Critère 13 — mesure singulière (pas de densité)
33. Loi de Cantor

• Loi de Cantor est une distribution de probabilité continue et singulière. Elle est directement construite sur l’ensemble fractal de Cantor. C’est l’un des exemples les plus fascinants de la théorie de la mesure : bien qu’elle soit continue (sa fonction de répartition ne possède aucun saut), elle est portée par un ensemble de mesure de Lebesgue nulle et sa dérivée (la densité de probabilité) est nulle presque partout. Formules principales : Domaine de définition : La variable aléatoire X est comprise entre 0 et 1 (0 <= X <= 1). Construction par la somme binaire infinie : La loi de Cantor peut être rigoureusement vue comme la somme infinie de variables de Bernoulli indépendantes modélisées en base 3 : X = ∑ (de n=1 à ∞) [ Yₙ / 3ⁿ ] (où chaque Y_n est une variable aléatoire indépendante qui prend les valeurs 0 ou 2 avec une probabilité de 1/2 pour chacune). Espérance (Moyenne) : E(X) = ½ Variance : Var(X) = 1 / (8 * 3) = 1 / 24. Fonction de répartition (CDF – Progression cumulée) : F(x) est construite par approximation fractale (l’escalier de Cantor ou « escalier du diable »). Entre les paliers de l’ensemble de Cantor, la fonction monte de manière monotone pour atteindre 1 en x = 1.

La loi de Cantor (Distribution de Cantor)

Contrairement aux distributions de probabilité classiques, la loi de Cantor ne possède aucune fonction de densité de probabilité $f(x)$f(x).

Si l’on tente de dériver sa fonction de répartition $F(x)$F(x), la dérivée vaut :$$F'(x)=0$$F′(x)=0

presque partout sur l’intervalle$$]0,1[.$$]0,1[.

Pourtant, la probabilité totale accumulée vaut bien :$$1.$$1.

La loi de Cantor constitue ainsi un exemple célèbre de mesure singulière continue : la probabilité est concentrée sur l’ensemble de Cantor, qui possède une mesure de Lebesgue nulle.

Pour calculer les probabilités, il est donc nécessaire d’utiliser directement la fonction de répartition $F(x)$F(x), souvent appelée l’escalier du diable.

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1. Formule analytique : conversion base 3 → base 2

La fonction de répartition repose sur une transformation d’une représentation ternaire en une représentation binaire.

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Étape 1 : Décomposition en base 3

Tout nombre$$x\in[0,1]$$x∈[0,1]

peut être écrit sous la forme :$$x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{3^k}$$x=k=1∑∞​3kak​​

où :$$a_k\in\{0,1,2\}.$$ak​∈{0,1,2}.

Les chiffres$$a_k$$ak​

sont les chiffres de l’écriture de $x$x en base 3.

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Étape 2 : Recherche du premier chiffre interdit

On recherche le premier indice :$$N$$N

tel que$$a_N=1.$$aN​=1.

Deux situations sont possibles :

Cas 1 : un chiffre 1 apparaît

Alors :$$N<\infty.$$N<∞.

Le calcul s’arrête au premier chiffre $1$1.

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Cas 2 : aucun chiffre 1 n’apparaît

Tous les chiffres valent alors seulement :$$0 \qquad\text{ou}\qquad 2.$$0ou2.

Dans ce cas :$$N=\infty.$$N=∞.

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Étape 3 : Conversion en base 2

La fonction de répartition est :$$F(x) = \sum_{k=1}^{N} \frac{b_k}{2^k}.$$F(x)=k=1∑N​2kbk​​.

Les coefficients binaires sont définis par :

Pour $k<N$k<N

$$b_k=\frac{a_k}{2}.$$bk​=2ak​​.

Ainsi :$$a_k=0 \Longrightarrow b_k=0,$$ak​=0⟹bk​=0,$$a_k=2 \Longrightarrow b_k=1.$$ak​=2⟹bk​=1.

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Pour $k=N$k=N

Lorsque le premier chiffre $1$1 apparaît :$$b_N=1.$$bN​=1.

