12. Circonlocution – Mécanisme en combinatoire des mots

12.1 Définition rhétorique

La circonlocution (du latin circumlocutio, « action de parler autour ») consiste à dire en plusieurs mots ce qu’un seul terme dirait directement. Elle est proche de la périphrase, qui désigne une chose par un groupe de mots (« l’astre du jour » pour le soleil) ; la circonlocution insiste sur le détour : on tourne autour du terme, par prudence, par euphémisme ou par pompe administrative.

• l’euphémisme : « il a rendu le dernier soupir » pour « il est mort » ;
• la langue administrative : « les gendarmes ont procédé à l’arrestation du suspect » pour « ont arrêté » ;
• la prudence : « il n’est pas impossible que » pour « peut-être ».

Deux traits la définissent : un équivalent direct existe, et le détour est nettement plus long que lui. Une locution simplement synonyme, de longueur voisine, n’est pas une circonlocution : « tout de suite » n’est pas un détour pour « immédiatement ».

12.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée compare la longueur d’un facteur à celle de son équivalent direct, multipliée par un coefficient k :

Circ(w) = | { u ∈ Fact(w) | |u| > k · Direct(u) } |.

Avec l’indicatrice χ_{]0, +∞[}(x) = 1 si x > 0, elle devient une somme ; l’indice de surlongueur Δ(u) = |u| − k · Direct(u) donne aussi une version graduelle :

Circ(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{]0, +∞[}(|u| − k · Direct(u)), CircScore(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} max(0, |u| − k · Direct(u)).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les morceaux du texte plus longs que k fois leur équivalent direct. La différence Δ et l’indicatrice de la demi-droite ]0, +∞[ traduisent exactement « plus long que ». Les exemples de l’énoncé source se recalculent ainsi :

exemple source	facteur	|u|	Direct(u)	Δ(u)	χ]0, +∞[(Δ)
1 (k = 2)	u1	10	4	10 − 2 · 4 = 2	1
1 (k = 2)	u2	7	4	7 − 2 · 4 = −1	0
1 (k = 2)	u3	12	5	12 − 2 · 5 = 2	1
2 (k = 3)	u1	15	4	15 − 3 · 4 = 3	1
2 (k = 3)	u2	11	4	11 − 3 · 4 = −1	0
2 (k = 3)	u3	12	3	12 − 3 · 3 = 3	1
2 (k = 3)	u4	8	3	8 − 3 · 3 = −1	0
2 (k = 3)	u5	10	5	10 − 3 · 5 = −5	0
3 (k = 2,5)	u1	20	6	20 − 2,5 · 6 = 5	1
3 (k = 2,5)	u2	17	8	17 − 2,5 · 8 = −3	0
3 (k = 2,5)	u3	13	4	13 − 2,5 · 4 = 3	1
3 (k = 2,5)	u4	11	5	11 − 2,5 · 5 = −1,5	0

Les sommes donnent 2, 2 et 2 ; la version graduelle, avec k = 2 et les couples (10, 4), (12, 5), (7, 4), donne 2 + 2 + 0 = 4 : les calculs sont justes. Mais |u| et Direct(u) sont donnés à la main. Six précisions sont nécessaires :

1. Direct(u) n’est pas défini. L’énoncé l’emploie comme une longueur, sans dire comment trouver l’équivalent direct d’un facteur. On déclare une table R de couples (p⁽ⁱ⁾, d⁽ⁱ⁾) : une périphrase et son terme direct ; Direct n’est défini que pour les facteurs qui sont des périphrases de la table.
2. La présence dans le texte doit être calculée. On détecte chaque occurrence de p⁽ⁱ⁾ dans le texte par un produit d’indicatrices d’égalité de mots, comme pour les figures précédentes ; la somme porte sur les occurrences, non sur tous les facteurs.
3. La somme sur Fact(w) compte des morceaux qui se recouvrent. Si l’on prolonge Direct à tout facteur (en remplaçant dans u les périphrases qu’il contient), tout facteur assez court autour d’une périphrase est compté aussi : l’exemple 1 compte 8 facteurs sur 45 pour une seule circonlocution (lemme 1).
4. La longueur doit avoir une unité. En mots, « tout de suite » (3 mots) est trois fois plus long qu’« immédiatement » (1 mot) ; en lettres, il est plus court (11 lettres contre 13). La longueur en lettres mesure ce que coûte le détour à l’écrit ; on la note ℓ.
5. Le coefficient k doit être choisi. Les exemples source emploient k = 2, 3 et 2,5 sans justification ; on choisit k sur des textes, par l’erreur, et l’on retient k = 1,5 (section 12.8).
6. Un comptage gradué ne se compare pas d’un texte à l’autre. CircScore croît avec le nombre de circonlocutions et avec leur longueur, mais non avec la taille du texte. On garde CircScore, calculé sur les occurrences, et l’on ajoute le taux de surlongueur T(w) : la part des lettres du texte qu’économiserait la réécriture directe.

Les exemples source : les calculs sont justes, mais |u| et Direct(u) sont donnés à la main.

12.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• égalité de mots : χ_Δ(a, b) = 1 si les mots a et b sont égaux ;
• « et » : le produit ∏ χ_Δ(t_j+q−1, p_q) vaut 1 si tous les mots de la périphrase sont présents à la suite ;
• « plus long que » : χ_{]0, +∞[}(Δ) = 1 si Δ > 0 ;
• « il existe » : χ_{[1, +∞[}(Circ) = 1 si le texte contient au moins une circonlocution ;
• partie positive : max(0, Δ) = Δ · χ_{]0, +∞[}(Δ), qui garde la surlongueur seulement quand elle est positive.

12.4 Les objets, définis pas à pas

a) Les mots et leurs lettres

Le texte est mis en minuscules ; les élisions sont détachées (l’, d’, n’) ; la ponctuation est retirée. On obtient les mots t₁, …, t_n. La longueur ℓ(t) d’un mot est son nombre de lettres (le trait d’union ne compte pas) ; la longueur d’une expression est la somme des longueurs de ses mots ; ℓ(w) est le nombre de lettres du texte.

b) La table des périphrases

Chaque ligne de la table R associe une périphrase p⁽ⁱ⁾ = p₁ ⋯ p_m à son terme direct d⁽ⁱ⁾, sous la forme où ils apparaissent dans les textes (participe passé, article contracté). Le rapport ρ_i = ℓ(p⁽ⁱ⁾) / ℓ(d⁽ⁱ⁾) mesure le détour :

i	périphrase p⁽ⁱ⁾	terme direct d⁽ⁱ⁾	mots	ℓ(p⁽ⁱ⁾)	ℓ(d⁽ⁱ⁾)	ρi	Δi = ℓ(p⁽ⁱ⁾) − 1,5 · ℓ(d⁽ⁱ⁾)	χ]0, +∞[(Δi)
1	procédé à l arrestation du	arrêté	5	22	6	11/3 ≈ 3,667	13	1
2	rendu le dernier soupir	mort	4	20	4	5	14	1
3	astre du jour	soleil	3	11	6	11/6 ≈ 1,833	2	1
4	il n est pas impossible que	peut-être	6	22	8	11/4 ≈ 2,750	10	1
5	donné son accord	accepté	3	14	7	2	3,5	1
6	fait l acquisition d	acheté	4	17	6	17/6 ≈ 2,833	8	1
7	mis un terme à	fini	4	11	4	11/4 ≈ 2,750	5	1
8	en raison du fait que	parce que	5	17	8	17/8 ≈ 2,125	5	1
9	tout de suite	immédiatement	3	11	13	11/13 ≈ 0,846	−8,5	0
10	de nouveau	encore	2	9	6	3/2 ≈ 1,500	0	0
11	bien que	quoique	2	7	7	1	−3,5	0

Les trois dernières lignes sont des locutions de contrôle : « tout de suite », « de nouveau », « bien que » ont un équivalent en un mot, mais ne sont pas plus longues que lui de façon notable.

La table des périphrases et le seuil k = 1,5.

c) Les occurrences

La périphrase p⁽ⁱ⁾, de m mots, commence au mot j du texte si ses m mots s’y retrouvent à la suite :

O_i(j) = ∏_q=1^m χ_Δ(t_j+q−1, p_q), 1 ≤ j ≤ n − m + 1.

d) La surlongueur et le gain

Δ_i = ℓ(p⁽ⁱ⁾) − k · ℓ(d⁽ⁱ⁾), c_i = χ_{]0, +∞[}(Δ_i), g_i = ( ℓ(p⁽ⁱ⁾) − ℓ(d⁽ⁱ⁾) ) · c_i.

c_i vaut 1 si la périphrase est plus longue que k fois son terme direct ; g_i est le nombre de lettres économisées en la remplaçant. Pourquoi un coefficient k et non une simple différence : un détour de 5 lettres pèse beaucoup pour un mot de 3 lettres, peu pour un mot de 12.

Lemme 1 (facteurs englobants). Soit une occurrence de p, et u un facteur qui la contient avec c lettres de contexte ; en remplaçant p par d, Direct(u) = ℓ(d) + c. Pour k > 1, u est compté par la formule source si et seulement si ℓ(p) + c > k · (ℓ(d) + c), c’est-à-dire c < (ℓ(p) − k · ℓ(d)) / (k − 1). ∴ une seule circonlocution est comptée autant de fois qu’il y a de facteurs dont le contexte a moins de Δ / (k − 1) lettres ; dans l’exemple 1, Δ = 13 et k − 1 = 0,5 : tout contexte de moins de 26 lettres convient, d’où 8 facteurs.

Lemme 2 (monotonie en k). Si k ≤ k′, alors χ_{]0, +∞[}(ℓ(p) − k′ · ℓ(d)) ≤ χ_{]0, +∞[}(ℓ(p) − k · ℓ(d)). ∴ augmenter k ne peut que retirer des circonlocutions ; la table de seuils (section 12.8) est donc décroissante ligne par ligne.

Lemme 3 (seuil propre à chaque ligne). c_i = 1 si et seulement si k < ρ_i. ∴ deux valeurs de k comprises entre les mêmes rapports consécutifs de la table donnent exactement le même résultat ; le choix de k revient à choisir entre quels rapports ρ_i placer la frontière.

Exemple 1 : 8 facteurs comptés sur 45 pour une seule circonlocution (lemme 1).

Les rapports en mots et en lettres : seuls les rapports en lettres séparent les locutions de contrôle.

12.5 Définition mathématique

Circ(w) = ∑_i ∑_j O_i(j) · χ_{]0, +∞[}( ℓ(p⁽ⁱ⁾) − k · ℓ(d⁽ⁱ⁾) ), Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(Circ(w)), k = 1,5.

CircScore(w) = ∑_i ∑_j O_i(j) · max(0, ℓ(p⁽ⁱ⁾) − k · ℓ(d⁽ⁱ⁾)), T(w) = (1 / ℓ(w)) · ∑_i ∑_j O_i(j) · g_i.

Circ(w) est le nombre de circonlocutions du texte : c’est le Circ de l’énoncé source, avec les occurrences de la table pour facteurs et les lettres pour longueurs. CircScore(w) est sa version graduelle, T(w) la part des lettres du texte que la réécriture directe supprimerait.

La définition complète : une périphrase de la table, présente dans le texte, plus longue que k fois le terme direct.

L’arbre de décision de la circonlocution.

12.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; détacher les élisions ; retirer la ponctuation ; compter les lettres de chaque mot.
2. Pour chaque périphrase p⁽ⁱ⁾ de la table et chaque position j, calculer O_i(j) : 1 si ses mots se suivent à partir de j.
3. Pour chaque occurrence, calculer Δ_i = ℓ(p⁽ⁱ⁾) − k · ℓ(d⁽ⁱ⁾) avec k = 1,5 ; elle compte si Δ_i > 0.
4. Circ(w) = nombre d’occurrences comptées ; CircScore(w) = somme des Δ_i positifs ; T(w) = lettres économisées / ℓ(w).
5. Ci(w) = 1 si Circ(w) ≥ 1.

12.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne les mots avec leur nombre de lettres, le tableau des occurrences, le calcul de Δ et de l’indicatrice, puis les mesures du texte et la lecture source sur tous les facteurs de mots.

Exemple 1 – La langue administrative

Texte : « Les gendarmes ont procédé à l’arrestation du suspect. »

Mots et lettres : les (3) ; gendarmes (9) ; ont (3) ; procédé (7) ; à (1) ; l (1) ; arrestation (11) ; du (2) ; suspect (7) ; ℓ(w) = 44.

i	périphrase	terme direct	position	ℓ(p)	ℓ(d)	Δ	χ]0, +∞[(Δ)	lettres économisées g
1	procédé à l arrestation du	arrêté	j = 4	22	6	22 − 1,5 · 6 = 13	1	16

Étape 1.1. O₁(4) = χ_Δ(procédé, procédé) · χ_Δ(à, à) · χ_Δ(l, l) · χ_Δ(arrestation, arrestation) · χ_Δ(du, du) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(13) = 1.

Étape 1.2. Circ(w) = 1 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1 circonlocution(s).

Étape 1.3. CircScore(w) = 13 ; T(w) = 4/11 ≈ 0,364 ; lecture source : 8 facteurs de mots comptés sur 45.

∴ « procédé à l’arrestation du » (22 lettres) pour « arrêté » (6) : Δ = 13 > 0, une circonlocution. La réécriture directe économise 16 lettres sur 44, plus du tiers du texte.

Exemple 1 : la périphrase administrative et son terme direct.

Exemple 2 – L’euphémisme de la mort

Texte : « Le vieux roi a rendu le dernier soupir. »

Mots et lettres : le (2) ; vieux (5) ; roi (3) ; a (1) ; rendu (5) ; le (2) ; dernier (7) ; soupir (6) ; ℓ(w) = 31.

i	périphrase	terme direct	position	ℓ(p)	ℓ(d)	Δ	χ]0, +∞[(Δ)	lettres économisées g
2	rendu le dernier soupir	mort	j = 5	20	4	20 − 1,5 · 4 = 14	1	16

Étape 2.1. O₂(5) = χ_Δ(rendu, rendu) · χ_Δ(le, le) · χ_Δ(dernier, dernier) · χ_Δ(soupir, soupir) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(14) = 1.

Étape 2.2. Circ(w) = 1 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1 circonlocution(s).

Étape 2.3. CircScore(w) = 14 ; T(w) = 16/31 ≈ 0,516 ; lecture source : 5 facteurs de mots comptés sur 36.

∴ « rendu le dernier soupir » (20 lettres) pour « mort » (4) : Δ = 14, le plus grand rapport de la table (ρ = 5). L’euphémisme est la forme la plus longue du détour.

Exemple 3 – La périphrase poétique

Texte : « L’astre du jour se lève sur la mer. »

Mots et lettres : l (1) ; astre (5) ; du (2) ; jour (4) ; se (2) ; lève (4) ; sur (3) ; la (2) ; mer (3) ; ℓ(w) = 26.

i	périphrase	terme direct	position	ℓ(p)	ℓ(d)	Δ	χ]0, +∞[(Δ)	lettres économisées g
3	astre du jour	soleil	j = 2	11	6	11 − 1,5 · 6 = 2	1	5

Étape 3.1. O₃(2) = χ_Δ(astre, astre) · χ_Δ(du, du) · χ_Δ(jour, jour) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(2) = 1.

Étape 3.2. Circ(w) = 1 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1 circonlocution(s).

Étape 3.3. CircScore(w) = 2 ; T(w) = 5/26 ≈ 0,192 ; lecture source : 4 facteurs de mots comptés sur 45.

∴ « astre du jour » (11 lettres) pour « soleil » (6) : ρ = 11/6 ≈ 1,833 > 1,5, Δ = 2 : une circonlocution de justesse. Avec k = 2, la périphrase poétique serait perdue.

Exemple 4 – La litote prudente

Texte : « Il n’est pas impossible que la réunion soit reportée. »

Mots et lettres : il (2) ; n (1) ; est (3) ; pas (3) ; impossible (10) ; que (3) ; la (2) ; réunion (7) ; soit (4) ; reportée (8) ; ℓ(w) = 43.

i	périphrase	terme direct	position	ℓ(p)	ℓ(d)	Δ	χ]0, +∞[(Δ)	lettres économisées g
4	il n est pas impossible que	peut-être	j = 1	22	8	22 − 1,5 · 8 = 10	1	14

Étape 4.1. O₄(1) = χ_Δ(il, il) · χ_Δ(n, n) · χ_Δ(est, est) · χ_Δ(pas, pas) · χ_Δ(impossible, impossible) · χ_Δ(que, que) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(10) = 1.

Étape 4.2. Circ(w) = 1 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1 circonlocution(s).

Étape 4.3. CircScore(w) = 10 ; T(w) = 14/43 ≈ 0,326 ; lecture source : 4 facteurs de mots comptés sur 55.

∴ « il n’est pas impossible que » (22 lettres) pour « peut-être » (8) : Δ = 10. La double négation de la litote allonge le détour.

Exemple 5 – Une phrase directe

Texte : « Le chat dort sur le canapé. »

Mots et lettres : le (2) ; chat (4) ; dort (4) ; sur (3) ; le (2) ; canapé (6) ; ℓ(w) = 21.

Étape 5.1. Aucune suite de mots du texte n’est une périphrase de la table : O_i(j) = 0 pour tout i et tout j.

Étape 5.2. Circ(w) = 0 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0 circonlocution(s).

Étape 5.3. CircScore(w) = 0 ; T(w) = 0 ; lecture source : 0 facteurs de mots comptés sur 21.

∴ aucune périphrase de la table : Circ = 0.

Exemple 6 – Une locution plus courte que son équivalent

Texte : « Viens tout de suite. »

Mots et lettres : viens (5) ; tout (4) ; de (2) ; suite (5) ; ℓ(w) = 16.

i	périphrase	terme direct	position	ℓ(p)	ℓ(d)	Δ	χ]0, +∞[(Δ)	lettres économisées g
9	tout de suite	immédiatement	j = 2	11	13	11 − 1,5 · 13 = −8,5	0	0

Étape 6.1. O₉(2) = χ_Δ(tout, tout) · χ_Δ(de, de) · χ_Δ(suite, suite) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(−8,5) = 0.

Étape 6.2. Circ(w) = 0 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0 circonlocution(s).

Étape 6.3. CircScore(w) = 0 ; T(w) = 0 ; lecture source : 0 facteurs de mots comptés sur 10.

∴ « tout de suite » a 11 lettres, « immédiatement » 13 : Δ = 11 − 19,5 = −8,5 < 0. La locution est plus courte que son équivalent : ce n’est pas un détour.

Exemple 7 – Une locution à peine plus longue

Texte : « Nous avons de nouveau perdu. »

Mots et lettres : nous (4) ; avons (5) ; de (2) ; nouveau (7) ; perdu (5) ; ℓ(w) = 23.

i	périphrase	terme direct	position	ℓ(p)	ℓ(d)	Δ	χ]0, +∞[(Δ)	lettres économisées g
10	de nouveau	encore	j = 3	9	6	9 − 1,5 · 6 = 0	0	0

Étape 7.1. O₁₀(3) = χ_Δ(de, de) · χ_Δ(nouveau, nouveau) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(0) = 0.

Étape 7.2. Circ(w) = 0 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0 circonlocution(s).

Étape 7.3. CircScore(w) = 0 ; T(w) = 0 ; lecture source : 0 facteurs de mots comptés sur 15.

∴ « de nouveau » (9 lettres) pour « encore » (6) : ρ = 1,5, Δ = 9 − 9 = 0, et l’indicatrice de ]0, +∞[ vaut 0. Avec k = 1, cette locution courante serait comptée à tort.

Exemple 8 – La formule officielle

Texte : « Le ministre a donné son accord au projet. »

Mots et lettres : le (2) ; ministre (8) ; a (1) ; donné (5) ; son (3) ; accord (6) ; au (2) ; projet (6) ; ℓ(w) = 33.

i	périphrase	terme direct	position	ℓ(p)	ℓ(d)	Δ	χ]0, +∞[(Δ)	lettres économisées g
5	donné son accord	accepté	j = 4	14	7	14 − 1,5 · 7 = 3,5	1	7

Étape 8.1. O₅(4) = χ_Δ(donné, donné) · χ_Δ(son, son) · χ_Δ(accord, accord) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(3,5) = 1.

Étape 8.2. Circ(w) = 1 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1 circonlocution(s).

Étape 8.3. CircScore(w) = 3,5 ; T(w) = 7/33 ≈ 0,212 ; lecture source : 4 facteurs de mots comptés sur 36.

∴ « donné son accord » (14 lettres) pour « accepté » (7) : ρ = 2, Δ = 3,5 > 0 : la formule officielle est une circonlocution.

