Ci-dessus est l’illustration standard de la notation standard de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance notée généralement χ_F(x), et définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément x de l’ensemble E.

Introduction générale : les figures de style comme schémas logiques

I. Ce qu’est une figure, vu par un logicien

Toute langue offre une manière ordinaire de dire une chose. Une figure de style commence lorsqu’un énoncé s’en écarte délibérément : il dit autrement, ou dit autre chose, ou dit trop, ou trop peu, et l’écart lui-même devient porteur de sens. Le lecteur perçoit l’écart, le juge intentionnel et le résout. Cette description, que la tradition rhétorique répète depuis l’Antiquité sous des formes diverses, contient en fait trois objets distincts que l’on peut mesurer séparément.

La forme. L’énoncé figuré est un mot w (une suite de mots-formes) que l’on compare à l’expression ordinaire u qu’il remplace, ce que l’on appelle souvent son degré zéro. Le passage de u à w est une opération de combinatoire des mots.
Le sens. L’énoncé a un contenu littéral p et un contenu visé q. Dans l’usage ordinaire, q = p. Dans une figure, p et q sont liés par une relation logique précise : équivalence, implication, contrariété, contradiction.
Le signal. Quelque chose dans le contexte c avertit le lecteur que la lecture littérale ne peut pas être la bonne : p est faux dans la situation, ou contradictoire, ou vide d’information, ou sans rapport apparent avec le propos.

Une figure F est donc réalisée par un énoncé w dans un contexte c lorsque les trois conditions sont réunies. Comme dans les entrées du glossaire, la conjonction s’écrit comme un produit de fonctions indicatrices :

v(Figure_F(w, c)) = χ_Op(u, w) · χ_Rel(p, q) · χ_Sig(w, c) où Op, Rel et Sig désignent l’opération, la relation et le signal propres à la figure F.

Le premier facteur vaut 1 si l’opération qui mène de u à w est celle qui caractérise F ; le deuxième vaut 1 si la relation entre p et q est celle de F ; le troisième vaut 1 si le contexte donne le signal attendu. Pourquoi un produit ? Parce qu’une seule condition manquante suffit à défaire la figure : une hyperbole prise au pied de la lettre (signal absent) n’est plus qu’une affirmation fausse ; une répétition sans écart de forme n’est qu’une phrase.

Figure I.1 – Une figure réunit trois conditions : une opération sur la forme, une relation entre sens littéral et sens visé, un signal du contexte.

Ce schéma rend aussi calculable une distinction ancienne entre figures de rhétorique, qui servent la persuasion, et figures de style au sens étroit, qui ornent le discours. On la reformule ici par la nature de la relation entre p et q, en trois familles :

Figures de l’équivalence : q ↔ p est une tautologie. Le contenu ne change pas, seule la forme change (pléonasme, anaphore, zeugme, inversion, tautologie). Ce sont les figures d’ornement.
Figures de l’inférence : le lecteur tire q de p au moyen d’une règle valide et d’une prémisse fournie par le contexte (métaphore, allégorie, allusion, antonomase, adynaton). Ce sont les figures persuasives : elles font raisonner l’auditeur, comme l’enthymème, que la rhétorique classique tient pour le syllogisme propre à l’orateur.
Figures du conflit : p entre en contradiction avec lui-même ou avec le contexte, et q naît de la résolution du conflit (oxymore, paradoxe, antiphrase, antithèse, prétérition).

Cette répartition est une proposition de méthode, non une classification fermée : une même figure peut relever de deux familles selon l’axe considéré, et les sections qui suivent en donnent les critères de calcul.

II. L’axe de la forme : quatre opérations sur les mots

Quintilien, dans l’Institution oratoire, ramène tout changement d’une expression à quatre opérations : ajouter, retrancher, remplacer, déplacer (adiectio, detractio, immutatio, transmutatio). Le Groupe µ, dans sa Rhétorique générale (1970), en a fait la base de sa classification : adjonction, suppression, suppression-adjonction (substitution), permutation. Ce sont exactement les opérations élémentaires de la combinatoire des mots, celles qui définissent les distances d’édition entre deux mots.

Les outils

On écrit u = u₁u₂…u_m l’expression ordinaire et w = w₁w₂…w_n l’expression figurée, chaque lettre étant un mot-forme. On utilise :

χ_Δ(a, b) = 1 si a = b, 0 sinon (indicatrice de la diagonale) ;
|w|_a = Σ_{i = 1}ⁿ χ_Δ(w_i, a), le nombre d’occurrences de la lettre a dans w ; le vecteur de ces nombres est le vecteur de Parikh ψ(w) ;
Ham(u, w) = Σ_{i = 1}ⁿ (1 − χ_Δ(u_i, w_i)) lorsque m = n : le nombre de positions où u et w diffèrent (distance de Hamming) ;
u ⊑ w : u est un sous-mot (une sous-suite, non nécessairement contiguë) de w ;
χ₀(x) = 1 − min(1, x) pour x entier positif ou nul : vaut 1 exactement quand x = 0 ;
χ₊(x) = min(1, max(0, x)) pour x entier : vaut 1 exactement quand x > 0.

Pourquoi un test de sous-mot calculable. On lit w de gauche à droite avec un pointeur k sur u. On pose k₀ = 0 puis, pour i = 1, …, n :

k_i = k_{i − 1} + χ_Δ(w_i, u_j), avec j = k_{i − 1} + 1 (le terme vaut 0 si k_{i − 1} = m)

Le pointeur avance chaque fois que la lettre lue est la prochaine lettre attendue de u. Alors u ⊑ w si et seulement si k_n = m. Cette lecture gloutonne est exacte : si u est une sous-suite de w, la prendre dès sa première occurrence possible ne fait jamais perdre une solution.

Les quatre tests

n°	Opération	Test par indicatrices	Figures typiques
1	Adjonction	Adj(u, w) = χ_⊑(u, w) · χ₊(n − m)	pléonasme, répétition, anaphore, épizeuxe, gradation
2	Suppression	Sup(u, w) = χ_⊑(w, u) · χ₊(m − n)	ellipse, asyndète, zeugme
3	Substitution	Sub(u, w) = χ_Δ(m, n) · min(1, Ham(u, w)) · min(1, Σ_a (\|u\|_a − \|w\|_a)²)	métaphore, métonymie, synecdoque, antonomase, euphémisme
4	Permutation	Per(u, w) = χ_Δ(m, n) · min(1, Ham(u, w)) · χ₀(Σ_a (\|u\|_a − \|w\|_a)²)	inversion, hyperbate, chiasme

La substitution et la permutation se distinguent par le vecteur de Parikh : une permutation garde exactement les mêmes mots en même nombre ; une substitution change au moins un mot. Le chiasme est la permutation la plus régulière, le miroir : w_i = u_{m + 1 − i} pour tout i, ce que teste Mir(u, w) = χ₀(Σ_i (1 − χ_Δ(w_i, u_{m + 1 − i}))).

Quatre exemples calculés

Adjonction. u = (il, monte), w = (il, monte, en, haut), m = 2, n = 4.

Pointeur : k₁ = 1 (il = u₁), k₂ = 2 (monte = u₂), k₃ = 2, k₄ = 2 ; k₄ = 2 = m, donc χ_⊑(u, w) = 1.

χ₊(n − m) = χ₊(2) = 1.

∴ Adj(u, w) = 1·1 = 1 : le pléonasme « il monte en haut » est une adjonction pure.

Suppression. u = (je, prends, un, café), w = (un, café), m = 4, n = 2.

Pointeur sur w en lisant u : je → 0, prends → 0, un → 1, café → 2 ; 2 = n, donc χ_⊑(w, u) = 1.

χ₊(m − n) = χ₊(2) = 1.

∴ Sup(u, w) = 1 : la commande « un café » est une ellipse.

Substitution. u = (boire, du, vin), w = (boire, un, verre), m = n = 3.

Ham(u, w) = 0 + 1 + 1 = 2, donc min(1, 2) = 1.

Vecteurs de Parikh sur {boire, du, vin, un, verre} : ψ(u) = (1, 1, 1, 0, 0), ψ(w) = (1, 0, 0, 1, 1) ; Σ (|u|_a − |w|_a)² = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4, donc min(1, 4) = 1.

∴ Sub(u, w) = 1·1·1 = 1 : la métonymie du contenant pour le contenu est une substitution.

Permutation en miroir. u = (manger, pour, vivre), w = (vivre, pour, manger), m = n = 3.

Ham(u, w) = 1 + 0 + 1 = 2, donc min(1, 2) = 1.

Les deux mots ont les mêmes lettres en même nombre : Σ (|u|_a − |w|_a)² = 0, donc χ₀(0) = 1 et Per(u, w) = 1.

Miroir : w₁ = u₃, w₂ = u₂, w₃ = u₁, donc la somme des écarts vaut 0 et Mir(u, w) = 1.

