1B: Nouvelles Fonctions Caractéristiques

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 Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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« Une fonction caractéristique est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E, et qui est notée 1A, (une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I (i majuscule). Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité. Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E est une fonction :

1A: E→ {0,1}

x↦ 1 si x ∈ A: 1A(x)=1

x↦0 si x ∉ A: 1A(x)=0″, Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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Les opérations sur les ensembles correspondent aux opérations sur les fonctions indicatrices de la façon suivante :

• Si A et B sont deux sous-ensembles de E alors (A⊆B) ⇔ (1A≤1B)⇔ (1A≤1B).
• 1Ac =1−1A, Ac est le complémentaire d’une partie A d’un ensemble E qui est constitué de tous les éléments de E n’appartenant pas à A
• 1A∩B=min {1A,1 B}=1A×1B,
• 1A∪B =max {1A,1B}=1A+1B−1A×1B,
• 1A△B =1A+1B−2*1A×1B.

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≪ En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d’un nombre réel x est l’unique entier relatif n (positif, négatif ou nul) tel que: n<=x<n+1. On démontre son existence et son unicité par analyse-synthèse: n est le plus grand entier inférieur ou égal à x (ce que l'on peut prendre comme définition équivalente de la partie entière de x), son existence étant garantie par la propriété d'Archimède. Dans le cas où x est un rationnel a/b, avec a ∈ Z, et b ∈ N*, la partie entière de x n'est autre que le quotient euclidien de a par b. La différence entre un nombre x et sa partie entière est appelée sa partie fractionnaire ou partie décimale. La partie entière (par défaut) de x est notée conventionnellement ⌊x⌋. Il y a symétrie entre la partie entière inférieure (appelée en anglais floor, « plancher ») définie par: ⌊x⌋<=x<⌊x⌋+1; et la partie entière supérieure (appelée en anglais ceiling, « plafond ») définie par: ⌈x⌉-1<x<=⌈x⌉. La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité, ou troncature entière, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs. Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1. La partie fractionnaire d'un nombre réel x notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut: {x}=x-⌊x⌋. La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1. On trouve également le terme de partie décimale du nombre, notamment pour les nombres décimaux.≫ extrait de Wikipédia L’Encyclopédie libre.

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Dans tous nos développements d’expressions mathématiques dans tous les titres des rubriques qui suivront, nous utiliserons une notation alternative de la notation classique A mod B de la fonction modulo soit mod(A,B), pour des raisons de lisibilité des formules, car la virgule délimitant l’espace de deux valeurs à l’intérieur d’une parenthèse est un repère pratique et nécessaire pour identifier l’ordre des membres dans les très longues expressions contenant ce type de fonction. Ensuite cette notation est proche de la notation informatique notamment de celle que nous utilisons dans un tableur. En effet, la syntaxe MOD(nombre, diviseur) de la fonction MOD dans Microsoft Excel comporte les arguments suivants:

• Nombre obligatoire. Représente le nombre à diviser pour obtenir le reste.
• Diviseur obligatoire. Représente le nombre par lequel vous souhaitez diviser le nombre.

La fonction MOD renvoie le reste de la division de l’argument nombre par l’argument diviseur. Le résultat est du même signe que le diviseur.

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≪Lorsque nous divisons deux nombres entiers, nous obtenons une équation qui ressemble à la suivante : A/B= Q reste R ou A est le dividende; B est le diviseur; Q est le quotient; R est le reste. Parfois, on ne s’intéresse au reste que si l’on divise A par B. Pour ces cas, il existe un opérateur appelé opérateur modulo (abrégé en mod). En utilisant les mêmes A, B, Q et R que ci-dessus, nous aurions : A mod B=R. Nous dirions que A modulo B est égal à R. Où B est appelé le module. Par exemple : 13 mod5=2 reste 3. ≫ Extrait de « Qu’est-ce que l’arithmétique modulaire? » Khan Académie.

