Erreurs selon g : un optimum net en g = 3, et aucune détection pour l’énoncé entier.

25.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois la table des lemmes, la table des sens et g fixés, m, σ, S, Antan et AntanInt découlent nécessairement du calcul ; les lemmes 1 à 5 et la partition sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : les lemmes, les sens, les traits et les soutiens sont des données de langue ; un sens appelé par la situation et non par un mot échappe au calcul.
• Possible : toute répétition à deux sens est une antanaclase possible ; elle peut être fortuite (exemple 11). Le mécanisme mesure l’écart entre l’identité de la forme et la différence du sens, non l’intention de l’auteur.

25.10 Justification et limites

L’antanaclase joue sur l’écart entre l’identité de la forme et la différence du sens. La multiplicité m mesure l’identité de forme, le nombre S de sens distincts mesure la différence ; la figure est leur conjonction χ_{[2, +∞[}(m) · χ_{[2, +∞[}(S). Le produit Eq · D de la définition est conservé : Eq devient l’identité de lemme, D l’inégalité des sens lus localement, et la somme sur les paires se ramène, par le lemme 3, à une indicatrice par lemme. La distance de Jaccard des traits rend la version pondérée indépendante de la numérotation des sens.

Trois limites sont assumées. La structure ne garantit pas l’intention (exemple 11). Un sens appelé par la situation et non par un mot du texte n’est pas lu : dans « Put out the light, and then put out the light » (Othello, V, 2), aucun mot de la phrase n’appelle la vie de Desdémone, et le calcul donne 0. Enfin, les deux occurrences doivent être dans le même énoncé : une antanaclase à distance de plusieurs phrases demande d’étendre l’unité.

⁂

26. Question rhétorique (Erotema) – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
La question rhétorique (erotema, interrogatio) est une interrogation posée non pour obtenir une réponse, mais pour affirmer, nier ou souligner une idée ; la réponse est présupposée ou évidente. Quintilien distingue la question qui demande de celle qui presse l’adversaire (Institution oratoire, IX, 2, 6–11). Exemples : « Hath not a Jew eyes? » (Shylock, Le Marchand de Venise, III, 1) ; « Ain’t I a woman? » (discours attribué à Sojourner Truth, 1851) ; « What’s in a name? » (Roméo et Juliette, II, 2) ; « Who cares? ». La question rhétorique adopte la forme interrogative sans attendre de réponse, celle-ci étant implicite ou superflue (ex. « What’s in a name ? »).

Mécanisme en combinatoire des mots
Elle se formalise par l’intersection d’un facteur structurellement interrogatif et d’un indicateur de clôture (réponse attendue vide).

Définition mathématique
Soit $Q$ un ensemble de formes interrogatives. Un $q \in Q$ est rhétorique si la réponse attendue $= \emptyset$ (ou est imposée par le contexte).

⁂

26. Erotema (question rhétorique) – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de l’érotema à quelques exemples d’intersection d’un facteur structurellement interrogatif et d’un indicateur de clôture (réponse attendue vide).

26.1 Définition rhétorico-mathématique

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une forme interrogative : l’énoncé se termine par un point d’interrogation ;
• une réponse imposée par la forme : une négation en tête (« N’est-il pas… ? » appelle « si ») ou une formule figée dont la réponse est connue (« Qui pourrait… ? » appelle « personne ») ;
• aucune réponse d’autrui : dans un dialogue, l’interlocuteur ne répond pas au tour suivant.

La question rhétorique se distingue de la question ouverte (« Quelle heure est-il ? »), de la question à laquelle on répond (« N’as-tu pas faim ? — Si. »), de la demande polie (« Pourriez-vous… ? ») et de l’hypophore, où le locuteur pose la question et y répond lui-même.

26.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule RhetQ(w) = |{ q ∈ Fact(w) | q est interrogatif ∧ réponse(q) est non sollicitée }| reste une définition en compréhension. Pour la rendre calculable, on pose Q(q) ∈ {0, 1} (structure interrogative), R(q) ∈ [0, 1] (degré d’attente réelle d’une réponse), et l’indicatrice E(q) = χ_{1}(Q(q)) · χ_{0}(R(q)). Alors :

RhetQ(w) = ∑_{q ∈ Fact(w)} χ_{1}(Q(q)) · χ_{0}(R(q)), RhetInt(w) = ∑_{q ∈ Fact(w)} Q(q) · (1 − R(q)).

La forme est juste : deux indicatrices multipliées, une somme, et une intensité qui grandit quand l’attente de réponse diminue. Pour qu’elle compte exactement les questions rhétoriques, six précisions sont nécessaires : (1) R(q) est posé à la main (R = 0 pour « Qui pourrait nier cela ? », R = 1 pour « Quelle heure est-il ? ») ; il faut le lire dans le mot ; (2) R mêle deux choses distinctes : la forme qui impose la réponse (négation en tête, formule figée) et le fait qu’un autre locuteur réponde ; elles deviennent deux indicatrices ; (3) Q(q) se lit sur le dernier signe de l’énoncé : χ_{?} ; (4) la somme sur Fact(w) compte tout facteur interrogatif : chaque suffixe d’une question qui contient sa marque est encore un facteur interrogatif marqué ; l’unité est l’énoncé ; (5) une négation n’impose la réponse que si elle porte sur la question elle-même : elle doit être en tête, dans les k = 3 premiers mots ; (6) l’intensité Q(1 − R) compte les questions non rhétoriques à mesure qu’elles s’éloignent de R = 1 : dans l’exemple d’intensité de la définition, la question à R = 0,8, non comptée par RhetQ, ajoute encore 0,2 ; l’intensité doit porter l’indicatrice E.

26.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• signe final : Q(q) = χ_{?}(dernier signe de q) ;
• appartenance à une liste : χ_Neg(t) = 1 si t est une marque de négation ;
• préfixe dans un langage fini : χ_Fig(Pref(q)) = 1 si q commence par une formule figée ;
• suffixe : χ_Σ*·rait(t) = 1 si le mot t se termine par une désinence de conditionnel ;
• « au moins une marque » : χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) ;
• réponse d’autrui : ρ(q) = 1 si le tour suivant, d’un autre locuteur, commence par un énoncé non interrogatif.

26.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les tours de parole ; les énoncés

On met le texte en minuscules ; les contractions anglaises en n’t sont réécrites « not » (ain’t → ai not), puis ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces, de sorte que le « t » euphonique de « va-t-il » reste un mot sans valeur négative. Le tiret de dialogue « — » ouvre un nouveau tour de parole, d’un autre locuteur ; les signes . ! ? ; coupent chaque tour en énoncés q₁, q₂, …

Q(q) = χ_{?}(dernier signe de q), q = t_a t_a+1 … t_b, rang r(t_i) = i − a + 1 dans q.

b) Les marques qui imposent la réponse

Neg = {ne, n, pas, point, jamais, not, no, never}. Fig est un langage fini de préfixes, chacun avec sa réponse imposée :

formule figée (préfixe de q)	réponse imposée
qui pourrait	personne
qui peut	personne
qui sait	personne
à quoi bon	à rien
who cares	nobody (personne)
what s in a name	nothing (rien)
how many times	too many (trop de fois)
comment ne pas	on ne peut pas ne pas

c₁(q) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{r(t) ≤ k} χ_Neg(t) ), k = 3 ; c₂(q) = ∑_L χ_Fig(t_a … t_a+L−1) ; c₃(q) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{t ∈ q} χ_Σ*·rait(t) ).

c₁ est la négation de tête, c₂ la formule figée en préfixe, c₃ le conditionnel (désinences -rait, -raient, -riez, -rions ; could, would), reconnu par un test de suffixe. Seuls c₁ et c₂ imposent la réponse ; c₃ renforce la question, mais une demande polie au conditionnel (« Pourriez-vous… ? ») reste une vraie question.

Les marques lues dans le mot : négation de tête (rang ≤ 3), préfixe figé, suffixe de conditionnel.

c) La réponse d’autrui

ρ(q) = χ(q est le dernier énoncé de son tour) · χ(le tour suivant existe) · (1 − Q(premier énoncé du tour suivant)).

Une question au milieu d’un tour ne reçoit pas de réponse d’autrui (le même locuteur continue) ; une question suivie d’une contre-question n’est pas répondue. ρ remplace la part « réponse réellement demandée » de R(q) : il se lit dans la structure du dialogue.

Les tours de parole du texte complet : une question n’est répondue que par le premier énoncé non interrogatif du tour suivant.

d) La décision, la réponse imposée, l’intensité

μ(q) = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂), E(q) = Q(q) · μ(q) · (1 − ρ(q)), I(q) = E(q) · (c₁ + c₂ + c₃) / 3.

Lemme 1 (R calculé). E(q) = χ_{1}(Q) · χ_{0}(R) avec R(q) = 1 − μ(q) · (1 − ρ(q)) : R = 0 exactement quand la forme impose la réponse et que personne ne répond. Lemme 2 (porte de l’intensité). I(q) > 0 si et seulement si E(q) = 1 ; I ∈ {0, 1/3, 2/3, 1}. L’intensité de la définition, Q(1 − R) avec R gradué, ne vérifie pas ce lemme : la demande polie de l’exemple 8 y vaudrait 1/3. Lemme 3 (une unité par énoncé). Pour une question rhétorique q dont la dernière négation est au rang p (p = 0 sans négation), les facteurs de q finissant par « ? » et contenant une marque sont les suffixes commençant aux rangs 1 à p, plus le suffixe entier s’il commence par une formule figée : la somme sur Fact(w) en compte exactement max(p, c₂) ; la somme sur les énoncés en compte un. Pour « N’est-il pas évident… ? », p = 4 : quatre facteurs au lieu d’une question.

La réponse imposée se calcule : formule figée → réponse de la table ; sinon, si q commence par « qui » ou « who », « personne » sans négation et « tout le monde » avec négation ; sinon, avec négation, « si / oui ». Le changement de « personne » en « tout le monde » sous la négation est la règle de parité : nier « quelqu’un pourrait » donne « personne », nier « quelqu’un ne souhaiterait pas » donne « tout le monde ».

Intensité I = E · (c₁ + c₂ + c₃) / 3 pour chaque question des exemples, comparée à Q(1 − R) sans indicatrice.

e) La partition des énoncés

Pour chaque énoncé, 1 = (1 − Q) + Q(1 − μ) + Qμρ + Qμ(1 − ρ) : non interrogatif, question ouverte, question marquée mais répondue, question rhétorique. Chaque énoncé tombe dans exactement une classe.

L’arbre de décision : point d’interrogation, marque imposant la réponse, réponse d’autrui.

26.5 Définition mathématique

RhetQ(w) = ∑_q χ_{?}(dernier signe de q) · χ_{[1, +∞[}( χ_{[1, +∞[}( ∑_{r(t) ≤ 3} χ_Neg(t) ) + ∑_L χ_Fig(Pref_L(q)) ) · (1 − ρ(q)),

RhetInt(w) = ∑_q E(q) · (c₁ + c₂ + c₃) / 3, part rhétorique = RhetQ(w) / ∑_q Q(q).

La somme sur Fact(w) est remplacée par une somme sur les énoncés ; Q est le test du dernier signe ; R(q) est décomposé en une marque formelle μ (négation de tête ou formule figée) et une réponse d’autrui ρ lue dans les tours de parole ; l’intensité porte l’indicatrice E.

La définition complète : forme interrogative, marques, réponse d’autrui, intensité.

26.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; réécrire n’t en « not » ; découper en tours (« — ») et en énoncés.
2. Garder les énoncés terminés par « ? » : Q = 1.
3. Chercher une négation dans les trois premiers mots (c₁), une formule figée en préfixe (c₂), un conditionnel (c₃).
4. Vérifier si le tour suivant, d’un autre locuteur, répond (ρ).
5. Si c₁ + c₂ ≥ 1 et ρ = 0, compter une question rhétorique ; écrire la réponse imposée.
6. Calculer I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 ; additionner : RhetQ(w), RhetInt(w).

26.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par énoncé : le tour de parole, Q, le rang de la première négation et c₁, la formule figée et c₂, le conditionnel c₃, la réponse d’autrui ρ, la décision E, la réponse imposée et l’intensité I.

Exemple 1 – « Qui pourrait nier cette évidence ? » : une formule figée

Texte : « Qui pourrait nier cette évidence ? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « Qui pourrait nier cette évidence » (1)	1	—	0	qui pourrait	1	pourrait → 1	0	1	personne	2/3

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = qui, t₂ = pourrait, t₃ = nier, t₄ = cette, t₅ = évidence, t₆ = ? ; 1 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 1.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; aucune négation, c₁ = 0 ; préfixe « qui pourrait » ∈ Fig, c₂ = 1 ; conditionnel « pourrait », c₃ = 1.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : personne ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 2/3.

Étape 1.3. RhetQ(w) = ∑ E = 1 ; RhetInt(w) = ∑ I = 2/3 ; part rhétorique RhetQ / (nombre de questions) = 1/1.

∴ la question commence par la formule « qui pourrait », dont la réponse est connue d’avance : personne. Le conditionnel « pourrait » renforce l’effet : I = 2/3.

Exemple 2 – « N’est-il pas évident… ? » : la négation en tête

Texte : « N’est-il pas évident que deux plus deux font quatre ? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « N’est-il pas évident que deux pl… » (1)	1	n (1)	1	—	0	0	0	1	si / oui	1/3

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = n, t₂ = est, t₃ = il, t₄ = pas, t₅ = évident, t₆ = que, t₇ = deux, t₈ = plus, t₉ = deux, t₁₀ = font, t₁₁ = quatre, t₁₂ = ? ; 1 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 2.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; première négation au rang 1 ≤ k = 3, c₁ = 1 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : si / oui ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 1/3.

Étape 2.3. RhetQ(w) = ∑ E = 1 ; RhetInt(w) = ∑ I = 1/3 ; part rhétorique RhetQ / (nombre de questions) = 1/1.

∴ la négation « n’… pas » porte sur le verbe de tête : la question appelle « si ». Elle affirme, sous forme de question, que la chose est évidente.

Exemple 3 – « Qui ne souhaiterait pas la paix ? » : négation et pronom « qui »

Texte : « Qui ne souhaiterait pas la paix ? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « Qui ne souhaiterait pas la paix » (1)	1	ne (2)	1	—	0	souhaiterait → 1	0	1	tout le monde	2/3

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = qui, t₂ = ne, t₃ = souhaiterait, t₄ = pas, t₅ = la, t₆ = paix, t₇ = ? ; 1 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 3.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; première négation au rang 2 ≤ k = 3, c₁ = 1 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; conditionnel « souhaiterait », c₃ = 1.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : tout le monde ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 2/3.

Étape 3.3. RhetQ(w) = ∑ E = 1 ; RhetInt(w) = ∑ I = 2/3 ; part rhétorique RhetQ / (nombre de questions) = 1/1.

∴ « qui » suivi d’une négation impose « tout le monde » ; sans négation (exemple 1), « qui » impose « personne ». La réponse imposée se calcule par la parité de la négation.

Exemple 4 – « Hath not a Jew eyes? » : la forme anglaise

Texte : « Hath not a Jew eyes? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « Hath not a Jew eyes » (1)	1	not (2)	1	—	0	0	0	1	si / oui	1/3

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = hath, t₂ = not, t₃ = a, t₄ = jew, t₅ = eyes, t₆ = ? ; 1 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 4.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; première négation au rang 2 ≤ k = 3, c₁ = 1 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : si / oui ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 1/3.

Étape 4.3. RhetQ(w) = ∑ E = 1 ; RhetInt(w) = ∑ I = 1/3 ; part rhétorique RhetQ / (nombre de questions) = 1/1.

∴ « not » au deuxième mot : la question appelle « yes » (Shylock, Le Marchand de Venise, III, 1).

Exemple 5 – « Who cares? What’s in a name? » : deux formules figées

Texte : « Who cares? What’s in a name? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « Who cares » (1)	1	—	0	who cares	1	0	0	1	nobody (personne)	1/3
q2 « What’s in a name » (1)	1	—	0	what s in a name	1	0	0	1	nothing (rien)	1/3

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = who, t₂ = cares, t₃ = ?, t₄ = what, t₅ = s, t₆ = in, t₇ = a, t₈ = name, t₉ = ? ; 2 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 5.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; aucune négation, c₁ = 0 ; préfixe « who cares » ∈ Fig, c₂ = 1 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : nobody (personne) ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 1/3.

Étape 5.2 (q₂, tour 1). Q = 1 ; aucune négation, c₁ = 0 ; préfixe « what s in a name » ∈ Fig, c₂ = 1 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : nothing (rien) ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 1/3.

Étape 5.3. RhetQ(w) = ∑ E = 1 + 1 = 2 ; RhetInt(w) = ∑ I = 2/3 ; part rhétorique RhetQ / (nombre de questions) = 2/2.

∴ deux énoncés interrogatifs, deux formules de la table : « who cares » → nobody, « what’s in a name » → nothing (Roméo et Juliette, II, 2). RhetQ(w) = 2.

Exemple 6 – « Quelle heure est-il ? » : la question ouverte

Texte : « Quelle heure est-il ? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « Quelle heure est-il » (1)	1	—	0	—	0	0	0	0	—	0

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = quelle, t₂ = heure, t₃ = est, t₄ = il, t₅ = ? ; 1 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 6.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; aucune négation, c₁ = 0 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 0 · 1 = 0.

Étape 6.3. RhetQ(w) = ∑ E = 0.

Avec « toute question sans réponse d’autrui » : 1.

∴ aucune marque : la question reste ouverte, même si personne ne répond dans le texte. L’absence de réponse ne suffit pas à rendre une question rhétorique.

Exemple 7 – « — N’as-tu pas faim ? — Si, un peu. » : la question à laquelle on répond

Texte : « — N’as-tu pas faim ? — Si, un peu. »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « N’as-tu pas faim » (1)	1	n (1)	1	—	0	0	1	0	—	0
q2 « Si un peu » (2)	0	—	0	—	0	0	0	0	—	0

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = —, t₂ = n, t₃ = as, t₄ = tu, t₅ = pas, t₆ = faim, t₇ = ?, t₈ = —, t₉ = si, t₁₀ = un, t₁₁ = peu, t₁₂ = . ; 2 énoncé(s), 2 tour(s) de parole.

Étape 7.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; première négation au rang 1 ≤ k = 3, c₁ = 1 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 1 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 0 = 0.

Étape 7.2 (q₂, tour 2). Dernier signe « . » : Q = χ_{?}(…) = 0, E = 0.

Étape 7.3. RhetQ(w) = ∑ E = 0 + 0 = 0.

Sans la condition de réponse : 1.

∴ la négation est là, mais l’autre locuteur répond au tour suivant : la question sollicitait bien une réponse. La condition de réponse écarte les questions réelles d’un dialogue.

