Critère 10 — une densité sur ℝ sans moment
25. Loi de Cauchy

• Loi de Cauchy est une distribution de probabilité continue définie sur l’ensemble des nombres réels. Elle ressemble visuellement à la célèbre courbe en cloche (loi normale), mais elle cache un comportement mathématique aberrant : c’est la loi la plus célèbre pour ne posséder ni moyenne, ni variance. Formules principales (strictement sans aucun symbole latex, exposant ou tiret bas) : Paramètres et Domaine : x : un nombre réel allant de moins l’infini à plus l’infini. x0 : le paramètre de position (le point central du pic de la courbe). gamma : le paramètre d’échelle (qui définit la largeur de la cloche), un nombre strictement positif. pi : la constante mathématique (environ 3.14159). Densité de probabilité (PDF) : f(x) = 1 / [ π · γ · (1 + ((x – x₀) / γ)²) ]. Fonction de répartition (CDF) : F(x) = (1 / π) · arctan((x – x₀) / γ) + (1 / 2). Espérance (Moyenne mathématique) : N’existe pas (non définie). Variance : N’existe pas (non définie).

La loi de Cauchy : une distribution sans moyenne ni variance

La loi de Cauchy constitue l’une des anomalies les plus remarquables de la théorie des probabilités. Bien que sa fonction de densité soit parfaitement continue, symétrique et visuellement proche d’une loi normale, sa structure algébrique produit des queues lourdes d’une ampleur telle que les intégrales définissant l’espérance et la variance divergent.

Ainsi, contrairement à la plupart des distributions classiques :$$E(X)\ \text{n’existe pas}$$E(X) n’existe pas

et$$Var(X)\ \text{n’existe pas}.$$Var(X) n’existe pas.

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1. Fonction de densité de probabilité

Dans sa forme standard (centre $x_0=0$x0​=0, paramètre d’échelle $\gamma=1$γ=1), la densité de probabilité s’écrit :$$f(x)=\frac{1}{\pi\times(1+x^2)}$$f(x)=π×(1+x2)1​

pour$$-\infty<x<+\infty.$$−∞<x<+∞.

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Décomposition des composants algébriques

Le moteur géométrique inverse $(1+x^2)$(1+x2)

Le terme :$$1+x^2$$1+x2

apparaît au dénominateur.

Il contrôle la vitesse de décroissance de la probabilité lorsque $|x|$∣x∣ devient grand.

Contrairement à la loi normale :$$e^{-x^2},$$e−x2,

qui écrase la probabilité de façon exponentielle, la loi de Cauchy ne réduit cette probabilité que selon une loi quadratique :$$f(x)\sim\frac{1}{x^2} \quad\text{lorsque}\quad |x|\rightarrow\infty.$$f(x)∼x21​lorsque∣x∣→∞.

Cette décroissance beaucoup plus lente est l’origine des queues lourdes.

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Le régulateur d’aire $1/\pi$1/π

L’intégrale fondamentale :$$\int\frac{dx}{1+x^2} = \arctan(x)$$∫1+x2dx​=arctan(x)

conduit à :$$\arctan(+\infty)-\arctan(-\infty) = \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi.$$arctan(+∞)−arctan(−∞)=2π​−(−2π​)=π.

Le facteur :$$\frac1\pi$$π1​

normalise alors l’aire totale :$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1.$$∫−∞+∞​f(x)dx=1.

La fonction définit donc bien une loi de probabilité valide.

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2. Pourquoi la moyenne n’existe pas

L’espérance théorique s’écrit :$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,dx.$$E(X)=∫−∞+∞​xf(x)dx.

En remplaçant $f(x)$f(x) :$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)} \,dx.$$E(X)=∫−∞+∞​π(1+x2)x​dx.

La primitive vaut :$$\frac1{2\pi} \ln(1+x^2).$$2π1​ln(1+x2).

Lorsque :$$x\rightarrow+\infty,$$x→+∞,

on obtient :$$\ln(1+x^2) \rightarrow+\infty.$$ln(1+x2)→+∞.

L’intégrale ne converge donc pas absolument.

La moyenne mathématique est indéfinissable.

Les valeurs extrêmes conservent un poids suffisamment important pour empêcher l’existence d’un centre de gravité probabiliste.

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3. Calcul numérique détaillé

Calculons la densité pour :$$x=3.$$x=3.

Avec :$$\pi\approx3.14159.$$π≈3.14159.

Étape 1 : Carré de la distance

$$3^2=9.$$32=9.

Étape 2 : Addition du socle

$$1+9=10.$$1+9=10.

