Critère 6 — distances et sommes de carrés gaussiens
11. Loi demi-normale
12. Loi du χ
13. Loi du χ²
14. Loi du χ non centrée
15. Loi du χ² non centrée

• Loi demi normale est une distribution de probabilité continue définie strictement sur les nombres réels positifs. Elle correspond mathématiquement à la valeur absolue d’une loi normale classique centrée sur zéro. Autrement dit, si une variable fluctue aléatoirement de façon symétrique (en cloche) autour de zéro, la distance absolue mesurant son écart à l’origine suit une loi demi-normale, créant une courbe dont le sommet est à zéro et qui ne décroît que d’un seul côté. Formules principales : Domaine de définition : x ∈ [0, +∞[ (une valeur absolue ou une distance physique ne peut être négative). Paramètre : σ > 0 (le paramètre d’échelle, qui correspond à l’écart-type de la loi normale sous-jacente d’origine). Densité de probabilité (PDF) : f(x) = [ √2 / (σ · √π) ] · e⁽⁻ˣ² / (2σ²)⁾. Fonction de répartition (CDF) : F(x) = erf( x / (σ · √2) ) (où erf est la fonction d’erreur de Gauss). Espérance (Moyenne) : E(X) = σ · √(2 / π). Variance : Var(X) = σ² · [ 1 – (2 / π) ].

La loi demi-normale (Half-Normal Distribution)

Distribution gaussienne repliée sur l’axe positif

La loi demi-normale est obtenue en prenant la valeur absolue d’une variable normale centrée :$$X=|Z|, \qquad Z\sim N(0,\sigma^2).$$X=∣Z∣,Z∼N(0,σ2).

Toute la masse probabiliste située sur l’intervalle négatif :$$]-\infty,0[$$]−∞,0[

est repliée sur l’intervalle positif :$$[0,+\infty[.$$[0,+∞[.

La densité est donc définie uniquement pour :$$x\ge0.$$x≥0.

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1. Fonction de densité de probabilité

Pour :$$x\ge0,$$x≥0,

la densité s’écrit :$$f(x) = \frac{\sqrt2}{\sigma\sqrt\pi} \exp\!\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right).$$f(x)=σπ​2​​exp(−2σ2×2​).

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2. Décomposition des composantes algébriques

L’amplificateur de repli

Le premier facteur est :$$\frac{\sqrt2}{\sigma\sqrt\pi}.$$σπ​2​​.

La densité normale classique possède la constante :$$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}.$$σ2π​1​.

Comme toute la masse probabiliste négative est transférée vers les valeurs positives, la densité est multipliée par :$$2.$$2.

On obtient alors :$$2\times \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{\sqrt2}{\sigma\sqrt\pi}.$$2×σ2π​1​=σπ​2​​.

Cette constante contrôle la hauteur maximale de la distribution.

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Le compresseur exponentiel gaussien

Le second facteur est :$$\exp\!\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right).$$exp(−2σ2×2​).

Lorsque :$$x$$x

augmente, le carré :$$x^2$$x2

croît rapidement.

Le terme exponentiel décroît alors vers :$$0.$$0.

Cette décroissance est beaucoup plus rapide qu’une loi à queue lourde.

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3. Exemple numérique

Considérons :$$\sigma=2.$$σ=2.

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Calcul de la constante

Numérateur :$$\sqrt2 = 1.41421.$$2​=1.41421.

Dénominateur :$$2\sqrt\pi = 2\times1.77245 = 3.54490.$$2π​=2×1.77245=3.54490.

Coefficient :$$\frac{1.41421}{3.54490} = 0.39894.$$3.544901.41421​=0.39894.

La densité devient :$$f(x) = 0.39894 \times \exp\!\left( -\frac{x^2}{8} \right).$$f(x)=0.39894×exp(−8×2​).

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4. Calcul détaillé pour $x=2$x=2

Étape 1 : Quadrature

$$2^2 = 4.$$22=4.

Étape 2 : Exposant

$$-\frac{4}{8} = -0.5.$$−84​=−0.5.

Étape 3 : Exponentielle

$$e^{-0.5} = 0.60653.$$e−0.5=0.60653.

Étape 4 : Densité finale

$$0.39894 \times 0.60653 = 0.24197.$$0.39894×0.60653=0.24197.

Ainsi :$$\boxed{ f(2)\approx0.24197 }$$f(2)≈0.24197​

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5. Tableau numérique de la densité

Paramètre :$$\sigma=2.$$σ=2.

$x$x	$x^2$x2	$-x^2/8$−x2/8	$\exp(-x^2/8)$exp(−x2/8)	$0.39894\times\exp(-x^2/8)$0.39894×exp(−x2/8)	$f(x)$f(x)
0	0.00	0.000	1.00000	0.39894 × 1.00000	0.39894
1	1.00	-0.125	0.88250	0.39894 × 0.88250	0.35206
2	4.00	-0.500	0.60653	0.39894 × 0.60653	0.24197
3	9.00	-1.125	0.32465	0.39894 × 0.32465	0.12952
4	16.00	-2.000	0.13534	0.39894 × 0.13534	0.05399
5	25.00	-3.125	0.04394	0.39894 × 0.04394	0.01753
6	36.00	-4.500	0.01111	0.39894 × 0.01111	0.00443

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6. Analyse numérique

La densité débute à son maximum absolu :$$f(0)=0.39894.$$f(0)=0.39894.

Les valeurs suivantes sont :$$f(1)=0.35206,$$f(1)=0.35206,$$f(2)=0.24197,$$f(2)=0.24197,$$f(3)=0.12952.$$f(3)=0.12952.

La décroissance est immédiate dès que :$$x>0.$$x>0.

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Sommet de la distribution

Contrairement à une loi normale complète dont le mode est entouré symétriquement par deux côtés, la loi demi-normale possède son mode directement à la frontière du support :$$\boxed{x=0}.$$x=0​.

La densité maximale vaut :$$\boxed{ f(0)= \frac{\sqrt2}{\sigma\sqrt\pi} }$$f(0)=σπ​2​​​

et pour :$$\sigma=2,$$σ=2,$$f(0)=0.39894.$$f(0)=0.39894.

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Décroissance exponentielle

À mesure que :$$x$$x

augmente, le terme :$$e^{-x^2/(2\sigma^2)}$$e−x2/(2σ2)

domine totalement le comportement.

Par exemple :$$e^{-2} = 0.13534,$$e−2=0.13534,$$e^{-4.5} = 0.01111.$$e−4.5=0.01111.

La densité perd donc plus de 98 % de sa hauteur initiale entre :$$x=0$$x=0

et$$x=6.$$x=6.

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7. Queue de la distribution

Pour :$$x\rightarrow+\infty,$$x→+∞,

on obtient :$$\exp\!\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) \rightarrow0.$$exp(−2σ2×2​)→0.

Ainsi :$$f(x)\rightarrow0$$f(x)→0

extrêmement rapidement.

La loi demi-normale ne possède donc pas de queue lourde.

Sa décroissance est de nature gaussienne, c’est-à-dire exponentielle en :$$x^2.$$x2.

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Conclusion

La loi demi-normale est définie par :$$f(x) = \frac{\sqrt2}{\sigma\sqrt\pi} \exp\!\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right), \qquad x\ge0.$$f(x)=σπ​2​​exp(−2σ2×2​),x≥0.

Elle est obtenue par repliement de la moitié négative d’une loi normale centrée.

Sa structure repose sur deux composantes fondamentales :$$\frac{\sqrt2}{\sigma\sqrt\pi},$$σπ​2​​,

et$$\exp\!\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right).$$exp(−2σ2×2​).

Pour :$$\sigma=2,$$σ=2,

la densité atteint immédiatement son maximum :$$f(0)=0.39894,$$f(0)=0.39894,

puis décroît de manière monotone vers :$$0.$$0.

La loi demi-normale constitue ainsi l’exemple classique d’une distribution asymétrique obtenue par pliage d’une loi gaussienne, tout en conservant la décroissance exponentielle rapide caractéristique de la famille normale.

Loi demi-normale et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice

Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La demi-normale est la valeur absolue d’une normale centrée. Si Z ∼ N(0, σ²), alors X = |Z| suit une demi-normale d’échelle σ. C’est une distance à l’origine : elle ne peut pas être négative.

1. Support

U = [0, +∞[,   1_U(x) = 1 si x ≥ 0,   0 si x < 0.

2. Construction par repliement

La normale a deux ailes. L’indicatrice de chaque demi-droite les sépare ; la valeur absolue les superpose :

1_{[0, +∞[}(Z) + 1_{(−∞, 0]}(Z) = 1_ℝ(Z) = 1,

X = |Z| = Z · 1_U(Z) + (−Z) · 1_(−∞,0](Z).

Les deux portes envoient toute la masse sur U.

3. Intensité

f(x) = [ √2 / (σ √π) ] e^{−x²/(2σ²)},   x ≥ 0,

F(x) = erf( x / (σ √2) ),   x ≥ 0,

E(X) = σ √(2/π),   Var(X) = σ² (1 − 2/π).

f est le double de la densité normale restreinte à U (les deux ailes se replient).

4. Densité caractéristique

f_U(x) = [ √2 / (σ √π) ] e^{−x²/(2σ²)} · 1_{[0, +∞[}(x). Hors de U, f_U = 0 : pas de distance négative.

5. Lien avec le χ

Si σ = 1, X ∼ χ(1) : demi-normale d’échelle 1 = loi du χ à 1 degré de liberté. 1_{1}(k) sélectionne ce cas dans la famille χ.

6. Appartenance

F(t) = P(X ≤ t) = E(1_{[0, t]}(X)) = erf(t /(σ √2)),   t ≥ 0,

F(t) = 0 si t < 0.

7. Chaîne

Z ∼ N(0,σ²) → 1_U(Z) et 1_(−∞,0](Z) → X = |Z| → f_U → F(t) = E(1_[0,t](X)).

8. Synthèse

La demi-normale est l’intensité d’une distance gaussienne à 0. 1_U est le droit d’être une longueur. Les deux ailes de la normale sont deux portes dont la réunion est certaine ; le repliement les additionne sur U.

