Sans aucune admiration personnelle d’un haut mage mathématique à qui je rends simplement hommage, en reproduisant ci-dessus le portrait “d’Edsger Wybe Dijkstra, ( 11 mai 1930–6 août 2002), un mathématicien et informaticien néerlandais qui formula et résolut le problème du plus court chemin en 1956, et développa en 1960, en collaboration avec Jaap A. Zonneveld, le premier compilateur pour le langage de programmation ALGOL 60”, j’affirme que si Edsger Dijkstra a découvert que, si sgn(x) ∈ {−1,0,1} respectivement selon que x est négatif, nul ou positif, alors le théorème de Pythagore découle de l’identité élégamment symétrique et beaucoup plus générale sgn(A + B−C) = sgn(a² +b² −c²).
2E) LES COMBINAISONS LINÉAIRES DE LA FONCTION ARITHMÉTIQUE PLAFOND ET/OU PLANCHER D’IVERSON EQUIVALENTES À L’OPÉRATION ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE SIGN
Puis pour écrire l’expression de la fonction arithmétique sign(x) comme combinaison linéaire de fonction plafond et plancher, nous reprenons notre définition et sa disposition précédentes de la fonction caractéristique d’appartenance comme suit :
∀ x=xᵢ ∈ E=SeqXᵢ₌ₙ = ( {xᵢ₌₁ ; xᵢ₌₂ ; xᵢ₌₃ ; xᵢ₌₄ ; xᵢ₌₅ ; xᵢ₌₆ ; xᵢ₌₇… xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁ ;… xᵢ₌ₙ} ) ⊆ R ; ∀ x=xᵢ ∈ R alors xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 ˄ xᵢ ∈ E=SeqXᵢ₌ₙ ↔ SeqXᵢ₌ₙ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁ ; xᵢ₌ₙ] | xᵢ=0 ˅ xᵢ≠0 }) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ=( nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆ ; nᵢ₌₇…nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌ₙ=( { n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₙ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 } ) ⊆ N*, alors :
- 1E : E=SeqXᵢ₌ₙ ⊆ R→ {0 , 1 ,-1}
- Si sign (x)=⌈(x/(|x|+1)-⌊|x|/(|x|+1)⌋⌉ – ( ⌈x/(|x|+1)-⌊x/(|x|+1)⌋⌉-⌈x/(|x|+1)-⌊|x|/(|x|+1)⌋⌉ ), alors sign (x)=0, ssi x=0 ↔ 1E(x)=0 (U.1).
- Si sign (x)=⌈(x/(|x|+1)-⌊|x|/(|x|+1)⌋⌉ – ( ⌈x/(|x|+1)-⌊x/(|x|+1)⌋⌉-⌈x/(|x|+1)-⌊|x|/(|x|+1)⌋⌉ ), alors sign(x)=1, ssi x>0 ↔ 1E(x)=1 (U.2).
- Si sign (x)=⌈(x/(|x|+1)-⌊|x|/(|x|+1)⌋⌉ – ( ⌈x/(|x|+1)-⌊x/(|x|+1)⌋⌉-⌈x/(|x|+1)-⌊|x|/(|x|+1)⌋⌉ ), alors sign(x)=-1, ssi x<0 ↔ 1E(x)=-1 (U.3).
2C) LES COMBINAISONS LINÉAIRES DE LA FONCTION ARITHMÉTIQUE PLAFOND ET/OU PLANCHER D’IVERSON EQUIVALENTES À L’OPÉRATION ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE D’INDEXATION DES VALEURS SEQUENTIELLES