Sixième prolégomènes à l’étude de la fonction caractéristique dont les combinaisons linéaires et non linéaires sont des fonctions simples d’algèbre fonctionnelle simple : EXTENSION EN COMPRÉHENSION DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE EN COMBINATOIRE DES MOTS ÉTENDUES AUX NOMBRES

Plan du Sixième prolégomènes :

I) INTRODUCTION AUX PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES DES MOTS COMME EXPRESSIONS DES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES ET SIMPLES

A) COMMENT ET POURQUOI LA COMBINATOIRE DES MOTS DE LETTRES ALPHABÉTIQUES ÉTENDUES AUX LETTRES NUMÉRIQUES ? : La dynamique intellectuelle d’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots de lettres alphabétiques et sa limitation

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« L’analyse des relations dans le champ des langues naturelles et dans le champ des langages formels a montré que, dans les deux cas, l’expression repose non sur des correspondances terme à terme, mais sur des relations traduisant une dynamique intellectuelle. »

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a.1) La méthode combinatoire par aggrégation et par exponentiation des lettres alphabétiques d’un mot W :

Définition a.1.1) : L’opération alphabétique notée || de juxtaposition concaténation des lettres alphabétiques d’un mot W

Définition a.1.2) : L’opération alphabétique notée ^ⁿ d’exponentiation des lettres alphabétiques d’un mot W.

a.2) La méthode substitutive par transformation des mots en remplaçant chaque lettre alphabétique constituant un mot par un autre mot; et la méthode substitutive par division réorganisation des lettres alphabétiques d’un mot W :

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B) COMMENT ET POURQUOI LA COMBINATOIRE DES MOTS DE LETTRES ALPHABÉTIQUES ÉTENDUES AUX LETTRES NUMÉRIQUES ? : La dynamique intellectuelle d’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots de lettres alphanumériques et sa limite

a.1) L’opération alphanumérique de numérisation primaire élémentaire du mot alphabétique noté W=abcdefghijklmnopqrstuvwxyz en mot numérique alphabétique correspondant W=1234567891011121314151617181920212223242526 :

a.2) L’opération alphanumérique de numérisation primaire et de numérisation secondaire de n’importe quel mot W de lettres alphabétiques :

a.2.1) Définition de l’opération alphanumérique ensembliste de numérisation primaire.

a.2.2) Définition explicative du processus calculatoire de l’opération alphanumérique. ensembliste de numérisation primaire.

a.2.3) Définition de l’opération alphanumérique ensembliste de numérisation primaire.

a.2.4) Définition explicative du processus calculatoire de l’opération alphanumérique ensembliste de numérisation secondaire.

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C) COMMENT ET POURQUOI LA COMBINATOIRE DES MOTS DE LETTRES ALPHABÉTIQUES ÉTENDUE AUX NOMBRES ? : La dynamique intellectuelle d’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots de lettres numériques et sa nécessité

a.1) La fonction simple de concaténation des lettres numériques d’un mot :

a.2) La fonction simple de répétition dune seule lettre numérique :

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D) COMMENT ET POURQUOI LA COMBINATOIRE DES MOTS DE LETTRES ALPHABÉTIQUES ÉTENDUES AUX LETTRES NUMÉRIQUES ? : la dynamique intellectuelle d’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots de lettres numériques et sa non exhaustivité par l’algèbre ensembliste séquentielle de la théorie des automates à la géométrie des mots

a.1) La fonction caractéristique d’appartenance des lettres alphabétiques et numériques à un ensemble automatique de morphisme :

a.2) Les expressions des fonctions simples combinaison de fonction caractéristique équations géométriques des lettres alphabétiques et numériques de mots binaires :

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II) LES DÉFINITIONS DES PROPRIÉTÉS ET LES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES NUMÉRIQUEMENT CALCULABLES AFFÉRENTES À LA STRUCTURE GÉNÉRALE DES MOTS

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A) DES MOTS RÉSULTATS DES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES ET SIMPLES : les expressions algébriques numériquement calculables d’algèbre ensembliste séquentiel en combinatoire des mots

a.1) Le mot noté W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.1.1 : un mot fini (resp infini) noté W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ(resp W∞=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ).

a.1′) La fonction Mot Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) :

Définition a.1′.1 : la fonction Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) résultant dans le mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ.

a.2) La fonction caractéristique d’indexation simple et multiple sur W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ d’une ou plusieurs lettres d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.2.1 : la fonction caractéristique d’indexation sur W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante aux valeurs caractéristiques dans {0, 1} des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ appartenant au mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, combinaison de la fonction simple de lettre d’un mot et combinaison de la fonction simple de mot.

Définition a.2.1′: la fonction caractéristique fondamentale d’appartenance d’une lettre alphabétique numérisée aᵢ d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ équivalente à la fonction caractéristique d’indexation simple et multiple sur W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ.

a.3) La fonction caractéristique d’indexation simple ou multiple sur N* d’une ou plusieurs lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.3.1: la fonction caractéristique de l’indexation sur N* correspondante aux valeurs caractéristique dans {0,1] de n ∈ SN* l’ensemble des valeur d’index positionnel des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, combinaison de la fonction simple de lettre d’un mot et combinaison de la fonction simple de mot.

a.4) La fonction caractéristique d’indexation multiple totale ou quasi totale sur W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres de ce mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.4.1 : la fonction caractéristique d’indexation multiple totale sur W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction caractéristique du segment du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(SEG(Mtₐᵢ(W=aᵢ))).

Définition a.4.2 : la fonction caractéristique d’indexation multiple quasi totale sur W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction caractéristique de la longueur du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(LNG(Mtₐᵢ(W=aᵢ))).

a.5) La fonction caractéristique d’indexation multiple totale ou quasi totale sur SeqN*ᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres de ce mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.5.1 : la fonction caractéristique d’indexation multiple totale sur SeqN*ᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction caractéristique du segment du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(SEG(Mtₐᵢ(W=aᵢ))).

Définition a.5.2 : la fonction caractéristique d’indexation multiple quasi totale sur SeqNᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction caractéristique de la longueur du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(LNG(Mtₐᵢ(W=aᵢ))).

a.6) La fonction simple de cardinal des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.6.1 : La fonction simple de la quantité partielle ou totale des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ notée |W|=Card(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))

a.7) L’expression algébrique numériquement calculable de la fonction simple de Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) :

Définition a.7.1 : l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) résultant dans le mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ combinaison de la fonction d’indexation multiple totale sur W ou sur N.

a.8) Les opérations de la préfixation et de la sous-préfixation sur les sous-ensembles des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, appelés préfixes :

Définition a.8.1 : L’expression algébrique numériquement calculable de l’opération de Préfixation des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, correspondante à la fonction Préfixe notée PREF(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) ; et de l’opération de « sous préfixation » des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction simple de Sous Préfixe notée prefₐᵢ(a ⊂ Mtₐᵢ(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )).

a.9) Les opérations de la suffixation et de la sous-suffixation sur les sous-ensembles des lettres d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ appelés suffixes :

Définition a.9.1 : L’expression algébrique numériquement calculable de l’opération de Suffixation des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction simple de Suffixe notée SFX(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)); et de l’opération de « sous suffixation » des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction simple de Sous Suffixe notée sfxₐᵢ(a ⊂ Mtₐᵢ(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)).

a.10) Les opérations de la facteurisation et de la sous-facteurisation sur les sous-ensembles des lettres d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ appelés ensemble de facteurs et ensemble de sous mots :

Définition a.10.1 : Les notations de l’opération de facteurisation des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ notée FCT(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) et de l’opération de « sous facteurisation » des lettres d’un mot W==aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ notée fctₐᵢ(a ⊂ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))

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I) INTRODUCTION AUX PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES DES MOTS COMME EXPRESSIONS DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET SIMPLES

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« Il n’est pas nécessaire qu’un problème de maths ait des applications pratiques pour qu’il soit intéressant et il peut être très agréable pour l’esprit d’essayer de résoudre des questions apparemment futiles ». Axel Thue (1863 – 1922).

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A) COMMENT ET POURQUOI LA COMBINATOIRE DES MOTS DE LETTRES ALPHABÉTIQUES ÉTENDUES

AUX LETTRES NUMÉRIQUES ? : La dynamique intellectuelle d’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots de lettres alphabétiques et sa limitation.

Leibniz (un philosophe, scientifique, mathématicien, logicien, diplomate, juriste, historien, bibliothécaire et philologue allemand, né à Leipzig le 1 juillet 1646 et mort à Hanovre le 14 novembre 1716.) précise ce qu’il entend par « dogmes », « expression », « caractère écrit », « les expériences sur les caractères », « les noms », « les propositions » dans sa correspondance avec Antoine Arnauld (né le 6 février 1612 à Paris et mort le 8 août 1694 à Bruxelles, surnommé le grand Arnauld par ses contemporains pour le distinguer des autres membres de sa famille, est un prêtre, théologien, philosophe et mathématicien français, l’un des principaux chefs de file des jansénistes. C’est un ardent opposant aux libertins, aux protestants, à ceux favorables à la scolastique et aux jésuites. » Wikipédia) « qui est l’objet d’une série de petits écrits rédigés par Leibniz entre 1668 et 1671 qui devaient composer un ouvrage d’ensemble dont le plan avait été conçu en accord avec Boinebourg : les Démonstrations catholiques. Leibniz y démontre l’intelligibilité des mystères : Trinité, Incarnation, Transsubstantiation, Ubiquité, accord de la toute-puissance de Dieu et de la liberté humaine… La rénovation de la notion de substance n’est pas seulement une nécessité métaphysique, c’est une nécessité pour la théologie : « Ce qu’est la substance d’un corps et en quoi elle diffère des espèces, j’espère l’amener à autant de clarté lumineuse que la pensée et le mouvement », écrit Leibniz. Il poursuit une tâche de démonstration rigoureuse. De la « philosophie du corps » à la « philosophie de l’esprit », de la compréhension de la nature à la défense de la foi, il y a continuité. A cette époque, la philosophie de Leibniz n’est pas encore fixée et il n’envoie à Arnauld que le bilan de ses premiers travaux en commentant les découvertes qu’il doit à des réflexions scientifiques qui déjà se détachent du cartésianisme » que nous citons comme suit :

« Je ne renverse point les dogmes établis, mais je les explique et je les pousse plus avant »

« Une chose exprime une autre dans mon langage lorsqu’il y a un rapport constant et réglé entre ce qui peut se dire de l’une et de l’autre ». Cette définition est suivie de l’exemple d’une projection de perspective exprimant son géométral… ».

« …Les caractères sont des objets par lesquelles les relations entre d’autres objets sont exprimées… les caractères sont en second lieu d’autant plus utiles qu’ils sont plus exacts, c’est-à-dire qu’ils mettent en évidence davantage de relations entre les objets. ».

« …Il faut donc remarquer que les preuves ou expériences qu’on fait en mathématiques pour se garantir d’un faux raisonnement… ne se font pas sur la chose même, mais sur les caractères que nous avons substitués à la place de la chose. »

« …Les noms sont des espèces de caractères …».

« …Les propositions dépendent de l’arbitraire en tant qu’elles s’expriment par des symboles et des mots… »

« …les paroles que nous avons étant assez obscures et ne nous donnant souvent que des notions confuses, on est obligé de substituer d’autres caractères… »

« …L’aperception de ce qui est en nous dépend d’une attention et d’un ordre. »

Mais alors pourquoi si les mots des langues naturelles ne constituent qu’un ensemble de caractères parmi d’autres d’après Leibnitz, les langages symboliques formels comme les mathématiques, aussi constitués de caractères arbitraires, sont-ils supérieurs aux langages naturels, même si aussi constitués de signes partiellement motivés, puisque le propre d’un caractère est en effet de représenter les relations, et qu’en effet encore la deuxième fonction des caractères est de permettre la mise en ordre essentielle à l’actualisation des virtualités que constituent les idées en tant qu’expressions innées de réalités idéales ? La réponse est que « L’analyse des relations dans le champ des langues naturelles et dans le champ des langages formels a montré que, dans les deux cas, l’expression repose non sur des correspondances terme à terme, mais sur des relations traduisant une dynamique intellectuelle. » C’est donc cette dynamique intellectuelle des mathématiques de la combinatoire des mots (« Une branche des mathématiques discrètes qui apparaît au début du XXe avec les travaux d’Axel Thue (1863 – 1922) et qui étudie diverses propriétés de suites finies ou infinies appelées mots sur un ensemble fini l’alphabet, et une branche des mathématiques et de l’informatique théorique qui applique l’analyse combinatoire aux mots vides, finis ou infinis pour l’algorithmique du texte, la recherche de motifs et la compression de textes »), en relation avec la dynamique intellectuelle de son lexique définitionnel et formulique que nous augmentons comme dynamiquement jusqu’à aboutir au dynamisme maximum d’une systématisation en combinatoire des mots par les expressions de fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques, que nous écrivons dans les sous-titres suivants avant de l’appliquer ensuite à la dynamique intellectuelle de l’humour et des jeux de mots en relation avec la satire dans les chapitres suivants. Ce que signifie plus concrètement cette dynamique définie comme ce qui est relatif au mouvement produit par des forces, comme ce qui est en développement et se modifie selon une finalité, est donc un accroissement de combinaisons de lettres et de mots la finalité du dénombrement, de l’énumération systématique et de la génération aléatoire des mots qui sont les principales fonctions de la combinatoire des mots tandis que de « nombreuses propriétés combinatoires d’une suite de lettres u ∈ A un alphabet, se traduisent en termes dynamiques et qui sont la périodicité, la récurrence, la transitivité, la minimalité, la substitution des systèmes dynamiques substitutifs sachant qu’une substitution σ est un morphisme non effaçant de A* , c’est-à-dire σ remplace les lettres d’un alphabet A par des mots finis non vides. » Remarquons que, « En mathématiques, la dynamique symbolique est une branche de l’étude des systèmes dynamiques. Cela consiste à étudier un système en partitionnant l’espace en un nombre fini de régions et en s’intéressant aux suites possibles de régions traversées lors de l’évolution du système. Pour comprendre la dynamique des systèmes, Hadamard a suggéré l’idée de découper l’espace des états en un nombre fini de morceaux, chaque morceau ayant un nom (généralement un chiffre ou une lettre de l’alphabet) et d’associer à tout point du système la suite des noms des morceaux dans lesquels ses images varient par la dynamique. Par exemple, dire que accbaa… code le point x signifie que x se trouve dans le morceau de nom a, son image T(x) dans le morceau c, l’image T(T(x)) à nouveau dans le morceau c, par contre T 3 (x) se trouve dans b, T 4 (x) revient dans a, T 5 (x) revient dans a…Finalement, étant donnée une partition de l’espace d’état, on associe à tout point x un mot infini de symboles qui décrit sa trajectoire. On parlera de codage de la trajectoire de x, ou plus simplement de codage de x. »

Alors, afin qu’une dynamique intellectuelle, ne soit pas prosaïquement qu’une réification de l’action de penser, et qu’une obfuscation théorique d’un objet mathématique élémentaire qui est le système dynamique défini comme un couple (X, T) où T : X → X est une application, donc X doit correspondre à la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots et T doit correspondre à l’augmentation de X c’est-à-dire de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots, dans une dynamique intellectuelle donnant ainsi de plus en plus de force virtuelle jusqu’à devenir éventuellement une force réelle physique, notamment en bio-informatique de la biophysique, à la combinatoire des mots pour étudier les propriétés combinatoires des mots.

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a.1) La méthode combinatoire par agrégation et par exponentiation des lettres alphabétiques d’un mot W

La première définition correspondante à cette dynamique intellectuelle d’une augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots, si l’on note A+ l’ensemble des mots non vides sur A c’est-à-dire A+ = A*\{ε}, et que l’on définit le demi-groupe des mots non vides A+ comme l’ensemble des mots finis à l’exception du mot vide noté W=ε qui est le mot de longueur 0 noté |ε |=0, alors nous pouvons définir le monoïde A* libre en tant que structure algébrique, au sens de l’algèbre universelle, c’est-à-dire que l’élément neutre du monoïde est noté ε et désigne le mot vide, et l’opération associative est la juxtaposition concaténation, avec l’opérateur noté ||. Les autres opérations sur les mots en combinatoire des mots sont au nombre de deux, sachant que par définition soit A un alphabet fixe A*, l’étoile de Kleene * est l’un des trois opérateurs de base avec l’opérateur ∪ de l’opération d’union ensembliste, qui sont utilisés pour définir une expression qui appliquée à un ensemble A, a pour résultat le langage A*, défini ainsi : Si A est un alphabet, c’est-à-dire un ensemble de symboles ou caractères, alors A* est l’ensemble des mots sur A, mot vide ε inclus, sachant que l’ensemble des mots finis sur A, est le monoïde libre engendré par A, et ε le mot vide étant l’élément neutre et que le monoïde libre sur un ensemble A est le monoïde conçu comme un alphabet, dont les éléments seraient les lettres de A, comme 0 et 1 les deux éléments de l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique. Sachant encore qu’en général un alphabet fini A est un ensemble fini de symboles dont les éléments sont appelés symboles ou lettres ou caractères et un mot ou liste ou chaîne de caractères W= w₁w₂…wₙ est une suite finie de lettres de A qui est l’alphabet du mot W dont la factorisation est une suite finie Sw=(w₁, w₂,…wₙ) de sous mots tels que W=w₁w₂…wₙ, et qu’avec le mot vide ε de longueur 0, on obtient alors une loi associative possédant un élément neutre, et que A muni de la concaténation est alors un monoïde, qu’on appelle monoïde libre sur A avec A+ est l’ensemble des mots finis non vides, on définit alors des opérations qui ne sont que des extensions de cette opération de concaténation tout d’abord définie comme suit :

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Définition a.1.1) : L’opération alphabétique notée || de juxtaposition concaténation des lettres alphabétiques d’un mot W

C’est donc ainsi que nous commençons cette dynamique intellectuelle en combinatoire des mots très élémentairement en donnant la première définition d’un mot ou liste ou chaîne de caractères qui est une suite finie de lettres génériquement notées aᵢ avec l’indice i indiquant leur rang dans le mot de A pris dans un ensemble alphabet fini A, un ensemble fini de symboles dont les éléments sont appelés des symboles ou des lettres ou des caractères. Plus opératoirement, car plus pratiquement, mais encore seulement définitionnel, je note un mot que j’appelle générique W=aᵢ (La lettre majuscule W correspondant à la première lettre du mot anglais de « Word ») et que je défini comme étant donné un alphabet A={aᵢ}, c’est-à-dire un ensemble fini noté Saᵢ non vide de symboles de lettres notées génériquement aᵢ, alors un mot je note le mot correspondant à cet ensemble, W= Saᵢ = (a₁, a₂, …, aₙ) plus simplement comme W=a₁a₂…aₙ sur A, comme le résultat de la juxtaposition concaténation d’un nombre fini de ces symboles de lettres aᵢ par l’opération de la juxtaposition concaténation que je note aᵢ||aᵢ||…||aᵢ, avec le symbole de cette opération de juxtaposition concaténation ||, mais qui est informellement notée sans ce symbole et comme Wᵢ₌ₙ= aᵢ=aᵢ||aᵢ||…||aᵢ=aᵢaᵢ…aᵢ.

Une autre dynamique intellectuelle participante de cette augmentation définitionnelle et formulique correspondante à l’opération de concaténation juxtaposition et donc correspondante elle même à un accroissement du nombre de combinaisons possibles en considérant qu’un mot peut aussi être la juxtaposition par l’opération de la concaténation de plusieurs sous mots, c’est-à-dire d’éléments Wᵢ₌ₙ= W₁W₂…Wₙ avec aᵢ=Wᵢ : on dit alors que W est un mot sur A et l’on appelle le produit de la factorisation d’un mot W=aᵢ, une suite finie SeqWᵢ₌ₙ={W₁, W₂,…Wₙ} de sous mots telle que la relation de concaténation Wᵢ₌ₙ= W₁W₂…Wₙ. Correspondant encore plus à cette dynamique intellectuelle d’une augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots, on définit la concaténation de deux mots W₁ et W₂ est le mot obtenu en mettant W₁ à la fin de W₂. On note || l’opérateur de concaténation, mais on omet souvent cet opérateur et on note donc souvent la concaténation W₁||W₂ par une simple juxtaposition W₁W₂. La concaténation || est une opération associative qui possède un élément neutre, le mot vide є, puisque εa=aε=a et donc εε=ε. Dans l’écriture W=W₁W₂, W₁ est le préfixe du mot W, tandis que W₂ est le suffixe du mot W. La concaténation s’étend naturellement aux ensembles de mots, on note L₁ || L₂ le langage obtenu en concaténant tous les mots de L₁ avec les mots de L₂. L₁ || L₂ = { W₁||W₂ ∣ W₁ ∈ L₁ ∧ W₂ ∈ L₂}. On note L⋆ le langage obtenu en concaténant les mots de L. avec :

L₀ = {є}

L₁₊₁ = L₁ || L ; L⋆ =∪ᵢ ;

Lⁱ avec i ∈ ℕ.

Un mot W ∈ L⋆ est la concaténation de n mots avec n ≥ 0, W= w₁, …wₙ, avec la notation Wᵢ correspondant à tous des mots de L.

Soit X un ensemble de mots finis, X* (resp. X^∞), alors il est défini comme l’ensemble de tous les mots finis (resp. Infinis), pouvant être obtenu en concaténant des mots de X et le mot vide W=ε appartient à X*. Remarquons que définitionnellement les facteurs, les suffixes, les préfixes, les périodes, et les longueurs de lettres, de facteurs et de mots pourraient correspondre à ces sous mots et les opérations de concaténation correspondantes.

Soit tout d’abord l’extension de la relation de concaténation, comme l’opération de la longueur d’un mot W, que je note en général (nous écrivons dans les sous titres suivants sa notation de manière plus spécifiquement différenciée par besoin de précision quant au possible cas de résultat par rapport à la fonction simple de segmentation), LNG(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠є)) qui est défini comme la caractéristique de ses lettres qui sont, soit non vides et égales à toutes les valeurs ou non ; soit vides et qui est alors une opération que je note LNG(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=є)). Tandis que ce que j’appelle l’opération de cardinal (pour la différencier de l’appellation standard en combinatoire des mots de longueur qui est notée |W|), CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) est sa quantité totale de toutes les lettres ou de certaines lettres sachant que pour tout W ∈ A∗, |W| désigne le cardinal ou la quantité totale de lettres du mot sachant qu’un mot W de cardinal n formé d’une seule lettre x est simplement noté W = xₙ ; par extension x₀=ε l’indice de la lettre vide.

Soit ensuite des extensions de la relation de dénombrement des éléments d’un alphabet correspondant à l’opération * étoile Kleene, comme les opérations que j’ai appelées « Facteurisation » et « facteurisation », ou bien encore l’opération de suffixation, de préfixation, de périodisation, etc. Ainsi, l’étude abstraite des langages formels dont la combinatoire des mots, peut être considérée comme l’étude de sous-ensembles de monoïdes libres générés de manière finie, donc comme l’ensemble de tous les mots sur un alphabet A, une suite finie de symboles étant appelée un « mot sur A », qui est traditionnellement noté A*, le monoïde libre A* étant appelé « étoile de Kleene de A » signifiant que tout mot est le produit de la concaténation des symboles qui le composent avec par exemple, soit un alphabet A = {a, b, c}, alors son étoile Kleene A* contient toutes les concaténations finies et infinies des lettres, a, b et c : A* ={ε, a, ab, ba, caa, cccbabbc,…}; ou bien encore avec par exemple, si A={ε}, alors A*=∅*, avec ∅*={ε}, puisqu’il n’existe pas de chaînes de longueur finie constituées de symboles dans ∅, donc ε est le seul élément dans ∅*.Si A={a}, alors A*={ε, a, aa, aaa,…}. Si A={a, b}, alors A*={ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa,…}. Si A={ab, cd}, alors A*={ε, ab, cd, abab, abcd, cdab, cdcd, ababab,…}.

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Définition a.1.2) : L’opération alphabétique notée ^ⁿ d’exponentiation des lettres alphabétiques d’un mot W

Or puisque cette opération de concaténation est aussi considérée comme analogue à la multiplication des nombres, c’est-à-dire que si Wᵢ₌ₙ= aᵢ=aᵢ||aᵢ||…||aᵢ=aᵢaᵢ…aᵢ, est un mot fait d’une chaîne de lettres aᵢ identiques, alors la juxtaposition concaténation des n copies de la lettre aᵢ est appelée la puissance du mot que je note différemment de la puissance d’un nombre grâce au symbole logique « et » ∧ placé en exposant devant le nombre de l’indice exponentiel correspondant à la quantité de lettres répétées, et le tout que je note génériquement avec le mot générique W et avec la lettre générique aᵢ : W^ⁿ= aᵢ^ⁿ=aᵢaᵢ…aᵢ₌ₙ.

Encore une autre dynamique, mais correspondante cette fois-ci à une double dynamique, avec à la fois une augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques, et avec l’accroissement du nombre de combinaisons possibles, on définit un mot infini comme une suite ordonnée infinie de symboles de l’alphabet et on note l’ensemble des mots infinis W=aᵢ^∞, avec par exemple le mot W=(uvr)^∞ = uvruvruvruvruvruvr….Or, si la fa fonction de répétition de lettres d’un mot correspond à une fonction d’exponentiation spéciale appelée fonction d’exponentiation concaténation qui est définie comme la quantité de lettres répétées mise en exposant après le symbole logique « et » ∧ aussi mis en exposant, comme par exemple, le mot générique noté W=aᵢ^ⁿ qui signifie que la lettre générique ai est répétée n fois, la fonction de répétition de facteurs de lettres d’un mot que nous définissons pour l’instant comme au moins deux lettres juxtaposées, correspond à une fonction d’exponentiation spéciale appelée fonction de facteurisation, correspondante à une fonction d’exponentiation concaténation spéciale, qui est définie comme la quantité de facteurs de lettres répétés mis en exposant après le symbole logique de la conjonction noté ∧ aussi mis en exposant. Par exemple, le mot noté W=(aᵢaᵢ)^ᵏaᵢ(aᵢaᵢaᵢ)^ⁿ, signifie que le premier facteur est de deux lettres génériques aᵢ répétées k fois, (aᵢaᵢ)^ᵏ, tandis que le deuxième facteur est de trois lettres répétées n fois,(aᵢaᵢaᵢ)^ⁿ ; ou le mot noté W=(ee)^²v(ggg)^³=eeeevggggggggg.

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Correspondant toujours encore plus à cette dynamique intellectuelle d’une augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots, on peut définir en théorie des groupes, un mot qui est tout produit écrit d’éléments d’un groupe et de leurs inverses. Par exemple, si x, y et z sont des éléments d’un groupe G, alors xy, z⁻¹xzz et y⁻¹, zxx⁻¹, yz⁻¹ sont des mots de l’ensemble {x, y, z}. Deux mots différents peuvent donc avoir la même valeur dans G, voire dans tous les groupes. Mais si l’unicité de la décomposition est une théorie essentielle pour la combinatoire des mots, que j’appelle restreinte, permettant de réaliser la décomposition des mots du langage, puisque tout d’abord d’après cette théorie il n’y a pas d’inverse d’une lettre ou d’un mot. C’est-à-dire que soit les lettres de l’alphabet notées génériquement comme un mot d’une seule lettre ; et soit W=aᵢ ∈ A+, l’ensemble des mots non vides sur A c’est-à-dire A+=A* \ {ε} qui est appelé un alphabet et que l’on définit le demi-groupe des mots non vides A+ comme l’ensemble des mots finis à l’exception de ε, le mot vide noté W=ε et mot de longueur 0 noté |ε |=0, alors si a ∈ A+ et que b ∈ A+, ab=ε n’existe pas, car a et b ne sont pas définies comme deux lettres mutuellement inverses. Et puisqu’ensuite les mots aux lettres de l’alphabet notés W=aᵢ ∈ A+={a, b, c}, l’ensemble des mots non vides sur A, c’est-à-dire A+ = A* \ {ε}, sont indécomposables, c’est-à-dire qu’il n’existe pas a, b et c telles que ab=c. Nous verrons qu’en combinatoire des mots étendue aux chiffres qu’il existe un inverse d’une lettre d’un mot tel que ab=ε et que les lettres sont décomposables telles que ab=c. Plus généralement, étant donné qu’un mot W^ᵖ/ᵏ=x^ᵏ⁻¹y^¹ est une puissance d’exposant fractionnaire p/k où y est un préfixe de x, et où la longueur de W^ᵖ/ᵏ notée |W^ᵖ/ᵏ| est égale à p, alors je définie qu’un mot W^⁻¹=x^⁻¹ est une puissance d’exposant négatif telle que W=x et que WW^⁻¹=xx^⁻¹=1=a; ou bien encore qu’un mot W^⁻¹=x^⁻¹y^⁻¹ est aussi une puissance d’exposant négatif et encore telle que W=xy et que WW^⁻¹=xx^⁻¹yy^⁻¹=1=a. Ainsi nous pouvons définir l’opération de l’exponentiation ^-1 en combinatoire des mots comme une fonction qui retourne la première lettre a dont l’index vaut 1 pour n’importe quelle lettre générique aᵢ du mot W=aᵢ d’ exposant ^-1 concaténée avec la même lettre aᵢ sans exposant. Nous développerons plus loin dans ce chapitre des opérations plus complexes sur les mots dont nous écrirons les expressions algébriques numériquement calculables correspondantes à des fonctions simples de mouvement des éléments ensemblistes séquentiels vers la gauche.

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a.2) La méthode substitutive par transformation des mots en remplaçant chaque lettre alphabétique constituant un mot par un autre mot, et la méthode substitutive par structuration des lettres alphabétiques d’un mot W

Pour aller encore plus loin dans cette dynamique intellectuelle d’une augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots, alors considérons qu’elle résultera aussi des nombreuses propriétés que la combinatoire des mots étudie et dont « la première et élémentaire définition formelle d’une propriété combinatoire est qu’il s’agit le plus souvent d’une propriété discrète décrite simplement à l’aide d’objets finis. Ainsi les questions principales qui peuvent se poser sur tout mot correspondant à toutes suites de lettre ou de nombre et sur les facteurs c’est-à-dire les plages de chiffres ou lettres consécutives de ce mot ou de cette suite sont les propriétés suivantes :

Premièrement, est-ce que le langage des facteurs est récurrent ? Autrement dit, est-ce que chaque facteur apparaissant à un endroit apparaît en fait une infinité de fois ?

Deuxièmement, est-ce que le langage des facteurs est stable sous image miroir ? Autrement dit, est-ce qu’en inversant le sens de lecture des facteurs, le langage reste inchangé ?

Troisièmement, est-ce que le langage des facteurs est stable sous complétion ? Autrement dit, est-ce que si on prend tous les mots du langage et qu’on inverse les chiffres ou les lettres, le langage reste inchangé ?

Quatrièmement, quelle est la densité asymptotique (ou densité naturelle, ou densité arithmétique) de la suite ou du mot, qui sont une façon de mesurer la « taille » de certains sous-ensembles d’entiers naturels ou de lettres. La densité d’un ensemble A correspondant à une suite de nombres ou de lettres d’un mot peut être vue comme une approximation de la probabilité qu’un entier ou qu’une lettre soit tirée au hasard dans un intervalle arbitrairement grand appartienne à A. Un ensemble A d’entiers naturels est de densité asymptotique α (où 0⩽α⩽1) si la proportion des éléments de A parmi les entiers de 1 à n se rapproche asymptotiquement de α quand n tend vers l’infini. Formellement, notant Nn=Nn(A) le nombre d’éléments de A entre 1 et n, la densité asymptotique de A, D(A), est définie par D(A) = limn→∞Nn/n (si cette limite existe). Cinquièmement, d’autres propriétés combinatoires classiques des mots concernent l’inévitabilité d’une famille de motifs avec la question étant donnée une famille de motifs, existe-t-il un mot infini ne contenant aucun de ses motifs; ou concernent les périodes possibles d’un mot fini, avec le théorème de Fine-Wilf. « 

Mais la dynamique intellectuelle d’une augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots, reflétée par les propriétés des mots, l’est surtout pour étudier les propriétés combinatoires des mots infinis, dont il existe plusieurs outils, comme les automates ou les langages formels, et surtout une méthode : « la méthode substitutive sachant qu’une opération de substitution notée φ, et qui est le moyen de cette méthode définie comme une opération de transformation des mots en remplaçant chaque lettre constituant un mot par un autre mot. Par exemple, soit la substitution φ : a ↦ aba, b ↦ baa, alors en appliquant cette substitution à un mot w= abbabbabb, c’est-à-dire en l’appliquant lettre à lettre, puis en concaténant les images nous obtenons :

 φ(abbabbabb)=φ(a)φ(b)φ(b)φ(a)φ(b)φ(b)φ(a)φ(b)φ(b) = ababaabaaababaabaaababaabaa.

Ainsi, la méthode substitutive consiste à itérer ce processus illustré précédemment infiniment, cette méthode donnant un mot infini et selon les propriétés de la règle choisie, le mot infini résultant aura des propriétés combinatoires différentes. Une approche dynamique des substitutions est une variation de la méthode substitutive, car plutôt que d’appliquer infiniment la même substitution, il est possible, dans une représentation d’itérer une substitution arbitraire à chaque étape de calcul, que l’on appelle une représentation « S-adique », (le terme « adique » étant utilisé en mathématiques pour décrire des objets qui sont structurés autour d’un nombre (en général un nombre premier p), appelé la base adique.) »

Pourtant il ne suffit pas que cette dynamique intellectuelle de l’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots, corresponde de manière ultime à cette méthode dite substitutive des mots avec une approche dynamique des substitutions qui ne serait qu’une variation de la méthode substitutive à la base, ce qui est maintenant illustré aussi visuellement ci-dessus par cette sculpture en bronze symbole de la contrainte sur le sens d’un intérêt sensuel dans les substitutions des genres et sa méthode substitutive du plaisir et de la douleur, mais pas à mon sens celui du bon sens usuel d’un intérêt rationnel dans la logique sans vice de forme de la pensée mathématique du sens que les mots et leurs lettres doivent avoir ; et sans rester les bras croisés à accepter que les lettres en combinatoire des mots ne soient définies que comme non-transcriptible en nombres correspondant au rang des lettres dans l’alphabet de 26 lettres, avec la lettre supplémentaire vide ε que l’on transcrirait comme de rang 0. En effet, plutôt que de partir de la contrainte de la non-transcription des lettres de l’alphabet en nombres qui tient du raisonnement analytique ne correspondant qu’à un cas particulier de la propriété générale de la transcription de tout symbole en nombre dès qu’il y en au moins un et même si on le souhaite qu’un invisible, alors il y a toujours le symbole 0, comme une propriété spéciale, que nous développerons dans un chapitre dédié, la combinatoire des mots, que je qualifie de combinatoire des mot restreinte, par opposition à la combinatoire des mots étendue aux nombres substituables aux mots de lettres alphabétiques sur lesquels sont applicables mes fonctions simples, et ce plutôt que de trop verser dans la controverse jusqu’à en rester conservateur et faire un procès d’intention au maquis de sad pour sadisme car tristement formuliquement non-transcriptible systématiquement numériquement. Voici un exemple appliqué aux périodes d’un mot de ce que la contrainte artificielle, donc contraire à la nature même de tout langage d’être numériquement transcriptible, de l’hypothèse de la non-transcription systématique des lettres de l’alphabet en nombres a pour conséquence analytique :

« D’après le théorème du point critique, la période d’un mot suffisamment long ou non est le maximum des périodes locales minimales prises en chacun des points de ce mot. M.P. Schützenberger (« un scientifique français né le 24 octobre 1920 à Paris et mort le 29 juillet 1996 dans la même ville, dont les recherches ont d’abord porté sur la médecine et la biologie, mais surtout connu pour ses travaux en mathématiques, en informatique théorique et en combinatoire. » ) qui est à l’origine des travaux sur les relations entre périodes locales et périodes d’un mot, propose le cas d’un mot obtenu par concaténation de mots périodiques et la possibilité de caractériser le cas d’un mot obtenu par concaténation de mots périodiques et la possibilité de caractériser sa période par une observation de la période locale aux seuls points de concaténation. »

 » On utilise l’alphabet de deux lettres A = {a, b}. Un mot de longueur n sur l’alphabet A est une application de l’intervalle [ 1 . . . n] dans A ; on note un mot W de longueur n par la suite de ses lettres a[1 . . . n].Un mot infini à droite sur A est une application de l’ensemble des entiers positifs dans A ; on note un mot infini par la suite des lettres a[1 . . .]. La notion de mot infini recouvre ici de manière commode celle de mot “suffisamment long”. Un point de coupure du mot W : Étant donné un mot W fini ou non, un entier p détermine un point de coupure du mot W en un couple (u, v) formé par le préfixe u de longueur p et le suffixe v du mot W = uv. Pour la suite, si u = a[ 1 . . . p] et v = a[p + 1 . . .n] et W = uv, on note indifféremment le point p par la longueur p ou par le couple (a[1 . . . p], a[p + 1 . . .n]) ou par (u, v). Un entier μ positif est une période locale en un point p du mot W si et seulement si a[i] = a[i+μ] pour ceux des indices i du mot qui satisfont p-μ + 1 <<i < i +μ< p+μ :

Dans la définition d’une période locale la contrainte ne porte que sur ceux des indices i et i + μ qui sont des indices du mot. On peut avoir p < μ ou p + μ supérieur a la longueur du mot :

On dit que deux mots sont co-suffixes (respectivement , co-préfixes) si et seulement si le plus court des deux est un suffixe (respectivement un préfixe) de l’autre; ce qui revient a dire qu’ils sont suffixes (respectivement préfixes) d’un même mot. Si un mot u de longueur p est est co-suffixe de a[1 . . . p] et co-préffixe de u[p + 1…], alors p est une période locale au point p.Si μ est une période locale au point p d’un mot de longueur n supérieure ou égale à μ alors il existe un unique mot u de longueur μ qui est co-suffixe de a[ 1. . . p] et co-préfixe de a[p + 1…]. La plus petite période locale en un point p si elle est finie est la longueur du plus court mot qui est co-sufixe avec a[ 1 . . . p] et co-préfixe u avec a[p + 1 . . .]. Tout mot de longueur finie n a une plus petite période locale inférieure ou égale à n en chacun des points. On appelle racine locale au point p d’un mot W le plus court mot u qui est cosuffixe de a[1 . p] et copréfixe de a[p + 1 . .].