Étape 3 : Application du facteur de normalisation

$$10\times\pi = 31.4159.$$10×π=31.4159.

Étape 4 : Inversion finale

$$f(3) = \frac1{31.4159}$$f(3)=31.41591​$$f(3)\approx0.03183.$$f(3)≈0.03183.

Ainsi :$$\boxed{f(3)\approx0.03183}$$f(3)≈0.03183​

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4. Tableau de résistance des queues lourdes

$x$x	$x^2$x2	$1+x^2$1+x2	$\pi\times(1+x^2)$π×(1+x2)	$f(x)$f(x)	Forme exacte
0	0	1	3.14159	0.31831	$1/\pi$1/π
1	1	2	6.28318	0.15915	$1/(2\pi)$1/(2π)
2	4	5	15.70796	0.06366	$1/(5\pi)$1/(5π)
5	25	26	81.68140	0.01224	$1/(26\pi)$1/(26π)
10	100	101	317.30085	0.00315	$1/(101\pi)$1/(101π)
50	2500	2501	7857.12319	0.000127	$1/(2501\pi)$1/(2501π)
100	10000	10001	31419.02373	0.0000318	$1/(10001\pi)$1/(10001π)

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5. Analyse des queues lourdes

Les valeurs numériques précédentes révèlent une propriété fondamentale :

Même très loin du centre, la densité reste significative.

Par exemple :$$f(10)\approx0.00315,$$f(10)≈0.00315,

soit encore environ :$$0.315\%.$$0.315%.

De même :$$f(100)\approx0.0000318,$$f(100)≈0.0000318,

soit environ :$$0.00318\%.$$0.00318%.

Ces probabilités demeurent faibles mais restent parfaitement calculables et non négligeables du point de vue analytique.

Contrairement à une loi normale dont la densité devient pratiquement nulle à de très grandes distances, la loi de Cauchy conserve une masse probabiliste importante dans ses extrémités.

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6. Conclusion

La loi de Cauchy possède une densité parfaitement régulière :$$f(x) = \frac1{\pi(1+x^2)}.$$f(x)=π(1+x2)1​.

Cependant, sa décroissance quadratique :$$f(x)\sim\frac1{x^2},$$f(x)∼x21​,

est insuffisante pour garantir la convergence des intégrales définissant les moments.

Par conséquent :$$E(X) \text{ n’existe pas},$$E(X) n’existe pas,

et$$Var(X) \text{ n’existe pas}.$$Var(X) n’existe pas.

La loi de Cauchy représente ainsi l’exemple classique d’une distribution dont la densité est parfaitement définie mais dont les queues lourdes détruisent les notions usuelles de moyenne et de dispersion. Elle constitue l’un des contre-exemples les plus importants de toute la théorie des probabilités.

Loi de Cauchy et fonction indicatrice d’appartenance

Rappelons la définition d’une Fonction indicatrice. Soit Ω un ensemble et $A\subset\Omega$. L’indicatrice de A est l’application

$$1_A:\Omega\to\{0,1\}, \qquad 1_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }x\in A,\\ 0 & \text{si }x\notin A. \end{cases}$$

Notation équivalente : $\mathbf{1}_A$​, $\chi_A$, $I_A$​.

Identités :

$$1_{A\cap B}=1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A\cdot 1_B, \qquad 1_{A^c}=1-1_A, \qquad 1_\varnothing=0, \qquad 1_\Omega=1.$$

Si A∩B=∅, alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$

La loi de Cauchy occupe une place exceptionnelle dans la théorie des probabilités. Contrairement à la plupart des distributions classiques, elle ne possède ni espérance ni variance. Pourtant, elle reste une mesure de probabilité parfaitement définie. La fonction indicatrice d’appartenance permet de comprendre ce paradoxe apparent, car elle révèle que la probabilité ne dépend pas de l’existence d’une moyenne mais uniquement de l’appartenance d’une réalisation à un ensemble mesurable.

1. Fonction indicatrice d’appartenance

Pour tout ensemble mesurable A ⊂ ℝ, on définit la fonction indicatrice :

1_A(x) = 1 si x ∈ A,

1_A(x) = 0 si x ∉ A.

Cette fonction ne prend que deux valeurs :

0 ≤ 1_A(x) ≤ 1.

Elle traduit la question fondamentale :

« La réalisation appartient-elle à A ? »

Toute probabilité est alors une moyenne d’appartenance :

P(A) = E(1_A).

L’indicatrice constitue donc l’atome élémentaire de la mesure probabiliste.

