Ci-dessus est l’illustration standard de la notation standard de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance notée généralement χ_F(x), et définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément x de l’ensemble E.

Avant-propos – Un glossaire des raisonnements fallacieux en combinatoire des mots

1. Objet

Ce glossaire associe à chaque raisonnement fallacieux un mécanisme de la combinatoire des mots : une procédure qui, appliquée à un texte écrit comme un mot fini de tokens, reconnaît le raisonnement fautif et en mesure l’écart par des opérations élémentaires (appartenances à des listes, comptages, sommes, produits et divisions de valeurs de fonctions caractéristiques).

On y traite ensemble deux familles que la tradition distingue par l’intention de celui qui raisonne :

le sophisme est un raisonnement fautif employé pour convaincre, en sachant qu’il est fautif ;
le paralogisme est un raisonnement fautif commis de bonne foi, par celui qui se trompe lui-même.

L’intention n’est pas inscrite dans le texte : une même suite de mots peut être un sophisme dans la bouche de l’un et un paralogisme dans celle de l’autre. Les mécanismes de ce glossaire portent sur ce qui est écrit, et non sur l’intention ; ils s’appliquent donc indifféremment aux deux familles. Le mot « sophisme » est employé dans la suite pour les deux.

2. Nature de la correspondance

Chaque élément du glossaire établit une correspondance entre un raisonnement fallacieux et un mécanisme calculable. Le terme est choisi à dessein, de préférence à celui d’isomorphisme. Un isomorphisme serait une bijection qui conserve toute la structure : à chaque raisonnement correspondrait exactement un mot, et réciproquement. Ce n’est pas le cas, et ce ne doit pas l’être : des textes très différents, dans des langues différentes, commettent le même sophisme (l’introduction le montre par la projection φ, qui envoie plusieurs textes sur la même forme argumentative). La correspondance va donc des textes vers les sophismes, et elle est plusieurs-à-un.

Sa forme est la même dans toutes les éléments du glossaire. Un sophisme n’est pas décrit comme une propriété d’un facteur isolé, mais comme une relation entre deux facteurs (u, v) du texte, une prémisse et une conclusion, reliés par un connecteur conclusif. La relation est calculée par une fonction caractéristique à deux places, χ_R(u, v), qui vaut 1 quand le passage de u à v est fautif, et 0 sinon ; le nombre de sophismes d’un texte w est la somme de ces valeurs sur les couples de facteurs de w. L’introduction justifie ce choix.

3. Solidité des correspondances : un critère explicite

Toutes les correspondances ne reposent pas sur le même type de données. Certaines se calculent sur la forme seule du texte ; d’autres demandent des informations sur le contenu. Le critère retenu pour juger de leur solidité est donc la nature des données nécessaires au calcul : moins le calcul demande de données extérieures au mot, plus la correspondance est solide. On distingue quatre degrés.

Degré	Données nécessaires	Exemples de sophismes
1	la forme seule : mots logiques, ordre des propositions, table de vérité	sophismes formels (non sequitur) : affirmation du conséquent, négation de l’antécédent, affirmation d’un disjoint
2	des listes fermées de marques (connecteurs, négations, verbes de preuve, marques de critique)	argument issu de la fallacie
3	une échelle ou une ressource de référence publiée, fixée d’avance	appel à la probabilité (échelle des degrés de certitude de Kent)
4	une donnée sur le monde, extérieure au texte quand le texte ne la donne pas	sophisme du taux de base (fréquence de l’hypothèse dans la population)

Ce classement n’est pas un jugement de valeur sur les sophismes, mais une indication sur la portée de chaque mécanisme. Au degré 1, le verdict est une propriété du mot lui-même, et il est le même pour tous les textes qui ont la même forme. Aux degrés 2 et 3, il dépend de ressources publiques et vérifiables, données dans la fiche. Au degré 4, la combinatoire des mots reconnaît la structure fautive dans le texte, mais l’ampleur de l’écart ne peut être chiffrée qu’avec une donnée sur le monde ; la fiche indique alors laquelle, et d’où elle vient.

Les quatre degrés de solidité, de la forme seule aux données sur le monde, avec les sophismes traités placés sur l’échelle.

4. Contenu de chaque sophisme du glossaire d’équivalence en combinatoire des mots

Chaque élément du glossaire d’équivalence des sophismes en combinatoire des mots suit le même plan, pour que le lecteur puisse vérifier chaque étape :

Définition du sophisme, avec sa forme type et l’endroit précis où le raisonnement est fautif.
Factorisation du texte en prémisse u, connecteur c et conclusion v (et, le cas échéant, un troisième facteur : un taux de base, un argument visé).
Données explicites : les listes fermées et les ressources de référence utilisées, écrites en entier.
Définition mathématique : les conditions qui valent 0 ou 1, leur produit χ_R(u, v), et le décompte sur le texte.
Statut des seuils : pour chaque seuil, s’il est logique, tiré d’une référence publiée, ou conventionnel.
Exemples et contre-exemples, calculés ligne à ligne ; chaque contre-exemple échoue sur une condition différente, ce qui montre le rôle de chacune.
Mesure de l’écart entre ce que la prémisse garantit et ce que la conclusion affirme.
Statut modal (nécessaire, possible ou contingent) et justification du lien.

Chaque élément du glossaire d’équivalence des sophismes en combinatoire des mots est accompagnée de diagrammes et d’un tableau de calcul où toutes les valeurs sont obtenues par formules.

5. Originalité et limites

Les sophismes ont été étudiés par la logique, la rhétorique et la psychologie du raisonnement ; la combinatoire des mots étudie les propriétés des suites finies de symboles. À la connaissance de l’auteur, la mise en correspondance systématique des deux domaines, sous la forme de relations entre facteurs calculées par des fonctions caractéristiques, n’a pas été proposée. La portée de cette correspondance est celle qu’indique le degré de chaque élément du glossaire : complète au degré 1, conditionnée à des ressources publiques aux degrés 2 et 3, conditionnée à une donnée sur le monde au degré 4. Ce que la combinatoire des mots ne fournit pas, l’élément du glossaire le dit, ainsi que d’où vient la donnée qui le remplace.

Introduction – Raisonnement fallacieux, sophisme formel (non sequitur) et combinatoire des mots

1. Le point de départ : ce qu’est un sophisme

Le glossaire qui suit traduit les sophismes en mécanismes de combinatoire des mots. Avant de traiter chaque sophisme, il faut fixer ce que l’on traduit. On part de la définition usuelle, telle qu’on la trouve dans les ouvrages de référence (d’après les articles « Fallacy », « Formal fallacy » et « Logical form » de l’encyclopédie Wikipedia) :

Un sophisme est une erreur de raisonnement qui affaiblit le fondement sur lequel repose la conclusion d’un argument. Ce terme s’applique généralement aux arguments : un argument fallacieux peut néanmoins aboutir à une conclusion vraie ; le défaut réside dans le raisonnement inadéquat avancé pour étayer cette conclusion. Un sophisme formel, ou non sequitur, est une erreur dans la forme de l’argument. En logique, la forme logique d’un énoncé est une version sémantique, définie avec précision, de cet énoncé au sein d’un système formel. De manière informelle, la forme logique vise à formaliser un énoncé — potentiellement ambigu — en un énoncé doté d’une interprétation logique précise et univoque, relativement à un système formel donné. Dans un langage formel idéal, la signification d’une forme logique peut être déterminée sans ambiguïté à partir de la seule syntaxe. Les formes logiques sont des constructions sémantiques, et non syntaxiques ; par conséquent, plusieurs expressions peuvent représenter une même forme logique dans un langage donné. La forme logique d’un argument est appelée « forme argumentative » de cet argument.

Cette définition contient, en quelques phrases, tout le programme de la traduction. On la lit ci-dessous en cinq affirmations, et on montre pour chacune l’objet de combinatoire des mots qui lui correspond. La première affirmation conduit au choix central de ce glossaire : plutôt que de définir le sophisme comme « un facteur u qui encode une information », on le structure comme une relation entre deux facteurs (u, v).

N°	Ce que dit la définition	Ce que cela devient sur les mots	Section
A1	un sophisme est une erreur de raisonnement, qui porte sur le fondement d’une conclusion	une propriété d’un couple (u, v) de facteurs, prémisse et conclusion, et non d’un facteur seul	2
A2	un argument fallacieux peut aboutir à une conclusion vraie	la valeur du couple (u, v) et la valeur du facteur v sont deux fonctions indépendantes	3
A3	le sophisme formel est une erreur dans la forme	la forme est l’image du mot par une projection φ qui efface le contenu et garde la structure	4
A4	plusieurs expressions représentent la même forme	φ n’est pas injective : chaque forme est une classe d’équivalence de mots	4
A5	dans un langage formel idéal, la signification se lit sur la seule syntaxe	sur l’image φ(w), la validité se calcule par un comptage de valuations	5

2. Du facteur à la relation entre deux facteurs

2.1 Ce que mesure un facteur seul

Un texte est un mot fini w = t₁ t₂ ⋯ t_n sur un alphabet de tokens. Un facteur de w est un bloc de lettres consécutives u = t_i t_i+1 ⋯ t_j ; on note Fact(w) l’ensemble des facteurs de w. La plupart des figures de style se laissent décrire par une propriété d’un seul facteur : un facteur est exclamatif, un autre est une onomatopée, un troisième est un oxymore. Formellement, une telle propriété est un sous-ensemble X de Fact(w), et on la mesure par sa fonction caractéristique χ_X(u), qui vaut 1 si u a la propriété et 0 sinon. Le nombre de facteurs qui ont la propriété est Σ_{u ∈ Fact(w)} χ_X(u).