Un point p d’un mot est un point critique si et seulement si la plus petite période locale du mot au point p est égale a la période du mot. On sait avec le théorème du point critique que tout mot admet un point critique.

Par exemple on indique dans le tableau suivant les périodes locales minimales μ en chacun des points du mot W = abaababa. La plus petite période locale au point 5 (abaab,aba) est 2, et on peut vérifier que l’on retrouve le mot ab de longueur 2 à gauche comme à droite du point 5. Au point 2 (ab, aababa) on ne retrouve pas un même facteur à gauche comme à droite qui soit compris à l’intérieur du mot, et on peut vérifier que le mot u = aab, a pour suffixe ab qui est le préfixe de aababa, la plus petite période locale au point 2 est égale à 3.

Un mot fini W de longueur n peut avoir plusieurs périodes différentes. En particulier tout entier 1 supérieur ou égal à la longueur n d’un mot est une période de ce mot puisque l’on ne peut pas trouver d’indice i pour lequel a[i] soit différent de a[i+l]. On dit des entiers strictement plus grand que la longueur du mot, que ce sont des périodes triviales. Par exemple le mot abaababaaba de longueur 11 a pour périodes 5, 8, 10 et 11. »

On considère le mot W = aabaababaabaabababaab :

• p1 = [a, abaababaabaabababaab] plus petite période locale 1 est une période sur a, a;
• p2 = [aa, baababaabaabababaab] plus petite période locale 3 est une période sur aa, baab; 
• p3 = [aabaab, abaabaabababaab] plus petite période locale 2 est une période sur ab, aba; 
• p4 = [aabaababa,abaabababaab] plus petite période locale 1 est une période sur a,a;
• p5 = [aabaababaa, baabababaab] plus petite période locale 3 est une période sur baa, baab; 
• p6 = [aabaababaabaab, ababaab] plus petite période locale 2 est une période sur ab, ababa; 
• p7 = [aabaababaabaabababa, ab] plus petite période locale 1 est une période sur a, a;
• p8 = [aabaababaabaabababaa, b] plus petite période locale 3 est une période sur baa, 6.

La plus petite période du mot W qui est de longueur 21 est 18. Alors que le maximum des périodes locales aux points considérés est 3. En chaque point pi la plus petite période locale est une période jusqu’au point suivant pᵢ+1. Par exemple : au point 3 la période locale est 2 et on lit (ab)a jusqu’au point suivant qui est à distance 3.« 

Donc sans systématisation de la transcription des expressions alphabétiques précédentes en expressions numériques, par quel mécanisme les obtient-on sans un processus manuel, mais par un processus automatique formulique algébriquement numériquement calculable, soit les éléments suivants :

 « la racine locale au point p d’un mot W qui est le plus court mot u qui est co-suffixe de a[1 . p] et co-préfixe de a[p + 1 . .]. un point critique p d’un mot si la plus petite période locale du mot au point p est égale à la période du mot sachant par exemple que le point (abb,abbabb) est un point critique du mot abbabbabb qui a pour période 3. Pour le mot aabab, la plus petite période locale au point (ab, bab) est 5 qui est également la plus petite période du mot. » 

Implicitement comment déterminer par une formule algébrique numériquement calculable les valeurs numériques suivantes :

• plusieurs périodes différentes que peut avoir un mot fini W de longueur n ?
• la plus petite période d’un mot qui est dite la période de ce mot ?
• un entier p déterminant un point de coupure du mot W en un couple (u, v) formé par le préfixe u de longueur p et le suffixe v du mot W = uv ?
• un entier μ positif période locale en un point p du mot W ?
• la longueur n d’un mot W ?

Donc, avec cet exemple précédent, étant donné l’hypothèse de la non-transcription systématique des lettres de l’alphabet en nombres, nous avons une limite définitionnelle et formulique dont la conséquence analytique est que la dynamique intellectuelle d’une augmentation possible de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots ne peut pas enfin devenir ultimement quasiment infinie par l’amplification formulique aussi infinie que les mots produit par la systématisation résultante de la transcription formulique des mots de lettres en nombres par mes fonctions simples, combinaisons de fonctions caractéristiques, en combinatoire des mots de lettres étendue aux nombres.

⁂⁂

B) COMMENT ET POURQUOI LA COMBINATOIRE DES MOTS DE LETTRES ALPHABÉTIQUES ÉTENDUES AUX LETTRES NUMÉRIQUES ? : La dynamique intellectuelle d’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots de lettres alphanumériques et sa limitation.

a.1) La fonction simple de numérisation primaire élémentaire du mot alphabétique noté W=abcdefghijklmnopqrstuvwxyz en son mot numérique alphabétique correspondant et noté W=1234567891011121314151617181920212223242526

Or correspondant à cette dynamique intellectuelle, d’une augmentation supplémentaire de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots, est donc la formule algébrique numériquement calculable de cette opération de concaténation entre les lettres, ainsi que de cette opération de répétition d’une seule lettre par concaténation juxtaposition, mais qui n’est numériquement calculable qu’à condition d’écrire la transcription des lettres de l’alphabet en nombres correspondant élémentairement au rang des lettres de l’alphabet, une dynamique ici non plus seulement intellectuelle d’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques, mais aussi de l’augmentation de combinaisons de mots de lettres de l’alphabet qui se doublent de combinaisons de nombres en combinatoires des mots. C’est tout d’abord la transcription des lettres alphabétiques en lettres numériques qui s’effectue de manière non calculatoire formuliquement, mais par une simple opération mentale sur une action physique d’écriture de lettres en chiffres, obtenant ainsi une suite de 26 nombres que je note NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }, correspondant aux éléments dans l’ensemble de l’alphabet des 26 lettres noté ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z }.

Mais plus précisément qu’elle est l’opération d’expression algébrique numériquement calculable de cette correspondance que l’on fait entre lettres et nombres, c’est à dire comment fait-on correspondre au sens de rendre équivalent les deux mots comme suit :

W=abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ↔ W=1234567891011121314151617181920212223242526 ?

C’est en fait l’opération qui consiste en une première application Apli₁ de l’ensemble ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} des lettres de l’alphabet sur l’ensemble de leurs indices i de lettres génériquement notées aᵢ et indices i correspondant à leurs valeurs numériques d’index positionnel dans le sous-ensemble que je note e INDALPH₂₆={ aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ } ↔ INDALPHA₂₆={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z} ; puis dans une deuxième application Apli₂ de ce dernier ensemble précédent noté INDALPHA₂₆, des indices i de lettres correspondant à leurs valeurs numériques d’index positionnel sur l’ensemble des éléments représentant la triple équivalence entre les lettres et leurs indices chiffrées et les nombres de ces valeurs d’indices chiffrés des lettres, soit l’ensemble noté INDALPHANUM₂₆={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11 , lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 }; puis dans une troisième application Apli₃ des éléments de ce dernier ensemble précédent noté

INDALPHANUM₂₆ ={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11 , lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 }sur les éléments de l’ensemble

noté NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }.

C’est ainsi qu’en finalité l’indice i des lettres génériquement notées aᵢ et signifiant pouvant prendre n’importe quelle valeur alphabétique dans l’ensemble de l’alphabet des 26 lettres noté ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, correspond à leurs valeurs numériques d’index positionnel dans le sous ensemble de N*, que je note NUM₂₆ ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }, mais qui est généralement définie comme la quatrième application Apli₄ considérée comme équivalentes aux trois applications successives précédentes, donc une application des éléments de l’ensemble ALPH₂₆ ={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} sur les éléments du sous-ensemble de l’ensemble N* noté NUM₂₆ ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }.

Or à nouveau et encore plus précisément, à quelle opération d’expression algébrique numériquement calculable ce processus de triples applications successives équivalent à cette quatrième application correspond-il ?

Tout d’abord appelons cette quatrième et dernière application comme correspondant à l’opération alphabétique de numérisation primaire élémentaire et définissons son premier processus fonctionnel alphabétique comme correspondant à la première application de l’ensemble ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, sur l’ensemble INDALPH₂₆={ aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ } ↔ INDALPHA₂₆={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z}, comme suit :

∀ aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, et soit la lettre vide ε ; soit l’opération de la fonction d’éffacement alphabétique c’est-à-dire l’effacement d’une lettre a, la lettre générique pouvant prendre n’importe quelle valeur alphabétique, avec l’opérateur alphabétique d’effacement noté \ et définie formuliquement de la manière suivante :

• a \ aᵢ ↔ aᵢ \ a=a ssi a= aᵢ      (1)
• a \ aᵢ =ε ↔ aᵢ \ a =ε , ssi a≠aᵢ    (1′)
• a \ ε =a ↔ ε \ a=a    (2)
• ε \ ε =ε ↔ ε \ ε=ε       (2′)
• a||nᵢ \ nᵢ =a||nᵢ ↔nᵢ||a \ nᵢ =nᵢ||a       (3)
• a||nᵢ \ a =a||nᵢ ↔ a||nᵢ \ a =a||nᵢ         (3′)
• ε||nᵢ \ ε =ε||nᵢ ↔ nᵢ||ε \ ε =nᵢ||ε         (3 »)
• a||nᵢ \ a||nᵢ =a||nᵢ ↔ nᵢ||a \ nᵢ||a =nᵢ||a        (4)

• a||a\ a||a =a||a      (4′)
• ε||nᵢ \ ε||nᵢ =ε||nᵢ ↔ nᵢ||ε \ nᵢ||ε=nᵢ||ε     (4 »)

Nous explicitons ces définitions formuliques de la fonction d’effacement alphabétique avec l’opérateur alphabétique d’effacement noté \, comme seule une des deux lettres identiques pouvant être effacée pour ne résulter que dans une seule lettre, tandis que deux lettres différentes ne le pouvant pas puisque le résultat hypothétiquement sur le même modèle formulique d’effacement de deux lettres identiques, serait alors les deux lettres différentes qui ne seront à ce moment liées par aucun opérateur alphabétique existant autre que l’opérateur d’effacement impliquant donc que le résultat de l’opération d’effacement est l’opération d’effacement elle même, alors le résultat de leur effacement est donc inexistant et correspondant à la lettre vide, ε. L’utilisation de l’opérateur de juxtaposition concaténation entre les lettres a ou ε et les lettres a ou ε et les chiffres nᵢ, noté || dans les expressions algébriques seulement algébriquement calculable a||nᵢ, a||a ou ε||nᵢ, ne change pas la propriété que les lettres restent différentes ou identiques et résulte par l’opération alphabétique d’effacement dans le mot identique exactement comme dans l’effacement de deux lettres identiques résultant dans une seule. Alors, la fonction caractéristique d’appartenance notée par l’opérateur d’appartenance χ de n’importe quel élément d’un ensemble à un sous-ensemble, élément tel qu’une lettre alphabétique notée a appartenant ou non à un mot W, sous-ensemble de lettres alphabétiques, appartenant comme la lettre a à l’ensemble des lettres de l’alphabet noté ALPH₂₆; et fonction caractéristique définie comme χW : ALPH₂₆ →{0 , 1}, signifiant que χW est une fonction qui prend un élément du sous-ensemble W de l’ensemble ALPH₂₆ comme domaine de départ et donne un nombre naturel de valeurs exclusivement dans le sous-ensemble {0 , 1} du domaine d’arrivée comme résultat. Donc, χW : aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ↦ {1 si a ∈ W ; 0 si a ∉ W, signifie que χW est une fonction caractéristique d’appartenance qui prend une valeur aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ de l’ensemble ALPH₂₆, et donne 1 si a appartient au sous-ensemble W de ALPH₂₆, ou 0 si a n’appartient pas au sous-ensemble W de ALPH₂₆.

Or comme la question se posait pour les applications précédentes, plus précisément à quelle opération d’expression algébrique numériquement calculable correspond cette fonction caractéristique d’appartenance d’une lettre a de l’ensemble ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z } au sous ensemble des lettres d’un mot W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ?

Pour exprimer automatiquement, c’est à dire par une expression algébrique calculable, mais non pas encore numériquement, mais seulement algébriquement pour l’instant, puisque considérant la formulation du processus même de rendre les expressions algébriquement numériquement calculables comme comprenant celle-la même de l’opération d’appartenance de la lettre a au mot W, nous utilisons donc l’expression algébrique calculable, seulement algébriquement, de l’opération d’effacement d’une lettre aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ dans la définition même de la fonction caractéristique d’appartenance d’une lettre alphabétique à un mot W de lettres alphabétiques, comme suit :

χW=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ : a ↦ {ε si a ∉ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ; a si a ∈ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆, signifie que χW=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ est une fonction caractéristique d’appartenance qui prend une valeur alphabétique aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ de l’ensemble ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z }et donne une valeur alphabétique de lettre vide ε, si a n’appartient pas à ce sous-ensemble de lettres qu’est le mot W de ALPH₂₆ ; ou donne une valeur alphabétique aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ si a appartient au sous-ensemble des lettres du mot W de ALPH₂₆.

Or puisque dans notre définition précédente, il nous faut encore déterminer quelle est la valeur alphabétique, aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ si a appartient au sous-ensemble des lettres du mot W de ALPH₂₆, et que nous constatons que le premier processus fonctionnel alphabétique correspondant à la première application de l’ensemble ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z } sur l’ensemble INDALPH₂₆={ aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ } ↔ INDALPHA₂₆={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z }, est celui de cette fonction alphabétique caractéristique d’appartenance d’une lettre alphabétique à un mot de lettres alphabétiques encore définie précédemment, alors nous écrivons quelle est la valeur alphabétique de aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ si a appartient au sous-ensemble des lettres du mot W de ALPH₂₆, comme le résultat de l’opération alphabétique de la fonction alphabétique d’effacement alphabétique c’est-à-dire l’effacement d’une lettre a, la lettre générique pouvant prendre n’importe quelle valeur alphabétique, avec l’opérateur alphabétique d’effacement noté \ et définie de la manière suivante :

Soit la lettre générique a=aᵢ, ∀ aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

• a \ aᵢ =a ↔ aᵢ \ a =a, ssi a= aᵢ    (1)

• a \ aᵢ =ε ↔ aᵢ \ a =ε, ssi a≠aᵢ    (1′)

⁂

Illustrons ce calcul des expressions algébriques seulement algébriquement calculables pour l’instant, des opérations de la fonction alphabétique caractéristique à l’opérateur alphabétique d’effacement, et de la manière suivante :

Soit la lettre générique a=w, alors la fonction alphabétique caractéristique χW=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ : a=w ↦ {w\aᵢ=ε si a=w ∉ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ; w\aᵢ=w si a ∈ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆, a pour représentation ensembliste ALPH₂₆={ w\a=ε, w\b=ε, w\c=ε, w\d=ε, w\e=ε, w\f=ε, w\g=ε, w\h=ε, w\i=ε, w\j=ε, w\k=ε, w\l=ε, w\m=ε, w\n=ε, w\o=ε, w\p=ε, w\q=ε, w\r=ε, w\s=ε, w\t=ε, w\u=ε, w\v=ε, w\w=w, w\x=ε, w\y=ε, w\z=ε } ={ ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, w, ε, ε, ε }. Or tant que les lettres étaient bien différenciées dans l’ordre alphabétique, leurs indices correspondant à leurs valeurs numériques d’index positionnel sur N semblaient une information superflue, mais avec autant de lettre vide identique et plus que la lettre w, la première application de l’ensemble ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, sur l’ensemble INDALPH₂₆={ aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ } ↔ INDALPHA₂₆={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z }, est maintenant devenue une nécessité organisationnelle visuelle sans être pour autant la définition même de l’opération correspondante à cette première application. Ainsi et pour l’instant représentativement seulement et non opérationnellement justifiée ALPH₂₆={ w\a=ε, w\b=ε, w\c=ε, w\d=ε, w\e=ε, w\f=ε, w\g=ε, w\h=ε, w\i=ε, w\j=ε, w\k=ε, w\l=ε, w\m=ε, w\n=ε, w\o=ε, w\p=ε, w\q=ε, w\r=ε, w\s=ε, w\t=ε, w\u=ε, w\v=ε, w\w=w, w\x=ε, w\y=ε, w\z=ε } = { ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, w, ε, ε, ε } ↔ INDALPHA₂₆={ i₁=a\w=ε , i₂=b\w=ε, i₃=c\w=ε , i₄=d\w=ε , i₅=e\w=ε , i₆=f\w=ε , i₇=g\w=ε , i₈=h\w=ε , i₉=i\w=ε , i₁₀=j \w=ε, i₁₁=k\w=ε , i₁₂=l \w=ε, i₁₃=m\w=ε , i₁₄=n\w=ε , i₁₅=o\w=ε , i₁₆=p\w=ε , i₁₇=q\w=ε , i₁₈=r\w=ε , i₁₉=s\w=ε , i₂₀=t\w=ε , i₂₁=u\w=ε , i₂₂=v\w=ε , i₂₃=w\w=w , i₂₄=x\w=ε, i₂₅=y\w=ε, i₂₆=z\w=ε }↔ INDALPHA₂₆={ i₁=ε , i₂=ε, i₃=ε , i₄=ε , i₅=ε , i₆=ε , i₇=ε , i₈=ε , i₉=ε , i₁₀=ε, i₁₁=ε , i₁₂=ε, i₁₃=ε , i₁₄=ε , i₁₅=ε , i₁₆=ε , i₁₇=ε , i₁₈=ε , i₁₉=ε , i₂₀=ε , i₂₁=ε , i₂₂=ε , i₂₃=w , i₂₄=ε, i₂₅=ε, i₂₆=ε }.

⁂

Ensuite, pour déterminer l’expression algébrique correspondante à la deuxième application de ce dernier ensemble précédent noté INDALPHA₂₆, des indices i de lettres correspondant à leurs valeurs numériques d’index positionnel, sur l’ensemble des éléments représentant la triple équivalence entre les lettres leurs indices chiffrés et les nombres de ces valeurs d’indices chiffrés des lettres soit INDALPHANUM₂₆={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11 , lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 }, il nous faut maintenant adapter formuliquement l’opération de la fonction caractéristique d’appartenance de tout nombre à une suite de nombre en algèbre ensembliste séquentielle que nous écrivons 1A(W=a) à l’expression algébrique de l’opération alphabétique de la fonction caractéristique d’appartenance de toute lettre à une suite de lettre en algèbre ensembliste séquentielle que nous écrivons aussi 1A(W=a).

Si nous savons comment exprimer automatiquement c’est-à-dire par une expression algébrique numériquement calculable, l’opération de la fonction caractéristique d’appartenance de tout nombre à une suite de nombre en algèbre ensembliste séquentielle que nous écrivons 1A(W=a), donc sans écrire la lettre du sous-ensemble de lettres du mot W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ avec seulement ∀ aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆, et qui n’est plus écrite en indice pour des raisons de lisibilité ; mais aussi sans écrire le symbole mathématique ↦ qui associe un élément d’un ensemble à un élément d’un autre ensemble, soit la notation (1’a), définie comme suit, avec aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆, la suite de nombre d’algèbre ensembliste séquentielle telle que,

∀ aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ↔ SeqWᵢ₌₂₆=(aᵢ₌₁ ; aᵢ₌₂ ; aᵢ₌₃ ; aᵢ₌₄ ; aᵢ₌₅ ; aᵢ₌₆ ; aᵢ₌₇…aᵢ₌₂₆ ) ⊆ INDALPH₂₆={ aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ } :

• 1A(W=a) : INDALPH₂₆→ {ε , a}
• 1A(W=a)=a, si a ∈ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ (1a)
• 1A(W=a)=ε, si a ∉ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ (1’a)

Ensuite pour que la fonction caractéristique d’appartenance maintenant définie, soit numériquement calculable, alors nous obtenons la nouvelle expression de la fonction caractéristique d’appartenance de a la lettre générique pouvant prendre n’importe quelle valeur à l’ensemble séquentiel des éléments aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ SeqWᵢ₌₂₆ ⊆ INDALPH₂₆, donc a ∈ SeqWᵢ₌₂₆, et équivalente à la fonction caractéristique de l’expression aᵢ-a dont l’expression est 1A(W=a) = a\⌈(aᵢ\a) / ((aᵢ\a) + a)⌉ (1’a’), avec a la lettre générique du mot générique W=a pouvant prendre n’importe quelle valeur alphabétique.

⁂

Mais, remarquons tout d’abord puis expliquons que pour écrire cette dernière expression algébrique précédente (1’a’) de cette transformation de la fonction alphabétique caractéristique d’appartenance χW=a dans la fonction caractéristique d’appartenance de a à l’ensemble des lettres du mot W=aᵢ équivalente à la f onction caractéristique de l’expression aᵢ-a et dont l’expression de fonction caractéristique est 1A(W=a), nous n’utilisons pas les quatre fonctions arithmétiques classiques, mais l’une des fonctions arithmétiques non classiques, qui est la fonction arithmétique plafond d’un nombre réel x, qui est notée ⌈x⌉, c’est-à-dire plus précisément, car recouvrant des noms différents « dans le cas où x est un rationnel a ∈ ℤ , b ∈ ℕ*, ou la partie entière de x n’est autre que le quotient euclidien de a par b », la fonction plafond est la fonction partie entière par excès ou partie entière supérieure d’un nombre réel x, qui est notée ⌈x⌉=⌈a / b⌉. C’est Kenneth E. Iverson qui la créa, dans son livre de 1962 intitulé « A Programming Language », la fonction arithmétique au nom de « plafond » et sa notation correspondante ⌈x⌉. Quant aux fonctions arithmétiques non classiques, Wikipédia l’encyclopédie en ligne libre définie les fonctions arithmétiques f(n) telles que la fonction plafond, plancher, modulo, comme étant définies en théorie des nombres, et comme résultant « d’une application définie sur l’ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l’ensemble des nombres complexes. En d’autres termes, une fonction arithmétique n’est rien d’autre qu’une suite de nombres complexes, indexée par ℕ* ». Hardy et Wright dans leur ouvrage de 1938 intitulé « An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford: Clarendon Press » inclut dans leur définition l’exigence qu’une fonction arithmétique f(n) « exprime une propriété arithmétique de n ». Or si c’est donc cette condition que nous satisferons tout au long des pages de mon ouvrage en n’écrivant que des expressions algébriques numériquement calculables c’est-à-dire l’expression de fonction arithmétique, c’est en écrivant maintenant l’origine de la fonction plafond notée ⌈x⌉ en notation d’Iverson, pour monter implicitement que c’est cette fonction arithmétique non classique la fonction plafond ⌈x⌉, que nous utilisons pour écrire l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction caractéristique d’appartenance; ainsi qu’en écrivant l’origine de la fonction plancher notée ⌊x⌋, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court d’un nombre réel x qui est le plus grand entier relatif (positif, négatif ou nul) inférieur ou égal à x, en relation avec la fonction signe notée sign(x) une fonction simple qui extrait le signe d’un nombre, c’est-à-dire que les éléments de sont domaine d’arrivée sont définis comme de valeur 1 si le nombre de l’ensemble de départ dont le signe est extrait est strictement positif, ou 0 si le nombre de l’ensemble de départ dont le signe est extrait est nul, et -1 si le nombre de l’ensemble de départ dont le signe est extraitest strictement négatif ; et la fonction arithmétique de l’opération de modulo notée x mod y, sachant que Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne définie le résultat de l’opération de modulo, x mod y comme « une classe d’équivalence, et n’importe quel membre de la classe peuvent être choisis comme représentant ; cependant, le représentant habituel est le résidu le moins positif, le plus petit entier non négatif appartenant à cette classe (c’est-à-dire le reste de la division euclidienne). L’opération modulo est sous-jacente à la relation congruence sur les entiers qui est une relation notée x ≡ y mod n, et qui est définie comme une relation pouvant unir deux entiers relatifs x et y qui sont dits congrus modulo n si leur différence est divisible par n, c’est-à-dire si x est de la forme y + kn avec k entier, ou bien encore si le reste de la division euclidienne de x par n est égal à celui de la division de y par n. Ainis, l’opération de modulo, x mod y » est « une classe d’équivalence, et n’importe quel membre de la classe peuvent être choisis comme représentant selon les différentes valeurs de la variable k ». Soit par exemple la relation de congruence notée 2 ≡ -3 mod 5 (2–3=5 donc k=1), et -8≡ 7 mod 5 (-8-7=-15 donc k=-3) dont l’opération modulo sous jacente à cette relation de congruence est -3 mod 5=1 et 2 mod 5=1 correspondant au premier exemple précédent ; ou bien encore 7 mod 5=2 et -8 mod 5=2, correspondant au deuxième exemple précédent. Afin de pouvoir ecrire leurs expressions algébriques numériquement calculables dont celle de la fonction caractéristique d’appartenance à un mot générique W d’une lettre générique a, notée 1A(W=a) ↔1A( aᵢ-a), nous illustrons les relations arithmétiques liant les expressions algébriques numériquement calculables de ces trois fonctions arithmétiques de la fonction plafond notée ⌈x⌉, de la fonction plancher notée ⌊x⌋, et de la fonction modulo notée x mod y, comme suit :

si, sign(x)=x/|x|=sign(y)=y/|y|; et si, x≠0 et y≠0, alors :

 x mod y=x−y*⌊x/y⌋=x+y-y*⌈(x+1)/y⌉        (1), avec ⌊x/y⌋=⌈(x+1)/y⌉-1, et avec ⌈x/y⌉=⌊(x-1)/y⌋+1 ;

 si, sign(x)=x/|x| ≠ sign(y)=y/|y|; si, x≠0 et y≠0 ; et si, x<0 et y>0, alors :

x mod y = |x|−y*⌊|x|/y⌋-1=|x|+y-y*⌈(|x|+1)/y⌉-1     (1′), avec ⌊|x|/y⌋=⌈(|x|+1)/y⌉-1, et avec ⌈|x|/y⌉=⌊(|x|-1)/y⌋+1 ;

si, sign(x)=x/|x| ≠ sign(y)=y/|y| ; si, x≠0 et y≠0; et si, x>0 et y<0, alors :

 x mod y = -x+ |y|*⌊x/|y|⌋+1=-x-|y|+y*⌈(x+1)/|y|⌉+1     (1 »), avec ⌊x/|y|⌋=⌈(x+1)/|y|⌉-1 et ⌈x/|y|⌉=⌊(x-1)/|y|⌋+1.

⁂

Donc pour que l’expression de la fonction caractéristique d’appartenance alphabétique à un mot générique W d’une lettre générique a, notée 1A(W=a) = a\⌈(aᵢ\a) / ((aᵢ\a) + a)⌉    (1’a’), soit algébriquement numériquement calculable, car n’étant qu’alphabétiquement algébriquement calculable pour l’instant, par la nouvelle expression de la fonction caractéristique d’appartenance de a, la lettre générique pouvant prendre n’importe quelle valeur à l’ensemble séquentiel des éléments aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ SeqWᵢ₌₂₆ ⊆ INDALPH₂₆, donc a ∈ SeqWᵢ₌₂₆, et équivalente à la fonction caractéristique de l’expression aᵢ-a dont l’expression est 1A(W=a) = a\⌈(aᵢ\a) / ((aᵢ\a) + a)⌉  (1’a’), avec a la lettre générique du mot générique W=a pouvant prendre n’importe quelle valeur alphabétique et l’expression de la fonction plafond explicitée précédemment, alors nous définissons et écrivons maintenant comme suit :

1A : INDALPH₂₆→ {ε , a}

1A(a) = a\⌈ (aᵢ\a)| / ((aᵢ\a) +a)⌉= a, si a=aᵢ ↔ a ∈ SeqWᵢ₌₂₆ (2a)

1A(a) = a\⌈ (aᵢ\a) / ( (aᵢ\a) + a)⌉=ε, si a ≠ aᵢ ↔ a ∉ SeqWᵢ₌₂₆ (2a’)

Or nous savons de la définition formulique de l’opération alphabétique d’effacement précédente que soit la lettre générique a=aᵢ, ∀ aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} :

a \ aᵢ =a ↔ aᵢ \ a=a ssi a= aᵢ    (1)

a \ aᵢ =ε ↔ aᵢ \ a=ε, ssi a≠aᵢ    (1′)

Alors, tout d’abord 1A(a) = a\⌈ |(aᵢ\a)| / (|(aᵢ\a)| +a⌉= a, si a=aᵢ ↔ a ∈ SeqWᵢ₌₂₆ (1a) ↔ (1’a)

1A(a) =a\⌈ (aᵢ\a) / ((aᵢ\a)+a)⌉=a\⌈a/(a+a)⌉=a\a=a      (1’a), et parce qu’il y a trois lettres a identiques dans l’opération ⌈a / (a+a)⌉, donc équivalente à la lettre a elle-même.

Ensuite, 1A(a)=a\⌈ (aᵢ\a) / ( (aᵢ\a) + a)⌉=ε, si a ≠ aᵢ ↔ a ∉ SeqWᵢ₌₂₆     (1’a’) ↔ (1’a »)

1A(a) = a\⌈ (aᵢ\a) / ( (aᵢ\a) + a)⌉=a\⌈(ε) / ((ε) + a)⌉=a\aᵢ =ε    (1’a »)        , et parce qu’il y a deux lettres différentes soit, a et ε dans l’opération ⌈(ε) / ( (ε) + a)⌉ formant une lettre inconnue aᵢ ≠ a.

Sachant maintenant que nous n’avons fait qu’adapter formuliquement l’opération de la fonction caractéristique d’appartenance de tout nombre à une suite de nombre en algèbre ensembliste séquentielle que nous écrivons 1A(a) à l’expression algébrique de l’opération alphabétique de la fonction caractéristique d’appartenance de toute lettre à une suite de lettre en algèbre ensembliste séquentielle que nous écrivons aussi 1A(a), et qui est définie comme suit :

1A(x), donc sans écrire la lettre du sous-ensemble X avec seulement ∀ x ∈ X , et qui n’est plus écrite en indice pour des raisons de lisibilité ; mais aussi sans écrire le symbole mathématique ↦ qui associe un élément d’un ensemble à un élément d’un autre ensemble, soit la notation (1’a), définie comme suit, avec x ∈ X, la suite de nombre d’algèbre ensembliste séquentielle telle que, ∀ xᵢ=x ∈ X=SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ=(xᵢ₌ₙ ; xᵢ₌ₙ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊₂ ; xᵢ₌ₙ₊₃ ; xᵢ₌ₙ₊₄ ; xᵢ₌ₙ₊₅ ; xᵢ₌ₙ₊₆ ; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ᵣ ; xᵢ₌ᵣ ₊₁ ; …xᵢ₌ₙ₊ᵣ ) ⊆ R :

1A(x) : R→ {0 ; 1}

1A(x)=1, si x ∈ X (1’a)

1A(x)=0, si x ∉ X (1’a)’

Ensuite pour que la fonction caractéristique d’appartenance maintenant définie soit numériquement calculable alors, nous obtenons la nouvelle expression de la fonction caractéristique d’appartenance de x ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ⊆ R à l’ensemble séquentiel des éléments xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ ⊆ R, donc x ∈

SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ, et équivalente à la fonction caractéristique de l’expression xᵢ-x dont l’expression est, 1A(x) = 1-⌈ |(xᵢ-x)| / (|(xᵢ-x)| + 1)⌉                                                                                                                                                                     (2a’)                                                                                                                                          ,

« Avec la notation ⌈ x⌉ correspondante à la fonction plafond également connue sous le nom de fonction partie entière supérieure, qui est une fonction en escalier qui prend un nombre réel en entrée et donne en sortie le plus petit entier supérieur ou égal à ce nombre. Elle est notée ⌈ x⌉ et définie mathématiquement comme ⌈ x⌉=n où n est le plus petit entier supérieur ou égal à a ». Pratiquement du point de vue calculatoire « c’est l’opération qui arrondit un nombre au multiple le plus proche d’une valeur de signification. Dans la plupart des cas, le nombre est arrondi au supérieur. Le graphique de la fonction plafond est une suite d’escaliers. Pour chaque entier la fonction effectue un saut de « un » à l’entier et reste constante entre deux entiers. »

et que nous définissons et écrivons comme suit :

1A : SeqXᵢ₌ₙ₊ₓ ⊆ R→ {0 ; 1}

1A(x) =1- ⌈ |(xᵢ-x)| / (|(xᵢ-x)| +1)⌉=1, si x=xᵢ ↔ x ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ (2a’)        :

1A(x) = 1-⌈ |(xᵢ-x)| / ( |(xᵢ-x)| + 1)⌉=0, si x ≠ xᵢ ↔ x ∉ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ (2a’)’        :

Ainsi nous pouvons alors encore plus adapter formuliquement l’opération de la fonction caractéristique d’appartenance de tout nombre à une suite de nombre en algèbre ensembliste séquentielle que nous écrivons 1A(a), à l’expression algébrique de l’opération alphabétique de la fonction caractéristique d’appartenance de toute lettre à une suite de lettre en algèbre ensembliste séquentielle que nous écrivons aussi1A(a), jusqu’à les rendre formuliquement identiques, ce qu’elles sont déjà formellement toutes les deux, et en écrivant que la lettre vide ε de notre adaptation alphabétique de la fonction caractéristique numérique correspond numériquement à 0 de l’objet de notre adapatation, soit ε=0; et que la lettre générique a encore de notre adaptation alphabétique de la fonction caractéristique numérique correspond numériquement à 1 soit a=1, dans nos deux expressions algébriques de la fonction caractéristique alphabétique et numérique.

Remarquons alors que ce n’est pas parce que a=1 que b=2, parce que a est ici encore la lettre générique qui peut prendre n’importe quelle autre valeur alphabétique, comme dans notre exemple précédent de a=w. La lettre générique a vaut 1 par cohérence notationnelle, sachant que la lettre a normale donc non générique et qui ne prend alors aucune autre valeur alphabétique que a, correspond aussi à la valeur 1, mais n’étant seulement que la valeur numérique de son index positionnel dans le mot W=abcdefghijkl

mnopqrstuvwxyz et dont nous montrons maintenant comment son équivalence au mot numérique W=1234567891011121314151617181920212223242526 correspond à l’opération de notre deuxième application de l’ensemble des indices i de lettres correspondant à leurs valeurs numériques d’index positionnel, soit INDALPH₂₆={ aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ }↔ INDALPHA₂₆={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j ,

i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z }, sur l’ensemble des éléments représentant la triple équivalence entre les lettres leurs indices chiffrés et les nombres de ces valeurs d’indices chiffrés des lettres soit INDALPHANUM₂₆={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11 , lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 }. Cette opération correspondante à cette deuxième application, est celle de l’opération de la fonction simple d’indexation, une affirmation non péremptoire mais qui se déduit du fait que si l’on multiplie l’expression numérique de la fonction caractéristique d’appartenance d’une lettre de ce mot W=abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ou mot alphabétique parce que ses lettres sont toutes les lettres de l’alphabet dans l’ordre, par N*, la suite de l’ensemble des entiers naturels non nuls, alors nous obtenons la valeur numérique de son index positionnel et seulement dans le cas particulier de ce mot W=abcdefghijklmnopqrstuvwxyz, et si l’on répète l’opération pour chaque lettre du mot W donc de l’alphabet, nous obtenons le mot dont les lettres numériques correspondent aux valeurs numériques d’index positionnel des lettres alphabétiques, soit

W=1234567891011121314151617181920212223242526.