Exemple 8 – « Pourriez-vous fermer la fenêtre ? » : le conditionnel seul

Texte : « Pourriez-vous fermer la fenêtre ? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « Pourriez-vous fermer la fenêtre » (1)	1	—	0	—	0	pourriez → 1	0	0	—	0

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = pourriez, t₂ = vous, t₃ = fermer, t₄ = la, t₅ = fenêtre, t₆ = ? ; 1 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 8.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; aucune négation, c₁ = 0 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; conditionnel « pourriez », c₃ = 1.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 0 · 1 = 0.

Étape 8.3. RhetQ(w) = ∑ E = 0.

Intensité de la définition, Q(1 − R) sans indicatrice, avec R = 1 − (c₁ + c₂ + c₃) / 3 : 1/3, bien que la question ne soit pas rhétorique.

∴ le conditionnel « pourriez » est une marque de politesse, non une marque de réponse imposée : c’est une demande. Il renforce une question rhétorique, il n’en crée pas une : c₃ n’entre pas dans la décision.

Exemple 9 – « Sais-tu pourquoi il n’est pas venu ? » : la négation subordonnée

Texte : « Sais-tu pourquoi il n’est pas venu ? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « Sais-tu pourquoi il n’est pas venu » (1)	1	n (5)	0	—	0	0	0	0	—	0

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = sais, t₂ = tu, t₃ = pourquoi, t₄ = il, t₅ = n, t₆ = est, t₇ = pas, t₈ = venu, t₉ = ? ; 1 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 9.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; première négation au rang 5 > k = 3, c₁ = 0 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 0 · 1 = 0.

Étape 9.3. RhetQ(w) = ∑ E = 0.

Avec la négation comptée n’importe où : 1.

∴ la négation est au cinquième mot, dans la proposition introduite par « pourquoi » : elle ne porte pas sur la question elle-même. Seule une négation placée dans les k = 3 premiers mots compte.

Exemple 10 – « Il ne pleut pas. Où va-t-il ? » : négation sans question, « t » euphonique

Texte : « Il ne pleut pas. Où va-t-il ? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « Il ne pleut pas » (1)	0	ne (2)	1	—	0	0	0	0	—	0
q2 « Où va-t-il » (1)	1	—	0	—	0	0	0	0	—	0

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = ne, t₃ = pleut, t₄ = pas, t₅ = ., t₆ = où, t₇ = va, t₈ = t, t₉ = il, t₁₀ = ? ; 2 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 10.2 (q₁, tour 1). Dernier signe « . » : Q = χ_{?}(…) = 0, E = 0.

Étape 10.2 (q₂, tour 1). Q = 1 ; aucune négation, c₁ = 0 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 0 · 1 = 0.

Étape 10.3. RhetQ(w) = ∑ E = 0 + 0 = 0.

∴ le premier énoncé a une négation mais n’est pas interrogatif (Q = 0) ; le second est interrogatif sans marque : le « t » de « va-t-il » n’est pas une négation (les contractions anglaises en n’t sont réécrites en « not » avant le découpage).

Exemple 11 – Faux positif assumé : l’invitation

Texte : « Ne viendras-tu pas dîner demain ? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « Ne viendras-tu pas dîner demain » (1)	1	ne (1)	1	—	0	0	0	1	si / oui	1/3

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = ne, t₂ = viendras, t₃ = tu, t₄ = pas, t₅ = dîner, t₆ = demain, t₇ = ? ; 1 énoncé(s), 1 tour(s) de parole.

Étape 11.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; première négation au rang 1 ≤ k = 3, c₁ = 1 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : si / oui ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 1/3.

Étape 11.3. RhetQ(w) = ∑ E = 1 ; RhetInt(w) = ∑ I = 1/3 ; part rhétorique RhetQ / (nombre de questions) = 1/1.

∴ négation en tête, aucune réponse dans le texte : le calcul compte une question rhétorique. Dans une lettre, c’est une invitation qui attend réellement une réponse ; la forme est celle de la figure, la fonction ne l’est pas.

Exemple 12 – Texte complet : un dialogue, trois questions rhétoriques

Texte : « — À quoi bon tant d’efforts, ami ? Qui pourrait douter de ta valeur ? Où as-tu garé la voiture ? — Devant la gare. — N’as-tu pas froid ? — Non. — Ne vois-tu pas que la nuit tombe ? »

énoncé (tour)	Q = χ{?}	1re négation (rang)	c1	formule figée	c2	c3 (conditionnel)	réponse d’autrui ρ	E	réponse imposée	I
q1 « À quoi bon tant d’efforts ami » (1)	1	—	0	à quoi bon	1	0	0	1	à rien	1/3
q2 « Qui pourrait douter de ta valeur » (1)	1	—	0	qui pourrait	1	pourrait → 1	0	1	personne	2/3
q3 « Où as-tu garé la voiture » (1)	1	—	0	—	0	0	1	0	—	0
q4 « Devant la gare » (2)	0	—	0	—	0	0	0	0	—	0
q5 « N’as-tu pas froid » (3)	1	n (1)	1	—	0	0	1	0	—	0
q6 « Non » (4)	0	—	0	—	0	0	0	0	—	0
q7 « Ne vois-tu pas que la nuit tombe » (5)	1	ne (1)	1	—	0	0	0	1	si / oui	1/3

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = —, t₂ = à, t₃ = quoi, t₄ = bon, t₅ = tant, t₆ = d, t₇ = efforts, t₈ = ami, t₉ = ?, t₁₀ = qui, t₁₁ = pourrait, t₁₂ = douter, t₁₃ = de, t₁₄ = ta, t₁₅ = valeur, t₁₆ = ?, t₁₇ = où, t₁₈ = as, t₁₉ = tu, t₂₀ = garé, t₂₁ = la, t₂₂ = voiture, t₂₃ = ?, t₂₄ = —, t₂₅ = devant, t₂₆ = la, t₂₇ = gare, t₂₈ = ., t₂₉ = —, t₃₀ = n, t₃₁ = as, t₃₂ = tu, t₃₃ = pas, t₃₄ = froid, t₃₅ = ?, t₃₆ = —, t₃₇ = non, t₃₈ = ., t₃₉ = —, t₄₀ = ne, t₄₁ = vois, t₄₂ = tu, t₄₃ = pas, t₄₄ = que, t₄₅ = la, t₄₆ = nuit, t₄₇ = tombe, t₄₈ = ? ; 7 énoncé(s), 5 tour(s) de parole.

Étape 12.2 (q₁, tour 1). Q = 1 ; aucune négation, c₁ = 0 ; préfixe « à quoi bon » ∈ Fig, c₂ = 1 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : à rien ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 1/3.

Étape 12.2 (q₂, tour 1). Q = 1 ; aucune négation, c₁ = 0 ; préfixe « qui pourrait » ∈ Fig, c₂ = 1 ; conditionnel « pourrait », c₃ = 1.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : personne ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 2/3.

Étape 12.2 (q₃, tour 1). Q = 1 ; aucune négation, c₁ = 0 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; réponse d’autrui ρ = 1 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 0 · 0 = 0.

Étape 12.2 (q₄, tour 2). Dernier signe « . » : Q = χ_{?}(…) = 0, E = 0.

Étape 12.2 (q₅, tour 3). Q = 1 ; première négation au rang 1 ≤ k = 3, c₁ = 1 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 1 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 0 = 0.

Étape 12.2 (q₆, tour 4). Dernier signe « . » : Q = χ_{?}(…) = 0, E = 0.

Étape 12.2 (q₇, tour 5). Q = 1 ; première négation au rang 1 ≤ k = 3, c₁ = 1 ; aucun préfixe de Fig, c₂ = 0 ; c₃ = 0.

μ = χ_{[1, +∞[}(c₁ + c₂) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; réponse d’autrui ρ = 0 ; E = Q · μ · (1 − ρ) = 1 · 1 · 1 = 1 ; réponse imposée : si / oui ; I = (c₁ + c₂ + c₃) / 3 · E = 1/3.

Étape 12.3. RhetQ(w) = ∑ E = 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3 ; RhetInt(w) = ∑ I = 4/3 ; part rhétorique RhetQ / (nombre de questions) = 3/5.

À la lettre (tout facteur interrogatif contenant une marque) : 6 ; toute question sans réponse : 3 ; sans condition de réponse : 4.

∴ RhetQ(w) = 3 : « à quoi bon », « qui pourrait », « ne vois-tu pas ». « Où as-tu garé la voiture ? » n’a pas de marque et reçoit une réponse ; « N’as-tu pas froid ? » a une marque mais reçoit une réponse.

Exemple 12 : sept énoncés dans cinq tours, trois questions rhétoriques.

26.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les douze textes des exemples 1 à 12, par l’écart entre RhetQ calculé et RhetQ attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3 (l’exemple 11 n’est pas une question rhétorique).

version	RhetQ total	erreurs ∑ |RhetQ − attendu| (sur 12 textes)	textes mal comptés
à la lettre : tout facteur interrogatif contenant une marque	23	14	ex. 2 (4 au lieu de 1) ; ex. 3 (4 au lieu de 1) ; ex. 4 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (4 au lieu de 0) ; ex. 12 (6 au lieu de 3)
toute question sans réponse d’autrui (sans marque)	14	5	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
marques sans la condition de réponse	12	3	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (4 au lieu de 3)
négation seule (sans formule figée)	5	6	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 2) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 3)
formule figée seule (sans négation)	5	4	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (2 au lieu de 3)
négation n’importe où dans la question	11	2	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
retenue	10	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

La lecture à la lettre compte chaque suffixe marqué d’une question rhétorique. Compter toute question sans réponse prend les questions ouvertes et les demandes polies. Les marques sans la condition de réponse prennent les questions du dialogue auxquelles on répond. La négation seule perd les formules figées, la formule seule perd les négations. La négation comptée n’importe où prend la question qui porte sur une proposition niée (exemple 9). La version retenue ne garde qu’une erreur, l’invitation de l’exemple 11.

Erreurs des versions : les deux familles de marques, la condition de réponse et la négation de tête sont toutes nécessaires.

Le seul paramètre est le rang maximal k de la négation :

k (rang maximal de la négation)	erreurs ∑ |RhetQ − attendu|	textes mal comptés
1	3	ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
2	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
3	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
4	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
5	2	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
sans limite	2	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)

k = 1 perd « Hath not… » et « Qui ne… », dont la négation est au deuxième mot ; à partir de k = 5, la négation subordonnée de l’exemple 9 est comptée. Tout k de 2 à 4 donne le même résultat ; k = 3 est au milieu de cet intervalle.

Erreurs selon k : intervalle sûr de 2 à 4.

26.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois Neg, Fig, les désinences du conditionnel, le découpage en tours et k fixés, Q, μ, ρ, E, I et la réponse imposée découlent nécessairement du calcul ; les lemmes 1 à 3 et la partition sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : les listes de marques et de formules sont des données de langue ; une question rhétorique sans négation ni formule (« mais pourquoi alors tant de résistances ? ») demande d’étendre Fig.
• Possible : toute question marquée et non répondue est une question rhétorique possible ; elle peut être une vraie invitation (exemple 11). Le mécanisme décrit la forme qui impose la réponse, non l’intention.

26.10 Justification et limites

La question rhétorique est une affirmation déguisée en question. Les marques retenues sont précisément celles qui privent la question de son ouverture : la négation de tête qui force la réponse, la formule dont la réponse est connue. Le produit χ_{1}(Q) · χ_{0}(R) de la définition est conservé : Q devient le test du dernier signe, et R se décompose en deux indicatrices lisibles dans le mot, la marque μ et la réponse d’autrui ρ. La réponse imposée se calcule elle aussi, par la table des formules et la parité de la négation. La procatalepsis (fiche 23) fait un grand usage de la question rhétorique pour réfuter l’objection.

Trois limites sont assumées. La forme ne garantit pas la fonction : une invitation à la forme négative (exemple 11) passe pour rhétorique. Une question rhétorique sans négation de tête ni formule de la table échappe au calcul. Enfin, l’hypophore, où le locuteur répond lui-même à sa question au même tour, n’est pas séparée : sa réponse n’est pas celle d’autrui, et la question y est comptée si elle porte une marque.

⁂

27. Simile (Comparaison) – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
La comparaison (simile) rapproche explicitement deux réalités différentes au moyen d’un terme comparatif (comme, tel, pareil à, semblable à, ainsi que, like, as … as, aussi … que). Exemples : « O my Luve’s like a red, red rose » (Burns, 1794) ; « as strong as an ox » ; « La Terre est bleue comme une orange » (Éluard, L’Amour la poésie, 1929) ; « Le temps passe comme un fleuve ». Le simile met en relation explicite deux entités par un connecteur comparatif (ex. « La Terre est bleue comme une orange »).

Mécanisme en combinatoire des mots
Il se modélise par une structure tripartie impliquant deux facteurs issus de domaines sémantiques distincts articulés autour d’un pivot de comparaison.

Définition mathématique
Soit $\mathrm{Comp}$ un ensemble de marqueurs comparatifs. Le mot prend la forme $w = \dots u \text{ Comp } v \dots$avec des domaines divergents :

$$\mathrm{Sim}(w) = \bigl| \{ (u,v) \mid \exists \mathrm{Comp} \text{ tel que } u \text{ Comp } v \text{ apparaît dans } w \text{ et } \mathrm{Dom}(u) \neq \mathrm{Dom}(v) \} \bigr|$$​

⁂

27. Simile (comparaison) – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de la simile (comparaison) à quelques exemples d’une structure tripartie impliquant deux facteurs issus de domaines sémantiques distincts articulés autour d’un pivot de comparaison.

27.1 Définition rhétorico-mathématique

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• un pivot comparatif : un mot, une suite de mots ou un motif discontinu (as … as) de la liste Comp ;
• un comparé et un comparant : le terme qui précède le pivot et le premier nom qui le suit, pas forcément contigus au pivot ;
• des domaines disjoints : comparé et comparant n’appartiennent à aucun domaine commun.

La comparaison figurée se distingue de la comparaison littérale (« il est grand comme son père », même domaine), du « comme » de rôle (« il travaille comme ingénieur ») et du « comme » qui introduit une proposition (« comme il pleut, je reste »). Elle partage avec la métaphore l’écart de domaines ; elle en diffère par la présence du pivot.

27.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule Sim(w) = |{ (u, v) | ∃ Comp, u Comp v, Dom(u) ≠ Dom(v) }| est une définition en compréhension. Pour la rendre calculable, on pose Comp = {comme, tel, pareil à, semblable à, ainsi que} et χ_Comp, une fonction Dom : L → D vers un ensemble de domaines, la divergence Div(u, v) = χ_{ℕ ∖ {0}}(|Dom(u) − Dom(v)|) sur des domaines codés par des nombres, l’occurrence Occ(u, c, v) = 1 si u c v apparaît dans w, et S(u, c, v) = Occ(u, c, v) · χ_Comp(c) · Div(u, v). Alors :

Sim(w) = ∑_{(u, c, v)} Occ(u, c, v) · χ_Comp(c) · χ_{1}(Div(u, v)) = ∑_{(u, c, v)} Occ(u, c, v) · χ_Comp(c) · χ_{Dom(u)}^c(Dom(v)),

SimInt(w) = ∑_{(u, c, v)} Occ(u, c, v) · χ_Comp(c) · A(u, v), A(u, v) ∈ [0, 1].

La forme est juste : une occurrence, un pivot, une divergence de domaines, trois indicatrices multipliées. Pour qu’elle compte exactement les comparaisons figurées, six précisions sont nécessaires : (1) Occ(u c v) pris au sens d’un facteur contigu ne trouve aucun exemple de la définition : « comme un lion », « passe comme un fleuve » ont des mots entre u, c et v ; il faut chercher le comparé avant le pivot et le comparant après ; (2) la somme sur tous les triplets (u, c, v) compte chaque mot avant le pivot avec chaque nom après : l’unité est le pivot, avec un comparé et un comparant ; (3) Dom à valeur unique et codée par un nombre ne voit pas qu’un mot appartient à plusieurs domaines (alarme et sirène sont objet et son) ; Dom(u) est un ensemble et la condition est D(u) ∩ D(v) = ∅ ; (4) |Dom(u) − Dom(v)| dépend de la numérotation des domaines : seule sa nullité a un sens ; (5) Comp doit contenir les pivots en anglais et les motifs discontinus as · x · as, aussi · x · que, et le « comme » suivi d’une proposition doit être écarté ; (6) l’intensité A(u, v) est posée à la main et non pondérée par Div : dans l’exemple d’intensité de la définition, le quatrième triplet (pivot présent, Div = 0) devrait, d’après la formule, ajouter A₄ = 0,1 ; le total 1,7 n’est juste que si l’intensité porte aussi l’indicatrice de divergence. On la calcule comme un écart dans l’arbre des domaines.

27.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance à un langage de motifs : χ_Comp(t_a … t_b) = 1 si le facteur est un pivot, contigu ou discontinu ;
• appartenance au lexique : χ_N(t), χ_PRO(t), χ_ADJ(t) selon la catégorie du mot ;
• intersection vide : χ_{0}(|D(u) ∩ D(v)|) = 1 si les domaines sont disjoints ;
• « au moins un écart » : χ_{]0, 1]}(d_min) = 1 si la distance minimale entre domaines est positive.

27.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les pivots

On met le texte en minuscules ; ponctuation, apostrophes et traits d’union deviennent des espaces ; les signes . ! ? ; coupent w en énoncés. Comp est un langage fini de motifs ; x désigne un ou deux mots quelconques de l’énoncé :

motif de Comp	forme
pareil · à	deux mots
semblable · à	deux mots
ainsi · que	deux mots
comme	un mot
tel	un mot
telle	un mot
like	un mot
as · x · as	discontinu (x = 1 ou 2 mots)
aussi · x · que	discontinu (x = 1 ou 2 mots)
aussi · x · qu	discontinu (x = 1 ou 2 mots)

Piv(w) = { [a, b] : t_a … t_b ∈ Comp }, les motifs longs reconnus d’abord, sans chevauchement.

