Critère 4 — comptages à intensité / dispersion
7. Loi de Conway–Maxwell–Poisson
8. Loi de Delaporte

• Loi de Conway-Maxwell-Poisson (souvent abrégée en loi COM-Poisson ou CMP) est une distribution de probabilité discrète. Elle constitue une généralisation directe et puissante de la loi de Poisson classique. Alors que la loi de Poisson impose une contrainte mathématique stricte (la variance du phénomène étudié doit être exactement égale à sa moyenne), la loi CMP introduit un paramètre supplémentaire permettant de modéliser des données réelles où la variance est soit supérieure (sur-dispersion), soit inférieure (sous-dispersion) à la moyenne. Formules principales : Domaine de définition : x ∈ ℕ (les entiers naturels : 0, 1, 2, 3…) car elle sert à compter des occurrences. Paramètres : λ > 0 (le paramètre de taux moyen d’occurrence) ν ≥ 0 (le paramètre de dispersion). Fonction de masse (Probabilité que X = x) : P(X = x) = [ λˣ / (x!)ᵛ ] / Z(λ, ν) (où x! est la factorielle de x, et Z(λ, ν) est la constante de normalisation). Constante de normalisation : Z(λ, ν) = ∑ (de j=0 à ∞) [ λʲ / (j!)ᵛ ]. Espérance (Moyenne) : Il n’existe pas de formule algébrique fermée simple, elle se calcule via la dérivée (notée Z’) de la constante d’équilibrage : E(X) = λ · [ Z'(λ, ν) / Z(λ, ν) ]. Variance (Approximation asymptotique pour de grandes valeurs de λ) : Var(X) ≈ (1 / ν) · λ⁽¹/ᵛ⁾ .

La loi de Conway-Maxwell-Poisson (CMP)

Une généralisation de la loi de Poisson par contrôle de la dispersion

La loi de Conway-Maxwell-Poisson (CMP) est une distribution discrète qui étend la loi de Poisson classique en introduisant un paramètre supplémentaire de dispersion :$$\nu.$$ν.

Cette modification permet de moduler directement l’influence du terme factoriel dans la probabilité.

Pour une variable discrète :$$k=0,1,2,\ldots$$k=0,1,2,…

la fonction de masse de probabilité est définie par :$$P(X=k) = \frac{1}{Z(\lambda,\nu)} \frac{\lambda^k}{(k!)^\nu}.$$P(X=k)=Z(λ,ν)1​(k!)νλk​.

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1. Décomposition des composantes algébriques

L’accélérateur géométrique

Le premier terme est :$$\lambda^k.$$λk.

Le paramètre :$$\lambda>0$$λ>0

est élevé à la puissance de la valeur observée :$$k.$$k.

Quelques exemples avec :$$\lambda=2$$λ=2

donnent :$$2^0=1,$$20=1,$$2^1=2,$$21=2,$$2^2=4,$$22=4,$$2^3=8,$$23=8,$$2^4=16.$$24=16.

Ce terme favorise les valeurs élevées de $k$k.

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Le frein factoriel modulé

Le second terme est :$$(k!)^\nu.$$(k!)ν.

La valeur du paramètre :$$\nu$$ν

contrôle directement la vitesse de croissance du dénominateur.

Cas classique

Si :$$\nu=1,$$ν=1,

alors :$$(k!)^\nu=k!.$$(k!)ν=k!.

On retrouve exactement la loi de Poisson.

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Sous-dispersion

Si :$$\nu>1,$$ν>1,

la factorielle est amplifiée.

Par exemple :$$(4!)^2 = 24^2 = 576.$$(4!)2=242=576.

Le dénominateur devient beaucoup plus grand et les probabilités des grandes valeurs de $k$k diminuent fortement.

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Sur-dispersion

Si :$$0<\nu<1,$$0<ν<1,

la croissance du dénominateur est ralentie.