La quatrième et dernière application est donc une application entre les éléments de l’ensemble ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} sur le sous-ensemble de l’ensemble N* noté NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }, correspond à l’opération de la fonction simple de numérisation primaire élémentaire parce qu’elle est exclusivement limitée à produire l’équivalence entre seulement les deux mots W=abcdefghijk

lmnopqrstuvwxyz ou mot alphabétique parce que ses lettres sont toutes les lettres de l’alphabet dans l’ordre, et le mot index positionnel des lettres alphabétiques de ce mot alphabétique, W=12345678

91011121314151617181920212223242526. Cette fonction simple d’algèbre ensembliste séquentielle de numérisation primaire élémentaire est

notée INDEX(Leₐᵢ( a ⊂ Mtₐᵢ(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ))), et dont le résultat est sa représentation immuable sous forme ensembliste séquentielle, soit Seq(INDEX( Leₐᵢ( a ⊂ (Mtₐᵢ(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆))))ᵢ₌₂₆=( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ), et dont l’ensemble de départ est immuablement ALPH={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z }. Son expression algébrique numériquement calculable est définie comme suit :

Soit la lettre générique a=aᵢ, ∀ aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y,

z} ↔ a=aᵢ, ∀ aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }; et soit la lettre vide ε =0 ; soit l’opérateur d’uniontersection noté ∩∪(n=1→ n=SGMNT(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆)) permettant la juxtaposition des éléments d’algèbre ensembliste séquentielle qui ne correspond pas à la sommation de ces éléments notée par le symbole sigma Σ, alors la fonction simple de numérisation primaire des lettres alphabétiques du mot alphabétique W=abcdefghijklmnopqrstuvwxyz parce que ses lettres sont toutes les lettres de l’alphabet dans l’ordre, est équivalente à la fonction simple d’indexation des lettres de ce mot alphabétique W=abcdefghijklmnopqrstuvwxyz, dont les lettres alphabétiques appartiennent à l’ensemble ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, qui est son domaine de départ immuable ; et dont le résultat de cette fonction simple de numérisation primaire est le mot index positionnel des lettres alphabétiques de ce mot alphabétique,

soit W=1234567891011121314151617181920212223

242526, dont les lettres numériques appartiennent à l’ensemble NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 } qui est son domaine d’arrivée immuable, et dont l’expression algébrique numériquement calculable est définie comme suit :

NUMPRIMELTR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ )) ↔ INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ )))) =(1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆-a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆-a|+1)⌉)*n : =∩∪(n=1→ n=SGMNT(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆)) : [ ( (1-⌈ | aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ – a | / ( | aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ – a |+1))*n ⌉ )ᵢ ] )                                                                                                    (2’a) ↔ (2 »a)

Sa représentation ensembliste séquentielle correspond aux lettres numériques du mot W=12345678910

11121314151617181920212223242526, éléments de l’ensemble NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }, soit Seq(INDEX(Leₐᵢ(a ⊂ Mt₁,₂,₃,₄,₅,₆,₇

,₈,₉,₁₀,₁₁,₁₂,₁₃, ₁₄,₁₅,₁₆,₁₇,₁₈,₁₉,₂₀,₂₁,₂₂,₂₃,₂₄,₂₅,₂₆(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆))))ᵢ₌₂₆=( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ).

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a.2) L’opération alphanumérique ensembliste de numérisation primaire et de numérisation secondaire de n’importe quel mot W de lettres alphabétiques

Ces deux nouvelles opérations de transcription des lettres de l’alphabet en nombres correspond à l’opération de la fonction alphanumérique de numérisation primaire et secondaire des lettres en nombres de n’importe quel mot W et ce contrairement à précédemment avec la fonction alphanumérique de numérisation primaire élémentaire seulement des lettres du mot alphabétique W=abcdefghijklmnopqrs

tuvwxyz résultant dans le mot index alphabétique W=123456789101112131415161718192021222 3242526.

a.2.1) Définition de l’opération alphanumérique ensembliste de numérisation primaire La première de ces deux opérations est notée de la manière suivante :

NUMPRIM(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), avec la notation a de la lettre générique qui peut donc correspondre à n’importe quelle lettre de l’alphabet, et la notation W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot générique signifiant qu’il correspond à n’importe quel mot de n’importe quelle lettre. Remarquons que la notation de cette fonction alphanumérique comprend la notation de la fonction simple de lettre d’un mot W, soit la notation de la fonction Leₐᵢ(a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) d’un mot générique W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ qui est lui même le résultat de la fonction simple de Mot, notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) ou l’indice i des lettres de l’alphabet génériquement notées aᵢ correspond à leurs valeurs numériques d’index positionnel dans le sous ensemble de N*, que je

note NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }, des éléments alphabétiques dans l’ensemble de l’alphabet des 26 lettres noté ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, représenté transitoirement et seulement pour illustrer, en algèbre ensembliste séquentielle Seq(ALPHINDEX)ᵢ₌₂₆= (i₁=a ; i₂=b ; i₃=c ; i₄=d ; i₅=e ; i₆=f ; i₇=g ; i₈=h ; i₉=i ; i₁₀=j ; i₁₁=k ; i₁₂=l ; i₁₃=m ; i₁₄=n ; i₁₅=o ; i₁₆=p ; i₁₇=q ; i₁₈=r ; i₁₉=s ; i₂₀=t ; i₂₁=u ; i₂₂=v ; i₂₃=w ; i₂₄=x ; i₂₅=y ; i₂₆=z), et noté ultimement définitivement toujours en algèbre ensembliste séquentielle Seq(ALPHINDEX)ᵢ₌₂₆ = ( 1 ; 2 ; 3 ; 4; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ). Le mot vide de la lettre vide, noté W=ε est de valeur numérique équivalente à sa valeur alphabétique vide notée ε, égale à zéro.

Nous verrons plus en avant dans ce chapitre que cette fonction alphanumérique de numérisation primaire des lettres en nombres correspond aussi à une fonction simple d’algèbre ensembliste séquentielle dont le domaine de départ et d’arrivée son exclusivement sur l’ensemble N.

Donc plus généralement, si j’ai noté cette fonction alphanumérique de numérisation primaire des lettres en nombres, NUMPRIM(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), et que j’ai définis son domaine de départ EDALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, et son domaine d’arrivée qui est élémentairement le sous-ensemble ordonné de N* noté EANUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }, formuliquement cette fonction de numérisation primaire des lettres alphabétiques d’un mot est l’opération alphanumérique ensembliste de la numérisation partielle ou totale des lettres d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ et correspond à un double processus graduel de réordonnacement par ordre alphabétique avec simultanément substitution numérique aussi réordonnées par ordre d’indice croissant des lettres alphabétiques indicées par leurs valeurs numériques de « rang alphabétique » défini mathématiquement comme les valeurs numériques d’index positionnels de ces lettres alphabétiques (le rang est une fonction d’algèbre ensembliste séquentiel différent mathématiquement de l’index positionnel d’un élément dans une suite de nombre et pour plus de précision voir plus en avant dans mon ouvrage, le chapitre dédié à cette fonction simple de rang.).

⁂

a.2.2) Définition explicative du processus calculatoire de l’opération alphanumérique ensembliste de numérisation primaire

Le premier processus de cette numérisation primaire correspondant à une opération alphanumérique ensembliste que j’ai notée NUMPRIM(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), qui est effectuée étant ainsi celui du réordonnancement par la valeur numérique de l’index positionnel du rang alphabétique successif de chacune des lettres les unes par rapport aux autres, lettres notées génériquement a et éléments de l’ensemble des lettres de

l’alphabet ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}.

C’est par exemple la numérisation primaire des lettres alphabétiques du mot W=yxabijkl, dont les lettres sont tout d’abord numérisées primairement par l’opération de la fonction simple de numérisation primaire, NUMPRIM(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( (y,x,a,b,i,j,k,l,x,y) ⊆ Mt₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂,₂₃,₂₄ ⊆ Mt₁,₂,₃,₄,₅, ₆,₇,₈,₉,₁₀,₁₁,₁₂,₁₃, ₁₄,₁₅,₁₆,₁₇,₁₈,₁₉,₂₀,₂₁,₂₂,₂₃,₂₄,₂₅,₂₆ (W=abijklxy ⊆ W=abcdefghijklmnopqrstuvwxyz )= W=1291011122324 ⊆ W=1234567891011121314151617181920212223242526. Cette fonction de numérisation primaire des lettres alphabétiques du mot W=yxabijkl, opère donc un processus de réordonnancement des lettres du mot W=yxabijkl correspondant à l’ordre

alphabétique,soit W=yxabijkl ⊆ W=abijklxy ⊆ W=abcdefghijk

lmnopqrstuvwxyz ; pour ensuite attribuer à ces lettres alphabétiques réordonnées donc dans l’ordre alphabétique et du mot W=abijklxy, la valeur numérique correspondante à chaque valeur alphabétique déterminée par l’opération de la numérisation primaire effectuée précédemment sur les éléments de l’ensemble de toutes les lettres de l’alphabet, soit W=1291011122324 ⊆ W=12345678910111213141

51617181920212223242526. Cette numérisation primaire est donc un processus de réordonnancement des lettres du mot W=yxabijkl.

Or à nouveau et encore plus précisément, à quelle opération d’expression algébrique numériquement calculable ce premier processus de numérisation primaire correspondant plus explicitement à un processus de réordonnancement des lettres du mot W correspond-il ?

Tout d’abord appelons l’opération alphanumérique de numérisation primaire comme correspondante à la troisième application Apli₃ précédemment non explicitée formuliquement qui est une application des éléments de l’ensemble noté INDALPHA₂₆={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z}, sur les éléments de

l’ensemble INDALPHANUM₂₆ ={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11 , lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 } ⊆ NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }, et dont définissons maintenant son processus fonctionnel d’opération alphanumérique comme suit :

∀ aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z }⊆ INDALPH₂₆={ aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ } ⊆ INDALPHA₂₆={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z}, et soit la lettre vide ε

; alors soit l’opération alphanumérique de la fonction de transformation alpha-indicielle numérique, c’est-à-dire l’effacement et transformation en indice d’une lettre a générique pouvant donc prendre n’importe quelle valeur de ALPH₂₆ ⊆ INDALPH₂₆

⊆ INDALPHA₂₆, et avec l’opérateur alphanumérique de transformation alpha-indicielle numérique qui est noté \\ et qui est définie formuliquement de

la manière suivante        :

a \\ aᵢ ↔ aᵢ \\ a=i, ssi a=aᵢ    (1)’

a \\ aᵢ =ε ↔ aᵢ \\ a =ε , ssi a ≠ aᵢ (1′)’

a \\ ε ↔ ε \\ a=ε    (2)’

ε \\ ε ↔ ε \\ ε=ε    (2′)’

Nous explicitons maintenant ces définitions formuliques ci-dessus de l’opérateur alphanumérique de transformation alpha-indicielle numérique noté \\ comme deux lettres identiques pouvant être éffacées et transformées en un indice numérique restant si et seulement ces deux lettres sont égales pour être effaçable et pour ne résulter que dans un seul indice ; tandis que deux lettres différentes ne le pouvant pas puisque le résultat hypothétiquement sur le même modèle formulique de l’opération d’effacement de deux lettres identiques, serait alors les deux lettres différentes qui ne seront à ce moment liées par aucun opérateur alphabétique existant autre que l’opérateur d’effacement impliquant donc que le résutat de l’opération d’effacement est l’opération d’effacement elle même, alors le résultat de leur effacement est donc inexistant et correspondant à la lettre vide, ε.

Nous explicitons encore ces définitions formuliques ci-dessus de l’opérateur alphanumérique de transformation alpha-indicielle numérique noté \\ dans les opérations ensembliste alphanumériques comme suit :

∀ a, la lettre générique pouvant prendre n’importe quelle valeur de l’ensemble des 26 lettres indicées par leur valeur numérique d’index positionnel ordonnée sur N*, et telle que aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z } ⊆ INDALPH₂₆={aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆} ⊆

INDALPHANUM₂₆ ={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11 , lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 } ⊆ NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 } ; et soit la lettre vide ε={}↔ {εᵢ₌₀} ↔ {i₀=ε}

↔ {εᵢ₌₀=0}, alors         :

{{aᵢ₌ₙ₊₅ , aᵢ₌ₙ₊₄ , aᵢ₌ₙ₊₁ , aᵢ₌ₙ₊₂ , aᵢ₌ₙ₊₉ , aᵢ₌ₙ₊₁₀ , aᵢ₌ₙ₊₁₁ , aᵢ₌ₙ₊₁₂} \\ aᵢ₌ₙ₊₁}={n+1} (1) ↔ (1′)

{ {aᵢ₌ₙ₊₅ \\ aᵢ₌ₙ₊₁}={ε} , {aᵢ₌ₙ₊₄ \\ aᵢ₌ₙ₊₁}={ε} , { aᵢ₌ₙ₊₁ \\ aᵢ₌ₙ₊₁}={n+1} , {aᵢ₌ₙ₊₂\\ aᵢ₌ₙ₊₁}={ε} , {aᵢ₌ₙ₊₉ \\ aᵢ₌ₙ₊₁}={ε} , {aᵢ₌ₙ₊₁₀ \\ aᵢ₌ₙ₊₁}= {ε}, {aᵢ₌ₙ₊₁₁ \\ aᵢ₌ₙ₊₁}={ε} , {aᵢ₌ₙ₊₁₂ \\ aᵢ₌ₙ₊₁}={ε} \\ aᵢ₌ₙ₊₁ ={ε}}={1}            (1′) ↔ (1 »)

{{ε}, {ε}, {n+1}, {ε}, {ε}, {ε}, {ε}, {ε}, {ε}}={n+1}       (1 ») ↔ (1 »’)

{{{}}, {{}}, {n+1}, {{}}, {{}}, {{}}, {{}}, {{}}, {{}}}={n+1}      (1 »’) ↔ (1 » »)

⁂

Illustrons maintenant ces calculs précédents de a \\ aᵢ avec l’opérateur alphanumérique de transformation alpha-indicielle numérique noté \\, par l’expression algébrique alphanumériquement calculable de la fonction de numérisation primaire, aboutissement des opérations alphanumériques successives de la fonction alphabétique caractéristique à opérateur alphanumérique de transformation alpha-indicielle numérique des lettres d’un mot W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, et qui est noté χW=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ : a ↦ {a \\ aᵢ=ε si a ∉ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ; a \\ aᵢ=i si a ∈ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, et définie de la manière suivante :

∀ a, la lettre générique pouvant prendre n’importe quelle valeur de l’ensemble des 26 lettres indicées par leur valeur numérique d’index positionnel ordonnée sur N*, et telle que aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z } ⊆ INDALPH₂₆={aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ }

⊆ INDALPHA₂₆ ={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z }

⊆ INDALPHANUM₂₆ ={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11, lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 } ⊆ NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 } ; et soit la lettre vide ε={} ↔ {εᵢ₌₀} ↔ {i₀=ε}

↔ {εᵢ₌₀=0}.

Alors soit, W=yxabijkl, et soit l’opération d’algèbre ensembliste alphanumérique de la fonction alphanumérique caractéristique, χW=yxabijkl : a=aᵢ ↦{a \\ aᵢ=ε si a ∉ Mtₐᵢ(W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₈=yxabijkl)

; a \\ aᵢ=i si a ∈ Mtₐᵢ( W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₈=yxabijkl), a pour représentation ensembliste alphanumérique dans INDALPH₂₆                                                                                                                                          :

INDALPH₂₆={{{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ aᵢ₌₁}={1} , {{{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ bᵢ₌₂}={2} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ cᵢ₌₃}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ dᵢ₌₄}={ε}, {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ ,

lᵢ₌₁₂} \\ eᵢ₌₅}={ε},{{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ fᵢ₌₆}}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ gᵢ₌₇}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ hᵢ₌₈}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\iᵢ₌₉)={9} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ ,

lᵢ₌₁₂} \\ jᵢ₌₁₀}={10} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ kᵢ₌₁₁}={11} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂}

\\ lᵢ₌₁₂}={12} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ mᵢ₌₁₃}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ nᵢ₌₁₄}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ oᵢ₌₁₅}={ε } , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ pᵢ₌₁₆}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\

qᵢ₌₁₇}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ sᵢ₌₁₉}={ε} ; {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ tᵢ₌₂₀}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ uᵢ₌₂₁}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ vᵢ₌₂₂}=

{ε} ; {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ wᵢ₌₂₃}={ε} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ xᵢ₌₂₄} ={24} , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ yᵢ₌₂₅}=25 , {{yᵢ₌₂₅ , xᵢ₌₂₄ , aᵢ₌₁ , bᵢ₌₂ , iᵢ₌₉ , jᵢ₌₁₀ , kᵢ₌₁₁ , lᵢ₌₁₂} \\ zᵢ₌₂₆}=

{ε}} ⊆ INDEXALPHANUM₂₆={ {1} , {2} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {9} , {10} , {11} , {12} , {ε } , {ε } , {ε }, {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε } , {ε } , {ε} , {ε} , {24} , {25} , {ε }} (2) , et puisque ε={}{ε}={{}}, donc, INDEXALPHANUM₂₆={{1}, {2}, {{}} , {{}} , {{}}, {{}} ,{{}} , {{}}, {9} , {10} , {11} , {12} , {{}} , {{}} , {{}}, {{}}, {{}} , {{}} , {{}}, {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {24} , {25} , {{}}} ↔ INDEXALPHANUM₈={ 1, 2, 9, 10, 11, 12, 24, 25 }.

Remarquons tout d’abord que la fonction alphanumérique de numérisation primaire permet d’obtenir simultanément la numérisation des lettres d’un mot W et leur réordonnacement dans l’ordre alphabétique correspondant aussi à l’ordre sur N*. Cette fonction ensembliste alphanumérique correspond à l’opérateur alphanumérique de transformation alpha-indicielle numérique noté \\ de l’expression algébrique alphanumériquement calculable de la fonction alpahnumérique caractéristique de l’appartenance et de la non appartenance de toutes les lettres de l’alphabet alphabétique et numérique au mot W.

Remarquons ensuite, que cette même représentation alphanumérique ensembliste précédente (2), a pour representation ensembliste séquentielle équivalente SEQ(NUM₂₆)=(1 ; 2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 24 ; 25 ; 0 ) et que pour obtenir l’équivalent de la dernière représentation ensembliste alphanumérique soit, SEQ(NUM₈)= (1; 2; 9; 10; 11; 12; 25) nous écrirons dans les sous titres suivants l’expression de l’opération algébrique numériquement calculable correspondante.

⁂

a.2.3) Définition de la fonction alphanumérique ensembliste de numérisation secondaire

La deuxième de ces deux opérations que j’ai notée NUMPRIMSCDR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), avec encore la notation a de la lettre générique qui peut donc correspondre à n’importe quelle lettre de l’alphabet, et la notation W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot générique signifiant qu’il correspond à n’importe quel mot de n’importe quelle lettre. Remarquons encore que la notation de cette fonction alphanumérique comprend la notation de la fonction simple de lettre d’un mot W, soit la notation de la fonction Leₐᵢ(a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) d’un mot générique W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ qui est lui même le résultat de la fonction simple de Mot, notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) ou l’indice i des lettres de l’alphabet génériquement notées aᵢ correspond à leurs valeurs numériques d’index positionnel dans le sous ensemble de N*, que je note NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }, des éléments alphabétiques dans l’ensemble de l’alphabet des 26 lettres noté ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, représenté transitoirement et seulement pour illustrer, en algèbre ensembliste séquentielle Seq(ALPHINDEX)ᵢ₌₂₆= (i₁=a ; i₂=b ; i₃=c ; i₄=d ; i₅=e ; i₆=f ; i₇=g ; i₈=h ; i₉=i ; i₁₀=j ; i₁₁=k ; i₁₂=l ; i₁₃=m ; i₁₄=n ; i₁₅=o ; i₁₆=p ; i₁₇=q ; i₁₈=r ; i₁₉=s ; i₂₀=t ; i₂₁=u ; i₂₂=v ; i₂₃=w ; i₂₄=x ; i₂₅=y ; i₂₆=z), et noté ultimement définitivement toujours en algèbre ensembliste séquentielle

Seq(ALPHINDEX)ᵢ₌₂₆ = ( 1 ; 2 ; 3 ; 4; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ). Soit, le mot vide de la lettre vide, noté W=ε et de valeur numérique équivalente à sa valeur alphabétique vide notée ε, égale à zéro.

Comme précédemment pour l’opération de numérisation primaire, nous verrons aussi plus en avant dans ce chapitre que cette fonction alphanumérique de numérisation secondaire des lettres en nombres correspond aussi à une fonction simple d’algèbre ensembliste séquentielle dont le domaine de départ et d’arrivée son exclusivement sur l’ensemble N.

Donc plus généralement, si j’ai noté cette fonction alphanumérique de numérisation secondaire des lettres en nombres, NUMPRIMSCDR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), et que j’ai définis son domaine de départ EDALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, et son domaine d’arrivée qui est élémentairement le sous-ensemble ordonné de N* noté EANUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 }, formuliquement cette fonction de numérisation secondaire des lettres alphabétiques d’un mot est l’opération alphanumérique ensembliste de la numérisation partielle ou totale des lettres d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ et correspond à un processus graduel de substitution numérique de chacune des lettres alphabétiques indicées par leurs valeurs numériques de « rang alphabétique » défini

mathématiquement comme les valeurs numériques d’index positionnels de ces lettres alphabétiques (le rang est une fonction d’algèbre ensembliste séquentiel différent mathématiquement de l’index positionnel d’un élément dans une suite de nombre et pour plus de précision voir plus en avant dans mon ouvrage, le chapitre dédié à cette fonction simple de rang.).

⁂

a.2.4) Définition explicative du processus calculatoire de l’opération alphanumérique ensembliste de numérisation secondaire

Illustrons maintenant plus en détail et pour une seule valeur et encore ces calculs précédents de a\\aᵢ avec l’opérateur alphanumérique de transformation alpha-indicielle numérique noté \\ et comme précédemment, par l’expressions algébrique alphanumériquement calculable, mais cette fois-ci de la fonction de numérisation secondaire, aussi aboutissement des opérations alphanumériques successives de la fonction alphabétique caractéristique

à opérateur alphanumérique de transformation alpha-indicielle numérique des lettres d’un mot W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, et qui est noté χW=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ : a ↦ {a\\aᵢ=ε si a ∉ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ; a\\aᵢ=i si a ∈ W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, et définie de la manière suivante :

∀ a, la lettre générique pouvant prendre n’importe quelle valeur de l’ensemble des 26 lettres indicées par leur valeur numérique d’index positionnel ordonnée sur N*, et telle que aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z } ⊆ INDALPH₂₆={aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ }

⊆ INDALPHA₂₆ ={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z }

⊆ INDALPHANUM₂₆ ={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11, lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 } ⊆ NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 } ; et soit la lettre vide ε={}↔{εᵢ₌₀}↔ {i₀=ε}

↔ {εᵢ₌₀=0}.

Alors soit, W=yxabijkl, et soit l’opération alphanumérique de la fonction alphanumérique caractéristique notée χW=y : y=aᵢ ↦{ y \\ aᵢ=ε si y \\ aᵢ ∉ Mtₐᵢ(W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₈=yxabijkl) ; y \\ aᵢ=i si y \\ aᵢ ∈ Mtₐᵢ(W=aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₈=yxabijkl), a pour représentation alphanumérique ensembliste dans INDALPH)ᵢ₌₂₆={{yᵢ₌₂₅ \\ aᵢ₌₁=ε}, {yᵢ₌₂₅ \\ bᵢ₌₂=ε}{yᵢ₌₂₅ \\ cᵢ₌₃=ε }, {yᵢ₌₂₅ \\ dᵢ₌₄=ε }, {yᵢ₌₂₅ \\ eᵢ₌₅=ε },

{yᵢ₌₂₅ \\ fᵢ₌₆=ε} , {yᵢ₌₂₅\\ gᵢ₌₇=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\ hᵢ₌₈=ε} , {yᵢ₌₂₅\\ iᵢ₌₉=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\ jᵢ₌₁₀=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\kᵢ₌₁₁=ε} , {yᵢ₌₂₅\\ mᵢ₌₁₃=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\ nᵢ₌₁₄=ε }, {yᵢ₌₂₅ \\ oᵢ₌₁₅=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\ pᵢ₌₁₆=ε}, {yᵢ₌₂₅ \\ qᵢ₌₁₇=ε} , {yᵢ₌₂₅\\ rᵢ₌₁₈=ε} ,

{yᵢ₌₂₅ \\ sᵢ₌₁₉=ε} , {yᵢ₌₂₅\\ tᵢ₌₂₀=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\ uᵢ₌₂₁=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\ vᵢ₌₂₂=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\ wᵢ₌₂₃=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\ xᵢ₌₂₄=ε} , {yᵢ₌₂₅ \\ yᵢ₌₂₅=25}

, {yᵢ₌₂₅ \\ zᵢ₌₂₆=ε }} ⊆ INDEXALPHANUM₂₆={{ε}, {ε}, {ε} , {ε }, {ε} , {ε }, {ε }, {ε} , {ε }, {ε}, {ε} , {ε }, {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {ε} , {25} , {ε} } (2′), et puisque ε={}{ε}={{}}, donc, INDALPHNUM₂₆= { {{}} , {{}} , {{}}, {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}}, {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , {{}} , 25 , {{}} }={25}.

Avec le reste des lettres du mot W=yxabijkl, comme variable de la même opération ensembliste alphanumérique précédente et répétée pour chacune des sept lettres restantes de ce mot, nous obtenons les singletons {24}, {1}, {2}, {9}, {10}, {11} et {12} qui sont ensuite les éléments de l’opération ensembliste alphanumérique d’union de la manière suivante :

{25} ∪ {24} ∪ {1} ∪ {2} ∪ {9} ∪ {10} ∪ {11} ∪ {12}↔ INDEXALPHANUM₈={ 25, 24, 1, 2, 9, 10, 11, 12}                                                                                                                                    (2 »).

Remarquons tout d’abord que l’opération ensembliste alphanumérique de numérisation secondaire permet par rapport à l’opération de numérisation primaire d’obtenir la numérisation des lettres d’un mot W sans leur réordonnacement dans l’ordre alphabétique correspondant aussi à l’ordre sur N*. Cette opération ensembliste alphanumérique a aussi l’opérateur alphanumérique de transformation alpha-indicielle

numérique noté \\ de l’expression algébrique alphanumériquement calculable de la fonction alpahnumérique caractéristique de l’appartenance et de la non appartenance, inversement à la numérisation primaire, de chacune des lettres alphabétique du mot W dans l’ordre de leur concaténation de la gauche vers la droite, à toutes les lettres de l’alphabet

Comme précédemment remarquons que cette même représentation alphanumérique ensembliste précédente (2′), a pour representation ensembliste séquentielle équivalente SEQ(NUM₂₆)=(0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 25 ; 0 ) et que pour obtenir l’équivalent de la dernière représentation ensembliste alphanumérique soit, SEQ(NUM₁)= (25) nous écrirons dans les sous titres suivants l’expression de l’opération algébrique numériquement calculable correspondante.

Remarquons encore que dans l’opération ensembliste alpahanumérique précédente (2 »), nous aurions pu commencer par n’importe quelle lettre du mot W et que nous n’aurions pas obtenu le même mot avec le même ordre des lettres donc. Seule, l’expression de l’opération d’algèbre ensembliste séquentielle de la fonction simple de la caractéristique de la première lettre numérique d’un mot permet objectivement

car formuliquement c’est-à-dire algébriquement numériquement calculable des lettres numériques d’un mot de déterminer la première lettre de ce mot.

⁂

« Une modification typographique d’un programme informatique ne change pas un peu le programme, elle l’annule purement et simplement. Il en va de même avec un numéro de téléphone. Si j’essaie d’appeler par téléphone un correspondant, il importe peu que je me trompe sur un, deux trois ou huit chiffres de son numéro. » « M.-p. schützenberger : les failles du darwinisme »

⁂

C) COMMENT ET POURQUOI LA COMBINATOIRE DES MOTS DE LETTRES ALPHABÉTIQUES ÉTENDUE AUX NOMBRES ? : La dynamique intellectuelle d’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots de lettres numériques et sa nécessité.

a.1) L’expression algébrique numériquement calculable de la fonction simple d’indexation d’une seule ou plusieurs lettres numériques est une nécessité pour la création de toute lettres numériques de n’importe quel mot en mathématiques de la

combinatoire des mot

Si la transcription systématique des lettres de l’alphabet en nombres est nécessairement inhérente à cette dynamique intellectuelle d’une augmentation possible de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots, et s’opère par les trois opérations alphanumérique ensembliste de transcription numérique des lettres alphabétiques que j’ai notée précédemment, NUMPRIMELTR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆))),

puis NUMPRIM(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))) et NUMSCDR(Leₐᵢ (a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))), et qui sont je le rappelle comme je l’ai écrit encore précédemment les opérations alphanumérique ensembliste de numérisation primaire élémentaire de l’unique mot alphabétique W= aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆, puis de numérisation primaire des lettres alphabétique d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, et finalement de numérisation secondaire des lettres alphabétique d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, avec sa notation comprenant la notation de l’opération de création ou écriture d’un mot, soit Mtₐᵢ(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) comprise dans la notation de l’opération de création ou écriture de lettre d’un mot, soit Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), alors elle n’est fondamentalement qu’un processus symbolique d’obtention des éléments d’un ensemble de lettres numériques correspondantes aux éléments de l’ensemble des lettres alphabétique et si fondamentale que d’ailleurs nous le simplifierons désormais en écrivant automatiquement et sans formule de calcule préalable de transcription numérique directement l’équivalence numérique de cette numérisation puisqu’il est maintenant désormais définitionnellement et formuliquement possible en étant mathématiquement consistante logiquement avec un raisonnement non circulaire de créer les lettres numériques de n’import quel mot ce qui n’aurait pas été le cas autrement sans ce processus tripartite précédent. En effet, ces opérations alphanumériques ensemblistes de numérisation primaire et secondaire correspondent à un triple processus équivalent en algèbre ensembliste séquentiel, soit premièrement l’opération de la fonction simple de la caractéritique d’indexation des lettres d’un mot, puis soit deuxièmement l’opération de la fonction simple de lettre de mot, et enfin de la fonction simple de mot résultant de la multiplication des deux fonctions simple précédentes. Dans ce nouveau processus tripartite l’opération de la fonction simple de lettre de mot, notée encore Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), la lettre générique a correspondante déjà à une lettre numérisée car cette fonction simple de lettre d’un mot, n’opére pas de numérisation de lettre alphabétique d’un mot puisqu’elle n’opère que l’insertion d’un nombre correspondant à cette lettre alphabétique dans un ensemble d’éléments numériques correspondants aux lettres alphabétiques de ce mot et d’après un ordre respectif des lettres de ce mot les unes par rapport aux autres. Autrement dit plus simplement, non seulement la numérisation de l’unique mot alphabétique, mais aussi la numérisation de n’importe quel mot alphabétique, sont deux processus dont la complétion est un prérequis à toutes opérations d’algèbre ensembliste séquentiel correspondantes aux fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques. Considérons l’exemple du mot de lettres alphabétiques, noté W=yxabijkl dont la numérisation de ses lettres correspond au mot de lettres numériques, W=2423129101112, alors l’opération de l’écriture de ce mot correspondante aux opérations successivement répétées de l’écriture de ses lettres, correspondantes elles mêmes à la fonction simple de lettre de mot, notée je le rappele Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), ne peut s’effectuer que sur le sous ensemble des lettres numériques du mot W=2423129101112 c’est à dire le sous ensemble d’algèbre ensembliste séquentielle Seq(W)ᵢ₌₈=( 24 ; 23; 1 ; 2 ; 9 ; 10 ; 11 ;

12) ⊆ NUM₂₆=( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ), et non pas sur l’ensemble de ses lettres alphabétiques correspondantes aux lettres alphabétiques du mot W=yxabijkl.

Or la lettre numérique générique, a, ainsi obtenue parmi toutes celles obtenues par les trois opérations alphanumériques ensembliste de numérisation élémentaire des lettres du mot alphabétique, puis de numérisation primaire des lettres alphabétiques, puis de numérisation secondaire des lettres alphabétiques, peut être ensuite utilisée comme variable de valeur fixe dans la fonction caratéristique d’appartenance, c’est à dire la valeur numérique dont on veut caractériser son appartenance ou non à l’ensemble des lettres numériques de ce mot générique noté W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=aᵢ₌₁…aᵢ₌ₙ, et dont les deux fonctions simples qui déterminent la fonction simple de mot générique W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, et qui sont la fonction simple d’indexation des lettres de mot, notée INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )))), et la fonction simple de lettre de mot notée Leₐᵢ(a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), sont toutes deux une combinaison linéaire de cette fonction caractéristique d’appartenance et dont la fonction simple de mot est une combinaison linéaire de ces deux dernières fonction simples combinaison linéaire de la fonction caractéristique d’appartenance, explicitation qui est maintenant défini de la manière suivante :

∀ a, la même lettre générique pouvant prendre ensuite n’importe quelle valeur de l’ensemble des lettres du mot générique noté W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=aᵢ₌₁…aᵢ₌ₙ, et tel que aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ∈ Seq(Wₙᵤₘ= aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆))))ᵢ₌₂₆=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ;

26), la représentation ensembliste séquentielle résultat de l’opération alphanumérique ensembliste de la numérisation du mot alphabétique Wₐₗₚₕ dont les lettres appartiennent à l’ensemble des 26 lettres indicées par leur valeur numérique d’index positionnel ordonnée sur N*, et telles que aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z }⊆ INDALPH₂₆={aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ } ⊆ INDALPHA₂₆ ={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z } ⊆ INDALPHANUM₂₆ ={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11, lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 } ⊆ NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 } ; soit la lettre vide ε={}↔{εᵢ₌₀}↔ {i₀=ε} ↔ {εᵢ₌₀=0} ; soit l’opérateur d’uniontersection

notée ∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)),

résultant dans la représentation ensembliste séquentielle de toute opération d’algèbre ensembliste séquentielle ; soit la fonction simple d’algèbre ensembliste séquentiel cardinal des lettres du mot CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) dont le résultat est la longueur du mot noté |W| ; ∀ n=nᵢ ∈ Seq(N*)ᵢ₌₂₆=

(nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆ ; nᵢ₌₇…nᵢ₌₂₆ ) ⊆ Seq(N*)ᵢ₌∞ ↔ Seq(N)ᵢ₌₂₆=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌₂₆] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ Seq(N*)ᵢ₌∞, alors                                                                                                                                          :

INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )))) =(1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|+1)⌉)*nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ      (a) ↔ (a’)

INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )))) =∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a | / ( | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a |+1)⌉ )*nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )ᵢ ] )        (a’)

⁂⁂

Leₐᵢ( a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)))=(1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ       (a ») ↔ (a »’)

Leₐᵢ( a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))) =∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a | / ( | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a |+1)⌉ )*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )ᵢ ] )                                                                                                                           (a »’)

⁂⁂⁂

Nous notons maintenant que la fonction simple de mot, est le résultat possible de trois fonctions simples, soit tout d’abord, la fonction simple résultante du produit des éléments de valeurs numériques toutes égales à 1 du domaine d’arrivée de la fonction caratéristique de l’index des lettres de ce mot, et des éléments de valeur numérique du résultat de la fonction simple de chacune des lettres de ce mot, formule explicitée par l’expression (a) ; soit ensuite la fonction simple de toutes les lettres de mot, formule explicitée par l’expression (a’) ; et soit enfin la fonction simple d’expression algébrique numériquement calculable explicitée ci-dessous par (a »). J’écris donc maintenant ces trois expressions algébriques numériquement calculables que je définie comme suit :

∀ a=aᵢ ∈ ( a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i ; j ; k ; l ; m ; n ; o ; p ; q ; r ; s ; t ; u ; v ; w ; x ; y ; z ) ⊆ Mtₐᵢ(W=

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz) ↔ ∀ a=aᵢ ∈ Seq(Wₙᵤₘ= aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆))))ᵢ₌₂₆=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26), avec a la lettre générique pouvant prendre n’importe quelle valeur aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ de l’ensemble des lettres du mot générique noté W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=aᵢ₌₁…aᵢ₌ₙ ; soit la représentation ensembliste séquentielle résultat de l’opération alphanumérique ensembliste de la numérisation du mot alphabétique Wₐₗₚₕ dont les lettres appartiennent à l’ensemble des 26 lettres indicées par leur valeur numérique d’index positionnel ordonnée sur N*, et telles que aᵢ=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆ ∈ ALPH₂₆={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z } ⊆ INDALPH₂₆={aᵢ₌₁, bᵢ₌₂, cᵢ₌₃, dᵢ₌₄, eᵢ₌₅, fᵢ₌₆, gᵢ₌₇, hᵢ₌₈, iᵢ₌₉, jᵢ₌₁₀, kᵢ₌₁₁, lᵢ₌₁₂, mᵢ₌₁₃, nᵢ₌₁₄, oᵢ₌₁₅, pᵢ₌₁₆, qᵢ₌₁₇, rᵢ₌₁₈, sᵢ₌₁₉, tᵢ₌₂₀, uᵢ₌₂₁, vᵢ₌₂₂, wᵢ₌₂₃, xᵢ₌₂₄, yᵢ₌₂₅, zᵢ₌₂₆ } ⊆ INDALPHA₂₆ ={ i₁=a , i₂=b , i₃=c , i₄=d , i₅=e , i₆=f , i₇=g , i₈=h , i₉=i , i₁₀=j , i₁₁=k , i₁₂=l , i₁₃=m , i₁₄=n , i₁₅=o , i₁₆=p , i₁₇=q , i₁₈=r , i₁₉=s , i₂₀=t , i₂₁=u , i₂₂=v , i₂₃=w , i₂₄=x , i₂₅=y , i₂₆=z