Le motif discontinu est un vrai objet de la combinatoire des mots : as · Σ^{≤ 2} · as est le langage des facteurs qui commencent et finissent par « as » avec au plus deux mots entre eux ; le mot du milieu (« strong ») est le motif de la comparaison.

b) Le lexique, les domaines et leur arbre

Le lexique donne à chaque mot une catégorie (nom N, pronom PRO, adjectif ADJ) et un ensemble de domaines D(t) ; un adjectif reçoit le domaine de son porteur habituel (courageux → humain). Les domaines sont les feuilles d’un arbre à deux niveaux :

branche	domaines (feuilles)
vivant	humain, animal, végétal
inanimé	objet, astre, nature, son
abstrait	sentiment, temps, art

mot	catégorie	D(t)
courageux	ADJ	{humain}
strong	ADJ	{humain}
grand	ADJ	{humain}
douce	ADJ	{humain}
il	PRO	{humain}
elle	PRO	{humain}
she	PRO	{humain}
je	PRO	{humain}
lion	N	{animal}
tigre	N	{animal}
ox	N	{animal}
chien	N	{animal}
temps	N	{temps}
hiver	N	{temps}
life	N	{temps}
fleuve	N	{nature}
mer	N	{nature}
flamme	N	{nature}
luve	N	{sentiment}
rose	N	{végétal}
orange	N	{végétal}
terre	N	{astre}
musique	N	{art}
box	N	{objet}
colis	N	{objet}
père	N	{humain}
frère	N	{humain}
soldat	N	{humain}
ingénieur	N	{humain}
enfant	N	{humain}
regard	N	{humain}
alarme	N	{son, objet}
sirène	N	{objet, son}

c) Le comparé et le comparant

u(c) = t_i avec i = max{ i < a (ou i dans le motif x) : t_i ∈ N ∪ PRO ∪ ADJ }, v(c) = t_i′ avec i′ = min{ i′ > b : t_i′ ∈ N }, recherche arrêtée par un pronom ou la fin de l’énoncé.

Le comparé est le dernier mot du lexique avant le pivot (dans un motif discontinu, le motif intérieur compte) ; le comparant est le premier nom après le pivot. Si un pronom sujet apparaît avant tout nom, le pivot introduit une proposition et non un comparant : la recherche s’arrête. Lemme 1 (une comparaison par pivot). Chaque pivot donne au plus un couple (u, v) ; la somme sur tous les triplets en compte |avant| · |après|, le nombre de mots du lexique avant le pivot multiplié par le nombre de noms après.

La structure u · … · c · … · v : comparé, pivot, comparant, et les mots qui les séparent.

d) La disjonction des domaines et l’écart

S(c) = χ_Comp(c) · χ_{0}( |D(u) ∩ D(v)| ), d(x, y) = 0 si x = y, 1/2 si x ≠ y dans la même branche, 1 sinon, d_min(u, v) = min_{x ∈ D(u), y ∈ D(v)} d(x, y).

Lemme 2 (décision et écart). d_min(u, v) = 0 si et seulement si D(u) ∩ D(v) ≠ ∅ ; donc S = χ_Comp(c) · χ_{]0, 1]}(d_min). La décision est l’indicatrice d’un écart positif ; l’intensité est l’écart lui-même : SimInt(w) = ∑ S · d_min ∈ {0, 1/2, 1} par pivot. Humain et animal (courageux / lion) donnent 1/2 : deux êtres vivants ; temps et nature (temps / fleuve) donnent 1 : deux branches. Lemme 3 (ensembles et codes). Si chaque mot n’a qu’un domaine, D(u) ∩ D(v) = ∅ équivaut à Dom(u) ≠ Dom(v) ; avec plusieurs domaines, la divergence des premiers codes peut être 1 alors que les ensembles se rencontrent (alarme / sirène). ∴ la divergence numérique de la définition est un cas particulier de la disjonction des ensembles, exact seulement pour un domaine par mot.

L’arbre des domaines et les écarts d_min des comparaisons des exemples.

e) La partition des pivots

Pour chaque pivot, 1 = (1 − κ) + κ χ_{]0, +∞[}(|D(u) ∩ D(v)|) + κ χ_{0}(|D(u) ∩ D(v)|), où κ = 1 si un comparé et un comparant sont trouvés : pivot sans comparaison (comme causal, comme suivi d’une proposition), comparaison littérale, comparaison figurée.

L’arbre de décision : pivot, comparé et comparant, intersection des domaines.

27.5 Définition mathématique

Sim(w) = ∑_{[a, b] ∈ Piv(w)} κ(a, b) · χ_{0}( |D(u(a, b)) ∩ D(v(a, b))| ), SimInt(w) = ∑_{[a, b]} κ · χ_{0}(|D(u) ∩ D(v)|) · d_min(u, v).

La somme sur les triplets est remplacée par une somme sur les pivots ; Occ(u c v) par la recherche du comparé avant et du comparant après ; Dom(u) ≠ Dom(v) par la disjonction des ensembles de domaines ; A(u, v) par l’écart d_min dans l’arbre, pondéré par l’indicatrice de disjonction. Avec χ_Comp = 0 et la même disjonction, on obtient la métaphore : les deux figures sont les deux valeurs d’une même indicatrice appliquée au même rapprochement.

La définition complète : pivot, comparé, comparant, disjonction des domaines et écart.

27.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots et en énoncés.
2. Repérer les pivots de Comp, motifs longs et discontinus d’abord.
3. Prendre le comparé : dernier mot du lexique avant le pivot (ou dans le motif).
4. Prendre le comparant : premier nom après le pivot ; s’arrêter à un pronom sujet ou à la fin de l’énoncé.
5. Calculer D(u) ∩ D(v) ; si elle est vide, compter une comparaison figurée et calculer l’écart d_min.
6. Additionner : Sim(w), SimInt(w).

27.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par pivot : le motif et ses positions, le comparé et sa catégorie, le comparant, leurs domaines, l’intersection, l’écart d_min et la décision S.

Exemple 1 – « Courageux comme un lion » : l’exemple de la définition

Texte : « Courageux comme un lion. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	comme (t2)	courageux (ADJ, t1)	{humain}	lion (t4)	{animal}	∅	1/2	1

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = courageux, t₂ = comme, t₃ = un, t₄ = lion, t₅ = . ; n = 5.

Étape 1.2 (énoncé e₁, pivot « comme » en t₂). Comparé u = t₁ = courageux, D(u) = {humain} ; comparant v = t₄ = lion, D(v) = {animal}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1/2 (même branche).

Étape 1.3. Sim(w) = ∑ S = 1 ; SimInt(w) = ∑ S · d_min = 1/2.

Avec Occ(u c v) au sens strict (u et v adjacents au pivot) : 0.

∴ le comparé est porté par l’adjectif « courageux », dont le porteur est humain ; le comparant « lion » est animal. Domaines disjoints : comparaison figurée. L’écart d = 1/2 : humain et animal sont deux feuilles de la même branche « vivant ».

Exemple 2 – « Le temps passe comme un fleuve » : comparé et pivot non adjacents

Texte : « Le temps passe comme un fleuve. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	comme (t4)	temps (N, t2)	{temps}	fleuve (t6)	{nature}	∅	1	1

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = temps, t₃ = passe, t₄ = comme, t₅ = un, t₆ = fleuve, t₇ = . ; n = 7.

Étape 2.2 (énoncé e₁, pivot « comme » en t₄). Comparé u = t₂ = temps, D(u) = {temps} ; comparant v = t₆ = fleuve, D(v) = {nature}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1 (branches différentes).

Étape 2.3. Sim(w) = ∑ S = 1 ; SimInt(w) = ∑ S · d_min = 1.

∴ le comparé « temps » est à deux mots du pivot (« passe » entre eux), le comparant « fleuve » à deux mots après (« un » entre eux) : le facteur u · c · v n’est pas contigu. Temps (abstrait) et nature (inanimé) sont dans deux branches différentes : d = 1.

Exemple 3 – « Un lion et un tigre » : pas de pivot

Texte : « Un lion et un tigre. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
—	aucun pivot	—	—	—	—	—	—	0

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = un, t₂ = lion, t₃ = et, t₄ = un, t₅ = tigre, t₆ = . ; n = 6.

Étape 3.2. Aucun facteur de w n’appartient à Comp : χ_Comp = 0 partout, Sim(w) = 0.

∴ aucun mot de Comp : aucune comparaison, quels que soient les domaines (ici d’ailleurs identiques).

Exemple 4 – « O my Luve’s like a red, red rose » : le comparant à quatre mots

Texte : « O my Luve’s like a red, red rose. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	like (t5)	luve (N, t3)	{sentiment}	rose (t9)	{végétal}	∅	1	1

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = o, t₂ = my, t₃ = luve, t₄ = s, t₅ = like, t₆ = a, t₇ = red, t₈ = red, t₉ = rose, t₁₀ = . ; n = 10.

Étape 4.2 (énoncé e₁, pivot « like » en t₅). Comparé u = t₃ = luve, D(u) = {sentiment} ; comparant v = t₉ = rose, D(v) = {végétal}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1 (branches différentes).

Étape 4.3. Sim(w) = ∑ S = 1 ; SimInt(w) = ∑ S · d_min = 1.

∴ le comparant « rose » est le premier nom après « like », à quatre mots (a, red, red, rose). Sentiment et végétal : d = 1 (Burns, 1794).

Exemple 5 – « La Terre est bleue comme une orange » : la comparaison paradoxale

Texte : « La Terre est bleue comme une orange. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	comme (t5)	terre (N, t2)	{astre}	orange (t7)	{végétal}	∅	1	1

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = terre, t₃ = est, t₄ = bleue, t₅ = comme, t₆ = une, t₇ = orange, t₈ = . ; n = 8.

Étape 5.2 (énoncé e₁, pivot « comme » en t₅). Comparé u = t₂ = terre, D(u) = {astre} ; comparant v = t₇ = orange, D(v) = {végétal}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1 (branches différentes).

Étape 5.3. Sim(w) = ∑ S = 1 ; SimInt(w) = ∑ S · d_min = 1.

∴ astre et végétal : comparaison figurée (Éluard, L’Amour la poésie, 1929). Le motif commun annoncé, « bleue », ne convient pas au comparant : le vers ajoute un paradoxe sur le motif, que le mécanisme ne mesure pas.

Exemple 6 – « She is as strong as an ox » : le pivot discontinu

Texte : « She is as strong as an ox. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	as · x · as (t3 … t5)	strong (ADJ, t4)	{humain}	ox (t7)	{animal}	∅	1/2	1

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = she, t₂ = is, t₃ = as, t₄ = strong, t₅ = as, t₆ = an, t₇ = ox, t₈ = . ; n = 8.

Étape 6.2 (énoncé e₁, pivot « as · x · as » en t₃ … t₅). Comparé u = t₄ = strong, D(u) = {humain} ; comparant v = t₇ = ox, D(v) = {animal}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1/2 (même branche).

Étape 6.3. Sim(w) = ∑ S = 1 ; SimInt(w) = ∑ S · d_min = 1/2.

Avec tous les couples (u, v) autour du pivot : 2.

∴ le pivot est le motif discontinu as · x · as ; le motif « strong » est à l’intérieur, et c’est lui qui porte le comparé (humain) ; le comparant « ox » est animal. Compter tous les couples (she, ox) et (strong, ox) donnerait 2.

Exemple 7 – « Il est grand comme son père » : la comparaison littérale

Texte : « Il est grand comme son père. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	comme (t4)	grand (ADJ, t3)	{humain}	père (t6)	{humain}	{humain}	0	0

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = est, t₃ = grand, t₄ = comme, t₅ = son, t₆ = père, t₇ = . ; n = 7.

Étape 7.2 (énoncé e₁, pivot « comme » en t₄). Comparé u = t₃ = grand, D(u) = {humain} ; comparant v = t₆ = père, D(v) = {humain}.

D(u) ∩ D(v) = {humain}, |D(u) ∩ D(v)| = 1 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(1) = 1 · 0 = 0.

Étape 7.3. Sim(w) = ∑ S = 0.

∴ le pivot est là, mais comparé et comparant sont tous deux humains : D(u) ∩ D(v) = {humain}. C’est une comparaison littérale, non une figure.

Exemple 8 – « L’alarme hurle comme une sirène » : deux domaines chacun, un commun

Texte : « L’alarme hurle comme une sirène. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	comme (t4)	alarme (N, t2)	{son, objet}	sirène (t6)	{objet, son}	{objet, son}	0	0

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = l, t₂ = alarme, t₃ = hurle, t₄ = comme, t₅ = une, t₆ = sirène, t₇ = . ; n = 7.

Étape 8.2 (énoncé e₁, pivot « comme » en t₄). Comparé u = t₂ = alarme, D(u) = {son, objet} ; comparant v = t₆ = sirène, D(v) = {objet, son}.

D(u) ∩ D(v) = {objet, son}, |D(u) ∩ D(v)| = 2 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(2) = 1 · 0 = 0.

Étape 8.3. Sim(w) = ∑ S = 0.

Avec un seul domaine par mot (premier code) : 1.

∴ alarme {son, objet} et sirène {objet, son} ont deux domaines en commun : comparaison littérale (une alarme sonne réellement comme une sirène). Avec un seul domaine codé par mot, alarme = son et sirène = objet sont différents : la divergence numérique |Dom(u) − Dom(v)| > 0 la compterait.

Exemple 9 – « Il travaille comme ingénieur » : « comme » de rôle

Texte : « Il travaille comme ingénieur. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	comme (t3)	il (PRO, t1)	{humain}	ingénieur (t4)	{humain}	{humain}	0	0

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = travaille, t₃ = comme, t₄ = ingénieur, t₅ = . ; n = 5.

Étape 9.2 (énoncé e₁, pivot « comme » en t₃). Comparé u = t₁ = il, D(u) = {humain} ; comparant v = t₄ = ingénieur, D(v) = {humain}.

D(u) ∩ D(v) = {humain}, |D(u) ∩ D(v)| = 1 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(1) = 1 · 0 = 0.

Étape 9.3. Sim(w) = ∑ S = 0.

∴ « comme » signifie ici « en qualité de » ; le calcul n’a pas à le reconnaître : il et ingénieur sont humains, l’intersection n’est pas vide, rien n’est compté.

Exemple 10 – « …comme il le fait chaque hiver » : « comme » suivi d’une proposition

Texte : « Il reste chez lui comme il le fait chaque hiver. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	comme (t5)	il (PRO, t1)	—	—	—	—	—	0

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = reste, t₃ = chez, t₄ = lui, t₅ = comme, t₆ = il, t₇ = le, t₈ = fait, t₉ = chaque, t₁₀ = hiver, t₁₁ = . ; n = 11.

Étape 10.2 (énoncé e₁, pivot « comme » en t₅). aucun nom du lexique après le pivot avant la fin de l’énoncé ou avant un pronom sujet : pas de comparant : S = 0.

Étape 10.3. Sim(w) = ∑ S = 0.

Sans arrêt à la proposition : 1.

∴ « comme » introduit une proposition (« il le fait… ») : le premier mot du lexique après le pivot est un pronom sujet, la recherche du comparant s’arrête. Sans cet arrêt, « hiver » (temps) serait pris pour comparant et compté.

Exemple 11 – Faux positif assumé : la mesure

Texte : « Le colis pèse comme un enfant de six ans. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	comme (t4)	colis (N, t2)	{objet}	enfant (t6)	{humain}	∅	1	1

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = colis, t₃ = pèse, t₄ = comme, t₅ = un, t₆ = enfant, t₇ = de, t₈ = six, t₉ = ans, t₁₀ = . ; n = 10.

Étape 11.2 (énoncé e₁, pivot « comme » en t₄). Comparé u = t₂ = colis, D(u) = {objet} ; comparant v = t₆ = enfant, D(v) = {humain}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1 (branches différentes).

Étape 11.3. Sim(w) = ∑ S = 1 ; SimInt(w) = ∑ S · d_min = 1.

∴ objet et humain : domaines disjoints, le calcul compte une comparaison figurée. L’énoncé donne une mesure (le colis a le poids d’un enfant) : le rapprochement de domaines est réel, la figure ne l’est pas.

Exemple 12 – Texte complet : sept pivots, quatre comparaisons figurées

Texte : « Le temps passe comme un fleuve. Il est grand comme son père. Comme il pleut, je reste. Mon frère, ce soldat, se bat comme un lion. L’alarme hurle comme une sirène. Elle est aussi douce qu’une rose. Son regard est pareil à une flamme. »

énoncé	pivot c (positions)	comparé u	D(u)	comparant v	D(v)	D(u) ∩ D(v)	dmin	S
e1	comme (t4)	temps (N, t2)	{temps}	fleuve (t6)	{nature}	∅	1	1
e2	comme (t11)	grand (ADJ, t10)	{humain}	père (t13)	{humain}	{humain}	0	0
e3	comme (t15)	—	—	—	—	—	—	0
e4	comme (t27)	soldat (N, t24)	{humain}	lion (t29)	{animal}	∅	1/2	1
e5	comme (t34)	alarme (N, t32)	{son, objet}	sirène (t36)	{objet, son}	{objet, son}	0	0
e6	aussi · x · qu (t40 … t42)	douce (ADJ, t41)	{humain}	rose (t44)	{végétal}	∅	1/2	1
e7	pareil · à (t49 … t50)	regard (N, t47)	{humain}	flamme (t52)	{nature}	∅	1	1

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = temps, t₃ = passe, t₄ = comme, t₅ = un, t₆ = fleuve, t₇ = ., t₈ = il, t₉ = est, t₁₀ = grand, t₁₁ = comme, t₁₂ = son, t₁₃ = père, t₁₄ = ., t₁₅ = comme, t₁₆ = il, t₁₇ = pleut, t₁₈ = je, t₁₉ = reste, t₂₀ = ., t₂₁ = mon, t₂₂ = frère, t₂₃ = ce, t₂₄ = soldat, t₂₅ = se, t₂₆ = bat, t₂₇ = comme, t₂₈ = un, t₂₉ = lion, t₃₀ = ., t₃₁ = l, t₃₂ = alarme, t₃₃ = hurle, t₃₄ = comme, t₃₅ = une, t₃₆ = sirène, t₃₇ = ., t₃₈ = elle, t₃₉ = est, t₄₀ = aussi, t₄₁ = douce, t₄₂ = qu, t₄₃ = une, t₄₄ = rose, t₄₅ = ., t₄₆ = son, t₄₇ = regard, t₄₈ = est, t₄₉ = pareil, t₅₀ = à, t₅₁ = une, t₅₂ = flamme, t₅₃ = . ; n = 53.

Étape 12.2 (énoncé e₁, pivot « comme » en t₄). Comparé u = t₂ = temps, D(u) = {temps} ; comparant v = t₆ = fleuve, D(v) = {nature}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1 (branches différentes).

Étape 12.2 (énoncé e₂, pivot « comme » en t₁₁). Comparé u = t₁₀ = grand, D(u) = {humain} ; comparant v = t₁₃ = père, D(v) = {humain}.

D(u) ∩ D(v) = {humain}, |D(u) ∩ D(v)| = 1 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(1) = 1 · 0 = 0.

Étape 12.2 (énoncé e₃, pivot « comme » en t₁₅). aucun mot du lexique avant le pivot : pas de comparé ; aucun nom du lexique après le pivot avant la fin de l’énoncé ou avant un pronom sujet : pas de comparant : S = 0.