Exemple 9 – Faux positif assumé : l’accord de musique

Texte : « Au début du concert, le guitariste a donné son accord de ré. »

Mots et lettres : au (2) ; début (5) ; du (2) ; concert (7) ; le (2) ; guitariste (10) ; a (1) ; donné (5) ; son (3) ; accord (6) ; de (2) ; ré (2) ; ℓ(w) = 47.

i	périphrase	terme direct	position	ℓ(p)	ℓ(d)	Δ	χ]0, +∞[(Δ)	lettres économisées g
5	donné son accord	accepté	j = 8	14	7	14 − 1,5 · 7 = 3,5	1	7

Étape 9.1. O₅(8) = χ_Δ(donné, donné) · χ_Δ(son, son) · χ_Δ(accord, accord) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(3,5) = 1.

Étape 9.2. Circ(w) = 1 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 0 circonlocution(s).

Étape 9.3. CircScore(w) = 3,5 ; T(w) = 7/47 ≈ 0,149 ; lecture source : 6 facteurs de mots comptés sur 78.

∴ la même suite « donné son accord » est comptée : Circ = 1. Mais ici l’accord est musical (l’accord de ré) : faux positif assumé. La table reconnaît des suites de mots, non leur sens.

Exemple 10 – Faux négatif assumé : hors de la table

Texte : « Les techniciens de surface nettoient le hall. »

Mots et lettres : les (3) ; techniciens (11) ; de (2) ; surface (7) ; nettoient (9) ; le (2) ; hall (4) ; ℓ(w) = 38.

Étape 10.1. Aucune suite de mots du texte n’est une périphrase de la table : O_i(j) = 0 pour tout i et tout j.

Étape 10.2. Circ(w) = 0 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 1 circonlocution(s).

Étape 10.3. CircScore(w) = 0 ; T(w) = 0 ; lecture source : 0 facteurs de mots comptés sur 28.

∴ « techniciens de surface » est une circonlocution euphémique pour « agents d’entretien » ou « balayeurs », mais elle n’est pas dans la table : Circ = 0. Faux négatif assumé : la mesure dépend de la table déclarée.

Exemple 11 – Texte complet : trois phrases

Texte : « Les gendarmes ont procédé à l’arrestation du suspect. Le chat dort sur le canapé. Il n’est pas impossible que la réunion soit reportée. »

Mots et lettres : les (3) ; gendarmes (9) ; ont (3) ; procédé (7) ; à (1) ; l (1) ; arrestation (11) ; du (2) ; suspect (7) ; le (2) ; chat (4) ; dort (4) ; sur (3) ; le (2) ; canapé (6) ; il (2) ; n (1) ; est (3) ; pas (3) ; impossible (10) ; que (3) ; la (2) ; réunion (7) ; soit (4) ; reportée (8) ; ℓ(w) = 108.

i	périphrase	terme direct	position	ℓ(p)	ℓ(d)	Δ	χ]0, +∞[(Δ)	lettres économisées g
1	procédé à l arrestation du	arrêté	j = 4	22	6	22 − 1,5 · 6 = 13	1	16
4	il n est pas impossible que	peut-être	j = 16	22	8	22 − 1,5 · 8 = 10	1	14

Étape 11.1. O₁(4) = χ_Δ(procédé, procédé) · χ_Δ(à, à) · χ_Δ(l, l) · χ_Δ(arrestation, arrestation) · χ_Δ(du, du) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(13) = 1.

Étape 11.1. O₄(16) = χ_Δ(il, il) · χ_Δ(n, n) · χ_Δ(est, est) · χ_Δ(pas, pas) · χ_Δ(impossible, impossible) · χ_Δ(que, que) = 1 ; χ_{]0, +∞[}(10) = 1.

Étape 11.2. Circ(w) = 1 + 1 = 2 ; Ci(w) = χ_{[1, +∞[}(2) = 1 ; attendu : 2 circonlocution(s).

Étape 11.3. CircScore(w) = 23 ; T(w) = 5/18 ≈ 0,278 ; lecture source : 49 facteurs de mots comptés sur 325.

∴ deux circonlocutions dans trois phrases : Circ(w) = 2, CircScore(w) = 13 + 10 = 23, T(w) = 30/108 = 5/18 ≈ 0,278 : plus d’un quart des lettres du texte appartiennent au détour.

Exemple 11 : trois phrases, deux circonlocutions.

12.8 Seuil k et versions de la définition

Le coefficient k est choisi par l’erreur ∑ |Circ − attendu| sur les onze textes, les nombres attendus étant : 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 2.

k	erreurs ∑ |Circ − attendu|	textes mal jugés
0	4	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)
1	3	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)
1,5	2	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)
2	3	ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)
2,5	3	ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)
3	5	ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 2)

k = 0 et k = 1 comptent des locutions de contrôle (« tout de suite », « de nouveau ») ; k = 2 perd la périphrase poétique et la formule officielle ; k = 3 perd en plus la litote. Par le lemme 3, toute valeur de k dans [1,5 ; 11/6[ donne le même résultat : la frontière passe entre « de nouveau » (ρ = 1,5) et « astre du jour » (ρ ≈ 1,833). On retient k = 1,5, qui se lit simplement : le détour dépasse de plus de moitié la longueur du terme direct.

Sensibilité au coefficient k.

Les versions de la définition :

version	erreurs ∑ |Circ − attendu|	textes mal jugés
source : facteurs de mots, Direct par remplacement (comptes)	74	ex. 1 (8) ; ex. 2 (5) ; ex. 3 (4) ; ex. 4 (4) ; ex. 8 (4) ; ex. 9 (6) ; ex. 10 (0) ; ex. 11 (49)
longueurs en mots	4	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)
sans seuil (k = 0)	4	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)
retenue	2	ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)

La lecture par facteurs compte des dizaines de facteurs par circonlocution (lemme 1). Les longueurs en mots comptent « tout de suite » et « de nouveau ». La version retenue garde deux erreurs assumées : l’accord musical de l’exemple 9 et l’euphémisme hors table de l’exemple 10.

Erreurs des versions : les occurrences, les lettres et le seuil sont nécessaires.

12.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois la table R et le coefficient k fixés, O, Δ, Circ, CircScore et T découlent nécessairement des mots ; les lemmes 1 à 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : la table est déclarée et propre à une langue et à un usage (langue administrative, euphémismes, style poétique) ; agrandir la table ne peut qu’ajouter des occurrences, donc Circ ne peut que croître. Le coefficient k est choisi sur des exemples.
• Possible : toute suite de mots identique à une périphrase de la table est possiblement une circonlocution ; son sens dans la phrase peut l’exclure (exemple 9).

12.10 Justification et limites

La définition source plaçait au centre la comparaison de deux longueurs, celle du détour et celle du terme direct, traduite par une différence et l’indicatrice de ]0, +∞[ : c’est le cœur de la circonlocution. Il fallait donner à « équivalent direct » une table, compter des occurrences plutôt que tous les facteurs, choisir une unité de longueur et un coefficient. La version graduelle de la source est conservée, calculée sur les occurrences, et complétée par un taux rapporté à la longueur du texte.

Trois limites sont assumées. La table ne voit pas le sens : une suite de mots peut coïncider avec une périphrase sans en être une (exemple 9). Les circonlocutions absentes de la table échappent au calcul (exemple 10) ; elles demanderaient un dictionnaire plus large ou une mesure de synonymie. Enfin, les formes fléchies (procéder, procédé, procèdent) doivent chacune figurer dans la table, faute d’analyse morphologique.

⁂

13. Classicisme – Mécanisme en combinatoire des mots

13.1 Définition rhétorique

Le classicisme désigne, en France, l’idéal littéraire du XVIIe siècle (Malherbe, Boileau, Racine, La Fontaine) : clarté, mesure, économie des moyens. Boileau le résume dans l’Art poétique : « Ce que l’on conçoit bien s’énonce clairement, et les mots pour le dire arrivent aisément », et « Qui ne sait se borner ne sut jamais écrire ». Malherbe traquait, vers par vers, les répétitions de ses contemporains.

Parmi les traits du style classique, un seul se lit directement sur la suite des mots : le refus du redoublement. Une phrase classique ne répète pas immédiatement un mot ou un groupe de mots : « le temps, le temps », « non, non, non », « il faut partir, il faut partir » sont des effets d’insistance (épizeuxe, redoublement) que la doctrine réserve aux mouvements passionnés. La fiche mesure ce trait, et lui seul ; elle ne prétend pas mesurer le classicisme entier.

13.2 Mécanisme en combinatoire des mots

En combinatoire des mots, une répétition immédiate xx est un carré et xxx un cube. La définition proposée compte les facteurs sans carré ou sans cube :

Class(w) = | { u ∈ Fact(w) | u est sans carré ou sans cube } |.

Les carrés et les cubes y sont comptés par des indicatrices d’égalité de blocs, et un facteur est dit classique s’il n’en contient aucun :

Sq(u) = ∑_ℓ=1^⌊|u|/2⌋ ∑_i=1^|u|−2ℓ+1 χ_{0}( d(u[i..i+ℓ−1], u[i+ℓ..i+2ℓ−1]) ), Classic(u) = χ_{0}(Sq(u)) · χ_{0}(Cu(u)), Class(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} Classic(u).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les répétitions immédiates. La comparaison de deux blocs voisins par l’indicatrice de l’égalité traduit exactement la définition d’un carré, et c’est le cœur de la mesure. Les exemples de l’énoncé source se recalculent ainsi, sur les lettres :

mot w	valeur annoncée	Sq(w)	Cu(w)	facteurs sans carré (occurrences)	facteurs sans carré (ensemble)
abcd	3	0	0	10 sur 10	10 sur 10
abab	3	1	0	9 sur 10	6 sur 7
abcabcabc	0 (mot entier seul)	4	1	35 sur 45	15 sur 24

La version graduelle ClassScore = ∑ 1 / (1 + Sq + Cu) donne bien 1 + 1/2 + 1/4 = 1,75 pour (0, 0), (1, 0), (2, 1). Mais les trois comptes annoncés ne sont pas ceux de la formule. Six précisions sont nécessaires :

1. Les facteurs doivent tous être comptés. L’exemple 1 ne retient que les facteurs de longueur 2 (ab, bc, cd) ; abcd a 10 facteurs, tous sans carré : Class(abcd) = 10. L’exemple 2 liste « ab, ba, ab, abab », avec ab deux fois et sans a, b, aba, bab : abab a 7 facteurs distincts, dont 6 sans carré.
2. abcabcabc contient des carrés. Le calcul « Classic(w) = χ_{0}(0) × χ_{0}(1) » suppose Sq(w) = 0 ; or (abc)(abc) apparaît en position 1, et ses conjugués bcabca, cabcab, abcabc en positions 2, 3, 4 : Sq(w) = 4. La conclusion Classic(w) = 0 est juste, mais par les carrés, non par le cube.
3. « Sans carré ou sans cube » se réduit à « sans cube », et « et » à « sans carré ». Tout cube xxx contient le carré xx (lemme 1) : un mot sans carré est sans cube. La formule emploie le produit (« et ») alors que l’énoncé dit « ou » ; avec le produit, le facteur χ_{0}(Cu) est superflu, car χ_{0}(Sq) · χ_{0}(Cu) = χ_{0}(Sq).
4. Class(w) mesure la longueur, non le style. Tout facteur d’un mot sans carré est sans carré (lemme 3) : pour un mot sans carré de n lettres, Class(w) = n(n + 1)/2. On compte des phrases, et l’on mesure la part des phrases sans redoublement.
5. Le style se lit sur les mots, non sur les lettres. Les lettres doublées (arrivent, sommes, tonnerre) sont des carrés : presque toute phrase française en contient. Le carré pertinent est la répétition immédiate d’un mot ou d’un groupe de mots.
6. Les mots outils font des carrés grammaticaux. « Nous nous sommes trompés » contient le carré « nous nous », imposé par le verbe pronominal. On ne compte un carré xx que si x contient au moins un mot plein, en déclarant une table des mots outils.

Les mots source lus sur toutes les occurrences de facteurs : le compte suit la longueur.

13.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• égalité de mots : χ_Δ(a, b) = 1 si les mots a et b sont égaux ; c’est χ_{0}(d(a, b)) dans les notations de la source ;
• égalité de blocs : le produit ∏_q χ_Δ(t_i+q, t_i+ℓ+q) vaut 1 si les deux blocs de ℓ mots sont égaux mot à mot ;
• mots outils : χ_Out(t) ; un bloc contient un mot plein si ∑_q (1 − χ_Out(t_i+q)) ≥ 1 ;
• « aucun » : χ_{0}(Sq) = 1 si la phrase ne contient aucun carré ;
• « toutes » : χ_{1}(Cl) = 1 si la part des phrases sans carré vaut 1.

13.4 Les objets, définis pas à pas

a) Les phrases et les mots

Le texte w est découpé en phrases s₁, …, s_N après les signes . ! ? ; chaque phrase est mise en minuscules, les élisions sont détachées, la ponctuation est retirée. Les mots de la phrase sont t₁, …, t_m. Pourquoi la ponctuation est retirée : « le temps, le temps » est un redoublement malgré la virgule.

b) Les mots outils

table	mots
Out	le, la, les, l, un, une, des, de, du, d, et, ou, à, au, aux, en, que, qu, qui, ne, n, pas, il, elle, ils, on, nous, vous, je, j, tu, se, s, ce, c, me, m, te, t, est, a

« non » n’est pas dans la table : le triple refus « non, non, non » est un redoublement d’insistance.

c) Carrés et cubes de mots

Un carré de longueur ℓ en position i est l’égalité des blocs t_i ⋯ t_i+ℓ−1 et t_i+ℓ ⋯ t_i+2ℓ−1 ; on le compte si le bloc x contient un mot plein (P(i, ℓ) = 1) et si ℓ ≥ ℓ₀ :

Sq(s) = ∑_ℓ=ℓ₀^⌊m/2⌋ ∑_i=1^m−2ℓ+1 ∏_q=0^ℓ−1 χ_Δ(t_i+q, t_i+ℓ+q) · P(i, ℓ), P(i, ℓ) = χ_{[1, +∞[}( ∑_q=0^ℓ−1 (1 − χ_Out(t_i+q)) ).

Cu(s) se définit de même avec trois blocs égaux. Le seuil ℓ₀ est la longueur minimale du motif ; on retient ℓ₀ = 1, comme dans la source (|x| ≥ 1), et on le vérifie en section 13.8.

Lemme 1 (cube et carrés). Si xxx apparaît en position i avec |x| = ℓ, alors xx apparaît en positions i et i + ℓ. ∴ Cu(s) ≥ 1 entraîne Sq(s) ≥ 2, et χ_{0}(Sq) · χ_{0}(Cu) = χ_{0}(Sq) : le cube ne change jamais le verdict.

Lemme 2 (conjugués). Si (x)³ apparaît avec |x| = ℓ, les carrés de période ℓ apparaissent aux ℓ + 1 positions i, i + 1, …, i + ℓ. ∴ abcabcabc a Sq = 4 carrés de période 3 ; un seul motif répété peut produire plusieurs carrés.

Lemme 3 (facteurs d’un mot sans carré). Si w est sans carré, chacun de ses facteurs l’est aussi, car un carré dans un facteur est un carré dans w. ∴ pour un mot sans carré de n lettres, les n(n + 1)/2 occurrences de facteurs sont toutes comptées : Class(w) ne dépend que de n.

Lemme 1 : « non, non, non » contient un cube et deux carrés.

Trois carrés de mots, de longueurs 1, 2 et 3.

Le carré grammatical « nous nous » est exclu par la table des mots outils.

13.5 Définition mathématique

Classic(s) = χ_{0}(Sq(s)), Cl(w) = (1 / N) · ∑_k=1^N Classic(s_k), Ch(w) = χ_{1}(Cl(w)), CS(w) = (1 / N) · ∑_k=1^N 1 / (1 + Sq(s_k) + Cu(s_k)).

Classic(s) vaut 1 si la phrase ne contient aucun redoublement ; Cl(w) est la part des phrases sans redoublement ; Ch(w) vaut 1 si toutes les phrases en sont exemptes. CS(w) est la version graduelle de la source, rapportée au nombre de phrases : elle vaut 1 pour un texte sans redoublement et diminue avec leur nombre.

La définition complète : carrés de mots pleins, phrase par phrase.

L’arbre de décision du style classique.

13.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Découper le texte en phrases ; mettre en minuscules ; détacher les élisions ; retirer la ponctuation.
2. Pour chaque longueur ℓ de 1 à ⌊m/2⌋ et chaque position i, comparer mot à mot les blocs t_i ⋯ t_i+ℓ−1 et t_i+ℓ ⋯ t_i+2ℓ−1.
3. Compter le carré si les blocs sont égaux et si le bloc contient un mot plein : Sq(s) ; compter de même les cubes : Cu(s).
4. Classic(s) = 1 si Sq(s) = 0 ; Cl(w) = part des phrases classiques ; Ch(w) = 1 si Cl(w) = 1.
5. CS(w) = moyenne des 1 / (1 + Sq + Cu).

13.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne les mots numérotés, les carrés et cubes trouvés avec la comparaison mot à mot, puis les mesures de la phrase et du texte.

Exemple 1 – Boileau : la clarté

Texte : « Ce que l’on conçoit bien s’énonce clairement, et les mots pour le dire arrivent aisément. »

Mots de s : t₁ = ce ; t₂ = que ; t₃ = l ; t₄ = on ; t₅ = conçoit ; t₆ = bien ; t₇ = s ; t₈ = énonce ; t₉ = clairement ; t₁₀ = et ; t₁₁ = les ; t₁₂ = mots ; t₁₃ = pour ; t₁₄ = le ; t₁₅ = dire ; t₁₆ = arrivent ; t₁₇ = aisément.

Étape 1.1 (s). Aucun bloc n’est suivi d’un bloc égal : pour tout ℓ et tout i, le produit ∏ χ_Δ vaut 0.

Étape 1.2 (s). Sq = 0 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(0) = 1 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1.

Étape 1.3. Cl(w) = 1 ; Ch(w) = χ_{1}(1) = 1 ; CS(w) = 1 ; attendu : 1.

∴ aucun mot n’est immédiatement répété (le, l’ et les sont des mots outils séparés par d’autres mots) : Sq = 0, Classic = 1. Le vers de Boileau est sans redoublement.

Exemple 2 – Boileau : la mesure

Texte : « Qui ne sait se borner ne sut jamais écrire. »

Mots de s : t₁ = qui ; t₂ = ne ; t₃ = sait ; t₄ = se ; t₅ = borner ; t₆ = ne ; t₇ = sut ; t₈ = jamais ; t₉ = écrire.

Étape 2.1 (s). Aucun bloc n’est suivi d’un bloc égal : pour tout ℓ et tout i, le produit ∏ χ_Δ vaut 0.

Étape 2.2 (s). Sq = 0 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(0) = 1 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1.

Étape 2.3. Cl(w) = 1 ; Ch(w) = χ_{1}(1) = 1 ; CS(w) = 1 ; attendu : 1.

∴ « ne » revient deux fois mais n’est jamais suivi de lui-même : Sq = 0, Classic = 1.

Exemple 3 – L’épizeuxe : un carré de deux mots

Texte : « Le temps, le temps passe et rien ne revient. »

Mots de s : t₁ = le ; t₂ = temps ; t₃ = le ; t₄ = temps ; t₅ = passe ; t₆ = et ; t₇ = rien ; t₈ = ne ; t₉ = revient.

position	bloc ti ⋯ ti+ℓ−1	bloc suivant	∏ χΔ	P(i, ℓ)	carré compté
i = 1, ℓ = 2	le temps	le temps	1	1	1

Étape 3.1 (s). i = 1, ℓ = 2 : χ_Δ(le, le) · χ_Δ(temps, temps) = 1.

Étape 3.2 (s). Sq = 1 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(1) = 0 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1/2.

Étape 3.3. Cl(w) = 0 ; Ch(w) = χ_{1}(0) = 0 ; CS(w) = 1/2 ≈ 0,500 ; attendu : 0.

∴ le bloc « le temps » est suivi de lui-même : un carré de longueur 2, qui contient le mot plein « temps ». Classic = 0 : l’épizeuxe est un redoublement.

Exemple 4 – L’épizeuxe d’un seul mot

Texte : « Partez, partez, la nuit tombe. »

Mots de s : t₁ = partez ; t₂ = partez ; t₃ = la ; t₄ = nuit ; t₅ = tombe.

position	bloc ti ⋯ ti+ℓ−1	bloc suivant	∏ χΔ	P(i, ℓ)	carré compté
i = 1, ℓ = 1	partez	partez	1	1	1

Étape 4.1 (s). i = 1, ℓ = 1 : χ_Δ(partez, partez) = 1.

Étape 4.2 (s). Sq = 1 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(1) = 0 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1/2.

Étape 4.3. Cl(w) = 0 ; Ch(w) = χ_{1}(0) = 0 ; CS(w) = 1/2 ≈ 0,500 ; attendu : 0.

∴ « partez, partez » : un carré de longueur 1. Classic = 0.

Exemple 5 – Le triple refus : un cube

Texte : « Non, non, non, je ne céderai pas. »

Mots de s : t₁ = non ; t₂ = non ; t₃ = non ; t₄ = je ; t₅ = ne ; t₆ = céderai ; t₇ = pas.

position	bloc ti ⋯ ti+ℓ−1	bloc suivant	∏ χΔ	P(i, ℓ)	carré compté
i = 1, ℓ = 1	non	non	1	1	1
i = 2, ℓ = 1	non	non	1	1	1

Étape 5.1 (s). i = 1, ℓ = 1 : χ_Δ(non, non) = 1.