} ⊆ INDALPHANUM₂₆ ={ aᵢ₌₁=1 , bᵢ₌₂=2 , cᵢ₌₃=3 , dᵢ₌₄=4 , eᵢ₌₅=5 , fᵢ₌₆=6 , gᵢ₌₇=7 , hᵢ₌₈=8 , iᵢ₌₉=9 , jᵢ₌₁₀=10 , kᵢ₌₁₁=11, lᵢ₌₁₂=12 , mᵢ₌₁₃=13 , nᵢ₌₁₄=14 , oᵢ₌₁₅=15 , pᵢ₌₁₆=16 , qᵢ₌₁₇=17 , rᵢ₌₁₈=18 , sᵢ₌₁₉=19 , tᵢ₌₂₀=20 , uᵢ₌₂₁=21 , vᵢ₌₂₂=22 , wᵢ₌₂₃=23 , xᵢ₌₂₄=24 , yᵢ₌₂₅=25 , zᵢ₌₂₆=26 } ⊆ NUM₂₆={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 } ; soit la lettre vide ε={}↔{εᵢ₌₀}↔ {i₀=ε} ↔ {εᵢ₌₀=0} ; soit l’opérateur d’uniontersection notée ∩∪(n=1→n=

CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), résultant dans la représentation ensembliste séquentielle de toute opération d’algèbre ensembliste séquentielle ; soit la fonction simple d’algèbre ensembliste séquentiel cardinal des lettres du mot CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) dont le résultat est la longueur du mot noté |W|

; ∀ n=nᵢ ∈ Seq(N*)ᵢ₌₂₆=(nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆ ; nᵢ₌₇…nᵢ₌₂₆ ) ⊆ Seq(N*)ᵢ₌∞ ↔ Seq(N)ᵢ₌₂₆=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌₂₆] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ Seq(N*)ᵢ₌∞, alors les trois expressions algébriques numériquement calculables de la fonction simple de mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ), (a), (a’) et (a »), sont les suivantes

:

La première expression (a) d’algèbre ensembliste séquentielle de la fonction simple de mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) :

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)=∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ (1A(INDEX(Leₐᵢ( aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )))))*Leₐᵢ( aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)))ᵢ ] )             (a)↔(a)’

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)=∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ((1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|+1)⌉))*(1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ -a|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )ᵢ ] )       (a)’↔(a) »

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)=(∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a | / ( | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a |+1)⌉ ) )ᵢ] )) * (∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a | / ( | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a |+1)⌉ )*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )ᵢ ]))                                                                       (a) »↔ (a) »’

La deuxième expression (a’) d’algèbre ensembliste séquentielle de la fonction simple de mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) :

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)=Leₐᵢ(aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)))             (a’)↔(a’)’

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)=∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [((1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )ᵢ])                                                                                                                   (a’)’

La troisième expression (a ») d’algèbre ensembliste séquentielle de la fonction simple de mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) :

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))=∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ (1-⌈|n-INDEX(Leₐᵢ(aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))))|/(|n-INDEX(Leₐᵢ(aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))))|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )ᵢ ])                                                                                             (a ») ↔ (a »)’

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))=∩∪(n=1→ n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ (1-⌈|n-(1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|+1)⌉)*nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ|/(|n-(1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|+1)⌉)*nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)ᵢ ])                                                                                (a »)’

⁂

Par exemple, soit le mot W=yxabijkl dont la numérisation par les trois opérations alphanumériques ensemblistes, NUMPRIMELTR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆)), NUMPRIM(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), et NUMPRIMSCDR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) et qui a pour résultat le mot W=2423129101112 ; soit la lettre b de ce mot dont la numérisation par les trois mêmes opérations alphanumériques ensemblistes et qui a pour résultat 2 ; soit en algèbre ensembliste séquentielle, la fonction simple d’indexation, INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂

(W=yxabijkl))) ; soit la fonction simple CARD(Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))=8 ; soit la fonction simple de lettre de mot notée Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)) ; soit n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌₈=(nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆ ; nᵢ₌₇ ; nᵢ₌₈ ) ⊆ Seq(N*)ᵢ₌∞ ↔ SeqNᵢ₌₈=(nᵢ₌₁=1 ; nᵢ₌₂=2 ; nᵢ₌₃=3 ; nᵢ₌₄=4 ; nᵢ₌₅=5 ; nᵢ₌₆=6 ; nᵢ₌₇=7 ; nᵢ₌₈=8 ) ⊆ Seq(N*)ᵢ₌∞ alors la fonction simple d’indexation se calcule numériquement pour la lettre b=2

de la manière suivante        :

INDEX(Leₐᵢ(b ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )))) = (1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-b|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-b|+1)⌉)*nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ                                                                                                                     (a)↔(a’)

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂( W=yxabijkl))) = (1-⌈|aᵢ₌₁=24 → aᵢ₌₈=12 – 2 |/(|aᵢ₌₁=24 → aᵢ₌₈=12-2|+1)⌉)*nᵢ₌₁→ᵢ₌₈ (a’)↔(a »)

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))) = ∩∪(n=1→n=8) : [ ( (1-⌈ | ( ∩∪(aᵢ₌₁=24 → aᵢ₌₈=12) )- 2 | / ( | (∩∪(aᵢ₌₁=24 → aᵢ₌₈=12))- 2|+1) ⌉ )*nᵢ₌₁→ᵢ₌₈ )ᵢ ] )  (a ») ↔ (a »’)

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (a ») de la fonction simple d’indexation pour la lettre b=2 est la suivante :

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))) = ( (1-⌈ | 24- 2 | / ( | (24 – 2|+1) ⌉ )*1 ; (1-⌈ | 23- 2 | / ( | (23 – 2|+1) ⌉ )*2 ; (1-⌈ | 1- 2 | / ( | (1 – 2|+1) ⌉ )*3 ; (1-⌈ | 2- 2 | / ( | (2- 2|+1) ⌉ )*4 ; (1-⌈ | 9- 2 | / ( | (9 – 2|+1) ⌉ )*5 ; (1-⌈ | 10- 2 | / ( | (10 -2|+1) ⌉ )*6 ; (1-⌈ | 11- 2 | / ( | (11 – 2|+1) ⌉ )*7 ; (1-⌈ | 12- 2 | / ( | (12- 2|+1) ⌉ )*8 )

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)))=( (1-1)*1 ; (1-1)*2 ; (1-1)*3 ; (1-0 )*4 ; (1-1 )*5 ; (1-1 )*6 ; (1-1)*7 ; (1-1)*8 )

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)))= ( (0)*1 ; (0)*2 ; (0)*3 ; (1 )*4 ; (0)*5 ; (0)*6 ; (0)*7 ; (0)*8 )

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)))= ( 0 ; 0 ; 0 ; 4 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) (a »’)

La lettre b=2 appartenant au sous-ensemble des lettres numériques du mot W=2423129101112, c’est à dire le sous-ensemble Seq(W)ᵢ₌₈=( 24 ; 23; 1 ; 2 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12) ⊆ NUM₂₆=( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ), a pour index de position la valeur numérique 4.

⁂

Ensuite, la représentation ensembliste séquentielle de la fonction simple d’index positionnel numérique de toutes les lettres du mot W=yxabijkl, d’expression algébrique numériquement calculable notée INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂ (W=yxabijkl))) = (1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a₂₄→₁₂|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a₂₄→₁₂|+1)⌉)*nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ                                                                                                        (a)’ est la suivante :

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))) = ( (1-⌈ | 24- 24 | / ( | (24 – 24|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 23- 24 | / ( | (23 – 24|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 1- 24 | / ( | (1 – 24|+1) ⌉ )*3 + (1-⌈ | 2- 24 | / ( | (2- 24|+1) ⌉ )*4 + (1-⌈ | 9- 24 | / ( | (9 – 24|+1) ⌉ )*5 + (1-⌈ | 10- 24 | / ( | (10 – 24|+1) ⌉ )*6 + (1-⌈ | 11- 24 | / ( | (11 – 24|+1) ⌉ )*7 + (1-⌈ | 12- 24 | / ( | (12- 24|+1) ⌉ )*8 ; (1-⌈ | 24- 23 | / ( | (24 – 23|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 23- 23 | / ( | (23 – 23|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 1- 23 | / ( | (1 – 23|+1) ⌉ )*3 + (1-⌈ | 2- 23 | / ( | (2- 23|+1) ⌉ )*4 + (1-⌈ | 9- 23 | / ( | (9 – 23|+1)

⌉ )*5 + (1-⌈ | 10- 23 | / ( | (10 – 23|+1) ⌉ )*6 + (1-⌈ | 11- 23 | / ( | (11 – 23|+1) ⌉ )*7 + (1-⌈ | 12- 23 | / ( | (12- 23|+1) ⌉ )*8 ; (1-⌈ | 24- 1 | / ( | (24 – 1|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 23- 1 | / ( | (23 – 1|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 1- 1 | / ( | (1 – 1|+1) ⌉ )*3 + (1-⌈ | 2- 1 | / ( | (2- 1|+1) ⌉ )*4 + (1-⌈ | 9- 1 | / ( | (9 -1|+1) ⌉ )*5 + (1-⌈ | 10- 1 | / ( | (10 – 1|+1) ⌉ )*6 + (1-⌈ | 11- 1| / ( | (11 – 1|+1) ⌉ )*7 + (1-⌈ | 12- 1 | / ( | (12- 1|+1) ⌉ )*8 ; (1-⌈ | 24- 2 | / ( | (24 – 2|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 23- 2 | / ( | (23 – 2|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 1- 2 | / ( | (1 – 2|+1) ⌉ )*3 + (1-⌈ | 2- 2 | / ( | (2- 2|+1) ⌉ )*4 + (1-⌈ | 9- 2 | / ( | (9 -2|+1) ⌉ )*5 + (1-⌈ | 10- 2 | / ( | (10 – 2|+1) ⌉ )*6 + (1-⌈ | 11- 2 | / ( | (11 – 2|+1) ⌉ )*7 + (1-⌈ | 12- 2 | / ( | (12- 2|+1) ⌉ )*8 ) ; (1-⌈ | 24- 9 | / ( | (24 – 9|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 23- 9 | / ( | (23 – 9|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 1- 9 | / ( | (1 – 9|+1) ⌉ )*3 + (1-⌈ | 2- 9 | / ( | (2- 9|+1) ⌉ )*4 + (1-⌈ | 9- 9| / ( | (9 -9|+1) ⌉ )*5 + (1-⌈ | 10- 9 | / ( | (10 – 9|+1) ⌉ )*6 + (1-⌈ | 11- 9 | / ( | (11 – 9|+1) ⌉ )*7 + (1-⌈ | 12- 9 | / ( | (12- 9|+1) ⌉ )*8 ) ; (1-⌈ | 24- 10 | / ( | (24 – 10|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 23- 10| / ( | (23 – 10|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 1- 10 | / ( | (1 – 10|+1) ⌉ )*3 + (1-⌈ | 2- 10 | / ( | (2- 10|+1) ⌉ )*4 + (1-⌈ | 9- 10| / ( | (9 – 10|+1) ⌉ )*5 + (1-⌈ | 10- 10 | / ( | (10 – 10|+1) ⌉ )*6 + (1-⌈ | 11- 10 | / ( | (11 – 10|+1) ⌉ )*7 + (1-⌈ | 12- 10| / ( | (12- 10|+1) ⌉ )*8 ) ; (1-⌈ | 24 – 11 | / ( | (24 – 11|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 23- 11| / ( | (23 – 11|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 1- 11 | / ( | (1 – 11|+1) ⌉ )*3 + (1-⌈ | 2- 11 | / ( | (2- 11|+1)

⌉ )*4 + (1-⌈ | 9- 11| / ( | (9 – 11|+1) ⌉ )*5 + (1-⌈ | 10- 11| / ( | (10 – 11|+1) ⌉ )*6 + (1-⌈ | 11- 11 | / ( | (11 – 11|+1) ⌉ )*7 + (1-⌈ | 12- 11| / ( | (12-11|+1) ⌉ )*8 ) ; (1-⌈ | 24 – 12 | / ( | (24 – 12|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 23- 12| / ( | (23 – 12|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 1- 12| / ( | (1 – 12|+1) ⌉ )*3 + (1-⌈ | 2- 12 | / ( | (2- 12|+1) ⌉ )*4 + (1-⌈ | 9- 12| / ( | (9 – 12|+1) ⌉ )*5 + (1-⌈ | 10- 12| / ( | (10 – 12|+1) ⌉ )*6 + (1-⌈ | 11- 12 | / ( | (11 – 12|+1) ⌉ )*7 + (1-⌈ | 12- 12| / ( | (12- 12|+1) ⌉ )*8 ) )

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))) = ( (1-0)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*3 + (1-1)*4 + (1-1)*5 + (1-1)*6 + (1-1)*7 + (1-1)*8 ; (1-1)*1 + (1-0)*2 + (1-1)*3 + (1-1)*4 + (1-1)*5 + (1-1)*6 + (1-1)*7 + (1-1)*8 ; (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-0)*3 + (1-1)*4 + (1-1)*5 + (1-1)*6 + (1-1)*7 + (1-1)*8 ; (1-1 )*1 + (1-1)*2 + (1-1)*3 + (1-0)*4 + (1-1)*5 + (1-1)*6 + (1-1)*7 + (1-1)*8 ; (1-

1 )*1 + (1-1)*2 + (1-1)*3 + (1-1)*4 + (1-0)*5 + (1-1)*6 + (1-1)*7 + (1-1)*8 ; (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*3 + (1-1)*4 + (1-1)*5 + (1-0)*6 + (1-1)*7 + (1-1)*8 ; (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*3 + (1-1)*4 + (1-1)*5 + (1-1)*6 + (1-0)*7 + (1-1)*8 ; (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*3 + (1-1)*4 + (1-1)*5 + (1-1)*6 + (1-1)*7 + (1-0)*8 )

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)))=( (1+0+0+0+0+0+0+0)*1 ; (0+1+0+0+0+0+0+0)*2 ; (0+0+1+0+0+0+0+0)*3 ; (0+0+0+1+0+0+0+0)*4 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*5 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*6 ; (0+0+0+0+0+0+1+0)*7 ; (0+0+0+0+0+0+0+1)*8 )

INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))) = ( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7; 8 ) (a »’)

⁂⁂

Par exemple encore et comme précédemment, soit le mot W=yxabijkl dont la numérisation par les trois opérations alphanumériques ensemblistes, NUMPRIMELTR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆)),

NUMPRIM(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), et NUMPRIMSCDR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) et qui a pour résultat le mot W=2423129101112 ; soit la lettre b de ce mot dont la numérisation par les trois

mêmes opérations alphanumériques ensemblistes et qui a pour résultat 2 ; soit en algèbre ensembliste séquentielle, la fonction simple CARD(Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))=8 ; soit la fonction simple de lettre de mot Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆

Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)) ; soit n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌₈=(nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆ ; nᵢ₌₇ ; nᵢ₌₈ ) ⊆ Seq(N*)ᵢ₌∞ ↔ SeqNᵢ₌₈=(nᵢ₌₁=1 ; nᵢ₌₂=2 ; nᵢ₌₃=3 ; nᵢ₌₄=4 ; nᵢ₌₅=5 ; nᵢ₌₆=6 ; nᵢ₌₇=7 ; nᵢ₌₈=8 ) ⊆ Seq(N*)ᵢ₌∞ ; alors la fonction simple de lettre de mot se calcule numériquement pour la lettre b=2 de la

manière suivante         :

Leₐᵢ( b ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))) = (1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-b|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-b|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ         (a) ↔ (a’)

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂( W=yxabijkl)) = (1-⌈|aᵢ₌₁=24 → aᵢ₌₈=12 – 2 |/(|aᵢ₌₁=24 → aᵢ₌₈=12-2|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌₈        (a’) ↔ (a »)

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)) = ∩∪(n=1→n=8) : [ ( (1-⌈ | ( ∩∪(aᵢ₌₁=24 → aᵢ₌₈=12) )- 2 | / ( | (∩∪(aᵢ₌₁=24 → aᵢ₌₈=12))- 2|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌₈ )ᵢ ] )                           (a ») ↔ (a »’)

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (a »’) de la fonction simple de lettre de mot pour la lettre b=2 est la suivante :

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)) = ( (1-⌈ | 24- 2 | / ( | (24 – 2|+1) ⌉ )*24 ; (1-⌈ | 23- 2 | / ( | (23 -2|+1) ⌉ )*23 ; (1-⌈ | 1- 2 | / ( | (1 – 2|+1) ⌉ )*1 ; (1-⌈ | 2- 2 | / ( | (2- 2|+1) ⌉ )*2 ; (1-⌈ | 9- 2 | / ( | (9 – 2|+1) ⌉ )*9 ; (1-⌈ | 10- 2 | / ( | (10 – 2|+1) ⌉ )*10 ; (1-⌈ | 11- 2 | / ( | (11 – 2|+1) ⌉ )*11 ; (1-⌈ | 12- 2 | / ( | (12- 2|+1) ⌉ )*12 )

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))=( (1-1)*24 ; (1-1)*23 ; (1-1)*1 ; (1-0 )*2 ; (1-1 )*9 ; (1-1 )*10 ; (1-1)*11 ; (1-1)*12 )

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))= ( (0)*24 ; (0)*23 ; (0)*1 ; (1 )*2 ; (0)*9 ; (0)*10 ; (0)*11 ; (0)*12 )

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( b ∈ ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))= ( 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) (a »’)

La lettre b=2 appartenant au sous-ensemble des lettres numériques du mot W=2423129101112, c’est à dire le sous-ensemble d’algèbre ensembliste séquentielle Seq(W)ᵢ₌₈=( 24 ; 23 ; 1 ; 2 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12) ⊆ NUM₂₆=( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ), a été créée sous la forme canonique d’un élément d’algèbre ensembliste séquentielle avec laquelle d’autres opération d’algèbre ensembliste séquentielle peuvent être créées parce que la lettre que la fonction simple de lettre de mot a créée, permet de changer les lettres de n’importe quel mot en n’importe quelle autre lettre pour créer n’importe quel nouveau mot et établir ainsi un véritable algèbre ensembliste séquentielle en combinatoire des mots par l’opération non plus basique d’écriture ou création de lettre de mot, mais l’opération de substitution ou de répétition de lettre de mot en partant de n’importe quel mot de n’importe quelles lettres numériques.

⁂

Ensuite, la représentation ensembliste séquentielle de la fonction simple de lettre de mot numérique de toutes les lettres du mot

W=yxabijkl, d’expression algébrique numériquement calculable notée Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂ (W=yxabijkl)) = (1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a₂₄→₁₂|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a₂₄→₁₂|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ                                               (a)’, est la suivante :

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)) = ( (1-⌈ | 24 – 24 | / ( | (24 – 24|+1) ⌉ )*24 + (1-⌈ | 23- 24 | / ( | (23 -24|+1) ⌉ )*23 + (1-⌈ | 1- 24 | / ( | (1 – 24|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 2- 24 | / ( | (2- 24|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 9- 24 | / ( | (9 – 24|+1) ⌉ )*9 + (1-⌈ | 10- 24 | / ( | (10 – 24|+1) ⌉ )*10 + (1-⌈ | 11- 24 | / ( | (11 – 24|+1) ⌉ )*11 + (1-⌈ | 12- 24 | / ( | (12- 24|+1) ⌉ )*12 ; (1-⌈ | 24- 23 | / ( | (24 – 23|+1) ⌉ )*24 + (1-⌈ | 23- 23 | / ( | (23 – 23|+1) ⌉ )*23 + (1-⌈ | 1- 23 | / ( | (1 – 23|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 2- 23 | / ( | (2- 23|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 9- 23 | / ( | (9 – 23|+1)

⌉ )*9 + (1-⌈ | 10- 23 | / ( | (10 – 23|+1) ⌉ )*10 + (1-⌈ | 11- 23 | / ( | (11 – 23|+1) ⌉ )*11 + (1-⌈ | 12- 23 | / ( | (12- 23|+1) ⌉ )*12 ; (1-⌈ | 24- 1 | / ( | (24 – 1|+1) ⌉ )*24 + (1-⌈ | 23- 1 | / ( | (23 – 1|+1) ⌉ )*23 + (1-⌈ | 1- 1 | / ( | (1 – 1|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 2- 1 | / ( | (2- 1|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 9- 1 | / ( | (9 – 1|+1) ⌉ )*9 + (1-⌈ | 10- 1 | / ( | (10 – 1|+1) ⌉ )*10 + (1-⌈ | 11- 1| / ( | (11 – 1|+1) ⌉ )*11 + (1-⌈ | 12- 1 | / ( | (12- 1|+1) ⌉ )*12 ; (1-⌈ | 24- 2 | / ( | (24 – 2|+1) ⌉ )*24 + (1-⌈ | 23- 2 | / ( | (23 – 2|+1) ⌉ )*23 + (1-⌈ | 1- 2 | / ( | (1 – 2|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 2- 2 | / ( | (2- 2|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 9- 2 | / ( | (9 – 2|+1) ⌉ )*9 + (1-⌈ | 10- 2 | / ( | (10 – 2|+1) ⌉ )*10 + (1-⌈ | 11- 2 | / ( | (11 – 2|+1) ⌉ )*11 + (1-⌈ | 12- 2 | / ( | (12- 2|+1) ⌉ )*12 ; (1-⌈ | 24- 9 | / ( | (24 – 9|+1) ⌉ )*24 + (1-⌈ | 23- 9 | / ( | (23 – 9|+1) ⌉ )*23 + (1-⌈ | 1- 9 | / ( | (1 – 9|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 2- 9 | / ( | (2- 9|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 9- 9| / ( | (9 – 9|+1) ⌉ )*9 + (1-⌈ | 10- 9 | / ( | (10 – 9|+1) ⌉ )*10 + (1-⌈ | 11- 9 | / ( | (11 – 9|+1) ⌉ )*11 + (1-⌈ | 12- 9 | / ( | (12- 9|+1) ⌉ )*12 ; (1-⌈ | 24- 10 | / ( | (24 – 10|+1) ⌉ )*24 + (1-⌈ | 23- 10| / ( | (23 – 10|+1) ⌉ )*23 + (1-⌈ | 1- 10 | / ( | (1 – 10|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 2- 10 | / ( | (2- 10|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 9- 10| / ( | (9 – 10|+1) ⌉ )*9 + (1-⌈ | 10- 10 | / ( | (10 – 10|+1) ⌉ )*10 + (1-⌈ | 11- 10 | / ( | (11 – 10|+1) ⌉ )*11 + (1-⌈ | 12- 10| / ( | (12- 10|+1)

⌉ )*12 ; (1-⌈ | 24 – 11 | / ( | (24 – 11|+1) ⌉ )*24 + (1-⌈ | 23- 11| / ( | (23 – 11|+1) ⌉ )*23 + (1-⌈ | 1- 11 | / ( | (1 – 11|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 2- 11 | / ( | (2- 11|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 9- 11| / ( | (9 – 11|+1) ⌉ )*9 + (1-⌈ | 10- 11| / ( | (10 – 11|+1) ⌉ )*10 + (1-⌈ | 11- 11 | / ( | (11 – 11|+1) ⌉ )*11 + (1-⌈ | 12-11| / ( | (12- 11|+1) ⌉ )*12 ; (1-⌈ | 24 – 12 | / ( | (24 – 12|+1) ⌉ )*24 + (1-⌈ | 23- 12| / ( | (23 – 12|+1) ⌉ )*23 + (1-⌈ | 1- 12| / ( | (1 – 12|+1) ⌉ )*1 + (1-⌈ | 2- 12 | / ( | (2- 12|+1) ⌉ )*2 + (1-⌈ | 9- 12| / ( | (9 – 12|+1) ⌉ )*9 + (1-⌈ | 10- 12| / ( | (10 – 12|+1) ⌉ )*10 + (1-⌈ | 11- 12 | / ( | (11 -12|+1) ⌉ )*11 + (1-⌈ | 12- 12| / ( | (12- 12|+1) ⌉ )*12 ).

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl) ) = ( (1-0)*24 + (1-1)*23 + (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*9 + (1-1)*10 + (1-1)*11 + (1-1)*12 ; (1-1)*24 + (1-0)*23 + (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*9 + (1-1)*10 + (1-1)*11 + (1-1)*12 ; (1-1)*24 + (1-1)*23 + (1-0)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*9 + (1-1)*10 + (1-1)*11 + (1-1)*12 ; (1-1 )*24 + (1-1)*23 + (1-1)*1+ (1-0)*2 + (1-1)*9 + (1-1)*10 + (1-1)*11 + (1-1)*12 ; (1-1 )*24 + (1-1)*23 + (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-0)*9 + (1-1)*10 + (1-1)*11 + (1-1)*12 ; (1-1)*24 + (1-1)*23 + (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*9 + (1-0)*10 + (1-1)*11 + (1-1)*12 ; (1-1)*24 + (1-1)*23 + (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*9 + (1-1)*10 + (1-0)*11 + (1-1)*12 ; (1-1)*24 + (1-1)*23 + (1-1)*1 + (1-1)*2 + (1-1)*9 + (1-1)*10 + (1-1)*11 + (1-0)*12 )

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl) ) =( (1+0+0+0+0+0+0+0)*24 ; (0+1+0+0+0+0+0+0)*23 ; (0+0+1+0+0+0+0+0)*1 ; (0+0+0+1+0+0+0+0)*2 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*9 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*10 ; (0+0+0+0+0+0+1+0)*11 ; (0+0+0+0+0+0+0+1)*12 )

Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl) ) = ( 24 ; 23 ; 1 ; 2 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 )                                                                                                                           (a »’)

⁂⁂⁂

Par exemple encore et comme précédemment, soit le mot W=yxabijkl dont la numérisation par les trois opérations alphanumériques ensemblistes, NUMPRIMELTR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌₂₆)),

NUMPRIM(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), et NUMPRIMSCDR(Leₐᵢ( a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), et qui a pour résultat le mot W=2423129101112 ; soit la lettre b de ce mot dont la numérisation par les trois

mêmes opérations alphanumériques ensemblistes et qui a pour résultat 2 ; soit en algèbre ensembliste séquentielle, la fonction simple CARD(Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))=8 ; soit la fonction simple de lettre de mot Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆

Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)) ; soit en algèbre ensembliste séquentielle, la fonction simple d’indexation, INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂ (W=yxabijkl))) ; soit n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌₈=(nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₂ ; nᵢ₌₃ ; nᵢ₌₄ ; nᵢ₌₅ ; nᵢ₌₆ ; nᵢ₌₇ ; nᵢ₌₈ ) ⊆ Seq(N*)ᵢ₌∞ ↔ SeqNᵢ₌₈=(nᵢ₌₁=1 ; nᵢ₌₂=2 ; nᵢ₌₃=3 ; nᵢ₌₄=4 ; nᵢ₌₅=5 ; nᵢ₌₆=6 ; nᵢ₌₇=7 ; nᵢ₌₈=8 ) ⊆

Seq(N*)ᵢ₌∞ ; alors la fonction simple de mot Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂ (W=yxabijkl) d’algèbre ensembliste séquentielle, se calcule numériquement de la

manière suivante        :

La première expression (a) algébrique numériquement calculable d’algèbre ensembliste séquentiel de la fonction simple de mot est la suivante :

Puisque 1A(INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))))*n= INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))) ↔ 1A(INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))))=INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )))/n=(∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a | / ( | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a |+1)⌉ )*n/n )ᵢ] )) , alors :

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)=1A(INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))))*Leₐᵢ( a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)))                                                                                                                    (a) ↔ (a)’

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)=(∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a | / ( | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a |+1)⌉ )*(nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )/(nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) )ᵢ] )) * (∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a | / ( | aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a |+1)⌉ )*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )ᵢ ]))

(a)’↔ (a) »

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))))*Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))=( (1+0+0+0+0+0+0+0)*1/1 ; (0+1+0+0+0+0+0+0)*2/2 ; (0+0+1+0+0+0+0+0)*3/3 ; (0+0+0+1+0+0+0+0)*4/4 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*5/5 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*6/6 ; (0+0+0+0+0+0+1+0)*7/7; (0+0+0+0+0+0+0+1)*8/8 ) ∩∪* ( (1+0+0+0+0+0+0+0)*24 ; (0+1+0+0+0+0+0+0)*23; (0+0+1+0+0+0+0+0)*1 ; (0+0+0+1+0+0+0+0)*2 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*9 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*10 ; (0+0+0+0+0+0+1+0)*11 ; (0+0+0+0+0+0+0+1)*12 ) (a) »↔ (a) »’

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))))*Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))=( (1+0+0+0+0+0+0+0)*1/1*24 ; (0+1+0+0+0+0+0+0)*2/2*23 ; (0+0+1+0+0+0+0+0)*3/3*1 ; (0+0+0+1+0+0+0+0)*4/4*2 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*5/5*9 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*6/6*10 ; (0+0+0+0+0+0+1+0)*7/7*11 ; (0+0+0+0+0+0+0+1)*8/8*12 )                                                                                      (a) »’↔ (a) » »

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl))))*Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl)) = ( 1*24 ; 1*23 ; 1*1 ; 1*2 ; 1*9 ; 1*10 ; 1*11; 1*12 )                                                                           (a) » »↔(a) » »’

Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂ (W=yxabijkl)= (24 ; 23 ; 1 ; 2 ; 9 ; 10 ; 11; 12 )      (a) » »’

⁂

La deuxième expression (a’) algébrique numériquement calculable d’algèbre ensembliste séquentiel de la fonction simple de mot est la suivante:

Puisque, Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) ↔ Leₐᵢ( aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)))ᵢ ] ), c’est-à-dire que Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂ (W=yxabijkl) ↔ Leₐᵢ₌₁→ᵢ₌₈( ( y ; x ; a ; b ; i ; j ; k ; l ) ⊆ Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl) ), alors :

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)=∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [((1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )ᵢ]) (a’) ↔(a’)’

Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl) =( (1+0+0+0+0+0+0+0)*24 ; (0+1+0+0+0+0+0+0)*23 ; (0+0+1+0+0+0+0+0)*1 ; (0+0+0+1+0+0+0+0)*2 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*9 ; (0+0+0+0+0+1+0+0)*10 ; (0+0+0+0+0+0+1+0)*11 ; (0+0+0+0+0+0+0+1)*12 )

Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl) = ( 24 ; 23 ; 1 ; 2 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 )          (a »’)

⁂

La troisième expression (a ») algébrique numériquement calculable d’algèbre ensembliste séquentiel de la fonction simple de mot est la suivante :

Puisque, Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) = ∩∪(n=1 → n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : (1-⌈|n-INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))))|/(|n-INDEX(Leₐᵢ(a ⊆ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))))|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)ᵢ ] )                               (a ») ↔ (a »)’

Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) = ∩∪(n=1→ n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ (1-⌈|n-(1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|+1)⌉)*nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ|/(|n-(1-⌈|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|/(|aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ-a|+1)⌉)*nᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ|+1)⌉)*aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)ᵢ ])                                                                                 (a »)’ ↔ (a ») »

Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl) = ( (1-⌈|1-1|/(|1-1|+1)⌉)*24 ; (1-⌈|2-2|/(|2-2|+1)⌉)*23 ; (1-⌈|3-3|/(|3-3|+1)⌉)*1 ; (1-⌈|4-4|/(|4-4|+1)⌉)*2 ; (1-⌈|5-5|/(|5-5|+1)⌉)*9 ; (1-⌈|6-6|/(|6-6|+1)⌉)*10 ; (1-⌈|7-7|/(|7-7|+1)⌉)*11 ; (1-⌈|8-8|/(|8-8|+1)⌉)*12 )

(a ») » ↔ (a ») »’

Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl) = ( (1-0)*24 ; (1-0)*23 ; (1-0)*1 ; (1-0)*2 ; (1-0)*9 ; (1-0)*10 ; (1-0)*11 ; (1-0)*12 ) (a ») » ↔ (a ») »’

Mt₂₄,₂₃,₁,₂,₉,₁₀,₁₁,₁₂(W=yxabijkl) =( 24 ; 23 ; 1 ; 2 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 )          (a »’) »’

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Mais une augmentation de la dynamique intellectuelle réside plus encore que dans la transcription précédemment décrite des lettres en nombres, et ce d’autant plus qu’il y-a bien une deuxième transcription inverse des nombres en lettres pour accroitre cette dynamique, à condition de changer l’ensemble du domaine d’arrivée EANUM₂₆={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, de la fonction de transcription numérique des lettres alphabétiques, puisque la différentiation des lettres permettant la dissociation des mots faisant le sens de leurs combinaisons n’est plus possible avec des mots faits de chiffres, avec lesquels la désambiguation n’est plus possible. Par exemple, le mot W=525478 peut être transcrit en une suite de lettres, avec W=ebedgh ou W=eydgh, ou W=bdc, ou W=ej, ou W=r. La solution algébrique numériquement calculable à cette problématique de la désambiguation des lettres numériques juxtaposées qui peuvent être en générale soit des chiffres soit des nombres, est donc celle que nous exposons dans ce premier sous-titre suivant et qui consiste à représenter les mots par leurs lettres numériques concaténées par l’opération d’expression algébrique numériquement calculable permettant ainsi de les juxtaposer en les distinguant par le signe de cet opérateur de concaténation noté, || et placé entre les lettres numériques, comme celles du mot W=a₁a₂…aₙ sur l’alphabet A, que je note donc W=aᵢ||aᵢ||…||aᵢ, la juxtaposition concaténation d’un nombre fini de ces symboles de lettres aᵢ par l’opération de la juxtaposition concaténation, qui est maintenant calculable puisque toute ses lettres sont numérisées parce numérisables comme précédemment définis par opération de numérisation primaire et secondaire, et correspondante à l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction simple de concaténation que nous exliquons maintenant dans le sous-titre suivant.

⁂⁂

« p∥ q=pb^(l(q)) + q où l(q)= ⌊logb (q)⌋ + 1 est la longueur numérique de q en base b et ⌊ x⌋ est la fonction plancher. » Extrait de l’article « Concaténation — from Wolfram MathWorld »

⁂⁂

a.2) La fonction simple de concaténation* des lettres numériques d’un mot équivalente à l’opération de la somme de la suite de chiffres du nombre que forme les lettres numériques de ce mot en base dix un polynôme en puissance de dix, où les coefficients polynomiaux compris entre 0 et 9 sont les chiffres de ce nombre :

J’écris donc maintenant cette expression algébrique numériquement calculable de la fonction simple de juxtaposition concaténation || des lettres d’un mot que je définis comme l’opération de concaténation entre deux lettres p et q d’un mot W=pq que je note p||q, et si et seulement si les mots p et q sont de forme numérique généralement correspondante à la valeur numérique du rang de toutes lettres ordonnées sur N* que nous avons donc définis au sous-chapitre précédent par l’expression algébrique numériquement calculable de la numérisation de toutes lettres alphabétiques de n’importe quel mot de lettres alphabétiques. L’expression algébrique numériquement calclable de la fonction de concaténation dont je ne suis pas l’auteur créateur* est la suivante :

Soit p et q ∈ N* :

p||q = p*b^l(q) + q     (A), avec la fonction notée l(q)=⌊logᵦ(q)⌋ + 1, qui est celle du nombre de chiffres de q en base b=ᵦ ; et la fonction ⌊logᵦ(q)⌋ qui est celle de la fonction plancher.

p||q =p*b^(⌊logᵦ(q)⌋+1) + q       (A’).

N’oublions pas aussi que plus encore, si la dynamique intellectuelle désormais illimitée d’une augmentation possible de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots résulte de la numérisation des lettres de l’alphabet par leur rang sur l’ensemble des lettres de l’alphabet équivalent à leur index positionnel sur l’ensemble N*, elle résulte aussi de ce qui relie fondamentalement les fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques à la systématisation formulique des mathématiques de la combinatoire des mots, qui sont la fonction plancher et la fonction plafond en tant que fonction caractéristique fondamentale.

⁂

Donc pour illustrer cette fonction simple de concaténation des lettres numérique d’un mot, considérons par exemple :

Soit le mot vide de la lettre vide, noté W=ε et de valeur numérique équivalente à sa valeur alphabétique vide notée ε, égale à zéro. Soit un mot W=10101=aεaεa de longueur notée |W|₀₁=5 de l’alphabet A={0, 1}={ε, a}, correspondant à la quantité totale de toutes ses lettres, et soit un autre mot W’=110=aaε, de longueur notée |W’|₀₁=3 de l’alphabet A={0, 1}={ε, a}. Alors, en définissant une opération interne sur A appelée concaténation des mots, la concaténation des mots W=10101=aεaεa et W’=110=aaε dans cet ordre respectif W||W’=aεaεaaaε qui est d’expression algébrique numériquement calculable noté W||W’=W*l(W’) + W’, avec l(W) = ⌊logb(W’)⌋+1, et base b=ᵦ=10. Alors nous obtenons ainsi, W||W’=10101||110 =10101*10^l(110)+110, avec l(110) = ⌊log10(110)⌋+1=3 ; et donc en finalité W||W’=10101||110 =101001011.

Remarquons que cette concaténation est une opération répétable à l’infinie permettant ainsi de créer des mots à l’infini.

Remarquons encore que ce qui relie les fonctions caractéristiques et simples à la systématisation de la numérisation des lettres des mots et donc à la dynamique d’augmentation formulique des mathématiques de la combinatoire des mots, est précisément cette fonction de concaténation telle que définie précédemment, néanmoins en mathématiques de la combinatoire des mots, cette fonction simple de concaténation correspond en fait à une opération désignée par le terme de factorisation des lettres que nous restreignons comme appartenant à un ensemble de lettres possiblement vide, (a₀=ε=0), finis et infinis, d’un mot W=a₁a₂a₃a₄a₅…aₘ-₁.

