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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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« En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d’un nombre réel x est l’unique entier relatif n (positif, négatif ou nul) tel que:

n ⩽ x <n + 1.

On démontre son existence et son unicité par analyse-synthèse: n est le plus grand entier inférieur ou égal à x (ce que l’on peut prendre comme définition équivalente de la partie entière de x, voir ci-dessous), son existence étant garantie par la propriété d’Archimède.

Dans le cas où x est un rationnel, x=a /b, avec a ∈ ℤ, b ∈ ℕ* , la partie entière de x n’est autre que le quotient euclidien de a par b.

La différence entre un nombre x et une partie entière est appelée par partie fractionnaire ou partie décimale.

La partie intégrale ou partie entière de x, souvent notée [x], est ⌊x⌋ si x est non négatif, et ⌈x⌉ sinon. En mots, il s’agit de l’entier qui a la plus grande valeur absolue inférieure ou égale à la valeur absolue de x.

La partie intégrale ou partie entière d’un nombre (partie entière dans l’original) a été définie pour la première fois en 1798 par Adrien-Marie Legendre dans sa preuve de la formule de Legendre qui donne une expression de l’exposant de la plus grande puissance d’un premier p qui divise la factorielle n !, cette dernière étant aussi parfois connue sous le nom de formule de Polignac, d’après Alphonse de Polignac(1826–1863) un mathématicien français qui en 1849, l’année de son admission à Polytechnique, fit ce qu’on appelle la conjecture de Polignac: pour chaque entier positif k, il y a une infinité de lacunes premiers de taille 2k. », extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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En mathématiques et en informatique, la fonction de plancher est la fonction qui prend en entrée un nombre réel x, et donne en sortie le plus grand entier inférieur ou égal à x, noté floor (x) ou ⌊x⌋. De même, la fonction plafond mappe x au plus petit entier supérieur ou égal à x, noté ceil (x) ou ⌈x⌉.

La fonction de plancher et de plafond est également appelée fonction de plus ou moins entier.

Soit x n’importe quel nombre réel. Alors x se situe entre deux nombres entiers appelés le plancher et le plafond de x. Plus précisément,

⌊x⌋ ou floor de x, désigne le plus grand entier qui ne dépasse pas x.

⌈x⌉ ou plafond de x, désigne le plus petit entier qui n’est pas inférieur à x.

Originellement Carl Friedrich Gauss a introduit la notation entre crochets [x] dans sa troisième preuve de réciprocité quadratique (1808). Cela est resté la norme en mathématiques jusqu’à ce que Kenneth E. Iverson (17 décembre 1920-19 octobre 2004) un mathématicien et informaticien canadien introduit, dans son livre de 1962 « A Programming Language », les noms «plancher» et « plafond « et les notations correspondantes ⌊x⌋ et ⌈x⌉.« , extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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En informatique, l’opération modulo, ou opération mod, est une opération binaire qui associe à deux entiers naturels le reste de la division euclidienne du premier par le second, le reste de la division de a par n (n ≠ 0) est noté a mod n.

En mathématiques, l’usage du terme modulo est différent même s’il est lié : il ne désigne pas une opération, mais intervient pour caractériser une relation de congruence sur les entiers (et plus généralement pour d’autres congruences); le mot clef mod associé n’est le plus souvent utilisé que pour noter cette congruence.

Dans la pratique, l’expression x mod y peut être calculée en utilisant d’autres fonctions. Ainsi, en notant :

x=⌊x⌋+{x}, avec ⌊x⌋ la partie entière inférieure et {x} la partie fractionnaire, on a :

a mod(n)=a−(⌊a/n⌋×n).« , extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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« Une fonction caractéristique est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E, et qui est notée 1A, (une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I (i majuscule). Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité. Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E est une fonction :

1A: E→ {0,1}

x↦ 1 si x ∈ A: 1A(x)=1

x↦0 si x ∉ A: 1A(x)=0″, extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

INTRODUCTION AUX FONCTIONS CONVENTIONELLES:

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Après avoir rapporté précédemment le résumé concernant les fonctions et les opérations permettant de définir une fonction caractéristique, nous définissons maintenant les trois types de fonctions conventionnelles comprenant notre introduction à l’utilité d’énoncé de nouvelles fonctions soit: 

I) Les fonctions d’échelons caractéristiques définies en général avec, x ∈ R par l’expression χA(x), la fonction indicatrice des intervalles A, définie comme suit: χA(x): {1 if x ∈ A; 0 if x ∉ A. Nous illustrerons une application des nouvelles fonctions à ces fonctions d’échelons caractéristiques.

II) Les fonctions linéaires par morceaux qui par définition sont des fonctions à valeur réelle d’une variable réelle, dont le graphique est composé de segments de ligne droite et définie sur un intervalle éventuellement illimité de nombres réels, de sorte qu’il existe une collection d’intervalles sur chacun desquels la fonction est une fonction affine (une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes).

III) Une application des nouvelles fonctions aux fonctions linéaires par morceaux 

IV) Les fonctions simples ou « fonctions numériques dont l’image est constituée d’un nombre fini de valeurs réelles (ou éventuellement complexes) sachant qu’une fonction étagée est une fonction simple définie sur un espace mesurable et qui est elle-même une fonction mesurable; et qu’une fonction en escalier est une fonction étagée définie sur l’ensemble des réels et dont les valeurs (réelles) sont constantes sur des intervalles : ce sont donc des fonctions constantes par morceaux. Dans les trois acceptions, chacune de ces fonctions peut s’exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques« , extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre. Nous illustrerons une application des nouvelles fonctions à ces fonctions simples et par extension non simples.

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