Critère 7 — cloches bornées (support compact)
16. Loi du cosinus surélevé
17. Loi du demi-cercle de Wigner

• Loi du cosinus surélevé est une distribution de probabilité continue définie sur un intervalle fini et strictement borné. Elle tire son nom de la forme géométrique de sa fonction de densité, qui est construite à l’aide d’une fonction trigonométrique cosinus classique, décalée vers le haut sur l’axe des ordonnées (surélevée pour être toujours positive) et ajustée pour que l’aire totale sous sa courbe soit égale à 1. Formules principales : Domaine de définition et Paramètres : µ (la lettre grecque mu) ∈ ℝ : paramètre de position (la moyenne et le point central de la cloche). s > 0 : paramètre d’échelle (la demi-largeur totale de l’intervalle). x ∈ [µ – s, µ + s]. En dehors de cet intervalle physique fermé, la probabilité est rigoureusement égale à zéro. Densité de probabilité (PDF) : f(x) = (1 / 2s) · [ 1 + cos( π · (x – µ) / s ) ]. Fonction de répartition (CDF) : F(x) = (1 / 2) · [ 1 + (x – µ) / s + (1 / π) · sin( π · (x – µ) / s ) ]. Espérance (Moyenne) : E(X) = µ. Variance : Var(X) = s² · [ (1 / 3) – (2 / π²) ].

La loi du cosinus surélevé (Raised Cosine Distribution)

Distribution continue à support borné

La loi du cosinus surélevé est une distribution de probabilité continue définie uniquement sur un intervalle fermé :$$[\mu-s,\mu+s].$$[μ−s,μ+s].

En dehors de cet intervalle :$$f(x)=0.$$f(x)=0.

Toute la masse probabiliste est donc strictement confinée à cet intervalle de longueur :$$2s.$$2s.

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1. Fonction de densité de probabilité

Pour :$$x\in[\mu-s,\mu+s],$$x∈[μ−s,μ+s],

la densité est définie par :$$f(x) = \frac{1}{2s} \left[ 1+\cos\!\left( \frac{\pi(x-\mu)}{s} \right) \right].$$f(x)=2s1​[1+cos(sπ(x−μ)​)].

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2. Décomposition des composantes algébriques

Le moteur de normalisation spatiale

Le premier bloc est :$$\frac{x-\mu}{s}.$$sx−μ​.

La coordonnée :$$x$$x

est recentrée autour de :$$\mu$$μ

puis redimensionnée par :$$s.$$s.

Lorsque :$$x=\mu-s,$$x=μ−s,

on obtient :$$\frac{x-\mu}{s} = -1.$$sx−μ​=−1.

Lorsque :$$x=\mu+s,$$x=μ+s,

on obtient :$$\frac{x-\mu}{s} = 1.$$sx−μ​=1.

Ainsi toute la géométrie du problème est ramenée à l’intervalle :$$[-1,1].$$[−1,1].

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Le projecteur trigonométrique

Le second bloc est :$$\pi\times\frac{x-\mu}{s}.$$π×sx−μ​.

Cette multiplication transforme l’intervalle :$$[-1,1]$$[−1,1]

en :$$[-\pi,\pi].$$[−π,π].

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L’onde cosinus

Le troisième bloc est :$$\cos\!\left( \frac{\pi(x-\mu)}{s} \right).$$cos(sπ(x−μ)​).

Le cosinus vérifie :$$-1\le \cos(\theta)\le1.$$−1≤cos(θ)≤1.

Par conséquent :$$-1 \le \cos\!\left( \frac{\pi(x-\mu)}{s} \right) \le 1.$$−1≤cos(sπ(x−μ)​)≤1.

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Le socle de surélévation

Le terme :$$1+\cos\!\left( \frac{\pi(x-\mu)}{s} \right)$$1+cos(sπ(x−μ)​)

translate verticalement l’onde.

Ainsi :$$-1\rightarrow0,$$−1→0,

et :$$1\rightarrow2.$$1→2.

