2) EXISTENT-ILS D’AUTRES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES QUE D’APPARTENANCE ET DE NON APPARTENANCE ?
2B) LES COMBINAISONS LINÉAIRES DE LA FONCTION ARITHMÉTIQUE PLAFOND ET/OU PLANCHER D’IVERSON EQUIVALENTES À L’OPÉRATION ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE DE VALEURS SEQUENTIELLES NULLES ET NON NULLES
Mais la conceptualisation des fonctions plafond et plancher d’Iverson en unités élémentaires de composants modulaires formuliques n’est pas la conceptualisation finale, pas plus que ne le sera celle en forme de nouvel objet mathématique hybride que j’ai appelée précédemment un ensemble séquentiel, c’est à dire qui à la propriété de préserver les opérations ensemblistes, mais ou l’ordre et la répétition sont des propriétés, et permettant de créer de nouvelles opérations dites ensemblistes séquentielles, qui sont aussi des fonctions simples, donc des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques combinaisons linéaires de fonctions arithmétiques plafond et plancher d’Iverson.
Ainsi la véritablement nouvelle conceptualisation des fonctions plafond et plancher d’Iverson et une conceptualisation élaborée au-delà de celle d’unités élémentaires de composants modulaires formuliques et de l’expansivité des opérations ensemblistes séquentielles qui en fait n’est qu’une extension formelle conceptuelle de la précédente, provient du fait que la fonction sign correspondante à une fonction caractéristique de trois valeurs possibles des éléments d’un ensemble séquentiel de nombres, implique qu’il existe une définition et une expression algébrique numériquement calculable beaucoup plus générales d’une fonction caractéristique que celle d’une fonction indicatrice d’appartenance qui est la fonction caractéristique des valeurs nulles et non nulles des éléments de tout ensemble séquentiel. Il s’agit encore d’une fonction caractéristique d’appartenance, mais cette fois-ci de plusieurs éléments à la fois et une fonction au domaine de définition plus général quant aux valeurs d’appartenance puisqu’il s’agit beaucoup moins précisément de tous les éléments non nuls et plus précisément de tous les éléments nuls. Je définis alors cette fonction caractéristique de la nullité et de non-nullité de tout élément de son domaine de départ comme suit :
∀ x=xᵢ ∈ E=SeqXᵢ₌ₙ=( { xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₂ ; xᵢ₌₃ ; xᵢ₌₄ ; xᵢ₌₅ ; xᵢ₌₆ ; xᵢ₌₇…xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; …xᵢ₌ₙ } ) ⊆ R ; ∀ x=xᵢ ∈ R alors xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 ˄ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₙ ↔ SeqXᵢ₌ₙ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁ ; xᵢ₌ₙ] | xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 }) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ=( {nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ;… nᵢ₌ₙ } ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₙ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N* :
1E : E=SeqXᵢ₌ₙ ⊆ R→{0,1}
- Si 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉, alors 1A( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=0, ssi xᵢ=0 (Z.1)
- Si 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉, alors 1A( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0)=1, ssi xᵢ≠0 (Z.2)
L’expression de cette fonction caractéristique des éléments xᵢ de valeurs non nulles et nulles de l’ensemble séquentiel SeqXᵢ₌ₙ, et notée 1A(Xᵢ≠0), est représentée fonctionnellement comme suit:
- 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 ) = ∪∩ (n=1→n=∞: [ (⌈|xᵢ₌ₙ|/(|xᵢ₌ₙ|+1)⌉)i ]) (Z.3) ↔ (Z.4)
- 1E(xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=(⌈|xᵢ₌₁|/(|xᵢ₌₁ +1)⌉) ∪∩ (⌈|xᵢ₌₂|/(|xᵢ₌₂|+1)⌉) ∪∩ (⌈|xᵢ₌₃ |/(|xᵢ₌₃ |+1)⌉)… ∪∩ (⌈|xᵢ₌ₓ|/(|xᵢ₌ₓ|+1)⌉) ∪∩ ({⌈|xᵢ₌ₙ|/(|xᵢ₌ₙ|+1)⌉}) (Z.4).