Par exemple :$$(4!)^{1/2} = \sqrt{24}.$$(4!)1/2=24​.

Les grandes valeurs de $k$k reçoivent alors davantage de probabilité.

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La constante de normalisation

La constante :$$Z(\lambda,\nu) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{(j!)^\nu}$$Z(λ,ν)=j=0∑∞​(j!)νλj​

assure :$$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1.$$k=0∑∞​P(X=k)=1.

Cette constante joue le même rôle que l’intégrale de normalisation dans les lois continues.

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2. Exemple numérique

Considérons le système :$$\lambda=2,$$λ=2,$$\nu=2.$$ν=2.

La factorielle est donc mise au carré.

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3. Calcul de la constante $Z(2,2)$Z(2,2)

On calcule les premiers termes :

$j=0$j=0

$$\frac{2^0}{(0!)^2} = \frac{1}{1} = 1.00000.$$(0!)220​=11​=1.00000.

$j=1$j=1

$$\frac{2^1}{(1!)^2} = \frac{2}{1} = 2.00000.$$(1!)221​=12​=2.00000.

$j=2$j=2

$$\frac{2^2}{(2!)^2} = \frac{4}{4} = 1.00000.$$(2!)222​=44​=1.00000.

$j=3$j=3

$$\frac{2^3}{(3!)^2} = \frac{8}{36} = 0.22222.$$(3!)223​=368​=0.22222.

$j=4$j=4

$$\frac{2^4}{(4!)^2} = \frac{16}{576} = 0.02778.$$(4!)224​=57616​=0.02778.

$j=5$j=5

$$\frac{2^5}{(5!)^2} = \frac{32}{14400} = 0.00222.$$(5!)225​=1440032​=0.00222.

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Somme de normalisation

$$Z(2,2) \approx 1 + 2 + 1 + 0.22222 + 0.02778 + 0.00222.$$Z(2,2)≈1+2+1+0.22222+0.02778+0.00222.

Donc :$$Z(2,2) \approx4.25222.$$Z(2,2)≈4.25222.

Ainsi :$$\boxed{Z(2,2)\approx4.25222}$$Z(2,2)≈4.25222​

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4. Tableau de distribution des probabilités

Paramètres :$$\lambda=2, \qquad \nu=2.$$λ=2,ν=2.

$k$k	$\lambda^k$λk	$(k!)^\nu$(k!)ν	Fraction brute $\lambda^k/(k!)^\nu$λk/(k!)ν	Division par $Z$Z	$P(X=k)$P(X=k)
0	$1$1	$1$1	1.00000	$1.00000/4.25222$1.00000/4.25222	0.23517
1	$2$2	$1$1	2.00000	$2.00000/4.25222$2.00000/4.25222	0.47034
2	$4$4	$4$4	1.00000	$1.00000/4.25222$1.00000/4.25222	0.23517
3	$8$8	$36$36	0.22222	$0.22222/4.25222$0.22222/4.25222	0.05226
4	$16$16	$576$576	0.02778	$0.02778/4.25222$0.02778/4.25222	0.00653
5	$32$32	$14400$14400	0.00222	$0.00222/4.25222$0.00222/4.25222	0.00052

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5. Analyse numérique

La colonne des fractions brutes met directement en évidence l’effet du paramètre :$$\nu=2.$$ν=2.

Les valeurs successives sont :$$1.00000, \quad 2.00000, \quad 1.00000, \quad 0.22222, \quad 0.02778, \quad 0.00222.$$1.00000,2.00000,1.00000,0.22222,0.02778,0.00222.

La décroissance devient extrêmement rapide après :$$k=1.$$k=1.

Le mode est atteint pour :$$k=1,$$k=1,

avec :$$P(X=1) \approx0.47034.$$P(X=1)≈0.47034.

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6. Comparaison avec la loi de Poisson

Pour :$$k=4,$$k=4,

la loi de Poisson classique utiliserait :$$k! = 24.$$k!=24.