Or, nous remarquons que ce terme de factorisation peut être utilisé de trois manières différentes, dont la première pour désigner justement comme lindiqué précédemment une opération de concaténation des lettres d’un mot W qui sont génériquement notées aᵢ et une opération notée W=aᵢ||aᵢ₊₁, c’est-à-dire W=a₁||a₂||a₃||a₄||a₅||…||aₘ-₁. Alors, correspondante à cette première manière, j’utilise le terme de « factorisation concaténation » quand il est d’usage d’utiliser le terme de factorisation dans ce premier sens, avec le terme de facteurs produits de factorisation au sens de blocs de symboles consécutifs et en rappelant que l’opération de concaténation entre les lettres numériques du mot W=a₁a₂a₃a₄a₅…aₘ-₁ est notée W=a₁||a₂||a₃||a₄||a₅||…||aₘ-₁ et sa formule algébrique numériquement calculable de concaténation de ces lettres exclusivement numériques est définie comme suit :

Soit l(aᵢ) = ⌊logᵦ(aᵢ)⌋+1 qui est le nombre de chiffres de aᵢ en base b=ᵦ, et ⌊logᵦ(aᵢ)⌋ est la fonction plancher, alors tout mot W est le résultat de la fonction simple de concaténation des lettres numériques de la manière suivante :

W=a₁||a₂||a₃||a₄||a₅||…||aₘ-₁=(…((((a₁*10^l(a₂)+a₂)*10^l(a₃)+a₃)*10^l(a₄)+a₄)*10^l(a₅) +a₅)…)*10^l(aₘ-₁)+aₘ-₁                                                                                                                            (A),

W=a₁||a₂||a₃||a₄||a₅||…||aₘ-₁=(…((((a₁*10^(⌊logᵦ(a₂)⌋+1)+a₂)*10^(⌊logᵦ(a₃)⌋+1)+a₃)*10^(⌊logᵦ(a₄)⌋+1)+a₄)*10^(⌊logᵦ(a₅)⌋ +1)+a₅)…)*10^(⌊logᵦ(aₘ-₁ )⌋+1) + aₘ-₁         (A’).

Mais, remarquons toujours que ce terme de factorisation est aussi utilisé d’une deuxième manière différente de la précédente, pour signifier écrire ce même mot en général W=a₁a₂a₃a₄a₅…aₘ-₁, sous la forme de ces parties décomposables en lettres comme celle appelée suffixe dont le plus petit suffixe propre qui est le plus petit suffixe non vide de W=a₁a₂a₃a₄a₅…aₘ-₁ et qui est aussi le plus petit facteur, c’est-à-dire le dernier facteur ; et donc correspondant à cette deuxième manière d’utiliser le terme terme de factorisation, j’utilise le deuxième terme de « factorisation suffixation », quand il est d’usage d’utiliser le terme de factorisation dans ce sens, avec le terme de facteurs produits de factorisation au sens de blocs de symboles consécutifs sachant que :

Un sous mot W₂= a₂.₀a₂.₁… est un suffixe d’un mot W s’il existe un sous mot W₁=a₁.₀a₁.₁… tel que W = W₁W₂.

Par exemple, W=et est un facteur de W=pouet. La factorisation suffixation de W=pouet est W=et.

Enfin J’ai aussi créé le terme de « factorisation facteurisation sous mot » comprenant un néologisme pour signifier écrire un des facteurs de ce même mot écrit en général W= a₁a₂a₃a₄a₅…aₘ-₁ avec le terme de facteurs produits de factorisation au sens de blocs de symboles consécutifs.

Un mot W₁ est un sous-mot d’un mot W=z₁x₁z₂x₂…,xₘzₘ s’il existe une factorisation W=z₁x₁z₂x₂…,xₘzₘ en sous mots W=z₁, W=x₁,W=z₂,W=x₂,…,W=xₘ,W=zₘ et telle que W₁=x₁x₂⋯xₘ. Ainsi, W₁ s’obtient à partir de W en effaçant des symboles dans W.

Par exemple, W=bb est sous-mot de W=bcbe et donc la factorisation W=bcbe en sous mots W₁.₁=b, W₂=c,W₁.₂=b,W₃=e,… telle que W₁=W₁.₁.W₁.₂=bb.

Mais que ce soit dans le deuxième cas du terme de « factorisation suffixation », et du troisième cas de « factorisation facteurisation sous mot », les deux termes ne correspondent pas au terme de « factorisation » pour indiquer qu’il y a une opération de factorisation de lettres au sens arithmétique de factorisation sur les chiffres, mais dans le premier cas une opération de concaténation des lettres de mots au sens arithmétique de concaténation de chiffres, et dans le deuxième cas une autre opération de concaténation spéciale de lettres formant un suffixe du mot, et même si les deux formules mathématiques correspondantes aux deux types d’objets mathématiques concaténés des chiffres et des lettres s’avèrent être différentes. Donc si j’ai créé trois termes précédemment dont seulement le deuxième terme et le troisième terme qui sont deux néologismes sont nécessaires pour indiquer qu’il n’y a pas en réalité d’opération de factorisation de lettres en combinatoire des mots seulement au sens arithmétique de factorisation sur les chiffres et qui est définie d’après Wikipédia, comme « consistant à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d’un produit. La factorisation arithmétique d’une expression s’entend dans un domaine muni de deux lois opératoires ; typiquement, les nombres réels munis de l’addition et de la multiplication ; plus généralement dans une forme factorisée d’une expression les dernières opérations en jeu sont toutes des multiplications. Lorsqu’un élément apparaît en facteur dans au moins deux termes d’une somme, tous ces termes peuvent être remplacés globalement par un seul produit de l’élément commun avec la somme de ses différents facteurs. Ce procédé s’appuie sur la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ». En effet un exemple de factorisation d’expression algébrique est par la définition même d’un anneau, qui est, si a, b et c sont trois éléments d’un anneau, alors, a*b+a*c=a*(b+c).

En comparaison, un exemple de factorisation d’un mot arbitraire, W, qui peut être factorisé de manière unique, W=w₁ … wₘ-₁, en m facteurs, m ≥ 1, et qui ne correspond pas à une factorisation arithmétique pourtant notée factorisation est en fait l’écriture d’un facteur d’un mot c’est à dire d’un suffixe ou d’un préfixe et toute partie générale d’un mot noté sous mot comprenant également la lettre unique d’un mot, mais correspond à une opération générale de concaténation et d’élimination de lettres, et plus spécifiquement autant d’opération de facteurisation qu’il y a de parties décomposables d’un mot qui seront généralement noté par le nom de la partie de ce mot en ommettant le terme néologisme de facteurisation ainsi que de celui de factorisation. Néanmoins c’est seulement dans le premier cas du terme de factorisation que j’ai appelé « factorisation concaténation » que nous pouvons trouver ce qui justifie l’utilisation du terme factorisation uniquement grâce au concept consubstantiel à l’arithmétique des chiffres du nombre est celui de notation dite positionnelle des chiffres d’un nombre :

« La notation positionnelle ou notation de valeur de position, ou système numérique positionnel sachant que la numération positionnelle existe depuis le IIIe millénaire av. J.-C. : les mathématiciens babyloniens utilisent un système de numération positionnel sexagésimal. Plus généralement, un système positionnel est un système numérique dans lequel la contribution d’un chiffre à la valeur d’un nombre est la valeur du chiffre multipliée par un facteur déterminé par la position du chiffre. La convention usuelle de notation mathématique est d’ordonner cette suite de chiffres qui font le nombre par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle : les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. » Ainsi à la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre y=(cₙ ; cₙ₋₁ ; c ₙ₋₂ ;… c₁ ; c₀) correspond une représentation dans une base 10 équivalente à la concaténation des chiffres du nombre y par l’opération de la somme de la suite de chiffres de ce nombre en base dix qui est un polynôme en puissance de dix, où les coefficients c compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre y s’écrit de la manière suivante :

y= cₙ*10^n + cₙ₋₁*10 ^(n-1) + cₙ₋₂*10^(n-2) +…+c₁*10^(1) + c₀*10^(0)      (B).

Donc nous pouvons par extension de cette notation (A) écrire qu’en combinatoire des mots, le terme de factorisation d’un mot w= w₀w₁w₂w₃w₄ …wₘ-₁ est donc utilisé pour désigner une opération équivalente à une opération de concaténation sur les lettres d’un mot w et par extension écrire n’importe quelle combinaison des lettres d’un mot w, en rappelant une troisième fois que l’opération de concaténation entre deux lettres p et q d’un mot w=pq est notée p||q et sa formule algébrique numériquement calculable si les mots p et q sont numériques (nous définissons au sous-chapitre suivant, a ».1′), définitions 2 et 2′ à la transformation algébrique permettant la numérisation de tous mots non numériques) est :

p||q = p*b^l(q) + q avec l(q) = ⌊logb(q)⌋+1 est le nombre de chiffres de q en base b, et ⌊x⌋ est la fonction plancher                                                                                                                            (A).

Nos deux termes spéciaux de « factorisation suffixation », et de « factorisation facteurisation » avec un néologisme, restent donc nécessaires pour indiquer plus précisément la formule correspondante de concaténation et d’élimination par rapport à celle équivalente et correspondante à la factorisation. Je ne refais pas inutilement le monde mathématique en me conformant au principe du rasoir d’Ockham philosophe du XIVe siècle qui s’énonce « Pluralitas non est ponenda sine necessitate » de ne pas multiplier inutilement les expressions d’une explication, donc seulement quand c’est simplement explicitement factoriser par le nombre correspondant au rang d’une lettre d’un mot qui donc par extension peut être un chiffre aussi bien qu’une lettre.

⁂⁂

Mais une augmentation de la dynamique intellectuelle réside plus encore que dans la transcription précédemment décrite des lettres en nombres, et surtout plus encore que dans la factorisation d’un mot comprenant l’opération fondamentale de concaténation des lettres numériques ainsi que plusieurs type d’opération de factorisation correspondantes à autant de type de formes des parties décomposables de ce mot. En effet, car d’autant plus la nécessité de

⁂⁂⁂ a.3) La fonction simple de répétition d’une seule lettre numérique

Or, si je définis ainsi une notation spéciale de l’exponentiation des mots pour la différencier de l’exponentiation des nombres pour la fonction de répétition des lettres d’un mot correspondant à la fonction d’exponentiation concaténation d’une même lettre notée par la quantité de lettres répétées qui est mise en exposant après le symbole logique « et » ∧ aussi mis en exposant, le mot générique noté W=aᵢ^ⁿ signifiant que la lettre générique aᵢ est répétée n fois, je donne aussi la formule algébrique numériquement calculable de la fonction d’exponentiation des lettres d’un mot comme suit que je note comme la fonction simple de répétition des lettres uniques de valeur alphabétique par exemple u, d’un mot W=u, que je note RPT(Leᵢ₌₁( u ⊆ Mtᵤ→ᵤ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=u….uuuu=u^ⁿ)), (avec la notation RPT

correspondante à l’abréviation de la répétition ; l’indice sous l’abréviation de lettre Leᵢ₌₁ signifie le choix d’une seule lettre répétée qui est la lettre u dans ce cas particulier ; l’indice sous l’abréviation de mot Mtᵤ→ᵤ signifie que le mot est l’agrégation des lettres en indices, et dans ce cas particulier seulement la lettre u répétée n fois ; l’indice sous la lettre générique devant le signe égal devant le symbole d’un mot écrit W pour Word, et pour le différencier de l’abréviation de Mt pour la fonction mot, soit W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspond au segment des lettres du mot W, soit de 1 à n, tandis que la longueur de chaque lettre est représentée par leurs indices correspondant à l’index positionnel de chaque lettre dans ce mot.), et si et seulement si la lettre u et le mot W=u sont de formes numériques généralement correspondantes aux valeurs numériques du rang de toute lettre ordonnée sur N dont

nous écrirons au paragraphe suivant la formule algébrique numériquement calculable de la transformation algébrique permettant la numérisation de tout mot sous forme alphabétique :

Soit, la lettre u d’un mot W=u ; soit Leᵢ₌₁( u ⊆ Mtᵤᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=u), la notation correspondante à celle de la fonction simple de lettre unique d’un mot W=u ; soit la fonction simple d’un mot W d’une seule lettre u répétée n fois que je note Mtᵤ→ᵤ(W=aᵢ₌₁→ₙ=u….uuuu=u^ⁿ) ; soit la fonction de la quantité de lettres d’un mot W notée de manière standard en combinatoire des mots, |W| et que je note aussi dans ce cas de

W=uuu…=u^ⁿ, CARD(Mtᵤ→ᵤ(W=aᵢ₌₁→ₙ=u^ⁿ)), (dont l’abréviation correspond au terme de cardinal de l’ensemble des lettres du mot W=u^ⁿ y compris tous les doublons correspondants aux lettres répétées) ; et soit la fonction de concaténation des éléments d’une suite de nombre d’algèbre ensembliste séquentielle dont l’opérateur est celui que je note ∩∪ (dont je donne la définition et l’expression algébrique numériquement calculable de ces deux fonctions en combinatoire des mots étendue dans un sous chapitre ultérieurement), alors :

RPT(Leᵤ→ᵤ( u ⊆ Mtᵤ→ᵤ(W=aᵢ₌₁→ₙ=u….uuuu=u^ⁿ) =1A(u^ⁿ)*u = ∩∪(n=1→n=CARD(Mtᵤ→ᵤ(W=aᵢ₌₁→ₙ=u^ⁿ)) : [ (1-⌈ |(uᵢ-u)| / ( |(uᵢ-u)| + 1)⌉)*u )ᵢ ])         (A’)

RPT(Leᵤ→ᵤ( u ⊆ Mtᵤ→ᵤ(W=aᵢ₌₁→ₙ=u….uuuu=u^ⁿ)) =∩∪(n=1→n=CARD(Mtᵤ→ᵤ(W=aᵢ₌₁→ₙ=u^ⁿ)) : [ (⌈|n/(|u|+1)-1|⌉-⌈n/(|u|+1)⌉+1))ᵢ]) (A »)

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« …le principe d’extensionnalité qui assimile la langue à un calcul consiste à définir un concept ou une proposition dans les termes d’un autre en tablant sur une hiérarchie de propositions et de concepts… » Francis JACQUES professeur à l’université de Rennes et Denis ZASLAWSKY docteur en philosophie de l’université Paris-I

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D) COMMENT ET POURQUOI LA COMBINATOIRE DES MOTS DE LETTRES ALPHABÉTIQUES ÉTENDUES

AUX LETTRES NUMÉRIQUES ? : la dynamique intellectuelle d’augmentation de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots de lettres numériques et sa non exhaustivité par l’algèbre ensembliste séquentielle de la théorie des automates à la géométrie des mots.

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a.1) La fonction caractéristique d’appartenance des lettres alphabétiques et numériques de mot morphiques

Si la dynamique intellectuelle désormais illimitée d’une augmentation possible de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots résulte de la numérisation des lettres de l’alphabet par leur rang équivalent à leur index sur l’ensemble de l’alphabet, elle résulte aussi de ce qui relie fondamentalement les fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques à la systématisation formulique des mathématiques de la combinatoire des mots, qui sont les fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques. Mais encore ce qui relie moins élémentairement par la forme numérique et concaténée comme décrite précédemment, et qui relie plus fondamentalement formuliquement les fonctions caractéristiques et simples à la systématisation formulique des mathématiques de la combinatoire des mots, est qu’un ensemble séquentiel automatique est un ensemble S d’entiers rationnels définis par soit xᵢ ∀ x ∈ R⁺, et noté Sᵢ₌∞=(xᵢ), pour lequel la suite de valeurs de sa fonction caractéristique est une séquence automatique notée χS, mais que je note arbitrairement différemment comme 1A(xᵢ), et que je définis algébriquement comme la fonction caractéristique définie sur un ensemble S comme explicitant l’appartenance ou non à un sous-ensemble X de l’ensemble S de tout élément x de l’ensemble S, et que je définis comme ∀ xᵢ=x, X=SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ =( xᵢ₌ₙ ; xᵢ₌ₙ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊₂ ; xᵢ₌ₙ₊₃ ; xᵢ₌ₙ₊₄ ; xᵢ₌ₙ₊₅ ; xᵢ₌ₙ₊₆ ; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ᵣ ; xᵢ₌ᵣ₊₁ ; …xᵢ₌ₙ₊ᵣ ) ⊆ S ⊆ R, alors :

χX : S→ {0, 1} :

x ↦ {1 si x ∈ X ; 0 si x ∉ X} (1’a)

Illustrée ci-dessus est la notation standard (une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I, i majuscule) de la fonction caractéristique définie sur un ensemble E comme explicitant l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément x de l’ensemble E. C’est une fonction caractéristique que je noterais en particulier, car exceptionnellement pour illustrer l’exemple ci-dessus, χF(x), pour indiquer la caractéristique de x, mais que je noterais généralement 1A(x), pour indiquer plus simplement la caractéristique de x, ici d’appartenance. Rappelons que le symbole mathématique ↦ associe un élément d’un ensemble à un élément d’un autre ensemble ; et que le symbole mathématique → associe un ensemble à un ensemble. Par exemple, 𝑓 : 𝑥↦𝑦 signifie que 𝑓 est une fonction qui prend une valeur 𝑥 et donne 𝑦. Mais, 𝑓 : ℕ→ℕ signifie que 𝑓 est une fonction qui prend un nombre naturel comme domaine et donne un nombre naturel comme résultat. Donc, χF : E → {0 , 1} signifie que χF est une fonction qui prend un élément du sous-ensemble F de l’ensemble E comme domaine de départ et donne un nombre naturel de valeurs exclusivement dans le sous-ensemble {0 ; 1} du domaine d’arrivée comme résultat. χF : x ↦ {1 si x ∈ F ; 0 si x ∉ F, signifie que χF est une fonction qui prend une valeur 𝑥 de l’ensemble E et donne 1 si x appartient au sous-ensemble F de E ou 0 si x n’appartient pas au sous-ensemble F de E.

⁂

En effet, la fonction caractéristique d’appartenance, notée en particulier ci-dessus χX, mais que dans un premier temps, je note 1A(X), car conventionnellement, la notation anglo-saxonne pour la fonction caractéristique de X s’écrit avec la lettre X en indice du 1, 1X et par extension la fonction caractéristique de n’importe quel sous-ensemble d’un ensemble donc des éléments d’un sous-ensemble et d’un ensemble, et dans un deuxième temps par ma propre convention de la notation de toutes fonctions caractéristiques, soit sans l’argument ensembliste de la fonction, c’est-à-dire noté ici pour l’exemple, 1A(x), donc sans écrire la lettre du sous-ensemble X avec seulement ∀ x ∈ X , et qui n’est plus écrite en indice pour des raisons de lisibilité; mais aussi sans écrire le symbole mathématique ↦ qui associe un élément d’un ensemble à un élément d’un autre ensemble, soit la notation (1’a), définie comme suit, avec x ∈ X, la suite de nombre d’algèbre ensembliste séquentielle telle que, ∀ xᵢ=x ∈ X=SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ=(xᵢ₌ₙ ; xᵢ₌ₙ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊₂ ; xᵢ₌ₙ₊₃ ; xᵢ₌ₙ₊₄ ; xᵢ₌ₙ₊₅ ; xᵢ₌ₙ₊₆ ; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ᵣ ; xᵢ₌ᵣ ₊₁ ; …xᵢ₌ₙ₊ᵣ ) ⊆ R :

1A(x) : R→ {0 ; 1}

1A(x)=1, si x ∈ X (1’a)

1A(x)=0, si x ∉ X. (1’a)’

Ensuite pour que la fonction caractéristique d’appartenance maintenant définie soit numériquement calculable alors nous obtenons la nouvelle expression de la fonction caractéristique d’appartenance de x ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ⊆ R à l’ensemble séquentiel des éléments xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ ⊆ R, donc x ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ, et équivalente à la fonction caractéristique de l’expression xᵢ-x dont l’expression est, 1A(x) = 1-⌈ |(xᵢ-x)| / (|(xᵢ-x)| + 1)⌉                                                                                                                                                           (2a’), et que nous définissons et écrivons comme suit :

1A : SeqXᵢ₌ₙ₊ₓ ⊆ R→ {0 ; 1}

1A(x) =1- ⌈ |(xᵢ-x)| / (|(xᵢ-x)| +1)⌉=1, si x=xᵢ ↔ x ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ

1A(x) = 1-⌈ |(xᵢ-x)| / ( |(xᵢ-x)| + 1)⌉=0, si x ≠ xᵢ ↔ x ∉ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ

« Avec la notation ⌈ x⌉ correspondante à la fonction plafond également connue sous le nom de fonction partie entière supérieure, qui est une fonction en escalier qui prend un nombre réel en entrée et donne en sortie le plus petit entier supérieur ou égal à ce nombre. Elle est notée ⌈ x⌉ et définie mathématiquement comme ⌈ x⌉=n où n est le plus petit entier supérieur ou égal à x ». Pratiquement du point de vue calculatoire « c’est l’opération qui arrondit un nombre au multiple le plus proche d’une valeur de signification. Dans la plupart des cas, le nombre est arrondi au supérieur. Le graphique de la fonction plafond est une suite d’escaliers. Pour chaque entier la fonction effectue un saut de « un » à l’entier et reste constante entre deux entiers. »

Or, si comme nous l’avions écrit précédemment l’ensemble S noté Sᵢ₌∞=(xᵢ) est une suite automatique (« aussi appelée k-suite automatique ou k-suite reconnaissable lorsque l’on veut indiquer que la base des chiffres utilisés est k sachant qu’un ensemble k-reconnaissable de nombres est un ensemble S d’entiers naturels dont la suite caractéristique est k-automatique ; en d’autres termes, S est k-reconnaissable si la suite (Sₙ) avec n ≥ 0, définie par Sₙ=1 si n ∈ S et Sₙ=0 sinon, est k-automatique. »), qui est une suite infinie de termes caractérisée par un automate fini, c’est-à-dire plus précisément par définition, que S est k-automatique si χS(xᵢ) est k-automatique, où χS(xᵢ)=1 si xᵢ ∈ S et 0 dans le cas contraire, c’est-à-dire si xᵢ ∉ S. Le n-ième terme d’une suite automatique a(n)= Sᵢ₌∞=(xᵢ), est une cartographie de l’état final atteint dans un automate fini acceptant les chiffres du nombre n dans une base fixe k. Les mots morphiques W= W₁W₂…Wₙ (ou une suite morphique) sont une généralisation des suites automatiques et plus précisément un mot morphique est un mot infini obtenu par itération d’un morphisme appelé le « morphisme générateur », suivi de l’application d’un morphisme préservant la longueur appelé le « morphisme de codage », alors l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique d’appartenance de x= xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ₓ, ∀ x ∈ R⁺ numériquement calculable notée algébriquement 1A(x) = ⌈ |(xᵢ-x)| / (|(xᵢ-x)| + 1)⌉, est une suite automatique et cette formule de la fonction caractéristique d’appartenance numériquement calculable 1A(x) = ⌈|(xᵢ-x)| / (|(xᵢ-x)| + 1)⌉, est donc aussi la formule caractéristique d’un mot morphique qui sans être purement morphique est néanmoins un mot morphique spécial, car il compte les occurrences de facteurs de mot dans certains développements, comme la suite de comptage de blocs. Cette dernière est définie comme, « soit k >1 un entier, soit A={0,…, k−1}, et soit w ∈ A+, alors la suite de comptage de blocs est le mot infini (eᵥ(n))ₙ avec indice n ≥ 0 qui compte le nombre d’occurrences du mot v dans le développement en base m des entiers consécutifs et (aᵥ(n))ₙ avec indice n ≥ 0 de la suite d’entiers sur A est aᵥ(n)=eᵥ(n) mod k ». Par exemple encore, « une suite binaire de Thue-Morse, t dont les termes valent 0 ou 1, t=S(0, 1)=0110100110010110100101100110 1001… et c’est la suite aᵥ(n) pour le mot v=1 ». Ce morphisme spécial assimilable à la fonction caractéristique d’appartenance à aussi la propriété d’un morphisme de produire un mot infini assimilable à l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique d’appartenance obtenue par itération du « morphisme générateur » χS(xᵢ) ↔1A(xᵢ) = 1, si xᵢ ∈ S et 0 dans le cas contraire, c’est-à-dire si xᵢ ∉ S, qui produit la suite infinie de nombre 0 et 1 de l’ensemble d’arrivée de cette fonction caractéristique. En effet, plus précisément formellement le morphisme 1A(xᵢ) est défini sur l’alphabet {0,1} par l’application de substitution 1A(xᵢ) = 0 ou 1A(xᵢ) = 1 : chaque xᵢ≠x d’une séquence S est remplacé par 0 et chaque xᵢ=x est remplacé par 1 à l’infini puisque x ∈ R⁺ et que Lim→∞ R⁺ =+∞, et Lim→∞ x=+∞ ; tandis que la suite de nombres de l’ensemble d’arrivée de la fonction caractéristique Lim →∞ (1A(x) = ⌈|(xᵢ-x)| / (|(xᵢ-x)| + 1)⌉)=1. Ce morphisme générateur est suivi de l’application d’un morphisme préservant la longueur appelé le « morphisme de codage », to be continued…………………….

a.2) La fonction caractéristique d’appartenance des lettres alphabétiques et numériques à un ensemble automatique de morphisme

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a.3) Les expressions des fonctions simples combinaison de fonctions caractéristiques correspondantes aux équations géométriques des lettres alphabétiques et numériques de mots binaires

Si les mots morphiques W= W₁W₂…Wₙ (ou une suite morphique) sont une généralisation des suites d’éléments alphabétiques numérisés auxquelles sont appliquées la fonction caractéristique élémentaire d’appartenance, processus correspondant à la dynamique intellectuelle d’une augmentation possible de la quantité d’outils définitionnelles et formuliques en combinatoire des mots, ce qui lie les fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques à la systématisation formulique des mathématiques de la combinatoire des mots est encore plus que la seule fonction simple de morphisme 1A(xᵢ) qui est défini sur l’alphabet {0,1} par l’application de substitution 1A(xᵢ) = 0 ou 1A(xᵢ) = 1, car c’est élémentairement que l’ensemble de départ noté ED1A={0,1} des fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques correspond à une suite de chiffres que l’on appelle un mot binaire et qui est noté soit W=01 soit W=10, en considérant que la lettre supplémentaire vide ε serait alors transcrite comme équivalente au nombre 0, et donc considérant bien sur que la lettre a serait transcrite comme équivalente au nombre 1, c’est à dire dans les deux cas les lettres d’un mot binaire noté soit W=εa=01 soit W=aε=10. Les expressions algébriques numériquement calculables de ces fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques dont l’ensemble de départ correspond à ces deux mots binaires sur {0, 1} sont ensuite possiblement applicables uniquement aux éléments d’une suite ensembliste séquentielle de nombres, qui sont les éléments de l’algèbre ensembliste séquentielle, et dont les opérateurs de cet algèbre sont ces fonctions simples. L’ensemble d’arrivée noté EA1A de ces fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques généralement notées 1A(W) appliquées à une suite de nombres notée aussi comme un mot W, est aussi une suite de nombres mais ne correspondant qu’à un mot W de lettres binaires dans {0,1}. Par exemple soit la fonction simple notée par 1A(W) dont l’ensemble de d’arrivée est noté EA1A={0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0}, avec l’ensemble de départ ED1A={0,1}, correspondant à une de ces fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques notée 1A(W) appliquée au mot W=1223122245, sur l’alphabet A= {1, 2, 3, 4, 5} et mot correspondant à la suite numérique, SNUM= {1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 4, 5} pour déterminer l’appartenance ou non-appartenance du singleton {2} correspondant à la valeur numérique du rang de la lettre b à l’ensemble des lettres du mot W de A et qui correspond au mot W=abbcabbbde sur l’alphabet A={a, b, c, d, e} et mot correspondant à la suite alphabétique, SALPH={a, b, b, c, a, b, b, b, d, e}. Une autre de ces fonctions caractéristiques aurait pu être encore par exemple, celle déterminant la valeur numérique du rang des lettres du mot W supérieur à 1. Par exemple encore, 1A(W)=EA={0, 1, 0, 1, 1, 1, 0}, avec l’ensemble de départ ED=

{0,1} d’une de ces fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques notée 1A(W) appliquée au mot binaire W=ababbba=0101110, sur l’alphabet =A={a, b} = {0,1} pour déterminer l’appartenance ou non-appartenance du singleton {1} correspondant à la valeur numérique du rang de la lettre a de l’ensemble des lettres du mot W de A et qui correspond au mot W=ababbba sur l’alphabet A={a, b} et mot correspondant à la suite alphabétique, SALPH={a,b,a,b,b,b,a}. Le mot noté en algèbre ensembliste séquentiel Seq(W)ᵢ₌₇=(0; 1; 0; 1; 1; 1; 0) correspondant au domaine d’arrivée de la fonction simple combinaison de fonctions caractéristiques, soit 1A(W)=EA={0, 1, 0, 1, 1, 1, 0}, est écrit sur l’alphabet A={0,1} et sa concaténation est une suite finie de sous mots d’une seule lettre, Wᵢ₌₁=0, Wᵢ₌₂=1, Wᵢ₌₃=0, Wᵢ₌₄=1 Wᵢ₌₅=1, Wᵢ₌₆=1, Wᵢ₌₇=1, et tels que soit ᵢ₌ l’indice du rang dans le mot W des lettres mots concaténées et lettres mots encore appelées sous mot de W : W=Wᵢ₌₁Wᵢ₌₂Wᵢ₌₃Wᵢ₌₄Wᵢ₌₅Wᵢ₌₆Wᵢ₌₇=0101110. Nous remarquons aussi que noté en algèbre ensembliste séquentiel, 1A(Seq(W)ᵢ₌₇=(a; b; a; b; b; b ; a))=(0; 1; 0; 1; 1;1;0 ), et que tous les deux correspondent à des mots W binaires en combinatoire des mots, c’est-dire dont les lettres sont prises dans un alphabet à deux éléments que sont les deux lettres a et b de A={a, b}={1, 2}; et les deux chiffres, 0 et 1 de A={0,1} dont les lettres sont prises dans un alphabet à deux éléments que sont les deux lettres ε et a de A={ε, a}. Ces deux mots ayant la propriété d’être des mots binaires que l’on note par un double indice, comme par exemple W₀₁= WεWₐ, qu’on peut concevoir comme l’ensemble des mots W₀₁=Wεₐ, formés par les éléments de A noté A={0, 1}={ε, a} sachant que la lettre supplémentaire vide ε est transcrite comme équivalente au nombre 0, et que la lettre a serait transcrite comme équivalente au nombre 1, c’est à dire dans les deux cas les lettres d’un mot binaire noté W=εa=01.

Alors il faut donc encore remarquer ce qui relie les fonctions simples, combinaisons de fonctions caractéristiques dont l’ensemble de départ correspond toujours élémentairement à ED1A = {0, 1}, à la systématisation définitionnelle et formulique en combinatoire des mots, est que si nous fixons l’alphabet A*={a, b}= {0, 1} d’un type de mot particulier mais régulièrement utilisé en combinatoire des mots, appelé un mot binaire, noté généralement Wₐ,ᵦ = a₀ b₀…aₙ₋₁bₙ₋₁ ∈ A*= {0,1}, et que nous représentons géométriquement comme un chemin dans N×N commençant au point de coordonnée (0, 0), où 0 code un segment unitaire horizontal, et 1 code un segment unitaire vertical, alors pour chaque paire d’entiers non négatifs (a, b), mais pas tous les deux égaux à 0, chaque mot Wₐ,ᵦ qui code un chemin du point de coordonnée (0, 0) au point de coordonnée (a, b) doit avoir exactement a zéros et b uns.

Alors, on appelle le vecteur de Parikh de ce mot binaire Wₐ,ᵦ = a₀ b₀…aₙ₋₁bₙ₋₁ ∈ A*={a, b}={0, 1}, c’est-à-dire que l’on dit que le mot binaire Wₐ,ᵦ a le vecteur de Parikh(a, b) = ( |Wₐ,ᵦ|ₐ , |Wₐ,ᵦ|ᵦ ) = (|Wₐ,ᵦ|₀ , |Wₐ,ᵦ|₁), sachant que la fonction notée Parikh(Wₐ,ᵦ) associe à chaque lettre a ∧ b ∈ A, son nombre d’occurrences dans le mot binaire Wₐ,ᵦ (i.e., noté conventionnellement Card(a) = {i | 0 ≤ i < n ∧ aᵢ= a}. Or les éléments de l’ensemble de départ de la fonction caractéristique d’appartenance qui est l’ensemble noté ED1A={0,1}, correspondent aussi aux éléments de l’alphabet d’un mot binaire ainsi que la quantité d’éléments de l’ensemble ED1A={0,1} et celle du mot binaire W correspondant, soit W=01 ou W=10, exactement comme l’ensemble d’arrivée de cette même fonction caractéristique fondamentale d’appartenance, si et seulement si son ensemble d’arrivée noté EA1A, a la propriété que ED1A ={0,1}⊂ EA1A. Donc d’après les définitions précédentes du vecteur et de la fonction Parikh, j’appelle le cardinal des lettres du mot binaire W que je note par exemple CARD(Mtₐᵢ(ED=W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))↔Parikh(ED) ; ou bien encore par exemple le mot binaire conventionnellement noté Wₐ,ᵦ (l’indice ᵦ correspond à l’indice b faute de l’existence de cet indice b qui est donc approximé par l’indice β sur une plateforme internet dont la valeur de l’Internet de tout est évalué à « 19 000 milliards de dollars, dont 2 100 milliards de dollars pour le PIB annuel des États-Unis, qui s’élève à 20 500 milliards de dollars ».) a pour valeur de quantité de ses lettres, le cardinal résultat de la fonction simple de cardinalité que je note CARD(Leₐᵢ( (a∧b) ⊂ (Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) ↔ Parikh(|Wₐ,ᵦ|), et qui correspond à la quantité d’occurrences de la lettre a et b du mot binaire Wₐ,ᵦ, et qui est notée conventionnellement en combinatoire des mots, |Wₐ,ᵦ| ; où CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0)) ↔ Parikh(|Wₐ,ᵦ|ₐ) = Parikh(|Wₐ,ᵦ|₀) est la quantité d’occurrences de la lettre a du mot Wₐ,ᵦ, et qui est noté conventionnellement |Wₐ,ᵦ|ₐ=|Wₐ,ᵦ|₀=a ; et CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=1)) ↔ Parikh(|Wₐ,ᵦ|ᵦ)= Parikh(|Wₐ,ᵦ|₁) qui est la quantité d’occurrences de la lettre b du mot Wₐ,ᵦ, et qui est noté conventionnellement en combinatoire des mots |Wₐ,ᵦ|ᵦ= |Wₐ,ᵦ| ₁=b.

Au-delà de servir à l’amplification définitionnelle et formulique, cette nouvelle notation sert tout d’abord à généraliser le cas particulier que sont les mots binaires et la fonction Parikh, pour ensuite servir à la systématisation des expressions en combinatoire des mots par les expressions des fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques d’algèbre ensembliste séquentielle.