On pourrait vouloir procéder de même pour les sophismes, et définir le sophisme comme « un facteur u qui encode une information » erronée. La définition citée l’interdit : un sophisme est une erreur de raisonnement, c’est-à-dire une erreur dans le passage d’une information à une autre. Le défaut n’est logé dans aucun facteur ; il est logé entre deux facteurs.

2.2 La preuve par deux textes : mêmes facteurs, verdicts opposés

Voici deux textes de trois phrases.

N°	Texte w₁	Texte w₂
1	Si Ginger est un chat, Ginger est un animal.	Si Ginger est un chat, Ginger est un animal.
2	Ginger est un chat.	Ginger est un animal.
3	Donc Ginger est un animal.	Donc Ginger est un chat.

Notons p = « Ginger est un chat » et q = « Ginger est un animal ». Les deux textes contiennent exactement les mêmes facteurs propositionnels, avec les mêmes multiplicités : p apparaît deux fois et q deux fois dans chacun. Le vecteur des multiplicités (le nombre d’occurrences de chaque proposition, ce que la combinatoire des mots appelle le vecteur de Parikh sur l’alphabet des propositions) est le même : (|w₁|_p, |w₁|_q) = (|w₂|_p, |w₂|_q) = (2, 2).

Pourtant w₁ est un raisonnement valide (le modus ponens) et w₂ un sophisme formel (l’affirmation du conséquent). Il en résulte une conséquence précise : aucune fonction des facteurs pris un à un, ni même de leurs nombres d’occurrences, ne peut distinguer w₁ de w₂. Toute mesure de la forme Σ_u χ_X(u) donne la même valeur sur les deux textes, puisqu’ils ont les mêmes facteurs. Ce qui les distingue, c’est le rôle des facteurs : dans w₁, p est prémisse et q conclusion ; dans w₂, c’est l’inverse.

Les deux textes ont les mêmes facteurs p et q, deux fois chacun ; seule la flèche qui va de la prémisse à la conclusion change de sens, et avec elle le verdict.

2.3 La relation (u, v)

On structure donc le sophisme comme une relation entre deux facteurs. Un argument est un couple (u, v) de facteurs de w, reliés par un connecteur conclusif c (donc, alors, par conséquent), dans lequel u est la prémisse (ou la conjonction des prémisses) et v la conclusion : w contient le facteur u · c · v, ou bien u et v sont séparés mais reliés par c. Une propriété d’argument est alors un sous-ensemble R de l’ensemble des couples Fact(w) × Fact(w), et sa fonction caractéristique prend deux arguments :

χ_R(u, v) = 1 si le passage de u à v a la propriété R, 0 sinon.

Le nombre de sophismes de type R dans le texte est la somme sur les couples :

S_R(w) = Σ_{(u, v) ∈ Fact(w) × Fact(w)} χ_Conc(c(u, v)) · χ_R(u, v),

où χ_Conc(c(u, v)) vaut 1 si u et v sont reliés par un connecteur conclusif. Deux remarques montrent pourquoi ce changement est nécessaire et non seulement commode.

La relation est orientée. En général χ_R(u, v) ≠ χ_R(v, u) : le texte w₁ passe de p à q, le texte w₂ de q à p, et seul le second est fallacieux. Une propriété d’un facteur seul ne peut pas voir cette orientation.
La relation a deux places, ou plus. Chaque fiche du glossaire précise les deux facteurs. Pour l’appel à la probabilité, u porte une possibilité et v une certitude ; pour le sophisme du taux de base, u porte la fiabilité d’un indice et v une probabilité de l’hypothèse ; pour l’argument issu de la fallacie, u critique un argument et v nie sa conclusion. Certains sophismes demandent un troisième facteur, présent ou absent : le taux de base b, ou l’argument cible x.

3. Un argument fallacieux peut aboutir à une conclusion vraie

La deuxième phrase de la définition sépare deux questions que le langage courant mélange : la conclusion v est-elle vraie ? Le passage de u à v est-il correct ? Sur les mots, ce sont deux fonctions différentes :

la valeur de vérité de la conclusion, V(v) ∈ {0, 1}, qui dépend du monde et non du texte ;
la validité du couple, χ_Val(u, v) ∈ {0, 1}, qui dépend seulement de la forme (section 5).

Ces deux fonctions sont indépendantes : les quatre combinaisons existent.

N°	Validité χ_Val(u, v)	Vérité V(v)	Exemple
Q1	1	1	Si Ginger est un chat, c’est un animal ; Ginger est un chat ; donc Ginger est un animal.
Q2	1	0	Si la Lune est un fromage, elle est comestible ; la Lune est un fromage ; donc la Lune est comestible. (Prémisse fausse.)
Q3	0	1	Si Ginger est un chat, c’est un animal ; Ginger est un animal ; donc Ginger est un chat. (Ginger est réellement un chat.)
Q4	0	0	Si Ginger est un chat, c’est un animal ; Ginger est un animal ; donc Ginger est un chat. (Ginger est en réalité un chien.)

Les lignes Q3 et Q4 ont exactement la même forme, et donc le même verdict de non-validité ; elles ne diffèrent que par l’état du monde. C’est ce que dit la définition : « le défaut réside dans le raisonnement inadéquat avancé pour étayer cette conclusion », non dans la conclusion. Conclure de la non-validité à la fausseté de la conclusion est d’ailleurs lui-même un sophisme, l’argument issu de la fallacie, qui confond χ_Val(u, v) = 0 avec V(v) = 0.

Les quatre cases validité × vérité : un argument invalide peut avoir une conclusion vraie ou fausse, et un argument valide peut avoir une conclusion fausse si une prémisse est fausse.

4. La forme logique comme projection du mot

4.1 Effacer le contenu, garder la structure

La définition dit que le sophisme formel est « une erreur dans la forme de l’argument », et que la forme logique est une version précise et univoque de l’énoncé dans un système formel. En combinatoire des mots, passer d’un mot à sa forme, c’est appliquer une projection φ qui agit lettre par lettre (ou proposition par proposition) :

chaque mot logique est conservé et écrit avec son symbole : si … alors → « → », et → « ∧ », ou → « ∨ », non, ne … pas → « ¬ », donc → « ∴ » ;
chaque proposition élémentaire est remplacée par une variable : la première proposition rencontrée devient P, la deuxième Q, la troisième R, et une proposition déjà rencontrée reçoit la même variable ;
tout le reste (articles, noms, adjectifs) est effacé.

Appliquée aux deux textes de la section 2, la projection donne :

φ(w₁) = (P → Q) · P · ∴ · Q, φ(w₂) = (P → Q) · Q · ∴ · P.

La projection respecte la concaténation (l’image d’un texte est la suite des images de ses phrases) : c’est un morphisme de mots, une fois les propositions élémentaires repérées. La forme argumentative de l’argument est précisément φ(w).

4.2 Plusieurs expressions, une seule forme

« Plusieurs expressions peuvent représenter une même forme logique » : en termes de mots, φ n’est pas injective. Des textes différents ont la même image, et l’ensemble des textes de même image, φ⁻¹(f) = {w : φ(w) = f}, est une classe d’équivalence (la fibre de la forme f).

N°	Texte	P	Q	Forme φ(w)
E1	Si Ginger est un chat, Ginger est un animal. Ginger est un animal. Donc Ginger est un chat.	Ginger est un chat	Ginger est un animal	(P → Q) · Q · ∴ · P
E2	S’il pleut, la route est mouillée. La route est mouillée. Donc il pleut.	il pleut	la route est mouillée	(P → Q) · Q · ∴ · P
E3	If the server is down, the page fails. The page fails. So the server is down.	the server is down	the page fails	(P → Q) · Q · ∴ · P
E4	Quand on a la grippe, on a de la fièvre. J’ai de la fièvre. J’ai donc la grippe.	avoir la grippe	avoir de la fièvre	(P → Q) · Q · ∴ · P

Les quatre textes diffèrent par la langue, le vocabulaire, l’ordre des mots (« J’ai donc la grippe » place le connecteur à l’intérieur de la conclusion) et la façon d’exprimer l’implication (si, quand, if) ; ils ont la même forme, et ils commettent le même sophisme. C’est le sens de la phrase : « les formes logiques sont des constructions sémantiques, et non syntaxiques ». La surface du texte (sa syntaxe de langue naturelle) varie dans toute la fibre ; la forme reste fixe.

Pour cette raison, un sophisme formel se définit sur la forme et non sur la surface : on dit que w est un non sequitur si φ(w) l’est, et le verdict est alors le même pour tous les textes de la fibre. Le travail de détection consiste à calculer φ, c’est-à-dire à repérer les mots logiques (listes fermées) et les propositions élémentaires (repérage des répétitions : la même proposition doit recevoir la même variable, même si sa surface change, comme « on a de la fièvre » et « j’ai de la fièvre »).

Quatre textes différents envoyés par la projection φ sur la même forme argumentative (P → Q) · Q · ∴ · P.

