LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux

L’extrait

  ⁂⁂⁂ ⁂ « Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule en écriture décimale positionnelle. Les nombres décimaux sont les quotients d’entiers par des puissances de 10 et se présentent ainsi comme des rationnels particuliers. Les nombres décimaux permettent d’approcher n’importe quel nombre réel…

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Cédric Christian Bernard Gagneux

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« Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule en écriture décimale positionnelle. Les nombres décimaux sont les quotients d’entiers par des puissances de 10 et se présentent ainsi comme des rationnels particuliers. Les nombres décimaux permettent d’approcher n’importe quel nombre réel et d’effectuer des calculs et comparaisons sur ces valeurs avec des méthodes semblables à celles en usages sur les entiers en numération décimale. L’écriture d’un nombre décimal s’interprète comme le quotient du nombre obtenu en supprimant la virgule par autant de facteurs 10 qu’il y a de chiffres après la virgule. » Extrait de l’article « Nombre décimal » de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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« Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrie sous la forme d’une fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 du type p/ 10^n avec p  ∈ Z. Son ensemble est noté D comme décimal. Pour reconnaître qu’un nombre exprimé sous forme de fraction est un nombre décimal, on peut effectuer les étapes suivantes : 
  • mettre le nombre sous forme de fraction irréductible ; 
  • si le dénominateur est de la forme 2^n * 5^p (où n et p sont des entiers naturels), c’est-à-dire si le dénominateur ne comporte que des puissances de 2 et de 5, alors ce nombre est décimal ; sinon, ce nombre n’est pas décimal. « 

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« L’ensemble des décimaux s’écrit D. Il est stable par addition et multiplication et contient l’entier 1 donc il constitue un anneau unitaire dans le corps des réels, donc il est intègre et son corps des fractions est le corps ℚ des nombres rationnels » extrait de l’article « Nombre décimal » de Wikipédia l’encyclopédie libre et en ligne.

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II) LES OPÉRATIONS FONDAMENTALES EN ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES DU NOMBRE DÉCIMAL

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1) Définitions et expressions générales des opérations fondamentales et des notations fondamentales en arithmétique des chiffres qui font le nombre décimal: 

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1.1.a Les deux opérations fondamentales de concaténation et de déconcaténation des chiffres du nombre décimal 

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Reprenant encore ce que nous avions écrit précédemment au chapitre 25 sur les opérations de terminaisons segmentales, nous réécrivons donc encore tout d’abord les définitions et les expressions des opérations de déconcaténation sur un seul nombre décimal, c’est-à-dire que l’opération de déconcaténation des éléments d’un ensemble séquentiel qui sont des chiffres d’un nombre décimal, q,w formé par une suite de nombres concaténée, est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments l’opération qui est notée en général pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ R, q∣∣w, et que nous définissons puis illustrons comme la concaténation interne de la partie décimale et de la partie non décimale des chiffres d’un nombre décimal qui peut être étendue ensuite à une opération de concaténation interne de deux nombres décimaux q,w et q’,w’, suivit d’une opération de concaténation externe de deux nombres qw et q’w’, que nous avons définit précédemment et notée qw∣∣q’w’=qwq’w’. Donc soit q le nombre correspondant à la partie entière d’un nombre q,w et soit w le nombre correspondant à la partie décimale de ce même nombre, alors l’opération de la concaténation décimale notée q∣∣w des chiffres des nombres q et w du nombre décimal q,w est définie de la façon suivante après que les expressions obtenues par leur suite récurrente de sommation représentées par l’opérateur noté ∑ soient définies de deux manières:

  • soit comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant soit à une relation de récurrence sur la somme d’une suite de nombres et qui est en général notée:

∑(n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l’indice de l’étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d’un nouvel élément dans l’ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ) est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.

  • soit comme la somme totale des éléments que sont les nombres de la suite et qui n’est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l’indexe des éléments indexés sur N* d’un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée:

 ∑ (n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)…a(nᵢ₌ₓ)).