La fraction brute serait alors :$$\frac{16}{24} = 0.66667.$$2416​=0.66667.

Dans la loi CMP avec :$$\nu=2,$$ν=2,

on obtient :$$(4!)^2 = 576,$$(4!)2=576,

et donc :$$\frac{16}{576} = 0.02778.$$57616​=0.02778.

Le simple passage de :$$k!$$k!

à$$(k!)^2$$(k!)2

réduit la masse probabiliste d’un facteur supérieur à :$$24.$$24.

C’est précisément ce mécanisme qui produit la sous-dispersion.

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Conclusion

La loi de Conway-Maxwell-Poisson est définie par :$$P(X=k) = \frac{1}{Z(\lambda,\nu)} \frac{\lambda^k}{(k!)^\nu}.$$P(X=k)=Z(λ,ν)1​(k!)νλk​.

Elle repose sur trois composantes fondamentales :$$\lambda^k,$$λk,$$(k!)^\nu,$$(k!)ν,

et$$Z(\lambda,\nu).$$Z(λ,ν).

Le paramètre :$$\nu$$ν

agit directement sur la vitesse de croissance du terme factoriel. Lorsque :$$\nu>1,$$ν>1,

la distribution devient plus concentrée autour de son mode (sous-dispersion). Lorsque :$$\nu<1,$$ν<1,

les valeurs élevées de $k$k reçoivent davantage de probabilité (sur-dispersion).

Dans l’exemple :$$\lambda=2, \qquad \nu=2,$$λ=2,ν=2,

la normalisation :$$Z(2,2)\approx4.25222$$Z(2,2)≈4.25222

conduit à une distribution fortement concentrée autour de :$$k=1,$$k=1,

où la probabilité maximale vaut :$$P(X=1)\approx0.47034.$$P(X=1)≈0.47034.

Cette flexibilité explique pourquoi la loi CMP est utilisée comme extension naturelle de la loi de Poisson lorsque la variance observée ne suit pas exactement le comportement poissonien classique.

Loi de Conway–Maxwell–Poisson et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice. Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi CMP (Conway–Maxwell–Poisson) est une loi discrète de comptage. Elle généralise Poisson : la variance n’est plus forcée d’égaler la moyenne. ν > 1 donne une sous-dispersion, ν < 1 une sur-dispersion, ν = 1 retrouve Poisson.

1. Domaine discret et indicatrice de support

X prend ses valeurs dans ℕ = {0, 1, 2, …}. L’opérateur d’existence du comptage est

1_ℕ(x) = 1 si x ∈ ℕ,   0 sinon.

Hors des entiers, il n’y a pas d’occurrence à compter. La masse caractéristique s’écrit seulement sur ℕ :

P_ℕ(x) = P(X = x) · 1_ℕ(x).

2. Intensité : fonction de masse

Paramètres λ > 0 (taux), ν ≥ 0 (dispersion). Pour k ∈ ℕ,

P(X = k) = [ λ^k / (k!)^ν ] / Z(λ, ν),

Z(λ, ν) = Σ_j=0^∞ λ^j / (j!)^ν.

Z est la constante qui rend la masse totale égale à 1 (axiome K2).

3. Indicatrice d’un entier

L’événement « exactement k occurrences » est le singleton {k} ⊂ ℕ :

1_{k}(X) = 1 si X = k,   0 sinon.

Par Kolmogorov,

P(X = k) = E(1_{k}(X)) = [ λ^k / (k!)^ν ] / Z(λ, ν).

Chaque terme de Z est une masse non normalisée portée par 1_{j}.

4. Z comme somme d’indicatrices pondérées

Posons m(j) = λ^j / (j!)^ν. Alors

Z(λ, ν) = Σ_j∈ℕ m(j) · 1_{j}(j) = Σ_j=0^∞ m(j).

