Ci-dessus est l’illustration standard de la notation standard de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance notée généralement χ_F(x), et définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément x de l’ensemble E.

I) Introduction au glossaire des termes commençant par la lettre A, de l’isomorphisme original entre les figures de rhétorique classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots

Il s’agit d’établir un glossaire des termes commençant par la lettre A, de l’isomorphisme original entre les figures de rhétorique classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots et dont l’approche offre une véritable taxonomie algébrique de l’expressivité linguistique. L’approche est originale dans sa formulation précise : elle tente de donner une interprétation formelle, calculable et unifiée des figures rhétoriques en termes d’opérateurs de la combinatoire des mots. Les travaux existants sont soit computationnels (détection), soit rhétoriques (classification interne), soit purement mathématiques (combinatoire des mots). La jonction systématique proposée ne semble pas documentée. Le degré d’originalité dépend toutefois de la rigueur de l’isomorphisme revendiqué : plus les correspondances reposent sur des propriétés formelles standard (préfixe, suffixe, primitivité, conjugaison…), plus la revendication est solide ; plus elles reposent sur des fonctions sémantiques externes, plus elles restent analogiques.

Objet

Ce glossaire associe à des termes de la rhétorique classique (figures, procédés, parties du discours, notions d’argumentation) un mécanisme de la combinatoire des mots : une procédure qui, appliquée à un texte écrit comme un mot fini, reconnaît le procédé et en donne une mesure. La mesure est toujours une fonction caractéristique, ou une somme, un produit ou un quotient de valeurs de fonctions caractéristiques ; elle se calcule avec les quatre opérations, des comparaisons, un minimum ou un maximum.

Les travaux existants sur ces sujets sont de trois sortes : computationnels (détection automatique de figures), rhétoriques (classification interne des procédés), ou purement mathématiques (combinatoire des mots). Ce glossaire relie systématiquement les trois : chaque terme rhétorique reçoit une définition mathématique calculable, et chaque calcul est fait sur des exemples.

Nature de la correspondance

Le lien établi est une correspondance, et non un isomorphisme. Un isomorphisme serait une bijection qui conserve toute la structure ; or des textes très différents réalisent le même procédé, et un même texte peut en réaliser plusieurs. La correspondance va des textes vers les procédés et elle est plusieurs-à-un : à chaque texte, chaque mécanisme associe un nombre.

Solidité des correspondances

Toutes les correspondances ne reposent pas sur le même type de données. Le critère retenu est la nature des données nécessaires au calcul ; moins le calcul demande de données extérieures au mot, plus la correspondance est solide.

Degré	Données nécessaires	Exemples dans ce glossaire
1	le mot seul : positions, répétitions, ordre, ponctuation, lettres	chiasme, répétitions de facteurs, allitérations
2	des listes fermées de mots (marqueurs, connecteurs, négations)	charge de la preuve, captatio benevolentiae, canon
3	un dictionnaire ou une table de valeurs fixée d’avance	barbarisme, bathos, blason, buzzword
4	une donnée extérieure au texte (corpus, situation, intention)	indiqué dans chaque fiche concernée

Chaque fiche indique son degré, dit quelles données elle utilise et d’où elles viennent, et signale les cas que le mécanisme ne reconnaît pas.

0. Conventions communes

0.1 Le texte comme mot

Un texte est un mot fini w = t₁ t₂ ⋯ t_n dont les lettres sont des tokens : mots graphiques séparés par des espaces ou des apostrophes (une forme élidée comme l’ ou j’ compte pour un token). Les nombres et les symboles d’unité (%, €) comptent comme tokens ; les signes de ponctuation ne sont pas comptés comme tokens : ils servent à découper le texte en unités (propositions ou phrases). Pour certains termes (le barbarisme), on descend au niveau des lettres d’un token : un token est alors lui-même un mot sur l’alphabet des lettres.

Un facteur de w est un bloc de tokens consécutifs t_i t_i+1 ⋯ t_j ; Fact(w) est l’ensemble des facteurs de w ; |u| est la longueur (le nombre de tokens) du facteur u. Un sous-mot (ou sous-mot éparpillé) de w est une suite de tokens de w pris dans l’ordre, pas nécessairement consécutifs.

0.2 Fonctions caractéristiques

Pour un ensemble A, χ_A(x) vaut 1 si x ∈ A et 0 sinon. Trois règles servent dans toutes les fiches :

N°	Opération logique	Écriture arithmétique	Pourquoi
R1	non A	1 − χ_A(x)	échange 0 et 1
R2	A et B	χ_A(x) · χ_B(x)	le produit vaut 1 seulement si les deux valent 1
R3	A ou B	1 − (1 − χ_A(x)) · (1 − χ_B(x))	vaut 0 seulement si les deux valent 0

Pour un nombre k et un intervalle I, χ_I(k) vaut 1 si k ∈ I : par exemple χ_{[1, ∞)}(k) vaut 1 dès que k ≥ 1, ce qui traduit « il existe au moins un ». Le nombre d’éléments d’un ensemble se calcule comme une somme de fonctions caractéristiques : |{i : t_i ∈ A}| = Σ_i χ_A(t_i).

Un texte écrit comme suite de tokens, la valeur de χ_A sous chaque token, et le comptage par la somme.

0.3 Données explicites et seuils déclarés

Toute information de sens (un dictionnaire, une liste de marqueurs, une valeur de registre) est donnée par une table finie, écrite dans la fiche. Tout seuil est un nombre écrit, avec son origine : logique (« au moins un », « égal à »), de référence (tiré d’une source publiée ou d’une propriété de l’échelle utilisée) ou conventionnel (choisi, avec un tableau de sensibilité qui montre l’effet d’un autre choix).

0.4 Statut modal

Chaque correspondance reçoit l’un de trois statuts : nécessaire si elle ne dépend que du mot (degré 1) ; possible si elle dépend de listes fermées ou de ressources publiques fixées d’avance (degrés 2 et 3) ; contingente si elle dépend d’une donnée sur la situation ou le monde (degré 4).

00. Conventions de notation et statut modal des équivalences

00.1 Alphabet, mots, longueur

Σ désigne un alphabet fini, Σ^∗ l’ensemble des mots finis sur Σ, ε le mot vide et Σ⁺ = Σ^∗ ∖ {ε}. Un mot s’écrit w = a₁a₂ ⋯ a_n avec a_i ∈ Σ ; sa longueur est |w| = n. Pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n, le facteur de w allant de la position i à la position j est noté w[i..j] = a_ia_i+1 ⋯ a_j.

00.2 Facteurs, préfixes, suffixes

Fact(w) est l’ensemble des facteurs non vides et distincts de w ; Fact_k(w) ceux de longueur k ; Fact_≥2(w) ceux de longueur au moins 2. La fonction de complexité factorielle est p_w(k) = |Fact_k(w)|. Pref_k(w) et Suff_k(w) désignent le préfixe et le suffixe de longueur k. La multiplicité (nombre d’occurrences) d’un facteur u dans w est m_w(u) = Σ_i=1^n−|u|+1 χ_{u}(w[i..i+|u|−1]) et le nombre d’occurrences d’une lettre a est |w|_a = Σ_i=1ⁿ χ_{a}(a_i). Nous détaillons premièrement 1) l’expression mathématique de la multiplicité (nombre d’occurrences) d’un facteur u dans w, puis deuxièmement 2) l’expression mathématique du nombre d’occurrences d’une lettre a dans un mot respectivement comme suit ci dessous :

1) L’expression mathématique du nombre d’occurrences d’un facteur : m_w(u)

1. Les objets

Un mot w est une suite finie de lettres w[1] w[2] ⋯ w[n] ; son nombre de lettres est sa longueur, n = |w|. Pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n, le facteur w[i..j] est le bloc de lettres consécutives qui commence à la position i et finit à la position j :

w[i..j] = w[i] w[i+1] ⋯ w[j], de longueur j − i + 1.

Le facteur de longueur |u| qui commence en i est donc w[i..i+|u|−1]. Il doit tenir dans w : sa dernière position vérifie i + |u| − 1 ≤ n, c’est-à-dire i ≤ n − |u| + 1. Les positions de départ possibles sont i = 1, 2, …, n − |u| + 1.

2. La formule

Le nombre d’occurrences du facteur u dans le mot w est

m_w(u) = Σ_i=1^n−|u|+1 χ_{u}( w[i..i+|u|−1] ), où χ_{u} est l’indicatrice du singleton {u} :

χ_{u}(x) = 1 si x = u, χ_{u}(x) = 0 sinon.

3. Le calcul de χ_{u} : égalité lettre à lettre

Dire « x = u » pour deux mots de même longueur k = |u|, c’est dire que leurs lettres sont égales une à une : x[1] = u[1] et x[2] = u[2] et … et x[k] = u[k]. On introduit l’indicatrice d’égalité de deux lettres :

e(a, b) = 1 si a = b, e(a, b) = 0 sinon. Le « et » de plusieurs conditions s’écrit comme un produit d’indicatrices : le produit vaut 1 seulement si tous les facteurs valent 1, et il vaut 0 dès qu’une seule lettre diffère. D’où

χ_{u}(x) = ∏_r=1^k e( x[r], u[r] ), et, en remplaçant x par le facteur w[i..i+k−1], dont la r-ième lettre est w[i+r−1] :

m_w(u) = Σ_i=1^n−k+1 ∏_r=1^k e( w[i+r−1], u[r] )

La formule ne contient plus que des comparaisons de lettres, des produits et une somme : chaque valeur 0 ou 1 du calcul est justifiée par une comparaison écrite. C’est ce que détaillent les tableaux suivants, une colonne par lettre de u.

Pour MISSISSIPPI et u = SSI : les neuf fenêtres de longueur 3, chaque lettre comparée à la lettre de u au même rang (1 si égale, 0 sinon), le produit des trois comparaisons, puis la somme des produits.

Exemple 1 : un facteur qui se recouvre lui-même

Soit w = ABABA et u = ABA. Les lettres sont numérotées à partir de 1 :

w = w[1] = A w[2] = B w[3] = A w[4] = B w[5] = A

u = u[1] = A u[2] = B u[3] = A

Longueurs et nombre de positions de départ :

n = |w| = 5, |u| = 3, n − |u| + 1 = 5 − 3 + 1 = 3.

Il y a donc 3 facteurs de longueur 3 à examiner, un pour chaque position i de 1 à 3. Pour chacun, on compare ses 3 lettres à celles de u, une par une, puis on multiplie :

χ_{ABA}(w[i..i+2]) = e(w[i], u[1]) · e(w[i+1], u[2]) · e(w[i+2], u[3]).

i	facteur w[i..i+2]	e(w[i], u[1])	e(w[i+1], u[2])	e(w[i+2], u[3])	χ_{ABA}(w[i..i+2]) = produit	S_i = S_i−1 + χ
1	ABA	e(A, A) = 1	e(B, B) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 × 1 = 1	1
2	BAB	e(B, A) = 0	e(A, B) = 0	e(B, A) = 0	0 × 0 × 0 = 0	1
3	ABA	e(A, A) = 1	e(B, B) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 × 1 = 1	2

La dernière colonne est la somme partielle : on ajoute à chaque ligne la valeur de l’indicatrice. La valeur de la dernière ligne est le résultat :

m_w(ABA) = 1 + 0 + 1 = 2.

Les deux occurrences, en i = 1 et en i = 3, partagent la lettre w[3] = A : l’une finit là où l’autre commence. La formule les compte toutes les deux, car elle examine chaque position de départ indépendamment des autres.

Exemple 2 : occurrences chevauchantes

Soit w = AAAAA et u = AA. Les lettres sont numérotées à partir de 1 :

w = w[1] = A w[2] = A w[3] = A w[4] = A w[5] = A

u = u[1] = A u[2] = A

Longueurs et nombre de positions de départ :

n = |w| = 5, |u| = 2, n − |u| + 1 = 5 − 2 + 1 = 4.

Il y a donc 4 facteurs de longueur 2 à examiner, un pour chaque position i de 1 à 4. Pour chacun, on compare ses 2 lettres à celles de u, une par une, puis on multiplie :

χ_{AA}(w[i..i+1]) = e(w[i], u[1]) · e(w[i+1], u[2]).

i	facteur w[i..i+1]	e(w[i], u[1])	e(w[i+1], u[2])	χ_{AA}(w[i..i+1]) = produit	S_i = S_i−1 + χ
1	AA	e(A, A) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 = 1	1
2	AA	e(A, A) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 = 1	2
3	AA	e(A, A) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 = 1	3
4	AA	e(A, A) = 1	e(A, A) = 1	1 × 1 = 1	4

La dernière colonne est la somme partielle : on ajoute à chaque ligne la valeur de l’indicatrice. La valeur de la dernière ligne est le résultat :

m_w(AA) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

Les quatre occurrences se chevauchent : celle qui commence en i partage une lettre avec celle qui commence en i + 1 :

AAAAA, AAAAA, AAAAA, AAAAA.

Si l’on exigeait des occurrences disjointes, on n’en trouverait que 2 (AA·AA·A) ; m_w(u) compte les occurrences chevauchantes.

ABABA avec u = ABA et AAAAA avec u = AA : chaque occurrence repérée par une accolade sous sa position de départ ; les accolades se recouvrent.

Exemple 3 : un mot plus long

Soit w = MISSISSIPPI et u = SSI. Les lettres sont numérotées à partir de 1 :

w = M I S S I S S I P P I (n = 11)

u = u[1] = S u[2] = S u[3] = I

Longueurs et nombre de positions de départ :

n = |w| = 11, |u| = 3, n − |u| + 1 = 11 − 3 + 1 = 9.

Il y a donc 9 facteurs de longueur 3 à examiner, un pour chaque position i de 1 à 9. Pour chacun, on compare ses 3 lettres à celles de u, une par une, puis on multiplie :

χ_{SSI}(w[i..i+2]) = e(w[i], u[1]) · e(w[i+1], u[2]) · e(w[i+2], u[3]).

i	facteur w[i..i+2]	e(w[i], u[1])	e(w[i+1], u[2])	e(w[i+2], u[3])	χ_{SSI}(w[i..i+2]) = produit	S_i = S_i−1 + χ
1	MIS	e(M, S) = 0	e(I, S) = 0	e(S, I) = 0	0 × 0 × 0 = 0	0
2	ISS	e(I, S) = 0	e(S, S) = 1	e(S, I) = 0	0 × 1 × 0 = 0	0
3	SSI	e(S, S) = 1	e(S, S) = 1	e(I, I) = 1	1 × 1 × 1 = 1	1
4	SIS	e(S, S) = 1	e(I, S) = 0	e(S, I) = 0	1 × 0 × 0 = 0	1
5	ISS	e(I, S) = 0	e(S, S) = 1	e(S, I) = 0	0 × 1 × 0 = 0	1
6	SSI	e(S, S) = 1	e(S, S) = 1	e(I, I) = 1	1 × 1 × 1 = 1	2
7	SIP	e(S, S) = 1	e(I, S) = 0	e(P, I) = 0	1 × 0 × 0 = 0	2
8	IPP	e(I, S) = 0	e(P, S) = 0	e(P, I) = 0	0 × 0 × 0 = 0	2
9	PPI	e(P, S) = 0	e(P, S) = 0	e(I, I) = 1	0 × 0 × 1 = 0	2

La dernière colonne est la somme partielle : on ajoute à chaque ligne la valeur de l’indicatrice. La valeur de la dernière ligne est le résultat :

m_w(SSI) = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 2.

Les deux occurrences commencent en i = 3 (MISSISSIPPI) et en i = 6 (MISSISSIPPI). Aux autres positions, au moins une des trois comparaisons vaut 0, et le produit s’annule.

4. Interprétation et contrôle

La somme d’indicatrices compte les positions où la condition est vraie :

m_w(u) = #{ i ∈ {1, …, n − |u| + 1} : w[i..i+|u|−1] = u }.

C’est le principe général : le nombre d’éléments d’un ensemble fini est la somme, sur un ensemble qui le contient, de son indicatrice. Ici l’ensemble qui contient tout est celui des positions de départ, et la condition est l’égalité lettre à lettre.

Un contrôle découle de la formule. À chaque position i correspond exactement un facteur de longueur k ; si l’on additionne m_w(u) sur tous les mots u de longueur k qui apparaissent dans w, chaque position est comptée une fois et une seule :

Σ_{|u| = k} m_w(u) = n − k + 1.

Pour MISSISSIPPI et k = 3, les facteurs sont MIS, ISS (2 fois), SSI (2 fois), SIS, SIP, IPP, PPI :

1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9 = 11 − 3 + 1.

Tableau récapitulatif

N°	w	u	n	\|u\|	positions n − \|u\| + 1	positions des occurrences	m_w(u)
1	ABABA	ABA	5	3	3	1, 3	2
2	AAAAA	AA	5	2	4	1, 2, 3, 4	4
3	MISSISSIPPI	SSI	11	3	9	3, 6	2

1) L’expression mathématique du nombre d’occurrences d’une lettre : |w|_a

1. Les objets

Un mot w est une suite finie de lettres prises dans un alphabet Σ. On note w[i] la lettre de w placée en position i, de sorte que

w = w[1] w[2] ⋯ w[n], n = |w|.

La notation w[i] évite une confusion : a désigne la lettre que l’on compte, w[i] la lettre lue à la position i.

2. La formule

|w|_a = Σ_i=1ⁿ χ_{a}( w[i] ),

où χ_{a} est l’indicatrice du singleton {a} :

χ_{a}(x) = 1 si x = a, χ_{a}(x) = 0 sinon.

3. Ce que fait chaque terme

Le terme de rang i est le résultat d’une comparaison entre deux lettres : on lit w[i], on le compare à a, et l’on écrit 1 si les deux lettres sont identiques, 0 sinon. C’est l’indicatrice d’égalité :

χ_{a}(w[i]) = e(w[i], a), e(x, y) = 1 si x = y, 0 sinon.

La somme se construit position par position. On pose S₀ = 0, puis

S_i = S_i−1 + χ_{a}(w[i]), i = 1, 2, …, n,

et le résultat est la dernière somme partielle :

|w|_a = S_n

À chaque position, S augmente de 1 si la lettre lue est a, et ne change pas sinon. Les tableaux ci-dessous écrivent, pour chaque position, la comparaison qui produit la valeur 0 ou 1 : aucune valeur n’est posée sans sa justification.

MISSISSIPPI : chaque lettre comparée à S (vert si égale, rouge sinon), la valeur de l’indicatrice sous chaque lettre et la somme partielle S_i qui monte d’une marche à chaque S.

Exemple 1 : la lettre A dans BANANA

Soit w = BANANA, de longueur n = 6, et la lettre a = A. Les lettres de w, numérotées à partir de 1, sont :

(B, A, N, A, N, A).

On compare chaque lettre w[i] à A ; la comparaison donne la valeur de l’indicatrice, et la dernière colonne additionne ces valeurs au fur et à mesure :

i	w[i]	comparaison w[i] = A ?	χ_{A}(w[i])	S_i = S_i−1 + χ_{A}(w[i])
1	B	B = A ? non	χ_{A}(B) = 0	0
2	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	1
3	N	N = A ? non	χ_{A}(N) = 0	1
4	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	2
5	N	N = A ? non	χ_{A}(N) = 0	2
6	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	3

La somme des valeurs de l’indicatrice est :

|w|_A = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 3.

Les positions comptées sont i = 2, 4, 6 : la lettre A apparaît 3 fois.

Exemple 2 : la lettre S dans MISSISSIPPI

Soit w = MISSISSIPPI, de longueur n = 11, et la lettre a = S. Les lettres de w, numérotées à partir de 1, sont :

(M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I).

On compare chaque lettre w[i] à S ; la comparaison donne la valeur de l’indicatrice, et la dernière colonne additionne ces valeurs au fur et à mesure :

i	w[i]	comparaison w[i] = S ?	χ_{S}(w[i])	S_i = S_i−1 + χ_{S}(w[i])
1	M	M = S ? non	χ_{S}(M) = 0	0
2	I	I = S ? non	χ_{S}(I) = 0	0
3	S	S = S ? oui	χ_{S}(S) = 1	1
4	S	S = S ? oui	χ_{S}(S) = 1	2
5	I	I = S ? non	χ_{S}(I) = 0	2
6	S	S = S ? oui	χ_{S}(S) = 1	3
7	S	S = S ? oui	χ_{S}(S) = 1	4
8	I	I = S ? non	χ_{S}(I) = 0	4
9	P	P = S ? non	χ_{S}(P) = 0	4
10	P	P = S ? non	χ_{S}(P) = 0	4
11	I	I = S ? non	χ_{S}(I) = 0	4

La somme des valeurs de l’indicatrice est :

|w|_S = 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 4.

Les positions comptées sont i = 3, 4, 6, 7 : la lettre S apparaît 4 fois.

Exemple 3 : la lettre A dans ABRACADABRA

Soit w = ABRACADABRA, de longueur n = 11, et la lettre a = A. Les lettres de w, numérotées à partir de 1, sont :

(A, B, R, A, C, A, D, A, B, R, A).

On compare chaque lettre w[i] à A ; la comparaison donne la valeur de l’indicatrice, et la dernière colonne additionne ces valeurs au fur et à mesure :

i	w[i]	comparaison w[i] = A ?	χ_{A}(w[i])	S_i = S_i−1 + χ_{A}(w[i])
1	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	1
2	B	B = A ? non	χ_{A}(B) = 0	1
3	R	R = A ? non	χ_{A}(R) = 0	1
4	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	2
5	C	C = A ? non	χ_{A}(C) = 0	2
6	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	3
7	D	D = A ? non	χ_{A}(D) = 0	3
8	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	4
9	B	B = A ? non	χ_{A}(B) = 0	4
10	R	R = A ? non	χ_{A}(R) = 0	4
11	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	5

La somme des valeurs de l’indicatrice est :

|w|_A = 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 5.

Les positions comptées sont i = 1, 4, 6, 8, 11 : la lettre A apparaît 5 fois.

Exemple 4 : exemple entièrement développé

Soit w = AABBAAA, de longueur n = 7, et la lettre a = A. Les lettres de w, numérotées à partir de 1, sont :

(A, A, B, B, A, A, A).

On compare chaque lettre w[i] à A ; la comparaison donne la valeur de l’indicatrice, et la dernière colonne additionne ces valeurs au fur et à mesure :

i	w[i]	comparaison w[i] = A ?	χ_{A}(w[i])	S_i = S_i−1 + χ_{A}(w[i])
1	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	1
2	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	2
3	B	B = A ? non	χ_{A}(B) = 0	2
4	B	B = A ? non	χ_{A}(B) = 0	2
5	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	3
6	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	4
7	A	A = A ? oui	χ_{A}(A) = 1	5

La somme des valeurs de l’indicatrice est :

|w|_A = 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 5.

Les positions comptées sont i = 1, 2, 5, 6, 7 : la lettre A apparaît 5 fois.

Pour ce dernier mot, la somme écrite terme à terme est

|w|_A = χ_{A}(A) + χ_{A}(A) + χ_{A}(B) + χ_{A}(B) + χ_{A}(A) + χ_{A}(A) + χ_{A}(A)
= 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 5,

chaque 0 provenant d’un B (B ≠ A) et chaque 1 d’un A (A = A).

4. Interprétation et contrôle

La somme d’indicatrices compte les positions où la lettre est a :

|w|_a = #{ i ∈ {1, …, n} : w[i] = a }.

C’est le cas particulier, pour un facteur de longueur 1, du nombre d’occurrences d’un facteur : |w|_a = m_w(a).

Un contrôle découle de la formule. À chaque position, la lettre lue est égale à une lettre de l’alphabet et à une seule ; en additionnant |w|_a sur toutes les lettres a de Σ, chaque position est comptée exactement une fois :

Σ_{a ∈ Σ} |w|_a = n

La liste des nombres |w|_a, lettre par lettre, s’appelle le vecteur de Parikh du mot. Il retient combien de fois chaque lettre apparaît, et oublie l’ordre :

N°	w	n	vecteur de Parikh	somme
1	BANANA	6	\|w\|_A = 3, \|w\|_B = 1, \|w\|_N = 2	3 + 1 + 2 = 6
2	MISSISSIPPI	11	\|w\|_I = 4, \|w\|_M = 1, \|w\|_P = 2, \|w\|_S = 4	4 + 1 + 2 + 4 = 11
3	ABRACADABRA	11	\|w\|_A = 5, \|w\|_B = 2, \|w\|_C = 1, \|w\|_D = 1, \|w\|_R = 2	5 + 2 + 1 + 1 + 2 = 11
4	AABBAAA	7	\|w\|_A = 5, \|w\|_B = 2	5 + 2 = 7

Les vecteurs de Parikh des quatre mots : une barre par lettre, de hauteur |w|_a ; la somme des barres est la longueur n du mot.

Tableau récapitulatif

N°	w	a	n	positions de a	\|w\|_a
1	BANANA	A	6	2, 4, 6	3
2	MISSISSIPPI	S	11	3, 4, 6, 7	4
3	ABRACADABRA	A	11	1, 4, 6, 8, 11	5
4	AABBAAA	A	7	1, 2, 5, 6, 7	5

00.3 Fonction caractéristique

Toute condition est convertie en nombre par une fonction caractéristique : pour un ensemble F ⊆ E, χ_F(x) = 1 si x ∈ F et χ_F(x) = 0 sinon. Pour une proposition P, on note χ_P = 1 si P est vraie et 0 sinon. Chaque mécanisme reçoit, en plus de sa définition, une expression par fonction caractéristique : c’est elle qui le rend calculable numériquement, comme somme finie de 0 et de 1.

00.4 Statut modal (nécessaire, possible, contingent)

Chaque équivalence entre un terme rhétorique et un mécanisme de la combinatoire des mots reçoit l’un des trois statuts suivants :

nécessaire : le mécanisme est défini par la seule structure du mot (préfixes, suffixes, facteurs, répétitions), sans aucune donnée extérieure ;
possible : le mécanisme exige en plus une donnée combinatoire auxiliaire fixée à l’avance (un lexique X, une segmentation, un morphisme μ, une grammaire), mais reste ensuite entièrement formel ;
contingent : le mécanisme dépend d’une fonction sémantique, pragmatique ou phonétique extérieure au mot (intensité, attribut, sens), que la combinatoire ne fait que recevoir.

Toutes les quantités définies ci-dessous portent sur des ensembles finis explicites ; elles sont donc toutes calculables en un nombre fini d’opérations.

Liste des définitions de mécanismes en combinatoire des mots utilisées dans le glossaire à la lettre A

Voici les mécanismes proposés pour chaque terme rhétorique, tels que formulés dans les traitements successifs :

Accumulatio : Mot à accumulation de facteurs (somme ou conjonction de facteurs répétés).
Actio : Mot à facteur d’action (facteur marqué par une fonction d’exécution ou de performance).
Ad hominem : Mot à facteur ad personam (facteur orienté vers un attribut personnel plutôt que vers le contenu).
Adianoeta : Mot à facteur à double sens (facteur porteur de deux interprétations, une évidente et une subtile).
Alliteration : Mot à facteur d’attaque identique (facteurs partageant le même préfixe initial).
Amphiboly : Mot à facteur structurellement ambigu (facteur dont la structure syntaxique admet plusieurs analyses).
Amplification : Mot à facteur étendu (facteur prolongé par ajout de dépendants ou de répétitions).
Anacoenosis : Mot à facteur interrogatif adressé (facteur formulé comme une question dirigée vers un destinataire).
Anadiplosis : Mot à facteur de liaison (facteur final d’un segment servant de facteur initial du segment suivant).
Analogy : Mot à facteur parallèle (facteur présentant une structure formelle comparable à un autre).
Anaphora : Mot à facteur initial répété (séquence de facteurs partageant le même préfixe).
Anastrophe : Mot à facteur inversé (facteur dont l’ordre des lettres ou des constituants est renversé).
Anecdote : Mot à facteur narratif bref (facteur formant une unité narrative autonome de faible longueur).
Antanaclasis : Mot à facteur polysémique répété (même facteur utilisé avec des sens distincts).
Anticlimax : Mot à facteur descendant (séquence de facteurs d’intensité décroissante).
Antimetabole : Mot à facteur chiasmatique (paire de facteurs dont l’ordre est renversé).
Antinomy : Mot à facteurs contradictoires (paire de facteurs conduisant à des conclusions opposées).
Antiptosis : Mot à facteur de substitution casuelle (facteur dont le cas grammatical est substitué).
Antistrophe : Mot à facteur final répété (séquence de facteurs partageant le même suffixe).
Antithesis : Mot à facteurs contrastés (paire de facteurs en opposition formelle ou sémantique).
Antonomasia : Mot à facteur épithétique (facteur substituant une description à un nom propre).
Apophasis : Mot à facteur de dénégation affirmative (facteur niant explicitement ce qu’il affirme implicitement).
Aporia : Mot à facteur de doute (facteur marqué par une fonction d’incertitude).
Aposiopesis : Mot à facteur tronqué (facteur interrompu avant sa complétion attendue).
Apostrophe : Mot à facteur d’adresse exclamative (facteur orienté vers un destinataire imaginaire).
Arete : Mot à facteur d’excellence (facteur marqué par une fonction de valeur positive).
Argument : Mot à facteur de raison (facteur servant de prémisse à une conclusion).
Argumentum ad baculum : Mot à facteur de force (facteur invoquant une contrainte ou une menace).
Ars dictaminis : Mot à structure épistolaire (factorisation en parties canoniques d’une lettre).
Assonance : Mot à facteur vocalique répété (facteurs partageant le même noyau vocalique).
Asyndeton : Mot à facteur sans conjonction (séquence de facteurs non reliés par un connecteur).
Audience : Mot à facteur destinataire (facteur marqué par une fonction d’adresse).
Aureation : Mot à facteur polysyllabique (facteur dont la longueur syllabique dépasse un seuil).
Auxesis : Mot à facteur d’intensité croissante (séquence de facteurs d’intensité strictement croissante).
Axioms : Mot à facteur primitif (facteur non décomposable en puissance propre).

Classement de la solidité de la correspondance

Rang 1 – Correspondances structurellement solides (ancrage formel fort dans la combinatoire des mots)

Alliteration : préfixe commun → notion classique de préfixe / bord.
Anaphora : répétition de préfixe → factorisation avec préfixe partagé.
Antistrophe : répétition de suffixe → factorisation avec suffixe partagé.
Anadiplosis : liaison par facteur terminal/initial → chevauchement de facteurs.
Antimetabole : inversion d’ordre → conjugaison / renversement.
Asyndeton : absence de connecteur → factorisation sans élément de liaison.
Axioms : facteur primitif → notion standard de mot primitif.
Ars dictaminis : structure canonique en parties → factorisation en blocs ordonnés.

Rang 2 – Correspondances raisonnablement fondées (lien formel plausible, mais partiellement sémantique)

Assonance : noyau vocalique partagé → abstraction sur l’alphabet des voyelles.
Amphiboly : ambiguïté structurelle → non-unicité de la factorisation.
Anastrophe : inversion → renversement ou conjugaison.
Antithesis : opposition → paire de facteurs en relation d’opposition.
Auxesis : ordre croissant → séquence ordonnée de facteurs.
Anticlimax : ordre décroissant → séquence ordonnée inverse.
Aureation : longueur syllabique → fonction de longueur sur les facteurs.
Amplification : extension → ajout de facteurs dépendants.

Rang 3 – Correspondances partiellement formelles (lien possible, mais fortement dépendant d’une fonction externe)

Adianoeta : double interprétation → facteur avec deux lectures.
Antanaclasis : répétition polysémique → même facteur, lectures multiples.
Audience : orientation destinataire → fonction d’adresse sur les facteurs.
Apostrophe : adresse exclamative → fonction d’adresse.
Anacoenosis : question adressée → facteur interrogatif.
Argument : prémisse → facteur servant de base à une dérivation.
Analogy : parallélisme → morphisme ou isomorphisme de facteurs.

Rang 4 – Correspondances superficielles ou métaphoriques (lien essentiellement analogique ou sémantique)

Accumulatio : accumulation → somme de facteurs.
Actio : action → fonction d’exécution.
Ad hominem : attaque personnelle → fonction d’orientation.
Anecdote : récit bref → facteur narratif.
Antiptosis : substitution de cas → fonction grammaticale.
Antonomasia : épithète → fonction de substitution.
Apophasis : dénégation → fonction de négation.
Aporia : doute → fonction d’incertitude.
Aposiopesis : interruption → facteur tronqué.
Arete : excellence → fonction de valeur.
Argumentum ad baculum : force → fonction de contrainte.
Antinomy : contradiction → facteurs contradictoires.

Critères de classement utilisés

Degré d’ancrage dans des notions standard de la combinatoire des mots (préfixe, suffixe, facteur, primitivité, conjugaison, bord, etc.).
Possibilité de définir le mécanisme par une propriété purement formelle (sans fonction sémantique externe).
Computabilité directe à partir de la structure du mot.
Distance par rapport à une simple métaphore rhétorique.

Les rangs 1 et 2 reposent sur des propriétés combinatoires classiques ; les rangs 3 et 4 nécessitent une fonction externe (sémantique, pragmatique ou grammaticale) pour être opérationnels.

III) L’isomorphisme original entre les figures de rhétorique classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots profunda mente*

(*« De l’esprit profond » désigne une haute activité intellectuelle)

1. Accumulatio – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

Accumulatio (aussi appelée accumulation, frequentatio ou congeries) est une figure qui consiste à rassembler et à répéter de manière compacte et emphatique des points, des arguments ou des termes déjà énoncés précédemment, généralement dans un ordre croissant ou culminant, afin de renforcer, résumer ou intensifier le propos. Elle entasse des éléments dispersés pour en faire un faisceau persuasif.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Accumulation factorielle ou somme pondérée de facteurs (Accumulatio-operator).

Justification du lien

Accumulatio rassemble des points dispersés en un seul faisceau emphatique. En combinatoire des mots, cela correspond à l’agrégation de tous les facteurs d’un mot (qui sont eux-mêmes des « points » ou sous-énoncés) en une somme unique. L’effet de climax est rendu par une fonction de poids croissante avec la longueur ou la complexité du facteur. L’opérateur transforme une suite linéaire en une accumulation quantitative, exactement comme la figure transforme une série d’arguments en une masse persuasive.

Définition mathématique

Soit w un mot fini sur un alphabet fini Σ. Soit Fact(w) l’ensemble des facteurs (sous-mots contigus) de w. On associe à chaque facteur u une fonction de poids φ(u) (par exemple sa longueur, le nombre d’occurrences d’une lettre, ou une fonction de complexité). L’opérateur d’accumulation A appliqué à w est la somme (ou le tas) des poids de tous ses facteurs distincts, éventuellement pondérée par leur position ou leur multiplicité :

A(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} φ(u) · m(u) où m(u) est la multiplicité de u dans w (nombre d’occurrences), et φ est une fonction croissante (pour refléter l’effet de climax).

Expression formelle computable

Pour un mot w = a₁a₂ … a_n, l’ensemble des facteurs de longueur k est {a_i … a_i+k−1 | 1 ≤ i ≤ n − k + 1}. A_k(w) = Σ_i=1^n−k+1 φ(a_i … a_i+k−1) et l’accumulation totale : A(w) = Σ_k=1ⁿ A_k(w). Cette somme est entièrement calculable numériquement : pour un mot donné, on énumère tous les facteurs et on additionne leurs poids.

1) Application de l’expression mathématique de l’accumulatio à trois exemples de mesure de l’empilement des facteurs

1. Les objets

Le texte est codé par un mot w = w[1] w[2] ⋯ w[n] : chaque lettre est un élément de l’énumération (une qualité, un terme). Un facteur de longueur k qui commence en position i est le bloc w[i..i+k−1] = w[i] ⋯ w[i+k−1] ; il doit tenir dans le mot, donc 1 ≤ i ≤ n − k + 1. Pour chaque k, il y a n − k + 1 tels facteurs, que l’on appelle fenêtres.

2. La fonction de poids et son écriture en indicatrices

On choisit la fonction de poids la plus simple : chaque facteur pèse sa longueur, φ(u) = |u|.

Les facteurs longs pèsent plus : c’est l’effet de l’accumulatio, qui grandit à mesure que la suite s’allonge. La longueur d’une fenêtre se calcule elle-même comme une somme d’indicatrices : la fenêtre (i, k) couvre les positions p de l’intervalle [i, i+k−1], et |w[i..i+k−1]| = Σ_p=1ⁿ χ_{[i, i+k−1]}(p), χ_{[i, i+k−1]}(p) = 1 si i ≤ p ≤ i + k − 1, 0 sinon. Chaque 1 de cette somme est une position comptée, chaque 0 une position hors de la fenêtre.

3. Les deux écritures de la mesure

Par longueurs :

A_k(w) = Σ_i=1^n−k+1 |w[i..i+k−1]| = Σ_i=1^n−k+1 Σ_p=1ⁿ χ_{[i, i+k−1]}(p), A(w) = Σ_k=1ⁿ A_k(w).

Par facteurs distincts, avec leurs multiplicités :

A(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} φ(u) · m(u), m(u) = Σ_i=1^n−|u|+1 χ_{u}(w[i..i+|u|−1]) = Σ_i ∏_r=1^|u| e(w[i+r−1], u[r]),

où e(x, y) = 1 si x = y et 0 sinon. Les exemples 1 et 2 utilisent la première écriture, l’exemple 3 la seconde ; la section 5 montre pourquoi elles donnent le même nombre.

Pour ABCD : les dix fenêtres (i, k), chacune dessinée sur les positions qu’elle couvre ; la longueur de chaque fenêtre est le nombre de cases couvertes, et la somme par colonne c(p) redonne A(w) = 20.

Exemple 1 : accumulation faible

Soit w = ABC, de longueur n = 3. Pour chaque longueur k = 1, …, 3, il y a n − k + 1 positions de départ i, donc 3, 2, 1 facteurs : 6 fenêtres en tout.

Dans le tableau, chaque ligne est une fenêtre (i, k). Les colonnes p = 1 … 3 donnent la valeur de l’indicatrice χ_{[i, i+k−1]}(p) : 1 si la position p est couverte par la fenêtre, 0 sinon. La dernière colonne additionne ces valeurs : c’est la longueur du facteur, donc son poids φ.

k	i	facteur w[i..i+k−1]	p = 1	p = 2	p = 3	\|w[i..i+k−1]\| = Σ_p χ_{[i, i+k−1]}(p)
1	1	A	1	0	0	1 + 0 + 0 = 1
1	2	B	0	1	0	0 + 1 + 0 = 1
1	3	C	0	0	1	0 + 0 + 1 = 1
2	1	AB	1	1	0	1 + 1 + 0 = 2
2	2	BC	0	1	1	0 + 1 + 1 = 2
3	1	ABC	1	1	1	1 + 1 + 1 = 3

En regroupant les lignes par longueur k :

A₁(w) = 1 + 1 + 1 = 3 × 1 = 3.

A₂(w) = 2 + 2 = 2 × 2 = 4.

A₃(w) = 3 = 1 × 3 = 3.

et l’accumulation totale vaut

A(w) = A₁ + A₂ + A₃ = 3 + 4 + 3 = 10.

Contrôle par colonnes : en additionnant le tableau colonne par colonne, on obtient le nombre de fenêtres qui couvrent chaque position p, c(p) = Σ_{k, i} χ_{[i, i+k−1]}(p) :

(c(1) = 3, c(2) = 4, c(3) = 3), 3 + 4 + 3 = 10 = A(w).

Exemple 2 : accumulation plus importante

Soit w = ABCD, de longueur n = 4. Pour chaque longueur k = 1, …, 4, il y a n − k + 1 positions de départ i, donc 4, 3, 2, 1 facteurs : 10 fenêtres en tout.