∴ Le renversement « vivre pour manger » de « manger pour vivre » est un miroir, forme du chiasme.

Figure I.2 – Les quatre opérations de changement appliquées à des mots de mots-formes.

Commutativité logique, non-commutativité des mots

La conjonction est commutative : v(p ∧ q) = v(p)·v(q) = v(q)·v(p) = v(q ∧ p). La concaténation des mots ne l’est pas : en général uv ≠ vu. Les figures de permutation vivent exactement dans cet écart. Quand la relation entre les termes est commutative, permuter change le mot sans changer la valeur de vérité : c’est l’inversion ornementale (« d’un pas lent il marche »). Quand la relation ne l’est pas, permuter change le sens : « pour » exprime une finalité, qui, comme l’implication, n’est pas symétrique. Le chiasme de Molière (« il faut manger pour vivre et non pas vivre pour manger ») affirme une relation et nie sa converse.

Le calcul confirme que la converse d’une implication ne lui est pas équivalente. Avec a = v(p) et b = v(q) :

v((p → q) ↔ (q → p)) = 1 − ((1 − a + ab) − (1 − b + ab))² = 1 − (b − a)²

Cette quantité vaut 0 dès que a ≠ b. Ce n’est donc pas une tautologie : sur les quatre valuations de (p, q), elle est fausse deux fois. L’antimétabole tire son effet de cette non-tautologie.

Figure I.3 – La conjonction est commutative, la concaténation ne l’est pas : le chiasme exploite cet écart.

III. L’axe du sens : la relation entre p et q

Propositions comme ensembles de situations

Pour comparer deux contenus, on fixe un ensemble fini Ω de situations possibles (on dit aussi mondes ou valuations). Une proposition p est vraie dans certaines situations : on note P = {ω ∈ Ω | v_ω(p) = 1} l’ensemble de ses situations et χ_P son indicatrice. Le lemme suivant relie implication, inclusion et inégalité.

Lemme. Pour deux valeurs x, y ∈ {0, 1}, on a 1 − x + xy = 1 si et seulement si x(1 − y) = 0, c’est-à-dire si et seulement si x ≤ y. Donc p → q est vraie dans toutes les situations si et seulement si χ_P(ω) ≤ χ_Q(ω) pour tout ω, c’est-à-dire si et seulement si P ⊆ Q.

Toute la comparaison de p et q tient alors en quatre nombres, chacun somme de produits d’indicatrices :

N₁₁ = Σ_ω χ_P(ω)·χ_Q(ω) N₁₀ = Σ_ω χ_P(ω)·(1 − χ_Q(ω))

N₀₁ = Σ_ω (1 − χ_P(ω))·χ_Q(ω) N₀₀ = Σ_ω (1 − χ_P(ω))·(1 − χ_Q(ω))

N₁₁ compte les situations où p et q sont vraies ensemble, N₁₀ celles où p est vraie sans q, et ainsi de suite ; les quatre nombres ont pour somme |Ω|. On en tire quatre bits :

e = χ₀(N₁₀) : vaut 1 si p ⇒ q (aucune situation où p est vraie et q fausse) ;
f = χ₀(N₀₁) : vaut 1 si q ⇒ p ;
g = χ₀(N₁₁) : vaut 1 si p et q sont incompatibles ;
h = χ₀(N₀₀) : vaut 1 si p et q ne sont jamais fausses ensemble.

Le code r = 8e + 4f + 2g + h désigne la relation. Pour p et q ni vides ni universelles, il ne prend que sept valeurs, qui prolongent le carré logique d’Aristote :

n°	Code r	(e, f, g, h)	Relation entre p et q	Lecture rhétorique	Figures
1	12	(1, 1, 0, 0)	équivalence : P = Q	le sens ne change pas	tautologie, pléonasme, anaphore, zeugme, inversion
2	8	(1, 0, 0, 0)	p ⇒ q strictement : P ⊂ Q	amplification : le littéral dit plus que le visé	hyperbole, adynaton
3	4	(0, 1, 0, 0)	q ⇒ p strictement : Q ⊂ P	atténuation : le littéral dit moins que le visé	litote, euphémisme, ellipse
4	3	(0, 0, 1, 1)	contradictoires : Q = Ω ∖ P	inversion totale	antiphrase (cas limite)
5	2	(0, 0, 1, 0)	contraires : P ∩ Q = ∅, P ∪ Q ≠ Ω	inversion avec terme moyen	antiphrase usuelle, antithèse
6	1	(0, 0, 0, 1)	subcontraires : P ∪ Q = Ω, P ∩ Q ≠ ∅	l’un au moins est vrai	correction (épanorthose)
7	0	(0, 0, 0, 0)	indépendance	le visé ne se déduit pas du littéral seul	métaphore, métonymie, allusion (il faut une prémisse)

Un cas se traite à part : si P = ∅, le littéral est insatisfiable, aucune situation ne le rend vrai. On le détecte par χ₀(|P|) = 1, où |P| = Σ_ω χ_P(ω). C’est le signal propre à l’oxymore et au paradoxe.

Figure I.4 – Les relations entre p et q lues sur le tableau 2 × 2 des nombres N₁₁, N₁₀, N₀₁, N₀₀ : une case vide signifie un nombre nul.

Six exemples calculés

Les situations sont rangées sur une échelle. Pour le temps : Ω = {beau, gris, affreux}. Pour la faim : Ω = {rassasié, légère, faim, grande, extrême}, cinq degrés croissants. Pour le mouvement : Ω = {monte, reste, descend}. Pour la lumière : Ω = {nuit, pénombre, jour}.

n°	Figure	Ω	P (littéral)	Q (visé)	N₁₁	N₁₀	N₀₁	N₀₀	r	Relation
1	Antiphrase « Quel beau temps ! » sous l’orage	temps	{beau}	{affreux}	0	1	1	1	2	contraires
2	Antiphrase prise au sens strict	temps	{beau}	{gris, affreux}	0	1	2	0	3	contradictoires
3	Litote « Il ne fait pas mauvais »	temps	{beau, gris}	{beau}	1	1	0	1	4	atténuation
4	Hyperbole « Je meurs de faim »	faim	{extrême}	{grande, extrême}	1	0	1	3	8	amplification
5	Pléonasme « Il monte en haut »	mouvement	{monte}	{monte}	1	0	0	2	12	équivalence
6	Oxymore « obscure clarté »	lumière	∅	{pénombre}	0	0	1	2	—	littéral insatisfiable

Lecture de l’exemple 3. Le contenu littéral « il ne fait pas mauvais » est vrai par beau temps et par temps gris : P = {beau, gris}. Le locuteur veut dire qu’il fait beau : Q = {beau}. On calcule N₁₀ = χ_P(gris)·(1 − χ_Q(gris)) = 1·1 = 1 et N₀₁ = 0. Donc e = χ₀(1) = 0 et f = χ₀(0) = 1 ; de plus N₁₁ = 1 et N₀₀ = 1 donnent g = h = 0. ∴ r = 8·0 + 4·1 + 2·0 + 0 = 4 : le littéral dit moins que le visé, c’est la définition logique de l’atténuation.

Lecture de l’exemple 6. Pour Ω = {nuit, pénombre, jour}, « obscur » vaut {nuit, pénombre} et « clair » est pris comme sa négation {jour}. Le littéral « obscur et clair » a pour ensemble {nuit, pénombre} ∩ {jour} = ∅ : |P| = 0 et χ₀(|P|) = 1. Le lecteur résout le conflit en séparant les points de vue : la lumière des étoiles est obscure au regard du jour et claire au regard de la nuit, ce qui désigne la pénombre. ∴ Q = {pénombre}.

Figure I.5 – Ensembles P et Q sur une échelle de situations : contrariété, atténuation, amplification.

Ce que mesure l’information

Si toutes les situations de Ω sont également possibles, une proposition vraie dans |P| situations sur |Ω| apporte I(p) = log₂(|Ω| / |P|) bits d’information. Une tautologie (P = Ω) apporte 0 bit ; une contradiction (P = ∅) n’a pas d’information définie. Le lemme d’inclusion donne aussitôt :

dans une amplification, P ⊂ Q, donc I(p) > I(q) : le littéral en dit plus qu’il n’en faut (hyperbole : log₂ 5 ≈ 2,32 bits contre log₂(5/2) ≈ 1,32 bit) ;
dans une atténuation, Q ⊂ P, donc I(p) < I(q) : le littéral en dit moins (litote : log₂(3/2) ≈ 0,58 bit contre log₂ 3 ≈ 1,58 bit) ;
dans une figure de l’équivalence, I(p) = I(q) : le surcroît de mots n’ajoute aucun bit.

Figure I.6 – Information du littéral et du visé, en bits, pour les exemples de la section III.