Étape 12.2 (énoncé e₄, pivot « comme » en t₂₇). Comparé u = t₂₄ = soldat, D(u) = {humain} ; comparant v = t₂₉ = lion, D(v) = {animal}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1/2 (même branche).

Étape 12.2 (énoncé e₅, pivot « comme » en t₃₄). Comparé u = t₃₂ = alarme, D(u) = {son, objet} ; comparant v = t₃₆ = sirène, D(v) = {objet, son}.

D(u) ∩ D(v) = {objet, son}, |D(u) ∩ D(v)| = 2 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(2) = 1 · 0 = 0.

Étape 12.2 (énoncé e₆, pivot « aussi · x · qu » en t₄₀ … t₄₂). Comparé u = t₄₁ = douce, D(u) = {humain} ; comparant v = t₄₄ = rose, D(v) = {végétal}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1/2 (même branche).

Étape 12.2 (énoncé e₇, pivot « pareil · à » en t₄₉ … t₅₀). Comparé u = t₄₇ = regard, D(u) = {humain} ; comparant v = t₅₂ = flamme, D(v) = {nature}.

D(u) ∩ D(v) = ∅, |D(u) ∩ D(v)| = 0 ; S = χ_Comp(c) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1 ; écart d_min = 1 (branches différentes).

Étape 12.3. Sim(w) = ∑ S = 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 ; SimInt(w) = ∑ S · d_min = 3.

À la lettre (tous les triplets, un domaine codé) : 7 ; tous les couples : 6 ; un seul domaine : 5.

∴ Sim(w) = 4 : temps / fleuve, soldat / lion, douce / rose (pivot discontinu aussi … qu’), regard / flamme (pivot pareil à). Les comparaisons littérales (père, sirène) et le « comme » causal ne sont pas comptés.

Exemple 12 : sept énoncés, sept pivots, quatre comparaisons figurées.

27.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les douze textes des exemples 1 à 12, par l’écart entre Sim calculé et Sim attendu. Réponse attendue : 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 4 (l’exemple 11 n’est pas une comparaison figurée).

version	Sim total	erreurs ∑ |Sim − attendu| (sur 12 textes)	textes mal comptés
à la lettre : tous les triplets (u, c, v), Dom à un seul domaine codé	16	7	ex. 6 (2 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (7 au lieu de 4)
Occ(u c v) au sens strict : u et v adjacents au pivot	0	9	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (0 au lieu de 4)
tous les couples (u, v) autour du pivot	13	4	ex. 6 (2 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (6 au lieu de 4)
Dom à un seul domaine (premier code)	12	3	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (5 au lieu de 4)
sans arrêt à la proposition (pronom)	11	2	ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
retenue	10	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

La lecture à la lettre multiplie les triplets et code un seul domaine par mot. Occ au sens strict, avec u et v contigus au pivot, ne trouve aucune comparaison. Tous les couples autour du pivot comptent deux fois « she / strong … as an ox » et « mon frère, ce soldat ». Un seul domaine par mot prend « l’alarme hurle comme une sirène » pour une figure. Sans arrêt à la proposition, « comme il le fait chaque hiver » prend « hiver » pour comparant. La version retenue ne garde qu’une erreur, la mesure de l’exemple 11.

Erreurs des versions : recherche non contiguë, un couple par pivot, ensembles de domaines et arrêt à la proposition sont tous nécessaires.

On peut encore limiter la distance h entre le pivot et le comparant :

distance maximale h du comparant	erreurs ∑ |Sim − attendu|	textes mal comptés
1	9	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (0 au lieu de 4)
2	2	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
3	2	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
4	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
5	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
sans limite (énoncé)	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

Le comparant de Burns est à quatre mots du pivot ; dès h = 4, toute limite donne le même résultat que l’énoncé entier. La règle d’arrêt à la proposition rend la limite inutile : on retient l’énoncé entier, sans paramètre.

Erreurs selon la distance maximale h du comparant : stables à partir de h = 4.

27.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois Comp, le lexique et l’arbre des domaines fixés, u, v, S, d_min, Sim et SimInt découlent nécessairement du calcul ; les lemmes 1 à 3 et la partition sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : les domaines et leur arbre relèvent de la connaissance du monde ; un mot absent du lexique laisse un pivot sans comparé ou sans comparant.
• Possible : tout rapprochement de domaines disjoints autour d’un pivot est une comparaison figurée possible ; il peut être une mesure (exemple 11). Le mécanisme mesure l’écart des domaines, non l’intention.

27.10 Justification et limites

La comparaison est une métaphore qui montre son outil. Le mécanisme le dit exactement : même condition de domaines disjoints que la métaphore, avec la condition inverse sur le pivot. Le produit Occ · χ_Comp · Div de la définition est conservé terme à terme : Occ devient la recherche du comparé et du comparant de part et d’autre du pivot, χ_Comp l’appartenance à un langage de motifs contigus et discontinus, Div la disjonction des ensembles de domaines ; l’intensité devient l’écart dans l’arbre des domaines.

Comparaison et métaphore : la même disjonction des domaines, avec ou sans pivot.

Trois limites sont assumées. La disjonction ne garantit pas la figure : une mesure ou une équivalence factuelle entre domaines différents est comptée (exemple 11). Le motif commun (le tertium comparationis : « courageux », « bleue », « strong ») n’est pas vérifié : le paradoxe d’Éluard passe inaperçu. Enfin, un comparé éloigné du pivot par un autre mot du lexique est remplacé par ce mot : la tête du comparé n’est pas analysée syntaxiquement.

⁂

28. Synecdoche (Synecdoque) – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
La synecdoque emploie la partie pour le tout (pars pro toto), le tout pour la partie (totum pro parte), l’espèce pour le genre ou le genre pour l’espèce, la matière pour l’objet. Quintilien la présente comme le moyen de faire entendre le plus par le moins, ou l’inverse (Institution oratoire, VIII, 6, 19–22). Exemples : « cent voiles » (cent navires) ; « toutes les mains » (tous les ouvriers) ; « la France a gagné » (son équipe) ; « le fer » (l’épée) ; « les mortels » (les hommes). La synecdoque substitue un terme par un autre en s’appuyant sur une stricte relation d’inclusion : la partie pour le tout ou le tout pour la partie (ex. « fifty sails » pour désigner cinquante navires).

Mécanisme en combinatoire des mots
Elle se modélise par une fonction de substitution contrainte par une relation d’appartenance ou d’inclusion asymétrique $\mathrm{Rel}$.

Définition mathématique
Le facteur $u$ remplace $v$ dès lors que $(u,v) \in \mathrm{Rel}$ ou $(v,u) \in \mathrm{Rel}$.

$$\mathrm{Syn}(w) = \bigl| \{ u \in \mathrm{Fact}(w) \mid \exists v \text{ tel que } u \text{ représente } v \text{ par relation d’inclusion} \} \bigr|$$

⁂

28. Synecdoque – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de la synecdoque à quelques exemples d’une fonction de substitution contrainte par une relation d’appartenance ou d’inclusion asymétrique $\mathrm{Rel}$.

28.1 Définition rhétorico-mathématique

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une incompatibilité : le mot écrit n’a pas la catégorie que le prédicat attend (une voile n’apparaît pas à l’horizon d’elle-même) ;
• une réparation par inclusion : un terme qui contient le mot écrit, ou qu’il contient, a la catégorie attendue (le navire dont la voile fait partie) ;
• un sens : +1 pour la partie employée pour le tout, −1 pour le tout employé pour la partie.

La synecdoque se distingue de l’emploi propre (« cette voile est déchirée »), de l’anomalie non réparée (« la table a parlé ») et de la métonymie, où la réparation passe par une contiguïté et non par une inclusion (« boots on the ground » : la botte est portée par le soldat, elle n’en est pas une partie).

28.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule Syn(w) = |{ u ∈ Fact(w) | ∃ v tel que u représente v par relation d’inclusion }| reste une définition en compréhension. Pour la rendre calculable, on pose une relation d’inclusion Rel ⊆ L × L, non symétrique, son indicatrice χ_Rel(u, v), la somme S(u, v) = χ_Rel(u, v) + χ_Rel(v, u) et Σ(u, v) = χ_{[1, +∞[}(S(u, v)). Alors :

Syn(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{[1, +∞[}( ∑_{v ∈ L} (χ_Rel(u, v) + χ_Rel(v, u)) ), version simplifiée : ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{v ∈ L} χ_{[1, +∞[}(χ_Rel(u, v) + χ_Rel(v, u)),

SynInt(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{v ∈ L} max(ρ(u, v), ρ(v, u)), ρ ∈ [0, 1].

La forme est juste : l’indicatrice d’une relation, la symétrisation pour couvrir les deux sens, l’indicatrice « au moins une » et une somme. Pour qu’elle compte exactement les synecdoques, six précisions sont nécessaires : (1) la formule compte tout mot qui figure dans Rel, d’un côté ou de l’autre : « cette voile est déchirée » (sens propre) et même « l’ouvrier travaille » (ouvrier est le tout de main) sont comptés ; il manque la condition qui rend la figure nécessaire, l’incompatibilité entre le mot et son prédicat ; (2) l’inclusion ne suffit pas : le terme qu’elle désigne doit avoir la catégorie attendue par le prédicat ; (3) la « version simplifiée » n’est pas égale à la formule complète : elle compte une fois par terme relié, donc main, reliée à ouvrier et à marin, compte 2 ; elle majore la formule, avec égalité seulement si chaque mot n’a qu’un terme relié ; (4) la symétrisation S(u, v) efface le sens, qui est une donnée de la figure : il faut le garder, +1 ou −1 ; (5) Rel doit être orientée de façon constante (partie, tout) : les exemples (voile, navire) et (main, ouvrier) sont écrits partie d’abord, mais (France, Français) tout d’abord ; ici on écrit (équipe, France) ; (6) le poids ρ, posé à la main (1 ; 0,9 ; 0,8), peut se calculer : c’est la détermination de la réparation, 1 / (nombre de touts ou de parties qui conviennent).

28.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• sélection : σ(p, a) = χ_R(p)(cat(a)) = 1 si la catégorie de l’argument convient au prédicat ;
• relation orientée : χ_Rel(a, y) = 1 si a est une partie de y (a ⊂ y), χ_Rel(y, a) = 1 si y est une partie de a ;
• « au moins une réparation » : χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂(p, a)|) ;
• négation : 1 − σ pour l’incompatibilité ;
• « et » : un produit ; comptage : une somme sur les couples (p, a).

28.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les couples (prédicat, argument)

On met le texte en minuscules ; ponctuation et apostrophes deviennent des espaces ; chaque nom est ramené à son lemme (voiles → voile, mains → main). Un couple est un facteur de w de la forme a · ℓ₁ … ℓ_e · p : un nom a, au plus e = 2 mots de liaison ℓ ∈ {a, ont, est, sont, is, are, au, on, the, se}, un prédicat p de la table.

Cpl(w) = { (k, i) : t_k ∈ N, t_k+1 … t_i−1 ∈ Lien^e, e ≤ 2, t_i ∈ Pred }, un couple au plus par nom.

Lemme 1 (unité). Chaque nom forme au plus un couple ; la somme sur Fact(w) de la définition, elle, porte sur tous les facteurs : un mot de Rel est compté où qu’il soit, et chaque facteur qui le contient le serait aussi si la relation passait aux facteurs.

b) Les tables : catégories, sélection, inclusion, contiguïté

prédicat p	lecture	R(p) : catégories attendues
apparurent	apparaître à l’horizon	{véhicule, astre}
travail	être au travail	{humain}
deck	be on deck	{humain}
démarré	démarrer	{véhicule, humain}
gagné	gagner	{humain}
tranché	trancher	{humain, arme}
craignent	craindre	{humain}
déchirée	être déchiré	{objet}
travaille	travailler	{humain}
ground	be on the ground (déployé)	{humain}
parlé	parler	{humain}
tournèrent	se tourner vers	{humain, véhicule}
réparée	être réparé	{objet, véhicule}

partie	tout	type	inclusion
voile	navire	partie / tout	voile ⊂ navire
main	ouvrier	partie / tout	main ⊂ ouvrier
main	marin	partie / tout	main ⊂ marin
hand	sailor	partie / tout	hand ⊂ sailor
roue	voiture	partie / tout	roue ⊂ voiture
équipe	france	partie / tout	équipe ⊂ france
fer	épée	matière / objet	fer ⊂ épée
homme	mortel	espèce / genre	homme ⊂ mortel
tête	personne	partie / tout	tête ⊂ personne

Les catégories des noms sont : voile : objet ; navire : véhicule ; main : partie du corps ; ouvrier : humain ; marin : humain ; roue : objet ; voiture : véhicule ; france : pays ; équipe : humain ; fer : matière ; épée : arme ; mortel : être vivant ; homme : humain ; tête : partie du corps ; personne : humain ; table : objet ; botte : objet ; soldat : humain ; hand : partie du corps ; sailor : humain ; boot : objet ; corde : objet ; coupe : objet ; mort : abstrait ; porte : objet ; horizon : lieu. La contiguïté, qui sert seulement à séparer la métonymie, contient botte → soldat (objet porté / porteur).

La table d’inclusion orientée : la partie pour le tout (+1) suit la flèche, le tout pour la partie (−1) la remonte.

c) Incompatibilité et réparation par inclusion

σ(p, a) = χ_R(p)(cat(a)), Rep_⊂(p, a) = { (y, +1) : (a, y) ∈ Rel, cat(y) ∈ R(p) } ∪ { (y, −1) : (y, a) ∈ Rel, cat(y) ∈ R(p) }.

S(p, a) = (1 − σ(p, a)) · χ_{[1, +∞[}( |Rep_⊂(p, a)| ), sens(p, a) = signe de la réparation, ρ(p, a) = S · 1 / |Rep_⊂(p, a)|.

Lemme 2 (la symétrisation retrouvée). χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{y : cat(y) ∈ R(p)} (χ_Rel(a, y) + χ_Rel(y, a)) ) : c’est la symétrisation de la définition, restreinte aux termes de la bonne catégorie ; la direction se lit sur celui des deux termes qui vaut 1. Lemme 3 (antisymétrie). Une inclusion stricte est antisymétrique : χ_Rel(a, y) · χ_Rel(y, a) = 0, donc S(u, v) de la définition vaut 0 ou 1 et le sens est toujours défini. Lemme 4 (version simplifiée). ∑_v χ_{[1, +∞[}(S(u, v)) ≥ χ_{[1, +∞[}(∑_v S(u, v)), avec égalité si et seulement si u a au plus un terme relié ; la « version simplifiée » compte main deux fois.

Le couple (p, a) : incompatibilité de sélection, puis réparation par inclusion vers un terme de la bonne catégorie.

d) La partition des couples

Pour chaque couple, 1 = σ + (1 − σ) χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) + (1 − σ)(1 − χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|)) χ_{[1, +∞[}(|Rep_Cont|) + (1 − σ)(1 − χ(|Rep_⊂|))(1 − χ(|Rep_Cont|)) : emploi propre, synecdoque, métonymie, anomalie non réparée.

L’arbre de décision : sélection, réparation par inclusion, réparation par contiguïté.

28.5 Définition mathématique

Syn(w) = ∑_{(p, a) ∈ Cpl(w)} (1 − χ_R(p)(cat(a))) · χ_{[1, +∞[}( ∑_{y : cat(y) ∈ R(p)} (χ_Rel(a, y) + χ_Rel(y, a)) ),

SynInt(w) = ∑_{(p, a)} S(p, a) / |Rep_⊂(p, a)|, sens(p, a) = +1 si χ_Rel(a, y) = 1, −1 si χ_Rel(y, a) = 1.

La somme sur Fact(w) est remplacée par une somme sur les couples (prédicat, argument) ; le facteur 1 − σ exige l’incompatibilité ; la symétrisation est restreinte aux termes de la catégorie attendue ; le sens est gardé ; le poids est la détermination de la réparation.

La définition complète : couple, incompatibilité, réparation par inclusion, sens et détermination.

28.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; ramener les noms à leur lemme.
2. Repérer les couples : nom, au plus deux mots de liaison, prédicat.
3. Tester la sélection σ = χ_R(p)(cat(a)) ; si σ = 1, emploi propre.
4. Sinon, chercher dans Rel les touts et les parties de a dont la catégorie convient ; s’il y en a, compter une synecdoque et noter le sens.
5. Sinon, chercher une contiguïté (métonymie) ; sinon, anomalie.
6. Additionner : Syn(w), SynInt(w) = ∑ 1 / |Rep_⊂|.

28.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par couple : le facteur a · … · p, la catégorie de l’argument, la lecture et les catégories attendues du prédicat, la sélection σ, les réparations par inclusion et leur sens, la contiguïté, la décision S et la détermination ρ.

Exemple 1 – « Cent voiles apparurent à l’horizon » : la partie pour le tout

Texte : « Cent voiles apparurent à l’horizon. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« voiles apparurent » (t2 … t3)	voile, objet	apparaître à l’horizon, {véhicule, astre}	0	navire (+1)	—	1	+1	1

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = cent, t₂ = voiles, t₃ = apparurent, t₄ = à, t₅ = l, t₆ = horizon, t₇ = . ; n = 7.

Étape 1.2 (couple « voiles apparurent »). Argument a = voiles (lemme voile, catégorie objet), 0 mot(s) de liaison, prédicat p = apparurent : apparaître à l’horizon, R(p) = {véhicule, astre}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (voile, navire) ∈ Rel, cat(navire) = véhicule ∈ R(p), sens +1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; sens +1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1.

Étape 1.3. Syn(w) = ∑ S = 1 ; SynInt(w) = ∑ ρ = 1.

∴ ce qui apparaît à l’horizon d’une mer est un navire ou un astre ; une voile est un objet : incompatibilité. La table d’inclusion donne voile ⊂ navire, et navire convient : synecdoque, sens +1 (la partie pour le tout), une seule réparation possible, ρ = 1.

Exemple 2 – « Toutes les mains sont au travail » : deux touts possibles

Texte : « Toutes les mains sont au travail. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« mains sont au travail » (t3 … t6)	main, partie du corps	être au travail, {humain}	0	ouvrier (+1); marin (+1)	—	1	+1	1/2

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = toutes, t₂ = les, t₃ = mains, t₄ = sont, t₅ = au, t₆ = travail, t₇ = . ; n = 7.

Étape 2.2 (couple « mains sont au travail »). Argument a = mains (lemme main, catégorie partie du corps), 2 mot(s) de liaison, prédicat p = travail : être au travail, R(p) = {humain}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (main, ouvrier) ∈ Rel, cat(ouvrier) = humain ∈ R(p), sens +1 ; (main, marin) ∈ Rel, cat(marin) = humain ∈ R(p), sens +1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(2) = 1 ; sens +1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1/2.