La représentation ensembliste séquentielle de cette dernière expression de la fonction caractéristique de nullité et de non nullité (Z.4) est :
- Seq(1E(xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 ))=({ ⌈|xᵢ₌₁|/(|yᵢ₌₁|+1)⌉ ; ⌈|xᵢ₌₂|/(|xᵢ₌₂ |+1)⌉ ; ⌈|xᵢ₌₃|/(|xᵢ₌₃|+1)⌉;….; ⌈|xᵢ₌ₓ|/(|xᵢ₌ₓ|+1)⌉ ;….; ⌈|xᵢ₌ₙ|/(|xᵢ₌ₙ|+1)⌉ }) (Z.5).
Nous remarquons que la convention de considérer les valeurs nulles de l’ensemble de départ de la fonction indicatrice de nullité et de non-nullité comme ayant une valeur correspondante dans l’ensemble d’arrivée de cette même fonction caractéristique qui soit également nulle tandis que les valeurs non nulles de l’ensemble de départ ont une valeur caractéristique correspondante dans l’ensemble d’arrivée égale à 1 est arbitraire, car cette convention est seulement basée sur le modèle de valeurs correspondantes de l’ensemble de départ et d’arrivée de la fonction sign. Nous pourrions tout aussi bien établir la convention inverse correspondante à la nouvelle expression de la fonction indicatrice de nullité et de non-nullité, 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉, mais non puisque nous adoptons la convention constante dans toutes les pages de mon tapuscrit que tout élément nul d’un ensemble de départ d’une fonction caractéristique est caractérisé par la valeur de l’unité correspondante à l’élément de valeur 1 dans l’ensemble d’arrivée.
Enfin pour obtenir la plus grande conceptualisation, car finale des fonctions plafond et plancher d’Iverson, alors nous remarquerons encore que cette fonction caractéristique de nullités et de non-nullités n’est en fait que l’une des fonctions indicatrices de la catégorie plus générale que nous appelons fonctions indicatrices de type de valeurs, comme la décimalité ou la non-décimalité et que nous pouvons déduire trois catégories supplémentaires connexes à celle-ci, la fonction caractéristique de types de valeur et qui sont la catégorie des fonctions caractéristiques d’indexations et d’indexation relative des types d’éléments caractérisés de l’ensemble séquentiel, c’est-à-dire les fonctions indicatrices de la valeur d’indexe de position des éléments xᵢ≠0 et xᵢ=0 et d’indexe de position relative des éléments xᵢ≠0 et xᵢ=0 ; les fonctions indicatrices de cardinalité des types d’éléments caractérisés de l’ensemble séquentiel de départ ; et les fonctions caractéristiques des éléments comparés de deux ensembles d’arrivées de deux fonctions caractéristiques de types de valeurs des éléments de l’ensemble de départ caractérisés. Nous écrivons donc maintenant les expressions algébriques numériquement calculables correspondantes respectivement à ces trois catégories en commençant par écrire l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction indicatrice de la valeur d’indexe de position de xᵢ≠0 suivie de celle de la fonction indicatrice de la valeur d’indexe de position de xᵢ=0 :
∀ x=xᵢ ∈ E=SeqXᵢ₌ₙ = ( {xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₂ ; xᵢ₌₃ ; xᵢ₌₄ ; xᵢ₌₅ ; xᵢ₌₆ ; xᵢ₌₇…xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; …xᵢ₌ₙ }) ⊆ R ; ∀ x=xᵢ ∈ R alors xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 ˄ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₙ ↔ SeqXᵢ₌ₙ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁ ; xᵢ₌ₙ] | xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 }) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ=( {nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ;… nᵢ₌ₙ } ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₙ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et soit l’opération ensembliste séquentielle de multiplication entre éléments de deux ensembles séquentiels définie comme le produit de deux matrices lignes correspondantes au produit d’Hadamard noté ⊙ ou produit composante par composante où chaque coefficient est le produit terme à terme en général et en particulier de deux matrices lignes représentant deux ensembles séquentiels et que nous notons comme opérateur ensembliste séquentiel, ⊙∪∩ et défini comme le produit terme à terme des éléments de deux ensembles séquentiels résultants dans un seul ensemble séquentiel dont les éléments sont le résultat du produit terme à terme des éléments des deux ensembles séquentiels de même ou de cardinal différent :
- 1E : E=SeqXᵢ₌ₙ ⊆ R→{0,1}
- Si 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉, et si INDEX(xᵢ≠0)=(⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉)*n=1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )ᵢ*n, alors 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )ᵢ*n=1*nᵢ, si 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=1 → xᵢ≠0 (α1.1) ;
- Si 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉, et si INDEX(xᵢ≠0)=(⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉)*n=1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )ᵢ*n, alors 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )ᵢ*n=0*nᵢ, si 1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=0 → xᵢ=0 (α1.2) ;
Puis nous écrivons l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction caractéristique de la valeur d’indexe de position de xᵢ=0 :
∀ x=xᵢ ∈ E=SeqXᵢ₌ₙ = ({xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₂ ; xᵢ₌₃ ; xᵢ₌₄ ; xᵢ₌₅ ; xᵢ₌₆ ; xᵢ₌₇…xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; …xᵢ₌ₙ}) ⊆ R ; ∀ x=xᵢ ∈ R alors xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 ˄ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₙ ↔ SeqXᵢ₌ₙ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁ ; xᵢ₌ₙ] | xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 }) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ=( { nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ;… nᵢ₌ₙ } ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=( { n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌ₙ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ) ⊆ N* :
- 1E : E=SeqXᵢ₌ₙ ⊆ R→{0,1}
- Si 1-1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉, et si INDEX(xᵢ=0)=(1-(⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉))*n=(1-1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )ᵢ)*n, alors (1-1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )ᵢ)*n=1*nᵢ, si 1-1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=1 → xᵢ=0 (β1.1);
- Si 1-1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉, et si INDEX(xᵢ=0)=(1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉))*n=(1-1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )ᵢ)*n, alors (1-1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )ᵢ)*n=0*nᵢ, si 1-1E( xᵢ≠0 ∨ xᵢ=0 )=0 → xᵢ=1 (β1.2).
Prenons un exemple en remplaçant les variables des expressions précédentes pour illustrer la fonction caractéristique d’indexation des valeurs non nulles et nulles des éléments xᵢ ∈ E=SeqXᵢ₌₁₅=({ xᵢ₌₁=1 ; xᵢ₌₂=0 ; xᵢ₌₃=0.3 ; xᵢ₌₄=-4 ; xᵢ₌₅=12555 ; xᵢ₌₆=0; xᵢ₌₇=-11 ; xᵢ₌₈=0 ; xᵢ₌₉=-0.53 ; xᵢ₌₁₀=0 ; xᵢ₌₁₁=-502.34 ; xᵢ₌₁₂= 0 ; xᵢ₌₁₃= 0 ; xᵢ₌₁₄= 0 ; xᵢ₌₁₅= 0 }), dont la représentation ensembliste séquentielle de l’expression algébrique numériquement calculable de la valeur d’indexe de position de xᵢ≠0 et xᵢ=0, d’expression (α1.1) & (α1.2) & (β1.1) & (β1.2)est comme suit :