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« La fonction mod(x,y), ou l’opérateur mod x % y en C# ou JavaScript, est très simple, mais vous pouvez y penser d’au moins deux manières différentes, correspondant, grosso modo, à des modèles passifs et actifs de ce qui se passe. La définition la plus évidente est la suivante :

• Premièrement, la passive: mod(x,y) ou x % y donne le reste lorsque vous diviser x par y.
• Deuxièmement, l’active : L’approche active du mod considère ce qui se passe lorsque vous l’utilisez dans le cadre d’opérations arithmétiques de base. Cette approche est beaucoup plus proche du fonctionnement interne de la machine réelle : mod(x,y) ou x % y implémente l’arithmétique finie avec un retournement à y. Dans ce cas, la fonction mod est juste une façon d’imiter ce qui se passe naturellement quand on fait de l’arithmétique des nombres entiers en utilisant un nombre fixe de bits. Vous pouvez également considérer que vous faites de l’arithmétique modulo avec un certain nombre de bits – c’est donc les opérateurs + ou * qui sont modifiés et le mod n’apparaît même pas« . Écrit par Mike James, ..w.i-programmer.info

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Après avoir dans ce début d’introduction donné la définition de la fonction caractéristique ou indicatrice en général, et son application par extension à la fonction de partie entière inférieure et la fonction de partie entière supérieure, nous allons développer dans une première partie, en considérant d’abord dans un premier et deuxième titre l’utilisation particulière de la fonction indicatrice appliquée à la caractéristique de la propriété de la divisibilité d’une suite de nombres entiers, les formules sui generis de nouvelles fonctions essentielles à l’étude des suites de nombres catégorisées dans la rubrique intitulée « Séries». En effet en développant d’abord le processus de caractérisation de la propriété de la divisibilité des éléments d’une séquence de nombres par la fonction indicatrice, nous obtenons des outils mathématiques fondamentaux pour manipuler les éléments de toutes suites de nombres, que nous décrivons généralement suivant leurs effets sur les suites de nombres, comme des processus quasi physiques sur des symboles, soit, le déplacement d’un ou de plusieurs éléments d’une suite de nombres avant ou après un nombre de cette même suite, en référence à l’indice n ∈ N de ce nombre; ou bien encore la répétition unique ou multiple d’un seul ou de plusieurs éléments de la suite de nombres notée SeqA; l’élimination avec ou sans annulations (donc « la compression » dans ce dernier cas) d’un seul ou de plusieurs éléments de la suite de nombres notée SeqA; ou l’insertion d’un ou de plusieurs nouveaux éléments successifs ou non et répétés ou non (donc l’insertion avec duplication simultanément) dans la suite de nombres notée SeqA et dans certain cas une opération équivalente à la concaténation d’un ou de plusieurs segments d’éléments d’une autre suite de nombres notée SeqB au début ou à la fin du segment de la suite de nombres dénotée SeqA; ou l’inversion de l’ordre d’un ou de plusieurs segments d’éléments de la suite de nombres notée SeqA; ou l’incrémentation et la décrémentation répétée à l’infini d’un ou de plusieurs éléments de la suite de nombres notée SeqA; le tri selon des critères de sélection choisis; l’annulation correspondant à la double segmentation d’une valeur unique nulle ou de plusieurs valeurs nulles successives ou non. 

Mais nous devons être plus précis pour manipuler les éléments de toutes suites de nombres que par ces descriptions trop générales de processus quasi physiques sur des symboles, nous développerons de nouvelles fonctions décrivant donc plus précisément ces processus sachant que l’on appelle application (ou fonction) f de A dans B toute partie b de A × B, avec A l’ensemble de définition (ou de départ) de f et avec B l’ensemble B d’arrivée de f, telle que :

 ∀ x ∈ A,∃ ! y ∈ B, (x, y) ∈ b soit y=f(x). Pour tout x ∈ A, f (x) l’unique y ∈ B est appelé L’image de x par f . Pour tout y ∈ B, tout élément x de A pour lequel : y = f (x) est appelé un antécédent de y par f .

Ces nouvelles fonctions que nous numéroterons et catégoriserons dans les rubriques générales correspondantes sont:

N° ∅, la fonction de vide d’un ou de plusieurs éléments successifs ou non, noté ∅, appartenant ou non à une suite de nombres notée SeqA, et notée respectivement Videₙ(SeqA=xₙ) et Vide₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA);

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N° 0, et N° 0′, la fonction d’annulation d’un ou de plusieurs éléments successifs ou non, appartenant à une suite de nombres notée SeqA, et notée respectivement Nullₙ(SeqA=xₙ) et Null₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA).

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N° 00 et N° 00′, la fonction d’annulation caractéristique simple décalée d’un ou de plusieurs éléments successifs, appartenant à une suite de nombres notée SeqA, et notée respectivement Nulldₙ(SeqA=xₙ) et Nulld₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(SeqA).

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N° 1 et N°1′ la fonction de segmentation caractéristique de plusieurs éléments successifs ou non, appartenant à une suite de nombres notée SeqA, et notée respectivement Sgmtvalₙ(SeqA=xₙ) et Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ…xₙ₌ₐ}⊆SeqA).