2. La variable aléatoire de Cauchy

Une variable aléatoire X suit une loi de Cauchy de paramètres x₀ et γ > 0 lorsque sa densité est

f(x) = 1 / [π × γ × (1 + ((x − x₀) / γ)²)].

où :

• x₀ est le centre de la distribution ;
• γ est le paramètre d’échelle ;
• x parcourt l’ensemble ℝ.

La courbe ressemble visuellement à une loi normale mais possède des queues beaucoup plus épaisses.

Ces valeurs extrêmes jouent un rôle essentiel dans la relation avec les fonctions indicatrices.

3. Probabilité d’appartenance à un intervalle

Considérons l’événement

A = [a,b].

La fonction indicatrice associée est

1_[a,b](X).

La probabilité que X appartienne à l’intervalle vaut

P(a ≤ X ≤ b)

= E(1_[a,b](X))

= ∫_a^b f(x) dx.

La probabilité n’est donc rien d’autre que l’intégrale d’une fonction d’appartenance.

Même lorsque la moyenne n’existe pas, cette intégrale reste parfaitement définie.

La loi de Cauchy démontre ainsi que l’existence d’une probabilité ne dépend pas de l’existence d’une espérance.

4. La fonction de répartition comme moyenne d’indicatrices

La fonction de répartition d’une loi de Cauchy est

F(x)

= (1 / π) × arctan((x − x₀) / γ)

• 1/2.

Mais elle peut aussi s’écrire

F(x)

= P(X ≤ x)

= E(1_(−∞,x](X)).

Chaque valeur de F(x) représente donc la moyenne d’une fonction indicatrice.

La fonction de répartition est une accumulation continue d’appartenances binaires.

Ainsi :

• l’indicatrice répond : « appartient-il ? » ;
• la fonction de répartition répond : « avec quelle fréquence appartient-il ? ».

5. Pourquoi l’espérance n’existe pas

Pour une variable classique,

E(X)

= ∫_−∞^+∞ x f(x) dx.

Avec une loi de Cauchy, les queues décroissent comme

1 / x².

Le produit

x × f(x)

se comporte alors comme

1 / x.

Or l’intégrale

∫ (1 / x) dx

ne converge pas à l’infini.

Ainsi

E(X)n’existe pas.

Cependant, pour toute fonction indicatrice,

0 ≤ 1_A(X) ≤ 1.

L’espérance

E(1_A(X))

reste toujours finie.

Les probabilités existent donc parfaitement alors que la moyenne de la variable n’existe pas.

L’indicatrice est ainsi plus fondamentale que l’espérance.

6. Les événements extrêmes

Considérons

A_R = { |X| > R }.

Son indicatrice vaut

1_{|X|>R}(X).

La probabilité de cet événement est

P(|X| > R)

= E(1_{|X|>R}(X)).

Pour une loi de Cauchy, cette quantité décroît lentement lorsque R augmente.

Les appartenances à des régions très éloignées restent donc non négligeables.

C’est précisément cette accumulation d’appartenances extrêmes qui empêche l’existence de l’espérance.

7. Interprétation géométrique

La loi de Cauchy peut être vue comme une mesure répartie sur ℝ.

Pour chaque sous-ensemble A, 1_A décrit où l’appartenance est présente. La quantité E(1_A) mesure la masse probabiliste contenue dans A.

L’ensemble de la théorie de la mesure peut alors être résumé ainsi :

• les indicatrices décrivent l’appartenance ;
• les probabilités décrivent la masse des appartenances ;
• la densité décrit la répartition locale de cette masse.

8. Relation fondamentale

Pour tout ensemble mesurable A, 1_A(X) ∈ {0,1}⇒P(A) = E(1_A(X)) =∫ 1_A(x) f(x) dx. Cette formule demeure valide même lorsque E(X) et Var(X) n’existent pas. La loi de Cauchy montre donc que la théorie des probabilités repose d’abord sur les indicatrices d’appartenance et non sur les moments statistiques.

9. Synthèse

1_A(X)⇒ appartenance locale, E(1_A(X)) ⇒ probabilité de l’événement, F(x)= E(1_(−∞,x](X))⇒ accumulation des appartenances, P(|X| > R) = E(1_{|X|>R}(X))

⇒ mesure des événements extrêmes. La fonction indicatrice décrit l’appartenance d’une réalisation à un événement. La loi de Cauchy décrit comment ces appartenances sont réparties sur toute la droite réelle. Même lorsque les notions classiques de moyenne et de variance disparaissent, les indica