IV. Les tautologies génératrices

Une tautologie est une formule dont la valeur calculée vaut 1 pour toutes les valuations de ses atomes ; pour n atomes, on le vérifie en constatant que la somme de ses valeurs sur les 2ⁿ valuations vaut 2ⁿ. Une tautologie n’apporte donc aucune information. C’est précisément ce qui en fait l’outil d’une figure : locuteur et auditeur la possèdent également, et l’auditeur s’en sert pour passer du littéral au visé. Une figure apparaît ainsi comme une instance d’une tautologie T dont certaines prémisses sont dans le texte et d’autres dans le contexte.

Dans les preuves, a = v(p), b = v(q), c = v(r), et l’on utilise sans cesse l’idempotence a² = a. Le tableau suivant rassemble quatorze tautologies et les figures qu’elles engendrent.

n°	Tautologie	Preuve par le calcul (valeur = 1)	Figures engendrées	Exemple
T1	Identité : p → p	1 − a + a·a = 1 − a + a = 1	tautologie	« Un sou est un sou. »
T2	Idempotence : (p ∧ p) ↔ p	1 − (a·a − a)² = 1 − 0 = 1	pléonasme, répétition, épizeuxe	« Je l’ai vu, dis-je, vu, de mes propres yeux vu » (Molière, Tartuffe)
T3	Commutativité : (p ∧ q) ↔ (q ∧ p)	1 − (ab − ba)² = 1	inversion, hyperbate	« D’un pas lent il marche »
T4	Factorisation : ((p ∧ q) ∧ (p ∧ r)) ↔ (p ∧ (q ∧ r))	(ab)(ac) = a²bc = abc, d’où 1 − (abc − abc)² = 1	anaphore (forme développée), zeugme (forme factorisée)	« Vêtu de probité candide et de lin blanc » (Hugo, Booz endormi)
T5	Non-contradiction : ¬(p ∧ ¬p)	1 − a(1 − a) = 1 − a + a² = 1	oxymore, paradoxe, prétérition (le littéral la viole en apparence)	« Cette obscure clarté qui tombe des étoiles » (Corneille, Le Cid)
T6	Tiers exclu : p ∨ ¬p	a + (1 − a) − a(1 − a) = 1 − 0 = 1	dilemme, alternative	« Être ou ne pas être » (Shakespeare, Hamlet)
T7	Double négation : ¬¬p ↔ p	v(¬¬p) = 1 − (1 − a) = a, d’où 1 − (a − a)² = 1	litote	« Va, je ne te hais point » (Corneille, Le Cid)
T8	Simplification : (p ∧ q) → p	1 − ab + ab·a = 1 − ab + ab = 1	euphémisme, ellipse	« Il nous a quittés »
T9	Addition : p → (p ∨ q)	1 − a + a(a + b − ab) = 1 − a + a + ab − ab = 1	hyperbole	« Je meurs de faim »
T10	Modus ponens : ((p → q) ∧ p) → q	a(1 − a + ab) = ab, d’où 1 − ab + ab·b = 1	métaphore, allégorie	« Achille est un lion »
T11	Modus tollens : ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p	(1 − a + ab)(1 − b) = (1 − a)(1 − b), d’où 1 − (1 − a)(1 − b) + (1 − a)²(1 − b) = 1	adynaton	« Quand les poules auront des dents »
T12	Syllogisme hypothétique : ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)	avec X = (1 − a + ab)(1 − b + bc) : X·a(1 − c) = ab(1 − b + bc)(1 − c) = abc(1 − c) = 0	gradation, allégorie	« Va, cours, vole, et nous venge » (Corneille, Le Cid)
T13	Instanciation : ∀x P(x) → P(a)	∏_x χ_P(x) ≤ χ_P(a), car le produit contient le facteur χ_P(a)	antonomase, allusion (prémisse générale tue)	« C’est un Harpagon »
T14	Transitivité de l’inclusion : (a ∈ A ∧ A ⊆ B) → a ∈ B	χ_A(a)·∏_x(1 − χ_A(x) + χ_A(x)χ_B(x)) ≤ χ_A(a)·χ_B(a) ≤ χ_B(a)	synecdoque (espèce pour le genre)	« les mortels » pour « les hommes »

Figure I.7 – Les quatorze tautologies valent 1 sur toutes les valuations ; la converse d’une implication, non.

Comment la tautologie produit la figure : quatre lectures

Métaphore (T10). « Achille est un lion. » Le contexte fournit une règle partagée, Lion(x) → Courageux(x). Le littéral Lion(Achille) est faux, et le lecteur le sait (signal de qualité). Il applique malgré tout le modus ponens et ne garde que la conclusion Courageux(Achille). La métaphore est une inférence dont on conserve la conclusion après avoir abandonné la prémisse qui l’a produite.

Adynaton (T11). « Je le ferai quand les poules auront des dents. » Le littéral est une implication Faire → Dents. Le contexte donne ¬Dents. Le modus tollens conclut ¬Faire : le locuteur refuse sans prononcer de refus.

Litote (T7). « Va, je ne te hais point. » Le littéral est ¬Haïr. Aimer et haïr sont des contraires : Aimer → ¬Haïr, sans réciproque, de sorte que le littéral est plus faible que le visé (relation d’atténuation, code 4). Le lecteur traite un instant les contraires comme des contradictoires, lit ¬Haïr comme ¬¬Aimer, et la double négation rend Aimer. La force de la litote mesure exactement l’écart entre contraire et contradictoire.

Anaphore et zeugme (T4). L’anaphore développe un facteur commun (« Rome, l’unique objet de mon ressentiment ! Rome, à qui… », Corneille, Horace) : elle écrit (p ∧ q) ∧ (p ∧ r). Le zeugme le factorise : « vêtu de probité candide et de lin blanc » écrit p ∧ (q ∧ r) avec un seul « vêtu » pour deux compléments de natures différentes. Les deux formes ont la même valeur de vérité, grâce à a² = a ; le zeugme surprend parce que la factorisation, valide en logique, rapproche en langue deux sens du verbe que l’usage ordinaire sépare.

V. L’axe du signal : pourquoi le lecteur cherche une figure

Le philosophe Paul Grice a décrit la conversation comme régie par un principe de coopération et quatre maximes : être aussi informatif qu’il faut, ni plus ni moins (quantité) ; dire ce que l’on croit vrai (qualité) ; être pertinent (relation) ; être clair et ordonné (manière). Il a montré que l’ironie, la métaphore, la litote et l’hyperbole violent ouvertement la maxime de qualité, et que des tautologies comme « la guerre est la guerre » violent celle de quantité ; l’auditeur, qui suppose le locuteur coopératif, cherche alors un autre contenu. Chaque violation se traduit par un test d’indicatrice.

n°	Maxime	Violation apparente	Test par indicatrices	Figures signalées
1	Qualité	p est faux dans la situation c	σ = 1 − v_c(p) = 1, avec \|P\| ≥ 1	métaphore, hyperbole, antiphrase, adynaton
2	Qualité (forte)	p est faux dans toute situation	χ₀(\|P\|) = 1	oxymore, paradoxe, prétérition
3	Quantité (trop peu)	p n’apporte rien	χ_Δ(\|P\|, \|Ω\|) = 1, soit I(p) = 0	tautologie
4	Quantité (trop)	des mots sans information nouvelle	Adj(u, w) = 1 et r = 12	pléonasme, répétition
5	Quantité (moins dire)	le littéral est plus faible que le visé	r = 4, soit I(p) < I(q)	litote, euphémisme
6	Relation	p semble sans rapport avec le propos	r = 0 : il faut une prémisse du contexte	allusion, allégorie, métonymie
7	Manière	la forme s’écarte de l’ordre ordinaire	Per(u, w) = 1 ou Sup(u, w) = 1, avec r = 12	chiasme, inversion, zeugme

Les deux extrêmes de l’information encadrent ainsi les figures : à 0 bit, la tautologie ; au-delà de toute mesure, la contradiction. Entre les deux, l’amplification surévalue l’information et l’atténuation la sous-évalue.