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N° 2 , N° 2′, et N° 2″, la fonction de rang de l’ensemble des valeurs de la suite de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée soit par la notation Rngₙ(SeqA) dont l’indice n ∈ N signifie que l’ordre des valeurs de SeqA correspond à l’ordre des valeurs de la suite des nombres de l’ensemble N; soit par la notation Rngₓ(SeqA) dont l’indice x ∈ R signifie que l’ordre des valeurs de SeqA correspond à l’ordonnancement des valeurs d’un sous-ensemble de valeurs xₙ ∈ R c’est-à-dire d’organisation des éléments de SeqA par une séquence ordonnée par un certain critère de relation entre les éléments d’un sous-ensemble de valeurs xₙ ∈ R autre que la relation entre les éléments de l’indice n soit a(n)=nₓ+1=nₓ₊₁ (1) et a(n)=nₓ<nₓ₊₁ (1′); la fonction de rang caractéristique, N° 2″ notée Rng1A(SeqA) correspond en général à la fonction d’indice dont l’expression est a(n)={(n, x)=xₙ)} (2), appliquée à une fonction caractéristique.

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N° 3, et N° 3‘ la fonction de tri de plusieurs ou de toutes les valeurs de l’ensemble des valeurs de la suite de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée par les notations Triₙ(SeqA) dont l’indice n ∈ {Seq N} correspond au type d’opération de tri sur l’ensemble des valeurs de SeqA, sachant que nous définirons le tri comme tout processus d’organisation systématique des éléments suivant deux significations communes, mais distinctes, soit d’ordonnancement c’est-à-dire d’organisation des éléments dans une séquence ordonnée par un certain critère, et soit de catégorisation c’est-à-dire de groupement des éléments avec des propriétés similaires.

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N° 4 et N° 4′, la fonction de recherche exacte ou approximative d’une valeur dans l’ensemble des valeurs de la suite de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée par la notation Rchexct(xₙ)⊆(SeqA=a) d’un élément xₙ=a ∈ {Seq A}; et la notation Rchapp(xₙ)⊆(SeqA=a).

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N° 5 et N° 5′, la fonction de recherche de la première et de la dernière valeur dans une suite de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée respectivement par la notation Prmelt(SeqA) et Drnelt(SeqA) d’un élément xₙ∈ {Seq A}.

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N° 6 et N° 6′, les deux types de fonctions caractéristiques des premières et dernières valeurs nulles après et avant une ou plusieurs valeurs successives nulles de l’ensemble des valeurs de la suite de nombres notée SeqA, et représentées respectivement par la notation 1A(Prmvalnllapnnllₙ₋₁(SeqA)) et 1A(Drnvalnllavtnnllₙ₊₁(SeqA)), dont l’indice n ∈ {Seq N} correspond à la valeur du rang de la première valeur nulle dont nous cherchons la valeur du dernier et du premier élément non nulle avant et après cette valeur nulle dont n est la valeur de son rang dans l’ensemble des valeurs de SeqA.

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N° 11, la fonction d’incrémentation linéaire et non linéaire d’un ou de plusieurs éléments successifs ou non, appartenant à une suite de nombres notée SeqA, et notée respectivement Incₙ(SeqA=xₙ) et Incₙ(sgmtval(SeqA)).

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N° 12, et N°12′ la fonction de répétition d’une ou de plusieurs valeurs successives ou non dans une suite de nombres notée SeqA, soit respectivement la fonction représentée par la notation Rptₙ(SeqA=xₙ) d’un élément xₙ ∈ {Seq A} et Rptₙ(Sgmtₙ(SeqA=xₙ)).

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N° 13, la fonction d’insertion d’une ou d’un ensemble de valeurs successives ou non avant la première valeur ou après la dernière valeur ou entre ces deux valeurs de la séquence de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée par la notation Insrtₙx(SeqA) ou Insrtₙx→y(SeqA) dont l’indice n ∈ {Seq N} correspond à la valeur du rang de la dernière valeur de SeqA après laquelle une ou plusieurs valeurs sont insérées.