Le résultat oscille désormais entre :$$0$$0

et$$2.$$2.

La densité est donc toujours positive ou nulle.

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Le régulateur de normalisation

Le dernier facteur est :$$\frac1{2s}.$$2s1​.

Il garantit que :$$\int_{\mu-s}^{\mu+s} f(x)\,dx = 1.$$∫μ−sμ+s​f(x)dx=1.

La fonction est ainsi une véritable densité de probabilité.

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3. Exemple numérique

Considérons :$$\mu=0$$μ=0

et :$$s=2.$$s=2.

L’intervalle de définition devient :$$[-2,2].$$[−2,2].

Le facteur de normalisation vaut :$$\frac1{2\times2} = \frac14 = 0.25.$$2×21​=41​=0.25.

La densité se simplifie alors en :$$f(x) = 0.25 \left[ 1+ \cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right].$$f(x)=0.25[1+cos(2πx​)].

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4. Calcul détaillé pour $x=1$x=1

Étape 1 : Distance normalisée

$$\frac{x}{2} = \frac12 = 0.5.$$2x​=21​=0.5.

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Étape 2 : Projection angulaire

$$\pi\times0.5 = \frac{\pi}{2}.$$π×0.5=2π​.

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Étape 3 : Évaluation du cosinus

$$\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.$$cos(2π​)=0.

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Étape 4 : Surélévation

$$1+0 = 1.$$1+0=1.

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Étape 5 : Application du coefficient

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$$0.25\times1 = 0.25.$$0.25×1=0.25.

Ainsi :$$\boxed{f(1)=0.25}.$$f(1)=0.25​.

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5. Tableau numérique de la densité

Paramètres :$$\mu=0, \qquad s=2.$$μ=0,s=2.

$x$x	$\frac{x}{2}$2x​	Angle $\frac{\pi x}{2}$2πx​	$\cos(\text{angle})$cos(angle)	$1+\cos(\text{angle})$1+cos(angle)	Multiplication par $0.25$0.25	$f(x)$f(x)
-2.0	-1.00	$-\pi$−π	-1.000	0.000	$0.25\times0.000$0.25×0.000	0.000
-1.5	-0.75	$-3\pi/4$−3π/4	-0.707	0.293	$0.25\times0.293$0.25×0.293	0.073
-1.0	-0.50	$-\pi/2$−π/2	0.000	1.000	$0.25\times1.000$0.25×1.000	0.250
0.0	0.00	$0$0	1.000	2.000	$0.25\times2.000$0.25×2.000	0.500
1.0	0.50	$\pi/2$π/2	0.000	1.000	$0.25\times1.000$0.25×1.000	0.250
1.5	0.75	$3\pi/4$3π/4	-0.707	0.293	$0.25\times0.293$0.25×0.293	0.073
2.0	1.00	$\pi$π	-1.000	0.000	$0.25\times0.000$0.25×0.000	0.000

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6. Analyse de la fermeture aux bornes

Aux extrémités de l’intervalle :$$x=-2$$x=−2

et$$x=2,$$x=2,

l’argument du cosinus vaut respectivement :$$-\pi$$−π

et$$\pi.$$π.

Dans les deux cas :$$\cos(\pm\pi) = -1.$$cos(±π)=−1.

Par conséquent :$$1+\cos(\pm\pi) = 1-1 = 0.$$1+cos(±π)=1−1=0.

Ainsi :$$f(-2)=0,$$f(−2)=0,

et$$f(2)=0.$$f(2)=0.

La densité s’annule exactement aux frontières de l’intervalle.

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7. Localisation du mode

Le maximum du cosinus est atteint lorsque :$$\frac{\pi(x-\mu)}{s}=0.$$sπ(x−μ)​=0.

D’où :$$x=\mu.$$x=μ.

Avec :$$\mu=0,$$μ=0,

le mode est situé en :$$x=0.$$x=0.