En effet, les expressions algébriques numériquement calculables du cardinal des éléments nuls noté a=0, de toute suite de nombres et correspondant à un mot Wₐ,ᵦ noté conventionnellement, |Wₐ,ᵦ|ₐ=|Wₐ,ᵦ|₀ =a et des éléments de valeur 1 notés b=1 de toute suite de nombres, et correspondant à un mot noté conventionnellement |Wₐ,ᵦ|ᵦ= |Wₐ,ᵦ|₁=b : ce sont les expressions de deux fonctions simples, combinaisons de fonctions caractéristiques, qui sont respectivement comme suit :

∩∪∖∅˜ °⋆⋄⊺⋇∗∘₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ ᵨ ᵧ ᵦ ᵪ ᵢ ᵤ ᵥ ᵣ ᵣ ₑₙₒₙ₀₁₂₃₄₅∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ ᵨ ᵧ ᵦ ᵪ ᵢ ᵤ ᵥ ᵣ ᵣ ₑ ₙ ₒ ₙ ¹ ² ³ ⁰ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ª ºº ᵏ ℠ ™ ˠ ˡ ˢ ˣ ˤ ᵸ ⁱ ⁿ ⱽ ꝰ ꟸ ꟹ ᵐ ᵏ ᵖ ₋₁ L□□ ∴◊□¬ ∧∨ → ↔₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ ᵨ ᵧ ᵦ ᵪ ᵢ ᵤ ᵥᵣᵣₑₙₒₙ∞∞∞∞∞∞∞ᴬᴭᴮᴯᴰᴱᵖᵔᵓᵒᵒᵑᵐᵏᵎᵍᵌᵋᵊᵉᵈᵇᵆᵅᵄᵃᵂᵁᵀᴿᴾᴽᴼᴻᴺᴹᴸᴷᴶᴵᴴᴳᴲᵙᵚᵛᵜᵝᵞᵟᵠᵡᵸᶛᶜᶝᶞᶟᶴᶲᶵᶰᶯᶬᶭᶫᶨᶧᶦᶥᶣᶷᶸᶹᶺᶻᶾᶿ

∀ n ∈ ∈ N*, ∀ w ∈ N*, ∀ v ∈ N* et w>v ; soit xᵢ=x ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ₓ=(xᵢ₌ₙ ; xᵢ₌ₙ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊₂ ; xᵢ₌ₙ₊₃ ; xᵢ₌ₙ₊₄ ; xᵢ₌ₙ₊₅ ; xᵢ₌ₙ₊₆ ; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ₓ ; xᵢ₌ₓ₊₁ ; …xᵢ₌ₙ₊ₓ) ⊆ N ; soit yᵢ=y ∈ SeqYᵢ₌ₙ₊ₓ=(yᵢ₌ₙ ; yᵢ₌ₙ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊₂ ; yᵢ₌ₙ₊₃ ; yᵢ₌ₙ₊₄ ; yᵢ₌ₙ₊₅ ; yᵢ₌ₙ₊₆ ; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; …yᵢ₌ₙ₊ₓ) ⊆ N ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ= (nᵢ₌₁ ; nᵢ₊₁ ; nᵢ₊₂ ; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄ ; nᵢ₊₅ ; nᵢ₊₆ ; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; …nᵢ₌ₙ₊ₓ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₙ₊ₓ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, i ∈ N, alors :

CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0))=Σ(n=1→n=∞ : LNG(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=Wₐ))=∩∪(n=1→n=∞ : [ 1-⌈ |(aᵢ₌ₙ-Wₐ)| / ( |(aᵢ₌ₙ-Wₐ)| + 1)⌉ )ᵢ ] )=a, avec Wₐ₌ₙ=0 ; (1)

CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0))=Σ(n=1→n=∞ : LNG(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=Wᵦ))=∩∪(n=1→n=∞ : [ 1-⌈ |(aᵢ₌ₙ-Wᵦ)| / ( |(aᵢ₌ₙ-Wᵦ)| + 1)⌉ )ᵢ ] )=b, avec par exemple Wᵦ=1. (1′)

Nous déduisons donc des deux formules des expressions algébriques numériquement calculables du cardinal des éléments nuls et des éléments non nuls de toute suite de nombres :

CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=Wₐ)) + CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=Wᵦ))=Σ(n=1→n=∞ : ∩∪(n=1→n=∞ : [ (1-⌈ |(aᵢ₌ₙ-Wₐ)| / ( |(aᵢ₌ₙ-Wₐ)| + 1)⌉ +1-⌈ | (aᵢ₌ₙ-Wᵦ)| / ( |(aᵢ₌ₙ-Wᵦ)| + 1)⌉ )ᵢ ] )=a+b, avec Wₐ₌ₙ=0 et par exemple Wᵦ=1. (1 »)

On définit encore conventionnellement en combinatoire des mots avec le mot Wₐ,ᵦ de vecteur Parikh(a, b), la hauteur du mot binaire Wₐ,ᵦ, qui est notée HWₐ,ᵦ=|Wₐ,ᵦ|ᵦ=|Wₐ,ᵦ|₁=b ; tandis que la longueur du mot Wₐ,ᵦ est notée LWₐ,ᵦ=|Wₐ,ᵦ|ₐ+|Wₐ,ᵦ|ᵦ=|Wₐ,ᵦ|₀+|Wₐ,ᵦ|₁=a+b. La pente d’un mot Wₐ,ᵦ fini, non vide, notée P(Wₐ,ᵦ) est définie par P(W)=|Wₐ,ᵦ|ᵦ/|Wₐ,ᵦ|ₐ= |Wₐ,ᵦ|₁ / |Wₐ,ᵦ|₀, où |Wₐ,ᵦ|₁ est la quantité de valeur 1 de Wₐ,ᵦ, et |Wₐ,ᵦ|ₐ est sa quantité totale d’éléments de valeur nulle, et qui est la valeur du nombre rationnel b/a si a ≠ 0, ou ∞ sinon. On définit encore la pente mécanique notée Pm(Wₐ,ᵦ) de ce mot binaire comme le rapport b/(a+b), c’est-à dire que le rapport entre la hauteur de valeur b du mot Wₐ,ᵦ, et la longueur de valeur a+b du mot Wₐ,ᵦ, est définie comme Pm(W)= |Wₐ,ᵦ|₁ / |Wₐ,ᵦ|, où |Wₐ,ᵦ|₁ est le nombre de 1 de Wₐ,ᵦ, et où |Wₐ,ᵦ|= |Wₐ,ᵦ|ₐ+|Wₐ,ᵦ|ᵦ est sa quantité totale d’éléments de valeur 1 et de valeur 0.

Pour généraliser et systématiser les expressions conventionnelles en combinatoire des mots en expressions des fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques d’algèbre ensembliste séquentielle, je redéfinis donc la pente d’un mot en général W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ que je note PNT(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) comme suit :

PNT(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) = CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)) / ( CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0)) ) (a)

Je redéfinis encore la pente mécanique d’un mot en général W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ que je note : PNTM(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) comme suit :

PNTM(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)) / (CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0)) + CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)))                                                                                                                             (b)

Je redéfini le segment euclidien de n’importe quel mot W dans le plan qui est un repère cartésien affine orthogonal orthonormé constitué d’un point O, appelé origine du repère, et de deux vecteurs non colinéaires et orthogonaux (orthogonal), et de même longueur (orthonormé), comme la droite que j’appelle droite caractéristique passant par le point wₐ,ᵦ dont les coordonnées (xₐ, yᵦ) sont respectivement la somme de la quantité des éléments de valeur 0 et la somme de la quantité des éléments de valeur 1, appartenant à l’ensemble du domaine d’arrivée EA1A de la fonction simple combinaison de fonctions caractéristiques, des lettres vides et des lettres non vides du mot W. De plus sachant que le segment euclidien de n’importe quel mot W dans le plan qui est un repère cartésien affine orthogonal orthonormé, a pour équation l’expression algébrique numériquement calculable d’une droite dans le plan notée génériquement αx+ρ=y, (La forme canonique ou fonctionnelle d’une droite est y=αx+ρ, où α est la pente de la droite et ρ est son ordonnée à l’origine ou valeur initiale), avec le coefficient directeur de la droite, α =(yᵦ-y) / (xᵦ-x) correspondant à la pente de la droite dont la valeur donnée par l’expression α =(yᵦ-y) / (xᵦ-x) avec x et y les coordonnées de n’importe quel autre point de cette droite et telles que yᵦ>y et xᵦ>x, est aussi calculée par l’expression de la fonction simple précédente, soit comme suit :

Soit la fonction simple de segmentation euclidienne d’un mot notée SEGMNT(Mtₐᵢ₌(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) et correspondante à l’équation αx+ρ=y de la droite caractéristique d’un mot W=aᵢ passant par le point wₐ,ᵦ à son extrémité segmentale non à l’origine et dont les coordonnées sont (xₐ, yᵦ) respectivement égales à la quantité de valeur 0 et à la quantité de valeur 1 de la fonction simple combinaison de fonctions caractéristiques des lettres vides et non vides du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(CARD(Le(a≠0 ⊂ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))) = ∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ (⌈aᵢ₌ₙ/(aᵢ₌ₙ+1)⌉ )ᵢ] )) ; alors l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction simple de pente est définie de de la manière suivante :

Soit α=(yᵦ-y) / (xᵦ-x) la valeur de α coefficient directeur, dans l’équation de la droite caractéristique αx+ρ=y du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ alors la fonction simple de la pente du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ c’est-à-dire la pente de la segmentation euclidienne d’un mot notée SEGMNT(Mtₐᵢ₌(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) alors :

PNT(SEGMNT(Mtₐᵢ₌(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))) = CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)) / ( CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0)) )                                                                                                                              (a)

Et avec ρ appelée l’ordonnée à l’origine (c’est donc l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées qui est sur la branche des coordonnées verticale du repère cartésien qui sert avec l’abscisse, à définir la position d’un point dans un plan.) du point P de coordonnées (0 ; ρ) qui appartient à cette droite avec ρ qui prend, soit la valeur de 0, soit la valeur de 1 correspondante au résultat de l’expression de la fonction simple de la caractéristique de la première valeur de toute suite de nombres correspondant aux lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ et qui est définie comme suit :

Soit la fonction simple de segmentation euclidienne d’un mot notée SEGMNT(Mtₐᵢ₌(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) et correspondante à l’équation de la droite caractéristique d’un mot passant par le point wₐ,ᵦ dont les coordonnées sont (xₐ, yᵦ) respectivement égales à la quantité de valeur 0 et à la quantité de valeur 1 de la fonction simple combinaison de fonctions caractéristiques des lettres vides et non vides du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(CARD(Leₐᵢ( a≠0 ⊂ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))) = ∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ (⌈aᵢ₌ₙ/(aᵢ₌ₙ+1)⌉ )ᵢ] ) ; alors la valeur de ρ dans l’équation de la droite caractéristique αx+ρ=y du mot W=aᵢ correspondante à l’expression algébrique numériquement calculable de la segmentation euclidienne d’un mot notée SEGMNT(Mtₐᵢ₌(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), est définie de la manière suivante :

ρ=Σ(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ ⌈|n/1-1) |⌉/ (⌈| n/1)-1 |⌉+1)⌉)*1A(CARD(Leₐᵢ(a≠0 ⊂ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))))ᵢ] ) (1) ↔ (1′)

ρ=Σ(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( ∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ ⌈|n/1-1) |⌉/ (⌈| n/1)-1 |⌉+1)⌉)*⌈aᵢ₌ₙ/(aᵢ₌ₙ+1)⌉ )ᵢ] ) )ᵢ] ) (1′)

Nous obtenons ainsi l’équation de la droite caractéristique du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à l’équation générale de la droite d’un mot αx+ρ=y, que je note par l’expression algébrique numériquement calculable (CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)) / CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0)))*x +ρ= y, et expression correspondante à l’expression algébrique aussi numériquement calculable de la fonction simple de segmentation euclidienne d’un mot de la manière suivante :

SEGMNT(Mtₐᵢ₌(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))=(CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)) / CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0)))*x +ρ                                                                                                                              (1) ↔ (2)

SEGMNT(Mtₐᵢ₌(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) = (CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)) / CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0)))*x + Σ(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ ⌈|n/1-1) |⌉/ (⌈| n/1)-1 |⌉+1)⌉)*1A(CARD(Leₐᵢ(a≠0 ⊂ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))))ᵢ] )           (2) ↔ (3)

SEGMNT(Mtₐᵢ₌(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) = (CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)) / CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0)))*x + Σ(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( ∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ ⌈|n/1-1) |⌉/ (⌈| n/1)-1 |⌉+1)⌉)*⌈aᵢ/(aᵢ+1)⌉ )ᵢ] ) )ᵢ] ) (3)

Sachant aussi que le point P(-ρ/α , 0) dont la coordonnée -ρ/α est appelée l’abscisse à l’origine sur la branche des coordonnées horizontale qui sert, avec l’ordonnée, à définir la position d’un point dans un plan, est appelé le coefficient de déviation de la droite par rapport au point O appelé origine du repère cartésien de coordonnées (0,0) la valeur de -ρ/α correspond au résultat de la fonction simple dont l’expression algébrique numériquement calculable est comme suit :

-ρ/α = – (CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)) / CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0))) ) / ( Σ(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ ⌈|n/1-1) |⌉/ (⌈| n/1)-1 |⌉+1)⌉)*1A(CARD(Leₐᵢ(a≠0 ⊂ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))))ᵢ] ) ) (1′) ↔ (2′)

-ρ/α = – (CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ≠0)) / CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=0))) ) / ( Σ(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( ∩∪(n=1→n=CARD(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) : [ ( (1-⌈ ⌈|n/1-1) |⌉/ (⌈| n/1)-1 |⌉+1)⌉)*⌈aᵢ/(aᵢ+1)⌉ )ᵢ] ) )ᵢ] ) ) (2′)

Par exemple, ci-dessus, le mot W₇,₄=00100100101 est représenté par son chemin en rouge sachant que le segment diagonal en noir est appelé le segment euclidien joignant le point de coordonnée (0, 0) au point de coordonnée (a, b)=(7, 4). Donc en reprenant mes trois premières expressions algébriques numériquement calculables du cardinal d’un mot et de ses sous mots de lettres nulles et non-nulles, et en remplaçant par les données numériques ci-dessus du mot W₇,₄=00100100101, nous obtenons respectivement, si Wₐ=0, alors Mtₐᵢ₌₀,₀,₀,₀,₀,₀,₀(W=aᵢ₌₁→₇=Wₐ) ↔ Mtₐᵢ₌₀,₀,₀,₀,₀,₀,₀(W=aᵢ₌₁→₇=0000000) ; et si Wᵦ=1 alors : Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=Wᵦ) ↔ Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=1111).

Ensuite, si Mtₐᵢ₌₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₁(W=aᵢ₌₁→ ₁₁=Wₐᵦ) ↔ Mtₐᵢ₌₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₁(W=aᵢ₌₁→ ₁₁=00100100101), alors nous en déduisons tout d’abord les valeurs numériquement calculables des expression algébriques précédentes et comme suit :

CARD(Mtₐᵢ₌₀,₀,₀,₀,₀,₀,₀(W=aᵢ ₌₁→₇=0000000))= Σ(n=1→n=∞ : ∩∪(n=1→n=∞ : [ 1-⌈ |(aᵢ-0)| / ( |(aᵢ-0)| + 1)⌉ )ᵢ ] )                                                                                                                              (1) ↔ (2)

CARD(Mtₐᵢ₌₀,₀,₀,₀,₀,₀,₀(W=aᵢ ₌₁→₇=0000000))=((1-⌈ |(0-0)| / ( |(0-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-0)| / ( |(0-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(1-0)| / ( |(1-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-0)| / ( |(0-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-0)| / ( |(0-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(1-0)| / ( |(1-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-0)| / ( |(0-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-0)| / ( |(0-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(1-0)| / ( |(1-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-0)| / ( |(0-0)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(1-0)| / ( |(1-0)| + 1)⌉ ) )                                                                                                             (2) ↔ (3)

CARD(Mtₐᵢ₌₀,₀,₀,₀,₀,₀,₀(W=aᵢ ₌₁→₇=0000000))= Σ(n=1→n=∞ : ∩∪(n=1→n=∞ : [ (1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ))ᵢ ] )                                                                                                                              (3) ↔ (4)

CARD(Mtₐᵢ₌₀,₀,₀,₀,₀,₀,₀(W=aᵢ ₌₁→₇=0000000))=(1 + 1 + 0 +1 + 1 + 0 + 1+ 1 + 0 + 1 + 0 )=7                                                                                                                             (4), donc a=7.

Puis toujours si Mtₐᵢ₌₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₁(W=aᵢ₌₁→₁₁=Wₐᵦ) ↔ Mtₐᵢ₌₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₁(W=aᵢ₌₁→ ₁₁=00100100101), alors nous en déduisons encore les valeurs numériquement calculables des expression algébriques précédentes comme suit :

CARD(Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=1111))= Σ(n=1→n=∞ : ∩∪(n=1→n=∞ : [ 1-⌈ |(aᵢ-1)| / ( |(aᵢ-1)| + 1)⌉ )ᵢ ] )                                                                                                                             (1′) ↔ (2′)

CARD(Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=1111))=((1-⌈ |(0-1)| / ( |(0-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-1)| / ( |(0-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(1-1)| / ( |(1-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-1)| / ( |(0-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-1)| / ( |(0-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(1-1)| / ( |(1-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-1)| / ( |(0-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-1)| / ( |(0-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(1-1)| / ( |(1-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(0-1)| / ( |(0-1)| + 1)⌉ ) ; ((1-⌈ |(1-1)| / ( |(1-1)| + 1)⌉ ) ) (2′) ↔ (3′)

CARD(Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=1111))= Σ(n=1→n=∞ : ∩∪(n=1→n=∞ : [ (0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ))ᵢ ] )                                                                                                                             (3′) ↔ (4′)

CARD(Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=0000000))= (0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1)=4                                                                                                                            (4′), donc b=4.

Ensuite la dernière expression correspondante à la somme des deux expressions précédentes toujours avec Wₐ=0 et Wᵦ=1, est comme suit :

CARD(Mtₐᵢ₌₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₁(W=aᵢ₌₁→ ₁₁=00100100101))=CARD(Mtₐᵢ₌₀,₀,₀,₀,₀,₀,₀(W=aᵢ₌₁→₇=

0000000)) + CARD(Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=1111))

CARD(Mtₐᵢ₌₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₁(W=aᵢ₌₁→ ₁₁=00100100101))=Σ(n=1→n=∞) : ∩∪(n=1→n=∞) : [ (1-⌈ |(aᵢ-0)| / ( |(aᵢ-0)| + 1)⌉ +1-⌈ |(aᵢ-1)| / ( | (aᵢ-1)| + 1)⌉ )ᵢ ] )=7+4=11=a+b.

La pente mécanique du mot fini, non vide, W=00100100101 est définie par :

PNTM(Mtₐᵢ₌₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₁(W=aᵢ₌₁→ ₁₁=00100100101))=CARD(Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=1111)) / (CARD(Mtₐᵢ₌₀,₀,₀,₀,₀,₀,₀(W=aᵢ₌₁→₇=0000000)) + CARD(Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=1111)))                                                       (1 ») ↔ (2 »)

PNTM(Mtₐᵢ₌₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₁(W=aᵢ₌₁→ ₁₁=00100100101))=Σ(n=1→n=∞) : ∩∪(n=1→n=∞) : [ (1-⌈ |(aᵢ-0)| / ( |(aᵢ-0)| + 1)⌉ )ᵢ ] ) / Σ(n=1→n=∞) : ∩∪(n=1→n=∞) : [ (1-⌈ |(aᵢ-0)| / ( |(aᵢ-0)| + 1)⌉ +1-⌈ |(aᵢ-1)| / ( |(aᵢ-1)| + 1)⌉ )ᵢ ] )                                                                                           (2 ») ↔ (3 »)

PNTM(Mtₐᵢ₌₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₀,₁,₀,₁(W=aᵢ₌₁→ ₁₁=00100100101))=4/11       (3 »)

Le segment diagonal en noir est appelé le segment euclidien joignant le point de coordonnée (0, 0) au point de coordonnée (a, b)=(7, 4), dont ces dernières coordonnées correspondantes respectivement au cardinal des lettres du mot W=aᵢ₌₁→ ₁₁=00100100101 qui sont égales à 0, soit CARD(Mtₐᵢ₌₀,₀,₀,₀,₀,₀,₀(W=aᵢ₌₁→₇=0000000)), et au cardinal des lettres du mot W=aᵢ₌₁→ ₁₁=00100100101 qui sont égales à 1, soit CARD(Mtₐᵢ₌₁,₁,₁,₁(W=aᵢ₌₁→₄=1111)).

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Ainsi, la dynamique intellectuelle d’une augmentation possible de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots qui sont des outils systématisés par les expressions algébriques numériquement calculables des fonctions simples combinaisons de fonctions caractéristiques, n’est pas qu’élémentairement celles des mots binaires à la fois de l’ensemble de départ et de l’ensemble d’arrivée des fonctions simples et du mot binaire auxquelles elles s’appliquent, mais aussi n’importe quel mot non binaire tel que W=abcd…xyzqr…=0123456789…, sur l’alphabet ALPH₂₆={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j….x, y, z, q, r.…} transcrit en nombres sur l’index des lettres de l’alphabet NUM₂₆={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9..}, auxquelles ces fonctions caractéristiques et ces fonctions simples s’appliquent. C’est la dynamique intellectuelle d’une augmentation possible de la quantité d’outils définitionnels et formuliques en combinatoire des mots que rend possible de manière quasiment illimitée cette opération de transcription des lettres de l’alphabet en nombres.

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« Let us say that combinatorics is the study of finite mathematical objects having a poor underlying structure. In other words, some objects where a kid can give examples once you explain to him the definition (permutations, Young tableaux, movements of a tower on a chessboard, tilings the same chessboard with dimers, etc)….Enumerating finite structures is not necessarily combinatorics….G.C. Rota said that mathematicians were first studying continuum as a first step before going to the study of the finite… ». Xavier Viennot directeur de recherche CNRS, interview with Enumerative Combinatorics and Applications, by Toufik Mansour (April 2021).

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II) DÉFINITIONS ET EXPRESSIONS ALGEBRIQUES NUMÉRIQUEMENT CALCULABLES AFFÉRENTES À LA STRUCTURE GÉNÉRALE DES MOTS

Après avoir décrit précédemment en introduction les éléments définitionnelles et formuliques systématiques de la dynamique intellectuelle d’une augmentation possible de la quantité d’outils définitionnelles et formuliques en combinatoire des mots, nous reprenons ces éléments systématiques (aucun d’entre eux n’étaient utilisés précédemment à seule fin d’une illustration littéraire de la dynamique intellectuelle et tous seront repris et développés) pour décrire maintenant avec d’autres éléments systématiques définitionnelles et formuliques d’algèbre séquentielle fonctionnelle simple, les propriétés structurelles en combinatoire des mots, c’est à dire que tout d’abord nous explicitons définitionnellement et expliquons formuliquement le processus de la création des lettres, des facteurs, des préfixes, des suffixes, des points critiques, des périodes, des sous mots et des mots alphabétiques et numériques ; et qu’ensuite nous explicitons définitionnellement et expliquons formuliquement les processus des relations entre les lettres, les facteurs, les préfixes, les suffixes, les périodes, les sous mots et les mots alphabétiques et numériques.

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A) DÉFINITIONS ET EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES NUMÉRIQUEMENT CALCULABLES AFFÉRENTES À LA CRÉATION DES MOTS :

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Les définitions sont celles du lexique et des formules mathématiques de la combinatoire des mots que j’adapte à l’algèbre ensembliste séquentielle pour en améliorer la lisibilité et pour obtenir des expressions algébriques numériquement calculables des structures des mots. Définitions de « resp. » : Abréviation Mathématiques de « respectivement », désignant une correspondance entre deux éléments similaires.

⁂ a.1) Le mot noté W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.1.1 : un mot fini (resp infini) noté W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ(resp W∞=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ).

Un mot fini (resp infini) noté W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ (resp W∞=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ), est défini comme étant donné un alphabet fini Aⁿ={aᵢ₌ₙ} (resp, infini A*={aᵢ₌∞}, c’est-à-dire un ensemble fini (resp infini) non vide de symboles, appelés les lettres aᵢ d’un mot W=aᵢ qui sont les éléments généralement non numériques d’une suite finie de lettres notée SAᵢ₌ₙ= (aᵢ₌₁, aᵢ₌₂,…, aᵢ₌ₙ), (resp une suite infinie de lettres notée SAᵢ₌∞=( aᵢ₌₁, aᵢ₌₂,…, aᵢ₌∞)) qui est écrit plus simplement W=a₁a₂…aₙ sur A (resp, W=a₁a₂…a∞ sur A*), et qui est la juxtaposition d’un nombre fini (resp infini) de ces symboles ai par l’opération de la juxtaposition concaténation dont la formule algébrique est numériquement calculable par l’opération de concaténation entre deux lettres. Ainsi donc, un mot fini W (resp infini) est un mot dont la longueur c’est-à-dire la quantité de lettres qui le compose est finie (resp infini). Si un mot unaire est un mot d’une lettre et un mot binaire est un mot de deux lettres alors un mot n aire est un mot de n lettres. Pour un mot infini d’une seule lettre sa notation est W=vvvvvvvvvvv ……↔ W=(v)^∞=v^∞, et avec l’exposant indiquant le nombre de lettres, donc ici dans notre exemple pour un mot d’une lettre infini, cet exposant est noté ∞. Enfin le mot vide de la lettre vide, est noté W=ε.

Par exemple, pour un mot fini, d’une seule lettre v donc répétée en quantité finie n fois celui-ci est noté W=vvvvvvvvvvvv…↔ W=(v)ⁿ =vⁿ, avec l’indice de la fonction Mt(Waᵢ₌₁→ₙ=vⁿ=22ⁿ) indiquant le rang (correspondant à l’index positionnel puisque les lettres n’ont ici aucune valeur de variable) successif de chaque lettre a=v du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ=vⁿ=22ⁿ ; et la valeur numérique de la lettre v= 22 correspondants à la valeur numérique de l’index positionnel de la lettre v dans l’ensemble de l’alphabet de 26 lettres ordonnées par la suite de nombres dans N au cardinal de 26 ; et avec l’exposant indiquant le nombre de lettres égale à v, donc ici dans notre exemple pour un mot d’une lettre infini, cet exposant est noté n.Par exemple, soit le mot fini de la lettre répétée v=22, W=22222222222222222222222222222222222222222222, alors sa notation avec exposant est W=v²² =22²².

⁂

Mais cette notation d’un mot W est trop rudimentaire car il lui manque d’indiquer simultanément le rang successif de chaque lettre du mot W de la valeur numérique des lettres du mot comme dans l’exemple précédent la lettre v= 22 dont la valeur numérique correspondant à l’index de la lettre v dans l’ensemble de l’alphabet de 26 lettres ordonnées par les éléments du sous ensemble de N, SN={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26} au cardinal de 26. Il lui manque aussi encore dans notre exemple précédent avec l’exposant indiquant la quantité de répétition n de la lettre v, du mot W d’une lettre v répétée fini. Cet exposant est noté n, la longueur de la répétition des lettres identiques signifiant la quantité de lettres identiques v=22 répétées du mot W=222222222 22222222222222222222222222222222222=v²² =22²²; Mais la valeur numérique de la lettre v= 22 et de la lettre b=2 qui correspondent au rang de la lettre v et b dans l’ensemble de l’alphabet de 26 lettres ordonnées par les éléments du sous ensemble de N, SN={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26} au cardinal de 26, sont concaténées dans le mot W de manière ambiguës car non distinctement écrites pour permettre de différentier les mots de deux lettres W=bb=22 ou d’une seule lettre de W=v=22 qui composent ce mot W=22222222222222222222222222222222 222222222222, soit W=b⁴⁴=2⁴⁴ ou v²²=22²² ? L’utilisation de la fonction mot par sa notation même permettra d’éliminer toute ambiguité, ce que nous montrerons dans le sous titre suivant.

⁂ a.1′) La fonction Mot Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) :

Définition a.1′.1 : la fonction Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) résultant dans le mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ.

Le mot générique noté W=aᵢ₌ₙ est le résultat de la fonction simple d’algèbre ensembliste séquentielle Mot, notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ), où le premier indice ₐᵢ devant les lettres « Mt » abbréviation de Mot, correspond à la notation des lettres alphabétiques du mot, numérisées individuelles, successives et séparées par une virgule où l’ordre compte et avec les répétitions, sachant que ce premier indice ᵢ est celui des lettres de l’alphabet génériquement notées a, correspond à leur valeur numérique d’index positionnel du sous ensemble de N, SN={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26} et correspondante à leur rang dans l’ensemble de l’alphabet des 26 lettres noté ALPH={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, noté en algèbre ensembliste séquentielle, Seq(ALPHINDEX)ᵢ₌₂₆= (i₁=a ; i₂=b, i₃=c; i₄=d ; i₅=e ; i₆=f ; i₇=g ; i₈=h ; i₉=i ; i₁₀=j ; i₁₁=k ; i₁₂=l ; i₁₃=m ; i₁₄=n ; i₁₅=o; i₁₆=p ; i₁₇=q ; i₁₈=r ; i₁₉=s ; i₂₀=t ; i₂₁=u ; i₂₂=v ; i₂₃=w ; i₂₄=x ; i₂₅=y ; i₂₆=z). Le mot vide de la lettre vide, noté W=ε est de valeur numérique équivalente à sa valeur alphabétique vide notée ε, égale à zéro. Pour un mot infini d’une seule lettre sa notation est particulière soit Mt₁→∞(W=vvvvvvvvvvv ……∞) ↔ Mt₁→∞(W=(v)^∞=v^∞), et avec l’exposant indiquant le nombre de lettres, donc ici dans notre exemple pour un mot d’une lettre infini, cet exposant est noté ∞. Le deuxièmme indice ᵢ₌ₙ de aᵢ₌ₙ, est défini par ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ= (nᵢ₌₁ ; nᵢ₊₁ ; nᵢ₊₂ ; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄ ; nᵢ₊₅ ; nᵢ₊₆ ; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; …nᵢ₌ₙ₊ₓ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₙ₊ₓ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, i ∈ N, et n correspond à la valeur numérique de l’index positionnel des lettres individuelles, successives et séparées par une virgules du mot où l’ordre compte et avec les répétitions.

Par exemple, soit le mot W=lghdicegab, alors le résultat de la fonction Mot qui est notée Mt(₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁,₂,₃,₄,₅,₆,₇,₈,₉,₁₀=lghdicegab))↔Mt(₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ₙ₌₁₀=lghdicegab)), est W=12784935712.Par exemple, soit le mot W=εεε, alors le résultat de la fonction Mot notée Mt(₀,₀,₀(W=aᵢ₌₁,₂,₃=εεε)) est W= 000.

Par exemple, pour un mot fini, d’une seule lettre v donc répétée en quantité finie celui-ci est noté Mt₂₂²²(Waᵢ₌₁→ₙ₌₂₂ =vvvvvvvvvvvv…) ↔ Mt₂₂²²(Waᵢ₌₁→ₙ₌₂₂ =(v)ⁿ =vⁿ=(22)ⁿ), avec l’indice ᵢ₌₁→ₙ₌₂₂ de la fonction mot Mt₂₂ⁿ(Waᵢ₌₁→ₙ₌₂₂ =(v)ⁿ =vⁿ=(22)ⁿ) indiquant le rang successif de chaque lettre du mot W ; et la valeur numérique de la lettre v= 22 correspondants à l’index de la lettre v dans l’ensemble de l’alphabet de 26 lettres ordonnées par le sous ensemble de N, SN={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, au cardinal de 26 ; et avec l’exposant indiquant le nombre de lettres égale à v, donc ici dans notre exemple pour un mot d’une lettre fini, cet exposant est noté n=22.

Par exemple, soit le mot :

W=bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb=22222222222222222222222222222222222222222222 et sa notation qui serait :

Mt₂⁴⁴(Waᵢ₌₁→₄₄=bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb=222222222222222222222222222222222222222222 22) ↔ Mt₂⁴⁴(Waᵢ₌₁→₄₄=b⁴⁴=2⁴⁴), avec l’indice de 1 à 44 indiquant le rang successif de chaque lettre identique b=2 répétée du mot W, c’est à dire la longueur de la répétition des lettres identiques signifiant la quantité de lettres identiques répétées b=2 de W=b=2, et la valeur numérique de la lettre b= 2 qui correspond au rang d’index positionnel de la lettre b dans l’ensemble de l’alphabet de 26 lettres ordonnées par le sous ensemble de N, SN={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, au cardinal de 26.

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Mais pouvoir écrire sous la forme d’une notation n’importe quel mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, permet seulement d’effectuer une distinction morphologique catégorielle toute symbolique et à laquelle il manque la qualité primordiale d’être le résultat de l’opération d’une fonction d’expression algébrique numériquement calculable. C’est maintenant cette expression algébrique numériquement calculable de l’opération de la fonction simple de mot, combinaison de la fonction caractéristique d’indexation des lettres de ce mot, dont l’expression algébrique est aussi numériquement calculable que nous écrivons dans les définitions du sous-titre suivant.

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a.2) La fonction caractéristique d’indexation simple et multiple sur W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ d’une ou plusieurs lettres d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.2.1 : la fonction caractéristique d’indexation sur W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante aux valeurs caractéristiques dans {0, 1} des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ appartenant au mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, combinaison de la fonction simple de lettre d’un mot et combinaison de la fonction simple de mot.

La lettre générique a du mot générique W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ est le résultat de la fonction lettre d’un mot notée

Leₐᵢ₌ₙ((a ⊆ Mtₐᵢ(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )), où le premier indice ₐᵢ₌ₙ devant l’abréviation « Le » pour lettre, avec n est défini par ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ= (nᵢ₌₁ ; nᵢ₊₁ ; nᵢ₊₂ ; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄ ; nᵢ₊₅ ; nᵢ₊₆ ; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; …nᵢ₌ₙ₊ₓ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₙ₊ₓ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, i ∈ N, et n correspond à la valeur numérique de l’index positionnel des lettres individuelles, successives et séparées par une virgules du mot où l’ordre compte et avec les répétitions. correspond à la notation de l’index positionnel de la lettre choisie ou des lettres choisies parmi les lettres individuelles, successives et séparées par une virgules du mot où l’ordre compte et avec les répétitions ; tandis que le deuxième indice ₐᵢ correspond à la notation des lettres individuelles, successives et séparées par une virgule du mot où l’ordre compte et avec les répétitions ; et l’indice ᵢ des lettres de l’alphabet génériquement notées a, ou l’indice i des lettres a correspond à leur valeur numérique d’index positionnel du sous ensemble de N ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 } dans l’ensemble de l’alphabet des 26 lettres noté ALPH= { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z.}, noté en algèbre ensembliste séquentielle, Seq(ALPHINDEX)ᵢ₌₂₆=(i₁=a ; i₂=b ; i₃=c; i₄=d ; i₅=e ; i₆=f ; i₇=g ; i₈=h ; i₉=i ; i₁₀=j ; i₁₁=k ; i₁₂=l ; i₁₃=m ; i₁₄=n ; i₁₅=o ; i₁₆=p ; i₁₇=q ; i₁₈=r ; i₁₉=s ; i₂₀=t ; i₂₁=u ; i₂₂=v ; i₂₃=w ; i₂₄=x ; i₂₅=y ; i₂₆=z). Le mot vide de la lettre vide, noté W=ε est de valeur numérique équivalente à sa valeur alphabétique vide notée ε, égale à zéro.

⁂

Par exemple, soit le mot W=lghdicegab, alors le résultat de la fonction Mot notée Mt(₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁,₂,₃,₄,₅,₆,₇,₈,₉,₁₀=lghdicegab)) ↔ Mt(₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=lghdicegab)) est W= 12784935712 ; tandis que soit la lettre W=g de ce mot W= 12784935712 est le résultat de la fonction lettre d’un mot qui est notée :

Leₐᵢ₌₂((a ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁,₂,₃,₄,₅,₆,₇,₈,₉,₁₀=12784935712)) ↔ Leₐᵢ₌₂((a ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712)).

⁂

Définition a.2.1′: la fonction caractéristique fondamentale d’appartenance d’une lettre alphabétique numérisée aᵢ d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ équivalente à la fonction caractéristique d’indexation simple et multiple sur W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ.

Plus généralement le mot notée W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ est le résultat de la fonction Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ) qui est définie comme une fonction simple d’expression numériquement calculable résultant tout d’abord de la combinaison linéaire de la fonction caractéristique d’indexation d’une seule valeur numérique des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, soit a, équivalente à la fonction caractéristique fondamentale d’appartenance d’un élément x à une suite d’éléments notés xᵢ₌ₙ=aᵢ₌ₙ ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ et qui multipliée par la valeur de cet élément x=a correspond en combinatoire des mots à la valeur numérique de la lettre a du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ. La fonction caractéristique d’appartenance de x à toute suite de nombres xᵢ est la fonction caractéristique de x notée1A(x) est définie comme suit :

∀ xᵢ=x ∈ X=SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ=(xᵢ₌ₙ ; xᵢ₌ₙ₊₁ ; xᵢ₌ₙ₊₂ ; xᵢ₌ₙ₊₃ ; xᵢ₌ₙ₊₄ ; xᵢ₌ₙ₊₅ ; xᵢ₌ₙ₊₆ ; xᵢ₌ₙ₊₇… xᵢ₌ᵣ ; xᵢ₌ᵣ₊₁ ;…xᵢ₌ₙ₊ᵣ) ⊆ R :

1A : SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ ⊆ R→{0 ; 1}

1A(x) = 0, si x=xᵢ ↔ x ∈ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ (2a)

1A(x) =1, si x ≠ xᵢ ↔ x ∉ SeqXᵢ₌ₙ₊ᵣ (2a’)

Ensuite pour que soit numériquement calculable l’expression algébrique de la fonction caractéristique précédemment définie 1A(x) nous écrivons son expression algébrique équivalente numériquement calculable comme suit :

1A(x)= ⌈ |(xᵢ-x)| / ( |(xᵢ-x)| + 1)⌉          (2a »),

Ainsi donc nous définissons la fonction caractéristique d’indexation d’une seule valeur numérique des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, soit a, équivalente à la fonction caractéristique fondamentale d’appartenance écrite précédemment et de la manière suivante :

Soit la suite de et nombre qui sont les valeurs numériques correspondantes au rang des lettres alphabétiques aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ appartenant à l’alphabet A* telle que ∀ aᵢ=a ∈ A*=SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ=(aᵢ₌ₙ ; aᵢ₌ₙ₊₁ ; aᵢ₌ₙ₊₂ ; aᵢ₌ₙ₊₃ ; aᵢ₌ₙ₊₄ ; aᵢ₌ₙ₊₅ ; aᵢ₌ₙ₊₆ ; aᵢ₌ₙ₊₇… aᵢ₌ₓ ; aᵢ₌ₓ₊₁ ; …aᵢ₌ₙ₊ₓ), alors la fonction caractéristique de l’indexation sur les lettres d’un mot W des lettres de ce même mot W= aᵢ est définie comme un mot d’une lettre W=a par la fonction caractéristique d’appartenance de a à ce mot W=aᵢ qui est définie comme suit :

1A : N*→ {0 ; 1}

1A(W=a)=0, si aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a≠0

1A(W=a)=1, si aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ – a=0

(2a.1)

(2a.1′)

Ensuite pour que soit numériquement calculable l’expression algébrique 1A(W= a), notation rudimentaire de la fonction caractéristique d’indexation d’une seule valeur numérique a des lettres aᵢ d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ soit la fonction notée 1A(INDEX(Leₐᵢ((a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )), que nous réécrivons alors en transformant les expressions (2a.1) & 2a.1′) redéfinies comme suit :

Soit le mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ résultat de la fonction Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ), où l’indice i des lettres a correspond à leur valeur numérique d’index positionnel du sous ensemble de N ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26} dans l’ensemble de l’alphabet des 26 lettres noté ALPH={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z.}, noté en algèbre ensembliste séquentielle Seq(ALPHINDEX)ᵢ₌₂₆= ( i₁=a ; i₂=b ; i₃=c; i₄=d ; i₅=e ; i₆=f ; i₇=g ; i₈=h ; i₉=i ; i₁₀=j ; i₁₁=k ; i₁₂=l ; i₁₃=m ; i₁₄=n ; i₁₅=o; i₁₆=p ; i₁₇=q ; i₁₈=r ; i₁₉=s ; i₂₀=t ; i₂₁=u ; i₂₂=v ; i₂₃=w ; i₂₄=x ; i₂₅=y ; i₂₆=z ). Le mot vide de la lettre vide, noté W=ε est de valeur numérique équivalente à sa valeur alphabétique vide notée ε, égale à zéro. Soit la représentation ensembliste séquentielle correspond à l’écriture en extension des éléments calculatoires correspondants à la fonction ensembliste séquentielle d’uniontersection dont l’opérateur est noté ∪∩ :

1A(INDEX(Leₐᵢ((a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))= 1-⌈ | aᵢ – a | / ( | aᵢ – a |+1) ⌉ (2a.2) ↔ (2a.3).