Dans le tableau, chaque ligne est une fenêtre (i, k). Les colonnes p = 1 … 4 donnent la valeur de l’indicatrice χ_{[i, i+k−1]}(p) : 1 si la position p est couverte par la fenêtre, 0 sinon. La dernière colonne additionne ces valeurs : c’est la longueur du facteur, donc son poids φ.

k	i	facteur w[i..i+k−1]	p = 1	p = 2	p = 3	p = 4	\|w[i..i+k−1]\| = Σ_p χ_{[i, i+k−1]}(p)
1	1	A	1	0	0	0	1 + 0 + 0 + 0 = 1
1	2	B	0	1	0	0	0 + 1 + 0 + 0 = 1
1	3	C	0	0	1	0	0 + 0 + 1 + 0 = 1
1	4	D	0	0	0	1	0 + 0 + 0 + 1 = 1
2	1	AB	1	1	0	0	1 + 1 + 0 + 0 = 2
2	2	BC	0	1	1	0	0 + 1 + 1 + 0 = 2
2	3	CD	0	0	1	1	0 + 0 + 1 + 1 = 2
3	1	ABC	1	1	1	0	1 + 1 + 1 + 0 = 3
3	2	BCD	0	1	1	1	0 + 1 + 1 + 1 = 3
4	1	ABCD	1	1	1	1	1 + 1 + 1 + 1 = 4

En regroupant les lignes par longueur k :

A₁(w) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 × 1 = 4.

A₂(w) = 2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6.

A₃(w) = 3 + 3 = 2 × 3 = 6.

A₄(w) = 4 = 1 × 4 = 4.

et l’accumulation totale vaut

A(w) = A₁ + A₂ + A₃ + A₄ = 4 + 6 + 6 + 4 = 20.

Contrôle par colonnes : en additionnant le tableau colonne par colonne, on obtient le nombre de fenêtres qui couvrent chaque position p, c(p) = Σ_{k, i} χ_{[i, i+k−1]}(p) :

(c(1) = 4, c(2) = 6, c(3) = 6, c(4) = 4), 4 + 6 + 6 + 4 = 20 = A(w).

L’accumulation passe de 10 à 20 quand on ajoute un élément.

Exemple 3 : multiplicités explicites, w = AAAA

On utilise la seconde écriture. Les facteurs distincts de AAAA sont A, AA, AAA et AAAA. Pour chacun, la multiplicité m(u) est une somme sur les positions de départ ; à chaque position, l’indicatrice χ_{u} est le produit des comparaisons des lettres de la fenêtre avec celles de u.

Facteur u = A (|u| = 1)

i	fenêtre	comparaisons lettre à lettre	χ_{A}(fenêtre)
1	A	e(w[1], u[1]) = e(A, A) = 1	1 = 1
2	A	e(w[2], u[1]) = e(A, A) = 1	1 = 1
3	A	e(w[3], u[1]) = e(A, A) = 1	1 = 1
4	A	e(w[4], u[1]) = e(A, A) = 1	1 = 1

m(A) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, φ(A) · m(A) = 1 × 4 = 4.

Facteur u = AA (|u| = 2)

i	fenêtre	comparaisons lettre à lettre	χ_{AA}(fenêtre)
1	AA	e(w[1], u[1]) = e(A, A) = 1 · e(w[2], u[2]) = e(A, A) = 1	1 × 1 = 1
2	AA	e(w[2], u[1]) = e(A, A) = 1 · e(w[3], u[2]) = e(A, A) = 1	1 × 1 = 1
3	AA	e(w[3], u[1]) = e(A, A) = 1 · e(w[4], u[2]) = e(A, A) = 1	1 × 1 = 1

m(AA) = 1 + 1 + 1 = 3, φ(AA) · m(AA) = 2 × 3 = 6.

Facteur u = AAA (|u| = 3)

i	fenêtre	comparaisons lettre à lettre	χ_{AAA}(fenêtre)
1	AAA	e(w[1], u[1]) = e(A, A) = 1 · e(w[2], u[2]) = e(A, A) = 1 · e(w[3], u[3]) = e(A, A) = 1	1 × 1 × 1 = 1
2	AAA	e(w[2], u[1]) = e(A, A) = 1 · e(w[3], u[2]) = e(A, A) = 1 · e(w[4], u[3]) = e(A, A) = 1	1 × 1 × 1 = 1

m(AAA) = 1 + 1 = 2, φ(AAA) · m(AAA) = 3 × 2 = 6.

Facteur u = AAAA (|u| = 4)

i	fenêtre	comparaisons lettre à lettre	χ_{AAAA}(fenêtre)
1	AAAA	e(w[1], u[1]) = e(A, A) = 1 · e(w[2], u[2]) = e(A, A) = 1 · e(w[3], u[3]) = e(A, A) = 1 · e(w[4], u[4]) = e(A, A) = 1	1 × 1 × 1 × 1 = 1

m(AAAA) = 1 = 1, φ(AAAA) · m(AAAA) = 4 × 1 = 4.

Accumulation totale :

A(AAAA) = 1 × 4 + 2 × 3 + 3 × 2 + 4 × 1 = 4 + 6 + 6 + 4 = 20.

4. Pourquoi les deux écritures donnent le même nombre

Chaque fenêtre (i, k) est égale à un et un seul facteur distinct u. Autrement dit, pour une fenêtre fixée, la somme des indicatrices sur tous les facteurs distincts de même longueur vaut exactement 1 :

Σ_{u ∈ Fact(w), |u| = k} χ_{u}(w[i..i+k−1]) = 1.

Le tableau ci-dessous l’écrit pour AAAA puis pour ABCD : une ligne par fenêtre, une colonne par facteur distinct, et la valeur de l’indicatrice dans chaque case. Chaque ligne contient un seul 1 ; la somme d’une colonne est la multiplicité m(u).

fenêtre (i, k)	fenêtre	χ_{A}	χ_{AA}	χ_{AAA}	χ_{AAAA}	somme de la ligne
(1, 1)	A	1	0	0	0	1
(2, 1)	A	1	0	0	0	1
(3, 1)	A	1	0	0	0	1
(4, 1)	A	1	0	0	0	1
(1, 2)	AA	0	1	0	0	1
(2, 2)	AA	0	1	0	0	1
(3, 2)	AA	0	1	0	0	1
(1, 3)	AAA	0	0	1	0	1
(2, 3)	AAA	0	0	1	0	1
(1, 4)	AAAA	0	0	0	1	1
m(u) = somme de la colonne		4	3	2	1

Pour ABCD, les dix fenêtres sont toutes différentes : chaque facteur distinct a la multiplicité 1, et la seconde écriture donne

A(ABCD) = 1·(1+1+1+1) + 2·(1+1+1) + 3·(1+1) + 4·1 = 4 + 6 + 6 + 4 = 20.

En échangeant l’ordre des sommes (d’abord les facteurs distincts, puis leurs positions), la seconde écriture redevient la première :

Σ_u φ(u) · m(u) = Σ_u Σ_i φ(u) · χ_{u}(w[i..i+|u|−1]) = Σ_k Σ_i |w[i..i+k−1]| · Σ_{|u| = k} χ_{u}(w[i..i+k−1]) = Σ_k A_k(w),

puisque la dernière somme d’indicatrices vaut 1.

Pour AAAA : la matrice des indicatrices χ_{u}(fenêtre), une ligne par fenêtre et une colonne par facteur distinct ; un seul 1 par ligne, et la somme de chaque colonne est la multiplicité m(u).

5. Ce que mesure exactement φ(u) = |u|

Les exemples 2 et 3 donnent la même valeur, A(ABCD) = A(AAAA) = 20, alors que l’un énumère quatre éléments différents et l’autre répète le même. Ce n’est pas une coïncidence : avec φ(u) = |u|, la mesure ne regarde que les positions couvertes, jamais les lettres. Chaque position p est couverte par p(n − p + 1) fenêtres (p choix du début, n − p + 1 choix de la fin), donc A(w) = Σ_p=1ⁿ p (n − p + 1) = Σ_k=1ⁿ k (n − k + 1) = n (n + 1)(n + 2) / 6.

N°	n	A_k(w) = k (n − k + 1), k = 1 … n	A(w) = n(n + 1)(n + 2) / 6
1	1	1	1
2	2	2, 2	4
3	3	3, 4, 3	10
4	4	4, 6, 6, 4	20
5	5	5, 8, 9, 8, 5	35
6	6	6, 10, 12, 12, 10, 6	56

Ces valeurs sont les nombres tétraédriques. La mesure compte donc l’empilement des éléments, et elle croît comme le cube de leur nombre ; pour qu’elle distingue aussi la variété des éléments (ABCD) de la répétition (AAAA), il faudrait un poids qui dépende des lettres, par exemple φ(u) = |u| · χ_{1}(m(u)), qui ne garde que les facteurs non répétés.

6. Interprétation rhétorique

Considérons l’énumération « courageux, noble, généreux, héroïque », codée par w = (c, n, g, h) avec n = 4 : les facteurs de longueur 1 sont les qualités isolées, ceux de longueur 2 les couples de qualités voisines, ceux de longueur 3 les triplets, et le facteur de longueur 4 l’énumération entière. Comme pour ABCD :

A(c n g h) = A₁ + A₂ + A₃ + A₄ = 4 + 6 + 6 + 4 = 20.

Pour une énumération de deux termes, w = (c, n) :

A(c n) = A₁ + A₂ = (1 + 1) + 2 = 2 + 2 = 4.

La mesure passe de 4 à 20 quand l’énumération passe de deux à quatre éléments : doubler le nombre de termes multiplie l’accumulation par 5, conformément à la formule n(n + 1)(n + 2)/6.

A(w) en fonction du nombre n d’éléments : 1, 4, 10, 20, 35, 56 ; les exemples ABC (10), ABCD = AAAA = c n g h (20) et c n (4) sont marqués.

Tableau récapitulatif

N°	w	n	A₁, …, A_n	A(w)
1	ABC	3	3, 4, 3	10
2	ABCD	4	4, 6, 6, 4	20
3	AAAA	4	4, 6, 6, 4	20
4	c n g h	4	4, 6, 6, 4	20
5	c n	2	2, 2	4

2. Actio – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

Actio (aussi appelée pronuntiatio ; grec hypokrisis) est le cinquième et dernier canon de la rhétorique classique selon Cicéron. Elle désigne la manière dont le discours est effectivement prononcé et incarné : modulation de la voix (volume, hauteur, rythme, pauses), gestes, expressions faciales, posture et présence corporelle. Cicéron la considère comme la partie qui donne vie au discours et qui peut, à elle seule, déterminer son succès. Sans actio, même le meilleur discours reste sans effet.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Opérateur de réalisation (ou transduction de livraison) – Actio-operator.

Justification du lien

Actio transforme le texte abstrait (le mot w) en une performance incarnée. En combinatoire des mots, cela correspond à une transduction qui enrichit chaque lettre d’informations de « performance » (rythme, intensité). La variation des paramètres quantifie l’expressivité.

Définition mathématique

Soit w un mot fini sur un alphabet Σ. Une réalisation (actio) de w est une transduction (ou un morphisme non uniforme) qui associe à chaque lettre de w une « version livrée » (un mot ou une séquence annotée) qui encode des paramètres de performance (intensité, durée, modulation). Formellement, on définit un ensemble de réalisations R(w) comme l’image de w sous une famille de morphismes paramétrés μ_θ où θ est un vecteur de paramètres de livraison (volume, rythme, geste, etc.).

R(w) = {μ_θ(w) | θ ∈ Θ}

où Θ est un espace de paramètres discrets ou continus, et μ_θ est un morphisme de Σ^∗ vers un alphabet enrichi Σ_actio^∗.

Expression formelle computable

Pour un mot w = a₁a₂ … a_n, et un paramètre de rythme r = (r₁, …, r_n) (durées relatives) et d’intensité i = (i₁, …, i_n) :

μ_r,i(w) = (a₁, r₁, i₁)(a₂, r₂, i₂) … (a_n, r_n, i_n)

La mesure d’efficacité de l’actio peut être définie comme une fonction de variation :

Var(μ_r,i(w)) = Σ_j=1ⁿ⁻¹ (|r_j+1 − r_j| + |i_j+1 − i_j|)

Une haute variation correspond à une livraison expressive ; une variation nulle correspond à une livraison plate.

1) Application de l’expression mathématique de l’Actio : QUATRE exemples de variation du rythme et de l’intensité

1. Le modèle

Le texte w = a₁ a₂ ⋯ a_n reste le même ; à chaque lettre a_j on associe deux paramètres de performance : un rythme r_j (durée, vitesse) et une intensité i_j (volume, énergie). La réalisation est le mot de triplets

μ_r,i(w) = (a₁, r₁, i₁)(a₂, r₂, i₂) ⋯ (a_n, r_n, i_n).

La variation expressive additionne les écarts entre lettres voisines :

Var(μ_r,i(w)) = Σ_j=1ⁿ⁻¹ ( |r_j+1 − r_j| + |i_j+1 − i_j| ).

Une valeur élevée correspond à une livraison contrastée et théâtrale ; une valeur nulle à une livraison uniforme.

2. La valeur absolue écrite avec des indicatrices

La valeur absolue d’un écart x dépend de son signe : |x| = x si x > 0, |x| = −x si x < 0, |x| = 0 si x = 0. Les trois cas se résument par deux indicatrices de signe :

|x| = x · ( χ_(0,+∞)(x) − χ_(−∞,0)(x) ),

où χ_(0,+∞)(x) = 1 si x > 0 et 0 sinon, et χ_(−∞,0)(x) = 1 si x < 0 et 0 sinon. La différence χ_(0,+∞)(x) − χ_(−∞,0)(x) vaut +1, −1 ou 0 : c’est le signe de x. Trois contrôles :

x = 3 : 3 × (1 − 0) = 3 ; x = −4 : (−4) × (0 − 1) = 4 ; x = 0 : 0 × (0 − 0) = 0.

Chaque terme de Var est donc calculé en trois temps : l’écart, ses deux indicatrices de signe, puis le produit. Les tableaux écrivent ces trois temps pour chaque passage j ; la colonne S_j est la somme partielle.

Les profils de rythme r_j et d’intensité i_j pour les quatre exemples : plat (Var = 0), montée régulière (6), alternance (77) et descente régulière (6) ; chaque segment est étiqueté par sa valeur absolue.

Exemple 1 : déclamation presque monotone

Soit w = VIVE (n = 4 lettres), avec

r = (2, 2, 2, 2), i = (5, 5, 5, 5).

La réalisation est

μ_r,i(w) = (V, 2, 5) (I, 2, 5) (V, 2, 5) (E, 2, 5).

Il y a n − 1 = 3 passages d’une lettre à la suivante. Pour chacun, le tableau donne l’écart de rythme Δr_j = r_j+1 − r_j, les deux indicatrices de signe, la valeur absolue qui en résulte, puis la même chose pour l’intensité :

j	passage	Δr_j	\|Δr_j\|	Δi_j	\|Δi_j\|	terme j
1	V → I	2 − 2 = 0	0 × (0 − 0) = 0	5 − 5 = 0	0 × (0 − 0) = 0	0 + 0 = 0
2	I → V	2 − 2 = 0	0 × (0 − 0) = 0	5 − 5 = 0	0 × (0 − 0) = 0	0 + 0 = 0
3	V → E	2 − 2 = 0	0 × (0 − 0) = 0	5 − 5 = 0	0 × (0 − 0) = 0	0 + 0 = 0

La somme des termes donne la variation :

Var = 0 + 0 + 0 = 0.

Séparée en ses deux composantes :

V_r = Σ_j |Δr_j| = 0, V_i = Σ_j |Δi_j| = 0, Var = V_r + V_i = 0 + 0 = 0.

Variation moyenne par passage :

Var / (n − 1) = 0 / 3 = 0.

Tous les écarts sont nuls : les deux indicatrices de signe valent 0 à chaque passage, et chaque valeur absolue vaut 0. Le débit et le volume restent constants ; l’actio est uniforme.

Exemple 2 : actio modérément expressive

Soit w = VIVE (n = 4 lettres), avec

r = (1, 2, 3, 4), i = (4, 5, 6, 7).

La réalisation est

μ_r,i(w) = (V, 1, 4) (I, 2, 5) (V, 3, 6) (E, 4, 7).

j	passage	Δr_j	χ_(0,+∞)(Δr_j)	\|Δr_j\|	Δi_j	χ_(0,+∞)(Δi_j)	\|Δi_j\|	terme j	S_j
1	V → I	2 − 1 = 1	1	1 × (1 − 0) = 1	5 − 4 = 1	1	1 × (1 − 0) = 1	1 + 1 = 2	2
2	I → V	3 − 2 = 1	1	1 × (1 − 0) = 1	6 − 5 = 1	1	1 × (1 − 0) = 1	1 + 1 = 2	4
3	V → E	4 − 3 = 1	1	1 × (1 − 0) = 1	7 − 6 = 1	1	1 × (1 − 0) = 1	1 + 1 = 2	6

La somme des termes donne la variation :

Var = 2 + 2 + 2 = 6.

Séparée en ses deux composantes :

V_r = Σ_j |Δr_j| = 3, V_i = Σ_j |Δi_j| = 3, Var = V_r + V_i = 3 + 3 = 6.

Variation moyenne par passage :

Var / (n − 1) = 6 / 3 = 2.

Tous les écarts sont positifs : l’indicatrice χ_(0,+∞) vaut 1 à chaque passage. Quand tous les écarts ont le même signe, la somme des valeurs absolues se télescope : V_r = r₄ − r₁ = 4 − 1 = 3 et V_i = i₄ − i₁ = 7 − 4 = 3.

Chaque syllabe devient un peu plus lente et plus forte : l’orateur construit une montée.

Exemple 3 : actio fortement contrastée

Soit w = VICTOIRE (n = 8 lettres), avec

r = (1, 5, 1, 5, 1, 5, 1, 5), i = (2, 9, 2, 9, 2, 9, 2, 9).

La réalisation est

μ_r,i(w) = (V, 1, 2) (I, 5, 9) (C, 1, 2) (T, 5, 9) (O, 1, 2) (I, 5, 9) (R, 1, 2) (E, 5, 9).

Il y a n − 1 = 7 passages d’une lettre à la suivante. Pour chacun, le tableau donne l’écart de rythme Δr_j = r_j+1 − r_j, les deux indicatrices de signe, la valeur absolue qui en résulte, puis la même chose pour l’intensité :

j	passage	Δr_j	χ_(0,+∞)(Δr_j)	χ_(−∞,0)(Δr_j)	\|Δr_j\|	Δi_j	χ_(0,+∞)(Δi_j)	χ_(−∞,0)(Δi_j)	\|Δi_j\|	terme j	S_j
1	V → I	5 − 1 = 4	1	0	4 × (1 − 0) = 4	9 − 2 = 7	1	0	7 × (1 − 0) = 7	4 + 7 = 11	11
2	I → C	1 − 5 = −4	0	1	−4 × (0 − 1) = 4	2 − 9 = −7	0	1	−7 × (0 − 1) = 7	4 + 7 = 11	22
3	C → T	5 − 1 = 4	1	0	4 × (1 − 0) = 4	9 − 2 = 7	1	0	7 × (1 − 0) = 7	4 + 7 = 11	33
4	T → O	1 − 5 = −4	0	1	−4 × (0 − 1) = 4	2 − 9 = −7	0	1	−7 × (0 − 1) = 7	4 + 7 = 11	44
5	O → I	5 − 1 = 4	1	0	4 × (1 − 0) = 4	9 − 2 = 7	1	0	7 × (1 − 0) = 7	4 + 7 = 11	55
6	I → R	1 − 5 = −4	0	1	−4 × (0 − 1) = 4	2 − 9 = −7	0	1	−7 × (0 − 1) = 7	4 + 7 = 11	66
7	R → E	5 − 1 = 4	1	0	4 × (1 − 0) = 4	9 − 2 = 7	1	0	7 × (1 − 0) = 7	4 + 7 = 11	77

La somme des termes donne la variation :

Var = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 77.

Séparée en ses deux composantes :

V_r = Σ_j |Δr_j| = 28, V_i = Σ_j |Δi_j| = 49, Var = V_r + V_i = 28 + 49 = 77.

Variation moyenne par passage :

Var / (n − 1) = 77 / 7 = 11.

Les signes alternent : χ_(0,+∞) vaut 1 aux passages impairs, χ_(−∞,0) aux passages pairs, et chaque passage contribue |±4| + |±7| = 11. Le locuteur alterne entre faible et fort, rapide et lent.

Exemple 4 : descente régulière

Soit w = VIVE (n = 4 lettres), avec

r = (4, 3, 2, 1), i = (7, 6, 5, 4).

La réalisation est

μ_r,i(w) = (V, 4, 7) (I, 3, 6) (V, 2, 5) (E, 1, 4).

j	passage	Δr_j	χ_(−∞,0)(Δr_j)	\|Δr_j\|	Δi_j	χ_(−∞,0)(Δi_j)	\|Δi_j\|	terme j	S_j
1	V → I	3 − 4 = −1	1	−1 × (0 − 1) = 1	6 − 7 = −1	1	−1 × (0 − 1) = 1	1 + 1 = 2	2
2	I → V	2 − 3 = −1	1	−1 × (0 − 1) = 1	5 − 6 = −1	1	−1 × (0 − 1) = 1	1 + 1 = 2	4
3	V → E	1 − 2 = −1	1	−1 × (0 − 1) = 1	4 − 5 = −1	1	−1 × (0 − 1) = 1	1 + 1 = 2	6

La somme des termes donne la variation :

Var = 2 + 2 + 2 = 6.

Séparée en ses deux composantes :

V_r = Σ_j |Δr_j| = 3, V_i = Σ_j |Δi_j| = 3, Var = V_r + V_i = 3 + 3 = 6.

Variation moyenne par passage :

Var / (n − 1) = 6 / 3 = 2.

Le profil est le miroir de l’exemple 2 : χ_(−∞,0) vaut 1 à chaque passage, et Var est la même, 6. La mesure retient l’ampleur des changements, non leur sens. Le sens se lit dans la somme des écarts signés : Σ Δr_j = 1 − 4 = −3 ici, contre +3 dans l’exemple 2.

3. Comparaison

Les valeurs brutes sont

Var₁ = 0, Var₂ = 6, Var₃ = 77, Var₄ = 6.

Comme VICTOIRE a 8 lettres et VIVE 4, la somme compte 7 passages dans un cas et 3 dans l’autre. La variation moyenne par passage, Var / (n − 1), compare à longueur égale :

0 / 3 = 0, 6 / 3 = 2, 77 / 7 = 11, 6 / 3 = 2.

Même rapportée au nombre de passages, la réalisation alternée reste plus de cinq fois plus contrastée que la montée régulière.

VICTOIRE : à chaque passage j, l’écart signé de rythme et d’intensité, les deux indicatrices de signe, et la contribution |Δr| + |Δi| = 11 empilée ; la courbe donne la somme partielle jusqu’à 77.

Tableau récapitulatif

N°	w	n	r	i	V_r	V_i	Var	Var / (n − 1)
1	VIVE	4	2, 2, 2, 2	5, 5, 5, 5	0	0	0	0
2	VIVE	4	1, 2, 3, 4	4, 5, 6, 7	3	3	6	2
3	VICTOIRE	8	1, 5, 1, 5, 1, 5, 1, 5	2, 9, 2, 9, 2, 9, 2, 9	28	49	77	11
4	VIVE	4	4, 3, 2, 1	7, 6, 5, 4	3	3	6	2

Ainsi, dans ce modèle de l’actio, la figure est quantifiée par les variations successives du rythme et de l’intensité : plus les écarts |r_j+1 − r_j| et |i_j+1 − i_j| sont grands et nombreux, plus l’effet de performance est fort.

3. Ad hominem – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

Ad hominem (argumentum ad hominem, « argument dirigé contre la personne ») est une tactique rhétorique ou un sophisme qui consiste à réfuter un argument en attaquant le caractère, les motifs, les circonstances ou tout autre attribut de la personne qui le soutient, plutôt que d’examiner le contenu de l’argument lui-même.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Opérateur de substitution contextuelle de générateur (Ad-hominem morphism).

Justification du lien : L’ad hominem détourne l’argument en attaquant le locuteur plutôt que le propos. En combinatoire des mots, cela correspond à un morphisme qui substitue les lettres non pas selon leur rôle dans la suite, mais selon un attribut externe associé à leur générateur.

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. On associe à chaque lettre a ∈ Σ un « générateur » g_a (un mot ou un symbole qui représente le « caractère » de la lettre). Un opérateur ad hominem est un morphisme non uniforme qui, au lieu de remplacer chaque lettre par son image standard, remplace la lettre par une image qui dépend d’un attribut extrinsèque associé au générateur.

Formellement : μ_ad(a) = ψ(g_a) où ψ est une fonction qui attaque ou modifie le générateur indépendamment du contexte syntaxique de a dans w. L’image du mot entier devient : μ_ad(w) = μ_ad(a₁)μ_ad(a₂) … μ_ad(a_n)

Expression formelle computable

Pour un mot w = a₁a₂ … a_n, et un vecteur d’attributs c = (c₁, …, c_n) associés aux générateurs des lettres :

μ_ad(w) = ψ(c₁)ψ(c₂) … ψ(c_n)

La distance entre le mot original et le mot transformé peut être mesurée par la différence de complexité factorielle :

δ(w, μ_ad(w)) = |w| − |Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))|

Ad hominem : écart factoriel

$\mathrm{AdHom}(w) = \delta(w, \mu_{\mathrm{ad}}(w)) = |w| – |\mathrm{Fact}(w) \cap \mathrm{Fact}(\mu_{\mathrm{ad}}(w))|$

1) Application de l’expression mathématique de L’Ad hominem : QUATRE exemples de l’écart entre un mot et sa reformulation par les attributs

1. Le modèle

L’ad hominem ne transforme pas le contenu du mot d’après sa structure interne, mais d’après des attributs extérieurs c_j attachés à ses générateurs. Chaque lettre w[j] du mot w = w[1] ⋯ w[n] reçoit un attribut c_j (jeune, riche…), et une application ψ code chaque attribut par une lettre. La reformulation ad hominem remplace chaque lettre par le code de son attribut :

μ_ad(w) = ψ(c₁) ψ(c₂) ⋯ ψ(c_n).

L’écart entre l’argument et sa reformulation est mesuré par δ(w, μ_ad(w)) = |w| − |Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))|, où Fact(v) est l’ensemble des facteurs (blocs de lettres consécutives, non vides) du mot v. Plus δ est grand, plus l’attaque s’écarte du contenu initial.

2. Le cardinal de l’intersection écrit avec des indicatrices

Le nombre d’éléments communs à deux ensembles finis est la somme, sur le premier, de l’indicatrice du second :

|Fact(w) ∩ Fact(v)| = Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_Fact(v)(u).

Il reste à calculer χ_Fact(v)(u), c’est-à-dire à décider si u est un facteur de v. On compte ses occurrences m(u) dans v en comparant u à chaque fenêtre v[i..i+|u|−1], lettre à lettre, avec l’indicatrice d’égalité e(x, y) = 1 si x = y et 0 sinon :

m(u) = Σ_i=1^|v|−|u|+1 ∏_r=1^|u| e( v[i+r−1], u[r] ), χ_Fact(v)(u) = χ_[1,+∞)( m(u) ). u est facteur de v dès qu’il y apparaît au moins une fois. Les tableaux suivants écrivent chaque comparaison, chaque produit, chaque m(u) et chaque indicatrice ; le cardinal de l’intersection est la somme de la colonne des indicatrices.

Exemple 3 : les huit facteurs distincts de AABA en lignes, les fenêtres de AAXA en colonnes ; chaque case est le produit des comparaisons lettre à lettre, la somme de la ligne est m(u), et seuls A et AA ont m(u) ≥ 1.

Exemple 1 : ad hominem faible

Soit w = AB, de longueur |w| = 2, et les attributs des générateurs

c = (jeune, jeune),

avec ψ(jeune) = J. Lettre par lettre :

j	w[j]	c_j	ψ(c_j) = μ_ad(w)[j]
1	A	jeune	J
2	B	jeune	J

μ_ad(w) = JJ.

Les facteurs distincts de w, rangés par longueur, sont les 3 mots suivants :

Fact(AB) = {A, B, AB}.

Pour chacun d’eux, on cherche s’il est aussi facteur de JJ. On compare u à chaque fenêtre de JJ de même longueur, lettre à lettre ; le produit des comparaisons vaut 1 seulement si la fenêtre est égale à u. Leur somme est le nombre d’occurrences m(u) de u dans JJ, et l’appartenance est χ_Fact(JJ)(u) = χ_[1,+∞)(m(u)).

u ∈ Fact(w)	fenêtres de JJ de longueur \|u\| et comparaisons	m(u) dans JJ	χ_Fact(JJ)(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
A	J : e(J, A) = 0 = 0 J : e(J, A) = 0 = 0	0	0	0
B	J : e(J, B) = 0 = 0 J : e(J, B) = 0 = 0	0	0	0
AB	JJ : e(J, A) · e(J, B) = 0 · 0 = 0	0	0	0

Le cardinal de l’intersection est la somme de la colonne des indicatrices :

|Fact(AB) ∩ Fact(JJ)| = Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_Fact(JJ)(u) = 0 + 0 + 0 = 0.

Les facteurs communs sont aucun : l’intersection est vide. D’où

δ(w, μ_ad(w)) = |w| − |Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))| = 2 − 0 = 2.

Aucune lettre de w ne survit dans JJ : l’intersection est vide.

Exemple 2 : plusieurs lettres attaquées par le même attribut

Soit w = ABCD, de longueur |w| = 4, et les attributs des générateurs

c = (riche, riche, riche, riche),

avec ψ(riche) = R. Lettre par lettre :

j	w[j]	c_j	ψ(c_j) = μ_ad(w)[j]
1	A	riche	R
2	B	riche	R
3	C	riche	R
4	D	riche	R

μ_ad(w) = RRRR.

Les facteurs distincts de w, rangés par longueur, sont les 10 mots suivants :

Fact(ABCD) = {A, B, C, D, AB, BC, CD, ABC, BCD, ABCD}.

Pour chacun d’eux, on cherche s’il est aussi facteur de RRRR. On compare u à chaque fenêtre de RRRR de même longueur, lettre à lettre ; le produit des comparaisons vaut 1 seulement si la fenêtre est égale à u. Leur somme est le nombre d’occurrences m(u) de u dans RRRR, et l’appartenance est χ_Fact(RRRR)(u) = χ_[1,+∞)(m(u)).

u ∈ Fact(w)	fenêtres de RRRR de longueur \|u\| et comparaisons	m(u) dans RRRR	χ_Fact(RRRR)(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
A	R : e(R, A) = 0 = 0 R : e(R, A) = 0 = 0 R : e(R, A) = 0 = 0 R : e(R, A) = 0 = 0	0	0	0
B	R : e(R, B) = 0 = 0 R : e(R, B) = 0 = 0 R : e(R, B) = 0 = 0 R : e(R, B) = 0 = 0	0	0	0
C	R : e(R, C) = 0 = 0 R : e(R, C) = 0 = 0 R : e(R, C) = 0 = 0 R : e(R, C) = 0 = 0	0	0	0
D	R : e(R, D) = 0 = 0 R : e(R, D) = 0 = 0 R : e(R, D) = 0 = 0 R : e(R, D) = 0 = 0	0	0	0
AB	RR : e(R, A) · e(R, B) = 0 · 0 = 0 RR : e(R, A) · e(R, B) = 0 · 0 = 0 RR : e(R, A) · e(R, B) = 0 · 0 = 0	0	0	0
BC	RR : e(R, B) · e(R, C) = 0 · 0 = 0 RR : e(R, B) · e(R, C) = 0 · 0 = 0 RR : e(R, B) · e(R, C) = 0 · 0 = 0	0	0	0
CD	RR : e(R, C) · e(R, D) = 0 · 0 = 0 RR : e(R, C) · e(R, D) = 0 · 0 = 0 RR : e(R, C) · e(R, D) = 0 · 0 = 0	0	0	0
ABC	RRR : e(R, A) · e(R, B) · e(R, C) = 0 · 0 · 0 = 0 RRR : e(R, A) · e(R, B) · e(R, C) = 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0
BCD	RRR : e(R, B) · e(R, C) · e(R, D) = 0 · 0 · 0 = 0 RRR : e(R, B) · e(R, C) · e(R, D) = 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0
ABCD	RRRR : e(R, A) · e(R, B) · e(R, C) · e(R, D) = 0 · 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0

Le cardinal de l’intersection est la somme de la colonne des indicatrices :

|Fact(ABCD) ∩ Fact(RRRR)| = Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_Fact(RRRR)(u) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Les facteurs communs sont aucun : l’intersection est vide. D’où

δ(w, μ_ad(w)) = |w| − |Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))| = 4 − 0 = 4.

L’argument original disparaît entièrement au profit d’une caractérisation du locuteur : aucun des dix facteurs de ABCD n’est facteur de RRRR.

Exemple 3 : ad hominem partiel

Soit w = AABA, de longueur |w| = 4, et les attributs des générateurs

c = (α, α, β, α),

avec ψ(α) = A, ψ(β) = X. Lettre par lettre :

j	w[j]	c_j	ψ(c_j) = μ_ad(w)[j]
1	A	α	A
2	A	α	A
3	B	β	X
4	A	α	A

μ_ad(w) = AAXA.

Les facteurs distincts de w, rangés par longueur, sont les 8 mots suivants :

Fact(AABA) = {A, B, AA, AB, BA, AAB, ABA, AABA}.

Pour chacun d’eux, on cherche s’il est aussi facteur de AAXA. On compare u à chaque fenêtre de AAXA de même longueur, lettre à lettre ; le produit des comparaisons vaut 1 seulement si la fenêtre est égale à u. Leur somme est le nombre d’occurrences m(u) de u dans AAXA, et l’appartenance est χ_Fact(AAXA)(u) = χ_[1,+∞)(m(u)).

u ∈ Fact(w)	fenêtres de AAXA de longueur \|u\| et comparaisons	m(u) dans AAXA	χ_Fact(AAXA)(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
A	A : e(A, A) = 1 = 1 A : e(A, A) = 1 = 1 X : e(X, A) = 0 = 0 A : e(A, A) = 1 = 1	3	1	1
B	A : e(A, B) = 0 = 0 A : e(A, B) = 0 = 0 X : e(X, B) = 0 = 0 A : e(A, B) = 0 = 0	0	0	1
AA	AA : e(A, A) · e(A, A) = 1 · 1 = 1 AX : e(A, A) · e(X, A) = 1 · 0 = 0 XA : e(X, A) · e(A, A) = 0 · 1 = 0	1	1	2
AB	AA : e(A, A) · e(A, B) = 1 · 0 = 0 AX : e(A, A) · e(X, B) = 1 · 0 = 0 XA : e(X, A) · e(A, B) = 0 · 0 = 0	0	0	2
BA	AA : e(A, B) · e(A, A) = 0 · 1 = 0 AX : e(A, B) · e(X, A) = 0 · 0 = 0 XA : e(X, B) · e(A, A) = 0 · 1 = 0	0	0	2
AAB	AAX : e(A, A) · e(A, A) · e(X, B) = 1 · 1 · 0 = 0 AXA : e(A, A) · e(X, A) · e(A, B) = 1 · 0 · 0 = 0	0	0	2
ABA	AAX : e(A, A) · e(A, B) · e(X, A) = 1 · 0 · 0 = 0 AXA : e(A, A) · e(X, B) · e(A, A) = 1 · 0 · 1 = 0	0	0	2
AABA	AAXA : e(A, A) · e(A, A) · e(X, B) · e(A, A) = 1 · 1 · 0 · 1 = 0	0	0	2

Le cardinal de l’intersection est la somme de la colonne des indicatrices :

|Fact(AABA) ∩ Fact(AAXA)| = Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_Fact(AAXA)(u) = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2.

Les facteurs communs sont {A, AA}. D’où

δ(w, μ_ad(w)) = |w| − |Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))| = 4 − 2 = 2.

Seuls A et AA survivent : ils ne contiennent pas la lettre attaquée (B, remplacée par X). Tout facteur qui passe par la position 3 est perdu.

Exemple 4 : aucune attaque (contrôle)

Soit w = AABA, de longueur |w| = 4, et les attributs des générateurs

c = (α, α, β, α),

avec ψ(α) = A, ψ(β) = B. Lettre par lettre :

j	w[j]	c_j	ψ(c_j) = μ_ad(w)[j]
1	A	α	A
2	A	α	A
3	B	β	B
4	A	α	A

μ_ad(w) = AABA.

Les facteurs distincts de w, rangés par longueur, sont les 8 mots suivants :

Fact(AABA) = {A, B, AA, AB, BA, AAB, ABA, AABA}.

Pour chacun d’eux, on cherche s’il est aussi facteur de AABA. On compare u à chaque fenêtre de AABA de même longueur, lettre à lettre ; le produit des comparaisons vaut 1 seulement si la fenêtre est égale à u. Leur somme est le nombre d’occurrences m(u) de u dans AABA, et l’appartenance est χ_Fact(AABA)(u) = χ_[1,+∞)(m(u)).

u ∈ Fact(w)	fenêtres de AABA de longueur \|u\| et comparaisons	m(u) dans AABA	χ_Fact(AABA)(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
A	A : e(A, A) = 1 = 1 A : e(A, A) = 1 = 1 B : e(B, A) = 0 = 0 A : e(A, A) = 1 = 1	3	1	1
B	A : e(A, B) = 0 = 0 A : e(A, B) = 0 = 0 B : e(B, B) = 1 = 1 A : e(A, B) = 0 = 0	1	1	2
AA	AA : e(A, A) · e(A, A) = 1 · 1 = 1 AB : e(A, A) · e(B, A) = 1 · 0 = 0 BA : e(B, A) · e(A, A) = 0 · 1 = 0	1	1	3
AB	AA : e(A, A) · e(A, B) = 1 · 0 = 0 AB : e(A, A) · e(B, B) = 1 · 1 = 1 BA : e(B, A) · e(A, B) = 0 · 0 = 0	1	1	4
BA	AA : e(A, B) · e(A, A) = 0 · 1 = 0 AB : e(A, B) · e(B, A) = 0 · 0 = 0 BA : e(B, B) · e(A, A) = 1 · 1 = 1	1	1	5
AAB	AAB : e(A, A) · e(A, A) · e(B, B) = 1 · 1 · 1 = 1 ABA : e(A, A) · e(B, A) · e(A, B) = 1 · 0 · 0 = 0	1	1	6
ABA	AAB : e(A, A) · e(A, B) · e(B, A) = 1 · 0 · 0 = 0 ABA : e(A, A) · e(B, B) · e(A, A) = 1 · 1 · 1 = 1	1	1	7
AABA	AABA : e(A, A) · e(A, A) · e(B, B) · e(A, A) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1	1	1	8

Le cardinal de l’intersection est la somme de la colonne des indicatrices :

|Fact(AABA) ∩ Fact(AABA)| = Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_Fact(AABA)(u) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8.

Les facteurs communs sont {A, B, AA, AB, BA, AAB, ABA, AABA}. D’où

δ(w, μ_ad(w)) = |w| − |Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))| = 4 − 8 = −4.

Ici ψ redonne exactement chaque lettre : μ_ad(w) = w, il n’y a pas d’ad hominem. Pourtant δ = 4 − 8 = −4 est négatif.

3. Ce que montre l’exemple de contrôle

Dans δ, les deux termes ne comptent pas la même chose : |w| compte des lettres (au plus n), alors que |Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))| compte des facteurs, dont il peut y avoir jusqu’à n(n + 1)/2. Quand l’attaque est faible, l’intersection dépasse |w| et δ devient négatif ; δ = 0 ne signifie donc pas « aucune attaque ». Deux normalisations donnent une mesure comprise entre 0 (aucune attaque) et 1 (attaque totale) :

δ* = 1 − |Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))| / |Fact(w)|, h = (1/n) · Σ_j=1ⁿ (1 − e(w[j], μ_ad(w)[j])).

δ* est la part des facteurs de w perdus ; h est la part des positions dont la lettre a été remplacée, chaque terme 1 − e valant 1 pour une lettre changée et 0 pour une lettre conservée.

N°	w	μ_ad(w)	\|w\|	\|Fact(w)\|	\|Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))\|	δ	δ*	h
1	AB	JJ	2	3	0	2	1 − 0/3 = 1	(1 + 1)/2 = 1
2	ABCD	RRRR	4	10	0	4	1 − 0/10 = 1	(1 + 1 + 1 + 1)/4 = 1
3	AABA	AAXA	4	8	2	2	1 − 2/8 = 0.75	(0 + 0 + 1 + 0)/4 = 0.25
4	AABA	AABA	4	8	8	−4	1 − 8/8 = 0	(0 + 0 + 0 + 0)/4 = 0

Les deux mesures normalisées s’accordent sur les cas extrêmes et diffèrent sur l’exemple 3 : une seule lettre changée sur quatre (h = 0.25) détruit trois quarts des facteurs (δ* = 0.75), parce que la lettre attaquée est au milieu du mot et coupe tous les facteurs qui la traversent.