VI. Tableau général : chaque figure selon les trois axes

n°	Figure	Forme : opération	Sens : relation de p à q	Tautologie génératrice	Signal : maxime
1	Adynaton	substitution	amplification (r = 8)	T11 modus tollens	qualité
2	Allégorie	substitution systématique par un morphisme μ	inférence (r = 0, prémisse : le code)	T10, T12	relation
3	Allitération	adjonction de sons	équivalence (r = 12)	T2, au niveau des sons	manière
4	Allusion	substitution par un nom propre	inférence (r = 0, prémisse générale tue)	T13	relation
5	Anaphore	adjonction en tête de phrase	équivalence (r = 12)	T4 (forme développée)	manière
6	Antiphrase	substitution	contraires (r = 2) ou contradictoires (r = 3)	T5, T7	qualité
7	Antithèse	juxtaposition	contraires portant sur deux sujets	T5 respectée par la séparation des sujets	manière
8	Antonomase	substitution nom propre / nom commun	inférence	T13	relation
9	Chiasme	permutation en miroir	relation et converse : R(a, b) ∧ ¬R(b, a)	non-tautologie de la conversion	manière
10	Ellipse	suppression	atténuation (r = 4)	T8	quantité
11	Euphémisme	substitution	atténuation (r = 4)	T8	quantité
12	Gradation	adjonction ordonnée	chaîne d’implications	T12	manière
13	Hyperbole	substitution	amplification (r = 8)	T9	qualité
14	Litote	substitution avec négation	atténuation (r = 4)	T7	quantité
15	Métaphore	substitution	inférence (r = 0)	T10	qualité
16	Métonymie	substitution	inférence par une relation de contiguïté	application d’une relation R	relation
17	Oxymore	juxtaposition	littéral insatisfiable (\|P\| = 0)	T5	qualité (forte)
18	Paradoxe	—	littéral apparemment insatisfiable	T5	qualité (forte)
19	Paronomase	substitution d’une lettre (Ham = 1)	hors logique propositionnelle	—	manière
20	Pléonasme	adjonction	équivalence (r = 12)	T2	quantité
21	Prétérition	adjonction	conflit entre dire et dire qu’on ne dit pas	T5 (deux niveaux)	qualité (forte)
22	Synecdoque	substitution	inclusion A ⊆ B	T14	relation
23	Tautologie	répétition	équivalence, I(p) = 0	T1	quantité
24	Zeugme	suppression (factorisation)	équivalence (r = 12)	T4 (forme factorisée)	manière

Figure I.8 – Les figures réparties en trois familles : équivalence, inférence, conflit.

Relecture des trois premières entrées

Allégorie : une chaîne de modus ponens (T10, T12) dont la prémisse décisive, le code symbolique Sym, est fournie par le contexte : (L ∧ Sym) → M.
Allusion : une instanciation (T13) dont la prémisse générale, le savoir partagé, n’est pas dite : c’est un enthymème.
Antiphrase : une contrariété (code r = 2) que le lecteur résout grâce au contexte ; le modèle qui la confondait avec une contradiction entre états de l’auditeur violait T5.

VII. Ce que ce cadre ne voit pas

Le son. Allitération, assonance, paronomase opèrent sur les lettres ou les phonèmes. Elles relèvent de l’axe de la forme seul : la distance de Hamming ou le comptage de facteurs les mesure, la logique des contenus ne les voit pas.
Le degré zéro. L’expression ordinaire u n’est jamais donnée ; elle est reconstruite par le lecteur. Les tests de l’axe de la forme supposent cette reconstruction faite.
L’ensemble Ω. La relation entre p et q dépend du découpage des situations. Sur Ω = {beau, affreux}, sans temps gris, la contrariété deviendrait une contradiction ; le choix de Ω fait partie du modèle et doit être déclaré.
L’effet. Les tautologies décrivent le chemin qui mène du littéral au visé, non le plaisir, l’émotion ou la force persuasive qui en résultent. Le cadre dit comment une figure se comprend, non pourquoi elle porte.

∴ Une figure de style se laisse décrire comme le produit de trois indicatrices : une opération sur les mots, une relation logique entre deux contenus, un signal contextuel. Les quatorze tautologies du tableau IV sont les règles partagées qui permettent de passer de l’un à l’autre ; chaque entrée du glossaire en spécialise une ou plusieurs.

0. Préliminaire : les connecteurs logiques comme fonctions indicatrices

La logique propositionnelle manipule des propositions atomiques, c’est-à-dire des énoncés qui sont vrais ou faux et dont on ne regarde pas la structure interne. Elle les relie par des connecteurs : la négation ¬ (« non »), la conjonction ∧ (« et »), la disjonction ∨ (« ou »), l’implication → (« si … alors ») et l’équivalence ↔ (« si et seulement si »).

Pour calculer, on remplace chaque proposition X par sa valeur de vérité v(X) ∈ {0, 1} : 1 pour vrai, 0 pour faux. La valuation v est la fonction indicatrice de l’ensemble 𝒱 des propositions vraies dans la situation considérée :

v(X) = χ_𝒱(X) = 1 si X ∈ 𝒱, et 0 sinon.

Pourquoi ce choix ? Parce qu’alors chaque connecteur devient une opération arithmétique sur 0 et 1, et qu’une démonstration devient un calcul que l’on peut vérifier ligne à ligne.

n°	Connecteur	Lecture	Valeur calculée	Pourquoi
1	¬X	non X	v(¬X) = 1 − v(X)	échange 0 et 1
2	X ∧ Y	X et Y	v(X ∧ Y) = v(X)·v(Y)	un produit vaut 1 seulement si les deux facteurs valent 1
3	X ∨ Y	X ou Y (inclusif)	v(X ∨ Y) = v(X) + v(Y) − v(X)·v(Y)	on retire le cas compté deux fois
4	X → Y	si X alors Y	v(X → Y) = 1 − v(X) + v(X)·v(Y)	vaut 0 seulement quand v(X) = 1 et v(Y) = 0
5	X ↔ Y	X si et seulement si Y	v(X ↔ Y) = 1 − (v(X) − v(Y))²	vaut 1 quand les deux valeurs sont égales
6	X ⊕ Y	ou exclusif	v(X ⊕ Y) = (v(X) − v(Y))²	vaut 1 quand les deux valeurs diffèrent

Quatre propriétés serviront constamment.

Idempotence. Comme v(X) ∈ {0, 1}, on a v(X)² = v(X). Conséquence : v(X ∧ ¬X) = v(X)·(1 − v(X)) = v(X) − v(X)² = 0. Une contradiction vaut toujours 0.

Modus ponens calculé. Si v(X) = 1 et v(X → Y) = 1, alors 1 = 1 − 1 + 1·v(Y) = v(Y). Donc v(Y) = 1.

Syllogisme hypothétique. Si v(X → Y) = 1 et v(Y → Z) = 1, alors v(X → Z) = 1. On le vérifie sur les huit valuations de X, Y, Z (classeur, feuille « Connecteurs »).

Vacuité. Une implication vraie ne dit rien de sa prémisse. Lorsque v(X) = 0, on a v(X → Y) = 1 − 0 + 0·v(Y) = 1 quel que soit Y : l’implication est vraie « par vacuité ». Une règle de lecture vraie par vacuité n’atteste donc l’existence d’aucune figure. Cette remarque reviendra pour chacune des trois figures.

Du comptage à la proposition. Les définitions ensemblistes du glossaire comptent des occurrences : elles donnent une mesure N(w) ∈ ℕ pour un texte w. La logique propositionnelle n’en retient qu’un bit, « il y a au moins une occurrence ». On passe de l’une à l’autre par l’indicatrice de seuil :

v(X(w)) = χ_{[1, +∞[}(N(w)) = min(1, N(w)) (N(w) entier, N(w) ≥ 0)

Figure 1 – Les connecteurs logiques écrits comme opérations sur les valeurs 0 et 1.

⁂

1. L’allégorie, macro-mécanique du récit : l’allégorie en logique propositionnelle

1.1 Deux échelles de description

La logique du premier ordre décrit la mécanique interne d’une allégorie : quel personnage renvoie à quel concept. La logique propositionnelle prend de la hauteur : elle traite l’allégorie comme un réseau d’états de vérité. Au lieu de demander comment la tortue symbolise la persévérance, elle demande : si le récit a lieu et si le code symbolique est mobilisé, la morale s’ensuit-elle ?

Comme la logique propositionnelle ne peut quantifier ni sur des ensembles, ni sur des fonctions, ni sur les unités d’un récit, elle condense toute la structure allégorique en quelques propositions atomiques globales, reliées par des connecteurs.

1.2 Les propositions atomiques

Pour décider si un texte fonctionne comme une allégorie, on pose cinq états de vérité :

S ≡ le récit de surface (littéral) existe ;
Sym ≡ une correspondance symbolique systématique s’applique au récit ;
Sec ≡ un récit second est obtenu ;
Coh ≡ le récit second est cohérent ;
Cons ≡ le récit second est conforme à la correspondance symbolique (il en est l’image, non une invention du lecteur).

1.3 La structure logique de l’allégorie

Une allégorie demande que les cinq conditions soient réunies en même temps. Sa définition est donc une conjonction :

Allégorie ↔ (S ∧ Sym ∧ Sec ∧ Coh ∧ Cons)

v(Allégorie) = v(S)·v(Sym)·v(Sec)·v(Coh)·v(Cons)

Pourquoi S figure dans la conjonction. La lecture symbolique présuppose un texte de surface : sans récit, pas d’allégorie. S est donc une condition, au même titre que les quatre autres.