1A(INDEX(Leₐᵢ((a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))=∪∩(n=1 → n=i : [ ( 1-⌈ | aᵢ – a | / ( | aᵢ – a |+1) ⌉ )ᵢ] ) (2a.3)

⁂

Par exemple, soit le mot Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712)=lghdiegab, et soit la lettre a=7=g de ce mot W=12784935712=lghdiegab, alors :

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₂,₈((a₂=7 ∧ a₈=7) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712))) =1-⌈ |aᵢ -7 | / ( | aᵢ-7|+1)⌉ (2a’.1) ↔ (2a’.2)

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₂,₈(( a₂=7 ∧ a₈=7) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712))) = ∪∩(n=1→ n=i : [ ( 1-⌈ | aᵢ -7 | / ( | aᵢ – 7 |+1) ⌉ )ᵢ] )     (2a’.2) ↔ (2a’.3)

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₂,₈((a₂=7 ∧ a₈=7) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712))) = ( ( 1-⌈ | 12 – 7 | / ( | 12- 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 7- 7 | / ( | 7- 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 8- 7| / ( | 8 – 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 4 – 7 | / ( | 4-7 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 9- 7 | / ( | 9 – 7|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 3 – 7 | / ( | 3- 7|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 5- 7 | / ( | 5- 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 7 – 7| / ( | 7- 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 1 – 7 | / ( | 1 – 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 2 – 7 | / ( | 2- 7 |+1)⌉ ) ) (4a.4) ↔ (4a.5)

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₂,₈( ( a₂=7 ∧ a₈=7) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712))) = ( 0 ∪∩ 1 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 1 ∪∩ 0 ∪∩ 0 )      (2a’.3).

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (2a’.4) est :

Seq(1A(W=0700000700))ₙ₌₁₀=( 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 )    (2a’.5).

⁂

Nous remarquons premièrement en rappelant tout d’abord que le mot vide de la lettre vide, noté W=ε est de valeur numérique équivalente à sa valeur alphabétique vide notée ε, égale à zéro, que l’exemple de l’expression précédente (4a.6), en la multipliant (une opération ensembliste séquentielle de produit d’éléments d’ensemble séquentielle intuitivement définie seulement pour l’instant comme trivialement la multiplication des éléments un par un dans chaque ensemble, car nous détaillons précisément les mécanisme de cette opération ensembliste séquentielle de produit ainsi que d’autres opérations ensemblistes séquentielles au chapitre « 1 : 25⋔ TITRE ⋔., que j’ai intitulé, « ADDENDUM AUX PROLÉGOMÈNES : représentations et expressions algébriques numériquement calculables des opérations d’algèbre multiensembliste séquentielle fonctionnelle caractéristique simple. ») par n’importe quel nombre correspondant à l’index égal au rang d’une des 26 lettres de l’alphabet noté ALPH={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, soit l’index de l’ensemble d’algèbre ensembliste séquentielle noté Seq(ALPHINDEX)ᵢ₌₂₆=( i₁=a ; i₂=b ; i₃=c; i₄=d ; i₅=e ; i₆=f ; i₇=g ; i₈=h ; i₉=i ; i₁₀=j ; i₁₁=k ; i₁₂=l ; i₁₃=m ; i₁₄=n ; i₁₅=o; i₁₆=p ; i₁₇=q ; i₁₈=r ; i₁₉=s ; i₂₀=t ; i₂₁=u ; i₂₂=v ; i₂₃=w ; i₂₄=x ; i₂₅=y ; i₂₆=z ), avec en plus la lettre du mot vide ε de valeur numérique 0 d’index égale au rang i₀=0, soit u=21, une opération de produit ensembliste séquentielle représentée par Seqₙ₌₁₀=( 21 ; 21 ; 21 ; 21 ; 21 ; 21 ; 21 ; 21 ; 21 ; 21 )*Seq(1A(W=0700000700))ₙ₌₁₀=( 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ), soit Seq(u=21*1A(W=0700000700))ₙ₌₁₀=( 21*0 ; 21*1 ; 21*0 ; 21*0 ; 21*0 ; 21*0 ; 21*0 ; 21*1 ; 21*0 ; 21*0 )=Seq(u*1A(W=0700000700))ₙ₌₁₀=( 0 ; 21; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 21 ; 0 ; 0 ), nous obtiendrions un mot de deux lettres soit W=εuεεεεεuεε, numériquement équivalent à W=021000002100 et le résultat de la fonction Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ) qui serait ce dernier mot W=021000002100 aux lettres alphabétiques numérisées noté Mt₀₂₁₀₀₀₀₀₂₁₀₀₀₀(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=021000002100). Mais encore si nous considérons toujours l’exemple de l’expression précédente (4a.6), en la multipliant par n’importe quel nombre correspondant aux lettres du mot W=12784935712, une opération de produit ensembliste séquentielle représentée par Seqₙ₌₁₀=( 12 ; 7 ; 8 ; 4; 9; 3 ; 5 ; 7 ; 1 ; 2 )*Seq(1A(W=0700000700))ₙ₌₁₀=( 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 )=Seq(u*1A(W=0700000700))ₙ₌₁₀=( 12*0 ; 7*1 ; 8*0 ; 4*0 ; 9*0 ; 3*0 ; 5*0 ; 7*1 ; 1*0 ; 2*0 )=Seq(u*1A(W=7))ₙ₌₁₀=( 0 ; 7; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 7 ; 0 ; 0 ), nous obtiendrions un mot de deux lettres noté Mt₀₇₀₀₀₀₀₇₀₀₀₀(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=0700000700).

⁂⁂

Or comment différencier toutes les lettres identiques de ce mot en n’en caractérisant qu’une seule ou que quelques unes parmi toutes celles identiques? Et comment faire pour que son expression algébrique numériquement calculable soit systématique et ne soit pas le résultat d’une opération de multiplication ensembliste séquentielle par un quelconque nombre unique comme u=21 précédemment, ou d’une quelconque opération de multiplication ensembliste séquentielle par le mot W=12784935712 précédemment, qui se répétera à l’identique, donc qui doit être l’expression de la fonction caractéristique d’appartenance transformée en expression de la fonction caractéristique d’indexation d’une seule valeur numérique a des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ d’un mot W=aᵢ₌ₙ, soit la fonction notée 1A(INDEX(Leₐᵢ((a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) comme la précédente et appliquée à ce mot W=12784935712 pour obtenir par exemple W=0700000000 et non plus W=0700000700. Pour cela il nous faut remplacer la valeur de variable aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ par la valeur variable de n sur l’ensemble des entiers naturels pour qu’elle corresponde aux valeurs d’index

positionnels des lettres d’un mot. Nous définissons donc cette expression systématique de la fonction de production de n’importe quelle lettre unique ou multiple d’un mot par son index positionnel sur N dans le sous-titre de la définition suivante.

⁂⁂⁂

a.3) La fonction caractéristique d’indexation simple ou multiple sur N* d’une ou plusieurs lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.3.1: la fonction caractéristique de l’indexation sur N* correspondante aux valeurs caractéristique dans {0,1] de n ∈ SN* l’ensemble des valeur d’index positionnel des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, combinaison de la fonction simple de lettre d’un mot et combinaison de la fonction simple de mot :

Soit la suite de nombre qui sont les valeurs des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ appartenant à l’alphabet A* telle que ∀ aᵢ=a ∈ A*=SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ=(aᵢ₌ₙ ; aᵢ₌ₙ₊₁ ; aᵢ₌ₙ₊₂ ; aᵢ₌ₙ₊₃ ; aᵢ₌ₙ₊₄ ; aᵢ₌ₙ₊₅ ; aᵢ₌ₙ₊₆ ; aᵢ₌ₙ₊₇… aᵢ₌ₓ ; aᵢ₌ₓ₊₁ ; …aᵢ₌ₙ₊ₓ), alors la fonction caractéristique de l’indexation sur N* d’une seule lettre aₓ d’index x des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ est définie comme suit :

1A : N*→ {0 ; 1}

1A(x)=0, si nᵢ -x≠0

1A(x)=1, si nᵢ -x=0

(3a.1)

(3a.1′)

Ensuite pour que soit numériquement calculable l’expression algébrique de 1A(x), la fonction caractéristique d’indexation d’une seule valeur numérique aₓ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ soit la fonction notée 1A(INDEX(Leₐᵢ₌ₓ((aₓ ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )), alors nous réécrivons cette expression (3a.1) & (3a.1’) comme suit :

1A(INDEX(Leₐᵢ₌ₓ((aₓ ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))= 1-⌈ | nᵢ – x | / ( | nᵢ – x |+1) ⌉     (3a.2) ↔ (3a.3). Sa représentation ensembliste séquentiel correspond à l’écriture en extension des éléments calculatoires correspondants à la fonction d’uniontersection soit :

1A(INDEX(Leₐᵢ₌ₓ((aₓ ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ))=∪∩(n=1→ n=i : [ ( 1-⌈ | nᵢ – x | / ( | nᵢ – x |+1) ⌉ )ᵢ] ) (3a.3).

⁂

Par exemple, soit encore le mot noté Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712), et soit n=2, et a=7, alors :

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₂((a₂=7) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712)))=∪∩(n=1 → n=2 : [ ( 1-⌈ | nᵢ – 2| / ( | nᵢ – 2 |+1) ⌉ )ᵢ] ) (3a’.1) ↔ (3a’.2)

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₂((a₂=7) ⊆Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712)))=( ( 1-⌈ | 1 – 2 | / ( | 1- 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 2-2 | / ( | 2- 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 3- 2| / ( | 3 – 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 4 – 2 | / ( | 4-2|+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 5- 2| / ( | 5 – 2|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 6 – 2 | / ( | 6- 2|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 7-2 | / ( | 7- 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ |8 – 2| / ( | 8- 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 9 – 2 | / ( | 9- 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 9 – 2 | / ( | 9-2 |+1)⌉ ) )                                                                                                          (3a’.3) ↔ (3a’.4)

1A(INDEX(Leₐᵢ₌₂((a₂=7 ) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₌₁₀=12784935712)))=( 0 ∪∩ 1 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ∪∩ 0 ) (3a’.4) ↔ (3a’.5)

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (3a’.6) est :

Seq(1A(n=2))ₙ₌₁₀= ( 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 )    (3a’.7).

⁂

Or, si pour comparaison et pour la même lettre a=7, nous remarquons que la représentation ensembliste séquentielle de l’expression (2a’.5) est différente de (3a’.7) :

Seq(1A(W=0700000700))ₙ₌₁₀=( 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 )     (2a’.5).

Nous en déduisons que soit la lettre a unique d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, alors nous obtenons l’égalité suivante :

1A(INDEX(Leₐᵢ₌ₓ((aₓ ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))=1-⌈|nᵢ-x| / (|nᵢ-x |+1)⌉=1A(INDEX(Leₐᵢ₌ₓ((aₓ ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))=1-⌈ | aᵢ-aₓ| / (|aᵢ-aₓ |+1)⌉ (2a’.5)= (3a’.7)

Épistémologiquement, nous n’avons pas à changer la notation générique de la fonction caractéristique d’indexation d’une lettre d’un mot, 1A(INDEX(Leₐᵢ₌ₓ((aₓ ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), pour qu’elle corresponde aux deux expressions précédentes dans le cas où (2a’.5) ≠ (3a’.7), car l’expression (3a’.7) est aussi celle d’une lettre a répétée du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ que nous indiquons comme dans l’exemple précédent de

l’expression (3a’.7). Il peut ainsi y avoir égalité des expressions (2a’.5) ≠ (3a’.7) et ce même dans le cas d’une lettre a répétée du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ si et seulement si 1A(INDEX(Leₐᵢ₌ₓ((aₓ ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))

les lettres aₓ de la fonction lettre sont identiques et sans que soient nécessairement identiques les expressions algébriques numériquement calculable de la fonction caractéristique d’indexation sur N* et de la fonction caractéristique d’indexation sur W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ équivalente à la fonction caractéristique d’appartenance.

⁂⁂⁂

Nous remarquons encore que si dans l’exemple de l’expression précédente 3a’.7) la fonction

caractéristique d’indexation sur N* d’une seule valeur numérique a des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ présente enfin l’avantage par rapport à la fonction caractéristique d’indexation sur W

d’une seule valeur numérique a des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ de ne pas résulter dans plusieurs valeurs correspondantes à la répétition des lettres du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, et donc de correspondre ainsi à l’expression de la fonction simple de production de n’importe quelle lettre alphabétique numérisée d’un mot pour peu que l’on multiplie son résultat dans le domaine d’arrivée EA1A={1, 0} par la valeur numérique de la lettre correspondante du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ , néanmoins nous ne pouvons pas utiliser cette expression (comme celle correspondante à la fonction mot dont le résultat est le mot W=12784935712 de notre exemple), car nous en ignorons la valeur de la quantité de lettres de n’importe quel mot et correspondante au dernier index positionnel des lettres du mot, alors que se sont ces variables d’index positionnels que nous devons connaitre comme précédemment x pour calculer le résultat de l’opération de la fonction caractéristique de l’indexation sur N* d’une seule lettre aₓ d’index x des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot

W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ. C’est donc cette expression algébrique numériquement calculable qui correspond intuitivement à la somme des éléments résultants de la fonction caractéristique d’indexation totale des lettres du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, c’est-à-dire de toutes les lettres du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, que nous écrivons tout d’abord dans le sous-titre suivant en définissant cette nouvelle fonction caractéristique d’indexation totale des lettres aᵢ du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ puis dans le deuxièmme sous titre suivant en définissant l’opération de sa somme comme correspondante au résultat de la fonction simple de cardinal des lettres d’un mot.

⁂⁂⁂⁂

a.4) La fonction caractéristique d’indexation multiple totale ou multiple quasi totale sur W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres de ce mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.4.1 : la fonction caractéristique d’indexation multiple totale sur W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction caractéristique du segment du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(SEGMNT(Mtₐᵢ(W=aᵢ))).

La fonction mot notée Mtₐᵢ(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) qui est une fonction simple d’expression numériquement calculable est une combinaison de la fonction caractéristique d’indexation totale des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ de ce mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, et cette fonction caractéristique est définie comme suit :

Soit la suite de nombre qui sont les valeurs des lettres aᵢ du mot W=aᵢ appartenant à l’alphabet A* telle que ∀ aᵢ=a ∈ A*, alors aᵢ=a ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ=( aᵢ₌ₙ ; aᵢ₌ₙ₊₁ ; aᵢ₌ₙ₊₂ ; aᵢ₌ₙ₊₃ ; aᵢ₌ₙ₊₄ ; aᵢ₌ₙ₊₅ ; aᵢ₌ₙ₊₆ ; aᵢ₌ₙ₊₇… aᵢ₌ₓ ; aᵢ₌ₓ₊₁ ; …aᵢ₌ₙ₊ₓ ), alors la fonction caractéristique d’indexation totale des lettres du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ est définie comme suit :

1A : N*→ {0 ; 1}

1A(W=a)=0, si aᵢ– a            (4a)

1A(W=a )=1, si aᵢ – a=0      (4a’)

Ensuite pour que soit numériquement calculable l’expression algébrique précédente de 1A(W= a), correspondante à la fonction caractéristique d’indexation de chaque valeur numérique des lettres a d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, c’est à dire la fonction caractéristique d’indexation totale notée 1A(INDEXTTL(a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), alors nous écrivons cette expression (4a) & (4a’) comme suit :

1A(INDEXTTL(a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))) =∪∩(n=1→ n=i : [ ( 1A(INDEX(a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))) )ᵢ] )                                                                                                                          (4a ») ↔(4a »’).

Sa représentation ensembliste séquentiel correspond à l’écriture en extension des éléments calculatoires correspondants à la fonction d’uniontersection soit :

1A(INDEXTTL(a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))) =∪∩(n=1 → n=i : [ ( ∪∩(n=1 → n=i : [ ( 1-⌈ | aᵢ – a| / (| aᵢ- a |+1) ⌉ )ᵢ]))ᵢ] )                                                                                                                        (4a » »).

⁂

Par exemple, soit le mot Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712), alors : 1A(INDEXTTL((₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712))) = ( (1-⌈|aᵢ -12| / (| aᵢ -12|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|aᵢ -7| / (| ai -7|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|aᵢ -8| / (| aᵢ -8|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|aᵢ -4| / (| aᵢ -4|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|aᵢ-9| / (| aᵢ-9|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|aᵢ -3| / (| aᵢ -3|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|aᵢ -5| / (| aᵢ -5|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|aᵢ -7| / (| aᵢ -7|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|aᵢ-1| / (| aᵢ-1|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|aᵢ-2| / (| aᵢ-2|+1)⌉) )                                                                                                                            (4.a.1) ↔ (4.a.1′).

1A(INDEXTTL((₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712)) = ( ( ( 1-⌈ | 12 – 12| / ( | 12- 12 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 7- 12 | / ( | 7- 12 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 8- 12| / ( | 8 – 12 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 4 – 12 | / ( | 4-12 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 9- 12 | / ( | 9 – 12|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 3 – 12 | / ( | 3-12|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 5- 12 | / ( | 5- 12 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 7 – 12| / ( | 7- 12 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 1 – 12| / ( | 1 – 12 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 2 – 12 | / ( | 2-12 |+1) ⌉ ) ) + ( ( 1-⌈ | 12 – 7| / ( | 12- 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 7- 7 | / ( | 7- 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 8- 7| / ( | 8 – 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 4 – 7 | / ( | 4-7 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 9- 7 | / ( | 9 – 7|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 3 – 7 | / ( | 3- 7|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 5- 7 | / ( | 5- 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 7 – 7| / ( | 7- 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 1 – 7 | / ( | 1 – 7 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 2 – 7 | / ( | 2- 7 |+1) ⌉ ) ) …. + ( ( ( 1-⌈ | 12 – 2| / ( | 12- 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 7- 2 | / ( | 7- 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 8- 2| / ( | 8 – 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 4 – 2 | / ( | 4-2 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 9- 2 | / ( | 9 – 2|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 3 – 2 | / ( | 3- 2|+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 5- 2 | / ( | 5- 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ (1-⌈ | 7 – 2| / ( | 7- 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 1 – 2| / ( | 1 – 2 |+1) ⌉ ) ∪∩ ( 1-⌈ | 2 – 2 | / ( | 2- 2 |+1) ⌉ ) )                                                                                                         (4.a.1′) ↔ (4.a.1 »)

1A(INDEXTTL((₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712))) = ( ( ( 1-⌈ | 12 – 12| / ( | 12- 12 |+1) ⌉ ) + ( 1-⌈ | 12 – 7| / ( | 12- 7 |+1) ⌉ ) +…( 1-⌈ | 12 – 2| / ( | 12- 2 |+1) ⌉ ) ) ∪∩ ( ( 1-⌈ | 7- 12 | / ( | 7- 12 |+1) ⌉ + ( 1-⌈ | 7- 7 | / ( | 7- 7 |+1) ⌉ ) + ….( 1-⌈ | 7- 2 | / ( | 7- 2 |+1) ⌉ ) ) ∪∩ ( (1-⌈ | 8- 12| / ( | 8 – 12 |+1) ⌉ ) + (1-⌈ | 8- 7| / ( | 8 – 7 |+1) ⌉ ) +… (1-⌈ | 8- 2| / ( | 8 – 2 |+1) ⌉ ) ) ∪∩ ( ( 1-⌈ | 4 – 12 | / ( | 4-12 |+1) ⌉ ) + ( 1-⌈ | 4 – 7 | / ( | 4-7 |+1) ⌉ ) +…( 1-⌈ | 4 – 2 | / ( | 4-2 |+1) ⌉ ) ) ∪∩ ( ( 1-⌈ | 9- 12 | / ( | 9 – 12|+1) ⌉ ) + ( 1-⌈ | 9- 7 | / ( | 9 – 7|+1) ⌉ ) +…( 1-⌈ | 9- 2 | / ( | 9 – 2|+1) ⌉ ) ) ∪∩ ( ( 1-⌈ | 3 – 12 | / ( | 3- 12|+1) ⌉ ) + ( 1-⌈ | 3 – 7 | / ( | 3- 7|+1) ⌉ ) +…( 1-⌈ | 3 – 2 | / ( | 3- 2|+1) ⌉ ) ) ∪∩ ( 1-⌈ | 5- 12 | / ( | 5- 12 |+1) ⌉ ) + ( 1-⌈ | 5- 7 | / ( | 5- 7 |+1) ⌉ ) +… ( 1-⌈ | 5- 2 | / ( | 5- 2 |+1) ⌉ ) ) ∪∩ (1-⌈ | 7 – 12| / ( | 7- 12 |+1) ⌉ ) + (1-⌈ | 7 – 7| / ( | 7- 7 |+1) ⌉ ) +…(1-⌈ | 7 – 2| / ( | 7- 2 |+1) ⌉ ) ) ∪∩ ( ( 1-⌈ | 1 – 12| / ( | 1 – 12 |+1) ⌉ ) + ( 1-⌈ | 1 – 7 | / ( | 1 – 7 |+1) ⌉ ) +…( 1-⌈ | 1 – 2| / ( | 1 – 2 |+1) ⌉ ) ) ∪∩ ( ( 1-⌈ | 2 – 12 | / ( | 2- 12 |+1) ⌉ ) ) + ( 1-⌈ | 2 – 7 | / ( | 2- 7 |+1) ⌉ ) ) …. + ( 1-⌈ | 2 – 2 | / ( | 2- 2 |+1) ⌉ ) ) )                                                                                                         (4.a.1 »)

⁂

1A(INDEXTTL((₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=aᵢ₌₁,₂,₃,₄,₅,₆,₇,₈,₉,₁₀=12784935712))) = ( ( ( 1-⌈ | 12 – 12| / ( | 12- 12 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 7- 12 | / ( | 7- 12 |+1) ⌉ )*n ∪∩ (1-⌈ | 8- 12| / ( | 8 – 12 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 4 – 12 | / ( | 4-12 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 9- 12 | / ( | 9 – 12|+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 3 – 12 | / ( | 3- 12|+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 5- 12 | / ( | 5- 12 |+1) ⌉ )*n ∪∩ (1-⌈ | 7 – 12| / ( | 7- 12 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 1 – 12| / ( | 1 -12 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 2 – 12 | / ( | 2- 12 |+1) ⌉ )*n ) + ( ( 1-⌈ | 12 – 7| / ( | 12- 7 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 7- 7 | / ( | 7- 7 |+1) ⌉ )*n ∪∩ (1-⌈ | 8- 7| / ( | 8 – 7 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 4 – 7 | / ( | 4-7 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 9- 7 | / ( | 9 – 7|+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 3 – 7 | / ( | 3- 7|+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 5- 7 | / ( | 5- 7 |+1) ⌉ )*n ∪∩ (1-⌈ | 7 – 7| / ( | 7- 7 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 1 – 7 | / ( | 1 – 7 |+1) ⌉ )*n ∪∩ ( 1-⌈ | 2 – 7 | / ( | 2- 7 |+1) ⌉ )*n ) …. + (4.a.1 »’). to be continued.

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (4.a.1 »’) est :

Seq(1A(W=12784935712))ₙ₌₁₀=( 1 ; 1 ; 1; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 )     (4.a.1 » »).

⁂

Définition a.4.2 : la fonction caractéristique d’indexation multiple quasi totale sur W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction caractéristique de la longueur du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(LNG(Mtₐᵢ(W=aᵢ))).

⁂⁂⁂⁂

Ensuite nous remarquons que la somme des éléments de l’expression précédente (4’a’’’) correspond au nombre de lettres du mot W=12784935712 soit 10 que nous appelons le cardinal des lettres d’un mot et noté de façon standard |W|=10. C’est donc cette dernière définition du cardinal d’un mot que nous généralisons en écrivant son expression algébrique numériquement calculable de fonction simple dans le sous-titre de la définition suivante.

⁂⁂⁂⁂⁂

a.5) La fonction caractéristique d’indexation multiple totale ou multiple quasi totale sur SeqN*ᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres de ce mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.5.1 : la fonction caractéristique d’indexation multiple totale sur SeqN*ᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction caractéristique du segment du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(SEGMNT(Mtₐᵢ(W=aᵢ))).

Définition a.5.2 : la fonction caractéristique d’indexation multiple quasi totale sur SeqNᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ des lettres aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction caractéristique de la longueur du mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, notée 1A(LNG(Mtₐᵢ(W=aᵢ))).

⁂⁂⁂⁂⁂⁂ a.6) La fonction simple de cardinal des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ :

Définition a.6.1 : La fonction simple de la quantité partielle ou totale des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ notée |W|=Card(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)).

Enfin, la fonction Mot aussi notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) est une fonction simple d’expression numériquement calculable résultant de la somme de la fonction caractéristique d’indexation totale de chaque valeur numérique des lettres d’un mot W=aᵢ₌ₙ₊ₓ, soit ai, et une fonction définie comme la fonction de cardinalité des lettres aᵢ d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ définie comme suit :Soit la suite de nombre qui sont les valeurs des lettres ai du mot W=ai appartenant à l’alphabet A* telle que ∀ aᵢ=a ∈ A*=SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ=(aᵢ₌ₙ ; aᵢ₌ₙ₊₁ ; aᵢ₌ₙ₊₂ ; aᵢ₌ₙ₊₃ ; aᵢ₌ₙ₊₄ ; aᵢ₌ₙ₊₅ ; aᵢ₌ₙ₊₆ ; aᵢ₌ₙ₊₇… aᵢ₌ₓ ; aᵢ₌ₓ₊₁ ; …aᵢ₌ₙ₊ₓ), alors la somme des valeurs résultantes de la fonction caractéristique de l’indexation totale des lettres du mot W= aᵢᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ est définie comme suit :

1A : N*→ {0 ; 1}

1A(W=a)=0, si aᵢ– a≠0 (6a)

1A(W=a )=1, si aᵢ – a=0 (6a’)

Ensuite pour que soit numériquement calculable l’expression algébrique de la somme de l’uniontersection de 1A(W= a), ou la somme des valeurs de la fonction caractéristique d’indexation totale de chaque valeur numérique des lettres a d’un mot W= aᵢ c’est-à-dire la somme des valeurs résultantes de la fonction caractéristique d’indexation totale notée CARINDEXTTL/W(a ⊆ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)), qui correspond à la fonction simple de cardinalité des lettres aᵢ d’un mot W=aᵢ notée |W|=Card(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) et dont le résultat s’écrit Card(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ), alors nous écrivons cette expression comme suit :

|W|=Card(Mtₐᵢ(W=aᵢᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))=∑ (n=1→ n=i : [ (CARINDEXTTL/W(a ⊆ Mtₐᵢ(W=ai))) )ᵢ] ) = ∑ (n=1→ n=i : [ ( ∪∩(n=1→ n=i : [ ( CARINDEX/W(a ⊆ Mtₐᵢ (W=aᵢᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))) )ᵢ] ) )ᵢ] )      (6a) ↔(6a’).

Sa représentation ensembliste séquentiel correspond à l’écriture en extension des éléments calculatoires correspondants à la fonction de sommation de la fonction d’uniontersection soit :

|W|=Card(Mtₐᵢ(W=aᵢ))=∑ (n=1→ n=i : [ ( CARINDEXTTL/W (a ⊆ Mtₐᵢ(W=ai))) )ᵢ] ) = ∑ (n=1→ n=i : [ ( ∪∩(n=1 → n=i : [ ( ∪∩(n=1 → n=i : [ ( 1-⌈ | ai – a| / (| ai – a |+1) ⌉ )ᵢ]))ᵢ] ) )ᵢ] )                   (6a’’).

⁂

Par exemple, soit en reprenant comme précédemment le mot Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712), et en reprenant aussi le calcul précédent mais seulement la première uniquement pour simplifier soit :

|W|=Card(Mtₐᵢ(W=aᵢ))=∑ (n=1→ n=i : [ ( CARINDEXTTL/W((₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂) ⊆ Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712)) )ᵢ] )                                                                                                      (6a) ↔ (6a’).

|W|=Card(Mtₐᵢ(W=aᵢ))=∑ (n=1→ n=i : [ ( ( (1-⌈|ai -12| / (| ai -12|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|ai -7| / (| ai -7|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|ai -8| / (| ai -8|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|ai -4| / (| ai -4|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|ai -9| / (| ai -9|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|ai -3| / (| ai -3|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|ai -5| / (| ai -5|+1)⌉) ∪∩ (1-⌈|ai -7| / (| ai -7|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|ai -1| / (| ai -1|+1)⌉ ) ∪∩ (1-⌈|ai -2| / (| ai -2|+1)⌉) ) )ᵢ] )                                                           (6a’) ↔ (6a’’).

|W|=Card(Mtₐᵢ(W=aᵢ))=∑ (n=1→ n=i : [ ( ( 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1; 1 ; 1 ; 1 ) )ᵢ] ) = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10                                                                                                                          (6a’’)

⁂⁂⁂⁂⁂⁂

Comme nous l’avions écrit précédemment, nous pouvons écrire l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction mot parce que nous connaissons désormais la valeur de la quantité de lettre d’un mot correspondante au résultat de l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction cardinale d’un mot. C’est cette expression de la fonction Mot que nous écrivons dans le sous-titre de la définition suivante :

⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂

a.7) L’expression algébrique numériquement calculable de la fonction simple de Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) :

Définition a.7.1 : l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ) résultant dans le mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ combinaison de la fonction d’indexation multiple totale sur W ou sur N.

La fonction Mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ) est une fonction simple d’expression numériquement calculable définie comme suit :

Soit la suite de nombre qui sont les valeurs des lettres ai du mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ appartenant à l’alphabet A* telle que ∀ aᵢ=a ∈ A*=SeqA*ᵢ₌ₙ₊ₓ=(aᵢ₌ₙ ; aᵢ₌ₙ₊₁ ; aᵢ₌ₙ₊₂ ; aᵢ₌ₙ₊₃ ; aᵢ₌ₙ₊₄ ; aᵢ₌ₙ₊₅ ; aᵢ₌ₙ₊₆ ; aᵢ₌ₙ₊₇… aᵢ₌ₓ ; aᵢ₌ₓ₊₁ ; …aᵢ₌ₙ₊ₓ) ∈ Seq N*ᵢ₌ₙ₊ₓ= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, et soit INDEX(ai)=ni ∈ Seq N*ᵢ₌|W| = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, alors la somme des valeurs résultantes de la fonction caractéristique de l’indexation sur N* des lettres du mot W= ai successivement multipliée par la valeur numérique des lettres du mot W=ai correspondant à leur valeur d’index caractéristique est définie comme l’expression algébrique numériquement calculable de la fonction mot notée Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ ) de la manière suivante :

Mtₐᵢ(W=aᵢ)=Σ(n=1 →nᵢ= |W| : [(1-⌈|nᵢ-INDEX(aᵢ)|/(|nᵢ-INDEX(aᵢ)|+1)⌉)*aᵢ)i ])       (7a) ↔ (7’a).

Sa représentation ensembliste séquentielle correspond à l’écriture en extension des éléments calculatoires correspondants à la fonction de sommation de la fonction d’uniontersection soit :

Mtₐᵢ(W=aᵢ)= ∪∩(nᵢ=1→ nᵢ=i : [ (Σ(nᵢ=1→ nᵢ= |W| : [(1-⌈|nᵢ -INDEX(aᵢ)|/(|nᵢ-INDEX(aᵢ)|+1)⌉)*aᵢ)i ]) )i ])                                                                                                                           (7’a) ↔ (7’’a).

⁂

Par exemple, soit le même mot que précédemment noté Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712), et soit |W|=10, soit les valeurs des lettres ai du mot W=ai appartenant à l’alphabet A* telle que ∀ aᵢ=a ∈ A*=SeqA*ᵢ₌₁₀=(12ᵢ₌₁ ; 7ᵢ₌₁₊₁ ; 8ᵢ₌₁₊₂ ; 4ᵢ₌₁₊₃ ; 9ᵢ₌₁₊₄ ; 3ᵢ₌₁₊₅ ; 5ᵢ₌₁₊₆ ; 7ᵢ₌₁₊₇ ; 1ᵢ₌₈₊₁ ; 2ᵢ₌₉₊₁ ) ∈ Seq N*ᵢ₌₁₀= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12}, et soit INDEX(ai)=ni ∈ Seq N*ᵢ₌|W|₌₁₀={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, alors si successivement n =1 et a=12 ; n=2 et a=7 ; n=3 et a=8 ; n=4 et a= 4 ; n=5 et a= 9 ; n=6 et a=3 ; n=7 et a=5 ; n=8 et a=7 ; n=9 et a=1 ; n=10 et a= 2, alors :

CARINDEX/N*(W=12784935712 ⊆Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712))) = ∪∩(nᵢ =1 → nᵢ =10 : [ ( 1-⌈ | nᵢ – 1| / ( | nᵢ -1 |+1) ⌉ )ᵢ] )*12 ∪∩(nᵢ=2→ nᵢ=10 : [(1-⌈ | nᵢ – 2| / ( | nᵢ -2 |+1) ⌉ )ᵢ] )*7 ∪∩(nᵢ=3 → nᵢ=10 : [(1-⌈ | nᵢ – 3| / ( | nᵢ -3 |+1) ⌉ )ᵢ] )*8 ∪∩(nᵢ=4 → nᵢ=10 : [(1-⌈ | nᵢ -4| / ( | nᵢ -4 |+1) ⌉ )ᵢ] )*4 ∪∩(nᵢ =5 → nᵢ =10 : [ ( 1-⌈ | nᵢ – 5| / ( | nᵢ -5 |+1) ⌉ )ᵢ] )*9 ∪∩(nᵢ=6→ nᵢ=10 : [(1-⌈ | nᵢ – 6| / ( | nᵢ -6 |+1) ⌉ )ᵢ] )*3 ∪∩(nᵢ=7 → nᵢ=10 : [(1-⌈ | nᵢ – 7| / ( | nᵢ -7 |+1) ⌉ )ᵢ] )*5 ∪∩(nᵢ=8 → nᵢ=10 : [(1-⌈ | nᵢ – 8| / ( | nᵢ -8 |+1) ⌉ )ᵢ] )*7 ∪∩(nᵢ=9 → nᵢ=10 : [(1-⌈ | nᵢ -9| / ( | nᵢ -9 |+1) ⌉ )ᵢ] )*1 ∪∩(nᵢ=10 → nᵢ=10 : [(1-⌈ | nᵢ – 10| / ( | nᵢ -10|+1) ⌉ )ᵢ] )*2                                                                                                               (7a)

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (7a) est :

Seq(CARINDEX/N*(W=12784935712 ⊆Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712))))ₙ₌₁₀= ( ( 12 ; 7 ; 8 ; 4 ; 9 ; 3 ; 5 ; 7 ; 1 ; 2)                                                                                                                          (7a’).

⁂⁂⁂⁂⁂⁂⁂

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a.8) Les opérations de la préfixation et de la sous-préfixation sur les sous-ensembles des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, appelés préfixes :

Définition a.8.1 : L’expression algébrique numériquement calculable de l’opération de Préfixation des lettres d’un mot

W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ, correspondante à la fonction Préfixe notée PREF(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) ; et de l’opération de « sous préfixation » des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction simple de Sous Préfixe notée prefₐᵢ(a ⊂ Mtₐᵢ(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ )).