 

 Alors ayant maintenant définie l’opérateur sigma de deux façons, l’expression de l’opération de concaténation décimale correspondante à la première expression d’une relation de récurrence sur la somme d’une suite de nombres, est donc définie comme une expression 
d’une relation de récurrence de la concaténation décimale d’une suite de chiffres, soit une concaténation décimale partielle jusqu’à la concaténation complète des chiffres de la partie décimale avec les chiffres de la partie entière d’un nombre décimal, et une opération définie comme suit:

∀ q,w ∈ D l’ensemble des nombres décimaux, avec les chiffres de la partie décimale w du nombre noté q, w,  définies comme suit: a(wₙ)=wₙ ∈ SeqDₙ=(wₙ₌₁; wₙ₊₁; wₙ₊₂;wₙ₊₃; wₙ₊₄; wₙ₊₅; wₙ₊₆; wₙ₊₇…wₙ₌ₓ) ⊆ D ↔ SeqDₙ₌ₓ=({w=wₙ ∈ [wₙ₌₁; wₙ₌ₓ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices n noté ₙ ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌ₓ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌ₓ] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1});  ∀ a(wₙ)=wₙ ∈ SeqDₙ ⊆ D ∧ a(wₙ₌₁)=wₙ₌₁ ∈ SeqDₙ ⊆ D*, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(wₙ)=wₙ signifiant une fonction a sur D, (en rappelant qu’un nombre décimal n ∈ D est un nombre qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule en écriture décimale de positions; qu’il est composé de deux parties : la partie entière et la partie décimale, séparées par une virgule; qu’il est un nombre décimal positif, ou négatif ou nul), avec a(wₙ)=wₙ ∈ SeqDₙ ⊆ D; alors nous écrivons l’expression de l’opération de la suite récurrente de la concaténation décimale du nombre décimale q,w comme suit :

  • ｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i ] )=⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ/10^(⌊Log(wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋)⌋=(q∣,∣wₙ₌₁; q,wₙ₌₁∣,∣wₙ₊₂; 

q,wₙ₌₁wₙ₊₂∣,∣wₙ₊₃; q,wₙ₌₁wₙ₊₂wₙ₊₃∣,∣wₙ₊₄; q,wₙ₌₁wₙ₊₂wₙ₊₃wₙ₊₄…wₙ₌ₓ₋₁∣,∣wₙ₌ₓ )        (A1) ↔ (A1′)

 ｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])=( ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₁)⌋)⌋; 

⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₂)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₃)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₄)⌋)⌋;

…⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌ₓ)⌋)⌋ )    (A1′) 

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Pour illustrer les deux expressions ci dessus de l’opération de concaténation décimale interne des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres formant un nombre décimal, prenons l’exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec q=794587856 et w=0,573419, alors:


｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i ]=⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋)⌋=(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ∣,∣wₙ₌₁; 
q,wₙ₌₁∣,∣wₙ₊₂; q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ∣,∣wₙ₊₃; q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ∣,∣wₙ₊₄;… q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ∣,∣wₙ₌ₓ )        (A1′) ↔ (A1′)’ 

｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i])=(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)⌋)⌋; 

⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)⌋)⌋; ⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)⌋)⌋; ⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)⌋)⌋ ; ⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)⌋)⌋ ;⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)⌋)⌋)            (A1′)’ 

｜,｜(n=1→n=6:[ (794587856,573419)i] )=(7945878565,73419 ; 79458785657,3419 ; 

794587856573,419 ; 7945878565734,19 ; 79458785657341,9 ; 794587856573419)     (A1′)’ 

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Donc nous écrivons maintenant l’expression de l’opération opposée à celle de l’opération précédente de concaténation décimale, l’opération de déconcaténation décimale qui est notée en générale q⫲w, ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w. Mais plus précisément il existe deux types d’opérations de déconcaténation des chiffres d’un nombre décimal, c’est à dire, des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres qui sont des chiffres d’un nombre formé par une suite de nombres concaténée: l’opération de la déconcaténation décimale droite et de la déconcaténation gauche. 
Tout d’abord, l’expression de l’opération de la déconcaténation décimale dite droite des deux nombres  q non décimal ou décimal et w décimal qui sont concaténés formant le troisième nombre décimal résultant de cette concaténation, soit q,w, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité, est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions possibles de l’opération de déconcaténation décimale droite, respectivement notées q⫲q,w et w⫲q,w définies toujours respectivement de la façon suivante:


q⫲q,w=⌊q,w/10^(l(w)-1)⌋*10^((l(w)-1)*(1-⌈l(w)/(|l(w)|+1)⌉))=⌊q,w/10^(log(w))⌋*10^((log(w))*(1-⌈(log(w)+1)/(|(log(w)+1)|+1)⌉))=q   (A2), avec l(w)=⌊log(w+1)⌋+1, qui est l’expression de la quantité de chiffres de la partie entière du nombre décimal w en base 10.    