Pourquoi on ne définit pas l’allégorie par S → (Sym ∧ Sec ∧ Coh ∧ Cons). Cette implication a un défaut de vacuité : lorsque v(S) = 0, elle vaut 1 quel que soit le reste. Sur les 32 valuations des cinq atomes, elle est vraie 17 fois, alors qu’une seule valuation (toutes les valeurs à 1) décrit une allégorie ; les 16 autres sont des situations sans aucun récit. Prise de plus comme loi générale, elle affirmerait que tout récit produit un sens second, ce qui ferait de n’importe quelle anecdote une allégorie.

L’implication garde un usage : elle exprime l’exigence qu’un texte présenté comme allégorique doit remplir une fois le récit acquis. Elle est une condition nécessaire de l’allégorie, non sa définition.

Figure 2 – Les 32 valuations de (S, Sym, Sec, Coh, Cons) : l’implication est vraie 17 fois, la conjonction une seule fois.

Traduction : « un texte est une allégorie si et seulement si un récit littéral existe, qu’une correspondance symbolique systématique s’y applique, et que cette correspondance produit un récit second cohérent et conforme. »

1.4 Étude de cas : le Lièvre et la Tortue

On décompose la fable d’Ésope en variables propositionnelles pour voir comment les événements littéraux, combinés au code symbolique, produisent la morale.

Le récit littéral L

R ≡ la course a lieu ;
H ≡ le lièvre s’endort ;
T ≡ la tortue gagne.

Le récit littéral est la conjonction de ces événements :

L ≡ R ∧ H ∧ T, v(L) = v(R)·v(H)·v(T)

La morale M

M ≡ la morale « la persévérance l’emporte sur l’arrogance » est obtenue.

La décomposition symbolique

P ≡ la tortue symbolise la persévérance ;
A ≡ le lièvre symbolise l’arrogance ;
E ≡ la course symbolise une entreprise de longue haleine ;
C ≡ le sommeil symbolise la complaisance (le relâchement de qui se croit sûr de gagner) ;
Suc ≡ dans le récit second, la persévérance réussit là où l’arrogance échoue.

Les quatre symboles P, A, E, C ne viennent pas du récit : ils viennent du code symbolique, c’est-à-dire d’un dictionnaire partagé (voir 1.6). On pose donc trois règles :

Code : Sym → (P ∧ A ∧ E ∧ C).
Transposition : (L ∧ P ∧ A ∧ E ∧ C) → Suc. Les événements littéraux, lus à travers les symboles, donnent le récit second.
Morale : Suc → M.

Par la règle 1, L ∧ Sym entraîne L ∧ P ∧ A ∧ E ∧ C ; par les règles 2 et 3 et le syllogisme hypothétique :

(L ∧ Sym) → M

Pourquoi L figure dans la règle 2. Les symboles seuls ne donnent pas la morale : c’est parce que le lièvre dort (H) et que la tortue gagne (T) que la persévérance l’emporte. Sans L, on aurait des personnages-symboles, mais aucune histoire.

Pourquoi Sym figure dans la conclusion. La règle (R ∧ H ∧ T) → M, prise seule, est réfutée par tout lecteur qui ignore le code : pour lui v(L) = 1 et v(M) = 0, donc v(L → M) = 1 − 1 + 1·0 = 0. La règle (L ∧ Sym) → M, elle, n’est pas réfutée par ce lecteur : v(L ∧ Sym) = 1·0 = 0, donc v((L ∧ Sym) → M) = 1 − 0 + 0 = 1.

Calcul pas à pas : lecture qui mobilise le code

1. v(R) = v(H) = v(T) = 1, donc v(L) = 1·1·1 = 1.

2. v(Sym) = 1, donc v(L ∧ Sym) = 1·1 = 1.

3. La règle 1 est admise et v(Sym) = 1 ; par modus ponens, v(P ∧ A ∧ E ∧ C) = 1.

4. La règle 2 est admise et v(L ∧ P ∧ A ∧ E ∧ C) = 1·1 = 1 ; par modus ponens, v(Suc) = 1.

5. La règle 3 est admise et v(Suc) = 1 ; par modus ponens, v(M) = 1.

6. Le récit second existe, il est cohérent et conforme au code : v(Sec) = v(Coh) = v(Cons) = 1.

7. v(Allégorie) = v(S)·v(Sym)·v(Sec)·v(Coh)·v(Cons) = 1·1·1·1·1 = 1.

∴ Pour cette lecture, la fable est une allégorie et la morale en découle.

Calcul pas à pas : lecture qui ignore le code

1. v(L) = 1 et v(Sym) = 0.

2. La règle 1 est vraie par vacuité (v(Sym) = 0) : elle n’apprend rien sur P, A, E, C. Le lecteur n’obtient ni Suc ni M : v(M) = 0.

3. Ancienne règle : v(L → M) = 1 − 1 + 1·0 = 0. Elle est réfutée.

4. Règle corrigée : v((L ∧ Sym) → M) = 1 − 0 + 0·0 = 1. Elle n’est pas mise en défaut.

5. v(Allégorie) = 1·0·v(Sec)·v(Coh)·v(Cons) = 0.

∴ Pour cette lecture, la fable n’est qu’un récit de course ; la règle corrigée n’est pas contredite.

Figure 3 – Le récit littéral, le code symbolique μ et la morale : les trois règles de la fable.

1.5 Analyse vérifonctionnelle

La table de vérité de L → M ne « prouve » pas la dépendance entre récit et morale : elle montre seulement à quelles conditions cette règle est vraie. Sa vraie utilité est de séparer la vérité de la règle et la réalisation de l’allégorie, qui demande à la fois le récit et la morale, v(L ∧ M) = v(L)·v(M).

n°	Récit L	Morale M	v(L → M)	v(L ∧ M)	Statut
1	1	1	1	1	Allégorie réalisée : le récit a lieu et livre la morale.
2	1	0	0	0	Allégorie manquée : le récit a lieu, la morale ne se forme pas ; la règle est réfutée.
3	0	1	1	0	Règle vraie par vacuité : la morale existe sans ce récit (un proverbe, par exemple) ; aucune allégorie.
4	0	0	1	0	Règle vraie par vacuité : ni récit ni morale ; aucune allégorie.

La règle n’échoue qu’à la ligne 2. Mais elle est vraie sur trois lignes, alors qu’une seule réalise une allégorie : v(L → M) = 1 est une condition nécessaire de l’allégorie pour une lecture donnée, non une condition suffisante.

∴ La logique propositionnelle définit l’allégorie par une conjonction ; la dépendance L → M, ou mieux (L ∧ Sym) → M, en est la règle de fonctionnement.

1.6 Premier ordre et combinatoire des mots

Le schéma propositionnel général pour un texte w s’écrit avec une famille de propositions indexées par w :

Allégorie(w) ↔ (S(w) ∧ Sym(w) ∧ Sec(w) ∧ Coh(w) ∧ Cons(w))

La morale M(w) est le contenu du récit second Sec(w).

Pour regarder à l’intérieur du récit, il faut des quantificateurs. Soit U(w) l’ensemble des unités narratives de w (personnages, actions, lieux). C’est une partie de Fact(w) : les mots-outils « la », « et » ne symbolisent rien, de sorte qu’exiger une correspondance pour tout facteur serait trop fort. On écrit :

∃μ ( ∀u ∈ U(w) Symbolise(u, μ(u)) ∧ Cohérent(μ(w)) )

Cette formule quantifie sur une fonction μ ; elle relève donc de la logique du second ordre. Elle redevient une formule du premier ordre si l’on fixe μ à l’avance comme dictionnaire partagé (un symbole de fonction du langage) :

∀u ∈ U(w) Symbolise(u, μ(u)) ∧ Cohérent(μ(w))

En combinatoire des mots, μ est un morphisme. On écrit le récit comme un mot sur l’alphabet des unités narratives, w = w₁w₂…w_n, et l’on prolonge μ lettre à lettre :

μ(w) = μ(w₁)μ(w₂)…μ(w_n)

Le récit second est l’image du récit littéral par ce morphisme : c’est exactement ce que dit Cons. La correspondance est systématique quand chaque unité appartient au domaine de μ :

v(Sym(w)) = ∏_{i = 1}ⁿ χ_{dom μ}(w_i)

Le produit vaut 1 si et seulement si chaque facteur vaut 1, c’est-à-dire si aucune unité n’échappe au dictionnaire.