5. La validité se lit sur la seule syntaxe de la forme

« Dans un langage formel idéal, la signification d’une forme logique peut être déterminée sans ambiguïté à partir de la seule syntaxe. » Sur la forme φ(w), cette détermination est un comptage. Une valuation v attribue à chaque variable la valeur 1 (vrai) ou 0 (faux) ; avec k variables, il y a 2^k valuations. Les symboles logiques se calculent par l’arithmétique sur 0 et 1 :

N°	Symbole	Valeur	Pourquoi
L1	¬P	1 − P	échange 0 et 1
L2	P ∧ Q	P · Q	vaut 1 seulement si les deux valent 1
L3	P ∨ Q	P + Q − P · Q	vaut 0 seulement si les deux valent 0
L4	P → Q	1 − P · (1 − Q)	faux seulement si P vrai et Q faux

Pour un argument de prémisses H₁, …, H_r et de conclusion C, on note H(v) = H₁(v) · ⋯ · H_r(v) (toutes les prémisses vraies) et on définit le taux de compatibilité κ = Σ_v H(v) · C(v) / Σ_v H(v), comme la part des valuations qui rendent la conclusion vraie parmi celles qui rendent les prémisses vraies. L’argument est valide si κ = 1 : aucune valuation ne rend les prémisses vraies et la conclusion fausse. Il est un sophisme formel (non sequitur) si κ < 1 : il existe au moins une valuation qui rend les prémisses vraies et la conclusion fausse, appelée contre-modèle. La relation de la section 2 reçoit ainsi une définition entièrement calculable :

χ_NS(u, v) = χ_Conc(c) · ( 1 − χ_{1}( κ(φ(u), φ(v)) ) ).

5.1 Les deux textes de la section 2

N°	P	Q	P → Q	w₁ : H = (P → Q) · P	w₁ : C = Q	w₂ : H = (P → Q) · Q	w₂ : C = P
v1	1	1	1	1	1	1	1
v2	1	0	0	0	0	0	1
v3	0	1	1	0	1	1	0
v4	0	0	1	0	0	0	0

Pour w₁ : Σ H = 1 (seulement v1), Σ H · C = 1, donc κ = 1 : valide. Pour w₂ : Σ H = 2 (v1 et v3), Σ H · C = 1 (seulement v1), donc κ = 1/2 : non sequitur, avec le contre-modèle v3 (Ginger est un animal sans être un chat). Le même calcul, fait une fois pour la forme (P → Q) · Q · ∴ · P, vaut pour les quatre textes E1 à E4.

Les tables de vérité du modus ponens et de l’affirmation du conséquent : les mêmes quatre valuations, mais un contre-modèle (v3) pour la seconde seulement.

5.2 Les formes usuelles

N°	Nom	Forme argumentative	Σ H	Σ H · C	κ	Verdict
A1	modus ponens	(P → Q) · P · ∴ · Q	1	1	1	valide
A2	modus tollens	(P → Q) · ¬Q · ∴ · ¬P	1	1	1	valide
A3	syllogisme disjonctif	(P ∨ Q) · ¬P · ∴ · Q	1	1	1	valide
A4	affirmation du conséquent	(P → Q) · Q · ∴ · P	2	1	1/2	non sequitur
A5	négation de l’antécédent	(P → Q) · ¬P · ∴ · ¬Q	2	1	1/2	non sequitur
A6	affirmation d’un disjoint	(P ∨ Q) · P · ∴ · ¬Q	2	1	1/2	non sequitur

Les formes valides et les formes fallacieuses se ressemblent beaucoup en surface : A1 et A4 ont les mêmes symboles, dans un autre ordre ; A2 et A5 aussi. C’est la raison de la force persuasive des sophismes formels, et c’est encore la section 2 : ce n’est pas l’ensemble des symboles qui décide, c’est la place de chacun dans la relation prémisse → conclusion.

6. De la relation formelle aux sophismes du glossaire

Le cadre est maintenant complet. Chaque sophisme du glossaire est décrit par la même chaîne de calcul :

Factorisation : repérer dans w le couple (u, v) et le connecteur c (listes fermées).
Projection : calculer la forme φ(u), φ(v), ou, pour les sophismes informels, les valeurs que le sophisme fait passer de u à v (un degré de certitude, une probabilité, une polarité).
Relation : calculer χ_R(u, v) par un produit de conditions qui valent 0 ou 1.
Mesure : compter les couples fallacieux, S_R(w), et mesurer l’écart entre ce que u autorise et ce que v affirme.

La chaîne commune à toutes les fiches : texte, factorisation (u, c, v), projection, relation χ_R(u, v), mesure.

La distinction entre sophismes formels et sophismes informels prend alors un sens précis. Pour un sophisme formel, la relation se calcule sur la forme seule : la projection φ et la table de vérité suffisent, et le verdict est le même pour toute la fibre φ⁻¹(f). Pour un sophisme informel, la forme ne suffit pas : il faut des données sur le contenu de u et de v (l’échelle des degrés de certitude pour l’appel à la probabilité, le taux de base pour le sophisme du taux de base, les marques de critique et de négation pour l’argument issu de la fallacie). Mais la structure reste la même : une relation entre deux facteurs, mesurée par l’écart entre ce que u garantit et ce que v affirme.

Cet écart a, dans tous les cas, la même forme arithmétique. Le taux κ mesure ce que les prémisses garantissent à la conclusion (κ = 1 : tout ; κ < 1 : pas tout) ; le sophisme consiste à affirmer davantage. L’appel à la probabilité affirme la certitude là où u ne garantit qu’une possibilité ; le sophisme du taux de base affirme une probabilité que u ne garantit pas sans le taux de base ; le non sequitur affirme la conclusion là où κ < 1. Ce que la définition appelle « affaiblir le fondement sur lequel repose la conclusion » se mesure exactement par cette différence entre ce que v affirme et ce que u garantit.

Rappel de l’Anti-Obfuscation Man super zéro obfuscation, alias Cédric Christian Bernard Gagneux, l’auteur de ces pages, moi-même qui n’a ni cape, ni masque, ni super-pouvoir ; il se fatigue et fait des pauses, contrairement à Superman qui n’en a jamais souper d’être super à la louche et à son ennemi juré, l’obfuscation mathématique. Sa seule arme : justifier chaque élément de raisonnement qui pourrait prêter à confusion, et chaque symbole avant de s’en servir. Il le répète chaque fois qu’il rencontre une notation ; en voici une.

Note de notation – Pourquoi le symbole « ∴ » pour marquer la conclusion dans les pages précédentes

1. La question

Dans la présentation des sophismes formels, la forme d’un argument est écrite par exemple

(P → Q) · Q · ∴ · P,

ce qui se lit : « si P alors Q ; or Q ; donc P ». Le symbole « ∴ » se prononce « donc » ou « par conséquent » ; il est d’usage courant dans les mathématiques des îles britanniques (therefore). D’autres symboles servent à exprimer des notions voisines : →, ⇒, ⊃, ⊢, ⊨. La question est de savoir si l’un d’eux peut remplacer « ∴ » sans changer le sens des formules. La réponse est non, et cette note explique pourquoi, symbole par symbole.

2. Trois niveaux à ne pas confondre

Pour comparer ces symboles, il faut distinguer trois niveaux d’écriture. Chaque symbole appartient à un niveau précis, et un symbole ne peut remplacer qu’un symbole du même niveau.

N°	Niveau	Ce qu’on écrit à ce niveau	Exemple	Symboles de ce niveau
N1	à l’intérieur d’une proposition	une seule proposition, composée à l’aide de connecteurs	P → Q (« si P alors Q »)	→, ⊃, ∧, ∨, ¬
N2	entre les propositions d’un argument	une suite de propositions dont la dernière est présentée comme conclusion	(P → Q) · Q · ∴ · P	∴ (et le mot « donc »)
N3	au-dessus de l’argument (métalangage)	un énoncé qui juge l’argument : il est valide, ou il ne l’est pas	P → Q, P ⊨ Q	⊢, ⊨, ⊬, ⊭

Le niveau N2 est celui de l’objet étudié : l’argument tel qu’il est prononcé, avec son « donc », qu’il soit correct ou non. Le niveau N3 est celui du verdict que l’on porte sur cet objet après calcul. Le symbole cherché doit appartenir au niveau N2, et il doit être neutre : il doit dire « voici ce qui est présenté comme conclusion », sans dire si la conclusion découle réellement des prémisses. Sans cette neutralité, on ne pourrait pas écrire un sophisme sans le déclarer valide.

[Figure à insérer ici : SY-1-niveaux-symboles.png — Les trois niveaux d’écriture, les symboles de chaque niveau, et ce que chacun affirme.]

3. Les symboles un par un

3.1 Les symboles « → » et « ⊃ » : l’implication à l’intérieur d’une proposition

Définition. « P → Q » (écrit aussi « P ⊃ Q », notation de Russell et Whitehead) est une proposition unique, appelée implication matérielle, qui est fausse dans un seul cas : P vrai et Q faux. En arithmétique sur 0 et 1, sa valeur est 1 − P · (1 − Q).

Ce qui se passerait si on l’utilisait à la place de « ∴ ». On écrirait (P → Q) ∧ Q → P. Ce n’est plus une suite de trois propositions dont la dernière est conclue, mais une seule proposition : « si (P implique Q, et Q), alors P ». On a changé d’objet : on est passé du niveau N2 (un argument) au niveau N1 (une formule).

