001 Tome I — Théorie générale des fonctions caractéristiques 1. Introduction générale : historique, état de l’art, motivation
Ci-dessus est l’illustration standard de la notation standard de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance notée généralement χF(x), et définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément x de l’ensemble E.
« Calculus had two main systems of notation, each created by one of its creators: that developed by Isaac Newton and that developed by Gottfried Leibniz. Newton’s notation was simply a dot or dash placed above the function. For example, the derivative of the function x would be written as . The second derivative of x would be written as . In modern usage, this notation generally denotes derivatives of physical quantities with respect to time, and is used frequently in the science of mechanics.«
Sans aucune admiration personnelle d’un haut mage mathématique à qui je rends simplement hommage, en reproduisant ci-dessus le portrait d’Isaac Newton(December 25, 1642 – March 20, 1727), « an English, then British, mathematician, physicist, philosopher, alchemist, astronomer and theologian« , j’affirme que le symbole de l’intégration de newton [x] est en fait celui de la notation que « Gauss inventa en 1808 [x] ».
Le « Summum calculi analytici fastigium » de Leibniz, et avant lui la deuxième partie du « De progressione dyadica » de Leibniz, est une étude sur les propriétés d’une notation positionnelle, lorsque la base considérée est 2, c’est-à-dire lorsque le nombre est exprimé dans le système de numération binaire. Leibniz a précédemment présenté le système binaire dans son article « Explication de l’arithmétique binaire », qui n’utilise que les caractères 1 et 0, et formule quelques remarques sur son utilité. Le système binaire, à l’instar du système de numération binaire moderne, utilise 0 et 1. Les nombres binaires étaient au cœur de la pensée intellectuelle et théologique de Leibniz. Il considérait qu’ils symbolisaient l’idée chrétienne de création ex nihilo. Selon lui, les nombres binaires représentaient une forme fondamentale de la création, reflétant la simplicité et l’unité du divin. Leibniz cherchait également à traduire le raisonnement logique en mathématiques pures. Il voyait dans le système binaire un moyen de simplifier les processus logiques et mathématiques complexes, convaincu qu’il pouvait servir à exprimer tous les concepts de l’arithmétique et de la logique. Bien qu’il soit fréquemment affirmé qu’une autre contribution mathématique majeure de Leibniz est son invention de l’arithmétique binaire, les travaux mathématiques de Thomas Hariot (1560–1621) montrent qu’il avait non seulement expérimenté avec des systèmes numériques binaires, mais comprenait également clairement la théorie et la pratique de la numération binaire près d’un siècle avant l’époque de Leibniz. Caramuel, indépendamment de Harriot, a présenté le système binaire dans son œuvre de 1642 Mathesis Audax (c’est-à-dire antériorité temporelle). Plus tard, dans sa « grande encyclopédie », intitulée Mathesis Biceps, Caramuel a développé et exposé de manière systématique l’arithmétique binaire.«
Sans aucune admiration personnelle d’un haut mage mathématique à qui je rends simplement hommage, en reproduisant ci-dessus le portrait de « Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1 July 1646 – 14 November 1716), un polymath allemand actif en tant que mathématicien, philosophe, scientifique et diplomate, à qui l’on attribue, aux côtés d’Isaac Newton, la création du calcul infinitésimal ainsi que de nombreuses autres branches des mathématiques, telles que l’arithmétique binaire« , j’affirme que si « les travaux de Leibniz sur le système binaire qui sont guidés par l’idée que si l’on parvient à écrire toute série générale dans cette nouvelle notation, qui commence par une algébrisation, en substituant des lettres aux nombres, comme dans l’exemple …e + d + c + b = a avec la lettre a représentant l’expression usuelle de la quantité, tandis que les autres lettres représentent ses chiffres, exprimés en notation positionnelle sous forme de somme, en considérant la base et ses puissances, on peut alors comparer deux séries liées entre elles et énoncer une propriété universellement valable à leur sujet.« , alors ce sont les opérations d’algèbre ensembliste séquentielle des fonctions de concaténation et de « déconcaténation » des chiffres d’un nombre entier et décimal, dont les expressions formuliques algébriquement calculables sont des combinaisons linéaires de la fonction plancher ou plafond d’Iverson, qui nous permettent « d’écrire toute série générale dans cette nouvelle notation« ; et c’est la fonction caractéristique des valeurs nulles et non nulles de ces suites de chiffres concaténés et « déconcaténés » qui nous permet de « comparer deux séries liées entre elles et d’énoncer une propriété universellement valable à leur sujet.«
« La logique est le fondement de la certitude de toutes les connaissances que nous acquérons. », Leonhard Euler. « Rien n’arrive dans le monde dont le sens ne soit celui d’un maximum ou d’un minimum. » Leonhard Euler.
Sans aucune admiration personnelle d’un haut mage mathématique à qui je rends simplement hommage, en reproduisant ci-dessus le portrait de « LeonhardEulerné le 15 avril 1707 à Bâle (Suisse) et mort le 7 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg (Empire russe) un mathématicien et physicien suisse, qui après l’introduction de la fonction gamma, l’analogie entre le calcul infinitésimal et le calcul des différences finies, avoir été le premier mathématicien à travailler avec les fonctions sinus et cosinus, se lance en 1760, dans l’étude des lignes de courbure et commence à développer une nouvelle branche des mathématiques appelée géométrie différentielle« , j’affirme que
“But in our opinion truths of this kind should be drawn from notions rather than from notations.”, Johann Carl Friedrich Gauss about the proof of Wilson’s theorem written in Disquisitiones Arithmeticae (1801) Article 76.
Sans aucune admiration personnelle, d’un haut mage mathématique à qui je rends simplement hommage, en reproduisant ci-dessus le portrait de Johann Carl Friedrich Gauss(30 April 1777 – 23 February 1855), a German mathematician, astronomer and physicist, j’affirme que la notation que Gauss inventa en 1808 [x] pour le plus grand entier inférieur ou égal à x est la même que le symbole de l’intégration de newton [x] qu’il inventa dans son ouvrage de 1687 « The Principia« .