Étape 5.1 (s). i = 2, ℓ = 1 : χ_Δ(non, non) = 1.

Étape 5.2 (s). Sq = 2 ; Cu = 1 ; Classic = χ_{0}(2) = 0 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1/4.

Étape 5.3. Cl(w) = 0 ; Ch(w) = χ_{1}(0) = 0 ; CS(w) = 1/4 ≈ 0,250 ; attendu : 0.

∴ « non non non » est un cube de longueur 1 ; il contient deux carrés, en positions 1 et 2 (lemme 1) : Sq = 2, Cu = 1, Classic = 0, CS = 1/4.

Exemple 6 – Un carré de trois mots

Texte : « Il faut partir, il faut partir avant la nuit. »

Mots de s : t₁ = il ; t₂ = faut ; t₃ = partir ; t₄ = il ; t₅ = faut ; t₆ = partir ; t₇ = avant ; t₈ = la ; t₉ = nuit.

position	bloc ti ⋯ ti+ℓ−1	bloc suivant	∏ χΔ	P(i, ℓ)	carré compté
i = 1, ℓ = 3	il faut partir	il faut partir	1	1	1

Étape 6.1 (s). i = 1, ℓ = 3 : χ_Δ(il, il) · χ_Δ(faut, faut) · χ_Δ(partir, partir) = 1.

Étape 6.2 (s). Sq = 1 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(1) = 0 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1/2.

Étape 6.3. Cl(w) = 0 ; Ch(w) = χ_{1}(0) = 0 ; CS(w) = 1/2 ≈ 0,500 ; attendu : 0.

∴ « il faut partir » est suivi de lui-même : un carré de longueur 3. Classic = 0.

Exemple 7 – Le verbe pronominal : un carré de mots outils

Texte : « Nous nous sommes trompés de route. »

Mots de s : t₁ = nous ; t₂ = nous ; t₃ = sommes ; t₄ = trompés ; t₅ = de ; t₆ = route.

position	bloc ti ⋯ ti+ℓ−1	bloc suivant	∏ χΔ	P(i, ℓ)	carré compté
i = 1, ℓ = 1	nous	nous	1	0	0

Étape 7.1 (s). i = 1, ℓ = 1 : χ_Δ(nous, nous) = 1.

Étape 7.2 (s). Sq = 0 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(0) = 1 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1.

Étape 7.3. Cl(w) = 1 ; Ch(w) = χ_{1}(1) = 1 ; CS(w) = 1 ; attendu : 1.

∴ « nous nous » est un carré, mais le bloc « nous » ne contient que des mots outils : P = 0, il n’est pas compté. Sq = 0, Classic = 1 : le verbe pronominal n’est pas un redoublement.

Exemple 8 – Faux négatif assumé : la répétition citée

Texte : « Courage, courage, cria le capitaine aux soldats épuisés. »

Mots de s : t₁ = courage ; t₂ = courage ; t₃ = cria ; t₄ = le ; t₅ = capitaine ; t₆ = aux ; t₇ = soldats ; t₈ = épuisés.

position	bloc ti ⋯ ti+ℓ−1	bloc suivant	∏ χΔ	P(i, ℓ)	carré compté
i = 1, ℓ = 1	courage	courage	1	1	1

Étape 8.1 (s). i = 1, ℓ = 1 : χ_Δ(courage, courage) = 1.

Étape 8.2 (s). Sq = 1 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(1) = 0 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1/2.

Étape 8.3. Cl(w) = 0 ; Ch(w) = χ_{1}(0) = 0 ; CS(w) = 1/2 ≈ 0,500 ; attendu : 1.

∴ « courage, courage » est un carré : Classic = 0. Mais la répétition est dans la parole citée du capitaine ; le récit, lui, est sobre. Faux négatif assumé : la mesure ne distingue pas la voix du narrateur de celle des personnages.

Exemple 9 – Faux positif assumé : l’accumulation baroque

Texte : « Le tonnerre, l’éclair, la foudre, l’orage, la tempête et les vents déchaînés hurlaient ensemble. »

Mots de s : t₁ = le ; t₂ = tonnerre ; t₃ = l ; t₄ = éclair ; t₅ = la ; t₆ = foudre ; t₇ = l ; t₈ = orage ; t₉ = la ; t₁₀ = tempête ; t₁₁ = et ; t₁₂ = les ; t₁₃ = vents ; t₁₄ = déchaînés ; t₁₅ = hurlaient ; t₁₆ = ensemble.

Étape 9.1 (s). Aucun bloc n’est suivi d’un bloc égal : pour tout ℓ et tout i, le produit ∏ χ_Δ vaut 0.

Étape 9.2 (s). Sq = 0 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(0) = 1 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1.

Étape 9.3. Cl(w) = 1 ; Ch(w) = χ_{1}(1) = 1 ; CS(w) = 1 ; attendu : 0.

∴ six noms, deux verbes, aucun mot répété : Sq = 0, Classic = 1. Mais l’accumulation de synonymes (tonnerre, éclair, foudre, orage, tempête) est un excès baroque, contraire à la mesure classique. Faux positif assumé : le redoublement n’est qu’un des traits du style classique.

Exemple 10 – Texte complet : trois phrases

Texte : « Ce que l’on conçoit bien s’énonce clairement, et les mots pour le dire arrivent aisément. Le temps, le temps passe et rien ne revient. Qui ne sait se borner ne sut jamais écrire. »

Mots de s₁ : t₁ = ce ; t₂ = que ; t₃ = l ; t₄ = on ; t₅ = conçoit ; t₆ = bien ; t₇ = s ; t₈ = énonce ; t₉ = clairement ; t₁₀ = et ; t₁₁ = les ; t₁₂ = mots ; t₁₃ = pour ; t₁₄ = le ; t₁₅ = dire ; t₁₆ = arrivent ; t₁₇ = aisément.

Étape 10.1 (s₁). Aucun bloc n’est suivi d’un bloc égal : pour tout ℓ et tout i, le produit ∏ χ_Δ vaut 0.

Étape 10.2 (s₁). Sq = 0 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(0) = 1 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1.

Mots de s₂ : t₁ = le ; t₂ = temps ; t₃ = le ; t₄ = temps ; t₅ = passe ; t₆ = et ; t₇ = rien ; t₈ = ne ; t₉ = revient.

position	bloc ti ⋯ ti+ℓ−1	bloc suivant	∏ χΔ	P(i, ℓ)	carré compté
i = 1, ℓ = 2	le temps	le temps	1	1	1

Étape 10.1 (s₂). i = 1, ℓ = 2 : χ_Δ(le, le) · χ_Δ(temps, temps) = 1.

Étape 10.2 (s₂). Sq = 1 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(1) = 0 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1/2.

Mots de s₃ : t₁ = qui ; t₂ = ne ; t₃ = sait ; t₄ = se ; t₅ = borner ; t₆ = ne ; t₇ = sut ; t₈ = jamais ; t₉ = écrire.

Étape 10.1 (s₃). Aucun bloc n’est suivi d’un bloc égal : pour tout ℓ et tout i, le produit ∏ χ_Δ vaut 0.

Étape 10.2 (s₃). Sq = 0 ; Cu = 0 ; Classic = χ_{0}(0) = 1 ; 1 / (1 + Sq + Cu) = 1.

Étape 10.3. Cl(w) = 2/3 ≈ 0,667 ; Ch(w) = χ_{1}(2/3) = 0 ; CS(w) = 5/6 ≈ 0,833 ; attendu : 0.

∴ la deuxième phrase contient l’épizeuxe « le temps, le temps » : Cl(w) = 2/3, Ch(w) = 0. CS(w) = (1 + 1/2 + 1) / 3 = 5/6 mesure la proportion : un seul redoublement dans trois phrases.

Exemple 10 : trois phrases, un redoublement.

13.8 Seuil ℓ₀ et versions de la définition

Le seuil ℓ₀ (longueur minimale du motif répété) est choisi par l’erreur ∑ |Ch − attendu| sur les dix textes, les verdicts attendus étant : 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0.

ℓ0 (mots)	erreurs ∑ |Ch − attendu|	textes mal jugés
1	2	ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
2	3	ex. 4 (1 au lieu de 0) ; ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
3	5	ex. 3 (1 au lieu de 0) ; ex. 4 (1 au lieu de 0) ; ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (1 au lieu de 0)

ℓ₀ = 2 perd l’épizeuxe d’un mot (« partez, partez ») et le triple refus, tout en corrigeant la parole citée ; ℓ₀ = 3 perd aussi « le temps, le temps ». On retient ℓ₀ = 1, la valeur de la source et la seule qui ne perde aucun redoublement d’un mot.

Sensibilité à la longueur minimale du motif.

Les versions de la définition :

version	erreurs ∑ |Ch − attendu|	textes mal jugés
source : carrés de lettres	4	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
carrés de mots, sans table des mots outils	3	ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
retenue	2	ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)

Sur les lettres, les doubles consonnes rendent non classiques Boileau lui-même et la phrase pronominale. Sans la table des mots outils, « nous nous » devient un redoublement. La version retenue garde deux erreurs assumées : la parole citée de l’exemple 8 et l’accumulation baroque de l’exemple 9.

Carrés de lettres et carrés de mots : les lettres doublées font des carrés dans presque toute phrase.

Erreurs des versions : les mots et la table des mots outils sont nécessaires.

13.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois la table des mots outils et le seuil ℓ₀ fixés, Sq, Cu, Classic, Cl, Ch et CS découlent nécessairement des mots ; les lemmes 1 à 3 sont des théorèmes de combinatoire des mots.
• Contingent : la table des mots outils est déclarée et propre à une langue ; l’agrandir ne peut que retirer des carrés, donc Classic ne peut que croître. Le lien entre absence de redoublement et classicisme est une thèse d’histoire littéraire, non une conséquence mathématique.
• Possible : tout texte sans redoublement est possiblement classique ; il peut être baroque par d’autres traits (exemple 9).

13.10 Justification et limites

La définition source traduisait une idée juste par l’outil exact de la combinatoire des mots : le classicisme refuse la répétition immédiate, et la répétition immédiate est un carré. L’indicatrice de l’égalité de deux blocs voisins en est la traduction directe. Il fallait compter tous les facteurs, corriger le calcul de abcabcabc, remarquer que le cube est déjà détecté par ses carrés, et passer des lettres aux mots, des facteurs aux phrases.

Trois limites sont assumées. La mesure ne voit qu’un trait du classicisme : un texte sans redoublement peut être chargé d’accumulations (exemple 9). Elle ne distingue pas la voix du narrateur de la parole citée (exemple 8). Enfin, les répétitions à distance (le même mot à deux vers d’intervalle, que Malherbe condamnait aussi) ne sont pas des carrés ; elles demanderaient une mesure de répétition dans une fenêtre de mots.

⁂

14. Climax (gradation) – Mécanisme en combinatoire des mots

14.1 Définition rhétorique

Le climax (du grec klimax, « échelle ») ou gradation ascendante dispose au moins trois termes dans un ordre d’intensité croissante, de sorte que chacun dépasse le précédent. Corneille en donne l’exemple le plus cité (Le Cid) : « Va, cours, vole, et nous venge » ; Molière la fait servir au comique (L’Avare) : « Je me meurs, je suis mort, je suis enterré » ; Rostand l’étire dans la tirade du nez (Cyrano de Bergerac) : « C’est un roc ! … c’est un pic ! … c’est un cap ! Que dis-je, c’est un cap ? … C’est une péninsule ! »

Trois traits la définissent : des termes d’une même échelle (le mouvement, la mort, la taille), qui se suivent en montant, et au moins trois termes : deux termes font une opposition ou une correction, non une gradation. La gradation descendante, qui fait chuter l’intensité, est une autre figure (l’anticlimax).

14.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée compte les suites de facteurs dont l’intensité croît strictement :

Clim(w) = | { (u₁, …, u_k) | I(u₁) < I(u₂) < ⋯ < I(u_k) } |.

Avec l’indicatrice de la demi-droite ]0, +∞[, chaque croissance devient un facteur 0 ou 1, la suite entière un produit, et le comptage une somme sur les choix d’indices :

Clim_k(w) = ∑_{1 ≤ i₁ < ⋯ < iₖ ≤ N} ∏_j=1^k−1 χ_{]0, +∞[}( I(f(i_j+1)) − I(f(i_j)) ), Clim(w) = ∑_k=3^N Clim_k(w).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les montées. Le produit des indicatrices de différences positives traduit exactement « chaque terme dépasse le précédent », et c’est le cœur de la gradation. Les exemples de l’énoncé source se recalculent ainsi :

exemple source	intensités I	valeur annoncée	sous-suites croissantes de longueur 3	Clim(w) = ∑k≥3 Climk(w)
1	(2, 5, 8, 10)	1 « pour cette suite »	4	5
2	(4, 9, 6)	0	0	0
3	(1, 4, 7, 3, 9)	Clim3 = 2	5 : (1, 4, 7), (1, 4, 9), (1, 7, 9), (1, 3, 9), (4, 7, 9)	6
pondéré	(2, 5, 11)	ClimScore = 9	1	(11 − 2) · 1 · 1 = 9

Les produits d’indicatrices sont justes, mais les sommes ne portent pas sur toutes les sous-suites que la formule énumère. Six précisions sont nécessaires :

1. L’exemple 3 n’examine que 4 des 10 triplets. La formule somme sur tous les i₁ < i₂ < i₃ ; parmi les 10 triplets de (1, 4, 7, 3, 9), cinq sont croissants : (1, 4, 7), (1, 4, 9), (1, 7, 9), (1, 3, 9), (4, 7, 9). Clim₃(w) = 5, non 2. De même, la formule globale donne 5 pour l’exemple 1 (quatre triplets et la suite entière), non 1.
2. Les sous-suites non consécutives fabriquent des gradations partout. Toute suite de 5 intensités distinctes contient une sous-suite croissante ou décroissante de 3 termes (lemme 1, théorème d’Erdős et Szekeres) : la somme sur les i₁ < ⋯ < iₖ trouve une montée dans presque tout texte assez long. La gradation est une suite de termes consécutifs : on compte des montées sans interruption.
3. Une gradation est comptée plusieurs fois. Une montée de L termes contient ∑_k≥3 C(L, k) sous-suites croissantes de longueur au moins 3 : la péninsule de Cyrano (4 termes) est comptée 5 fois (lemme 2). On compte les montées maximales, chacune une seule fois.
4. L’intensité I n’est pas définie. Les valeurs 2, 5, 8, 10 sont données sans procédure, et comparer l’intensité de « roc » à celle de « mourir » n’a pas de sens. On déclare des échelles : chacune range des mots d’un même domaine (va < cours < vole ; meurs < mort < enterré), et l’on ne compare que des mots d’une même échelle.
5. Fact(w) est un ensemble sans ordre. Les indices i₁ < i₂ < ⋯ de la formule supposent un ordre que l’ensemble des facteurs n’a pas ; c’est l’ordre des mots dans la phrase qui fait la gradation. On numérote les mots d’échelle dans l’ordre de la phrase.
6. Le seuil k ≥ 3 est juste et doit être vérifié. La version globale part de k = 3, conformément à la rhétorique ; on le vérifie sur les exemples (section 14.8). La version pondérée est conservée : l’amplitude I(u_k) − I(u₁) d’une montée maximale mesure la force de la gradation.

Exemple source 3 : cinq sous-suites croissantes de longueur 3, et non deux.

14.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance à une échelle : χ_σ(t) = 1 si le mot t appartient à l’échelle σ ;
• « monte » : χ_{]0, +∞[}(I_j+1 − I_j) = 1 si le rang du terme suivant est strictement plus grand ;
• « sans interruption » : la longueur de montée λ_j+1 = 1 + λ_j · a_j se remet à 1 dès qu’un pas ne monte pas ;
• « au moins k₀ termes » : χ_{[k₀, +∞[}(λ) ;
• « il existe » : χ_{[1, +∞[}(Clim) = 1 si le texte contient au moins une gradation.

14.4 Les objets, définis pas à pas

a) Les phrases et les mots

Le texte est découpé en phrases après les signes . ! ? ; chaque phrase est mise en minuscules, les élisions sont détachées, la ponctuation est retirée. La gradation se déploie dans une phrase, ses termes séparés par des virgules ou des points d’exclamation.

b) Les échelles

échelle σ	mots et rangs I
mouvement	marche (1), va (1), court (2), cours (2), vole (3)
mort	meurs (1), mort (2), enterré (3)
taille	roc (1), pic (2), cap (3), péninsule (4)
biens	chapeau (1), maison (2), fortune (3)
nombre	deux (1), dix (2), cent (3), mille (4)

Deux mots d’une même échelle peuvent avoir le même rang (marche, va) : ils ne montent pas l’un par rapport à l’autre. Pourquoi des échelles séparées : l’intensité n’a de sens qu’à l’intérieur d’un domaine.

c) La suite des termes d’une échelle

Pour chaque échelle σ, on relève dans l’ordre de la phrase les mots qui lui appartiennent : e₁, …, e_r, de rangs I₁, …, I_r. Les autres mots (pronoms, verbes de liaison, mots d’autres échelles) sont ignorés : « je suis » entre « mort » et « enterré » n’interrompt pas la gradation.

d) Les pas, les montées et leurs fins

a_j = χ_{]0, +∞[}(I_j+1 − I_j), λ₁ = 1, λ_j+1 = 1 + λ_j · a_j, fin_j = 1 − a_j (j < r), fin_r = 1.

a_j vaut 1 si le pas monte ; λ_j est le nombre de termes de la montée qui finit en e_j ; fin_j vaut 1 si cette montée s’arrête en e_j. Une gradation est une montée maximale d’au moins k₀ termes ; son premier terme est en position b = j − λ_j + 1, et son amplitude est I_j − I_b, différence des rangs de son dernier et de son premier terme.

Lemme 1 (Erdős–Szekeres). Toute suite de plus de (a − 1)(b − 1) nombres distincts contient une sous-suite croissante de a termes ou une sous-suite décroissante de b termes. Pour a = b = 3 : toute suite de 5 rangs distincts contient une sous-suite monotone de 3 termes ; sur les 120 ordres de 5 rangs, aucun n’y échappe. ∴ compter les sous-suites non consécutives trouve une gradation ou une gradation inverse dans tout texte assez riche en mots d’échelle.

Lemme 2 (multiplicité). Une montée de L termes contient ∑_k=3^L C(L, k) = 2^L − 1 − L − L(L − 1)/2 sous-suites croissantes d’au moins 3 termes : 1 pour L = 3, 5 pour L = 4, 16 pour L = 5. ∴ la formule source compte une gradation de L termes autant de fois.

Lemme 3 (montées disjointes). Les montées maximales d’une suite sont disjointes et chacune a exactement une fin (fin_j = 1). ∴ ∑_j fin_j · χ_{[k₀, +∞[}(λ_j) compte chaque gradation une seule fois.

Lemme 1 : les 120 ordres de 5 rangs distincts contiennent tous une sous-suite monotone de 3 termes.

Exemple 6 : deux montées de 2 termes, aucune gradation ; la sous-suite croissante enjambe la chute.

14.5 Définition mathématique

Clim(s) = ∑_σ ∑_j=1^r fin_j · χ_{[k₀, +∞[}(λ_j), Clim(w) = ∑_k=1^N Clim(s_k), Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(Clim(w)), k₀ = 3.

ClimScore(w) = ∑ (I_j − I_b) · fin_j · χ_{[k₀, +∞[}(λ_j), b = j − λ_j + 1, somme sur les phrases, les échelles et les positions j.

Clim(w) est le nombre de gradations du texte ; Gr(w) vaut 1 s’il en contient au moins une ; ClimScore(w) est la version pondérée de la source, l’amplitude totale des gradations, calculée une fois par gradation.

La définition complète : pas, longueur de montée, fins de montée, seuil k₀ = 3.

L’arbre de décision de la gradation.

14.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Découper le texte en phrases ; mettre en minuscules ; détacher les élisions ; retirer la ponctuation.
2. Pour chaque échelle σ, relever ses mots dans l’ordre de la phrase et leurs rangs I₁, …, I_r.
3. Calculer les pas a_j = 1 si I_j+1 > I_j, les longueurs λ_j et les fins fin_j.
4. Compter les positions où fin_j = 1 et λ_j ≥ k₀ = 3 : Clim(s) ; ajouter les amplitudes : ClimScore.
5. Clim(w) = somme sur les phrases ; Gr(w) = 1 si Clim(w) ≥ 1.

14.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne, pour chaque échelle présente, le tableau des termes avec leur rang, le pas, la longueur de montée et la fin ; puis le compte, l’amplitude et la lecture source par sous-suites croissantes.