Ce changement n’est pas sans lien avec le problème posé ; il le déplace. Un argument de prémisses H et de conclusion C est valide exactement quand la proposition H → C est vraie pour toutes les valuations, c’est-à-dire quand c’est une tautologie. On le vérifie sur les deux formes de l’introduction :

N°	P	Q	modus ponens : H = (P → Q) · P, C = Q	H → C = 1 − H · (1 − C)	affirmation du conséquent : H = (P → Q) · Q, C = P	H → C = 1 − H · (1 − C)
v1	1	1	H = 1, C = 1	1	H = 1, C = 1	1
v2	1	0	H = 0, C = 0	1	H = 0, C = 1	1
v3	0	1	H = 0, C = 1	1	H = 1, C = 0	0
v4	0	0	H = 0, C = 0	1	H = 0, C = 0	1

Pour le modus ponens, H → C vaut 1 sur les quatre lignes : c’est une tautologie, l’argument est valide. Pour l’affirmation du conséquent, H → C vaut 0 à la ligne v3 : ce n’est pas une tautologie, l’argument est invalide. Mais en écrivant « → » à la place de « ∴ », on n’écrit plus l’argument : on écrit une formule dont il faut encore demander si elle est toujours vraie. De plus, le symbole « → » figure déjà dans la première prémisse P → Q ; employé deux fois dans la même ligne avec deux rôles différents, il rendrait la formule ambiguë. C’est l’obfuscation même qu’il faut éviter.

3.2 Le symbole « ⇒ » : « implique »

Définition. En mathématiques françaises, « A ⇒ B » se lit « A implique B ». Selon les auteurs, il a l’un de deux sens :

il désigne le même connecteur que « → » (niveau N1), et l’on retombe sur le cas précédent ;
il affirme que l’implication est vraie, comme dans « x = 2 ⇒ x² = 4 », que l’on écrit parce que c’est un fait démontré.

Ce qui se passerait. Dans le premier sens, même problème que pour « → ». Dans le second sens, écrire « (P → Q) ∧ Q ⇒ P » reviendrait à affirmer comme vraie une implication qui est fausse à la ligne v3 : on énoncerait une erreur mathématique au lieu de décrire un sophisme. Dans les deux cas, « ⇒ » ne convient pas, et son double sens est à lui seul une raison de l’éviter ici.

3.3 Les symboles « ⊢ » et « ⊨ » : le jugement de validité

Définitions. Ces deux symboles appartiennent au niveau N3 : ils ne font pas partie de l’argument, ils en parlent.

« H₁, …, H_r ⊨ C » se lit « C est conséquence logique de H₁, …, H_r » : toute valuation qui rend vraies toutes les prémisses rend vraie la conclusion. Dans les termes de l’introduction, c’est exactement κ = 1, où κ = Σ_v H(v) · C(v) / Σ_v H(v) est la part des valuations qui rendent la conclusion vraie parmi celles qui rendent les prémisses vraies.
« H₁, …, H_r ⊢ C » se lit « C est dérivable de H₁, …, H_r » : il existe une démonstration de C à partir des prémisses, par les règles d’un système formel. En logique propositionnelle classique, les théorèmes de correction et de complétude assurent que ⊢ et ⊨ s’appliquent exactement aux mêmes arguments.

Leurs négations, « ⊭ » et « ⊬ », affirment au contraire que l’argument est invalide : κ < 1, il existe un contre-modèle.

Ce qui se passerait. Écrire « P → Q, Q ⊢ P » serait un énoncé mathématique faux : la ligne v3 est un contre-modèle. L’écriture correcte est « P → Q, Q ⊬ P », mais elle contient déjà le verdict. Or, dans les fiches du glossaire, la forme de l’argument est écrite avant le calcul de κ, précisément pour que le lecteur suive le calcul qui établit le verdict. Écrire ⊢ ou ⊬ dès le départ reviendrait à donner la réponse avant d’avoir posé la question.

3.4 Le symbole « ∴ » : la conclusion présentée

Définition. « ∴ » marque que la proposition qui suit est présentée comme la conclusion de celles qui précèdent. C’est la transcription du mot « donc » du texte étudié. Il appartient au niveau N2 et n’affirme rien sur la validité : on peut écrire (P → Q) · P · ∴ · Q (valide) comme (P → Q) · Q · ∴ · P (invalide), exactement comme un locuteur peut dire « donc » à tort ou à raison.

C’est la propriété demandée. Le sophisme formel est un « donc » injustifié ; pour l’étudier, il faut un symbole qui recopie le « donc » sans le cautionner, puis un calcul (celui de κ) qui le juge.

4. Synthèse

N°	Symbole	Lecture	Niveau	Affirme la validité ?	Peut remplacer « ∴ » ?	Raison
S1	→, ⊃	si … alors	N1	non (c’est un connecteur)	non	transforme l’argument en une seule formule ; ambigu avec la prémisse P → Q
S2	⇒	implique	N1, ou affirmation	selon l’auteur	non	double sens ; dans le second sens, énonce une implication fausse
S3	⊢	est dérivable de	N3	oui	non	déclare valide un argument qui ne l’est pas
S4	⊨	est conséquence logique de	N3	oui (κ = 1)	non	même raison
S5	⊬, ⊭	n’est pas dérivable de, n’est pas conséquence de	N3	non : affirme l’invalidité (κ < 1)	non	donne le verdict avant le calcul
S6	∴	donc, par conséquent	N2	non : neutre	(symbole retenu)	recopie le « donc » de l’argument sans le juger

5. Convention retenue

Le symbole « ∴ » est conservé dans toutes les formes argumentatives : il note la conclusion présentée, sans jugement de validité.
Le symbole « → » est réservé à l’implication à l’intérieur d’une proposition (niveau N1).
Lorsque le verdict est établi, il peut être énoncé au niveau N3 : « P → Q, P ⊨ Q » pour une forme valide (κ = 1), « P → Q, Q ⊭ P » pour une forme invalide (κ < 1).
Dans un texte sans symboles, le mot « donc » remplit exactement le rôle de « ∴ ».

Ainsi chaque symbole n’a qu’un sens, et chaque sens n’a qu’un symbole. L’Anti-Obfuscation Man peut prendre sa pause.

Liste des définitions de mécanismes en combinatoire des mots utilisées dans le glossaire

Voici les mécanismes proposés pour chaque terme de raisonnement fallacieux, tels que formulés dans les traitements successifs :

Appel à la probabilité – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
L’appel à la probabilité (ou appel à la possibilité) est un sophisme logique qui consiste à tenir pour acquis qu’un événement se réalisera uniquement parce qu’il est possible ou probable. La structure inférentielle type est le passage injustifié d’une prémisse de probabilité à une conclusion de certitude : « $X$ est possible (ou probable), donc $X$ est certain. »

Mécanisme en combinatoire des mots
Le sophisme se modélise par la coprésence dans le mot de deux sous-facteurs sémantiquement équivalents (désignant le même événement) mais dont la valeur modale est asymétrique : le premier est évalué strictement entre 0 et 1 (possibilité), tandis que le second est évalué à 1 (certitude absolue).

Définition mathématique
Soit $w$ un mot fini. Soit $\equiv$ un opérateur d’équivalence sémantique entre deux facteurs. Soit $\mathrm{Mod} : \mathrm{Fact}(w) \to [0, 1]$ une fonction d’évaluation modale associant à un facteur son degré de certitude textuelle ( $0$ = impossible, $1$ = certain). Un appel à la probabilité est une paire de facteurs $(u_1, u_2)$ apparaissant séquentiellement dans $w$ tels que :

$u_1 \equiv u_2 \quad \text{(les facteurs désignent le même événement)}$ $\mathrm{Mod}(u_2) = 1 \quad \text{(le second facteur affirme la certitude)}$

Le degré d’appel à la probabilité s’évalue par le dénombrement de ces paires asymétriques :

$\mathrm{ProbApp}(w) = \bigl| \{ (u_1, u_2) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid u_1 \equiv u_2 \land 0 < \mathrm{Mod}(u_1) < 1 \land \mathrm{Mod}(u_2) = 1 \} \bigr|$

Remarque:

Plutôt que d’affirmer qu’un mot constitue à lui seul un facteur causal du sophisme, on décompose explicitement le mécanisme argumentatif en deux facteurs distincts $(u_1,u_2)$ . Cette représentation est plus fidèle à la nature d’un sophisme, lequel correspond non à un simple objet lexical mais à une inférence, c’est-à-dire à une transition logique entre une prémisse et une conclusion.

On définit alors : $u_1=\text{prémisse ou critique invoquée},$ $u_2=\text{conclusion ou rejet produit}.$

Le sophisme n’est plus localisé dans un mot isolé mais dans la règle de passage reliant $u_1$ u1 à $u_2$ u2. La structure fautive devient alors :

$u_1\not\Rightarrow u_2$

alors même que le discours présente implicitement cette implication comme valide.

Par ailleurs, l’introduction de la fonction de modalité textuelle $Mod$ Mod constitue une amélioration conceptuelle importante. Une probabilité statistique $P$ P mesure une fréquence ou une croyance quantitative, tandis que $Mod$ Mod mesure la manière dont le texte représente le degré de possibilité, de nécessité ou de certitude associé à une proposition.

Ainsi : $Mod(\text{« peut »})<Mod(\text{« va »})$

car l’opérateur modal « peut » exprime une simple possibilité alors que « va » exprime une orientation beaucoup plus déterminée vers la réalisation de l’événement.