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la fonction d’élimination en général et en particulier N° 14, N° 14′, N°14″ et N° 15, N° 15′, N° 15″,  la fonction de compression et la fonction de décompression d’une sous-suite des valeurs non nulles de la suite de nombres notée SeqA, soit les fonctions représentées respectivement par les notations Cmprsₓ(SeqA) d’un élément xₙ∈ {Seq A} et Cmprs(Sgmt(SeqA)), Cmprs(Sgmt(SeqA)), Cmprs(Sgmt(SeqA)); et Dcmprsₓ(SeqA) d’un élément xₙ ∈ {SeqA}, Dcmprs(Sgmt(SeqA)), Dcmprsav(Sgmt(SeqA)), 

Dcmprsap(Sgmt(SeqA)), sachant que nous définirons l’opération de compression d’une suite de nombres comme correspondant à l’élimination d’une ou de plusieurs valeurs de la suite de nombres notée SeqA sans annulations et l’opération de décompression comme correspondant à l’insertion d’une série de valeurs nulles entre deux ou plusieurs des valeurs de la suite de nombres notée SeqA.

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N° 16, N° 16′, N° 17, et N° 17′, la fonction de déplacement avant et la fonction de déplacement après, d’une valeur ou d’un sous-ensemble des valeurs de la suite de nombres notée SeqA, soit les fonctions représentées respectivement par les notations Dplmtavₓ(SeqA) et Dplmtapₓ(SeqA) d’un élément xₙ ∈ {Seq A} ou Dplmtav(Sgmt(SeqA)) et Dplmtap(Sgmt(SeqA)) dans le cas d’un déplacement de plusieurs valeurs successives d’un sous-ensemble de valeurs de SeqA soit donc appartenant à un segment de SeqA et correspondant à la fonction de segmentation notée Sgmt(SeqA) et qui est un cas particulier de la fonction d’ annulation.

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N° 18 et N° 18′, la fonction de concaténation, soit l’ajout d’une valeur ou de plusieurs valeurs avant la première ou après la dernière valeur de la suite de nombres SeqA et fonction notée respectivement , Cctnte(x)(SeqA) et Cctnte(Sgmt(SeqA)).

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N° 19 et N° 19′, la fonction d’inversion de l’ordre des valeurs d’une suite de nombres ou d’un segment de valeurs de cette même suite de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée par la notation Rvrs(SeqA) ou Rvrs(Sgmt(SeqA)) correspondant au deuxième cas.

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N° 20, la fonction nombre des éléments de la suite de nombres notée SeqA, soit la fonction représentée par la notation Nbrelt(SeqA).

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Nous développerons l’expression des fonctions énoncées ci-dessus en utilisant des ensembles de nombres c’est-à-dire des Suites, des Suites aléatoires, des Sous Suites, des Séquences, et des Séries de nombres dont les définitions respectives sont:

• « Une Suite est une succession d’éléments, appelés termes, indexés par des entiers qui se suivent, pouvant être notés un où n est l’entier mis en indice. Formellement, une Suite est une famille d’éléments — appelés ses « termes » — indexée par un intervalle d’entiers naturels (un entier est un nombre qui peut être écrit sans composante fractionnaire. « L’ensemble des entiers est composé de zéro (0), les nombres naturels positifs (1, 2, 3…), également appelés nombres entiers ou nombres comptés, et leurs inverses additifs (les entiers négatifs, c’est-à-dire -1, -2, -3…). L’ensemble d’entiers est souvent désigné par un Z (l’abréviation du mot allemand Zahlen signifiant nombres) sous-ensemble de l’ensemble de tous les nombres rationnels Q, à son tour un sous-ensemble des nombres réels R. comme les nombres naturels, Z est dénombrable infini. Les entiers forment le plus petit groupe et le plus petit anneau contenant les nombres naturels. Dans la théorie des nombres algébriques, les entiers sont parfois qualifiés d’entiers rationnels pour les distinguer des entiers algébriques plus généraux. En fait, les entiers (rationnels) sont les entiers algébriques qui sont aussi des nombres rationnels ».). Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Une suite d’entiers peut être précisée explicitement en donnant une formule pour son n-ième terme générique, ou implicitement en donnant une relation entre ses termes. Une suite d’entiers est une suite « calculable », s’il existe un algorithme qui, pour un n>0 donné, calcule an. Une suite d’entiers notée x₀ est une suite « définissable », s’il existe un certain énoncé P(x) qui est vrai pour cette suite d’entiers x₀ et faux pour toutes les autres suites d’entiers.» Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre.