Les {j} sont deux à deux disjoints. K3 (σ-additivité) autorise

Σ_k=0^∞ P(X = k) = (1/Z) Σ_k m(k) = Z/Z = 1.

Sans 1_ℕ et sans la disjonction des singletons, Z ne contracte pas la série en une masse unitaire.

5. Cas particuliers comme appartenances de ν

1_{1}(ν) : ν = 1 ⇒ Z = e^λ, X ∼ Poisson(λ), Var = E = λ.

1_{0}(ν) et λ < 1 : loi géométrique (sur-dispersion maximale au bord ν = 0).

ν → +∞ concentre la masse sur 0 ou 1 : sous-dispersion extrême. L’indicatrice de la valeur de ν sélectionne le régime.

6. Moments

Il n’y a pas de formule fermée simple. Avec Z′ = ∂Z/∂λ,

E(X) = λ · Z′(λ, ν) / Z(λ, ν).

Approximation pour λ grand :

Var(X) ≈ (1/ν) λ^1/ν.

ν > 1 : Var < E (sous-dispersion). ν < 1 : Var > E (sur-dispersion). ν = 1 : Var = E.

7. Appartenance à un seuil de comptage

Pour n ∈ ℕ, A_n = {0, 1, …, n} ⊂ ℕ.

1_An(X) = Σ_k=0ⁿ 1_{k}(X),

F(n) = P(X ≤ n) = E(1_An(X)) = Σ_k=0ⁿ P(X = k).

La CDF discrète est la somme des portes 1_{k} jusqu’à n, exactement K3 fini.

8. Structure caractéristique

P_ℕ(k) = [ λ^k / (k!)^ν / Z(λ, ν) ] · 1_ℕ(k).

Sans 1_ℕ, λ^x/(x!)^ν peut s’écrire pour un réel x, mais ce n’est plus un comptage. Avec 1_ℕ, la CMP n’existe que sur les occurrences entières.

9. Chaîne conceptuelle

x ∈ ℝ → 1_ℕ(x) → 1_{k}(X)→ P(X = k) = E(1_{k}(X)) = m(k)/Z → Σ_k P(X = k) = 1,   F(n) = E(1_{0,…,n}(X)).

10. Synthèse

La CMP est l’intensité d’un comptage à dispersion libre. 1_ℕ est le droit d’être un entier. 1_{k} est le droit d’avoir exactement k occurrences. Z est la somme K3 de ces portes pondérées :

P(X = k) = E(1_{k}(X)) = [ λ^k / (k!)^ν ] / Σ_j [ λ^j / (j!)^ν ].

Sans ces indicatrices, λ et ν sont des paramètres flottants. Avec elles, c’est une loi de comptage de masse 1.

• Loi de Delaporte est une distribution de probabilité discrète. Elle est fondamentalement définie comme la convolution (l’addition mathématique de variables aléatoires indépendantes) d’une loi de Poisson et d’une loi binomiale négative. Conçue en 1959 par le statisticien et actuaire français Pierre Delaporte, elle a été créée spécifiquement pour modéliser des événements de comptage où le risque total est divisé en deux composantes distinctes : une composante de risque de base universel, et une composante de risque individuel très variable. Formules principales : Domaine de définition : x ∈ ℕ (les entiers naturels : 0, 1, 2, 3…) car elle sert à compter des nombres entiers d’événements. Paramètres : λ > 0 (paramètre de la composante de Poisson, représentant le risque de base universel) α > 0 (paramètre de forme de la composante binomiale négative) β > 0 (paramètre d’échelle de la composante binomiale négative). Fonction de masse (Probabilité que X = x) : P(X = x) = ∑ (de i=0 à x) [ ( λⁱ · e⁽⁻λ⁾ / i! ) · ( Γ(α + x – i) / ( Γ(α) · (x – i)! ) ) · ( β / (1 + β) )⁽ˣ ⁻ ⁱ ⁾ · ( 1 / (1 + β) )ᵅ ] (où Γ est la fonction Gamma d’Euler, et i! est la factorielle de i). Espérance (Moyenne) : E(X) = λ + α · β. Variance : Var(X) = λ + α · β · (1 + β).