Exemple 1 – Corneille, Le Cid : la gradation du mouvement

Texte : « Va, cours, vole, et nous venge. »

terme	mot	position dans la phrase	rang Ij	aj = χ]0, +∞[(Ij+1 − Ij)	λj	finj	finj · χ[3, +∞[(λj)
e1	va	1	1	1	1	0	0
e2	cours	2	2	1	2	0	0
e3	vole	3	3	—	3	1	1

Étape 1.1 (s, échelle « mouvement »). a₁ = χ_{]0, +∞[}(2 − 1) = 1 ; a₂ = χ_{]0, +∞[}(3 − 2) = 1.

Étape 1.2 (s). λ = (1, 2, 3) ; gradations : 1 ; amplitude : 2 ; sous-suites croissantes (source) : 1.

Étape 1.3. Clim(w) = 1 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; ClimScore = 2 ; attendu : 1 gradation(s).

∴ va (1), cours (2), vole (3) : deux pas montants, une montée de 3 termes qui finit en « vole ». Clim = 1, amplitude 2. « venge » n’est pas dans l’échelle : il conclut sans monter.

Exemple 2 – Molière, L’Avare : la gradation de la mort

Texte : « Je me meurs, je suis mort, je suis enterré. »

terme	mot	position dans la phrase	rang Ij	aj = χ]0, +∞[(Ij+1 − Ij)	λj	finj	finj · χ[3, +∞[(λj)
e1	meurs	3	1	1	1	0	0
e2	mort	6	2	1	2	0	0
e3	enterré	9	3	—	3	1	1

Étape 2.1 (s, échelle « mort »). a₁ = χ_{]0, +∞[}(2 − 1) = 1 ; a₂ = χ_{]0, +∞[}(3 − 2) = 1.

Étape 2.2 (s). λ = (1, 2, 3) ; gradations : 1 ; amplitude : 2 ; sous-suites croissantes (source) : 1.

Étape 2.3. Clim(w) = 1 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; ClimScore = 2 ; attendu : 1 gradation(s).

∴ meurs (1), mort (2), enterré (3) : « je suis » entre les termes n’interrompt pas la suite de l’échelle. Clim = 1.

Exemple 3 – Rostand, Cyrano : quatre degrés

Texte : « C’est un roc, c’est un pic, c’est un cap, que dis-je, c’est une péninsule ! »

terme	mot	position dans la phrase	rang Ij	aj = χ]0, +∞[(Ij+1 − Ij)	λj	finj	finj · χ[3, +∞[(λj)
e1	roc	4	1	1	1	0	0
e2	pic	8	2	1	2	0	0
e3	cap	12	3	1	3	0	0
e4	péninsule	18	4	—	4	1	1

Étape 3.1 (s, échelle « taille »). a₁ = χ_{]0, +∞[}(2 − 1) = 1 ; a₂ = χ_{]0, +∞[}(3 − 2) = 1 ; a₃ = χ_{]0, +∞[}(4 − 3) = 1.

Étape 3.2 (s). λ = (1, 2, 3, 4) ; gradations : 1 ; amplitude : 3 ; sous-suites croissantes (source) : 5.

Étape 3.3. Clim(w) = 1 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; ClimScore = 3 ; attendu : 1 gradation(s).

∴ roc, pic, cap, péninsule : une montée de 4 termes, comptée une fois (amplitude 3). La lecture source par sous-suites la compte 5 fois (lemme 2).

Les gradations de Corneille et de Rostand : chaque terme dépasse le précédent.

Exemple 4 – La gradation descendante : une chute

Texte : « Il perdit sa fortune, sa maison, puis son chapeau. »

terme	mot	position dans la phrase	rang Ij	aj = χ]0, +∞[(Ij+1 − Ij)	λj	finj	finj · χ[3, +∞[(λj)
e1	fortune	4	3	0	1	1	0
e2	maison	6	2	0	1	1	0
e3	chapeau	9	1	—	1	1	0

Étape 4.1 (s, échelle « biens »). a₁ = χ_{]0, +∞[}(2 − 3) = 0 ; a₂ = χ_{]0, +∞[}(1 − 2) = 0.

Étape 4.2 (s). λ = (1, 1, 1) ; gradations : 0 ; amplitude : 0 ; sous-suites croissantes (source) : 0.

Étape 4.3. Clim(w) = 0 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; ClimScore = 0 ; attendu : 0 gradation(s).

∴ fortune (3), maison (2), chapeau (1) : les deux pas descendent, a = (0, 0) ; chaque montée a un seul terme. Clim = 0 : c’est une chute, un anticlimax, non une gradation.

Montée et descente : la gradation exige des pas tous montants.

Exemple 5 – Deux degrés seulement

Texte : « Il court, puis il vole. »

terme	mot	position dans la phrase	rang Ij	aj = χ]0, +∞[(Ij+1 − Ij)	λj	finj	finj · χ[3, +∞[(λj)
e1	court	2	2	1	1	0	0
e2	vole	5	3	—	2	1	0

Étape 5.1 (s, échelle « mouvement »). a₁ = χ_{]0, +∞[}(3 − 2) = 1.

Étape 5.2 (s). λ = (1, 2) ; gradations : 0 ; amplitude : 0 ; sous-suites croissantes (source) : 0.

Étape 5.3. Clim(w) = 0 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; ClimScore = 0 ; attendu : 0 gradation(s).

∴ court (2), vole (3) : une montée de 2 termes seulement. Clim = 0 avec k₀ = 3 ; avec k₀ = 2, ce simple renchérissement serait compté.

Exemple 6 – Une suite en désordre

Texte : « Il compta dix, puis cent, puis deux, puis mille. »

terme	mot	position dans la phrase	rang Ij	aj = χ]0, +∞[(Ij+1 − Ij)	λj	finj	finj · χ[3, +∞[(λj)
e1	dix	3	2	1	1	0	0
e2	cent	5	3	0	2	1	0
e3	deux	7	1	1	1	0	0
e4	mille	9	4	—	2	1	0

Étape 6.1 (s, échelle « nombre »). a₁ = χ_{]0, +∞[}(3 − 2) = 1 ; a₂ = χ_{]0, +∞[}(1 − 3) = 0 ; a₃ = χ_{]0, +∞[}(4 − 1) = 1.

Étape 6.2 (s). λ = (1, 2, 1, 2) ; gradations : 0 ; amplitude : 0 ; sous-suites croissantes (source) : 1.

Étape 6.3. Clim(w) = 0 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; ClimScore = 0 ; attendu : 0 gradation(s).

∴ dix (2), cent (3), deux (1), mille (4) : deux montées de 2 termes, séparées par la chute vers « deux ». Clim = 0. La lecture source trouve la sous-suite croissante (dix, cent, mille), qui enjambe la chute.

Exemple 7 – Une phrase sans échelle

Texte : « Le chat dort sur le canapé. »

Étape 7.1 (s). Aucun mot de la phrase n’appartient à une échelle : Clim(s) = 0.

Étape 7.3. Clim(w) = 0 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; ClimScore = 0 ; attendu : 0 gradation(s).

∴ aucun mot d’échelle : Clim = 0.

Exemple 8 – Faux positif assumé : une mesure

Texte : « Le compteur passa de deux à dix, puis à cent. »

terme	mot	position dans la phrase	rang Ij	aj = χ]0, +∞[(Ij+1 − Ij)	λj	finj	finj · χ[3, +∞[(λj)
e1	deux	5	1	1	1	0	0
e2	dix	7	2	1	2	0	0
e3	cent	10	3	—	3	1	1

Étape 8.1 (s, échelle « nombre »). a₁ = χ_{]0, +∞[}(2 − 1) = 1 ; a₂ = χ_{]0, +∞[}(3 − 2) = 1.

Étape 8.2 (s). λ = (1, 2, 3) ; gradations : 1 ; amplitude : 2 ; sous-suites croissantes (source) : 1.

Étape 8.3. Clim(w) = 1 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; ClimScore = 2 ; attendu : 0 gradation(s).

∴ deux (1), dix (2), cent (3) : une montée de 3 termes, Clim = 1. Mais c’est la mesure d’un compteur, non une figure : faux positif assumé. L’échelle des nombres reconnaît la croissance, non l’intention d’amplifier.

Exemple 9 – Faux négatif assumé : hors des échelles

Texte : « Il hésita, il trembla, il s’effondra. »

Étape 9.1 (s). Aucun mot de la phrase n’appartient à une échelle : Clim(s) = 0.

Étape 9.3. Clim(w) = 0 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; ClimScore = 0 ; attendu : 1 gradation(s).

∴ hésita, trembla, s’effondra montent en intensité, mais aucun de ces verbes n’est dans une échelle déclarée : Clim = 0. Faux négatif assumé : la mesure dépend des échelles déclarées.

Exemple 10 – Texte complet : trois phrases

Texte : « Va, cours, vole, et nous venge. Le chat dort sur le canapé. Je me meurs, je suis mort, je suis enterré. »

terme	mot	position dans la phrase	rang Ij	aj = χ]0, +∞[(Ij+1 − Ij)	λj	finj	finj · χ[3, +∞[(λj)
e1	va	1	1	1	1	0	0
e2	cours	2	2	1	2	0	0
e3	vole	3	3	—	3	1	1

Étape 10.1 (s₁, échelle « mouvement »). a₁ = χ_{]0, +∞[}(2 − 1) = 1 ; a₂ = χ_{]0, +∞[}(3 − 2) = 1.

Étape 10.2 (s₁). λ = (1, 2, 3) ; gradations : 1 ; amplitude : 2 ; sous-suites croissantes (source) : 1.

Étape 10.1 (s₂). Aucun mot de la phrase n’appartient à une échelle : Clim(s₂) = 0.

terme	mot	position dans la phrase	rang Ij	aj = χ]0, +∞[(Ij+1 − Ij)	λj	finj	finj · χ[3, +∞[(λj)
e1	meurs	3	1	1	1	0	0
e2	mort	6	2	1	2	0	0
e3	enterré	9	3	—	3	1	1

Étape 10.1 (s₃, échelle « mort »). a₁ = χ_{]0, +∞[}(2 − 1) = 1 ; a₂ = χ_{]0, +∞[}(3 − 2) = 1.

Étape 10.2 (s₃). λ = (1, 2, 3) ; gradations : 1 ; amplitude : 2 ; sous-suites croissantes (source) : 1.

Étape 10.3. Clim(w) = 1 + 0 + 1 = 2 ; Gr(w) = χ_{[1, +∞[}(2) = 1 ; ClimScore = 4 ; attendu : 2 gradation(s).

∴ la première phrase porte la gradation du mouvement, la troisième celle de la mort, la deuxième aucune : Clim(w) = 1 + 0 + 1 = 2, ClimScore = 4, Gr(w) = 1.

Exemple 10 : trois phrases, deux gradations.

14.8 Seuil k₀ et versions de la définition

Le nombre minimal de termes k₀ est choisi par l’erreur ∑ |Clim − attendu| sur les dix textes, les nombres attendus étant : 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2.

k0	erreurs ∑ |Clim − attendu|	textes mal jugés
2	5	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 6 (2 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
3	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
4	5	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 2)

k₀ = 2 compte les renchérissements de deux termes et les deux montées de la suite en désordre ; k₀ = 4 ne garde que la tirade de Cyrano. k₀ = 3, la valeur de la rhétorique et de la source, donne la plus petite erreur.

Sensibilité au nombre minimal de termes.

Les versions de la définition :

version	erreurs ∑ |Clim − attendu|	textes mal jugés
source : sous-suites croissantes d’au moins 3 termes, par échelle	7	ex. 3 (5 au lieu de 1) ; ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
montées consécutives d’au moins 2 termes	5	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 6 (2 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
retenue	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)

La lecture par sous-suites compte cinq fois la tirade de Cyrano et trouve une gradation dans la suite en désordre. La version retenue garde deux erreurs assumées : le compteur de l’exemple 8 et la gradation hors échelle de l’exemple 9.

Erreurs des versions : les termes consécutifs et le seuil de trois termes sont nécessaires.

14.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois les échelles et k₀ fixés, a, λ, fin, Clim et ClimScore découlent nécessairement des mots ; les lemmes 1 à 3 sont des théorèmes de combinatoire.
• Contingent : les échelles et les rangs sont déclarés et propres à une langue ; ajouter un mot à une échelle peut créer ou briser une montée, de sorte que Clim n’est pas monotone en la taille des échelles.
• Possible : toute montée de trois mots d’une même échelle est possiblement une gradation ; une mesure chiffrée peut la réaliser sans intention d’amplifier (exemple 8).

14.10 Justification et limites

La définition source traduisait exactement le principe de la gradation, chaque terme dépasse le précédent, par un produit d’indicatrices de différences positives. Il fallait donner à l’intensité des échelles déclarées, remplacer les sous-suites quelconques par des montées consécutives (le lemme 1 montre que les sous-suites trouvent des montées partout), compter chaque montée une seule fois (lemme 2) et garder le seuil rhétorique de trois termes. La récurrence λ_j+1 = 1 + λ_j · a_j fait ce calcul en un passage.

Trois limites sont assumées. Une croissance mesurée n’est pas toujours une figure (exemple 8). Les gradations dont les termes ne sont pas dans une échelle déclarée échappent au calcul (exemple 9) ; elles demanderaient des échelles d’intensité plus larges. Enfin, la gradation descendante (l’anticlimax) se mesure par la même formule avec χ_{]0, +∞[}(I_j − I_j+1) ; elle relève d’une autre fiche.

⁂

15. Colon (membre de période) – Mécanisme en combinatoire des mots

15.1 Définition rhétorique

Le colon (du grec kôlon, « membre ») est l’un des membres d’une période, la phrase ample et construite de l’éloquence classique. Aristote, puis Cicéron et Quintilien, distinguent le komma (l’incise, membre très court), le colon (le membre, groupe syntaxique complet) et la période, qui réunit plusieurs colons et n’achève son sens qu’à la fin. Dans la période, les premiers membres suspendent le sens (c’est la protase, qui monte) ; le dernier le conclut (c’est l’apodose, qui retombe).

Quatre traits définissent le colon, et chacun deviendra une fonction calculable :

• une structure syntaxique : le membre contient un verbe ; un simple groupe nominal n’est pas un colon ;
• la dépendance logique : il commence par un mot qui le subordonne (quand, si, lorsque, que…) et ne peut pas tenir seul ;
• la suspension : un autre membre le suit, qui achève le sens ; une subordonnée placée en fin de phrase complète la phrase, elle ne la suspend pas ;
• l’ampleur : le membre a une certaine longueur ; l’incise « comme on dit » est un komma, non un colon.

15.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée compte les facteurs qui ont une structure syntaxique sans être logiquement autonomes :

Col(w) = | { u ∈ Fact(w) | Syn(u) = 1 ∧ u n’est pas logiquement autonome } |.

Avec les indicatrices χ_{1}(Syn(u)) et χ_{0}(Auto(u)), elle devient une somme de produits ; une variante remplace Auto par un degré de dépendance D(u) envers la suite :

Col(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{1}(Syn(u)) · χ_{0}(Auto(u)), Col(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{1}(Syn(u)) · χ_{]0, +∞[}(D(u)), ColScore(w) = ∑_u Syn(u) · D(u).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les membres construits qui appellent une suite. Le produit de l’indicatrice de structure et de l’indicatrice de non-autonomie traduit exactement le colon, et c’est le cœur de la définition. Les exemples de l’énoncé source se recalculent ainsi :

exemple source	facteur	Syn(u)	Auto(u) ou D(u)	contribution
1	u1	1	Auto = 0	1
1	u2	1	Auto = 1	0
1	u3	0	Auto = 0	0
1	u4	1	Auto = 0	1
2	u1	1	Auto = 0	1
2	u2	1	Auto = 0	1
2	u3	1	Auto = 1	0
2	u4	0	Auto = 0	0
2	u5	1	Auto = 0	1
3	u1	1	D = 2	1
3	u2	1	D = 0	0
3	u3	1	D = 4	1

Les sommes donnent 2, 3 et 2, et ColScore = 3 + 5 + 2 + 0 = 10 : les calculs sont justes. Mais Syn, Auto et D sont donnés à la main. Six précisions sont nécessaires :

1. Syn, Auto et D ne sont pas définis. On déclare trois tables : V (formes verbales), S (mots subordonnants : quand, si, lorsque, que…) et C (coordonnants : et, ou, mais). Syn(m) = 1 si le membre contient un verbe de V ; Dep(m) = 1 s’il commence par un subordonnant, ou par un coordonnant suivi d’un subordonnant (« et que »).
2. χ_{1}(Syn(u)) répète l’indicatrice. Syn vaut déjà 0 ou 1, donc χ_{1}(Syn(u)) = Syn(u) ; de même χ_{0}(Auto(u)) = 1 − Auto(u). Ces compositions sont justes mais superflues.
3. La somme sur Fact(w) compte des morceaux qui se recouvrent. Tout facteur qui commence par « si » et contient un verbe est compté : l’exemple 2 compte 5 facteurs sur 28 pour un seul colon (lemme 1). L’unité est le membre, coupé aux signes , ; : —.
4. La non-autonomie doit être relative à la suite. La variante D(u) le dit (« dépendance envers le facteur suivant ») sans le calculer. Une subordonnée finale (« nous partirons ensemble, si tu viens demain ») ne suspend rien : on exige qu’un membre la suive, χ_{[1, +∞[}(K − k), où K est le nombre de membres et k le rang du membre.
5. Le colon se distingue du komma. Les rhéteurs opposent le membre à l’incise ; on exige une longueur minimale μ, choisie sur les exemples (section 15.8).
6. La version pondérée n’est pas retenue. D(u) n’a ni échelle ni procédure, et ColScore n’emploie plus le test d’autonomie. On mesure à la place la période : une phrase est périodique si elle contient au moins un colon et finit par un membre autonome.

Les exemples source : les produits sont justes, mais Syn, Auto et D sont donnés à la main.

15.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance aux tables : χ_V(t), χ_S(t), χ_C(t) ;
• « au moins un » : χ_{[1, +∞[}(n) = 1 si n ≥ 1, pour « contient un verbe » et « est suivi d’un membre » (n = K − k) ;
• « ou » : χ_{[1, +∞[}(χ_S(t₁) + χ_C(t₁) · χ_S(t₂)) : premier mot subordonnant, ou coordonnant suivi d’un subordonnant ;
• « au moins μ mots » : χ_{[μ, +∞[}(|m|) ;
• « et » : le produit des quatre indicatrices.

15.4 Les objets, définis pas à pas

a) Les phrases, les membres, les mots

Le texte est découpé en phrases après . ! ? ; chaque phrase est découpée en membres m₁, …, m_K aux signes , ; : — (la ponctuation qui sépare les membres d’une période). Chaque membre est mis en minuscules, ses élisions sont détachées ; ses mots sont t₁, …, t_|m|, et |m| est leur nombre.

b) Les trois tables

table	rôle	mots
V	formes verbales	lève, reprennent, brille, reprend, viens, partirons, dort, veille, tait, partit, dit, tombe, apparaissent, reviennent, prêté, lu, es, est, soit, passera
S	subordonnants	quand, lorsque, si, comme, puisque, parce, bien, que, qu, tandis, afin, dès, pendant
C	coordonnants	et, ou, mais, puis

La table V ne contient que les formes conjuguées ou participiales des exemples : un infinitif (« laisser ») ne fait pas d’un groupe prépositionnel un membre verbal.

c) Les quatre indicatrices du membre

Syn(m) = χ_{[1, +∞[}( ∑_i=1^|m| χ_V(t_i) ), Dep(m) = χ_{[1, +∞[}( χ_S(t₁) + χ_C(t₁) · χ_S(t₂) ),

Colon(m_k) = Syn(m_k) · Dep(m_k) · χ_{[1, +∞[}(K − k) · χ_{[μ, +∞[}(|m_k|), Auto(m) = Syn(m) · (1 − Dep(m)).

Auto(m) vaut 1 pour un membre verbal qui ne commence pas par un subordonnant : il peut tenir seul. La période est la phrase dont les colons sont suivis d’un membre autonome final :

Pér(s) = χ_{[1, +∞[}( ∑_k=1^K Colon(m_k) ) · Auto(m_K).

Lemme 1 (facteurs englobants). Si un facteur u commence par un subordonnant et contient un verbe, tout facteur qui commence au même mot et prolonge u vers la droite est compté par la formule source. ∴ si le premier verbe après « si » est suivi de n mots, la formule compte n + 1 facteurs qui commencent à « si » : dans l’exemple 2, « viens » est suivi de 4 mots, d’où 5 facteurs pour un seul colon.

Lemme 2 (position). Le dernier membre d’une phrase n’est jamais un colon : χ_{[1, +∞[}(K − K) = 0. ∴ une phrase d’un seul membre n’a pas de colon, et une période a au moins deux membres.

Lemme 3 (monotonie en μ). Si μ ≤ μ′, alors χ_{[μ′, +∞[}(|m|) ≤ χ_{[μ, +∞[}(|m|). ∴ augmenter μ ne peut que retirer des colons ; la table de seuils (section 15.8) est décroissante ligne par ligne.

Exemple 2 : 5 facteurs comptés sur 28 pour un seul colon (lemme 1).