Étape 2.3. Syn(w) = ∑ S = 1 ; SynInt(w) = ∑ ρ = 1/2.

Version simplifiée de la définition (∑_u ∑_v) : 2.

∴ être au travail demande un humain ; main est une partie du corps. Deux touts conviennent, ouvrier et marin : synecdoque sens +1, mais la réparation n’est pas unique, ρ = 1/2.

Exemple 3 – « Les roues ont démarré » : la pièce pour le véhicule

Texte : « Les roues ont démarré. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« roues ont démarré » (t2 … t4)	roue, objet	démarrer, {véhicule, humain}	0	voiture (+1)	—	1	+1	1

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = les, t₂ = roues, t₃ = ont, t₄ = démarré, t₅ = . ; n = 5.

Étape 3.2 (couple « roues ont démarré »). Argument a = roues (lemme roue, catégorie objet), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = démarré : démarrer, R(p) = {véhicule, humain}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (roue, voiture) ∈ Rel, cat(voiture) = véhicule ∈ R(p), sens +1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; sens +1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1.

Étape 3.3. Syn(w) = ∑ S = 1 ; SynInt(w) = ∑ ρ = 1.

∴ démarrer demande un véhicule ou un humain ; roue ⊂ voiture répare l’incompatibilité : synecdoque, sens +1.

Exemple 4 – « La France a gagné la coupe » : le tout pour la partie

Texte : « La France a gagné la coupe. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« france a gagné » (t2 … t4)	france, pays	gagner, {humain}	0	équipe (−1)	—	1	−1	1

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = france, t₃ = a, t₄ = gagné, t₅ = la, t₆ = coupe, t₇ = . ; n = 7.

Étape 4.2 (couple « france a gagné »). Argument a = france (lemme france, catégorie pays), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = gagné : gagner, R(p) = {humain}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (équipe, france) ∈ Rel, cat(équipe) = humain ∈ R(p), sens −1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; sens −1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1.

Étape 4.3. Syn(w) = ∑ S = 1 ; SynInt(w) = ∑ ρ = 1.

∴ gagner demande un humain (ou un collectif humain) ; France est un pays. L’inclusion lue dans l’autre sens, équipe ⊂ France, donne l’équipe : synecdoque, sens −1 (le tout pour la partie).

Exemple 5 – « Le fer a tranché la corde » : la matière pour l’objet

Texte : « Le fer a tranché la corde. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« fer a tranché » (t2 … t4)	fer, matière	trancher, {humain, arme}	0	épée (+1)	—	1	+1	1

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = fer, t₃ = a, t₄ = tranché, t₅ = la, t₆ = corde, t₇ = . ; n = 7.

Étape 5.2 (couple « fer a tranché »). Argument a = fer (lemme fer, catégorie matière), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = tranché : trancher, R(p) = {humain, arme}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (fer, épée) ∈ Rel, cat(épée) = arme ∈ R(p), sens +1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; sens +1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1.

Étape 5.3. Syn(w) = ∑ S = 1 ; SynInt(w) = ∑ ρ = 1.

∴ trancher demande un humain ou une arme ; le fer est une matière. La table donne fer ⊂ épée (matière / objet) : synecdoque, sens +1.

Exemple 6 – « Les mortels craignent la mort » : le genre pour l’espèce

Texte : « Les mortels craignent la mort. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« mortels craignent » (t2 … t3)	mortel, être vivant	craindre, {humain}	0	homme (−1)	—	1	−1	1

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = les, t₂ = mortels, t₃ = craignent, t₄ = la, t₅ = mort, t₆ = . ; n = 6.

Étape 6.2 (couple « mortels craignent »). Argument a = mortels (lemme mortel, catégorie être vivant), 0 mot(s) de liaison, prédicat p = craignent : craindre, R(p) = {humain}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (homme, mortel) ∈ Rel, cat(homme) = humain ∈ R(p), sens −1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; sens −1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1.

Étape 6.3. Syn(w) = ∑ S = 1 ; SynInt(w) = ∑ ρ = 1.

∴ craindre demande un humain ; « mortel » désigne le genre des êtres vivants. L’inclusion homme ⊂ mortel lue dans l’autre sens donne l’espèce : synecdoque, sens −1 (le genre pour l’espèce).

Exemple 7 – « Cette voile est déchirée » : la partie employée pour elle-même

Texte : « Cette voile est déchirée. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« voile est déchirée » (t2 … t4)	voile, objet	être déchiré, {objet}	1	—	—	0	—	0

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = cette, t₂ = voile, t₃ = est, t₄ = déchirée, t₅ = . ; n = 5.

Étape 7.2 (couple « voile est déchirée »). Argument a = voile (lemme voile, catégorie objet), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = déchirée : être déchiré, R(p) = {objet}. σ = χ_R(p)(objet) = 1 : emploi propre, S = 0.

Étape 7.3. Syn(w) = ∑ S = 0.

Définition à la lettre : 1.

∴ être déchiré convient à un objet : la voile est employée au sens propre, σ = 1, rien n’est à réparer. La définition, qui compte tout mot présent dans Rel, compterait cette voile.

Exemple 8 – « La roue est réparée » : sens propre, bien qu’un tout convienne aussi

Texte : « La roue est réparée. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« roue est réparée » (t2 … t4)	roue, objet	être réparé, {objet, véhicule}	1	voiture (+1)	—	0	—	0

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = roue, t₃ = est, t₄ = réparée, t₅ = . ; n = 5.

Étape 8.2 (couple « roue est réparée »). Argument a = roue (lemme roue, catégorie objet), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = réparée : être réparé, R(p) = {objet, véhicule}. σ = χ_R(p)(objet) = 1 : emploi propre, S = 0.

Étape 8.3. Syn(w) = ∑ S = 0.

Sans test d’incompatibilité : 1.

∴ être réparé convient à un objet comme à un véhicule ; roue ⊂ voiture fournirait une réparation, mais il n’y a rien à réparer : la roue convient elle-même. Sans le test d’incompatibilité, ce sens propre serait compté.

Exemple 9 – « We need boots on the ground » : une métonymie, non une synecdoque

Texte : « We need boots on the ground. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« boots on the ground » (t3 … t6)	boot, objet	be on the ground (déployé), {humain}	0	—	soldat	0	—	0

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = we, t₂ = need, t₃ = boots, t₄ = on, t₅ = the, t₆ = ground, t₇ = . ; n = 7.

Étape 9.2 (couple « boots on the ground »). Argument a = boots (lemme boot, catégorie objet), 2 mot(s) de liaison, prédicat p = ground : be on the ground (déployé), R(p) = {humain}. σ = 0 : incompatibilité. Aucune inclusion ; contiguïté boot → soldat (objet porté / porteur) : métonymie, S = 0.

Étape 9.3. Syn(w) = ∑ S = 0.

Avec réparation par inclusion ou contiguïté : 1.

∴ être déployé sur le terrain demande un humain ; une botte n’est pas une partie du soldat mais un objet qu’il porte : la réparation passe par la contiguïté (botte → soldat), non par l’inclusion. C’est une métonymie (fiche 19), non une synecdoque.

Exemple 10 – « La table a parlé » : l’incompatibilité non réparée

Texte : « La table a parlé. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« table a parlé » (t2 … t4)	table, objet	parler, {humain}	0	—	—	0	—	0

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = la, t₂ = table, t₃ = a, t₄ = parlé, t₅ = . ; n = 5.

Étape 10.2 (couple « table a parlé »). Argument a = table (lemme table, catégorie objet), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = parlé : parler, R(p) = {humain}. σ = 0 : incompatibilité. Aucune inclusion ni contiguïté qui convienne : anomalie non réparée, S = 0.

Étape 10.3. Syn(w) = ∑ S = 0.

∴ parler demande un humain ; table n’a aucun tout ni aucune partie humaine dans la table d’inclusion, ni de contigu : anomalie non réparée (exemple 3 de la définition : (arbre, table) ∉ Rel).

Exemple 11 – Faux positif assumé : les têtes qui se tournent

Texte : « Toutes les têtes se tournèrent vers la porte. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« têtes se tournèrent » (t3 … t5)	tête, partie du corps	se tourner vers, {humain, véhicule}	0	personne (+1)	—	1	+1	1

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = toutes, t₂ = les, t₃ = têtes, t₄ = se, t₅ = tournèrent, t₆ = vers, t₇ = la, t₈ = porte, t₉ = . ; n = 9.

Étape 11.2 (couple « têtes se tournèrent »). Argument a = têtes (lemme tête, catégorie partie du corps), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = tournèrent : se tourner vers, R(p) = {humain, véhicule}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (tête, personne) ∈ Rel, cat(personne) = humain ∈ R(p), sens +1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; sens +1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1.

Étape 11.3. Syn(w) = ∑ S = 1 ; SynInt(w) = ∑ ρ = 1.

∴ se tourner vers est rangé parmi les prédicats d’agent humain ; tête ⊂ personne répare : le calcul compte une synecdoque. Or les têtes se tournent réellement : l’énoncé est littéral. La table de sélection, trop étroite pour ce verbe, crée l’incompatibilité.

Exemple 12 – Texte complet : trois synecdoques, deux emplois littéraux, une anomalie

Texte : « Cent voiles apparurent à l’horizon. Cette voile est déchirée. La France a gagné la coupe. L’ouvrier travaille. Les roues ont démarré. La table a parlé. »

couple u = a · … · p	argument a, cat(a)	prédicat p, R(p)	σ = χR(p)(cat(a))	réparations par inclusion (y, sens)	contiguïté	S	sens	ρ
« voiles apparurent » (t2 … t3)	voile, objet	apparaître à l’horizon, {véhicule, astre}	0	navire (+1)	—	1	+1	1
« voile est déchirée » (t9 … t11)	voile, objet	être déchiré, {objet}	1	—	—	0	—	0
« france a gagné » (t14 … t16)	france, pays	gagner, {humain}	0	équipe (−1)	—	1	−1	1
« ouvrier travaille » (t21 … t22)	ouvrier, humain	travailler, {humain}	1	—	—	0	—	0
« roues ont démarré » (t25 … t27)	roue, objet	démarrer, {véhicule, humain}	0	voiture (+1)	—	1	+1	1
« table a parlé » (t30 … t32)	table, objet	parler, {humain}	0	—	—	0	—	0

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = cent, t₂ = voiles, t₃ = apparurent, t₄ = à, t₅ = l, t₆ = horizon, t₇ = ., t₈ = cette, t₉ = voile, t₁₀ = est, t₁₁ = déchirée, t₁₂ = ., t₁₃ = la, t₁₄ = france, t₁₅ = a, t₁₆ = gagné, t₁₇ = la, t₁₈ = coupe, t₁₉ = ., t₂₀ = l, t₂₁ = ouvrier, t₂₂ = travaille, t₂₃ = ., t₂₄ = les, t₂₅ = roues, t₂₆ = ont, t₂₇ = démarré, t₂₈ = ., t₂₉ = la, t₃₀ = table, t₃₁ = a, t₃₂ = parlé, t₃₃ = . ; n = 33.

Étape 12.2 (couple « voiles apparurent »). Argument a = voiles (lemme voile, catégorie objet), 0 mot(s) de liaison, prédicat p = apparurent : apparaître à l’horizon, R(p) = {véhicule, astre}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (voile, navire) ∈ Rel, cat(navire) = véhicule ∈ R(p), sens +1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; sens +1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1.

Étape 12.2 (couple « voile est déchirée »). Argument a = voile (lemme voile, catégorie objet), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = déchirée : être déchiré, R(p) = {objet}. σ = χ_R(p)(objet) = 1 : emploi propre, S = 0.

Étape 12.2 (couple « france a gagné »). Argument a = france (lemme france, catégorie pays), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = gagné : gagner, R(p) = {humain}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (équipe, france) ∈ Rel, cat(équipe) = humain ∈ R(p), sens −1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; sens −1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1.

Étape 12.2 (couple « ouvrier travaille »). Argument a = ouvrier (lemme ouvrier, catégorie humain), 0 mot(s) de liaison, prédicat p = travaille : travailler, R(p) = {humain}. σ = χ_R(p)(humain) = 1 : emploi propre, S = 0.

Étape 12.2 (couple « roues ont démarré »). Argument a = roues (lemme roue, catégorie objet), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = démarré : démarrer, R(p) = {véhicule, humain}. σ = 0 : incompatibilité. Réparations par inclusion : (roue, voiture) ∈ Rel, cat(voiture) = véhicule ∈ R(p), sens +1.

S = (1 − σ) · χ_{[1, +∞[}(|Rep_⊂|) = 1 · χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; sens +1 ; ρ = 1 / |Rep_⊂| = 1.

Étape 12.2 (couple « table a parlé »). Argument a = table (lemme table, catégorie objet), 1 mot(s) de liaison, prédicat p = parlé : parler, R(p) = {humain}. σ = 0 : incompatibilité. Aucune inclusion ni contiguïté qui convienne : anomalie non réparée, S = 0.

Étape 12.3. Syn(w) = ∑ S = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3 ; SynInt(w) = ∑ ρ = 3.

Définition à la lettre : 5 ; version simplifiée : 5.

∴ Syn(w) = 3 : voiles (+1), France (−1), roues (+1). La définition compte aussi « voile » au sens propre et « ouvrier », présent dans Rel comme tout de main.

Exemple 12 : six couples, trois synecdoques, deux emplois propres, une anomalie.

28.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les douze textes des exemples 1 à 12, par l’écart entre Syn calculé et Syn attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 3 (l’exemple 11 n’est pas une synecdoque).

version	Syn total	erreurs ∑ |Syn − attendu| (sur 12 textes)	textes mal comptés
à la lettre : ∑u ∈ Fact(w) χ[1, +∞[(∑v χRel(u, v) + χRel(v, u))	14	5	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (5 au lieu de 3)
version simplifiée : ∑u ∑v χ[1, +∞[(χRel(u, v) + χRel(v, u))	15	6	ex. 2 (2 au lieu de 1) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (5 au lieu de 3)
couples (p, a) sans test d’incompatibilité	11	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
incompatibilité réparée par inclusion ou contiguïté	11	2	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
retenue	10	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

La définition à la lettre compte tout mot de Rel, y compris au sens propre ; la version simplifiée compte en plus une fois par terme relié. Sans test d’incompatibilité, « la roue est réparée » devient une synecdoque. Avec la contiguïté comme réparation, la métonymie « boots on the ground » est comptée. La version retenue ne garde qu’une erreur, les têtes de l’exemple 11.

Erreurs des versions : incompatibilité, inclusion seule et catégorie du terme réparateur sont toutes nécessaires.

Le seul paramètre est le nombre e de mots de liaison admis entre l’argument et le prédicat :

e (mots de liaison admis entre a et p)	erreurs ∑ |Syn − attendu|	textes mal comptés
0	6	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 12 (1 au lieu de 3)
1	2	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0)
2	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
3	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

« Toutes les mains sont au travail » demande deux mots de liaison (sont, au) ; à partir de e = 2, le résultat ne change plus. On retient la plus petite valeur suffisante, e = 2.

Erreurs selon e : stables à partir de e = 2.

28.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois les tables de catégories, de sélection et d’inclusion fixées, σ, Rep_⊂, S, le sens et ρ découlent nécessairement du calcul ; les lemmes 1 à 4 et la partition sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : la table d’inclusion relève de la connaissance du monde (de quoi une chose est-elle partie ?) ; une relation de partie à tout est une relation d’ordre, plus stable qu’une contiguïté.
• Possible : toute incompatibilité réparable par inclusion est une synecdoque possible ; si la table de sélection est trop étroite, un emploi propre passe pour une figure (exemple 11).

28.10 Justification et limites

La synecdoque est la plus ensembliste des figures : elle repose sur une inclusion, au sens propre du symbole ⊂. Le mécanisme garde l’indicatrice de relation et la symétrisation de la définition, mais les place sous deux conditions qui la rendent nécessaire : l’incompatibilité du mot écrit avec son prédicat, et la catégorie du terme réparateur. Il sépare ce que la tradition a parfois confondu : une incompatibilité réparée par inclusion est une synecdoque, une incompatibilité réparée par voisinage est une métonymie.

Synecdoque et métonymie : la même incompatibilité, réparée par inclusion ou par contiguïté.

Trois limites sont assumées. Une table de sélection trop étroite crée une incompatibilité qui n’existe pas (exemple 11). Une synecdoque sans prédicat incompatible (« cent voiles » dans une simple énumération) n’est pas détectée : la figure n’y est pas nécessaire au sens. Enfin, les couples sont repérés par une structure sujet · liaison · prédicat ; les arguments en position d’objet demandent une seconde structure, comme pour la métonymie.

⁂

29. Tautologie – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
La tautologie, comme figure de style, est la répétition d’une même idée sous une forme identique ou équivalente, sans apport d’information nouvelle. Elle peut être une faute de style ou un effet voulu : slogan, emphase, résignation, affirmation d’une évidence. Exemples : « Love is love » ; « Business is business » ; « Les affaires sont les affaires » (Octave Mirbeau, 1903) ; « Un sou est un sou » ; « A rose is a rose is a rose » (Gertrude Stein, Sacred Emily, 1913) ; « 100 % des gagnants ont tenté leur chance » (slogan de la Française des jeux). La tautologie répète une même information sous des formes différentes (ex. « 100% des gagnants ont tenté leur chance »).

Mécanisme en combinatoire des mots
Elle se modélise par la coprésence de deux facteurs dont la forme matérielle diverge mais dont la valeur sémantique est strictement équivalente.

Définition mathématique
Soit $\equiv$l’opérateur d’équivalence sémantique. Une tautologie relie $u$ et $v$ tels que $u \equiv v$ et $u \neq v$ formellement :

$$\mathrm{Taut}(w) = \bigl| \{ (u,v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid u \equiv v \text{ et } u \neq v \text{ formellement} \} \bigr|$$

⁂

29. Tautologie (figure de style) – Formulation Mathématique et application de l’expression mathématique de la tautologie à quelques exemples de la coprésence de deux facteurs dont la forme matérielle diverge mais dont la valeur sémantique est strictement équivalente.

29.1 Définition rhétorique

Elle a deux formes, et chacune deviendra une fonction calculable :

• la forme formelle : le même facteur x se trouve de part et d’autre d’une copule, x · est · x ;
• la forme sémantique : le prédicat n’attribue au sujet que des traits qu’il contient déjà (tout gagnant a tenté sa chance).

Dans les deux cas, l’unité est la proposition entière (sujet, copule ou verbe, prédicat). La tautologie se distingue ainsi du pléonasme (fiche 22), redondance locale dans un groupe de mots (« a free gift »), et de la simple présence de deux synonymes dans un texte.