• Loi du χ est une distribution de probabilité continue. Elle est la version réduite géométrique de la loi du Chi-carré. Si le Chi-carré modélise une somme de variables normales élevées au carré, la loi du Chi modélise la racine carrée de cette somme. Géométriquement, c’est une loi de distance : elle décrit la longueur physique (la distance euclidienne) d’un vecteur dont les coordonnées spatiales sont indépendantes et tirées au hasard selon une courbe en cloche parfaite (loi normale). Formules principales (strictement en texte brut, sans aucun exposant mathématique ou symbole complexe) : Paramètres et Domaine : x est un nombre réel positif (car c’est une distance, elle ne peut pas être négative). k est le paramètre fondamental appelé « degrés de liberté » (un entier représentant le nombre de dimensions géométriques : 1, 2, 3…). Densité de probabilité (PDF) : f(x) = [ 2⁽¹ ⁻ ᵏ^/²⁾ · x⁽ᵏ ⁻ ¹⁾ · e⁽⁻ˣ²^/²⁾ ] / Γ(k/2) (où Γ est la fonction d’Euler qui généralise la factorielle). Espérance (Moyenne) : E(X) = √2 · [ Γ((k + 1)/2) / Γ(k/2) ]. Variance : Var(X) = k – [ E(X) ]²

La loi du χ (Chi) : distribution de la norme euclidienne

La loi du χ (Chi) décrit la distribution de la norme euclidienne d’un vecteur aléatoire dont les coordonnées sont des variables normales centrées réduites indépendantes. Elle constitue l’une des distributions fondamentales de la théorie des probabilités multivariées et apparaît naturellement lorsqu’on étudie la distance entre l’origine et un point aléatoire dans un espace à $k$k dimensions.

Conformément à une approche purement algébrique, nous analysons ici sa structure analytique, son mécanisme de normalisation et son comportement numérique sans recours à une représentation graphique.

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1. Fonction de densité de probabilité

Pour une variable :$$x\ge 0,$$x≥0,

la fonction de densité de la loi du χ à $k$k degrés de liberté est :$$f(x)=\frac{2^{\,1-k/2}}{\Gamma(k/2)}\times x^{k-1}\times e^{-x^2/2}.$$f(x)=Γ(k/2)21−k/2​×xk−1×e−x2/2.

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Décomposition des composantes algébriques

1. L’opérateur dimensionnel $x^{k-1}$xk−1

Le terme :$$x^{k-1}$$xk−1

dépend directement du nombre de degrés de liberté $k$k.

Lorsque $k$k augmente :$$k-1$$k−1

augmente également, ce qui modifie fortement la forme de la densité.

Pour :$$0<x<1,$$0<x<1,

les puissances élevées réduisent fortement les valeurs.

Pour :$$x>1,$$x>1,

elles amplifient les valeurs.

Ce terme déplace donc progressivement le maximum de densité vers des distances plus élevées lorsque le nombre de dimensions augmente.

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2. Le compresseur gaussien $e^{-x^2/2}$e−x2/2

Le facteur :$$e^{-x^2/2}$$e−x2/2

produit une décroissance exponentielle extrêmement rapide lorsque $x$x devient grand.

Ainsi :$$\lim_{x\to+\infty} e^{-x^2/2}=0.$$x→+∞lim​e−x2/2=0.

Cette composante garantit la convergence de toutes les intégrales probabilistes associées à la loi du χ.

Sans ce facteur exponentiel, l’aire sous la courbe divergerait.

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3. La constante de normalisation

La constante :$$\frac{2^{\,1-k/2}}{\Gamma(k/2)}$$Γ(k/2)21−k/2​

assure que :$$\int_0^{+\infty} f(x)\,dx =1.$$∫0+∞​f(x)dx=1.

La fonction Gamma :$$\Gamma(z)$$Γ(z)

généralise la factorielle par :$$\Gamma(n)=(n-1)!$$Γ(n)=(n−1)!

pour tout entier positif $n$n.

Elle permet de normaliser exactement la densité quelle que soit la dimension $k$k.

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2. Calcul numérique détaillé pour $k=3$k=3

Considérons :$$k=3.$$k=3.

La constante de normalisation devient :$$\frac{2^{1-3/2}}{\Gamma(3/2)}.$$Γ(3/2)21−3/2​.

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Étape 1 : Calcul de Gamma

$$\Gamma\!\left(\frac32\right) = \frac{\sqrt{\pi}}2.$$Γ(23​)=2π​​.

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Étape 2 : Calcul de la puissance de 2

$$2^{\,1-3/2} = 2^{-1/2} = \frac1{\sqrt2}.$$21−3/2=2−1/2=2​1​.

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Étape 3 : Calcul de la constante globale

$$\frac{1/\sqrt2}{\sqrt\pi/2} = \sqrt{\frac2\pi}.$$π​/21/2​​=π2​​.

Numériquement :$$\sqrt{\frac2\pi} \approx0.79788.$$π2​​≈0.79788.

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La densité devient alors :$$f(x) = \sqrt{\frac2\pi} \times x^2 \times e^{-x^2/2}.$$f(x)=π2​​×x2×e−x2/2.

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3. Calcul détaillé pour $x=2$x=2

Évaluons :$$f(2).$$f(2).

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Étape 1 : Opérateur dimensionnel

$$2^2=4.000.$$22=4.000.

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Étape 2 : Compresseur gaussien

$$e^{-2^2/2} = e^{-2} \approx0.13533.$$e−22/2=e−2≈0.13533.

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Étape 3 : Produit brut

$$4.000\times0.13533 = 0.54132.$$4.000×0.13533=0.54132.

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Étape 4 : Application de la constante

$$0.79788\times0.54132 = 0.4319.$$0.79788×0.54132=0.4319.

Ainsi :$$\boxed{f(2)\approx0.4319}$$f(2)≈0.4319​

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4. Tableau numérique de la loi du χ pour $k=3$k=3

Distance $x$x	$x^2$x2	$e^{-x^2/2}$e−x2/2	Produit $x^2\times e^{-x^2/2}$x2×e−x2/2	$\sqrt{2/\pi}$2/π​	$f(x)$f(x)
0.000	0.000	1.0000	0.0000	0.79788	0.0000
0.500	0.250	0.8825	0.2206	0.79788	0.1760
1.000	1.000	0.6065	0.6065	0.79788	0.4839
1.414	2.000	0.3679	0.7358	0.79788	0.5871
2.000	4.000	0.1353	0.5413	0.79788	0.4319
3.000	9.000	0.0111	0.0999	0.79788	0.0797
4.000	16.000	0.000335	0.00537	0.79788	0.0043

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5. Position du mode

Le mode de la loi du χ est donné par :$$x_{\mathrm{mode}} = \sqrt{k-1}.$$xmode​=k−1​.

Pour :$$k=3,$$k=3,

on obtient :$$x_{\mathrm{mode}} = \sqrt2 \approx1.414.$$xmode​=2​≈1.414.

La densité atteint donc son maximum pour :$$x\approx1.414.$$x≈1.414.

À cette distance, l’effet croissant du terme polynomial :$$x^2$$x2

et l’effet décroissant de l’exponentielle :$$e^{-x^2/2}$$e−x2/2

s’équilibrent exactement.

6. Analyse de la structure probabiliste

Les valeurs numériques mettent en évidence plusieurs propriétés fondamentales :

• La densité vaut exactement :

$$f(0)=0.$$f(0)=0.

• Le maximum de densité n’est pas situé à l’origine mais en :

$$x=\sqrt2.$$x=2​.

• Après le maximum, la décroissance exponentielle domine progressivement.
• Les grandes distances deviennent rapidement improbables grâce au facteur :

$$e^{-x^2/2}.$$e−x2/2.

• Toutes les intégrales de moments convergent, contrairement à la loi de Cauchy.

Conclusion

La loi du χ est définie par :$$f(x) = \frac{2^{\,1-k/2}}{\Gamma(k/2)} \times x^{k-1} \times e^{-x^2/2}.$$f(x)=Γ(k/2)21−k/2​×xk−1×e−x2/2.

Sa structure repose sur l’interaction de trois composantes :$$x^{k-1}, \qquad e^{-x^2/2}, \qquad \frac{2^{\,1-k/2}}{\Gamma(k/2)}.$$xk−1,e−x2/2,Γ(k/2)21−k/2​.

Le terme polynomial $x^{k-1}$xk−1 favorise les distances croissantes lorsque la dimension augmente, tandis que l’exponentielle gaussienne impose une décroissance rapide pour les grandes valeurs de $x$x. Leur équilibre produit un maximum situé en :$$x=\sqrt{k-1}.$$x=k−1​.

Pour $k=3$k=3, ce maximum apparaît en :$$x=\sqrt2\approx1.414,$$x=2​≈1.414,

où la densité atteint approximativement :$$f(x)\approx0.5871.$$f(x)≈0.5871.

La loi du χ constitue ainsi la distribution fondamentale des normes euclidiennes dans les espaces probabilistes gaussiens multidimensionnels.

La constante de normalisation de la loi du χ

Analyse algébrique de l’opérateur

Dans la loi du χ à $k$k degrés de liberté, la constante de normalisation est :$$C(k)=\frac{2^{\,1-k/2}}{\Gamma(k/2)}.$$C(k)=Γ(k/2)21−k/2​.

Cette constante est un opérateur de redimensionnement dont la fonction unique est de garantir la propriété fondamentale :$$\int_0^{+\infty} f(x)\,dx = 1.$$∫0+∞​f(x)dx=1.

Sans cette correction, le produit :$$x^{k-1}\times e^{-x^2/2}$$xk−1×e−x2/2

ne posséderait généralement pas une aire totale égale à l’unité et ne pourrait donc pas représenter une distribution de probabilité valide.

1. Décomposition algébrique des composantes

Le numérateur exponentiel

Le premier bloc est :$$2^{\,1-k/2}.$$21−k/2.

Lorsque $k$k augmente :$$1-\frac{k}{2}$$1−2k​

devient de plus en plus négatif.

Par conséquent :$$2^{\,1-k/2}$$21−k/2

décroît rapidement.

Quelques valeurs caractéristiques :$$k=2 \quad\Longrightarrow\quad 2^0=1$$k=2⟹20=1$$k=4 \quad\Longrightarrow\quad 2^{-1}=\frac12$$k=4⟹2−1=21​$$k=6 \quad\Longrightarrow\quad 2^{-2}=\frac14.$$k=6⟹2−2=41​.