Pour les quatre exemples : δ (qui devient négatif pour le contrôle), δ* (part des facteurs perdus) et h (part des lettres remplacées).

Synthèse numérique

N°	w	μ_ad(w)	\|Fact(w) ∩ Fact(μ_ad(w))\|	δ
1	AB	JJ	0	2
2	ABCD	RRRR	0	4
3	AABA	AAXA	2	2
4	AABA	AABA (contrôle)	8	−4

L’interprétation combinatoire est que l’ad hominem remplace l’information portée par les symboles du mot original par une information extérieure portée par les attributs c_j. La perte de structure factorielle commune entre l’argument et sa reformulation se lit, facteur par facteur, dans la colonne des indicatrices χ_{Fact(μad(w))}(u) ; rapportée au nombre de facteurs de w, elle donne δ*.

4. Adianoeta – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

Adianoeta (du grec adianoetos, « inintelligible ») est une figure de style dans laquelle une expression porte deux significations simultanées : un sens évident, littéral ou ostensible, et un second sens plus subtil, ingénieux ou ironique, souvent en tension avec le premier.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à double interprétation (ou double occurrence factorielle) – Adianoeta-word.

Justification du lien

L’adianoeta superpose deux lectures sur la même suite de mots. En combinatoire des mots, cela correspond à un mot qui admet plusieurs factorisations ou plusieurs morphismes qui le réalisent de manière équivalente en surface, mais dont les décompositions internes divergent. Le calcul du nombre de factorisations non triviales quantifie le degré d’ambiguïté structurelle, exactement comme la figure quantifie la coexistence de deux sens.

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. On dit que w est un mot adianoétique s’il admet au moins deux factorisations distinctes (ou deux interprétations morphiques) qui coexistent sur le même support littéral.

Formellement, il existe deux morphismes distincts μ₁ et μ₂ tels que :

μ₁(w) = μ₂(w)

mais les « lectures » associées diffèrent.

Expression formelle computable

Pour un mot w de longueur n, on définit l’ensemble des interprétations possibles par le nombre de morphismes distincts qui le réalisent :

Amb(w) = |{μ | μ est un morphisme non trivial tel que μ(w) = w}|

Ou, de manière plus opérationnelle, le nombre de factorisations distinctes en facteurs primitifs :

Fact₂(w) = |{(u, v) | w = uv = vu′, |u| ≠ |v|}|

Une valeur Amb(w) ≥ 2 ou Fact₂(w) ≥ 1 indique une double interprétation possible.

Adianoeta : lectures concurrentes

1) Application de l’expression mathématique de l’Adianoeta : SIX EXEMPLES DE lectures concurrentes d’un même mot

1. Le modèle

L’adianoeta produit plusieurs lectures compatibles avec la même forme observable. On la modélise par un mot w = w[1] ⋯ w[n] et deux comptages :

Fact₂(w) = | { (u, v) : w = uv = vu′, |u| ≠ |v| } |, Amb(w) = | { μ : μ(w) = w } |.

Fact₂ compte des découpages de w en deux blocs, Amb des morphismes qui redonnent w. Chacun des deux ensembles est fini ; son cardinal est une somme d’indicatrices sur une liste de candidats, et chaque indicatrice est elle-même un produit de comparaisons de lettres.

2. Les découpages : n − 1 candidats

Un découpage w = uv est fixé par la longueur p = |u| du premier bloc, avec 1 ≤ p ≤ n − 1 (les deux blocs non vides) : u = w[1..p] et v = w[p+1..n]. Un mot de longueur n a donc exactement n − 1 découpages ; c’est le nombre de coupures possibles, C(w) = n − 1, qui vaut 3 pour AAAA et ABAB, et 5 pour BANANA.

3. Les deux conditions de Fact₂, écrites en indicatrices

La condition w = vu′ dit que v est aussi un préfixe de w : ses n − p lettres sont les n − p premières lettres de w. Lettre à lettre, w[p+r] = w[r] pour r = 1, …, n − p. Le « et » de ces égalités est un produit :

Pér(p) = ∏_r=1^n−p e( w[p+r], w[r] ), e(x, y) = 1 si x = y, 0 sinon.

Pér(p) = 1 signifie que w est inchangé par un décalage de p positions : p est une période de w. Le bloc u′ est alors la fin de w, u′ = w[n−p+1..n]. La seconde condition, |u| ≠ |v|, s’écrit 1 − e(p, n − p) = 1 − e(2p, n) : elle exclut la coupure du milieu. D’où

Fact₂(w) = Σ_p=1ⁿ⁻¹ Pér(p) · (1 − e(2p, n))

et, sans la condition de longueur, le nombre de périodes P(w) = Σ_p Pér(p). Les tableaux écrivent, pour chaque coupure, toutes les comparaisons.

Pour chaque mot et chaque coupure p : le mot et sa copie décalée de p positions, lettre sous lettre ; vert si les deux lettres sont égales, rouge sinon ; Pér(p) = 1 seulement si toute la zone commune est verte.

Exemple 1 : w = AAAA (n = 4)

p = \|u\|	coupure u · v	\|u\|, \|v\|	v préfixe de w : ∏_r e(w[p+r], w[r])	Pér(p)	\|u\| ≠ \|v\| : 1 − e(2p, n)	terme de Fact₂
1	A · AAA	1, 3	e(w[2], w[1]) = e(A, A) · e(w[3], w[2]) = e(A, A) · e(w[4], w[3]) = e(A, A) = 1 · 1 · 1	1	1 − e(2, 4) = 1	1 × 1 = 1
2	AA · AA	2, 2	e(w[3], w[1]) = e(A, A) · e(w[4], w[2]) = e(A, A) = 1 · 1	1	1 − e(4, 4) = 0	1 × 0 = 0
3	AAA · A	3, 1	e(w[4], w[1]) = e(A, A) = 1	1	1 − e(6, 4) = 1	1 × 1 = 1

P(AAAA) = 1 + 1 + 1 = 3, Fact₂(AAAA) = 1 + 0 + 1 = 2.

Exemple 2 : w = ABAB (n = 4)

p = \|u\|	coupure u · v	\|u\|, \|v\|	v préfixe de w : ∏_r e(w[p+r], w[r])	Pér(p)	\|u\| ≠ \|v\| : 1 − e(2p, n)	terme de Fact₂
1	A · BAB	1, 3	e(w[2], w[1]) = e(B, A) · e(w[3], w[2]) = e(A, B) · e(w[4], w[3]) = e(B, A) = 0 · 0 · 0	0	1 − e(2, 4) = 1	0 × 1 = 0
2	AB · AB	2, 2	e(w[3], w[1]) = e(A, A) · e(w[4], w[2]) = e(B, B) = 1 · 1	1	1 − e(4, 4) = 0	1 × 0 = 0
3	ABA · B	3, 1	e(w[4], w[1]) = e(B, A) = 0	0	1 − e(6, 4) = 1	0 × 1 = 0

P(ABAB) = 0 + 1 + 0 = 1, Fact₂(ABAB) = 0 + 0 + 0 = 0.

Exemple 3 : w = BANANA (n = 6)

p = \|u\|	coupure u · v	\|u\|, \|v\|	v préfixe de w : ∏_r e(w[p+r], w[r])	\|u\| ≠ \|v\| : 1 − e(2p, n)	terme de Fact₂
1	B · ANANA	1, 5	e(w[2], w[1]) = e(A, B) · e(w[3], w[2]) = e(N, A) · e(w[4], w[3]) = e(A, N) · e(w[5], w[4]) = e(N, A) · e(w[6], w[5]) = e(A, N) = 0 · 0 · 0 · 0 · 0	1 − e(2, 6) = 1	0 × 1 = 0
2	BA · NANA	2, 4	e(w[3], w[1]) = e(N, B) · e(w[4], w[2]) = e(A, A) · e(w[5], w[3]) = e(N, N) · e(w[6], w[4]) = e(A, A) = 0 · 1 · 1 · 1	1 − e(4, 6) = 1	0 × 1 = 0
3	BAN · ANA	3, 3	e(w[4], w[1]) = e(A, B) · e(w[5], w[2]) = e(N, A) · e(w[6], w[3]) = e(A, N) = 0 · 0 · 0	1 − e(6, 6) = 0	0 × 0 = 0
4	BANA · NA	4, 2	e(w[5], w[1]) = e(N, B) · e(w[6], w[2]) = e(A, A) = 0 · 1	1 − e(8, 6) = 1	0 × 1 = 0
5	BANAN · A	5, 1	e(w[6], w[1]) = e(A, B) = 0	1 − e(10, 6) = 1	0 × 1 = 0

P(BANANA) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0, Fact₂(BANANA) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Pour AAAA, toutes les coupures sont des périodes, mais la coupure du milieu AA · AA est exclue par |u| ≠ |v| : Fact₂ = 2. Pour ABAB, la seule période est p = 2, c’est-à-dire la coupure AB · AB, et elle est exclue : Fact₂ = 0. BANANA n’a aucune période : chaque coupure échoue dès la première comparaison, e(w[p+1], B) = 0, puisque B n’apparaît qu’en tête.

4. Les morphismes qui redonnent w

Un morphisme μ est fixé par l’image μ(a) de chaque lettre a de w, et μ(w) = μ(w[1]) μ(w[2]) ⋯ μ(w[n]). Si toutes les images sont non vides, la longueur |μ(w)| = Σ_a |w|_a · |μ(a)| ne peut valoir n que si chaque image a une lettre, et μ(w) = w force alors μ(a) = a : Amb(w) = 1 pour tout mot. Pour que la mesure distingue les mots, on admet les images vides ε (morphismes effaçants), à valeurs dans les lettres de w.

Le calcul se fait en trois temps. (1) On choisit les longueurs ℓ_a = |μ(a)| ; elles doivent vérifier l’équation des longueurs, testée par l’indicatrice χ_{n}( Σ_a |w|_a · ℓ_a ).

(2) Si l’équation est satisfaite, μ(w) = w force la lecture : on parcourt w et chaque lettre w[j] reçoit les ℓ_w[j] lettres suivantes. (3) Une même lettre doit toujours recevoir la même image : chaque nouvelle occurrence est comparée à la première, et le produit de ces égalités vaut 1 seulement si la lecture est cohérente. Ainsi Amb(w) = Σ_ℓ χ_{n}( Σ_a |w|_a ℓ_a ) · ∏_j e( image de w[j], image de la première occurrence de w[j] )

BANANA : les sept choix de longueurs qui vérifient B + 3A + 2N = 6, la lecture forcée de BANANA dessinée en blocs, et le contrôle de cohérence ; trois lectures sont cohérentes.

Exemple 1 : w = AAAA

Tous les choix de longueurs possibles sont écrits.

longueurs ℓ_a = \|μ(a)\|	Σ_a \|w\|_a ℓ_a	χ_{n}(Σ)	lecture forcée de w, lettre par lettre	cohérence : ∏ e(image, première image)	morphisme obtenu	terme de Amb
ℓ_A = 0	4·0 = 0	0	—	—	—	0
ℓ_A = 1	4·1 = 4	1	A→A \| A→A \| A→A \| A→A	1 · 1 · 1 · 1 = 1	μ(A) = A	1

Amb(AAAA) = 1.

Exemple 2 : w = ABAB

Tous les choix de longueurs possibles sont écrits.

longueurs ℓ_a = \|μ(a)\|	Σ_a \|w\|_a ℓ_a	χ_{n}(Σ)	lecture forcée de w, lettre par lettre	cohérence : ∏ e(image, première image)	morphisme obtenu	terme de Amb
ℓ_A = 0, ℓ_B = 0	2·0 + 2·0 = 0	0	—	—	—	0
ℓ_A = 0, ℓ_B = 1	2·0 + 2·1 = 2	0	—	—	—	0
ℓ_A = 0, ℓ_B = 2	2·0 + 2·2 = 4	1	A→ε \| B→AB \| A→ε \| B→AB	1 · 1 · 1 · 1 = 1	μ(A) = ε, μ(B) = AB	1
ℓ_A = 1, ℓ_B = 0	2·1 + 2·0 = 2	0	—	—	—	0
ℓ_A = 1, ℓ_B = 1	2·1 + 2·1 = 4	1	A→A \| B→B \| A→A \| B→B	1 · 1 · 1 · 1 = 1	μ(A) = A, μ(B) = B	1
ℓ_A = 1, ℓ_B = 2	2·1 + 2·2 = 6	0	—	—	—	0
ℓ_A = 2, ℓ_B = 0	2·2 + 2·0 = 4	1	A→AB \| B→ε \| A→AB \| B→ε	1 · 1 · 1 · 1 = 1	μ(A) = AB, μ(B) = ε	1
ℓ_A = 2, ℓ_B = 1	2·2 + 2·1 = 6	0	—	—	—	0
ℓ_A = 2, ℓ_B = 2	2·2 + 2·2 = 8	0	—	—	—	0

Amb(ABAB) = 3.

Exemple 3 : w = BANANA

Seuls les choix de longueurs qui vérifient l’équation sont écrits (les autres ont χ = 0).

longueurs ℓ_a = \|μ(a)\|	Σ_a \|w\|_a ℓ_a	χ_{n}(Σ)	lecture forcée de w, lettre par lettre	cohérence : ∏ e(image, première image)	morphisme obtenu	terme de Amb
ℓ_B = 0, ℓ_A = 0, ℓ_N = 3	1·0 + 3·0 + 2·3 = 6	1	B→ε \| A→ε \| N→BAN \| A→ε \| N→ANA \| A→ε	1 · 1 · 1 · 1 · 0 · 1 = 0	μ(B) = ε, μ(A) = ε, μ(N) = BAN	0
ℓ_B = 0, ℓ_A = 2, ℓ_N = 0	1·0 + 3·2 + 2·0 = 6	1	B→ε \| A→BA \| N→ε \| A→NA \| N→ε \| A→NA	1 · 1 · 1 · 0 · 1 · 0 = 0	μ(B) = ε, μ(A) = BA, μ(N) = ε	0
ℓ_B = 1, ℓ_A = 1, ℓ_N = 1	1·1 + 3·1 + 2·1 = 6	1	B→B \| A→A \| N→N \| A→A \| N→N \| A→A	1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1	μ(B) = B, μ(A) = A, μ(N) = N	1
ℓ_B = 2, ℓ_A = 0, ℓ_N = 2	1·2 + 3·0 + 2·2 = 6	1	B→BA \| A→ε \| N→NA \| A→ε \| N→NA \| A→ε	1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1	μ(B) = BA, μ(A) = ε, μ(N) = NA	1
ℓ_B = 3, ℓ_A = 1, ℓ_N = 0	1·3 + 3·1 + 2·0 = 6	1	B→BAN \| A→A \| N→ε \| A→N \| N→ε \| A→A	1 · 1 · 1 · 0 · 1 · 1 = 0	μ(B) = BAN, μ(A) = A, μ(N) = ε	0
ℓ_B = 4, ℓ_A = 0, ℓ_N = 1	1·4 + 3·0 + 2·1 = 6	1	B→BANA \| A→ε \| N→N \| A→ε \| N→A \| A→ε	1 · 1 · 1 · 1 · 0 · 1 = 0	μ(B) = BANA, μ(A) = ε, μ(N) = N	0
ℓ_B = 6, ℓ_A = 0, ℓ_N = 0	1·6 + 3·0 + 2·0 = 6	1	B→BANANA \| A→ε \| N→ε \| A→ε \| N→ε \| A→ε	1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1	μ(B) = BANANA, μ(A) = ε, μ(N) = ε	1

Amb(BANANA) = 3.

Pour AAAA, la seule longueur possible est ℓ_A = 1, et μ(A) = A : Amb = 1. Pour ABAB, outre l’identité, deux morphismes effacent une lettre et donnent AB à l’autre : μ(A) = AB, μ(B) = ε, et μ(A) = ε, μ(B) = AB ; tous deux redonnent ABAB grâce à la répétition (AB)². Pour BANANA, outre l’identité, μ(B) = BANANA (les autres lettres effacées) et μ(B) = BA, μ(N) = NA, μ(A) = ε, qui relit BANANA comme BA · NA · NA.

5. Mesure numérique comparative

N°	w	coupures C(w) = n − 1	périodes P(w)	Fact₂(w)	Amb(w)
1	AAAA	3	3	2	1
2	ABAB	3	1	0	3
3	BANANA	5	0	0	3

Les trois mesures ne racontent pas la même chose. Le nombre de coupures ne dépend que de la longueur et classe BANANA au-dessus de ABAB, alors que ABAB est le seul des deux à se relire comme un bloc répété. Les périodes et Fact₂ ne retiennent que les coupures qui recouvrent le mot par lui-même ; Amb retient les relectures par morphisme, et place ABAB et BANANA au-dessus de AAAA, dont la seule lettre ne laisse aucun jeu.

Pour AAAA, ABAB et BANANA : nombre de coupures, nombre de périodes, Fact₂ et Amb.

6. Interprétation rhétorique

L’adianoeta consiste à produire simultanément plusieurs lectures compatibles avec la même forme observable. Dans ce modèle, une lecture concurrente n’est comptée que si elle est vérifiée sur les lettres : une période fait coïncider le mot avec son propre décalage, un morphisme qui fixe w relit les mêmes lettres avec un autre découpage en unités. Plus Fact₂(w) et Amb(w) sont élevés, plus le mot possède de couches interprétatives coexistantes ; chaque unité de ces nombres est une ligne des tableaux où toutes les indicatrices valent 1.

5. Alliteration – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’allitération (du latin alliteratio, « commencement par la même lettre ») est la répétition d’un même son consonantique en position initiale de plusieurs mots voisins ou de syllabes accentuées.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à préfixe initial répété (ou allitératif morphism).

Justification du lien

L’allitération repose sur la répétition d’une initiale. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence répétée d’un même préfixe de longueur 1 dans une suite de facteurs. Le calcul du maximum de répétitions d’une même lettre en position initiale quantifie directement l’intensité de l’effet allitératif.

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. On dit que w présente une allitération de degré k s’il existe une lettre a ∈ Σ telle qu’au moins k facteurs consécutifs (ou quasi-consécutifs) de w commencent par a.

Formellement, il existe une suite d’indices i₁ < i₂ < … < i_k tels que les préfixes des facteurs correspondants coïncident :

pref₁(w[i_j …]) = a pour tout j = 1, …, k

Expression formelle computable

Pour un mot w = a₁a₂ … a_n, on définit le score d’allitération pour une lettre a comme :

Allit(w, a) = max{k | ∃ i₁ < … < i_k, a_ij = a}

Le degré maximal d’allitération du mot est :

Allit(w) = max_{a ∈ Σ} Allit(w, a)

Une valeur Allit(w) ≥ 2 indique la présence d’allitération.

Allitération : mesures par fonctions indicatrices

1. Le mot et l’indicatrice d’une lettre

Soit w = a₁ a₂ ⋯ a_n un mot sur un alphabet Σ. Pour une lettre a ∈ Σ, l’indicatrice χ_{a} vaut 1 sur la lettre a et 0 sur toute autre lettre :

χ_{a}(x) = 1 si x = a, χ_{a}(x) = 0 sinon.

Appliquée à chaque position, elle transforme le mot en une suite de 0 et de 1 qui marque les positions occupées par a. Les trois mesures qui suivent sont trois façons de lire cette suite.

2. Nombre d’occurrences

La première mesure additionne la suite :

Allit(w, a) = Σ_i=1ⁿ χ_{a}(a_i), Allit(w) = max_{a ∈ Σ} Allit(w, a).

Allit(w, a) est le nombre d’occurrences de a ; c’est aussi le plus grand nombre k d’indices i₁ < ⋯ < i_k tels que a_ij = a, puisque toutes les occurrences peuvent être choisies. Allit(w) est la fréquence de la lettre la plus fréquente, sans condition de proximité.

3. Plus long bloc consécutif

La deuxième mesure suit les blocs de a consécutifs. La longueur L_a(i) du bloc de a qui finit en position i se calcule de proche en proche :

L_a(0) = 0, L_a(i) = χ_{a}(a_i) · ( L_a(i − 1) + 1 ), RunAllit(w, a) = max_{1 ≤ i ≤ n} L_a(i).

L’indicatrice agit comme un interrupteur : si a_i = a, le bloc s’allonge de 1 ; sinon le produit par 0 remet le compteur à zéro. RunAllit(w) = max_a RunAllit(w, a) est la longueur du plus long bloc d’une même lettre.

SSSSABS : à gauche, les sommes des indicatrices sur tous les intervalles [p, q], dont le maximum est le total 5 ; à droite, le compteur de bloc L(i), dont le maximum est 4.

4. Fenêtre glissante

La troisième mesure traduit l’idée d’occurrences quasi consécutives : on compte les a dans chaque fenêtre de ℓ positions consécutives et l’on garde la plus forte concentration :

W_ℓ(w, a) = max_{1 ≤ p ≤ n − ℓ + 1} Σ_i=p^p+ℓ−1 χ_{a}(a_i), W_ℓ(w) = max_a W_ℓ(w, a).

La longueur ℓ de la fenêtre doit être fixée : une somme de termes 0 ou 1 ne diminue pas quand l’intervalle s’agrandit, de sorte qu’un intervalle de longueur libre atteindrait toujours le mot entier et redonnerait Allit(w, a). Les cas extrêmes sont W₁(w, a) = 1 dès que a apparaît, et W_n(w, a) = Allit(w, a). On prend ici ℓ = 4.

5. Le mot des initiales et l’indice d’allitération

L’allitération est la répétition du son initial de mots voisins. Pour un texte, on applique donc les mesures au mot des initiales : a_i est la première lettre du i-ième mot, sans majuscule ni accent (à → a). L’indice retenu combine la fenêtre et un seuil θ :

Allit_ℓ,θ(w) = χ_[θ,+∞)( max_{a ∈ Σ} max_p Σ_i=p^p+ℓ−1 χ_{a}(a_i) ), ℓ = 4, θ = 3 :

il y a allitération lorsqu’au moins trois mots parmi quatre consécutifs commencent par la même lettre. Les mots grammaticaux (articles, pronoms, prépositions) peuvent être retirés au préalable avec la liste fermée de la fiche des belles-lettres.

Exemple 1 : w = BANANA

Occurrences

lettre a	1 : B	2 : A	3 : N	4 : A	5 : N	6 : A	Allit(w, a) = Σ_i χ_{a}(a_i)
B	1	0	0	0	0	0	1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1
A	0	1	0	1	0	1	0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 3
N	0	0	1	0	1	0	0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 2

Allit(BANANA) = max(1, 3, 2) = 3 (lettre dominante : A).

Blocs consécutifs

Chaque case donne le calcul χ_{a}(a_i) · (L_a(i − 1) + 1) = L_a(i).

lettre a	1 : B	2 : A	3 : N	4 : A	5 : N	6 : A	RunAllit(w, a) = max_i L_a(i)
B	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1
A	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	1·(0+1) = 1	1
N	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	1

RunAllit(BANANA) = max(1, 1, 1) = 1.

Fenêtres de longueur 4

Chaque case additionne les quatre indicatrices de la fenêtre.

lettre a	p = 1 : BANA	p = 2 : ANAN	p = 3 : NANA	W₄(w, a)
B	1 + 0 + 0 + 0 = 1	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	1
A	0 + 1 + 0 + 1 = 2	1 + 0 + 1 + 0 = 2	0 + 1 + 0 + 1 = 2	2
N	0 + 0 + 1 + 0 = 1	0 + 1 + 0 + 1 = 2	1 + 0 + 1 + 0 = 2	2

W₄(BANANA) = max(1, 2, 2) = 2, Allit_4,3(BANANA) = χ_[3,+∞)(2) = 0.

Exemple 2 : w = MISSISSIPPI

Occurrences

lettre a	1 : M	2 : I	3 : S	4 : S	5 : I	6 : S	7 : S	8 : I	9 : P	10 : P	11 : I	Allit(w, a) = Σ_i χ_{a}(a_i)
M	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1
I	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 4
S	0	0	1	1	0	1	1	0	0	0	0	0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 4
P	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 = 2

Allit(MISSISSIPPI) = max(1, 4, 4, 2) = 4 (lettres dominantes : I, S).

Blocs consécutifs

Chaque case donne le calcul χ_{a}(a_i) · (L_a(i − 1) + 1) = L_a(i).

lettre a	1 : M	2 : I	3 : S	4 : S	5 : I	6 : S	7 : S	8 : I	9 : P	10 : P	11 : I	RunAllit(w, a) = max_i L_a(i)
M	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1
I	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	1
S	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	1·(1+1) = 2	0·(2+1) = 0	1·(0+1) = 1	1·(1+1) = 2	0·(2+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	2
P	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	1·(1+1) = 2	0·(2+1) = 0	2

RunAllit(MISSISSIPPI) = max(1, 1, 2, 2) = 2.

Fenêtres de longueur 4

Chaque case additionne les quatre indicatrices de la fenêtre.

lettre a	p = 1 : MISS	p = 2 : ISSI	p = 3 : SSIS	p = 4 : SISS	p = 5 : ISSI	p = 6 : SSIP	p = 7 : SIPP	p = 8 : IPPI	W₄(w, a)
M	1 + 0 + 0 + 0 = 1	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	1
I	0 + 1 + 0 + 0 = 1	1 + 0 + 0 + 1 = 2	0 + 0 + 1 + 0 = 1	0 + 1 + 0 + 0 = 1	1 + 0 + 0 + 1 = 2	0 + 0 + 1 + 0 = 1	0 + 1 + 0 + 0 = 1	1 + 0 + 0 + 1 = 2	2
S	0 + 0 + 1 + 1 = 2	0 + 1 + 1 + 0 = 2	1 + 1 + 0 + 1 = 3	1 + 0 + 1 + 1 = 3	0 + 1 + 1 + 0 = 2	1 + 1 + 0 + 0 = 2	1 + 0 + 0 + 0 = 1	0 + 0 + 0 + 0 = 0	3
P	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 1 = 1	0 + 0 + 1 + 1 = 2	0 + 1 + 1 + 0 = 2	2

W₄(MISSISSIPPI) = max(1, 2, 3, 2) = 3, Allit_4,3(MISSISSIPPI) = χ_[3,+∞)(3) = 1.

Deux lettres, I et S, atteignent le maximum des occurrences : la valeur Allit(w) = 4 est unique, la lettre dominante ne l’est pas.

Exemple 3 : w = SSSSABS

Occurrences

lettre a	1 : S	2 : S	3 : S	4 : S	5 : A	6 : B	7 : S	Allit(w, a) = Σ_i χ_{a}(a_i)
S	1	1	1	1	0	0	1	1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 = 5
A	0	0	0	0	1	0	0	0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1
B	0	0	0	0	0	1	0	0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1

Allit(SSSSABS) = max(5, 1, 1) = 5 (lettre dominante : S).

Blocs consécutifs

Chaque case donne le calcul χ_{a}(a_i) · (L_a(i − 1) + 1) = L_a(i).

lettre a	1 : S	2 : S	3 : S	4 : S	5 : A	6 : B	7 : S	RunAllit(w, a) = max_i L_a(i)
S	1·(0+1) = 1	1·(1+1) = 2	1·(2+1) = 3	1·(3+1) = 4	0·(4+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	4
A	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	1
B	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	1

RunAllit(SSSSABS) = max(4, 1, 1) = 4.

Fenêtres de longueur 4

Chaque case additionne les quatre indicatrices de la fenêtre.

lettre a	p = 1 : SSSS	p = 2 : SSSA	p = 3 : SSAB	p = 4 : SABS	W₄(w, a)
S	1 + 1 + 1 + 1 = 4	1 + 1 + 1 + 0 = 3	1 + 1 + 0 + 0 = 2	1 + 0 + 0 + 1 = 2	4
A	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 1 = 1	0 + 0 + 1 + 0 = 1	0 + 1 + 0 + 0 = 1	1
B	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 1 = 1	0 + 0 + 1 + 0 = 1	1

W₄(SSSSABS) = max(4, 1, 1) = 4, Allit_4,3(SSSSABS) = χ_[3,+∞)(4) = 1.

Pour SSSSABS, Allit(w, S) = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 = 5 compte les cinq S, tandis que RunAllit(w, S) = 4 ne retient que le bloc initial SSSS.

Exemple 4 : initiales de « Pour qui sont ces serpents qui sifflent sur vos têtes » (Racine)

Le mot des initiales des dix mots est w = pqscsqssvt.

Occurrences

lettre a	1 : p	2 : q	3 : s	4 : c	5 : s	6 : q	7 : s	8 : s	9 : v	10 : t	Allit(w, a) = Σ_i χ_{a}(a_i)
p	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1
q	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2
s	0	0	1	0	1	0	1	1	0	0	0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 = 4
c	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1
v	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1
t	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1

Allit(pqscsqssvt) = max(1, 2, 4, 1, 1, 1) = 4 (lettre dominante : s).

Blocs consécutifs

Chaque case donne le calcul χ_{a}(a_i) · (L_a(i − 1) + 1) = L_a(i).

lettre a	1 : p	2 : q	3 : s	4 : c	5 : s	6 : q	7 : s	8 : s	9 : v	10 : t	RunAllit(w, a) = max_i L_a(i)
p	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1
q	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1
s	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	1·(0+1) = 1	1·(1+1) = 2	0·(2+1) = 0	0·(0+1) = 0	2
c	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1
v	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	1
t	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	1

RunAllit(pqscsqssvt) = max(1, 1, 2, 1, 1, 1) = 2.

Fenêtres de longueur 4

Chaque case additionne les quatre indicatrices de la fenêtre.

lettre a	p = 1 : pqsc	p = 2 : qscs	p = 3 : scsq	p = 4 : csqs	p = 5 : sqss	p = 6 : qssv	p = 7 : ssvt	W₄(w, a)
p	1 + 0 + 0 + 0 = 1	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	1
q	0 + 1 + 0 + 0 = 1	1 + 0 + 0 + 0 = 1	0 + 0 + 0 + 1 = 1	0 + 0 + 1 + 0 = 1	0 + 1 + 0 + 0 = 1	1 + 0 + 0 + 0 = 1	0 + 0 + 0 + 0 = 0	1
s	0 + 0 + 1 + 0 = 1	0 + 1 + 0 + 1 = 2	1 + 0 + 1 + 0 = 2	0 + 1 + 0 + 1 = 2	1 + 0 + 1 + 1 = 3	0 + 1 + 1 + 0 = 2	1 + 1 + 0 + 0 = 2	3
c	0 + 0 + 0 + 1 = 1	0 + 0 + 1 + 0 = 1	0 + 1 + 0 + 0 = 1	1 + 0 + 0 + 0 = 1	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	1
v	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 1 = 1	0 + 0 + 1 + 0 = 1	1
t	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 1 = 1	1

W₄(pqscsqssvt) = max(1, 1, 3, 1, 1, 1) = 3, Allit_4,3(pqscsqssvt) = χ_[3,+∞)(3) = 1.

La fenêtre « serpents qui sifflent sur » (s, q, s, s) contient trois s : l’indice vaut 1.

Exemple 5 : initiales de « Le train arrive à la gare demain »

Le mot des initiales des sept mots est w = ltaalgd.

Occurrences

lettre a	1 : l	2 : t	3 : a	4 : a	5 : l	6 : g	7 : d	Allit(w, a) = Σ_i χ_{a}(a_i)
l	1	0	0	0	1	0	0	1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 2
t	0	1	0	0	0	0	0	0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1
a	0	0	1	1	0	0	0	0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 2
g	0	0	0	0	0	1	0	0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1
d	0	0	0	0	0	0	1	0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1

Allit(ltaalgd) = max(2, 1, 2, 1, 1) = 2 (lettres dominantes : l, a).

Blocs consécutifs

Chaque case donne le calcul χ_{a}(a_i) · (L_a(i − 1) + 1) = L_a(i).

lettre a	1 : l	2 : t	3 : a	4 : a	5 : l	6 : g	7 : d	RunAllit(w, a) = max_i L_a(i)
l	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	1
t	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1
a	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	1·(1+1) = 2	0·(2+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	2
g	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	0·(1+1) = 0	1
d	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	0·(0+1) = 0	1·(0+1) = 1	1

RunAllit(ltaalgd) = max(1, 1, 2, 1, 1) = 2.

Fenêtres de longueur 4

Chaque case additionne les quatre indicatrices de la fenêtre.

lettre a	p = 1 : ltaa	p = 2 : taal	p = 3 : aalg	p = 4 : algd	W₄(w, a)
l	1 + 0 + 0 + 0 = 1	0 + 0 + 0 + 1 = 1	0 + 0 + 1 + 0 = 1	0 + 1 + 0 + 0 = 1	1
t	0 + 1 + 0 + 0 = 1	1 + 0 + 0 + 0 = 1	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	1
a	0 + 0 + 1 + 1 = 2	0 + 1 + 1 + 0 = 2	1 + 1 + 0 + 0 = 2	1 + 0 + 0 + 0 = 1	2
g	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 1 = 1	0 + 0 + 1 + 0 = 1	1
d	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 + 0 + 0 + 1 = 1	1

W₄(ltaalgd) = max(1, 1, 2, 1, 1) = 2, Allit_4,3(ltaalgd) = χ_[3,+∞)(2) = 0.

Les répétitions de l (le, la) et de a (arrive, à) donnent 2 au plus dans une fenêtre de quatre mots : l’indice vaut 0.

Tableau récapitulatif

N°	exemple	w	Allit(w)	RunAllit(w)	W₄(w)	Allit_4,3(w)
1	BANANA	BANANA	3	1	2	0
2	MISSISSIPPI	MISSISSIPPI	4	2	3	1
3	SSSSABS	SSSSABS	5	4	4	1
4	Racine	pqscsqssvt	4	2	3	1
5	Le train arrive…	ltaalgd	2	2	2	0

Pour les cinq mots : nombre d’occurrences, plus long bloc et fenêtre de longueur 4, avec les seuils 2 et 3.

6. Interprétation

Les trois mesures lisent la même suite d’indicatrices χ_{a}(a_i) à trois échelles : le mot entier (nombre d’occurrences), les positions contiguës (plus long bloc), et une fenêtre de longueur fixée (concentration locale). Seule la troisième traduit la proximité qui définit l’allitération sans exiger la stricte contiguïté : appliquée au mot des initiales avec ℓ = 4 et θ = 3, elle reconnaît le vers de Racine et écarte la phrase ordinaire, où les mêmes initiales reviennent sans se concentrer.

6. Amphiboly – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’amphiboly est une figure ou un sophisme qui résulte d’une structure grammaticale ambiguë d’une phrase, de sorte qu’elle peut être interprétée de plusieurs façons (modificateur mal placé, référence pronominale indéterminée, etc.).

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à factorisation multiple (ou amphibole factorization).

Justification du lien

L’amphiboly repose sur une ambiguïté de structure grammaticale. En combinatoire des mots, cela correspond exactement à l’existence de plusieurs factorisations concurrentes d’un même mot. Le calcul du nombre de paires de factorisations distinctes quantifie le degré d’ambiguïté syntaxique possible.

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. On dit que w est amphibole s’il admet au moins deux factorisations distinctes non triviales qui sont syntaxiquement concurrentes.

Formellement, il existe deux suites de facteurs (u₁, …, u_k) et (v₁, …, v_m) telles que :

w = u₁u₂ … u_k = v₁v₂ … v_m

avec (u₁, …, u_k) ≠ (v₁, …, v_m) et k, m ≥ 2.

Expression formelle computable

Le nombre de factorisations amphiboles d’un mot w peut être défini comme :

Amph(w) = |{(u, v) | w = uv = u′v′, (u, v) ≠ (u′, v′), |u|, |v| ≥ 1}|

Une valeur Amph(w) ≥ 1 indique la présence d’au moins une double lecture structurelle.

Amphibolie : coupures et segmentations

Amphibolie : coupures, paires de coupures et segmentations

1. Les coupures d’un mot

Soit w = w[1] ⋯ w[n] un mot. Une coupure binaire w = uv avec |u| ≥ 1 et |v| ≥ 1 est fixée par la position p = |u|, avec 1 ≤ p ≤ n − 1 : u = w[1..p] et v = w[p+1..n]. L’ensemble des coupures est

Fact(w) = { (u, v) : w = uv, |u| ≥ 1, |v| ≥ 1 }, |Fact(w)| = Σ_p=1ⁿ χ_{[1, n−1]}(p) = n − 1.

Chaque position p de 1 à n − 1 contribue 1, la position n contribue 0. Le nombre de coupures ne dépend que de la longueur du mot.

2. Trois formules et leurs valeurs

Trois expressions sont proposées pour Amph(w). On les calcule séparément.

(a) Le nombre de coupures

Amph_a(w) = |Fact(w)| = n − 1.

(b) La double somme sur les paires de coupures

Amph_b(w) = Σ_{(u,v) ∈ Fact(w)} Σ_{(u′,v′) ∈ Fact(w)} χ_≠((u, v), (u′, v′)), χ_≠(x, y) = 1 − e(x, y).

Deux coupures sont égales exactement quand leurs positions p et p′ sont égales ; l’indicatrice vaut donc 1 − e(p, p′). Le tableau des n − 1 coupures contre les n − 1 coupures contient (n − 1)² cases, dont n − 1 sur la diagonale valent 0 :

Amph_b(w) = (n − 1)² − (n − 1) = (n − 1)(n − 2).

(c) L’indicatrice d’au moins deux coupures

Amph_c(w) = χ_[2,+∞)(n − 1) = χ_[2,+∞)( Σ_i=1ⁿ⁻¹ 1 ) ∈ {0, 1}.

Exemple 1 : w = ABC (n = 3)

Les coupures :

p	coupure u \| v	\|u\|, \|v\|	terme
1	A \| BC	1, 2	1
2	AB \| C	2, 1	1

Amph_a(ABC) = 1 + 1 = 2.

Le tableau des paires de coupures, case par case :

p \ p′	1	2	somme de la ligne
1	1 − e(1, 1) = 0	1 − e(1, 2) = 1	1
2	1 − e(2, 1) = 1	1 − e(2, 2) = 0	1

Amph_b(ABC) = 2 × 1 = 2, Amph_c(ABC) = χ_[2,+∞)(2) = 1.

Exemple 2 : w = BANANA (n = 6)

Les coupures :

p	coupure u \| v	\|u\|, \|v\|	terme
1	B \| ANANA	1, 5	1
2	BA \| NANA	2, 4	1
3	BAN \| ANA	3, 3	1
4	BANA \| NA	4, 2	1
5	BANAN \| A	5, 1	1

Amph_a(BANANA) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.

Le tableau des paires de coupures, case par case :

p \ p′	1	2	3	4	5	somme de la ligne
1	0	1	1	1	1	4
2	1	0	1	1	1	4
3	1	1	0	1	1	4
4	1	1	1	0	1	4
5	1	1	1	1	0	4

Amph_b(BANANA) = 5 × 4 = 20, Amph_c(BANANA) = χ_[2,+∞)(5) = 1.

Exemple 3 : w = THEREDBOOK (n = 10)

Les coupures :

p	coupure u \| v	\|u\|, \|v\|	terme
1	T \| HEREDBOOK	1, 9	1
2	TH \| EREDBOOK	2, 8	1
3	THE \| REDBOOK	3, 7	1
4	THER \| EDBOOK	4, 6	1
5	THERE \| DBOOK	5, 5	1
6	THERED \| BOOK	6, 4	1
7	THEREDB \| OOK	7, 3	1
8	THEREDBO \| OK	8, 2	1
9	THEREDBOO \| K	9, 1	1

Amph_a(THEREDBOOK) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9.

Le tableau des paires de coupures, case par case :

p \ p′	1	2	3	4	5	6	7	8	9	somme de la ligne
1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	8
2	1	0	1	1	1	1	1	1	1	8
3	1	1	0	1	1	1	1	1	1	8
4	1	1	1	0	1	1	1	1	1	8
5	1	1	1	1	0	1	1	1	1	8
6	1	1	1	1	1	0	1	1	1	8
7	1	1	1	1	1	1	0	1	1	8
8	1	1	1	1	1	1	1	0	1	8
9	1	1	1	1	1	1	1	1	0	8

Amph_b(THEREDBOOK) = 9 × 8 = 72, Amph_c(THEREDBOOK) = χ_[2,+∞)(9) = 1.

