Ci-dessus est l’illustration standard de la notation standard de la fonction caractéristique ou indicatrice d’appartenance notée généralement χ_F(x), et définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément x de l’ensemble E.

1. Barbarisme – Mécanisme en combinatoire des mots

1.1 Définition rhétorique

Le barbarisme est l’emploi d’un mot ou d’une forme qui n’existe pas dans la langue : une faute qui porte sur la forme du mot lui-même (sa morphologie), par opposition au solécisme, faute de construction entre des mots corrects. Le terme vient du grec barbaros, « étranger » : il désignait d’abord l’intrusion de formes étrangères ou déformées dans le grec ou le latin. Quintilien (Institution oratoire, I, 5) et le grammairien Donat décrivent la déformation par quatre opérations sur les lettres ou les syllabes : l’addition (adiectio), la suppression (detractio), la substitution (immutatio) et la transposition (transmutatio).

Exemples classiques en français : « je mourirai » pour « je mourrai » (addition d’une lettre), « aréoport » pour « aéroport » (transposition), « dilemne » pour « dilemme » (substitution), « rénumération » pour « rémunération » (deux lettres échangées à distance), « bravitude » pour « bravoure » (dérivation fautive) ; en anglais, « runnig » pour « running ».

Deux traits définissent donc la figure, et chacun deviendra une fonction calculable :

l’écart : la forme employée n’appartient pas au lexique de la langue ;
la proximité : elle s’explique comme la déformation d’une forme du lexique par un petit nombre d’opérations de Quintilien.

L’unité est le mot employé, c’est-à-dire chaque occurrence d’un mot du texte. Le barbarisme se distingue ainsi du solécisme (faute entre des mots corrects) et du simple mot inconnu (nom propre, mot étranger cité, néologisme), qui est hors du lexique sans être la déformation d’aucun mot.

1.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée est une définition en compréhension, par le cardinal d’un ensemble :

Barb(w) = |{ u ∈ Fact(w) | u ∉ Canon(w) }|,

où Fact(w) est l’ensemble des facteurs du mot w et Canon(w) l’ensemble de ses facteurs canoniques. Avec la fonction indicatrice χ_Canon(u) = 1 si u ∈ Canon(w) et 0 sinon, elle s’écrit comme une somme :

Barb(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} (1 − χ_Canon(u)),

et la variante par substitution, avec la distance de Hamming d_H (nombre de rangs où deux mots de même longueur diffèrent) :

Barb_sub(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{1}( min_{v ∈ Canon(w)} d_H(u, v) ).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les morceaux du texte qui ne sont pas des formes de la langue. Telle quelle, elle n’est pas encore calculable sans ambiguïté, et elle compte autre chose que des barbarismes. Six précisions sont nécessaires :

L’ensemble Fact(w) est trop grand. Il contient tous les facteurs de w, de toutes les longueurs, y compris ceux qui chevauchent deux mots (« t dem » dans « tôt demain ») ou ne couvrent qu’un morceau de mot. Une seule lettre fautive à la position q d’un mot de m lettres apparaît dans q(m − q + 1) facteurs : la somme mesure alors la longueur du mot fautif et la position de la faute, non le nombre de fautes (lemme 1, exemple 1). Le barbarisme est un mot ; on somme donc sur les mots du texte, c’est-à-dire sur les facteurs de w bordés par des séparateurs (espaces, ponctuation, début et fin).
Canon(w) ne peut pas dépendre de w. Si l’ensemble des formes canoniques est tiré du texte lui-même, la définition est circulaire : ce qui est fautif dépendrait de ce qui est écrit. Canon est un lexique fixé d’avance, écrit avec la fiche, indépendant du texte analysé.
Un ensemble ne compte pas les répétitions. |{ u … }| compte une fois une forme fautive employée deux fois ; or deux occurrences de « dilemne » sont deux fautes (exemple 7). On somme sur les occurrences, i = 1, …, n.
Hors Canon ne suffit pas. La première somme compte tout mot absent du lexique, donc aussi les noms propres, les mots étrangers cités et les néologismes, qui ne sont la déformation d’aucun mot (exemple 9). Il faut ajouter la condition de proximité : une forme du Canon à petite distance.
La distance de Hamming ne voit que la substitution. Elle n’est définie qu’entre mots de même longueur ; « runnig » (6 lettres) et « running » (7 lettres) ne se comparent pas rang à rang, et le minimum sur un ensemble vide n’est pas défini. Elle compte 2 pour la transposition « aréoport » / « aéroport ». Or trois des quatre opérations de Quintilien changent la longueur ou l’ordre. La distance qui réalise exactement les quatre opérations est la distance d’édition de Damerau–Levenshtein d (section 1.4 d).
χ_{1} est trop étroit. Il ne retient que les formes à une seule opération exactement ; « rénumération », où deux lettres sont échangées à distance, coûte deux opérations. On remplace {1} par l’intervalle [1, k₀] et l’on fixe le seuil k₀ par le calcul (section 1.8).

1.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

appartenance au lexique : χ_Canon(t) = 1 si le mot t est une forme du Canon ; 1 − χ_Canon(t) = 1 signale un mot hors lexique ;
égalité de deux lettres : χ_Δ(a, b) = 1 si a = b et 0 sinon, où Δ = { (a, a) } est la diagonale ; 1 − χ_Δ(a, b) est le coût d’une substitution ;
seuil de distance : χ_{[1, k₀]}(d) = 1 si 1 ≤ d ≤ k₀ ; la borne 1 exclut d = 0, c’est-à-dire les mots du Canon ;
distance égale à 1 : χ_{1}(d) = 1 si d = 1 (version par substitution) ;
« et » : le produit de deux indicatrices vaut 1 si et seulement si les deux valent 1 ;
comptage : la somme des indicatrices sur les mots du texte compte les mots qui vérifient la condition.

1.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les mots du texte

Le texte est un mot w sur un alphabet A de lettres, d’espaces et de signes de ponctuation. On le met en minuscules ; apostrophes, traits d’union et ponctuation deviennent des espaces. Un mot t = t₁t₂⋯t_m sur les lettres a une longueur |t| = m ; t_q est sa q-ième lettre.

Les mots du texte sont les facteurs de w bordés par des séparateurs. Avec Sep = { espace } et w = w₁⋯w_N, le facteur w_a⋯w_b est un mot du texte si aucune de ses lettres n’est un séparateur, et si w_a−1 et w_b+1 sont des séparateurs ou n’existent pas (début ou fin du texte) :

Tok(w) = { w_a⋯w_b ∈ Fact(w) | χ_Sep(w_a−1) = χ_Sep(w_b+1) = 1, ∑_q=a^b χ_Sep(w_q) = 0 },

avec la convention χ_Sep(w₀) = χ_Sep(w_N+1) = 1. Tok(w) ⊂ Fact(w) : on garde la notion de facteur, restreinte à ceux qui sont des mots. On numérote les occurrences t₁, …, t_n dans l’ordre du texte ; n est le nombre de mots.

Lemme 1 (surcomptage par les facteurs). Dans un mot de m lettres, la lettre de rang q appartient à exactement q(m − q + 1) facteurs (choix du début parmi les q rangs ≤ q, de la fin parmi les m − q + 1 rangs ≥ q). Si cette lettre est la seule faute, tous ces facteurs (distincts ou non) sont hors d’un lexique qui ne contient pas la lettre fautive à cet endroit. ∴ la somme sur Fact(w) dépend de la longueur du mot et du rang de la faute, non du nombre de fautes.

[Image à insérer ici : barb-facteurs.png]

Lecture par facteurs et lecture par mots : une lettre fautive, cinq facteurs hors Canon, un seul mot fautif.

b) Le lexique Canon

Canon est une table finie de formes correctes, déclarée avec la fiche ; chaque mot du texte est comparé au Canon de sa langue. Les tables utilisées dans les exemples sont :

langue	Canon (formes en minuscules)	nombre de formes
abstraite (exemple 1)	a, b, c, ab, bc	5
anglais (exemples 2 et 3)	i, am, run, running, runner, ring, cat, dog, bird	9
français (exemples 4 à 11)	je, il, à, l, la, le, les, un, une, et, est, de, du, lit, mourrai, mourra, mourir, demain, attend, aéroport, port, rémunération, numération, faible, dilemme, encore, réel, bravoure, bravo, parle	30

Le Canon anglais reprend les trois formes cat, dog, bird de l’énoncé source ; la forme bog (tourbière), mot anglais correct, n’y figure pas, ce qui produit le faux positif de l’exemple 3. Le Canon contient volontairement des formes voisines des fautes (mourra, mourir, port, numération, bravo, runner, ring), pour que la recherche du plus proche ne soit pas triviale.

c) La distance de Hamming (variante par substitution)

d_H(t, v) = ∑_q=1^m (1 − χ_Δ(t_q, v_q)), défini seulement si |t| = |v| = m.

On compare les deux mots rang à rang : chaque rang où les lettres diffèrent coûte 1. C’est la distance de la variante Barb_sub. Elle ne mesure que les substitutions : pour une addition, une suppression ou une transposition, elle est soit non définie, soit trop grande.

d) La distance d’édition : les quatre opérations de Quintilien

La distance d’édition d(x, y) est le plus petit nombre d’opérations élémentaires (insérer une lettre, supprimer une lettre, remplacer une lettre, échanger deux lettres voisines) qui transforme x en y. Elle se calcule par un tableau D de (|x| + 1) lignes et (|y| + 1) colonnes, où D(i, j) est la distance entre les i premières lettres de x et les j premières lettres de y :

D(i, 0) = i, D(0, j) = j,

D(i, j) = min( D(i − 1, j) + 1, D(i, j − 1) + 1, D(i − 1, j − 1) + 1 − χ_Δ(x_i, y_j), T(i, j) ),

T(i, j) = D(i − 2, j − 2) + 1 si i ≥ 2, j ≥ 2, x_i = y_j−1 et x_i−1 = y_j ; T(i, j) = +∞ sinon,

d(x, y) = D(|x|, |y|).

Pourquoi ces quatre termes ? Pour aligner les i premières lettres de x sur les j premières de y, la dernière opération est forcément l’une des quatre : supprimer x_i (on revient à D(i − 1, j)), insérer y_j (on revient à D(i, j − 1)), faire correspondre x_i et y_j (gratuit si les lettres sont égales, χ_Δ = 1 ; une substitution sinon), ou échanger deux lettres voisines (on revient deux rangs en arrière). Les quatre opérations de Quintilien sont exactement ces quatre cas : addition, suppression, substitution, transposition. Cette version, où une même lettre n’est pas modifiée deux fois, est la distance d’alignement optimal (Damerau–Levenshtein restreinte).

[Image à insérer ici : barb-distance.png]

Le tableau D pour « runnig » et « running » (une insertion) et pour « aréoport » et « aéroport » (une transposition).

Lemme 2 (borne inférieure). d(t, v) ≥ ||t| − |v|| : chaque opération change la longueur d’au plus une lettre. ∴ pour savoir si d(t, v) ≤ k, il suffit d’examiner les formes v du Canon dont la longueur diffère de celle de t d’au plus k.

Lemme 3 (borne supérieure). d(t, v) ≤ max(|t|, |v|) : on remplace les min(|t|, |v|) premières lettres et l’on ajoute ou supprime les autres. ∴ tout mot de 3 lettres ou moins est à distance ≤ 3 d’une forme du Canon de 3 lettres ou moins, comme « un » ou « à » ; un seuil k₀ ≥ 3 déclarerait barbarisme tout mot court inconnu (section 1.8).

e) La distance au Canon, tronquée

La distance d’un mot t au lexique est la plus petite distance à une forme du Canon. Avec k_max = 3, le plus grand seuil étudié, on limite la recherche aux candidats permis par le lemme 2 et l’on tronque à k_max + 1 = 4 :

Cand(t) = { v ∈ Canon | ||t| − |v|| ≤ k_max }, d*(t) = min( 4, min_{v ∈ Cand(t)} d(t, v) ),

avec la convention min ∅ = +∞. Pourquoi tronquer ? Pour tout seuil k₀ ≤ 3, χ_{[1, k₀]}(d*(t)) = χ_{[1, k₀]}(min_{v ∈ Canon} d(t, v)) (lemme 2) : la troncature ne change aucune décision, et elle donne une valeur finie même quand aucun candidat n’existe. La forme v* qui réalise le minimum est la forme corrigée proposée. On définit de même d_H*(t) = min( 4, min d_H(t, v) ) sur les formes v du Canon de même longueur que t.

Lemme 4 (le Canon est à distance 0). t ∈ Canon équivaut à d*(t) = 0 ; donc χ_{[1, k₀]}(d*(t)) = 0 pour tout mot du Canon, et le facteur 1 − χ_Canon(t) de la définition est redondant. On le garde parce qu’il rend visible la première condition (l’écart) et qu’il se calcule sans tableau D.

1.5 Définition mathématique

Barb(w) = ∑_i=1ⁿ (1 − χ_Canon(t_i)) · χ_{[1, k₀]}( d*(t_i) ), k₀ = 2,

Barb(w) / n = part des mots du texte qui sont des barbarismes.

Chaque facteur a un rôle : 1 − χ_Canon(t_i) vaut 1 si le mot n’est pas une forme de la langue (l’écart) ; χ_{[1, k₀]}(d*(t_i)) vaut 1 si une forme de la langue se trouve à une ou deux opérations de Quintilien (la proximité) ; le produit est le « et » ; la somme compte les occurrences. Les trois versions de l’énoncé source se lisent comme des cas particuliers ou des approximations :

Barb₀(w) = ∑_i (1 − χ_Canon(t_i)) : l’écart seul, sans proximité (première formule restreinte aux mots) ;
Barb_sub(w) = ∑_i χ_{1}(d_H*(t_i)) : la proximité réduite à une substitution ;
la version ensembliste, qui compte une fois chaque forme distincte.

[Image à insérer ici : barb-formule.png]

La définition complète : mots du texte, lexique fixé, distance d’édition.

[Image à insérer ici : barb-arbre.png]

L’arbre de décision : appartenance au Canon, puis distance au Canon.

1.6 Calcul pas à pas (procédure)

Mettre le texte en minuscules ; remplacer apostrophes, traits d’union et ponctuation par des espaces ; lister les mots t₁, …, t_n.
Pour chaque mot, tester l’appartenance au Canon : χ_Canon(t_i). Si elle vaut 1, la contribution est 0.
Sinon, former Cand(t_i) (longueurs voisines à 3 près), remplir le tableau D pour chaque candidat et prendre le minimum d*(t_i) ; noter la forme v* la plus proche et les opérations.
Calculer la contribution (1 − χ_Canon(t_i)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t_i)).
Additionner : Barb(w) ; diviser par n.

1.7 Exemples entièrement calculés

Dans chaque exemple, le tableau donne une ligne par mot : longueur, appartenance au Canon, forme la plus proche v*, distance de Hamming tronquée d_H*, distance d’édition tronquée d*, et contribution. Les lignes d’étapes détaillent, lettre par lettre, l’alignement qui fixe la distance.

Exemple 1 – « abcx » : un facteur hors Canon, cinq facteurs comptés

Texte : « abcx »

n°	facteur u	rangs	\|u\|	χ_Canon(u)	1 − χ_Canon(u)	contient x ?
1	a	1…1	1	1	0	non
2	ab	1…2	2	1	0	non
3	abc	1…3	3	0	1	non
4	abcx	1…4	4	0	1	oui
5	b	2…2	1	1	0	non
6	bc	2…3	2	1	0	non
7	bcx	2…4	3	0	1	oui
8	c	3…3	1	1	0	non
9	cx	3…4	2	0	1	oui
10	x	4…4	1	0	1	oui

Étape 1.0 (lecture par facteurs). ∑_{u ∈ Fact(w)} (1 − χ_Canon(u)) = 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 5.

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	χ_{1}(d_H*)	d*(t_i)	χ_{[1, k₀]}(d*)	contribution
1	abcx	4	0	ab	≥ 4	0	2	1	1

Étape 1.1. Mots du texte : t₁ = abcx ; n = 1.

Étape 1.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 0.

Étape 1.3 (t₁ = abcx). |Cand(t₁)| = 5 formes de longueur 1 à 7 ; la plus proche est v* = ab, d(abcx, ab) = 2.

alignement : χ_Δ(a, a) = 1 ; χ_Δ(b, b) = 1 ; c supprimé ; x supprimé ⇒ d = 2 ; faute : 2 × addition (adiectio) : une lettre de trop.

|abcx| = 4 ≠ |ab| = 2 et aucune forme du Canon n’a 4 lettres : d_H*(t₁) = min(4, min ∅) = 4.

(1 − χ_Canon(t₁)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₁)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(2) = 1.

Étape 1.4. Barb(w) = 1 ; Barb(w) / n = 1.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 1 ; Hamming Barb_sub = 0 ; formes distinctes = 1 ; k₀ = 1 : 0 ; k₀ = 3 : 1 ; attendu : 1.

∴ la lecture par facteurs compte 5 (et 2 seulement si l’on omet, comme l’énoncé source, les facteurs de longueur 3 et 4) pour une seule déviation ; quatre des cinq facteurs contiennent la lettre x (lemme 1 : 4 · 1 = 4), et le cinquième, abc, est hors Canon sans contenir de faute. La lecture par mots compte un mot, à deux suppressions de la forme ab : Barb(w) = 1.

Exemple 2 – « runnig » : une lettre manquante, que la distance de Hamming ne voit pas

Texte : « I am runnig. »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	d*(t_i)	χ_{[1, k₀]}(d*)	contribution
1	i	1	1	—	0	0	0	0
2	am	2	1	—	0	0	0	0
3	runnig	6	0	running	2	1	1	1

Étape 2.1. Mots du texte : t₁ = i, t₂ = am, t₃ = runnig ; n = 3.

Étape 2.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 1, χ_Canon(t₂) = 1, χ_Canon(t₃) = 0.

Étape 2.3 (t₃ = runnig). |Cand(t₃)| = 7 formes de longueur 3 à 9 ; la plus proche est v* = running, d(runnig, running) = 1.

alignement : χ_Δ(r, r) = 1 ; χ_Δ(u, u) = 1 ; χ_Δ(n, n) = 1 ; χ_Δ(n, n) = 1 ; χ_Δ(i, i) = 1 ; n ajouté ; χ_Δ(g, g) = 1 ⇒ d = 1 ; faute : suppression (detractio) : une lettre manque.

|runnig| = 6 ≠ |running| = 7 : d_H ne compare pas ces deux mots ; formes du Canon de 6 lettres : d_H(runnig, runner) = 2 ; d_H*(t₃) = 2.

(1 − χ_Canon(t₃)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₃)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(1) = 1.

Étape 2.4. Barb(w) = 0 + 0 + 1 = 1 ; Barb(w) / n = 1/3 ≈ 0,333.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 1 ; Hamming Barb_sub = 0 ; formes distinctes = 1 ; k₀ = 1 : 1 ; k₀ = 3 : 1 ; attendu : 1.

∴ « runnig » a 6 lettres, « running » en a 7 : la distance de Hamming ne peut pas les comparer, et la seule forme de 6 lettres du Canon, runner, est à d_H = 2. La variante par substitution donne 0. La distance d’édition trouve l’opération : une lettre n manque (detractio), d = 1.

Exemple 3 – « cat dat dog bog » : deux substitutions, dont un faux positif

Texte : « cat dat dog bog »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	χ_{1}(d_H*)	d*(t_i)	χ_{[1, k₀]}(d*)	contribution
1	cat	3	1	—	0	0	0	0	0
2	dat	3	0	cat	1	1	1	1	1
3	dog	3	1	—	0	0	0	0	0
4	bog	3	0	dog	1	1	1	1	1

Étape 3.1. Mots du texte : t₁ = cat, t₂ = dat, t₃ = dog, t₄ = bog ; n = 4.

Étape 3.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 1, χ_Canon(t₂) = 0, χ_Canon(t₃) = 1, χ_Canon(t₄) = 0.

Étape 3.3 (t₂ = dat). |Cand(t₂)| = 8 formes de longueur 1 à 6 ; la plus proche est v* = cat, d(dat, cat) = 1.

alignement : χ_Δ(d, c) = 0 (substitution) ; χ_Δ(a, a) = 1 ; χ_Δ(t, t) = 1 ⇒ d = 1 ; faute : substitution (immutatio).

d_H(dat, cat) = ∑_q=1³ (1 − χ_Δ(t_q, v_q)) = 1 + 0 + 0 = 1.

(1 − χ_Canon(t₂)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₂)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(1) = 1.

Étape 3.3 (t₄ = bog). |Cand(t₄)| = 8 formes de longueur 1 à 6 ; la plus proche est v* = dog, d(bog, dog) = 1.

alignement : χ_Δ(b, d) = 0 (substitution) ; χ_Δ(o, o) = 1 ; χ_Δ(g, g) = 1 ⇒ d = 1 ; faute : substitution (immutatio).

d_H(bog, dog) = ∑_q=1³ (1 − χ_Δ(t_q, v_q)) = 1 + 0 + 0 = 1.

(1 − χ_Canon(t₄)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₄)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(1) = 1.

Étape 3.4. Barb(w) = 0 + 1 + 0 + 1 = 2 ; Barb(w) / n = 1/2 ≈ 0,500.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 2 ; Hamming Barb_sub = 2 ; formes distinctes = 2 ; k₀ = 1 : 2 ; k₀ = 3 : 2 ; attendu : 1.

∴ « dat » est à une substitution de cat : barbarisme. « bog » est à une substitution de dog et hors du Canon déclaré : il est compté, alors que bog (tourbière) est un mot anglais correct. Barb(w) = 2 pour 1 attendu : faux positif assumé, dû au lexique et non au calcul. Avec bog ajouté au Canon, Barb(w) = 1.

Exemple 4 – « mourirai » : l’addition d’une lettre (adiectio)

Texte : « Je mourirai demain. »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	d*(t_i)	χ_{[1, k₀]}(d*)	contribution
1	je	2	1	—	0	0	0	0
2	mourirai	8	0	mourrai	≥ 4	1	1	1
3	demain	6	1	—	0	0	0	0

Étape 4.1. Mots du texte : t₁ = je, t₂ = mourirai, t₃ = demain ; n = 3.

Étape 4.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 1, χ_Canon(t₂) = 0, χ_Canon(t₃) = 1.

Étape 4.3 (t₂ = mourirai). |Cand(t₂)| = 13 formes de longueur 5 à 11 ; la plus proche est v* = mourrai, d(mourirai, mourrai) = 1.

alignement : χ_Δ(m, m) = 1 ; χ_Δ(o, o) = 1 ; χ_Δ(u, u) = 1 ; χ_Δ(r, r) = 1 ; i supprimé ; χ_Δ(r, r) = 1 ; χ_Δ(a, a) = 1 ; χ_Δ(i, i) = 1 ⇒ d = 1 ; faute : addition (adiectio) : une lettre de trop.

|mourirai| = 8 ≠ |mourrai| = 7 : d_H ne compare pas ces deux mots ; formes du Canon de 8 lettres : d_H(mourirai, aéroport) = 8, d_H(mourirai, bravoure) = 8 ; d_H*(t₂) = ≥ 4.

(1 − χ_Canon(t₂)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₂)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(1) = 1.

Étape 4.4. Barb(w) = 0 + 1 + 0 = 1 ; Barb(w) / n = 1/3 ≈ 0,333.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 1 ; Hamming Barb_sub = 0 ; formes distinctes = 1 ; k₀ = 1 : 1 ; k₀ = 3 : 1 ; attendu : 1.

∴ « mourirai » a une lettre de trop par rapport à « mourrai » (adiectio) : d = 1. Les seules formes du Canon de 8 lettres, aéroport et bravoure, diffèrent de mourirai à tous les rangs : d_H* = 4, et la variante par substitution manque ce barbarisme.

Exemple 5 – « aréoport » : la transposition de deux lettres voisines (transmutatio)

Texte : « Il attend à l’aréoport. »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	d*(t_i)	χ_{[1, k₀]}(d*)	contribution
1	il	2	1	—	0	0	0	0
2	attend	6	1	—	0	0	0	0
3	à	1	1	—	0	0	0	0
4	l	1	1	—	0	0	0	0
5	aréoport	8	0	aéroport	2	1	1	1

Étape 5.1. Mots du texte : t₁ = il, t₂ = attend, t₃ = à, t₄ = l, t₅ = aréoport ; n = 5.

Étape 5.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 1, χ_Canon(t₂) = 1, χ_Canon(t₃) = 1, χ_Canon(t₄) = 1, χ_Canon(t₅) = 0.

Étape 5.3 (t₅ = aréoport). |Cand(t₅)| = 13 formes de longueur 5 à 11 ; la plus proche est v* = aéroport, d(aréoport, aéroport) = 1.

alignement : χ_Δ(a, a) = 1 ; ré → ér (transposition) ; χ_Δ(o, o) = 1 ; χ_Δ(p, p) = 1 ; χ_Δ(o, o) = 1 ; χ_Δ(r, r) = 1 ; χ_Δ(t, t) = 1 ⇒ d = 1 ; faute : transposition (transmutatio).

d_H(aréoport, aéroport) = ∑_q=1⁸ (1 − χ_Δ(t_q, v_q)) = 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2.

(1 − χ_Canon(t₅)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₅)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(1) = 1.

Étape 5.4. Barb(w) = 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1 ; Barb(w) / n = 1/5 ≈ 0,200.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 1 ; Hamming Barb_sub = 0 ; formes distinctes = 1 ; k₀ = 1 : 1 ; k₀ = 3 : 1 ; attendu : 1.

∴ les lettres r et é sont échangées (transmutatio) : la distance d’édition compte une opération, la distance de Hamming en compte deux, et la variante par substitution, qui exige d_H = 1, manque le barbarisme.

[Image à insérer ici : barb-hamming.png]

Distance de Hamming et distance d’édition sur cinq barbarismes : seule la substitution simple est vue par la première.

Exemple 6 – « rénumération » : deux substitutions à distance

Texte : « La rénumération est faible. »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	d*(t_i)	χ_{[1, k₀]}(d*)	contribution
1	la	2	1	—	0	0	0	0
2	rénumération	12	0	rémunération	2	2	1	1
3	est	3	1	—	0	0	0	0
4	faible	6	1	—	0	0	0	0

Étape 6.1. Mots du texte : t₁ = la, t₂ = rénumération, t₃ = est, t₄ = faible ; n = 4.

Étape 6.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 1, χ_Canon(t₂) = 0, χ_Canon(t₃) = 1, χ_Canon(t₄) = 1.

Étape 6.3 (t₂ = rénumération). |Cand(t₂)| = 2 formes de longueur 9 à 15 ; la plus proche est v* = rémunération, d(rénumération, rémunération) = 2.

alignement : χ_Δ(r, r) = 1 ; χ_Δ(é, é) = 1 ; χ_Δ(n, m) = 0 (substitution) ; χ_Δ(u, u) = 1 ; χ_Δ(m, n) = 0 (substitution) ; χ_Δ(é, é) = 1 ; χ_Δ(r, r) = 1 ; χ_Δ(a, a) = 1 ; χ_Δ(t, t) = 1 ; χ_Δ(i, i) = 1 ; χ_Δ(o, o) = 1 ; χ_Δ(n, n) = 1 ⇒ d = 2 ; faute : 2 × substitution (immutatio).

d_H(rénumération, rémunération) = ∑_q=1¹² (1 − χ_Δ(t_q, v_q)) = 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2.

(1 − χ_Canon(t₂)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₂)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(2) = 1.

Étape 6.4. Barb(w) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1 ; Barb(w) / n = 1/4 ≈ 0,250.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 1 ; Hamming Barb_sub = 0 ; formes distinctes = 1 ; k₀ = 1 : 0 ; k₀ = 3 : 1 ; attendu : 1.

∴ le n et le m sont échangés à distance (une syllabe les sépare) : ce n’est pas une transposition de lettres voisines, il faut deux substitutions, d = 2. Le seuil k₀ = 1 manquerait ce barbarisme classique ; k₀ = 2 le retient. La forme numération, mot correct, est aussi à distance 2 ; la forme proposée v* est la première atteinte dans l’ordre du Canon, rémunération.

Exemple 7 – « dilemne » deux fois : occurrences et ensemble

Texte : « Un dilemne, encore un dilemne. »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	χ_{1}(d_H*)	d*(t_i)	χ_{[1, k₀]}(d*)	contribution
1	un	2	1	—	0	0	0	0	0
2	dilemne	7	0	dilemme	1	1	1	1	1
3	encore	6	1	—	0	0	0	0	0
4	un	2	1	—	0	0	0	0	0
5	dilemne	7	0	dilemme	1	1	1	1	1

Étape 7.1. Mots du texte : t₁ = un, t₂ = dilemne, t₃ = encore, t₄ = un, t₅ = dilemne ; n = 5.

Étape 7.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 1, χ_Canon(t₂) = 0, χ_Canon(t₃) = 1, χ_Canon(t₄) = 1, χ_Canon(t₅) = 0.

Étape 7.3 (t₂ = dilemne). |Cand(t₂)| = 15 formes de longueur 4 à 10 ; la plus proche est v* = dilemme, d(dilemne, dilemme) = 1.

alignement : χ_Δ(d, d) = 1 ; χ_Δ(i, i) = 1 ; χ_Δ(l, l) = 1 ; χ_Δ(e, e) = 1 ; χ_Δ(m, m) = 1 ; χ_Δ(n, m) = 0 (substitution) ; χ_Δ(e, e) = 1 ⇒ d = 1 ; faute : substitution (immutatio).

d_H(dilemne, dilemme) = ∑_q=1⁷ (1 − χ_Δ(t_q, v_q)) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1.

(1 − χ_Canon(t₂)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₂)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(1) = 1.

Étape 7.3 (t₅ = dilemne). même forme que plus haut : d*(t₅) = 1, contribution 1.

Étape 7.4. Barb(w) = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 2 ; Barb(w) / n = 2/5 ≈ 0,400.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 2 ; Hamming Barb_sub = 2 ; formes distinctes = 1 ; k₀ = 1 : 2 ; k₀ = 3 : 2 ; attendu : 2.

∴ deux occurrences de la même forme fautive font deux barbarismes : Barb(w) = 2. La version ensembliste |{ u … }| ne compte qu’une forme distincte et donne 1.

Exemple 8 – « Le dilemme est réel » : aucun barbarisme

Texte : « Le dilemme est réel. »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*
1	le	2	1	—
2	dilemme	7	1	—
3	est	3	1	—
4	réel	4	1	—

Étape 8.1. Mots du texte : t₁ = le, t₂ = dilemme, t₃ = est, t₄ = réel ; n = 4.

Étape 8.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 1, χ_Canon(t₂) = 1, χ_Canon(t₃) = 1, χ_Canon(t₄) = 1.

Étape 8.4. Barb(w) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 ; Barb(w) / n = 0.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 0 ; Hamming Barb_sub = 0 ; formes distinctes = 0 ; k₀ = 1 : 0 ; k₀ = 3 : 0 ; attendu : 0.

∴ tous les mots sont des formes du Canon : 1 − χ_Canon(t_i) = 0 pour tout i, Barb(w) = 0. « dilemme » est la forme correcte de l’exemple 7.

Exemple 9 – « Hugo lit Zarathoustra » : des noms propres hors Canon, loin du Canon

Texte : « Hugo lit Zarathoustra. »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	d*(t_i)
1	hugo	4	0	un	≥ 4	3
2	lit	3	1	—	0	0
3	zarathoustra	12	0	—	≥ 4	≥ 4

Étape 9.1. Mots du texte : t₁ = hugo, t₂ = lit, t₃ = zarathoustra ; n = 3.

Étape 9.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 0, χ_Canon(t₂) = 1, χ_Canon(t₃) = 0.

Étape 9.3 (t₁ = hugo). |Cand(t₁)| = 26 formes de longueur 1 à 7 ; la plus proche est v* = un, d(hugo, un) = 3.

alignement : h supprimé ; χ_Δ(u, u) = 1 ; g supprimé ; χ_Δ(o, n) = 0 (substitution) ⇒ d = 3 ; faute : 2 × addition (adiectio) : une lettre de trop, substitution (immutatio).

|hugo| = 4 ≠ |un| = 2 : d_H ne compare pas ces deux mots ; formes du Canon de 4 lettres : d_H(hugo, port) = 4, d_H(hugo, réel) = 4 ; d_H*(t₁) = ≥ 4.

(1 − χ_Canon(t₁)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₁)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(3) = 0.

Étape 9.3 (t₃ = zarathoustra). |Cand(t₃)| = 2 formes de longueur 9 à 15 ; toutes sont à 4 opérations ou plus : d*(t₃) = 4.

(1 − χ_Canon(t₃)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₃)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(≥ 4) = 0.

Étape 9.4. Barb(w) = 0 + 0 + 0 = 0 ; Barb(w) / n = 0.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 2 ; Hamming Barb_sub = 0 ; formes distinctes = 0 ; k₀ = 1 : 0 ; k₀ = 3 : 1 ; attendu : 0.

∴ « hugo » et « zarathoustra » sont hors du Canon : l’écart seul (Barb₀) en compterait 2. Mais aucune forme du Canon n’est à moins de 3 opérations : ce ne sont les déformations d’aucun mot, Barb(w) = 0. La condition de proximité écarte les noms propres ; avec k₀ = 3, « hugo » (à 3 opérations de « un ») serait compté à tort.

Exemple 10 – « bravitude » : une dérivation fautive, hors de portée de la distance

Texte : « Une bravitude. »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	χ_{1}(d_H*)	d*(t_i)	χ_{[1, k₀]}(d*)	contribution
1	une	3	1	—	0	0	0	0	0
2	bravitude	9	0	bravoure	≥ 4	0	3	0	0

Étape 10.1. Mots du texte : t₁ = une, t₂ = bravitude ; n = 2.

Étape 10.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 1, χ_Canon(t₂) = 0.

Étape 10.3 (t₂ = bravitude). |Cand(t₂)| = 12 formes de longueur 6 à 12 ; la plus proche est v* = bravoure, d(bravitude, bravoure) = 3.

alignement : χ_Δ(b, b) = 1 ; χ_Δ(r, r) = 1 ; χ_Δ(a, a) = 1 ; χ_Δ(v, v) = 1 ; i supprimé ; χ_Δ(t, o) = 0 (substitution) ; χ_Δ(u, u) = 1 ; χ_Δ(d, r) = 0 (substitution) ; χ_Δ(e, e) = 1 ⇒ d = 3 ; faute : addition (adiectio) : une lettre de trop, 2 × substitution (immutatio).

|bravitude| = 9 ≠ |bravoure| = 8 et aucune forme du Canon n’a 9 lettres : d_H*(t₂) = min(4, min ∅) = 4.

(1 − χ_Canon(t₂)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₂)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(3) = 0.

Étape 10.4. Barb(w) = 0 + 0 = 0 ; Barb(w) / n = 0.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 1 ; Hamming Barb_sub = 0 ; formes distinctes = 0 ; k₀ = 1 : 0 ; k₀ = 3 : 1 ; attendu : 1.

∴ « bravitude » est formé du radical brav- et du suffixe -itude, qui existent séparément mais ne se combinent pas ainsi. La forme correcte bravoure est à 3 opérations : au-delà de k₀ = 2, le barbarisme n’est pas compté. C’est une limite de la mesure par distance : la dérivation fautive n’est pas une déformation locale.

Exemple 11 – Texte complet

Texte : « Je mourirai demain à l’aréoport. Hugo lit Zarathoustra. La rénumération est un dilemne et une bravitude. »

i	t_i	\|t_i\|	χ_Canon(t_i)	forme proche v*	d_H*(t_i)	χ_{1}(d_H*)	d*(t_i)	χ_{[1, k₀]}(d*)	contribution
1	je	2	1	—	0	0	0	0	0
2	mourirai	8	0	mourrai	≥ 4	0	1	1	1
3	demain	6	1	—	0	0	0	0	0
4	à	1	1	—	0	0	0	0	0
5	l	1	1	—	0	0	0	0	0
6	aréoport	8	0	aéroport	2	0	1	1	1
7	hugo	4	0	un	≥ 4	0	3	0	0
8	lit	3	1	—	0	0	0	0	0
9	zarathoustra	12	0	—	≥ 4	0	≥ 4	0	0
10	la	2	1	—	0	0	0	0	0
11	rénumération	12	0	rémunération	2	0	2	1	1
12	est	3	1	—	0	0	0	0	0
13	un	2	1	—	0	0	0	0	0
14	dilemne	7	0	dilemme	1	1	1	1	1
15	et	2	1	—	0	0	0	0	0
16	une	3	1	—	0	0	0	0	0
17	bravitude	9	0	bravoure	≥ 4	0	3	0	0

Étape 11.1. Mots du texte : t₁ = je, t₂ = mourirai, t₃ = demain, t₄ = à, t₅ = l, t₆ = aréoport, t₇ = hugo, t₈ = lit, t₉ = zarathoustra, t₁₀ = la, t₁₁ = rénumération, t₁₂ = est, t₁₃ = un, t₁₄ = dilemne, t₁₅ = et, t₁₆ = une, t₁₇ = bravitude ; n = 17.

Étape 11.2. Appartenance au Canon : χ_Canon(t₁) = 1, χ_Canon(t₂) = 0, χ_Canon(t₃) = 1, χ_Canon(t₄) = 1, χ_Canon(t₅) = 1, χ_Canon(t₆) = 0, χ_Canon(t₇) = 0, χ_Canon(t₈) = 1, χ_Canon(t₉) = 0, χ_Canon(t₁₀) = 1, χ_Canon(t₁₁) = 0, χ_Canon(t₁₂) = 1, χ_Canon(t₁₃) = 1, χ_Canon(t₁₄) = 0, χ_Canon(t₁₅) = 1, χ_Canon(t₁₆) = 1, χ_Canon(t₁₇) = 0.

Étape 11.3 (t₂ = mourirai). |Cand(t₂)| = 13 formes de longueur 5 à 11 ; la plus proche est v* = mourrai, d(mourirai, mourrai) = 1.

|mourirai| = 8 ≠ |mourrai| = 7 : d_H ne compare pas ces deux mots ; formes du Canon de 8 lettres : d_H(mourirai, aéroport) = 8, d_H(mourirai, bravoure) = 8 ; d_H*(t₂) = ≥ 4.

(1 − χ_Canon(t₂)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₂)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(1) = 1.

Étape 11.3 (t₆ = aréoport). |Cand(t₆)| = 13 formes de longueur 5 à 11 ; la plus proche est v* = aéroport, d(aréoport, aéroport) = 1.

alignement : χ_Δ(a, a) = 1 ; ré → ér (transposition) ; χ_Δ(o, o) = 1 ; χ_Δ(p, p) = 1 ; χ_Δ(o, o) = 1 ; χ_Δ(r, r) = 1 ; χ_Δ(t, t) = 1 ⇒ d = 1 ; faute : transposition (transmutatio).

d_H(aréoport, aéroport) = ∑_q=1⁸ (1 − χ_Δ(t_q, v_q)) = 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2.

(1 − χ_Canon(t₆)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₆)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(1) = 1.

Étape 11.3 (t₇ = hugo). |Cand(t₇)| = 26 formes de longueur 1 à 7 ; la plus proche est v* = un, d(hugo, un) = 3.

alignement : h supprimé ; χ_Δ(u, u) = 1 ; g supprimé ; χ_Δ(o, n) = 0 (substitution) ⇒ d = 3 ; faute : 2 × addition (adiectio) : une lettre de trop, substitution (immutatio).

|hugo| = 4 ≠ |un| = 2 : d_H ne compare pas ces deux mots ; formes du Canon de 4 lettres : d_H(hugo, port) = 4, d_H(hugo, réel) = 4 ; d_H*(t₇) = ≥ 4.

(1 − χ_Canon(t₇)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₇)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(3) = 0.

Étape 11.3 (t₉ = zarathoustra). |Cand(t₉)| = 2 formes de longueur 9 à 15 ; toutes sont à 4 opérations ou plus : d*(t₉) = 4.

(1 − χ_Canon(t₉)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₉)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(≥ 4) = 0.

Étape 11.3 (t₁₁ = rénumération). |Cand(t₁₁)| = 2 formes de longueur 9 à 15 ; la plus proche est v* = rémunération, d(rénumération, rémunération) = 2.

d_H(rénumération, rémunération) = ∑_q=1¹² (1 − χ_Δ(t_q, v_q)) = 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2.

(1 − χ_Canon(t₁₁)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₁₁)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(2) = 1.

Étape 11.3 (t₁₄ = dilemne). |Cand(t₁₄)| = 15 formes de longueur 4 à 10 ; la plus proche est v* = dilemme, d(dilemne, dilemme) = 1.

alignement : χ_Δ(d, d) = 1 ; χ_Δ(i, i) = 1 ; χ_Δ(l, l) = 1 ; χ_Δ(e, e) = 1 ; χ_Δ(m, m) = 1 ; χ_Δ(n, m) = 0 (substitution) ; χ_Δ(e, e) = 1 ⇒ d = 1 ; faute : substitution (immutatio).

d_H(dilemne, dilemme) = ∑_q=1⁷ (1 − χ_Δ(t_q, v_q)) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1.

(1 − χ_Canon(t₁₄)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₁₄)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(1) = 1.

Étape 11.3 (t₁₇ = bravitude). |Cand(t₁₇)| = 12 formes de longueur 6 à 12 ; la plus proche est v* = bravoure, d(bravitude, bravoure) = 3.

|bravitude| = 9 ≠ |bravoure| = 8 et aucune forme du Canon n’a 9 lettres : d_H*(t₁₇) = min(4, min ∅) = 4.

(1 − χ_Canon(t₁₇)) · χ_{[1, k₀]}(d*(t₁₇)) = 1 · χ_{[1, k₀]}(3) = 0.

Étape 11.4. Barb(w) = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 4 ; Barb(w) / n = 4/17 ≈ 0,235.

Autres versions : écart seul Barb₀ = 7 ; Hamming Barb_sub = 1 ; formes distinctes = 4 ; k₀ = 1 : 3 ; k₀ = 3 : 6 ; attendu : 5.

∴ Barb(w) = 4 sur 17 mots, soit une part de 4/17 ≈ 0,235 : addition (mourirai), transposition (aréoport), deux substitutions à distance (rénumération), substitution (dilemne). Les noms propres ne sont pas comptés ; la dérivation fautive bravitude ne l’est pas non plus (d* = 3), d’où 4 au lieu des 5 barbarismes réels.

[Image à insérer ici : barb-texte-complet.png]

Exemple 11 : dix-sept mots, quatre barbarismes comptés.

1.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les onze textes des exemples 1 à 11, par l’écart entre Barb calculé et Barb attendu. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 5 (l’exemple 3 contient un seul barbarisme, dat ; l’exemple 10 en contient un, bravitude).

version	Barb total	erreurs ∑ \|Barb − attendu\| (sur 11 textes)	textes mal comptés
écart seul : ∑ (1 − χ_Canon(t_i))	19	5	ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 9 (2 au lieu de 0) ; ex. 11 (7 au lieu de 5)
Hamming : ∑ χ_{1}(d_H*(t_i))	5	11	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (1 au lieu de 5)
ensemble des formes distinctes (k₀ = 2)	12	4	ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 7 (1 au lieu de 2) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (4 au lieu de 5)
distance d’édition, k₀ = 1	10	6	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (3 au lieu de 5)
retenue : distance d’édition, k₀ = 2	13	3	ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (4 au lieu de 5)

La lecture par facteurs n’entre pas dans ce tableau : sur le seul mot abcx elle donne 5 au lieu de 1, et sur le texte de l’exemple 11 (101 caractères), Fact(w) contient 5 039 facteurs distincts, dont 5 023 hors du Canon. L’écart seul compte les noms propres. La variante de Hamming manque toute addition, suppression ou transposition. La version ensembliste perd la répétition de l’exemple 7. Le seuil k₀ = 1 perd rénumération. La version retenue garde trois erreurs : le faux positif bog (lexique incomplet) et la dérivation fautive bravitude (deux fois, exemples 10 et 11).

[Image à insérer ici : barb-versions.png]

Erreurs des versions : mots du texte, occurrences, distance d’édition et proximité sont tous nécessaires.

Le seuil k₀ :

k₀ (distance maximale au Canon)	erreurs ∑ \|Barb − attendu\|	textes mal comptés
1	6	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 6 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (3 au lieu de 5)
2	3	ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1) ; ex. 11 (4 au lieu de 5)
3	3	ex. 3 (2 au lieu de 1) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 11 (6 au lieu de 5)

k₀ = 1 perd les barbarismes à deux opérations (rénumération). k₀ = 2 et k₀ = 3 font le même nombre d’erreurs, mais pas les mêmes : k₀ = 3 retrouve bravitude et compte à tort le nom propre hugo. Le lemme 3 départage : avec k₀ = 3, tout mot inconnu de 3 lettres ou moins (sigle, prénom, mot étranger court) est à distance ≤ 3 de « un » et devient un barbarisme ; l’erreur de hugo n’est pas un accident mais une règle. On retient k₀ = 2, qui traduit aussi l’idée de Quintilien d’une déformation locale, portant sur une lettre ou une syllabe.

[Image à insérer ici : barb-seuils.png]

Sensibilité au seuil k₀ et borne d(t, v) ≤ max(|t|, |v|) pour les mots courts.

1.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

Nécessaire : une fois le Canon fixé, d, d*, la forme v* et Barb(w) découlent nécessairement des lettres ; les lemmes 1 à 4 sont des conséquences nécessaires des définitions ; les quatre opérations de Quintilien sont exactement les opérations du tableau D.
Contingent : l’appartenance au Canon dépend d’un lexique déclaré ; « bog » est un barbarisme pour le Canon de l’exemple 3 et un mot correct pour un dictionnaire anglais. La mesure n’est pas monotone en le Canon : ajouter une forme fait sortir ce mot du compte, mais peut rapprocher d’autres mots inconnus du lexique et les y faire entrer.
Possible : tout mot hors Canon à une ou deux opérations d’une forme du Canon est un barbarisme possible ; il peut être aussi un mot rare absent du lexique (bog) ou un nom propre proche d’un mot commun (« Troie » et « trois », à une opération).

1.10 Justification et limites

La correspondance est directe : les quatre opérations que la grammaire antique utilisait pour décrire le barbarisme sont celles de la distance d’édition de la combinatoire des mots. La définition antique se lit comme une définition métrique : un barbarisme est un mot hors du lexique situé à petite distance du lexique. La définition en compréhension par Fact(w) et Canon(w) en donnait l’intuition ; il fallait la ramener aux mots du texte, à un lexique fixé, aux occurrences, et à une distance qui réalise les quatre opérations et non la seule substitution.

Quatre limites sont assumées. La dérivation fautive (bravitude, pécunier) n’est pas une déformation locale : elle se reconnaît par la décomposition en un radical et un suffixe existants, test qui demande des tables de radicaux et de suffixes. Une faute qui produit un autre mot correct (« un ver » pour « un vert ») est invisible, puisque le mot est dans le Canon : elle relève du solécisme ou de la confusion de mots, non du barbarisme. Les noms propres proches d’un mot commun sont comptés si le Canon ne les contient pas. Enfin, la forme corrigée v* n’est pas toujours unique (rénumération est à distance 2 de rémunération et de numération) ; le nombre de barbarismes, lui, ne dépend pas de ce choix.

⁂

2. Bathos – Mécanisme en combinatoire des mots

2.1 Définition rhétorique

Le bathos (du grec bathos, « profondeur ») est la chute ridicule d’un passage élevé vers le trivial. Alexander Pope l’a nommé par parodie du traité Du sublime (Peri Hupsous) dans Peri Bathous, or the Art of Sinking in Poetry (1727). L’exemple canonique est le distique de The Rape of the Lock : « Not louder shrieks to pitying heav’n are cast, / When husbands or when lap-dogs breathe their last » : la mort des maris et celle des chiens de salon sont mises sur le même plan, au terme d’un vers sublime.

Le bathos se distingue de l’anticlimax, descente graduelle et souvent voulue, par la brutalité de la chute : un seul élément trivial, placé immédiatement après un passage élevé, suffit à le ruiner. Trois traits le définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

un sommet : le passage de départ est élevé ;
une chute brutale : l’élément suivant tombe d’un coup de plusieurs degrés ;
un seul élément suffit : la chute se lit sur le mot le plus bas, non sur la moyenne du passage qui suit.

L’unité est la frontière entre deux unités voisines du texte (vers, propositions). Une descente en plusieurs petites marches n’est pas un bathos mais un anticlimax ; une chute sans sommet n’est que trivialité.

2.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée part d’un maximum défini par une condition d’existence :

Bath(w) = max { Δ | ∃ (u_i), ι(u_i) − ι(u_i+1) ≥ Δ },

où les u_i sont des facteurs consécutifs de w et ι(u) une intensité. L’existence est remplacée par un produit d’indicatrices, avec χ_{]0, +∞[}(x) = 1 si x > 0 et 0 sinon :

Desc(u₁, …, u_k) = ∏_i=1^k−1 χ_{]0, +∞[}( ι(u_i) − ι(u_i+1) ), B(u₁, …, u_k) = Desc(u₁, …, u_k) · ( ι(u₁) − ι(u_k) ),

Bath(w) = max_{(u₁, …, uₖ)} B(u₁, …, u_k), BathCount(w) = ∑_{(u₁, …, uₖ)} Desc(u₁, …, u_k).

Desc vaut 1 si et seulement si ι(u₁) > ι(u₂) > ⋯ > ι(u_k) ; B est la chute totale de la chaîne ; Bath(w) retient la plus forte. Cette écriture dit ce qu’il faut compter : des chutes d’intensité entre éléments voisins. Recalculées, les trois chaînes de l’énoncé source donnent :

chaîne	ι(u₁), …, ι(u_k)	marches ι(u_i) − ι(u_i+1)	Desc de la chaîne entière	B de la chaîne entière	max_chaînes B	plus grande marche
1	10, 7, 3	3, 4	1	7	7 sur (u₁, …, u₃)	4
2	12, 11, 8, 2	1, 3, 6	1	10	10 sur (u₁, …, u₄)	6
3	15, 9, 11	6, -2	0	0	6 sur (u₁, u₂)	6

Telle quelle, la définition mesure la descente, non la chute brutale. Six précisions sont nécessaires :

Les facteurs et leur intensité ne sont pas définis. « Facteurs consécutifs » laisse libre le découpage, et ι n’est donné sur aucun facteur réel. On fixe les unités (vers et propositions, facteurs de w bordés par la ponctuation) et l’on calcule ι(u) à partir d’une table d’élévation des mots, déclarée avec la fiche.
Le maximum porte aussi sur les sous-chaînes. La chaîne (15, 9, 11) a Desc = 0, mais sa sous-chaîne (u₁, u₂) a Desc = 1 et B = 6 : la formule donne Bath = 6, et non 0 (lemme 2). La chute de 15 à 9 est d’ailleurs la seule chute brutale des trois exemples.
La chute totale ne distingue pas le bathos de l’anticlimax. Sur une chaîne descendante, B est la somme des marches (lemme 3) : la descente lente (12, 11, 8, 2) et la chute d’un coup ont le même B. Le maximum de B classe l’anticlimax « gloire, royaume, maison, chapeau » (B = 7/3) au-dessus du bathos des astres et du parapluie (B = 11/6, exemple 10). Ce qui caractérise le bathos est la plus grande marche, entre deux unités voisines.
Aucun seuil. Toute baisse, même d’un tiers de degré, est comptée, et rien n’exige un sommet : une chute du neutre au vulgaire (« la maison », « la crotte ») serait un bathos. On ajoute deux seuils : un départ élevé θ₁ et une chute d’au moins θ₂ degrés.
La moyenne de l’unité d’arrivée dilue le mot trivial. Dans le vers de Pope, « lap-dogs » vaut −1, mais la moyenne de son vers est −1/4. Le bathos se mesure de la moyenne de l’unité de départ au minimum de l’unité d’arrivée.
BathCount compte des chaînes, non des chutes. Une suite descendante de r unités contient r(r − 1)/2 chaînes descendantes (lemme 4) : le compte mesure la longueur des descentes. On compte les frontières.

Desc et B ne sont pas abandonnés : ils mesurent exactement l’anticlimax, descente en plusieurs marches dont aucune n’est un bathos (section 2.4 e).

2.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

baisse stricte : χ_{]0, +∞[}(x) = 1 si x > 0 ;
seuil de départ : χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u)) = 1 si l’élévation moyenne de u atteint θ₁ ;
seuil de chute : χ_{[θ₂, +∞[}(c) = 1 si la chute atteint θ₂ ;
appartenance à la table : χ_E(t) = 1 si le mot t a une élévation déclarée ;
« et » : le produit ; « aucun » : le produit des 1 − χ ;
comptage : la somme ; plus forte valeur : le maximum.

2.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte, les mots, les unités

Le texte est un mot w ; on le met en minuscules. Les unités sont les facteurs de w bordés par des séparateurs d’unité Sep_U = { , ; : . ! ? / } (la barre oblique marque la fin d’un vers cité en ligne) et qui n’en contiennent aucun :

u = w_a⋯w_b ∈ Fact(w), χ_SepU(w_a−1) = χ_SepU(w_b+1) = 1, ∑_q=a^b χ_SepU(w_q) = 0.

On les numérote u₁, …, u_m dans l’ordre du texte ; deux unités voisines u_j, u_j+1 ont une frontière j, pour j = 1, …, m − 1. Dans chaque unité, les mots t_i sont les facteurs bordés par des espaces ; les élisions (l’, j’, d’, qu’…) sont détachées.

b) L’échelle d’élévation ε

Chaque mot porteur de ton reçoit une valeur ε(t) ∈ { −2, −1, 0, 1, 2 } lue dans une table déclarée ; les mots grammaticaux n’y figurent pas et sont ignorés. La table utilisée dans les exemples est :

ε(t)	classe	mots de la table
2	sublime	heav’n, éternel, éternels, éternelle, sacré, sacrée, firmament, gloire, immortel, sublime, life
1	noble	shrieks, pitying, cast, astres, immensité, royaume, brillent, resplendit, noble, roi, génie, glorieusement, héros
0	neutre	louder, husbands, breathe, last, roulaient, oublié, maison, months, store, tell, works, weak, perdit, mourut, pleura, entra, marcha, redevint
−1	prosaïque, domestique	lap-dogs, parapluie, chapeau, troué, ankles, swell, chien
−2	vulgaire	crotte

Pour une unité u, L(u) est l’ensemble des rangs i de ses mots qui figurent dans la table, |L(u)| = ∑_i χ_E(t_i) leur nombre, et :

ῑ(u) = (1 / |L(u)|) · ∑_{i ∈ L(u)} ε(t_i), ι_min(u) = min_{i ∈ L(u)} ε(t_i).

ῑ(u) est le ton moyen de l’unité ; ι_min(u) son mot le plus bas. Ce sont les deux lectures de l’intensité ι de l’énoncé source.

Lemme 1 (le minimum est sous la moyenne). ι_min(u) ≤ ῑ(u), avec égalité si et seulement si tous les mots de la table ont la même valeur dans u. ∴ un seul mot trivial abaisse ι_min de toute sa valeur, mais ῑ seulement d’une fraction 1/|L(u)|.

c) La chute à une frontière

c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1), δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1).

c_j est la chute du ton moyen de l’unité de départ au mot le plus bas de l’unité d’arrivée : c’est la brutalité. δ_j est la baisse d’une moyenne à l’autre : c’est la marche de la descente. Par le lemme 1, c_j ≥ δ_j.

[Image à insérer ici : bath-profil.png]

Le profil d’élévation mot par mot : du ton moyen de u₁ au mot le plus bas de u₂.

d) Les chaînes de l’énoncé source

Une chaîne est une suite d’unités consécutives (u_a, …, u_b), 1 ≤ a < b ≤ m. Avec ι = ῑ :

Desc(a, b) = ∏_j=a^b−1 χ_{]0, +∞[}(δ_j), B(a, b) = Desc(a, b) · ( ῑ(u_a) − ῑ(u_b) ).

Lemme 2 (sous-chaînes). Si Desc(a, b) = 1, toute sous-chaîne (a′, b′) avec a ≤ a′ < b′ ≤ b a aussi Desc = 1. En particulier max B ≥ max_j δ_j · χ_{]0, +∞[}(δ_j) : les chaînes de deux unités sont comprises dans le maximum.

Lemme 3 (télescopage). Si Desc(a, b) = 1, B(a, b) = ∑_j=a^b−1 δ_j : la chute totale est la somme des marches. ∴ une descente de trois marches d’un degré et une chute unique de trois degrés ont le même B.

Lemme 4 (nombre de chaînes). Une suite maximale de r unités strictement décroissantes contient r(r − 1)/2 chaînes descendantes (choix de a < b parmi r rangs). ∴ BathCount croît comme le carré de la longueur des descentes.

[Image à insérer ici : bath-anticlimax.png]

Bathos et anticlimax : la chute totale B ne les distingue pas, la plus grande marche si.

[Image à insérer ici : bath-source.png]

Les trois chaînes de l’énoncé source : le maximum porte aussi sur les sous-chaînes.

e) L’anticlimax, avec Desc et B

Une chaîne R = (a, b) est maximale si Desc(a, b) = 1 et si elle ne se prolonge pas : (a = 1 ou δ_a−1 ≤ 0) et (b = m ou δ_b ≤ 0). C’est un anticlimax si elle compte au moins trois unités, si sa chute totale atteint θ₂, et si aucune de ses frontières n’est un bathos :

Anti(w) = ∑_{R maximale, b − a ≥ 2} χ_{[θ₂, +∞[}(B(R)) · ∏_j=a^b−1 (1 − Bt_j).

La même descente est donc un anticlimax quand elle se fait en petites marches, et un bathos quand une marche suffit à franchir θ₂.

2.5 Définition mathématique

Bt_j = χ_{[θ₁, +∞[}( ῑ(u_j) ) · χ_{[θ₂, +∞[}( ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1) ), θ₁ = 1, θ₂ = 2,

Bath(w) = ∑_j=1^m−1 Bt_j, Amp(w) = max_j Bt_j · c_j.

Le premier facteur vaut 1 si l’unité de départ est au moins noble en moyenne (le sommet) ; le second, si la chute vers le mot le plus bas de l’unité suivante franchit au moins deux degrés de l’échelle (la brutalité) ; leur produit est le « et ». La somme compte les bathos ; Amp(w) reprend le maximum de l’énoncé source, mais sur les seules frontières qui sont des bathos. Les seuils sont des seuils de l’échelle : 1 est le degré « noble », 2 le passage du noble au prosaïque ou du sublime au neutre ; la section 2.8 les vérifie par le calcul.

[Image à insérer ici : bath-formule.png]

La définition complète : unités, sommet, chute vers le mot le plus bas ; Desc et B pour l’anticlimax.

[Image à insérer ici : bath-arbre.png]

L’arbre de décision à chaque frontière.

2.6 Calcul pas à pas (procédure)

Mettre le texte en minuscules ; le découper en unités aux signes , ; : . ! ? / ; détacher les élisions.
Lire ε(t) pour chaque mot de la table ; calculer |L(u)|, ῑ(u) et ι_min(u) pour chaque unité.
À chaque frontière j, calculer c_j et δ_j, puis Bt_j.
Additionner : Bath(w) ; prendre Amp(w) = max Bt_j · c_j.
Chercher les chaînes maximales strictement décroissantes d’au moins trois unités : Anti(w).

2.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne deux tableaux : les unités (mots de la table et leurs valeurs, |L(u)|, ῑ, ι_min) et les frontières (chute c_j, indicatrices, décision Bt_j, marche δ_j et baisse stricte).

Exemple 1 – Pope : « lap-dogs » après le ciel

Texte : « Not louder shrieks to pitying heav’n are cast, / When husbands or when lap-dogs breathe their last. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	Not louder shrieks to pitying heav’n are cast	louder (0), shrieks (1), pitying (1), heav’n (2), cast (1)	5	5	1	0
u₂	When husbands or when lap-dogs breathe their last	husbands (0), lap-dogs (−1), breathe (0), last (0)	4	−1	−1/4	−1

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j))	χ_{[θ₂, +∞[}(c_j)	Bt_j	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	1	−1	2	1	1	1	5/4	1

Étape 1.1. Unités : m = 2 ; frontières : 1.

Étape 1.2 (u₁). ῑ(u₁) = (0 + 1 + 1 + 2 + 1) / 5 = 1 ; ι_min(u₁) = min(0, 1, 1, 2, 1) = 0.

Étape 1.2 (u₂). ῑ(u₂) = (0 + (−1) + 0 + 0) / 4 = −1/4 ≈ −0,250 ; ι_min(u₂) = min(0, −1, 0, 0) = −1.

Étape 1.3 (frontière 1). c₁ = 1 − (−1) = 2 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(1) · χ_{[θ₂, +∞[}(2) = 1 · 1 = 1 ; δ₁ = 1 − (−1/4) = 5/4, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 1.

Étape 1.4. Bath(w) = 1 ; Amp(w) = 2 ; Anti(w) = 0.

Étape 1.5 (chaînes de l’énoncé source). Chaînes maximales strictement décroissantes : (u₁, u₂), B = 5/4 ; max B = 5/4 ; BathCount = ∑ Desc = 1.

Autres versions : BathCount = 1 ; toute baisse adjacente = 1 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 0 ; sans θ₁ = 1 ; attendu : bathos 1, anticlimax 0.

∴ ῑ(u₁) = 1 : le vers est noble ; « lap-dogs » (−1) fait tomber le minimum du second vers à −1, et la chute vaut exactement 2 : bathos. La moyenne du second vers (−1/4) ne donnerait qu’une baisse de 5/4 : c’est le seul mot trivial qui fait la figure (lemme 1).

Exemple 2 – Les astres et le parapluie

Texte : « Les astres éternels roulaient dans l’immensité sacrée du firmament, et j’avais oublié mon parapluie. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	Les astres éternels roulaient dans l’immensité sacrée du firmament	astres (1), éternels (2), roulaient (0), immensité (1), sacrée (2), firmament (2)	6	8	4/3	0
u₂	et j’avais oublié mon parapluie	oublié (0), parapluie (−1)	2	−1	−1/2	−1

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j))	χ_{[θ₂, +∞[}(c_j)	Bt_j	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	4/3	−1	7/3	1	1	1	11/6	1

Étape 2.1. Unités : m = 2 ; frontières : 1.

Étape 2.2 (u₁). ῑ(u₁) = (1 + 2 + 0 + 1 + 2 + 2) / 6 = 4/3 ≈ 1,333 ; ι_min(u₁) = min(1, 2, 0, 1, 2, 2) = 0.

Étape 2.2 (u₂). ῑ(u₂) = (0 + (−1)) / 2 = −1/2 ≈ −0,500 ; ι_min(u₂) = min(0, −1) = −1.

Étape 2.3 (frontière 1). c₁ = 4/3 − (−1) = 7/3 ≈ 2,333 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(4/3) · χ_{[θ₂, +∞[}(7/3) = 1 · 1 = 1 ; δ₁ = 4/3 − (−1/2) = 11/6, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 1.

Étape 2.4. Bath(w) = 1 ; Amp(w) = 7/3 ; Anti(w) = 0.

Étape 2.5 (chaînes de l’énoncé source). Chaînes maximales strictement décroissantes : (u₁, u₂), B = 11/6 ; max B = 11/6 ; BathCount = ∑ Desc = 1.

Autres versions : BathCount = 1 ; toute baisse adjacente = 1 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 0 ; sans θ₁ = 1 ; attendu : bathos 1, anticlimax 0.

∴ un sommet à 4/3 (astres, éternels, immensité, sacrée, firmament), puis le parapluie à −1 : c = 7/3, bathos. La chute totale de l’énoncé source vaut 11/6 seulement, moins que l’anticlimax de l’exemple 3.

Exemple 3 – Une descente en marches : l’anticlimax

Texte : « Il perdit la gloire éternelle, puis son royaume, puis sa maison, puis son chapeau. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	Il perdit la gloire éternelle	perdit (0), gloire (2), éternelle (2)	3	4	4/3	0
u₂	puis son royaume	royaume (1)	1	1	1	1
u₃	puis sa maison	maison (0)	1	0	0	0
u₄	puis son chapeau	chapeau (−1)	1	−1	−1	−1

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j))	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	4/3	1	1/3	1	1/3	1
2	1	0	1	1	1	1
3	0	−1	1	0	1	1

Étape 3.1. Unités : m = 4 ; frontières : 3.

Étape 3.2 (u₁). ῑ(u₁) = (0 + 2 + 2) / 3 = 4/3 ≈ 1,333 ; ι_min(u₁) = min(0, 2, 2) = 0.

Étape 3.2 (u₂). ῑ(u₂) = (1) / 1 = 1 ; ι_min(u₂) = min(1) = 1.

Étape 3.2 (u₃). ῑ(u₃) = (0) / 1 = 0 ; ι_min(u₃) = min(0) = 0.

Étape 3.2 (u₄). ῑ(u₄) = ((−1)) / 1 = -1 ; ι_min(u₄) = min(−1) = −1.

Étape 3.3 (frontière 1). c₁ = 4/3 − (1) = 1/3 ≈ 0,333 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(4/3) · χ_{[θ₂, +∞[}(1/3) = 1 · 0 = 0 ; δ₁ = 4/3 − (1) = 1/3, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 1.

Étape 3.3 (frontière 2). c₂ = 1 − (0) = 1 ; Bt₂ = χ_{[θ₁, +∞[}(1) · χ_{[θ₂, +∞[}(1) = 1 · 0 = 0 ; δ₂ = 1 − (0) = 1, χ_{]0, +∞[}(δ₂) = 1.

Étape 3.3 (frontière 3). c₃ = 0 − (−1) = 1 ; Bt₃ = χ_{[θ₁, +∞[}(0) · χ_{[θ₂, +∞[}(1) = 0 · 0 = 0 ; δ₃ = 0 − (−1) = 1, χ_{]0, +∞[}(δ₃) = 1.

Étape 3.4. Bath(w) = 0 + 0 + 0 = 0 ; Amp(w) = 0 ; Anti(w) = 1.

Étape 3.5 (chaînes de l’énoncé source). Chaînes maximales strictement décroissantes : (u₁, …, u₄), B = 7/3 ; max B = 7/3 ; BathCount = ∑ Desc = 6.

Autres versions : BathCount = 6 ; toute baisse adjacente = 3 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 0 ; sans θ₁ = 0 ; attendu : bathos 0, anticlimax 1.

∴ la descente totale des moyennes est 4/3 − (−1) = 7/3, mais elle est répartie en trois marches (chutes c = 1/3, 1, 1), dont aucune n’atteint 2 : Bath(w) = 0. La chaîne entière est maximale, de quatre unités, de chute B = 7/3 ≥ 2 : Anti(w) = 1. C’est l’anticlimax ; la formule source lui donne la plus forte valeur (7/3) et en compterait 6 chaînes.

Exemple 4 – Wordsworth, Simon Lee : un départ trop bas

Texte : « Few months of life has he in store / As he to you will tell, / For still the more he works the more / Do his weak ankles swell. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	Few months of life has he in store	months (0), life (2), store (0)	3	2	2/3	0
u₂	As he to you will tell	tell (0)	1	0	0	0
u₃	For still the more he works the more	works (0)	1	0	0	0
u₄	Do his weak ankles swell	weak (0), ankles (−1), swell (−1)	3	−2	−2/3	−1

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	2/3	0	2/3	2/3	1
2	0	0	0	0	0
3	0	−1	1	2/3	1

Étape 4.1. Unités : m = 4 ; frontières : 3.

Étape 4.2 (u₁). ῑ(u₁) = (0 + 2 + 0) / 3 = 2/3 ≈ 0,667 ; ι_min(u₁) = min(0, 2, 0) = 0.

Étape 4.2 (u₂). ῑ(u₂) = (0) / 1 = 0 ; ι_min(u₂) = min(0) = 0.

Étape 4.2 (u₃). ῑ(u₃) = (0) / 1 = 0 ; ι_min(u₃) = min(0) = 0.

Étape 4.2 (u₄). ῑ(u₄) = (0 + (−1) + (−1)) / 3 = −2/3 ≈ −0,667 ; ι_min(u₄) = min(0, −1, −1) = −1.

Étape 4.3 (frontière 1). c₁ = 2/3 − (0) = 2/3 ≈ 0,667 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(2/3) · χ_{[θ₂, +∞[}(2/3) = 0 · 0 = 0 ; δ₁ = 2/3 − (0) = 2/3, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 1.

Étape 4.3 (frontière 2). c₂ = 0 − (0) = 0 ; Bt₂ = χ_{[θ₁, +∞[}(0) · χ_{[θ₂, +∞[}(0) = 0 · 0 = 0 ; δ₂ = 0 − (0) = 0, χ_{]0, +∞[}(δ₂) = 0.

Étape 4.3 (frontière 3). c₃ = 0 − (−1) = 1 ; Bt₃ = χ_{[θ₁, +∞[}(0) · χ_{[θ₂, +∞[}(1) = 0 · 0 = 0 ; δ₃ = 0 − (−2/3) = 2/3, χ_{]0, +∞[}(δ₃) = 1.

Étape 4.4. Bath(w) = 0 + 0 + 0 = 0 ; Amp(w) = 0 ; Anti(w) = 0.

Étape 4.5 (chaînes de l’énoncé source). Chaînes maximales strictement décroissantes : (u₁, u₂), B = 2/3 ; (u₃, u₄), B = 2/3 ; max B = 2/3 ; BathCount = ∑ Desc = 2.

Autres versions : BathCount = 2 ; toute baisse adjacente = 2 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 0 ; sans θ₁ = 0 ; attendu : bathos 0, anticlimax 0.

∴ le passage de départ n’est pas élevé (ῑ = 2/3 < 1) et la plus forte chute vaut 1 : aucun bathos. Le quatrain de Wordsworth, souvent cité comme exemple de bathos, est ici un pathos qui ne part pas du sublime ; la mesure sépare les deux.

Exemple 5 – Une chute, puis une remontée

Texte : « Sa gloire était éternelle, son chapeau était troué, son génie redevint sublime. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	Sa gloire était éternelle	gloire (2), éternelle (2)	2	4	2	2
u₂	son chapeau était troué	chapeau (−1), troué (−1)	2	−2	−1	−1
u₃	son génie redevint sublime	génie (1), redevint (0), sublime (2)	3	3	1	0

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j))	χ_{[θ₂, +∞[}(c_j)	Bt_j	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	2	−1	3	1	1	1	3	1
2	−1	0	−1	0	0	0	−2	0

Étape 5.1. Unités : m = 3 ; frontières : 2.

Étape 5.2 (u₁). ῑ(u₁) = (2 + 2) / 2 = 2 ; ι_min(u₁) = min(2, 2) = 2.

Étape 5.2 (u₂). ῑ(u₂) = ((−1) + (−1)) / 2 = -1 ; ι_min(u₂) = min(−1, −1) = −1.

Étape 5.2 (u₃). ῑ(u₃) = (1 + 0 + 2) / 3 = 1 ; ι_min(u₃) = min(1, 0, 2) = 0.

Étape 5.3 (frontière 1). c₁ = 2 − (−1) = 3 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(2) · χ_{[θ₂, +∞[}(3) = 1 · 1 = 1 ; δ₁ = 2 − (−1) = 3, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 1.

Étape 5.3 (frontière 2). c₂ = −1 − (0) = -1 ; Bt₂ = χ_{[θ₁, +∞[}(−1) · χ_{[θ₂, +∞[}(−1) = 0 · 0 = 0 ; δ₂ = −1 − (1) = −2, χ_{]0, +∞[}(δ₂) = 0.

Étape 5.4. Bath(w) = 1 + 0 = 1 ; Amp(w) = 3 ; Anti(w) = 0.

Étape 5.5 (chaînes de l’énoncé source). Chaînes maximales strictement décroissantes : (u₁, u₂), B = 3 ; max B = 3 ; BathCount = ∑ Desc = 1.

Autres versions : BathCount = 1 ; toute baisse adjacente = 1 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 1 ; sans θ₁ = 1 ; attendu : bathos 1, anticlimax 0.

∴ de la gloire éternelle (ῑ = 2) au chapeau troué (−1) : c = 3, bathos. La remontée vers « génie sublime » ne l’annule pas. Pour la formule source, la chaîne entière a Desc = 0, mais sa sous-chaîne (u₁, u₂) a B = 3 (lemme 2).

Exemple 6 – Un ton élevé constant : aucune chute

Texte : « Les astres éternels brillent, le firmament sacré resplendit. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	Les astres éternels brillent	astres (1), éternels (2), brillent (1)	3	4	4/3	1
u₂	le firmament sacré resplendit	firmament (2), sacré (2), resplendit (1)	3	5	5/3	1

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j))	χ_{[θ₂, +∞[}(c_j)	Bt_j	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	4/3	1	1/3	1	0	0	−1/3	0

Étape 6.1. Unités : m = 2 ; frontières : 1.

Étape 6.2 (u₁). ῑ(u₁) = (1 + 2 + 1) / 3 = 4/3 ≈ 1,333 ; ι_min(u₁) = min(1, 2, 1) = 1.

Étape 6.2 (u₂). ῑ(u₂) = (2 + 2 + 1) / 3 = 5/3 ≈ 1,667 ; ι_min(u₂) = min(2, 2, 1) = 1.

Étape 6.3 (frontière 1). c₁ = 4/3 − (1) = 1/3 ≈ 0,333 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(4/3) · χ_{[θ₂, +∞[}(1/3) = 1 · 0 = 0 ; δ₁ = 4/3 − (5/3) = −1/3, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 0.

Étape 6.4. Bath(w) = 0 ; Amp(w) = 0 ; Anti(w) = 0.

Étape 6.5 (chaînes de l’énoncé source). Aucune baisse stricte des moyennes : max B = 0, BathCount = 0.

Autres versions : BathCount = 0 ; toute baisse adjacente = 0 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 0 ; sans θ₁ = 0 ; attendu : bathos 0, anticlimax 0.

∴ le ton reste élevé : la seconde unité est même plus haute (5/3). La chute vers son mot le plus bas (resplendit, 1) n’est que 1/3 : aucun bathos, aucune baisse des moyennes.

Exemple 7 – Une variation de ton : chute d’un seul degré

Texte : « La gloire éternelle du royaume, la noble maison du roi. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	La gloire éternelle du royaume	gloire (2), éternelle (2), royaume (1)	3	5	5/3	1
u₂	la noble maison du roi	noble (1), maison (0), roi (1)	3	2	2/3	0

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j))	χ_{[θ₂, +∞[}(c_j)	Bt_j	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	5/3	0	5/3	1	0	0	1	1

Étape 7.1. Unités : m = 2 ; frontières : 1.

Étape 7.2 (u₁). ῑ(u₁) = (2 + 2 + 1) / 3 = 5/3 ≈ 1,667 ; ι_min(u₁) = min(2, 2, 1) = 1.

Étape 7.2 (u₂). ῑ(u₂) = (1 + 0 + 1) / 3 = 2/3 ≈ 0,667 ; ι_min(u₂) = min(1, 0, 1) = 0.

Étape 7.3 (frontière 1). c₁ = 5/3 − (0) = 5/3 ≈ 1,667 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(5/3) · χ_{[θ₂, +∞[}(5/3) = 1 · 0 = 0 ; δ₁ = 5/3 − (2/3) = 1, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 1.

Étape 7.4. Bath(w) = 0 ; Amp(w) = 0 ; Anti(w) = 0.

Étape 7.5 (chaînes de l’énoncé source). Chaînes maximales strictement décroissantes : (u₁, u₂), B = 1 ; max B = 1 ; BathCount = ∑ Desc = 1.

Autres versions : BathCount = 1 ; toute baisse adjacente = 1 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 0 ; sans θ₁ = 0 ; attendu : bathos 0, anticlimax 0.

∴ la moyenne baisse de 5/3 à 2/3 et le mot le plus bas, « maison », est neutre : c = 5/3 < 2. C’est une variation de ton, non une chute dans le trivial ; avec θ₂ = 3/2 elle serait comptée à tort.

Exemple 8 – Une chute sans sommet : la trivialité seule

Texte : « Il entra dans la maison, et marcha dans la crotte. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	Il entra dans la maison	entra (0), maison (0)	2	0	0	0
u₂	et marcha dans la crotte	marcha (0), crotte (−2)	2	−2	−1	−2

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j))	χ_{[θ₂, +∞[}(c_j)	Bt_j	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	0	−2	2	0	1	0	1	1

Étape 8.1. Unités : m = 2 ; frontières : 1.

Étape 8.2 (u₁). ῑ(u₁) = (0 + 0) / 2 = 0 ; ι_min(u₁) = min(0, 0) = 0.

Étape 8.2 (u₂). ῑ(u₂) = (0 + (−2)) / 2 = -1 ; ι_min(u₂) = min(0, −2) = −2.

Étape 8.3 (frontière 1). c₁ = 0 − (−2) = 2 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(0) · χ_{[θ₂, +∞[}(2) = 0 · 1 = 0 ; δ₁ = 0 − (−1) = 1, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 1.

Étape 8.4. Bath(w) = 0 ; Amp(w) = 0 ; Anti(w) = 0.

Étape 8.5 (chaînes de l’énoncé source). Chaînes maximales strictement décroissantes : (u₁, u₂), B = 1 ; max B = 1 ; BathCount = ∑ Desc = 1.

Autres versions : BathCount = 1 ; toute baisse adjacente = 1 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 0 ; sans θ₁ = 1 ; attendu : bathos 0, anticlimax 0.

∴ la chute vers « crotte » (−2) vaut 2, mais elle part d’un passage neutre (ῑ = 0) : il n’y a pas de sommet d’où tomber. Sans la condition θ₁, cette trivialité serait un bathos.

Exemple 9 – Faux positif assumé : la chute émouvante

Texte : « Le héros immortel mourut glorieusement, et son chien pleura. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	Le héros immortel mourut glorieusement	héros (1), immortel (2), mourut (0), glorieusement (1)	4	4	1	0
u₂	et son chien pleura	chien (−1), pleura (0)	2	−1	−1/2	−1

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j))	χ_{[θ₂, +∞[}(c_j)	Bt_j	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	1	−1	2	1	1	1	3/2	1

Étape 9.1. Unités : m = 2 ; frontières : 1.

Étape 9.2 (u₁). ῑ(u₁) = (1 + 2 + 0 + 1) / 4 = 1 ; ι_min(u₁) = min(1, 2, 0, 1) = 0.

Étape 9.2 (u₂). ῑ(u₂) = ((−1) + 0) / 2 = −1/2 ≈ −0,500 ; ι_min(u₂) = min(−1, 0) = −1.

Étape 9.3 (frontière 1). c₁ = 1 − (−1) = 2 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(1) · χ_{[θ₂, +∞[}(2) = 1 · 1 = 1 ; δ₁ = 1 − (−1/2) = 3/2, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 1.

Étape 9.4. Bath(w) = 1 ; Amp(w) = 2 ; Anti(w) = 0.

Étape 9.5 (chaînes de l’énoncé source). Chaînes maximales strictement décroissantes : (u₁, u₂), B = 3/2 ; max B = 3/2 ; BathCount = ∑ Desc = 1.

Autres versions : BathCount = 1 ; toute baisse adjacente = 1 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 0 ; sans θ₁ = 1 ; attendu : bathos 0, anticlimax 0.

∴ le calcul compte un bathos : départ à 1, chute vers « chien » (−1) de 2. Mais le chien qui pleure son maître est émouvant, non ridicule : l’effet comique dépend du sens et de l’intention, que la table d’élévation ne voit pas. Faux positif assumé.

Exemple 10 – Texte complet : un bathos, un anticlimax

Texte : « Les astres éternels roulaient dans l’immensité sacrée du firmament, et j’avais oublié mon parapluie. Il perdit la gloire éternelle, puis son royaume, puis sa maison, puis son chapeau. Les astres éternels brillent, le firmament sacré resplendit. »

j	unité u_j	mots de la table : ε(t)	\|L(u_j)\|	∑ ε	ῑ(u_j)	ι_min(u_j)
u₁	Les astres éternels roulaient dans l’immensité sacrée du firmament	astres (1), éternels (2), roulaient (0), immensité (1), sacrée (2), firmament (2)	6	8	4/3	0
u₂	et j’avais oublié mon parapluie	oublié (0), parapluie (−1)	2	−1	−1/2	−1
u₃	Il perdit la gloire éternelle	perdit (0), gloire (2), éternelle (2)	3	4	4/3	0
u₄	puis son royaume	royaume (1)	1	1	1	1
u₅	puis sa maison	maison (0)	1	0	0	0
u₆	puis son chapeau	chapeau (−1)	1	−1	−1	−1
u₇	Les astres éternels brillent	astres (1), éternels (2), brillent (1)	3	4	4/3	1
u₈	le firmament sacré resplendit	firmament (2), sacré (2), resplendit (1)	3	5	5/3	1

frontière j	ῑ(u_j)	ι_min(u_j+1)	c_j = ῑ(u_j) − ι_min(u_j+1)	χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j))	χ_{[θ₂, +∞[}(c_j)	Bt_j	δ_j = ῑ(u_j) − ῑ(u_j+1)	χ_{]0, +∞[}(δ_j)
1	4/3	−1	7/3	1	1	1	11/6	1
2	−1/2	0	−1/2	0	0	0	−11/6	0
3	4/3	1	1/3	1	0	0	1/3	1
4	1	0	1	1	0	0	1	1
5	0	−1	1	0	0	0	1	1
6	−1	1	−2	0	0	0	−7/3	0
7	4/3	1	1/3	1	0	0	−1/3	0

Étape 10.1. Unités : m = 8 ; frontières : 7.

Étape 10.2 (u₁). ῑ(u₁) = (1 + 2 + 0 + 1 + 2 + 2) / 6 = 4/3 ≈ 1,333 ; ι_min(u₁) = min(1, 2, 0, 1, 2, 2) = 0.

Étape 10.2 (u₂). ῑ(u₂) = (0 + (−1)) / 2 = −1/2 ≈ −0,500 ; ι_min(u₂) = min(0, −1) = −1.

Étape 10.2 (u₃). ῑ(u₃) = (0 + 2 + 2) / 3 = 4/3 ≈ 1,333 ; ι_min(u₃) = min(0, 2, 2) = 0.

Étape 10.2 (u₄). ῑ(u₄) = (1) / 1 = 1 ; ι_min(u₄) = min(1) = 1.

Étape 10.2 (u₅). ῑ(u₅) = (0) / 1 = 0 ; ι_min(u₅) = min(0) = 0.

Étape 10.2 (u₆). ῑ(u₆) = ((−1)) / 1 = -1 ; ι_min(u₆) = min(−1) = −1.

Étape 10.2 (u₇). ῑ(u₇) = (1 + 2 + 1) / 3 = 4/3 ≈ 1,333 ; ι_min(u₇) = min(1, 2, 1) = 1.

Étape 10.2 (u₈). ῑ(u₈) = (2 + 2 + 1) / 3 = 5/3 ≈ 1,667 ; ι_min(u₈) = min(2, 2, 1) = 1.

Étape 10.3 (frontière 1). c₁ = 4/3 − (−1) = 7/3 ≈ 2,333 ; Bt₁ = χ_{[θ₁, +∞[}(4/3) · χ_{[θ₂, +∞[}(7/3) = 1 · 1 = 1 ; δ₁ = 4/3 − (−1/2) = 11/6, χ_{]0, +∞[}(δ₁) = 1.

Étape 10.3 (frontière 2). c₂ = −1/2 − (0) = −1/2 ≈ −0,500 ; Bt₂ = χ_{[θ₁, +∞[}(−1/2) · χ_{[θ₂, +∞[}(−1/2) = 0 · 0 = 0 ; δ₂ = −1/2 − (4/3) = −11/6, χ_{]0, +∞[}(δ₂) = 0.

Étape 10.3 (frontière 3). c₃ = 4/3 − (1) = 1/3 ≈ 0,333 ; Bt₃ = χ_{[θ₁, +∞[}(4/3) · χ_{[θ₂, +∞[}(1/3) = 1 · 0 = 0 ; δ₃ = 4/3 − (1) = 1/3, χ_{]0, +∞[}(δ₃) = 1.

Étape 10.3 (frontière 4). c₄ = 1 − (0) = 1 ; Bt₄ = χ_{[θ₁, +∞[}(1) · χ_{[θ₂, +∞[}(1) = 1 · 0 = 0 ; δ₄ = 1 − (0) = 1, χ_{]0, +∞[}(δ₄) = 1.

Étape 10.3 (frontière 5). c₅ = 0 − (−1) = 1 ; Bt₅ = χ_{[θ₁, +∞[}(0) · χ_{[θ₂, +∞[}(1) = 0 · 0 = 0 ; δ₅ = 0 − (−1) = 1, χ_{]0, +∞[}(δ₅) = 1.

Étape 10.3 (frontière 6). c₆ = −1 − (1) = -2 ; Bt₆ = χ_{[θ₁, +∞[}(−1) · χ_{[θ₂, +∞[}(−2) = 0 · 0 = 0 ; δ₆ = −1 − (4/3) = −7/3, χ_{]0, +∞[}(δ₆) = 0.

Étape 10.3 (frontière 7). c₇ = 4/3 − (1) = 1/3 ≈ 0,333 ; Bt₇ = χ_{[θ₁, +∞[}(4/3) · χ_{[θ₂, +∞[}(1/3) = 1 · 0 = 0 ; δ₇ = 4/3 − (5/3) = −1/3, χ_{]0, +∞[}(δ₇) = 0.

Étape 10.4. Bath(w) = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1 ; Amp(w) = 7/3 ; Anti(w) = 1.

Étape 10.5 (chaînes de l’énoncé source). Chaînes maximales strictement décroissantes : (u₁, u₂), B = 11/6 ; (u₃, …, u₆), B = 7/3 ; max B = 7/3 ; BathCount = ∑ Desc = 7.

Autres versions : BathCount = 7 ; toute baisse adjacente = 4 ; moyenne → moyenne, c ≥ 2 = 0 ; sans θ₁ = 1 ; attendu : bathos 1, anticlimax 1.

∴ Bath(w) = 1 (frontière 1, astres → parapluie, c = 7/3) et Anti(w) = 1 (u₃ → u₆, B = 7/3). La formule source donne max B = 7/3, atteint sur l’anticlimax et non sur le bathos, et BathCount = 7 chaînes.

[Image à insérer ici : bath-texte-complet.png]

Exemple 10 : huit unités, sept frontières, un bathos et un anticlimax.

[Image à insérer ici : bath-chaines.png]

Exemple 10 : les 28 chaînes contiguës de la formule source ; le maximum de B est atteint sur l’anticlimax.

2.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions possibles sur les dix textes des exemples 1 à 10, par l’écart entre Bath calculé et le nombre de bathos attendu. Réponse attendue : 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1 (l’exemple 9 n’est pas un bathos).

version	Bath total	erreurs ∑ \|Bath − attendu\| (sur 10 textes)	textes mal comptés
BathCount de l’énoncé source : ∑ Desc sur les chaînes	21	17	ex. 3 (6 au lieu de 0) ; ex. 4 (2 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (7 au lieu de 1)
toute baisse adjacente des moyennes : ∑ χ_{]0, +∞[}(δ_j)	15	11	ex. 3 (3 au lieu de 0) ; ex. 4 (2 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (4 au lieu de 1)
moyenne → moyenne : ∑ χ_{[θ₁, +∞[}(ῑ(u_j)) · χ_{[θ₂, +∞[}(δ_j)	1	3	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)
sans condition de départ : ∑ χ_{[θ₂, +∞[}(c_j)	6	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
retenue : Bath(w) = ∑ Bt_j	5	1	ex. 9 (1 au lieu de 0)

BathCount compte les chaînes : 6 pour le seul anticlimax de l’exemple 3. Compter toute baisse des moyennes prend chaque variation de ton. Comparer deux moyennes dilue le mot trivial et perd Pope, les astres et le texte complet. Sans sommet, la chute dans la crotte devient un bathos. La version retenue garde une seule erreur, le faux positif de l’exemple 9.

Le maximum de l’énoncé source se compare à Amp(w) : sur l’exemple 3, max B = 7/3 et Amp = 0 ; sur l’exemple 10, max B = 7/3 vient de l’anticlimax, Amp = 7/3 du bathos.

[Image à insérer ici : bath-versions.png]

Erreurs des versions : frontières, minimum de l’unité d’arrivée et sommet sont tous nécessaires.

Le seuil de chute θ₂ :

θ₂ (chute minimale)	erreurs ∑ \|Bath − attendu\|	textes mal comptés
1	4	ex. 3 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (2 au lieu de 1)
3/2	2	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
2	1	ex. 9 (1 au lieu de 0)
5/2	3	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)
3	3	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)

θ₂ = 1 fait d’une marche de l’anticlimax un bathos (royaume → maison, c = 1, exemples 3 et 10) et compte la variation de ton de l’exemple 7 ; θ₂ = 3/2 compte encore l’exemple 7 (c = 5/3). θ₂ = 5/2 et θ₂ = 3 perdent Pope (c = 2) et les astres (c = 7/3), seul le chapeau troué (c = 3) reste compté. Seul θ₂ = 2 ne garde que l’erreur de l’exemple 9 : c’est aussi la valeur de l’échelle, deux degrés franchis d’un coup. Le seuil de départ θ₁ :

θ₁ (élévation minimale du départ)	erreurs ∑ \|Bath − attendu\|	textes mal comptés
0	2	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
1/2	1	ex. 9 (1 au lieu de 0)
1	1	ex. 9 (1 au lieu de 0)
3/2	3	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 1)

θ₁ = 0 compte la chute sans sommet de l’exemple 8 ; θ₁ = 3/2 perd Pope (ῑ = 1) et les astres (4/3). θ₁ = 1/2 et θ₁ = 1 font le même nombre d’erreurs sur ces textes ; on retient θ₁ = 1, le degré « noble » de l’échelle : un départ moyen de 1/2 est entre le neutre et le noble, et rien n’y est sublime.

[Image à insérer ici : bath-seuils.png]

Sensibilité aux seuils θ₂ et θ₁.

2.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

Nécessaire : une fois la table d’élévation fixée, ῑ, ι_min, c_j, Bt_j, Bath, Amp et Anti découlent nécessairement des mots ; les lemmes 1 à 4 sont des conséquences nécessaires des définitions.
Contingent : l’élévation d’un mot dépend d’une table et d’un usage (« chien » vaut −1 ici ; dans un autre registre il serait neutre). Ajouter des mots à la table ou changer leur valeur peut créer ou supprimer des bathos dans les deux sens : la mesure n’est pas monotone en la table.
Possible : toute frontière qui vérifie les deux seuils est un bathos possible ; l’effet ridicule n’est pas garanti (exemple 9).

2.10 Justification et limites

Le bathos est un phénomène d’ordre et de voisinage : c’est l’adjacence d’un élément trivial à un passage élevé qui produit l’effet. La combinatoire des mots en rend compte par une fonction sur les facteurs (le ton moyen d’une unité) comparée au minimum du facteur suivant. L’énoncé source avait la bonne intuition, une chute d’intensité entre éléments voisins, et le bon outil, un produit d’indicatrices qui remplace l’existence ; mais la chute totale d’une chaîne mesure la descente, c’est-à-dire l’anticlimax. Le bathos est la plus grande marche, non la plus longue pente.

Trois limites sont assumées. L’effet comique dépend du sens et de l’intention (exemple 9), que la table ne voit pas. Le découpage en unités par la ponctuation peut couper une chute à l’intérieur d’une même proposition (« un amour éternel et des pantoufles ») : il faudrait alors compléter les séparateurs par les conjonctions de coordination. Enfin, l’échelle à cinq degrés est grossière : deux mots « nobles » ne sont pas également élevés, et les valeurs de la table sont une convention déclarée, non une mesure.

⁂

3. Belles-lettres – Mécanisme en combinatoire des mots

3.1 Définition rhétorique

Les belles-lettres désignent les écrits valorisés pour leurs qualités de forme (élégance, musique de la phrase, art de la composition) plutôt que pour leur contenu informatif ou utilitaire : essais, poésie, prose d’art. Le terme français est passé tel quel en anglais. Montaigne, les moralistes, Charles Lamb en sont des exemples classiques.

La qualité de forme ne se réduit pas à un nombre, mais certains de ses procédés les plus constants sont des propriétés du mot écrit, et chacun deviendra une fonction calculable :

la répétition : un groupe de mots revient dans la même phrase (parallélisme, anaphore : « parce que c’était lui, parce que c’était moi ») ;
l’allitération : la même initiale revient à courte distance (« pour qui sont ces serpents qui sifflent sur vos têtes ? »).

L’unité est la phrase : on décide, phrase par phrase, si les procédés formels y sont denses. Un texte utilitaire (notice, horaire) n’en contient presque pas ; une prose ou une poésie travaillée en contient beaucoup. La mesure ne juge pas la valeur littéraire ; elle compte des marques formelles.

3.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée est une définition en compréhension :

Belle(w) = |{ u ∈ Fact(w) | δ(u) ≥ θ }|,

où δ(u) est une densité esthétique du facteur u. Avec un ensemble Aesth de motifs esthétiques et son indicatrice χ_Aesth(v) = 1 si v ∈ Aesth, elle devient :

δ(u) = (1 / |u|) · ∑_{v ∈ Fact(u)} χ_Aesth(v), Belle(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} χ_{[θ, +∞[}(δ(u)).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les morceaux du texte où les motifs esthétiques sont denses. Les exemples de l’énoncé source, avec Aesth = { ab, bc, abc }, se recalculent ainsi :

u	\|u\|	occurrences de facteurs \|u\|(\|u\| + 1)/2	occurrences dans Aesth	δ par occurrences	facteurs distincts dans Aesth	δ sur l’ensemble Fact(u)
abc	3	6	ab, abc, bc	1	ab, bc, abc	1
abd	3	6	ab	1/3	ab	1/3
abcbc	5	15	ab, abc, bc, bc	4/5	ab, bc, abc	3/5

Telle quelle, la définition n’est pas encore calculable sans ambiguïté sur un texte, et elle ne mesure pas une densité. Six précisions sont nécessaires :

Ensemble ou occurrences ? Fact(u) est un ensemble : chaque facteur y figure une fois. Or le troisième exemple source compte bc deux fois (4/5 = 0,8) ; sur l’ensemble, on trouve 3/5 = 0,6, et avec θ = 0,7 la décision s’inverse. On compte les positions, et chaque position une seule fois.
La somme sur Fact(w) compte des facteurs, non des textes. Chaque morceau du texte est jugé, et les morceaux se chevauchent : sur le texte de l’exemple 10 (48 mots), il y a 48 · 49 / 2 = 1 176 facteurs de mots, dont 271 atteignent le seuil, pour 3 phrases littéraires (lemme 1). L’unité est la phrase.
La densité n’est pas une part. Le numérateur compte des occurrences de facteurs, jusqu’à |u|(|u| + 1)/2, et le dénominateur des lettres : δ(u) peut dépasser 1 (l’énoncé source donne δ = 1,2), et un même seuil n’a pas le même sens pour une phrase courte et une phrase longue (lemme 2). On mesure la part des mots marqués par un motif : δ(u) ∈ [0, 1].
Aesth n’est pas défini sur un texte réel. Une liste de chaînes « esthétiques » fixée d’avance serait arbitraire. Les procédés de forme se définissent sur la phrase elle-même : un facteur de mots répété, une initiale qui revient. Aesth devient l’ensemble des occurrences de ces deux motifs, calculé à partir du texte, sans table.
Les lettres ne sont pas l’unité des procédés. La répétition porte sur des groupes de mots ; l’allitération, sur la première lettre de mots voisins. On travaille sur les mots t₁, …, t_m de la phrase et sur leur initiale.
Le seuil θ doit être justifié. Il est choisi par le calcul sur les exemples (section 3.8), avec la fenêtre de l’allitération.

3.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

égalité de deux lettres : χ_Δ(a, b) = 1 si a = b, où Δ = { (a, a) } ;
« au moins un » : χ_{[1, +∞[}(s) = 1 si la somme s vaut au moins 1 ;
« au moins deux fois » : χ_{[2, +∞[}(occ) = 1 si un facteur apparaît au moins deux fois ;
« ou » : 1 − (1 − A)(1 − P) vaut 1 si l’un des deux motifs au moins est présent ;
seuil : χ_{[θ, 1]}(δ) = 1 si θ ≤ δ ≤ 1 ;
comptage et part : la somme, puis la division par le nombre de mots.

3.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte, les phrases, les mots

Le texte w est découpé en phrases u₁, …, u_N aux signes . ! ? ; chaque phrase est un facteur de w bordé par ces signes. On met en minuscules, on détache les élisions (c’, l’, qu’…) et l’on supprime la ponctuation interne : la phrase devient un mot u = t₁t₂⋯t_m sur l’alphabet des mots ; m = m_k est son nombre de mots. init(t) est la première lettre de t, sans accent (à et a ont la même initiale).

Lemme 1 (taille de Fact). Un mot de n lettres (ou de n mots) a n(n + 1)/2 occurrences de facteurs. ∴ une somme sur Fact(w) juge un nombre de morceaux qui croît comme le carré de la longueur du texte ; le résultat dépend de cette longueur, non du nombre de phrases travaillées.

b) L’allitération

A(i) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{1 ≤ |i − j| ≤ 2} χ_Δ(init(t_i), init(t_j)) ).

Le mot de rang i est marqué si un mot à une ou deux places de lui commence par la même lettre. Pourquoi deux places ? C’est la distance où le retour d’un son s’entend dans un même groupe de mots ; la section 3.8 compare une, deux et trois places.

c) La répétition

P(i) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{L = 2}^m ∑_{a = i − L + 1}ⁱ χ_{[2, +∞[}( occ_u(t_a⋯t_a+L−1) ) ),

où occ_u(x) est le nombre d’occurrences du facteur x dans u (les termes avec a < 1 ou a + L − 1 > m sont nuls). Le mot de rang i est marqué s’il appartient à une occurrence d’un groupe d’au moins deux mots qui revient dans la phrase. Pourquoi au moins deux mots ? Un mot seul qui revient (« de », « la ») est un fait de langue, non un procédé ; un groupe qui revient est un parallélisme.

d) La densité de motifs

M(i) = 1 − (1 − A(i)) · (1 − P(i)), δ(u) = (1 / m) · ∑_i=1^m M(i) ∈ [0, 1].

M(i) vaut 1 si le mot porte au moins un motif ; δ(u) est la part des mots marqués. C’est la densité de l’énoncé source, ramenée aux positions : chaque mot compte une fois, même s’il appartient à plusieurs motifs, et le dénominateur compte la même chose que le numérateur.

Lemme 2 (la densité source n’est pas bornée). Avec des occurrences de facteurs au numérateur et |u| au dénominateur, δ_source(u) ≤ (|u| + 1)/2, et la borne croît avec la phrase. ∴ θ = 0,8 est exigeant pour un mot court et facile pour un mot long ; avec δ ∈ [0, 1], θ = 1/4 signifie partout « un mot sur quatre ».

Lemme 3 (une paire fortuite). Une seule paire de mots voisins de même initiale, sans autre motif, donne δ = 2/m. ∴ avec θ = 1/4, elle suffit dans une phrase de 8 mots au plus ; avec θ = 1/10, dans une phrase de 20 mots au plus.

Lemme 4 (répétition). Un groupe de L ≥ 2 mots qui revient deux fois sans chevauchement marque au moins 2L positions : δ ≥ 2L/m. Dans la phrase de Montaigne, L = 4 et m = 10 : δ ≥ 8/10.

Lemme 5 (il suffit des paires de mots). P(i) = 1 si et seulement si l’une des deux paires de mots qui contiennent t_i, (t_i−1, t_i) ou (t_i, t_i+1), revient au moins deux fois dans la phrase. En effet, un groupe répété de L ≥ 2 mots est couvert par ses L − 1 paires consécutives, qui reviennent chacune avec lui ; inversement, une paire répétée est un groupe répété de 2 mots. ∴ P(i) = 1 − (1 − χ_{[2, +∞[}(occ_u(t_i−1t_i))) · (1 − χ_{[2, +∞[}(occ_u(t_it_i+1))) : c’est ainsi que le classeur le calcule.

[Image à insérer ici : belle-motifs.png]

Les positions marquées par la répétition et par l’allitération dans les phrases de Montaigne, de Baudelaire et de Racine.

[Image à insérer ici : belle-source.png]

L’exemple source abcbc : compter un ensemble ou des occurrences change la décision ; la densité source peut dépasser 1.

3.5 Définition mathématique

Belle(w) = ∑_k=1^N χ_{[θ, 1]}( δ(u_k) ), δ(u) = (1 / m) · ∑_i=1^m [ 1 − (1 − A(i)) · (1 − P(i)) ], θ = 1/4,

Belle(w) / N = part des phrases de belles-lettres.

La somme sur les facteurs de w devient une somme sur les phrases ; l’ensemble Aesth devient l’ensemble des positions marquées par les deux motifs ; la densité devient une part des mots. Chaque phrase contribue 1 si un mot sur quatre au moins porte un procédé formel. Les versions par un seul motif sont des cas particuliers :

δ_A(u) = (1/m) ∑ A(i) : l’allitération seule ;
δ_P(u) = (1/m) ∑ P(i) : la répétition seule ;
δ_source(u) = (1/m) · (nombre d’occurrences de groupes répétés + nombre de paires allitérantes) : l’énoncé source, avec Aesth formé des deux motifs et compté par occurrences.

[Image à insérer ici : belle-formule.png]

La définition complète : phrases, deux motifs calculés sur la phrase, part des mots marqués.

[Image à insérer ici : belle-arbre.png]

L’arbre de décision : motifs mot par mot, puis densité de la phrase.

3.6 Calcul pas à pas (procédure)

Découper le texte en phrases ; mettre en minuscules ; détacher les élisions ; lister les mots t₁, …, t_m et leurs initiales.
Pour chaque mot, compter les mots à une ou deux places qui ont la même initiale : A(i).
Chercher les groupes d’au moins deux mots qui reviennent dans la phrase ; marquer leurs positions : P(i).
Calculer M(i), puis δ(u) = ∑ M(i) / m.
Compter les phrases où δ ≥ 1/4 : Belle(w) ; diviser par N.

3.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne un tableau par phrase : le mot, son initiale, le nombre de voisins (à une ou deux places) de même initiale, puis A(i), P(i) et M(i).

Exemple 1 – Montaigne : la répétition

Texte : « Parce que c’était lui, parce que c’était moi. »

i	t_i	init(t_i)	P(i)	M(i)
1	parce	p	1	1
2	que	q	1	1
3	c	c	1	1
4	était	e	1	1
5	lui	l	0	0
6	parce	p	1	1
7	que	q	1	1
8	c	c	1	1
9	était	e	1	1
10	moi	m	0	0

Étape 1.1 (allitération). aucun mot n’a la même initiale qu’un mot à une ou deux places ⇒ ∑ A(i) = 0.

Étape 1.2 (répétition). « parce que c était » aux rangs 1…4 et 6…9, occ = 2 ⇒ ∑ P(i) = 8.

Étape 1.3. δ(u) = (1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0) / 10 = 4/5 ≈ 0,800 ; χ_{[1/4, 1]}(4/5) = 1.

autres densités : δ_A = 0 ; δ_P = 4/5 ; δ_source = (12 + 0) / 10 = 6/5.

Étape 1.4. Belle(w) = 1 ; Belle(w) / N = 1 ; attendu : 1.

Autres versions : allitération seule = 0 ; répétition seule = 1 ; source (occurrences / m) = 1.

∴ le groupe « parce que c’ était » (4 mots) revient deux fois : 8 positions sur 10 sont marquées par la répétition, δ = 4/5 (lemme 4). Aucune allitération : le procédé est le parallélisme.

Exemple 2 – Baudelaire : l’allitération

Texte : « Mon enfant, ma sœur, songe à la douceur. »

i	t_i	init(t_i)	∑_{1 ≤ \|i − j\| ≤ 2} χ_Δ(init(t_i), init(t_j))	A(i)	M(i)
1	mon	m	1	1	1
2	enfant	e	0	0	0
3	ma	m	1	1	1
4	sœur	s	1	1	1
5	songe	s	1	1	1
6	à	a	0	0	0
7	la	l	0	0	0
8	douceur	d	0	0	0

Étape 2.1 (allitération). t₁ = mon (m) avec t₃ = ma ; t₃ = ma (m) avec t₁ = mon ; t₄ = sœur (s) avec t₅ = songe ; t₅ = songe (s) avec t₄ = sœur ⇒ ∑ A(i) = 4.

Étape 2.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 2.3. δ(u) = (1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0) / 8 = 1/2 ≈ 0,500 ; χ_{[1/4, 1]}(1/2) = 1.

autres densités : δ_A = 1/2 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 2) / 8 = 1/4.

Étape 2.4. Belle(w) = 1 ; Belle(w) / N = 1 ; attendu : 1.

Autres versions : allitération seule = 1 ; répétition seule = 0 ; source (occurrences / m) = 1.

∴ deux paires d’initiales, mon–ma et sœur–songe : 4 mots sur 8, δ = 1/2. Aucune répétition. La musique du vers est vue par ses initiales.

Exemple 3 – Racine : les sifflantes

Texte : « Pour qui sont ces serpents qui sifflent sur vos têtes ? »

i	t_i	init(t_i)	∑_{1 ≤ \|i − j\| ≤ 2} χ_Δ(init(t_i), init(t_j))	A(i)	M(i)
1	pour	p	0	0	0
2	qui	q	0	0	0
3	sont	s	1	1	1
4	ces	c	0	0	0
5	serpents	s	2	1	1
6	qui	q	0	0	0
7	sifflent	s	2	1	1
8	sur	s	1	1	1
9	vos	v	0	0	0
10	têtes	t	0	0	0

Étape 3.1 (allitération). t₃ = sont (s) avec t₅ = serpents ; t₅ = serpents (s) avec t₃ = sont, t₇ = sifflent ; t₇ = sifflent (s) avec t₅ = serpents, t₈ = sur ; t₈ = sur (s) avec t₇ = sifflent ⇒ ∑ A(i) = 4.

Étape 3.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 3.3. δ(u) = (0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0) / 10 = 2/5 ≈ 0,400 ; χ_{[1/4, 1]}(2/5) = 1.

autres densités : δ_A = 2/5 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 3) / 10 = 3/10.

Étape 3.4. Belle(w) = 1 ; Belle(w) / N = 1 ; attendu : 1.

Autres versions : allitération seule = 1 ; répétition seule = 0 ; source (occurrences / m) = 1.

∴ sont, serpents, sifflent, sur : 4 mots sur 10, δ = 2/5. « ces » commence par le son s mais par la lettre c : une version phonétique compterait une position de plus (δ = 1/2). La lettre est une approximation du son.

Exemple 4 – Hugo : deux paires d’initiales

Texte : « Demain, dès l’aube, à l’heure où blanchit la campagne. »

i	t_i	init(t_i)	∑_{1 ≤ \|i − j\| ≤ 2} χ_Δ(init(t_i), init(t_j))	A(i)	M(i)
1	demain	d	1	1	1
2	dès	d	1	1	1
3	l	l	0	0	0
4	aube	a	1	1	1
5	à	a	1	1	1
6	l	l	0	0	0
7	heure	h	0	0	0
8	où	o	0	0	0
9	blanchit	b	0	0	0
10	la	l	0	0	0
11	campagne	c	0	0	0

Étape 4.1 (allitération). t₁ = demain (d) avec t₂ = dès ; t₂ = dès (d) avec t₁ = demain ; t₄ = aube (a) avec t₅ = à ; t₅ = à (a) avec t₄ = aube ⇒ ∑ A(i) = 4.

Étape 4.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 4.3. δ(u) = (1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) / 11 = 4/11 ≈ 0,364 ; χ_{[1/4, 1]}(4/11) = 1.

autres densités : δ_A = 4/11 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 2) / 11 = 2/11.

Étape 4.4. Belle(w) = 1 ; Belle(w) / N = 1 ; attendu : 1.

Autres versions : allitération seule = 1 ; répétition seule = 0 ; source (occurrences / m) = 0.

∴ demain–dès et aube–à (sans accent, même initiale a) : 4 mots sur 11, δ = 4/11 ≈ 0,364 ≥ 1/4. Le seuil 2/5 manquerait ce vers.

Exemple 5 – Péguy : l’anaphore

Texte : « Heureux ceux qui sont morts pour la terre charnelle, heureux ceux qui sont morts dans une juste guerre. »

i	t_i	init(t_i)	∑_{1 ≤ \|i − j\| ≤ 2} χ_Δ(init(t_i), init(t_j))	A(i)	P(i)	M(i)
1	heureux	h	0	0	1	1
2	ceux	c	0	0	1	1
3	qui	q	0	0	1	1
4	sont	s	0	0	1	1
5	morts	m	0	0	1	1
6	pour	p	0	0	0	0
7	la	l	0	0	0	0
8	terre	t	0	0	0	0
9	charnelle	c	1	1	0	1
10	heureux	h	0	0	1	1
11	ceux	c	1	1	1	1
12	qui	q	0	0	1	1
13	sont	s	0	0	1	1
14	morts	m	0	0	1	1
15	dans	d	0	0	0	0
16	une	u	0	0	0	0
17	juste	j	0	0	0	0
18	guerre	g	0	0	0	0

Étape 5.1 (allitération). t₉ = charnelle (c) avec t₁₁ = ceux ; t₁₁ = ceux (c) avec t₉ = charnelle ⇒ ∑ A(i) = 2.

Étape 5.2 (répétition). « heureux ceux qui sont morts » aux rangs 1…5 et 10…14, occ = 2 ⇒ ∑ P(i) = 10.

Étape 5.3. δ(u) = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0) / 18 = 11/18 ≈ 0,611 ; χ_{[1/4, 1]}(11/18) = 1.

autres densités : δ_A = 1/9 ; δ_P = 5/9 ; δ_source = (20 + 1) / 18 = 7/6.

Étape 5.4. Belle(w) = 1 ; Belle(w) / N = 1 ; attendu : 1.

Autres versions : allitération seule = 0 ; répétition seule = 1 ; source (occurrences / m) = 1.

∴ le groupe « heureux ceux qui sont morts » (5 mots) revient : 10 positions, plus charnelle (c, à deux places de ceux) : 11 mots sur 18, δ = 11/18 ≈ 0,611. L’anaphore est le motif le plus dense.

Exemple 6 – Une notice : aucun motif

Texte : « Prendre un comprimé trois fois par jour après les repas. »

i	t_i	init(t_i)
1	prendre	p
2	un	u
3	comprimé	c
4	trois	t
5	fois	f
6	par	p
7	jour	j
8	après	a
9	les	l
10	repas	r

Étape 6.1 (allitération). aucun mot n’a la même initiale qu’un mot à une ou deux places ⇒ ∑ A(i) = 0.

Étape 6.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 6.3. δ(u) = (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) / 10 = 0 ; χ_{[1/4, 1]}(0) = 0.

autres densités : δ_A = 0 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 0) / 10 = 0.

Étape 6.4. Belle(w) = 0 ; Belle(w) / N = 0 ; attendu : 0.

Autres versions : allitération seule = 0 ; répétition seule = 0 ; source (occurrences / m) = 0.

∴ aucune initiale ne revient à moins de trois places, aucun groupe ne se répète : δ = 0. La notice est sans procédé de forme.

Exemple 7 – Un horaire : deux « de » trop éloignés

Texte : « Le train de 8 h 12 partira de la voie 3. »

i	t_i	init(t_i)
1	le	l
2	train	t
3	de	d
4	8	8
5	h	h
6	12	1
7	partira	p
8	de	d
9	la	l
10	voie	v
11	3	3

Étape 7.1 (allitération). aucun mot n’a la même initiale qu’un mot à une ou deux places ⇒ ∑ A(i) = 0.

Étape 7.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 7.3. δ(u) = (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) / 11 = 0 ; χ_{[1/4, 1]}(0) = 0.

autres densités : δ_A = 0 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 0) / 11 = 0.

Étape 7.4. Belle(w) = 0 ; Belle(w) / N = 0 ; attendu : 0.

Autres versions : allitération seule = 0 ; répétition seule = 0 ; source (occurrences / m) = 0.

∴ les deux « de » ont la même initiale mais sont à 5 places l’un de l’autre, et un mot seul répété ne compte pas : δ = 0.

Exemple 8 – Faux positif assumé : l’allitération fortuite

Texte : « Prenez le paracétamol pour la poussée de fièvre. »

i	t_i	init(t_i)	∑_{1 ≤ \|i − j\| ≤ 2} χ_Δ(init(t_i), init(t_j))	A(i)	M(i)
1	prenez	p	1	1	1
2	le	l	0	0	0
3	paracétamol	p	2	1	1
4	pour	p	2	1	1
5	la	l	0	0	0
6	poussée	p	1	1	1
7	de	d	0	0	0
8	fièvre	f	0	0	0

Étape 8.1 (allitération). t₁ = prenez (p) avec t₃ = paracétamol ; t₃ = paracétamol (p) avec t₁ = prenez, t₄ = pour ; t₄ = pour (p) avec t₃ = paracétamol, t₆ = poussée ; t₆ = poussée (p) avec t₄ = pour ⇒ ∑ A(i) = 4.

Étape 8.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 8.3. δ(u) = (1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0) / 8 = 1/2 ≈ 0,500 ; χ_{[1/4, 1]}(1/2) = 1.

autres densités : δ_A = 1/2 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 3) / 8 = 3/8.

Étape 8.4. Belle(w) = 1 ; Belle(w) / N = 1 ; attendu : 0.

Autres versions : allitération seule = 1 ; répétition seule = 0 ; source (occurrences / m) = 1.

∴ prenez, paracétamol, pour, poussée : 4 mots sur 8 commencent par p à deux places au plus, δ = 1/2. La phrase est utilitaire ; l’allitération est fortuite. Faux positif assumé : la mesure voit la forme, non l’intention (lemme 3).

Exemple 9 – Faux négatif assumé : Éluard, la beauté sans motif de surface

Texte : « La terre est bleue comme une orange. »

i	t_i	init(t_i)
1	la	l
2	terre	t
3	est	e
4	bleue	b
5	comme	c
6	une	u
7	orange	o

Étape 9.1 (allitération). aucun mot n’a la même initiale qu’un mot à une ou deux places ⇒ ∑ A(i) = 0.

Étape 9.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 9.3. δ(u) = (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) / 7 = 0 ; χ_{[1/4, 1]}(0) = 0.

autres densités : δ_A = 0 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 0) / 7 = 0.

Étape 9.4. Belle(w) = 0 ; Belle(w) / N = 0 ; attendu : 1.

Autres versions : allitération seule = 0 ; répétition seule = 0 ; source (occurrences / m) = 0.

∴ aucun motif de surface : δ = 0. Le vers d’Éluard tient sa beauté de l’image (une terre bleue comme une orange), non de la répétition ni des sons. Faux négatif assumé : la mesure ne voit que les procédés formels.

[Image à insérer ici : belle-densite.png]

La densité de motifs des neuf phrases et le seuil 1/4.

Exemple 10 – Texte complet : cinq phrases

Texte : « Parce que c’était lui, parce que c’était moi. Le train de 8 h 12 partira de la voie 3. Pour qui sont ces serpents qui sifflent sur vos têtes ? Prendre un comprimé trois fois par jour après les repas. La terre est bleue comme une orange. »

Phrase u₁ : « Parce que c’était lui, parce que c’était moi. »

i	t_i	init(t_i)	P(i)	M(i)
1	parce	p	1	1
2	que	q	1	1
3	c	c	1	1
4	était	e	1	1
5	lui	l	0	0
6	parce	p	1	1
7	que	q	1	1
8	c	c	1	1
9	était	e	1	1
10	moi	m	0	0

Étape 10.1.1 (allitération). aucun mot n’a la même initiale qu’un mot à une ou deux places ⇒ ∑ A(i) = 0.

Étape 10.1.2 (répétition). « parce que c était » aux rangs 1…4 et 6…9, occ = 2 ⇒ ∑ P(i) = 8.

Étape 10.1.3. δ(u) = (1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0) / 10 = 4/5 ≈ 0,800 ; χ_{[1/4, 1]}(4/5) = 1.

autres densités : δ_A = 0 ; δ_P = 4/5 ; δ_source = (12 + 0) / 10 = 6/5.

Phrase u₂ : « Le train de 8 h 12 partira de la voie 3. »

i	t_i	init(t_i)
1	le	l
2	train	t
3	de	d
4	8	8
5	h	h
6	12	1
7	partira	p
8	de	d
9	la	l
10	voie	v
11	3	3

Étape 10.2.1 (allitération). aucun mot n’a la même initiale qu’un mot à une ou deux places ⇒ ∑ A(i) = 0.

Étape 10.2.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 10.2.3. δ(u) = (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) / 11 = 0 ; χ_{[1/4, 1]}(0) = 0.

autres densités : δ_A = 0 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 0) / 11 = 0.

Phrase u₃ : « Pour qui sont ces serpents qui sifflent sur vos têtes ? »

i	t_i	init(t_i)	∑_{1 ≤ \|i − j\| ≤ 2} χ_Δ(init(t_i), init(t_j))	A(i)	M(i)
1	pour	p	0	0	0
2	qui	q	0	0	0
3	sont	s	1	1	1
4	ces	c	0	0	0
5	serpents	s	2	1	1
6	qui	q	0	0	0
7	sifflent	s	2	1	1
8	sur	s	1	1	1
9	vos	v	0	0	0
10	têtes	t	0	0	0

Étape 10.3.1 (allitération). t₃ = sont (s) avec t₅ = serpents ; t₅ = serpents (s) avec t₃ = sont, t₇ = sifflent ; t₇ = sifflent (s) avec t₅ = serpents, t₈ = sur ; t₈ = sur (s) avec t₇ = sifflent ⇒ ∑ A(i) = 4.

Étape 10.3.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 10.3.3. δ(u) = (0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0) / 10 = 2/5 ≈ 0,400 ; χ_{[1/4, 1]}(2/5) = 1.

autres densités : δ_A = 2/5 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 3) / 10 = 3/10.

Phrase u₄ : « Prendre un comprimé trois fois par jour après les repas. »

i	t_i	init(t_i)
1	prendre	p
2	un	u
3	comprimé	c
4	trois	t
5	fois	f
6	par	p
7	jour	j
8	après	a
9	les	l
10	repas	r

Étape 10.4.1 (allitération). aucun mot n’a la même initiale qu’un mot à une ou deux places ⇒ ∑ A(i) = 0.

Étape 10.4.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 10.4.3. δ(u) = (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) / 10 = 0 ; χ_{[1/4, 1]}(0) = 0.

autres densités : δ_A = 0 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 0) / 10 = 0.

Phrase u₅ : « La terre est bleue comme une orange. »

i	t_i	init(t_i)
1	la	l
2	terre	t
3	est	e
4	bleue	b
5	comme	c
6	une	u
7	orange	o

Étape 10.5.1 (allitération). aucun mot n’a la même initiale qu’un mot à une ou deux places ⇒ ∑ A(i) = 0.

Étape 10.5.2 (répétition). aucun groupe d’au moins deux mots ne revient ⇒ ∑ P(i) = 0.

Étape 10.5.3. δ(u) = (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) / 7 = 0 ; χ_{[1/4, 1]}(0) = 0.

autres densités : δ_A = 0 ; δ_P = 0 ; δ_source = (0 + 0) / 7 = 0.

Étape 10.4. Belle(w) = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 2 ; Belle(w) / N = 2/5 ; attendu : 3.

Autres versions : allitération seule = 1 ; répétition seule = 1 ; source (occurrences / m) = 2.

∴ Belle(w) = 2 phrases sur 5, Belle(w)/N = 2/5 : Montaigne et Racine. Le vers d’Éluard, littéraire, est manqué (exemple 9) ; l’énoncé source, qui somme sur tous les facteurs du texte, en compterait 271.

[Image à insérer ici : belle-texte-complet.png]

Exemple 10 : cinq phrases, deux phrases de belles-lettres comptées.

3.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions sur les dix textes des exemples 1 à 10, par l’écart entre Belle calculé et le nombre attendu de phrases littéraires. Réponse attendue : 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 3 (l’exemple 8 n’est pas littéraire ; l’exemple 9 l’est ; le texte 10 contient trois phrases littéraires).

version	Belle total	erreurs ∑ \|Belle − attendu\| (sur 10 textes)	textes mal comptés
allitération seule : δ_A ≥ 1/4	5	6	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (1 au lieu de 3)
répétition seule : δ_P ≥ 1/4	3	6	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (1 au lieu de 3)
énoncé source, motifs comptés par occurrences : δ_source ≥ 1/4	7	4	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (2 au lieu de 3)
retenue : δ ≥ 1/4	8	3	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (2 au lieu de 3)

Chaque motif seul perd les phrases qui reposent sur l’autre : l’allitération seule perd Montaigne et Péguy, la répétition seule perd Baudelaire, Racine et Hugo. La version source, qui compte des occurrences de motifs, perd Hugo (2/11 < 1/4) alors qu’elle donne à Montaigne une densité de 6/5, supérieure à 1. La version retenue garde trois erreurs assumées : le faux positif du paracétamol (exemple 8) et le vers d’Éluard, sans motif de surface (exemples 9 et 10).

La somme sur tous les facteurs du texte, sans découpage en phrases, donne sur les dix textes : 9 sur 55, 18 sur 36, 32 sur 55, 28 sur 66, 47 sur 171, 0 sur 55, 0 sur 66, 19 sur 36, 0 sur 28, 271 sur 1176 facteurs au-dessus du seuil : un compte de morceaux, non de phrases (lemme 1).

[Image à insérer ici : belle-versions.png]

Erreurs des versions : les deux motifs, comptés par positions, sont nécessaires.

Le seuil θ :

θ (densité minimale)	erreurs ∑ \|Belle − attendu\|	textes mal comptés
1/10	3	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (2 au lieu de 3)
1/4	3	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (2 au lieu de 3)
2/5	4	ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (2 au lieu de 3)
3/5	6	ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 4 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (1 au lieu de 3)

θ = 2/5 perd Hugo (4/11) ; θ = 3/5 perd aussi Baudelaire et Racine. θ = 1/10 et θ = 1/4 font le même nombre d’erreurs sur ces textes ; le lemme 3 départage : avec θ = 1/10, une seule paire fortuite de même initiale suffit dans toute phrase de 20 mots au plus, ce qui est le cas de la plupart des phrases utilitaires. On retient θ = 1/4 : un mot sur quatre.

La fenêtre de l’allitération :

fenêtre (places)	erreurs ∑ \|Belle − attendu\|	textes mal comptés
1	5	ex. 3 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (1 au lieu de 3)
2	3	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (2 au lieu de 3)
3	3	ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (2 au lieu de 3)

Une fenêtre d’une place perd Racine : sont et serpents sont séparés par « ces ». Deux et trois places donnent le même résultat ; on retient la plus petite, deux places, qui limite les rencontres fortuites.

[Image à insérer ici : belle-seuils.png]

Sensibilité au seuil θ et à la fenêtre de l’allitération.

3.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

Nécessaire : A, P, M, δ et Belle ne dépendent que des mots et de leurs lettres, sans table ni dictionnaire ; les lemmes 1 à 4 sont des conséquences nécessaires des définitions.
Contingent : le découpage en phrases et la normalisation (minuscules, élisions, accents) sont des conventions déclarées ; changer de fenêtre ou de seuil change certaines décisions (section 3.8).
Possible : toute phrase de densité au moins 1/4 est une phrase de belles-lettres possible ; la densité ne garantit ni l’intention (exemple 8) ni la valeur, et la beauté d’image lui échappe (exemple 9).

3.10 Justification et limites

La qualité de forme a des marques constantes que la combinatoire des mots sait compter : le retour d’un facteur (répétition, parallélisme, anaphore) et le retour d’une lettre initiale à courte distance (allitération). La définition source avait la bonne idée, une densité de motifs comparée à un seuil ; il fallait compter des positions et non des facteurs, juger des phrases et non tous les morceaux du texte, et définir les motifs sur le texte lui-même plutôt que par une liste.

Trois limites sont assumées. La lettre initiale n’est qu’une approximation du son (« ces » et « serpents » commencent par le même son, non par la même lettre ; « ch » et « c » diffèrent) : une version phonétique remplacerait init(t) par le premier phonème. Les procédés non répétitifs (image, rythme, choix du mot rare) ne sont pas vus (exemple 9). Enfin, des allitérations fortuites apparaissent dans les textes utilitaires (exemple 8), d’autant plus que la phrase est courte (lemme 3).

⁂

4. Blason – Mécanisme en combinatoire des mots

4.1 Définition rhétorique

Le blason est une description qui énumère les parties d’un sujet, le plus souvent le corps féminin, en associant à chacune une comparaison qui la valorise. Le genre doit son nom à l’héraldique (la description des armoiries) ; il est popularisé par Clément Marot avec le Blason du beau tétin (1535), qui lance une mode des blasons anatomiques. Le contre-blason inverse le procédé : chaque partie est associée à une comparaison qui la déprécie (Marot, Blason du laid tétin ; Shakespeare, sonnet 130, « My mistress’ eyes are nothing like the sun »).

Trois traits définissent la figure, et chacun deviendra une fonction calculable :

le couple : une partie du sujet et le comparant qui la qualifie, proches l’un de l’autre ;
le signe : le comparant valorise la partie (blason) ou la déprécie (contre-blason), une négation ou une comparaison défavorable pouvant retourner un comparant flatteur ;
l’énumération : les couples se suivent, au moins trois, tous du même signe.

Une comparaison isolée (« ses yeux sont des saphirs ») n’est pas un blason, ni deux comparaisons symétriques (un parallélisme) ; un portrait qui mêle éloges et dénigrements n’est ni un blason ni un contre-blason.

4.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée est une définition en compréhension :

Blas(w) = |{ (p_i, c_i) ∈ Fact(w)² | p_i ∈ Part ∧ c_i ∈ Val }|,

où Part est la liste des parties du sujet et Val celle des comparants valorisants. Avec les indicatrices χ_Part et χ_Val, elle devient une somme, puis une somme avec proximité, d(p, c) étant la distance des deux mots et m une fenêtre :

Blas(w) = ∑_{(p, c) ∈ Fact(w)²} χ_Part(p) · χ_Val(c), Blas_m(w) = ∑_{(p, c) ∈ Fact(w)²} χ_Part(p) · χ_Val(c) · χ_{[0, m]}(d(p, c)).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les associations d’une partie et d’un comparant flatteur. Telle quelle, elle ne compte pas des couples mais des paires, et elle ne distingue pas le blason du contre-blason. Six précisions sont nécessaires :

Fact(w) est un ensemble de chaînes, sans positions. La distance d(p, c) n’y est pas définie (quelle occurrence de « tétin » ?), et les trois « tétin » de Marot n’y comptent qu’une fois. On travaille sur les positions i, j des mots dans le texte.
Sans proximité, la somme est un produit. ∑_{(p, c)} χ_Part(p) χ_Val(c) = (∑_p χ_Part(p)) · (∑_c χ_Val(c)) : chaque partie est associée à chaque comparant (lemme 1). Trois parties et trois comparants donnent 9, et non 3 ; l’exemple source 1 n’obtient 3 que parce qu’il part des « paires détectées », c’est-à-dire d’un appariement que la formule ne contient pas.
Avec proximité, une partie ou un comparant peut servir plusieurs fois. Dans « yeux comme des saphirs, front d’ivoire, joues de pommes », la fenêtre de 7 mots relie aussi yeux à ivoire et front à pommes : 8 paires pour 3 comparaisons. On forme un seul couple par partie : son comparant le plus proche, à droite d’abord, sinon à gauche, dans le même vers.
La distance doit rester dans une unité. Une partie en fin de vers et un comparant au début du vers suivant ne forment pas un couple ; les vers et les phrases sont séparés par . ; ! ? /.
Val seul ne voit pas le contre-blason. Le sonnet 130 emploie les comparants traditionnels (sun, coral, snow) pour dire que la maîtresse ne leur ressemble pas : la formule source le compte comme un blason. On ajoute les comparants dépréciatifs Dép et une règle des signes avec les marques d’inversion.
Un nombre n’est pas un verdict. Un couple est une comparaison, deux un parallélisme ; le blason est une énumération. On décide par le nombre de couples N ≥ 3 et par l’accord de leurs signes.

Les trois exemples de l’énoncé source se recalculent ainsi :

exemple source	parties de Part présentes	comparants de Val présents	∑ sur Fact(w)² (produit)	couples réels
1 : (eyes, crystal), (hair, gold), (face, rose)	3	3	3 × 3 = 9	3
2 : (eyes, crystal), (hand, stone), (hair, gold)	2 (hand ∉ Part)	2 (stone ∉ Val)	2 × 2 = 4	2
3 : distances 1, 2, 5 avec m = 3	3	3	paires à d ≤ 3 : au moins 2	2

Le troisième exemple est juste à condition que chaque partie n’ait qu’un comparant dans sa fenêtre : c’est exactement la règle « un couple par partie » qui le garantit.

4.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

partie : χ_Part(t) = 1 si le mot t désigne une partie du sujet ;
comparant : χ_{Val ∪ Dép}(t) = 1 si t est un comparant, valorisant ou dépréciatif ;
polarité : π(t) = χ_Val(t) − χ_Dép(t) ∈ { −1, 0, +1 } ;
inversion : χ_Neg(t) = 1 pour une négation, χ_Comp(t) = 1 pour une marque de comparatif ;
fenêtre : χ_{[1, m]}(|i − j|) = 1 si les deux mots sont à au plus m places ;
énumération et accord : χ_{[3, +∞[}(N) = 1 si N ≥ 3 ; χ_{N}(S) = 1 si S = N.

4.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte, les unités, les mots

Le texte est mis en minuscules ; il est découpé en unités (vers ou phrases) aux signes . ; ! ? / ; la virgule ne coupe pas, car « front d’ivoire, joues de pommes » forme une seule énumération. Dans chaque unité, les mots t₁, …, t_n sont les facteurs bordés par des espaces ; les élisions (d’, qu’…) sont détachées.

b) Les tables déclarées

table	rôle	mots
Part	parties du sujet	yeux, front, joues, bouche, lèvres, cheveux, sein, tétin, main, mains, visage, dents, eyes, lips, breasts, hairs, cheeks, head
Val (π = +1)	comparants valorisants	saphirs, ivoire, pommes, rose, satin, perles, corail, neige, soleil, lys, albâtre, or, œuf, miel, cristal, sun, coral, snow, gold, crystal, diamond
Dép (π = −1)	comparants dépréciatifs	wires, dun, suie, chiffon, cuir
Neg	négations	nothing, not, ne, n, pas
Comp	marques de comparatif	than, que, qu

Lemme 1 (le produit). ∑_i ∑_j χ_Part(t_i) χ_Val(t_j) = (∑_i χ_Part(t_i)) · (∑_j χ_Val(t_j)). ∴ sans appariement, la formule source vaut n_P · n_V, le produit du nombre de parties par le nombre de comparants, quelle que soit leur disposition dans le texte.

[Image à insérer ici : blas-produit.png]

Sans proximité, la somme sur les paires est un produit : chaque partie avec chaque comparant.

c) Le couple : un comparant par partie

Pour une partie en position i (χ_Part(t_i) = 1), on cherche le comparant le plus proche à droite dans la fenêtre ; s’il n’y en a pas, le plus proche à gauche :

D(i) = { j > i | j − i ≤ m, χ_{Val ∪ Dép}(t_j) = 1 }, G(i) = { j < i | i − j ≤ m, χ_{Val ∪ Dép}(t_j) = 1 },

j(i) = min D(i) si D(i) ≠ ∅ ; j(i) = max G(i) si D(i) = ∅ et G(i) ≠ ∅ ; pas de couple sinon.

Pourquoi la droite d’abord ? En français comme en anglais, le comparant suit le plus souvent la partie (« yeux comme des saphirs », « front d’ivoire », « hairs be wires ») ; la gauche couvre les inversions (« Coral is far more red than her lips »). Pourquoi m = 7 ? Marot place le comparant à 6 mots (« tétin refait, plus blanc qu’un œuf ») et Shakespeare à 7 (coral … lips) ; la section 4.8 compare d’autres fenêtres.

N(w) = ∑_i=1ⁿ χ_Part(t_i) · χ_{[1, +∞[}( ∑_{1 ≤ |i − j| ≤ m} χ_{Val ∪ Dép}(t_j) ).

Lemme 2 (une partie, un couple). Chaque occurrence de partie forme au plus un couple : N(w) ≤ n_P. ∴ « ses cheveux d’or, de soleil et de miel » donne un couple, et non trois : une seule comparaison enrichie.

d) Le signe d’un couple

ν(i, j) = ∑_{k entre i et j} χ_Neg(t_k) + χ_{{j < i}} · ∑_{k entre i et j} χ_Comp(t_k), s(i, j) = π(t_j) · (−1)^{ν(i, j)}.

Une négation entre la partie et le comparant (« eyes are nothing like the sun ») retourne le signe. Un comparatif retourne aussi le signe quand le comparant précède la partie : « coral is far more red than her lips » dit que la partie est inférieure au comparant ; « tétin plus blanc qu’un œuf », où la partie précède, reste un éloge.

Lemme 3 (deux inversions s’annulent). (−1)² = 1 : une double négation rend au comparant sa valeur.

Lemme 4 (accord des signes). Comme |s| = 1, S = ∑ s = N si et seulement si tous les couples valent +1, et S = −N si et seulement si tous valent −1.

[Image à insérer ici : blas-couples.png]

Les couples partie → comparant dans un blason (exemple 1) et dans le sonnet 130 (exemple 3).

[Image à insérer ici : blas-signes.png]

La règle des signes du sonnet 130 : deux comparants flatteurs retournés, trois dépréciatifs.

4.5 Définition mathématique

N(w) = nombre de couples, S(w) = ∑_{couples (i, j(i))} π(t_j(i)) · (−1)^{ν(i, j(i))}, P_d(w) = nombre de parties distinctes,

Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(N) · χ_{N}(S), Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(N) · χ_{−N}(S), m = 7.

Le premier facteur exige une énumération ; le second, que tous les couples aient le même signe (lemme 4). P_d distingue le blason anatomique (plusieurs parties) du blason d’une seule partie, comme celui de Marot (P_d = 1).

[Image à insérer ici : blas-formule.png]

La définition complète : positions, un couple par partie, signe, énumération.

[Image à insérer ici : blas-arbre.png]

L’arbre de décision : couples, signes, puis énumération.

[Image à insérer ici : blas-plan.png]

Le plan (N, S) : les exemples placés par rapport aux diagonales S = N et S = −N.

4.6 Calcul pas à pas (procédure)

Mettre en minuscules ; découper en unités aux signes . ; ! ? / ; détacher les élisions ; numéroter les mots.
Pour chaque partie, chercher le comparant le plus proche à droite à 7 mots au plus, sinon à gauche : le couple (i, j(i)).
Pour chaque couple, lire π du comparant, compter les négations et, si le comparant précède, les comparatifs entre les deux mots : ν, puis s.
Calculer N, S et P_d.
Décider : blason si N ≥ 3 et S = N ; contre-blason si N ≥ 3 et S = −N ; sinon ni l’un ni l’autre.

4.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne les mots de chaque unité, puis un tableau des couples : partie, comparant, distance, sens, polarité π, négations, comparatifs à rebours, ν et signe s.

Exemple 1 – Un blason anatomique : trois parties, trois comparants

Texte : « Yeux comme des saphirs, front d’ivoire, joues de pommes rougies. »

Étape 1.1 (unité u₁). t₁ = yeux (partie), t₂ = comme, t₃ = des, t₄ = saphirs (Val), t₅ = front (partie), t₆ = d, t₇ = ivoire (Val), t₈ = joues (partie), t₉ = de, t₁₀ = pommes (Val), t₁₁ = rougies.

Étape 1.2 (u₁, partie t₁ = yeux). D = {4, 7} ; G = {} ⇒ j(i) = 4 (saphirs).

Étape 1.2 (u₁, partie t₅ = front). D = {7, 10} ; G = {4} ⇒ j(i) = 7 (ivoire).

Étape 1.2 (u₁, partie t₈ = joues). D = {10} ; G = {4, 7} ⇒ j(i) = 10 (pommes).

unité	partie	comparant	d = \|i − j\|	sens	π(t_j)	s = π · (−1)^ν
u₁	t₁ = yeux	t₄ = saphirs	3	droite	+1	+1
u₁	t₅ = front	t₇ = ivoire	2	droite	+1	+1
u₁	t₈ = joues	t₁₀ = pommes	2	droite	+1	+1

Étape 1.3 (yeux, saphirs). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 1.3 (front, ivoire). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 1.3 (joues, pommes). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 1.4. N = 3 ; S = (+1) + (+1) + (+1) = +3 ; P_d = 3.

Étape 1.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(3) · χ_{3}(3) = 1 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(3) · χ_{−3}(3) = 0.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 3 × 3 = 9 ; avec la fenêtre de 7 mots : 8 paires ; attendu : 3 couple(s), blason 1, contre-blason 0.

∴ trois parties, chacune suivie de son comparant à 2 ou 3 mots : N = 3, S = 3, P_d = 3. Blason anatomique. La formule source donne 3 × 3 = 9 paires sans fenêtre et 8 avec la fenêtre de 7 mots (lemme 1).

Exemple 2 – Marot : le blason d’une seule partie

Texte : « Tétin refait, plus blanc qu’un œuf, / Tétin de satin blanc tout neuf, / Tétin qui fait honte à la rose. »

Étape 2.1 (unité u₁). t₁ = tétin (partie), t₂ = refait, t₃ = plus, t₄ = blanc, t₅ = qu (Comp), t₆ = un, t₇ = œuf (Val).

Étape 2.1 (unité u₂). t₁ = tétin (partie), t₂ = de, t₃ = satin (Val), t₄ = blanc, t₅ = tout, t₆ = neuf.

Étape 2.1 (unité u₃). t₁ = tétin (partie), t₂ = qui, t₃ = fait, t₄ = honte, t₅ = à, t₆ = la, t₇ = rose (Val).

Étape 2.2 (u₁, partie t₁ = tétin). D = {7} ; G = {} ⇒ j(i) = 7 (œuf).

Étape 2.2 (u₂, partie t₁ = tétin). D = {3} ; G = {} ⇒ j(i) = 3 (satin).

Étape 2.2 (u₃, partie t₁ = tétin). D = {7} ; G = {} ⇒ j(i) = 7 (rose).

unité	partie	comparant	d = \|i − j\|	sens	π(t_j)	s = π · (−1)^ν
u₁	t₁ = tétin	t₇ = œuf	6	droite	+1	+1
u₂	t₁ = tétin	t₃ = satin	2	droite	+1	+1
u₃	t₁ = tétin	t₇ = rose	6	droite	+1	+1

Étape 2.3 (tétin, œuf). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 2.3 (tétin, satin). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 2.3 (tétin, rose). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 2.4. N = 3 ; S = (+1) + (+1) + (+1) = +3 ; P_d = 1.

Étape 2.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(3) · χ_{3}(3) = 1 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(3) · χ_{−3}(3) = 0.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 3 × 3 = 9 ; avec la fenêtre de 7 mots : 6 paires ; attendu : 3 couple(s), blason 1, contre-blason 0.

∴ trois occurrences de « tétin », trois comparants flatteurs (œuf, satin, rose) : N = 3, S = 3, P_d = 1. Blason d’une seule partie. « plus blanc qu’un œuf » contient « qu » mais la partie précède le comparant : pas d’inversion. Sur l’ensemble Fact(w), les trois « tétin » ne compteraient qu’une fois.

Exemple 3 – Shakespeare, sonnet 130 : le contre-blason

Texte : « My mistress’ eyes are nothing like the sun; / Coral is far more red than her lips’ red; / If snow be white, why then her breasts are dun; / If hairs be wires, black wires grow on her head. »

Étape 3.1 (unité u₁). t₁ = my, t₂ = mistress, t₃ = eyes (partie), t₄ = are, t₅ = nothing (Neg), t₆ = like, t₇ = the, t₈ = sun (Val).

Étape 3.1 (unité u₂). t₁ = coral (Val), t₂ = is, t₃ = far, t₄ = more, t₅ = red, t₆ = than (Comp), t₇ = her, t₈ = lips (partie), t₉ = red.

Étape 3.1 (unité u₃). t₁ = if, t₂ = snow (Val), t₃ = be, t₄ = white, t₅ = why, t₆ = then, t₇ = her, t₈ = breasts (partie), t₉ = are, t₁₀ = dun (Dép).

Étape 3.1 (unité u₄). t₁ = if, t₂ = hairs (partie), t₃ = be, t₄ = wires (Dép), t₅ = black, t₆ = wires (Dép), t₇ = grow, t₈ = on, t₉ = her, t₁₀ = head (partie).

Étape 3.2 (u₁, partie t₃ = eyes). D = {8} ; G = {} ⇒ j(i) = 8 (sun).

Étape 3.2 (u₂, partie t₈ = lips). D = {} ; G = {1} ⇒ j(i) = 1 (coral).

Étape 3.2 (u₃, partie t₈ = breasts). D = {10} ; G = {2} ⇒ j(i) = 10 (dun).

Étape 3.2 (u₄, partie t₂ = hairs). D = {4, 6} ; G = {} ⇒ j(i) = 4 (wires).

Étape 3.2 (u₄, partie t₁₀ = head). D = {} ; G = {4, 6} ⇒ j(i) = 6 (wires).

unité	partie	comparant	d = \|i − j\|	sens	π(t_j)	∑ χ_Neg	χ_{{j < i}} · ∑ χ_Comp	ν	s = π · (−1)^ν
u₁	t₃ = eyes	t₈ = sun	5	droite	+1	1	0	1	−1
u₂	t₈ = lips	t₁ = coral	7	gauche	+1	0	1	1	−1
u₃	t₈ = breasts	t₁₀ = dun	2	droite	−1	0	0	0	−1
u₄	t₂ = hairs	t₄ = wires	2	droite	−1	0	0	0	−1
u₄	t₁₀ = head	t₆ = wires	4	gauche	−1	0	0	0	−1

Étape 3.3 (eyes, sun). s = (+1) · (−1)¹ = −1.

Étape 3.3 (lips, coral). s = (+1) · (−1)¹ = −1.

Étape 3.3 (breasts, dun). s = (−1) · (−1)⁰ = −1.

Étape 3.3 (hairs, wires). s = (−1) · (−1)⁰ = −1.

Étape 3.3 (head, wires). s = (−1) · (−1)⁰ = −1.

Étape 3.4. N = 5 ; S = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = −5 ; P_d = 5.

Étape 3.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(5) · χ_{5}(−5) = 0 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(5) · χ_{−5}(−5) = 1.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 5 × 3 = 15 ; avec la fenêtre de 7 mots : 5 paires ; attendu : 5 couple(s), blason 0, contre-blason 1.

∴ cinq couples, tous de signe −1 : deux comparants traditionnels retournés (sun par « nothing », coral par le comparatif à rebours) et trois comparants dépréciatifs (dun, wires, wires). N = 5, S = −5 : contre-blason. La formule source, qui ne connaît que Val, y voit 3 × 5 = 15 paires flatteuses.

Exemple 4 – Une description sans comparant

Texte : « Il a les yeux bleus et les cheveux courts. »

Étape 4.1 (unité u₁). t₁ = il, t₂ = a, t₃ = les, t₄ = yeux (partie), t₅ = bleus, t₆ = et, t₇ = les, t₈ = cheveux (partie), t₉ = courts.

Étape 4.2 (u₁, partie t₄ = yeux). D = {} ; G = {} ⇒ pas de couple.

Étape 4.2 (u₁, partie t₈ = cheveux). D = {} ; G = {} ⇒ pas de couple.

Étape 4.4. N = 0 ; S = 0 ; P_d = 0.

Étape 4.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(0) · χ_{0}(0) = 0 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(0) · χ_{0}(0) = 0.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 2 × 0 = 0 ; avec la fenêtre de 7 mots : 0 paires ; attendu : 0 couple(s), blason 0, contre-blason 0.

∴ deux parties, aucun comparant : N = 0. Une description n’est pas un blason.

Exemple 5 – Deux couples : un parallélisme, non une énumération

Texte : « Ses yeux sont des saphirs et ses lèvres du corail. »

Étape 5.1 (unité u₁). t₁ = ses, t₂ = yeux (partie), t₃ = sont, t₄ = des, t₅ = saphirs (Val), t₆ = et, t₇ = ses, t₈ = lèvres (partie), t₉ = du, t₁₀ = corail (Val).

Étape 5.2 (u₁, partie t₂ = yeux). D = {5} ; G = {} ⇒ j(i) = 5 (saphirs).

Étape 5.2 (u₁, partie t₈ = lèvres). D = {10} ; G = {5} ⇒ j(i) = 10 (corail).

unité	partie	comparant	d = \|i − j\|	sens	π(t_j)	∑ χ_Neg	χ_{{j < i}} · ∑ χ_Comp	ν	s = π · (−1)^ν
u₁	t₂ = yeux	t₅ = saphirs	3	droite	+1	0	0	0	+1
u₁	t₈ = lèvres	t₁₀ = corail	2	droite	+1	0	0	0	+1

Étape 5.3 (yeux, saphirs). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 5.3 (lèvres, corail). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 5.4. N = 2 ; S = (+1) + (+1) = +2 ; P_d = 2.

Étape 5.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(2) · χ_{2}(2) = 0 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(2) · χ_{−2}(2) = 0.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 2 × 2 = 4 ; avec la fenêtre de 7 mots : 3 paires ; attendu : 2 couple(s), blason 0, contre-blason 0.

∴ deux couples flatteurs : N = 2, S = 2. Un parallélisme ; il faudrait une troisième comparaison pour une énumération.

Exemple 6 – Des parties et des comparants sans lien

Texte : « Elle se lava le visage et les mains. Plus tard, elle acheta une rose et une bague en or. »

Étape 6.1 (unité u₁). t₁ = elle, t₂ = se, t₃ = lava, t₄ = le, t₅ = visage (partie), t₆ = et, t₇ = les, t₈ = mains (partie).

Étape 6.1 (unité u₂). t₁ = plus, t₂ = tard, t₃ = elle, t₄ = acheta, t₅ = une, t₆ = rose (Val), t₇ = et, t₈ = une, t₉ = bague, t₁₀ = en, t₁₁ = or (Val).

Étape 6.2 (u₁, partie t₅ = visage). D = {} ; G = {} ⇒ pas de couple.

Étape 6.2 (u₁, partie t₈ = mains). D = {} ; G = {} ⇒ pas de couple.

Étape 6.4. N = 0 ; S = 0 ; P_d = 0.

Étape 6.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(0) · χ_{0}(0) = 0 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(0) · χ_{0}(0) = 0.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 2 × 2 = 4 ; avec la fenêtre de 7 mots : 1 paires ; attendu : 0 couple(s), blason 0, contre-blason 0.

∴ « visage » et « mains » sont dans la première phrase, « rose » et « or » dans la deuxième : aucun couple dans une même unité. N = 0, alors que la formule source sans fenêtre compte 2 × 2 = 4 paires.

Exemple 7 – Une partie, trois comparants : une seule comparaison enrichie

Texte : « Ses cheveux d’or, de soleil et de miel. »

Étape 7.1 (unité u₁). t₁ = ses, t₂ = cheveux (partie), t₃ = d, t₄ = or (Val), t₅ = de, t₆ = soleil (Val), t₇ = et, t₈ = de, t₉ = miel (Val).

Étape 7.2 (u₁, partie t₂ = cheveux). D = {4, 6, 9} ; G = {} ⇒ j(i) = 4 (or).

unité	partie	comparant	d = \|i − j\|	sens	π(t_j)	∑ χ_Neg	χ_{{j < i}} · ∑ χ_Comp	ν	s = π · (−1)^ν
u₁	t₂ = cheveux	t₄ = or	2	droite	+1	0	0	0	+1

Étape 7.3 (cheveux, or). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 7.4. N = 1 ; S = +1 ; P_d = 1.

Étape 7.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(1) · χ_{1}(1) = 0 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(1) · χ_{−1}(1) = 0.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 1 × 3 = 3 ; avec la fenêtre de 7 mots : 3 paires ; attendu : 1 couple(s), blason 0, contre-blason 0.

∴ une seule partie, « cheveux », et trois comparants : le couple est (cheveux, or), N = 1 (lemme 2). La formule source avec fenêtre en compterait 3 et y verrait une énumération.

Exemple 8 – Un portrait mêlé : ni blason, ni contre-blason

Texte : « Ses yeux sont des saphirs, ses dents de la suie, ses lèvres du corail. »

Étape 8.1 (unité u₁). t₁ = ses, t₂ = yeux (partie), t₃ = sont, t₄ = des, t₅ = saphirs (Val), t₆ = ses, t₇ = dents (partie), t₈ = de, t₉ = la, t₁₀ = suie (Dép), t₁₁ = ses, t₁₂ = lèvres (partie), t₁₃ = du, t₁₄ = corail (Val).

Étape 8.2 (u₁, partie t₂ = yeux). D = {5} ; G = {} ⇒ j(i) = 5 (saphirs).

Étape 8.2 (u₁, partie t₇ = dents). D = {10, 14} ; G = {5} ⇒ j(i) = 10 (suie).

Étape 8.2 (u₁, partie t₁₂ = lèvres). D = {14} ; G = {5, 10} ⇒ j(i) = 14 (corail).

unité	partie	comparant	d = \|i − j\|	sens	π(t_j)	s = π · (−1)^ν
u₁	t₂ = yeux	t₅ = saphirs	3	droite	+1	+1
u₁	t₇ = dents	t₁₀ = suie	3	droite	−1	−1
u₁	t₁₂ = lèvres	t₁₄ = corail	2	droite	+1	+1

Étape 8.3 (yeux, saphirs). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 8.3 (dents, suie). s = (−1) · (−1)⁰ = −1.

Étape 8.3 (lèvres, corail). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 8.4. N = 3 ; S = (+1) + (−1) + (+1) = +1 ; P_d = 3.

Étape 8.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(3) · χ_{3}(1) = 0 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(3) · χ_{−3}(1) = 0.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 3 × 2 = 6 ; avec la fenêtre de 7 mots : 5 paires ; attendu : 3 couple(s), blason 0, contre-blason 0.

∴ trois couples, mais de signes +1, −1, +1 : S = 1 ≠ ±3. Ni blason ni contre-blason : un portrait mêlé, voisin du burlesque.

Exemple 9 – Faux couple assumé : le soleil n’est pas un comparant

Texte : « Elle a les yeux fatigués après une longue journée au soleil. »

Étape 9.1 (unité u₁). t₁ = elle, t₂ = a, t₃ = les, t₄ = yeux (partie), t₅ = fatigués, t₆ = après, t₇ = une, t₈ = longue, t₉ = journée, t₁₀ = au, t₁₁ = soleil (Val).

Étape 9.2 (u₁, partie t₄ = yeux). D = {11} ; G = {} ⇒ j(i) = 11 (soleil).

unité	partie	comparant	d = \|i − j\|	sens	π(t_j)	∑ χ_Neg	χ_{{j < i}} · ∑ χ_Comp	ν	s = π · (−1)^ν
u₁	t₄ = yeux	t₁₁ = soleil	7	droite	+1	0	0	0	+1

Étape 9.3 (yeux, soleil). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 9.4. N = 1 ; S = +1 ; P_d = 1.

Étape 9.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(1) · χ_{1}(1) = 0 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(1) · χ_{−1}(1) = 0.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 1 × 1 = 1 ; avec la fenêtre de 7 mots : 1 paires ; attendu : 0 couple(s), blason 0, contre-blason 0.

∴ « soleil » est à 7 mots de « yeux » : le calcul forme un couple (yeux, soleil, +1), alors que le soleil n’est pas ici un comparant mais le lieu de la journée. Faux couple assumé ; il ne change pas le verdict (N = 1), mais il montre que la fenêtre ne remplace pas l’analyse syntaxique.

Exemple 10 – Texte complet : trois phrases, cinq couples

Texte : « Yeux comme des saphirs, front d’ivoire, joues de pommes rougies. Il a les yeux bleus et les cheveux courts. Ses yeux sont des saphirs et ses lèvres du corail. »

Étape 10.1 (unité u₁). t₁ = yeux (partie), t₂ = comme, t₃ = des, t₄ = saphirs (Val), t₅ = front (partie), t₆ = d, t₇ = ivoire (Val), t₈ = joues (partie), t₉ = de, t₁₀ = pommes (Val), t₁₁ = rougies.

Étape 10.1 (unité u₂). t₁ = il, t₂ = a, t₃ = les, t₄ = yeux (partie), t₅ = bleus, t₆ = et, t₇ = les, t₈ = cheveux (partie), t₉ = courts.

Étape 10.1 (unité u₃). t₁ = ses, t₂ = yeux (partie), t₃ = sont, t₄ = des, t₅ = saphirs (Val), t₆ = et, t₇ = ses, t₈ = lèvres (partie), t₉ = du, t₁₀ = corail (Val).

Étape 10.2 (u₁, partie t₁ = yeux). D = {4, 7} ; G = {} ⇒ j(i) = 4 (saphirs).

Étape 10.2 (u₁, partie t₅ = front). D = {7, 10} ; G = {4} ⇒ j(i) = 7 (ivoire).

Étape 10.2 (u₁, partie t₈ = joues). D = {10} ; G = {4, 7} ⇒ j(i) = 10 (pommes).

Étape 10.2 (u₂, partie t₄ = yeux). D = {} ; G = {} ⇒ pas de couple.

Étape 10.2 (u₂, partie t₈ = cheveux). D = {} ; G = {} ⇒ pas de couple.

Étape 10.2 (u₃, partie t₂ = yeux). D = {5} ; G = {} ⇒ j(i) = 5 (saphirs).

Étape 10.2 (u₃, partie t₈ = lèvres). D = {10} ; G = {5} ⇒ j(i) = 10 (corail).

unité	partie	comparant	d = \|i − j\|	sens	π(t_j)	s = π · (−1)^ν
u₁	t₁ = yeux	t₄ = saphirs	3	droite	+1	+1
u₁	t₅ = front	t₇ = ivoire	2	droite	+1	+1
u₁	t₈ = joues	t₁₀ = pommes	2	droite	+1	+1
u₃	t₂ = yeux	t₅ = saphirs	3	droite	+1	+1
u₃	t₈ = lèvres	t₁₀ = corail	2	droite	+1	+1

Étape 10.3 (yeux, saphirs). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 10.3 (front, ivoire). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 10.3 (joues, pommes). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 10.3 (yeux, saphirs). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 10.3 (lèvres, corail). s = (+1) · (−1)⁰ = +1.

Étape 10.4. N = 5 ; S = (+1) + (+1) + (+1) + (+1) + (+1) = +5 ; P_d = 4.

Étape 10.5. Blas(w) = χ_{[3, +∞[}(5) · χ_{5}(5) = 1 ; Contre(w) = χ_{[3, +∞[}(5) · χ_{−5}(5) = 0.

Formule source : sans fenêtre n_P · n_V = 7 × 5 = 35 ; avec la fenêtre de 7 mots : 13 paires ; attendu : 5 couple(s), blason 1, contre-blason 0.

∴ N = 5, S = 5 : blason. La deuxième phrase n’apporte aucun couple ; les deux autres en apportent 3 et 2. La formule source compte 7 × 5 = 35 paires.

[Image à insérer ici : blas-texte-complet.png]

Exemple 10 : trois phrases, cinq couples, un blason.

4.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions sur les dix textes, d’abord par le nombre de couples (écart à la valeur attendue), puis par les verdicts. Couples attendus : 3, 3, 5, 0, 2, 0, 1, 3, 0, 5 (l’exemple 9 ne contient aucune comparaison).

version	erreurs ∑ \|N − attendu\| (sur 10 textes)	textes mal comptés
source : ∑ sur Fact(w)² = n_P · n_V	64	ex. 1 (9 au lieu de 3) ; ex. 2 (9 au lieu de 3) ; ex. 3 (15 au lieu de 5) ; ex. 5 (4 au lieu de 2) ; ex. 6 (4 au lieu de 0) ; ex. 7 (3 au lieu de 1) ; ex. 8 (6 au lieu de 3) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (35 au lieu de 5)
source avec fenêtre : paires à ≤ 7 mots	23	ex. 1 (8 au lieu de 3) ; ex. 2 (6 au lieu de 3) ; ex. 5 (3 au lieu de 2) ; ex. 6 (1 au lieu de 0) ; ex. 7 (3 au lieu de 1) ; ex. 8 (5 au lieu de 3) ; ex. 9 (1 au lieu de 0) ; ex. 10 (13 au lieu de 5)
retenue : un couple par partie	1	ex. 9 (1 au lieu de 0)

verdict	erreurs (blason + contre-blason)	textes mal jugés
source : χ_{[3, +∞[}(paires à ≤ 7 mots), Val seul	5	ex. 3 (blason 1, contre 0) ; ex. 5 (blason 1, contre 0) ; ex. 7 (blason 1, contre 0) ; ex. 8 (blason 1, contre 0)
retenue : χ_{[3, +∞[}(N) · χ_{±N}(S)	0	aucun

La formule source compte des paires : 64 erreurs sans fenêtre, 23 avec. Ses verdicts prennent le parallélisme (exemple 5), la comparaison enrichie (exemple 7) et le portrait mêlé (exemple 8) pour des blasons, et le sonnet 130 pour un blason au lieu d’un contre-blason. La version retenue ne garde qu’une erreur de couple, le faux couple de l’exemple 9, sans effet sur les verdicts.

[Image à insérer ici : blas-versions.png]

Erreurs sur le nombre de couples : la formule source compte des paires.

La fenêtre m :

m (mots)	erreurs ∑ \|N − attendu\|	textes mal comptés
3	5	ex. 2 (1 au lieu de 3) ; ex. 3 (2 au lieu de 5)
5	3	ex. 2 (1 au lieu de 3) ; ex. 3 (4 au lieu de 5)
7	1	ex. 9 (1 au lieu de 0)
9	1	ex. 9 (1 au lieu de 0)

m = 3 et m = 5 perdent les couples de Marot à 6 mots et le couple (lips, coral) à 7 mots ; m = 7 et m = 9 donnent le même résultat, avec le seul faux couple de l’exemple 9. On retient la plus petite fenêtre qui garde Marot et Shakespeare : m = 7.

Le nombre minimal de couples : avec 2, le parallélisme de l’exemple 5 devient un blason (1 erreur) ; avec 4, les blasons à trois couples (exemples 1 et 2) sont perdus (2 erreurs) ; avec 3, aucune erreur de verdict. Trois est aussi le plus petit nombre de termes d’une énumération.

[Image à insérer ici : blas-seuils.png]

Sensibilité à la fenêtre m et au nombre minimal de couples.

4.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

Nécessaire : une fois les tables fixées, les couples, ν, s, N, S et les verdicts découlent nécessairement des positions des mots ; les lemmes 1 à 4 sont des conséquences nécessaires des définitions.
Contingent : l’appartenance d’un mot à Part, Val ou Dép dépend de tables déclarées et d’un usage (« soleil » est un comparant dans un éloge, un lieu dans l’exemple 9) ; ajouter des mots aux tables peut créer ou défaire des couples.
Possible : toute suite de trois couples de même signe est un blason possible ; la proximité ne garantit pas la relation syntaxique de comparaison (exemple 9).

4.10 Justification et limites

Le blason est une structure sérielle : non une comparaison isolée, mais une suite ordonnée de couples. La combinatoire des mots la décrit comme la répétition d’un même motif à deux places (partie, comparant) le long du mot, et la règle des signes rend compte du contre-blason sans autre définition. La définition source avait les deux bons ingrédients, les tables Part et Val et la proximité ; il fallait compter des couples et non des paires, et décider par l’énumération et l’accord des signes.

Trois limites sont assumées. La proximité remplace imparfaitement la syntaxe (exemple 9) : un analyseur syntaxique relierait chaque comparant à la partie qu’il qualifie. Les marques d’inversion sont une liste courte ; l’ironie, qui retourne un éloge sans négation, échappe au calcul. Enfin, les tables de parties et de comparants sont déclarées pour les exemples : un corpus réel demande des tables plus larges, et la mesure en dépend.

⁂

Buzzword – combinatoire des mots

5. Buzzword – Mécanisme en combinatoire des mots

5.1 Définition rhétorique

Un buzzword (mot à la mode) est un terme de jargon, souvent managérial ou technique, employé pour impressionner plus que pour informer ; son sens s’use à force d’emploi. Synergie, disruption, paradigme, écosystème, agile en sont des exemples. Un discours saturé de tels termes peut sembler riche tout en ne disant rien de vérifiable.

Trois traits définissent la figure, et chacun deviendra une fonction calculable :

la vogue : le terme est fréquent à une époque donnée, dans un milieu donné ;
le prestige plus que le sens : il valorise celui qui l’emploie plus qu’il ne précise ce dont il parle ;
la saturation sans contenu : la phrase en contient beaucoup et ne contient rien que l’on puisse vérifier (chiffre, date, unité, nom propre).

Un terme à la mode n’est pas une faute ; c’est sa densité dans une phrase sans contenu vérifiable qui fait le discours creux. L’unité de décision est donc la phrase, et la table des termes est un préalable.

5.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée est une définition en compréhension :

Buzz(w) = |{ u ∈ Fact(w) | Freq(u) ≥ f_seuil ∧ Prestige(u) / δ(u) ≥ p_seuil }|.

Avec les indicatrices de seuil, elle devient une somme sur les facteurs :

BuzzWord(u) = χ_{[f, +∞[}(Freq(u)) · χ_{[p, +∞[}( Prestige(u) / δ(u) ), Buzz(w) = ∑_{u ∈ Fact(w)} BuzzWord(u).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : les mots fréquents dont le prestige l’emporte sur la précision du sens δ. Les exemples de l’énoncé source, avec f = 1 000 et p = 4, se recalculent ainsi :

terme u	Freq(u)	Prestige(u)	δ(u)	Prestige / δ	χ_{[f, +∞[}	χ_{[p, +∞[}	BuzzWord(u)
innovation	5000	20	4	5	1	1	1
synergy	2500	9	3	3	1	0	0
blockchain	700	35	5	7	0	1	0

Pour le mot complet de l’énoncé source (u₁, …, u₄ avec Freq = 5 000, 2 500, 700, 4 000 et Prestige / δ = 5, 3, 7, 6), Buzz(w) = 1 + 0 + 0 + 1 = 2 : le calcul est juste. Mais la formule n’est pas encore applicable à un texte réel, et elle compte des mots, non un discours creux. Six précisions sont nécessaires :

Freq, Prestige et δ ne sont pas des propriétés des facteurs de w. Ce sont des propriétés d’un terme dans une langue, à une époque : elles se lisent dans une table déclarée, non dans le texte. Le calcul se fait en deux niveaux : la table décide quels termes v sont à la mode (BuzzWord(v)), puis le texte est analysé avec cette table.
Une fréquence absolue n’a pas de sens sans la taille du corpus. 5 000 occurrences dans un corpus de dix millions de mots ou d’un milliard ne disent pas la même chose. On mesure Freq(v) en occurrences par million de mots, dans un corpus daté.
Le rapport Prestige / δ doit être défini. δ = 0 le rend infini ; on mesure la précision δ sur une échelle de 1 à 5 (nombre de critères qui permettent de vérifier l’emploi du terme), et le prestige de 0 à 10. Les deux échelles sont déclarées.
La somme sur Fact(w) compte des chaînes, pas des emplois. Fact(w) contient « synergies » mais aussi « nergie » et « synergies de notre » ; et c’est un ensemble, qui compte une fois un terme répété. On compte les occurrences des termes dans les mots du texte, un terme de plusieurs mots (« think outside the box ») marquant chacun de ses mots.
Un mot à la mode ne fait pas un discours creux. « Approche agile et holistique : délais réduits de 30 % » emploie deux termes à la mode mais donne une information vérifiable. La figure est la densité de jargon dans une phrase sans information : on mesure la part β(u) des mots de jargon et le nombre I(u) de mots vérifiables (chiffres, unités, noms propres).
Les seuils doivent être justifiés. f, p et la densité minimale θ sont fixés par le calcul sur les exemples (section 5.8).

5.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

vogue : χ_{[f, +∞[}(Freq(v)) = 1 si le terme v est employé au moins f fois par million de mots ;
prestige plus que sens : χ_{[p, +∞[}(Prestige(v) / δ(v)) = 1 si le rapport atteint p ;
appartenance au jargon : χ_Buzz(v) = BuzzWord(v), le produit des deux (le « et ») ;
information vérifiable : χ_Info(t) = 1 si le mot t contient un chiffre, est une unité (%, €, km, h…) ou un nom propre (majuscule hors début de phrase) ;
densité : χ_{[θ, 1]}(β) = 1 si θ ≤ β ≤ 1 ; aucune information : χ_{0}(I) = 1 si I = 0.

5.4 Les objets, définis pas à pas

a) Niveau 1 : la table des termes

Chaque terme candidat v reçoit trois valeurs déclarées : Freq(v) en occurrences par million, Prestige(v) de 0 à 10, δ(v) de 1 à 5. Les valeurs ci-dessous sont illustratives et conventionnelles : elles fixent le modèle pour les exemples et doivent être remplacées, pour un usage réel, par des mesures sur un corpus daté et par une notation publiée.

BuzzWord(v) = χ_{[f, +∞[}(Freq(v)) · χ_{[p, +∞[}( Prestige(v) / δ(v) ), f = 5 par million, p = 4.

n°	terme v	Freq(v) (par million)	Prestige(v)	δ(v)	Prestige / δ	χ_{[f, +∞[}(Freq)	χ_{[p, +∞[}(Prestige / δ)	BuzzWord(v)
1	synergies	12	8	1	8	1	1	1
2	écosystème	20	7	2	7/2	1	0	0
3	transformation	60	7	2	7/2	1	0	0
4	disruptive	6	9	1	9	1	1	1
5	disruptif	6	9	1	9	1	1	1
6	centrée client	8	6	1	6	1	1	1
7	holistique	6	8	1	8	1	1	1
8	agile	15	7	1	7	1	1	1
9	paradigme	8	8	1	8	1	1	1
10	levier	10	6	2	3	1	0	0
11	pivot	8	7	2	7/2	1	0	0
12	résilience	15	7	2	7/2	1	0	0
13	leverage	20	7	1	7	1	1	1
14	think outside the box	6	7	1	7	1	1	1
15	innovation	40	7	2	7/2	1	0	0
16	blockchain	2	9	2	9/2	0	1	0
17	algorithme	15	7	4	7/4	1	0	0
18	herméneutique	1	9	2	9/2	0	1	0
19	épistémologie	2	9	2	9/2	0	1	0
20	usine	25	2	5	2/5	1	0	0
21	délais	30	2	4	1/2	1	0	0
22	chiffre d’affaires	40	4	5	4/5	1	0	0
23	valeur	150	5	2	5/2	1	0	0

Le lexique du jargon est Buzz = { v | BuzzWord(v) = 1 } = { synergies, disruptive, disruptif, centrée client, holistique, agile, paradigme, leverage, think outside the box }.

Lemme 1 (la fréquence seule ne suffit pas). Les mots les plus fréquents d’une langue sont les mots grammaticaux (de, la, et) ; une condition de fréquence seule les déclarerait à la mode. ∴ la condition de prestige est indispensable ; un mot absent de la table a BuzzWord = 0 par convention.

Lemme 2 (le prestige seul ne suffit pas). Un mot savant rare (herméneutique, épistémologie) a un rapport prestige / précision élevé sans être à la mode. ∴ la condition de fréquence distingue la vogue de l’érudition.

[Image à insérer ici : buzz-lexique.png]

La table des termes dans le plan fréquence × (prestige / précision) : les mots à la mode occupent le coin supérieur droit.

[Image à insérer ici : buzz-source.png]

L’exemple source : la décision dépend d’une fréquence absolue dont le corpus n’est pas donné.

b) Niveau 2 : les phrases et les mots

Le texte w est découpé en phrases u₁, …, u_N aux signes . ! ? ; chaque phrase devient une suite de mots t₁, …, t_m (élisions détachées, %, € séparés, minuscules, en notant d’abord les majuscules hors début de phrase). Pour chaque mot :

M(i) = 1 si t_i appartient à une occurrence d’un terme v ∈ Buzz (terme d’un ou de plusieurs mots), I(i) = χ_Info(t_i).

β(u) = (1 / m) · ∑_i=1^m M(i), I(u) = ∑_i=1^m I(i).

β(u) est la part des mots de jargon : une densité entre 0 et 1, qui a le même sens pour une phrase courte et une phrase longue. I(u) compte les prises de vérification.

Lemme 3 (un seul terme). Un seul mot de jargon dans une phrase de m mots donne β = 1/m. ∴ avec θ = 1/5, il suffit dans une phrase de 5 mots au plus ; avec θ = 1/10, dans toute phrase de 10 mots au plus.

[Image à insérer ici : buzz-phrases.png]

Mot par mot : M(i) marque le jargon, I(i) l’information vérifiable.

5.5 Définition mathématique

Bz(u) = χ_{[θ, 1]}( β(u) ) · χ_{0}( I(u) ), Buzz(w) = ∑_k=1^N Bz(u_k), θ = 1/5,

Buzz(w) / N = part des phrases à la mode.

Le premier facteur exige qu’un mot sur cinq au moins soit du jargon ; le second, qu’aucun mot ne donne prise à la vérification. Le produit est le « et ». La définition source devient le premier niveau (la table), et la somme sur les facteurs devient une somme sur les phrases.

[Image à insérer ici : buzz-formule.png]

La définition complète : la table des termes, puis la densité de jargon et l’absence d’information dans chaque phrase.

[Image à insérer ici : buzz-arbre.png]

L’arbre de décision à deux niveaux.

5.6 Calcul pas à pas (procédure)

Fixer la table : pour chaque terme candidat, calculer BuzzWord(v) ; en déduire le lexique Buzz.
Découper le texte en phrases ; noter les majuscules hors début de phrase ; mettre en minuscules ; séparer élisions et symboles.
Marquer les mots qui appartiennent à un terme de Buzz : M(i) ; les mots vérifiables : I(i).
Calculer β(u) = ∑ M / m et I(u) = ∑ I.
Compter les phrases où β ≥ 1/5 et I = 0 : Buzz(w).

5.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne un tableau par phrase : le mot, le terme de la table auquel il appartient, M(i), la raison de I(i), puis β, I et la décision.

Exemple 1 – Le discours saturé de jargon

Texte : « Nous allons activer les synergies de notre écosystème pour une transformation disruptive centrée client. »

i	t_i	terme de Buzz	M(i)	information
1	nous	—	0	—
2	allons	—	0	—
3	activer	—	0	—
4	les	—	0	—
5	synergies	synergies	1	—
6	de	—	0	—
7	notre	—	0	—
8	écosystème	—	0	—
9	pour	—	0	—
10	une	—	0	—
11	transformation	—	0	—
12	disruptive	disruptive	1	—
13	centrée	centrée client	1	—
14	client	centrée client	1	—

Étape 1.1 (jargon). t₅ = synergies, t₁₂ = disruptive, t₁₃ = centrée, t₁₄ = client ⇒ ∑ M = 4 ; β = 4 / 14 = 2/7 ≈ 0,286.

Étape 1.2 (information). aucun chiffre, aucune unité, aucun nom propre ⇒ I = 0.

Étape 1.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(2/7) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1.

Bilan de l’exemple 1. Buzz(w) = 1 ; attendu : 1.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 1 ; densité seule (sans I) = 1 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 4.

∴ quatre mots de jargon sur quatorze (synergies, disruptive, centrée client), aucun chiffre ni nom propre : β = 2/7 ≈ 0,286, I = 0, Bz = 1. « écosystème » et « transformation » sont dans la table mais sous le seuil de prestige (3,5 < 4).

Exemple 2 – Le même discours en anglais, avec une locution

Texte : « We need to leverage our synergies and think outside the box. »

i	t_i	terme de Buzz	M(i)	information
1	we	—	0	—
2	need	—	0	—
3	to	—	0	—
4	leverage	leverage	1	—
5	our	—	0	—
6	synergies	synergies	1	—
7	and	—	0	—
8	think	think outside the box	1	—
9	outside	think outside the box	1	—
10	the	think outside the box	1	—
11	box	think outside the box	1	—

Étape 2.1 (jargon). t₄ = leverage, t₆ = synergies, t₈ = think, t₉ = outside, t₁₀ = the, t₁₁ = box ⇒ ∑ M = 6 ; β = 6 / 11 = 6/11 ≈ 0,545.

Étape 2.2 (information). aucun chiffre, aucune unité, aucun nom propre ⇒ I = 0.

Étape 2.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(6/11) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1.

Bilan de l’exemple 2. Buzz(w) = 1 ; attendu : 1.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 1 ; densité seule (sans I) = 1 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 6.

∴ la locution « think outside the box » marque ses quatre mots ; avec leverage et synergies, 6 mots sur 11 : β = 6/11 ≈ 0,545, Bz = 1.

Exemple 3 – Deux termes à la mode, une information vérifiable

Texte : « Approche agile et holistique : délais réduits de 30 %. »

i	t_i	terme de Buzz	M(i)	information	I(i)
1	approche	—	0	—	0
2	agile	agile	1	—	0
3	et	—	0	—	0
4	holistique	holistique	1	—	0
5	délais	—	0	—	0
6	réduits	—	0	—	0
7	de	—	0	—	0
8	30	—	0	chiffre	1
9	%	—	0	unité	1

Étape 3.1 (jargon). t₂ = agile, t₄ = holistique ⇒ ∑ M = 2 ; β = 2 / 9 = 2/9 ≈ 0,222.

Étape 3.2 (information). t₈ = 30, t₉ = % ⇒ I = 2.

Étape 3.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(2/9) · χ_{0}(2) = 1 · 0 = 0.

Bilan de l’exemple 3. Buzz(w) = 0 ; attendu : 0.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 1 ; densité seule (sans I) = 1 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 2.

∴ deux mots de jargon sur neuf (β = 2/9 ≥ 1/5), mais « 30 » et « % » donnent une information vérifiable : I = 2, Bz = 0. La densité seule compterait cette phrase.

Exemple 4 – Une phrase informative sans jargon

Texte : « Le chiffre d’affaires a augmenté de 12 % en 2025 grâce à l’usine de Lyon. »

i	t_i	terme de Buzz	information	I(i)
1	le	—	—	0
2	chiffre	—	—	0
3	d	—	—	0
4	affaires	—	—	0
5	a	—	—	0
6	augmenté	—	—	0
7	de	—	—	0
8	12	—	chiffre	1
9	%	—	unité	1
10	en	—	—	0
11	2025	—	chiffre	1
12	grâce	—	—	0
13	à	—	—	0
14	l	—	—	0
15	usine	—	—	0
16	de	—	—	0
17	lyon	—	nom propre	1

Étape 4.1 (jargon). aucun mot de Buzz ⇒ β = 0.

Étape 4.2 (information). t₈ = 12, t₉ = %, t₁₁ = 2025, t₁₇ = lyon ⇒ I = 4.

Étape 4.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(0) · χ_{0}(4) = 0 · 0 = 0.

Bilan de l’exemple 4. Buzz(w) = 0 ; attendu : 0.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 0 ; densité seule (sans I) = 0 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 0.

∴ aucun mot de jargon ; quatre informations (12, %, 2025, Lyon) : Bz = 0. « chiffre d’affaires » et « usine » sont dans la table, mais leur prestige est faible devant leur précision.

Exemple 5 – Deux termes sur neuf : à la limite

Texte : « Notre approche holistique et agile crée de la valeur. »

i	t_i	terme de Buzz	M(i)	information
1	notre	—	0	—
2	approche	—	0	—
3	holistique	holistique	1	—
4	et	—	0	—
5	agile	agile	1	—
6	crée	—	0	—
7	de	—	0	—
8	la	—	0	—
9	valeur	—	0	—

Étape 5.1 (jargon). t₃ = holistique, t₅ = agile ⇒ ∑ M = 2 ; β = 2 / 9 = 2/9 ≈ 0,222.

Étape 5.2 (information). aucun chiffre, aucune unité, aucun nom propre ⇒ I = 0.

Étape 5.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(2/9) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1.

Bilan de l’exemple 5. Buzz(w) = 1 ; attendu : 1.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 1 ; densité seule (sans I) = 1 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 2.

∴ holistique et agile : 2 mots sur 9, β = 2/9 ≈ 0,222 ≥ 1/5, I = 0 : Bz = 1. C’est le cas limite ; avec θ = 3/10, la phrase ne serait plus comptée.

Exemple 6 – Un mot prestigieux mais précis

Texte : « L’algorithme trie les données en temps logarithmique. »

i	t_i	terme de Buzz	information
1	l	—	—
2	algorithme	—	—
3	trie	—	—
4	les	—	—
5	données	—	—
6	en	—	—
7	temps	—	—
8	logarithmique	—	—

Étape 6.1 (jargon). aucun mot de Buzz ⇒ β = 0.

Étape 6.2 (information). aucun chiffre, aucune unité, aucun nom propre ⇒ I = 0.

Étape 6.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(0) · χ_{0}(0) = 0 · 1 = 0.

Bilan de l’exemple 6. Buzz(w) = 0 ; attendu : 0.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 0 ; densité seule (sans I) = 0 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 0.

∴ « algorithme » est fréquent et prestigieux, mais précis (δ = 4) : Prestige / δ = 7/4 < 4, BuzzWord = 0. Un terme technique bien défini n’est pas un mot à la mode.

Exemple 7 – Des mots savants mais rares : pas à la mode

Texte : « L’herméneutique de l’épistémologie. »

i	t_i	terme de Buzz	information
1	l	—	—
2	herméneutique	—	—
3	de	—	—
4	l	—	—
5	épistémologie	—	—

Étape 7.1 (jargon). aucun mot de Buzz ⇒ β = 0.

Étape 7.2 (information). aucun chiffre, aucune unité, aucun nom propre ⇒ I = 0.

Étape 7.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(0) · χ_{0}(0) = 0 · 1 = 0.

Bilan de l’exemple 7. Buzz(w) = 0 ; attendu : 0.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 0 ; densité seule (sans I) = 0 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 0.

∴ herméneutique et épistémologie ont un rapport 9/2 ≥ 4 mais une fréquence de 1 et 2 par million : BuzzWord = 0 (lemme 2). Sans condition de fréquence, la phrase serait comptée (β = 2/5).

Exemple 8 – Faux négatif assumé : un mot à la mode trop récent pour la table

Texte : « Il faut tokeniser la blockchain de la confiance. »

i	t_i	terme de Buzz	information
1	il	—	—
2	faut	—	—
3	tokeniser	—	—
4	la	—	—
5	blockchain	—	—
6	de	—	—
7	la	—	—
8	confiance	—	—

Étape 8.1 (jargon). aucun mot de Buzz ⇒ β = 0.

Étape 8.2 (information). aucun chiffre, aucune unité, aucun nom propre ⇒ I = 0.

Étape 8.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(0) · χ_{0}(0) = 0 · 1 = 0.

Bilan de l’exemple 8. Buzz(w) = 0 ; attendu : 1.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 0 ; densité seule (sans I) = 0 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 0.

∴ « blockchain » a un fort rapport prestige / précision (9/2) mais une fréquence de 2 par million dans la table : elle n’est pas dans Buzz, β = 0, Bz = 0. La phrase est pourtant creuse. Faux négatif assumé : la table est datée, et un mot qui vient d’entrer en vogue lui échappe ; il faut mettre la table à jour.

Exemple 9 – Un vocabulaire de mécanique, écarté par le seuil de prestige

Texte : « Le levier agit sur le pivot. »

i	t_i	terme de Buzz	information
1	le	—	—
2	levier	—	—
3	agit	—	—
4	sur	—	—
5	le	—	—
6	pivot	—	—

Étape 9.1 (jargon). aucun mot de Buzz ⇒ β = 0.

Étape 9.2 (information). aucun chiffre, aucune unité, aucun nom propre ⇒ I = 0.

Étape 9.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(0) · χ_{0}(0) = 0 · 1 = 0.

Bilan de l’exemple 9. Buzz(w) = 0 ; attendu : 0.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 0 ; densité seule (sans I) = 0 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 0.

∴ « levier » (rapport 3) et « pivot » (rapport 7/2) sont des mots à la mode du management, mais ici des termes de mécanique : avec p = 4 ils sont hors de Buzz, Bz = 0. Avec p = 3, la phrase serait comptée (β = 1/3) : le seuil de prestige écarte ce faux positif.

[Image à insérer ici : buzz-plan.png]

Les phrases dans le plan (β, I) : la zone du discours à la mode est β ≥ 1/5 et I = 0.

Exemple 10 – Texte complet : quatre phrases

Texte : « Nous allons activer les synergies de notre écosystème pour une transformation disruptive centrée client. Approche agile et holistique : délais réduits de 30 %. Notre approche holistique et agile crée de la valeur. Le chiffre d’affaires a augmenté de 12 % en 2025 grâce à l’usine de Lyon. »

Phrase u₁ : « Nous allons activer les synergies de notre écosystème pour une transformation disruptive centrée client. »

i	t_i	terme de Buzz	M(i)	information
1	nous	—	0	—
2	allons	—	0	—
3	activer	—	0	—
4	les	—	0	—
5	synergies	synergies	1	—
6	de	—	0	—
7	notre	—	0	—
8	écosystème	—	0	—
9	pour	—	0	—
10	une	—	0	—
11	transformation	—	0	—
12	disruptive	disruptive	1	—
13	centrée	centrée client	1	—
14	client	centrée client	1	—

Étape 10.1.1 (jargon). t₅ = synergies, t₁₂ = disruptive, t₁₃ = centrée, t₁₄ = client ⇒ ∑ M = 4 ; β = 4 / 14 = 2/7 ≈ 0,286.

Étape 10.1.2 (information). aucun chiffre, aucune unité, aucun nom propre ⇒ I = 0.

Étape 10.1.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(2/7) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1.

Phrase u₂ : « Approche agile et holistique : délais réduits de 30 %. »

i	t_i	terme de Buzz	M(i)	information	I(i)
1	approche	—	0	—	0
2	agile	agile	1	—	0
3	et	—	0	—	0
4	holistique	holistique	1	—	0
5	délais	—	0	—	0
6	réduits	—	0	—	0
7	de	—	0	—	0
8	30	—	0	chiffre	1
9	%	—	0	unité	1

Étape 10.2.1 (jargon). t₂ = agile, t₄ = holistique ⇒ ∑ M = 2 ; β = 2 / 9 = 2/9 ≈ 0,222.

Étape 10.2.2 (information). t₈ = 30, t₉ = % ⇒ I = 2.

Étape 10.2.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(2/9) · χ_{0}(2) = 1 · 0 = 0.

Phrase u₃ : « Notre approche holistique et agile crée de la valeur. »

i	t_i	terme de Buzz	M(i)	information
1	notre	—	0	—
2	approche	—	0	—
3	holistique	holistique	1	—
4	et	—	0	—
5	agile	agile	1	—
6	crée	—	0	—
7	de	—	0	—
8	la	—	0	—
9	valeur	—	0	—

Étape 10.3.1 (jargon). t₃ = holistique, t₅ = agile ⇒ ∑ M = 2 ; β = 2 / 9 = 2/9 ≈ 0,222.

Étape 10.3.2 (information). aucun chiffre, aucune unité, aucun nom propre ⇒ I = 0.

Étape 10.3.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(2/9) · χ_{0}(0) = 1 · 1 = 1.

Phrase u₄ : « Le chiffre d’affaires a augmenté de 12 % en 2025 grâce à l’usine de Lyon. »

i	t_i	terme de Buzz	information	I(i)
1	le	—	—	0
2	chiffre	—	—	0
3	d	—	—	0
4	affaires	—	—	0
5	a	—	—	0
6	augmenté	—	—	0
7	de	—	—	0
8	12	—	chiffre	1
9	%	—	unité	1
10	en	—	—	0
11	2025	—	chiffre	1
12	grâce	—	—	0
13	à	—	—	0
14	l	—	—	0
15	usine	—	—	0
16	de	—	—	0
17	lyon	—	nom propre	1

Étape 10.4.1 (jargon). aucun mot de Buzz ⇒ β = 0.

Étape 10.4.2 (information). t₈ = 12, t₉ = %, t₁₁ = 2025, t₁₇ = lyon ⇒ I = 4.

Étape 10.4.3. Bz = χ_{[1/5, 1]}(0) · χ_{0}(4) = 0 · 0 = 0.

Bilan de l’exemple 10. Buzz(w) = 1 + 0 + 1 + 0 = 2 ; attendu : 2.

Autres versions : au moins un mot de jargon = 3 ; densité seule (sans I) = 3 ; nombre de mots de jargon (lecture source) = 8.

∴ deux phrases sur quatre sont à la mode : Buzz(w) = 2, Buzz(w)/N = 1/2. La deuxième contient du jargon mais un chiffre ; la quatrième est informative. Le texte contient 8 mots de jargon : compter les mots, comme la formule source, ne dit pas combien de phrases sont creuses.

[Image à insérer ici : buzz-texte-complet.png]

Exemple 10 : quatre phrases, deux phrases à la mode.

5.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions sur les dix textes, par l’écart entre Buzz calculé et le nombre attendu de phrases creuses. Réponse attendue : 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2 (l’exemple 8 est creux ; le texte 10 contient deux phrases creuses).

version	Buzz total	erreurs ∑ \|Buzz − attendu\| (sur 10 textes)	textes mal comptés
au moins un mot de jargon : χ_{[1, +∞[}(∑ M)	7	3	ex. 3 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (3 au lieu de 2)
densité seule : χ_{[θ, 1]}(β)	7	3	ex. 3 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (3 au lieu de 2)
retenue : χ_{[θ, 1]}(β) · χ_{0}(I)	5	1	ex. 8 (0 au lieu de 1)

Un seul mot de jargon ne suffit pas (l’exemple 3, informatif, serait compté), et la densité seule ne suffit pas non plus. La version retenue garde une erreur, le faux négatif de l’exemple 8, dû à la date de la table.

[Image à insérer ici : buzz-versions.png]

Erreurs des versions : la densité et l’absence d’information sont toutes deux nécessaires.

Le seuil f :

f (occurrences par million)	erreurs ∑ \|Buzz − attendu\|	textes mal comptés
0	2	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (0 au lieu de 1)
5	1	ex. 8 (0 au lieu de 1)
10	6	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 2 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 2)

Le seuil p :

p (prestige / précision)	erreurs ∑ \|Buzz − attendu\|	textes mal comptés
2	2	ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
3	2	ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
4	1	ex. 8 (0 au lieu de 1)
5	1	ex. 8 (0 au lieu de 1)

Le seuil θ :

θ (densité minimale)	erreurs ∑ \|Buzz − attendu\|	textes mal comptés
1/10	1	ex. 8 (0 au lieu de 1)
1/5	1	ex. 8 (0 au lieu de 1)
3/10	5	ex. 1 (0 au lieu de 1) ; ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 10 (0 au lieu de 2)

Sans condition de fréquence (f = 0), les mots savants de l’exemple 7 deviennent du jargon ; avec f = 10, disruptive, holistique, centrée client et think outside the box sortent de la table, et les exemples 1, 2 et 5 sont perdus. Avec p ≤ 3, levier et pivot entrent dans Buzz et l’exemple 9 est compté ; p = 4 et p = 5 donnent le même résultat, et l’on retient le plus petit. Avec θ = 3/10, les exemples 1 et 5 (β = 2/7 et 2/9) sont perdus ; θ = 1/10 et θ = 1/5 donnent le même résultat sur ces textes, mais le lemme 3 départage : avec θ = 1/10, un seul mot de jargon suffit dans toute phrase de 10 mots au plus. On retient θ = 1/5.

[Image à insérer ici : buzz-seuils.png]

Sensibilité aux trois seuils f, p et θ.

5.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

Nécessaire : une fois la table fixée, M, I, β, Bz et Buzz découlent nécessairement des mots ; les lemmes 1 à 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
Contingent : la table est datée et située ; Freq, Prestige et δ changent avec l’époque et le milieu (exemple 8), et les valeurs données ici sont illustratives.
Possible : toute phrase dense en jargon et sans information vérifiable est un discours creux possible ; un vocabulaire technique homonyme (levier, pivot) peut l’imiter.

5.10 Justification et limites

Le rapport « prestige sur sens » de la définition source est la bonne idée : un mot à la mode valorise plus qu’il ne précise. Il fallait le placer au bon niveau, celui d’une table de termes datée, puis juger des phrases par deux comptages opposés : beaucoup de mots de jargon, aucun mot vérifiable. Le produit des deux indicatrices traduit la conjonction : le discours à la mode est à la fois chargé de termes valorisés et vide de contenu contrôlable.

Trois limites sont assumées. La table vieillit (exemple 8) et ses valeurs doivent être mesurées sur un corpus daté. Un chiffre ne garantit pas une information : « notre écosystème crée 100 % de synergies » contient un chiffre et reste creux ; la condition I = 0 est une approximation de l’absence de contenu vérifiable. Enfin, les homonymes techniques (levier, pivot, résilience des matériaux) dépendent du domaine, que la table ne connaît pas.

⁂

6. Canon – Mécanisme en combinatoire des mots

6.1 Définition rhétorique

Le mot canon (du grec kanôn, « règle ») a en rhétorique trois sens voisins, qu’il faut distinguer avant de mesurer quoi que ce soit.

Les cinq canons de la rhétorique (officia oratoris, chez Cicéron et Quintilien) sont les cinq étapes de la production d’un discours : l’invention (inventio, trouver les arguments), la disposition (dispositio, les ordonner), l’élocution (elocutio, les mettre en mots), la mémoire (memoria, les retenir) et l’action (actio, les prononcer). Ce sont des opérations de l’orateur, non des morceaux du texte.
L’ordre canonique des parties du discours, fixé par la disposition, est la suite exorde, narration, confirmation, réfutation, péroraison.
Le canon littéraire est l’ensemble des œuvres tenues pour exemplaires dans une culture.

Le seul de ces sens qui se lise dans le texte écrit d’un discours est le deuxième : c’est lui que l’on mesure. Deux traits le définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

la présence des cinq parties, reconnues à leurs marques ;
l’ordre : elles se suivent dans l’ordre canonique, éventuellement séparées par des digressions ou par la reprise d’une partie.

6.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée compte les factorisations du texte en cinq facteurs consécutifs, chacun appartenant à l’un des cinq canons :

Can(w) = |{ w = i · d · e · m · a | i ∈ I, d ∈ D, e ∈ E, m ∈ M, a ∈ A }|,

où I, D, E, M, A sont les ensembles de facteurs relevant de l’inventio, de la dispositio, de l’elocutio, de la memoria et de l’actio. Avec leurs indicatrices :

C(u₁, …, u₅) = χ_I(u₁) · χ_D(u₂) · χ_E(u₃) · χ_M(u₄) · χ_A(u₅), Can(w) = ∑_{w = u₁u₂u₃u₄u₅} C(u₁, …, u₅), Canonique(w) = χ_{[1, +∞[}(Can(w)).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : cinq rôles présents dans un ordre fixé. Le produit est le « et », la somme compte les découpages, et χ_{[1, +∞[} donne un verdict. Telle quelle, elle n’est pas calculable sur un texte, et elle ne compte pas ce qu’elle annonce. Six précisions sont nécessaires :

Les cinq canons ne sont pas des parties du texte. Ce sont des opérations successives de l’orateur ; la mémoire et l’action ne laissent aucune trace dans le texte écrit, et χ_M(u), χ_A(u) ne peuvent être évalués sur aucun facteur. L’inventio et l’elocutio traversent tout le discours au lieu d’en occuper un segment. La suite de cinq rôles qui se lit dans le texte est celle des parties du discours : exorde (e), narration (n), confirmation (c), réfutation (r), péroraison (p).
Les ensembles I, …, A ne sont pas donnés. Un ensemble de facteurs « relevant de l’exorde » est infini et non décidable tel quel. On reconnaît chaque partie à des marques déclarées, et l’on étiquette chaque phrase par sa première marque.
Une factorisation en cinq facteurs contigus est trop rigide. Tout mot de w doit appartenir à l’une des cinq parties, sans digression, et une partie ne peut pas revenir : un plaidoyer qui reprend une preuve après la réfutation (e n c r c p) a Can = 0 (exemples 5 et 9). L’ordre canonique admet des insertions : c’est la notion de sous-mot (éparpillé), non de factorisation.
Le nombre de factorisations ne compte pas des structures. Une phrase neutre placée entre deux parties peut être rattachée à l’une ou à l’autre : un seul plaidoyer avec deux digressions admet 4 factorisations (exemple 6 ; lemme 2). L’exemple source 3 (« deux structures distinctes ») compte en réalité des frontières ambiguës. On décide par un verdict 0 ou 1, et l’on mesure l’écart à l’ordre par un degré ω entre 0 et 1.
Le verdict seul est trop pauvre. Une inversion, une absence et un déplacement donnent tous Can = 0 ; le degré ω = (longueur de la plus longue sous-suite commune avec encrp) / 5 dit combien de l’ordre canonique est respecté.
Les exemples source sont abstraits. « w = ABCDE avec A ∈ I, … » suppose déjà connu le rôle de chaque lettre ; les exemples ci-dessous partent de textes réels.

Les exemples source se relisent ainsi : l’exemple 1 (une seule factorisation, Can = 1) est le cas d’un mot d’étiquettes e n c r p sans phrase neutre ; l’exemple 2 (D ∉ M, Can = 0) est une partie manquante ; l’exemple 3 (Can = 2) est un seul discours dont une phrase neutre peut changer de bloc.

[Image à insérer ici : can-officia.png]

Les cinq canons sont des opérations de l’orateur : la mémoire et l’action ne laissent aucune trace dans le texte écrit.

6.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

marque : χ_Mk(s) = 1 si la phrase s contient une marque de la partie k ;
égalité de deux lettres : χ_Δ(a, b) = 1 si a = b ;
« ou bien … ou bien » dans le tableau T : χ_Δ · (cas égal) + (1 − χ_Δ) · (cas différent) ;
verdict : χ_{5}(T) = 1 si les cinq lettres de encrp sont trouvées dans l’ordre ;
le produit pour le « et » des blocs d’une factorisation, la somme pour compter les factorisations.

6.4 Les objets, définis pas à pas

a) Les phrases et leurs étiquettes

Le texte w est découpé en phrases s₁, …, s_q aux signes . ! ? ; chaque phrase est mise en minuscules. Les marques de chaque partie sont déclarées :

étiquette	partie	marques
e	exorde	messieurs les juges, mesdames et messieurs, permettez-moi, c’est avec émotion
n	narration	voici les faits, le soir du, ce jour-là, tout a commencé
c	confirmation	la preuve, en effet, le témoin atteste, d’abord
r	réfutation	on objectera, l’accusation prétend, certes
p	péroraison	en conclusion, je vous demande, pour conclure

L’étiquette d’une phrase est la partie de la marque qui y apparaît le plus tôt ; une phrase sans marque est neutre (·). On note pos_k(s) la position de la première marque de la partie k dans s (+∞ s’il n’y en a pas) :

λ(s) = argmin_{k ∈ {e, n, c, r, p}} pos_k(s) si min_k pos_k(s) < +∞ ; λ(s) = · sinon.

Pourquoi la première marque ? Une phrase de péroraison peut contenir deux marques (« en conclusion, je vous demande ») ; une phrase de narration peut en citer une autre plus loin. La première marque est celle qui ouvre la phrase et lui donne son rôle.

b) Le mot des étiquettes

En lisant les phrases dans l’ordre et en effaçant les phrases neutres, on obtient le mot des étiquettes λ(w) = λ₁⋯λ_ℓ sur l’alphabet { e, n, c, r, p } ; ℓ est le nombre de phrases marquées. La norme rhétorique est le mot K = e n c r p, de longueur 5.

c) Le sous-mot et le tableau T

K est un sous-mot (éparpillé) de λ si l’on peut trouver dans λ, de gauche à droite, les lettres e, puis n, puis c, puis r, puis p, d’autres lettres pouvant les séparer. On le teste avec le tableau T de la plus longue sous-suite commune, où T(i, j) est la longueur de la plus longue sous-suite commune aux i premières lettres de λ et aux j premières lettres de K :

T(i, 0) = T(0, j) = 0,

T(i, j) = χ_Δ(λ_i, K_j) · (T(i − 1, j − 1) + 1) + (1 − χ_Δ(λ_i, K_j)) · max( T(i − 1, j), T(i, j − 1) ).

Pourquoi ces deux cas ? Si les deux dernières lettres sont égales, on les apparie et l’on prolonge la meilleure sous-suite des préfixes plus courts ; sinon, l’une des deux lettres ne sert pas, et l’on garde le meilleur des deux préfixes raccourcis.

Lemme 1 (sous-mot). K est un sous-mot de λ si et seulement si T(ℓ, 5) = 5. ∴ Can(w) = χ_{5}(T(ℓ, 5)) décide l’ordre canonique, digressions et reprises comprises.

[Image à insérer ici : can-etiquettes.png]

Le mot des étiquettes de l’exemple 9 et le sous-mot e n c r p, trouvé dans l’ordre.

[Image à insérer ici : can-tableau.png]

Le tableau T pour λ = encrcp (ordre respecté malgré la reprise) et pour λ = ecnrp (une inversion).

d) Les factorisations de l’énoncé source, rendues calculables

On peut rendre calculable la factorisation source sur le mot des phrases (neutres comprises) : le bloc k doit contenir au moins une phrase de la partie k et, sinon, seulement des phrases neutres. Avec χ_Bk(u) = 1 si u ∈ { k, · }^* et u contient la lettre k :

Can_source(w) = ∑_{λ = u₁u₂u₃u₄u₅} χ_Be(u₁) · χ_Bn(u₂) · χ_Bc(u₃) · χ_Br(u₄) · χ_Bp(u₅).

Lemme 2 (nombre de factorisations). Si le mot des étiquettes réduit est de la forme e⁺n⁺c⁺r⁺p⁺, Can_source = ∏_k=1⁴ (g_k + 1), où g_k est le nombre de phrases neutres entre la dernière phrase de la partie k et la première de la partie k + 1 (chacune de ces frontières peut être placée à g_k + 1 endroits) ; sinon Can_source = 0. ∴ le compte mesure l’ambiguïté des frontières, non le nombre de discours.

Lemme 3 (verdict source et blocs). Can_source ≥ 1 si et seulement si λ réduit ne contient aucune descente (aucune lettre suivie d’une lettre antérieure dans encrp) et contient les cinq lettres. ∴ une confirmation reprise après la réfutation suffit à annuler le verdict source.

[Image à insérer ici : can-factorisations.png]

Exemple 6 : un seul plaidoyer, quatre factorisations, selon le bloc où l’on range chaque phrase neutre.

6.5 Définition mathématique

Can(w) = χ_{5}( T(ℓ, 5) ), ω(w) = T(ℓ, 5) / 5, K = e n c r p.

Can vaut 1 si les cinq parties sont présentes dans l’ordre canonique, éventuellement séparées ou reprises ; ω mesure la part de l’ordre canonique respectée (4/5 pour une inversion, une absence ou un déplacement d’une partie). Le produit de l’énoncé source est conservé dans le tableau T, où chaque appariement est un « et » entre une lettre de λ et une lettre de K ; la somme sur les factorisations est remplacée par un maximum sur les sous-suites.

[Image à insérer ici : can-formule.png]

La définition complète : étiquettes, mot des étiquettes, tableau T, verdict et degré.

[Image à insérer ici : can-arbre.png]

L’arbre de décision de l’ordre canonique.

6.6 Calcul pas à pas (procédure)

Découper le texte en phrases ; mettre en minuscules.
Pour chaque phrase, chercher les marques ; l’étiquette est la partie de la marque la plus précoce ; sinon la phrase est neutre.
Effacer les phrases neutres : mot des étiquettes λ(w), de longueur ℓ.
Remplir le tableau T de λ contre K = encrp ; lire T(ℓ, 5).
Can = 1 si T(ℓ, 5) = 5 ; ω = T(ℓ, 5) / 5.

6.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne un tableau des phrases (marque trouvée, position, étiquette), le mot des étiquettes, la dernière ligne du tableau T, le verdict, le degré ω et le compte de l’énoncé source.

Exemple 1 – Le plaidoyer canonique

Texte : « Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion. Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui. La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h. En effet, la caméra le confirme. On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien. En conclusion, je vous demande l’acquittement. »

phrase	texte	première marque	position (caractère)	étiquette λ(s)	partie
s₁	Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion.	messieurs les juges	1	e	exorde
s₂	Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui.	voici les faits	1	n	narration
s₃	La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h.	la preuve	1	c	confirmation
s₄	En effet, la caméra le confirme.	en effet	1	c	confirmation
s₅	On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien.	on objectera	1	r	réfutation
s₆	En conclusion, je vous demande l’acquittement.	en conclusion	1	p	péroraison

Étape 1.1. Mot des étiquettes (neutres effacées) : λ(w) = e n c c r p ; ℓ = 6.

Étape 1.2 (tableau T, dernière ligne, i = ℓ = 6). T(6, 0) = 0 ; T(6, 1) = 1 ; T(6, 2) = 2 ; T(6, 3) = 3 ; T(6, 4) = 4 ; T(6, 5) = 5.

i	λ_i	T(i, 1) : e	T(i, 2) : n	T(i, 3) : c	T(i, 4) : r	T(i, 5) : p
0	ε	0	0	0	0	0
1	e	1	1	1	1	1
2	n	1	2	2	2	2
3	c	1	2	3	3	3
4	c	1	2	3	3	3
5	r	1	2	3	4	4
6	p	1	2	3	4	5

Étape 1.3. Can(w) = χ_{5}(5) = 1 ; ω(w) = 5 / 5 = 1.

Formule source rendue calculable : descentes = 0, lettres distinctes = 5, Can_source = 1 ; attendu : 1.

∴ λ = enccrp : les cinq parties dans l’ordre, la confirmation en deux phrases (la preuve, en effet). T = 5, Can = 1, ω = 1. Sans phrase neutre, une seule factorisation source.

Exemple 2 – La preuve avant les faits : une inversion

Texte : « Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion. La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h. Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui. On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien. En conclusion, je vous demande l’acquittement. »

phrase	texte	première marque	position (caractère)	étiquette λ(s)	partie
s₁	Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion.	messieurs les juges	1	e	exorde
s₂	La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h.	la preuve	1	c	confirmation
s₃	Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui.	voici les faits	1	n	narration
s₄	On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien.	on objectera	1	r	réfutation
s₅	En conclusion, je vous demande l’acquittement.	en conclusion	1	p	péroraison

Étape 2.1. Mot des étiquettes (neutres effacées) : λ(w) = e c n r p ; ℓ = 5.

Étape 2.2 (tableau T, dernière ligne, i = ℓ = 5). T(5, 0) = 0 ; T(5, 1) = 1 ; T(5, 2) = 2 ; T(5, 3) = 2 ; T(5, 4) = 3 ; T(5, 5) = 4.

i	λ_i	T(i, 1) : e	T(i, 2) : n	T(i, 3) : c	T(i, 4) : r	T(i, 5) : p
0	ε	0	0	0	0	0
1	e	1	1	1	1	1
2	c	1	1	2	2	2
3	n	1	2	2	2	2
4	r	1	2	2	3	3
5	p	1	2	2	3	4

Étape 2.3. Can(w) = χ_{5}(4) = 0 ; ω(w) = 4 / 5 = 4/5.

Formule source rendue calculable : descentes = 1, lettres distinctes = 5, Can_source = 0 ; attendu : 0.

∴ λ = ecnrp : la preuve vient avant les faits. La plus longue sous-suite commune avec encrp est de longueur 4 (encrp privé de c, ou de n) : Can = 0, ω = 4/5. Une inversion.

Exemple 3 – Sans réfutation : une absence

Texte : « Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion. Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui. La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h. En effet, la caméra le confirme. En conclusion, je vous demande l’acquittement. »

phrase	texte	première marque	position (caractère)	étiquette λ(s)	partie
s₁	Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion.	messieurs les juges	1	e	exorde
s₂	Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui.	voici les faits	1	n	narration
s₃	La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h.	la preuve	1	c	confirmation
s₄	En effet, la caméra le confirme.	en effet	1	c	confirmation
s₅	En conclusion, je vous demande l’acquittement.	en conclusion	1	p	péroraison

Étape 3.1. Mot des étiquettes (neutres effacées) : λ(w) = e n c c p ; ℓ = 5.

Étape 3.2 (tableau T, dernière ligne, i = ℓ = 5). T(5, 0) = 0 ; T(5, 1) = 1 ; T(5, 2) = 2 ; T(5, 3) = 3 ; T(5, 4) = 3 ; T(5, 5) = 4.

i	λ_i	T(i, 1) : e	T(i, 2) : n	T(i, 3) : c	T(i, 4) : r	T(i, 5) : p
0	ε	0	0	0	0	0
1	e	1	1	1	1	1
2	n	1	2	2	2	2
3	c	1	2	3	3	3
4	c	1	2	3	3	3
5	p	1	2	3	3	4

Étape 3.3. Can(w) = χ_{5}(4) = 0 ; ω(w) = 4 / 5 = 4/5.

Formule source rendue calculable : descentes = 0, lettres distinctes = 4, Can_source = 0 ; attendu : 0.

∴ λ = enccp : la réfutation manque. T = 4, Can = 0, ω = 4/5. Une absence.

Exemple 4 – La conclusion d’entrée : un déplacement

Texte : « En conclusion, je vous demande l’acquittement. Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion. Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui. La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h. On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien. »

phrase	texte	première marque	position (caractère)	étiquette λ(s)	partie
s₁	En conclusion, je vous demande l’acquittement.	en conclusion	1	p	péroraison
s₂	Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion.	messieurs les juges	1	e	exorde
s₃	Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui.	voici les faits	1	n	narration
s₄	La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h.	la preuve	1	c	confirmation
s₅	On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien.	on objectera	1	r	réfutation

Étape 4.1. Mot des étiquettes (neutres effacées) : λ(w) = p e n c r ; ℓ = 5.

Étape 4.2 (tableau T, dernière ligne, i = ℓ = 5). T(5, 0) = 0 ; T(5, 1) = 1 ; T(5, 2) = 2 ; T(5, 3) = 3 ; T(5, 4) = 4 ; T(5, 5) = 4.

i	λ_i	T(i, 1) : e	T(i, 2) : n	T(i, 3) : c	T(i, 4) : r	T(i, 5) : p
0	ε	0	0	0	0	0
1	p	0	0	0	0	1
2	e	1	1	1	1	1
3	n	1	2	2	2	2
4	c	1	2	3	3	3
5	r	1	2	3	4	4

Étape 4.3. Can(w) = χ_{5}(4) = 0 ; ω(w) = 4 / 5 = 4/5.

Formule source rendue calculable : descentes = 1, lettres distinctes = 5, Can_source = 0 ; attendu : 0.

∴ λ = pencr : la conclusion est annoncée d’entrée. T = 4, Can = 0, ω = 4/5. Un déplacement. Inversion, absence et déplacement ont le même degré : ω mesure combien de l’ordre est respecté, non la nature de l’écart.

Exemple 5 – Une confirmation reprise après la réfutation

Texte : « Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion. Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui. La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h. On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien. En effet, la caméra le confirme. En conclusion, je vous demande l’acquittement. »

phrase	texte	première marque	position (caractère)	étiquette λ(s)	partie
s₁	Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion.	messieurs les juges	1	e	exorde
s₂	Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui.	voici les faits	1	n	narration
s₃	La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h.	la preuve	1	c	confirmation
s₄	On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien.	on objectera	1	r	réfutation
s₅	En effet, la caméra le confirme.	en effet	1	c	confirmation
s₆	En conclusion, je vous demande l’acquittement.	en conclusion	1	p	péroraison

Étape 5.1. Mot des étiquettes (neutres effacées) : λ(w) = e n c r c p ; ℓ = 6.

Étape 5.2 (tableau T, dernière ligne, i = ℓ = 6). T(6, 0) = 0 ; T(6, 1) = 1 ; T(6, 2) = 2 ; T(6, 3) = 3 ; T(6, 4) = 4 ; T(6, 5) = 5.

i	λ_i	T(i, 1) : e	T(i, 2) : n	T(i, 3) : c	T(i, 4) : r	T(i, 5) : p
0	ε	0	0	0	0	0
1	e	1	1	1	1	1
2	n	1	2	2	2	2
3	c	1	2	3	3	3
4	r	1	2	3	4	4
5	c	1	2	3	4	4
6	p	1	2	3	4	5

Étape 5.3. Can(w) = χ_{5}(5) = 1 ; ω(w) = 5 / 5 = 1.

Formule source rendue calculable : descentes = 1, lettres distinctes = 5, Can_source = 0 ; attendu : 1.

∴ λ = encrcp : après la réfutation, l’orateur revient à une preuve (« en effet, la caméra le confirme »). e, n, c, r, p se lisent dans l’ordre : T = 5, Can = 1. La factorisation source exige que toute la confirmation précède la réfutation : Can_source = 0 (lemme 3).

Exemple 6 – Des digressions entre les parties

Texte : « Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion. Il pleuvait ce soir-là sur la ville. Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui. Chacun connaît la rue où il habite. La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h. On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien. En conclusion, je vous demande l’acquittement. »

phrase	texte	première marque	position (caractère)	étiquette λ(s)	partie
s₁	Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion.	messieurs les juges	1	e	exorde
s₂	Il pleuvait ce soir-là sur la ville.	—	—	·	neutre
s₃	Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui.	voici les faits	1	n	narration
s₄	Chacun connaît la rue où il habite.	—	—	·	neutre
s₅	La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h.	la preuve	1	c	confirmation
s₆	On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien.	on objectera	1	r	réfutation
s₇	En conclusion, je vous demande l’acquittement.	en conclusion	1	p	péroraison

Étape 6.1. Mot des étiquettes (neutres effacées) : λ(w) = e n c r p ; ℓ = 5.

Étape 6.2 (tableau T, dernière ligne, i = ℓ = 5). T(5, 0) = 0 ; T(5, 1) = 1 ; T(5, 2) = 2 ; T(5, 3) = 3 ; T(5, 4) = 4 ; T(5, 5) = 5.

i	λ_i	T(i, 1) : e	T(i, 2) : n	T(i, 3) : c	T(i, 4) : r	T(i, 5) : p
0	ε	0	0	0	0	0
1	e	1	1	1	1	1
2	n	1	2	2	2	2
3	c	1	2	3	3	3
4	r	1	2	3	4	4
5	p	1	2	3	4	5

Étape 6.3. Can(w) = χ_{5}(5) = 1 ; ω(w) = 5 / 5 = 1.

Formule source rendue calculable : descentes = 0, lettres distinctes = 5, Can_source = 4 ; attendu : 1.

∴ deux phrases neutres (la pluie, la rue) séparent les parties : λ = encrp après effacement, Can = 1. La formule source compte 2 × 2 = 4 factorisations pour un seul plaidoyer (lemme 2).

Exemple 7 – Une recette : aucune partie du discours

Texte : « Faites fondre le beurre. Ajoutez la farine. Versez le lait peu à peu. Salez et servez chaud. »

phrase	texte	première marque	position (caractère)	étiquette λ(s)	partie
s₁	Faites fondre le beurre.	—	—	·	neutre
s₂	Ajoutez la farine.	—	—	·	neutre
s₃	Versez le lait peu à peu.	—	—	·	neutre
s₄	Salez et servez chaud.	—	—	·	neutre

Étape 7.1. Mot des étiquettes (neutres effacées) : λ(w) = ε (mot vide) ; ℓ = 0.

Étape 7.3. Can(w) = χ_{5}(0) = 0 ; ω(w) = 0 / 5 = 0.

Formule source rendue calculable : descentes = 0, lettres distinctes = 0, Can_source = 0 ; attendu : 0.

∴ aucune marque : λ est vide, T = 0, Can = 0, ω = 0. Une recette n’est pas un discours.

Exemple 8 – Faux positif assumé : un récit qui cite les marques

Texte : « « Messieurs les juges », murmura-t-il en lisant le journal. Ce jour-là, il pleuvait. La preuve, ses chaussures étaient trempées. On objectera qu’il avait un parapluie. Pour conclure, il rentra chez lui. »

phrase	texte	première marque	position (caractère)	étiquette λ(s)	partie
s₁	« Messieurs les juges », murmura-t-il en lisant le journal.	messieurs les juges	3	e	exorde
s₂	Ce jour-là, il pleuvait.	ce jour-là	1	n	narration
s₃	La preuve, ses chaussures étaient trempées.	la preuve	1	c	confirmation
s₄	On objectera qu’il avait un parapluie.	on objectera	1	r	réfutation
s₅	Pour conclure, il rentra chez lui.	pour conclure	1	p	péroraison

Étape 8.1. Mot des étiquettes (neutres effacées) : λ(w) = e n c r p ; ℓ = 5.

Étape 8.2 (tableau T, dernière ligne, i = ℓ = 5). T(5, 0) = 0 ; T(5, 1) = 1 ; T(5, 2) = 2 ; T(5, 3) = 3 ; T(5, 4) = 4 ; T(5, 5) = 5.

i	λ_i	T(i, 1) : e	T(i, 2) : n	T(i, 3) : c	T(i, 4) : r	T(i, 5) : p
0	ε	0	0	0	0	0
1	e	1	1	1	1	1
2	n	1	2	2	2	2
3	c	1	2	3	3	3
4	r	1	2	3	4	4
5	p	1	2	3	4	5

Étape 8.3. Can(w) = χ_{5}(5) = 1 ; ω(w) = 5 / 5 = 1.

Formule source rendue calculable : descentes = 0, lettres distinctes = 5, Can_source = 1 ; attendu : 0.

∴ le récit cite les marques (« Messieurs les juges » dans un journal, « la preuve », « on objectera », « pour conclure ») dans l’ordre : λ = encrp, Can = 1. Mais ce n’est pas un discours : faux positif assumé. Les marques sont des indices de surface ; elles ne disent pas si le texte est une prise de parole.

Exemple 9 – Texte complet : digressions et confirmation reprise

Texte : « Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion. Il pleuvait ce soir-là sur la ville. Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui. La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h. Chacun connaît la rue où il habite. On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien. En effet, la caméra le confirme. En conclusion, je vous demande l’acquittement. »

phrase	texte	première marque	position (caractère)	étiquette λ(s)	partie
s₁	Messieurs les juges, permettez-moi de vous dire mon émotion.	messieurs les juges	1	e	exorde
s₂	Il pleuvait ce soir-là sur la ville.	—	—	·	neutre
s₃	Voici les faits : le soir du 3 mars, mon client rentrait chez lui.	voici les faits	1	n	narration
s₄	La preuve en est que le témoin atteste l’avoir vu à 22 h.	la preuve	1	c	confirmation
s₅	Chacun connaît la rue où il habite.	—	—	·	neutre
s₆	On objectera qu’il connaissait la victime ; mais cela ne prouve rien.	on objectera	1	r	réfutation
s₇	En effet, la caméra le confirme.	en effet	1	c	confirmation
s₈	En conclusion, je vous demande l’acquittement.	en conclusion	1	p	péroraison

Étape 9.1. Mot des étiquettes (neutres effacées) : λ(w) = e n c r c p ; ℓ = 6.

Étape 9.2 (tableau T, dernière ligne, i = ℓ = 6). T(6, 0) = 0 ; T(6, 1) = 1 ; T(6, 2) = 2 ; T(6, 3) = 3 ; T(6, 4) = 4 ; T(6, 5) = 5.

i	λ_i	T(i, 1) : e	T(i, 2) : n	T(i, 3) : c	T(i, 4) : r	T(i, 5) : p
0	ε	0	0	0	0	0
1	e	1	1	1	1	1
2	n	1	2	2	2	2
3	c	1	2	3	3	3
4	r	1	2	3	4	4
5	c	1	2	3	4	4
6	p	1	2	3	4	5

Étape 9.3. Can(w) = χ_{5}(5) = 1 ; ω(w) = 5 / 5 = 1.

Formule source rendue calculable : descentes = 1, lettres distinctes = 5, Can_source = 0 ; attendu : 1.

∴ λ = encrcp après effacement de deux digressions : T = 5, Can = 1, ω = 1. La formule source donne 0, à cause de la reprise de la confirmation.

[Image à insérer ici : can-omega.png]

Le degré d’ordre canonique ω des neuf exemples.

6.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions sur les neuf textes, par l’écart entre le verdict calculé et le verdict attendu : 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1 (l’exemple 8 n’est pas un discours).

version	erreurs ∑ \|Can − attendu\| (sur 9 textes)	textes mal jugés
présence des cinq parties, sans ordre	3	ex. 2 (1 au lieu de 0) ; ex. 4 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0)
source : χ_{[1, +∞[}(Can_source), blocs contigus	3	ex. 5 (0 au lieu de 1) ; ex. 8 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (0 au lieu de 1)
degré seuillé : ω ≥ 4/5	4	ex. 2 (1 au lieu de 0) ; ex. 3 (1 au lieu de 0) ; ex. 4 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0)
degré seuillé : ω ≥ 3/5	4	ex. 2 (1 au lieu de 0) ; ex. 3 (1 au lieu de 0) ; ex. 4 (1 au lieu de 0) ; ex. 8 (1 au lieu de 0)
retenue : χ_{5}(T(ℓ, 5)), sous-mot encrp	1	ex. 8 (1 au lieu de 0)

La présence sans ordre accepte l’inversion et le déplacement (exemples 2 et 4). Les blocs contigus de la formule source refusent la reprise de la confirmation (exemples 5 et 9). Un seuil sur ω inférieur à 1 accepte toute variante à une partie près. La version retenue ne garde que le faux positif du récit (exemple 8). Le seuil est logique : l’ordre canonique demande les cinq parties, T = 5 ; ω reste disponible comme degré.

[Image à insérer ici : can-versions.png]

Erreurs des versions : l’ordre, la tolérance aux insertions et le seuil logique T = 5 sont nécessaires.

6.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

Nécessaire : une fois les marques fixées, les étiquettes, λ, T, Can et ω découlent nécessairement du texte ; les lemmes 1 à 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
Contingent : la liste des marques est déclarée et propre à un genre (le plaidoyer) ; un sermon ou un discours politique demande d’autres marques. Le canon littéraire se mesurerait par l’appartenance d’une œuvre à une liste de référence, χ_Klit(œuvre), donnée extérieure au texte.
Possible : tout texte dont le mot des étiquettes contient encrp suit possiblement l’ordre canonique ; le récit de l’exemple 8 montre que les marques peuvent apparaître hors d’un discours.

6.10 Justification et limites

Un ordre imposé à des parties qui peuvent être séparées par d’autres éléments est exactement la notion de sous-mot éparpillé. La norme rhétorique devient un mot de cinq lettres, encrp, et la conformité d’un discours devient la question : encrp est-il un sous-mot du mot des étiquettes ? La définition source avait la bonne structure, un produit de cinq indicatrices dans un ordre fixé ; il fallait la poser sur les parties du discours, qui se lisent dans le texte, et remplacer les facteurs contigus par un sous-mot.

Trois limites sont assumées. Les marques sont des indices de surface (exemple 8) : un texte qui les cite n’est pas pour autant un discours. Une partie sans marque explicite (une narration qui commence sans « voici les faits ») est neutre et peut faire perdre une lettre. Enfin, la mémoire et l’action, qui sont des canons au même titre que les autres, restent hors de toute mesure sur le texte écrit : il faudrait un enregistrement de la parole pour en parler.

⁂

7. Captatio benevolentiae – Mécanisme en combinatoire des mots

7.1 Définition rhétorique

La captatio benevolentiae (« capter la bienveillance ») est le procédé par lequel l’orateur, au début du discours, rend l’auditoire attentif, docile et bienveillant : par l’éloge du public, la modestie, la gratitude ou une adresse directe. Cicéron (De l’invention, I, 20–22) en fait l’une des fonctions de l’exorde.

Deux traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

les marques : des formules d’éloge, de modestie, de gratitude ou d’adresse ;
la place : elles ouvrent le discours. Placée ailleurs, la même formule change de fonction : un remerciement final est une formule de clôture, non une captatio.

La captatio peut remplir plusieurs fonctions à la fois (Paul devant Agrippa : satisfaction, adresse, éloge) ; sa richesse est le nombre de fonctions remplies.

7.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée est une définition en compréhension :

Capt(w) = |{ Pref(w) | Pref(w) contient un facteur de bienveillance B précédant le corps }|.

Comme il n’y a qu’une ouverture, le cardinal vaut 0 ou 1 : il s’écrit avec une indicatrice. Avec ℬ = { modesty, praise, sympathy } et Pref_k(w) l’ouverture formée des k premiers facteurs :

P = Pref_k(w), Capt(w) = χ_{[1, +∞[}( ∑_{u ∈ Fact(P)} χ_ℬ(u) ), CaptCount(w) = ∑_{u ∈ Fact(P)} χ_ℬ(u), Capt_wt(w) = ∑_{u ∈ Fact(P)} β(u) χ_ℬ(u).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter : des marques de bienveillance dans l’ouverture, et seulement là. L’idée du préfixe est exactement la bonne. Telle quelle, la formule n’est pas encore applicable à un texte. Six précisions sont nécessaires :

ℬ contient des noms de fonctions, non des mots. « modesty », « praise », « sympathy » désignent des procédés ; aucun texte ne les contient. Dans l’exemple source 1, χ_ℬ(modesty) = 1 suppose le texte déjà analysé. On remplace ℬ par quatre classes de marques écrites, déclarées.
L’adresse directe manque. L’exemple source 1 donne χ_ℬ(dear audience) = 0, alors que l’adresse à l’auditoire est l’une des formes les plus constantes de la captatio. On ajoute la classe B₄ (adresse directe) ; sans elle, « Bonsoir. Chers amis, … » n’est pas reconnu (exemple 8).
Fact(Pref_k(w)) est un ensemble de chaînes de lettres. « honneur » est un facteur de « déshonneur » (exemple 7) ; « merci » est un facteur de « remercie », et « je vous remercie » est compté deux fois (exemple 4). On cherche les marques comme suites de mots commençant à une position du préfixe, et l’on compte des occurrences.
k n’est pas fixé. « Les k premiers facteurs » ne dit ni l’unité ni la longueur : avec le texte entier pour ouverture, le remerciement final devient une captatio (exemple 5). On fixe la zone d’ouverture aux mots des deux premières phrases et l’on vérifie ce choix par le calcul (section 7.8).
Compter les marques ne mesure pas la captatio. Trois flatteries de même sorte remplissent une seule fonction. On mesure la richesse ρ(w), nombre de classes représentées (de 0 à 4) ; CaptCount reste une information complémentaire.
Les poids β(u) ne sont pas donnés. Une version pondérée exige une table de poids déclarée ; sans elle, β = 1 redonne CaptCount. On ne la retient pas.

Les exemples source se relisent ainsi : l’exemple 1 (une fonction, modestie) donne Capt = 1, et donnerait ρ = 2 avec l’adresse « dear audience » ; l’exemple 2 (aucune fonction) donne Capt = 0 ; l’exemple 3 (éloge, sympathie, modestie) donne Capt = 1 et CaptCount = 3, soit ici ρ = 3 classes.

[Image à insérer ici : capt-source.png]

L’énoncé source : ℬ contient des noms de fonctions, et l’adresse directe y est comptée 0.

7.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

marque : χ_{v}(t_a⋯t_a+|v|−1) = 1 si les |v| mots qui commencent au rang a forment la marque v ;
« au moins une » : χ_{[1, +∞[}(s) = 1 si la somme s vaut au moins 1 : c’est le quantificateur « il existe » de la définition source ;
place : la somme ne porte que sur les rangs a ≤ k de la zone d’ouverture ;
richesse : la somme des quatre indicatrices de classe.

7.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte, les phrases, la zone d’ouverture

Le texte w est découpé en phrases aux signes . ! ? ; on met en minuscules et l’on supprime la ponctuation interne. Les mots t₁, t₂, … sont numérotés à travers les phrases. La zone d’ouverture est le préfixe

Pref(w) = t₁⋯t_k, k = nombre de mots des deux premières phrases.

Pourquoi un préfixe ? La propriété essentielle de la captatio est sa place : elle ouvre le discours. Pourquoi deux phrases ? Une ouverture commence souvent par une salutation courte (« Bonsoir. ») avant l’adresse ; une seule phrase la perdrait, trois phrases atteignent déjà le corps ou la clôture des textes courts (section 7.8).

b) Les quatre classes de marques

classe	fonction	marques (suites de mots)
B1	éloge de l’auditoire	honneur, compétent, éminent, distingué, tu connais parfaitement, dont l’expertise
B2	modestie de l’orateur	modeste, humble, mes faibles moyens, je ne sais si, je ne suis pas digne
B3	gratitude ou satisfaction	merci, je vous remercie, je m’estime heureux, je me félicite, reconnaissant
B4	adresse directe	mesdames et messieurs, chers amis, roi agrippa, vous qui

On note ℬ(c) = B_c l’ensemble des marques de la classe c. Une marque de plusieurs mots est une suite de mots ; elle compte pour sa classe si elle commence dans la zone d’ouverture.

c) Les indicatrices de classe et la richesse

b_c(w) = χ_{[1, +∞[}( ∑_a=1^k ∑_{v ∈ ℬ(c)} χ_{v}(t_a⋯t_a+|v|−1) ), c = 1, 2, 3, 4,

ρ(w) = b₁(w) + b₂(w) + b₃(w) + b₄(w) ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, Capt(w) = χ_{[1, +∞[}( ρ(w) ).

Lemme 1 (Capt et richesse). Capt(w) = 1 si et seulement si ρ(w) ≥ 1, et ρ(w) ≤ CaptCount(w). ∴ la richesse est entre le verdict et le nombre de marques : elle ne grossit pas avec la répétition d’une même fonction.

Lemme 2 (monotonie en k). Si k ≤ k′, alors b_c calculé sur Pref_k est au plus égal à b_c calculé sur Pref_k′. ∴ allonger la zone d’ouverture ne peut que créer des captatio, jamais en supprimer : le remerciement final de l’exemple 5 apparaît dès que la zone atteint la troisième phrase.

Lemme 3 (mots, non lettres). Une marque v est un facteur de la suite des mots ; la lecture par lettres compte en plus toute marque contenue dans un mot plus long. ∴ la lecture par mots est toujours au plus égale à la lecture par lettres, et l’écart est fait de faux positifs (exemple 7) et de doubles comptes (exemple 4).

[Image à insérer ici : capt-prefixe.png]

La place décide : la même gratitude compte à l’ouverture et ne compte pas à la clôture.

[Image à insérer ici : capt-classes.png]

Actes 26, 2–3 : trois classes de marques dans la première phrase, richesse 3.

[Image à insérer ici : capt-facteurs.png]

Facteurs de lettres ou suites de mots : « honneur » dans « déshonneur », « merci » dans « remercie ».

7.5 Définition mathématique

Capt(w) = χ_{[1, +∞[}( ∑_c=1⁴ χ_{[1, +∞[}( ∑_a=1^k ∑_{v ∈ ℬ(c)} χ_{v}(t_a⋯t_a+|v|−1) ) ), ρ(w) = ∑_c=1⁴ b_c(w), k = mots des deux premières phrases.

L’indicatrice extérieure χ_{[1, +∞[} est le « il existe » de la définition source ; la somme sur a ≤ k est la restriction au préfixe ; l’indicatrice de classe empêche une fonction répétée de compter plusieurs fois.

[Image à insérer ici : capt-formule.png]

La définition complète : zone d’ouverture, classes de marques, verdict et richesse.

[Image à insérer ici : capt-arbre.png]

L’arbre de décision de la captatio benevolentiae.

7.6 Calcul pas à pas (procédure)

Découper le texte en phrases ; mettre en minuscules ; numéroter les mots.
Fixer la zone d’ouverture : les mots des deux premières phrases, t₁ … t_k.
Chercher chaque marque des quatre classes comme suite de mots commençant à un rang a ≤ k.
b_c = 1 si au moins une marque de la classe c est trouvée ; ρ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄.
Capt = 1 si ρ ≥ 1.

7.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne les phrases de la zone d’ouverture, un tableau des marques trouvées (classe, marque, rang de début), les quatre indicatrices de classe, la richesse et le verdict.

Exemple 1 – L’éloge de l’auditoire

Texte : « C’est un honneur de parler devant un auditoire aussi compétent. Je vous présenterai trois résultats. »

Étape 1.1 (zone d’ouverture). Phrase 1 : « C’est un honneur de parler devant un auditoire aussi compétent. » Phrase 2 : « Je vous présenterai trois résultats. » ; k = 15 mots.

classe	fonction	marque v	rang de début a	mots
B1	éloge de l’auditoire	honneur	3	t₃
B1	éloge de l’auditoire	compétent	10	t₁₀

Étape 1.2 (marques). χ_{honneur}(t₃⋯) = 1 (B1) ; χ_{compétent}(t₁₀⋯) = 1 (B1) ⇒ CaptCount = 2.

classe	B₁ éloge	B₂ modestie	B₃ gratitude	B₄ adresse	ρ = ∑ b_c	Capt = χ_{[1, +∞[}(ρ)
b_c	1	0	0	0	1	1

Étape 1.3. ρ = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 ; Capt = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1.

Lecture source par facteurs de lettres : 2 marque(s) ⇒ verdict 1.

∴ « honneur » et « compétent » : deux marques de la même classe B₁ (éloge). CaptCount = 2, mais ρ = 1 : une seule fonction remplie. Capt = 1.

Exemple 2 – Actes des apôtres, 26, 2–3 : trois fonctions dans une phrase

Texte : « Je m’estime heureux, roi Agrippa, d’avoir aujourd’hui à me justifier devant toi de toutes les choses dont je suis accusé par les Juifs, car tu connais parfaitement leurs coutumes et leurs discussions. »

Étape 2.1 (zone d’ouverture). Phrase 1 : « Je m’estime heureux, roi Agrippa, d’avoir aujourd’hui à me justifier devant toi de toutes les choses dont je suis accusé par les Juifs, car tu connais parfaitement leurs coutumes et leurs discussions. » ; k = 32 mots.

classe	fonction	marque v	rang de début a	mots
B3	gratitude ou satisfaction	je m’estime heureux	1	t₁ … t₃
B4	adresse directe	roi agrippa	4	t₄ … t₅
B1	éloge de l’auditoire	tu connais parfaitement	25	t₂₅ … t₂₇

Étape 2.2 (marques). χ_{{je m’estime heureux}}(t₁⋯) = 1 (B3) ; χ_{{roi agrippa}}(t₄⋯) = 1 (B4) ; χ_{{tu connais parfaitement}}(t₂₅⋯) = 1 (B1) ⇒ CaptCount = 3.

classe	B₁ éloge	B₂ modestie	B₃ gratitude	B₄ adresse	ρ = ∑ b_c	Capt = χ_{[1, +∞[}(ρ)
b_c	1	0	1	1	3	1

Étape 2.3. ρ = 1 + 0 + 1 + 1 = 3 ; Capt = χ_{[1, +∞[}(3) = 1 ; attendu : 1.

Lecture source par facteurs de lettres : 3 marque(s) ⇒ verdict 1.

∴ dans une seule phrase, Paul remplit trois fonctions : satisfaction (« je m’estime heureux », B₃), adresse (« roi Agrippa », B₄) et éloge (« tu connais parfaitement », B₁). ρ = 3, Capt = 1 : une captatio riche.

Exemple 3 – La modestie de l’historien

Texte : « Je ne sais si mon travail en vaudra la peine. J’ai entrepris d’écrire l’histoire de cette ville depuis sa fondation. »

Étape 3.1 (zone d’ouverture). Phrase 1 : « Je ne sais si mon travail en vaudra la peine. » Phrase 2 : « J’ai entrepris d’écrire l’histoire de cette ville depuis sa fondation. » ; k = 20 mots.

classe	fonction	marque v	rang de début a	mots
B2	modestie de l’orateur	je ne sais si	1	t₁ … t₄

Étape 3.2 (marques). χ_{{je ne sais si}}(t₁⋯) = 1 (B2) ⇒ CaptCount = 1.

classe	B₁ éloge	B₂ modestie	B₃ gratitude	B₄ adresse	ρ = ∑ b_c	Capt = χ_{[1, +∞[}(ρ)
b_c	0	1	0	0	1	1

Étape 3.3. ρ = 0 + 1 + 0 + 0 = 1 ; Capt = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1.

Lecture source par facteurs de lettres : 1 marque(s) ⇒ verdict 1.

∴ « je ne sais si », formule de modestie (B₂) sur le modèle de la préface de Tite-Live, ouvre le texte : ρ = 1, Capt = 1.

Exemple 4 – Adresse, gratitude et modestie

Texte : « Mesdames et Messieurs, je vous remercie de votre présence, moi qui ne suis qu’un modeste chercheur. Voici mes résultats. »

Étape 4.1 (zone d’ouverture). Phrase 1 : « Mesdames et Messieurs, je vous remercie de votre présence, moi qui ne suis qu’un modeste chercheur. » Phrase 2 : « Voici mes résultats. » ; k = 19 mots.

classe	fonction	marque v	rang de début a	mots
B4	adresse directe	mesdames et messieurs	1	t₁ … t₃
B3	gratitude ou satisfaction	je vous remercie	4	t₄ … t₆
B2	modestie de l’orateur	modeste	15	t₁₅

Étape 4.2 (marques). χ_{{mesdames et messieurs}}(t₁⋯) = 1 (B4) ; χ_{{je vous remercie}}(t₄⋯) = 1 (B3) ; χ_{modeste}(t₁₅⋯) = 1 (B2) ⇒ CaptCount = 3.

classe	B₁ éloge	B₂ modestie	B₃ gratitude	B₄ adresse	ρ = ∑ b_c	Capt = χ_{[1, +∞[}(ρ)
b_c	0	1	1	1	3	1

Étape 4.3. ρ = 0 + 1 + 1 + 1 = 3 ; Capt = χ_{[1, +∞[}(3) = 1 ; attendu : 1.

Lecture source par facteurs de lettres : 4 marque(s) ⇒ verdict 1.

∴ adresse, gratitude et modestie : ρ = 3, Capt = 1. La lecture par lettres compte 4 marques, car « merci » est un facteur de « remercie » : le double compte disparaît avec la lecture par mots.

Exemple 5 – Le remerciement final : hors de l’ouverture

Texte : « Les faits sont les suivants. Le budget a augmenté de dix pour cent. Je vous remercie de votre attention. »

Étape 5.1 (zone d’ouverture). Phrase 1 : « Les faits sont les suivants. » Phrase 2 : « Le budget a augmenté de dix pour cent. » ; k = 13 mots.

Étape 5.2 (marques). aucune suite de mots de la zone n’est une marque ⇒ CaptCount = 0.

classe	B₁ éloge	B₂ modestie	B₃ gratitude	B₄ adresse	ρ = ∑ b_c	Capt = χ_{[1, +∞[}(ρ)
b_c	0	0	0	0	0	0

Étape 5.3. ρ = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 ; Capt = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0.

Lecture source par facteurs de lettres : 0 marque(s) ⇒ verdict 0.

∴ « je vous remercie » est dans la troisième phrase, hors de la zone d’ouverture (les 13 mots des deux premières phrases) : ρ = 0, Capt = 0. Avec le texte entier pour zone, le remerciement final serait pris pour une captatio (lemme 2).

Exemple 6 – Une ouverture neutre

Texte : « Le budget est voté. Les travaux commencent lundi. »

Étape 6.1 (zone d’ouverture). Phrase 1 : « Le budget est voté. » Phrase 2 : « Les travaux commencent lundi. » ; k = 8 mots.

Étape 6.2 (marques). aucune suite de mots de la zone n’est une marque ⇒ CaptCount = 0.

classe	B₁ éloge	B₂ modestie	B₃ gratitude	B₄ adresse	ρ = ∑ b_c	Capt = χ_{[1, +∞[}(ρ)
b_c	0	0	0	0	0	0

Étape 6.3. ρ = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 ; Capt = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0.

Lecture source par facteurs de lettres : 0 marque(s) ⇒ verdict 0.

∴ aucune marque : ρ = 0, Capt = 0. Une ouverture neutre.

Exemple 7 – Une marque dans un autre mot

Texte : « Le déshonneur de cette affaire est connu. Les faits parlent d’eux-mêmes. »

Étape 7.1 (zone d’ouverture). Phrase 1 : « Le déshonneur de cette affaire est connu. » Phrase 2 : « Les faits parlent d’eux-mêmes. » ; k = 11 mots.

Étape 7.2 (marques). aucune suite de mots de la zone n’est une marque ⇒ CaptCount = 0.

classe	B₁ éloge	B₂ modestie	B₃ gratitude	B₄ adresse	ρ = ∑ b_c	Capt = χ_{[1, +∞[}(ρ)
b_c	0	0	0	0	0	0

Étape 7.3. ρ = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 ; Capt = χ_{[1, +∞[}(0) = 0 ; attendu : 0.

Lecture source par facteurs de lettres : 1 marque(s) ⇒ verdict 1.

∴ aucun mot n’est une marque : ρ = 0, Capt = 0. La lecture par lettres trouve « honneur » dans « déshonneur » et compte une captatio : faux positif évité (lemme 3).

Exemple 8 – L’adresse dans la deuxième phrase

Texte : « Bonsoir. Chers amis, nous voici réunis pour fêter la fin des travaux. »

Étape 8.1 (zone d’ouverture). Phrase 1 : « Bonsoir. » Phrase 2 : « Chers amis, nous voici réunis pour fêter la fin des travaux. » ; k = 12 mots.

classe	fonction	marque v	rang de début a	mots
B4	adresse directe	chers amis	2	t₂ … t₃

Étape 8.2 (marques). χ_{{chers amis}}(t₂⋯) = 1 (B4) ⇒ CaptCount = 1.

classe	B₁ éloge	B₂ modestie	B₃ gratitude	B₄ adresse	ρ = ∑ b_c	Capt = χ_{[1, +∞[}(ρ)
b_c	0	0	0	1	1	1

Étape 8.3. ρ = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 ; Capt = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 1.

Lecture source par facteurs de lettres : 1 marque(s) ⇒ verdict 1.

∴ la première phrase, « Bonsoir. », ne contient aucune marque ; la deuxième s’ouvre sur l’adresse « chers amis » (B₄) : ρ = 1, Capt = 1. Une zone d’une seule phrase, ou un ℬ sans l’adresse, manquerait cette captatio.

Exemple 9 – Faux positif assumé : l’éloge ironique

Texte : « Quel honneur de vous voir enfin, avec deux heures de retard. Commençons. »

Étape 9.1 (zone d’ouverture). Phrase 1 : « Quel honneur de vous voir enfin, avec deux heures de retard. » Phrase 2 : « Commençons. » ; k = 12 mots.

classe	fonction	marque v	rang de début a	mots
B1	éloge de l’auditoire	honneur	2	t₂

Étape 9.2 (marques). χ_{honneur}(t₂⋯) = 1 (B1) ⇒ CaptCount = 1.

classe	B₁ éloge	B₂ modestie	B₃ gratitude	B₄ adresse	ρ = ∑ b_c	Capt = χ_{[1, +∞[}(ρ)
b_c	1	0	0	0	1	1

Étape 9.3. ρ = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 ; Capt = χ_{[1, +∞[}(1) = 1 ; attendu : 0.

Lecture source par facteurs de lettres : 1 marque(s) ⇒ verdict 1.

∴ « quel honneur de vous voir enfin, avec deux heures de retard » : la marque d’éloge est là, ρ = 1, Capt = 1. Mais l’éloge est ironique, c’est un reproche : faux positif assumé. Les marques ne voient pas l’intention.

7.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions sur les neuf textes, par l’écart entre le verdict calculé et le verdict attendu : 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0 (l’exemple 9 n’est pas une captatio).

version	erreurs ∑ \|Capt − attendu\| (sur 9 textes)	textes mal jugés
source : facteurs de lettres de la zone	2	ex. 7 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
sans la classe adresse (ℬ de la source)	2	ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
tout le texte comme zone (sans position)	2	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
retenue : suites de mots, quatre classes, deux phrases	1	ex. 9 (1 au lieu de 0)

La lecture par lettres trouve « honneur » dans « déshonneur » ; l’ensemble ℬ sans adresse perd « chers amis » ; le texte entier comme zone prend le remerciement final pour une captatio. Chacune ajoute une erreur à celle de l’exemple 9, l’éloge ironique, que la version retenue garde.

[Image à insérer ici : capt-versions.png]

Erreurs des versions : la lecture par mots, la classe d’adresse et la place sont nécessaires.

La longueur de la zone d’ouverture :

k (phrases)	erreurs ∑ \|Capt − attendu\|	textes mal jugés
1	2	ex. 8 (0 au lieu de 1) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)
2	1	ex. 9 (1 au lieu de 0)
3	2	ex. 5 (1 au lieu de 0) ; ex. 9 (1 au lieu de 0)

Une phrase perd l’adresse placée après une salutation (exemple 8) ; trois phrases atteignent la clôture des textes courts (exemple 5), conformément au lemme 2. Deux phrases ne gardent que l’erreur de l’exemple 9.

[Image à insérer ici : capt-seuils.png]

Sensibilité à la longueur k de la zone d’ouverture.

[Image à insérer ici : capt-richesse.png]

Richesse ρ et nombre de marques des neuf exemples.

7.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

Nécessaire : une fois les classes de marques et la zone fixées, b_c, ρ et Capt découlent nécessairement des mots ; les lemmes 1 à 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
Contingent : les listes de marques sont déclarées et dépendent de la langue, de l’époque et du genre (plaidoyer, conférence, préface) ; la longueur de la zone est une convention vérifiée sur les exemples.
Possible : toute marque de bienveillance dans l’ouverture est une captatio possible ; l’ironie la retourne (exemple 9).

7.10 Justification et limites

La propriété essentielle de la captatio est sa place : elle ouvre le discours. La combinatoire des mots dispose exactement de la notion correspondante, le préfixe, et la mesure est une somme de fonctions caractéristiques restreinte aux positions du préfixe. La définition source avait cette idée et le bon quantificateur, χ_{[1, +∞[} ; il fallait remplacer les noms de fonctions par des marques écrites, les facteurs de lettres par des suites de mots, et fixer la zone d’ouverture.

Trois limites sont assumées. L’ironie retourne une marque d’éloge (exemple 9). Une captatio sans formule figée (une anecdote flatteuse, un trait d’humour) n’a pas de marque et n’est pas vue. Enfin, les listes de marques sont courtes et devraient être étendues pour un corpus réel, avec le risque de faux positifs que tout élargissement apporte.

⁂

Charge de la preuve – combinatoire

8. Charge de la preuve – Mécanisme en combinatoire des mots

8.1 Définition rhétorique

La charge de la preuve (onus probandi) est l’obligation, pour celui qui affirme une proposition, de fournir les raisons qui la soutiennent ; celui qui conteste n’a pas cette charge initiale. L’adage latin la formule ainsi : ei incumbit probatio qui dicit, non qui negat (la preuve incombe à celui qui affirme, non à celui qui nie). Le sophisme correspondant est le renversement de la charge de la preuve : exiger de l’autre qu’il prouve que l’affirmation est fausse (« prouvez-moi le contraire »).

Trois traits la définissent, et chacun deviendra une fonction calculable :

l’assertion : une phrase qui affirme, non une question ni une hypothèse ;
le support : une raison présentée pour cette assertion, dans la phrase ou dans la phrase qui la suit ;
le renversement : une phrase qui renvoie la preuve à l’adversaire.

Chaque assertion ouvre une dette de preuve ; elle est soldée si une raison lui est attachée. On compte les assertions soutenues, les assertions nues et les renversements.

8.2 Mécanisme en combinatoire des mots

La définition proposée compte les assertions qui possèdent au moins une justification :

Burd(w) = |{ a ∈ Fact(w) | a ∈ Assert et ∃ j ∈ Fact(w) tel que j justifie a }|.

Avec la relation J(a, j) = 1 si j justifie a, et l’existence écrite comme une indicatrice de seuil sur une somme :

Burd(w) = ∑_{a ∈ Fact(w)} χ_Assert(a) · χ_{[1, +∞[}( ∑_{j ∈ Fact(w)} J(a, j) ), Burd_échec(w) = ∑_a χ_Assert(a) · (1 − χ_{[1, +∞[}( ∑_j J(a, j) )),

NBurd(w) = Burd(w) / ∑_a χ_Assert(a).

Cette écriture dit ce qu’il faut compter, et le passage du quantificateur à χ_{[1, +∞[}(∑ J) est exact : la somme est nulle si et seulement si aucune justification n’existe. Les exemples source se recalculent sans difficulté :

exemple source	assertions a	justifications j	∑_j J(a, j)	Burd	Burd_échec	NBurd
1	a₁	j₁	1	1 = 1	0	1
2	a₁, a₂	j₁	1, 0	1 + 0 = 1	1	1/2
3	a₁, a₂, a₃	j₁, j₂, j₃	1, 2, 0	1 + 1 + 0 = 2	1	2/3

Le calcul est juste ; mais la relation J et l’ensemble Assert sont supposés donnés. Sur un texte réel, rien n’est encore calculable. Six précisions sont nécessaires :

Fact(w) n’est pas l’unité de l’assertion. Tous les facteurs de w (morceaux de mots, de phrases, chevauchements) seraient candidats à être des assertions et des justifications. L’unité est la phrase s₁, …, s_N.
Assert n’est pas défini. Une question (« est-ce que tu viendras ? ») ou une hypothèse (« il est possible qu’il pleuve ») n’affirment rien et n’ont pas de dette. On définit As(s) par l’absence de point d’interrogation et de marques d’atténuation.
« j justifie a » n’est pas calculable. Juger qu’une raison justifie une assertion demande le sens. On le remplace par une condition de forme : une marque de justification (car, parce que, en effet…) placée dans la phrase, ou en tête de la phrase suivante.
Une marque voisine ne justifie pas n’importe quelle phrase. Le « car » de la phrase suivante justifie cette phrase, non la précédente (exemple 7) ; seule une marque qui ouvre la phrase suivante (« En effet, … ») renvoie à la précédente. Cette phrase de support n’est pas elle-même une assertion à prouver.
Une raison qui répète l’assertion ne justifie rien. « Il a raison parce qu’il a raison » contient une marque, mais la raison est l’assertion même : on ajoute un contrôle de circularité (exemple 6).
Le renversement manque. C’est le sophisme propre à la charge de la preuve ; on le compte à part, par des marques déclarées (exemple 3). Enfin, NBurd est non défini quand le texte ne contient aucune assertion (0/0) : on le note « non défini » au lieu de lui donner une valeur.

[Image à insérer ici : burd-source.png]

L’exemple source 3 : la relation J et le quantificateur « il existe » écrit comme une indicatrice de seuil.

8.3 L’outil : la fonction indicatrice

Pour tout ensemble A, χ_A(x) = 1 si x ∈ A et χ_A(x) = 0 sinon. La fiche emploie :

« il existe » : χ_{[1, +∞[}(∑ …) = 1 si au moins un terme de la somme vaut 1 ;
« non » : 1 − χ, qui retire une phrase du compte (question, doute, support, renversement) ;
« et » : le produit, pour qu’une phrase soit à la fois une assertion et soutenue ;
égalité de deux suites de mots à l’ordre près, pour la circularité.

8.4 Les objets, définis pas à pas

a) Les phrases et les tables de marques

Le texte w est découpé en phrases s₁, …, s_N aux signes . ! ? ; chaque phrase est mise en minuscules, les élisions sont détachées (qu’ → qu, n’ → n), la ponctuation interne est supprimée. Les marques sont des suites de mots :

table	rôle	marques
Just	justification	parce que, parce qu, car, puisque, en effet, comme le montre, selon, d après
Hedg	atténuation (pas d’assertion)	il est possible que, il est possible qu, peut-être, il se peut que, il se peut qu, je me demande si
Rev	renversement de la charge	prouvez-moi que ce n est pas, prouvez que ce n est pas, prouvez-moi le contraire, rien ne prouve le contraire, vous ne pouvez pas démontrer que

b) Les indicatrices d’une phrase

Q(s) = 1 si la phrase se termine par « ? » (question) ;
H(s) = χ_{[1, +∞[}(nombre de marques de Hedg dans s) (atténuation) ;
R(s) = χ_{[1, +∞[}(nombre de marques de Rev dans s) (renversement) ;
Sup(s) = 1 si s commence par une marque de Just : la phrase est le support de la précédente ;
In(s) = χ_{[1, +∞[}(nombre de marques de Just dans s à une position autre que la première) : une raison interne ;
Circ(s) = 1 si les mots à gauche de la première marque interne et les mots à droite forment le même multiensemble (raison circulaire).

As(s) = (1 − Q(s)) · (1 − H(s)) · (1 − Sup(s)) · (1 − R(s)).

As(s) vaut 1 si la phrase affirme quelque chose qui demande une raison : ni question, ni hypothèse, ni support d’une autre phrase, ni renvoi de la preuve.

c) La justification

J(s_k) = χ_{[1, +∞[}( In(s_k) · (1 − Circ(s_k)) + Sup(s_k+1) ), Sup(s_N+1) = 0.

Une assertion est soutenue si elle contient une raison non circulaire, ou si la phrase suivante s’ouvre sur une marque de justification. C’est la relation J(a, j) de la définition source, rendue calculable : j est soit la partie de la phrase qui suit la marque, soit la phrase suivante.

Lemme 1 (partition des assertions). Pour toute phrase, As(s) · J(s) + As(s) · (1 − J(s)) = As(s). ∴ Burd(w) + Burd_échec(w) = A(w), le nombre d’assertions, et σ(w) = Burd(w) / A(w) est défini si et seulement si A(w) ≥ 1.

Lemme 2 (le renversement n’est pas une assertion). R(s) = 1 entraîne As(s) = 0 : celui qui renverse la charge ne s’en acquitte pas ; il est compté à part, Rev(w) = ∑ R(s_k).

Lemme 3 (la circularité ne dépend pas de l’ordre). Circ compare deux multiensembles de mots ; « il a raison parce qu’il a raison » et « raison il a, parce qu’il a raison » sont tous deux circulaires. ∴ le contrôle est une égalité exacte, sans seuil.

[Image à insérer ici : burd-circulaire.png]

La justification circulaire : la raison répète l’assertion.

[Image à insérer ici : burd-fenetre.png]

Trois fenêtres de justification comparées sur les exemples 5 et 7.

8.5 Définition mathématique

Burd(w) = ∑_k=1^N As(s_k) · J(s_k), Burd_échec(w) = ∑_k=1^N As(s_k) · (1 − J(s_k)), Rev(w) = ∑_k=1^N R(s_k),

σ(w) = Burd(w) / (Burd(w) + Burd_échec(w)) si le dénominateur est au moins 1 ; non défini sinon.

Burd compte les dettes soldées, Burd_échec les dettes laissées, Rev les dettes renvoyées. σ est la part des assertions soutenues, c’est-à-dire le NBurd de la définition source, avec un dénominateur qui ne compte que les vraies assertions.

[Image à insérer ici : burd-formule.png]

La définition complète : assertion, justification, renversement.

[Image à insérer ici : burd-arbre.png]

L’arbre de décision d’une phrase.

8.6 Calcul pas à pas (procédure)

Découper le texte en phrases ; mettre en minuscules ; détacher les élisions.
Pour chaque phrase, calculer Q, H, R, Sup, In et Circ.
As(s) = (1 − Q)(1 − H)(1 − Sup)(1 − R).
J(s_k) = 1 si In(s_k) · (1 − Circ(s_k)) = 1 ou Sup(s_k+1) = 1.
Burd = ∑ As · J ; Burd_échec = ∑ As · (1 − J) ; Rev = ∑ R ; σ = Burd / (Burd + Burd_échec).

8.7 Exemples entièrement calculés

Chaque exemple donne un tableau des phrases avec les six indicatrices, As, J et le rôle ; puis les trois comptes et la part σ.

Exemple 1 – Une assertion et sa raison

Texte : « Le vaccin réduit les hospitalisations, car les essais cliniques montrent une baisse de 90 %. »

phrase	texte	Q	H	R	Sup	In	Circ	As	Sup(s_k+1)	J	rôle
s₁	Le vaccin réduit les hospitalisations, car les essais cliniques montrent une baisse de 90 %.	0	0	0	0	1	0	1	0	1	assertion soutenue

Étape 1.1 (s₁). marques de justification : « car » au rang 6 ; marque interne : In = 1.

Étape 1.2 (s₁). As = (1 − 0)(1 − 0)(1 − 0)(1 − 0) = 1 ; J = χ_{[1, +∞[}(1 · (1 − 0) + 0) = 1.

Étape 1.3. Burd = 1 ; Burd_échec = 0 ; Rev = 0 ; σ = 1 ; attendu : 1, 0, 0.

Lecture source (toute phrase est une assertion, justifiée s’il existe une marque quelque part dans le texte) : Burd = 1, Burd_échec = 0, Rev = 0.

∴ une assertion et sa raison, reliées par « car » à l’intérieur de la phrase : In = 1, Circ = 0, J = 1. Burd = 1, σ = 1.

Exemple 2 – Une assertion nue

Texte : « Les pyramides ont été construites par des extraterrestres. »

phrase	texte	Q	H	R	Sup	In	Circ	As	Sup(s_k+1)	J	rôle
s₁	Les pyramides ont été construites par des extraterrestres.	0	0	0	0	0	0	1	0	0	assertion nue

Étape 2.2 (s₁). As = (1 − 0)(1 − 0)(1 − 0)(1 − 0) = 1 ; J = χ_{[1, +∞[}(0 · (1 − 0) + 0) = 0.

Étape 2.3. Burd = 0 ; Burd_échec = 1 ; Rev = 0 ; σ = 0 ; attendu : 0, 1, 0.

Lecture source (toute phrase est une assertion, justifiée s’il existe une marque quelque part dans le texte) : Burd = 0, Burd_échec = 1, Rev = 0.

∴ une assertion sans aucune marque de justification : J = 0. Burd_échec = 1, σ = 0. La dette de preuve reste ouverte.

Exemple 3 – Le renversement de la charge

Texte : « Prouvez-moi que ce n’est pas vrai ! »

phrase	texte	Q	H	R	Sup	In	Circ	As	Sup(s_k+1)	J	rôle
s₁	Prouvez-moi que ce n’est pas vrai !	0	0	1	0	0	0	0	0	—	renversement

Étape 3.3. Burd = 0 ; Burd_échec = 0 ; Rev = 1 ; σ = non défini ; attendu : 0, 0, 1.

Lecture source (toute phrase est une assertion, justifiée s’il existe une marque quelque part dans le texte) : Burd = 0, Burd_échec = 1, Rev = 0.

∴ « prouvez-moi que ce n’est pas vrai » renvoie la preuve à l’auditeur : R = 1, As = 0 (lemme 2). Rev = 1 ; il n’y a aucune assertion, σ est non défini.

Exemple 4 – Une question et une hypothèse : rien à prouver

Texte : « Est-ce que tu viendras demain ? Il est possible qu’il pleuve ce soir. »

phrase	texte	Q	H	R	Sup	In	Circ	As	Sup(s_k+1)	J	rôle
s₁	Est-ce que tu viendras demain ?	1	0	0	0	0	0	0	0	—	question
s₂	Il est possible qu’il pleuve ce soir.	0	1	0	0	0	0	0	0	—	hypothèse

Étape 4.3. Burd = 0 ; Burd_échec = 0 ; Rev = 0 ; σ = non défini ; attendu : 0, 0, 0.

Lecture source (toute phrase est une assertion, justifiée s’il existe une marque quelque part dans le texte) : Burd = 0, Burd_échec = 2, Rev = 0.

∴ une question (Q = 1) et une hypothèse (H = 1) : aucune dette de preuve. Burd = Burd_échec = 0, σ non défini.

Exemple 5 – La raison dans la phrase suivante

Texte : « Le pont est fermé. En effet, une fissure a été découverte hier. »

phrase	texte	Q	H	R	Sup	In	Circ	As	Sup(s_k+1)	J	rôle
s₁	Le pont est fermé.	0	0	0	0	0	0	1	1	1	assertion soutenue
s₂	En effet, une fissure a été découverte hier.	0	0	0	1	0	0	0	0	—	support

Étape 5.1 (s₂). marques de justification : « en effet » au rang 1 ; la première ouvre la phrase : Sup = 1.

Étape 5.2 (s₁). As = (1 − 0)(1 − 0)(1 − 0)(1 − 0) = 1 ; J = χ_{[1, +∞[}(0 · (1 − 0) + 1) = 1.

Étape 5.3. Burd = 1 ; Burd_échec = 0 ; Rev = 0 ; σ = 1 ; attendu : 1, 0, 0.

Lecture source (toute phrase est une assertion, justifiée s’il existe une marque quelque part dans le texte) : Burd = 2, Burd_échec = 0, Rev = 0.

∴ « Le pont est fermé » n’a pas de raison interne, mais la phrase suivante s’ouvre sur « En effet » : Sup(s₂) = 1, donc J(s₁) = 1. La phrase de support n’est pas une assertion à prouver. Burd = 1.

Exemple 6 – La justification circulaire

Texte : « Il a raison parce qu’il a raison. »

phrase	texte	Q	H	R	Sup	In	Circ	As	Sup(s_k+1)	J	rôle
s₁	Il a raison parce qu’il a raison.	0	0	0	0	1	1	1	0	0	assertion nue

Étape 6.1 (s₁). marques de justification : « parce qu » au rang 4 ; marque interne : In = 1. Moitiés gauche et droite identiques : Circ = 1.

Étape 6.2 (s₁). As = (1 − 0)(1 − 0)(1 − 0)(1 − 0) = 1 ; J = χ_{[1, +∞[}(1 · (1 − 1) + 0) = 0.

Étape 6.3. Burd = 0 ; Burd_échec = 1 ; Rev = 0 ; σ = 0 ; attendu : 0, 1, 0.

Lecture source (toute phrase est une assertion, justifiée s’il existe une marque quelque part dans le texte) : Burd = 1, Burd_échec = 0, Rev = 0.

∴ la marque « parce qu » sépare deux moitiés identiques (il, a, raison) : Circ = 1, In · (1 − Circ) = 0, J = 0. L’assertion est nue malgré la marque : c’est la pétition de principe.

Exemple 7 – Une raison voisine qui ne justifie pas la phrase précédente

Texte : « Le ministre ment. Il fait beau car le soleil brille. »

phrase	texte	Q	H	R	Sup	In	Circ	As	Sup(s_k+1)	J	rôle
s₁	Le ministre ment.	0	0	0	0	0	0	1	0	0	assertion nue
s₂	Il fait beau car le soleil brille.	0	0	0	0	1	0	1	0	1	assertion soutenue

Étape 7.1 (s₂). marques de justification : « car » au rang 4 ; marque interne : In = 1.

Étape 7.2 (s₁). As = (1 − 0)(1 − 0)(1 − 0)(1 − 0) = 1 ; J = χ_{[1, +∞[}(0 · (1 − 0) + 0) = 0.

Étape 7.2 (s₂). As = (1 − 0)(1 − 0)(1 − 0)(1 − 0) = 1 ; J = χ_{[1, +∞[}(1 · (1 − 0) + 0) = 1.

Étape 7.3. Burd = 1 ; Burd_échec = 1 ; Rev = 0 ; σ = 1/2 ; attendu : 1, 1, 0.

Lecture source (toute phrase est une assertion, justifiée s’il existe une marque quelque part dans le texte) : Burd = 2, Burd_échec = 0, Rev = 0.

∴ « Il fait beau car le soleil brille » est soutenue par sa propre raison ; « Le ministre ment » ne l’est pas, car le « car » de la phrase suivante n’ouvre pas cette phrase. Burd = 1, Burd_échec = 1, σ = 1/2. Une fenêtre « phrase suivante, marque n’importe où » soutiendrait à tort l’accusation.

Exemple 8 – Faux positif assumé : une raison présentée mais sans valeur

Texte : « L’univers est une simulation parce que l’énergie est quantifiée. »

phrase	texte	Q	H	R	Sup	In	Circ	As	Sup(s_k+1)	J	rôle
s₁	L’univers est une simulation parce que l’énergie est quantifiée.	0	0	0	0	1	0	1	0	1	assertion soutenue

Étape 8.1 (s₁). marques de justification : « parce que » au rang 6 ; marque interne : In = 1.

Étape 8.2 (s₁). As = (1 − 0)(1 − 0)(1 − 0)(1 − 0) = 1 ; J = χ_{[1, +∞[}(1 · (1 − 0) + 0) = 1.

Étape 8.3. Burd = 1 ; Burd_échec = 0 ; Rev = 0 ; σ = 1 ; attendu : 0, 1, 0.

Lecture source (toute phrase est une assertion, justifiée s’il existe une marque quelque part dans le texte) : Burd = 1, Burd_échec = 0, Rev = 0.

∴ « parce que l’énergie est quantifiée » est une raison présentée, non circulaire : J = 1, Burd = 1. Mais la quantification de l’énergie ne prouve pas que l’univers est une simulation : faux positif assumé. La mesure vérifie qu’une raison est présentée, non qu’elle est suffisante ; juger la valeur du support relève des raisonnements fallacieux.

Exemple 9 – Texte complet : cinq phrases

Texte : « Les pyramides ont été construites par des extraterrestres. Prouvez-moi le contraire ! Le pont est fermé. En effet, une fissure a été découverte hier. Il est possible qu’il pleuve ce soir. »

phrase	texte	H	R	Sup	As	Sup(s_k+1)	J	rôle
s₁	Les pyramides ont été construites par des extraterrestres.	0	0	0	1	0	0	assertion nue
s₂	Prouvez-moi le contraire !	0	1	0	0	0	—	renversement
s₃	Le pont est fermé.	0	0	0	1	1	1	assertion soutenue
s₄	En effet, une fissure a été découverte hier.	0	0	1	0	0	—	support
s₅	Il est possible qu’il pleuve ce soir.	1	0	0	0	0	—	hypothèse

Étape 9.1 (s₄). marques de justification : « en effet » au rang 1 ; la première ouvre la phrase : Sup = 1.

Étape 9.2 (s₁). As = (1 − 0)(1 − 0)(1 − 0)(1 − 0) = 1 ; J = χ_{[1, +∞[}(0 · (1 − 0) + 0) = 0.

Étape 9.2 (s₃). As = (1 − 0)(1 − 0)(1 − 0)(1 − 0) = 1 ; J = χ_{[1, +∞[}(0 · (1 − 0) + 1) = 1.

Étape 9.3. Burd = 1 ; Burd_échec = 1 ; Rev = 1 ; σ = 1/2 ; attendu : 1, 1, 1.

Lecture source (toute phrase est une assertion, justifiée s’il existe une marque quelque part dans le texte) : Burd = 5, Burd_échec = 0, Rev = 0.

∴ une assertion nue (les pyramides), un renversement (« prouvez-moi le contraire »), une assertion soutenue par la phrase suivante (le pont), un support, une hypothèse : Burd = 1, Burd_échec = 1, Rev = 1, σ = 1/2.

[Image à insérer ici : burd-roles.png]

Exemple 9 : le rôle de chaque phrase et le support qui solde la dette de l’assertion précédente.

[Image à insérer ici : burd-bilan.png]

Bilan des neuf exemples : dettes soldées, laissées ou renvoyées.

8.8 Seuils et versions de la définition

On compare les versions sur les neuf textes, par la somme des écarts sur les trois comptes (soutenues, nues, renversements) : attendu ex. 1 : 1, 0, 0 ; ex. 2 : 0, 1, 0 ; ex. 3 : 0, 0, 1 ; ex. 4 : 0, 0, 0 ; ex. 5 : 1, 0, 0 ; ex. 6 : 0, 1, 0 ; ex. 7 : 1, 1, 0 ; ex. 8 : 0, 1, 0 ; ex. 9 : 1, 1, 1.

version	erreurs (somme des écarts sur 9 textes)	textes mal comptés (soutenues, nues, renversements)
source : toute phrase est une assertion, marque n’importe où dans le texte	17	ex. 3 (0, 1, 0) ; ex. 4 (0, 2, 0) ; ex. 5 (2, 0, 0) ; ex. 6 (1, 0, 0) ; ex. 7 (2, 0, 0) ; ex. 8 (1, 0, 0) ; ex. 9 (5, 0, 0)
même phrase seule	6	ex. 5 (0, 1, 0) ; ex. 8 (1, 0, 0) ; ex. 9 (0, 2, 1)
phrase suivante, marque n’importe où	4	ex. 7 (2, 0, 0) ; ex. 8 (1, 0, 0)
sans contrôle de circularité	4	ex. 6 (1, 0, 0) ; ex. 8 (1, 0, 0)
retenue	2	ex. 8 (1, 0, 0)

La lecture source, sans rôle des phrases ni fenêtre, compte les questions comme assertions et déclare justifiée toute assertion d’un texte qui contient une marque. La fenêtre « même phrase » perd les supports placés dans la phrase suivante (exemples 5 et 9) ; la fenêtre « phrase suivante, marque n’importe où » soutient à tort l’accusation de l’exemple 7 ; sans contrôle de circularité, la pétition de principe de l’exemple 6 passe pour soutenue. La version retenue ne garde que le faux positif de l’exemple 8 (un écart sur Burd, un sur Burd_échec).

[Image à insérer ici : burd-versions.png]

Erreurs des versions : rôles des phrases, fenêtre et contrôle de circularité sont nécessaires.

Les seuils sont logiques (« au moins une marque », égalité exacte pour la circularité) ; le seul choix conventionnel est la fenêtre, qui est comparée ci-dessus.

8.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

Nécessaire : une fois les tables fixées, As, J, R, Burd, Burd_échec, Rev et σ découlent nécessairement des phrases ; les lemmes 1 à 3 sont des conséquences nécessaires des définitions.
Contingent : les tables de marques sont déclarées et propres à la langue ; une raison exprimée sans marque (deux phrases juxtaposées) n’est pas vue.
Possible : toute assertion munie d’une marque non circulaire est possiblement soutenue ; la valeur de la raison n’est pas jugée (exemple 8).

8.10 Justification et limites

La charge de la preuve est une règle de couplage : à chaque assertion doit correspondre un support. Sur le mot, cela devient une condition sur des facteurs voisins, et le décompte des assertions sans support mesure exactement la dette laissée par le texte. La définition source avait la bonne forme logique, un « il existe » écrit χ_{[1, +∞[}(∑ J) ; il fallait rendre J calculable, préciser ce qu’est une assertion, et ajouter le renversement, qui est le sophisme propre à la figure.

Trois limites sont assumées. La mesure vérifie qu’une raison est présentée, non qu’elle est bonne (exemple 8). Les raisons implicites, sans marque, échappent au calcul (« Le pont est fermé. Une fissure a été découverte. »). Enfin, le contrôle de circularité ne voit que la répétition littérale : une pétition de principe par synonymes (« il est honnête parce qu’il est intègre ») n’est pas détectée.

056.b1′ Tome V — Extensions des fonctions caractéristiques 56.b Fonctions caractéristiques des mots et glossaire d’équivalences possibles, nécessaires et contingentes des termes rhétoriques et des termes de la combinatoire des mots : lettres BCD 1′

1. Barbarisme – Mécanisme en combinatoire des mots

1.1 Définition rhétorique

1.2 Mécanisme en combinatoire des mots

1.3 L’outil : la fonction indicatrice

1.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte comme mot ; les mots du texte

b) Le lexique Canon

c) La distance de Hamming (variante par substitution)

d) La distance d’édition : les quatre opérations de Quintilien

e) La distance au Canon, tronquée

1.5 Définition mathématique

1.6 Calcul pas à pas (procédure)

1.7 Exemples entièrement calculés

Exemple 1 – « abcx » : un facteur hors Canon, cinq facteurs comptés

Exemple 2 – « runnig » : une lettre manquante, que la distance de Hamming ne voit pas

Exemple 3 – « cat dat dog bog » : deux substitutions, dont un faux positif

Exemple 4 – « mourirai » : l’addition d’une lettre (adiectio)

Exemple 5 – « aréoport » : la transposition de deux lettres voisines (transmutatio)

Exemple 6 – « rénumération » : deux substitutions à distance

Exemple 7 – « dilemne » deux fois : occurrences et ensemble

Exemple 8 – « Le dilemme est réel » : aucun barbarisme

Exemple 9 – « Hugo lit Zarathoustra » : des noms propres hors Canon, loin du Canon

Exemple 10 – « bravitude » : une dérivation fautive, hors de portée de la distance

Exemple 11 – Texte complet

1.8 Seuils et versions de la définition

1.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

1.10 Justification et limites

⁂

2. Bathos – Mécanisme en combinatoire des mots

2.1 Définition rhétorique

2.2 Mécanisme en combinatoire des mots

2.3 L’outil : la fonction indicatrice

2.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte, les mots, les unités

b) L’échelle d’élévation ε

c) La chute à une frontière

d) Les chaînes de l’énoncé source

e) L’anticlimax, avec Desc et B

2.5 Définition mathématique

2.6 Calcul pas à pas (procédure)

2.7 Exemples entièrement calculés

Exemple 1 – Pope : « lap-dogs » après le ciel

Exemple 2 – Les astres et le parapluie

Exemple 3 – Une descente en marches : l’anticlimax

Exemple 4 – Wordsworth, Simon Lee : un départ trop bas

Exemple 5 – Une chute, puis une remontée

Exemple 6 – Un ton élevé constant : aucune chute

Exemple 7 – Une variation de ton : chute d’un seul degré

Exemple 8 – Une chute sans sommet : la trivialité seule

Exemple 9 – Faux positif assumé : la chute émouvante

Exemple 10 – Texte complet : un bathos, un anticlimax

2.8 Seuils et versions de la définition

2.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible

2.10 Justification et limites

⁂

3. Belles-lettres – Mécanisme en combinatoire des mots

3.1 Définition rhétorique

3.2 Mécanisme en combinatoire des mots

3.3 L’outil : la fonction indicatrice

3.4 Les objets, définis pas à pas

a) Le texte, les phrases, les mots

b) L’allitération

c) La répétition

d) La densité de motifs

3.5 Définition mathématique

3.6 Calcul pas à pas (procédure)

3.7 Exemples entièrement calculés

Exemple 1 – Montaigne : la répétition

Exemple 2 – Baudelaire : l’allitération

Exemple 3 – Racine : les sifflantes

Exemple 4 – Hugo : deux paires d’initiales

Exemple 5 – Péguy : l’anaphore

Exemple 6 – Une notice : aucun motif

Exemple 7 – Un horaire : deux « de » trop éloignés

Exemple 8 – Faux positif assumé : l’allitération fortuite

Exemple 9 – Faux négatif assumé : Éluard, la beauté sans motif de surface

Exemple 10 – Texte complet : cinq phrases

3.8 Seuils et versions de la définition

3.9 Statut modal : nécessaire, contingent, possible