29.2 Avertissement : la tautologie rhétorique n’est pas la tautologie logique

Le même mot désigne deux notions que tout oppose, sauf une intuition commune : « ne rien dire de plus ». Les confondre conduit à deux erreurs symétriques : croire qu’une figure de style est une loi logique, ou croire qu’une loi logique est une figure de style. Cette section fixe la différence avant toute formule.

a) La tautologie en logique propositionnelle

En logique propositionnelle, une formule φ, construite à partir de variables p, q, … et des connecteurs ¬, ∧, ∨, →, est une tautologie si elle est vraie pour toute valuation, c’est-à-dire pour toute attribution des valeurs 0 et 1 à ses variables. Avec n variables, il y a 2ⁿ valuations ; si v(φ) ∈ {0, 1} est la valeur de φ pour la valuation v, la fonction caractéristique de l’ensemble des tautologies s’écrit :

Taut_log(φ) = ∏_{v ∈ {0, 1}ⁿ} v(φ) = χ_{2ⁿ}( ∑_{v ∈ {0, 1}ⁿ} v(φ) ).

C’est un produit sur toutes les valuations : la tautologie est une propriété universelle de la forme de φ, indépendante de ce que signifient p et q. Le test est décidable par une table de vérité ; le problème de reconnaître une tautologie est coNP-complet (Cook, 1971). Exemples calculés :

formule φ	valuations v ∈ {0, 1}ⁿ	valeurs v(φ)	∑v v(φ)	2n	Tautlog(φ) = χ{2ⁿ}(∑ v(φ))
p ∨ ¬p	(0), (1)	1, 1	2	2	1
p → p	(0), (1)	1, 1	2	2	1
(p ∧ q) → p	(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)	1, 1, 1, 1	4	4	1
p → q	(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)	1, 1, 0, 1	3	4	0

p ∨ ¬p, p → p et (p ∧ q) → p sont des tautologies ; p → q ne l’est pas (la valuation p = 1, q = 0 la rend fausse). Aucune de ces formules ne contient de mot : leur vérité ne dépend que des connecteurs.

b) La tautologie et la validité en logique du premier ordre

En logique du premier ordre, on parle de formule valide si elle est vraie dans toute structure : tout domaine D non vide et toute interprétation des prédicats. Au sens strict, une tautologie du premier ordre est une instance d’une tautologie propositionnelle (∀x P(x) ∨ ¬∀x P(x)) ; les formules valides sont plus nombreuses (∀x (x = x) avec l’égalité, ∀x (P(x) → P(x))). Le théorème de complétude de Gödel (1930) identifie validité et prouvabilité ; mais la validité est indécidable (Church, Turing, 1936) : aucun algorithme ne la reconnaît pour toutes les formules. La quantification porte cette fois sur une infinité de structures.

On peut pourtant montrer, sur des domaines finis, qu’une formule n’est pas valide en exhibant un contre-modèle. Comparons ∀x (G(x) → G(x)) et ∀x (G(x) → J(x)), où G se lit « est gagnant » et J « a joué » :

taille du domaine |D|	interprétations de G et J : (2|D|)2	modèles de ∀x (G(x) → G(x))	modèles de ∀x (G(x) → J(x))	contre-modèles de la seconde
1	4	4	3	1
2	16	16	9	7
3	64	64	27	37

La première formule est vraie dans toutes les interprétations (4, 16, 64) : elle est valide. La seconde n’est vraie que dans 3^|D| interprétations sur 4^|D| ; dès |D| = 1, le contre-modèle G = {a}, J = ∅ la réfute. ∴ « Tous les gagnants ont joué » n’est pas une vérité logique. Elle ne devient vraie qu’en ajoutant un postulat de sens, ∀x (G(x) → J(x)), qui exprime le sens du mot « gagnant » : c’est une vérité analytique, relative à un lexique (Carnap), non une loi de la logique.

c) Ce que mesure la figure de style

La tautologie rhétorique est une propriété d’une occurrence d’énoncé dans un texte w, et non d’une formule. Elle se lit de deux façons : identité matérielle de deux facteurs de part et d’autre d’une copule (forme formelle), ou gain d’information nul d’un prédicat par rapport aux traits de son sujet, relatif à une table finie (forme sémantique). Sa fonction caractéristique est une somme finie sur les énoncés du texte, non un produit sur toutes les interprétations.

	tautologie logique (propositions, premier ordre)	tautologie rhétorique (figure de style)
objet	une formule φ d’un langage formel, indépendante de tout texte	une occurrence d’énoncé dans un mot w, à une place donnée
définition	φ est vraie pour toute valuation (propositions) ou dans toute structure (premier ordre)	une proposition « X est X », ou un prédicat sans trait nouveau par rapport au sujet
quantification	universelle sur les interprétations : ∏v v(φ) ; infinie au premier ordre	existentielle et finie sur les occurrences : ∑énoncés T(e)
ce qui décide	la seule forme logique (connecteurs, quantificateurs) ; le contenu des atomes ne compte pas	l’identité des mots (forme formelle) ou une table de traits (forme sémantique) : le lexique compte
décidabilité	propositions : décidable (tables de vérité, 2n lignes ; problème coNP-complet) ; premier ordre : indécidable (Church, Turing, 1936), semi-décidable (complétude de Gödel, 1930)	linéaire en la longueur de w, une fois les tables fixées
information	contenu nul pour toute interprétation (Wittgenstein, Tractatus, 4.461 ; Bar-Hillel et Carnap, 1952 : cont(φ) = 0)	gain nul relatif à un sujet I(S, Pr) = 0, mais message pragmatique fort (Grice : maxime de quantité violée, implicature)
négation	¬(a = a) est une contradiction, fausse partout	« Love is not love » est un énoncé sensé et informatif
statut	nécessaire, a priori, indépendant du lexique	nécessaire pour la forme formelle, contingent (dépend des tables) pour la forme sémantique

d) Quatre cas qui séparent les deux notions

énoncé	tautologie logique ?	tautologie rhétorique ?	raison
« Un sou est un sou »	oui, si on la lit a = a ou ∀x (S(x) → S(x))	oui (formelle)	les deux coïncident sur la forme X est X
« Il pleut ou il ne pleut pas »	oui : p ∨ ¬p	non	aucune identité X est X, aucun prédicat redondant
« 100 % des gagnants ont tenté leur chance »	non : ∀x (G(x) → J(x)) a des contre-modèles	oui (sémantique)	vrai par le sens de « gagnant », non par la logique
« Love is not love »	sa lecture littérale ¬(a = a) est une contradiction	non	la figure n’est pas la forme logique
« Les gagnants ont acheté leur billet hier »	non	non	proposition informative

La rencontre des deux notions est réelle mais étroite : l’idée de contenu nul. Wittgenstein écrit que la tautologie « ne dit rien » (Tractatus, 4.461) ; Bar-Hillel et Carnap (1952) donnent aux vérités logiques un contenu d’information nul. La figure de style transpose cette idée à un cadre local : I(S, Pr) = 0 mesure l’absence de trait nouveau par rapport au sujet, non par rapport à toutes les interprétations. Et c’est précisément parce que la phrase est vide au premier degré qu’elle est pleine au second : en affirmant « les affaires sont les affaires », le locuteur viole la maxime de quantité de Grice (1975), et l’auditeur infère un message (« en affaires, pas de sentiment »). La tautologie logique ne communique rien ; la tautologie rhétorique communique par son vide apparent.

∴ Trois règles s’imposent dans toute la suite : (1) ne jamais lire une tautologie rhétorique comme une loi logique ; (2) ne jamais compter une loi logique (« il pleut ou il ne pleut pas ») comme une tautologie rhétorique sans qu’elle en ait la forme ; (3) ne jamais conclure de la vérité nécessaire d’une phrase qu’elle est vide de sens pour son auditeur.

Tautologie logique et tautologie rhétorique : deux objets, deux quantifications, deux décidabilités.

29.3 Mécanisme en combinatoire des mots

La formule Taut(w) = |{ (u, v) ∈ Fact(w)² | u ≡ v et u ≠ v }| est une définition en compréhension. Pour la rendre calculable, on pose Sem : L → S vers des classes de signification, Eq(u, v) = 1 si u = v, SemEq(u, v) = χ_{0}(|Sem(u) − Sem(v)|), et T(u, v) = (1 − Eq(u, v)) · SemEq(u, v). Alors :

Taut(w) = ∑_{(u, v) ∈ Fact(w)²} (1 − Eq(u, v)) · SemEq(u, v) = ∑_{(u, v)} χ_{0}(|Sem(u) − Sem(v)|) · χ_{ℕ ∖ {0}}(|u − v|),

TautInt(w) = ∑_{(u, v)} ρ(u, v) · χ_{0}(|Sem(u) − Sem(v)|), ρ ∈ [0, 1].

Telle quelle, cette formule mesure la synonymie dans un texte, non la tautologie. Six précisions sont nécessaires : (1) la condition u ≠ v exclut la forme la plus typique de la figure : dans « Love is love », les deux facteurs sont identiques, et la définition les écarte ; la forme formelle exige au contraire u = v ; (2) deux synonymes présents n’importe où dans le texte (monter, s’élever) ne forment pas une tautologie : il faut une proposition qui attribue à un sujet ce qu’il contient déjà ; l’unité est l’énoncé ; (3) la somme sur Fact(w)² compte toutes les paires, à n’importe quelle distance ; (4) |u − v| et |Sem(u) − Sem(v)| sur des codes numériques n’ont de sens que par leur nullité ; (5) l’égalité de classe de sens est trop forte pour la forme sémantique : un prédicat peut ne reprendre qu’une partie des traits du sujet (« a joué » ⊂ « gagnant ») ; la condition juste est l’inclusion F(Pr) ⊆ F(S), c’est-à-dire un gain d’information nul ; (6) la redondance ρ, posée à la main, se calcule comme la part des traits du prédicat déjà présents dans le sujet.

29.4 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• copule : χ_Cop(t_c) = 1 si t_c ∈ Cop = {est, sont, is, are} ;
• identité de mots : avec gₗ = t_c−l (l-ième mot à gauche de la copule) et dₗ = t_c+l (l-ième mot à droite), χ_{gₗ}(d_l) = 1 si les deux mots sont identiques ; le produit sur l = 1, …, L compare deux facteurs mot à mot ;
• trait déjà présent : χ_F(S)(f) = 1 si le trait f du prédicat appartient au sujet ;
• gain nul : χ_{0}(I(S, Pr)) = 1 si aucun trait n’est nouveau ;
• « au moins une » : χ_{[1, +∞[} pour compter une fois l’énoncé.

29.5 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les énoncés

On met le texte en minuscules ; ponctuation, apostrophes, traits d’union et le signe % deviennent des espaces ; les signes . ! ? ; coupent w en énoncés e₁, …, e_m.

b) La forme formelle : un facteur répété autour de la copule

F_c,L = χ_Cop(t_c) · ∏_l=1^L χ_{gₗ}(d_l) · Fin(c + L), gₗ = t_c−l, dₗ = t_c+l, Fin(i) = 1 si t_i+1 est une fin d’énoncé ou une copule, L ≤ 3.

On compare le facteur t_c−L … t_c−1 au facteur t_c+1 … t_c+L, mot à mot et en miroir de longueur égale. « Les affaires sont les affaires » demande L = 2. La condition de fin exige que le facteur répété clôture la proposition (ou précède une nouvelle copule, comme dans le vers de Stein) : « le président est le président du club » n’est pas une tautologie. Lemme 1 (forme formelle et définition). Pour toute tautologie formelle, les deux facteurs sont égaux : Eq = 1, donc (1 − Eq) · SemEq = 0. ∴ la définition est nulle sur toute la forme formelle.

La forme formelle x · c · x : comparaison en miroir de part et d’autre de la copule, et condition de fin.

c) La forme sémantique : le gain d’information

I(S, Pr) = ∑_{f ∈ F(Pr)} (1 − χ_F(S)(f)) = |F(Pr) ∖ F(S)|, ρ(S, Pr) = |F(Pr) ∩ F(S)| / |F(Pr)|, tautologie sémantique si I = 0.

Les tables de traits sont données avec la fiche :

sujet S	F(S)
gagnant	a joué, a gagné
célibataire	homme, non marié
veuve	femme, mari décédé

prédicat Pr (suite de mots)	F(Pr)
tenté leur chance	a joué
acheté leur billet hier	a joué, date : hier
ne sont pas mariés	non marié
ont perdu leur mari	mari décédé
est riche	riche

Lemme 2 (gain nul et redondance). Si F(Pr) ≠ ∅, I = 0 si et seulement si ρ = 1 ; donc χ_{0}(I) = χ_{1}(ρ). Lemme 3 (inclusion, non égalité). I = 0 équivaut à F(Pr) ⊆ F(S) ; l’égalité Sem(u) = Sem(v) de la définition est le cas particulier F(Pr) = F(S). Le slogan « 100 % des gagnants ont tenté leur chance » a F(Pr) = {a joué} ⊊ F(gagnant) = {a joué, a gagné} : l’égalité de classe le manquerait.

La forme sémantique : traits du prédicat contenus dans les traits du sujet (I = 0) ou non (I ≥ 1).

d) L’unité : l’énoncé

T(e) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{c ∈ e} ∑_L F_c,L + ∑_{(S, Pr) ⊂ e} χ_{0}(I(S, Pr)) ), Taut(w) = ∑_j=1^m T(e_j).

Lemme 4 (une tautologie par énoncé). Un énoncé à plusieurs copules tautologiques (« A rose is a rose is a rose ») est compté une fois ; compter par copule donnerait 2. ∴ Taut(w) ≤ m, le nombre d’énoncés. La partition des énoncés est 1 = χ_{0}(nombre de copules et de couples analysés) + (proposition informative) + T(e) : énoncé sans proposition analysable, proposition informative, tautologie.

L’arbre de décision : copule et facteurs en miroir, sinon sujet et prédicat de la table, gain d’information.

29.6 Définition mathématique

Taut(w) = ∑_j=1^m χ_{[1, +∞[}( ∑_{c ∈ eⱼ} ∑_L=1³ χ_Cop(t_c) ∏_l=1^L χ_{gₗ}(d_l) Fin(c + L) + ∑_{(S, Pr) ⊂ eⱼ} χ_{0}( ∑_{f ∈ F(Pr)} (1 − χ_F(S)(f)) ) ),

ρ̄(w) = moyenne des redondances ρ des propositions analysées (ρ = 1 pour une tautologie formelle).

La somme sur les paires de facteurs différents et synonymes est remplacée par une somme sur les énoncés ; la condition 1 − Eq est remplacée, pour la forme formelle, par l’identité en miroir autour d’une copule ; l’égalité de classe de sens est remplacée, pour la forme sémantique, par l’inclusion des traits du prédicat dans ceux du sujet.

La définition complète : forme formelle, forme sémantique, unité d’énoncé.

29.7 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; découper en mots et en énoncés.
2. Pour chaque copule, comparer en miroir les facteurs de longueur L = 1, 2, 3 qui l’entourent ; vérifier que le facteur de droite clôt la proposition.
3. Sinon, chercher un sujet de la table et un prédicat de la table qui clôt l’énoncé ; calculer I = |F(Pr) ∖ F(S)| et ρ.
4. Compter l’énoncé une fois s’il contient au moins une forme tautologique.
5. Additionner : Taut(w) ; calculer la redondance moyenne ρ̄(w).

29.8 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par énoncé : les copules tautologiques et leur facteur x, la condition de fin, le sujet et le prédicat avec leurs traits, le gain d’information I, la redondance ρ et la décision T.

Exemple 1 – « Love is love » : la forme formelle sur un mot

Texte : « Love is love. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	is (t2)	« love », L = 1	oui	—	—	—	1	1

Étape 1.1. Mots et positions : t₁ = love, t₂ = is, t₃ = love, t₄ = . ; n = 4 ; 1 énoncé(s).

Étape 1.2 (énoncé e₁). copule t₂ = is ; t₁ = « love » = t₃, L = 1, facteur de droite suivi d’une fin ou d’une copule : ∏_l=1¹ χ_{gₗ}(d_l) = 1 ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 1 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 1.

Étape 1.3. Taut(w) = ∑ T = 1 ; redondance moyenne des propositions analysées ρ̄ = 1.

Définition à la lettre (paires de formes différentes de même sens) : 0.

∴ le même facteur « love » est de part et d’autre de la copule « is », et le facteur de droite termine l’énoncé : tautologie formelle, L = 1. La définition, qui exige u ≠ v, ne la compte pas : l’identité matérielle est justement le cœur de cette forme.

Exemple 2 – « Les affaires sont les affaires » : la forme formelle sur deux mots

Texte : « Les affaires sont les affaires. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	sont (t3)	« les affaires », L = 2	oui	—	—	—	1	1

Étape 2.1. Mots et positions : t₁ = les, t₂ = affaires, t₃ = sont, t₄ = les, t₅ = affaires, t₆ = . ; n = 6 ; 1 énoncé(s).

Étape 2.2 (énoncé e₁). copule t₃ = sont ; t₁ … t₂ = « les affaires » = t₄ … t₅, L = 2, facteur de droite suivi d’une fin ou d’une copule : ∏_l=1² χ_{gₗ}(d_l) = 1 ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 1 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 1.

Étape 2.3. Taut(w) = ∑ T = 1 ; redondance moyenne des propositions analysées ρ̄ = 1.

∴ le facteur x = « les affaires » (deux mots) entoure la copule « sont » (Mirbeau, 1903). Avec une comparaison mot à mot limitée à L = 1, la tautologie serait perdue : « affaires » ≠ « les ».

Exemple 3 – « Un sou est un sou » : un proverbe tautologique

Texte : « Un sou est un sou. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	est (t3)	« un sou », L = 2	oui	—	—	—	1	1

Étape 3.1. Mots et positions : t₁ = un, t₂ = sou, t₃ = est, t₄ = un, t₅ = sou, t₆ = . ; n = 6 ; 1 énoncé(s).

Étape 3.2 (énoncé e₁). copule t₃ = est ; t₁ … t₂ = « un sou » = t₄ … t₅, L = 2, facteur de droite suivi d’une fin ou d’une copule : ∏_l=1² χ_{gₗ}(d_l) = 1 ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 1 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 1.

Étape 3.3. Taut(w) = ∑ T = 1 ; redondance moyenne des propositions analysées ρ̄ = 1.

∴ x = « un sou », L = 2 : tautologie formelle. Logiquement, la phrase ne dit rien ; rhétoriquement, elle affirme qu’aucune somme n’est négligeable.

Exemple 4 – « 100 % des gagnants ont tenté leur chance » : la forme sémantique

Texte : « 100 % des gagnants ont tenté leur chance. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	—	—	—	gagnant, {a joué, a gagné}	« tenté leur chance », {a joué}	0	1	1

Étape 4.1. Mots et positions : t₁ = 100, t₂ = des, t₃ = gagnants, t₄ = ont, t₅ = tenté, t₆ = leur, t₇ = chance, t₈ = . ; n = 8 ; 1 énoncé(s).