La densité maximale vaut :$$f(0) = \frac{1}{2s}(1+1) = \frac1s.$$f(0)=2s1​(1+1)=s1​.

Dans notre exemple :$$f(0) = \frac12 = 0.500.$$f(0)=21​=0.500.

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Conclusion

La loi du cosinus surélevé possède la densité :$$f(x) = \frac{1}{2s} \left[ 1+\cos\!\left( \frac{\pi(x-\mu)}{s} \right) \right].$$f(x)=2s1​[1+cos(sπ(x−μ)​)].

Sa structure résulte de l’interaction de cinq composantes :$$\frac{x-\mu}{s}, \qquad \pi, \qquad \cos(\cdot), \qquad 1+\cos(\cdot), \qquad \frac1{2s}.$$sx−μ​,π,cos(⋅),1+cos(⋅),2s1​.

Le terme de surélévation :$$1+\cos(\cdot)$$1+cos(⋅)

transforme l’onde cosinus classique en une fonction toujours positive ou nulle. Les bornes de l’intervalle sont converties exactement en :$$-\pi$$−π

et$$\pi,$$π,

ce qui force automatiquement :$$f(\mu-s)=f(\mu+s)=0.$$f(μ−s)=f(μ+s)=0.

Pour le système :$$\mu=0, \qquad s=2,$$μ=0,s=2,

la densité atteint son maximum :$$f(0)=0.500,$$f(0)=0.500,

et décroît symétriquement jusqu’à s’annuler aux deux extrémités :$$x=-2 \quad\text{et}\quad x=2.$$x=−2etx=2.

Cette propriété fait de la loi du cosinus surélevé une distribution continue à support strictement borné et à fermeture exacte sur ses frontières.

Loi du cosinus surélevé et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice. Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi du cosinus surélevé est une densité continue sur un intervalle fini. On prend un cosinus, on le décale vers le haut pour qu’il reste positif, on normalise l’aire à 1. Hors de l’intervalle, la probabilité est exactement zéro : c’est le rôle de l’indicatrice.

1. Paramètres et support

μ ∈ ℝ : position (centre et moyenne). s > 0 : demi-largeur. Le domaine physique est

I = [μ − s, μ + s].

1_I(x) = 1 si μ − s ≤ x ≤ μ + s,   0 sinon.

2. Intensité

Sur I,

f(x) = (1 / 2s) [ 1 + cos(π (x − μ) / s) ].

1 + cos(θ) ≥ 0 pour tout θ, donc f ≥ 0 sur I (axiome K1 au niveau de la densité). La constante 1/(2s) impose ∫_I f = 1 (K2).

F(x) = (1 / 2) [ 1 + (x − μ)/s + (1/π) sin(π (x − μ)/s) ]   pour x ∈ I,

E(X) = μ,   Var(X) = s² [ 1/3 − 2/π² ].

3. Densité caractéristique

La formule trigonométrique, étendue telle quelle hors de I, n’est plus une densité de cette loi. On écrit

f_I(x) = (1 / 2s) [ 1 + cos(π (x − μ) / s) ] · 1_{[μ−s, μ+s]}(x).

Hors de I, 1_I = 0 donc f_I = 0 : pas de masse en dehors de l’intervalle fermé.

4. Appartenance à un sous-intervalle

Pour un borélien A ⊂ ℝ,

P(X ∈ A) = E(1_A(X)) = ∫_{A ∩ I} f(x) dx = ∫ ℝ 1_A(x) f_I(x) dx.

Seule la partie de A qui tombe dans I contribue. 1_{A ∩ I} = 1_A · 1_I.

5. Fonction de répartition comme moyenne d’indicatrices

F(t) = P(X ≤ t) = E(1_{(−∞, t]}(X)).