Puis le calcul s’arrête immédiatement.

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2. Calcul détaillé du premier plateau central

La propriété remarquable de la loi de Cantor est l’existence de plateaux où la probabilité cumulative reste constante.

Étudions le premier plateau :$$\left[\frac13,\frac23\right].$$[31​,32​].

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Calcul pour $x=\frac13$x=31​

Décomposition ternaire

$$\frac13 = 0.1_3.$$31​=0.13​.

Donc :$$a_1=1.$$a1​=1.

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Indice d’arrêt

Le premier chiffre $1$1 apparaît immédiatement :$$N=1.$$N=1.

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Conversion binaire

Par définition :$$b_1=1.$$b1​=1.

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Probabilité cumulative

$$F\!\left(\frac13\right) = \frac1{2^1} = 0.500.$$F(31​)=211​=0.500.

Ainsi :$$\boxed{ F\!\left(\frac13\right)=0.500 }$$F(31​)=0.500​

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Calcul pour $x=\frac23$x=32​

Décomposition ternaire

$$\frac23 = 0.2_3.$$32​=0.23​.

Donc :$$a_1=2.$$a1​=2.

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Indice d’arrêt

Aucun chiffre $1$1 n’apparaît :$$N=\infty.$$N=∞.

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Conversion binaire

$$b_1=1$$b1​=1

et$$b_k=0 \quad(k>1).$$bk​=0(k>1).

Probabilité cumulative

$$F\!\left(\frac23\right) = \frac1{2^1} + 0 + 0+\cdots$$F(32​)=211​+0+0+⋯$$= 0.500.$$=0.500.

Ainsi :$$\boxed{ F\!\left(\frac23\right)=0.500 }$$F(32​)=0.500​

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Conclusion du plateau central

Nous obtenons :$$F\!\left(\frac13\right) = F\!\left(\frac23\right) = 0.500.$$F(31​)=F(32​)=0.500.

Toute la probabilité cumulative reste donc figée sur l’intervalle :$$\left[\frac13,\frac23\right].$$[31​,32​].

Cela démontre algébriquement l’existence du premier plateau de l’escalier du diable.

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3. Tableau de calcul de la fonction de répartition

Valeur $x$x	Écriture en base 3	Indice $N$N	Coefficients binaires $b_k$bk​	Somme binaire	$F(x)$F(x)
$\frac19$91​	$0.01_3$0.013​	2	$b_1=0,\;b_2=1$b1​=0,b2​=1	$\frac0{2^1}+\frac1{2^2}$210​+221​	0.250
$\frac29$92​	$0.02_3$0.023​	$\infty$∞	$b_1=0,\;b_2=1$b1​=0,b2​=1	$\frac0{2^1}+\frac1{2^2}$210​+221​	0.250
$\frac13$31​	$0.1_3$0.13​	1	$b_1=1$b1​=1	$\frac1{2^1}$211​	0.500
$\frac12$21​	$0.1111\ldots_3$0.1111…3​	1	$b_1=1$b1​=1	$\frac1{2^1}$211​	0.500
$\frac23$32​	$0.2_3$0.23​	$\infty$∞	$b_1=1,\;b_{>1}=0$b1​=1,b>1​=0	$\frac1{2^1}$211​	0.500
$\frac79$97​	$0.21_3$0.213​	2	$b_1=1,\;b_2=1$b1​=1,b2​=1	$\frac1{2^1}+\frac1{2^2}$211​+221​	0.750
$\frac89$98​	$0.22_3$0.223​	$\infty$∞	$b_1=1,\;b_2=1$b1​=1,b2​=1	$\frac1{2^1}+\frac1{2^2}$211​+221​	0.750

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Analyse de la structure fractale

Les valeurs calculées montrent que la fonction de répartition se fixe continuellement sur des fractions dyadiques :$$\frac14, \qquad \frac12, \qquad \frac34, \qquad \ldots$$41​,21​,43​,…

alors que les valeurs d’entrée appartiennent à une géométrie ternaire :$$\frac19, \quad \frac29, \quad \frac13, \quad \frac23, \quad \frac79, \quad \frac89.$$91​,92​,31​,32​,97​,98​.