Exemple. w = (lièvre, tortue, course, lièvre, sommeil, tortue, victoire), n = 7, avec le dictionnaire μ(tortue) = persévérance, μ(lièvre) = arrogance, μ(course) = entreprise, μ(sommeil) = complaisance, μ(victoire) = réussite.

i	w_i	χ_{dom μ}(w_i)	∏_{j ≤ i} χ_{dom μ}(w_j)	μ(w_i)
1	lièvre	1	1	arrogance
2	tortue	1	1	persévérance
3	course	1	1	entreprise
4	lièvre	1	1	arrogance
5	sommeil	1	1	complaisance
6	tortue	1	1	persévérance
7	victoire	1	1	réussite

v(Sym(w)) = 1·1·1·1·1·1·1 = 1, et μ(w) = (arrogance, persévérance, entreprise, arrogance, complaisance, persévérance, réussite) : « l’arrogance et la persévérance entreprennent ; l’arrogance se relâche ; la persévérance réussit ».

Contre-exemple. w′ = (lièvre, tortue, course, averse), n = 4. Le mot averse n’appartient pas au domaine de μ.

i	w′_i	χ_{dom μ}(w′_i)	∏_{j ≤ i} χ_{dom μ}(w′_j)	μ(w′_i)
1	lièvre	1	1	arrogance
2	tortue	1	1	persévérance
3	course	1	1	entreprise
4	averse	0	0	non défini

∴ v(Sym(w′)) = 1·1·1·0 = 0 : la correspondance n’est pas systématique.

Figure 4 – Le récit second comme image du récit littéral par le morphisme μ ; le produit cumulé des indicatrices.

La logique propositionnelle saisit l’effet rhétorique global (si récit et code, alors morale) ; la logique du premier ordre et la combinatoire des mots saisissent l’architecture interne (tel personnage, tel concept) qui permet de construire cet effet.

1.7 Portée et limites

Les valeurs v(·) sont relatives à une situation de lecture : un même texte peut être allégorique pour une lecture et littéral pour une autre.
Coh n’est pas calculé ici : il suppose un critère de cohérence du récit second (un langage des récits admissibles), que la logique propositionnelle prend comme donné.
L’exigence ∏ χ_{dom μ}(w_i) = 1 est stricte : une seule unité non traduite annule Sym. Une version graduée est la proportion (1/n)·Σ_{i = 1}ⁿ χ_{dom μ}(w_i), qui vaut 3/4 = 0,75 pour w′.

⁂

2. L’allusion, logique du non-dit : l’allusion en logique propositionnelle

2.1 Définition et deux points de vue

En littérature et en rhétorique, une allusion est une référence brève et non expliquée à une personne, un lieu, un événement ou un texte extérieurs. À la différence d’une explication, elle confie au savoir préalable du public le soin de compléter le sens.

Une approche ensembliste compte les allusions d’un texte w :

Allu(w) = |{ u ∈ Fact(w) | u ↝ r ∧ r ∉ w }|

où u ↝ r se lit « le facteur u renvoie au référent r » et r ∉ w « le référent n’est pas présent dans le texte ». La logique propositionnelle ne compte pas ; elle demande à quelles conditions de vérité une allusion produit du sens.

2.2 Les propositions atomiques

P ≡ une expression allusive est présente dans le texte ;
E ≡ cette expression renvoie à un référent extérieur ;
B ≡ la référence reste brève (non expliquée) ;
R ≡ le public reconnaît le référent ;
M ≡ un sens additionnel est activé.

2.3 Allusion présente, allusion réussie

Les cinq atomes ne sont pas de même nature : P, E et B décrivent le texte ; R et M décrivent la réception. D’où deux définitions :

AllusionPrésente ↔ (P ∧ E ∧ B), v = v(P)·v(E)·v(B)

AllusionRéussie ↔ (P ∧ E ∧ B ∧ R ∧ M), v = v(P)·v(E)·v(B)·v(R)·v(M)

Pourquoi cette distinction. Si l’on mettait R dans la définition même de l’allusion, une allusion que le public ne reconnaît pas cesserait d’être une allusion ; or l’allusion manquée est un cas que tout lecteur connaît. La conjonction des cinq atomes définit donc l’allusion réussie :

Nécessité : si l’allusion réussit, les cinq conditions sont vraies.
Suffisance : si les cinq conditions sont vraies, l’allusion réussit.

AllusionRéussie → AllusionPrésente est une tautologie, car v(P)·v(E)·v(B)·v(R)·v(M) ≤ v(P)·v(E)·v(B) (on multiplie par des nombres égaux à 0 ou 1).

2.4 Le mécanisme du sens : la dépendance

L’essentiel d’une allusion n’est pas sa présence sur la page, mais l’activation d’un savoir extérieur. On isole la production du sens M comme une dépendance :

(P ∧ E ∧ B ∧ R) → M

Traduction : « si une référence textuelle brève renvoie à un objet extérieur et que le public la reconnaît, un sens additionnel est produit. » Cette implication n’est pas une tautologie : c’est une hypothèse sur la réception, que la ligne « échec » de la table de 2.6 met à l’épreuve.

2.5 Étude de cas : « Ce projet est notre cheval de Troie »

TH ≡ l’expression « cheval de Troie » apparaît (rôle de P) ;
T ≡ elle renvoie au mythe grec (rôle de E) ;
Br ≡ le mythe n’est pas expliqué par le locuteur (rôle de B) ;
K ≡ le public connaît le mythe (rôle de R) ;
H ≡ l’idée de danger caché, d’infiltration, est activée (rôle de M).

(TH ∧ T ∧ Br ∧ K) → H

Public qui connaît le mythe

1. v(TH) = v(T) = v(Br) = v(K) = 1, donc v(TH ∧ T ∧ Br ∧ K) = 1·1·1·1 = 1.

2. La règle est admise ; par modus ponens, v(H) = 1.

3. v(AllusionRéussie) = 1·1·1·1·1 = 1.

∴ Allusion réussie.

Public qui ignore le mythe

1. v(K) = 0, donc v(TH ∧ T ∧ Br ∧ K) = 0.

2. La règle est vraie par vacuité et n’apprend rien sur H ; ce public n’active pas l’idée d’infiltration : v(H) = 0.

3. v(AllusionPrésente) = 1·1·1 = 1, mais v(AllusionRéussie) = 1·1·1·0·0 = 0.

∴ Allusion présente mais manquée.

Locuteur qui explique sa référence

« Ce projet est notre cheval de Troie, c’est-à-dire un piège caché. »

1. v(Br) = 0, donc v(AllusionPrésente) = 1·1·0 = 0.

∴ Ce n’est plus une allusion mais une comparaison explicitée : le sens est transmis par l’explication, non par le savoir du public.

2.6 Table de vérité : quand l’allusion échoue

On regroupe les prérequis en une seule variable : A ≡ (P ∧ E ∧ B ∧ R), soit v(A) = v(P)·v(E)·v(B)·v(R). La règle devient A → M, et l’allusion réussie est A ∧ M.

n°	Prérequis A	Sens M	v(A → M)	v(A ∧ M)	Statut
1	1	1	1	1	Réussite : le public saisit la référence et le sens second.
2	1	0	0	0	Échec : la référence est reconnue, mais aucun sens pertinent n’en est tiré ; simple citation d’un nom, non allusion réussie.
3	0	1	1	0	Règle vraie par vacuité : le sens est produit autrement (explication littérale, par exemple).
4	0	0	1	0	Règle vraie par vacuité : pas de référence reconnue, pas de sens.

Comme pour l’allégorie, la vérité de la règle (trois lignes) ne coïncide pas avec la réussite de l’allusion (une ligne). La règle n’échoue qu’à la ligne 2 : la référence existe, renvoie au dehors, est reconnue et reste brève, mais ne produit aucun sens.

2.7 La chaîne de réception

On peut décrire l’allusion comme une suite d’étapes. Encore faut-il distinguer celles qui sont vraies par définition de celles qui sont des hypothèses sur le public :

Présence : P.
Référence externe : P → E. Vraie par définition : une expression n’est dite allusive que si elle renvoie hors du texte.
Reconnaissance : (P ∧ E) → R. Hypothèse : elle dépend du public ; c’est elle qui tombe dans l’allusion manquée.
Transfert de sens : (P ∧ E ∧ R) → M. Hypothèse : elle tombe dans la simple citation d’un nom.
Économie : B n’est pas une conséquence du sens produit, mais une condition posée par le locuteur. On ne l’écrit donc pas (P ∧ E ∧ R ∧ M) → B ; on l’ajoute aux prémisses, comme en 2.4.

Sous les hypothèses 2 à 4, l’enchaînement par syllogisme hypothétique donne :

P → (E ∧ R ∧ M) et donc (P ∧ B) → (P ∧ E ∧ B ∧ R ∧ M)

Une formule P → (E ∧ R ∧ M ∧ B) affirmerait en outre que toute expression allusive est brève, ce que dément le troisième cas de 2.5. Et, même sans B, P → (E ∧ R ∧ M) ne vaut que pour un public idéal qui reconnaît tout : c’est un modèle de réception réussie, non une loi.