Trois régimes, tous dictés par 1_I :

t < μ − s ⇒ 1_(−∞,t] · 1_I = 0 ⇒ F(t) = 0,

t > μ + s ⇒ 1_I ≤ 1_(−∞,t] ⇒ F(t) = 1,

t ∈ I ⇒ F(t) = ∫_μ−s^t f(u) du.

6. Cosinus « surélevé » et positivité

Sans le +1, cos prend des valeurs négatives : ce ne serait plus une densité. Le décalage vertical est l’analogue continu de 1_I ≥ 0 : on force une masse non négative avant de normaliser. L’indicatrice coupe ensuite le support ; le +1 empêche le signe moins à l’intérieur du support.

7. Bernoulli induite

Pour t ∈ I, A_t = (−∞, t] ∩ I = [μ − s, t].

I_t = 1_At(X) ∼ Bernoulli(F(t)).

8. Chaîne conceptuelle

x ∈ ℝ → 1_I(x) → f_I(x) = f(x) · 1_I(x) → F(t) = E(1_(−∞,t](X)) → P(A) = E(1_{A ∩ I}(X)).

9. Synthèse

Le cosinus surélevé est l’intensité d’une cloche bornée. 1_I est le droit d’être dans [μ − s, μ + s]. Hors de I, la loi est éteinte :

f_I(x) = (1 / 2s) [ 1 + cos(π (x − μ)/s) ] · 1_{[μ−s, μ+s]}(x),   E(X) = μ.

Sans 1_I, le cosinus est une fonction périodique sur ℝ. Avec 1_I, c’est une loi de probabilité à support compact.

• Loi du demi-cercle (souvent appelée loi du demi-cercle de Wigner) est une distribution de probabilité continue. Son nom provient de la forme géométrique de sa courbe de densité de probabilité, qui trace exactement un demi-cercle (ou plus rigoureusement une demi-ellipse, selon l’échelle des axes) reposant sur l’axe des abscisses. Historiquement, elle est le théorème fondateur de la théorie des matrices aléatoires. Formules principales : Domaine de définition : x ∈ [-R, R] (en dehors de cet intervalle fermé, la probabilité est rigoureusement égale à zéro). Paramètre : R > 0 (le rayon du demi-cercle, qui détermine la largeur de la distribution). Densité de probabilité (PDF) : f(x) = (2 / (π · R²)) · √(R² – x²). Fonction de répartition (CDF) : F(x) = (1 / 2) + (x / (π · R²)) · √(R² – x²) + (1 / π) · arcsin(x / R). Espérance (Moyenne) : E(X) = 0 (par symétrie parfaite de la courbe). Variance : Var(X) = R² / 4.

La loi du demi-cercle de Wigner

Distribution continue à support strictement borné

La loi du demi-cercle de Wigner est une distribution de probabilité continue définie uniquement sur un intervalle fini :$$[-R,R].$$[−R,R].

Elle ne comporte ni exponentielle, ni fonction Gamma, ni fonction zêta, ni fonction trigonométrique. Sa structure repose exclusivement sur la relation quadratique :$$x^2+y^2=R^2,$$x2+y2=R2,

qui est l’équation d’un cercle de rayon $R$R.

Toute la masse probabiliste est concentrée dans l’intervalle :$$[-R,R].$$[−R,R].

En dehors de cet intervalle :$$f(x)=0.$$f(x)=0.

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1. Fonction de densité de probabilité

Pour :$$-R\le x\le R,$$−R≤x≤R,

la densité est :$$f(x) = \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2-x^2}.$$f(x)=πR22​R2−x2​.

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2. Décomposition des composantes algébriques

Le noyau géométrique

Le terme principal est :$$\sqrt{R^2-x^2}.$$R2−x2​.

À partir de l’équation :$$x^2+y^2=R^2,$$x2+y2=R2,

on obtient :$$y=\sqrt{R^2-x^2}.$$y=R2−x2​.

Cette quantité représente la hauteur associée à la position $x$x.

Lorsque :$$x=0,$$x=0,

la hauteur vaut :$$R.$$R.