La position : la même subordonnée est un colon en tête de phrase, non en fin de phrase.

15.5 Définition mathématique

Col(w) = ∑_s ∑_k=1^K Syn(m_k) · Dep(m_k) · χ_{[1, +∞[}(K − k) · χ_{[μ, +∞[}(|m_k|), Co(w) = χ_{[1, +∞[}(Col(w)), μ = 4.

Col(w) est le nombre de colons du texte ; Co(w) vaut 1 s’il en contient au moins un ; la part des phrases périodiques, (1 / N) · ∑ Pér(s), mesure l’ampleur du style périodique.

La définition complète : un verbe, un début dépendant, un membre qui suit, au moins μ mots.

L’arbre de décision du colon.

15.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Découper le texte en phrases, puis chaque phrase en membres aux signes , ; : — ; mettre en minuscules ; détacher les élisions.
2. Pour chaque membre, calculer Syn (un verbe de V), Dep (premier mot dans S, ou coordonnant suivi d’un mot de S), le nombre de mots |m| et le rang k.
3. Colon(m_k) = 1 si Syn = 1, Dep = 1, k < K et |m_k| ≥ μ = 4.
4. Col(w) = somme sur les membres et les phrases ; Pér(s) = 1 si la phrase a un colon et finit par un membre autonome.
5. Co(w) = 1 si Col(w) ≥ 1.

15.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne le tableau des membres avec leurs indicatrices, le calcul du produit pour chaque membre, puis le compte, la période et la lecture source par facteurs.

Exemple 1 – La période : trois membres suspendus

Texte : « Quand le soleil se lève sur la plaine, que les oiseaux reprennent leurs chants, et que la rosée brille encore, le voyageur reprend sa route. »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Quand le soleil se lève sur la plaine	8	1	1	4 − 1 = 3	1	1	0
m2	que les oiseaux reprennent leurs chants	6	1	1	4 − 2 = 2	1	1	0
m3	et que la rosée brille encore	6	1	1	4 − 3 = 1	1	1	0
m4	le voyageur reprend sa route	5	1	0	4 − 4 = 0	1	0	1

Étape 1.1 (s, m₁). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(3) · χ_{[4, +∞[}(8) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 1.1 (s, m₂). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(2) · χ_{[4, +∞[}(6) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 1.1 (s, m₃). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(6) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 1.1 (s, m₄). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(5) = 1 · 0 · 0 · 1 = 0.

Étape 1.2 (s). Col(s) = 3 ; Pér(s) = χ_{[1, +∞[}(3) · Auto(m₄) = 1 ; lecture source : 49 facteurs comptés sur 325.

Étape 1.3. Col(w) = 3 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(3) = 1 ; attendu : 3 colon(s).

∴ trois membres dépendants (quand, que, et que), verbaux, suivis et assez longs : trois colons, que le membre autonome « le voyageur reprend sa route » vient conclure. Col = 3, Pér = 1 : la période type.

Exemple 1 : trois colons suspendus, puis le membre autonome qui clôt la période.

Exemple 2 – La période à deux membres

Texte : « Si tu viens demain, nous partirons ensemble. »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Si tu viens demain	4	1	1	2 − 1 = 1	1	1	0
m2	nous partirons ensemble	3	1	0	2 − 2 = 0	0	0	1

Étape 2.1 (s, m₁). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(4) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 2.1 (s, m₂). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 0 · 0 · 0 = 0.

Étape 2.2 (s). Col(s) = 1 ; Pér(s) = χ_{[1, +∞[}(1) · Auto(m₂) = 1 ; lecture source : 5 facteurs comptés sur 28.

Étape 2.3. Col(w) = 1 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1 colon(s).

∴ « si tu viens demain » (4 mots) suspend le sens, « nous partirons ensemble » le conclut : Col = 1, Pér = 1.

Exemple 3 – Trois propositions autonomes

Texte : « Le chat dort, le chien veille, la maison se tait. »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Le chat dort	3	1	0	3 − 1 = 2	0	0	1
m2	le chien veille	3	1	0	3 − 2 = 1	0	0	1
m3	la maison se tait	4	1	0	3 − 3 = 0	1	0	1

Étape 3.1 (s, m₁). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(2) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 0 · 1 · 0 = 0.

Étape 3.1 (s, m₂). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 0 · 1 · 0 = 0.

Étape 3.1 (s, m₃). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(4) = 1 · 0 · 0 · 1 = 0.

Étape 3.2 (s). Col(s) = 0 ; Pér(s) = χ_{[1, +∞[}(0) · Auto(m₃) = 0 ; lecture source : 0 facteurs comptés sur 55.

Étape 3.3. Col(w) = 0 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0 colon(s).

∴ trois membres verbaux, aucun ne commence par un subordonnant : chacun tient seul. Col = 0 : c’est une juxtaposition, non une période.

Exemple 4 – La subordonnée finale : aucune suspension

Texte : « Nous partirons ensemble, si tu viens demain. »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Nous partirons ensemble	3	1	0	2 − 1 = 1	0	0	1
m2	si tu viens demain	4	1	1	2 − 2 = 0	1	0	0

Étape 4.1 (s, m₁). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 0 · 1 · 0 = 0.

Étape 4.1 (s, m₂). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(4) = 1 · 1 · 0 · 1 = 0.

Étape 4.2 (s). Col(s) = 0 ; Pér(s) = χ_{[1, +∞[}(0) · Auto(m₂) = 0 ; lecture source : 2 facteurs comptés sur 28.

Étape 4.3. Col(w) = 0 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0 colon(s).

∴ les mêmes mots que l’exemple 2, dans l’ordre inverse : la subordonnée est le dernier membre, χ_{[1, +∞[}(2 − 2) = 0. Col = 0 : elle complète la phrase sans la suspendre.

Exemple 5 – Le komma : une incise trop courte

Texte : « Il partit, comme on dit, sans laisser d’adresse. »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Il partit	2	1	0	3 − 1 = 2	0	0	1
m2	comme on dit	3	1	1	3 − 2 = 1	0	0	0
m3	sans laisser d’adresse	4	0	0	3 − 3 = 0	1	0	0

Étape 5.1 (s, m₁). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(2) · χ_{[4, +∞[}(2) = 1 · 0 · 1 · 0 = 0.

Étape 5.1 (s, m₂). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 1 · 1 · 0 = 0.

Étape 5.1 (s, m₃). Colon = 0 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(4) = 0 · 0 · 0 · 1 = 0.

Étape 5.2 (s). Col(s) = 0 ; Pér(s) = χ_{[1, +∞[}(0) · Auto(m₃) = 0 ; lecture source : 5 facteurs comptés sur 45.

Étape 5.3. Col(w) = 0 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0 colon(s).

∴ « comme on dit » est dépendant, verbal et suivi, mais n’a que 3 mots : c’est un komma. Col = 0.

Longueur des membres dépendants, verbaux et suivis : le komma « comme on dit » reste sous le seuil.

Exemple 6 – Un membre sans verbe

Texte : « Comme chaque année au début du printemps, les cigognes reviennent. »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Comme chaque année au début du printemps	7	0	1	2 − 1 = 1	1	0	0
m2	les cigognes reviennent	3	1	0	2 − 2 = 0	0	0	1

Étape 6.1 (s, m₁). Colon = 0 · 1 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(7) = 0 · 1 · 1 · 1 = 0.

Étape 6.1 (s, m₂). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 0 · 0 · 0 = 0.

Étape 6.2 (s). Col(s) = 0 ; Pér(s) = χ_{[1, +∞[}(0) · Auto(m₂) = 0 ; lecture source : 1 facteurs comptés sur 55.

Étape 6.3. Col(w) = 0 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0 colon(s).

∴ « comme chaque année au début du printemps » commence par un subordonnant et suspend le sens, mais n’a pas de verbe : c’est un complément, non un membre construit. Col = 0.

Exemple 7 – Le colon de quatre mots

Texte : « Lorsque la nuit tombe, les étoiles apparaissent. »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Lorsque la nuit tombe	4	1	1	2 − 1 = 1	1	1	0
m2	les étoiles apparaissent	3	1	0	2 − 2 = 0	0	0	1

Étape 7.1 (s, m₁). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(4) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 7.1 (s, m₂). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 0 · 0 · 0 = 0.

Étape 7.2 (s). Col(s) = 1 ; Pér(s) = χ_{[1, +∞[}(1) · Auto(m₂) = 1 ; lecture source : 4 facteurs comptés sur 28.

Étape 7.3. Col(w) = 1 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1 colon(s).

∴ « lorsque la nuit tombe » a exactement 4 mots : avec μ = 4 c’est un colon ; avec μ = 5, il serait perdu. Col = 1, Pér = 1.

Exemple 8 – Faux positif assumé : l’exclamation

Texte : « Que tu es belle, ô mon amie ! »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Que tu es belle	4	1	1	2 − 1 = 1	1	1	0
m2	ô mon amie	3	0	0	2 − 2 = 0	0	0	0

Étape 8.1 (s, m₁). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(4) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 8.1 (s, m₂). Colon = 0 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(3) = 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

Étape 8.2 (s). Col(s) = 1 ; Pér(s) = χ_{[1, +∞[}(1) · Auto(m₂) = 0 ; lecture source : 5 facteurs comptés sur 28.

Étape 8.3. Col(w) = 1 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 0 colon(s).

∴ « que tu es belle » commence par « que », a un verbe, est suivi d’un membre et a 4 mots : Col = 1. Mais ce « que » est exclamatif, non subordonnant : le membre est autonome. Faux positif assumé ; Pér = 0, car le dernier membre « ô mon amie » n’a pas de verbe.

Exemple 9 – Faux négatif assumé : la dislocation

Texte : « Le livre que tu m’as prêté, je l’ai lu en une nuit. »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Le livre que tu m’as prêté	7	1	0	2 − 1 = 1	1	0	1
m2	je l’ai lu en une nuit	7	1	0	2 − 2 = 0	1	0	1

Étape 9.1 (s, m₁). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(7) = 1 · 0 · 1 · 1 = 0.

Étape 9.1 (s, m₂). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(7) = 1 · 0 · 0 · 1 = 0.

Étape 9.2 (s). Col(s) = 0 ; Pér(s) = χ_{[1, +∞[}(0) · Auto(m₂) = 0 ; lecture source : 8 facteurs comptés sur 105.

Étape 9.3. Col(w) = 0 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 1 colon(s).

∴ « le livre que tu m’as prêté » suspend le sens jusqu’à « je l’ai lu en une nuit », mais il commence par un article : Dep = 0, Col = 0. Faux négatif assumé : la dislocation à gauche crée une attente sans mot subordonnant initial.

Exemple 10 – Texte complet : trois phrases

Texte : « Si tu viens demain, nous partirons ensemble. Le chat dort, le chien veille, la maison se tait. Quand le soleil se lève sur la plaine, que les oiseaux reprennent leurs chants, et que la rosée brille encore, le voyageur reprend sa route. »

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Si tu viens demain	4	1	1	2 − 1 = 1	1	1	0
m2	nous partirons ensemble	3	1	0	2 − 2 = 0	0	0	1

Étape 10.1 (s₁, m₁). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(4) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 10.1 (s₁, m₂). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 0 · 0 · 0 = 0.

Étape 10.2 (s₁). Col(s₁) = 1 ; Pér(s₁) = χ_{[1, +∞[}(1) · Auto(m₂) = 1 ; lecture source : 5 facteurs comptés sur 28.

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Le chat dort	3	1	0	3 − 1 = 2	0	0	1
m2	le chien veille	3	1	0	3 − 2 = 1	0	0	1
m3	la maison se tait	4	1	0	3 − 3 = 0	1	0	1

Étape 10.1 (s₂, m₁). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(2) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 0 · 1 · 0 = 0.

Étape 10.1 (s₂, m₂). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(3) = 1 · 0 · 1 · 0 = 0.

Étape 10.1 (s₂, m₃). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(4) = 1 · 0 · 0 · 1 = 0.

Étape 10.2 (s₂). Col(s₂) = 0 ; Pér(s₂) = χ_{[1, +∞[}(0) · Auto(m₃) = 0 ; lecture source : 0 facteurs comptés sur 55.

membre	texte	|m|	Syn	Dep	K − k	χ[4, +∞[(|m|)	Colon	Auto
m1	Quand le soleil se lève sur la plaine	8	1	1	4 − 1 = 3	1	1	0
m2	que les oiseaux reprennent leurs chants	6	1	1	4 − 2 = 2	1	1	0
m3	et que la rosée brille encore	6	1	1	4 − 3 = 1	1	1	0
m4	le voyageur reprend sa route	5	1	0	4 − 4 = 0	1	0	1

Étape 10.1 (s₃, m₁). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(3) · χ_{[4, +∞[}(8) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 10.1 (s₃, m₂). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(2) · χ_{[4, +∞[}(6) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 10.1 (s₃, m₃). Colon = 1 · 1 · χ_{[1, +∞[}(1) · χ_{[4, +∞[}(6) = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.

Étape 10.1 (s₃, m₄). Colon = 1 · 0 · χ_{[1, +∞[}(0) · χ_{[4, +∞[}(5) = 1 · 0 · 0 · 1 = 0.

Étape 10.2 (s₃). Col(s₃) = 3 ; Pér(s₃) = χ_{[1, +∞[}(3) · Auto(m₄) = 1 ; lecture source : 49 facteurs comptés sur 325.

Étape 10.3. Col(w) = 1 + 0 + 3 = 4 ; Co(w) = χ_{[1, +∞[}(4) = 1 ; attendu : 4 colon(s).

∴ la première phrase a un colon, la deuxième aucun, la troisième trois : Col(w) = 4, Co(w) = 1 ; deux phrases sur trois sont des périodes.

Exemple 10 : trois phrases, quatre colons, deux périodes.

15.8 Seuil μ et versions de la définition

Le seuil μ (nombre minimal de mots d’un colon) est choisi par l’erreur ∑ |Col − attendu| sur les dix textes, les nombres attendus étant : 3, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 4.

μ (mots)	erreurs ∑ |Col − attendu|	textes mal jugés
1	3	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
2	3	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
3	3	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
4	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
5	4	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (3 au lieu de 4)

μ ≤ 3 compte l’incise « comme on dit » ; μ = 5 perd les colons de quatre mots (« si tu viens demain », « lorsque la nuit tombe »). μ = 4 donne la plus petite erreur : le komma a au plus trois mots, le colon au moins quatre sur ces textes.

Sensibilité au seuil komma / colon.

Les versions de la définition :

version	erreurs ∑ |Col − attendu|	textes mal jugés
source : facteurs de mots verbaux à début dépendant (comptes)	123	ex. 1 (49) ; ex. 2 (5) ; ex. 4 (2) ; ex. 5 (5) ; ex. 6 (1) ; ex. 7 (4) ; ex. 8 (5) ; ex. 9 (8) ; ex. 10 (54)
sans condition de position	3	ex. 4 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
sans condition verbale	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
sans seuil de longueur (μ = 1)	3	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
retenue	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)

La lecture par facteurs compte des dizaines de facteurs par colon (lemme 1). Chaque condition retenue corrige une erreur : la position écarte la subordonnée finale, le verbe écarte le complément circonstanciel, la longueur écarte l’incise. La version retenue garde deux erreurs assumées : l’exclamation de l’exemple 8 et la dislocation de l’exemple 9.

Erreurs des versions : la position, le verbe et la longueur sont nécessaires.

15.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois les tables V, S, C et le seuil μ fixés, Syn, Dep, Colon, Col et Pér découlent nécessairement des mots et de la ponctuation ; les lemmes 1 à 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : les tables sont déclarées et propres à une langue ; la ponctuation est celle de l’éditeur, et une autre ponctuation donne d’autres membres. Le seuil μ est choisi sur des exemples.
• Possible : tout membre verbal, subordonné, suivi et assez long est possiblement un colon ; un « que » exclamatif peut en imiter la forme (exemple 8).

15.10 Justification et limites

La définition source réunissait les deux propriétés du colon, la structure syntaxique et la dépendance logique, par un produit d’indicatrices qui traduit le « et ». Il fallait rendre ces propriétés calculables par des tables, remplacer les facteurs par les membres que la ponctuation découpe, et préciser la dépendance : un colon appelle le membre qui le suit. Le seuil de longueur restitue la distinction antique du komma et du colon, et la période se mesure comme la suite de colons close par un membre autonome.

Trois limites sont assumées. La table S ne distingue pas les emplois d’un même mot (« que » subordonnant, relatif ou exclamatif, exemple 8). Les suspensions sans mot subordonnant initial (dislocation, apposition) échappent au calcul (exemple 9). Enfin, la mesure dépend de la ponctuation, que les éditions modernisent souvent : la période de Bossuet n’a pas les mêmes membres dans toutes les éditions.

⁂

16. Colloquialisme – Mécanisme en combinatoire des mots

16.1 Définition rhétorique

Le colloquialisme (du latin colloquium, « entretien ») est l’emploi, dans un texte, d’un mot ou d’une tournure propre à la conversation familière : « fric » pour argent, « bagnole » pour voiture, « bosser » pour travailler, « t’inquiète » pour ne t’inquiète pas. La rhétorique classique le range parmi les questions de convenance (l’aptum) : un mot familier est juste dans un dialogue de roman, fautif dans un discours officiel, et volontairement expressif quand un auteur mêle les registres.

Deux traits le définissent : un mot ou une expression marqués comme familiers, et leur poids dans le texte : un mot familier isolé, ou cité entre guillemets, ne fait pas un registre familier ; une suite de mots familiers, si.

16.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée compte les facteurs du texte qui appartiennent à un ensemble Coll de facteurs colloquiaux :

Coll(w) = | { u ∈ Fact(w) | u ∈ Coll } |.

Avec l’indicatrice de Coll, elle devient une somme ; elle se décline avec les multiplicités m_w(u), avec un score de familiarité C(u) et un seuil θ, et en proportion :

Coll(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_Coll(u), Coll(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} m_w(u) · χ_Coll(u), Coll(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{[θ, +∞[}(C(u)), CollRate(w) = Coll(w) / |Fact(w)|.

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les morceaux du texte qui appartiennent au registre familier. L’indicatrice d’appartenance à une liste déclarée est l’outil exact du repérage lexical, et c’est le cœur de la mesure. Les exemples de l’énoncé source se recalculent ainsi :

exemple source	facteur	donnée	contribution
1 (Coll = {cool, ouais, fric})	u1 = cool	—	1
1 (Coll = {cool, ouais, fric})	u2 = argent	—	0
1 (Coll = {cool, ouais, fric})	u3 = ouais	—	1
1 (Coll = {cool, ouais, fric})	u4 = maison	—	0
2 (multiplicités)	cool	m = 4	4 · 1 = 4
2 (multiplicités)	fric	m = 3	3 · 1 = 3
2 (multiplicités)	argent	m = 5	5 · 0 = 0
3 (θ = 0,6)	u1	C = 0,9	1
3 (θ = 0,6)	u2	C = 0,2	0
3 (θ = 0,6)	u3	C = 0,75	1
3 (θ = 0,6)	u4	C = 0,55	0
3 (θ = 0,6)	u5	C = 0,88	1

Les sommes donnent 2, 7 et 3, et CollRate = 7/20 = 0,35 : les calculs sont justes. Mais Coll et C(u) ne sont pas définis, et les trois versions ne comptent pas la même chose. Six précisions sont nécessaires :

1. L’ensemble Coll doit être déclaré. Les exemples en donnent trois mots ; on déclare une table R d’expressions familières e⁽ⁱ⁾, d’un ou de plusieurs mots (« t’inquiète » en a deux après détachement de l’élision).
2. Les facteurs de lettres trouvent des mots familiers dans les mots soutenus. « truc » est un facteur de « construction » et de « structure », « flic » un facteur de « conflictuelle » (lemme 1) : la phrase soutenue de l’exemple 3 contient 2 mots de la table comme facteurs de lettres. L’appartenance doit porter sur des mots entiers et des suites de mots entiers.
3. L’ensemble et les multiplicités ne comptent pas la même chose. Fact(w) est un ensemble : chaque facteur y figure une fois. La première formule compte une seule fois « boîte » dans « la boîte de conserve … la boîte aux lettres », la deuxième deux fois (lemme 2). Le registre se mesure aux occurrences.
4. Le score C(u) n’est pas défini. Les valeurs 0,90, 0,20, 0,75… n’ont pas de procédure, et le seuil θ = 0,6 porte sur une échelle inconnue. On ne retient pas cette version : l’appartenance à la table est le critère, et le seuil porte sur la densité des mots familiers dans le texte.
5. CollRate mélange deux comptes. Le numérateur 7 compte des occurrences (version 2), le dénominateur |Fact(w)| = 20 des facteurs distincts ; pour un mot de n lettres, |Fact(w)| peut atteindre n(n + 1)/2. On rapporte les mots des expressions familières au nombre de mots du texte : T(w) = (mots familiers) / n.
6. Un mot familier ne fait pas un registre familier. Le mot « flic » cité par un préfet, ou un « bouquin » dans un récit soutenu, n’en fait pas un texte familier. Le verdict exige une densité T(w) ≥ τ, avec τ choisi sur les exemples (section 16.8).