La loi de Delaporte est une architecture probabiliste composite. Elle ne repose pas sur une équation algébrique unique, mais sur une convolution discrète. Mathématiquement, la convolution est un opérateur qui fusionne deux lois de probabilités indépendantes en additionnant toutes les combinaisons possibles permettant d’atteindre un total k défini.

Voici l’analyse purement arithmétique et tabulaire de cette équation, dans le respect absolu de vos consignes (aucun graphique, aucune interface, aucune métaphore physique).

1. La Formule Analytique (L’Opérateur de Convolution)

Pour calculer la probabilité d’observer un total exact de k événements, l’équation s’écrit comme une boucle de sommation (Σ) qui associe le bloc de Poisson et le bloc Binomial Négatif :

P(X=k)=i=0∑k​[(i!e−λλi​)×((k−ik−i+r−1​)pr(1−p)k−i)]

Déconstruction des trois moteurs de l’équation :

1. L’Opérateur de Convolution (∑i=0k​) : C’est le routeur algorithmique. Pour atteindre un compte total de k, le système évalue toutes les répartitions possibles entre la composante fixe (le premier bloc) et la composante variable (le second bloc). La boucle itère une variable interne i allant de 0 jusqu’à k.
2. Le Bloc de Base (Noyau de Poisson) : L’équation i!e−λλi​ calcule la probabilité que la constante fondamentale du système (paramétrée par λ) génère exactement i événements.
3. Le Bloc Variable (Noyau Binomial Négatif) : L’équation (k−ik−i+r−1​)pr(1−p)k−i calcule la probabilité que l’environnement variable (paramétré par r et p) génère le reste des événements nécessaires, soit la quantité exacte (k−i).

L’équation multiplie ces deux probabilités pour chaque chemin possible, puis additionne les résultats de tous les chemins.

2. Mécanique de Calcul Numérique (Résolution Pas-à-Pas)

Définissons un système abstrait avec les paramètres suivants :

• Paramètre de la composante Poisson : λ=1 (Constante exponentielle e−1≈0.36788)
• Paramètres de la composante Binomiale Négative : r=2 et p=0.5 (Donc 1−p=0.5)

Calculons arithmétiquement la probabilité stricte que le système génère un compte total de k=1. La boucle de convolution force l’évaluation de deux chemins distincts : i=0 et i=1.

Chemin 1 (Itération i=0) : Le noyau Poisson génère 0, le noyau Binomial Négatif génère 1.

1. Évaluation Poisson (i=0) : 0!e−110​=0.36788×1=0.36788
2. Évaluation Binomiale Négative (k−i=1) : (11+2−1​)0.52(0.5)1=2×0.25×0.5=0.25000
3. Produit du Chemin 1 : 0.36788×0.25000=0.09197

Chemin 2 (Itération i=1) : Le noyau Poisson génère 1, le noyau Binomial Négatif génère 0.

1. Évaluation Poisson (i=1) : 1!e−111​=0.36788×1=0.36788
2. Évaluation Binomiale Négative (k−i=0) : (00+2−1​)0.52(0.5)0=1×0.25×1=0.25000
3. Produit du Chemin 2 : 0.36788×0.25000=0.09197

Fermeture de la convolution (Somme des chemins) :

P(X=1)=0.09197+0.09197=0.18394

3. Tableau Abstrait des Convolutions de Masse

Le tableau suivant exécute cet algorithme itératif pour les valeurs k=0 à k=3. Il démontre algébriquement comment l’opérateur de convolution fragmente chaque probabilité finale en une somme de produits croisés, dont la complexité augmente à chaque incrémentation de k.