Étape 4.2 (énoncé e₁). aucune copule : pas de forme formelle ; sujet « gagnant », F(S) = {a joué, a gagné} ; prédicat « tenté leur chance », F(Pr) = {a joué} ; I = ∑_{f ∈ F(Pr)} (1 − χ_F(S)(f)) = 0, ρ = 1.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 1 sémantique(s) ) = 1.

Étape 4.3. Taut(w) = ∑ T = 1 ; redondance moyenne des propositions analysées ρ̄ = 1.

∴ F(prédicat) = {a joué} ⊆ F(gagnant) = {a joué, a gagné} : le prédicat n’ajoute aucun trait au sujet, I = 0, ρ = 1. Tautologie sémantique (slogan de la Française des jeux). La phrase n’est pas une tautologie logique : elle n’est vraie que par le sens de « gagnant ».

Exemple 5 – « Les célibataires ne sont pas mariés » : la vérité par le sens

Texte : « Les célibataires ne sont pas mariés. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	—	—	—	célibataire, {homme, non marié}	« ne sont pas mariés », {non marié}	0	1	1

Étape 5.1. Mots et positions : t₁ = les, t₂ = célibataires, t₃ = ne, t₄ = sont, t₅ = pas, t₆ = mariés, t₇ = . ; n = 7 ; 1 énoncé(s).

Étape 5.2 (énoncé e₁). copule t₄ = sont : les facteurs qui l’entourent diffèrent, ou le facteur de droite continue ; sujet « célibataire », F(S) = {homme, non marié} ; prédicat « ne sont pas mariés », F(Pr) = {non marié} ; I = ∑_{f ∈ F(Pr)} (1 − χ_F(S)(f)) = 0, ρ = 1.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 1 sémantique(s) ) = 1.

Étape 5.3. Taut(w) = ∑ T = 1 ; redondance moyenne des propositions analysées ρ̄ = 1.

∴ F(ne sont pas mariés) = {non marié} ⊆ F(célibataire) : I = 0. C’est l’exemple classique de l’énoncé analytique (vrai par le sens des mots), qui n’est pas une loi de la logique.

Exemple 6 – « Les gagnants ont acheté leur billet hier » : un trait nouveau

Texte : « Les gagnants ont acheté leur billet hier. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	—	—	—	gagnant, {a joué, a gagné}	« acheté leur billet hier », {a joué, date : hier}	1	1/2	0

Étape 6.1. Mots et positions : t₁ = les, t₂ = gagnants, t₃ = ont, t₄ = acheté, t₅ = leur, t₆ = billet, t₇ = hier, t₈ = . ; n = 8 ; 1 énoncé(s).

Étape 6.2 (énoncé e₁). aucune copule : pas de forme formelle ; sujet « gagnant », F(S) = {a joué, a gagné} ; prédicat « acheté leur billet hier », F(Pr) = {a joué, date : hier} ; I = ∑_{f ∈ F(Pr)} (1 − χ_F(S)(f)) = 1, ρ = 1/2.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 0.

Étape 6.3. Taut(w) = ∑ T = 0 ; redondance moyenne des propositions analysées ρ̄ = 1/2.

Avec le seuil ρ ≥ 1/2 : 1.

∴ F(Pr) ∖ F(S) = {date : hier} : I = 1, ρ = 1/2. Un seul trait nouveau suffit à faire de la proposition une information.

Exemple 7 – « Love is not love » : l’identité niée

Texte : « Love is not love. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	—	—	—	—	—	—	—	0

Étape 7.1. Mots et positions : t₁ = love, t₂ = is, t₃ = not, t₄ = love, t₅ = . ; n = 5 ; 1 énoncé(s).

Étape 7.2 (énoncé e₁). copule t₂ = is : les facteurs qui l’entourent diffèrent, ou le facteur de droite continue ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 0.

Étape 7.3. Taut(w) = ∑ T = 0.

∴ la négation sépare la copule du facteur répété : le facteur de droite « not love » diffère du facteur de gauche « love ». Ce n’est pas une tautologie ; logiquement, a ≠ a serait même une contradiction, alors que le vers de Shakespeare (sonnet 116, « Love is not love / Which alters when it alteration finds ») est parfaitement sensé.

Exemple 8 – « Le prix monte, puis s’élève encore » : deux synonymes, aucune proposition d’identité

Texte : « Le prix monte, puis s’élève encore. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	—	—	—	—	—	—	—	0

Étape 8.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = prix, t₃ = monte, t₄ = puis, t₅ = s, t₆ = élève, t₇ = encore, t₈ = . ; n = 8 ; 1 énoncé(s).

Étape 8.2 (énoncé e₁). aucune copule : pas de forme formelle ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 0.

Étape 8.3. Taut(w) = ∑ T = 0.

Définition à la lettre : 1.

∴ « monte » et « s’élève » ont la même classe de sens (17 dans la définition) : la définition compte la paire. Mais aucune proposition n’attribue au sujet ce qu’il contient déjà : il n’y a ni copule entre deux facteurs identiques, ni prédicat sans gain d’information. Deux synonymes dans un texte ne font pas une tautologie.

Exemple 9 – « Il pleut ou il ne pleut pas » : une tautologie logique, non une figure d’identité

Texte : « Il pleut ou il ne pleut pas. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	—	—	—	—	—	—	—	0

Étape 9.1. Mots et positions : t₁ = il, t₂ = pleut, t₃ = ou, t₄ = il, t₅ = ne, t₆ = pleut, t₇ = pas, t₈ = . ; n = 8 ; 1 énoncé(s).

Étape 9.2 (énoncé e₁). aucune copule : pas de forme formelle ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 0.

Étape 9.3. Taut(w) = ∑ T = 0.

∴ la phrase a la forme p ∨ ¬p, vraie pour toute valuation : c’est une tautologie au sens de la logique propositionnelle. Elle n’a pourtant ni copule entre deux facteurs identiques, ni sujet dont le prédicat répète les traits : ce n’est pas la figure « X est X » de cette fiche (la tradition la range parmi les truismes ou lapalissades). L’avertissement 29.2 développe cette différence.

Exemple 10 – « Le président est le président du club » : le facteur répété continue

Texte : « Le président est le président du club. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	—	—	—	—	—	—	—	0

Étape 10.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = président, t₃ = est, t₄ = le, t₅ = président, t₆ = du, t₇ = club, t₈ = . ; n = 8 ; 1 énoncé(s).

Étape 10.2 (énoncé e₁). copule t₃ = est : les facteurs qui l’entourent diffèrent, ou le facteur de droite continue ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 0.

Étape 10.3. Taut(w) = ∑ T = 0.

Sans condition de fin : 1.

∴ « le président » est de part et d’autre de « est », mais le facteur de droite se poursuit (« du club ») : le prédicat apporte une information (de quel président il s’agit). La condition de fin écarte ce cas.

Exemple 11 – Faux positif assumé : l’homonymie

Texte : « Le mot rose est rose. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	est (t4)	« rose », L = 1	oui	—	—	—	1	1

Étape 11.1. Mots et positions : t₁ = le, t₂ = mot, t₃ = rose, t₄ = est, t₅ = rose, t₆ = . ; n = 6 ; 1 énoncé(s).

Étape 11.2 (énoncé e₁). copule t₄ = est ; t₃ = « rose » = t₅, L = 1, facteur de droite suivi d’une fin ou d’une copule : ∏_l=1¹ χ_{gₗ}(d_l) = 1 ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 1 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 1.

Étape 11.3. Taut(w) = ∑ T = 1 ; redondance moyenne des propositions analysées ρ̄ = 1.

∴ « rose » est de part et d’autre de « est » et termine l’énoncé : le calcul compte une tautologie formelle. Mais le premier « rose » est le nom (le mot, ou la fleur), le second l’adjectif de couleur : l’énoncé est informatif. L’identité des facteurs ne garantit pas l’identité du sens.

Exemple 12 – Texte complet : trois tautologies, dont une à deux copules

Texte : « A rose is a rose is a rose. Les gagnants ont acheté leur billet hier. Un sou est un sou. Le président est le président du club. Les célibataires ne sont pas mariés. Love is not love. »

énoncé	copule c (position)	facteur x, L	fin du facteur droit	sujet S, F(S)	prédicat Pr, F(Pr)	I = |F(Pr) ∖ F(S)|	ρ	T
e1	is (t3) ; is (t6)	« a rose », L = 2 ; « a rose », L = 2	oui ; oui	—	—	—	1	1
e2	—	—	—	gagnant, {a joué, a gagné}	« acheté leur billet hier », {a joué, date : hier}	1	1/2	0
e3	est (t20)	« un sou », L = 2	oui	—	—	—	1	1
e4	—	—	—	—	—	—	—	0
e5	—	—	—	célibataire, {homme, non marié}	« ne sont pas mariés », {non marié}	0	1	1
e6	—	—	—	—	—	—	—	0

Étape 12.1. Mots et positions : t₁ = a, t₂ = rose, t₃ = is, t₄ = a, t₅ = rose, t₆ = is, t₇ = a, t₈ = rose, t₉ = ., t₁₀ = les, t₁₁ = gagnants, t₁₂ = ont, t₁₃ = acheté, t₁₄ = leur, t₁₅ = billet, t₁₆ = hier, t₁₇ = ., t₁₈ = un, t₁₉ = sou, t₂₀ = est, t₂₁ = un, t₂₂ = sou, t₂₃ = ., t₂₄ = le, t₂₅ = président, t₂₆ = est, t₂₇ = le, t₂₈ = président, t₂₉ = du, t₃₀ = club, t₃₁ = ., t₃₂ = les, t₃₃ = célibataires, t₃₄ = ne, t₃₅ = sont, t₃₆ = pas, t₃₇ = mariés, t₃₈ = ., t₃₉ = love, t₄₀ = is, t₄₁ = not, t₄₂ = love, t₄₃ = . ; n = 43 ; 6 énoncé(s).

Étape 12.2 (énoncé e₁). copule t₃ = is ; t₁ … t₂ = « a rose » = t₄ … t₅, L = 2, facteur de droite suivi d’une fin ou d’une copule : ∏_l=1² χ_{gₗ}(d_l) = 1 ; copule t₆ = is ; t₄ … t₅ = « a rose » = t₇ … t₈, L = 2, facteur de droite suivi d’une fin ou d’une copule : ∏_l=1² χ_{gₗ}(d_l) = 1 ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₁) = χ_{[1, +∞[}( 2 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 1.

Étape 12.2 (énoncé e₂). aucune copule : pas de forme formelle ; sujet « gagnant », F(S) = {a joué, a gagné} ; prédicat « acheté leur billet hier », F(Pr) = {a joué, date : hier} ; I = ∑_{f ∈ F(Pr)} (1 − χ_F(S)(f)) = 1, ρ = 1/2.

T(e₂) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 0.

Étape 12.2 (énoncé e₃). copule t₂₀ = est ; t₁₈ … t₁₉ = « un sou » = t₂₁ … t₂₂, L = 2, facteur de droite suivi d’une fin ou d’une copule : ∏_l=1² χ_{gₗ}(d_l) = 1 ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₃) = χ_{[1, +∞[}( 1 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 1.

Étape 12.2 (énoncé e₄). copule t₂₆ = est : les facteurs qui l’entourent diffèrent, ou le facteur de droite continue ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₄) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 0.

Étape 12.2 (énoncé e₅). copule t₃₅ = sont : les facteurs qui l’entourent diffèrent, ou le facteur de droite continue ; sujet « célibataire », F(S) = {homme, non marié} ; prédicat « ne sont pas mariés », F(Pr) = {non marié} ; I = ∑_{f ∈ F(Pr)} (1 − χ_F(S)(f)) = 0, ρ = 1.

T(e₅) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 1 sémantique(s) ) = 1.

Étape 12.2 (énoncé e₆). copule t₄₀ = is : les facteurs qui l’entourent diffèrent, ou le facteur de droite continue ; aucun couple (sujet, prédicat) de la table de traits.

T(e₆) = χ_{[1, +∞[}( 0 formelle(s) + 0 sémantique(s) ) = 0.

Étape 12.3. Taut(w) = ∑ T = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3 ; redondance moyenne des propositions analysées ρ̄ = 7/8.

Une tautologie par copule : 4 ; définition à la lettre : 0.

∴ Taut(w) = 3 : le vers de Gertrude Stein (Sacred Emily, 1913), « un sou est un sou », « les célibataires ne sont pas mariés ». Le vers de Stein contient deux copules tautologiques mais forme un seul énoncé : compté une fois.

Exemple 12 : six énoncés, trois tautologies, dont une à deux copules.

29.9 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les douze textes des exemples 1 à 12, par l’écart entre Taut calculé et Taut attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3 (l’exemple 11 n’est pas une tautologie).

version	Taut total	erreurs ∑ |Taut − attendu| (sur 12 textes)	textes mal comptés
à la lettre : paires (u, v) de formes différentes et de même classe de sens	1	9	7 textes sur 12
une tautologie par copule (et non par énoncé)	10	2	ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (4 au lieu de 3)
forme formelle sans condition de fin du facteur de droite	11	3	ex. 10 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (4 au lieu de 3)
forme formelle seule (sans forme sémantique)	6	4	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (2 au lieu de 3)
forme sémantique avec seuil ρ ≥ 1/2	11	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (4 au lieu de 3)
retenue	9	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

La définition à la lettre ne trouve aucune tautologie des exemples et compte la paire de synonymes de l’exemple 8. Compter par copule compte deux fois le vers de Stein. Sans condition de fin, « le président est le président du club » devient une tautologie. La forme formelle seule perd le slogan et les célibataires. Le seuil ρ ≥ 1/2 prend la proposition informative de l’exemple 6. La version retenue ne garde qu’une erreur, l’homonymie de l’exemple 11.

Erreurs des versions : identité en miroir, condition de fin, forme sémantique et unité d’énoncé sont toutes nécessaires.

Deux paramètres sont à fixer. La longueur maximale L du facteur comparé :

L (longueur maximale du facteur x)	erreurs ∑ |Taut − attendu|	textes mal comptés
1	5	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (1 au lieu de 3)
2	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
3	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

L = 1 perd les tautologies à deux mots (les affaires, un sou, a rose) ; à partir de L = 2, le résultat ne change plus ; on retient L = 3 pour couvrir les facteurs de trois mots. Le seuil θ de redondance de la forme sémantique :

θ (tautologie sémantique si ρ ≥ θ)	erreurs ∑ |Taut − attendu|	textes mal comptés
1/3	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (4 au lieu de 3)
1/2	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (1 au lieu de 0) ; ex. 12 (4 au lieu de 3)
2/3	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)
1	1	ex. 11 (1 au lieu de 0)

θ = 1/3 et θ = 1/2 comptent la proposition informative (ρ = 1/2) ; tout θ de ]1/2, 1] donne le même résultat. On retient θ = 1, qui est exactement la condition I = 0 : un seul trait nouveau suffit à faire une information.

Sensibilité à L et à θ.

29.10 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : la forme formelle ne dépend que de l’identité des mots ; une fois les tables fixées, I, ρ, T et Taut découlent nécessairement du calcul ; les lemmes 1 à 4 sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : la forme sémantique dépend d’une table de traits ; « tous les gagnants ont joué » est vrai par le sens du mot, non par la logique (29.2).
• Possible : toute identité en miroir autour d’une copule est une tautologie possible ; l’homonymie peut la rendre informative (exemple 11).

29.11 Justification et limites

La tautologie ne dit rien de plus que ce qu’elle suppose. Dans sa forme formelle, cela se voit dans le mot : la même suite revient de part et d’autre de la copule. Dans sa forme sémantique, le gain d’information nul en donne la mesure exacte. L’effet rhétorique (résignation, évidence affirmée, slogan) naît précisément de ce vide apparent, et c’est ce qui la sépare de la tautologie logique, qui ne communique rien. Le produit (1 − Eq) · SemEq de la définition est ainsi remplacé par deux indicatrices qui couvrent les deux formes : l’identité en miroir pour la forme formelle, l’inclusion des traits pour la forme sémantique.

Trois limites sont assumées. L’identité des mots ne garantit pas l’identité du sens (homonymie, exemple 11). La forme sémantique ne voit que les sujets et prédicats de la table. Enfin, les tautologies logiques sans forme « X est X » (« il pleut ou il ne pleut pas ») ne sont pas comptées : elles relèvent d’une autre notion, que l’avertissement 29.2 sépare de la figure.