Les exemples source : les calculs sont justes, mais Coll et C(u) ne sont pas définis.

16.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• égalité de mots : χ_Δ(a, b) = 1 si les mots a et b sont égaux ;
• « et » : le produit ∏_q χ_Δ(t_j+q−1, e_q) vaut 1 si tous les mots de l’expression se suivent à partir du mot j ;
• somme = comptage : ∑_i ∑_j compte les occurrences ;
• « au moins une » : χ_{[1, +∞[}(∑_j O_i(j)) = 1 si l’expression e⁽ⁱ⁾ apparaît ;
• seuil de densité : χ_{[τ, 1]}(T) = 1 si la part des mots familiers atteint τ.

16.4 Les objets, définis pas à pas

a) Les mots

Le texte est mis en minuscules ; les élisions sont détachées (t’, m’, l’) ; la ponctuation et les guillemets sont retirés. On obtient les mots t₁, …, t_n. Pourquoi des mots : un mot familier est une unité de vocabulaire, non une suite de lettres.

b) La table des expressions familières

i	expression e⁽ⁱ⁾	mots |e⁽ⁱ⁾|
1	ouais	1
2	mec	1
3	fric	1
4	boulot	1
5	bosse	1
6	t inquiète	2
7	bouquin	1
8	truc	1
9	pote	1
10	bagnole	1
11	flic	1
12	boîte	1
13	cool	1
14	kiffer	1
15	y a	2

c) Les occurrences, les comptes et la densité

O_i(j) = ∏_q=1^|e⁽ⁱ⁾| χ_Δ(t_j+q−1, e⁽ⁱ⁾_q), Coll(w) = ∑_i ∑_j O_i(j), Coll_dist(w) = ∑_i χ_{[1, +∞[}( ∑_j O_i(j) ).

T(w) = (1 / n) · ∑_i ∑_j |e⁽ⁱ⁾| · O_i(j), Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(T(w)), τ = 0,1.

Coll(w) compte les occurrences, Coll_dist(w) les expressions distinctes (la version ensembliste de la source), T(w) la part des mots du texte qui appartiennent à une expression familière ; Fam(w) vaut 1 si cette part atteint τ.

Lemme 1 (facteurs de lettres). Si une expression de la table est un facteur de lettres d’un mot du texte sans en être un mot entier, la lecture par facteurs de lettres la compte et la lecture par mots ne la compte pas. ∴ « truc » ⊂ construction, structure et « flic » ⊂ conflictuelle donnent des colloquialismes à une phrase soutenue ; la lecture par mots entiers les écarte.

Lemme 2 (ensemble et occurrences). Coll_dist(w) ≤ Coll(w), avec égalité si et seulement si chaque expression apparaît au plus une fois. ∴ la version ensembliste sous-estime un registre qui répète ses mots familiers.

Lemme 3 (monotonie). Agrandir la table ne peut qu’augmenter Coll et T ; augmenter τ ne peut que faire passer Fam de 1 à 0. ∴ la table de seuils (section 16.8) est monotone texte par texte.

Lemme 1 : « truc » et « flic » sont des facteurs de lettres de mots soutenus.

Lemme 2 : l’ensemble compte une fois « boîte », les occurrences deux fois.

16.5 Définition mathématique

Coll(w) = ∑_i ∑_j ∏_q=1^|e⁽ⁱ⁾| χ_Δ(t_j+q−1, e⁽ⁱ⁾_q), T(w) = (1 / n) · ∑_i ∑_j |e⁽ⁱ⁾| · O_i(j), Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(T(w)).

Coll(w) est le nombre de colloquialismes du texte, comptés sur les mots entiers ; T(w) est leur densité ; Fam(w) dit si le texte est écrit dans un registre familier.

La définition complète : des mots entiers, comptés à chaque occurrence, rapportés au nombre de mots.

L’arbre de décision du registre familier.

16.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre le texte en minuscules ; détacher les élisions ; retirer la ponctuation ; numéroter les mots t₁, …, t_n.
2. Pour chaque expression e⁽ⁱ⁾ de la table et chaque position j, calculer O_i(j) : 1 si ses mots se suivent à partir de j.
3. Coll(w) = nombre d’occurrences ; Coll_dist(w) = nombre d’expressions présentes.
4. T(w) = nombre de mots couverts par les occurrences / n.
5. Fam(w) = 1 si T(w) ≥ τ = 0,1.

16.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne les mots, le tableau des occurrences, les comptes, la densité et le verdict, puis la lecture source par facteurs de lettres.

Exemple 1 – Le registre familier dense

Texte : « Ouais, le mec a perdu tout son fric au boulot. »

Mots : t₁ = ouais ; t₂ = le ; t₃ = mec ; t₄ = a ; t₅ = perdu ; t₆ = tout ; t₇ = son ; t₈ = fric ; t₉ = au ; t₁₀ = boulot ; n = 10.

i	expression e⁽ⁱ⁾	position	|e⁽ⁱ⁾|	Oi(j)
1	ouais	j = 1	1	1
2	mec	j = 3	1	1
3	fric	j = 8	1	1
4	boulot	j = 10	1	1

Étape 1.1. O₁(1) = χ_Δ(ouais, ouais) = 1.

Étape 1.1. O₂(3) = χ_Δ(mec, mec) = 1.

Étape 1.1. O₃(8) = χ_Δ(fric, fric) = 1.

Étape 1.1. O₄(10) = χ_Δ(boulot, boulot) = 1.

Étape 1.2. Coll(w) = 4 ; Coll_dist(w) = 4 ; T(w) = 4 / 10 = 2/5 ≈ 0,400 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(2/5) = 1 ; attendu : 1.

Étape 1.3. Lecture source par facteurs de lettres : boulot, fric, mec, ouais (4 expression(s) distincte(s)).

∴ ouais, mec, fric, boulot : quatre mots familiers sur dix, T = 0,4. Fam = 1 : le registre est familier.

Exemple 1 : quatre mots familiers sur dix mots.

Exemple 2 – Une expression de deux mots

Texte : « J’ai pas le temps, t’inquiète, je bosse. »

Mots : t₁ = j ; t₂ = ai ; t₃ = pas ; t₄ = le ; t₅ = temps ; t₆ = t ; t₇ = inquiète ; t₈ = je ; t₉ = bosse ; n = 9.

i	expression e⁽ⁱ⁾	position	|e⁽ⁱ⁾|	Oi(j)
6	t inquiète	j = 6	2	1
5	bosse	j = 9	1	1

Étape 2.1. O₆(6) = χ_Δ(t, t) · χ_Δ(inquiète, inquiète) = 1.

Étape 2.1. O₅(9) = χ_Δ(bosse, bosse) = 1.

Étape 2.2. Coll(w) = 2 ; Coll_dist(w) = 2 ; T(w) = 3 / 9 = 1/3 ≈ 0,333 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(1/3) = 1 ; attendu : 1.

Étape 2.3. Lecture source par facteurs de lettres : bosse, t inquiète (2 expression(s) distincte(s)).

∴ « t’inquiète » (deux mots après détachement de l’élision) et « bosse » : trois mots sur neuf, T = 1/3. Fam = 1. La négation sans « ne » (« j’ai pas ») est aussi familière, mais elle n’est pas dans la table.

Exemple 3 – Des mots familiers cachés dans les mots

Texte : « La construction de cette structure reste conflictuelle. »

Mots : t₁ = la ; t₂ = construction ; t₃ = de ; t₄ = cette ; t₅ = structure ; t₆ = reste ; t₇ = conflictuelle ; n = 7.

Étape 3.1. Aucune suite de mots entiers du texte n’est une expression de la table : O_i(j) = 0 pour tout i et tout j.

Étape 3.2. Coll(w) = 0 ; Coll_dist(w) = 0 ; T(w) = 0 / 7 = 0 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(0) = 0 ; attendu : 0.

Étape 3.3. Lecture source par facteurs de lettres : flic, truc (2 expression(s) distincte(s)).

∴ aucun mot entier n’est dans la table : Coll = 0, Fam = 0. La lecture par facteurs de lettres trouve « truc » (deux fois) et « flic » dans des mots soutenus (lemme 1).

Exemple 4 – Une phrase neutre

Texte : « Le chat dort sur le canapé. »

Mots : t₁ = le ; t₂ = chat ; t₃ = dort ; t₄ = sur ; t₅ = le ; t₆ = canapé ; n = 6.

Étape 4.1. Aucune suite de mots entiers du texte n’est une expression de la table : O_i(j) = 0 pour tout i et tout j.

Étape 4.2. Coll(w) = 0 ; Coll_dist(w) = 0 ; T(w) = 0 / 6 = 0 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(0) = 0 ; attendu : 0.

Étape 4.3. Lecture source par facteurs de lettres : aucune expression (0 expression(s) distincte(s)).

∴ aucun mot familier : Coll = 0.

Exemple 5 – Un mot familier cité dans un texte soutenu

Texte : « Dans son rapport détaillé, le préfet cite le mot « flic », employé par un témoin lors de la séance publique du conseil municipal. »

Mots : t₁ = dans ; t₂ = son ; t₃ = rapport ; t₄ = détaillé ; t₅ = le ; t₆ = préfet ; t₇ = cite ; t₈ = le ; t₉ = mot ; t₁₀ = flic ; t₁₁ = employé ; t₁₂ = par ; t₁₃ = un ; t₁₄ = témoin ; t₁₅ = lors ; t₁₆ = de ; t₁₇ = la ; t₁₈ = séance ; t₁₉ = publique ; t₂₀ = du ; t₂₁ = conseil ; t₂₂ = municipal ; n = 22.

i	expression e⁽ⁱ⁾	position	|e⁽ⁱ⁾|	Oi(j)
11	flic	j = 10	1	1

Étape 5.1. O₁₁(10) = χ_Δ(flic, flic) = 1.

Étape 5.2. Coll(w) = 1 ; Coll_dist(w) = 1 ; T(w) = 1 / 22 = 1/22 ≈ 0,045 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(1/22) = 0 ; attendu : 0.

Étape 5.3. Lecture source par facteurs de lettres : flic (1 expression(s) distincte(s)).

∴ « flic » est un mot de la table, mais il est cité par un préfet dans une phrase soutenue de 22 mots : T = 1/22 ≈ 0,045 < 0,1, Fam = 0. Le seuil de densité écarte la citation.

Exemple 6 – Un seul mot familier dans un récit

Texte : « Il prit son bouquin et sortit dans le jardin pour lire au soleil. »

Mots : t₁ = il ; t₂ = prit ; t₃ = son ; t₄ = bouquin ; t₅ = et ; t₆ = sortit ; t₇ = dans ; t₈ = le ; t₉ = jardin ; t₁₀ = pour ; t₁₁ = lire ; t₁₂ = au ; t₁₃ = soleil ; n = 13.

i	expression e⁽ⁱ⁾	position	|e⁽ⁱ⁾|	Oi(j)
7	bouquin	j = 4	1	1

Étape 6.1. O₇(4) = χ_Δ(bouquin, bouquin) = 1.

Étape 6.2. Coll(w) = 1 ; Coll_dist(w) = 1 ; T(w) = 1 / 13 = 1/13 ≈ 0,077 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(1/13) = 0 ; attendu : 0.

Étape 6.3. Lecture source par facteurs de lettres : bouquin (1 expression(s) distincte(s)).

∴ un seul mot familier (« bouquin ») dans un récit de 13 mots : T = 1/13 ≈ 0,077 < 0,1, Fam = 0 : la touche familière ne fait pas le registre.

Exemple 7 – Deux mots familiers sur dix

Texte : « Mon pote m’a prêté sa bagnole pour le week-end. »

Mots : t₁ = mon ; t₂ = pote ; t₃ = m ; t₄ = a ; t₅ = prêté ; t₆ = sa ; t₇ = bagnole ; t₈ = pour ; t₉ = le ; t₁₀ = week-end ; n = 10.

i	expression e⁽ⁱ⁾	position	|e⁽ⁱ⁾|	Oi(j)
9	pote	j = 2	1	1
10	bagnole	j = 7	1	1

Étape 7.1. O₉(2) = χ_Δ(pote, pote) = 1.

Étape 7.1. O₁₀(7) = χ_Δ(bagnole, bagnole) = 1.

Étape 7.2. Coll(w) = 2 ; Coll_dist(w) = 2 ; T(w) = 2 / 10 = 1/5 ≈ 0,200 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(1/5) = 1 ; attendu : 1.

Étape 7.3. Lecture source par facteurs de lettres : bagnole, pote (2 expression(s) distincte(s)).

∴ pote et bagnole : deux mots sur dix, T = 0,2 ≥ 0,1, Fam = 1.

Densité des mots familiers et seuil τ = 0,1.

Exemple 8 – Faux positif assumé : la boîte

Texte : « La boîte de conserve est restée dans la boîte aux lettres. »

Mots : t₁ = la ; t₂ = boîte ; t₃ = de ; t₄ = conserve ; t₅ = est ; t₆ = restée ; t₇ = dans ; t₈ = la ; t₉ = boîte ; t₁₀ = aux ; t₁₁ = lettres ; n = 11.

i	expression e⁽ⁱ⁾	position	|e⁽ⁱ⁾|	Oi(j)
12	boîte	j = 2	1	1
12	boîte	j = 9	1	1

Étape 8.1. O₁₂(2) = χ_Δ(boîte, boîte) = 1.

Étape 8.1. O₁₂(9) = χ_Δ(boîte, boîte) = 1.

Étape 8.2. Coll(w) = 2 ; Coll_dist(w) = 1 ; T(w) = 2 / 11 = 2/11 ≈ 0,182 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(2/11) = 1 ; attendu : 0.

Étape 8.3. Lecture source par facteurs de lettres : boîte (1 expression(s) distincte(s)).

∴ « boîte » apparaît deux fois : Coll = 2, Coll_dist = 1, T = 2/11 ≈ 0,182, Fam = 1. Mais il s’agit d’une boîte de conserve et d’une boîte aux lettres, non de l’entreprise (« ma boîte ») : faux positif assumé. La table reconnaît la forme, non le sens.

Exemple 9 – Faux négatif assumé : les tics de langage

Texte : « Bon, on y va, là, tu vois ? »

Mots : t₁ = bon ; t₂ = on ; t₃ = y ; t₄ = va ; t₅ = là ; t₆ = tu ; t₇ = vois ; n = 7.

Étape 9.1. Aucune suite de mots entiers du texte n’est une expression de la table : O_i(j) = 0 pour tout i et tout j.

Étape 9.2. Coll(w) = 0 ; Coll_dist(w) = 0 ; T(w) = 0 / 7 = 0 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(0) = 0 ; attendu : 1.

Étape 9.3. Lecture source par facteurs de lettres : aucune expression (0 expression(s) distincte(s)).

∴ « bon », « là », « tu vois » sont des tics de la conversation, mais aucun n’est dans la table : Coll = 0, Fam = 0. Faux négatif assumé : le registre familier tient aussi à la syntaxe et aux mots de liaison.

Exemple 10 – Texte complet : trois phrases

Texte : « Mon pote m’a prêté sa bagnole pour le week-end. Le chat dort sur le canapé. Ouais, le mec a perdu tout son fric au boulot. »

Mots : t₁ = mon ; t₂ = pote ; t₃ = m ; t₄ = a ; t₅ = prêté ; t₆ = sa ; t₇ = bagnole ; t₈ = pour ; t₉ = le ; t₁₀ = week-end ; t₁₁ = le ; t₁₂ = chat ; t₁₃ = dort ; t₁₄ = sur ; t₁₅ = le ; t₁₆ = canapé ; t₁₇ = ouais ; t₁₈ = le ; t₁₉ = mec ; t₂₀ = a ; t₂₁ = perdu ; t₂₂ = tout ; t₂₃ = son ; t₂₄ = fric ; t₂₅ = au ; t₂₆ = boulot ; n = 26.

i	expression e⁽ⁱ⁾	position	|e⁽ⁱ⁾|	Oi(j)
9	pote	j = 2	1	1
10	bagnole	j = 7	1	1
1	ouais	j = 17	1	1
2	mec	j = 19	1	1
3	fric	j = 24	1	1
4	boulot	j = 26	1	1

Étape 10.1. O₉(2) = χ_Δ(pote, pote) = 1.

Étape 10.1. O₁₀(7) = χ_Δ(bagnole, bagnole) = 1.

Étape 10.1. O₁(17) = χ_Δ(ouais, ouais) = 1.

Étape 10.1. O₂(19) = χ_Δ(mec, mec) = 1.

Étape 10.1. O₃(24) = χ_Δ(fric, fric) = 1.

Étape 10.1. O₄(26) = χ_Δ(boulot, boulot) = 1.

Étape 10.2. Coll(w) = 6 ; Coll_dist(w) = 6 ; T(w) = 6 / 26 = 3/13 ≈ 0,231 ; Fam(w) = χ_{[τ, 1]}(3/13) = 1 ; attendu : 1.

Étape 10.3. Lecture source par facteurs de lettres : bagnole, boulot, fric, mec, ouais, pote (6 expression(s) distincte(s)).

∴ six mots familiers sur vingt-six : T = 3/13 ≈ 0,231, Fam = 1, bien que la deuxième phrase soit neutre : la densité se calcule sur le texte entier.

Exemple 10 : six mots familiers sur vingt-six.

16.8 Seuil τ et versions de la définition

Le seuil τ est choisi par l’erreur ∑ |Fam − attendu| sur les dix textes, les verdicts attendus étant : 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1.

τ	erreurs ∑ |Fam − attendu|	textes mal jugés
0	4	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
0,05	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
0,1	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
0,15	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
0,25	3	ex. 7 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)

τ = 0 juge familier tout texte qui contient un mot de la table, y compris la citation du préfet et le bouquin du récit ; τ = 0,05 garde le bouquin ; τ = 0,25 perd la phrase de l’exemple 7 (T = 0,2). τ = 0,1 et τ = 0,15 donnent le même résultat ; on retient τ = 0,1, la plus petite valeur sans erreur évitable, qui se lit simplement : au moins un mot familier sur dix.

Sensibilité au seuil de densité τ.

Les versions de la définition :

version	erreurs ∑ |Fam − attendu|	textes mal jugés
source : au moins une expression comme facteur de lettres	5	ex. 3 (1 au lieu de 0) ; ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
mots entiers, au moins une occurrence (sans seuil)	4	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
retenue	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)

La lecture par facteurs de lettres trouve des mots familiers dans « construction » et « conflictuelle ». Sans seuil, la citation et le mot isolé font un registre familier. La version retenue garde deux erreurs assumées : la boîte de conserve de l’exemple 8 et les tics de langage de l’exemple 9.

Erreurs des versions : les mots entiers et le seuil de densité sont nécessaires.

16.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois la table et le seuil fixés, O, Coll, Coll_dist, T et Fam découlent nécessairement des mots ; les lemmes 1 à 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : la table est déclarée, propre à une langue, à une époque et à un milieu (« bagnole » est familier en France, « char » au Québec) ; un mot change de registre avec le temps. Le seuil τ est choisi sur des exemples.
• Possible : tout texte dont un mot sur dix appartient à la table est possiblement familier ; un homonyme peut réaliser la densité sans le registre (exemple 8).

16.10 Justification et limites

La définition source plaçait au centre l’appartenance d’un facteur à une liste de mots familiers, que l’indicatrice traduit exactement. Il fallait déclarer cette liste, compter des mots entiers et non des facteurs de lettres (lemme 1), compter les occurrences et non les éléments d’un ensemble (lemme 2), rapporter les mots familiers au nombre de mots du texte, et distinguer le mot familier isolé du registre familier par un seuil de densité.

Trois limites sont assumées. La table ne voit pas le sens : un homonyme neutre est compté (exemple 8). Le registre familier tient aussi à la syntaxe (négation sans « ne », dislocation) et aux tics de conversation, que la table ne contient pas (exemple 9). Enfin, la mention d’un mot (le préfet qui cite « flic ») n’est pas son usage ; le seuil de densité l’écarte ici, mais un texte qui cite beaucoup de mots familiers serait jugé familier.

⁂

17. Lieux communs (topoi) – Mécanisme en combinatoire des mots

17.1 Définition rhétorique

Les lieux communs (en grec topoi, en latin loci communes) sont, chez Aristote (Topiques, Rhétorique) puis chez Cicéron (Topica), les schémas d’argumentation où l’orateur va « chercher » ses arguments, quel que soit le sujet : le lieu de la définition (dire ce qu’est la chose), le lieu de la comparaison (la rapprocher d’une autre, plus grande, plus petite ou semblable), le lieu de la cause et de l’effet (dire d’où elle vient ou ce qu’elle produit). Le sens moderne de « lieu commun », idée banale, est une dérive de ce sens technique.

Un lieu se reconnaît dans le texte à ses marqueurs : « c’est-à-dire », « on appelle » pour la définition ; « comme », « plus … que » pour la comparaison ; « parce que », « donc » pour la cause. La fiche mesure combien de phrases d’un texte s’appuient sur au moins un lieu, et lesquels.