Lorsque :$$x=\pm R,$$x=±R,

on obtient :$$R^2-x^2=0.$$R2−x2=0.

La densité s’annule donc exactement aux extrémités du support.

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Le régulateur d’aire

Le coefficient :$$\frac{2}{\pi R^2}$$πR22​

normalise la fonction.

L’aire d’un demi-cercle de rayon $R$R vaut :$$\frac{\pi R^2}{2}.$$2πR2​.

Le facteur de normalisation est exactement son inverse :$$\frac{1} {\pi R^2/2} = \frac{2}{\pi R^2}.$$πR2/21​=πR22​.

Ainsi :$$\int_{-R}^{R}f(x)\,dx=1.$$∫−RR​f(x)dx=1.

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3. Exemple numérique

Considérons :$$R=2.$$R=2.

Le support devient :$$[-2,2].$$[−2,2].

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Calcul du coefficient de normalisation

Carré du rayon :$$R^2=2^2=4.$$R2=22=4.

Produit avec $\pi$π :$$4\pi \approx12.56637.$$4π≈12.56637.

Coefficient normalisé :$$\frac{2}{4\pi} = \frac1{2\pi} \approx0.159155.$$4π2​=2π1​≈0.159155.

La densité devient donc :$$f(x) = 0.159155 \times \sqrt{4-x^2}.$$f(x)=0.159155×4−x2​.

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4. Calcul détaillé pour $x=1$x=1

Étape 1 : Carré de la coordonnée

$$1^2=1.$$12=1.

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Étape 2 : Espace résiduel

$$4-1=3.$$4−1=3.

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Étape 3 : Extraction de la racine

$$\sqrt3 = 1.73205.$$3​=1.73205.

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Étape 4 : Application du coefficient

$$0.159155\times1.73205 = 0.27566.$$0.159155×1.73205=0.27566.

Ainsi :$$\boxed{ f(1)\approx0.27566 }$$f(1)≈0.27566​

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5. Tableau numérique de la densité

Paramètre :$$R=2.$$R=2.

$x$x	$x^2$x2	$4-x^2$4−x2	$\sqrt{4-x^2}$4−x2​	$2/(4\pi)$2/(4π)	$f(x)$f(x)
0.00	0.0000	4.0000	2.00000	0.159155	0.31831
0.50	0.2500	3.7500	1.93649	0.159155	0.30820
1.00	1.0000	3.0000	1.73205	0.159155	0.27566
1.50	2.2500	1.7500	1.32288	0.159155	0.21054
1.80	3.2400	0.7600	0.87178	0.159155	0.13875
1.95	3.8025	0.1975	0.44441	0.159155	0.07073
2.00	4.0000	0.0000	0.00000	0.159155	0.00000

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6. Analyse du comportement de la densité

Les calculs montrent une décroissance progressive à partir du centre :$$f(0)=0.31831,$$f(0)=0.31831,$$f(0.5)=0.30820,$$f(0.5)=0.30820,$$f(1)=0.27566.$$f(1)=0.27566.

La diminution reste relativement modérée tant que :$$x$$x

demeure éloigné des bornes.

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Approche des extrémités

Lorsque :$$x$$x

s’approche de :$$R=2,$$R=2,

la quantité :$$R^2-x^2$$R2−x2

diminue rapidement.

Par exemple :$$4-(1.8)^2 = 0.76,$$4−(1.8)2=0.76,

puis :$$4-(1.95)^2 = 0.1975.$$4−(1.95)2=0.1975.

La racine carrée réduit alors fortement la densité :$$0.13875 \rightarrow 0.07073 \rightarrow 0.$$0.13875→0.07073→0.

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Fermeture exacte du support

Pour :$$x=2,$$x=2,

on obtient :$$4-x^2 = 0.$$4−x2=0.

Donc :$$\sqrt{4-x^2} = 0.$$4−x2​=0.

La densité devient exactement :$$f(2)=0.$$f(2)=0.