BANANA : la matrice des 5 × 5 paires de coupures, 1 − e(p, p′) dans chaque case ; 20 cases valent 1, les 5 cases de la diagonale valent 0.

N°	w	n	valeur donnée dans les exemples	(a) n − 1	(b) (n − 1)(n − 2)	(c) χ_[2,+∞)(n − 1)
1	ABC	3	2	2	2	1
2	BANANA	6	5	5	20	1
3	THEREDBOOK	10	9	9	72	1

Les valeurs données dans les exemples sont celles de (a). La double somme (b) ne coïncide avec (a) que pour n = 3, et l’indicatrice (c) ne prend que les valeurs 0 et 1. Surtout, les trois formules ne dépendent que de la longueur n : un mot de dix lettres sans aucune ambiguïté reçoit la même valeur que THEREDBOOK. Elles comptent des coupures, non des lectures concurrentes.

3. Une mesure de l’ambiguïté : les segmentations en mots d’un lexique

Une lecture concurrente est un autre découpage de la même chaîne en mots qui existent. Il faut donc un lexique D, liste finie de mots, et son indicatrice

χ_D(x) = Σ_j e(x, d_j) = 1 si x est un mot de D, 0 sinon.

Version binaire : on ne garde que les coupures dont les deux parties sont des mots du lexique,

Bin_D(w) = Σ_p=1ⁿ⁻¹ χ_D(w[1..p]) · χ_D(w[p+1..n]).

Version complète : le nombre N(j) de façons de découper le préfixe w[1..j] en mots de D se calcule de proche en proche, en regardant quel mot termine le découpage :

N(0) = 1, N(j) = Σ_i=0^j−1 N(i) · χ_D( w[i+1..j] ), Seg_D(w) = N(n).

Chaque terme N(i) · χ_D(w[i+1..j]) vaut N(i) si le bloc w[i+1..j] est un mot, 0 sinon. L’amphibolie est présente quand il y a au moins deux segmentations :

Amph_D(w) = χ_[2,+∞)( Seg_D(w) )

GODISNOWHERE : la matrice des blocs w[i+1..j] (1 si le bloc est un mot du lexique), les valeurs N(j) du calcul, et les trois segmentations GOD IS NOWHERE, GOD IS NOW HERE, GOD IS NO WHERE.

Exemple 1 : w = ABC

D = {A, B, C, AB, BC}.

Coupures binaires :

p	u \| v	χ_D(u)	χ_D(v)	produit
1	A \| BC	1	1	1
2	AB \| C	1	1	1

Bin_D(ABC) = 1 + 1 = 2.

Calcul de N(j) :

j	préfixe w[1..j]	termes N(i) · χ_D(w[i+1..j])	N(j)
1	A	i = 0 : N(0) · χ_D(A) = 1 · 1 = 1	1
2	AB	i = 0 : N(0) · χ_D(AB) = 1 · 1 = 1 i = 1 : N(1) · χ_D(B) = 1 · 1 = 1	2
3	ABC	i = 0 : N(0) · χ_D(ABC) = 1 · 0 = 0 i = 1 : N(1) · χ_D(BC) = 1 · 1 = 1 i = 2 : N(2) · χ_D(C) = 2 · 1 = 2	3

Seg_D(ABC) = N(3) = 3, Amph_D(ABC) = χ_[2,+∞)(3) = 1.

Segmentations : A · B · C ; A · BC ; AB · C.

Exemple 2 : w = BANANA

D = {BAN, ANA, BANA, NA, BANANA}.

Coupures binaires :

p	u \| v	χ_D(u)	χ_D(v)	produit
1	B \| ANANA	0	0	0
2	BA \| NANA	0	0	0
3	BAN \| ANA	1	1	1
4	BANA \| NA	1	1	1
5	BANAN \| A	0	0	0

Bin_D(BANANA) = 0 + 0 + 1 + 1 + 0 = 2.

Calcul de N(j) :

j	préfixe w[1..j]	termes N(i) · χ_D(w[i+1..j])	N(j)
1	B	i = 0 : N(0) · χ_D(B) = 1 · 0 = 0	0
2	BA	i = 0 : N(0) · χ_D(BA) = 1 · 0 = 0 i = 1 : N(1) · χ_D(A) = 0 · 0 = 0	0
3	BAN	i = 0 : N(0) · χ_D(BAN) = 1 · 1 = 1 i = 1 : N(1) · χ_D(AN) = 0 · 0 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(N) = 0 · 0 = 0	1
4	BANA	i = 0 : N(0) · χ_D(BANA) = 1 · 1 = 1 i = 1 : N(1) · χ_D(ANA) = 0 · 1 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(NA) = 0 · 1 = 0 i = 3 : N(3) · χ_D(A) = 1 · 0 = 0	1
5	BANAN	i = 0 : N(0) · χ_D(BANAN) = 1 · 0 = 0 i = 1 : N(1) · χ_D(ANAN) = 0 · 0 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(NAN) = 0 · 0 = 0 i = 3 : N(3) · χ_D(AN) = 1 · 0 = 0 i = 4 : N(4) · χ_D(N) = 1 · 0 = 0	0
6	BANANA	i = 0 : N(0) · χ_D(BANANA) = 1 · 1 = 1 i = 1 : N(1) · χ_D(ANANA) = 0 · 0 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(NANA) = 0 · 0 = 0 i = 3 : N(3) · χ_D(ANA) = 1 · 1 = 1 i = 4 : N(4) · χ_D(NA) = 1 · 1 = 1 i = 5 : N(5) · χ_D(A) = 0 · 0 = 0	3

Seg_D(BANANA) = N(6) = 3, Amph_D(BANANA) = χ_[2,+∞)(3) = 1.

Segmentations : BAN · ANA ; BANA · NA ; BANANA.

Exemple 3 : w = THEREDBOOK

D = {THE, THERE, RED, BOOK}.

Coupures binaires :

p	u \| v	χ_D(u)	χ_D(v)
1	T \| HEREDBOOK	0	0
2	TH \| EREDBOOK	0	0
3	THE \| REDBOOK	1	0
4	THER \| EDBOOK	0	0
5	THERE \| DBOOK	1	0
6	THERED \| BOOK	0	1
7	THEREDB \| OOK	0	0
8	THEREDBO \| OK	0	0
9	THEREDBOO \| K	0	0

Bin_D(THEREDBOOK) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Calcul de N(j) ; pour chaque j sont écrits les blocs w[i+1..j] qui sont des mots, les autres valant 0 :

j	préfixe w[1..j]	termes N(i) · χ_D(w[i+1..j])	N(j)
1	T	(les 1 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
2	TH	(les 2 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
3	THE	i = 0 : N(0) · χ_D(THE) = 1 · 1 = 1 (les 2 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	1
4	THER	(les 4 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
5	THERE	i = 0 : N(0) · χ_D(THERE) = 1 · 1 = 1 (les 4 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	1
6	THERED	i = 3 : N(3) · χ_D(RED) = 1 · 1 = 1 (les 5 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	1
7	THEREDB	(les 7 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
8	THEREDBO	(les 8 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
9	THEREDBOO	(les 9 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
10	THEREDBOOK	i = 6 : N(6) · χ_D(BOOK) = 1 · 1 = 1 (les 9 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	1

Seg_D(THEREDBOOK) = N(10) = 1, Amph_D(THEREDBOOK) = χ_[2,+∞)(1) = 0.

Segmentations : THE · RED · BOOK.

Exemple 4 : w = GODISNOWHERE

D = {GOD, IS, NO, NOW, HERE, WHERE, NOWHERE}.

Coupures binaires :

p	u \| v	χ_D(u)	χ_D(v)
1	G \| ODISNOWHERE	0	0
2	GO \| DISNOWHERE	0	0
3	GOD \| ISNOWHERE	1	0
4	GODI \| SNOWHERE	0	0
5	GODIS \| NOWHERE	0	1
6	GODISN \| OWHERE	0	0
7	GODISNO \| WHERE	0	1
8	GODISNOW \| HERE	0	1
9	GODISNOWH \| ERE	0	0
10	GODISNOWHE \| RE	0	0
11	GODISNOWHER \| E	0	0

Bin_D(GODISNOWHERE) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Calcul de N(j) ; pour chaque j sont écrits les blocs w[i+1..j] qui sont des mots, les autres valant 0 :

j	préfixe w[1..j]	termes N(i) · χ_D(w[i+1..j])	N(j)
1	G	(les 1 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
2	GO	(les 2 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
3	GOD	i = 0 : N(0) · χ_D(GOD) = 1 · 1 = 1 (les 2 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	1
4	GODI	(les 4 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
5	GODIS	i = 3 : N(3) · χ_D(IS) = 1 · 1 = 1 (les 4 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	1
6	GODISN	(les 6 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
7	GODISNO	i = 5 : N(5) · χ_D(NO) = 1 · 1 = 1 (les 6 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	1
8	GODISNOW	i = 5 : N(5) · χ_D(NOW) = 1 · 1 = 1 (les 7 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	1
9	GODISNOWH	(les 9 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
10	GODISNOWHE	(les 10 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
11	GODISNOWHER	(les 11 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	0
12	GODISNOWHERE	i = 5 : N(5) · χ_D(NOWHERE) = 1 · 1 = 1 i = 7 : N(7) · χ_D(WHERE) = 1 · 1 = 1 i = 8 : N(8) · χ_D(HERE) = 1 · 1 = 1 (les 9 autres blocs ne sont pas des mots : terme 0)	3

Seg_D(GODISNOWHERE) = N(12) = 3, Amph_D(GODISNOWHERE) = χ_[2,+∞)(3) = 1.

Segmentations : GOD · IS · NO · WHERE ; GOD · IS · NOW · HERE ; GOD · IS · NOWHERE.

Exemple 5 : w = UNENORME

D = {UN, UNE, ENORME, NORME}.

Coupures binaires :

p	u \| v	χ_D(u)	χ_D(v)	produit
1	U \| NENORME	0	0	0
2	UN \| ENORME	1	1	1
3	UNE \| NORME	1	1	1
4	UNEN \| ORME	0	0	0
5	UNENO \| RME	0	0	0
6	UNENOR \| ME	0	0	0
7	UNENORM \| E	0	0	0

Bin_D(UNENORME) = 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2.

Calcul de N(j) :

j	préfixe w[1..j]	termes N(i) · χ_D(w[i+1..j])	N(j)
1	U	i = 0 : N(0) · χ_D(U) = 1 · 0 = 0	0
2	UN	i = 0 : N(0) · χ_D(UN) = 1 · 1 = 1 i = 1 : N(1) · χ_D(N) = 0 · 0 = 0	1
3	UNE	i = 0 : N(0) · χ_D(UNE) = 1 · 1 = 1 i = 1 : N(1) · χ_D(NE) = 0 · 0 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(E) = 1 · 0 = 0	1
4	UNEN	i = 0 : N(0) · χ_D(UNEN) = 1 · 0 = 0 i = 1 : N(1) · χ_D(NEN) = 0 · 0 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(EN) = 1 · 0 = 0 i = 3 : N(3) · χ_D(N) = 1 · 0 = 0	0
5	UNENO	i = 0 : N(0) · χ_D(UNENO) = 1 · 0 = 0 i = 1 : N(1) · χ_D(NENO) = 0 · 0 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(ENO) = 1 · 0 = 0 i = 3 : N(3) · χ_D(NO) = 1 · 0 = 0 i = 4 : N(4) · χ_D(O) = 0 · 0 = 0	0
6	UNENOR	i = 0 : N(0) · χ_D(UNENOR) = 1 · 0 = 0 i = 1 : N(1) · χ_D(NENOR) = 0 · 0 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(ENOR) = 1 · 0 = 0 i = 3 : N(3) · χ_D(NOR) = 1 · 0 = 0 i = 4 : N(4) · χ_D(OR) = 0 · 0 = 0 i = 5 : N(5) · χ_D(R) = 0 · 0 = 0	0
7	UNENORM	i = 0 : N(0) · χ_D(UNENORM) = 1 · 0 = 0 i = 1 : N(1) · χ_D(NENORM) = 0 · 0 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(ENORM) = 1 · 0 = 0 i = 3 : N(3) · χ_D(NORM) = 1 · 0 = 0 i = 4 : N(4) · χ_D(ORM) = 0 · 0 = 0 i = 5 : N(5) · χ_D(RM) = 0 · 0 = 0 i = 6 : N(6) · χ_D(M) = 0 · 0 = 0	0
8	UNENORME	i = 0 : N(0) · χ_D(UNENORME) = 1 · 0 = 0 i = 1 : N(1) · χ_D(NENORME) = 0 · 0 = 0 i = 2 : N(2) · χ_D(ENORME) = 1 · 1 = 1 i = 3 : N(3) · χ_D(NORME) = 1 · 1 = 1 i = 4 : N(4) · χ_D(ORME) = 0 · 0 = 0 i = 5 : N(5) · χ_D(RME) = 0 · 0 = 0 i = 6 : N(6) · χ_D(ME) = 0 · 0 = 0 i = 7 : N(7) · χ_D(E) = 0 · 0 = 0	2

Seg_D(UNENORME) = N(8) = 2, Amph_D(UNENORME) = χ_[2,+∞)(2) = 1.

Segmentations : UN · ENORME ; UNE · NORME.

THEREDBOOK n’a qu’une lecture avec ce lexique, THE · RED · BOOK : la chaîne a neuf coupures, mais aucune autre ne produit des mots. GODISNOWHERE en a trois (« God is nowhere », « God is now here »), et UNENORME deux (« un énorme », « une norme ») : ce sont de vraies amphibolies.

Tableau récapitulatif

N°	w	n	coupures n − 1	Bin_D(w)	Seg_D(w)	Amph_D(w)
1	ABC	3	2	2	3	1
2	BANANA	6	5	2	3	1
3	THEREDBOOK	10	9	0	1	0
4	GODISNOWHERE	12	11	0	3	1
5	UNENORME	8	7	2	2	1

Pour les cinq mots : nombre de coupures (ne dépend que de la longueur) et nombre de segmentations en mots du lexique (mesure de l’ambiguïté).

4. Interprétation

L’amphibolie est l’ambiguïté de construction : une même suite de signes admet plusieurs analyses. Une coupure quelconque n’est pas une analyse ; une analyse est un découpage en unités qui existent. La mesure Seg_D(w) compte ces découpages par une somme de produits d’indicatrices χ_D, et l’indicatrice Amph_D(w) = χ_[2,+∞)(Seg_D(w)) signale l’amphibolie dès que deux lectures coexistent. Avec D égal à l’ensemble de tous les mots non vides, χ_D vaut toujours 1 et Bin_D(w) redevient n − 1 : le nombre de coupures est le cas où tout bloc est accepté comme mot.

7. Amplification – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’amplification est l’ensemble des procédés qui permettent d’étendre, d’intensifier ou de magnifier un propos afin d’en accroître l’effet rhétorique.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Opérateur d’extension morphique (ou amplification morphism).

Justification du lien

L’amplification consiste à étendre un propos pour en renforcer l’effet. En combinatoire des mots, cela correspond à l’application d’un morphisme qui allonge les images des lettres, produisant un mot plus long qui conserve la structure sous-jacente tout en l’enrichissant. Le facteur d’extension quantifie directement l’intensité de l’amplification.

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. Une amplification de w est un morphisme non uniforme qui associe à chaque lettre de w un mot non vide, de longueur strictement supérieure à 1 pour au moins une lettre :

μ(w) = μ(a₁)μ(a₂) … μ(a_n)

avec |μ(a_i)| ≥ 2 pour au moins un i.

Expression formelle computable

L’amplification peut être mesurée par le facteur d’extension :

Amp(w) = max{|μ(w)| / |w| | μ est un morphisme non effaçant avec |μ(a)| ≥ 1 ∀ a}

Ou, de manière plus restrictive, le nombre de lettres ajoutées :

Add(w) = |μ(w)| − |w|

Une valeur Amp(w) > 1 (ou, pour un morphisme μ donné, Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| > 1) indique une amplification effective.

Amplification : extension par un morphisme

Amplification : extension d’un mot par un morphisme

1. Le modèle

Le discours de départ est un mot w = a₁ a₂ ⋯ a_n sur un alphabet Σ ; ses lettres sont les unités du propos (des mots, des idées). L’amplification remplace chaque unité par un développement : c’est un morphisme non effaçant μ, qui associe à chaque lettre a un mot non vide μ(a), et qui s’étend au mot entier par concaténation :

μ(w) = μ(a₁) μ(a₂) ⋯ μ(a_n), |μ(a)| ≥ 1 pour toute lettre a.

Il y a amplification lorsqu’au moins une unité est développée : |μ(a_i)| ≥ 2 pour au moins une position i.

2. Pourquoi la mesure doit porter sur un morphisme donné

La première formulation ci-dessus pose Amp(w) = max { |μ(w)| / |w| : μ non effaçant }. Ce maximum n’existe pas : pour le morphisme μ_k qui associe à chaque lettre a le mot a^k (la lettre répétée k fois), |μ_k(w)| = k·n et le rapport vaut k, aussi grand que l’on veut. L’ensemble des rapports n’est pas borné. On mesure donc l’amplification produite par un morphisme μ fixé, celui que le texte réalise effectivement.

Le rapport |μ_k(w)| / |w| = k pour μ_k(a) = a^k : la suite croît sans limite, il n’y a pas de maximum ; pour un μ donné, Ext(μ, w) est un nombre fini.

3. Le calcul de |μ(w)| avec des indicatrices

La longueur d’une concaténation est la somme des longueurs. Chaque position i apporte |μ(a_i)| lettres :

|μ(w)| = Σ_i=1ⁿ |μ(a_i)| = Σ_i=1ⁿ Σ_{a ∈ Σ} χ_{a}(a_i) · |μ(a)| = Σ_{a ∈ Σ} |w|_a · |μ(a)|.

Dans la double somme, l’indicatrice χ_{a}(a_i) sélectionne, à la position i, la seule lettre a égale à a_i ; en regroupant par lettres on obtient la dernière forme, où |w|_a est le nombre d’occurrences de a dans w. La longueur amplifiée ne dépend que de ces nombres d’occurrences et des longueurs des images.

4. Les mesures

Add(μ, w) = |μ(w)| − |w| = Σ_i ( |μ(a_i)| − 1 ) (lettres ajoutées), Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = (1/n) · Σ_i |μ(a_i)| (facteur d’extension).

Ext est la longueur moyenne des images, comptée sur les positions de w : elle est comprise entre la plus petite et la plus grande des longueurs |μ(a_i)|. Chaque terme |μ(a_i)| − 1 est positif ou nul, puisque μ n’efface rien.

L’indicatrice d’amplification

Amplif(μ, w) = χ_(1,+∞)( Ext(μ, w) ) = χ_[1,+∞)( Add(μ, w) )

Les deux écritures sont égales : Ext > 1 équivaut à |μ(w)| > |w|, c’est-à-dire Add > 0, et comme Add est un nombre entier, Add > 0 équivaut à Add ≥ 1. Une somme de termes positifs ou nuls est non nulle exactement quand l’un des termes l’est ; l’indicatrice traduit donc la définition « au moins une lettre développée » :

Amplif(μ, w) = 1 − ∏_i=1ⁿ χ_{1}( |μ(a_i)| ),

le produit valant 1 seulement si toutes les images ont une seule lettre (règle du « ou » : non-amplification partout, puis complément).

Le noyau : amplifier n’est pas remplacer

Amplifier, c’est développer une unité en la conservant ; remplacer A par XY allonge aussi le discours, mais fait disparaître A. On le teste en comptant les occurrences de a_i dans son image, |μ(a_i)|_ai = Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i), et l’on pose

Ker(μ, w) = ∏_i=1ⁿ χ_[1,+∞)( |μ(a_i)|_ai ).

Si Ker = 1, chaque unité réapparaît dans son développement, et w se lit encore dans μ(w) comme sous-mot (en prenant une occurrence de a_i dans chaque bloc μ(a_i)). L’amplification au sens rhétorique est alors Amplif(μ, w) · Ker(μ, w).

L’uniformité

Un morphisme est uniforme si toutes les images ont la même longueur. On le teste par U(μ, w) = ∏_i e(|μ(a_i)|, |μ(a₁)|). Un morphisme uniforme de longueur k ≥ 2 amplifie (Ext = k) ; la condition « non uniforme » n’est donc pas nécessaire à l’amplification : elle distingue un développement inégal, qui insiste sur certaines unités, d’un allongement régulier.

Exemple 3 : chaque lettre de ABCDE au-dessus de son image dans μ(w) = AAAABBBCCCDDEE ; la largeur de chaque bloc est |μ(a_i)|, les lettres ajoutées sont en couleur, et la somme des longueurs donne 14.

Exemple 1 : amplification légère

Soit w = ABC (n = 3 lettres) et le morphisme μ(A) = AA, μ(B) = B, μ(C) = C. Le tableau donne, pour chaque position i, l’image de la lettre, sa longueur, et les indicatrices qui en découlent.

i	a_i	μ(a_i)	\|μ(a_i)\|	\|μ(a_i)\| − 1	χ_[2,+∞)(\|μ(a_i)\|)	χ_{1}(\|μ(a_i)\|)	\|μ(a_i)\|_ai = Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i)	noyau χ_[1,+∞)(…)
1	A	AA	2	1	1	0	2	1
2	B	B	1	0	0	1	1	1
3	C	C	1	0	0	1	1	1

Les sommes et les produits des colonnes donnent toutes les mesures :

|μ(w)| = Σ_i |μ(a_i)| = 2 + 1 + 1 = 4,
Add(μ, w) = Σ_i (|μ(a_i)| − 1) = 1 + 0 + 0 = 1 = 4 − 3,
Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = 4 / 3 = 1.333,
Amplif(μ, w) = χ_[1,+∞)(1) = 1, contrôle : 1 − ∏_i χ_{1}(|μ(a_i)|) = 1 − 0 · 1 · 1 = 1,
noyau : Ker(μ, w) = ∏_i χ_[1,+∞)(|μ(a_i)|_ai) = 1 · 1 · 1 = 1,
uniformité : U(μ, w) = ∏_i e(|μ(a_i)|, |μ(a₁)|) = 0, min |μ(a_i)| = 1 ≤ Ext ≤ max |μ(a_i)| = 2.

Exemple 2 : développement rhétorique classique

Soit w = ABCD (n = 4 lettres) et le morphisme μ(A) = AAA, μ(B) = BB, μ(C) = CC, μ(D) = D. Le tableau donne, pour chaque position i, l’image de la lettre, sa longueur, et les indicatrices qui en découlent.

i	a_i	μ(a_i)	\|μ(a_i)\|	\|μ(a_i)\| − 1	χ_[2,+∞)(\|μ(a_i)\|)	χ_{1}(\|μ(a_i)\|)	\|μ(a_i)\|_ai = Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i)	noyau χ_[1,+∞)(…)
1	A	AAA	3	2	1	0	3	1
2	B	BB	2	1	1	0	2	1
3	C	CC	2	1	1	0	2	1
4	D	D	1	0	0	1	1	1

Les sommes et les produits des colonnes donnent toutes les mesures :

|μ(w)| = Σ_i |μ(a_i)| = 3 + 2 + 2 + 1 = 8,
Add(μ, w) = Σ_i (|μ(a_i)| − 1) = 2 + 1 + 1 + 0 = 4 = 8 − 4,
Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = 8 / 4 = 2,
Amplif(μ, w) = χ_[1,+∞)(4) = 1, contrôle : 1 − ∏_i χ_{1}(|μ(a_i)|) = 1 − 0 · 0 · 0 · 1 = 1,
noyau : Ker(μ, w) = ∏_i χ_[1,+∞)(|μ(a_i)|_ai) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1,
uniformité : U(μ, w) = ∏_i e(|μ(a_i)|, |μ(a₁)|) = 0, min |μ(a_i)| = 1 ≤ Ext ≤ max |μ(a_i)| = 3.

Exemple 3 : amplification forte

Soit w = ABCDE (n = 5 lettres) et le morphisme μ(A) = AAAA, μ(B) = BBB, μ(C) = CCC, μ(D) = DD, μ(E) = EE. Le tableau donne, pour chaque position i, l’image de la lettre, sa longueur, et les indicatrices qui en découlent.

i	a_i	μ(a_i)	\|μ(a_i)\|	\|μ(a_i)\| − 1	χ_[2,+∞)(\|μ(a_i)\|)	\|μ(a_i)\|_ai = Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i)	noyau χ_[1,+∞)(…)
1	A	AAAA	4	3	1	4	1
2	B	BBB	3	2	1	3	1
3	C	CCC	3	2	1	3	1
4	D	DD	2	1	1	2	1
5	E	EE	2	1	1	2	1

Les sommes et les produits des colonnes donnent toutes les mesures :

|μ(w)| = Σ_i |μ(a_i)| = 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 14,
Add(μ, w) = Σ_i (|μ(a_i)| − 1) = 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9 = 14 − 5,
Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = 14 / 5 = 2.8,
Amplif(μ, w) = χ_[1,+∞)(9) = 1, contrôle : 1 − ∏_i χ_{1}(|μ(a_i)|) = 1 − 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 1,
noyau : Ker(μ, w) = ∏_i χ_[1,+∞)(|μ(a_i)|_ai) = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1,
uniformité : U(μ, w) = ∏_i e(|μ(a_i)|, |μ(a₁)|) = 0, min |μ(a_i)| = 2 ≤ Ext ≤ max |μ(a_i)| = 4.

Exemple 4 : morphisme uniforme

Soit w = ABC (n = 3 lettres) et le morphisme μ(A) = AA, μ(B) = BB, μ(C) = CC. Le tableau donne, pour chaque position i, l’image de la lettre, sa longueur, et les indicatrices qui en découlent.

i	a_i	μ(a_i)	\|μ(a_i)\|	\|μ(a_i)\| − 1	χ_[2,+∞)(\|μ(a_i)\|)	\|μ(a_i)\|_ai = Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i)	noyau χ_[1,+∞)(…)
1	A	AA	2	1	1	2	1
2	B	BB	2	1	1	2	1
3	C	CC	2	1	1	2	1

Les sommes et les produits des colonnes donnent toutes les mesures :

|μ(w)| = Σ_i |μ(a_i)| = 2 + 2 + 2 = 6,
Add(μ, w) = Σ_i (|μ(a_i)| − 1) = 1 + 1 + 1 = 3 = 6 − 3,
Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = 6 / 3 = 2,
Amplif(μ, w) = χ_[1,+∞)(3) = 1, contrôle : 1 − ∏_i χ_{1}(|μ(a_i)|) = 1 − 0 · 0 · 0 = 1,
noyau : Ker(μ, w) = ∏_i χ_[1,+∞)(|μ(a_i)|_ai) = 1 · 1 · 1 = 1,
uniformité : U(μ, w) = ∏_i e(|μ(a_i)|, |μ(a₁)|) = 1, min |μ(a_i)| = 2 ≤ Ext ≤ max |μ(a_i)| = 2.

Exemple 5 : identité : aucune amplification

Soit w = ABC (n = 3 lettres) et le morphisme μ(A) = A, μ(B) = B, μ(C) = C. Le tableau donne, pour chaque position i, l’image de la lettre, sa longueur, et les indicatrices qui en découlent.

i	a_i	μ(a_i)	\|μ(a_i)\|	χ_{1}(\|μ(a_i)\|)	\|μ(a_i)\|_ai = Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i)	noyau χ_[1,+∞)(…)
1	A	A	1	1	1	1
2	B	B	1	1	1	1
3	C	C	1	1	1	1

Les sommes et les produits des colonnes donnent toutes les mesures :

|μ(w)| = Σ_i |μ(a_i)| = 1 + 1 + 1 = 3,
Add(μ, w) = Σ_i (|μ(a_i)| − 1) = 0 + 0 + 0 = 0 = 3 − 3,
Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = 3 / 3 = 1,
Amplif(μ, w) = χ_[1,+∞)(0) = 0, contrôle : 1 − ∏_i χ_{1}(|μ(a_i)|) = 1 − 1 · 1 · 1 = 0,
noyau : Ker(μ, w) = ∏_i χ_[1,+∞)(|μ(a_i)|_ai) = 1 · 1 · 1 = 1,
uniformité : U(μ, w) = ∏_i e(|μ(a_i)|, |μ(a₁)|) = 1, min |μ(a_i)| = 1 ≤ Ext ≤ max |μ(a_i)| = 1.

Exemple 6 : substitution allongeante sans noyau

Soit w = ABC (n = 3 lettres) et le morphisme μ(A) = XY, μ(B) = B, μ(C) = C. Le tableau donne, pour chaque position i, l’image de la lettre, sa longueur, et les indicatrices qui en découlent.

i	a_i	μ(a_i)	\|μ(a_i)\|	\|μ(a_i)\| − 1	χ_[2,+∞)(\|μ(a_i)\|)	χ_{1}(\|μ(a_i)\|)	\|μ(a_i)\|_ai = Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i)	noyau χ_[1,+∞)(…)
1	A	XY	2	1	1	0	0	0
2	B	B	1	0	0	1	1	1
3	C	C	1	0	0	1	1	1

Les sommes et les produits des colonnes donnent toutes les mesures :

|μ(w)| = Σ_i |μ(a_i)| = 2 + 1 + 1 = 4,
Add(μ, w) = Σ_i (|μ(a_i)| − 1) = 1 + 0 + 0 = 1 = 4 − 3,
Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = 4 / 3 = 1.333,
Amplif(μ, w) = χ_[1,+∞)(1) = 1, contrôle : 1 − ∏_i χ_{1}(|μ(a_i)|) = 1 − 0 · 1 · 1 = 1,
noyau : Ker(μ, w) = ∏_i χ_[1,+∞)(|μ(a_i)|_ai) = 0 · 1 · 1 = 0,
uniformité : U(μ, w) = ∏_i e(|μ(a_i)|, |μ(a₁)|) = 0, min |μ(a_i)| = 1 ≤ Ext ≤ max |μ(a_i)| = 2.

Exemple 7 : même μ, autre mot

Soit w = AAB (n = 3 lettres) et le morphisme μ(A) = AAAA, μ(B) = BBB. Le tableau donne, pour chaque position i, l’image de la lettre, sa longueur, et les indicatrices qui en découlent.

i	a_i	μ(a_i)	\|μ(a_i)\|	\|μ(a_i)\| − 1	χ_[2,+∞)(\|μ(a_i)\|)	\|μ(a_i)\|_ai = Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i)	noyau χ_[1,+∞)(…)
1	A	AAAA	4	3	1	4	1
2	A	AAAA	4	3	1	4	1
3	B	BBB	3	2	1	3	1

Les sommes et les produits des colonnes donnent toutes les mesures :

|μ(w)| = Σ_i |μ(a_i)| = 4 + 4 + 3 = 11,
Add(μ, w) = Σ_i (|μ(a_i)| − 1) = 3 + 3 + 2 = 8 = 11 − 3,
Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = 11 / 3 = 3.667,
Amplif(μ, w) = χ_[1,+∞)(8) = 1, contrôle : 1 − ∏_i χ_{1}(|μ(a_i)|) = 1 − 0 · 0 · 0 = 1,
noyau : Ker(μ, w) = ∏_i χ_[1,+∞)(|μ(a_i)|_ai) = 1 · 1 · 1 = 1,
uniformité : U(μ, w) = ∏_i e(|μ(a_i)|, |μ(a₁)|) = 0, min |μ(a_i)| = 3 ≤ Ext ≤ max |μ(a_i)| = 4.

Remarques sur les exemples 4 à 7

Exemple 4 : Toutes les images ont la longueur 2 : U = 1, et pourtant Ext = 2 et Amplif = 1. Un morphisme uniforme amplifie.

Exemple 5 : Aucune image n’est allongée : Add = 0, Ext = 1, Amplif = 0.

Exemple 6 : Le discours est allongé (Add = 1), mais A disparaît : Ker = 0. Ce n’est pas une amplification de A, c’est son remplacement par une périphrase.

Exemple 7 : Le morphisme est celui de l’exemple 3, appliqué à AAB : Ext = (4 + 4 + 3)/3 = 11/3 ≈ 3.67 au lieu de 2.8. Ext dépend du mot autant que du morphisme, à travers les nombres d’occurrences |w|_a.

Exemple 8 : amplification d’un énoncé (mots)

Soit w = Rome brûle (n = 2 mots) et le morphisme μ(Rome) = Rome la ville éternelle, μ(brûle) = brûle nuit et jour. Le tableau donne, pour chaque position i, l’image de la lettre, sa longueur, et les indicatrices qui en découlent.

i	a_i	μ(a_i)	\|μ(a_i)\|	\|μ(a_i)\| − 1	χ_[2,+∞)(\|μ(a_i)\|)	χ_{1}(\|μ(a_i)\|)	\|μ(a_i)\|_ai = Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i)	noyau χ_[1,+∞)(…)
1	Rome	Rome la ville éternelle	4	3	1	0	1	1
2	brûle	brûle nuit et jour	4	3	1	0	1	1

Les sommes et les produits des colonnes donnent toutes les mesures :

|μ(w)| = Σ_i |μ(a_i)| = 4 + 4 = 8,
Add(μ, w) = Σ_i (|μ(a_i)| − 1) = 3 + 3 = 6 = 8 − 2,
Ext(μ, w) = |μ(w)| / |w| = 8 / 2 = 4,
Amplif(μ, w) = χ_[1,+∞)(6) = 1, contrôle : 1 − ∏_i χ_{1}(|μ(a_i)|) = 1 − 0 · 0 = 1,
noyau : Ker(μ, w) = ∏_i χ_[1,+∞)(|μ(a_i)|_ai) = 1 · 1 = 1,
uniformité : U(μ, w) = ∏_i e(|μ(a_i)|, |μ(a₁)|) = 1, min |μ(a_i)| = 4 ≤ Ext ≤ max |μ(a_i)| = 4.

Ici les lettres sont des mots du discours : « Rome brûle » devient « Rome la ville éternelle brûle nuit et jour ». Chaque unité est conservée en tête de son développement (Ker = 1), et le propos est quatre fois plus long (Ext = 4) : c’est l’amplificatio de la rhétorique classique, qui développe sans remplacer.

Tableau récapitulatif

N°	cas	w	μ(w)	\|w\|	\|μ(w)\|	Add	Ext	Amplif	Ker	U
1	amplification légère	ABC	AABC	3	4	1	1.333	1	1	0
2	développement rhétorique classique	ABCD	AAABBCCD	4	8	4	2	1	1	0
3	amplification forte	ABCDE	AAAABBBCCCDDEE	5	14	9	2.8	1	1	0
4	morphisme uniforme	ABC	AABBCC	3	6	3	2	1	1	1
5	identité : aucune amplification	ABC	ABC	3	3	0	1	0	1	1
6	substitution allongeante sans noyau	ABC	XYBC	3	4	1	1.333	1	0	0
7	même μ, autre mot	AAB	AAAAAAAABBB	3	11	8	3.667	1	1	0
8	amplification d’un énoncé (mots)	Rome brûle	Rome la ville éternelle brûle nuit et jour	2	8	6	4	1	1	1

Pour les huit exemples : Ext(μ, w) avec l’intervalle [min |μ(a_i)|, max |μ(a_i)|] qui le contient, la ligne Ext = 1, et les indicatrices Amplif et Ker.

5. Formule finale

Ampl(μ, w) = χ_[1,+∞)( Σ_i=1ⁿ (|μ(a_i)| − 1) ) · ∏_i=1ⁿ χ_[1,+∞)( Σ_r e(μ(a_i)[r], a_i) ), avec la force Ext(μ, w) = (1/n) Σ_i |μ(a_i)|.

Le premier facteur détecte qu’au moins une unité est développée, le second que toutes les unités sont conservées dans leur développement ; Ext mesure de combien, en moyenne, chaque unité a été allongée. Toutes les quantités se lisent dans la colonne des longueurs et dans la colonne des noyaux des tableaux.

8. Anacoenosis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anacoenosis est une figure de rhétorique dans laquelle l’orateur adresse une question à son auditoire pour solliciter leur opinion ou leur jugement sur le point en débat.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Opérateur de consultation morphique (ou anacoenosis morphism).

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. Une anacoenosis est une opération qui associe à w un ensemble de « réponses possibles » sous la forme de morphismes ou de factorisations concurrentes.

Formellement :

M(w) = {μ | ∃ u t.q. |u| ≥ 1, u ∈ Fact(w) ∩ Fact(μ(w))}

Expression formelle computable

Pour un mot w, le degré d’anacoenosis peut être mesuré par le nombre de morphismes non triviaux qui partagent au moins un facteur de longueur ≥ 2 avec w :

Anac(w) = |{μ | Fact_≥2(w) ∩ Fact_≥2(μ(w)) ≠ ∅}|

Une valeur Anac(w) ≥ 1 indique la possibilité d’une consultation structurelle.

Anacœnose : consultation et reformulations

Anacœnose : consultation de l’auditoire et reformulations par morphisme

1. La figure et la formule proposée

L’anacœnose (du grec anakoinôsis, « communication, mise en commun ») est la figure par laquelle l’orateur consulte son auditoire ou son adversaire et lui demande de juger avec lui : « Qu’auriez-vous fait à ma place ? ». La formule proposée la modélise par des reformulations : un mot w est confronté à ses images μ(w) par des morphismes μ, et l’on regarde si la structure de w survit à la reformulation, c’est-à-dire si w et μ(w) ont un facteur commun de longueur au moins 2.

Pour que le calcul soit fini, on fixe un ensemble de morphismes candidats M = {μ₁, …, μ_N}, et l’on pose

I_i(w) = χ_[1,+∞)( Σ_{u ∈ Fact≥2(w)} χ_{Fact≥2(μi(w))}(u) ), Anac(w) = Σ_i=1^N I_i(w) ∈ {0, 1, …, N}.

2. Le calcul de l’appartenance d’un facteur

Pour décider si un facteur u de w est aussi un facteur de v = μ_i(w), on compte ses occurrences dans v en comparant u à chaque fenêtre de v de même longueur, lettre à lettre, avec l’indicatrice d’égalité e(x, y) = 1 si x = y, 0 sinon :

m(u) = Σ_j=1^|v|−|u|+1 ∏_r=1^|u| e( v[j+r−1], u[r] ), χ_Fact≥2(v)(u) = χ_[1,+∞)( m(u) ).

Le produit vaut 1 seulement si la fenêtre est égale à u ; la somme compte les fenêtres égales ; l’indicatrice dit si u apparaît au moins une fois. La somme de ces indicatrices sur Fact≥2(w) est le cardinal de l’intersection |Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(μ_i(w))|, et I_i dit si elle est non vide.

3. Une mesure graduée

I_i ne distingue pas un facteur commun de tous les facteurs communs. La part des facteurs de w conservés par μ_i le fait :

σ_i(w) = |Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(μ_i(w))| / |Fact≥2(w)| ∈ [0, 1], Anac_σ(w) = Σ_i σ_i(w).

[Figure à insérer ici : anac-appartenance-abab.png — w = abab et les images par μ₁, μ₂, μ₃ : pour chaque facteur u de abab (en ligne) et chaque morphisme (en colonne), le nombre m(u) d’occurrences dans μ_i(w) et l’indicatrice ; I₁ = 1, I₂ = 1, I₃ = 0.]

Exemple 1 : w = abab

Facteurs de longueur au moins 2 de w, rangés par longueur (chaque facteur distinct une fois) :

Fact≥2(abab) = {ab, ba, aba, bab, abab}, |Fact≥2(abab)| = 5.

Morphisme μ₁ : μ₁(a) = a, μ₁(b) = b

μ₁(abab) = a · b · a · b = abab.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de abab de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(abab)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
ab	ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1 ba : e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 = 0 ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1	2	1	1
ba	ab : e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 = 0 ba : e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 ab : e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 = 0	1	1	2
aba	aba : e(a,a) · e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1 bab : e(b,a) · e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 · 0 = 0	1	1	3
bab	aba : e(a,b) · e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 · 0 = 0 bab : e(b,b) · e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 · 1 = 1	1	1	4
abab	abab : e(a,a) · e(b,b) · e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1	1	1	5

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(abab)| = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5, I = χ_[1,+∞)(5) = 1, σ = 5/5 = 1.