De façon générale, si $E$ désigne un événement discursif, $Mod(E)\in\mathcal{M}$

où $\mathcal{M}$ est un ensemble ordonné de modalités textuelles vérifiant par exemple :

$\text{impossible} < \text{peut} < \text{probable} < \text{va} < \text{certain}.$

Le modèle ne mesure donc plus directement une probabilité statistique mais l’intensité modale avec laquelle le texte présente l’événement. Il devient alors possible de distinguer rigoureusement : $Mod_{prem}(u_1)$

et $Mod_{conc}(u_2),$ ,

puis d’évaluer si la force modale attribuée à la conclusion excède ce que la prémisse permet logiquement de soutenir. Un indice simple de glissement argumentatif est alors : $G=Mod(u_2)-Mod(u_1).$

Un sophisme d’amplification modale apparaît lorsque : $G>0$

et que cette augmentation de certitude n’est justifiée par aucune règle d’inférence valide. Le raisonnement passe alors abusivement d’une possibilité (« peut ») à une quasi-certitude (« va »), ce qui constitue précisément la rupture logique que la formalisation cherche à détecter.

Argument issu de la fallacie (Fallacy Fallacy) – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
L’argument issu de la fallacie (aussi appelé fallacy fallacy ou argumentum ad logicam) est un sophisme qui consiste à déduire qu’une proposition est matériellement fausse sous le seul prétexte que l’argument utilisé pour la défendre est formellement invalide ou fallacieux. La structure inférentielle type est : « L’argument $A$ en faveur de la proposition $C$ contient une erreur logique, par conséquent la proposition $C$ est fausse. »

Mécanisme en combinatoire des mots
Le sophisme se modélise par une séquence de deux facteurs : le premier facteur dénonce l’invalidité syntaxique ou logique d’un argument cible, tandis que le second opère un glissement illégitime en déclarant la fausseté sémantique de la conclusion de cet argument.

Définition mathématique
Soit $w$ un mot fini. Soit un argument de référence $x$ dont la conclusion est la proposition $C_x$ . Soit $\mathrm{Fall} : \mathrm{Fact}(w) \times \mathrm{Arg} \to \{0, 1\}$ un opérateur d’évaluation qui vaut $1$ si le facteur dénonce formellement l’argument $x$ comme étant fallacieux. Soit $\mathrm{Sem}$ une fonction d’interprétation sémantique et $\mathrm{Neg}$ l’opérateur de négation logique.

Un argument issu de la fallacie se définit par une paire ordonnée de facteurs $(u_1, u_2)$ apparaissant dans le mot $w$ telle que :

$\mathrm{Fall}(u_1, x) = 1 \quad \text{(le premier facteur rejette la validité formelle de l’argument } x\text{)}$

$\mathrm{Sem}(u_2) = \mathrm{Neg}(C_x) \quad \text{(le second facteur nie matériellement la conclusion de } x\text{)}$

Le degré d’argument issu de la fallacie s’évalue par le dénombrement de ces paires opérant ce glissement de la forme vers le fond :

$\mathrm{FallFall}(w) = \bigl| \{ (u_1, u_2) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid \exists x,\, \mathrm{Fall}(u_1, x) = 1 \land \mathrm{Sem}(u_2) = \mathrm{Neg}(C_x) \} \bigr|$

Justification
Cette formalisation mathématique corrige l’imprécision de la version initiale en séparant rigoureusement la critique de la forme ( $u_1$ ) et le rejet du fond ( $u_2$ ). En combinatoire des mots, cela traduit la déconnexion logique : l’opérateur $\mathrm{Fall}$ agit sur la structure de l’argument $x$ , mais l’opérateur $\mathrm{Neg}$ s’applique indûment à sa variable de conclusion $C_x$ . L’équation devient strictement calculable si l’on dispose d’un extracteur de conclusion et d’un détecteur de critique logique.

Exemples

Alice : « Tous les chats sont des animaux. Ginger est un animal. Donc Ginger est un chat. » (affirmation du conséquent). Bob : « Ton argument est fallacieux ( $u_1$ u1, $\mathrm{Fall} = 1$ ), donc Ginger n’est pas un chat ( $u_2$ , $\mathrm{Sem} = \mathrm{Neg}(C_x)$ ). » $\mathrm{FallFall}(w) \ge 1$ .
« Cet argument pour le réchauffement climatique contient un ad hominem ( $u_1$ ), donc le réchauffement climatique est faux ( $u_2$ ). » $\mathrm{FallFall}(w) \ge 1$ Fall.
« L’argument de mon adversaire est invalide ( $u_1$ ), donc sa conclusion est fausse ( $u_2$ ). » $\mathrm{FallFall}(w) \ge 1$ Fall.
« Ce raisonnement prouvant l’existence de Dieu est fallacieux ( $u_1$ ), par conséquent Dieu n’existe pas ( $u_2$ ). » $\mathrm{FallFall}(w) \ge 1$ .

Remarque:

Cette formalisation mathématique isole rigoureusement la dissociation entre la critique de la forme et le rejet du fond en traduisant cette déconnexion logique dans un cadre de combinatoire des mots.

Critique formelle (u1).
L’opérateur $Fall$ agit exclusivement sur la structure argumentative $x$ . Il évalue la validité logique, la cohérence interne ou la présence éventuelle de sophismes sans modifier le contenu propositionnel de la conclusion.
Rejet matériel (u2)
L’opérateur $Neg$ agit directement sur la conclusion $C_x$ . Son application devient illégitime dès lors qu’elle est déclenchée uniquement par une défaillance détectée par $Fall$ sans examen autonome du contenu sémantique de $C_x$ .

La dissymétrie fondamentale provient du fait que $Fall$ porte sur la forme $(x)$ , alors que $Neg$ porte sur le fond $(C_x)$ . Le passage de l’un à l’autre constitue un changement d’objet logique non justifié.

Cette rupture peut être représentée par : $Fall(x)\;\not\Rightarrow\;Neg(C_x)$

Autrement dit, la détection d’une erreur argumentative dans $x$ n’implique pas la fausseté de la conclusion $C_x$ .

Dans un modèle de traitement automatique, cette dissociation devient calculable par la combinaison de deux modules distincts :

$u_1=Fall(x)$ $u_2=Neg(C_x)$

et la mesure de leur déconnexion logique peut être exprimée par :

$\Delta(u_1,u_2)=1 \quad\Longleftrightarrow\quad Fall(x)\land Neg(C_x)\land\neg(Fall(x)\Rightarrow Neg(C_x))$

où $\Delta=1$ signale qu’une critique de structure a été transformée à tort en rejet du contenu. Ainsi, l’identification conjointe d’un détecteur d’erreurs logiques et d’un extracteur de conclusion permet de repérer automatiquement cette confusion argumentative.

Sophisme du taux de base (Base Rate Fallacy) – Mécanisme en combinatoire des mots

Définition rhétorique
Le sophisme du taux de base (ou négligence du taux de base) est une erreur d’inférence probabiliste qui consiste à évaluer la probabilité finale d’un événement en se focalisant exclusivement sur des informations spécifiques (une probabilité conditionnelle, comme la précision d’un test), tout en ignorant totalement la probabilité a priori (le taux de base) de cet événement dans la population générale.

Mécanisme en combinatoire des mots
Le sophisme se modélise par une asymétrie informationnelle dans une chaîne inférentielle : le mot contient un facteur de prémisse spécifique (la conditionnalité) et un facteur de conclusion (la probabilité affirmée), mais subit une omission structurelle formelle du facteur représentant le taux de base. La conclusion assimile directement la probabilité a posteriori à la probabilité conditionnelle.

Définition mathématique
Soit $w$ un mot fini. Soit $\mathrm{Eval}_{cond}(u)$ une fonction extrayant la probabilité conditionnelle affirmée par un facteur de prémisse $u$ (ex: $P(\mathrm{Test} \mid \mathrm{Maladie})$ ), et $\mathrm{Eval}_{post}(v)$ Evalpost(v) la probabilité finale affirmée par un facteur de conclusion $v$ (ex: $P(\mathrm{Maladie} \mid \mathrm{Test})$ ).

Un sophisme du taux de base se caractérise par une paire inférentielle de facteurs $(u, v)$ apparaissant dans $w$ w telle que la conclusion copie la prémisse :

$\mathrm{Eval}_{post}(v) \approx \mathrm{Eval}_{cond}(u)$

alors que le calcul valide requerrait l’intégration formelle d’un troisième facteur $b$ encodant le taux de base $P_{\mathrm{prior}}(b)$ P via le théorème de Bayes :

$P(H \mid E) = \frac{P(E \mid H) \cdot P(H)}{P(E)}$

Le degré de sophisme du taux de base s’évalue par le dénombrement de ces paires d’assimilation illégitime où le facteur $b$ est soit absent de $\mathrm{Fact}(w)$ , soit non calculé :

$\mathrm{BaseRate}(w) = \bigl| \{ (u, v) \in \mathrm{Fact}(w)^2 \mid u \text{ infère } v \land \mathrm{Eval}_{post}(v) \approx \mathrm{Eval}_{cond}(u) \land b \text{ formellement omis} \} \bigr|$

Justification
Cette formalisation mathématique corrige l’imprécision d’une simple « utilisation » textuelle en traduisant l’erreur cognitive par une égalité mathématique abusive ( $\mathrm{Eval}_{post}(v) \approx \mathrm{Eval}_{cond}(u)$ ). En combinatoire des mots, cela démontre un court-circuit inférentiel : l’opérateur relie directement la prémisse $u$ à la conclusion $v$ en ignorant la nécessité combinatoire du facteur $b$ (le taux de base) pour valider l’équation.