De même :$$f(-2)=0.$$f(−2)=0.

La probabilité s’annule rigoureusement aux bornes.

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7. Symétrie

Comme la densité dépend uniquement de :$$x^2,$$x2,

on a :$$f(-x)=f(x).$$f(−x)=f(x).

Par conséquent :$$f(-1)=f(1),$$f(−1)=f(1),$$f(-1.5)=f(1.5),$$f(−1.5)=f(1.5),

etc.

Le tableau pour les valeurs négatives est donc identique à celui des valeurs positives.

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Conclusion

La loi du demi-cercle de Wigner possède la densité :$$f(x) = \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2-x^2}, \qquad -R\le x\le R.$$f(x)=πR22​R2−x2​,−R≤x≤R.

Elle repose uniquement sur deux composantes :$$\sqrt{R^2-x^2}$$R2−x2​

et$$\frac{2}{\pi R^2}.$$πR22​.

Le terme sous la racine impose un support strictement borné :$$[-R,R].$$[−R,R].

Le coefficient de normalisation garantit que l’aire totale est exactement égale à :$$1.$$1.

Pour :$$R=2,$$R=2,

la densité atteint son maximum :$$f(0)=0.31831,$$f(0)=0.31831,

puis décroît continûment jusqu’à :$$f(-2)=f(2)=0.$$f(−2)=f(2)=0.

La loi du demi-cercle de Wigner constitue ainsi un exemple fondamental de distribution continue à support compact, sans queue infinie et à fermeture exacte aux bornes de son domaine de définition.

Loi du demi-cercle de Wigner et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice

Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi du demi-cercle de Wigner est une densité continue dont le graphe est un demi-cercle (demi-ellipse selon l’échelle) posé sur l’axe des x. C’est la loi limite des valeurs propres d’une grande matrice aléatoire hermitienne.

1. Support compact

I = [−R, R],   R > 0,

1_I(x) = 1 si |x| ≤ R,   0 si |x| > R.

Hors de I, la probabilité est exactement zéro. Sous la racine, R² − x² < 0 si |x| > R : 1_I est aussi la condition pour que √(R² − x²) soit réelle.

2. Intensité

f(x) = (2 / (π R²)) √(R² − x²),   |x| ≤ R,

F(x) = 1/2 + (x /(π R²)) √(R² − x²) + (1/π) arcsin(x/R),   |x| ≤ R,

E(X) = 0,   Var(X) = R² / 4.

3. Densité caractéristique

f_I(x) = (2 /(π R²)) √(R² − x²) · 1_{[−R, R]}(x).

1_I éteint la formule hors du segment et rend √ réelle.

4. Appartenance à un sous-intervalle

P(X ∈ A) = E(1_{A ∩ I}(X)) = ∫_{A ∩ [−R,R]} f(x) dx.

F(t) = E(1_{(−∞, t]}(X)).

t < −R ⇒ F = 0. t > R ⇒ F = 1.

5. Géométrie

y = √(R² − x²) est le demi-cercle supérieur de rayon R. La constante 2/(π R²) normalise l’aire (demi-disque d’aire π R² / 2, fois 2 / (π R²) = 1). 1_I est l’appartenance à la projection du demi-disque sur l’axe.

6. Matrices aléatoires

Si λ₁, …, λ_N sont les valeurs propres d’une matrice de Wigner N × N, la mesure empirique

(1/N) Σ_j 1_{λj}

converge vers f_I dx. Chaque 1_{{λj ∈ B}} est une appartenance spectrale ; la loi du demi-cercle est la limite de ces portes.

7. Chaîne

x ∈ ℝ → 1_[−R,R](x) → f_I → F(t) = E(1_(−∞,t](X)).

8. Synthèse

Wigner est l’intensité d’une coordonnée spectrale bornée. 1_I est le droit d’être dans [−R, R] et le droit pour que √(R² − x²) existe. Hors de I, pas de demi-cercle, pas de loi.