Morphisme μ₂ : μ₂(a) = b, μ₂(b) = a

μ₂(abab) = b · a · b · a = baba.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de baba de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(baba)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
ab	ba : e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 = 0 ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1 ba : e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 = 0	1	1	1
ba	ba : e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 ab : e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 = 0 ba : e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 = 1	2	1	2
aba	bab : e(b,a) · e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 · 0 = 0 aba : e(a,a) · e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1	1	1	3
bab	bab : e(b,b) · e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 · 1 = 1 aba : e(a,b) · e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 · 0 = 0	1	1	4
abab	baba : e(b,a) · e(a,b) · e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 · 0 · 0 = 0	0	0	4

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(baba)| = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4, I = χ_[1,+∞)(4) = 1, σ = 4/5 = 0.8.

Morphisme μ₃ : μ₃(a) = c, μ₃(b) = d

μ₃(abab) = c · d · c · d = cdcd.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de cdcd de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(cdcd)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
ab	cd : e(c,a) · e(d,b) = 0 · 0 = 0 dc : e(d,a) · e(c,b) = 0 · 0 = 0 cd : e(c,a) · e(d,b) = 0 · 0 = 0	0	0	0
ba	cd : e(c,b) · e(d,a) = 0 · 0 = 0 dc : e(d,b) · e(c,a) = 0 · 0 = 0 cd : e(c,b) · e(d,a) = 0 · 0 = 0	0	0	0
aba	cdc : e(c,a) · e(d,b) · e(c,a) = 0 · 0 · 0 = 0 dcd : e(d,a) · e(c,b) · e(d,a) = 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0
bab	cdc : e(c,b) · e(d,a) · e(c,b) = 0 · 0 · 0 = 0 dcd : e(d,b) · e(c,a) · e(d,b) = 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0
abab	cdcd : e(c,a) · e(d,b) · e(c,a) · e(d,b) = 0 · 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(cdcd)| = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0, I = χ_[1,+∞)(0) = 0, σ = 0/5 = 0.

Anac(abab) = 1 + 1 + 0 = 2, Anac_σ(abab) = 1 + 0.8 + 0 = 1.8.

Exemple 2 : w = aaaa

Facteurs de longueur au moins 2 de w, rangés par longueur (chaque facteur distinct une fois) :

Fact≥2(aaaa) = {aa, aaa, aaaa}, |Fact≥2(aaaa)| = 3.

Morphisme μ₁ : μ₁(a) = a

μ₁(aaaa) = a · a · a · a = aaaa.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de aaaa de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(aaaa)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
aa	aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1	3	1	1
aaa	aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1 aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1	2	1	2
aaaa	aaaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1	1	1	3

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(aaaa)| = 1 + 1 + 1 = 3, I = χ_[1,+∞)(3) = 1, σ = 3/3 = 1.

Morphisme μ₂ : μ₂(a) = aa

μ₂(aaaa) = aa · aa · aa · aa = aaaaaaaa.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de aaaaaaaa de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(aaaaaaaa)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
aa	aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1	7	1	1
aaa	aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1 aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1 aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1 aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1 aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1 aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1	6	1	2
aaaa	aaaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 aaaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 aaaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 aaaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1 aaaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1	5	1	3

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(aaaaaaaa)| = 1 + 1 + 1 = 3, I = χ_[1,+∞)(3) = 1, σ = 3/3 = 1.

Morphisme μ₃ : μ₃(a) = b

μ₃(aaaa) = b · b · b · b = bbbb.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de bbbb de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(bbbb)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
aa	bb : e(b,a) · e(b,a) = 0 · 0 = 0 bb : e(b,a) · e(b,a) = 0 · 0 = 0 bb : e(b,a) · e(b,a) = 0 · 0 = 0	0	0	0
aaa	bbb : e(b,a) · e(b,a) · e(b,a) = 0 · 0 · 0 = 0 bbb : e(b,a) · e(b,a) · e(b,a) = 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0
aaaa	bbbb : e(b,a) · e(b,a) · e(b,a) · e(b,a) = 0 · 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(bbbb)| = 0 + 0 + 0 = 0, I = χ_[1,+∞)(0) = 0, σ = 0/3 = 0.

Anac(aaaa) = 1 + 1 + 0 = 2, Anac_σ(aaaa) = 1 + 1 + 0 = 2.

Exemple 3 : w = abc

Facteurs de longueur au moins 2 de w, rangés par longueur (chaque facteur distinct une fois) :

Fact≥2(abc) = {ab, bc, abc}, |Fact≥2(abc)| = 3.

Morphisme μ₁ : μ₁(a) = a, μ₁(b) = b, μ₁(c) = c

μ₁(abc) = a · b · c = abc.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de abc de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(abc)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
ab	ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1 bc : e(b,a) · e(c,b) = 0 · 0 = 0	1	1	1
bc	ab : e(a,b) · e(b,c) = 0 · 0 = 0 bc : e(b,b) · e(c,c) = 1 · 1 = 1	1	1	2
abc	abc : e(a,a) · e(b,b) · e(c,c) = 1 · 1 · 1 = 1	1	1	3

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(abc)| = 1 + 1 + 1 = 3, I = χ_[1,+∞)(3) = 1, σ = 3/3 = 1.

Morphisme μ₂ : μ₂(a) = x, μ₂(b) = y, μ₂(c) = z

μ₂(abc) = x · y · z = xyz.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de xyz de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(xyz)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
ab	xy : e(x,a) · e(y,b) = 0 · 0 = 0 yz : e(y,a) · e(z,b) = 0 · 0 = 0	0	0	0
bc	xy : e(x,b) · e(y,c) = 0 · 0 = 0 yz : e(y,b) · e(z,c) = 0 · 0 = 0	0	0	0
abc	xyz : e(x,a) · e(y,b) · e(z,c) = 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(xyz)| = 0 + 0 + 0 = 0, I = χ_[1,+∞)(0) = 0, σ = 0/3 = 0.

Morphisme μ₃ : μ₃(a) = a, μ₃(b) = x, μ₃(c) = c

μ₃(abc) = a · x · c = axc.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de axc de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(axc)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
ab	ax : e(a,a) · e(x,b) = 1 · 0 = 0 xc : e(x,a) · e(c,b) = 0 · 0 = 0	0	0	0
bc	ax : e(a,b) · e(x,c) = 0 · 0 = 0 xc : e(x,b) · e(c,c) = 0 · 1 = 0	0	0	0
abc	axc : e(a,a) · e(x,b) · e(c,c) = 1 · 0 · 1 = 0	0	0	0

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(axc)| = 0 + 0 + 0 = 0, I = χ_[1,+∞)(0) = 0, σ = 0/3 = 0.

Anac(abc) = 1 + 0 + 0 = 1, Anac_σ(abc) = 1 + 0 + 0 = 1.

Les trois valeurs Anac = 2, 2 et 1 sont exactes. Dans l’exemple 1, μ₂ échange a et b : baba conserve 4 des 5 facteurs de abab (σ = 0.8), seul abab lui-même disparaît. Dans l’exemple 2, μ₂ double chaque a : aaaaaaaa contient tous les facteurs de aaaa (σ = 1), mais aussi des facteurs plus longs.

4. Ce que l’indicatrice finale peut et ne peut pas dire

Le verdict proposé est χ_[1,+∞)(Anac(w)) = 1. Or, dans les trois exemples, μ₁ est l’identité : μ₁(w) = w, et w partage avec lui-même tous ses facteurs. Pour tout mot de longueur au moins 2,

μ₁ = id ⟹ I₁(w) = 1 ⟹ Anac(w) ≥ 1 ⟹ χ_[1,+∞)(Anac(w)) = 1.

Le verdict ne dépend alors plus du mot. Plus généralement, Anac(w) dépend autant du choix de M que de w : on peut lui faire prendre toute valeur entre 0 et N en choisissant les morphismes. Pour que la mesure renseigne sur w, l’identité doit être exclue de M, et le résultat doit être rapporté au nombre de morphismes, Anac(w)/N. L’exemple suivant reprend abab avec M = {μ₄, μ₂, μ₃}, où μ₄(b) = ab développe b au lieu de le conserver.

Exemple 4 : w = abab (sans l’identité)

Facteurs de longueur au moins 2 de w, rangés par longueur (chaque facteur distinct une fois) :

Fact≥2(abab) = {ab, ba, aba, bab, abab}, |Fact≥2(abab)| = 5.

Morphisme μ₄ : μ₄(a) = a, μ₄(b) = ab

μ₄(abab) = a · ab · a · ab = aabaab.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de aabaab de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(aabaab)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
ab	aa : e(a,a) · e(a,b) = 1 · 0 = 0 ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1 ba : e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 = 0 aa : e(a,a) · e(a,b) = 1 · 0 = 0 ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1	2	1	1
ba	aa : e(a,b) · e(a,a) = 0 · 1 = 0 ab : e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 = 0 ba : e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,b) · e(a,a) = 0 · 1 = 0 ab : e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 = 0	1	1	2
aba	aab : e(a,a) · e(a,b) · e(b,a) = 1 · 0 · 0 = 0 aba : e(a,a) · e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1 baa : e(b,a) · e(a,b) · e(a,a) = 0 · 0 · 1 = 0 aab : e(a,a) · e(a,b) · e(b,a) = 1 · 0 · 0 = 0	1	1	3
bab	aab : e(a,b) · e(a,a) · e(b,b) = 0 · 1 · 1 = 0 aba : e(a,b) · e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 · 0 = 0 baa : e(b,b) · e(a,a) · e(a,b) = 1 · 1 · 0 = 0 aab : e(a,b) · e(a,a) · e(b,b) = 0 · 1 · 1 = 0	0	0	3
abab	aaba : e(a,a) · e(a,b) · e(b,a) · e(a,b) = 1 · 0 · 0 · 0 = 0 abaa : e(a,a) · e(b,b) · e(a,a) · e(a,b) = 1 · 1 · 1 · 0 = 0 baab : e(b,a) · e(a,b) · e(a,a) · e(b,b) = 0 · 0 · 1 · 1 = 0	0	0	3

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(aabaab)| = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 = 3, I = χ_[1,+∞)(3) = 1, σ = 3/5 = 0.6.

Morphisme μ₂ : μ₂(a) = b, μ₂(b) = a

μ₂(abab) = b · a · b · a = baba.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de baba de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(baba)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
ab	ba : e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 = 0 ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1 ba : e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 = 0	1	1	1
ba	ba : e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 ab : e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 = 0 ba : e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 = 1	2	1	2
aba	bab : e(b,a) · e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 · 0 = 0 aba : e(a,a) · e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1	1	1	3
bab	bab : e(b,b) · e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 · 1 = 1 aba : e(a,b) · e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 · 0 = 0	1	1	4
abab	baba : e(b,a) · e(a,b) · e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 · 0 · 0 = 0	0	0	4

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(baba)| = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4, I = χ_[1,+∞)(4) = 1, σ = 4/5 = 0.8.

Morphisme μ₃ : μ₃(a) = c, μ₃(b) = d

μ₃(abab) = c · d · c · d = cdcd.

u ∈ Fact≥2(w)	fenêtres de cdcd de longueur \|u\|, comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact≥2(cdcd)}(u) = χ_[1,+∞)(m(u))	somme partielle
ab	cd : e(c,a) · e(d,b) = 0 · 0 = 0 dc : e(d,a) · e(c,b) = 0 · 0 = 0 cd : e(c,a) · e(d,b) = 0 · 0 = 0	0	0	0
ba	cd : e(c,b) · e(d,a) = 0 · 0 = 0 dc : e(d,b) · e(c,a) = 0 · 0 = 0 cd : e(c,b) · e(d,a) = 0 · 0 = 0	0	0	0
aba	cdc : e(c,a) · e(d,b) · e(c,a) = 0 · 0 · 0 = 0 dcd : e(d,a) · e(c,b) · e(d,a) = 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0
bab	cdc : e(c,b) · e(d,a) · e(c,b) = 0 · 0 · 0 = 0 dcd : e(d,b) · e(c,a) · e(d,b) = 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0
abab	cdcd : e(c,a) · e(d,b) · e(c,a) · e(d,b) = 0 · 0 · 0 · 0 = 0	0	0	0

|Fact≥2(w) ∩ Fact≥2(cdcd)| = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0, I = χ_[1,+∞)(0) = 0, σ = 0/5 = 0.

Anac(abab) = 1 + 1 + 0 = 2, Anac_σ(abab) = 0.6 + 0.8 + 0 = 1.4.

Sans l’identité, la mesure distingue les reformulations : μ₄ conserve 3 des 5 facteurs (σ = 0.6), μ₂ en conserve 4, μ₃ aucun. Anac_σ = 1.4 sur 3 morphismes dit qu’en moyenne un peu moins de la moitié de la structure de abab survit aux reformulations.

[Figure à insérer ici : anac-parts-conservees.png — Pour les quatre exemples, la part σ_i des facteurs de w conservés par chaque morphisme ; la barre de l’identité vaut toujours 1.]

5. Formule rhétorique : la consultation dans le texte

Les formules précédentes mesurent la persistance d’une structure sous reformulation ; elles ne repèrent pas le geste de consulter. Celui-ci se lit dans le texte : une question (point d’interrogation) adressée à l’auditoire (marque de deuxième personne), souvent avec une invitation à juger. Sur une phrase u découpée en tokens t₁ ⋯ t_m, on pose

q(u) = e(dernier signe de u, « ? »), P₂(u) = Σ_j χ_Deux(t_j), J(u) = Σ_j χ_Juge(t_j), où Deux = {vous, tu, te, toi, votre, vos, ton, ta, tes} et Juge = {jugez, dites, répondez, demande, place, auriez, feriez} sont des listes fermées. La consultation est AnacR(u) = q(u) · χ_[1,+∞)( P₂(u) ), intensité J(u).

Une question sans adresse à l’auditoire est une question rhétorique ; une adresse sans question est une apostrophe : ni l’une ni l’autre n’est une consultation.

N°	phrase	q(u)	P₂(u) = Σ χ_Deux(t_j), token par token	χ_[1,+∞)(P₂)	J(u)	AnacR(u)
1	Je vous le demande, juges : qu’auriez-vous fait à ma place ?	e(?, ?) = 1	0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2	χ(… ≥ 1) = 1	0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3	1 × 1 = 1
2	Qu’aurait-il fait à ma place ?	e(?, ?) = 1	0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0	χ(… ≥ 1) = 0	0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1	1 × 0 = 0
3	Vous avez fait votre devoir.	e(., ?) = 0	1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2	χ(… ≥ 1) = 1	0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0	0 × 1 = 0
4	Que feriez-vous, vous qui m’écoutez ?	e(?, ?) = 1	0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 2	χ(… ≥ 1) = 1	0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1	1 × 1 = 1

La phrase 1 est une anacœnose (question, deuxième personne, invitation à juger) ; la phrase 2 une question rhétorique sans destinataire ; la phrase 3 une apostrophe sans question ; la phrase 4 une anacœnose sans verbe de jugement, que la liste Juge reconnaît par « feriez ».

Tableau récapitulatif

N°	w	M	Anac(w)	Anac_σ(w)	χ_[1,+∞)(Anac)
1	abab	μ₁, μ₂, μ₃	2	1.8	1
2	aaaa	μ₁, μ₂, μ₃	2	2	1
3	abc	μ₁, μ₂, μ₃	1	1	1
4	abab	μ₄, μ₂, μ₃	2	1.4	1

La formule par morphismes est calculable une fois M fixé, et chaque appartenance s’y lit comme un produit de comparaisons de lettres. Elle mesure la persistance d’une structure sous reformulation, à condition d’exclure l’identité et de rapporter le résultat au nombre de morphismes. Le geste propre de l’anacœnose, consulter l’auditoire, se mesure directement dans le texte par AnacR, produit de l’indicatrice de question et de l’indicatrice d’adresse.

9. Anadiplosis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anadiplosis (du grec anadiplosis, « redoublement ») est la répétition du dernier mot (ou de la dernière expression) d’une proposition au début de la proposition suivante.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à bordure enchaînée (ou anadiplosis border).

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. On dit que w présente une anadiplosis de longueur k s’il existe un facteur u de longueur k qui est à la fois un suffixe propre d’un facteur x et un préfixe propre d’un facteur y consécutif. Formellement, il existe une factorisation w = xyz telle que :

u = Suff_k(x) = Pref_k(y) avec |u| = k ≥ 1

et x et y non vides.

Expression formelle computable

Pour un mot w, le nombre de positions d’anadiplosis peut être défini comme :

Anad(w) = |{i | ∃ k ≥ 1, w[i − k + 1 … i] = w[i + 1 … i + k]}|

Une valeur Anad(w) ≥ 1 indique la présence d’au moins un enchaînement anadiplotique.

Anadiplose : répétition aux frontières

Anadiplose : répétition à la frontière de deux segments

1. La figure et la première formule

L’anadiplose reprend au début d’un segment ce qui terminait le segment précédent : « … la patience, la patience … ». Sur un mot w = w[1] ⋯ w[n], une frontière est une position i (1 ≤ i ≤ n − 1) entre w[i] et w[i+1] ; il y a répétition de longueur k à la frontière i si le bloc de k lettres qui finit en i est égal au bloc de k lettres qui commence en i + 1 :

w[i−k+1..i] = w[i+1..i+k].

La première formulation comptait les frontières où une telle répétition existe, Anad(w) = |{ i : ∃ k ≥ 1, w[i−k+1..i] = w[i+1..i+k] }|, sans borner k ni vérifier que les indices restent dans le mot. Les deux blocs doivent tenir dans w : i − k + 1 ≥ 1 et i + k ≤ n, c’est-à-dire 1 ≤ k ≤ min(i, n − i).

2. L’égalité de deux blocs, écrite en indicatrices

Deux blocs de même longueur k sont égaux exactement quand leurs lettres sont égales une à une ; le « et » des k égalités est un produit :

S(i, k) = χ_{{ w[i−k+1..i] }}( w[i+1..i+k] ) = ∏_r=1^k e( w[i−k+r], w[i+r] ), e(x, y) = 1 si x = y, 0 sinon.

La r-ième lettre du bloc gauche est w[i−k+r], celle du bloc droit w[i+r]. S(i, k) vaut 1 si les deux blocs coïncident, 0 dès qu’une seule lettre diffère.

3. Les deux mesures

m(i) = Σ_k=1^{min(i, n−i)} S(i, k), Anad(w) = Σ_i=1ⁿ⁻¹ χ_[1,+∞)( m(i) ),

k_max(i) = max_{1 ≤ k ≤ min(i, n−i)} k · S(i, k), AnadLen(w) = Σ_i=1ⁿ⁻¹ k_max(i).

Anad compte les frontières où au moins une répétition existe ; AnadLen additionne, frontière par frontière, la plus grande longueur répétée. Écrire le maximum sur les produits k · S(i, k) règle le cas d’une frontière sans répétition : tous les produits valent 0 et k_max(i) = 0, alors que « max { k : … } » porterait sur un ensemble vide et ne serait pas défini.

[Figure à insérer ici : anad-grille-ababa.png — ABABA : pour chaque frontière i et chaque longueur k admissible, les deux blocs comparés lettre à lettre (vert si égales, rouge sinon) et la valeur S(i, k) ; les frontières 2 et 3 portent chacune une répétition de longueur 2.]

Exemple 1 : w = ABABA

n = 5 ; les frontières sont i = 1, …, 4, et pour chacune k va de 1 à min(i, n − i). Toutes les comparaisons sont écrites :

i	frontière	k	bloc gauche w[i−k+1..i]	bloc droit w[i+1..i+k]	comparaisons lettre à lettre	S(i, k)
1	A \| BABA	1	A	B	e(A, B) = 0	0
2	AB \| ABA	1	B	A	e(B, A) = 0	0
2	AB \| ABA	2	AB	AB	e(A, A) · e(B, B) = 1 · 1	1
3	ABA \| BA	1	A	B	e(A, B) = 0	0
3	ABA \| BA	2	BA	BA	e(B, B) · e(A, A) = 1 · 1	1
4	ABAB \| A	1	B	A	e(B, A) = 0	0

Par frontière :

i	m(i) = Σ_k S(i, k)	χ_[1,+∞)(m(i))	k_max(i) = max_k k · S(i, k)
1	0	0	0
2	1	1	2
3	1	1	2
4	0	0	0

Anad(ABABA) = 0 + 1 + 1 + 0 = 2, AnadLen(ABABA) = 0 + 2 + 2 + 0 = 4.

À la frontière AB | ABA (i = 2), la comparaison de longueur 1 oppose w[2] = B à w[3] = A : elles diffèrent, S(2, 1) = 0. La comparaison de longueur 2 oppose AB à AB : S(2, 2) = 1. La frontière ABA | BA (i = 3) porte de même BA | BA. ABABA a donc deux frontières à répétition, chacune de longueur 2 : Anad = 2 et AnadLen = 4.

Exemple 2 : w = ABCBCX

n = 6 ; les frontières sont i = 1, …, 5, et pour chacune k va de 1 à min(i, n − i). Toutes les comparaisons sont écrites :

i	frontière	k	bloc gauche w[i−k+1..i]	bloc droit w[i+1..i+k]	comparaisons lettre à lettre	S(i, k)
1	A \| BCBCX	1	A	B	e(A, B) = 0	0
2	AB \| CBCX	1	B	C	e(B, C) = 0	0
2	AB \| CBCX	2	AB	CB	e(A, C) · e(B, B) = 0 · 1	0
3	ABC \| BCX	1	C	B	e(C, B) = 0	0
3	ABC \| BCX	2	BC	BC	e(B, B) · e(C, C) = 1 · 1	1
3	ABC \| BCX	3	ABC	BCX	e(A, B) · e(B, C) · e(C, X) = 0 · 0 · 0	0
4	ABCB \| CX	1	B	C	e(B, C) = 0	0
4	ABCB \| CX	2	CB	CX	e(C, C) · e(B, X) = 1 · 0	0
5	ABCBC \| X	1	C	X	e(C, X) = 0	0

Par frontière :

i	m(i) = Σ_k S(i, k)	χ_[1,+∞)(m(i))	k_max(i) = max_k k · S(i, k)
1	0	0	0
2	0	0	0
3	1	1	2
4	0	0	0
5	0	0	0

Anad(ABCBCX) = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1, AnadLen(ABCBCX) = 0 + 0 + 2 + 0 + 0 = 2.

Seule la frontière ABC | BCX (i = 3) porte une répétition : S(3, 1) = e(C, B) = 0, S(3, 2) = e(B, B) · e(C, C) = 1, S(3, 3) = 0 ; le bloc répété BC a la longueur 2.

Exemple 3 : w = ABCDECDEFG

n = 10 ; les frontières sont i = 1, …, 9, et pour chacune k va de 1 à min(i, n − i). Toutes les comparaisons sont écrites :

i	frontière	k	bloc gauche w[i−k+1..i]	bloc droit w[i+1..i+k]	comparaisons lettre à lettre	S(i, k)
1	A \| BCDECDEFG	1	A	B	e(A, B) = 0	0
2	AB \| CDECDEFG	1	B	C	e(B, C) = 0	0
2	AB \| CDECDEFG	2	AB	CD	e(A, C) · e(B, D) = 0 · 0	0
3	ABC \| DECDEFG	1	C	D	e(C, D) = 0	0
3	ABC \| DECDEFG	2	BC	DE	e(B, D) · e(C, E) = 0 · 0	0
3	ABC \| DECDEFG	3	ABC	DEC	e(A, D) · e(B, E) · e(C, C) = 0 · 0 · 1	0
4	ABCD \| ECDEFG	1	D	E	e(D, E) = 0	0
4	ABCD \| ECDEFG	2	CD	EC	e(C, E) · e(D, C) = 0 · 0	0
4	ABCD \| ECDEFG	3	BCD	ECD	e(B, E) · e(C, C) · e(D, D) = 0 · 1 · 1	0
4	ABCD \| ECDEFG	4	ABCD	ECDE	e(A, E) · e(B, C) · e(C, D) · e(D, E) = 0 · 0 · 0 · 0	0
5	ABCDE \| CDEFG	1	E	C	e(E, C) = 0	0
5	ABCDE \| CDEFG	2	DE	CD	e(D, C) · e(E, D) = 0 · 0	0
5	ABCDE \| CDEFG	3	CDE	CDE	e(C, C) · e(D, D) · e(E, E) = 1 · 1 · 1	1
5	ABCDE \| CDEFG	4	BCDE	CDEF	e(B, C) · e(C, D) · e(D, E) · e(E, F) = 0 · 0 · 0 · 0	0
5	ABCDE \| CDEFG	5	ABCDE	CDEFG	e(A, C) · e(B, D) · e(C, E) · e(D, F) · e(E, G) = 0 · 0 · 0 · 0 · 0	0
6	ABCDEC \| DEFG	1	C	D	e(C, D) = 0	0
6	ABCDEC \| DEFG	2	EC	DE	e(E, D) · e(C, E) = 0 · 0	0
6	ABCDEC \| DEFG	3	DEC	DEF	e(D, D) · e(E, E) · e(C, F) = 1 · 1 · 0	0
6	ABCDEC \| DEFG	4	CDEC	DEFG	e(C, D) · e(D, E) · e(E, F) · e(C, G) = 0 · 0 · 0 · 0	0
7	ABCDECD \| EFG	1	D	E	e(D, E) = 0	0
7	ABCDECD \| EFG	2	CD	EF	e(C, E) · e(D, F) = 0 · 0	0
7	ABCDECD \| EFG	3	ECD	EFG	e(E, E) · e(C, F) · e(D, G) = 1 · 0 · 0	0
8	ABCDECDE \| FG	1	E	F	e(E, F) = 0	0
8	ABCDECDE \| FG	2	DE	FG	e(D, F) · e(E, G) = 0 · 0	0
9	ABCDECDEF \| G	1	F	G	e(F, G) = 0	0

Par frontière :

i	m(i) = Σ_k S(i, k)	χ_[1,+∞)(m(i))	k_max(i) = max_k k · S(i, k)
1	0	0	0
2	0	0	0
3	0	0	0
4	0	0	0
5	1	1	3
6	0	0	0
7	0	0	0
8	0	0	0
9	0	0	0

Anad(ABCDECDEFG) = 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1, AnadLen(ABCDECDEFG) = 0 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3.

Seule la frontière ABCDE | CDEFG (i = 5) porte une répétition, de longueur 3 : CDE | CDE. À cette frontière, les longueurs 1 et 2 échouent (E ≠ C, DE ≠ CD) et la longueur 3 réussit : il faut examiner tous les k, et non s’arrêter au premier échec.

4. Ce que compte la formule : des carrés centrés

S(i, k) = 1 signifie que le facteur w[i−k+1..i+k] est un carré x x, avec x = w[i−k+1..i], centré sur la frontière i. Anad(w) est donc le nombre de positions qui sont le centre d’au moins un carré (voir la fiche du classicisme, où Sq(w) compte les carrés). Cette propriété du mot ne suffit pas à reconnaître l’anadiplose, pour deux raisons :

la répétition doit se faire à une frontière de segments du discours (proposition, vers), marquée par la ponctuation ; un carré à l’intérieur d’un segment est une autre figure ;
le bloc répété doit être une partie de chacun des deux segments, et non chacun d’eux tout entier : « il faut, il faut » est une épizeuxe (le segment est répété tel quel), « la patience, la patience produit… » une anadiplose (la fin d’un segment ouvre le suivant).

5. La formule rhétorique

On travaille sur le mot des tokens t₁ ⋯ t_n, avec le signe s_i qui suit chaque token. La frontière i est une frontière de segments si b(i) = 1, avec

b(i) = 1 − ∏_{x ∈ { , ; : . ! ? }} ( 1 − e(s_i, x) ),

et l’on note ℓ_g(i) et ℓ_d(i) les longueurs des segments situés à gauche et à droite de la frontière. Une répétition de longueur k est une anadiplose si elle est strictement plus courte que chacun des deux segments :

AnadR(w) = Σ_i=1ⁿ⁻¹ b(i) · χ_[1,+∞)( Σ_k S(i, k) · χ_[1,+∞)(ℓ_g(i) − k) · χ_[1,+∞)(ℓ_d(i) − k) )

Chaque facteur est une indicatrice : b(i) pour la ponctuation, S(i, k) pour l’égalité des blocs, les deux derniers pour « strictement plus court que le segment ». On définit de même AnadLenR(w) en remplaçant χ_[1,+∞)(Σ_k …) par max_k k · S(i, k) · χ · χ.

« La souffrance produit la patience, la patience produit l’espérance, l’espérance ne trompe pas » : les trois segments, les deux frontières, et les blocs répétés « la patience » et « l’espérance » reliés par-dessus chaque frontière ; « il faut, il faut absolument » : le bloc répété est le segment entier, ce n’est pas une anadiplose.

Exemple 4 : « La souffrance produit la patience, la patience produit l’espérance, l’espérance ne trompe pas. »

Tokens : t₁ = la · t₂ = souffrance · t₃ = produit · t₄ = la · t₅ = patience · t₆ = la · t₇ = patience · t₈ = produit · t₉ = l’ · t₁₀ = espérance · t₁₁ = l’ · t₁₂ = espérance · t₁₃ = ne · t₁₄ = trompe · t₁₅ = pas.

Frontières de segments (b(i) = 1) : i = 5 (ℓ_g = 5, ℓ_d = 5), i = 10 (ℓ_g = 5, ℓ_d = 5). Pour chacune, toutes les longueurs k admissibles :

i	k	blocs	S(i, k)	χ_[1,+∞)(ℓ_g − k)	χ_[1,+∞)(ℓ_d − k)	terme
5	1	patience \| la	e(patience, la) = 0	χ(5 − 1 ≥ 1) = 1	χ(5 − 1 ≥ 1) = 1	0
5	2	la patience \| la patience	e(la, la) · e(patience, patience) = 1	χ(5 − 2 ≥ 1) = 1	χ(5 − 2 ≥ 1) = 1	1
5	3	produit la patience \| la patience produit	e(produit, la) · e(la, patience) · e(patience, produit) = 0	χ(5 − 3 ≥ 1) = 1	χ(5 − 3 ≥ 1) = 1	0
5	4	souffrance produit la patience \| la patience produit l’	e(souffrance, la) · e(produit, patience) · e(la, produit) · e(patience, l’) = 0	χ(5 − 4 ≥ 1) = 1	χ(5 − 4 ≥ 1) = 1	0
5	5	la souffrance produit la patience \| la patience produit l’ espérance	e(la, la) · e(souffrance, patience) · e(produit, produit) · e(la, l’) · e(patience, espérance) = 0	χ(5 − 5 ≥ 1) = 0	χ(5 − 5 ≥ 1) = 0	0
10	1	espérance \| l’	e(espérance, l’) = 0	χ(5 − 1 ≥ 1) = 1	χ(5 − 1 ≥ 1) = 1	0
10	2	l’ espérance \| l’ espérance	e(l’, l’) · e(espérance, espérance) = 1	χ(5 − 2 ≥ 1) = 1	χ(5 − 2 ≥ 1) = 1	1
10	3	produit l’ espérance \| l’ espérance ne	e(produit, l’) · e(l’, espérance) · e(espérance, ne) = 0	χ(5 − 3 ≥ 1) = 1	χ(5 − 3 ≥ 1) = 1	0
10	4	patience produit l’ espérance \| l’ espérance ne trompe	e(patience, l’) · e(produit, espérance) · e(l’, ne) · e(espérance, trompe) = 0	χ(5 − 4 ≥ 1) = 1	χ(5 − 4 ≥ 1) = 1	0
10	5	la patience produit l’ espérance \| l’ espérance ne trompe pas	e(la, l’) · e(patience, espérance) · e(produit, ne) · e(l’, trompe) · e(espérance, pas) = 0	χ(5 − 5 ≥ 1) = 0	χ(5 − 5 ≥ 1) = 0	0

AnadR = 2, AnadLenR = 4, et, sans les conditions rhétoriques, Anad(t) = 2.

Exemple 5 : « Il faut, il faut absolument que tu viennes. »

Tokens : t₁ = il · t₂ = faut · t₃ = il · t₄ = faut · t₅ = absolument · t₆ = que · t₇ = tu · t₈ = viennes.

Frontières de segments (b(i) = 1) : i = 2 (ℓ_g = 2, ℓ_d = 6). Pour chacune, toutes les longueurs k admissibles :

i	k	blocs	S(i, k)	χ_[1,+∞)(ℓ_g − k)	χ_[1,+∞)(ℓ_d − k)	terme
2	1	faut \| il	e(faut, il) = 0	χ(2 − 1 ≥ 1) = 1	χ(6 − 1 ≥ 1) = 1	0
2	2	il faut \| il faut	e(il, il) · e(faut, faut) = 1	χ(2 − 2 ≥ 1) = 0	χ(6 − 2 ≥ 1) = 1	0

AnadR = 0, AnadLenR = 0, et, sans les conditions rhétoriques, Anad(t) = 1.

Dans l’exemple 4, les deux frontières portent un bloc de deux tokens, plus court que chacun des segments voisins : deux anadiploses, de longueur 2 chacune. Dans l’exemple 5, le bloc « il faut » est le premier segment tout entier (ℓ_g = 2 = k) : le facteur χ_[1,+∞)(ℓ_g − k) vaut 0, et la répétition est reconnue comme carré (Anad = 1) mais non comme anadiplose (AnadR = 0) ; c’est une épizeuxe.

Tableau récapitulatif

N°	mot ou texte	Anad (carrés centrés)	AnadLen	AnadR (anadiplose)	AnadLenR
1	ABABA	2	4	—	—
2	ABCBCX	1	2	—	—
3	ABCDECDEFG	1	3	—	—
4	La souffrance produit la patience, …	2	4	2	4
5	Il faut, il faut absolument…	1	2	0	0

Pour les cinq exemples : Anad et AnadLen (carrés centrés sur une frontière quelconque) et AnadR, AnadLenR (répétition à une frontière de segments, plus courte que les segments).

6. Interprétation

Les mots de lettres des exemples 1 à 3 n’ont pas de segments : Anad et AnadLen y mesurent les répétitions qui se touchent de part et d’autre d’une position, c’est-à-dire les carrés et leurs centres. L’anadiplose est cette structure placée à un endroit précis : la frontière entre deux segments du discours, avec un bloc qui achève le premier et ouvre le second sans les épuiser. La formule AnadR ajoute ces deux conditions sous forme de facteurs indicateurs ; chaque unité de AnadR est une frontière où toutes les indicatrices valent 1.

10. Analogy – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’analogie (latin similitudo ou analogia) est le recours à un cas parallèle ou à un exemple similaire pour raisonner ou argumenter. Elle établit une correspondance structurelle entre deux situations distinctes afin d’inférer une conclusion ou d’éclairer un propos. Elle se distingue de la métaphore par son caractère explicite et argumentatif.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à morphisme similaire (ou analogy morphism).

Justification du lien

L’analogie repose sur une correspondance entre deux cas distincts. En combinatoire des mots, cela correspond à l’existence d’un morphisme qui établit une similarité entre les ensembles de facteurs de deux mots. Le calcul du nombre maximal de facteurs communs sous morphisme quantifie la force de l’analogie combinatoire.

Définition mathématique

Soit w et w′ deux mots sur des alphabets éventuellement distincts. On dit que w et w′ sont analogues s’il existe un morphisme μ tel que les structures factorielles de w et de μ(w′) présentent une correspondance. Formellement, il existe un morphisme μ tel que :

Fact(w) ∼ Fact(μ(w′)) où ∼ désigne une relation de similarité combinatoire (par exemple, même nombre de facteurs d’une longueur donnée, ou mêmes bordures).

Expression formelle computable

Pour deux mots w et w′, le degré d’analogie peut être mesuré par :

Anal(w, w′) = max{|Fact_k(w) ∩ Fact_k(μ(w′))| | μ morphisme, k ≥ 1}

Une valeur Anal(w, w′) > 0 indique une correspondance structurelle non triviale.

Analogie : facteurs communs et identité de motif

10 Analogie : facteurs communs après morphisme et identité de motif

1. La formule proposée

Deux mots w et w′ sont dits analogues lorsqu’une reformulation μ(w′) de w′ par un morphisme μ partage des facteurs avec w. Pour un ensemble fini de morphismes candidats M = {μ₁, …, μ_N} et une longueur k, on compte les facteurs de longueur k communs :

C_k(w, μ_i(w′)) = Σ_{u ∈ Factk(w)} χ_{Factk(μi(w′))}(u), puis l’on prend le plus grand de ces nombres, sur les morphismes et sur les longueurs :

Anal(w, w′) = max_{1 ≤ i ≤ N} max_{1 ≤ k ≤ K} C_k(w, μ_i(w′)), K = min(|w|, |w′|), Ana(w, w′) = χ_[1,+∞)(Anal(w, w′)).

2. Le calcul de l’indicatrice d’appartenance

Fact_k(w) est l’ensemble des facteurs distincts de longueur k de w. Pour savoir si u appartient à Fact_k(v), avec v = μ_i(w′), on compare u à chaque fenêtre de v de longueur k, lettre à lettre, avec l’indicatrice d’égalité e(x, y) = 1 si x = y, 0 sinon :

m(u) = Σ_j=1^|v|−k+1 ∏_r=1^k e( v[j+r−1], u[r] ), χ_Factk(v)(u) = χ_[1,+∞)( m(u) ). Le produit vaut 1 si la fenêtre est égale à u ; m(u) compte ces fenêtres ; l’indicatrice dit si u apparaît au moins une fois. Dans la somme C_k, l’indicatrice est évaluée sur les facteurs u de w, et non sur ceux de μ(w′).

3. Les trois exemples, toutes longueurs comprises

Le maximum porte sur toutes les longueurs k de 1 à K ; les exemples sont donc repris pour chacune d’elles, y compris k = 1 et k = K.

Exemple 1 : w = abab, w′ = baba, μ(a) = a, μ(b) = b (identité)

μ(w′) = μ(baba) = baba, K = min(|w|, |w′|) = min(4, 4) = 4.

Longueur k = 1 : Fact₁(w) = {a, b}, comparé aux fenêtres de longueur 1 de μ(w′) = baba.

N°	u ∈ Fact₁(w)	fenêtres de baba comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact1(μ(w′))}(u)
1	a	b : e(b,a) = 0 a : e(a,a) = 1 b : e(b,a) = 0 a : e(a,a) = 1	2	1
2	b	b : e(b,b) = 1 a : e(a,b) = 0 b : e(b,b) = 1 a : e(a,b) = 0	2	1

C₁(w, μ(w′)) = 1 + 1 = 2, σ₁ = C₁ / |Fact₁(w)| = 2/2 = 1.

Longueur k = 2 : Fact₂(w) = {ab, ba}, comparé aux fenêtres de longueur 2 de μ(w′) = baba.

N°	u ∈ Fact₂(w)	fenêtres de baba comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact2(μ(w′))}(u)
1	ab	ba : e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 = 0 ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1 ba : e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 = 0	1	1
2	ba	ba : e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 ab : e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 = 0 ba : e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 = 1	2	1

C₂(w, μ(w′)) = 1 + 1 = 2, σ₂ = C₂ / |Fact₂(w)| = 2/2 = 1.

Longueur k = 3 : Fact₃(w) = {aba, bab}, comparé aux fenêtres de longueur 3 de μ(w′) = baba.

N°	u ∈ Fact₃(w)	fenêtres de baba comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact3(μ(w′))}(u)
1	aba	bab : e(b,a) · e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 · 0 = 0 aba : e(a,a) · e(b,b) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1	1	1
2	bab	bab : e(b,b) · e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 · 1 = 1 aba : e(a,b) · e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 · 0 = 0	1	1

C₃(w, μ(w′)) = 1 + 1 = 2, σ₃ = C₃ / |Fact₃(w)| = 2/2 = 1.

Longueur k = 4 : Fact₄(w) = {abab}, comparé aux fenêtres de longueur 4 de μ(w′) = baba.

N°	u ∈ Fact₄(w)	fenêtres de baba comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact4(μ(w′))}(u)
1	abab	baba : e(b,a) · e(a,b) · e(b,a) · e(a,b) = 0 · 0 · 0 · 0 = 0	0	0

C₄(w, μ(w′)) = 0 = 0, σ₄ = C₄ / |Fact₄(w)| = 0/1 = 0.

