« Deux entiers relatifs a et b sont dits congrus modulo n si leur différence est divisible par n, c’est-à-dire si a est de la forme b + kn avec k entier. On exclut désormais le cas trivial n = 0 (la congruence modulo 0 est l’égalité ; on peut accessoirement remarquer que modulo 1, deux entiers quelconques sont équivalents). Définition équivalente si n > 0 — Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont dits congrus modulo n si le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n. Le caractère utilisé pour exprimer la congruence de deux entiers est ≡. Soit n un entier naturel on peut exprimer que a et b sont congruents modulo n sous quatre formes :

• a ≡ b (n) ;
• a ≡ b [n] ;
• a ≡ b (mod n) ;
• a ≡ b mod n (notation de Gauss)

La congruence modulo n a les propriétés suivantes :

• réflexivité : pour tout entier a, a ≡ a (n) ;
• symétrie : pour tous entiers a et b, a ≡ b (n) ⇔ b ≡ a (n) ;
• transitivité : pour tous entiers a, b et c, si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) alors a ≡ c (n).

Il s’agit donc d’une relation d’équivalence. Elle a des propriétés algébriques remarquables: Si a1 ≡ b1 (n) et a2 ≡ b2 (n), alors a1 + a2 ≡ b1 + b2 (n) et a1a2 ≡ b1b2 (n). (On en déduit facilement d’autres, comme : si a ≡ b (n) alors ac ≡ bc (n) pour tout entier c et aq ≡ bq (n) pour tout entier q ≥ 0.). Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

∴

≪Lorsque nous divisons deux nombres entiers, nous obtenons une équation qui ressemble à la suivante : A/B= Q reste R ou A est le dividende; B est le diviseur; Q est le quotient; R est le reste. Parfois, on ne s’intéresse au reste que si l’on divise A par B. Pour ces cas, il existe un opérateur appelé opérateur modulo (abrégé en mod). En utilisant les mêmes A, B, Q et R que ci-dessus, nous aurions : A mod B=R. Nous dirions que A modulo B est égal à R. Où B est appelé le module. Par exemple : 13 mod5=2 reste 3. ≫ Extrait de « Qu’est-ce que l’arithmétique modulaire? » Khan Academy.