Figure 5 – La chaîne de réception de l’allusion : étapes définitionnelles, hypothèses, et les trois manières d’échouer.

2.8 Du comptage à la proposition

Pour calculer P(w), on fixe un dictionnaire D d’expressions allusives. Chacune a une longueur de k mots (ici k = 3) et un référent extérieur connu, de sorte que E est vraie par construction. Le texte est un mot sur l’alphabet des mots-formes : w = w₁w₂…w_n. Pour d = d₁d₂d₃ ∈ D, le nombre d’occurrences est

Allu(w) = Σ_{i = 1}^{n − k + 1} ∏_{j = 1}^k χ_Δ(w_{i + j − 1}, d_j)

où χ_Δ(a, b) = 1 si a = b et 0 sinon (indicatrice de la diagonale). Le produit vaut 1 exactement quand la fenêtre w_i…w_{i + k − 1} coïncide mot à mot avec d ; la somme compte ces fenêtres. Puis :

v(P(w)) = χ_{[1, +∞[}(Allu(w)) = min(1, Allu(w))

La brièveté se calcule par l’absence de marqueur d’explication, pris dans un ensemble X = {c’est-à-dire, autrement-dit, à-savoir} :

v(B(w)) = 1 − min(1, Σ_{i = 1}ⁿ χ_X(w_i))

Exemple 1. w = (ce, projet, est, notre, cheval, de, troie), n = 7, k = 3, d = (cheval, de, troie). Il y a n − k + 1 = 5 fenêtres.

i	fenêtre w_iw_i+1w_i+2	χ_Δ(w_i, d₁)	χ_Δ(w_i+1, d₂)	χ_Δ(w_i+2, d₃)	produit
1	ce projet est	0	0	0	0
2	projet est notre	0	0	0	0
3	est notre cheval	0	0	0	0
4	notre cheval de	0	0	0	0
5	cheval de troie	1	1	1	1

Allu(w) = 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1, donc v(P(w)) = min(1, 1) = 1.

Aucun mot de w n’appartient à X : Σ χ_X(w_i) = 0, donc v(B(w)) = 1 − 0 = 1.

v(E(w)) = 1 par construction de D.

∴ v(AllusionPrésente(w)) = 1·1·1 = 1.

Exemple 2. w″ = (ce, projet, est, notre, cheval, de, troie, c’est-à-dire, un, piège, caché), n = 11. La fenêtre i = 5 donne encore Allu(w″) = 1 et v(P(w″)) = 1 ; mais w″₈ = c’est-à-dire ∈ X, donc Σ χ_X(w″_i) = 1 et v(B(w″)) = 1 − 1 = 0.

∴ v(AllusionPrésente(w″)) = 1·1·0 = 0 : la référence est expliquée.

Figure 6 – Fenêtre glissante de longueur 3 : chaque fenêtre donne le produit de trois indicatrices χ_Δ ; la somme compte les occurrences.

Remarque sur la définition ensembliste. L’ensemble {u ∈ Fact(w) | …} contient des facteurs distincts : deux occurrences de « cheval de Troie » n’y comptent qu’une fois, alors que la somme ci-dessus compte les occurrences. Et si D contient à la fois « cheval de Troie » et « Troie », une même occurrence est comptée deux fois ; on évite ce double compte en ne gardant que les occurrences maximales.

2.9 Bilan

La logique propositionnelle ne peut exprimer ni ∀ (pour tout), ni ∃ (il existe), ni des cardinaux. Elle réduit la structure combinatoire à une proposition vérifonctionnelle par texte :

AllusionRéussie(w) ↔ Présente(w) ∧ Externe(w) ∧ Brève(w) ∧ Reconnue(w) ∧ Signifiante(w)

La théorie des ensembles et la logique du premier ordre saisissent la distribution et le nombre des allusions ; la logique propositionnelle saisit les conditions de réussite de l’acte allusif, et sépare ce qui tient au texte (P, E, B) de ce qui tient au public (R, M).

⁂

3. L’antiphrase, mécanique de l’ironie : l’antiphrase en logique propositionnelle

3.1 Définition

L’antiphrase est le moteur de l’ironie et du sarcasme : un mot ou une phrase est employé intentionnellement pour signifier le contraire de son sens conventionnel, comme « Quel beau temps ! » sous la tempête.

La définition ensembliste compte les inversions sémantiques d’un texte w :

Anti(w) = |{ u ∈ Fact(w) | Sem(u) = ¬Exp(u) }|

où Exp(u) est le sens attendu (littéral) de u et Sem(u) le sens visé. Deux précisions s’imposent. D’abord, la négation ¬ porte sur des propositions, non sur des mots : Sem(u) et Exp(u) désignent ici des contenus propositionnels, comme « la journée est belle ». Ensuite, l’antiphrase emploie le plus souvent le contraire, non le contradictoire (voir 3.4) : l’égalité Sem(u) = ¬Exp(u) en est le cas limite.

3.2 Pourquoi le modèle naïf est contradictoire

Un premier modèle pose cinq atomes : S ≡ une expression de surface est prononcée ; E ≡ le sens littéral attendu est activé chez l’auditeur ; I ≡ le sens visé est la négation du sens attendu ; O ≡ l’opposition entre sens littéral et contexte est manifeste ; H ≡ un effet ironique est produit. Il pose ensuite les lois I ↔ ¬E et O ↔ (E ∧ I), et la définition Antiphrase ↔ (S ∧ E ∧ I ∧ O ∧ H). Le calcul montre que ces trois exigences sont incompatibles :

1. Par I ↔ ¬E : v(I) = 1 − v(E).

2. Par O ↔ (E ∧ I) : v(O) = v(E)·v(I) = v(E)·(1 − v(E)) = v(E) − v(E)².

3. Par idempotence, v(E)² = v(E), donc v(O) = 0 pour toute valuation.

4. Donc v(Antiphrase) = v(S)·v(E)·v(I)·v(O)·v(H) = 0 pour toutes les valuations.

∴ Ce système définit une figure qui n’existe jamais.

L’origine de la contradiction. E désigne un état de l’auditeur (« le sens littéral est activé »), alors que ¬E devrait désigner un contenu (« la journée n’est pas belle »). On a confondu l’activation d’un sens et la vérité de ce sens. Comprendre « la journée est belle » et comprendre « la journée est affreuse » sont deux états compatibles ; c’est même ce qui rend l’antiphrase possible.

Figure 7 – Le modèle naïf : avec I ↔ ¬E et O ↔ (E ∧ I), la colonne O ne contient que des 0.

3.3 Le modèle corrigé : deux niveaux

On sépare le niveau des contenus et le niveau des états de l’échange.

Les contenus

p ≡ le contenu littéral (« la journée est belle ») ;
q ≡ le contenu visé (« la journée est affreuse »).

Les états de l’échange (atomes)

S ≡ l’énoncé est proféré ;
E ≡ l’auditeur active le contenu littéral p ;
K ≡ le contexte partagé rend p manifestement faux (le locuteur et l’auditeur savent que v(p) = 0) ;
I ≡ l’auditeur reconstruit un contenu visé q incompatible avec p ;
O ≡ l’auditeur reconnaît l’inversion comme délibérée ;
H ≡ un effet ironique est produit.

Antiphrase ↔ (S ∧ E ∧ K ∧ I ∧ O), v = v(S)·v(E)·v(K)·v(I)·v(O)

L’effet ironique est réglé par une loi pragmatique distincte de la définition : Antiphrase → H. Pourquoi sortir H de la définition ? Parce qu’une antiphrase comprise mais qui ne fait pas rire reste une antiphrase (voir la ligne 2 de la table de 3.7).

La loi I ↔ ¬E disparaît : E et I sont maintenant deux atomes indépendants, tous deux vrais dans une antiphrase réussie. L’inversion n’est plus portée par les états de l’auditeur, mais par la relation entre les contenus p et q.

3.4 Contraire ou contradictoire

« Affreux » n’est pas la négation de « beau » : une journée peut n’être ni belle ni affreuse (grise, quelconque). Le contraire q entraîne la négation de p, sans réciproque. D’où deux relations :

Antiphrase contraire : q → ¬p, c’est-à-dire ¬(p ∧ q) ; v = 1 − v(p)·v(q)

Antiphrase contradictoire (cas limite) : q ↔ ¬p ; v = 1 − (v(q) − (1 − v(p)))² = (v(p) − v(q))²

La seconde égalité se vérifie sur les quatre cas : v(p) + v(q) − 1 vaut −1, 0 ou 1, et son carré vaut 0 exactement quand v(p) ≠ v(q).

n°	v(p)	v(q)	v(¬(p ∧ q))	v(q ↔ ¬p)	Lecture
1	1	1	0	0	Incompatibilité violée : p et q ne peuvent être vrais ensemble.
2	1	0	1	1	Le littéral est vrai : énoncé sincère, pas d’antiphrase dans ce contexte (K est faux).
3	0	1	1	1	Cas de l’antiphrase : le littéral est faux, le visé est vrai.
4	0	0	1	0	Journée ni belle ni affreuse : la relation contraire est remplie, la contradictoire ne l’est pas.