Anal(w, w′) = max( 2, 2, 2, 0 ) = 2, Ana(w, w′) = χ_[1,+∞)(2) = 1.

Exemple 2 : w = aaaa, w′ = bbbb, μ(b) = a

μ(w′) = μ(bbbb) = aaaa, K = min(|w|, |w′|) = min(4, 4) = 4.

Longueur k = 1 : Fact₁(w) = {a}, comparé aux fenêtres de longueur 1 de μ(w′) = aaaa.

N°	u ∈ Fact₁(w)	fenêtres de aaaa comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact1(μ(w′))}(u)
1	a	a : e(a,a) = 1 a : e(a,a) = 1 a : e(a,a) = 1 a : e(a,a) = 1	4	1

C₁(w, μ(w′)) = 1 = 1, σ₁ = C₁ / |Fact₁(w)| = 1/1 = 1.

Longueur k = 2 : Fact₂(w) = {aa}, comparé aux fenêtres de longueur 2 de μ(w′) = aaaa.

N°	u ∈ Fact₂(w)	fenêtres de aaaa comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact2(μ(w′))}(u)
1	aa	aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1 aa : e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 = 1	3	1

C₂(w, μ(w′)) = 1 = 1, σ₂ = C₂ / |Fact₂(w)| = 1/1 = 1.

Longueur k = 3 : Fact₃(w) = {aaa}, comparé aux fenêtres de longueur 3 de μ(w′) = aaaa.

N°	u ∈ Fact₃(w)	fenêtres de aaaa comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact3(μ(w′))}(u)
1	aaa	aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1 aaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 = 1	2	1

C₃(w, μ(w′)) = 1 = 1, σ₃ = C₃ / |Fact₃(w)| = 1/1 = 1.

Longueur k = 4 : Fact₄(w) = {aaaa}, comparé aux fenêtres de longueur 4 de μ(w′) = aaaa.

N°	u ∈ Fact₄(w)	fenêtres de aaaa comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact4(μ(w′))}(u)
1	aaaa	aaaa : e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) · e(a,a) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1	1	1

C₄(w, μ(w′)) = 1 = 1, σ₄ = C₄ / |Fact₄(w)| = 1/1 = 1.

Anal(w, w′) = max( 1, 1, 1, 1 ) = 1, Ana(w, w′) = χ_[1,+∞)(1) = 1.

Exemple 3 : w = abc, w′ = xyz, μ(x) = p, μ(y) = q, μ(z) = r

μ(w′) = μ(xyz) = pqr, K = min(|w|, |w′|) = min(3, 3) = 3.

Longueur k = 1 : Fact₁(w) = {a, b, c}, comparé aux fenêtres de longueur 1 de μ(w′) = pqr.

N°	u ∈ Fact₁(w)	fenêtres de pqr comparées à u lettre à lettre
1	a	p : e(p,a) = 0 q : e(q,a) = 0 r : e(r,a) = 0
2	b	p : e(p,b) = 0 q : e(q,b) = 0 r : e(r,b) = 0
3	c	p : e(p,c) = 0 q : e(q,c) = 0 r : e(r,c) = 0

C₁(w, μ(w′)) = 0 + 0 + 0 = 0, σ₁ = C₁ / |Fact₁(w)| = 0/3 = 0.

Longueur k = 2 : Fact₂(w) = {ab, bc}, comparé aux fenêtres de longueur 2 de μ(w′) = pqr.

N°	u ∈ Fact₂(w)	fenêtres de pqr comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact2(μ(w′))}(u)
1	ab	pq : e(p,a) · e(q,b) = 0 · 0 = 0 qr : e(q,a) · e(r,b) = 0 · 0 = 0	0	0
2	bc	pq : e(p,b) · e(q,c) = 0 · 0 = 0 qr : e(q,b) · e(r,c) = 0 · 0 = 0	0	0

C₂(w, μ(w′)) = 0 + 0 = 0, σ₂ = C₂ / |Fact₂(w)| = 0/2 = 0.

Longueur k = 3 : Fact₃(w) = {abc}, comparé aux fenêtres de longueur 3 de μ(w′) = pqr.

N°	u ∈ Fact₃(w)	fenêtres de pqr comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact3(μ(w′))}(u)
1	abc	pqr : e(p,a) · e(q,b) · e(r,c) = 0 · 0 · 0 = 0	0	0

C₃(w, μ(w′)) = 0 = 0, σ₃ = C₃ / |Fact₃(w)| = 0/1 = 0.

Anal(w, w′) = max( 0, 0, 0 ) = 0, Ana(w, w′) = χ_[1,+∞)(0) = 0.

Les valeurs Anal = 2, 1 et 0 sont exactes. Trois points de lecture : dans l’exemple 1, la longueur k = 4 donne C₄ = 0, car abab n’est pas facteur de baba ; dans l’exemple 2, μ(w′) = aaaa = w, et pourtant Anal = 1 seulement, parce que aaaa n’a qu’un facteur distinct de chaque longueur ; dans l’exemple 3, la somme porte sur les facteurs de w, ab et bc, et vaut χ(ab) + χ(bc) = 0 + 0.

Pour chaque exemple, le nombre C_k de facteurs communs selon la longueur k (barres) et le nombre |Fact_k(w)| de facteurs de w (trait) ; Anal est la plus haute barre.

4. Ce que mesure Anal, et ce qu’elle ne mesure pas

4.1 Une valeur non comparable d’un couple à l’autre

C_k est borné par le nombre |Fact_k(w)| de facteurs de w. Anal(aaaa, bbbb) = 1 alors que μ(w′) = w exactement, et Anal(abab, baba) = 2 alors que abab n’est pas égal à baba : la valeur dépend de la richesse de w autant que de la ressemblance. La part conservée σ_k(w, μ(w′)) = C_k(w, μ(w′)) / |Fact_k(w)| ∈ [0, 1] vaut 1 pour toutes les longueurs dans l’exemple 2, et 1, 1, 1, 0 dans l’exemple 1 : elle place correctement l’égalité complète au-dessus de la ressemblance partielle.

4.2 Une valeur qui dépend du choix des morphismes

Dans l’exemple 3, le morphisme choisi envoie x, y, z sur des lettres p, q, r absentes de w : le résultat 0 était acquis d’avance. Avec le renommage naturel, abc et xyz ont le même motif (trois lettres distinctes) :

Exemple 4 : w = abc, w′ = xyz, μ(x) = a, μ(y) = b, μ(z) = c

μ(w′) = μ(xyz) = abc, K = min(|w|, |w′|) = min(3, 3) = 3.

Longueur k = 1 : Fact₁(w) = {a, b, c}, comparé aux fenêtres de longueur 1 de μ(w′) = abc.

N°	u ∈ Fact₁(w)	fenêtres de abc comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact1(μ(w′))}(u)
1	a	a : e(a,a) = 1 b : e(b,a) = 0 c : e(c,a) = 0	1	1
2	b	a : e(a,b) = 0 b : e(b,b) = 1 c : e(c,b) = 0	1	1
3	c	a : e(a,c) = 0 b : e(b,c) = 0 c : e(c,c) = 1	1	1

C₁(w, μ(w′)) = 1 + 1 + 1 = 3, σ₁ = C₁ / |Fact₁(w)| = 3/3 = 1.

Longueur k = 2 : Fact₂(w) = {ab, bc}, comparé aux fenêtres de longueur 2 de μ(w′) = abc.

N°	u ∈ Fact₂(w)	fenêtres de abc comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact2(μ(w′))}(u)
1	ab	ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1 bc : e(b,a) · e(c,b) = 0 · 0 = 0	1	1
2	bc	ab : e(a,b) · e(b,c) = 0 · 0 = 0 bc : e(b,b) · e(c,c) = 1 · 1 = 1	1	1

C₂(w, μ(w′)) = 1 + 1 = 2, σ₂ = C₂ / |Fact₂(w)| = 2/2 = 1.

Longueur k = 3 : Fact₃(w) = {abc}, comparé aux fenêtres de longueur 3 de μ(w′) = abc.

N°	u ∈ Fact₃(w)	fenêtres de abc comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact3(μ(w′))}(u)
1	abc	abc : e(a,a) · e(b,b) · e(c,c) = 1 · 1 · 1 = 1	1	1

C₃(w, μ(w′)) = 1 = 1, σ₃ = C₃ / |Fact₃(w)| = 1/1 = 1.

Anal(w, w′) = max( 3, 2, 1 ) = 3, Ana(w, w′) = χ_[1,+∞)(3) = 1.

Le même couple donne Anal = 0 ou Anal = 3 selon M ; la conclusion « aucune correspondance structurelle » n’est donc pas une propriété des mots, mais du morphisme retenu.

4.3 Sans restriction sur M, le maximum ne dépend plus de w′

Si M contient tous les morphismes, il suffit d’envoyer une lettre c de w′ sur w tout entier : μ(c) = w. Alors w est facteur de μ(w′), donc tout facteur de w l’est aussi, et

C_k(w, μ(w′)) = |Fact_k(w)| pour tout k ∴ Anal(w, w′) = max_{1 ≤ k ≤ K} |Fact_k(w)|, qui ne dépend de w′ que par sa longueur.

La formule non bornée a donc une valeur, mais cette valeur ne dit rien de w′. L’exemple suivant le montre avec w′ = c, un mot d’une lettre sans rapport avec abab ; ici K = min(4, 1) = 1.

Exemple 5 : w = abab, w′ = c, μ(c) = abab

μ(w′) = μ(c) = abab, K = min(|w|, |w′|) = min(4, 1) = 1.

Longueur k = 1 : Fact₁(w) = {a, b}, comparé aux fenêtres de longueur 1 de μ(w′) = abab.

N°	u ∈ Fact₁(w)	fenêtres de abab comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact1(μ(w′))}(u)
1	a	a : e(a,a) = 1 b : e(b,a) = 0 a : e(a,a) = 1 b : e(b,a) = 0	2	1
2	b	a : e(a,b) = 0 b : e(b,b) = 1 a : e(a,b) = 0 b : e(b,b) = 1	2	1

C₁(w, μ(w′)) = 1 + 1 = 2, σ₁ = C₁ / |Fact₁(w)| = 2/2 = 1.

Anal(w, w′) = max( 2 ) = 2, Ana(w, w′) = χ_[1,+∞)(2) = 1.

Anal(abab, c) = 2 = Anal(abab, baba). Les morphismes qui allongent les mots doivent donc être exclus : une analogie compare deux mots lettre à lettre, par un renommage μ qui envoie chaque lettre sur une lettre.

4.4 Les facteurs communs ne voient pas la structure

Avec l’identité, abab et aabb partagent tous leurs facteurs de longueur 1 et l’un de longueur 2 ; pourtant leurs structures (alternance contre blocs) diffèrent.

Exemple 6 : w = abab, w′ = aabb, μ(a) = a, μ(b) = b (identité)

μ(w′) = μ(aabb) = aabb, K = min(|w|, |w′|) = min(4, 4) = 4.

Longueur k = 1 : Fact₁(w) = {a, b}, comparé aux fenêtres de longueur 1 de μ(w′) = aabb.

N°	u ∈ Fact₁(w)	fenêtres de aabb comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact1(μ(w′))}(u)
1	a	a : e(a,a) = 1 a : e(a,a) = 1 b : e(b,a) = 0 b : e(b,a) = 0	2	1
2	b	a : e(a,b) = 0 a : e(a,b) = 0 b : e(b,b) = 1 b : e(b,b) = 1	2	1

C₁(w, μ(w′)) = 1 + 1 = 2, σ₁ = C₁ / |Fact₁(w)| = 2/2 = 1.

Longueur k = 2 : Fact₂(w) = {ab, ba}, comparé aux fenêtres de longueur 2 de μ(w′) = aabb.

N°	u ∈ Fact₂(w)	fenêtres de aabb comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact2(μ(w′))}(u)
1	ab	aa : e(a,a) · e(a,b) = 1 · 0 = 0 ab : e(a,a) · e(b,b) = 1 · 1 = 1 bb : e(b,a) · e(b,b) = 0 · 1 = 0	1	1
2	ba	aa : e(a,b) · e(a,a) = 0 · 1 = 0 ab : e(a,b) · e(b,a) = 0 · 0 = 0 bb : e(b,b) · e(b,a) = 1 · 0 = 0	0	0

C₂(w, μ(w′)) = 1 + 0 = 1, σ₂ = C₂ / |Fact₂(w)| = 1/2 = 0,5.

Longueur k = 3 : Fact₃(w) = {aba, bab}, comparé aux fenêtres de longueur 3 de μ(w′) = aabb.

N°	u ∈ Fact₃(w)	fenêtres de aabb comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact3(μ(w′))}(u)
1	aba	aab : e(a,a) · e(a,b) · e(b,a) = 1 · 0 · 0 = 0 abb : e(a,a) · e(b,b) · e(b,a) = 1 · 1 · 0 = 0	0	0
2	bab	aab : e(a,b) · e(a,a) · e(b,b) = 0 · 1 · 1 = 0 abb : e(a,b) · e(b,a) · e(b,b) = 0 · 0 · 1 = 0	0	0

C₃(w, μ(w′)) = 0 + 0 = 0, σ₃ = C₃ / |Fact₃(w)| = 0/2 = 0.

Longueur k = 4 : Fact₄(w) = {abab}, comparé aux fenêtres de longueur 4 de μ(w′) = aabb.

N°	u ∈ Fact₄(w)	fenêtres de aabb comparées à u lettre à lettre	m(u)	χ_{Fact4(μ(w′))}(u)
1	abab	aabb : e(a,a) · e(a,b) · e(b,a) · e(b,b) = 1 · 0 · 0 · 1 = 0	0	0

C₄(w, μ(w′)) = 0 = 0, σ₄ = C₄ / |Fact₄(w)| = 0/1 = 0.

Anal(w, w′) = max( 2, 1, 0, 0 ) = 2, Ana(w, w′) = χ_[1,+∞)(2) = 1.

5. Formule structurelle : l’identité de motif

Deux mots sont analogues lorsqu’ils ont le même motif : les positions qui portent la même lettre dans w portent la même lettre dans w′, et réciproquement. C’est exactement l’existence d’un renommage bijectif μ des lettres tel que μ(w′) = w. Le motif d’un mot de longueur n se lit dans sa matrice d’égalité, pour 1 ≤ i < j ≤ n :

E_ij(w) = e(w[i], w[j]), E_ij(w′) = e(w′[i], w′[j]). L’accord sur une paire (i, j) est l’indicatrice d’égalité des deux entrées, e(E_ij(w), E_ij(w′)). On pose Ana*(w, w′) = e(|w|, |w′|) · ∏_{1 ≤ i < j ≤ n} e( E_ij(w), E_ij(w′) ), ρ(w, w′) = (2 / (n(n − 1))) · Σ_{1 ≤ i < j ≤ n} e( E_ij(w), E_ij(w′) ).

Ana* vaut 1 exactement quand un renommage bijectif transforme w′ en w ; ρ ∈ [0, 1] est la part des paires de positions sur lesquelles les deux motifs s’accordent. Aucun ensemble de morphismes n’est à choisir : le renommage, s’il existe, est lu dans les mots. Si l’on accepte qu’un renommage confonde deux lettres (μ non injectif), on remplace le facteur e(E_ij(w), E_ij(w′)) par 1 − E_ij(w′) · (1 − E_ij(w)).

Paire 1 : w = abab, w′ = baba

N°	(i, j)	w[i], w[j]	E_ij(w)	w′[i], w′[j]	E_ij(w′)	e(E_ij(w), E_ij(w′))
1	(1, 2)	a, b	0	b, a	0	1
2	(1, 3)	a, a	1	b, b	1	1
3	(1, 4)	a, b	0	b, a	0	1
4	(2, 3)	b, a	0	a, b	0	1
5	(2, 4)	b, b	1	a, a	1	1
6	(3, 4)	a, b	0	b, a	0	1

Ana* = e(4, 4) · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1, ρ = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) / 6 = 6/6 = 1.

Paire 2 : w = aaaa, w′ = bbbb

N°	(i, j)	w[i], w[j]	E_ij(w)	w′[i], w′[j]	E_ij(w′)	e(E_ij(w), E_ij(w′))
1	(1, 2)	a, a	1	b, b	1	1
2	(1, 3)	a, a	1	b, b	1	1
3	(1, 4)	a, a	1	b, b	1	1
4	(2, 3)	a, a	1	b, b	1	1
5	(2, 4)	a, a	1	b, b	1	1
6	(3, 4)	a, a	1	b, b	1	1

Ana* = e(4, 4) · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1, ρ = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) / 6 = 6/6 = 1.

Paire 3 : w = abc, w′ = xyz

N°	(i, j)	w[i], w[j]	w′[i], w′[j]	e(E_ij(w), E_ij(w′))
1	(1, 2)	a, b	x, y	1
2	(1, 3)	a, c	x, z	1
3	(2, 3)	b, c	y, z	1

Ana* = e(3, 3) · 1 · 1 · 1 = 1, ρ = (1 + 1 + 1) / 3 = 3/3 = 1.

Paire 4 : w = abab, w′ = aabb

N°	(i, j)	w[i], w[j]	E_ij(w)	w′[i], w′[j]	E_ij(w′)	e(E_ij(w), E_ij(w′))
1	(1, 2)	a, b	0	a, a	1	0
2	(1, 3)	a, a	1	a, b	0	0
3	(1, 4)	a, b	0	a, b	0	1
4	(2, 3)	b, a	0	a, b	0	1
5	(2, 4)	b, b	1	a, b	0	0
6	(3, 4)	a, b	0	b, b	1	0

Ana* = e(4, 4) · 0 · 0 · 1 · 1 · 0 · 0 = 0, ρ = (0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0) / 6 = 2/6 = 0,33.

Paire 5 : w = abab, w′ = cdcd

N°	(i, j)	w[i], w[j]	E_ij(w)	w′[i], w′[j]	E_ij(w′)	e(E_ij(w), E_ij(w′))
1	(1, 2)	a, b	0	c, d	0	1
2	(1, 3)	a, a	1	c, c	1	1
3	(1, 4)	a, b	0	c, d	0	1
4	(2, 3)	b, a	0	d, c	0	1
5	(2, 4)	b, b	1	d, d	1	1
6	(3, 4)	a, b	0	c, d	0	1

Ana* = e(4, 4) · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1, ρ = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) / 6 = 6/6 = 1.

Pour w = abab et w′ = c, les longueurs diffèrent : e(4, 1) = 0, donc Ana* = 0, alors qu’Anal valait 2. Les couples abab, baba et abab, cdcd ont le même motif (alternance), abc et xyz aussi (trois lettres distinctes) ; abab et aabb ne s’accordent que sur 2 paires sur 6.

Matrices d’égalité E_ij de abab, baba et aabb : les cases pleines marquent deux positions de même lettre ; abab et baba ont la même matrice, aabb diffère sur 4 paires.

6. Formule rhétorique : la proportion « A est à B ce que C est à D »

La figure d’analogie se signale dans le texte par le cadre de la proportion. Sur une phrase découpée en tokens t₁ ⋯ t_m, avec À = {à, au, aux}, on cherche « est », un élément de À, puis, après un à trois tokens, « ce que » :

Prop(u) = Σ_j Σ_g=2⁴ e(t_j, est) · χ_À(t_j+1) · e(t_j+1+g, ce) · e(t_j+2+g, que), AnaR(u) = χ_[1,+∞)(Prop(u)).

N°	phrase	termes non nuls en e(t_j, est) : produit des quatre facteurs	Prop(u)	AnaR(u)
1	La vieillesse est à la vie ce que le soir est au jour.	j = 3, g = 2 : 1 · 1 · 0 · 0 = 0 j = 3, g = 3 : 1 · 1 · 1 · 1 = 1 j = 3, g = 4 : 1 · 1 · 0 · 0 = 0	1	1
2	L’argent est au riche ce que le sang est au corps.	j = 2, g = 2 : 1 · 1 · 1 · 1 = 1 j = 2, g = 3 : 1 · 1 · 0 · 0 = 0 j = 2, g = 4 : 1 · 1 · 0 · 0 = 0	1	1
3	Il est à Paris ce soir.	j = 2, g = 2 : 1 · 1 · 1 · 0 = 0	0	0
4	Le soir tombe sur la ville.	aucun t_j = est suivi d’assez de tokens	0	0

La phrase 3 contient « est à » et « ce », mais pas « ce que » : le facteur e(t_j+2+g, que) vaut 0 et aucun faux positif n’est compté. Les phrases 1 et 2 sont des analogies proportionnelles ; pour elles, les mots qui remplissent les quatre places (vieillesse, vie, soir, jour) sont les termes A, B, C, D comparés.

Tableau récapitulatif

N°	w	w′	μ(w′)	C₁, …, C_K	Anal	σ₁, …, σ_K
1	abab	baba	baba	2, 2, 2, 0	2	1, 1, 1, 0
2	aaaa	bbbb	aaaa	1, 1, 1, 1	1	1, 1, 1, 1
3	abc	xyz	pqr	0, 0, 0	0	0, 0, 0
4	abc	xyz	abc	3, 2, 1	3	1, 1, 1
5	abab	c	abab	2	2	1
6	abab	aabb	aabb	2, 1, 0, 0	2	1, 0,5, 0, 0

N°	w	w′	Ana*	ρ
1	abab	baba	1	1
2	aaaa	bbbb	1	1
3	abc	xyz	1	1
4	abab	aabb	0	0,33
5	abab	cdcd	1	1

La formule par facteurs communs est calculable une fois M fixé, et chaque appartenance s’y lit comme un produit d’égalités de lettres. Mais son maximum est borné par la richesse de w, dépend du choix de M, devient indépendant de w′ si M contient des morphismes allongeants, et ne distingue pas abab de aabb. L’identité de motif Ana*, lue sur les matrices d’égalité, et sa version graduée ρ mesurent l’analogie structurelle sans choix arbitraire ; la proportion « est à … ce que » en repère la forme rhétorique dans le texte.

11. Anaphora – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anaphore (du grec anaphora, « action de ramener ») est la répétition d’un mot ou d’un groupe de mots au début de phrases, de propositions ou de vers successifs. Cette figure crée un effet de rythme, d’emphase et de structure.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à préfixe anaphorique (ou anaphora prefix).

Justification du lien

L’anaphore repose sur la répétition d’un élément en position initiale dans des unités successives. En combinatoire des mots, cela correspond à la présence d’un préfixe commun non trivial dans une suite de facteurs consécutifs.

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ, décomposé en facteurs successifs w = w₁w₂ … w_n. On dit que w présente une anaphore de longueur k si les n facteurs commencent tous par le même préfixe de longueur k :

Pref_k(w₁) = Pref_k(w₂) = … = Pref_k(w_n) = u avec |u| = k ≥ 1

Expression formelle computable

Pour un mot w découpé en n facteurs, le degré d’anaphore peut être mesuré par :

Anap(w) = max{k | ∃ découpage w = w₁ … w_n, Pref_k(w_i) = Pref_k(w_j) ∀ i, j}

Une valeur Anap(w) ≥ 1 indique la présence d’une anaphore.

Anaphore : préfixe commun et segments du texte

Anaphore : préfixe commun des segments et découpage du texte

1. La formule proposée

L’anaphore est la répétition d’un même mot ou groupe de mots au début de segments successifs (vers, propositions, phrases). La formule proposée la traduit sur un mot w découpé en facteurs d = (w₁, …, w_n), n ≥ 2 : on compte les désaccords entre les k premières lettres de w₁ et de w_i, δ_k(x, y) = Σ_r=1^k (1 − e(x[r], y[r])), e(x, y) = 1 si x = y, 0 sinon,

et l’on teste que tous les facteurs ont le même préfixe de longueur k :

A(d, k) = ∏_i=2ⁿ χ_{0}( δ_k(w₁, w_i) ), Anap(w) = max_{d ∈ D(w)} Σ_k=1^L(d) A(d, k), L(d) = min_i |w_i|, où D(w) est l’ensemble des découpages de w en au moins deux facteurs. Comme les préfixes communs sont emboîtés, A(d, k) vaut 1 pour k = 1, …, ℓ puis 0 : la somme Σ_k A(d, k) est la longueur ℓ du plus long préfixe commun à tous les facteurs.

2. Les trois exemples, découpage fixé

Chaque δ_k est une somme de désaccords lettre à lettre ; χ_{0} la transforme en indicatrice d’accord complet ; le produit sur i exige l’accord de tous les facteurs.

Exemple 1 : d = prévenir · préjuger · préserver

n = 3 facteurs, de longueurs 8, 8, 9 ; L = min |w_i| = 8. Pour chaque k, on compare les k premières lettres de chaque w_i (i ≥ 2) à celles de w₁ = prévenir.

k	δ_k(w₁, w_i) = Σ_r=1^k (1 − e(w₁[r], w_i[r])) et χ_{0}(δ_k)	A(d, k) = ∏_i=2ⁿ χ_{0}(δ_k)
1	w₁ / préjuger : (1 − e(p,p)) = 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1 w₁ / préserver : (1 − e(p,p)) = 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1	1 · 1 = 1
2	w₁ / préjuger : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) = 0 + 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1 w₁ / préserver : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) = 0 + 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1	1 · 1 = 1
3	w₁ / préjuger : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) = 0 + 0 + 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1 w₁ / préserver : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) = 0 + 0 + 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1	1 · 1 = 1
4	w₁ / préjuger : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,j)) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 ; χ_{0}(1) = 0 w₁ / préserver : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,s)) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 ; χ_{0}(1) = 0	0 · 0 = 0
5	w₁ / préjuger : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,j)) + (1 − e(e,u)) = 0 + 0 + 0 + 1 + 1 = 2 ; χ_{0}(2) = 0 w₁ / préserver : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,s)) + (1 − e(e,e)) = 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1 ; χ_{0}(1) = 0	0 · 0 = 0
6	w₁ / préjuger : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,j)) + (1 − e(e,u)) + (1 − e(n,g)) = 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 3 ; χ_{0}(3) = 0 w₁ / préserver : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,s)) + (1 − e(e,e)) + (1 − e(n,r)) = 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 = 2 ; χ_{0}(2) = 0	0 · 0 = 0
7	w₁ / préjuger : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,j)) + (1 − e(e,u)) + (1 − e(n,g)) + (1 − e(i,e)) = 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ; χ_{0}(4) = 0 w₁ / préserver : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,s)) + (1 − e(e,e)) + (1 − e(n,r)) + (1 − e(i,v)) = 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 3 ; χ_{0}(3) = 0	0 · 0 = 0
8	w₁ / préjuger : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,j)) + (1 − e(e,u)) + (1 − e(n,g)) + (1 − e(i,e)) + (1 − e(r,r)) = 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4 ; χ_{0}(4) = 0 w₁ / préserver : (1 − e(p,p)) + (1 − e(r,r)) + (1 − e(é,é)) + (1 − e(v,s)) + (1 − e(e,e)) + (1 − e(n,r)) + (1 − e(i,v)) + (1 − e(r,e)) = 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 4 ; χ_{0}(4) = 0	0 · 0 = 0

Σ_k=1^L A(d, k) = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3.

Exemple 2 : d = abcde · abfgh · abxyz

n = 3 facteurs, de longueurs 5, 5, 5 ; L = min |w_i| = 5. Pour chaque k, on compare les k premières lettres de chaque w_i (i ≥ 2) à celles de w₁ = abcde.

k	δ_k(w₁, w_i) = Σ_r=1^k (1 − e(w₁[r], w_i[r])) et χ_{0}(δ_k)	A(d, k) = ∏_i=2ⁿ χ_{0}(δ_k)
1	w₁ / abfgh : (1 − e(a,a)) = 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1 w₁ / abxyz : (1 − e(a,a)) = 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1	1 · 1 = 1
2	w₁ / abfgh : (1 − e(a,a)) + (1 − e(b,b)) = 0 + 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1 w₁ / abxyz : (1 − e(a,a)) + (1 − e(b,b)) = 0 + 0 = 0 ; χ_{0}(0) = 1	1 · 1 = 1
3	w₁ / abfgh : (1 − e(a,a)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(c,f)) = 0 + 0 + 1 = 1 ; χ_{0}(1) = 0 w₁ / abxyz : (1 − e(a,a)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(c,x)) = 0 + 0 + 1 = 1 ; χ_{0}(1) = 0	0 · 0 = 0
4	w₁ / abfgh : (1 − e(a,a)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(c,f)) + (1 − e(d,g)) = 0 + 0 + 1 + 1 = 2 ; χ_{0}(2) = 0 w₁ / abxyz : (1 − e(a,a)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(c,x)) + (1 − e(d,y)) = 0 + 0 + 1 + 1 = 2 ; χ_{0}(2) = 0	0 · 0 = 0
5	w₁ / abfgh : (1 − e(a,a)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(c,f)) + (1 − e(d,g)) + (1 − e(e,h)) = 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 3 ; χ_{0}(3) = 0 w₁ / abxyz : (1 − e(a,a)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(c,x)) + (1 − e(d,y)) + (1 − e(e,z)) = 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 3 ; χ_{0}(3) = 0	0 · 0 = 0

Σ_k=1^L A(d, k) = 1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 2.

Exemple 3 : d = chat · maison · rivière

n = 3 facteurs, de longueurs 4, 6, 7 ; L = min |w_i| = 4. Pour chaque k, on compare les k premières lettres de chaque w_i (i ≥ 2) à celles de w₁ = chat.

k	δ_k(w₁, w_i) = Σ_r=1^k (1 − e(w₁[r], w_i[r])) et χ_{0}(δ_k)	A(d, k) = ∏_i=2ⁿ χ_{0}(δ_k)
1	w₁ / maison : (1 − e(c,m)) = 1 = 1 ; χ_{0}(1) = 0 w₁ / rivière : (1 − e(c,r)) = 1 = 1 ; χ_{0}(1) = 0	0 · 0 = 0
2	w₁ / maison : (1 − e(c,m)) + (1 − e(h,a)) = 1 + 1 = 2 ; χ_{0}(2) = 0 w₁ / rivière : (1 − e(c,r)) + (1 − e(h,i)) = 1 + 1 = 2 ; χ_{0}(2) = 0	0 · 0 = 0
3	w₁ / maison : (1 − e(c,m)) + (1 − e(h,a)) + (1 − e(a,i)) = 1 + 1 + 1 = 3 ; χ_{0}(3) = 0 w₁ / rivière : (1 − e(c,r)) + (1 − e(h,i)) + (1 − e(a,v)) = 1 + 1 + 1 = 3 ; χ_{0}(3) = 0	0 · 0 = 0
4	w₁ / maison : (1 − e(c,m)) + (1 − e(h,a)) + (1 − e(a,i)) + (1 − e(t,s)) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ; χ_{0}(4) = 0 w₁ / rivière : (1 − e(c,r)) + (1 − e(h,i)) + (1 − e(a,v)) + (1 − e(t,i)) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ; χ_{0}(4) = 0	0 · 0 = 0

Σ_k=1^L A(d, k) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Les valeurs 3, 2 et 0 sont exactes pour ces découpages : la somme s’arrête au premier k où un facteur diffère de w₁, et toutes les valeurs suivantes de A(d, k) sont nulles.

3. Le maximum sur tous les découpages

Un mot de longueur n a n − 1 places de coupure, donc |D(w)| = 2ⁿ⁻¹ − 1 découpages en au moins deux facteurs : pour prévenirpréjugerpréserver (n = 25), 2²⁴ − 1 = 16 777 215. On n’a pourtant pas à les énumérer, car deux facteurs suffisent.

Si un découpage (w₁, …, w_n) a un préfixe commun de longueur k, le découpage en deux facteurs w₁ · (w₂ ⋯ w_n) l’a aussi : w₂ ⋯ w_n commence par w₂, donc par le même préfixe, et il est au moins aussi long que w₂. Ajouter des coupures ne peut qu’ajouter des contraintes. Le maximum est donc atteint par une seule coupure, placée avant une position j :

λ(j) = Σ_{k ≥ 1} ∏_r=1^k e( w[r], w[j+r−1] ), Anap(w) = max_{2 ≤ j ≤ n} min( λ(j), j − 1, n − j + 1 ).

λ(j) est la longueur du plus long préfixe commun à w et à w[j..n] ; j − 1 et n − j + 1 sont les longueurs des deux facteurs, qui bornent ce préfixe. Les tableaux suivants donnent le calcul pour les trois mots concaténés ; les lignes où λ(j) = 0 (w[j] ≠ w[1]) sont omises, leur minimum valant 0.

w = prévenirpréjugerpréserver (n = 25)

j	w[j]	e(w[r], w[j+r−1]) pour r = 1, 2, … jusqu’au premier 0	λ(j)	j − 1	n − j + 1	min
9	p	1 · 1 · 1 · 0	3	8	17	3
17	p	1 · 1 · 1 · 0	3	16	9	3

Anap(prévenirpréjugerpréserver) = 3, découpage optimal : prévenir · préjugerpréserver.

w = abcdeabfghabxyz (n = 15)

j	w[j]	e(w[r], w[j+r−1]) pour r = 1, 2, … jusqu’au premier 0	λ(j)	j − 1	n − j + 1	min
6	a	1 · 1 · 0	2	5	10	2
11	a	1 · 1 · 0	2	10	5	2

Anap(abcdeabfghabxyz) = 2, découpage optimal : abcde · abfghabxyz.

w = chatmaisonrivière (n = 17)

Aucune position j ≥ 2 ne porte la lettre w[1] : λ(j) = 0 pour tout j.

Anap(chatmaisonrivière) = 0, découpage optimal : aucun.

Le maximum retrouve 3, 2 et 0, mais avec deux facteurs seulement : la triple répétition de « pré » n’apporte rien à la valeur. La formule mesure le plus long préfixe de w qui réapparaît plus loin dans w.

4. Faux positifs : un seul mot, aucune anaphore

Comme la coupure est libre, elle peut tomber au milieu d’un mot. Les mots suivants n’ont qu’un seul segment au sens du texte ; ils reçoivent pourtant une valeur positive.

w = anana

j	w[j]	e(w[r], w[j+r−1]) pour r = 1, 2, … jusqu’au premier 0	λ(j)	j − 1	n − j + 1	min
2	n	0	0	1	4	0
3	a	1 · 1 · 1	3	2	3	2
4	n	0	0	3	2	0
5	a	1	1	4	1	1

Anap(anana) = 2, découpage optimal : an · ana.

w = papa

j	w[j]	e(w[r], w[j+r−1]) pour r = 1, 2, … jusqu’au premier 0	λ(j)	j − 1	n − j + 1	min
2	a	0	0	1	3	0
3	p	1 · 1	2	2	2	2
4	a	0	0	3	1	0

Anap(papa) = 2, découpage optimal : pa · pa.

w = abracadabra

j	w[j]	e(w[r], w[j+r−1]) pour r = 1, 2, … jusqu’au premier 0	λ(j)	j − 1	n − j + 1	min
2	b	0	0	1	10	0
3	r	0	0	2	9	0
4	a	1 · 0	1	3	8	1
5	c	0	0	4	7	0
6	a	1 · 0	1	5	6	1
7	d	0	0	6	5	0
8	a	1 · 1 · 1 · 1	4	7	4	4
9	b	0	0	8	3	0
10	r	0	0	9	2	0
11	a	1	1	10	1	1

Anap(abracadabra) = 4, découpage optimal : abracad · abra.

w = banane

j	w[j]	j − 1	n − j + 1
2	a	1	5
3	n	2	4
4	a	3	3
5	n	4	2
6	e	5	1

Anap(banane) = 0, découpage optimal : aucun.

Anap(abracadabra) = 4 par la coupure abracad · abra, et χ_[1,+∞)(Anap) = 1 pour anana, papa et abracadabra : la décision « une anaphore existe » est vraie pour tout mot dont la première lettre réapparaît, pourvu que les longueurs le permettent. L’anaphore exige au contraire que les segments soient donnés par le texte et non choisis pour maximiser la mesure.

Pour prévenirpréjugerpréserver et abracadabra, la valeur min(λ(j), j − 1, n − j + 1) à chaque coupure j ; le maximum (rouge) est Anap.

5. Formule sur les segments donnés par le texte

Le texte fixe les segments s₁, …, s_n (vers, ou propositions délimitées par la ponctuation) et les découpe en tokens t_i,1, t_i,2, … ; f_i = t_i,1 est le mot d’ouverture du segment i. On pose, pour i ≥ 2 :

a_i = e(f_i, f_i−1), Anaph(u) = Σ_i=2ⁿ a_i, R(i) = a_i · (R(i − 1) + 1), R(1) = 0,

λ_i = Σ_{k ≥ 1} ∏_r=1^k e(t_i,r, t_i−1,r), N(f) = Σ_i=1ⁿ e(f_i, f), Rep(u) = max_f N(f) / n.

a_i dit si le segment i s’ouvre comme le précédent ; Anaph compte ces reprises ; R(i) est la longueur de la série de reprises consécutives qui se termine en i, et max R + 1 le nombre de segments de la plus longue série ; λ_i est la longueur, en tokens, de l’ouverture commune à deux segments voisins ; Rep est la part des segments qui s’ouvrent par le mot d’ouverture le plus fréquent. La décision est

AnaphR(u) = χ_[1,+∞)( Anaph(u) ), longueur de la série max_i R(i) + 1, portée Rep(u).

Les quatre textes suivants sont découpés en vers ou en propositions ; les tokens sont mis en minuscules, l’apostrophe reste attachée au mot élidé (j’, l’, qu’).

Corneille, Horace (IV, 5)

i	segment s_i	tokens	f_i	a_i	R(i)	λ_i
1	Rome, l’unique objet de mon ressentiment !	rome · l’ · unique · objet · de · mon …	rome	—	0	—
2	Rome, à qui vient ton bras d’immoler mon amant !	rome · à · qui · vient · ton · bras …	rome	e(rome, rome) = 1	1 · (0 + 1) = 1	1
3	Rome qui t’a vu naître, et que ton cœur adore !	rome · qui · t’ · a · vu · naître …	rome	e(rome, rome) = 1	1 · (1 + 1) = 2	1
4	Rome enfin que je hais parce qu’elle t’honore !	rome · enfin · que · je · hais · parce …	rome	e(rome, rome) = 1	1 · (2 + 1) = 3	1

Anaph = 1 + 1 + 1 = 3, série la plus longue = 4 segments, N(rome) = 4, Rep = 4/4 = 1, AnaphR = χ_[1,+∞)(3) = 1.

Péguy, Ève

i	segment s_i	tokens	f_i	a_i	R(i)	λ_i
1	Heureux ceux qui sont morts pour la terre charnelle,	heureux · ceux · qui · sont · morts · pour …	heureux	—	0	—
2	Mais pourvu que ce fût dans une juste guerre.	mais · pourvu · que · ce · fût · dans …	mais	e(mais, heureux) = 0	0 · (0 + 1) = 0	0
3	Heureux ceux qui sont morts pour quatre coins de terre.	heureux · ceux · qui · sont · morts · pour …	heureux	e(heureux, mais) = 0	0 · (0 + 1) = 0	0
4	Heureux ceux qui sont morts d’une mort solennelle.	heureux · ceux · qui · sont · morts · d’ …	heureux	e(heureux, heureux) = 1	1 · (0 + 1) = 1	5

Anaph = 0 + 0 + 1 = 1, série la plus longue = 2 segments, N(heureux) = 3, Rep = 3/4 = 0,75, AnaphR = χ_[1,+∞)(1) = 1.

Phrase à trois membres

i	segment s_i	tokens	f_i	a_i	R(i)	λ_i
1	Je suis venu,	je · suis · venu	je	—	0	—
2	j’ai vu,	j’ · ai · vu	j’	e(j’, je) = 0	0 · (0 + 1) = 0	0
3	j’ai vaincu.	j’ · ai · vaincu	j’	e(j’, j’) = 1	1 · (0 + 1) = 1	2

Anaph = 0 + 1 = 1, série la plus longue = 2 segments, N(j’) = 2, Rep = 2/3 = 0,67, AnaphR = χ_[1,+∞)(1) = 1.