∀ x=xᵢ ∈ E=SeqXᵢ₌₁₅=( { xᵢ₌₁=1 ; xᵢ₌₂=0 ; xᵢ₌₃=0.3 ; xᵢ₌₄=-4 ; xᵢ₌₅=12555 ; xᵢ₌₆=0; xᵢ₌₇=-11 ; xᵢ₌₈=0 ; xᵢ₌₉=-0.53 ; xᵢ₌₁₀=0 ; xᵢ₌₁₁=-502.34 ; xᵢ₌₁₂= 0 ; xᵢ₌₁₃= 0 ; xᵢ₌₁₄= 0 ; xᵢ₌₁₅= 0 } ) ⊆ R ; ∀ x=xᵢ ∈ R alors xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 ˄ xᵢ ∈ E=SeqXᵢ₌₁₅ ↔ SeqXᵢ₌₁₅=( {xᵢ ∈ [xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₁₅] | xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 }) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌₁₅=( nᵢ₌₁=1 ; nᵢ₌₂=2 ; nᵢ₌₃=3 ; nᵢ₌₄=4 ; nᵢ₌₅=5 ; nᵢ₌₆=6 ; nᵢ₊₇=7 ; nᵢ₌₈=8 ; nᵢ₌₉=9 ; nᵢ₌₁₀=10 ; nᵢ₌₁₁=11 ; nᵢ₌₁₂=12 ; nᵢ₌₁₃=13 ; nᵢ₌₁₄= 14 ; nᵢ₌₁₅=15 ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌₁₅=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌₁₅] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N* :
La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (α1.1) & (α1.2) notée, INDEX(xᵢ≠0)=1E(xᵢ≠0)*nᵢ=(⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉)*nᵢ, est SeqNᵢ₌₁₅ ⊙∪∩ Seq(1E(SeqXᵢ₌₁₅))ᵢ₌₁₅= ( { 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 } ) ⊙∪∩ ( { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 } )=( { 1*1 ; 0*2 ; 1*3 ; 1*4 ; 1*5 ; 0*6 ; 1*7 ; 0*8 ; 1*9 ; 0*10 ; 1*11 ; 0*12 ; 0*13 ; 0*14 ; 0*15 } ) = ( {1 ; 0 ; 3 ; 4 ; 5 ; 0 ; 7 ; 0 ; 9 ; 0 ; 11 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 } ).
La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (β1.1) & (β1.2) notée, INDEX(xᵢ=0)=1E(xᵢ=0)*nᵢ=(1-⌈|xᵢ|/(|xᵢ|+1)⌉)*nᵢ, est SeqNᵢ₌₁₅ ⊙∪∩ Seq(1-1E(SeqXᵢ₌₁₅)) = ( {0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 } ) ⊙∪∩ ( { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 } )=( {0*1 ; 1*2 ; 0*3 ; 0*4 ; 0*5 ; 1*6 ; 0*7 ; 1*8 ; 0*9 ; 1*10 ; 0*11 ; 1*12 ; 1*13 ; 1*14 ; 1*15 } ) = ( {0 ; 2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 6 ; 0 ; 8 ; 0 ; 10 ; 0 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15} ).
Puis nous écrivons l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction indicatrice de la valeur d’indexe de position relative de xᵢ≠0 suivie de celle de la fonction indicatrice de la valeur d’indexe de position relative de xᵢ=0 : Les valeurs d’indexes internes de positions de xᵢ et yᵢ ∈ E caractérisés par les éléments de valeurs caractéristiques égales à 1 ou 0 résultant de la fonction caractéristique 1E(xᵢ≠0), 1E(yᵢ≠0) caractérisant xᵢ et yᵢ ∈ E , et dont l’expression algébrique numériquement calculable est (après que les expressions obtenues par leur sommation en série soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole Sigma correspondant à l’addition d’une suite de nombres en général notés Σ (n=1→n=∞: [ a(n)i ]), où i représente l’indice de de l’addition, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de l’addition, et n=∞ est la limite supérieure de l’addition; l’addition totale n’est plus une suite de nombres à indices d’addition, mais plus simplement l’addition totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqE dont le cardinal n(E) = Card(E) =x que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée Σ( n=1→n= x: [a(n) ]), cette suite de nombres d’un ensemble séquentiel est définie tout d’abord pour les éléments xᵢ≠0, de la manière suivante :