Ce terme agit donc comme un facteur de réduction de l’amplitude globale.

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Le dénominateur gamma

Le second bloc est :$$\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right).$$Γ(2k​).

La fonction Gamma généralise la factorielle :$$\Gamma(n)=(n-1)!$$Γ(n)=(n−1)!

pour tout entier positif $n$n.

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Cas pair

Si :$$k=2n,$$k=2n,

alors :$$\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right) = \Gamma(n) = (n-1)!.$$Γ(2k​)=Γ(n)=(n−1)!.

Exemples :$$\Gamma(1)=1,$$Γ(1)=1,$$\Gamma(2)=1!,$$Γ(2)=1!,$$\Gamma(3)=2!,$$Γ(3)=2!,$$\Gamma(4)=3!.$$Γ(4)=3!.

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Cas impair

Si :$$k=2n+1,$$k=2n+1,

la résolution fait intervenir :$$\Gamma\!\left(\frac12\right) = \sqrt{\pi}.$$Γ(21​)=π​.

Les valeurs successives sont :$$\Gamma\!\left(\frac32\right) = \frac{\sqrt{\pi}}2,$$Γ(23​)=2π​​,$$\Gamma\!\left(\frac52\right) = \frac{3\sqrt{\pi}}4,$$Γ(25​)=43π​​,$$\Gamma\!\left(\frac72\right) = \frac{15\sqrt{\pi}}8.$$Γ(27​)=815π​​.

Le facteur $\Gamma(k/2)$Γ(k/2) croît très rapidement lorsque $k$k augmente.

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L’opérateur globalLa combinaison :$$\frac{2^{\,1-k/2}} {\Gamma(k/2)}$$Γ(k/2)21−k/2​

associe :

• un numérateur décroissant ;
• un dénominateur croissant.

La constante diminue donc globalement lorsque le nombre de dimensions devient grand.

Cette diminution compense la croissance du terme :$$x^{k-1},$$xk−1,

présent dans la densité de la loi du χ.

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2. Calcul détaillé pour $k=4$k=4

Étape 1 : Exposant

$$1-\frac42=-1.$$1−24​=−1.

Étape 2 : Numérateur

$$2^{-1} = \frac12 = 0.5.$$2−1=21​=0.5.

Étape 3 : Argument Gamma

$$\frac{k}{2} = 2.$$2k​=2.

Étape 4 : Évaluation Gamma

$$\Gamma(2) = 1! = 1.$$Γ(2)=1!=1.

Étape 5 : Constante finale

$$C(4) = \frac{0.5}{1} = 0.5000.$$C(4)=10.5​=0.5000.

Ainsi :$$\boxed{C(4)=0.5000}$$C(4)=0.5000​

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3. Calcul détaillé pour $k=3$k=3

Étape 1 : Exposant

$$1-\frac32 = -\frac12.$$1−23​=−21​.

Étape 2 : Numérateur

$$2^{-1/2} = \frac1{\sqrt2}.$$2−1/2=2​1​.

Étape 3 : Argument Gamma

$$\frac32.$$23​.

Étape 4 : Évaluation Gamma

$$\Gamma\!\left(\frac32\right) = \frac12\Gamma\!\left(\frac12\right) = \frac{\sqrt{\pi}}2.$$Γ(23​)=21​Γ(21​)=2π​​.

Étape 5 : Simplification

$$\frac{1/\sqrt2} {\sqrt{\pi}/2} = \frac2{\sqrt{2\pi}} = \sqrt{\frac2\pi}.$$π​/21/2​​=2π​2​=π2​​.

Étape 6 : Valeur numérique

$$\sqrt{\frac2\pi} \approx0.79788.$$π2​​≈0.79788.

Ainsi :$$\boxed{C(3)=0.79788}$$C(3)=0.79788​

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4. Tableau de normalisation algébrique

$k$k	Numérateur $2^{1-k/2}$21−k/2	Dénominateur $\Gamma(k/2)$Γ(k/2)	Forme exacte	Valeur décimale
1	$\sqrt2$2​	$\sqrt{\pi}$π​	$\sqrt{2/\pi}$2/π​	0.79788
2	$1$1	$1$1	$1$1	1.00000
3	$1/\sqrt2$1/2​	$\sqrt{\pi}/2$π​/2	$\sqrt{2/\pi}$2/π​	0.79788
4	$1/2$1/2	$1$1	$1/2$1/2	0.50000
5	$1/(2\sqrt2)$1/(22​)	$3\sqrt{\pi}/4$3π​/4	$\frac23\sqrt{2/\pi}$32​2/π​	0.53192
6	$1/4$1/4	$2$2	$1/8$1/8	0.12500

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5. Analyse numérique

Le tableau montre deux comportements distincts :

Valeurs impaires

Les degrés de liberté impairs produisent systématiquement des expressions contenant :$$\sqrt{\pi}.$$π​.

Exemples :$$k=1,\;3,\;5.$$k=1,3,5.

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Valeurs paires

Les degrés de liberté pairs se réduisent à des combinaisons de puissances de $2$2 et de factorielles.

Exemples :$$k=2,\;4,\;6.$$k=2,4,6.

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Maximum de la constante

La constante atteint sa valeur maximale pour :$$k=2.$$k=2.

En effet :$$C(2)=1.$$C(2)=1.

Aucune autre valeur entière positive de $k$k ne produit une constante supérieure.

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Conclusion

La constante de normalisation de la loi du χ :$$C(k) = \frac{2^{\,1-k/2}} {\Gamma(k/2)}$$C(k)=Γ(k/2)21−k/2​

est un mécanisme de compensation analytique qui équilibre exactement la croissance du terme polynomial :$$x^{k-1}.$$xk−1.

Son calcul repose simultanément sur :$$2^{\,1-k/2}$$21−k/2

et$$\Gamma(k/2).$$Γ(k/2).

Pour les degrés de liberté pairs, elle se ramène à des rapports de factorielles. Pour les degrés de liberté impairs, elle fait apparaître la constante fondamentale :$$\sqrt{\pi}.$$π​.

Cette normalisation garantit rigoureusement que la densité de la loi du χ conserve une masse probabiliste totale égale à :$$1,$$1,

quelle que soit la dimension $k$k de l’espace considéré.

LA RELATION ENTRE LA Loi du χ et LA fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice. Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi du χ est une distribution continue, version réduite géométrique du chi-carré. Le chi-carré modélise une somme de normales au carré ; le χ en est la racine carrée. Géométriquement, c’est une loi de distance : la longueur euclidienne d’un vecteur dont les k coordonnées sont indépendantes et normales centrées réduites.

1. Intensité

x > 0 (une distance n’est pas négative). k ∈ ℕ* : degrés de liberté, nombre de dimensions.

f(x) = [ 2^{1 − k/2} · x^{k − 1} · e^−x²/2 ] / Γ(k/2), E(X) = √2 · Γ((k + 1)/2) / Γ(k/2),   Var(X) = k − [E(X)]².

2. Construction vectorielle et indicatrice de l’espace

Soit Z = (Z₁, …, Z_k) avec Z_i i.i.d. ∼ N(0, 1). L’espace d’accueil est ℝ^k. La distance est X = ‖Z‖ = (Z₁² + … + Z_k²)^1/2 ∼ χ(k). X n’existe comme longueur que sur U = [0, +∞[ ⊂ ℝ,   1_U(x) = 1 si x ≥ 0,   0 si x < 0. La densité caractéristique est f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x). Hors de U, f_U = 0 : pas de distance négative, donc pas de loi du χ.

3. Appartenance à une boule

Pour t ≥ 0, la boule euclidienne fermée de rayon t dans ℝ^k est B_t = { z ∈ ℝ^k : ‖z‖ ≤ t }. Alors 1_Bt(Z) = 1 si X ≤ t,   0 sinon,   soit 1_Bt(Z) = 1_{[0, t]}(X). La fonction de répartition du χ est l’espérance de cette appartenance : F(t) = P(X ≤ t) = E(1_Bt(Z)) = E(1_{[0, t]}(X)).

4. Lien avec le chi-carré

Y = X² ∼ χ²(k). L’indicatrice de distance se transporte : 1_{[0, t]}(X) = 1_{[0, t²]}(Y), car X ≥ 0. Appartenir à la boule de rayon t, c’est appartenir à la coquille d’énergie ≤ t². Le χ mesure le rayon ; le χ² mesure le carré du rayon. L’indicatrice est la même porte, lue sur deux échelles.

5. Bernoulli induite

I_t = 1_{[0, t]}(X) ∼ Bernoulli(F(t)). I_t = 1 signifie : le vecteur gaussien est tombé dans B_t. F(t) est l’intensité de cette appartenance spatiale.

6. Structure caractéristique

f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x),   F_U(t) = F(t) · 1_{[0, +∞[}(t).

Sans 1_U, la formule de f peut s’écrire pour x < 0, mais elle n’est plus une distance. Avec 1_U, la loi n’existe que là où une longueur a le droit d’exister.

7. Chaîne conceptuelle

Z ∈ ℝ^k → X = ‖Z‖ → 1_{[0, +∞[}(X) → 1_Bt(Z) = 1_{[0, t]}(X) → F(t) = E(1_Bt(Z)).

8. Synthèse

Le χ est l’intensité de la distance d’un vecteur gaussien. L’indicatrice en est le droit d’être une longueur, et le droit d’être dans la boule de rayon t :

f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x), F(t) = E(1_{‖Z‖ ≤ t}(Z)). Sans 1_U et sans 1_Bt, f n’est qu’une expression. Avec elles, c’est une loi de distance.

• Loi du χ² est une distribution de probabilité continue fondamentale en statistique inférentielle, modélisant le comportement de la somme des carrés de plusieurs variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi normale centrée réduite N(0,1). Formules principales Domaine de définition : x ∈ [0, +∞[ (une somme de carrés étant toujours positive ou nulle). Paramètre de forme : k représente les « degrés de liberté », généralement un entier strictement positif ( k ∈ ℕ* ). Densité de probabilité (PDF) : f(x) = [ x⁽ᵏ^/² ⁻ ¹⁾ · e⁽⁻ˣ^/²⁾ ] / [ 2⁽ᵏ^/²⁾ · Γ(k/2) ] (où Γ est la fonction Gamma d’Euler, qui généralise la factorielle). Espérance (Moyenne) : E(X)=k. Variance : Var(X)=2k.

La loi du χ² (Chi-carré)

Distribution de la somme des carrés de variables normales standard

La loi du χ² (Chi-carré) est une distribution de probabilité continue définie sur :$$x>0.$$x>0.

Elle décrit la distribution de la somme :$$X=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_k^2$$X=Z12​+Z22​+⋯+Zk2​

où :$$Z_1,Z_2,\ldots,Z_k$$Z1​,Z2​,…,Zk​

sont des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi normale centrée réduite :$$N(0,1).$$N(0,1).

Le paramètre :$$k$$k

représente les degrés de liberté.

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1. Fonction de densité de probabilité

La densité de la loi du χ² est :$$f(x) = \frac{x^{(k/2)-1}\times e^{-x/2}} {2^{k/2}\times\Gamma(k/2)}$$f(x)=2k/2×Γ(k/2)x(k/2)−1×e−x/2​

pour :$$x>0.$$x>0.

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2. Décomposition des composantes algébriques

Le moteur géométrique

Le premier facteur est :$$x^{(k/2)-1}.$$x(k/2)−1.

Lorsque :$$k>2,$$k>2,

l’exposant devient positif.

La densité démarre alors à zéro lorsque :$$x=0$$x=0

puis augmente progressivement.

Exemples :$$k=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{(4/2)-1}=x^1.$$k=4⟹x(4/2)−1=x1.$$k=6 \quad\Longrightarrow\quad x^{(6/2)-1}=x^2.$$k=6⟹x(6/2)−1=x2.

Plus $k$k augmente, plus ce terme favorise les grandes valeurs de $x$x.

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Le compresseur exponentiel

Le second facteur est :$$e^{-x/2}.$$e−x/2.

Lorsque :$$x\rightarrow+\infty,$$x→+∞,

on obtient :$$e^{-x/2}\rightarrow0.$$e−x/2→0.

Cette décroissance exponentielle domine finalement toute croissance polynomiale.

Par conséquent :$$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0.$$x→+∞lim​f(x)=0.

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La constante de normalisation

Le dénominateur :$$2^{k/2}\times\Gamma(k/2)$$2k/2×Γ(k/2)

est indépendant de $x$x.

Il garantit que :$$\int_0^{+\infty} f(x)\,dx = 1.$$∫0+∞​f(x)dx=1.

Cette constante utilise :$$\Gamma(k/2),$$Γ(k/2),

la fonction Gamma d’Euler, extension continue de la factorielle.

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3. Simplification pour $k=4$k=4

Considérons :$$k=4.$$k=4.

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Étape 1 : Puissance de 2

$$2^{k/2} = 2^2 = 4.$$2k/2=22=4.

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Étape 2 : Fonction Gamma

$$\Gamma(2) = (2-1)! = 1.$$Γ(2)=(2−1)!=1.

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Étape 3 : Constante globale

$$2^2\times\Gamma(2) = 4\times1 = 4.$$22×Γ(2)=4×1=4.

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Étape 4 : Exposant polynomial

$$(k/2)-1 = 2-1 = 1.$$(k/2)−1=2−1=1.

Ainsi :$$x^{(k/2)-1}=x.$$x(k/2)−1=x.

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Équation simplifiée

La densité devient :$$f(x) = \frac{x}{4} \times e^{-x/2}.$$f(x)=4x​×e−x/2.

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4. Calcul détaillé pour $x=2$x=2

Nous évaluons :$$f(2).$$f(2).

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Opérateur géométrique

$$\frac{x}{4} = \frac{2}{4} = 0.5000.$$4x​=42​=0.5000.

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Terme exponentiel

$$e^{-2/2} = e^{-1} \approx 0.36788.$$e−2/2=e−1≈0.36788.

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Produit final

$$0.5000\times0.36788 = 0.18394.$$0.5000×0.36788=0.18394.

Ainsi :$$\boxed{f(2)\approx0.18394}$$f(2)≈0.18394​

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5. Tableau numérique pour $k=4$k=4

$x$x	$x/4$x/4	$e^{-x/2}$e−x/2	Produit	$f(x)$f(x)
0	0.000	1.0000	0.000 × 1.0000	0.00000
1	0.250	0.6065	0.250 × 0.6065	0.15163
2	0.500	0.3679	0.500 × 0.3679	0.18394
4	1.000	0.1353	1.000 × 0.1353	0.13534
6	1.500	0.0498	1.500 × 0.0498	0.07468
10	2.500	0.00674	2.500 × 0.00674	0.01684
15	3.750	0.000553	3.750 × 0.000553	0.00207

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6. Localisation du mode

Pour la loi du χ² :$$\text{Mode} = k-2$$Mode=k−2

lorsque :$$k\ge2.$$k≥2.

Dans le cas :$$k=4,$$k=4,

on obtient :$$\text{Mode} = 4-2 = 2.$$Mode=4−2=2.

La densité atteint donc son maximum en :$$x=2.$$x=2.

Ce résultat apparaît directement dans le tableau numérique :$$f(2)\approx0.18394$$f(2)≈0.18394

est la valeur maximale observée.

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7. Analyse algébrique de la dynamique

Les données numériques montrent deux régimes distincts.

Régime ascendant

Entre :$$x=0$$x=0

et$$x=2,$$x=2,

la croissance du terme linéaire :$$\frac{x}{4}$$4x​

est plus rapide que la décroissance induite par :$$e^{-x/2}.$$e−x/2.

La densité augmente donc.

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Point d’équilibre

À :$$x=2,$$x=2,

les effets antagonistes du facteur polynomial et du facteur exponentiel s’équilibrent.

La densité atteint alors son maximum.

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Régime descendant

Pour :$$x>2,$$x>2,

la décroissance exponentielle devient dominante.

Par exemple :$$e^{-5} \approx0.00674$$e−5≈0.00674

pour :$$x=10.$$x=10.

Même si le facteur :$$\frac{x}{4}$$4x​

continue d’augmenter sans limite, la décroissance exponentielle l’emporte définitivement.

Par conséquent :$$f(x)\rightarrow0$$f(x)→0

lorsque :$$x\rightarrow+\infty.$$x→+∞.

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Conclusion

La loi du χ² possède la densité :$$f(x) = \frac{x^{(k/2)-1}e^{-x/2}} {2^{k/2}\Gamma(k/2)}.$$f(x)=2k/2Γ(k/2)x(k/2)−1e−x/2​.

Sa structure repose sur l’interaction de trois composantes fondamentales :$$x^{(k/2)-1},$$x(k/2)−1,$$e^{-x/2},$$e−x/2,

et$$2^{k/2}\Gamma(k/2).$$2k/2Γ(k/2).

Le terme polynomial favorise la croissance des faibles et moyennes valeurs de $x$x, tandis que l’exponentielle impose une décroissance rapide pour les grandes valeurs. La constante de normalisation garantit que l’aire totale sous la densité est exactement égale à :$$1.$$1.

Pour $k=4$k=4, la densité simplifiée :$$f(x)=\frac{x}{4}e^{-x/2}$$f(x)=4x​e−x/2

atteint son maximum en :$$x=2,$$x=2,

avec :$$f(2)\approx0.18394.$$f(2)≈0.18394.

La loi du χ² constitue ainsi l’une des distributions fondamentales de la statistique mathématique, intervenant dans l’étude des variances, des estimations et des tests d’adéquation.

Loi du χ² et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice. Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi du χ² est une distribution continue fondamentale en statistique inférentielle. Elle modélise la somme des carrés de k variables indépendantes de loi normale centrée réduite N(0,1). Une somme de carrés est toujours positive ou nulle : le domaine est [0, +∞[.

1. IntensitéParamètre k ∈ ℕ* : degrés de liberté. Pour x ≥ 0,

f(x) = [ x^{k/2 − 1} · e^−x/2 ] / [ 2^k/2 · Γ(k/2) ],

E(X) = k,   Var(X) = 2k.

Γ est la fonction Gamma d’Euler.

2. Construction et indicatrice de support

Soient Z₁, …, Z_k i.i.d. ∼ N(0, 1). On pose

X = Z₁² + Z₂² + … + Z_k² ∼ χ²(k).

Chaque Z_i² ≥ 0, donc X ≥ 0. L’espace d’accueil de la loi, une fois projetée sur ℝ, est

U = [0, +∞[,   1_U(x) = 1 si x ≥ 0,   0 si x < 0.

Densité caractéristique :

f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x).

Hors de U, une somme de carrés n’a pas de réalité : f_U = 0.

3. Appartenance à une coquille d’énergie

Dans ℝ^k, l’ensemble des vecteurs d’énergie au plus t est

C_t = { z ∈ ℝ^k : z₁² + … + z_k² ≤ t } = B_√t,

la boule de rayon √t. Alors

1_Ct(Z) = 1 si X ≤ t,   0 sinon,

1_Ct(Z) = 1_{[0, t]}(X) = 1_B√t(Z).

La fonction de répartition est l’espérance de cette appartenance :

F(t) = P(X ≤ t) = E(1_{[0, t]}(X)) = E(1_Ct(Z)),   t ≥ 0.

4. Lien avec la loi du χ

Si R = ‖Z‖ ∼ χ(k), alors X = R² ∼ χ²(k). Les deux indicatrices décrivent le même événement spatial :

1_{[0, t]}(X) = 1_{[0, √t]}(R) = 1_B√t(Z).

Le χ² mesure le carré du rayon (énergie) ; le χ mesure le rayon (distance). L’indicatrice est la même porte, lue sur deux échelles.

5. Additivité et K3

Si X ∼ χ²(k) et Y ∼ χ²(m) sont indépendantes,

X + Y ∼ χ²(k + m).

En indicatrices de construction : les k + m carrés Z_i² sont des contributions disjointes d’axes. Sommer les énergies, c’est unir des dimensions. La σ-additivité de P assure que la masse de la coquille se comporte comme un volume fragmentable dans ℝ^k+m.

6. Bernoulli induite

I_t = 1_{[0, t]}(X) ∼ Bernoulli(F(t)).

I_t = 1 signifie : le vecteur gaussien est dans C_t, son énergie ne dépasse pas t. F(t) est l’intensité de cette appartenance.

7. Structure caractéristique

f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x),   F_U(t) = F(t) · 1_{[0, +∞[}(t).

Sans 1_U, x^{k/2 − 1} e^−x/2 peut s’écrire pour x < 0, mais ce n’est plus une somme de carrés. Avec 1_U, la loi n’existe que là où une énergie a le droit d’exister.

8. Chaîne conceptuelle

Z ∈ ℝ^k → X = Σ Z_i² → 1_{[0, +∞[}(X) → 1_Ct(Z) = 1_{[0, t]}(X) → F(t) = E(1_Ct(Z)) = k en moyenne d’énergie.

9. Synthèse

Le χ² est l’intensité d’une somme de carrés gaussiens. L’indicatrice est le droit d’être une énergie positive et le droit d’être dans la coquille C_t :

f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x),   F(t) = E(1_{Σ Zi² ≤ t}(Z)).

E(X) = k est la masse moyenne de k axes. Var(X) = 2k en mesure la dispersion. Sans 1_U, pas de loi du χ².

• Loi du χ non centrée est une distribution de probabilité continue. Elle est la racine carrée géométrique de la loi du χ² non centrée. Si la loi du χ classique mesure la longueur d’un vecteur dont les coordonnées varient de façon aléatoire et parfaite autour de zéro, la loi du χ non centrée mesure la distance absolue (la longueur physique) d’un vecteur dont les coordonnées sont soumises à un « biais » systématique, c’est-à-dire que leur moyenne d’origine n’est pas nulle. Formules principales : Domaine de définition : x ∈ [0, +∞[ (une distance géométrique ne peut être négative). Paramètres : k ∈ ℕ* (les degrés de liberté, représentant le nombre de dimensions spatiales) λ ≥ 0 (le paramètre de décentrage, qui correspond à la distance géométrique exacte entre l’origine et le point moyen théorique du vecteur). Densité de probabilité (PDF) : f(x) = e⁽⁻⁽ˣ² ⁺ λ²⁾^/²⁾ · x · (x / λ)⁽ᵏ^/² ⁻ ¹⁾ · I(λ · x) (où I est la fonction de Bessel modifiée de première espèce d’ordre k/2 – 1). Espérance (Moyenne) : E(X) = √2 · [ Γ((k + 1)/2) / Γ(k/2) ] · M(-1/2, k/2, -λ²/2) (où Γ est la fonction d’Euler, et M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer). Variance : Var(X) = k + λ² – [ E(X) ]².

La loi du χ non centrée

Distribution de la norme euclidienne en présence d’un biais

La loi du χ non centrée décrit la distribution de la distance euclidienne d’un vecteur aléatoire dont les composantes gaussiennes possèdent un décentrage systématique. Contrairement à la loi du χ centrée, la présence du paramètre de non-centralité :$$\lambda$$λ

introduit un déplacement structurel de la masse probabiliste.

Pour :$$x>0,$$x>0,

la fonction de densité s’écrit :$$f(x) = x\times e^{-(x^2+\lambda^2)/2} \times \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{(k/2)-1} \times I_{(k/2)-1}(\lambda x)$$f(x)=x×e−(x2+λ2)/2×(λx​)(k/2)−1×I(k/2)−1​(λx)

où :$$k$$k

désigne le nombre de degrés de liberté,

et$$I_{(k/2)-1}$$I(k/2)−1​

est la fonction de Bessel modifiée de première espèce.

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1. Décomposition des composantes algébriques

Le compresseur exponentiel conjoint

Le premier facteur est :$$e^{-(x^2+\lambda^2)/2}.$$e−(x2+λ2)/2.

Il contient simultanément :$$x^2$$x2

et$$\lambda^2.$$λ2.

Ainsi, la décroissance exponentielle dépend à la fois de la distance mesurée et du niveau de non-centralité.

Lorsque :$$x$$x

ou$$\lambda$$λ

augmente fortement, ce facteur devient rapidement très petit.

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Le levier dimensionnel

Le second facteur est :$$\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{(k/2)-1}.$$(λx​)(k/2)−1.

Son exposant dépend du nombre de degrés de liberté.

Pour :$$k=2,$$k=2,

on obtient :$$\left(\frac{x}{\lambda}\right)^0=1.$$(λx​)0=1.

Le terme disparaît complètement.

Pour :$$k>2,$$k>2,

ce facteur influence la répartition de la masse probabiliste le long de l’axe des distances.

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L’intégrateur de Bessel

Le troisième facteur est :$$I_{(k/2)-1}(\lambda x).$$I(k/2)−1​(λx).

Cette fonction résulte d’une somme infinie convergente :$$I_\nu(z) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(z/2)^{2m+\nu}} {m!\,\Gamma(m+\nu+1)}.$$Iν​(z)=m=0∑∞​m!Γ(m+ν+1)(z/2)2m+ν​.

Dans la densité du χ non centré, elle compense partiellement l’écrasement imposé par l’exponentielle.

Son influence augmente lorsque :$$\lambda x$$λx

augmente.

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Le multiplicateur radial

Le facteur initial :$$x$$x

assure que :$$f(0)=0.$$f(0)=0.

Ainsi, la probabilité associée à une distance exactement nulle est nulle dans un espace continu.

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2. Simplification pour $k=2$k=2

Considérons :$$k=2.$$k=2.

Alors :$$\left(\frac{k}{2}\right)-1 = 0.$$(2k​)−1=0.

Le facteur dimensionnel vaut :$$1.$$1.

La densité devient :$$f(x) = x\times e^{-(x^2+\lambda^2)/2} \times I_0(\lambda x).$$f(x)=x×e−(x2+λ2)/2×I0​(λx).

Cette forme correspond à la distribution de Rice.

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3. Exemple numérique

Considérons :$$k=2, \qquad \lambda=2, \qquad x=3.$$k=2,λ=2,x=3.

La densité devient :$$f(3) = 3\times e^{-(3^2+2^2)/2} \times I_0(6).$$f(3)=3×e−(32+22)/2×I0​(6).

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Étape 1 : Calcul exponentiel

Somme des carrés :$$3^2+2^2 = 9+4 = 13.$$32+22=9+4=13.

Division :$$\frac{13}{2} = 6.5.$$213​=6.5.

Exponentielle :$$e^{-6.5} \approx0.001503.$$e−6.5≈0.001503.

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Étape 2 : Calcul du terme de Bessel

Argument :$$\lambda\times x = 2\times3 = 6.$$λ×x=2×3=6.

Valeur numérique :$$I_0(6) \approx67.2344.$$I0​(6)≈67.2344.

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Étape 3 : Produit final

$$3\times0.001503\times67.2344 \approx0.3031.$$3×0.001503×67.2344≈0.3031.

Ainsi :$$\boxed{f(3)\approx0.3031}$$f(3)≈0.3031​

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4. Tableau numérique pour $k=2$k=2 et $\lambda=2$λ=2

Distance $x$x	$x^2+\lambda^2$x2+λ2	$e^{-(x^2+\lambda^2)/2}$e−(x2+λ2)/2	$\lambda x$λx	$I_0(\lambda x)$I0​(λx)	Produit complet	$f(x)$f(x)
0	4	0.13533	0	1.000	$0\times0.13533\times1$0×0.13533×1	0.0000
1	5	0.08208	2	2.279	$1\times0.08208\times2.279$1×0.08208×2.279	0.1871
2	8	0.01831	4	11.301	$2\times0.01831\times11.301$2×0.01831×11.301	0.4140
3	13	0.001503	6	67.234	$3\times0.001503\times67.234$3×0.001503×67.234	0.3031
4	20	0.0000454	8	427.564	$4\times0.0000454\times427.564$4×0.0000454×427.564	0.0776
5	29	0.000000504	10	2815.716	$5\times0.000000504\times2815.716$5×0.000000504×2815.716	0.0070

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5. Analyse du déplacement probabiliste

Les valeurs numériques montrent une interaction continue entre deux mécanismes :

Compression exponentielle

Le terme :$$e^{-(x^2+\lambda^2)/2}$$e−(x2+λ2)/2

décroît extrêmement vite.

On observe :$$0.08208, \quad 0.01831, \quad 0.001503, \quad 0.000045, \quad 0.0000005.$$0.08208,0.01831,0.001503,0.000045,0.0000005.

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Amplification par Bessel

Simultanément :$$I_0(\lambda x)$$I0​(λx)

augmente fortement :$$1, \quad 2.279, \quad 11.301, \quad 67.234, \quad 427.564, \quad 2815.716.$$1,2.279,11.301,67.234,427.564,2815.716.

Cette croissance compense une partie de l’écrasement exponentiel.

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Position du mode

Le tableau révèle que la densité maximale observée est :$$f(2)\approx0.4140.$$f(2)≈0.4140.

Dans cet exemple particulier :$$k=2, \qquad \lambda=2,$$k=2,λ=2,

la masse probabiliste se concentre autour de :$$x\approx2.$$x≈2.

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Conclusion

La loi du χ non centrée possède la densité :$$f(x) = x\,e^{-(x^2+\lambda^2)/2} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{(k/2)-1} I_{(k/2)-1}(\lambda x).$$f(x)=xe−(x2+λ2)/2(λx​)(k/2)−1I(k/2)−1​(λx).

Sa structure résulte de l’interaction de quatre composantes fondamentales :$$x,$$x,$$e^{-(x^2+\lambda^2)/2},$$e−(x2+λ2)/2,$$\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{(k/2)-1},$$(λx​)(k/2)−1,

et$$I_{(k/2)-1}(\lambda x).$$I(k/2)−1​(λx).

Dans le cas particulier :$$k=2, \qquad \lambda=2,$$k=2,λ=2,

la densité se réduit à la distribution de Rice :$$f(x) = x\,e^{-(x^2+\lambda^2)/2}I_0(\lambda x),$$f(x)=xe−(x2+λ2)/2I0​(λx),

et le calcul numérique montre que l’effet combiné du terme de Bessel et du facteur exponentiel déplace la masse probabiliste vers des distances compatibles avec le paramètre de non-centralité $\lambda$λ. Cette propriété constitue la signature analytique fondamentale de la loi du χ non centrée.

Décomposition arithmétique de la fonction de Bessel modifiée $I₀(6)$I0​(6)

Réduction de la fonction de Bessel à une série numérique

Dans le cas particulier :$$v=0,$$v=0,

la fonction de Bessel modifiée de première espèce se développe sous la forme de la série de Taylor :$$I_0(z) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2}.$$I0​(z)=m=0∑∞​(m!)2(z/2)2m​.

Pour :$$z=6,$$z=6,

on obtient :$$I_0(6) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(6/2)^{2m}}{(m!)^2}.$$I0​(6)=m=0∑∞​(m!)2(6/2)2m​.

Comme :$$\frac{6}{2}=3,$$26​=3,

alors :$$I_0(6) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{3^{2m}}{(m!)^2}.$$I0​(6)=m=0∑∞​(m!)232m​.

et puisque :$$3^{2m}=9^m,$$32m=9m,

la série devient :$$I_0(6) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{9^m}{(m!)^2}.$$I0​(6)=m=0∑∞​(m!)29m​.

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1. Structure algébrique de la série

Chaque terme de la série possède la forme :$$T_m = \frac{9^m}{(m!)^2}.$$Tm​=(m!)29m​.

Le calcul repose sur deux mécanismes antagonistes.

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Le numérateur géométrique

Le numérateur est :$$9^m.$$9m.

Ses premières valeurs sont :$$1,\;9,\;81,\;729,\;6561,\;59049,\ldots$$1,9,81,729,6561,59049,…

Il croît exponentiellement.

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Le dénominateur factoriel

Le dénominateur est :$$(m!)^2.$$(m!)2.

Ses premières valeurs sont :$$1,\;1,\;4,\;36,\;576,\;14400,\ldots$$1,1,4,36,576,14400,…

Sa croissance finit par dépasser celle du numérateur.

Par conséquent :$$\lim_{m\to\infty} \frac{9^m}{(m!)^2} = 0.$$m→∞lim​(m!)29m​=0.

Cette propriété assure la convergence de la série.

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2. Calcul détaillé des premières strates

Strate $m=0$m=0

Numérateur :$$9^0=1.$$90=1.

Dénominateur :$$(0!)^2=1.$$(0!)2=1.

Valeur de la strate :$$T_0 = \frac{1}{1} = 1.000000.$$T0​=11​=1.000000.

Somme cumulée :$$S_0=1.000000.$$S0​=1.000000.

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Strate $m=2$m=2

Numérateur :$$9^2=81.$$92=81.

Dénominateur :$$(2!)^2 = (2\times1)^2 = 4.$$(2!)2=(2×1)2=4.

Valeur de la strate :$$T_2 = \frac{81}{4} = 20.250000.$$T2​=481​=20.250000.

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Strate $m=4$m=4

Numérateur :$$9^4=6561.$$94=6561.

Dénominateur :$$(4!)^2 = 24^2 = 576.$$(4!)2=242=576.

Valeur :$$T_4 = \frac{6561}{576} = 11.390625.$$T4​=5766561​=11.390625.

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Strate $m=5$m=5

Numérateur :$$9^5=59049.$$95=59049.

Dénominateur :$$(5!)^2 = 120^2 = 14400.$$(5!)2=1202=14400.

Valeur :$$T_5 = \frac{59049}{14400} = 4.100625.$$T5​=1440059049​=4.100625.

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3. Tableau de sommation de $I_0(6)$I0​(6)

Strate $m$m	$9^m$9m	$(m!)^2$(m!)2	Terme $9^m/(m!)^2$9m/(m!)2	Somme cumulée
0	1	1	1.000000	1.000000
1	9	1	9.000000	10.000000
2	81	4	20.250000	30.250000
3	729	36	20.250000	50.500000
4	6 561	576	11.390625	61.890625
5	59 049	14 400	4.100625	65.991250
6	531 441	518 400	1.025156	67.016406
7	4 782 969	25 401 600	0.188294	67.204700
8	43 046 721	1 625 702 400	0.026478	67.231178
9	387 420 489	131 681 894 400	0.002942	67.234120

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4. Analyse de la convergence

Les premiers termes augmentent rapidement :$$1, \quad 9, \quad 20.25, \quad 20.25.$$1,9,20.25,20.25.

Puis la croissance factorielle commence à dominer :$$11.390625, \quad 4.100625, \quad 1.025156, \quad 0.188294, \quad 0.026478, \quad 0.002942.$$11.390625,4.100625,1.025156,0.188294,0.026478,0.002942.

La contribution des nouvelles strates devient alors extrêmement faible.

Par exemple :$$T_9 = 0.002942.$$T9​=0.002942.

L’itération suivante produit seulement :$$T_{10} = \frac{9^{10}}{(10!)^2} \approx0.000265.$$T10​=(10!)2910​≈0.000265.

Cette contribution modifie la somme de moins de trois dix-millièmes.

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Conclusion

Pour :$$z=6,$$z=6,

la fonction de Bessel modifiée de première espèce est donnée par :$$I_0(6) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{9^m}{(m!)^2}.$$I0​(6)=m=0∑∞​(m!)29m​.

L’évaluation numérique montre que la série converge rapidement vers :$$\boxed{I_0(6)\approx67.2344}.$$I0​(6)≈67.2344​.

Le mécanisme de convergence repose entièrement sur le rapport entre :$$9^m$$9m

au numérateur et$$(m!)^2$$(m!)2

au dénominateur.

Bien que la puissance géométrique croisse rapidement, la croissance du carré factoriel finit par dominer et force chaque nouveau terme vers zéro. La constante finale $67.2344$67.2344 est ainsi obtenue par la simple sommation d’une suite convergente de fractions, ce qui fournit une méthode directement copiable dans un document Word, un article de blog ou une publication mathématique.

Loi du χ non centré et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice

Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi du χ non centré est la racine carrée géométrique du χ² non centré. Le χ classique mesure la longueur d’un vecteur gaussien centré en 0. Le χ non centré mesure la distance à l’origine d’un vecteur dont la moyenne μ n’est pas nulle. λ ≥ 0 est cette distance déterministe ‖μ‖.

1. Construction

Soit Z ∼ N(0, I_k) dans ℝ^k, μ ∈ ℝ^k, λ = ‖μ‖ ≥ 0. On pose

R = ‖Z + μ‖ ∼ χ(k, λ).

Alors R² ∼ χ²(k, λ²) : le paramètre de décentrage du χ² associé est le carré de λ. Si λ = 0, R ∼ χ(k).

2. Domaine et indicatrice de support

Une distance euclidienne n’est pas négative :

U = [0, +∞[,   1_U(x) = 1 si x ≥ 0,   0 si x < 0,

f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x).

Hors de U, f_U = 0 : pas de longueur négative, donc pas de loi du χ non centré.

3. Intensité

Pour x ≥ 0 et λ > 0,

f(x) = e^{−(x² + λ²)/2} · x · (x / λ)^{k/2 − 1} · I_{k/2 − 1}(λ x),

où I_ν est la Bessel modifiée de première espèce d’ordre ν = k/2 − 1. Équivalent :

f(x) = e^{−(x² + λ²)/2} x^k/2 λ^{1 − k/2} I_{k/2 − 1}(λ x).

E(R) = √2 · [Γ((k+1)/2) / Γ(k/2)] · M(−1/2, k/2, −λ²/2),

Var(R) = k + λ² − [E(R)]².

M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

4. Appartenance à une boule

La boule de rayon t centrée à l’origine (pas en μ) est

B_t = { w ∈ ℝ^k : ‖w‖ ≤ t }.

Le vecteur observé est W = Z + μ, de moyenne μ à distance λ de 0. Alors

1_Bt(W) = 1 si R ≤ t,   0 sinon,

1_Bt(W) = 1_{[0, t]}(R).

La fonction de répartition est l’espérance de cette appartenance :

F(t) = P(R ≤ t) = E(1_Bt(W)) = E(1_{[0, t]}(R)),   t ≥ 0.

Plus λ est grand, plus il est difficile d’appartenir à une petite boule centrée en 0.

5. Lien avec le χ² non centré

Soit Y = R² ∼ χ²(k, λ²). Les deux indicatrices décrivent le même événement spatial :

1_{[0, t]}(R) = 1_{[0, t²]}(Y) = 1_Bt(W).

Le χ non centré lit le rayon biaisé ; le χ² non centré lit le carré de ce rayon (énergie biaisée). Même porte, deux échelles.

6. Retour au cas centré

L’indicatrice du décentrage nul,

1_{0}(λ),

éteint le biais. Quand λ = 0, I_ν(λx) et le préfacteur (x/λ)^k/2−1 se réduisent (limite) à la densité du χ(k) :

χ(k, λ) |_λ=0 = χ(k),   f_U(x) |_λ=0 = f_χ(k)(x) · 1_U(x).

7. Bernoulli et structure caractéristique

I_t = 1_{[0, t]}(R) ∼ Bernoulli(F(t)),

f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x),   F_U(t) = F(t) · 1_{[0, +∞[}(t).

Sans 1_U, Bessel et Kummer décrivent une expression hors objet. Avec 1_U, c’est une loi de distance.

8. Chaîne conceptuelle

μ ∈ ℝ^k, λ = ‖μ‖ → W = Z + μ → R = ‖W‖→ 1_U(R) → 1_Bt(W) = 1_{[0, t]}(R)→ F(t) = E(1_Bt(W)),   Y = R² ∼ χ²(k, λ²).

9. Synthèse

Le χ non centré est l’intensité d’une distance biaisée. L’indicatrice 1_U est le droit d’être une longueur. 1_Bt est le droit d’être dans la boule de rayon t, malgré le décalage μ :

f_U(x) = e^{−(x²+λ²)/2} x (x/λ)^k/2−1 I_k/2−1(λx) · 1_[0,+∞[(x).

Sans 1_U et sans 1_Bt, λ n’est qu’un paramètre. Avec elles, c’est un biais mesurable dans une loi d’appartenance géométrique.

• Loi du χ² non centrée est une distribution de probabilité continue qui généralise la loi du χ² classique. Alors que la loi classique modélise la somme des carrés de variables normales parfaitement centrées sur zéro, la loi non centrée modélise la somme des carrés de variables normales de variance 1, mais dont la moyenne (l’espérance) d’origine n’est pas nulle. Elle intègre donc un « biais » fondamental. Formules principales : Domaine de définition : x ∈ [0, +∞[ (une somme de carrés ne peut être négative). Paramètres : k ∈ ℕ* (les degrés de liberté, représentant le nombre de dimensions ou de variables additionnées) λ ≥ 0 (le paramètre de décentrage, qui équivaut à la somme exacte des carrés des moyennes des variables normales d’origine). Densité de probabilité (PDF) sous forme de série de Poisson (la forme la plus utilisée pour le calcul) : f(x) = ∑ (de i=0 à ∞) [ e⁽⁻λ^/²⁾ · (λ/2)ⁱ / i! ] · fₖ₊₂ᵢ(x) (où fₖ₊₂ᵢ(x) est la fonction de densité d’une loi du χ² centrée classique à k + 2i degrés de liberté). Densité de probabilité (PDF) fermée avec fonction de Bessel : f(x) = (1 / 2) · e⁽⁻⁽ˣ ⁺ λ⁾^/²⁾ · (x / λ)⁽ᵏ^/⁴ ⁻ ¹^/²⁾ · I( √(λ · x) ) (où I est la fonction de Bessel modifiée de première espèce d’ordre k/2 – 1). Espérance (Moyenne) : E(X) = k + λ. Variance : Var(X) = 2k + 4λ.

La loi du χ² non centrée

Une représentation par mélange infini de lois du χ²

La loi du χ² non centrée constitue une généralisation de la loi du χ² classique. Lorsqu’un biais systématique est présent dans les variables normales initiales, la densité ne peut plus être exprimée sous la forme d’une unique équation élémentaire. Elle s’écrit alors comme une somme infinie pondérée de lois du χ² ordinaires.

La densité de probabilité s’écrit :$$f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j}{j!} \,f_{\chi^2_{k+2j}}(x)$$f(x)=j=0∑∞​j!e−λ/2(λ/2)j​fχk+2j2​​(x)

où :$$x>0,$$x>0,$$k$$k

désigne les degrés de liberté initiaux,

et$$\lambda>0$$λ>0

est le paramètre de non-centralité.

La fonction :$$f_{\chi^2_{k+2j}}(x)$$fχk+2j2​​(x)

représente la densité d’une loi du χ² classique possédant :$$k+2j$$k+2j

degrés de liberté.

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1. Décomposition des composantes algébriques

Le paramètre de non-centralité $\lambda$λ

Le paramètre :$$\lambda$$λ

mesure l’intensité du décentrage.

Lorsque :$$\lambda=0,$$λ=0,

la pondération s’effondre sur le seul terme :$$j=0,$$j=0,

et la formule devient exactement celle du χ² classique :$$f(x)=f_{\chi^2_k}(x).$$f(x)=fχk2​​(x).

Ainsi :$$\boxed{\lambda=0 \Longrightarrow \text{loi du χ² classique}}$$λ=0⟹loi du χ² classique​

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Le système de pondération de Poisson

Chaque terme de la somme reçoit un poids :$$w_j= \frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j}{j!}.$$wj​=j!e−λ/2(λ/2)j​.

Ces coefficients constituent les probabilités d’une loi de Poisson de paramètre :$$\frac{\lambda}{2}.$$2λ​.

Ils vérifient :$$\sum_{j=0}^{\infty} w_j=1.$$j=0∑∞​wj​=1.

L’ensemble des poids forme donc un mécanisme de répartition de la masse probabiliste entre une infinité de composantes χ².

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Le noyau χ² variable

À chaque itération :$$j=0,1,2,\ldots$$j=0,1,2,…

le nombre effectif de degrés de liberté devient :$$k+2j.$$k+2j.

Les composantes successives sont donc :$$\chi_k^2, \qquad \chi_{k+2}^2, \qquad \chi_{k+4}^2, \qquad \chi_{k+6}^2, \ldots$$χk2​,χk+22​,χk+42​,χk+62​,…

Chaque terme contribue à la densité finale selon sa pondération de Poisson.

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2. Exemple numérique

Considérons :$$k=2$$k=2

et :$$\lambda=2.$$λ=2.

Nous avons :$$\frac{\lambda}{2}=1.$$2λ​=1.

Le facteur exponentiel devient :$$e^{-1} = 0.36788.$$e−1=0.36788.

Nous voulons évaluer la densité au point :$$x=2.$$x=2.

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3. Itération $j=0$j=0

Poids de Poisson

$$w_0 = e^{-1} \frac{1^0}{0!} = 0.36788.$$w0​=e−10!10​=0.36788.

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Degrés de liberté

$$k+2\times0 = 2.$$k+2×0=2.

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Densité χ² classique

Pour :$$k=2,$$k=2,

la densité vaut :$$f_{\chi^2_2}(2) = \frac12e^{-1} = 0.18394.$$fχ22​​(2)=21​e−1=0.18394.

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Contribution du terme

$$0.36788\times0.18394 = 0.06767.$$0.36788×0.18394=0.06767.

Ainsi :$$\boxed{C_0=0.06767}$$C0​=0.06767​

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4. Itération $j=1$j=1

Poids de Poisson

$$w_1 = e^{-1} \frac{1^1}{1!} = 0.36788.$$w1​=e−11!11​=0.36788.

---

Degrés de liberté

$$k+2\times1 = 4.$$k+2×1=4.

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Densité χ² classique

Pour :$$k=4,$$k=4,

et$$x=2,$$x=2,

on obtient :$$f_{\chi^2_4}(2) = \frac24e^{-1} = 0.18394.$$fχ42​​(2)=42​e−1=0.18394.

---

Contribution du terme

$$0.36788\times0.18394 = 0.06767.$$0.36788×0.18394=0.06767.

Ainsi :$$\boxed{C_1=0.06767}$$C1​=0.06767​

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5. Tableau d’accumulation numérique

Pour :$$k=2, \qquad \lambda=2, \qquad x=2,$$k=2,λ=2,x=2,

les premières contributions valent :

Itération $j$j	Poids de Poisson	DDL $k+2j$k+2j	Densité χ² classique	Contribution	Somme cumulée
0	0.36788	2	0.18394	0.06767	0.06767
1	0.36788	4	0.18394	0.06767	0.13534
2	0.18394	6	0.09197	0.01692	0.15226
3	0.06131	8	0.03066	0.00188	0.15414
4	0.01533	10	0.00766	0.00012	0.15426

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6. Analyse de la convergence

La particularité fondamentale de la loi du χ² non centrée réside dans le fait qu’elle additionne une infinité de distributions χ² standards.

Les premières pondérations sont :$$0.36788, \quad 0.36788, \quad 0.18394, \quad 0.06131, \quad 0.01533, \ldots$$0.36788,0.36788,0.18394,0.06131,0.01533,…

La présence du facteur :$$j!$$j!

au dénominateur provoque une décroissance extrêmement rapide des poids.

Ainsi :$$0.06767 \rightarrow 0.01692 \rightarrow 0.00188 \rightarrow 0.00012.$$0.06767→0.01692→0.00188→0.00012.

Après quelques itérations seulement, les contributions deviennent négligeables.

La série converge donc rapidement malgré son caractère infini.

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7. Interprétation algébrique

Contrairement à la loi du χ² classique, une seule densité n’est plus suffisante pour décrire le système.

La non-centralité :$$\lambda>0$$λ>0

distribue la masse probabiliste entre plusieurs composantes :$$\chi^2_k, \quad \chi^2_{k+2}, \quad \chi^2_{k+4}, \quad \chi^2_{k+6}, \ldots$$χk2​,χk+22​,χk+42​,χk+62​,…

pondérées selon une loi de Poisson.

Le calcul final apparaît alors comme une moyenne pondérée d’une infinité de lois du χ² classiques.

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Conclusion

La loi du χ² non centrée possède la représentation :$$f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j}{j!} \,f_{\chi^2_{k+2j}}(x).$$f(x)=j=0∑∞​j!e−λ/2(λ/2)j​fχk+2j2​​(x).

Sa structure repose sur trois composantes fondamentales :$$\lambda,$$λ,$$\frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j}{j!},$$j!e−λ/2(λ/2)j​,

et$$f_{\chi^2_{k+2j}}(x).$$fχk+2j2​​(x).

Le paramètre de non-centralité répartit la masse probabiliste entre une infinité de lois du χ² classiques, tandis que les coefficients de Poisson garantissent la convergence de la série. Dans l’exemple :$$k=2, \qquad \lambda=2, \qquad x=2,$$k=2,λ=2,x=2,

les cinq premières itérations fournissent déjà :$$f(2)\approx0.15426,$$f(2)≈0.15426,

montrant que l’essentiel de la densité est capturé après un nombre très limité de termes.

Le distributeur de poids de Poisson dans la loi du χ² non centrée

Analyse algébrique du mécanisme de pondération

Dans la loi du χ² non centrée, chaque composante χ² standard de la somme infinie reçoit un poids déterminé par la formule :$$W(j) = \frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j}{j!}.$$W(j)=j!e−λ/2(λ/2)j​.

Cette expression correspond exactement à la fonction de masse de probabilité d’une loi de Poisson de paramètre :$$\frac{\lambda}{2}.$$2λ​.

Son rôle est de répartir la masse probabiliste entre les différentes composantes de la représentation :$$f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} W(j)\,f_{\chi^2_{k+2j}}(x).$$f(x)=j=0∑∞​W(j)fχk+2j2​​(x).

La valeur :$$W(j)$$W(j)

indique la contribution exacte de la strate d’indice $j$j à la densité globale.

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1. Décomposition des composants algébriques

Le stabilisateur exponentiel

Le premier facteur est :$$e^{-\lambda/2}.$$e−λ/2.

Pour une valeur donnée de $\lambda$λ, ce terme est constant.

Il ne dépend pas de :$$j.$$j.

Il assure la normalisation globale de la suite des poids :$$\sum_{j=0}^{\infty}W(j)=1.$$j=0∑∞​W(j)=1.

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L’accélérateur géométrique

Le second facteur est :$$\left(\frac{\lambda}{2}\right)^j.$$(2λ​)j.

Il dépend directement de l’indice :$$j.$$j.

Si :$$\frac{\lambda}{2}>1,$$2λ​>1,

les premiers termes de la suite augmentent rapidement.

Exemple :$$3^0=1,$$30=1,$$3^1=3,$$31=3,$$3^2=9,$$32=9,$$3^3=27,$$33=27,$$3^4=81.$$34=81.