Liste des définitions de mécanismes en combinatoire des mots

• Allégorie : Double factorisation (littérale et symbolique) modélisée par un morphisme d’interprétation $\mu$ qui associe chaque facteur littéral de $\mathrm{Fact}(w)$ à un facteur abstrait.
• Allusion : Facteur partageant un bord non trivial (préfixe ou suffixe commun de longueur $\ge 2$) ou inclus dans un facteur externe issu d’un ensemble de référence $R$.
• Antiphrase : Facteur dont la polarité sémantique $\pi(u)$ est mathématiquement inversée par rapport à son contexte, de sorte que le produit de leurs polarités soit négatif.
• Antonomase : Remplacement d’un facteur appartenant à une classe d’équivalence (ex. noms propres $N$) par un facteur d’une autre classe (ex. noms communs $C$) qui le caractérise.
• Aphorisme : Facteur dont la longueur est inférieure ou égale à un petit seuil $k$, et dont la densité sémantique $\delta(u)$ (information/longueur) dépasse un seuil élevé $\theta$.
• Catachrèse : Facteur dont la fonction de domaine sémantique $D(u)$ a une intersection vide avec le domaine attendu par le contexte, ou s’en écarte significativement.
• Ecphonèse : Facteur identifié par une fonction booléenne d’intensité émotionnelle ($\epsilon(u) = 1$) via un marqueur exclamatif ou vocatif.
• Ekphrasis : Facteur de longueur supérieure à $k$ présentant une forte densité descriptive $\delta(u)$ de sous-facteurs sensoriels.
• Épanorthose : Paire de facteurs $(u, v)$ strictement successifs, où $v$ opère comme une correction ou une intensification de $u$.
• Manuscrit trouvé : Facteur contenant une référence renvoyant à un élément d’un ensemble défini de mots fictifs $F$ (pseudobiblia).
• Hyperbole et Adynaton : Facteurs évalués par une fonction de plausibilité $\pi(u)$ ; l’hyperbole se situe sous un seuil faible $\theta$, et l’adynaton est strictement égal à 0.
• Dysphémisme : Remplacement d’un terme neutre par un facteur dont la fonction de valence $v(u)$ est strictement inférieure (plus négative).
• Euphémisme : Substitution d’un facteur direct par un terme atténué dont la valence absolue $|v(u)|$ est strictement inférieure.
• Insinuation : Facteur admettant une seconde fonction d’interprétation implicite $I_2$​ différente de son interprétation littérale $I_1$.
• Ironie verbale : Facteur dont le sens littéral est la stricte négation logique de son sens intentionnel.
• Sarcasme : Combinaison de l’ironie verbale avec une fonction d’évaluation de mépris strictement positive.
• Apophasis : Facteur contenant formellement une négation de mention qui introduit simultanément le contenu nié.
• Litote : Facteur modélisé par l’application successive d’une fonction d’opposition lexicale $Opp$ et d’une fonction de négation $N$.
• Métaphore : Substitution d’un comparé par un comparant via une fonction formelle de transfert analogique $A$.
• Métonymie : Remplacement d’un facteur source par un facteur cible via une relation de contiguïté $Cont$.
• Oxymore : Facteur scindé en deux sous-facteurs adjacents $x$ et $y$ liés par une stricte relation d’opposition $Opp(x) = y$.
• Onomatopée : Facteur dont la valeur générée par une fonction d’iconicité phonétique dépasse un seuil donné.
• Personnification : Concaténation d’un facteur sujet $s$ (non humain) et d’un facteur prédicat $p$ issu d’un ensemble de traits humains $H$.
• Pléonasme : Facteur composite dont les sous-facteurs déclenchent une fonction booléenne de redondance sémantique ($Red(x,y) = 1$.
• Procatalepsis : Facteur séquentiel $u = or$ composé strictement d’une objection anticipée $o$ suivie de sa réfutation $r$.
• Pun (Calembour) : Facteur dont la fonction d’ambiguïté $Amb(u)$ dénombre au moins deux lectures distinctes superposées.
• Antanaclasis : Répétition formelle d’un facteur ($u_1 = u_2$) associée à une disjonction de leurs interprétations sémantiques ($Sem(u_1) \ne Sem(u_2)$.
• Question rhétorique : Facteur interrogatif $q$ où la variable de réponse attendue est vide ou d’avance saturée par le contexte.
• Simile : Structure d’intercalation ($u \text{ Comp } v$ ) reliant deux facteurs issus de domaines sémantiques divergents via un marqueur comparatif.
• Synecdoche : Substitution d’un facteur contrôlée par une relation mathématique d’inclusion $Rel$ (partie-tout ou espèce-genre).
• Tautologie : Paire de facteurs matériellement distincts mais reliés par un opérateur d’équivalence sémantique absolue $\equiv$.

Classement taxonomique de la solidité de l’isomorphisme

Selon le critère explicité dans le document, plus une figure repose sur des propriétés formelles standard (préfixe, suffixe, primitivité, conjugaison, longueur), plus la correspondance est solide ; plus elle nécessite l’intervention de fonctions sémantiques externes, plus elle relève de l’analogie.

• Rang 1 : Correspondances purement formelles et topologiques (Solidité maximale)
  Ces mécanismes reposent exclusivement sur des opérations sur les chaînes de caractères (longueur, concaténation stricte, bordure, décompte syntaxique) sans nécessiter de dictionnaire de sens.
  • Allusion : Repose sur la théorie classique des bords (chevauchements de préfixes/suffixes).
  • Épanorthose : S’appuie sur la stricte adjacence séquentielle de deux facteurs.
  • Aphorisme / Ekphrasis : Reposent principalement sur des bornes mathématiques de longueur de chaîne ($|u| \le k$ ou $\ge k$).
  • Procatalepsis : Modélisée par une pure concaténation séquentielle $u = or$.
  • Simile : Défini par une structure lexicale encadrant un pivot défini ($u \text{ Comp } v$).
• Rang 2 : Correspondances logico-algébriques (Solidité forte)
  Ces mécanismes requièrent des relations logiques d’équivalence, d’identité ou d’opposition, appliquées sur la structure des mots, mais impliquent des étiquettes de catégories définies.
  • Antanaclasis : Allie l’égalité stricte de chaînes ($u_1 = u_2$) à l’inégalité de leurs pointeurs sémantiques.
  • Oxymore : Repose sur la proximité immédiate de deux chaînes liées par un opérateur d’antonymie inverse.
  • Tautologie / Litote : Utilisent des opérateurs logiques standards d’équivalence ($\equiv$) et de négation ($N$).
  • Antonomase : Substitution définie par des ensembles finis disjoints (classes d’équivalence).
  • Pun (Calembour) : Modélisé par la stricte cardinalité des chemins de lecture d’une chaîne unique ($Amb(u) \ge 2$).
• Rang 3 : Correspondances sémantico-dépendantes (Solidité modérée / Analogique)
  Ces figures exigent l’injection massive de bases de données externes, de dictionnaires de sens ou de fonctions de classification pour que l’opérateur fonctionne.
  • Allégorie / Métaphore / Métonymie / Synecdoche : Dépendent entièrement de l’existence préalable de morphismes d’interprétation, de relations d’analogie, de contiguïté ou d’inclusion ($\mu$, $A$, $Cont$, $Rel$).
  • Ironie / Sarcasme / Apophasis : Nécessitent des fonctions de calcul d’intention, de dénégation ou de variables de mépris.
  • Catachrèse / Insinuation : Requièrent la topologie de domaines sémantiques subjectifs ou de sens implicites ($I_1 \ne I_2$​).
  • Personnification / Pléonasme : Exigent un dictionnaire de prédicats humains ou une fonction mesurant l’intersection sémantique.
  • Dysphémisme / Euphémisme / Antiphrase : Reposent sur un étiquetage continu (valeur $\mathbb{R}$R) ou discret de polarité/valence.
• Rang 4 : Correspondances pragmatiques et abstraites (Similitude superficielle)
  Ces mécanismes sortent du cadre de la linguistique formelle pour évaluer des concepts liés à la réception humaine, à la fiction ou à la psychologie, rendant leur automatisation mathématique très artificielle.
  • Hyperbole / Adynaton : Reposent sur une fonction de « plausibilité » ($\pi$), qui relève de la physique ou du sens commun, non de l’algèbre des mots.
  • Manuscrit trouvé : Évalue le statut de fiction ou de réalité d’une entité extratextuelle.
  • Ecphonèse : S’appuie sur une variable d’intensité émotionnelle difficilement quantifiable mathématiquement en dehors de la ponctuation pure.
  • Question rhétorique : Dépend du concept pragmatique de l’absence d’attente chez le locuteur.

D’un ensemble de tropes stylistiques reformulés comme opérateurs formels de la combinatoire des mots, il devient possible de dégager une synthèse globale et une interprétation unificatrice de l’ensemble du système proposé.

Synthèse globale

L’idée centrale du glossaire est que les figures stylistiques classiques ne sont plus considérées comme des phénomènes exclusivement rhétoriques ou littéraires. Elles sont reconstruites comme des opérations agissant sur des facteurs d’un mot, d’une phrase ou d’une structure symbolique. Cette démarche est explicitement présentée comme une tentative de construire une « taxonomie algébrique de l’expressivité linguistique » fondée sur la combinatoire des mots.

L’ouvrage montre ainsi que des mécanismes apparemment très différents, tels que l’allégorie, l’antiphrase, l’oxymore, le dysphémisme, la métaphore, la métonymie ou encore la question rhétorique, peuvent être ramenés à un nombre limité d’opérations combinatoires fondamentales.

Considérés ensemble, ces mécanismes se ramènent à quelques archétypes combinatoires fondamentaux :

Mécanisme rhétorique	Archétype combinatoire
Allégorie	Morphisme d’interprétation
Allusion	Appariement par chevauchement
Antiphrase	Inversion de polarité
Antonomase	Substitution typologique
Aphorisme	Maximisation de densité
Catachrèse	Extension de domaine
Ecphonèse	Marquage d’intensité
Ekphrasis	Accumulation descriptive
Épanorthose	Correction récursive
Hyperbole	Dépassement de seuil
Dysphémisme	Seuil de valence négative
Euphémisme	Atténuation de valence
Insinuation	Double interprétation
Ironie	Renversement de sens
Litote	Négation de l’opposé
Métaphore	Transfert analogique
Métonymie	Substitution par contiguïté
Oxymore	Juxtaposition contradictoire
Onomatopée	Correspondance iconique
Personnification	Attribution de prédicat
Pléonasme	Redondance
Procatalepsis	Anticipation-réfutation
Calembour	Ambiguïté multiple
Antanaclase	Répétition avec changement de sens
Question rhétorique	Interrogation sans résolution
Comparaison	Mise en correspondance
Synecdoque	Inclusion partie-tout
Tautologie	Équivalence répétée
Doxa	Classification d’opinion
Dramatisme	Attribution de rôles
Dysphémisme	Filtrage par valence

Cette classification suggère que la rhétorique peut être vue comme une théorie des transformations opérant sur des objets discrets exactement comme l’algèbre agit sur des structures mathématiques.

Interprétation unificatrice

L’interprétation unificatrice du document consiste à considérer chaque figure stylistique comme une application particulière d’une fonction agissant sur l’ensemble des facteurs :$$\mathrm{Fact}(w).$$

Le rôle de la figure n’est alors plus défini par son effet esthétique mais par l’opération qu’elle réalise.

Ainsi :

• l’allégorie applique un morphisme ;
• la métaphore effectue un transfert ;
• la métonymie applique une relation de contiguïté ;
• la synecdoque applique une relation d’inclusion ;
• l’oxymore applique une relation d’opposition ;
• le pléonasme applique une relation d’équivalence ;
• le calembour applique une pluralité d’interprétations ;
• le dysphémisme applique un filtrage de valence ;
• le dramatisme applique une attribution de rôles ;
• la doxa applique une classification fondée sur l’opinion collective.

Sous cette perspective, les figures de style deviennent des opérateurs formels :$$T:\mathrm{Fact}(w)\rightarrow\mathcal{S}$$

où désigne un espace de structures interprétatives, sémantiques, logiques ou relationnelles.

La diversité apparente du discours se réduit alors à quelques familles d’opérations fondamentales :

$$\{ \text{classifier}, \text{substituer}, \text{attribuer}, \text{ordonner}, \text{opposer}, \text{filtrer}, \text{interpréter}, \text{répéter}, \text{intensifier}, \text{transformer} \}.$$

Conclusion générale

Dans la perspective développée, la rhétorique cesse d’être uniquement une théorie de l’ornement du langage pour devenir une algèbre des opérations appliquées aux facteurs d’un mot ou d’un texte.

L’unité profonde des mécanismes étudiés réside donc dans le fait qu’ils peuvent tous être décrits comme des transformations combinatoires de structures discrètes. Les tropes ne constituent plus une collection hétérogène de procédés littéraires, mais les manifestations particulières d’un petit nombre d’archétypes opératoires fondamentaux gouvernant l’organisation, la transformation et l’interprétation des facteurs linguistiques.

Liste récapitulative des mécanismes

Chaque figure est associée à sa mesure principale et à son seuil. Les trois tableaux suivent la numérotation du glossaire.

N°	Figure	Mesure principale	Seuil (origine)
1	Allégorie	figures distinctes D(w), couverture κ(w)	D ≥ 2 (logique)
2	Allusion	part reprise τ = ℓ / |r|	0 < τ < 1 (logique)
3	Antiphrase	produit Π(s) · Π(c)	< 0 (logique)
4	Antonomase	périphrases du dictionnaire + article indéfini devant nom propre	≥ 1 (logique)
5	Aphorisme	longueur |u|, densité lexicale δ(u)	|u| ≤ 10, δ ≥ 0,5 (référence)
6	Apostrophe	marque vocative suivie d’un destinataire absent	≥ 1, fenêtre de 2 tokens (convention)
7	Catachrèse	écart de domaine e(g), figement f(g)	e = f = 1 (logique)
8	Ecphonèse	énoncés exclamatifs, intensité I(e)	≥ 1 marque (logique)
9	Ekphrasis	longueur, densité visuelle δvis	|u| ≥ 20 (référence), δ ≥ 0,25 (convention)
10	Épanorthose	marque de correction, Δ = rang(v) − rang(u)	Δ ≠ 0 (logique)

N°	Figure	Mesure principale	Seuil (origine)
11	Manuscrit trouvé	revendications de source fictive, profondeur p	≥ 1 (logique)
12	Hyperbole, adynaton	rapport ρ = Q / R, borne M	ρ ≥ 10 (référence) ; Q > M
13	Dysphémisme	écart de dureté Δh	Δh ≥ 1 (logique)
14	Euphémisme, meiosis	écart de dureté Δh, atténuation A	Δh ≤ −1 ; A ≥ 3 (convention)
15	Insinuation	charges c(I1), c(I2)	c(I1) = 0, c(I2) ≠ 0 (logique)
16	Ironie, sarcasme, apophasis	inversion de signe ; cible et mépris ; négation de mention	logiques
17	Litote	(−1) × π(x)	π(x) = −1 (logique)
18	Métaphore	domaines disjoints, sans pivot ; force A	≥ 1 trait commun (logique)
19	Métonymie	incompatibilité réparée par contiguïté	logique
20	Oxymore	même échelle, produit des signes	< 0, adjacence (logique)

N°	Figure	Mesure principale	Seuil (origine)
21	Onomatopée	score d’iconicité Ico(u)	θ = 0,75 (référence : hasard et séparation)
22	Personnification	prédicat humain sur sujet inanimé	logique
23	Pléonasme	taux de redondance r	r = 1 (logique)
24	Procatalepsis	structure o · r ; β, q	marque et pivot (logique)
25	Calembour	double activation, équilibre Éq	s1, s2 ≥ 1 (logique)
26	Antanaclase	multiplicité et sens distincts S(u)	m ≥ 2, S ≥ 2 (logique)
27	Question rhétorique	négation ou formule figée, sans réponse	logique
28	Comparaison	pivot comparatif, domaines disjoints	logique
29	Synecdoque	incompatibilité réparée par inclusion	logique
30	Tautologie	X est X ; gain d’information I	I = 0 (logique)

Classement de la solidité des correspondances

Critère de classement

Plus une figure se mesure avec les seules propriétés du mot (positions, répétitions, ponctuation) et des listes grammaticales fermées, plus la correspondance est solide ; plus elle exige des tables de sens ou des valeurs tirées de la situation, plus elle garde une part d’interprétation. Toutes, cependant, sont calculables une fois leurs tables fixées. Le classement suit donc la nature des données nécessaires.

Rang	Données nécessaires	Figures	Nombre
1	le mot seul et des listes grammaticales fermées (ponctuation, marques, copules)	Ecphonèse ; Procatalepsis ; Apophasis ; Question rhétorique ; Tautologie (forme formelle)	5
2	listes fermées et une ressource de référence (corpus, catalogue, classes grammaticales, échelle, profil sonore)	Allusion ; Antonomase (forme inverse) ; Aphorisme ; Apostrophe ; Épanorthose ; Manuscrit trouvé ; Litote ; Oxymore ; Onomatopée	9
3	une ou plusieurs tables de sens (domaines, traits, polarités, sens)	Allégorie ; Antiphrase ; Antonomase (forme directe) ; Catachrèse ; Ekphrasis ; Dysphémisme ; Euphémisme ; Métaphore ; Métonymie ; Personnification ; Pléonasme ; Calembour ; Antanaclase ; Comparaison ; Synecdoque	15
4	des valeurs tirées de la situation (grandeur réelle, lecture implicite, intention)	Hyperbole et adynaton ; Insinuation ; Ironie ; Sarcasme	4

L’antonomase a deux formes de solidité différente et figure donc à deux rangs : la forme inverse (article indéfini devant un nom propre) au rang 2, la forme directe (périphrase du dictionnaire) au rang 3. La tautologie est placée au rang 1 par sa forme formelle ; sa forme sémantique, qui exige une table de traits, relèverait du rang 3 et n’est pas comptée à part. Le total est de 33 mesures pour 30 figures : l’entrée 16 réunit trois figures (ironie et sarcasme au rang 4, apophasis au rang 1), et l’antonomase apparaît à deux rangs.

Nombre de mesures par rang de solidité.

Origine des seuils des trente figures : logiques, de référence ou conventionnels.

Conclusion

Les trente figures de ce glossaire, d’Allégorie à Tautologie, se laissent toutes traduire en mesures calculables sur des mots. Le prix de cette traduction est clairement identifié : chaque fois qu’une figure dépend du sens, une table finie fixe ce sens (une interprétation, une polarité, un domaine, un profil sonore), et chaque fois qu’une décision dépend d’un seuil, ce seuil est un nombre écrit dont l’origine est donnée. Une fois ces données posées, aucune mesure ne demande autre chose que des comptages, des additions, des produits, des divisions et des comparaisons, c’est-à-dire des sommes finies de valeurs de fonctions caractéristiques.

Le glossaire fait apparaître quelques opérations élémentaires qui reviennent sous des figures très différentes. Le produit des signes rend compte de l’antiphrase, de l’ironie, de la litote et de l’oxymore : un produit négatif signale une contradiction, deux négations donnent une affirmation. L’intersection des domaines sépare l’emploi propre, la métaphore, la comparaison et la catachrèse. La réparation d’une incompatibilité de sélection distingue la métonymie (par contiguïté), la synecdoque (par inclusion) et la personnification (par extension de l’animé). L’inclusion de traits mesure le pléonasme et la tautologie. Le rapport de deux longueurs ou de deux grandeurs mesure l’aphorisme, l’ekphrasis, l’hyperbole et la procatalepsis. La double activation de deux lectures définit le calembour, l’antanaclase et l’insinuation.

Le statut modal de chaque correspondance en marque la portée. Les figures de rang 1 sont des propriétés du mot lui-même : la ponctuation, les marques et les répétitions suffisent à les reconnaître. Les figures de rang 2 demandent une ressource fixée à l’avance, mais publique et vérifiable (un catalogue, un corpus, une échelle). Les figures de rang 3 et 4 reçoivent leur sens de l’extérieur : la combinatoire n’en produit pas le contenu, elle en mesure exactement la forme une fois ce contenu donné. La distinction des trois statuts (nécessaire, possible, contingent) annoncée dans le titre trouve ainsi une traduction précise : elle sépare ce qui se lit dans le mot, ce qui se lit avec une ressource, et ce qui ne se lit qu’avec une interprétation.

Plusieurs prolongements en découlent. Les mesures de rang 1 et 2 se prêtent à une réalisation par automates finis et par langages réguliers (chapitres 63 et 64), ce qui permettrait de repérer automatiquement les figures dans un corpus. Les fonctions caractéristiques de langages (chapitre 65) offrent le cadre où les comptages de ce glossaire deviennent des séries génératrices. Enfin, le glossaire du tome 56′, consacré aux termes rhétoriques d’Accumulatio à Axioms, et celui-ci, consacré aux tropes d’Allégorie à Tautologie, forment ensemble une première cartographie calculable de la rhétorique classique.