L’algorithme agit donc comme un traducteur exact :$$\text{Base 3} \longrightarrow \text{Base 2}.$$Base 3⟶Base 2.

Chaque chiffre$$0 \rightarrow 0, \qquad 2 \rightarrow 1,$$0→0,2→1,

tandis que le premier chiffre$$1$$1

déclenche l’arrêt du calcul et fige définitivement la valeur de $F(x)$F(x).

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Conclusion

La loi de Cantor ne possède pas de densité de probabilité classique. Toute l’information probabiliste est contenue dans sa fonction de répartition :$$F(x).$$F(x).

Cette fonction est obtenue par une conversion systématique des chiffres ternaires de $x$x en chiffres binaires. Les vastes plateaux observés dans l’escalier du diable proviennent directement de cette règle d’arrêt au premier chiffre ternaire égal à $1$1.

Ainsi, malgré une dérivée nulle presque partout,$$F'(x)=0,$$F′(x)=0,

la fonction de répartition passe néanmoins continûment de$$0$$0

à$$1,$$1,

créant l’un des objets les plus remarquables de toute la théorie des probabilités et des fractales.

Loi de Cantor et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice. Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi de Cantor constitue l’un des exemples les plus profonds de la théorie moderne de la mesure. Elle montre qu’une probabilité peut être entièrement concentrée sur un ensemble extrêmement mince, l’ensemble de Cantor, tout en restant une probabilité parfaitement valide. La fonction indicatrice d’appartenance joue un rôle fondamental dans cette construction, car toute la théorie probabiliste repose finalement sur l’évaluation de l’appartenance ou non d’une réalisation à une partie de l’ensemble de Cantor.

1. Rappel : fonction indicatrice d’appartenance

Pour tout ensemble mesurable $A \subseteq \Omega$, la fonction indicatrice est définie par$$1_A(\omega)= \begin{cases} 1 & \text{si }\omega\in A,\\ 0 & \text{si }\omega\notin A. \end{cases}$$

Elle représente l’information élémentaire d’appartenance.

• $1_A(\omega)=1$ signifie : l’événement $A$ est réalisé.
• $1_A(\omega)=0$ 1 signifie : l’événement $A$ n’est pas réalisé.

Toute probabilité peut alors être écrite comme une espérance :$$P(A)=E(1_A).$$

Ainsi, la probabilité n’est rien d’autre que la moyenne des appartenances.

2. Construction de la loi de Cantor

La variable aléatoire de Cantor s’écrit$$X=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{Y_n}{3^n},$$

où les variables indépendantes $Y_n$Yn​ prennent les valeurs$$Y_n= \begin{cases} 0 & \text{avec probabilité }\frac12,\\ 2 & \text{avec probabilité }\frac12. \end{cases}$$Yn​={02​avec probabiliteˊ 21​,avec probabiliteˊ 21​.​

Les chiffres ternaires possibles sont donc uniquement$$0 \quad \text{ou} \quad 2.$$

Le chiffre $1$1 n’apparaît jamais.

Par conséquent, chaque réalisation de $X$X appartient nécessairement à l’ensemble de Cantor $C$C.

On obtient alors$$P(X\in C)=1.$$

3. L’indicatrice de l’ensemble de Cantor

Considérons l’événement$$A=\{X\in C\}.$$

Sa fonction indicatrice vaut$$1_C(X)= \begin{cases} 1 & \text{si }X\in C,\\ 0 & \text{si }X\notin C. \end{cases}$$

Or, par construction de la loi de Cantor,$$X\in C$$

presque sûrement.

Donc$$1_C(X)=1$$

presque partout.

Par passage à l’espérance,$$E(1_C(X))=1.$$

On retrouve alors$$P(X\in C)=1.$$

L’ensemble de Cantor porte donc toute la masse probabiliste.