• « Une suite aléatoire, ou suite infinie aléatoire est une suite de symboles d’un alphabet ne possédant aucune structure, régularité, ou règle de prédiction identifiable. Une suite aléatoire doit posséder un « contenu informationnel incompressible » une suite aléatoire ne doit posséder aucune régularité « exceptionnelle et effectivement testable » une suite aléatoire doit être imprévisible, c’est-à-dire qu’aucune « stratégie effective » ne peut mener à un « gain infini » si l’on « parie » sur les termes de la suite. Le terme pseudo aléatoire est utilisé en mathématiques et en informatique pour désigner une suite de nombres qui s’approche d’un aléa statistiquement parfait par les procédés algorithmiques utilisés pour la créer et les sources employées, la suite ne peut être complètement considérée comme aléatoire. La majorité des nombres pseudo aléatoires en informatique sont créés à partir d’algorithmes qui produisent une séquence de nombres présentant certaines propriétés du hasard ». Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre.

• « Une sous-suite est une suite qui peut être dérivée d’une autre suite en supprimant certains ou aucun élément sans changer l’ordre des éléments restants. Par exemple, la suite {A, B, D} est une sous-suite de {A, B, C, D, E, F} obtenu après suppression des éléments {C}, {E} et {F}. La relation d’une suite étant la sous-suite d’une autre est une précommande. Les sous-suites ou suites extraites ne doivent pas être confondues avec des sous-chaînes telles que {A, B, C, D} qui peuvent être dérivées de la chaîne ci-dessus {A, B, C, D, E, F} en supprimant la sous-chaîne {E, F}. La sous-chaîne est un raffinement de la sous-suite. Plus généralement, une sous-suite (ou une suite extraite) est une suite obtenue en ne prenant que certains éléments (une infinité) d’une suite de départ. Cette opération est parfois appelée extraction. Formellement, une suite est une application définie sur l’ensemble ℕ des entiers naturels. On la note classiquement un. Une sous-suite ou suite extraite est la composée de u par une application strictement croissante. Elle s’écrit donc sous la forme u φ(n). Dans ce contexte, l’application φ(n) est appelée extractrice.» Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre.

• «Une Séquence est une Suite de longueur finie.» Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre.

• «Une Série est une Suite formée par les sommes partielles des premiers termes consécutifs d’une seconde suite u=(uₙ), la série se notant dans ce cas Σuₙ.» Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre. 

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Nous distinguerons plusieurs types de suites dans les développements de l’expression des nouvelles fonctions classées dans les rubriques de notre site et à laquelle nous avons donné une nomenclature (terme désignant une instance de classification) unique de S={SeqA}, dont les éléments indexés appartenant à cette suite sont xₙ . En général, nous commencerons systématiquement l’écriture de toutes nos nouvelles fonctions sur l’ensemble des séquences pseudo aléatoires de nombres réels, puis nous continuerons l’écriture de toutes nos nouvelles fonctions sur l’ensemble des suites extraites ou sous-suites de nombres de l’ensemble des nombres entiers N ou N*, terminant par l’écriture de toutes nos nouvelles fonctions sur les suites de nombres entiers strictement égaux aux valeurs de 0 et 1 avec des variantes correspondantes aux catégories suivantes:

1. Les suites des nombres entiers naturels N si nous incluons la valeur de son élément égal à 0; ou N* si nous excluons la valeur de son élément égal à 0:
2. Les séquences des nombres entiers naturels N ou N*:
3. Les suites de nombres entiers strictement égaux aux valeurs de 0 et 1:
4. Les suites de nombres entiers strictement égaux aux valeurs de 0, 1 et -1:
5. Les suites extraites ou sous-suites de nombres de l’ensemble des nombres entiers N ou N* :
6. Les suites extraites des nombres réels (un nombre réel soit, appartenant à l’ensemble noté R, est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales ». Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.):
7. Les séquences extraites de nombres de l’ensemble des nombres entiers N ou N*:
8. Les séquences extraites des nombres réels:

9. Les suites pseudo aléatoires de nombres entiers naturels N ou N*:

10. Les suites pseudo aléatoires de nombres entiers relatifs (« Un entier relatif, soit appartenant à l’ensemble des entiers relatifs noté “Z”, est un nombre qui se présente comme un entier naturel auquel on a adjoint un signe positif ou négatif indiquant sa position par rapport à 0 sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s’identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3… soit appartenant à l’ensemble des entiers naturels noté “N”, tandis que les entiers négatifs sont leurs opposés : 0, −1, −2, −3… L’entier 0 lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif. » Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre.):
11. Les suites pseudo aléatoires de nombres réels:
12. Les séquences pseudo aléatoires de nombres entiers naturels N ou N*:
13. Les séquences pseudo aléatoires de nombres entiers relatifs:
14. Les séquences pseudo aléatoires de nombres réels: