Algèbre caractéristique des relations de combinaisons linéaires et non linéaires de la fonction caractéristique, expressions des fonctions simples de l’algèbre fonctionnelle simple des relations de leurs combinaisons linéaires et non linéaires de M. Cédric Christian Bernard Gagneux, intellectuel anti manuel, célibataire antisexuel, dystopiste antihumaniste, doctrinaire nucléaire antimilitariste, individualiste anti collectiviste, apolitique antigauchiste et antinationaliste, athée anti idéaliste, né non juif et de nationalité française le 19/07/1964. Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed.

Tapuscrit restauré partiellement d’une sauvegarde « bogger » de 2024, avant tout écrit seul et sans A.I., dictature machine du hack auto destructeur et précédemment intitulé « Mes Fonctions Simples ».

NOTE : The re-posting of materials in part or whole from my web site at https://cedricchristianbernardgagneuxmath.fr is copyright violation and is not considered « fair use ».

REMARQUE : La rediffusion partielle ou intégrale du contenu de mon site web à https://cedricchristianbernardgagneuxmath.fr constitue une violation du droit d’auteur et n’est pas considérée comme un usage loyal.

⁂

Article de ce chapitre en cours de rédaction!

⁂

Pages publiées depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. ©- 2100  « Tous droits réservés » par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

⁂

1.1) Le tableau de « numération digitale » et l’algorithme de l’opération de multiplication

Continuant donc mon exposé sur l’importance de la mise en forme mathématique des données par leur disposition schématique en tableau comme algorithme de construction d’opération entre ces données, à la moitié du commencement de cette introduction répondant à la question de « comment la mise en forme fondamentale en tableau est un algorithme de l’opération de la multiplication des nombres entiers (définie par multiplier un entier par un autre équivaut à ajouter cet entier à lui-même plusieurs fois et dont résultat s’appelle le produit, les nombres que l’on multiplie sont les facteurs comprenant le multiplicande le nombre qui est répété et le multiplicateur indiquant combien de fois le multiplicande doit être répété), je réécris donc ce que j’avais déjà crée en 2013, soit un algorithme (une suite finie et non ambiguë d’instructions et d’opérations permettant de résoudre une classe de problèmes) mathématique de l’opération de la multiplication des nombres entiers en utilisant les propriétés étendues de cette opération, soit des propriétés par extension des propriétés usuelles de la multiplication des nombres entiers que sont la commutativité définie comme la propriété du changement de l’ordre des facteurs sans changer le résultat final soit x × y = y × x; l’associativité, définie comme la propriété de l’indifférence de l’ordre de la multiplication des facteurs, soit pour multiplier trois facteurs x, y, z entre eux, équivaut indifféremment à multiplier d’abord les deux premiers et ensuite multiplier le résultat obtenu par le troisième facteur (x × y) × z ou bien multiplier entre eux les deux derniers facteurs puis multiplier le résultat obtenu par le premier facteur soit x × (y × z); la distributivité de la multiplication pour l’addition et la soustraction définie comme la propriété de l’indifférence de l’ordre des opérations de multiplication, d’addition et de soustraction, soit pour multiplier une somme (ou une différence) par un nombre, s’effectue indifféremment en calculant d’abord la somme et en multipliant le résultat par le nombre ou bien, en multipliant d’abord chaque terme de la somme ou la soustraction par ce nombre et ensuite effectuer la somme ou la soustraction: (x + y) × z = (x × y) + (y × z). Ces propriétés par extension sont la commutativité, l’associativité et la distributivité de l’opération de multiplication appliquées aux combinaisons de chiffres qui constituent les nombres entiers facteurs de l’opération de multiplication, et les différenciant de ce que je qualifie donc des propriétés s’appliquant donc à l’ensemble des chiffres composants ces mêmes nombres facteurs de l’opération de multiplication.

⁂La numération par définition désigne le mode de représentation des nombres, et le terme digital par définition est l’adjectif associé au substantif doigt et par extension à le sens de l’anglicisme « digits » en anglais, c’est-à-dire « chiffres ». Donc, construire un tableau de « numération digitale » est un processus de disposition particulière suivant une règle algorithmique de combinaison de multiplication des chiffres composants les nombres facteurs d’une opération de multiplication; c’est aussi un processus comparable à celui de la quantification définie en traitement des signaux, comme le procédé qui permet d’approcher un signal continu par les valeurs d’un ensemble discret d’assez petite taille, soit généralement approcher un signal à valeurs dans un ensemble discret de grande taille par un ensemble plus restreint. Une opération mathématique est un processus de quantification relationnel représenté par l’utilisation d’un symbole spécifique appelé opérateur, d’un ou de plusieurs objets mathématiques appelés opérandes, et représenté par un résultat numérique.

⁂Nous devons aussi définir deux opérations que nous utiliserons dans la formule de notre algorithme de multiplication par la mise en forme en tableau de « numération digital » soit premièrement l’opération modulo, ou opération mod, que nous énonçons simplement en termes de science informatique, comme une opération binaire associant à deux entiers naturels le reste de la division euclidienne du premier par le second, le reste de la division de x par n (n ≠ 0) et qui est noté x mod n. Ensuite nous définissons le terme modulo en mathématiques, comme une relation de congruence sur les entiers (et plus généralement pour d’autres congruences) défini par deux entiers x et y sont dits congrus modulo n si le reste de la division euclidienne de x par n est égal à celui de la division de y par n, et la formule que j’utilise pour exprimer la relation de congruence de ces deux entiers x et y, c’est-à-dire exprimer que x et y sont congruents modulo n est x ≡ y mod (n) qui est une déviation de la notation standard x ≡ y(mod n) ou x ≡ y mod n, pour une meilleure lisibilité de formules imbriquées et longues. Le terme de mod utilisé pour noter cette congruence, est utilisé également pour désigner l’opération binaire en informatique définie précédemment, mais il faut toujours considérer que le terme de mod fait référence au terme de module qui est un élément d’une branche mathématique appelée arithmétique modulaire, c’est-à-dire une arithmétique où l’on ne raisonne pas directement sur les nombres, mais sur leurs restes respectifs par la division euclidienne par un certain entier, le module, noté n dans la formule de la relation de congruence x ≡ y mod (n).

⁂Deuxièmement, nous définissons l’opération de concaténation, que nous énonçons d’abord comme un processus de concaténation de deux ou plusieurs chaînes d’éléments symboliques, des chaines de caractères spéciaux que sont les chaines de chiffres, soit par exemple les deux chaines de caractères « x₁x₂x₃x₄x₅ » et « y₁y₂y₃y₄y₅ » représentants en base 10 des nombres entiers naturels, « x »= »x₁x₂x₃x₄x₅ » et « y »= »y₁y₂y₃y₄y₅ », donc concaténer « x₁x₂x₃x₄x₅ » à l’extrémité gauche de « y₁y₂y₃y₄y₅ » donnant le nombre en base 10 que la chaîne de caractères résultante représente soit « xy »= »x₁x₂x₃x₄x₅y₁y₂y₃y₄y₅ ». Remarquons que dans notre exemple le processus de concaténation est appliqué sur les chaînes de caractères, de chiffres, pas directement sur les nombres, car si « 5.0000 » et « 5.00 » sont égaux en tant que nombres ils ne le sont pas en tant que chaînes de caractères, de chiffres.Nous devons donc ensuite définir la fonction de concaténation qui relie les chaînes de caractères représentants en base 10 des nombres naturels et les nombres naturels eux-mêmes, comme étant une application bijective dont tout élément de son ensemble d’arrivée a un et un seul antécédent, c’est-à-dire est image d’exactement un élément (de son domaine de définition): tout élément a une image et une seule, afin de ne pas concaténer des nombres avec décimales, car leur concaténation ne résulte pas dans un nombre unique puisque par exemple, est-ce que concaténer « 3,71 » et « 9 » résulte dans le nombre « 3,719 » ou est-ce le nombre « 39,71 »?; mais aussi, afin de ne pas avoir une indétermination du résultat de la concaténation de « 14.000 » et « 5 », donnant soit « 145 », soit « 14.5000 » ou « 145.000 » voir même « 14.0005 ». Mais nous devons toujours considérer la concaténation comme une fonction bijective de l’ensemble de départ des chaînes de caractères, sur l’ensemble des nombres entiers naturels afin que concaténer les deux chaînes de caractères correspondant à deux représentations de nombres en base 10, que sont « 20 » et « 02 » résulte dans « 2002 », considérant donc « 02 » comme la concaténation de « 0 » et « 2 » mais aussi un résultat intermédiaire d’une première concaténation dont la suivante sera la concaténation de deux chaînes de caractères, représentations de nombres en base 10, que sont « 4 » et « 02 » résultant dans « 402 »; ce qui est identique à la concaténation des deux chaînes de caractères, représentations de nombres en base 10, que sont « 40 » et « 2 » résultant dans « 402 ».Nous pouvons ensuite finalement définir la concaténation comme une opération sur l’espace des séquences de symboles notées, x∥y, qui est le nombre formé par la concaténation de la chaine de caractères de leurs chiffres. Cette opération de concaténation et vérifie la propriété de l’associativité, ainsi que la propriété d’avoir un élément identité définie comme élément qui, lorsqu’il est appliqué via une opération à tout autre élément de l’ensemble, dans n’importe quel ordre, renvoie cet autre élément et dans le cas de l’opération de la concaténation l’élément nul est l’élément d’identité; mais cette opération de concaténation ne vérifie pas la propriété de commutativité puisque concaténer « 1 » et « 2 », soit le résultat de « 12 » ne donne pas le même résultat que l’opération de concaténation de « 2 » et « 1 », soit « 21 ». La formule avec son opérateur symbolisé par ∥ de l’opération de concaténation de deux chaînes de caractères, des chiffres, représentations en base 10 des nombres x et y, est la suivante:x∥y=x*10^(⌊log₁₀(|y|)⌋+1)+y.Dans cette formule le terme de ⌊log₁₀(|y|)⌋+1 correspond au nombre de chiffres de y, ou la longueur du nombre y; et le terme de ⌊z⌋ correspond à la fonction partie entière inférieure de z qui est la fonction appelée en anglais floor, « plancher », définie par l’encadrement : ⌊ z ⌋ ⩽ z < ⌊ z ⌋ + 1. La partie entière par défaut, est la partie entière inférieure, abrégée en partie entière d’un nombre réel z égale à l’unique entier relatif n (positif, négatif ou nul) tel que +n ⩽ z < n + 1 .. ». Dans le cas où z est un rationnel z=a/ b , a ∈ Z , b ∈ N* , la partie entière de z n’est autre que le quotient euclidien de a par b.

⁂

1.2) Le tableau de « numération digitale » et l’algorithme à trois opérandes de l’opération de multiplication

⁂Considérons maintenant notre premier exemple d’utilisation d’un algorithme de l’opération de multiplication x*y=360573, c’est-à-dire d’un nombre x=457 à n=3 chiffres, le deuxième facteur correspondant au troisième opérande, avec un nombre y=789 à n’+1=3 chiffres, le premier facteur correspondant au deuxième opérande et au troisième opérande le chiffre des unités de y dont la représentation en tableau de numération digitale est la suivante:

Le mécanisme élémentaire de notre algorithme de multiplication dont les calculs sont schématiquement organisés par ordre successif et simultané dans un tableau de numération digitale est une multiplication des chiffres des deux facteurs entre eux suivant un schéma redistributif et associatif c’est à dire que si nous désignons le deuxième opérande, opérande N°2, par le nombre w=78, et le troisième opérande, opérande N°1, qui correspond au chiffre des unité du nombre y, par le nombre z=9, et que nous déterminions notre première règle de l’algorithme de l’opération de multiplication comme une quantification relationnelle entre ces deux opérandes w, z, et le le troisième opérande correspondant au nombre x, nous effectuons donc les deux premières opération de notre algorithme, soit, Opérande N°3*Opérande N°2, correspondant à la formule de calcul, x*w=457*78=35646; et nous effectuons, Opérande N°1*Opérande N°3, correspondant à la formule de calcul, x*z=457*9=4113, deux résultats donc que nous disposons sur une même ligne. Puis nous effectuons sur chacun des résultats les deux opérations identiques soit, Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10), correspondant à la troisième formule du troisième calcul, x*z mod(10)=4113 mod(10)=3, le chiffre des unités du nombre résultat de la multiplication de x*y=457*789=360573; et nous effectuons, (Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10, correspondant à la quatrième formule du quatrième calcul, (x*z- x*z mod(10))/10=(4113-3)/10=411; nous répétons le processus de calcul précédent mais avec les deuxième variables du résultat du deuxième calcul précédent restantes, x*w, soit, Opérande N°3*Opérande N°2, correspondant dans notre exemple à x*w=457*78=35646, et nous effectuons, Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10), correspondant à la formule de calcul, x*w mod(10)=35646 mod(10)=6; puis, nous effectuons, (Opérande N°3*Opérande N°2-Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10))/10, correspondant à la formule de calcul, (x*w-x*w mod(10))/10=(35646-6)/10=3564, 4 résultats donc que nous disposons comme précédemment sur une même ligne. Puis nous effectuons sur seulement deux des résultats précédent, soit Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10), que nous désignons par Opérande N°4, ainsi que (Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10, que nous désignons par Opérande N°5, ces deux mêmes opérations donnant les deux résultats précédents, soit, Opérande N°4*Opérande N°5 mod(10), et (Opérande N°4*Opérande N°5 mod(10)-Opérande N°4*Opérande N°5 mod(10))/10, auxquelles correspondent respectivement, effectuer le calcul, (Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10)+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10 mod(10), soit la formule de calcul correspondante, (x*w mod(10)+(z*x-z*x mod(10))/10 mod(10)=7, le chiffre des dizaines du nombre résultat de la multiplication de x*y=457*789; ainsi qu’effectuer le calcul, (Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10)+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10-(Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10)+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10 mod(10))/10, soit la formule de calcul correspondante, (x*w mod(10)+(z*x-z*w mod(10))/10-(x*w mod(10)+(z*x-z*x mod(10))/10 mod(10))/10. Enfin nous effectuons la somme de cette dernière opération précédente avec le résultat de (Opérande N°3*Opérande N°2-Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10))/10 correspondant à la formule de calcul (x*w-x*w mod(10))/10, soit x*w mod(10)+(z*x-z*w mod(10))/10-(x*w mod(10)+(z*x-z*x mod(10))/10 mod(10))/10 + (x*w-x*w mod(10))/10=3605, soit les 4 premiers chiffres, avec 3 le chiffre des centaines de milliers (ou centaines de mille), 6 le chiffre des dizaines de milliers (ou dizaines de mille), 0 le chiffre des unités de mille, 5 le chiffre des centaines, du nombre résultat de la multiplication de x*y=457*789=360573. Enfin il ne nous reste plus qu’à effectuer l’opération de concaténation entre les 3 nombres résultat obtenus des chiffres du nombre résultat de la multiplication x*y=457*789=360573, soit la concaténation successive de 3605 et 7 et 3, par la formule de concaténation successive des trois formules respectivement dans l’ordre suivant, d’abord la formule x*w mod(10)+(z*x-z*w mod(10))/10-(x*w mod(10)+(z*x-z*x mod(10))/10 mod(10))/10 + (x*w-x*w mod(10))/10 sera concaténée avec la formule (x*w mod(10)+(z*x-z*x mod(10))/10 mod(10) qui sera ensuite concaténée avec la formule a(n)=x*z mod(10), ce qui donnera la formule totale:x*y=457*789=360573=((((Opérande N°3*Opérande N°2-Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10))/10)+((Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10)+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10)-10mod(Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10)+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10))/10)*10^(⌊Log₁₀(|10 mod(Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10)+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10)|)⌋+1)+mod(Opérande N°3*Opérande N°2 mod(10)+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10,10))*10^(⌊Log₁₀(|Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10)|)⌋+1)+Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10)=((((x*w-x*w mod(10))/10)+((x*w mod(10)+(z*x-z*x mod(10))/10)-10mod(x*w mod(10)+(z*x-z*x mod(10))/10))/10)*10^(⌊Log₁₀(|10 mod(x*w mod(10)+(z*x-z*x mod(10))/10)|)⌋+1)+mod(x*w mod(10)+(z*x-z*x mod(10))/10,10))*10^(⌊Log₁₀(|z*x mod(10)|)⌋+1)+z*x mod(10).

⁂

1.3) Le tableau de « numération digitale » et l’algorithme à quatre opérandes de l’opération de multiplication

⁂Nous allons continuer notre tentative de généralisation de notre algorithme de multiplication par la méthode de l’accroissement régulier de la quantité d’opérandes, donc ici 4, en considérant maintenant notre deuxième exemple d’utilisation d’un algorithme de l’opération de multiplication x*y=1221, un nombre x=33 à n=2 chiffres, le deuxième facteur correspondant au quatrième et au troisième opérande, avec un nombre y=37 à n’=2 chiffres, le premier facteur correspondant au deuxième opérande et au premier opérande, dont la représentation en tableau de numération digitale est la suivante:

x*y=1221=((Opérande N°4*Opérande N°1+(Opérande N°1*Opérande N°4+Opérande N°3*Opérande N°2+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10-Opérande N°1*Opérande N°4+Opérande N°3*Opérande N°2+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10 mod(10))/10)*10^(⌊Log₁₀(|(Opérande N°1*Opérande N°4+Opérande N°3*Opérande N°2+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10 mod(10))|)⌋+1)+(Opérande N°1*Opérande N°4+Opérande N°3*Opérande N°2+(Opérande N°1*Opérande N°3-Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10))/10 mod(10)))*10^(⌊Log₁₀(|Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10)|)⌋+1)+Opérande N°1*Opérande N°3 mod(10)=((u*z+(z*u +v*w+(z*v-z*v mod(10))/10-z*u + v*w+(z*v-z*v mod(10))/10 mod(10))/10)*10^(⌊Log₁₀(|(z*u + v*w+(z*w-z*w mod(10))/10 mod(10))|)⌋+1)+(z*u + v*w+(z*v-z*v mod(10))/10 mod(10)))*10^(⌊Log₁₀(|z*v mod(10)|)⌋+1)+z*v mod(10).

⁂

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