Cette croissance tend à déplacer le maximum des poids vers des valeurs plus élevées de $j$j.

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Le frein factoriel

Le troisième facteur est :$$j!.$$j!.

Sa croissance est extrêmement rapide :$$0!=1,$$0!=1,$$1!=1,$$1!=1,$$2!=2,$$2!=2,$$3!=6,$$3!=6,$$4!=24,$$4!=24,$$5!=120,$$5!=120,$$6!=720.$$6!=720.

Même lorsqu’une puissance croît fortement, la factorielle finit toujours par dominer.

Ainsi :$$\lim_{j\to\infty}W(j)=0.$$j→∞lim​W(j)=0.

Cette propriété garantit la convergence de la série infinie.

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2. Exemple numérique : $\lambda=6$λ=6

Considérons :$$\lambda=6.$$λ=6.

Alors :$$\frac{\lambda}{2}=3.$$2λ​=3.

Le terme exponentiel constant vaut :$$e^{-3} \approx0.049787.$$e−3≈0.049787.

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3. Calcul détaillé pour $j=2$j=2

Étape 1 : Puissance géométrique

$$3^2=9.$$32=9.

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Étape 2 : Factorielle

$$2!=2.$$2!=2.

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Étape 3 : Quotient dynamique

$$\frac{9}{2} = 4.5000.$$29​=4.5000.

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Étape 4 : Application du facteur exponentiel

$$4.5000\times0.049787 = 0.22404.$$4.5000×0.049787=0.22404.

Ainsi :$$\boxed{W(2)\approx0.22404}$$W(2)≈0.22404​

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4. Calcul détaillé pour $j=4$j=4

Étape 1 : Puissance géométrique

$$3^4=81.$$34=81.

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Étape 2 : Factorielle

$$4!=24.$$4!=24.

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Étape 3 : Quotient dynamique

$$\frac{81}{24} = 3.3750.$$2481​=3.3750.

---

Étape 4 : Application du facteur exponentiel

$$3.3750\times0.049787 = 0.16803.$$3.3750×0.049787=0.16803.

Ainsi :$$\boxed{W(4)\approx0.16803}$$W(4)≈0.16803​

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5. Tableau de distribution des poids

Pour :$$\lambda=6$$λ=6

et donc$$\lambda/2=3,$$λ/2=3,

les premières itérations donnent :

$j$j	$3^j$3j	$j!$j!	$3^j/j!$3j/j!	$e^{-3}$e−3	$W(j)$W(j)
0	1	1	1.000	0.049787	0.04979
1	3	1	3.000	0.049787	0.14936
2	9	2	4.500	0.049787	0.22404
3	27	6	4.500	0.049787	0.22404
4	81	24	3.375	0.049787	0.16803
5	243	120	2.025	0.049787	0.10082
6	729	720	1.0125	0.049787	0.05041

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6. Localisation du maximum des poids

Une propriété fondamentale de la loi de Poisson est que son maximum est situé au voisinage de :$$j = \frac{\lambda}{2}.$$j=2λ​.

Dans cet exemple :$$\frac{\lambda}{2}=3.$$2λ​=3.

On observe effectivement que :$$W(2)=0.22404$$W(2)=0.22404

et$$W(3)=0.22404$$W(3)=0.22404

sont les poids les plus élevés du tableau.

Le centre de gravité de la pondération se situe donc autour de :$$j=3.$$j=3.

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7. Analyse de la dynamique algébrique

Les valeurs numériques révèlent trois phases distinctes.

Phase de croissance

Entre :$$j=0$$j=0

et$$j=2,$$j=2,

la puissance :$$3^j$$3j

croît plus rapidement que :$$j!.$$j!.

Les poids augmentent donc :$$0.04979 \rightarrow 0.14936 \rightarrow 0.22404.$$0.04979→0.14936→0.22404.

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Phase d’équilibre

Autour de :$$j=3,$$j=3,

les deux mécanismes se compensent presque exactement.

Le poids atteint son maximum.

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Phase de décroissance

À partir de :$$j=4,$$j=4,

la croissance factorielle devient dominante.

Les poids décroissent alors rapidement :$$0.16803 \rightarrow 0.10082 \rightarrow 0.05041 \rightarrow \cdots$$0.16803→0.10082→0.05041→⋯

La série converge ainsi rapidement vers zéro.

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Conclusion

Le distributeur de poids de Poisson :$$W(j) = \frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j}{j!}$$W(j)=j!e−λ/2(λ/2)j​

constitue le mécanisme de pondération fondamental de la loi du χ² non centrée.

Sa structure repose sur l’interaction de trois composantes :$$e^{-\lambda/2},$$e−λ/2,$$(\lambda/2)^j,$$(λ/2)j,

et$$j!.$$j!.

Le facteur exponentiel normalise la distribution, la puissance $(\lambda/2)^j$(λ/2)j favorise certaines strates de la somme infinie, tandis que la croissance factorielle impose finalement la convergence.

Pour :$$\lambda=6,$$λ=6,

la pondération maximale apparaît autour de :$$j=\frac{\lambda}{2}=3,$$j=2λ​=3,

ce qui explique pourquoi les composantes χ² associées aux degrés de liberté modifiés :$$k+4, \quad k+6,$$k+4,k+6,

et plus généralement celles proches de$$k+2\left(\frac{\lambda}{2}\right),$$k+2(2λ​),

contribuent le plus fortement à la densité de probabilité finale.

Loi du χ² non centré et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice

Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi du χ² non centré généralise le χ² classique. Le χ² centré somme des carrés de normales centrées en 0. Le non centré somme des carrés de normales de variance 1 dont la moyenne n’est pas nulle. Le biais est le paramètre de décentrage λ.

1. Construction

Soient W_i ∼ N(μ_i, 1) indépendantes, i = 1…k. On pose

X = W₁² + … + W_k² ∼ χ²(k, λ),

λ = μ₁² + … + μ_k² ≥ 0.

Équivalent : X = ‖Z + μ‖² avec Z ∼ N(0, I_k) et ‖μ‖² = λ. Si λ = 0, on retrouve le χ²(k) centré.

2. Domaine et indicatrice de support

Une somme de carrés reste ≥ 0, même biaisée :

U = [0, +∞[,   1_U(x) = 1 si x ≥ 0,   0 si x < 0.

f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x).

Hors de U, f_U = 0 : pas d’énergie négative, donc pas de loi.

3. Intensité : série de Poisson

Soit f_k+2i la densité du χ² centré à k + 2i degrés de liberté. Alors

f(x) = Σ_i=0^∞ [ e^−λ/2 (λ/2)ⁱ / i! ] · f_k+2i(x),   x ≥ 0.

Les poids

p_i = e^−λ/2 (λ/2)ⁱ / i!

sont ceux d’une loi de Poisson de moyenne λ/2. Le χ² non centré est un mélange dénombrable de χ² centrés.

4. Indicatrices du mélange

Soit N ∼ Poisson(λ/2), indépendant d’une famille X_m ∼ χ²(m). Alors

X | N = i ∼ χ²(k + 2i),   X ∼ χ²(k, λ).

L’appartenance à la composante i s’écrit

1_{N=i} · 1_{[0, +∞[}(X_k+2i).La densité mélange est l’espérance de ces portes :

f(x) = Σ_i E(1_{N=i}) · f_k+2i(x) · 1_U(x).

K3 (σ-additivité) autorise la somme infinie des masses p_i sans création ni perte : Σ p_i = 1.

5. Forme de Bessel

Pour λ > 0,

f(x) = (1/2) e^−(x+λ)/2 (x/λ)^{k/4 − 1/2} I_{k/2 − 1}(√(λ x)),

où I_ν est la Bessel modifiée de première espèce. Cette forme fermée est la somme de la série de Poisson. Elle n’est licite que sur U, donc encore multipliée par 1_U.

6. Appartenance à une coquille décentrée

Soit μ le vecteur des moyennes, ‖μ‖² = λ. La coquille d’énergie ≤ t autour de 0 (pas autour de μ) est

C_t = { w ∈ ℝ^k : ‖w‖² ≤ t }.

Le centre de la gaussienne n’est plus l’origine : P(W ∈ C_t) n’est plus la F d’un χ² centré. On a

1_Ct(W) = 1_{[0, t]}(X),

F(t) = P(X ≤ t) = E(1_Ct(W)) = E(1_{[0, t]}(X)).

λ pousse la masse vers les grands x : il est plus difficile d’appartenir à une petite coquille centrée en 0.

7. Moments

E(X) = k + λ,   Var(X) = 2k + 4λ.

k est l’énergie moyenne du bruit centré. λ est l’énergie déterministe du biais. Si λ = 0, on retrouve E = k et Var = 2k. L’indicatrice 1_{λ=0} éteint le décentrage et ramène la loi classique :

χ²(k, λ) |_λ=0 = χ²(k),   1_{0}(λ) sélectionne le cas centré.

8. Bernoulli et structure caractéristique

I_t = 1_{[0, t]}(X) ∼ Bernoulli(F(t)),

f_U(x) = f(x) · 1_{[0, +∞[}(x),   F_U(t) = F(t) · 1_{[0, +∞[}(t).

Sans 1_U, ni la série de Poisson ni Bessel ne définissent une énergie. Sans les 1_{N=i}, le mélange n’a pas de composantes.

9. Chaîne conceptuelle

μ ∈ ℝ^k, λ = ‖μ‖² → W ∼ N(μ, I_k) → X = ‖W‖²

→ 1_U(X) → N ∼ Poisson(λ/2) → 1_{N=i}

→ f = Σ p_i f_k+2i · 1_U → F(t) = E(1_Ct(W)).

10. Synthèse

Le χ² non centré est l’intensité d’une somme de carrés biaisée. L’indicatrice 1_U est le droit d’être une énergie. Les indicatrices 1_{N=i} sont le droit d’appartenir à la composante χ²(k+2i). 1_Ct est le droit d’être dans la coquille d’énergie t :

f_U(x) = [ Σ_i p_i f_k+2i(x) ] · 1_{[0, +∞[}(x),   E(X) = k + λ.

Sans ces portes, λ n’est qu’un paramètre ; avec elles, c’est un biais mesurable dans une loi d’appartenance.