Exemple 1 en phrase

i	segment s_i	tokens	f_i	a_i	R(i)	λ_i
1	Prévenir,	prévenir	prévenir	—	0	—
2	préjuger,	préjuger	préjuger	e(préjuger, prévenir) = 0	0 · (0 + 1) = 0	0
3	préserver.	préserver	préserver	e(préserver, préjuger) = 0	0 · (0 + 1) = 0	0

Anaph = 0 + 0 = 0, série la plus longue = 1 segments, N(prévenir) = 1, Rep = 1/3 = 0,33, AnaphR = χ_[1,+∞)(0) = 0.

Corneille donne la série complète : quatre vers ouverts par « Rome », Anaph = 3, Rep = 1. Chez Péguy, le vers 2 (« Mais… ») interrompt la série : Anaph = 1 mais Rep = 3/4, et λ₄ = 5 mesure l’ouverture commune « heureux ceux qui sont morts ». Dans « Je suis venu, j’ai vu, j’ai vaincu », e(j’, je) = 0 : la forme élidée compte comme un autre token, et seule la reprise « j’ai » est retenue (λ₃ = 2). Enfin « Prévenir, préjuger, préserver » n’a aucune reprise de mot : le préfixe commun « pré » est une répétition à l’intérieur des mots, que la formule par lettres comptait comme anaphore.

Mots d’ouverture des segments chez Corneille et chez Péguy : une case colorée marque a_i = 1 (même ouverture que le segment précédent) ; le nombre est λ_i.

Tableau récapitulatif

N°	mot w	Anap(w), maximum sur les coupures	découpage optimal
1	prévenirpréjugerpréserver	3	prévenir · préjugerpréserver
2	abcdeabfghabxyz	2	abcde · abfghabxyz
3	chatmaisonrivière	0	aucun
4	anana	2	an · ana
5	papa	2	pa · pa
6	abracadabra	4	abracad · abra
7	banane	0	aucun

N°	texte	Anaph	plus longue série	ouverture la plus fréquente	AnaphR
1	Corneille, Horace (IV, 5)	3	4	rome (4/4)	1
2	Péguy, Ève	1	2	heureux (3/4)	1
3	Phrase à trois membres	1	2	j’ (2/3)	1
4	Exemple 1 en phrase	0	1	prévenir (1/3)	0

Sur un découpage fixé, A(d, k) et la somme Σ_k A(d, k) calculent exactement la longueur du préfixe commun. Le maximum sur tous les découpages se réduit à une seule coupure et mesure le plus long préfixe de w qui réapparaît dans w, ce qui donne une valeur positive à des mots isolés comme abracadabra. Pour l’anaphore, les segments doivent être ceux du texte, et la comparaison porte sur les mots d’ouverture : Anaph compte les reprises, R leur enchaînement, λ_i la longueur de l’ouverture répétée, Rep sa portée.

12. Anastrophe – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anastrophe (du grec anastrophe, « retournement ») est l’inversion de l’ordre naturel des mots dans une phrase ou une proposition. Elle sert à mettre en emphase un élément déplacé ou à créer un effet de rythme ou de solennité.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à inversion anastrophique (ou anastrophe reverse).

Justification du lien

L’anastrophe consiste à inverser l’ordre habituel des éléments. En combinatoire des mots, cela correspond au renversement local d’un facteur.

Définition mathématique

Soit w = a₁a₂ … a_n un mot sur un alphabet Σ. Une anastrophe de longueur k est une inversion locale d’un facteur de longueur k qui produit un nouveau mot w′ dont l’ordre des lettres est modifié par rapport à l’ordre « naturel ». Formellement, il existe un facteur u de longueur k tel que :

w = x u y et w′ = x u^R y où u^R désigne le renversement de u.

Expression formelle computable

Pour un mot w, le nombre de positions d’anastrophe peut être défini comme :

Anast(w) = |{i | ∃ k ≥ 2, w[i … i + k − 1] ≠ (w[i … i + k − 1])^R}|

Une valeur Anast(w) ≥ 1 indique la présence d’au moins une inversion non triviale.

Anastrophe : palindromes et inversions

Anastrophe : facteurs non palindromiques et inversion de l’ordre

1. La formule proposée

L’anastrophe est le renversement de l’ordre habituel de deux mots voisins (« une noire forêt » pour « une forêt noire »). La formule proposée la cherche dans un mot w de longueur n en comparant chaque facteur u_i,k = w[i..i+k−1] (k ≥ 2) à son renversement u_i,k^R, lu de droite à gauche. Le nombre de positions où u et u^R diffèrent est

D(i, k) = Σ_r=1^k (1 − e( u_i,k[r], u_i,k[k − r + 1] )), e(x, y) = 1 si x = y, 0 sinon ; D(i, k) = 0 exactement quand u_i,k est un palindrome. On pose ensuite A(i) = χ_[1,+∞)( Σ_k=2ⁿ⁻ⁱ⁺¹ χ_[1,+∞)(D(i, k)) ), Anast(w) = Σ_i=1ⁿ⁻¹ A(i), décision χ_[1,+∞)(Anast(w)).

A(i) vaut 1 lorsqu’au moins un facteur commençant en i n’est pas un palindrome. Chaque désaccord est compté deux fois dans D(i, k), en r et en k − r + 1 : D est pair, ce qui ne change pas l’indicatrice.

2. Les trois exemples, toutes longueurs comprises

Pour chaque position i, toutes les longueurs k de 2 à n − i + 1 sont calculées ; chaque terme compare une lettre à la lettre symétrique.

Exemple 1 : w = abcd, n = 4

i	k	u_i,k	u_i,k^R	D(i, k) = Σ_r (1 − e(u[r], u[k − r + 1]))	χ_[1,+∞)(D(i, k))
1	2	ab	ba	(1 − e(a,b)) + (1 − e(b,a)) = 1 + 1 = 2	1
1	3	abc	cba	(1 − e(a,c)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(c,a)) = 1 + 0 + 1 = 2	1
1	4	abcd	dcba	(1 − e(a,d)) + (1 − e(b,c)) + (1 − e(c,b)) + (1 − e(d,a)) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4	1
2	2	bc	cb	(1 − e(b,c)) + (1 − e(c,b)) = 1 + 1 = 2	1
2	3	bcd	dcb	(1 − e(b,d)) + (1 − e(c,c)) + (1 − e(d,b)) = 1 + 0 + 1 = 2	1
3	2	cd	dc	(1 − e(c,d)) + (1 − e(d,c)) = 1 + 1 = 2	1

i	Σ_k χ_[1,+∞)(D(i, k))	A(i)
1	3	1
2	2	1
3	1	1

Anast(abcd) = 1 + 1 + 1 = 3, χ_[1,+∞)(Anast) = 1.

Exemple 2 : w = abba, n = 4

i	k	u_i,k	u_i,k^R	D(i, k) = Σ_r (1 − e(u[r], u[k − r + 1]))	χ_[1,+∞)(D(i, k))
1	2	ab	ba	(1 − e(a,b)) + (1 − e(b,a)) = 1 + 1 = 2	1
1	3	abb	bba	(1 − e(a,b)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(b,a)) = 1 + 0 + 1 = 2	1
1	4	abba	abba	(1 − e(a,a)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(a,a)) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0	0
2	2	bb	bb	(1 − e(b,b)) + (1 − e(b,b)) = 0 + 0 = 0	0
2	3	bba	abb	(1 − e(b,a)) + (1 − e(b,b)) + (1 − e(a,b)) = 1 + 0 + 1 = 2	1
3	2	ba	ab	(1 − e(b,a)) + (1 − e(a,b)) = 1 + 1 = 2	1

i	Σ_k χ_[1,+∞)(D(i, k))	A(i)
1	2	1
2	1	1
3	1	1

Anast(abba) = 1 + 1 + 1 = 3, χ_[1,+∞)(Anast) = 1.

Exemple 3 : w = aaaa, n = 4

i	k	u_i,k	u_i,k^R	D(i, k) = Σ_r (1 − e(u[r], u[k − r + 1]))
1	2	aa	aa	(1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) = 0 + 0 = 0
1	3	aaa	aaa	(1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) = 0 + 0 + 0 = 0
1	4	aaaa	aaaa	(1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
2	2	aa	aa	(1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) = 0 + 0 = 0
2	3	aaa	aaa	(1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) = 0 + 0 + 0 = 0
3	2	aa	aa	(1 − e(a,a)) + (1 − e(a,a)) = 0 + 0 = 0

i	Σ_k χ_[1,+∞)(D(i, k))	A(i)
1	0	0
2	0	0
3	0	0

Anast(aaaa) = 0 + 0 + 0 = 0, χ_[1,+∞)(Anast) = 0.

Les valeurs 3, 3 et 0 sont exactes. Dans abba, la position 2 ne devient positive qu’à k = 3, puisque bb est un palindrome ; dans aaaa, tous les facteurs sont des palindromes.

Pour abba, aaaa et radar : χ_[1,+∞)(D(i, k)) pour chaque position i (ligne) et longueur k (colonne) ; A(i) est 1 dès qu’une case de la ligne est pleine.

3. Ce que compte réellement Anast

Si tous les facteurs commençant en i sont des palindromes, celui de longueur 2 donne w[i] = w[i+1], celui de longueur 3 donne w[i] = w[i+2], et ainsi de suite jusqu’à w[i] = w[n] : le suffixe w[i..n] est formé d’une seule lettre. Réciproquement, un suffixe constant n’a que des facteurs palindromes. Donc

A(i) = χ_[1,+∞)( Σ_j=i+1ⁿ (1 − e(w[i], w[j])) ) = 1 − χ( w[i..n] est constant ), et, en notant ρ(w) la longueur du dernier bloc de lettres identiques de w (ρ(w) = Σ_i=1ⁿ ∏_j=iⁿ e(w[j], w[n])), Anast(w) = n − ρ(w).

Le tableau vérifie cette égalité sur plusieurs mots.

N°	w	n	Anast(w) par la formule	ρ(w)	n − ρ(w)
1	abcd	4	3	1	4 − 1 = 3
2	abba	4	3	1	4 − 1 = 3
3	aaaa	4	0	4	4 − 4 = 0
4	abab	4	3	1	4 − 1 = 3
5	aabb	4	2	2	4 − 2 = 2
6	baaa	4	1	3	4 − 3 = 1
7	radar	5	4	1	5 − 1 = 4

La valeur ne dépend que de la longueur et du dernier bloc : abcd, abba et abab reçoivent tous 3 ; le palindrome radar reçoit la valeur maximale 4 = n − 1, alors qu’il se lit de la même façon dans les deux sens. La mesure ne repère ni un renversement ni un ordre inhabituel.

4. L’anastrophe suppose un ordre de référence

Une inversion n’existe que par rapport à un ordre attendu. Appliquée aux tokens d’une phrase dont les mots sont distincts, la formule donne toujours m − 1 (m = nombre de tokens) : Anast(le chat dort) = 2, comme Anast(ainsi parlait zarathoustra) = 2, alors que la première phrase suit l’ordre habituel. La comparaison doit donc porter sur deux suites : l’ordre du texte t₁ ⋯ t_m et l’ordre canonique c₁ ⋯ c_m des mêmes mots.

5. Formule par inversions

Le rang canonique du i-ème mot du texte est lu par indicatrices d’égalité (mots distincts) :

π(i) = Σ_j=1^m j · e(t_i, c_j), contrôle Σ_j e(t_i, c_j) = 1.

Une paire de positions i < j est inversée lorsque le mot placé avant devrait venir après :

Inv = Σ_{1 ≤ i < j ≤ m} χ_(0,+∞)( π(i) − π(j) ), Adj = Σ_i=1^m−1 χ_(0,+∞)( π(i) − π(i+1) ), K = Inv / (m(m − 1)/2).

Inv compte les paires inversées, Adj les inversions entre voisins, K ∈ [0, 1] est la part des paires inversées (K = 1 pour un renversement complet). L’anastrophe au sens strict est l’échange de deux voisins, et rien d’autre :

AnaS = χ_{1}( Inv ), présence d’inversion χ_[1,+∞)( Inv ).

Phrase 1 : « une noire forêt », ordre canonique « une forêt noire »

i	t_i	π(i) = Σ_j j · e(t_i, c_j)
1	une	1·1 + 2·0 + 3·0 = 1
2	noire	1·0 + 2·0 + 3·1 = 3
3	forêt	1·0 + 2·1 + 3·0 = 2

N°	(i, j)	π(i), π(j)	χ_(0,+∞)(π(i) − π(j))	voisins
1	(1, 2)	1, 3	0	oui
2	(1, 3)	1, 2	0
3	(2, 3)	3, 2	1	oui

Inv = 0 + 0 + 1 = 1, Adj = 1, K = 1/3 = 0,33, AnaS = χ_{1}(1) = 1, Anast(tokens) = 2.

Phrase 2 : « Grande fut ma surprise », ordre canonique « Ma surprise fut grande »

i	t_i	π(i) = Σ_j j · e(t_i, c_j)
1	grande	1·0 + 2·0 + 3·0 + 4·1 = 4
2	fut	1·0 + 2·0 + 3·1 + 4·0 = 3
3	ma	1·1 + 2·0 + 3·0 + 4·0 = 1
4	surprise	1·0 + 2·1 + 3·0 + 4·0 = 2

N°	(i, j)	π(i), π(j)	χ_(0,+∞)(π(i) − π(j))	voisins
1	(1, 2)	4, 3	1	oui
2	(1, 3)	4, 1	1
3	(1, 4)	4, 2	1
4	(2, 3)	3, 1	1	oui
5	(2, 4)	3, 2	1
6	(3, 4)	1, 2	0	oui

Inv = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 5, Adj = 2, K = 5/6 = 0,83, AnaS = χ_{1}(5) = 0, Anast(tokens) = 3.

Phrase 3 : « Ainsi parlait Zarathoustra », ordre canonique « Zarathoustra parlait ainsi »

i	t_i	π(i) = Σ_j j · e(t_i, c_j)
1	ainsi	1·0 + 2·0 + 3·1 = 3
2	parlait	1·0 + 2·1 + 3·0 = 2
3	zarathoustra	1·1 + 2·0 + 3·0 = 1

N°	(i, j)	π(i), π(j)	χ_(0,+∞)(π(i) − π(j))	voisins
1	(1, 2)	3, 2	1	oui
2	(1, 3)	3, 1	1
3	(2, 3)	2, 1	1	oui

Inv = 1 + 1 + 1 = 3, Adj = 2, K = 3/3 = 1, AnaS = χ_{1}(3) = 0, Anast(tokens) = 2.

Phrase 4 : « Le chat dort », ordre canonique « Le chat dort »

i	t_i	π(i) = Σ_j j · e(t_i, c_j)
1	le	1·1 + 2·0 + 3·0 = 1
2	chat	1·0 + 2·1 + 3·0 = 2
3	dort	1·0 + 2·0 + 3·1 = 3

N°	(i, j)	π(i), π(j)	voisins
1	(1, 2)	1, 2	oui
2	(1, 3)	1, 3
3	(2, 3)	2, 3	oui

Inv = 0 + 0 + 0 = 0, Adj = 0, K = 0/3 = 0, AnaS = χ_{1}(0) = 0, Anast(tokens) = 2.

« une noire forêt » est une anastrophe stricte : une seule paire inversée, entre voisins. « Grande fut ma surprise » et « Ainsi parlait Zarathoustra » renversent davantage l’ordre (Inv = 5 et 3, K = 5/6 et 1) : ce sont des inversions plus larges que l’échange de deux voisins. « Le chat dort » n’a aucune inversion, alors que la formule par palindromes lui donnait 2.

Pour chaque phrase, liaison entre la position d’un mot dans le texte (haut) et sa position canonique (bas) : chaque croisement de deux liaisons est une paire inversée, et leur nombre est Inv.

Tableau récapitulatif

N°	texte	ordre canonique	π	Inv	Adj	K	AnaS	Anast (palindromes)
1	une noire forêt	une forêt noire	1, 3, 2	1	1	0,33	1	2
2	Grande fut ma surprise	Ma surprise fut grande	4, 3, 1, 2	5	2	0,83	0	3
3	Ainsi parlait Zarathoustra	Zarathoustra parlait ainsi	3, 2, 1	3	2	1	0	2
4	Le chat dort	Le chat dort	1, 2, 3	0	0	0	0	2

Sur un mot, la formule par facteurs non palindromiques est calculable et vaut n − ρ(w) : elle ne dépend que de la longueur du mot et de son dernier bloc de lettres, et donne même sa valeur maximale à un palindrome. L’anastrophe est une inversion par rapport à un ordre attendu : les rangs canoniques π(i), lus par indicatrices d’égalité, et les indicatrices χ_(0,+∞)(π(i) − π(j)) en donnent le nombre Inv, sa part K et la décision stricte AnaS = χ_{1}(Inv).

13. Anecdote – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anecdote est un récit bref d’un événement intéressant, amusant ou biographique. Elle sert à illustrer un propos, à humaniser un argument ou à créer un effet de pathos.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à sous-mot narratif (ou anecdote factor).

Justification du lien

L’anecdote est un récit bref et unique qui illustre un propos plus large. En combinatoire des mots, cela correspond à un facteur qui n’apparaît qu’une seule fois dans le mot, et qui est donc « isolé » comme une unité narrative.

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. Une anecdote de longueur k est un facteur u de w de longueur k qui apparaît une seule fois et qui est entouré de facteurs plus longs qui le contextualisent. Formellement, u est un facteur isolé :

w = x u y avec |u| = k, m(u) = 1

où m(u) désigne la multiplicité de u dans w.

Expression formelle computable

Pour un mot w, le nombre d’anecdotes possibles peut être défini comme :

Anec(w) = |{u ∈ Fact(w) | m(u) = 1 et |u| ≥ 2}|

Une valeur Anec(w) ≥ 1 indique la présence d’au moins un facteur unique susceptible de servir de récit bref.

Anecdote : facteurs uniques et détail singulier

Anecdote : facteurs uniques, détail singulier et récit

1. La formule proposée

L’anecdote est le récit bref d’un fait particulier, d’un détail singulier. La formule proposée en retient le caractère unique : dans un mot w, un facteur qui n’apparaît qu’une fois est un « détail » qui ne se répète pas. La multiplicité d’un facteur u est le nombre de fenêtres de w égales à u :

m_w(u) = Σ_i=1^|w|−|u|+1 χ_{u}( w[i..i+|u|−1] ), χ_{u}(v) = ∏_r e(v[r], u[r]), et l’on compte les facteurs distincts de longueur au moins 2 qui n’apparaissent qu’une fois :

A(u) = χ_{1}( m_w(u) ) · χ_[2,+∞)( |u| ), Anec(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} A(u), décision χ_[1,+∞)(Anec(w)).

2. Le calcul, fenêtre par fenêtre

Le tableau parcourt tous les facteurs w[i..i+k−1], k ≥ 2, avec leur position i. Un facteur répété apparaît sur plusieurs lignes ; l’indicatrice de première occurrence φ = χ_{0}(Σ_{i′ < i} e(w[i′..i′+k−1], w[i..i+k−1])) ne garde que la première, pour compter les facteurs distincts. Pour A, cette précaution est inutile : un facteur de multiplicité 1 n’occupe qu’une ligne, donc la somme de A sur toutes les lignes est déjà la somme sur les facteurs distincts.

Exemple 1 : w = ababa, n = 5

N°	i	k = \|u\|	u = w[i..i+k−1]	m_w(u) = Σ_j χ_{u}(w[j..j+k−1])	φ (première occurrence)	A(u)
1	1	2	ab	χ_{ab}(ab) + χ_{ab}(ba) + χ_{ab}(ab) + χ_{ab}(ba) = 1 + 0 + 1 + 0 = 2	1	χ_{1}(2) · χ_[2,+∞)(2) = 0
2	2	2	ba	χ_{ba}(ab) + χ_{ba}(ba) + χ_{ba}(ab) + χ_{ba}(ba) = 0 + 1 + 0 + 1 = 2	1	χ_{1}(2) · χ_[2,+∞)(2) = 0
3	3	2	ab	χ_{ab}(ab) + χ_{ab}(ba) + χ_{ab}(ab) + χ_{ab}(ba) = 1 + 0 + 1 + 0 = 2	0	χ_{1}(2) · χ_[2,+∞)(2) = 0
4	4	2	ba	χ_{ba}(ab) + χ_{ba}(ba) + χ_{ba}(ab) + χ_{ba}(ba) = 0 + 1 + 0 + 1 = 2	0	χ_{1}(2) · χ_[2,+∞)(2) = 0
5	1	3	aba	χ_{aba}(aba) + χ_{aba}(bab) + χ_{aba}(aba) = 1 + 0 + 1 = 2	1	χ_{1}(2) · χ_[2,+∞)(3) = 0
6	2	3	bab	χ_{bab}(aba) + χ_{bab}(bab) + χ_{bab}(aba) = 0 + 1 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(3) = 1
7	3	3	aba	χ_{aba}(aba) + χ_{aba}(bab) + χ_{aba}(aba) = 1 + 0 + 1 = 2	0	χ_{1}(2) · χ_[2,+∞)(3) = 0
8	1	4	abab	χ_{abab}(abab) + χ_{abab}(baba) = 1 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(4) = 1
9	2	4	baba	χ_{baba}(abab) + χ_{baba}(baba) = 0 + 1 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(4) = 1
10	1	5	ababa	χ_{ababa}(ababa) = 1 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(5) = 1

Anec(ababa) = Σ A(u) = 4, |Fact≥2(ababa)| = Σ φ = 7, ν = 4/7 = 0,57.

Exemple 2 : w = aaaa, n = 4

N°	i	k = \|u\|	u = w[i..i+k−1]	m_w(u) = Σ_j χ_{u}(w[j..j+k−1])	φ (première occurrence)	A(u)
1	1	2	aa	χ_{aa}(aa) + χ_{aa}(aa) + χ_{aa}(aa) = 1 + 1 + 1 = 3	1	χ_{1}(3) · χ_[2,+∞)(2) = 0
2	2	2	aa	χ_{aa}(aa) + χ_{aa}(aa) + χ_{aa}(aa) = 1 + 1 + 1 = 3	0	χ_{1}(3) · χ_[2,+∞)(2) = 0
3	3	2	aa	χ_{aa}(aa) + χ_{aa}(aa) + χ_{aa}(aa) = 1 + 1 + 1 = 3	0	χ_{1}(3) · χ_[2,+∞)(2) = 0
4	1	3	aaa	χ_{aaa}(aaa) + χ_{aaa}(aaa) = 1 + 1 = 2	1	χ_{1}(2) · χ_[2,+∞)(3) = 0
5	2	3	aaa	χ_{aaa}(aaa) + χ_{aaa}(aaa) = 1 + 1 = 2	0	χ_{1}(2) · χ_[2,+∞)(3) = 0
6	1	4	aaaa	χ_{aaaa}(aaaa) = 1 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(4) = 1

Anec(aaaa) = Σ A(u) = 1, |Fact≥2(aaaa)| = Σ φ = 3, ν = 1/3 = 0,33.

Exemple 3 : w = abcdef, n = 6

N°	i	k = \|u\|	u = w[i..i+k−1]	m_w(u) = Σ_j χ_{u}(w[j..j+k−1])	φ (première occurrence)	A(u)
1	1	2	ab	χ_{ab}(ab) + χ_{ab}(bc) + χ_{ab}(cd) + χ_{ab}(de) + χ_{ab}(ef) = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(2) = 1
2	2	2	bc	χ_{bc}(ab) + χ_{bc}(bc) + χ_{bc}(cd) + χ_{bc}(de) + χ_{bc}(ef) = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(2) = 1
3	3	2	cd	χ_{cd}(ab) + χ_{cd}(bc) + χ_{cd}(cd) + χ_{cd}(de) + χ_{cd}(ef) = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(2) = 1
4	4	2	de	χ_{de}(ab) + χ_{de}(bc) + χ_{de}(cd) + χ_{de}(de) + χ_{de}(ef) = 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(2) = 1
5	5	2	ef	χ_{ef}(ab) + χ_{ef}(bc) + χ_{ef}(cd) + χ_{ef}(de) + χ_{ef}(ef) = 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(2) = 1
6	1	3	abc	χ_{abc}(abc) + χ_{abc}(bcd) + χ_{abc}(cde) + χ_{abc}(def) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(3) = 1
7	2	3	bcd	χ_{bcd}(abc) + χ_{bcd}(bcd) + χ_{bcd}(cde) + χ_{bcd}(def) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(3) = 1
8	3	3	cde	χ_{cde}(abc) + χ_{cde}(bcd) + χ_{cde}(cde) + χ_{cde}(def) = 0 + 0 + 1 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(3) = 1
9	4	3	def	χ_{def}(abc) + χ_{def}(bcd) + χ_{def}(cde) + χ_{def}(def) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(3) = 1
10	1	4	abcd	χ_{abcd}(abcd) + χ_{abcd}(bcde) + χ_{abcd}(cdef) = 1 + 0 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(4) = 1
11	2	4	bcde	χ_{bcde}(abcd) + χ_{bcde}(bcde) + χ_{bcde}(cdef) = 0 + 1 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(4) = 1
12	3	4	cdef	χ_{cdef}(abcd) + χ_{cdef}(bcde) + χ_{cdef}(cdef) = 0 + 0 + 1 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(4) = 1
13	1	5	abcde	χ_{abcde}(abcde) + χ_{abcde}(bcdef) = 1 + 0 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(5) = 1
14	2	5	bcdef	χ_{bcdef}(abcde) + χ_{bcdef}(bcdef) = 0 + 1 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(5) = 1
15	1	6	abcdef	χ_{abcdef}(abcdef) = 1 = 1	1	χ_{1}(1) · χ_[2,+∞)(6) = 1

Anec(abcdef) = Σ A(u) = 15, |Fact≥2(abcdef)| = Σ φ = 15, ν = 15/15 = 1. Les valeurs 4, 1 et 15 sont exactes, de même que le calcul détaillé m_w(bab) = 0 + 1 + 0 = 1.

Pour ababa et aaaa, multiplicité m_w(u) de chaque facteur selon sa position i (colonne) et sa longueur k (ligne) ; les cases vertes sont les facteurs uniques (A = 1).

3. Ce que compte réellement Anec

3.1 Les facteurs uniques sont fermés par prolongement

Si u n’apparaît qu’une fois dans w, tout facteur qui contient u apparaît au plus autant de fois que u, donc une fois. En particulier le mot w lui-même, de multiplicité 1, est toujours compté dès que |w| ≥ 2 :

m_w(w) = 1 ⟹ A(w) = 1 ⟹ Anec(w) ≥ 1 ∴ χ_[1,+∞)(Anec(w)) = 1 pour tout mot de longueur ≥ 2.

La décision proposée est donc constante : aaaa n’est « détecté » que par aaaa lui-même.

3.2 Une valeur close

Pour une position i fixée, la multiplicité de w[i..i+k−1] décroît quand k augmente ; on note h_i la longueur du plus long facteur répété commençant en i :

h_i = Σ_k=1ⁿ⁻ⁱ⁺¹ χ_[2,+∞)( m_w(w[i..i+k−1]) ).

Les facteurs uniques commençant en i sont ceux de longueur k > h_i (et k ≥ 2) : il y en a n − i + 1 − max(h_i, 1). D’où

Anec(w) = Σ_i=1ⁿ ( n − i + 1 − max(h_i, 1) ).

Cette formule ne parcourt plus les facteurs, seulement les positions. Le tableau suivant la vérifie.

N°	w	h₁, …, h_n	Σ_i (n − i + 1 − max(h_i, 1))	Anec(w)	\|Fact≥2(w)\|	ν = Anec / \|Fact≥2\|
1	ababa	3, 2, 3, 2, 1	2 + 2 + 0 + 0 + 0 = 4	4	7	0,57
2	aaaa	3, 3, 2, 1	1 + 0 + 0 + 0 = 1	1	3	0,33
3	abcdef	0, 0, 0, 0, 0, 0	5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15	15	15	1
4	abcabc	3, 2, 1, 3, 2, 1	3 + 3 + 3 + 0 + 0 + 0 = 9	9	12	0,75
5	aa	1, 1	1 + 0 = 1	1	1	1
6	abaababa	3, 2, 1, 3, 2, 3, 2, 1	5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 0 + 0 + 0 = 19	19	22	0,86

3.3 Une valeur qui croît comme le carré de la longueur

Pour un mot sans répétition (toutes les lettres distinctes), h_i = 0 pour tout i, et Anec(w) = Σ_i (n − i) = n(n − 1)/2 : 15 pour abcdef, 45 pour un mot de 10 lettres distinctes. Anec mesure surtout la longueur du mot ; la part ν = Anec(w) / |Fact≥2(w)| ∈ (0, 1] rend les mots comparables : ν(abcdef) = 1, ν(ababa) = 4/7, ν(aaaa) = 1/3.

Anec(w) et |Fact≥2(w)| en fonction de n pour les mots aⁿ, abab… tronqués et les mots à lettres distinctes ; Anec croît comme n(n − 1)/2 sans répétition.

4. Les détails singuliers : facteurs uniques minimaux

Parmi les facteurs uniques, la plupart ne sont uniques que parce qu’ils contiennent un plus petit facteur unique (abab contient bab). Le détail véritablement singulier est un facteur unique minimal : unique, mais dont les deux facteurs obtenus en retirant la première ou la dernière lettre sont répétés. Pour |u| ≥ 2 :

MU(u) = χ_{1}( m_w(u) ) · χ_[2,+∞)( m_w(u[2..|u|]) ) · χ_[2,+∞)( m_w(u[1..|u|−1]) ), et, pour une lettre, MU(x) = χ_{1}(m_w(x)). Le nombre de détails singuliers est Sing(w) = Σ_u MU(u).

w = ababa : facteurs uniques

N°	u	m_w(u)	m_w(u[2..\|u\|])	m_w(u[1..\|u\|−1])	MU(u)
1	bab	1	m(ab) = 2	m(ba) = 2	1 · 1 · 1 = 1
2	abab	1	m(bab) = 1	m(aba) = 2	1 · 0 · 1 = 0
3	baba	1	m(aba) = 2	m(bab) = 1	1 · 1 · 0 = 0
4	ababa	1	m(baba) = 1	m(abab) = 1	1 · 0 · 0 = 0

Sing(ababa) = 1 : bab.

w = aaaa : facteurs uniques

N°	u	m_w(u)	m_w(u[2..\|u\|])	m_w(u[1..\|u\|−1])	MU(u)
1	aaaa	1	m(aaa) = 2	m(aaa) = 2	1 · 1 · 1 = 1

Sing(aaaa) = 1 : aaaa.

N°	w	Anec(w)	Sing(w)	facteurs uniques minimaux
1	ababa	4	1	bab
2	aaaa	1	1	aaaa
3	abcdef	15	6	a, b, c, d, e, f
4	abcabc	9	1	ca
5	aa	1	1	aa
6	abaababa	19	2	aa, bab

Sing réduit les 15 facteurs uniques de abcdef à ses 6 lettres, et les 4 de ababa au seul bab : c’est le noyau unique dont tous les autres facteurs uniques sont des prolongements.

5. Formule rhétorique : l’ouverture narrative

Le récit d’anecdote s’annonce par des formules d’ouverture (« un jour », « je me souviens », « il était une fois », « l’autre jour »). Pour un marqueur μ = μ₁ ⋯ μ_q et une phrase de tokens t₁ ⋯ t_m, la présence du marqueur à partir de la position j est un produit d’égalités :

O(u) = Σ_{μ ∈ Marq} Σ_j ∏_r=1^|μ| e( t_j+r−1, μ_r ), AnecR(u) = χ_[1,+∞)( O(u) ).

N°	phrase	termes dont le premier facteur vaut 1	O(u)	AnecR(u)
1	Un jour, Diogène se promenait en plein midi avec une lanterne allumée.	« un jour » en j = 1 : 1 · 1 = 1	1	1
2	Je me souviens qu’il pleuvait sur le port ce soir-là.	« je me souviens » en j = 1 : 1 · 1 · 1 = 1 « il était une fois » en j = 5 : 1 · 0 · 0 · 0 = 0	1	1
3	Les factures doivent être réglées sous trente jours.	aucun token égal au premier mot d’un marqueur	0	0
4	Il était une fois un roi qui n’aimait pas les jours de pluie.	« un jour » en j = 5 : 1 · 0 = 0 « il était une fois » en j = 1 : 1 · 1 · 1 · 1 = 1	1	1

La phrase 3 contient « jours » sans marqueur : e(jours, jour) = 0. La phrase 4 contient « une fois » et « jours », mais seul le marqueur complet « il était une fois », dont les quatre égalités valent 1, est compté.

Tableau récapitulatif

N°	w	Anec(w)	\|Fact≥2(w)\|	ν	Sing(w)	χ_[1,+∞)(Anec)
1	ababa	4	7	0,57	1	1
2	aaaa	1	3	0,33	1	1
3	abcdef	15	15	1	6	1
4	abcabc	9	12	0,75	1	1
5	aa	1	1	1	1	1
6	abaababa	19	22	0,86	2	1

La formule est calculable et ses valeurs sont exactes ; chaque multiplicité s’y lit comme une somme d’indicatrices de fenêtres. Mais l’unicité est héréditaire : le mot entier est toujours unique, la décision vaut toujours 1, et Anec(w) = Σ_i (n − i + 1 − max(h_i, 1)) croît comme n(n − 1)/2 en l’absence de répétition. La part ν rend les mots comparables, les facteurs uniques minimaux isolent les détails singuliers, et la forme rhétorique se repère par les marqueurs d’ouverture narrative.

14. Antanaclasis – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’antanaclase (du grec antanaklasis, « réflexion ») est la répétition d’un même mot ou d’une même expression dans une phrase, mais avec un sens différent à chaque occurrence.

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à facteur polyvalent (ou antanaclasis polyvalence).

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. Une antanaclase de longueur k est la répétition d’un facteur u de longueur k dont les occurrences successives sont associées à des interprétations distinctes. Formellement, il existe un facteur u tel que :

w = x₁ u x₂ u x₃ avec |u| = k ≥ 1

et les deux occurrences de u sont sémantiquement non équivalentes.

Expression formelle computable

Pour un mot w, le nombre d’antanaclases peut être défini comme :

Antan(w) = |{u ∈ Fact(w) | m(u) ≥ 2 et les occurrences de u admettent des lectures distinctes}|

Une valeur Antan(w) ≥ 1 indique la présence d’au moins une répétition à sens changeant.

Antanaclase : une forme, deux sens

Antanaclase : une même forme, deux sens

1. La formule proposée

L’antanaclase reprend un même mot avec deux sens différents. La formule proposée compte les facteurs répétés dont les occurrences reçoivent des sens distincts. À chaque occurrence o_i d’un facteur u est associée une étiquette de sens σ(o_i), et :

χ_Diff(o_i, o_j) = 1 − e(σ(o_i), σ(o_j)), Sem(u) = Σ_{1 ≤ i < j ≤ mw(u)} χ_Diff(o_i, o_j), χ_Antan(u) = χ_[2,+∞)(m_w(u)) · χ_[1,+∞)(Sem(u)), Antan(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_Antan(u), Antan_pond(w) = Σ_{u ∈ Fact(w)} Sem(u).

Deux points restent à fixer pour que le calcul soit effectif : sur quelles unités porte Fact(w), et comment σ est obtenu.

2. Rendre les indicatrices calculables

2.1 Les unités : des mots, non des facteurs de lettres

Si Fact(w) désigne les facteurs de lettres, la phrase de Pascal possède 37 facteurs distincts répétés (espaces compris), et les 21 facteurs de raison (r, ra, …, aison, raison) apparaissent tous deux fois, dans raisons et dans raison. Si chaque sous-facteur hérite du sens du mot qui le contient, ces 21 facteurs comptent chacun : Antan(w) ≥ 21, et non 1. De plus vole est un facteur de voleur : m_w(vole) = 3 en lettres, 2 en mots. On travaille donc sur la suite des mots t₁, t₂, …, t_n de la phrase.

2.2 La forme normalisée κ

κ(t) met t en minuscules (Le et le, Nous et nous sont la même forme) puis applique un lexique de formes fléchies : κ(raisons) = raison. Le nombre d’occurrences d’une forme κ est m(κ) = Σ_i=1ⁿ e(κ(t_i), κ).

2.3 Le sens σ, lu dans le contexte

Le sens n’est pas donné : on le calcule par un lexique de contexte Λ qui associe un sens au couple (mot précédent, forme). Si le couple n’est pas dans Λ, la forme n’a qu’un sens.

N°	t_i−1	κ(t_i)	σ = Λ(t_i−1, κ(t_i))
1	ses	raison	motif, justification
2	la	raison	faculté de raisonner
3	pilote	vole	se déplacer dans l’air
4	voleur	vole	dérober

σ_i = Λ(t_i−1, κ(t_i)) si ce couple figure dans Λ, « sens unique » sinon.

2.4 La formule calculable

Sem(κ) = Σ_{1 ≤ i < j ≤ n} e(κ(t_i), κ) · e(κ(t_j), κ) · ( 1 − e(σ_i, σ_j) ), χ_Antan(κ) = χ_[1,+∞)(Sem(κ)), Antan(w) = Σ_{κ ∈ K(w)} χ_Antan(κ), Antan_pond(w) = Σ_{κ ∈ K(w)} Sem(κ), où K(w) est l’ensemble des formes distinctes de la phrase. Le facteur χ_[2,+∞)(m) de la formule proposée est superflu : Sem(κ) ≥ 1 exige une paire d’occurrences, donc m(κ) ≥ 2.

3. Les exemples calculés

Exemple 1 : « Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point. »

N°	t_i	κ(t_i)	t_i−1	σ_i	m(κ(t_i))
1	Le	le	—	sens unique	1
2	cœur	cœur	le	sens unique	1
3	a	a	cœur	sens unique	1
4	ses	ses	a	sens unique	1
5	raisons	raison	ses	motif, justification	2
6	que	que	raisons	sens unique	1
7	la	la	que	sens unique	1
8	raison	raison	la	faculté de raisonner	2
9	ne	ne	raison	sens unique	1
10	connaît	connaît	ne	sens unique	1
11	point	point	connaît	sens unique	1

N°	κ	(i, j)	σ_i	σ_j	1 − e(σ_i, σ_j)
1	raison	(5, 8)	motif, justification	faculté de raisonner	1

κ = raison : m = 2, Sem = 1, χ_Antan = χ_[2,+∞)(2) · χ_[1,+∞)(1) = 1
Antan(w) = 1 ; Antan_pond(w) = 1

Une antanaclase : raison, Sem = 1. L’ordre des sens est inversé dans l’exemple proposé : la première occurrence (ses raisons, t₄) a le sens « motif, justification », la seconde (la raison, t₇) le sens « faculté de raisonner ». La formule donne la même valeur, puisque χ_Diff est symétrique, mais l’étiquetage o₁, o₂ doit suivre l’ordre du texte.

Exemple 2 : « Nous devons tous changer si nous voulons voir le changement. »

N°	t_i	κ(t_i)	t_i−1	σ_i	m(κ(t_i))
1	Nous	nous	—	sens unique	2
2	devons	devons	nous	sens unique	1
3	tous	tous	devons	sens unique	1
4	changer	changer	tous	sens unique	1
5	si	si	changer	sens unique	1
6	nous	nous	si	sens unique	2
7	voulons	voulons	nous	sens unique	1
8	voir	voir	voulons	sens unique	1
9	le	le	voir	sens unique	1
10	changement	changement	le	sens unique	1

N°	κ	(i, j)	σ_i	σ_j	1 − e(σ_i, σ_j)
1	nous	(1, 6)	sens unique	sens unique	0

κ = nous : m = 2, Sem = 0, χ_Antan = χ_[2,+∞)(2) · χ_[1,+∞)(0) = 0
Antan(w) = 0 ; Antan_pond(w) = 0

La forme changement n’apparaît qu’une fois : m(changement) = 1 ∴ Sem(changement) = 0 et χ_Antan(changement) = 0, et non 1. Changer et changement sont deux mots de même racine (une dérivation), non une même forme ; ils ne partagent que le facteur de lettres change. La seule forme répétée est nous (Nous, nous), de même sens. ∴ Antan(w) = 0.