4. Un paradoxe apparent : longueur nulle mais probabilité 1

L’ensemble de Cantor possède une mesure de Lebesgue nulle :$$\lambda(C)=0.$$

Pourtant,$$P(X\in C)=1.$$

Cette situation paraît paradoxale mais elle ne l’est pas.

La mesure de Lebesgue mesure une longueur géométrique.

La loi de Cantor mesure une masse probabiliste.

Ces deux mesures sont différentes.

L’indicatrice permet de le voir immédiatement :$$E_\lambda(1_C)=0,$$

alors que$$E_P(1_C)=1.$$

La même fonction indicatrice produit deux résultats totalement différents selon la mesure utilisée.

5. Fonction de répartition comme moyenne d’indicatrices

La fonction de répartition de Cantor est$$F(x)=P(X\le x).$$

En utilisant les indicatrices,$$F(x)=E\!\bigl(1_{(-\infty,x]}(X)\bigr).$$

À chaque valeur de $x$, on calcule simplement la moyenne d’une fonction d’appartenance.

Lorsque $x$x franchit une région du complémentaire de Cantor, certaines appartenances changent progressivement, ce qui produit l’escalier de Cantor.

Ainsi,$$F(x)$$

est une intégrale d’indicatrices d’appartenance.

La célèbre fonction du diable est donc une accumulation continue de décisions binaires « appartient ou n’appartient pas ».

6. Décomposition fractale des appartenances

Au premier niveau de construction :$$C_1= \left[0,\frac13\right] \cup \left[\frac23,1\right].$$

L’indicatrice associée est$$1_{C_1} = 1_{[0,\frac13]} + 1_{[\frac23,1]}.$$

Au deuxième niveau :$$1_{C_2} = 1_{[0,\frac19]} + 1_{[\frac29,\frac13]} + 1_{[\frac23,\frac79]} + 1_{[\frac89,1]}.$$

À chaque étape, l’ensemble de Cantor se construit comme une somme d’indicatrices d’intervalles disjoints.

Finalement,$$1_C = \lim_{n\to\infty}1_{C_n}.$$

L’ensemble fractal apparaît donc comme une limite de fonctions indicatrices.

7. Interprétation probabiliste

Chaque chiffre ternaire $Y_n$représente un choix binaire :$$0 \quad \text{ou} \quad 2.$$

On peut écrire les événements élémentaires$$A_n^{(0)}=\{Y_n=0\},$$$$A_n^{(2)}=\{Y_n=2\}.$$

Leurs indicatrices sont$$1_{A_n^{(0)}}, \qquad 1_{A_n^{(2)}}.$$

La totalité de la loi de Cantor est engendrée par une infinité de telles décisions d’appartenance.

La géométrie fractale naît donc d’une succession infinie d’indicatrices binaires.

Autrement dit :

• l’indicatrice répond à la question locale « appartient-il ? » ;
• la loi de Cantor répond à la question globale « avec quelle probabilité appartient-il à la structure fractale ? ».

8. Relation fondamentale

La relation centrale peut être résumée par$$1_C(X)\equiv1$$

presque sûrement,

d’où$$P(X\in C) = E(1_C(X)) = 1.$$

La fonction indicatrice d’appartenance exprime l’appartenance ponctuelle à l’ensemble fractal.

La loi de Cantor transforme cette appartenance en une mesure probabiliste singulière.

L’escalier de Cantor n’est alors rien d’autre que l’intégrale cumulative d’une infinité de décisions binaires d’appartenance organisées selon la structure fractale de l’ensemble de Cantor.

Synthèse

$$X\in C \Longrightarrow 1_C(X)=1 \Longrightarrow E(1_C(X))=1 \Longrightarrow P(X\in C)=1.$$

L’indicatrice décrit l’appartenance au niveau du point. La loi de Cantor décrit la distribution de ces appartenances au niveau de l’univers probabiliste. La seconde est l’intégration fractale de la première. C’est précisément ce qui fait de la loi de Cantor l’un des exemples les plus remarquables reliant théorie des probabilités, fonctions indicatrices, mesure et géométrie fractale.