Exemples

Un test a 99 % de précision ( $u$ , $\mathrm{Eval}_{cond} = 0.99$ ), le résultat est positif, donc il est certain à 99 % que la personne est malade ( $v$ , $\mathrm{Eval}_{post} = 0.99$ ), sans qu’aucun facteur $b$ ne mentionne que la maladie touche 1 personne sur 1000. $\mathrm{BaseRate}(w) \ge 1$ .
Le problème des taxis : un témoin identifie correctement les couleurs dans 80 % des cas ( $u$ ) ; le texte conclut qu’il y a 80 % de chances que le taxi soit bleu ( $v$ ), en omettant le facteur $b$ (seulement 15 % des taxis sont bleus). $\mathrm{BaseRate}(w) \ge 1$ .
« Mon fils est exceptionnellement brillant aux tests d’entrée ( $u$ ), il a donc toutes les chances d’être accepté ( $v$ ) » (facteur $b$ ignoré : le taux d’acceptation global n’est que de 6 %). $\mathrm{BaseRate}(w) \ge 1$ Base.

Plutôt que de définir le sophisme comme « un facteur u qui encode une information », l’amélioration le structure comme une relation entre deux facteurs (u, v). Le sophisme n’est pas la présence d’une probabilité conditionnelle (qui est neutre en soi), mais le saut direct de cette prémisse u vers une conclusion v de même valeur. L’équation Evalpost(v)≈Evalcond(u) traduit parfaitement ce court-circuit mathématique typique de l’oubli du taux de base.

II) L’isomorphisme original entre les raisonnements sophistiques non sequitur et les opérateurs de la combinatoire des mots ex intimo*

(*Une réflexion issue de l’introspection pure, loin du bruit extérieur.)

0. Conventions de notation, données explicites et seuils déclarés

Le texte comme mot

Un énoncé est traité comme un mot w = t₁t₂ ⋯ t_n dont les lettres t_i sont les mots de la langue (on les appelle tokens). Règles de découpage : les tokens sont séparés par les espaces ; une forme élidée (l’, d’, c’, qu’, j’) compte pour un token ; la ponctuation n’est pas comptée, sauf lorsqu’une figure la prend explicitement comme marqueur (point d’exclamation, point d’interrogation, points de suspension). La longueur de w est son nombre de tokens, |w| = n.

Pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n, le facteur w[i..j] = t_i ⋯ t_j est la suite des tokens de la position i à la position j. Fact(w) désigne l’ensemble des facteurs non vides de w, et le nombre d’occurrences d’un facteur u dans w est m_w(u) = Σ_i=1^n−|u|+1 χ_{u}(w[i..i+|u|−1]). Le plus long facteur commun de deux mots x et y, noté lcf(x, y), est la plus grande longueur d’un mot qui est à la fois facteur de x et facteur de y.

La fonction caractéristique

Pour un ensemble F ⊆ E, χ_F(x) = 1 si x ∈ F et χ_F(x) = 0 sinon. Pour une proposition P, χ_P = 1 si P est vraie et 0 sinon. Pour un intervalle, χ_{[a, ∞)}(x) vaut 1 exactement quand x ≥ a. Toute mesure de ce glossaire s’écrit comme une somme ou un produit fini de valeurs de fonctions caractéristiques, éventuellement divisé par une longueur : elle se calcule donc avec les seules opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication, division, comparaison).

Principe des données explicites

Beaucoup de figures font intervenir une information de sens : l’interprétation d’un symbole, la polarité positive ou négative d’un mot, son domaine, sa plausibilité. Une expression comme « u est employé hors de son domaine » n’est pas, en elle-même, une formule calculable. Dans ce glossaire, chaque information de ce type est donc fixée par une table finie, donnée avec la figure : la table énumère les tokens concernés et leur associe une valeur (un autre token, un nombre −1, 0 ou +1, une classe). La table fait partie de la définition. Une fois la table fixée, le calcul est purement mécanique : on lit des valeurs dans la table, on les additionne, on les compare.

Principe des seuils déclarés

Lorsqu’une définition compare une quantité à un seuil, le seuil est toujours un nombre écrit, accompagné de son origine. Trois origines sont possibles :

seuil logique : il découle de la définition elle-même (par exemple « au moins deux » pour « plusieurs », ou « produit négatif » pour « signes opposés ») ;
seuil de référence : il est calé sur une valeur publiée ou mesurable (par exemple la densité lexicale ordinaire de la prose écrite) ;
seuil conventionnel : il est choisi, et l’on montre alors dans un tableau de sensibilité ce que donnent les exemples pour plusieurs valeurs voisines, de sorte que le lecteur voit exactement l’effet du choix.

Statut modal (nécessaire, possible, contingent)

nécessaire : le mécanisme ne dépend que de la structure du mot (tokens, positions, répétitions, longueurs) ;
possible : le mécanisme exige une donnée combinatoire fixée à l’avance (un corpus de référence, une liste de classes grammaticales, une segmentation), puis reste entièrement formel ;
contingent : le mécanisme exige une table de sens (interprétation, polarité, dictionnaire) ; la combinatoire en fait un calcul exact, mais le contenu de la table vient de la langue et de la culture.

1.Appel à la probabilité – Mécanisme en combinatoire des mots

1. Définition du sophisme

L’appel à la probabilité (appeal to probability, ou appeal to possibility) consiste à tenir pour acquis qu’un événement se réalisera parce qu’il est possible ou probable. Sa forme type est : « X est possible (ou probable), donc X est certain ». L’erreur ne porte pas sur le contenu (qu’il pleuve, que le projet échoue) mais sur le degré de certitude : la prémisse affirme ce contenu avec un certain degré, la conclusion l’affirme avec un degré plus fort que la prémisse ne l’autorise.

Le sophisme se lit donc dans la forme du texte, à condition de répondre à trois questions, chacune par un calcul : 1) la phrase a-t-elle la forme prémisse · connecteur · conclusion ? 2) la conclusion reprend-elle le contenu de la prémisse ? 3) le degré de certitude monte-t-il jusqu’à la certitude entre la prémisse et la conclusion ? Les sections suivantes donnent les données nécessaires, puis la mesure.

2. Le texte comme mot et la forme de l’argument

Le texte est un mot fini w = t₁ t₂ ⋯ t_n dont les lettres sont des tokens (mots graphiques ; une forme élidée comme j’ compte pour un token). On le découpe en phrases. Une phrase s a la forme d’un argument si elle se factorise en

s = p · c · q, où c est un connecteur conclusif, p (la prémisse) est le facteur qui le précède et q (la conclusion) le facteur qui le suit. Le point · désigne la concaténation des mots.

La phrase « Il peut pleuvoir, donc il pleuvra » découpée en prémisse, connecteur et conclusion, avec la marque modale et le noyau de chaque partie.

3. Données explicites

3.1 Les connecteurs conclusifs

Conc = {donc, alors, par conséquent, c’est pourquoi, ainsi, so, therefore, hence}. C’est une liste fermée : la langue n’a qu’un petit nombre de mots qui introduisent une conclusion.

3.2 L’échelle des degrés de certitude

Chaque marque modale (verbe, adverbe ou locution qui exprime un degré de certitude) reçoit un intervalle de probabilité [a, b] : a est la probabilité minimale que la marque garantit, b la probabilité maximale qu’elle admet. Les valeurs ne sont pas inventées : ce sont celles de l’échelle de Sherman Kent (« Words of Estimative Probability », 1964), écrite pour fixer par des nombres le sens des mots de probabilité dans les rapports de renseignement. Kent donne une valeur centrale et une marge ; l’intervalle est la valeur centrale plus ou moins la marge.

N°	Classe	Marques (français, anglais)	Valeur centrale (Kent)	Intervalle [a, b]
M1	certain	certainement, sûrement, forcément, il est certain que ; assertion sans marque (voir 3.3)	100 %	[1 ; 1]
M2	presque certain	presque certainement, très probablement, almost certainly	93 % ± 6	[0,87 ; 0,99]
M3	probable	probablement, probable, sans doute, probably, likely	75 % ± 12	[0,63 ; 0,87]
M4	chances égales	une chance sur deux, autant de chances que, as likely as not	50 % ± 10	[0,40 ; 0,60]
M5	probablement pas	peu probable, probablement pas, unlikely	30 % ± 10	[0,20 ; 0,40]
M6	presque certainement pas	très improbable, presque certainement pas	7 % ± 5	[0,02 ; 0,12]
M7	impossible	impossible, il est impossible que, ne peut pas	0 %	[0 ; 0]
M8	possible	peut, pourrait, il se peut que, possible, peut-être, une chance de, il existe une possibilité que, may, might, can	(aucune)	[0 ; 1]

La ligne M8 n’est pas dans la table de Kent, et ce n’est pas un oubli : « possible » ne donne aucune valeur centrale. Il affirme seulement que l’événement n’est pas impossible, c’est-à-dire que sa probabilité est strictement positive, sans rien garantir de plus. Son intervalle est donc tout l’intervalle de 0 à 1 (bornes exclues au sens strict, mais la borne inférieure garantie est 0). C’est exactement pour cette raison que l’appel à la possibilité est la forme la plus forte du sophisme : il part de la marque qui garantit le moins.

3.3 La convention de l’assertion

Une proposition affirmée sans marque modale (« il pleuvra », « je vais gagner », « il échouera ») est lue comme certaine : intervalle [1 ; 1]. C’est la convention ordinaire de l’assertion : qui affirme sans nuance se présente comme sûr de ce qu’il affirme. Si une phrase contient plusieurs marques, on retient la plus faible (celle dont la borne a est la plus petite), car c’est elle qui limite ce qui est garanti.

3.4 Le noyau d’une proposition

Le noyau L(x) d’un facteur x est l’ensemble des lemmes (formes de base : pleuvra → pleuvoir) de ses mots lexicaux. On retire les mots de la liste fermée Gram : articles, pronoms (il, je, quelque), auxiliaires (avoir, être, aller dans « vais gagner »), prépositions, ainsi que les marques modales de 3.2 et les connecteurs de 3.1. Le noyau représente ce dont on parle, indépendamment du degré de certitude avec lequel on en parle.

4. Définition mathématique

Pour une phrase s = p · c · q, on définit cinq valeurs 0 ou 1, chacune par une fonction caractéristique (χ_E(x) vaut 1 si x appartient à l’ensemble E, 0 sinon).

N°	Condition	Expression	Ce qu’elle vérifie
C1	forme d’argument	χ_Conc(c)	le facteur central est un connecteur conclusif
C2	même contenu	Inc(s) = ∏_{ℓ ∈ L(q)} χ_L(p)(ℓ)	chaque lemme du noyau de la conclusion figure dans le noyau de la prémisse (le produit vaut 1 si aucun ne manque, 0 dès qu’un seul manque)
C3	prémisse non certaine	χ_{[0, 1)}(a(p))	la prémisse ne garantit pas la certitude : a(p) < 1
C4	prémisse non impossible	χ_{(0, 1]}(b(p))	la prémisse admet l’événement : b(p) > 0
C5	conclusion certaine	χ_{1}(a(q))	la conclusion est affirmée comme certaine : a(q) = 1

La phrase est un appel à la probabilité si les cinq conditions valent 1 :

PA(s) = χ_Conc(c) · Inc(s) · χ_{[0, 1)}(a(p)) · χ_{(0, 1]}(b(p)) · χ_{1}(a(q)).

Un produit de valeurs 0 ou 1 vaut 1 si et seulement si toutes valent 1 : le produit est la traduction arithmétique du « et » logique.

L’intensité du sophisme est la part de certitude ajoutée sans justification, c’est-à-dire l’écart entre la certitude affirmée par la conclusion et la certitude garantie par la prémisse :

Δ(s) = a(q) − a(p) = 1 − a(p) lorsque PA(s) = 1.

Δ vaut 1 quand on passe de « possible » à « certain » (rien n’était garanti, tout est affirmé), 0,37 quand on passe de « probable » à « certain », 0,13 quand on passe de « presque certain » à « certain ».

Pour un texte w découpé en phrases s₁, …, s_m :

PA(w) = Σ_{j = 1}^m PA(s_j), Δ̄(w) = ( Σ_j PA(s_j) · Δ(s_j) ) / PA(w), τ(w) = PA(w) / Σ_j χ_Conc(c_j).

PA(w) compte les sophismes, Δ̄(w) est leur intensité moyenne, τ(w) est la part des arguments du texte qui sont des appels à la probabilité.

Le statut des seuils

Aucun seuil n’est choisi arbitrairement. Les conditions C1 à C5 sont des seuils logiques (appartenance, inclusion, inégalité stricte avec 0 ou 1). Les seules valeurs numériques, les bornes a et b, sont des valeurs de référence tirées de l’échelle de Kent ; la convention de l’assertion (3.3) est la seule convention.

Calcul pas à pas

Découper la phrase en p · c · q autour d’un connecteur de Conc ; sinon PA(s) = 0.
Repérer les marques modales de p et de q dans la table 3.2 ; lire a(p), b(p) et a(q) (assertion sans marque : a = 1).
Écrire les noyaux L(p) et L(q) ; vérifier que L(q) ⊆ L(p).
Calculer les cinq valeurs C1 à C5 et leur produit PA(s).
Si PA(s) = 1, calculer Δ(s) = 1 − a(p).

5. Exemples et contre-exemples

N°	Phrase	Marque de p, [a(p) ; b(p)]	a(q)	L(p)	L(q)	Inc	PA	Δ
1	Il peut pleuvoir, donc il pleuvra.	peut, [0 ; 1]	1	{pleuvoir}	{pleuvoir}	1	1	1
2	Quelque chose peut mal tourner, donc quelque chose tournera mal.	peut, [0 ; 1]	1	{chose, mal, tourner}	{chose, mal, tourner}	1	1	1
3	J’ai une chance de gagner au loto, donc je vais gagner.	une chance de, [0 ; 1]	1	{gagner, loto}	{gagner}	1	1	1
4	Il existe une possibilité que le projet échoue, donc il échouera.	il existe une possibilité que, [0 ; 1]	1	{projet, échouer}	{échouer}	1	1	1
5	Le projet échouera probablement, donc il échouera.	probablement, [0,63 ; 0,87]	1	{projet, échouer}	{échouer}	1	1	0,37
6	Il est presque certain qu’il gagnera, donc il gagnera.	presque certain, [0,87 ; 0,99]	1	{gagner}	{gagner}	1	1	0,13
7	Il peut pleuvoir, donc il pleuvra sans doute.	peut, [0 ; 1]	0,63	{pleuvoir}	{pleuvoir}	1	0	—
8	Il est certain qu’il pleuvra, donc il pleuvra.	certain, [1 ; 1]	1	{pleuvoir}	{pleuvoir}	1	0	—
9	Il peut pleuvoir, donc prends un parapluie.	peut, [0 ; 1]	1	{pleuvoir}	{prendre, parapluie}	0	0	—
10	Il pleuvra probablement, donc il pleuvra peut-être.	probablement, [0,63 ; 0,87]	0	{pleuvoir}	{pleuvoir}	1	0	—
11	Il est impossible qu’il gagne, donc il gagnera.	impossible, [0 ; 0]	1	{gagner}	{gagner}	1	0	—

Lecture des contre-exemples

Phrase 7 : la certitude monte (de « possible » à « probable »), mais pas jusqu’à 1 (C5 = 0). C’est une montée modale partielle, de même nature mais plus faible ; on peut la mesurer par a(q) − a(p) = 0,63 sans la compter comme appel à la probabilité au sens strict.
Phrase 8 : la prémisse est déjà certaine (C3 = 0) ; l’argument est valide.
Phrase 9 : la conclusion ne reprend pas le contenu de la prémisse (C2 = 0). C’est un raisonnement pratique (une précaution), et il est légitime : la simple possibilité de la pluie suffit à justifier un parapluie.
Phrase 10 : la certitude descend (de 0,63 à 0) ; une conclusion plus prudente que sa prémisse est toujours permise.
Phrase 11 : la prémisse déclare l’événement impossible (C4 = 0). Conclure qu’il aura lieu n’est plus un appel à la probabilité, mais une contradiction ouverte.

Pour ces onze phrases : PA(w) = 6, Σ χ_Conc(c_j) = 11, donc τ(w) = 6 / 11 ≈ 0,545, et Δ̄(w) = (1 + 1 + 1 + 1 + 0,37 + 0,13) / 6 = 4,5 / 6 = 0,75.

L’échelle des degrés de certitude et le saut Δ de chaque exemple, de la borne garantie par la prémisse jusqu’à la certitude affirmée.

6. Ce que vaut réellement la prémisse : l’exemple du loto

La mesure Δ ne dépend que des mots. On peut, en plus, comparer la certitude affirmée avec la probabilité réelle, quand celle-ci est calculable. Pour le loto français, il faut trouver 5 numéros parmi 49 et un numéro chance parmi 10. Le nombre de grilles possibles est N = C(49, 5) × 10 = (49 × 48 × 47 × 46 × 45) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × 10 = 1 906 884 × 10 = 19 068 840. La probabilité de gagner le premier rang avec une grille est donc P = 1 / N ≈ 0,000 000 052 4 (soit 5,24 × 10⁻⁸). La phrase 3 affirme une probabilité de 1 ; elle surestime la probabilité réelle d’un facteur 1 / P = 19 068 840. Le mot « chance » de la prémisse est vrai (P > 0), la conclusion est fausse dans 19 068 839 cas sur 19 068 840.

7. Pourquoi le sophisme paraît plausible : la répétition

L’argument « c’est possible, donc cela arrivera » n’est pas toujours absurde : il devient presque vrai lorsque l’épreuve est répétée. Si un événement a la probabilité p à chaque épreuve, et si les épreuves sont indépendantes, la probabilité qu’il ne se produise jamais en n épreuves est (1 − p)ⁿ (il faut qu’il échoue à chaque fois, et les probabilités d’épreuves indépendantes se multiplient). La probabilité qu’il se produise au moins une fois est donc P_n = 1 − (1 − p)ⁿ. Comme 0 < 1 − p < 1, la puissance (1 − p)ⁿ diminue quand n augmente, et P_n se rapproche de 1 sans jamais l’atteindre. C’est la part de vérité de la « loi de Murphy » (phrase 2) : sur un très grand nombre d’occasions, ce qui peut mal tourner finira, presque sûrement, par mal tourner au moins une fois. Pour savoir à partir de combien d’épreuves la conclusion devient « presque certaine », on prend comme seuil la borne haute de la classe « presque certain » de Kent, 0,99, et on cherche le plus petit n tel que P_n ≥ 0,99, c’est-à-dire (1 − p)ⁿ ≤ 0,01. En passant aux logarithmes (le logarithme transforme une puissance en produit) : n* = ⌈ ln(0,01) / ln(1 − p) ⌉, où ⌈x⌉ est le plus petit entier supérieur ou égal à x.

N°	Situation	p	n	P_n = 1 − (1 − p)ⁿ
R1	panne possible, une occasion	0,1	1	0,1
R2	panne possible, 10 occasions	0,1	10	0,651
R3	panne possible, 22 occasions	0,1	22	0,902
R4	panne possible, 43 occasions	0,1	43	0,989
R5	panne possible, 44 occasions = n*	0,1	44	0,990
R6	loto, n* tirages	5,24 × 10⁻⁸	87 815 252	0,990

Pour p = 0,1 : ln(0,01) = −4,605 et ln(0,9) = −0,105 36, d’où n* = ⌈43,7⌉ = 44. Pour le loto, n* = 87 815 252 grilles ; à raison de trois tirages par semaine, soit 156 par an, il faudrait jouer une grille à chaque tirage pendant environ 562 918 ans pour que le gain devienne « presque certain ». Le sophisme consiste donc à appliquer à une seule épreuve une conclusion qui n’est approximativement vraie que pour un grand nombre d’épreuves, et qui n’atteint jamais exactement la certitude. La mesure PA le détecte parce que la conclusion affirme a(q) = 1, valeur qu’aucun nombre fini de répétitions ne permet d’atteindre.

Probabilité d’au moins une réalisation en n épreuves, P_n = 1 − (1 − p)ⁿ, pour p = 0,1, 0,05 et 0,01, avec le seuil 0,99.

8. Statut modal et justification du lien

Statut modal : possible. La mesure n’utilise que des listes fermées (connecteurs, marques modales, mots grammaticaux), une échelle de référence publiée (Kent) et la comparaison de deux ensembles de lemmes. Elle ne demande aucune table de sens propre au texte étudié ; seule la lemmatisation, ressource standard, s’ajoute à la forme du mot.

Justification. Le sophisme est un écart entre deux degrés de certitude portant sur le même contenu. La combinatoire des mots sépare exactement ces deux composantes : le noyau L(x) porte le contenu, l’intervalle [a, b] porte le degré. La condition L(q) ⊆ L(p) dit « même contenu », la condition a(p) < 1 = a(q) dit « certitude ajoutée », et Δ = 1 − a(p) en donne la mesure. Toutes les opérations sont des appartenances, des produits de 0 et de 1 et une soustraction.

2.Argument issu de la fallacie (fallacy fallacy) – Mécanisme en combinatoire des mots

1. Définition du sophisme

L’argument issu de la fallacie (fallacy fallacy, argumentum ad logicam) consiste à conclure qu’une proposition est fausse parce que l’argument avancé pour la défendre est invalide ou fallacieux. Sa forme type est : « L’argument A en faveur de C contient une erreur logique, donc C est faux ».

L’erreur tient à la confusion de deux objets différents. La critique porte sur l’argument (le lien entre les prémisses et la conclusion) ; la conclusion qu’on en tire porte sur la proposition C elle-même. Qu’un argument soit invalide signifie seulement que ses prémisses ne suffisent pas à garantir C ; cela ne dit pas que C est faux. Une proposition vraie peut être défendue par un mauvais argument : « La Terre est ronde, puisque le ciel est bleu » est un argument sans valeur pour une conclusion vraie.

Le sophisme se reconnaît donc dans le texte à condition de répondre, chacune par un calcul, aux questions suivantes : 1) la phrase a-t-elle la forme critique · connecteur · conclusion ? 2) la première partie critique-t-elle bien un argument ? 3) la seconde partie parle-t-elle de la conclusion C de cet argument ? 4) la nie-t-elle ? 5) la nie-t-elle elle-même, et non seulement sa démonstration ? La section 6 montre ensuite, par un comptage de cas, pourquoi le passage de 1) à 4) est illégitime, et en mesure l’écart.

2. Le texte comme mot et la forme de la réplique

Le texte est un mot fini w = t₁ t₂ ⋯ t_n dont les lettres sont des tokens (une forme élidée comme l’ ou n’ compte pour un token). Il contient un argument cible x, dont la conclusion est une proposition C_x, et une réplique s. L’argument cible peut être écrit en entier (Alice énonce ses prémisses et sa conclusion) ou seulement désigné dans la réplique (« cet argument pour le réchauffement climatique ») ; dans ce second cas, C_x est le complément introduit par pour, en faveur de, prouvant.

La réplique a la forme du sophisme si elle se factorise en

s = u₁ · c · u₂, où c est un connecteur conclusif, u₁ (la critique) le facteur qui le précède et u₂ (le verdict) le facteur qui le suit.

Le dialogue d’Alice et de Bob : la conclusion C_x d’Alice, puis la réplique de Bob découpée en critique, connecteur et verdict, avec les marques et les noyaux.

3. Données explicites

Toutes les données sont des listes fermées (des mots grammaticaux ou un vocabulaire technique fini) ; aucune n’exige une interprétation propre au texte étudié.

N°	Liste	Rôle	Contenu
T1	Conc	connecteurs conclusifs	donc, alors, par conséquent, c’est pourquoi, ainsi, so, therefore, hence
T2	Crit	marques de critique logique	fallacieux, invalide, sophisme, erreur logique, non sequitur, ad hominem, homme de paille, pente glissante, affirmation du conséquent, négation de l’antécédent, pétition de principe, faux dilemme, fallacious, invalid, fallacy, flawed
T3	Arg	mots désignant un argument	argument, raisonnement, démonstration, preuve, inférence, syllogisme, reasoning, proof
T4	Neg	marques de négation	ne … pas, ne … point, ne … jamais, faux, fausse, not, false, isn’t
T5	Epi	verbes de preuve	prouver, démontrer, établir, montrer, justifier, prove, show, establish
T6	Ana	reprises de la conclusion	sa conclusion, ta conclusion, la conclusion, cela, ce qu’il affirme, its conclusion

Une négation discontinue (ne … pas) compte pour une seule marque. Une expression de la liste Ana est remplacée par C_x avant le calcul : « sa conclusion est fausse » se lit « C_x est faux ».

3.1 Le noyau et la polarité

Le noyau L(x) d’un facteur x est l’ensemble des lemmes (formes de base : existence → exister, échoue → échouer) de ses mots lexicaux. On retire les mots grammaticaux (articles, pronoms, auxiliaires, copules, prépositions) et les mots des listes T1 à T5. Le noyau dit de quoi parle le facteur, indépendamment de l’affirmation ou de la négation.

La polarité d’un facteur est π(x) = (−1)^ν(x), où ν(x) est le nombre de marques de négation de x. Une proposition affirmée a la polarité +1, une proposition niée la polarité −1, une double négation redonne +1. C’est la règle des signes de la multiplication : nier, c’est multiplier par −1.

4. Définition mathématique

Pour une réplique s = u₁ · c · u₂ visant un argument x de conclusion C = C_x, on définit six valeurs 0 ou 1. La fonction caractéristique χ_E(t) vaut 1 si t appartient à l’ensemble E, 0 sinon ; χ_{[1, ∞)}(k) vaut 1 si le nombre k est au moins 1.

N°	Condition	Expression	Ce qu’elle vérifie
F1	forme de conclusion	χ_Conc(c)	le facteur central est un connecteur conclusif
F2	critique logique	χ_{[1, ∞)}( Σ_{t ∈ u1} χ_Crit(t) )	u₁ contient au moins une marque de critique logique
F3	objet de la critique	χ_{[1, ∞)}( Σ_{t ∈ u1} χ_Arg(t) )	ce qui est critiqué est un argument (et non la proposition)
F4	même contenu	Inc(u₂, C) = ∏_{ℓ ∈ L(u2)} χ_L(C)(ℓ)	chaque lemme du verdict figure dans le noyau de C : le verdict parle de C
F5	négation de C	χ_{−1}( π(u₂) · π(C) )	le verdict a la polarité opposée à celle de C
F6	négation portant sur C	1 − χ_{[1, ∞)}( Σ_{t ∈ u2} χ_Epi(t) )	le verdict ne contient pas de verbe de preuve : il nie C, non sa démonstration

La réplique est un argument issu de la fallacie si les six conditions valent 1 :

FF(s) = χ_Conc(c) · F2 · F3 · Inc(u₂, C) · χ_{−1}(π(u₂) · π(C)) · F6.

Le produit de valeurs 0 ou 1 est la traduction arithmétique du « et » : il vaut 1 si et seulement si toutes les conditions sont remplies.

Pour un texte w qui contient les répliques s₁, …, s_m :

FF(w) = Σ_{j = 1}^m FF(s_j), τ(w) = FF(w) / Σ_j F2(s_j) · F3(s_j).

FF(w) compte les sophismes ; τ(w) est la part des critiques d’arguments qui glissent vers la négation de la conclusion.