Les préfixes d’un mot W=ai=a₁⋯aₙ sont les n+1 sous-mots ε et a₁⋯aᵢ, pour i=1, …, n. Si on exclut le mot vide, on parle de préfixe non vide, si on exclut le mot lui-même, on parle de préfixe propre. Une chaîne de lettres formant un sous mot W=v=a₁⋯aₘ est un préfixe d’une chaîne de lettres formant un mot W=ai s’il existe une chaîne de lettres formant un sous mot W=x=aₓ⋯aₙ telle que W=vx=a₁⋯aₘ⋯aₓ⋯aₙ. Le préfixe propre W=v=a₁⋯aₘ d’une chaîne de lettres formant un mot W=ai=a₁⋯aₙ n’est pas égal à la chaîne de lettres elle-même formant ce mot W=ai.

Le symbole du sous-ensemble carré est parfois utilisé pour indiquer un préfixe, de sorte que W=v=a₁⋯aₘ ⊑ W= ai=a₁⋯aₙ indique que W=v=a₁⋯aₘ est un préfixe de W= ai=a₁⋯aₙ. Le symbole ⊑, connu sous le nom d’« image carrée de ou égal à », représente la relation mathématique où un ensemble est un sous-ensemble d’un autre ensemble ou est égal à celui-ci. Il est souvent utilisé en théorie des ensembles pour discuter des relations entre deux ensembles. Cela définit une relation binaire sur les chaînes qui est appelée relation de préfixe, qui est un type particulier d’ordre de préfixe. De plus, un préfixe de W=v=a₁⋯aₘ est dit propre s’il n’est pas égal à W= ai =a₁⋯aₙ, sauf le mot vide noté W=ε qui est son propre préfixe. De manière équivalente, un sous-mot W=v=a₁⋯aₘ est un préfixe d’un mot W=ai=a₁⋯aₙ, s’il existe un sous-mot W=v=a₁⋯aₘ tel que W=v=a₁⋯aₘ ⊑ W=ai=a₁⋯aₙ. L’ensemble des préfixes sous-mot W=v=a₁⋯aₘ du mot W=ai est noté PRFX(W=ai=a₁⋯aₙ ) de manière standard et de manière ensembliste séquentielle, PRFX(Mtₐᵢ(W= aᵢ=a₁⋯aₙ). Un préfixe (ou plusieurs préfixes mais pas tous les préfixes) est le sous-mot W=v=a₁⋯aₘ du mot W=ai est noté prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ). Étant donné un mot non vide w ∈ A* , un alphabet, on note first(W) =a1, la première lettre de W= ai =a₁⋯aₙ ; et étant donné deux lettres x et y ∈ A* un alphabet, un mot W ∈ A*, on note x A* y = {A∈ A* | first(W) =x ∧ last(W) = y}, l’ensemble des mots sur W= ai =x₁⋯yₙ qui commencent par la lettre x et se terminent par la lettre y.Par exemple, les 6 préfixes du mot putin sont : W=ε ; W=p ; W=pu ; W=put ; W=puti et W=putin, lui-même. Par exemple, considérons le mot W= abbaba, alors PRFX(W= abbaba) ={ε, a, ab, abb, abba, abbab, abbaba}.Soit par exemple W= ai un mot fini sur l’alphabet A*={x, y, z} trois mots tels que W=xyz. Le mot vide est noté W=ε. On dit alors que x est un préfixe de W=xyz. J’écris donc d’après ma définition précédente la fonction que j’ai créé, PRFX(Mt₂₄,₂₅,₂₆(W=xyz)) dont le résultat est l’ensemble des préfixes de mot W=xyz qui sont notées en extension PRFX(Mt₂₄,₂₅,₂₆(W=xyz)) ={ε, x, xy, xyz }. J’écris donc aussi d’après ma définition précédente la fonction que j’ai créé, prfx( x ⊂ Mt₂₄,₂₅,₂₆(W=xyz)) =x.

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Cette expression numériquement calculable de la fonction préfixe notée prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ) des lettres numériques d’un mot numérisé W= aᵢ sans séparateur de valeur 0 car correspondant aux chiffres individuellement concaténés des 26 nombres de l’alphabet de 26 lettres, est donc définie tout d’abord par la fonction caractéristique de préfixation des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) comme suit :

Soit, n ∈ N* et 1<n<=26, 1=<Var1 =<26 ; soit la suite de nombre telle que ∀ nᵢ=n ∈ N*=SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ=(nᵢ₌ₙ ; nᵢ₌ₙ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊₂ ; nᵢ₌ₙ₊₃ ; nᵢ₌ₙ₊₄ ; nᵢ₌ₙ₊₅ ; nᵢ₌ₙ₊₆ ; nᵢ₌ₙ₊₇… nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; …nᵢ₌ₙ₊ₓ) ⊆ INDEX(Mtₐᵢ(W= aᵢ))=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26), alors la fonction caractéristique de préfixation des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) est notée, 1A(prfx(a ⊂

Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ)), et elle est définie comme suit :

1A: INDEX (Mtₐᵢ (W= aᵢ)) = (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26) → {0 ; 1} :

1A(prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ))=0, si INDEX(Mtₐᵢ(W= aᵢ)) >Var1 (13a)

1A(prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ))=1, si INDEX(Mtₐᵢ(W= aᵢ))<=Var1 (13a’)

Ensuite pour que soit numériquement calculable l’expression algébrique de la fonction caractéristique de préfixation des éléments de l’ensemble 1A(prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ )), d’un élément de la fonction mot avec l’ensemble résultant de la fonction INDEX(Mtₐᵢ(W= aᵢ ))=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26), correspondant aux valeurs d’index positionnel de l’ensemble des 26 lettres de l’alphabet noté ALPH={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, alors nous réécrivons cette expression (13a) & (13a’) que nous définissons tout d’abord comme suit :

Soit, n ∈ N* et 1<n<=26, 1=<Var1 =<26 ; et soit Var1 la variable correspondante à la valeur résultante de la fonction de longueur ou cardinal du sous mot dont les lettres sont les préfixes du mot W= ai , notée LSMtai(W=ai) et correspondant au cardinal du sous ensemble des lettres de W=a₁⋯aₙ que l’on choisit comme inférieure ou égal au cardinal des lettres du mot W=ai correspondantes à la valeur de l’indice alphabétique d’une lettre du mot W=aᵢ, résultante de la fonction d’index alphabétique soit INDEXALPH(Mtₐᵢ(W= aᵢ)) c’est-à-dire l’équivalent numérique de sa valeur alphabétique parmi les 26 lettres de l’alphabet. Alors la fonction caractéristique de préfixation des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) est notée, 1A(prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ)), et son expression algébrique numériquement calculable est définie comme suit :

1A(prfx(a ⊂ Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ)) = (⌈|n/( Var1+1)-1|⌉-⌈n/( Var1+1)⌉+1) (13a) & (13a’) ↔ (13a’’).

1A(prfx(a ⊂ Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ)) = (⌈|n/(LSMtai(W=ai)+1)-1|⌉-⌈n/(LSMtai (W=ai)+1)⌉+1) (13a’’).

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (13a’’) n’est pas représentable sans exemple alors soit Σ(n=1→n=INDEX(ai) : [(1-⌈|n-INDEX(ai)|/(|n-INDEX(ai)|+1)⌉)*ai)i ])=Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712) et Var1= LSMtai(W=ai)=5 avec 1<=n<=26 :

Seq(1A(prfx(Mtₐᵢ(W= aᵢ))))ₙ₌₁₀=( 1 ; 1; 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0) (13a’’’).

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Enfin cette expression algébrique numériquement calculable de la fonction préfixe notée

prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ) des lettres numériques d’un mot numérisé W=aᵢ sans séparateur de valeur 0 car correspondant aux chiffres individuellement concaténés des 26 nombres de l’alphabet de 26 lettres, est donc définie ensuite par la fonction caractéristique de préfixation des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) multiplié par la fonction de mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) de la manière suivante :

Soit, n ∈ N* et 1<n<=26, 1=<Var1 =<26 ; et soit Var1 la variable correspondante à la valeur résultante de la fonction de longueur ou cardinal du sous mot dont les lettres sont les préfixes du mot W= ai , notée LSMtai(W=ai) et correspondant au cardinal du sous ensemble des lettres de W=a₁⋯aₙ que l’on choisit comme inférieure ou égal au cardinal des lettres du mot W=ai correspondantes à la valeur de l’indice alphabétique d’une lettre du mot W=aᵢ, résultante de la fonction d’index alphabétique soit INDEXALPH(Mtₐᵢ(W= aᵢ)) c’est-à-dire l’équivalent numérique de sa valeur alphabétique parmi les 26 lettres de l’alphabet. Soit la suite de nombre telle que ∀ nᵢ=n ∈ N*=SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ=(nᵢ₌ₙ ; nᵢ₌ₙ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊₂ ; nᵢ₌ₙ₊₃ ; nᵢ₌ₙ₊₄ ; nᵢ₌ₙ₊₅ ; nᵢ₌ₙ₊₆ ; nᵢ₌ₙ₊₇… nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; …nᵢ₌ₙ₊ₓ) ⊆ INDEX(Mtₐᵢ(W= aᵢ))=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26), alors la fonction préfixe des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) est notée, prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ), et son expression algébrique numériquement calculable est définie comme suit :

prfx(Mtₐᵢ(W= aᵢ))=1A(prfx(a ⊂ Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ))*Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ) = (⌈|n/( Var1+1)-1|⌉-⌈n/( Var1+1)⌉+1)*Σ(n=1→n=INDEX(ai) : [(1-⌈|n-INDEX(ai)|/(|n-INDEX(ai)|+1)⌉)*ai)i ]) (14a) ↔ (14a’).

prfx(Mtₐᵢ(W= aᵢ))=1A(prfx(a ⊂ Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ)) = (⌈|n/(LSMtai(W=ai)+1)-1|⌉-⌈n/(LSMtai(W=ai)+1)⌉+1) *Σ(n=1→n=INDEX(ai) : [(1-⌈|n-INDEX(ai)|/(|n-INDEX(ai)|+1)⌉)*ai)i ]) (14a’).

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (14a’) n’est pas représentable sans exemple alors soit Σ(n=1→n=INDEX(ai) : [(1-⌈|n-INDEX(ai)|/(|n-INDEX(ai)|+1)⌉)*ai)i ])=Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712) et Var1= LSMtai(W=ai)=5 avec 1<=n<=26 : Seq(prfx(Mtₐᵢ(W= aᵢ)))ₙ₌₁₀=( 12 ; 7; 8 ; 4 ; 9 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0) (14a’’’).

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a.9) Les opérations de la suffixation et de la sous-suffixation sur les sous-ensembles des lettres d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ appelés suffixes :

Définition a.9.1 : L’expression algébrique numériquement calculable de l’opération de Suffixation des lettres d’un mot

W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction simple de Suffixe notée SFX(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)); et de l’opération de « sous suffixation » des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ correspondante à la fonction simple de Sous Suffixe notée sfxₐᵢ(a ⊂ Mtₐᵢ(W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) .

Les suffixes d’un mot W=ai=a₁⋯aₙ sont les n+1 sous mots ε et a₁⋯aₙ, pour i=1,…,n. Une chaîne de lettres formant un sous mot W=x=aₓ⋯aₙ est un suffixe d’une chaîne de lettres formant un mot W=ai s’il existe une chaîne de lettres formant un sous mot W=v=a₁⋯aₘ telle que W=vx=a₁⋯aₘ⋯aₓ⋯aₙ. Le suffixe propre d’une chaîne de lettres formant un mot W=ai=a₁⋯aₙ n’est pas égal à la chaîne de lettres elle-même formant ce mot. Une interprétation plus restreinte est que le suffixe propre W=x=aₓ⋯aₙ d’une chaîne de lettres formant un mot W=ai=a₁⋯aₙ n’est pas non plus vide. Un suffixe peut être considéré comme un cas particulier d’une sous-chaîne de lettres formant un mot aussi une chaine de lettres. De manière équivalente, un mot W=x=aₓ⋯aₙ est un suffixe d’un mot W=ai s’il existe un mot W=v=a₁⋯aₘ tel que W=vx. Le symbole du sous-ensemble carré est parfois utilisé pour indiquer un suffixe, de sorte que W=x=aₓ⋯aₙ ⊑ W= ai=a₁⋯aₙ indique que W=x=aₓ⋯aₙ est un suffixe de W= ai=a₁⋯aₙ. Cela définit une relation binaire sur les chaînes de lettres qui est appelée relation de suffixe, qui est un type particulier d’ordre de suffixe. De plus, un suffixe de W=x=aₓ⋯aₙ est dit propre s’il n’est pas égal à W=ai=a₁⋯aₙ, sauf le mot vide noté W=ε qui est son propre suffixe. De manière équivalente, un sous-mot W=x=aₓ⋯aₙ est un suffixe d’un mot W=ai=a₁⋯aₙ, s’il existe un sous-mot W=x=aₓ⋯aₙ tel que W=x=aₓ⋯aₙ ⊑ W=ai=a₁⋯aₙ. L’ensemble des suffixes sous-mot W=x=aₓ⋯ aₙ du mot W=ai est noté SFX(W=ai=a₁⋯aₙ) de manière standard et de manière ensembliste séquentielle, SFX(Mtₐᵢ(W=aᵢ=a₁⋯aₙ). Un suffixe (ou plusieurs suffixes mais pas tous les suffixes) est le sous-mot W=x=aₓ⋯aₙ du mot W=ai est noté sfx(a ⊂ Mtai (W=ai=a₁⋯aₙ ). Étant donné un mot non vide w ∈ A* , un alphabet, on note first(W)=a1, la première lettre de W= ai =a₁⋯aₙ ; et étant donné deux lettres x et y ∈ A* un alphabet, un mot W ∈ A*, on note x A* y={A∈ A* | first(W)=x ∧ last(W)=y}, l’ensemble des mots sur W=ai=x₁⋯yₙ qui commencent par la lettre x et se terminent par la lettre y.

L’ensemble des suffixes de W est noté de manière standard Suff(W). Par exemple, informellement noté les 6 suffixes du mot W=putin sont les mots W=putin ; x₁=puti ; x₂=put ; x₃=pu ; x₄=p et x=ε.

Par exemple, considérons le mot W= abbaba, alors SUFF(W= abbaba) ={ε, a, ba, aba. baba, bbaba, abbaba}.Soit par exemple W= ai un mot fini sur l’alphabet A*={x, y, z} trois mots tels que W=xyz. Le mot vide est noté W=ε. On dit alors que y est un suffixe de W=xyz. J’écris donc d’après ma définition précédente la fonction que j’ai créé, SFX(Mt₂₄,₂₅,₂₆(W=xyz)) dont le résultat est l’ensemble des suffixes de mot W=xyz qui sont notées en extension SFX(Mt₂₄,₂₅,₂₆(W=xyz)) ={ε, z, yz, xyz}. J’écris donc aussi d’après ma définition précédente la fonction que j’ai créé, sfx( z ⊂ Mt₂₄,₂₅,₂₆(W=xyz)) =z.

⁂

Cette expression numériquement calculable de la fonction de préfixation notée sfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ) des lettres numériques d’un mot numérisé W=aᵢ sans séparateur de valeur 0 car correspondant aux chiffres individuellement concaténés des 26 nombres de l’alphabet de 26 lettres, est donc définie tout d’abord par la fonction caractéristique de suffixation des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) comme suit :

Soit, n ∈ N* et 1<n<=26, 1=<Var1 =<26 ; soit la suite de nombre telle que ∀ nᵢ=n ∈ N*=SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ=(nᵢ₌ₙ ; nᵢ₌ₙ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊₂ ; nᵢ₌ₙ₊₃ ; nᵢ₌ₙ₊₄ ; nᵢ₌ₙ₊₅ ; nᵢ₌ₙ₊₆ ; nᵢ₌ₙ₊₇… nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; …nᵢ₌ₙ₊ₓ) ⊆ INDEX(Mtₐᵢ(W= aᵢ))=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26), alors la fonction caractéristique de suffixation des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) est notée, 1A(sfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ)), et elle est définie comme suit :

1A: INDEX (Mtₐᵢ (W= aᵢ)) = (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26) → {0 ; 1} :

1A(sffx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ))=0, si INDEX(Mtₐᵢ (W= aᵢ)) <Var1 (15a)

1A(sffx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ))=1, si INDEX(Mtₐᵢ (W= aᵢ)) >=Var1 (15a’)

Ensuite pour que soit numériquement calculable l’expression algébrique de la fonction caractéristique de préfixation des éléments de l’ensemble 1A(sfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ )), d’un élément de la fonction mot avec l’ensemble résultant de la fonction INDEX(Mtₐᵢ(W= aᵢ ))=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26), correspondant aux valeurs d’index positionnel de l’ensemble des 26 lettres de l’alphabet noté ALPH={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, alors nous réécrivons cette expression (15a) & (15a’) que nous définissons tout d’abord comme suit :

Soit, n ∈ N* et 1<n<=26, 1=<Var1 =<26 ; et soit Var1 la variable correspondante à la valeur résultante de la fonction de longueur ou cardinal du sous mot dont les lettres sont les suffixes du mot W= ai, notée LSMtai(W=ai) et correspondant au cardinal du sous ensemble des lettres de W=a₁⋯aₙ que l’on choisit comme inférieure ou égal au cardinal des lettres du mot W=ai correspondantes à la valeur de l’indice alphabétique d’une lettre du mot W=aᵢ, résultante de la fonction d’index alphabétique soit INDEXALPH(Mtₐᵢ(W= aᵢ)) c’est-à-dire l’équivalent numérique de sa valeur alphabétique parmi les 26 lettres de l’alphabet. Alors la fonction caractéristique de suffixation des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) est notée, 1A(sfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ)), et son expression algébrique numériquement calculable est définie comme suit :

1A(sfx(a ⊂ Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ)) = |((⌈|(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+1-n)/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)-1|⌉-⌈(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+1-n)/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)⌉+1)*(⌈|n/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)-1|⌉-⌈n/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)⌉+1)-(⌈|n/(LMtai(W=ai)+1)-1|⌉-⌈n/(LMtai(W=ai)+1)⌉+1)| (15a) & (15a’) ↔ (15a’’).

1A(sfx(a ⊂ Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ)) = |((⌈|(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+1-n)/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)-1|⌉-⌈(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+1-n)/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)⌉+1)*(⌈|n/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)-1|⌉-⌈n/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)⌉+1)-(⌈|n/(LMtai(W=ai)+1)-1|⌉-⌈n/(LMtai(W=ai)+1)⌉+1)| (15a’’).

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (15a’’) n’est pas représentable sans exemple alors soit Σ(n=1→n=INDEX(ai) : [(1-⌈|n-INDEX(ai)|/(|n-INDEX(ai)|+1)⌉)*ai)i ]) =Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712) et Var1= LSMtai(W=ai)=5 avec 1<=n<=26 :

Seq(1A(sfx(Mtₐᵢ(W= aᵢ))))ₙ₌₁₀=( 1 ; 1; 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0) (15a’’’).

⁂

Enfin cette expression numériquement calculable de la fonction préfixe notée prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ) des lettres numériques d’un mot numérisé W=aᵢ sans séparateur de valeur 0 car correspondant aux chiffres individuellement concaténés des 26 nombres de l’alphabet de 26 lettres, est donc définie ensuite par la fonction caractéristique de préfixation des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) multiplié par la fonction de mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) de la manière suivante :

Soit, n ∈ N* et 1<n<=26, 1=<Var1 =<26 ; soit la suite de nombre telle que ∀ nᵢ=n ∈ N*=SeqNᵢ₌ₙ₊ₓ=(nᵢ₌ₙ ; nᵢ₌ₙ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊₂ ; nᵢ₌ₙ₊₃ ; nᵢ₌ₙ₊₄ ; nᵢ₌ₙ₊₅ ; nᵢ₌ₙ₊₆ ; nᵢ₌ₙ₊₇… nᵢ₌ₓ ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; …nᵢ₌ₙ₊ₓ) ⊆ INDEX(Mtₐᵢ(W= aᵢ))=(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26), alors la fonction préfixe des éléments de l’ensemble résultant de la fonction mot Mtaᵢ(W= aᵢ)) est notée, prfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ), et son expression algébrique numériquement calculable est définie comme suit :

sfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ) =1A(sfx(a ⊂ Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ))*Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ) = |((⌈|(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+1-n)/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)-1|⌉-⌈(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+1-n)/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)⌉+1)*(⌈|n/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)-1|⌉-⌈n/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)⌉+1)-(⌈|n/(LMtai(W=ai)+1)-1|⌉-⌈n/(LMtai(W=ai)+1)⌉+1)| * Σ(n=1→n=INDEX(ai) : [(1-⌈|n-INDEX(ai)|/(|n-INDEX(ai)|+1)⌉)*ai)i ]) (16a) ↔(16a’).

sfx(a ⊂ Mtai (W= ai =a₁⋯aₙ ) =1A(sfx(a ⊂ Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ))*Mtai(W= ai =a₁⋯aₙ) = |((⌈|(LMtai(W=ai)-LSMtai (W=ai)+1-n)/(LMtai(W=ai)-LSMtai (W=ai)+2)-1|⌉-⌈(LMtai(W=ai)-LSMtai (W=ai)+1-n)/(LMtai(W=ai)-LSMtai (W=ai)+2)⌉+1)*(⌈|n/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)-1|⌉-⌈n/(LMtai(W=ai)-LSMtai(W=ai)+2)⌉+1)-(⌈|n/(LMtai(W=ai)+1)-1|⌉-⌈n/(LMtai(W=ai)+1)⌉+1)| * Σ(n=1→n=INDEX(ai) : [(1-⌈|n-INDEX(ai)|/(|n-INDEX(ai)|+1)⌉)*ai)i ]) (16a’).

La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (16a’’) n’est pas représentable sans exemple alors soit Σ(n=1→n=INDEX(ai) : [(1-⌈|n-INDEX(ai)|/(|n-INDEX(ai)|+1)⌉)*ai)i ]) =Mt₁₂,₇,₈,₄,₉,₃,₅,₇,₁,₂(W=12784935712) et Var1= LSMtai(W=ai)=5 avec 1<=n<=26 :

Seq(1A(sfx(Mtₐᵢ(W= aᵢ))))ₙ₌₁₀=( 0 ; 0; 0; 0 ; 0 ; 3; 5 ; 7 ; 1 ; 2) (16a’’’).

Jusqu’ici dans notre stade de la description du processus de création des objets de la combinatoire des mots au moyen des opérations de l’algèbre ensembliste séquentiel, nous n’avons fait que définir la notation des formes des sous-ensembles de lettres des mots et comme précédemment pour la dualité des fonctions de numérisation simple ou de numérisation chiffrement nous distinguons deux catégories d’opérations ensemblistes séquentiels correspondantes à l’expression algébrique numériquement calculable des fonctions simples et caractéristiques sur les facteurs et sous mots qui sont premièrement les opérations qui les produisent et qui les mesurent; et qui sont deuxièmement les opérations qui les extraient, les insèrent ou les modifient. Ce sont tout d’abord les premières opérations produisant et mesurant les préfixes, les facteurs et les suffixes dont nous définissons puis écrivons les expressions algébriques numériquement calculables correspondant à ces fonctions simples et caractéristique dans le sous chapitre suivant.

˜ °⋆⋄⊺⋇∗∘₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ ᵨ ᵧ ᵦ ᵪ ᵢ ᵤ ᵥ ᵣ ᵣ ₑ ₙ ₒ ₙ ₀₁₂₃₄₅∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ ᵨ ᵧ ᵦ ᵪ ᵢ ᵤ ᵥ ᵣ ᵣ ₑ ₙ ₒ ₙ ⁰¹ ² ³ ⁰ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ª º ᵏ ℠ ™ ˠ ˡ ˢ ˣ ˤ ᵸ ⁱ ⁿ ⱽ ꝰ ꟸ ꟹ ᵐ ᵏ ᵖºₒₒ

₋₁ L□□ ∴◊□¬ ∧∨ → ↔₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ ᵨ ᵧ ᵦ ᵪ ᵢ ᵤ ᵥ ᵣ ᵣ ₑₙₒₙ ∆Σ∆∇∫∬∭⨌∄∅¬˜ ∧∨∩∪∈∉∏∑

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a.10) Les opérations de la facteurisation et de la sous-facteurisation sur les sous-ensembles des lettres d’un mot W= aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ appelés ensemble de facteurs et ensemble de sous mots :

Définition a.10.1 : Les notations de l’opération de facteurisation des lettres d’un mot W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ

notée FCT(Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ)) et de l’opération de « sous facteurisation » des lettres d’un mot W==aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ notée fctₐᵢ(a ⊂ Mtₐᵢ(W=aᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ))

Un mot fini (resp infini) W= ai peut aussi être défini comme la juxtaposition ou concaténation de plusieurs sous mots c’est-à-dire des éléments du mot W=w₁w₂…wₙ qui sont au minimum une seule lettre et généralement plusieurs lettres différentes ou identiques concaténées : on dit alors que w i₌ₙ est un sous-mot sur A l’alphabet du mot W= ai et l’on appelle le produit de la factorisation d’un mot W= ai une suite finie W=(w₁, w₂…wₙ) de sous mots tel que la relation de concaténation W=w₁w₂…wₙ, et tel que w₁= a₁⋯aₓ ou w₂=aₕ⋯aₖ…etc, avec le mot W= ai ₌₁⋯ai₌ₙ. Les sous mots sont aussi appelés des facteurs du mot W= ai, parce que les facteurs d’un mot en général ont la propriété de correspondre aux éléments de l’ensemble de toutes les combinaisons possibles des lettres d’un mot W=ai, comprenant le mot vide à la lettre vide ε et qui est noté W=ε et numérisé par la valeur 0. Cette pseudo opération en combinatoire des mots de factorisation sur les lettres des mots résultants dans des facteurs de mot correspond en fait à ce que j’appelle d’un néologisme pour différentier l’opération de la factorisation de l’opération de la combinaison de lettres d’un mots écrite par un ensemble de facteurs en extension, une opération de la fonction de facteurisation notée FCT(Mtai (W=ai)), et sachant donc que la « facteurisation » est un néologisme non officiel en combinatoire des mots indiquant une opération qui ne correspondant pas exactement à l’opération de factorisation d’arithmétique des nombres, car il signifie l’écriture en extension de toutes les combinaisons possibles de lettres d’un mot. L’opération de « sous facteurisation » des lettres d’un mot est notée fct(ai ⊂ Mtai (W= ai)) et dont le résultat est représenté pour chaque facteur d’une unique lettre d’un mot quelconque par fct(ai ⊂ Mtai (W=ai))= (W=ε… ai.εεε…) ou les lettres vides correspondent aux lettres du mot W= ai non « sous facteurisées ».

o Par exemple, soit le mot W= ai de deux lettres u et v chacune d’entre elles répétées n fois, c’est-à-dire en notation mixte respectivement ensembliste séquentielle pour Card et en combinatoire des mots pour | |, Card(fct(vⁿ))=|vⁿ| =n, et Card(fct(uⁿ))=|uⁿ| =n, donc soit le mot W=(uv)ⁿ noté Mtu→v(W=uuuuu….uuuuuuuuvvvvvvvvvvvv…v) ↔ W=(uv)ⁿ =uⁿvⁿ. Alors, un sous facteur du mot W=uⁿvⁿ, est noté fct(v ⊂ Mtu→v (W=ε….εεεvvvvvvvvvvvv…v) ↔ W=(εv)ⁿ =εⁿvⁿ, avec la lettre vide notée W=ε et représentant l’espace vide occupé par la lettre W=uⁿ, sachant que le facteur de la lettre vide est noté fct(εⁿ ⊂ Mtu→v(W= ε….εεεεεε…ε)). Un autre facteur du mot W=uⁿvⁿ, est noté fct(v ⊂ Mtu→v (W=uuuuuuuuuuuu… uε….εεε) ↔ W=(uε)ⁿ =vⁿεⁿ, avec la lettre vide notée W=ε et représentant l’espace vide occupé par la lettre W=vⁿ. Enfin le sous mot vide de la lettre vide notée W=ε est aussi un facteur de W==uⁿvⁿ, soit fct(ε ⊂ Mtu→v(W =εεεε….εεεεεεεεε…εεε)) ↔ W=εⁿεⁿ =ε²ⁿ avec Card(fct(εⁿ))=|ε²ⁿ|=2n.

⁂Un facteur d’un mot : Un mot u ∈ A∗ est appelé un facteur d’un mot w ∈ A∗ s’il existe au moins un mot ou plus v x y z tels que w=uvxyz…avec w un facteur de lui-même w=u. Un mot fini x est facteur d’un mot w s’il existe un mot fini u et un mot v tels que w=uxv. L’ensemble des facteurs de w est noté Fac(w). L’ensemble des facteurs de longueur n de x est noté Facₙ(x). La relation « … est un facteur de … », est une relation d’ordre sur l’index lexicographique des lettres du mot.Soit w un mot non vide, pour tout couple (i, j) ∈ N² tel que 1 ≤ i ≤ j ≤ |w|, on note w[i … j] le facteur de w tel que w = pw[i … j]s pour deux mots p et s où |p| = i − 1. Autrement dit, w[i … j] est le facteur de w qui commence à la i Emme lettre et finit à la j Emme lettre de w. Lorsque i = j, on note w[i] le facteur w[i … i] qui est simplement la i Emme lettre de w. En particulier, w [1] et w[|w|] sont respectivement la première et la dernière lettre de w.On note Fct(w) la fonction de « Facteurisation » produisant l’ensemble de tous les facteurs possibles d’un mot w.Si on peut écrire un mot w sous la forme w=sup alors on dit que s, u et p sont des facteurs de w, que s est un préfixe de w et que p est un suffixe de w. En outre, si l’un des deux mots s ou p est non vide, alors u est dit propre. Si les deux mots s et p sont non-vides, alors u est dit interne. Une sous-suite contiguë de lettres de w est un facteur de w ; et s’il apparaît au début du mot w il est appelé préfixe ; et s’il est placé à la fin du mot il est appelé est un suffixe de w. On utilise la notation L(w) pour désigner le langage de w, c’est-à-dire l’ensemble de ses facteurs résultants de la fonction de Facteurisation notée Fct(w). Sa restriction aux facteurs de longueur n est notée Lₙ(w). Par exemple, les Facteurs du mot w=putin sont les mots ε, p, u, t, i, n, pu, ti, in, ut, put, tin, puti, utin, putin.) et soit le mot w=uvxyz, alors si u=pu, donc v=tin ; si u=t donc v=pu et x=in etc. Un facteur x d’un mot w, noté Fctsg(w)=x, est dit sous mot spécial gauche, s’il existe au moins deux lettres s et p telles que sx ∈ L(w) et px ∈ L(w). Par exemple, le facteur Fctsg(w)=tin=x du mot w=putin est dit facteur spécial gauche parce qu’il existe au moins deux lettres p et u telles que px ∈ L(w) et ux ∈ L(w).

Un facteur y d’un mot w, noté Fctseg(w)=y est dit sous mot spécial extrême gauche, s’il n’existe qu’une lettre s telle que sy ∈ L(w). Par exemple, le facteur Fctseg(w)=utin=y du mot w=putin est dit facteur spécial d’extrême gauche parce qu’il n’existe qu’une seule lettre p telles que py ∈ L(w).

Un facteur y d’un mot w, noté Fctsdr(w)=q, est dit sous mot spécial droit, s’il existe au moins deux lettres t et i telles que qt ∈ L(w) et qi ∈ L(w). Par exemple, le facteur Fctsdr(w)=pu=q du mot w=putin est dit facteur spécial droit parce qu’il existe au moins deux lettres t et i telles que qt ∈ L(w) et qi ∈ L(w).

Un facteur z d’un mot w, noté Fctsedr(w)=z, est dit sous mot spécial extrême droit, s’il existe une seule lettre t telle que zt ∈ L(w). Par exemple, le facteur Fctsedr(w)=p=z du mot w=putin est dit facteur spécial extrême droit parce qu’il n’existe qu’une lettres t telle que zt ∈ L(w).

⁂

Un facteur u est dit primitif s’il n’est pas une puissance d’un autre mot, c’est-à-dire s’il n’existe pas d’entier k ≥ 2 et de mot v tels que u = vᵏ. Par exemple, abba est un mot primitif et abab n’est pas primitif puisqu’il est le carré du mot ab. Le mot vide n’est pas primitif. Pour un alphabet à deux lettres a, b, les premiers mots primitifs sont : w=a ; w= b ; w= ab ; w= ba ; w=aab ; w=aba ; w=abb ; w=baa ; w=bab ; w=bba ; w=aaab, … »Les mots primitifs représentent en quelque sorte l’équivalent combinatoire des nombres premiers en arithmétique. Les mots primitifs interviennent dans divers domaines, comme les équations entre mots, les mots de Lyndon, les langages formels, l’étude des colliers ou mots circulaires. Un mot primitif est aussi appelé apériodique. »

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Bibliographie supplémentaire pour ce chapitre seulement :

« ARNAULD ET LEIBNIZ : UN DIALOGUE IMPOSSIBLE » par Huguette COURTÈS

« Relations linguistiques et mathématiques chez Leibniz » de Marc Parmentier « doi.org/10.4000/methodos.3808 »

« Périodes locales et propagation de périodes dans un mot » de Jean-Pierre Duval publié dans « Theoretical Computer Science Volume 204, Issues 1–2, 6 September 1998, Pages 87-98 »

“Algebraic combinatorics on words” M Lothaire

“Combinatorics on Words – ATutorial”, J. Berstel1 and J. Karhumaki.

“Combinatorics on Words – Introduction” by Anna Frid.

Combinatoire des mots V. Berthé.

« CARACTÉRISATIONS DES MOTS DE CHRISTOFFEL » PAR MÉLODIE LAPOINTE. MÉMOIRE PRÉSENTÉ COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE E MATHÉMATIQUES. UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL.

Combinatorics on Words: Christoffel Words and Repetitions in Words Jean Berstel Aaron Lauve Christophe Reutenauer Franco Saliola 2008.

Ensembles inévitables et classes de conjugaison Jean-Marc CHAMPARNAUD Georges HANSE.

« Quelques éléments de Combinatoire des Mots » de G. Richomme. Cours 2014-2015 version du 6 Septembre, 2014.

“The origins of combinatorics on words” by Jean Berstel, Dominique Perrin European Journal of Combinatorics 28 (2007) 996–1022.

“On Bijective Variants of the Burrows-Wheeler Transform” by Manfred Kufleitner Universitat Stuttgart, FMI, Universitatsstr. 38, 70569 Stuttgart, Germany.

« Morphismes procycliques » de Francis Wlazinski. 2024. ffhal-01896212v3. Université Du Québec À Montréal.

« Complexité Palindromique Des Mots Et Des Arbres » par Nadia Lafrenière Mémoire Présenté Comme Exigence Partielle De La Maîtrise En Mathématiques Janvier 2016.

“Average cost of Duval’s algorithm for generating Lyndon words”. By J. Berstel Institut Blaise Pascal, LITP Université de Paris VI. M. Pocchiola CNRS U.R.A. 1327, LIENS, Ecole Normale Supérieure. Communicated by D. Perrin Received March 1992 Revised December 1993. Theoretical Computer Science 132 (1994) 415-425.

“A Natural Ring Basis for the Shuffle Algebra and an Application to Group Schemes” DAVID E. RADFORD* Department of Mathematics, University of Chicago at Chicago Circle, Chicago, Illinois 60680 Communicated by Nathan Jacobson Received June 10, 1977 JOURNAL OF ALGEBRA 58, 432-454 (1979).

« Couverture d’un mot bidimensionnel par un motif chevauchant » par Guilhem Gamard. Thèse pour obtenir le grade de docteur Université de Montpellier Académie de Montpellier.

“String-matching on ordered alphabets” by Maxime Crochemore LITP, Université Paris 7.

“WORDS OVER AN ORDERED ALPHABETAND SUFFIX PERMUTATIONS” par Jean-Pierre Duval1 and Arnaud Lefebvre Theoretical Informatics and Applications Theoret. Informatics Appl. 36 (2002) 249–259 DOI: 10.1051/ita:2002012

« Opérations sur les mots de Christoffel » ÉRIC LAURIER Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 11, no 1 (1999).

Combinatorics of Lyndon words Amy Glen School of Chemical & Mathematical Sciences Murdoch University, Perth, Australia

« Mots dendriques et leurs propriétés » Gheeraert, France Promoteur(s) : Leroy, Julien Faculté des Sciences Diplôme : Master en sciences mathématiques, à finalité spécialisée en informatique. Année académique : 2019-2020 URI/URL : « http://hdl.handle.net/2268.2/9164 »

« A l’intersection de la combinatoire des mots et de la géométrie discrète Palindromes, symétries et pavages.» Alexandre Blondin Massé. Autre [cs.OH]. Université de Grenoble ; Université du Québec à Montréal, 2011. Français. ffNNT : 2011GRENM072ff. fftel-00697886f

Grammaire non contextuelle

“Le problème de Prouhet et la suite de Thue–Morse. » de Michel Rigo. Congrès de la SBPMef, 22 aout 2012

“NECKLACES OF BEADS IN K COLORS AND k=ARY DE BRUJN SEQUENCES” Harold FREDRICKSEN and James MAIORANA. Communications Research Division–IDA, Princeton, NJ 08540, U.S.A. Received 28 February 1977 Discrete Mathematics 23 (1978) 207-210.

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