Cible totale (k)	Boucles d’itération requises (i)	Décomposition algébrique des produits internes (Poisson × Binomial Négatif)	Addition des probabilités par chemin	Densité de masse finale P(X=k)
0	i=0	(0.36788×0.25000)	0.09197	0.09197
1	i=0,1	(0.36788×0.25000)+(0.36788×0.25000)	0.09197+0.09197	0.18394
2	i=0,1,2	(0.36788×0.18750)+(0.36788×0.25000)+(0.18394×0.25000)	0.06898+0.09197+0.04598	0.20693 (Mode)
3	i=0,1,2,3	(0.36788×0.12500)+(0.36788×0.18750)+(0.18394×0.25000)+(0.06131×0.25000)	0.04598+0.06898+0.04598+0.01533	0.17627

L’analyse de ces itérations brutes montre la fusion mathématique des deux lois. Pour k=3, la valeur dépend de 4 chemins différents. Le chemin i=1 (0.06898) apporte plus de poids probabiliste au total que le chemin i=3 (0.01533). La loi de Delaporte évalue et pondère rigoureusement chaque combinaison croisée de ces deux matrices mathématiques pour extraire une valeur de probabilité unique et unifiée.

Loi de Delaporte et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice. Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi de Delaporte (Pierre Delaporte, 1959) est un comptage discret. X = Y + Z avec Y ∼ Poisson(λ) (risque de base universel) et Z ∼ BN(α, β) (risque individuel), Y et Z indépendantes. La masse de X est la convolution des deux masses.

1. Support

ℕ = {0, 1, 2, …},   1_ℕ(x) = 1 si x ∈ ℕ,   0 sinon.

P_ℕ(x) = P(X = x) · 1_ℕ(x).

2. Décomposition et portes de partage

Pour obtenir le total x, on partage x = i + (x − i), i = nombre d’événements « de base ».

1_{Y=i} · 1_{Z=x−i} = 1 si le partage (i, x−i) se réalise.

Les partages i = 0 … x sont disjoints. K3 donne

1_{X=x} = Σ_i=0^x 1_{Y=i} 1_{Z=x−i}.

3. Intensité (convolution)

λ > 0, α > 0, β > 0. Pour x ∈ ℕ,

P(X = x) = Σ_i=0^x [ e^−λ λⁱ / i! ] · [ Γ(α+x−i) / (Γ(α) (x−i)!) ] · (β/(1+β))^x−i (1/(1+β))^α.

P(X = x) = E(1_{X=x}) = Σ_i E(1_{Y=i}) E(1_{Z=x−i}).

E(X) = λ + αβ,   Var(X) = λ + αβ(1+β).

La variance dépasse la moyenne (sur-dispersion) dès que β > 0 : Var − E = αβ² ≥ 0.

4. Deux risques, deux indicatrices

1_{Y} : occurrences du risque universel (Poisson, Var = E = λ),

1_{Z} : occurrences du risque individuel (BN, Var = αβ(1+β) > E = αβ).

Delaporte additionne les deux portes. Sans 1_ℕ, x n’est plus un effectif.

5. Seuil de comptage

F(n) = P(X ≤ n) = E(1_{0,…,n}(X)) = Σ_k=0ⁿ P(X = k).

6. Cas limites

1_{0}(αβ) : si le risque individuel s’éteint, X ∼ Poisson(λ).

1_{0}(λ) : s’il n’y a plus de base universelle, X ∼ BN(α, β).

7. Chaîne

1_ℕ → 1_{Y=i} et 1_{Z=x−i} → 1_{X=x} = Σ_i 1_{Y=i}1_{Z=x−i}

→ P(X=x) = E(1_{X=x}) → F(n) = E(1_{0,…,n}(X)).

8. Synthèse

Delaporte est l’intensité d’un comptage à deux portes. 1_ℕ est le dro

it d’être un entier. 1_{Y=i} et 1_{Z=x−i} sont le droit de réaliser un partage du total. La convolution est K3 appliqué à ces partages disjoints.