La ligne 4 sépare les deux relations. La ligne 2 montre que la relation entre contenus ne suffit pas : il faut aussi que le contexte rende p faux, ce que dit K.

∴ L’antiphrase usuelle demande la relation contraire ¬(p ∧ q) et, dans son contexte, v(p) = 0 et v(q) = 1 (ligne 3). L’exigence q ↔ ¬p est trop forte : elle ferait de « affreux » un simple « pas beau ».

Figure 8 – Contraire et contradictoire : les quatre valuations de (p, q) ; seule la ligne 4 les distingue.

3.5 La chaîne d’interprétation

Sens de surface : S → E (compétence linguistique de l’auditeur).
Détection de la contradiction : (E ∧ K) → I. C’est le contexte, non le sens littéral seul, qui oblige à chercher un autre contenu.
Reconnaissance de l’inversion : (E ∧ K ∧ I) → O.
Effet ironique : (S ∧ E ∧ K ∧ I ∧ O) → H. Hypothèse pragmatique.

Pourquoi K est indispensable à l’étape 2. La règle E → I ferait de tout énoncé compris un énoncé ironique. Contre-exemple : sous le soleil, « Quel beau temps ! » est sincère ; v(E) = 1 et v(I) = 0, donc v(E → I) = 1 − 1 + 1·0 = 0, et la règle est réfutée. Avec le contexte : v(K) = 0, donc v(E ∧ K) = 0 et v((E ∧ K) → I) = 1.

Pourquoi on n’écrit pas S → E → I → O → H. Sans parenthèses, cette écriture se lit S → (E → (I → (O → H))), ce qui ne dit pas la même chose qu’une suite d’étapes. On écrit les étapes une à une ; leur enchaînement, par modus ponens successifs à partir de S et de K, donne :

(S ∧ K) → H

Figure 9 – La chaîne d’interprétation corrigée : le contexte K entre à l’étape 2.

3.6 Étude de cas : « Quel beau temps ! »

Deux personnes, sous un ouragan, voient leurs parapluies se retourner. L’une dit : « Quel beau temps ! ».

B ≡ « beau temps » est prononcé (rôle de S) ;
R ≡ la réalité est une tempête ;
C ≡ le sens littéral de « beau » contredit R (rôle de K) ;
I ≡ le sens visé est « temps affreux » (relation contraire avec le littéral) ;
Hum ≡ l’auditeur perçoit le sarcasme (rôle de H).

Le déclenchement : (B ∧ R) → C. L’effet : (B ∧ R ∧ C) → Hum. Leur combinaison : (B ∧ R) → (C ∧ Hum), qui découle des deux règles (de B ∧ R on tire C, puis Hum).

Sous l’ouragan

1. v(B) = 1 et v(R) = 1, donc v(B ∧ R) = 1.

2. Modus ponens sur (B ∧ R) → C : v(C) = 1.

3. v(B ∧ R ∧ C) = 1 ; modus ponens : v(Hum) = 1.

4. Contenus : v(p) = 0 (le temps n’est pas beau) et v(q) = 1 (il est affreux) ; v(¬(p ∧ q)) = 1 − 0·1 = 1.

5. v(Antiphrase) = v(S)·v(E)·v(K)·v(I)·v(O) = 1·1·1·1·1 = 1.

∴ Antiphrase réussie, avec effet ironique.

Sous le soleil

1. v(R) = 0, donc v(B ∧ R) = 0 ; les deux règles sont vraies par vacuité.

2. v(p) = 1, donc le contexte ne rend pas p faux : v(K) = 0.

3. v(Antiphrase) = 1·1·0·v(I)·v(O) = 0.

∴ Énoncé sincère, aucune antiphrase.

3.7 Table de vérité de l’effet ironique

Soit A ≡ (S ∧ E ∧ K ∧ I ∧ O), l’antiphrase reconnue. La loi pragmatique est A → H.

n°	Antiphrase A	Ironie H	v(A → H)	Statut
1	1	1	1	Réussite : le sarcasme porte.
2	1	0	0	Échec : l’auditeur comprend qu’on veut dire le contraire, mais n’y trouve ni humour ni pointe (plaisanterie « plate ») ; la loi est réfutée.
3	0	1	1	Loi vraie par vacuité : l’ironie vient d’ailleurs (ironie de situation).
4	0	0	1	Loi vraie par vacuité : ni antiphrase, ni ironie.

La ligne 2 décrit une situation réelle. A → H n’est donc pas un théorème mais une hypothèse empirique, que l’on adopte ou non. On ne peut pas dire que l’ironie est une conséquence nécessaire de l’antiphrase réussie ; on peut dire seulement que, si l’on admet la loi, l’antiphrase reconnue suffit à produire l’ironie.

3.8 Du comptage à la proposition

On fixe une polarité lexicale ε sur un dictionnaire V = {d₁, …, d_m} : ε_j = +1 pour un mot positif (beau, magnifique), ε_j = −1 pour un mot négatif (affreux). La polarité d’un mot u se calcule sans table de recherche :

pol(u) = Σ_{j = 1}^m χ_Δ(u, d_j)·ε_j

Elle vaut 0 pour un mot hors du dictionnaire. On note π(c) ∈ {−1, +1} la polarité du contexte c. Un mot w_i est antiphrastique dans le contexte c quand sa polarité est opposée à celle du contexte, c’est-à-dire quand pol(w_i)·π(c) = −1. Pour x ∈ {−1, 0, 1}, l’indicatrice de la valeur −1 s’écrit sans test : χ₋₁(x) = x(x − 1)/2 (elle vaut 1 pour x = −1 et 0 pour x = 0 ou x = 1). D’où :

Anti(w, c) = Σ_{i = 1}ⁿ χ₋₁(pol(w_i)·π(c)), v(Antiphrase(w, c)) = min(1, Anti(w, c))

Exemple. w = (quel, beau, temps), avec V = {beau, magnifique, affreux}, ε = (+1, +1, −1).

i	w_i	pol(w_i)	x = pol(w_i)·π(tempête), π = −1	χ₋₁(x)	x = pol(w_i)·π(soleil), π = +1
1	quel	0	0	0	0
2	beau	+1	−1	1	+1
3	temps	0	0	0	0

Tempête : Anti(w, tempête) = 0 + 1 + 0 = 1 ; v(Antiphrase) = min(1, 1) = 1.

Soleil : Anti(w, soleil) = 0 + 0 + 0 = 0 ; v(Antiphrase) = min(1, 0) = 0.

∴ La même phrase est antiphrastique sous la tempête et sincère sous le soleil : la mesure dépend du contexte, comme l’atome K.

Figure 10 – Polarité des mots et polarité du contexte : le produit −1 signale l’inversion.

3.9 Bilan

La définition ensembliste mesure le nombre d’inversions ; la logique propositionnelle en décrit l’architecture :

contenu littéral p ↦ contenu visé q avec ¬(p ∧ q) ↦ reconnaissance O ↦ ironie H

Toute l’antiphrase repose sur un seul opérateur, la négation, à condition de l’appliquer au bon niveau : aux contenus (q exclut p), non aux états de l’auditeur (qui active p et q à la fois). Appliquée au mauvais niveau, elle rend la figure contradictoire (3.2).

⁂

4. Synthèse des trois figures

n°	Figure	Atomes du texte	Atomes de la réception	Définition (conjonction)	Loi de fonctionnement (hypothèse)	Échec typique
1	Allégorie	S, Sym, Sec, Cons	Coh (et la mobilisation du code)	S ∧ Sym ∧ Sec ∧ Coh ∧ Cons	(L ∧ Sym) → M	récit lu sans le code : v(L) = 1, v(M) = 0
2	Allusion	P, E, B	R, M	présente : P ∧ E ∧ B ; réussie : P ∧ E ∧ B ∧ R ∧ M	(P ∧ E ∧ B ∧ R) → M	référence non reconnue (R = 0) ou sans sens (M = 0)
3	Antiphrase	S, et la relation ¬(p ∧ q)	E, K, I, O	S ∧ E ∧ K ∧ I ∧ O	Antiphrase → H	inversion comprise sans effet (H = 0)

Dans les trois cas, la même leçon se répète : une implication vraie ne prouve pas l’existence de la figure, puisqu’elle est vraie par vacuité dès que sa prémisse est fausse. La figure se définit par une conjonction, c’est-à-dire par un produit d’indicatrices ; l’implication décrit seulement la manière dont elle produit son effet.

Figure 11 – Synthèse : pour chaque figure, nombre de valuations où la définition est vraie et où la règle est vraie.

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