17.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée compte les facteurs qui réalisent un patron de l’ensemble Top des lieux :

Top(w) = | { u ∈ Fact(w) | ∃ t ∈ Top tel que u réalise t } |.

Avec une indicatrice Match(u, t) par lieu, le quantificateur « il existe » devient une indicatrice de somme, et une version pondérée compte toutes les réalisations :

Top(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{[1, +∞[}( ∑_{t ∈ Top} Match(u, t) ), TopScore(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} ∑_{t ∈ Top} Match(u, t).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les morceaux du texte qui s’appuient sur un lieu. La traduction de « il existe » par χ_{[1, +∞[} d’une somme d’indicatrices est exacte, et c’est le cœur de la mesure. Les exemples de l’énoncé source se recalculent ainsi :

exemple source	facteur	(définition, comparaison, cause)	∑t Match(u, t)	χ[1, +∞[(∑)
1	u1	(1, 0, 0)	1	1
1	u2	(0, 0, 0)	0	0
1	u3	(0, 1, 0)	1	1
1	u4	(0, 0, 1)	1	1
2	u1	—	0	0
2	u2	—	2	1
2	u3	—	1	1
2	u4	—	0	0
2	u5	—	3	1
3	u1	—	1	1
3	u2	—	1	1
3	u3	—	2	1
3	u4	—	2	1
3	u5	—	1	1
3	u6	—	0	0

Les sommes donnent 3, 3 et 5, et TopScore = 2 + 1 + 3 + 0 = 6 : les calculs sont justes. Mais Match est donné à la main. Cinq précisions sont nécessaires :

1. Match(u, t) n’est pas défini. « u réalise le patron t » n’a pas de procédure. On déclare, pour chaque lieu τ, une table de marqueurs m⁽ⁱ⁾ (mots ou suites de mots), et Match(s, τ) = 1 si la phrase s contient au moins un marqueur de τ.
2. L’écriture Match(u, t_j) = χ_{tⱼ}(P(u)) suppose un seul patron par facteur. Si P(u) désigne « le » patron reconnu, un facteur ne peut réaliser qu’un lieu ; or les exemples 2 et 3 en donnent 2 ou 3 au même facteur. On définit Match lieu par lieu, sans patron unique.
3. La somme sur Fact(w) compte des morceaux qui se recouvrent. Tout facteur qui contient un marqueur le réalise : la phrase « Il a échoué parce qu’il n’a pas travaillé » compte 24 facteurs sur 55 pour un seul lieu de la cause (lemme 1). L’unité est la phrase, unité de l’argument.
4. La comparaison se marque souvent par deux mots séparés. « plus peuplée que », « plus vite, en hiver, que » : le marqueur est discontinu. On compte une paire (plus, moins ou aussi, puis « que ») si au plus δ mots les séparent ; δ est choisi sur les exemples (section 17.8), car « il ne veut plus voir personne, et il dit que… » contient aussi « plus » et « que ».
5. La version pondérée compte les lieux, non les marqueurs. TopScore(s) = ∑_τ Match(s, τ) vaut au plus 3 par phrase : deux « donc » dans une phrase font un seul lieu de la cause. On ajoute la variété V(w), le nombre de lieux distincts employés dans le texte.

Les exemples source : les calculs sont justes, mais Match(u, t) est donné à la main.

17.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• égalité de mots : χ_Δ(a, b) = 1 si les mots a et b sont égaux ; le produit sur les mots d’un marqueur vaut 1 s’il est présent à la position j ;
• appartenance : χ_K(t) = 1 si t ∈ K = {plus, moins, aussi} ;
• fenêtre : χ_{[1, δ]}(b − a − 1) = 1 si entre 1 et δ mots séparent « plus » de « que » ;
• « il existe » : χ_{[1, +∞[}(somme) = 1 si au moins un marqueur, ou au moins un lieu, est présent ;
• somme = comptage : TopScore additionne les lieux présents.

17.4 Les objets, définis pas à pas

a) Les phrases et les mots

Le texte est découpé en phrases après . ! ? ; chaque phrase est mise en minuscules, ses élisions sont détachées (c’est-à-dire devient « c est-à-dire », parce qu’il devient « parce qu il ») et sa ponctuation retirée. Les mots sont t₁, …, t_n.

b) Les tables de marqueurs

lieu τ	marqueurs contigus
définition	c est-à-dire ; on appelle ; se définit ; désigne
comparaison	comme ; de même que ; semblable à ; pareil à
cause	parce que ; parce qu ; car ; donc ; puisque ; à cause de ; par conséquent ; c est pourquoi
comparaison (discontinu)	plus … que ; moins … que ; aussi … que (au plus δ mots entre les deux)

c) Occurrences et paires discontinues

O_i(j) = ∏_q=1^|m⁽ⁱ⁾| χ_Δ(t_j+q−1, m⁽ⁱ⁾_q), D(a, b) = χ_K(t_a) · χ_{que}(t_b) · χ_{[1, δ]}(b − a − 1).

d) Lieux d’une phrase, mesures du texte

Match(s, τ) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{i : τ(i) = τ} ∑_j O_i(j) + [τ = comparaison] · ∑_{a < b} D(a, b) ),

Top(w) = ∑_s χ_{[1, +∞[}( ∑_τ Match(s, τ) ), TopScore(w) = ∑_s ∑_τ Match(s, τ), V(w) = ∑_τ χ_{[1, +∞[}( ∑_s Match(s, τ) ).

[τ = comparaison] vaut 1 pour le lieu de la comparaison et 0 pour les autres. Top(w) est le nombre de phrases qui s’appuient sur un lieu, TopScore(w) le nombre de couples (phrase, lieu), V(w) le nombre de lieux différents du texte.

Lemme 1 (facteurs englobants). Un marqueur qui occupe les positions j à k d’une phrase de n mots est contenu dans j · (n − k + 1) facteurs de mots (j choix du premier mot, n − k + 1 choix du dernier). ∴ la lecture source compte un lieu autant de fois : « parce qu », en positions 4 et 5 d’une phrase de 10 mots, est contenu dans 4 · 6 = 24 facteurs.

Lemme 2 (bornes). Top(w) ≤ TopScore(w) ≤ 3 · Top(w), et V(w) ≤ 3. ∴ TopScore / Top mesure le nombre moyen de lieux par phrase argumentée, entre 1 et 3.

Lemme 3 (monotonie en δ). Si δ ≤ δ′, χ_{[1, δ]}(x) ≤ χ_{[1, δ′]}(x) : agrandir la fenêtre ne peut qu’ajouter des comparaisons. ∴ un δ trop grand fait des comparaisons avec tout « plus » suivi de loin par un « que ».

Exemple 3 : 24 facteurs comptés sur 55 pour un seul lieu (lemme 1).

Le comparatif discontinu : trois mots entre « plus » et « que » font une comparaison, cinq non.

17.5 Définition mathématique

Top(w) = ∑_s χ_{[1, +∞[}( ∑_{τ ∈ {déf., comp., cause}} Match(s, τ) ), TopScore(w) = ∑_s ∑_τ Match(s, τ), δ = 3.

C’est la formule de la source, avec les phrases pour facteurs, des tables de marqueurs pour Match, et le comparatif discontinu limité à δ mots.

La définition complète : marqueurs déclarés, « il existe » par l’indicatrice d’une somme, la phrase pour unité.

L’arbre de décision des lieux communs.

17.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Découper le texte en phrases ; mettre en minuscules ; détacher les élisions ; retirer la ponctuation.
2. Pour chaque marqueur contigu et chaque position, calculer O_i(j) ; pour chaque « plus », « moins », « aussi », chercher un « que » à au plus δ = 3 mots.
3. Match(s, τ) = 1 si la phrase contient au moins un marqueur du lieu τ.
4. Top(s) = 1 si au moins un lieu ; TopScore(s) = nombre de lieux présents.
5. Sommer sur les phrases ; compter les lieux distincts du texte : V(w).

17.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne les marqueurs trouvés, le vecteur Match = (définition, comparaison, cause), puis Top, TopScore et la lecture source par facteurs.

Exemple 1 – Le lieu de la définition

Texte : « La rhétorique, c’est-à-dire l’art de persuader, s’enseigne depuis l’Antiquité. »

lieu	marqueur	position	occurrence
définition	c est-à-dire	j = 3	1

Étape 1.2 (s). Match = (1, 0, 0) ; Top(s) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; TopScore(s) = 1 ; lecture source : 30 facteurs sur 91.

Étape 1.3. Top(w) = 1 ; TopScore(w) = 1 ; V(w) = 1 ; attendu : Top = 1.

∴ « c’est-à-dire » introduit la définition de la rhétorique : Match = (1, 0, 0), Top = 1.

Exemple 2 – Le lieu de la comparaison

Texte : « Le sage est comme un arbre qui plie sans rompre. »

lieu	marqueur	position	occurrence
comparaison	comme	j = 4	1

Étape 2.2 (s). Match = (0, 1, 0) ; Top(s) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; TopScore(s) = 1 ; lecture source : 28 facteurs sur 55.

Étape 2.3. Top(w) = 1 ; TopScore(w) = 1 ; V(w) = 1 ; attendu : Top = 1.

∴ « comme » introduit la comparaison du sage et de l’arbre : Match = (0, 1, 0), Top = 1.

Exemple 3 – Le lieu de la cause

Texte : « Il a échoué parce qu’il n’a pas travaillé. »

lieu	marqueur	position	occurrence
cause	parce qu	j = 4	1

Étape 3.2 (s). Match = (0, 0, 1) ; Top(s) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; TopScore(s) = 1 ; lecture source : 24 facteurs sur 55.

Étape 3.3. Top(w) = 1 ; TopScore(w) = 1 ; V(w) = 1 ; attendu : Top = 1.

∴ « parce qu’il » introduit la cause de l’échec : Match = (0, 0, 1), Top = 1. La lecture par facteurs compte 24 facteurs pour ce seul lieu.

Exemple 4 – Deux lieux dans une phrase

Texte : « La ville est plus peuplée que la campagne, donc les loyers y sont plus chers. »

lieu	marqueur	position	occurrence
cause	donc	j = 9	1
comparaison	plus … que	a = 4, b = 6	D = χ[1, 3](1) = 1

Étape 4.2 (s). Match = (0, 1, 1) ; Top(s) = χ_{[1, +∞[}(2) = 1 ; TopScore(s) = 2 ; lecture source : 75 facteurs sur 120.

Étape 4.3. Top(w) = 1 ; TopScore(w) = 2 ; V(w) = 2 ; attendu : Top = 1.

∴ « plus peuplée que » (un mot entre « plus » et « que ») compare la ville et la campagne, « donc » en tire l’effet : Match = (0, 1, 1), Top = 1, TopScore = 2. Le second « plus » (« plus chers ») n’a pas de « que » après lui.

Exemple 4 : la comparaison « plus … que » et la cause « donc ».

Exemple 5 – Le comparatif discontinu

Texte : « Le train va plus vite, en hiver, que la voiture. »

lieu	marqueur	position	occurrence
comparaison	plus … que	a = 4, b = 8	D = χ[1, 3](3) = 1

Étape 5.2 (s). Match = (0, 1, 0) ; Top(s) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; TopScore(s) = 1 ; lecture source : 12 facteurs sur 55.

Étape 5.3. Top(w) = 1 ; TopScore(w) = 1 ; V(w) = 1 ; attendu : Top = 1.

∴ trois mots séparent « plus » de « que » (« vite en hiver ») : avec δ = 3, la comparaison est reconnue. Avec δ = 2, elle serait perdue.

Exemple 6 – « plus » et « que » sans comparaison

Texte : « Il ne veut plus voir personne, et il dit que tout est fini. »

Étape 6.1 (s). Aucun marqueur contigu, aucune paire « plus … que » à au plus 3 mots.

Étape 6.2 (s). Match = (0, 0, 0) ; Top(s) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; TopScore(s) = 0 ; lecture source : 0 facteurs sur 91.

Étape 6.3. Top(w) = 0 ; TopScore(w) = 0 ; V(w) = 0 ; attendu : Top = 0.

∴ « plus » est ici la négation (« ne … plus ») et « que » introduit une complétive : cinq mots les séparent, au-delà de δ = 3. Top = 0. Avec δ = 5, la phrase serait jugée comparative à tort.

Exemple 7 – Une phrase sans lieu

Texte : « Le chat dort sur le canapé. »

Étape 7.1 (s). Aucun marqueur contigu, aucune paire « plus … que » à au plus 3 mots.

Étape 7.2 (s). Match = (0, 0, 0) ; Top(s) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; TopScore(s) = 0 ; lecture source : 0 facteurs sur 21.

Étape 7.3. Top(w) = 0 ; TopScore(w) = 0 ; V(w) = 0 ; attendu : Top = 0.

∴ aucun marqueur : Top = 0.

Exemple 8 – Faux positif assumé : la locution figée

Texte : « Comme d’habitude, il est arrivé en retard. »

lieu	marqueur	position	occurrence
comparaison	comme	j = 1	1

Étape 8.2 (s). Match = (0, 1, 0) ; Top(s) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; TopScore(s) = 1 ; lecture source : 8 facteurs sur 36.

Étape 8.3. Top(w) = 1 ; TopScore(w) = 1 ; V(w) = 1 ; attendu : Top = 0.

∴ « comme d’habitude » est une locution figée, sans comparaison argumentative ; mais « comme » est un marqueur : Top = 1. Faux positif assumé.

Exemple 9 – Faux négatif assumé : la définition sans marqueur

Texte : « Le triangle est un polygone à trois côtés. »

Étape 9.1 (s). Aucun marqueur contigu, aucune paire « plus … que » à au plus 3 mots.

Étape 9.2 (s). Match = (0, 0, 0) ; Top(s) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; TopScore(s) = 0 ; lecture source : 0 facteurs sur 36.

Étape 9.3. Top(w) = 0 ; TopScore(w) = 0 ; V(w) = 0 ; attendu : Top = 1.

∴ « le triangle est un polygone à trois côtés » est une définition par le genre (polygone) et la différence (trois côtés), mais sans marqueur : Top = 0. Faux négatif assumé : la définition par la copule « est un » demanderait une analyse syntaxique.

TopScore par lieu et Top par texte.

Exemple 10 – Texte complet : trois phrases

Texte : « La rhétorique, c’est-à-dire l’art de persuader, s’enseigne depuis l’Antiquité. Le chat dort sur le canapé. La ville est plus peuplée que la campagne, donc les loyers y sont plus chers. »

lieu	marqueur	position	occurrence
définition	c est-à-dire	j = 3	1

Étape 10.2 (s₁). Match = (1, 0, 0) ; Top(s₁) = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; TopScore(s₁) = 1 ; lecture source : 30 facteurs sur 91.

Étape 10.1 (s₂). Aucun marqueur contigu, aucune paire « plus … que » à au plus 3 mots.

Étape 10.2 (s₂). Match = (0, 0, 0) ; Top(s₂) = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; TopScore(s₂) = 0 ; lecture source : 0 facteurs sur 21.

lieu	marqueur	position	occurrence
cause	donc	j = 9	1
comparaison	plus … que	a = 4, b = 6	D = χ[1, 3](1) = 1

Étape 10.2 (s₃). Match = (0, 1, 1) ; Top(s₃) = χ_{[1, +∞[}(2) = 1 ; TopScore(s₃) = 2 ; lecture source : 75 facteurs sur 120.

Étape 10.3. Top(w) = 1 + 0 + 1 = 2 ; TopScore(w) = 3 ; V(w) = 3 ; attendu : Top = 2.

∴ la première phrase définit, la deuxième n’argumente pas, la troisième compare et conclut : Top(w) = 2, TopScore(w) = 3, V(w) = 3 : les trois lieux sont employés.

Exemple 10 : trois phrases, trois lieux.

17.8 Fenêtre δ et versions de la définition

La fenêtre δ est choisie par l’erreur ∑ |Top − attendu| sur les dix textes, les valeurs attendues étant : 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 2.

δ (mots)	erreurs ∑ |Top − attendu|	textes mal jugés
1	3	ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
2	3	ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
3	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
4	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
5	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)

δ ≤ 2 perd la comparaison « plus vite, en hiver, que » ; δ = 5 transforme la négation « ne … plus » suivie d’une complétive en comparaison. δ = 3 et δ = 4 donnent le même résultat ; on retient δ = 3, la plus petite fenêtre qui ne perd aucune comparaison (lemme 3).

Sensibilité à la fenêtre du comparatif discontinu.

Les versions de la définition :

version	erreurs ∑ |Top − attendu|	textes mal jugés
source : facteurs de mots contenant un marqueur (comptes)	276	ex. 1 (30 au lieu de 1) ; ex. 2 (28 au lieu de 1) ; ex. 3 (24 au lieu de 1) ; ex. 4 (75 au lieu de 1) ; ex. 5 (12 au lieu de 1) ; ex. 8 (8 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (105 au lieu de 2)
sans comparatif discontinu	3	ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
fenêtre large (δ = 5)	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
retenue	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)

La lecture par facteurs compte des dizaines de facteurs par lieu (lemme 1). Sans le comparatif discontinu, la comparaison de l’exemple 5 est perdue ; la fenêtre large fait une comparaison de l’exemple 6. La version retenue garde deux erreurs assumées : la locution figée de l’exemple 8 et la définition sans marqueur de l’exemple 9.

Erreurs des versions : la phrase et la fenêtre δ = 3 sont nécessaires.

17.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois les tables de marqueurs et la fenêtre δ fixées, O, D, Match, Top, TopScore et V découlent nécessairement des mots ; les lemmes 1 à 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
• Contingent : les marqueurs sont déclarés et propres à une langue ; la liste des lieux (trois ici) est un choix parmi ceux d’Aristote et de Cicéron (genre et espèce, contraires, circonstances…). Agrandir les tables ne peut qu’augmenter Top.
• Possible : toute phrase qui contient un marqueur s’appuie possiblement sur un lieu ; une locution figée peut en contenir un sans argumenter (exemple 8).

17.10 Justification et limites

La définition source traduisait exactement le quantificateur « il existe un lieu » par l’indicatrice de la demi-droite [1, +∞[ appliquée à une somme d’indicatrices, ce qui est le cœur de la mesure. Il fallait rendre Match calculable par des tables de marqueurs, abandonner l’idée d’un patron unique par facteur, compter des phrases plutôt que des facteurs (lemme 1), et traiter le comparatif discontinu par une fenêtre.

Trois limites sont assumées. Un marqueur peut être employé sans argument (exemple 8) ou avec un autre sens : « comme » initial est souvent causal (« comme il pleuvait, nous sommes restés »), ce qui compte la phrase pour la comparaison ; Top reste juste, mais le vecteur Match se trompe de lieu. Les définitions par la copule, les comparaisons par parallélisme et les causes implicites n’ont pas de marqueur (exemple 9). Enfin, trois lieux ne couvrent pas toute la topique ancienne.

⁂

18. Consubstantialité (identification) – Mécanisme en combinatoire des mots

18.1 Définition rhétorique

Le terme vient de la théologie (le Fils « consubstantiel » au Père, de même substance). Kenneth Burke l’a fait entrer en rhétorique (A Rhetoric of Motives, 1950) : persuader, c’est d’abord s’identifier à l’auditoire, montrer que l’orateur et ceux qui l’écoutent partagent une même « substance » : les mêmes intérêts, les mêmes valeurs, les mêmes mots. « Vous ne persuadez un homme qu’autant que vous parlez son langage », écrit-il.

Le trait observable de la consubstantialité est donc la reprise : le discours reprend les expressions de son auditoire (ses plaintes, ses mots d’ordre, son vocabulaire). La fiche compare deux textes, celui de l’auditoire w et le discours w′, et mesure la part du discours faite des expressions de l’auditoire.

18.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée compte les facteurs communs de longueur au moins k :

Cons(w, w′) = | Fact_≥k(w) ∩ Fact_≥k(w′) |.

En notant F = Fact_≥k(w) et F′ = Fact_≥k(w′), l’indicatrice de F′ en fait une somme ; une forme symétrique, une version pondérée par la longueur et le coefficient de Jaccard la complètent :

Cons(w, w′) = ∑_{u ∈ Σ≥k} χ_F(u) · χ_F′(u), ConsScore(w, w′) = ∑_u |u| · χ_F(u) · χ_F′(u), ConsRate = |F ∩ F′| / |F ∪ F′|.