Exemple 3 : « Le roi règne sur son royaume car un roi doit régner. »

N°	t_i	κ(t_i)	t_i−1	σ_i	m(κ(t_i))
1	Le	le	—	sens unique	1
2	roi	roi	le	sens unique	2
3	règne	règne	roi	sens unique	1
4	sur	sur	règne	sens unique	1
5	son	son	sur	sens unique	1
6	royaume	royaume	son	sens unique	1
7	car	car	royaume	sens unique	1
8	un	un	car	sens unique	1
9	roi	roi	un	sens unique	2
10	doit	doit	roi	sens unique	1
11	régner	régner	doit	sens unique	1

N°	κ	(i, j)	σ_i	σ_j	1 − e(σ_i, σ_j)
1	roi	(2, 9)	sens unique	sens unique	0

κ = roi : m = 2, Sem = 0, χ_Antan = χ_[2,+∞)(2) · χ_[1,+∞)(0) = 0
Antan(w) = 0 ; Antan_pond(w) = 0

Résultat exact : roi est répété avec un seul sens, Sem = 0, Antan(w) = 0. Règne et régner sont deux formes distinctes.

Les mots de la phrase de Pascal (Exemple 1) et de la phrase de test 4 ; chaque arc relie deux occurrences d’une même forme, en rouge si les sens diffèrent (1 − e(σ_i, σ_j) = 1), en gris sinon.

L’exemple à plusieurs antanaclases

Aucune phrase n’est donnée : m(raison) = 2, Sem = 1 et m(justice) = 3, Sem = 2 sont supposés. Les valeurs sont cohérentes : avec trois occurrences de sens A, A, B, les paires (1, 2), (1, 3), (2, 3) donnent 0 + 1 + 1 = 2. Antan(w) = 2 et Antan_pond(w) = 3 pour un tel texte.

La version pondérée

La version pondérée est une fonction du texte w : on écrit Antan_pond(w) = Σ_κ Sem(κ), et Sem(raison) = 3 pour un seul facteur, non « Antan_pond(u) ». Sem possède une forme close : si m_κ,s est le nombre d’occurrences de κ portant le sens s,

Sem(κ) = C(m(κ), 2) − Σ_s C(m_κ,s, 2),

toutes les paires moins les paires de même sens. Pour A, B, C : C(3, 2) − 0 = 3 ; pour A, A, B : 3 − 1 = 2.

4. Phrases de test supplémentaires

La phrase 4 est une phrase construite pour ce test ; la phrase 5 est le premier vers de « Le Loup et l’Agneau » de La Fontaine.

Phrase 4 : « Le pilote vole haut tandis que le voleur vole bas. »

N°	t_i	κ(t_i)	t_i−1	σ_i	m(κ(t_i))
1	Le	le	—	sens unique	2
2	pilote	pilote	le	sens unique	1
3	vole	vole	pilote	se déplacer dans l’air	2
4	haut	haut	vole	sens unique	1
5	tandis	tandis	haut	sens unique	1
6	que	que	tandis	sens unique	1
7	le	le	que	sens unique	2
8	voleur	voleur	le	sens unique	1
9	vole	vole	voleur	dérober	2
10	bas	bas	vole	sens unique	1

N°	κ	(i, j)	σ_i	σ_j	1 − e(σ_i, σ_j)
1	le	(1, 7)	sens unique	sens unique	0
2	vole	(3, 9)	se déplacer dans l’air	dérober	1

κ = le : m = 2, Sem = 0, χ_Antan = χ_[2,+∞)(2) · χ_[1,+∞)(0) = 0
κ = vole : m = 2, Sem = 1, χ_Antan = χ_[2,+∞)(2) · χ_[1,+∞)(1) = 1
Antan(w) = 1 ; Antan_pond(w) = 1

vole suit pilote puis voleur : deux sens, Sem(vole) = 1 ∴ une antanaclase, avec une forme identique et non seulement une racine commune. le est répété avec un seul sens.

Phrase 5 : « La raison du plus fort est toujours la meilleure. »

N°	t_i	κ(t_i)	t_i−1	σ_i	m(κ(t_i))
1	La	la	—	sens unique	2
2	raison	raison	la	faculté de raisonner	1
3	du	du	raison	sens unique	1
4	plus	plus	du	sens unique	1
5	fort	fort	plus	sens unique	1
6	est	est	fort	sens unique	1
7	toujours	toujours	est	sens unique	1
8	la	la	toujours	sens unique	2
9	meilleure	meilleure	la	sens unique	1

N°	κ	(i, j)	σ_i	σ_j	1 − e(σ_i, σ_j)
1	la	(1, 8)	sens unique	sens unique	0

κ = la : m = 2, Sem = 0, χ_Antan = χ_[2,+∞)(2) · χ_[1,+∞)(0) = 0
Antan(w) = 0 ; Antan_pond(w) = 0

raison n’apparaît qu’une fois ; la est répété avec un seul sens (article) ∴ Antan(w) = 0.

Pour les cinq phrases : nombre de facteurs de lettres répétés (m ≥ 2, espaces compris) et Antan(w) calculé sur les mots ; le calcul sur les lettres compte des dizaines de facteurs là où il y a au plus une antanaclase.

Tableau récapitulatif

N°	phrase	formes répétées (m)	facteurs de lettres répétés	Antan(w)	Antan_pond(w)
1	Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point.	raison (2)	37	1	1
2	Nous devons tous changer si nous voulons voir le changement.	nous (2)	53	0	0
3	Le roi règne sur son royaume car un roi doit régner.	roi (2)	29	0	0
4	Le pilote vole haut tandis que le voleur vole bas.	le (2), vole (2)	29	1	1
5	La raison du plus fort est toujours la meilleure.	la (2)	15	0	0

N°	exemple	valeur proposée	valeur calculée
1	Pascal, raison	Antan = 1	Antan = 1 (sens dans l’ordre inverse)
2	changer / changement	Antan = 1	Antan = 0 : m(changement) = 1
3	roi	Antan = 0	Antan = 0
4	raison, justice (sans texte)	Antan = 2	cohérent, Antan_pond = 3
5	σ = A, B, C	Antan_pond(u) = 3	Sem(raison) = 3 = C(3, 2)

Calculée sur les mots, avec une forme normalisée κ et un sens lu dans un lexique de contexte, la mesure devient Antan(w) = Σ_κ χ_[1,+∞)(Σ_i<j e(κ(t_i), κ) e(κ(t_j), κ)(1 − e(σ_i, σ_j))). Elle confirme l’antanaclase de Pascal et celle de la phrase 4, et écarte la phrase sur le changement, où la forme n’est pas répétée.

15. Anticlimax – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

L’anticlimax est une chute abrupte d’un sujet élevé ou sérieux vers un sujet trivial, banal ou vulgaire. Elle s’oppose au climax (auxèse).

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Nom proposé : Mot à complexité décroissante (ou anticlimax complexity drop).

Définition mathématique

Soit w un mot sur un alphabet Σ. Une anticlimax de longueur k est une séquence de facteurs dont la complexité factorielle diminue brusquement. Formellement, pour une suite de facteurs u₁, u₂, …, u_m de w, on a :

p(u₁) > p(u₂) > … > p(u_m) où p(u) désigne le nombre de facteurs distincts de u, et la décroissance est abrupte.

Expression formelle computable

Pour un mot w, le degré d’anticlimax peut être mesuré par :

Anticl(w) = max{Δ | ∃ suite de facteurs u_i, p(u_i) − p(u_i+1) ≥ Δ}

Une valeur Anticl(w) ≥ 1 indique la présence d’une chute de complexité.

Anticlimax : complexité factorielle et chute finale

1. La formule proposée

L’anticlimax est une gradation qui retombe : après des termes d’importance croissante, le dernier tombe dans le banal (« il perdit son royaume, sa famille, sa fortune et son parapluie »). La formule proposée mesure l’« importance » d’un mot u par sa complexité factorielle, le nombre de ses facteurs distincts non vides :

p(u) = |Fact(u)| = Σ_{i, k} φ_u(i, k), φ_u(i, k) = χ_{0}( Σ_{i′ < i} e( u[i′..i′+k−1], u[i..i+k−1] ) ), où φ_u(i, k) vaut 1 à la première occurrence d’un facteur et 0 aux suivantes, de sorte que chaque facteur distinct est compté une fois. La chute de u à v est D(u, v) = p(u) − p(v), et A_Δ(u, v) = χ_[Δ,+∞)( D(u, v) ), Anticl(w) = max_{u, v ∈ Fact(w)} D(u, v) · χ_(0,+∞)( D(u, v) ), décision χ_[1,+∞)(Anticl(w)).

2. Le calcul de p, facteur par facteur

Chaque tableau parcourt tous les facteurs u[i..i+k−1] ; φ marque la première occurrence. Le mot v de chaque exemple doit appartenir à Fact(w) : son appartenance se vérifie par m_w(v) = Σ_j ∏_r e(w[j+r−1], v[r]) ≥ 1.

Exemple 1 : w = abcdef, u = abcdef, v = aa

N°	i	k	v = abcdef[i..i+k−1]	φ_u(i, k)
1	1	1	a	1
2	2	1	b	1
3	3	1	c	1
4	4	1	d	1
5	5	1	e	1
6	6	1	f	1
7	1	2	ab	1
8	2	2	bc	1
9	3	2	cd	1
10	4	2	de	1
11	5	2	ef	1
12	1	3	abc	1
13	2	3	bcd	1
14	3	3	cde	1
15	4	3	def	1
16	1	4	abcd	1
17	2	4	bcde	1
18	3	4	cdef	1
19	1	5	abcde	1
20	2	5	bcdef	1
21	1	6	abcdef	1

p(abcdef) = Σ φ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 21.

N°	fenêtre w[j..j+1]	e(w[j], a) · e(w[j+1], a)
1	ab	1 · 0
2	bc	0 · 0
3	cd	0 · 0
4	de	0 · 0
5	ef	0 · 0

m_abcdef(aa) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 ∴ aa ∉ Fact(abcdef) : le couple (abcdef, aa) n’est pas admissible.

Le maximum porte sur les couples de facteurs de w. Le plus petit p est celui d’une lettre, p(a) = 1 : la chute maximale est D(abcdef, a) = 21 − 1 = 20, et non 19.

Exemple 2 : w = ababa, u = ababa, v = aba

N°	i	k	v = ababa[i..i+k−1]	φ_u(i, k)
1	1	1	a	1
2	2	1	b	1
3	3	1	a	0
4	4	1	b	0
5	5	1	a	0
6	1	2	ab	1
7	2	2	ba	1
8	3	2	ab	0
9	4	2	ba	0
10	1	3	aba	1
11	2	3	bab	1
12	3	3	aba	0
13	1	4	abab	1
14	2	4	baba	1
15	1	5	ababa	1

p(ababa) = Σ φ = 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 9.

N°	i	k	v = aba[i..i+k−1]	φ_u(i, k)
1	1	1	a	1
2	2	1	b	1
3	3	1	a	0
4	1	2	ab	1
5	2	2	ba	1
6	1	3	aba	1

p(aba) = Σ φ = 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 5.

D(ababa, aba) = 9 − 5 = 4 ; mais D(ababa, a) = 9 − 1 = 8.

Exemple 3 : w = aaaaa, u = aaaaa, v = aaa

N°	i	k	v = aaaaa[i..i+k−1]	φ_u(i, k)
1	1	1	a	1
2	2	1	a	0
3	3	1	a	0
4	4	1	a	0
5	5	1	a	0
6	1	2	aa	1
7	2	2	aa	0
8	3	2	aa	0
9	4	2	aa	0
10	1	3	aaa	1
11	2	3	aaa	0
12	3	3	aaa	0
13	1	4	aaaa	1
14	2	4	aaaa	0
15	1	5	aaaaa	1

p(aaaaa) = Σ φ = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 = 5.

N°	i	k	v = aaa[i..i+k−1]	φ_u(i, k)
1	1	1	a	1
2	2	1	a	0
3	3	1	a	0
4	1	2	aa	1
5	2	2	aa	0
6	1	3	aaa	1

p(aaa) = Σ φ = 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 = 3.

D(aaaaa, aaa) = 5 − 3 = 2 ; mais D(aaaaa, a) = 5 − 1 = 4.

Les valeurs p(abcdef) = 21, p(ababa) = 9, p(aba) = 5, p(aaaaa) = 5, p(aaa) = 3 sont exactes, de même que A₄(ababa, aba) = 1 et A₅(ababa, aba) = 0. Mais les couples retenus ne réalisent pas le maximum : Anticl(ababa) = 8 et Anticl(aaaaa) = 4, et non 4 et 2.

3. Le maximum sur tous les couples

Le tableau suivant donne D(u, v) · χ_(0,+∞)(D(u, v)) pour tous les couples de facteurs distincts de ababa ; la ligne de u est lue contre la colonne de v.

N°	u \ v (p)	a (1)	b (1)	ab (3)	ba (3)	aba (5)	bab (5)	abab (7)	baba (7)
1	a (1)	0	0	0	0	0	0	0	0
2	b (1)	0	0	0	0	0	0	0	0
3	ab (3)	2	2	0	0	0	0	0	0
4	ba (3)	2	2	0	0	0	0	0	0
5	aba (5)	4	4	2	2	0	0	0	0
6	bab (5)	4	4	2	2	0	0	0	0
7	abab (7)	6	6	4	4	2	2	0	0
8	baba (7)	6	6	4	4	2	2	0	0
9	ababa (9)	8	8	6	6	4	4	2	2

Anticl(ababa) = max = D(ababa, a) = D(ababa, b) = 9 − 1 = 8.

Chute D(u, v) pour tous les couples de facteurs de ababa ; le maximum 8 est atteint par u = ababa et v = une lettre.

Le résultat est général. Si v est facteur de u, tout facteur de v est facteur de u, donc p(v) ≤ p(u) : p est croissante pour la relation « être facteur de ». Le plus grand p sur Fact(w) est p(w), le plus petit est 1 (une lettre). Donc

Anticl(w) = p(w) − 1 pour tout mot w, ∴ χ_[1,+∞)(Anticl(w)) = 1 dès que |w| ≥ 2.

La formule ne mesure qu’une seule chose, la complexité du mot entier, et la décision est constante. Le tableau la vérifie.

N°	w	p(w)	Anticl(w)	couple réalisant le maximum
1	abcdef	21	20	(abcdef, a)
2	ababa	9	8	(ababa, a)
3	aaaaa	5	4	(aaaaa, a)
4	aa	2	1	(aa, a)

4. Ce que la définition initiale demandait : une suite

La définition initiale porte sur une suite (u_i) et compare des termes successifs, p(u_i) − p(u_i+1). En la remplaçant par un couple quelconque (u, v), on a perdu l’ordre, qui fait la figure : l’anticlimax est une chute à la fin d’une progression. Les membres u₁, …, u_m sont ceux que le texte découpe (propositions, groupes séparés par des virgules). Avec une mesure d’importance x_i de chaque membre, on pose

d_i = x_i − x_i+1, Chute = max_i d_i · χ_(0,+∞)(d_i), AntiC = χ_(0,+∞)( d_m−1 ) · ∏_i=1^m−2 χ_(0,+∞)( d_m−1 − d_i ).

AntiC vaut 1 lorsque le dernier pas est une chute plus forte que tout pas précédent : la retombée est finale et dominante. Une progression croissante (climax) donne 0, une décroissance régulière (gradation descendante) aussi.

Suite 1 : abc · abcd · abcde · a

i	u_i	x_i = p(u_i)	d_i = x_i − x_i+1
1	abc	6	-4
2	abcd	10	-5
3	abcde	15	14
4	a	1	—

AntiC = χ_(0,+∞)(14) · χ_(0,+∞)(14 − (-4)) · χ_(0,+∞)(14 − (-5)) = 1 · 1 · 1 = 1, Chute = 14.

Suite 2 : a · ab · abc

i	u_i	x_i = p(u_i)	d_i = x_i − x_i+1
1	a	1	-2
2	ab	3	-3
3	abc	6	—

AntiC = χ_(0,+∞)(-3) · χ_(0,+∞)(-3 − (-2)) = 0 · 0 = 0, Chute = 0.

Suite 3 : abcde · abcd · abc · ab

i	u_i	x_i = p(u_i)	d_i = x_i − x_i+1
1	abcde	15	5
2	abcd	10	4
3	abc	6	3
4	ab	3	—

AntiC = χ_(0,+∞)(3) · χ_(0,+∞)(3 − (5)) · χ_(0,+∞)(3 − (4)) = 1 · 0 · 0 = 0, Chute = 5.

5. La complexité n’est pas l’importance

Pour la phrase « Il perdit son royaume, sa famille, sa fortune et son parapluie. », les membres sont « son royaume », « sa famille », « sa fortune », « son parapluie ». Mesurés par la complexité factorielle de leurs lettres, ils donnent :

i	u_i	lettres	\|u_i\|	p(u_i)	d_i
1	son royaume	sonroyaume	10	54	11
2	sa famille	safamille	9	43	-2
3	sa fortune	safortune	9	45	-31
4	son parapluie	sonparapluie	12	76	—

AntiC = 0 · 0 · 0 = 0 : le membre « son parapluie », le plus long, a la plus grande complexité (76).

La complexité factorielle croît avec la longueur, à peu près comme |u|(|u| + 1)/2 : elle mesure la longueur et la variété des lettres, pas l’importance de ce que le mot désigne. L’importance d’un membre est une donnée sémantique, que le lecteur fixe sur une échelle τ (ici de 1 à 5) ; la même formule appliquée à τ donne :

i	u_i	τ(u_i)	d_i
1	son royaume	5	0
2	sa famille	5	1
3	sa fortune	4	3
4	son parapluie	1	—

AntiC = χ_(0,+∞)(3) · χ_(0,+∞)(3 − 0) · χ_(0,+∞)(3 − 1) = 1 · 1 · 1 = 1, Chute = 3.

Profils x_i des trois suites de mots et de la phrase (p des lettres, puis importance τ) : seule la chute finale dominante donne AntiC = 1.

Tableau récapitulatif

N°	suite	x_i	d_i	Chute	AntiC
1	abc · abcd · abcde · a	6, 10, 15, 1	-4, -5, 14	14	1
2	a · ab · abc	1, 3, 6	-2, -3	0	0
3	abcde · abcd · abc · ab	15, 10, 6, 3	5, 4, 3	5	0
4	Il perdit son royaume, sa famille, sa fortune et son parapluie. (p)	54, 43, 45, 76	11, -2, -31	11	0
5	Il perdit son royaume, sa famille, sa fortune et son parapluie. (τ)	5, 5, 4, 1	0, 1, 3	3	1

Chaque complexité p(u) se calcule comme une somme d’indicatrices de première occurrence. Mais le maximum sur tous les couples de facteurs vaut toujours p(w) − 1 : les valeurs annoncées 19, 4 et 2 sont 20, 8 et 4, et le couple (abcdef, aa) n’est pas admissible puisque aa n’est pas facteur de abcdef. L’anticlimax suppose une suite ordonnée de membres et une chute finale plus forte que les pas précédents, mesurée par AntiC ; la complexité des lettres ne donne pas l’importance des membres, qui doit être fournie par une échelle τ.

Synthèse : Liste des définitions et Classement de la solidité

Liste des définitions de mécanismes en combinatoire des mots

Voici un rappel des mécanismes proposés, traduisant chaque terme rhétorique :

Accumulatio : Mot à accumulation de facteurs (somme pondérée).
Actio : Mot à facteur d’action (transduction paramétrée).
Ad hominem : Mot à facteur ad personam (attaque de générateur).
Adianoeta : Mot à double interprétation morphique.
Alliteration : Mot à préfixe initial répété.
Amphiboly : Mot à factorisation syntaxique ambiguë.
Amplification : Mot à extension morphique.
Anacoenosis : Mot à consultation morphique.
Anadiplosis : Mot à bordure enchaînée (chevauchement suffixe-préfixe).
Analogy : Mot à morphisme similaire (correspondance structurelle).
Anaphora : Mot à préfixe initial commun.
Anastrophe : Mot à facteur inversé (renversement).
Anecdote : Mot à sous-mot narratif isolé.
Antanaclasis : Mot à facteur polyvalent répété.
Anticlimax : Mot à complexité factorielle décroissante.
Antimetabole : Mot à inversion chiasmatique de facteurs.
Antinomy : Mot à facteurs formellement contradictoires.
Antiptosis : Mot à substitution de facteur casuel.
Antistrophe : Mot à suffixe commun répété.
Antithesis : Mot à facteurs contrastés.
Antonomasia : Mot à substitution d’épithète.
Apophasis : Mot à facteur nié mais présent.
Aporia : Mot à facteurs ambigus ou en tension.
Aposiopesis : Mot à facteur tronqué.
Apostrophe : Mot à adresse vocative.
Arete : Mot d’excellence ou de vertu.
Argument : Mot à chaîne de raisonnement (prémisse à conclusion).
Argumentum ad baculum : Mot à facteur de contrainte.
Ars dictaminis : Mot à structure épistolaire dictaminale (5 parties).
Assonance : Mot à facteur vocalique répété.
Asyndeton : Mot à omission de facteur conjonctif.
Audience : Mot à facteur destinataire.
Aureation : Mot à facteur polysyllabique (seuil de longueur).
Auxesis : Mot à séquence de facteurs d’intensité croissante.
Axioms : Mot à facteur primitif.

Classement de la solidité de la correspondance

Rang 1 – Correspondances structurellement solides (ancrage formel fort dans la combinatoire des mots)

Alliteration : préfixe commun.
Anaphora : répétition de préfixe.
Antistrophe : répétition de suffixe.
Anadiplosis : liaison par chevauchement de facteurs (bord).
Antimetabole : inversion d’ordre (renversement).
Asyndeton : absence de connecteur.
Axioms : facteur primitif.
Ars dictaminis : structure canonique en blocs ordonnés.

Rang 2 – Correspondances raisonnablement fondées (lien formel plausible)

Assonance : abstraction sur l’alphabet des voyelles.
Amphiboly : non-unicité de la factorisation.
Anastrophe : renversement local.
Antithesis : paire de facteurs en relation d’opposition formelle.
Auxesis : séquence ordonnée croissante.
Anticlimax : séquence ordonnée inverse.
Aureation : fonction de longueur syllabique.
Amplification : morphisme d’extension.

Rang 3 – Correspondances partiellement formelles (dépendance d’une fonction externe sémantique ou grammaticale)

Adianoeta : double interprétation.
Antanaclasis : répétition polysémique.
Audience / Apostrophe / Anacoenosis : fonctions d’adresse ou d’interrogation.
Argument : relation prémisse/conclusion.
Analogy : isomorphisme de facteurs.

Rang 4 – Correspondances superficielles ou métaphoriques (lien analogique)

Accumulatio : somme de facteurs.
Actio : fonction d’exécution/performance.
Ad hominem / Antiptosis / Antonomasia / Apophasis / Aporia / Aposiopesis / Arete / Argumentum ad baculum / Antinomy / Anecdote : Ces correspondances reposent davantage sur une assignation contextuelle, narrative, sémantique, ou de contrainte, et s’éloignent de la combinatoire pure.

Synthèse et Classement Taxonomique des Mécanismes

Rang 1 – Correspondances structurellement solides (ancrage formel fort)
Allitération (préfixe), Anaphore (répétition initiale), Antistrophe (répétition finale), Anadiplosis (chevauchement), Antimétabole (inversion), Asyndéton (absence de connecteur), Axiomes (mot primitif), Ars dictaminis (factorisation ordonnée).

Rang 2 – Correspondances raisonnablement fondées (lien formel plausible)
Assonance (voyelles), Amphiboly (ambiguïté), Anastrophe (renversement), Antithèse (opposition), Auxesis (ordre croissant), Anticlimax (ordre décroissant), Aureation (longueur), Amplification (extension).

Rang 3 – Correspondances partiellement formelles (dépendantes de fonctions externes)
Adianoeta, Antanaclasis, Audience, Apostrophe, Anacoenosis, Argument, Analogie.

Rang 4 – Correspondances superficielles ou métaphoriques
Accumulatio, Actio, Ad hominem, Anecdote, Antiptose, Antonomase, Apophase, Aporie, Aposiopèse, Arete, Argumentum ad baculum, Antinomie.

Liste récapitulative des mécanismes

Chaque terme rhétorique est associé à un mécanisme de la combinatoire des mots, accompagné de sa mesure principale. Les trois tableaux suivent l’ordre alphabétique des termes.

N°	Terme rhétorique	Mécanisme en combinatoire des mots	Mesure principale
1	Accumulatio	Masse de redite des facteurs	Red(w) = A(w) − A^∗(w)
2	Actio	Étiquetage de livraison sur Σ × R × S	Variation totale VT
3	Ad hominem	Codage par attribut de générateur	Écart δ_J, perte de structure Λ
4	Adianoeta	Double décodage dans deux lexiques	Adian_X,Y(w) = N_X(w) · N_Y(w)
5	Alliteration	Plage dans le mot des initiales	Allit(w), densité D(w)
6	Amphiboly	Factorisation multiple sur un lexique (non-code)	Amph_X(w) = N_X(w) − 1
7	Amplification	Morphisme d’extension et itération	Ext(μ, w), valeur propre λ_μ
8	Anacoenosis	Réponses morphiques bornées et fonds commun	Anac_ℓ(w), proportion Anac^∗_ℓ
9	Anadiplosis	Bordure aux frontières des propositions	Anad(w), gradation Grad(w)
10	Analogy	Motif commun et proportion xu : xv :: yu : yv	Anal_k(w, w′), portée K
11	Anaphora	Plus long préfixe commun des unités	Anap(w) = lcp(c₁, …, c_m)
12	Anastrophe	Permutation des unités	Nombre d’inversions inv(σ)

N°	Terme rhétorique	Mécanisme en combinatoire des mots	Mesure principale
13	Anecdote	Facteurs uniques minimaux	Anec(w) = \|MU(w)\|
14	Antanaclasis	Facteur répété à contextes divergents	Antan₀(w), Antan_σ(w)
15	Anticlimax	Chute d’intensité après une montée	Anticl = Forme · Δ
16	Antimetabole	Échange de deux blocs entre deux unités	Antim(c₁, c₂)
17	Antinomy	Réécriture non confluente	Antin_R(w) = \|NF_R(w)\| − 1
18	Antiptosis	Substitution de cas à lexème constant	Antip(w, e) = d_H(κ(w), κ(e))
19	Antistrophe	Plus long suffixe commun des unités	Antis(w) = lcs(c₁, …, c_m)
20	Antithesis	Positions parallèles et positions opposées	Par, Opp, Antith = Opp / n
21	Antonomasia	Substitution par dictionnaire d’épithètes	Anton(w′), expansion Exp(ν)
22	Apophasis	Facteur nié mais présent	Apoph(w), couverture Couv(w)
23	Aporia	Point de choix équiprobable	Indécision log₂ k
24	Aposiopesis	Préfixe propre à complétions multiples	Apos(w) = \|Comp_L(w)\|

N°	Terme rhétorique	Mécanisme en combinatoire des mots	Mesure principale
25	Apostrophe	Détour dans le mot des destinataires	Apost(w), changements Sw(w)
26	Arete	Profil d’ethos ; mot de Lyndon	Eth(w), rang rg(w)
27	Argument	Prémisses recollées sur le moyen terme	(M^r)_XZ, degré d’enthymème
28	Argumentum ad baculum	Facteurs interdits	N_F(n), entropie h_F
29	Ars dictaminis	Factorisation dans un produit de cinq langages	Dict(w) = D₅(n)
30	Assonance	Plage dans le mot des noyaux vocaliques	Ass(w), densité D_V(w)
31	Asyndeton	Jonctions sans connecteur	Asy(w), taux Asy^∗(w)
32	Audience	Marques d’adresse, destinataire dominant	Aud(w), densité Aud^∗(w)
33	Aureation	Longueur syllabique par groupes vocaliques	Aur_s(w), ℓ̄(w)
34	Auxesis	Plus longue sous-suite croissante d’intensités	Aux(w) = LIS, Aux₃(w)
35	Axioms	Racine primitive et base génératrice	ρ(w), Prim(w), Ax(X)

Répartition des 35 mécanismes selon leur statut modal.

Classement de la solidité des correspondances

Critères de classement

Degré d’ancrage dans une notion classique de la combinatoire des mots ou de la théorie des langages (préfixe, suffixe, bordure, multiplicité, primitivité, code, morphisme, réécriture, facteurs interdits).
Possibilité de définir le mécanisme sans fonction sémantique extérieure, c’est-à-dire statut nécessaire, ou possible avec une donnée purement combinatoire.
Calculabilité directe, par une somme finie de valeurs de fonctions caractéristiques.
Distance à la simple métaphore : le mécanisme doit rendre compte de la structure de la figure, et non seulement de son nom.

Rang 1 – Correspondances structurelles (notion classique, sans donnée sémantique)

N°	Terme rhétorique	Notion de combinatoire des mots	Statut modal
1	Accumulatio	Multiplicités et complexité factorielle	Nécessaire
5	Alliteration	Plages de lettres (mot des initiales)	Nécessaire (graphique)
6	Amphiboly	Codes et unicité du décodage	Possible (lexique)
7	Amplification	Morphismes, matrice d’incidence, valeur propre de Perron	Possible (morphisme)
9	Anadiplosis	Bordures et carrés aux frontières	Nécessaire (ponctuation)
10	Analogy	Motifs, isomorphisme de mots, proportion	Nécessaire
11	Anaphora	Préfixe commun, arbre des préfixes	Nécessaire (ponctuation)
13	Anecdote	Facteurs uniques minimaux	Nécessaire
16	Antimetabole	Échange de blocs	Nécessaire
17	Antinomy	Confluence, paires critiques	Possible (système de règles)
19	Antistrophe	Suffixe commun, renversement	Nécessaire (ponctuation)
35	Axioms	Primitivité, racine primitive, base d’un monoïde	Nécessaire

Rang 2 – Correspondances formelles relatives à une donnée auxiliaire

N°	Terme rhétorique	Notion de combinatoire des mots	Statut modal
4	Adianoeta	Appartenance à deux monoïdes engendrés	Possible (deux lexiques)
8	Anacoenosis	Familles finies de morphismes, facteurs communs	Possible (borne ℓ)
12	Anastrophe	Permutations, inversions, conjugaison	Possible (ordre de référence)
15	Anticlimax	Suites d’intensités, complexité factorielle	Nécessaire ou contingent selon ι
20	Antithesis	Involution, complément, distance de Hamming	Nécessaire (binaire) ou contingent
23	Aporia	Branchement et entropie	Possible (suites admissibles)
24	Aposiopesis	Préfixes propres, arbre des préfixes	Possible (langage L)
27	Argument	Recollement, matrice d’adjacence	Possible (codage des prémisses)
28	Argumentum ad baculum	Facteurs interdits, entropie	Possible (ensemble F)
29	Ars dictaminis	Produit de langages	Possible (langages des parties)
31	Asyndeton	Jonctions, préfixes d’unités	Possible (connecteurs)
33	Aureation	Groupes vocaliques, facteurs maximaux	Nécessaire (graphique)
34	Auxesis	Plus longue sous-suite croissante	Nécessaire ou contingent selon ι

Rang 3 – Correspondances mixtes (partie combinatoire, sens extérieur)

N°	Terme rhétorique	Notion de combinatoire des mots	Statut modal
14	Antanaclasis	Contextes, facteurs spéciaux	Contingent (sens σ)
22	Apophasis	Facteurs après marqueur	Possible (marqueurs)
25	Apostrophe	Plages dans le mot des destinataires	Contingent (destinataire d)
26	Arete	Comptage lexical ; mots de Lyndon	Contingent (lexique) ou nécessaire (Lyndon)
30	Assonance	Morphisme effaçant, plages	Contingent (phonétique) ou nécessaire (graphique)
32	Audience	Comptage de marques, lettre dominante	Contingent (marques d’adresse)

Rang 4 – Correspondances dépendant d’une interprétation extérieure

N°	Terme rhétorique	Notion de combinatoire des mots	Statut modal
2	Actio	Mots étiquetés, variation totale	Contingent (données de performance)
3	Ad hominem	Codages lettre à lettre, complexité	Contingent (attributs)
18	Antiptosis	Projections lexème et cas, distance de Hamming	Contingent (grammaire)
21	Antonomasia	Substitution par dictionnaire	Contingent (dictionnaire d’épithètes)

Les rangs 1 et 2 reposent sur des propriétés combinatoires classiques, soit intrinsèques, soit relatives à une donnée combinatoire fixée à l’avance ; les rangs 3 et 4 exigent une fonction sémantique, pragmatique ou grammaticale pour devenir opérationnels. Même dans ces derniers cas, une fois la donnée extérieure fixée, la mesure est une somme finie de fonctions caractéristiques, donc calculable.

Nombre de mécanismes par rang de solidité.

Conclusion

Les trente-cinq termes de ce glossaire à la lettre A montrent que les figures de la rhétorique classique se laissent traduire, pour l’essentiel, en un petit nombre d’opérations élémentaires sur les mots. La répétition, sous toutes ses formes (accumulatio, anaphore, antistrophe, anadiplose, allitération, assonance), devient une affaire de multiplicités, de préfixes, de suffixes et de bordures. L’ordre (anastrophe, auxèse, anticlimax, antimétabole) devient une affaire de permutations, d’inversions et de sous-suites croissantes. L’ambiguïté (adianoeta, amphibolie, antanaclase) devient une affaire de codes, de décodages multiples et de contextes. Le raisonnement et ses défaillances (argument, axiomes, antinomie, ad baculum) deviennent des chaînes de recollement, des bases génératrices, des réécritures non confluentes et des facteurs interdits. L’omission (asyndète, aposiopèse, apophase) devient enfin une affaire de jonctions vides, de préfixes inachevés et de présences niées.

Dans chaque cas, la mesure retenue s’écrit comme une somme finie ou un produit fini de valeurs de fonctions caractéristiques : χ_F convertit une condition en 0 ou 1, et l’addition de ces 0 et de ces 1 donne un nombre. C’est en ce sens précis que la fonction caractéristique est le langage commun des deux disciplines : elle permet de dire d’une figure non seulement qu’elle est présente, mais combien elle l’est, et de le calculer.

Le statut modal de chaque équivalence en marque la portée. Les équivalences nécessaires (accumulatio, analogie, anecdote, axiomes, anaphore et antistrophe dès que la segmentation est marquée) sont des propriétés du mot lui-même : la figure y est une structure. Les équivalences possibles exigent une donnée combinatoire fixée à l’avance (un lexique, un morphisme, un système de règles, un ensemble de facteurs interdits) : la figure y est une structure relative. Les équivalences contingentes reçoivent de l’extérieur un sens, une intensité, un destinataire ou un cas : la combinatoire y mesure la forme que prend une interprétation donnée, sans pouvoir la produire elle-même.

Plusieurs prolongements découlent de ce glossaire. Les mécanismes de rang 1 et 2 se prêtent à une réalisation par automates finis (chapitre 63) et par langages réguliers ou algébriques (chapitre 64), ce qui permettrait de reconnaître automatiquement les figures dans un corpus. Les fonctions caractéristiques de langages (chapitre 65) fournissent le cadre où les mesures de ce chapitre deviennent des séries génératrices. Enfin, les correspondances de rang 3 et 4 indiquent où s’arrête la combinatoire et où commence l’interprétation, frontière qu’il appartient aux chapitres suivants d’explorer.

p \ p′	1	2	3	4	5	6	7	8	9	somme de la ligne
1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	8
2	1	0	1	1	1	1	1	1	1	8
3	1	1	0	1	1	1	1	1	1	8
4	1	1	1	0	1	1	1	1	1	8
5	1	1	1	1	0	1	1	1	1	8
6	1	1	1	1	1	0	1	1	1	8
7	1	1	1	1	1	1	0	1	1	8
8	1	1	1	1	1	1	1	0	1	8
9	1	1	1	1	1	1	1	1	0	8

p \ p′	1	2	3	4	5	6	7	8	9	somme de la ligne
1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	8
2	1	0	1	1	1	1	1	1	1	8
3	1	1	0	1	1	1	1	1	1	8
4	1	1	1	0	1	1	1	1	1	8
5	1	1	1	1	0	1	1	1	1	8
6	1	1	1	1	1	0	1	1	1	8
7	1	1	1	1	1	1	0	1	1	8
8	1	1	1	1	1	1	1	0	1	8
9	1	1	1	1	1	1	1	1	0	8

056.a’ Tome V — Extensions des fonctions caractéristiques 56.a’ Fonctions caractéristiques des mots et glossaire d’équivalences possibles, nécessaires et contingentes des termes rhétoriques et des termes de la combinatoire des mots : lettre A 2

I) Introduction au glossaire des termes commençant par la lettre A, de l’isomorphisme original entre les figures de rhétorique classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots

Objet

Nature de la correspondance

Solidité des correspondances

0. Conventions communes

0.1 Le texte comme mot

0.2 Fonctions caractéristiques

0.3 Données explicites et seuils déclarés

0.4 Statut modal

00. Conventions de notation et statut modal des équivalences

00.1 Alphabet, mots, longueur

00.2 Facteurs, préfixes, suffixes

1) L’expression mathématique du nombre d’occurrences d’un facteur : mw(u)

1. Les objets

2. La formule

3. Le calcul de χ{u} : égalité lettre à lettre

Exemple 1 : un facteur qui se recouvre lui-même

Exemple 2 : occurrences chevauchantes

Exemple 3 : un mot plus long

4. Interprétation et contrôle

Tableau récapitulatif

1) L’expression mathématique du nombre d’occurrences d’une lettre : |w|a

1. Les objets

2. La formule

3. Ce que fait chaque terme

Exemple 1 : la lettre A dans BANANA

Exemple 2 : la lettre S dans MISSISSIPPI

Exemple 3 : la lettre A dans ABRACADABRA

Exemple 4 : exemple entièrement développé

4. Interprétation et contrôle

Tableau récapitulatif

00.3 Fonction caractéristique

00.4 Statut modal (nécessaire, possible, contingent)

Liste des définitions de mécanismes en combinatoire des mots utilisées dans le glossaire à la lettre A

III) L’isomorphisme original entre les figures de rhétorique classiques et les opérateurs de la combinatoire des mots profunda mente*

1. Accumulatio – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Justification du lien

Définition mathématique

Expression formelle computable

1) Application de l’expression mathématique de l’accumulatio à trois exemples de mesure de l’empilement des facteurs

1. Les objets

2. La fonction de poids et son écriture en indicatrices

3. Les deux écritures de la mesure

Exemple 1 : accumulation faible

Exemple 2 : accumulation plus importante

Exemple 3 : multiplicités explicites, w = AAAA

Facteur u = A (|u| = 1)

Facteur u = AA (|u| = 2)

Facteur u = AAA (|u| = 3)

Facteur u = AAAA (|u| = 4)

4. Pourquoi les deux écritures donnent le même nombre

5. Ce que mesure exactement φ(u) = |u|

6. Interprétation rhétorique

Tableau récapitulatif

2. Actio – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Justification du lien

Définition mathématique

Expression formelle computable

1) Application de l’expression mathématique de l’Actio : QUATRE exemples de variation du rythme et de l’intensité

1. Le modèle

2. La valeur absolue écrite avec des indicatrices

Exemple 1 : déclamation presque monotone

Exemple 2 : actio modérément expressive

Exemple 3 : actio fortement contrastée

Exemple 4 : descente régulière

3. Comparaison

Tableau récapitulatif

3. Ad hominem – Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition rhétorique (synthèse des sources)

Mécanisme correspondant en combinatoire des mots

Définition mathématique

Expression formelle computable

1) Application de l’expression mathématique de L’Ad hominem : QUATRE exemples de l’écart entre un mot et sa reformulation par les attributs

1. Le modèle

2. Le cardinal de l’intersection écrit avec des indicatrices

1) L’expression mathématique du nombre d’occurrences d’un facteur : m_w(u)

3. Le calcul de χ_{u} : égalité lettre à lettre

1) L’expression mathématique du nombre d’occurrences d’une lettre : |w|_a

3. Les deux conditions de Fact₂, écrites en indicatrices

p \ p′	1	2	3	4	5	6	7	8	9	somme de la ligne
1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	8
2	1	0	1	1	1	1	1	1	1	8
3	1	1	0	1	1	1	1	1	1	8
4	1	1	1	0	1	1	1	1	1	8
5	1	1	1	1	0	1	1	1	1	8
6	1	1	1	1	1	0	1	1	1	8
7	1	1	1	1	1	1	0	1	1	8
8	1	1	1	1	1	1	1	0	1	8
9	1	1	1	1	1	1	1	1	0	8