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : ce que les deux textes ont en commun. Le produit des deux indicatrices d’appartenance traduit exactement « commun aux deux », et c’est le cœur de la mesure. Les exemples de l’énoncé source se recalculent ainsi :

w	w′	valeur annoncée	|∩| (k = 2)	|∪|	Jaccard |∩| / |∪|
ABCDE	XBCDY	3	3	17	3/17 ≈ 0,176
ABAB	BABA	4	4	6	2/3 ≈ 0,667
ABCDEFG	XYZUVW	0	0	36	0

Les cardinaux 3, 4 et 0 sont justes, ainsi que ConsScore = 2 + 3 + 4 = 9 pour les longueurs données. Mais le Jaccard 4/10 = 0,4 ne correspond à aucun des exemples : pour ABAB et BABA, la réunion a 6 éléments et le coefficient vaut 4/6 ≈ 0,667. Cinq précisions sont nécessaires :

1. Un bloc commun produit tous ses sous-facteurs. ABCDE et XBCDY n’ont qu’un bloc commun, BCD ; mais BC, CD et BCD sont trois facteurs communs de longueur au moins 2. Un bloc de L lettres en produit (L − k + 1)(L − k + 2)/2 (lemme 1) : le cardinal mesure la longueur des blocs plus que leur nombre.
2. Les lettres ne disent rien de l’identification. Deux textes français sans rapport ont des dizaines de facteurs de lettres communs (« es », « le », « ent ») : « La politique monétaire de la banque centrale reste prudente » en partage 12 avec « Nous voulons du travail, du pain et la paix pour nos enfants ». L’identification est la reprise de mots et de suites de mots.
3. Les mots outils sont communs à tous les textes. « de la », « et », « nous » se retrouvent partout ; on ne compte une suite reprise que si elle contient un mot plein, en déclarant une table des mots outils.
4. La mesure doit être orientée et rapportée à la longueur. L’identification est le fait du discours : on mesure la part Id(w, w′) des mots du discours w′ qui appartiennent à une suite de k mots reprise de l’auditoire. Le coefficient de Jaccard, symétrique, est conservé comme mesure complémentaire.
5. Le paramètre k doit être choisi, avec un seuil de verdict. k = 1 compte les mots isolés, qui se retrouvent par hasard (des mots-clés cités dans un titre de journal) ; on choisit k et le seuil θ sur les exemples (section 18.8).

Les exemples source : un seul bloc commun BCD donne trois facteurs communs (lemme 1).

18.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

• appartenance : χ_Gₖ(w)(g) = 1 si la suite de k mots g est une suite de l’auditoire ;
• mot plein : P(j) = 1 si la suite contient au moins un mot qui n’est pas un mot outil ;
• « au moins une » : χ_{[1, +∞[}(somme) = 1 si au moins une suite reprise couvre le mot i ;
• seuil : χ_{[θ, 1]}(Id) = 1 si la part couverte atteint θ ;
• « commun aux deux » : le produit de deux indicatrices d’appartenance, comme dans la source.

18.4 Les objets, définis pas à pas

a) Les mots des deux textes

L’auditoire w et le discours w′ sont mis en minuscules ; les élisions sont détachées ; la ponctuation est retirée. Les mots sont t₁, …, t_n pour l’auditoire et t′₁, …, t′_n′ pour le discours.

b) Les mots outils

table	mots
Out	le, la, les, l, un, une, des, de, du, d, et, ou, à, au, aux, en, que, qu, qui, ne, n, pas, il, ils, elle, on, nous, vous, je, j, tu, se, s, ce, c, est, a, nos, vos, votre, notre, mon, pour, avant, ces, sur, y, ont

c) Suites reprises et mots couverts

G_k(w) est l’ensemble des suites de k mots consécutifs de l’auditoire. Pour chaque position j du discours :

C_k(j) = χ_Gₖ(w)(t′_j ⋯ t′_j+k−1) · P(j), Cov(i) = χ_{[1, +∞[}( ∑_j=i−k+1ⁱ C_k(j) ), Id(w, w′) = (1 / n′) · ∑_i=1^n′ Cov(i).

C_k(j) vaut 1 si la suite de k mots qui commence en j est reprise de l’auditoire et contient un mot plein ; Cov(i) vaut 1 si le mot i appartient à une telle suite ; Id est la part des mots du discours ainsi couverts. Le coefficient J_k(w, w′) = |G_k(w) ∩ G_k(w′)| / |G_k(w) ∪ G_k(w′)|, calculé sur les suites à mot plein, est le ConsRate de la source sur des mots.

Lemme 1 (blocs et sous-facteurs). Un bloc commun de L symboles contient (L − k + 1)(L − k + 2)/2 facteurs de longueur au moins k, tous communs. ∴ pour ABCDE et XBCDY (L = 3, k = 2), un seul bloc donne 2 · 3 / 2 = 3 facteurs communs.

Lemme 2 (couverture par les suites de k mots). Un mot est contenu dans une suite commune de longueur au moins k si et seulement s’il est contenu dans une suite commune de longueur exactement k, car toute suite de k mots d’une suite commune est commune. ∴ il suffit de comparer les suites de k mots ; la couverture ne compte chaque mot qu’une fois, quelle que soit la longueur du bloc (pas de surcompte du lemme 1).

Lemme 3 (monotonie en k). Si k ≤ k′, une suite commune de k′ mots contient des suites communes de k mots : Cov_k′(i) ≤ Cov_k(i). ∴ augmenter k ne peut que diminuer Id.

k = 1 et k = 2 sur l’exemple 6 : les mots isolés repris ne font pas une identification.

18.5 Définition mathématique

Id(w, w′) = (1 / n′) · ∑_i=1^n′ χ_{[1, +∞[}( ∑_j=i−k+1ⁱ χ_Gₖ(w)(t′_j ⋯ t′_j+k−1) · P(j) ), Cons(w, w′) = χ_{[θ, 1]}(Id(w, w′)), k = 2, θ = 1/4.

Cons(w, w′) vaut 1 si au moins un quart des mots du discours appartient à des suites de deux mots reprises de l’auditoire.

La définition complète : des suites de mots reprises, la part du discours couverte, un seuil.

L’arbre de décision de la consubstantialité.

18.6 Calcul pas à pas (procédure)

1. Mettre les deux textes en minuscules ; détacher les élisions ; retirer la ponctuation.
2. Former l’ensemble des suites de k = 2 mots de l’auditoire.
3. Pour chaque position j du discours, C_k(j) = 1 si la suite de deux mots qui y commence est une suite de l’auditoire et contient un mot plein.
4. Cov(i) = 1 si le mot i est dans une suite C_k = 1 ; Id = (nombre de mots couverts) / n′.
5. Cons = 1 si Id ≥ θ = 1/4 ; calculer aussi le coefficient de Jaccard J_k.

18.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne les deux textes, le tableau des suites de deux mots du discours avec leur reprise, la couverture mot par mot, puis Id, le verdict, le Jaccard et la lecture source par facteurs de lettres.

Exemple 1 – Le discours reprend les mots de l’auditoire

Auditoire w : « Nous voulons du travail, du pain et la paix pour nos enfants. »

Discours w′ : « Je vous promets du travail, du pain et la paix pour vos enfants. »

position	suite t′j t′j+1	dans G2(w)	P(j)	C2(j)
j = 1	je vous	0	0	0
j = 2	vous promets	0	1	0
j = 3	promets du	0	1	0
j = 4	du travail	1	1	1
j = 5	travail du	1	1	1
j = 6	du pain	1	1	1
j = 7	pain et	1	1	1
j = 8	et la	1	0	0
j = 9	la paix	1	1	1
j = 10	paix pour	1	1	1
j = 11	pour vos	0	0	0
j = 12	vos enfants	0	1	0

Étape 1.1. Couverture Cov(i) des 13 mots du discours : je 0 ; vous 0 ; promets 0 ; du 1 ; travail 1 ; du 1 ; pain 1 ; et 1 ; la 1 ; paix 1 ; pour 1 ; vos 0 ; enfants 0.

Étape 1.2. Id(w, w′) = 8 / 13 = 8/13 ≈ 0,615 ; Cons(w, w′) = χ_{[1/4, 1]}(8/13) = 1 ; attendu : 1 ; J₂ = 6 / 12.

Étape 1.3. Lecture source sur les lettres (k = 2) : 413 facteurs communs sur 1923.

∴ « du travail, du pain et la paix pour » est repris de l’auditoire : huit mots sur treize sont couverts, Id = 8/13 ≈ 0,615, Cons = 1. L’orateur parle la langue de ceux qu’il veut convaincre.

[Image à insérer ici : cons-exemple1.png]

Exemple 1 : les mots du discours couverts par des suites reprises de l’auditoire.

Exemple 2 – La reprise d’une expression : « prix du blé »

Auditoire w : « La terre, la récolte et le prix du blé nous inquiètent. »

Discours w′ : « Votre terre et votre récolte méritent un juste prix du blé. »

position	suite t′j t′j+1	dans G2(w)	P(j)	C2(j)
j = 1	votre terre	0	1	0
j = 2	terre et	0	1	0
j = 3	et votre	0	0	0
j = 4	votre récolte	0	1	0
j = 5	récolte méritent	0	1	0
j = 6	méritent un	0	1	0
j = 7	un juste	0	1	0
j = 8	juste prix	0	1	0
j = 9	prix du	1	1	1
j = 10	du blé	1	1	1

Étape 2.1. Couverture Cov(i) des 11 mots du discours : votre 0 ; terre 0 ; et 0 ; votre 0 ; récolte 0 ; méritent 0 ; un 0 ; juste 0 ; prix 1 ; du 1 ; blé 1.

Étape 2.2. Id(w, w′) = 3 / 11 = 3/11 ≈ 0,273 ; Cons(w, w′) = χ_{[1/4, 1]}(3/11) = 1 ; attendu : 1 ; J₂ = 2 / 16.

Étape 2.3. Lecture source sur les lettres (k = 2) : 84 facteurs communs sur 1927.

∴ « prix du blé » est repris (deux suites, « prix du » et « du blé ») : trois mots sur onze, Id = 3/11 ≈ 0,273 ≥ 1/4, Cons = 1. « terre » et « récolte » sont repris isolément et ne comptent pas avec k = 2.

Exemple 3 – Deux textes sans rapport

Auditoire w : « Nous voulons du travail, du pain et la paix pour nos enfants. »

Discours w′ : « La politique monétaire de la banque centrale reste prudente. »

position	suite t′j t′j+1	dans G2(w)	P(j)	C2(j)
j = 1	la politique	0	1	0
j = 2	politique monétaire	0	1	0
j = 3	monétaire de	0	1	0
j = 4	de la	0	0	0
j = 5	la banque	0	1	0
j = 6	banque centrale	0	1	0
j = 7	centrale reste	0	1	0
j = 8	reste prudente	0	1	0

Étape 3.1. Couverture Cov(i) des 9 mots du discours : la 0 ; politique 0 ; monétaire 0 ; de 0 ; la 0 ; banque 0 ; centrale 0 ; reste 0 ; prudente 0.

Étape 3.2. Id(w, w′) = 0 / 9 = 0 ; Cons(w, w′) = χ_{[1/4, 1]}(0) = 0 ; attendu : 0 ; J₂ = 0 / 16.

Étape 3.3. Lecture source sur les lettres (k = 2) : 12 facteurs communs sur 2373.

∴ aucune suite de deux mots commune : Id = 0, Cons = 0. Les deux textes partagent pourtant des dizaines de facteurs de lettres.

La lecture source sur les lettres : tous les couples ont des facteurs communs.

Exemple 4 – Des mots outils communs seulement

Auditoire w : « Nous voulons du travail, du pain et la paix pour nos enfants. »

Discours w′ : « Je le dis et je le redis : il faut que nous agissions. »

position	suite t′j t′j+1	dans G2(w)	P(j)	C2(j)
j = 1	je le	0	0	0
j = 2	le dis	0	1	0
j = 3	dis et	0	1	0
j = 4	et je	0	0	0
j = 5	je le	0	0	0
j = 6	le redis	0	1	0
j = 7	redis il	0	1	0
j = 8	il faut	0	1	0
j = 9	faut que	0	1	0
j = 10	que nous	0	0	0
j = 11	nous agissions	0	1	0

Étape 4.1. Couverture Cov(i) des 12 mots du discours : je 0 ; le 0 ; dis 0 ; et 0 ; je 0 ; le 0 ; redis 0 ; il 0 ; faut 0 ; que 0 ; nous 0 ; agissions 0.

Étape 4.2. Id(w, w′) = 0 / 12 = 0 ; Cons(w, w′) = χ_{[1/4, 1]}(0) = 0 ; attendu : 0 ; J₂ = 0 / 16.

Étape 4.3. Lecture source sur les lettres (k = 2) : 15 facteurs communs sur 1871.

∴ « nous » est commun, mais c’est un mot outil : Id = 0, Cons = 0.

Exemple 5 – Un seul mot repris

Auditoire w : « Nous voulons du travail, du pain et la paix pour nos enfants. »

Discours w′ : « Pensez à vos enfants avant de voter pour mon adversaire. »

position	suite t′j t′j+1	dans G2(w)	P(j)	C2(j)
j = 1	pensez à	0	1	0
j = 2	à vos	0	0	0
j = 3	vos enfants	0	1	0
j = 4	enfants avant	0	1	0
j = 5	avant de	0	0	0
j = 6	de voter	0	1	0
j = 7	voter pour	0	1	0
j = 8	pour mon	0	0	0
j = 9	mon adversaire	0	1	0

Étape 5.1. Couverture Cov(i) des 10 mots du discours : pensez 0 ; à 0 ; vos 0 ; enfants 0 ; avant 0 ; de 0 ; voter 0 ; pour 0 ; mon 0 ; adversaire 0.

Étape 5.2. Id(w, w′) = 0 / 10 = 0 ; Cons(w, w′) = χ_{[1/4, 1]}(0) = 0 ; attendu : 0 ; J₂ = 0 / 15.

Étape 5.3. Lecture source sur les lettres (k = 2) : 49 facteurs communs sur 2098.

∴ « enfants » est repris, mais seul : aucune suite de deux mots n’est commune (« vos enfants » contre « nos enfants »). Id = 0, Cons = 0.

Exemple 6 – Des mots isolés sans expression reprise

Auditoire w : « La terre, la récolte et le prix du blé nous inquiètent. »

Discours w′ : « Blé, terre, récolte, prix : ces mots font la une des journaux économiques. »

position	suite t′j t′j+1	dans G2(w)	P(j)	C2(j)
j = 1	blé terre	0	1	0
j = 2	terre récolte	0	1	0
j = 3	récolte prix	0	1	0
j = 4	prix ces	0	1	0
j = 5	ces mots	0	1	0
j = 6	mots font	0	1	0
j = 7	font la	0	1	0
j = 8	la une	0	0	0
j = 9	une des	0	0	0
j = 10	des journaux	0	1	0
j = 11	journaux économiques	0	1	0

Étape 6.1. Couverture Cov(i) des 12 mots du discours : blé 0 ; terre 0 ; récolte 0 ; prix 0 ; ces 0 ; mots 0 ; font 0 ; la 0 ; une 0 ; des 0 ; journaux 0 ; économiques 0.

Étape 6.2. Id(w, w′) = 0 / 12 = 0 ; Cons(w, w′) = χ_{[1/4, 1]}(0) = 0 ; attendu : 0 ; J₂ = 0 / 18.

Étape 6.3. Lecture source sur les lettres (k = 2) : 49 facteurs communs sur 2438.

∴ blé, terre, récolte, prix sont repris un à un, sans aucune expression de l’auditoire : avec k = 2, Id = 0 ; avec k = 1, Id = 1/3 et le titre de journal serait jugé consubstantiel.

Exemple 7 – Faux positif assumé : la reprise ironique

Auditoire w : « Nous voulons du travail, du pain et la paix pour nos enfants. »

Discours w′ : « Du travail, du pain et la paix, disent-ils naïvement : quelle illusion ! »

position	suite t′j t′j+1	dans G2(w)	P(j)	C2(j)
j = 1	du travail	1	1	1
j = 2	travail du	1	1	1
j = 3	du pain	1	1	1
j = 4	pain et	1	1	1
j = 5	et la	1	0	0
j = 6	la paix	1	1	1
j = 7	paix disent	0	1	0
j = 8	disent ils	0	1	0
j = 9	ils naïvement	0	1	0
j = 10	naïvement quelle	0	1	0
j = 11	quelle illusion	0	1	0

Étape 7.1. Couverture Cov(i) des 12 mots du discours : du 1 ; travail 1 ; du 1 ; pain 1 ; et 1 ; la 1 ; paix 1 ; disent 0 ; ils 0 ; naïvement 0 ; quelle 0 ; illusion 0.

Étape 7.2. Id(w, w′) = 7 / 12 = 7/12 ≈ 0,583 ; Cons(w, w′) = χ_{[1/4, 1]}(7/12) = 1 ; attendu : 0 ; J₂ = 5 / 14.

Étape 7.3. Lecture source sur les lettres (k = 2) : 254 facteurs communs sur 2340.

∴ « du travail, du pain et la paix » est repris mot pour mot : Id = 7/12 ≈ 0,583, Cons = 1. Mais la reprise est ironique (« disent-ils naïvement ») : l’orateur cite pour se distinguer. Faux positif assumé : la reprise ne dit pas l’intention.

Exemple 8 – Faux négatif assumé : les synonymes

Auditoire w : « Nous voulons un emploi et de quoi manger. »

Discours w′ : « Je vous offrirai du travail et du pain. »

position	suite t′j t′j+1	dans G2(w)	P(j)	C2(j)
j = 1	je vous	0	0	0
j = 2	vous offrirai	0	1	0
j = 3	offrirai du	0	1	0
j = 4	du travail	0	1	0
j = 5	travail et	0	1	0
j = 6	et du	0	0	0
j = 7	du pain	0	1	0

Étape 8.1. Couverture Cov(i) des 8 mots du discours : je 0 ; vous 0 ; offrirai 0 ; du 0 ; travail 0 ; et 0 ; du 0 ; pain 0.

Étape 8.2. Id(w, w′) = 0 / 8 = 0 ; Cons(w, w′) = χ_{[1/4, 1]}(0) = 0 ; attendu : 1 ; J₂ = 0 / 11.

Étape 8.3. Lecture source sur les lettres (k = 2) : 8 facteurs communs sur 978.

∴ le discours répond exactement à l’auditoire (emploi → travail, de quoi manger → pain), mais par des synonymes : aucune suite commune, Id = 0. Faux négatif assumé : l’identification par le sens échappe à la comparaison des mots.

Les deux limites : la reprise ironique et les synonymes.

18.8 Paramètres k et θ, versions de la définition

k et θ sont choisis par l’erreur ∑ |Cons − attendu| sur les huit couples, les verdicts attendus étant : 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1.

k (mots), θ = 1/4	erreurs	textes mal jugés
1	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
2	2	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
3	2	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
4	3	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)

θ, k = 2	erreurs	textes mal jugés
1/10	2	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
1/4	2	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
1/2	3	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
3/4	3	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)

k = 1 juge consubstantiel le titre de journal qui énumère des mots isolés ; k = 4 perd « prix du blé » ; k = 2 et k = 3 donnent le même résultat, et l’on retient k = 2, la plus petite longueur qui exige une expression. θ = 1/10 et θ = 1/4 sont équivalents sur ces couples ; θ = 1/2 perd la reprise de l’exemple 2 (3/11). On retient θ = 1/4 : un mot sur quatre du discours vient de l’auditoire.

Sensibilité à k et au seuil θ.

Les versions de la définition :

version	erreurs ∑ |Cons − attendu|	textes mal jugés
source : au moins un facteur de lettres commun (k = 2)	5	ex. 3 ; ex. 4 ; ex. 5 ; ex. 6 ; ex. 7
mots isolés, sans table des mots outils (k = 1)	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
mots pleins isolés (k = 1)	3	ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
retenue (k = 2, θ = 1/4)	2	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)

Sur les lettres, tous les couples ont des facteurs communs. Les mots isolés font du titre de journal une identification. La version retenue garde deux erreurs assumées : la reprise ironique de l’exemple 7 et les synonymes de l’exemple 8.

Erreurs des versions : les mots, les suites de deux mots et le seuil sont nécessaires.

18.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

• Nécessaire : une fois la table des mots outils, k et θ fixés, C, Cov, Id, Cons et J découlent nécessairement des deux textes ; les lemmes 1 à 3 sont des théorèmes de combinatoire des mots.
• Contingent : le choix du texte de l’auditoire (ses plaintes, son programme, son vocabulaire) est une décision de l’analyste ; la table des mots outils est propre à une langue.
• Possible : tout discours qui reprend un quart de ses mots aux expressions de l’auditoire s’identifie possiblement à lui ; il peut aussi les citer pour s’en moquer (exemple 7).

18.10 Justification et limites

La définition source plaçait au centre l’intersection des facteurs des deux textes, que le produit de deux indicatrices d’appartenance traduit exactement. Il fallait passer des lettres aux mots, écarter les mots outils, remplacer le cardinal (qui compte chaque bloc commun autant de fois qu’il a de sous-facteurs, lemme 1) par la couverture du discours (lemme 2), et orienter la mesure : l’identification est le fait de l’orateur qui reprend les mots de l’auditoire.

Trois limites sont assumées. La reprise ne dit pas l’intention : la citation ironique a la même couverture que l’adhésion (exemple 7). L’identification par le sens, par des synonymes ou des valeurs partagées, échappe à la comparaison des mots (exemple 8). Enfin, la mesure dépend du texte retenu pour représenter l’auditoire.

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