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Pour illustrer ci dessus, la première expression q⫲q,w de l’opération de déconcaténation droite des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres, prenons l’exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec q=79 et w=4587856,573419; alors nous écrivons:


 q⫲q,w=⌊q,w/10^(log(w))⌋*10^((log(w))*(1-⌈(log(w)+1)/(|(log(w)+1)|+1)⌉))   (A2) ↔ (A2)’ 

79⫲794587856,573419 =⌊794587856,573419/10^(log(4587856,573419))*10^((log(4587856,573419))*(1-⌈(log(4587856,573419)+1)/(|(log(4587856,573419)+1)|+1)⌉))=79     (A2)’

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La deuxième expression w⫲q,w de l’opération de déconcaténation décimale si elle correspond tout d’abord à la première expression d’une relation de récurrence sur la somme d’une suite de nombres, qui est donc définie comme une expression d’une relation de récurrence de la déconcaténation décimale d’une suite de chiffres, soit une déconcaténation décimale partielle jusqu’à la déconcaténation complète des chiffres, dépend aussi de l’expression de l’opération de la quantité de chiffres des éléments résultant de l’opération précédente de suite récurrente de concaténation décimale, et une opération (2′)’ définie et notée en générale comme suit après avoir rappeler en les réécrivant les expressions  (1) ↔ (1′) de l’opération de concaténation précédente, notée,｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] ), union l’expression de l’opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire droite des chiffres de la partie entière du nombre décimale, notée,｜⫦｜(n=1→n=y: [(a(qₙ))i] ); sachant que l’union des ensembles A et B, notée A ∪ B, correspondant à l’ensemble de tous les objets qui sont membres de A, ou B, ou les deux. Par exemple, l’union de {1, 2, 3} et {2, 3, 4} est l’ensemble {1, 2, 3, 4}. Alors, la deuxième expression w⫲qw de l’opération de déconcaténation décimale, s’écrit en trois étapes comme suit: 
  • Tout d’abord, l’expression de l’union ensembliste séquentielle des expressions de l’opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire droite des chiffres de la partie entière du nombre décimale et de l‘opération de concaténation décimale interne des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres formant un nombre décimal, est définie comme suit: 
｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] )  ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ )i] )= ( |a(qₙ₌₁)|;  |a(qₙ₌₁)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; |a(qₙ₌₁)| ⫲  |a(qₙ₊₁)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; a(qₙ₌₁)| ⫲  |a(qₙ₊₁)| ⫲  |a(qₙ₊₂)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(qₙ₌₁)| ⫲  |a(qₙ₊₁)| ⫲  |a(qₙ₊₂)|  ⫲ |a(qₙ₊₃)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(qₙ₌₁)| ⫲  |a(qₙ₊₁)| ⫲  |a(qₙ₊₂)|  ⫲ |a(qₙ₊₃)| ⫲  |a(qₙ₊₄)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(qₙ₌₁)| ⫲  |a(qₙ₊₁)| ⫲  |a(qₙ₊₂)|  ⫲ |a(qₙ₊₃)| ⫲  |a(qₙ₊₄)| ⫲  |a(qₙ₊₅)|  ⫲  |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ;  a(qₙ₌₁)| ⫲  |a(qₙ₊₁)| ⫲  |a(qₙ₊₂)| ⫲ |a(qₙ₊₃)| ⫲ |a(qₙ₊₄)| ⫲ |a(qₙ₊₅)|⫲  |a(qₙ₊₆)| ⫲  |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; |a(qₙ₌₁)| ⫲…⫲ |a(qₙ₌x)| ⫲ |a(qₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|) )  
⋃ ( q∣,∣wₙ₌₁;q,wₙ₌₁∣,∣wₙ₊₂; q,wₙ₌₁wₙ₊₂∣,∣wₙ₊₃;q,wₙ₌₁wₙ₊₂wₙ₊₃∣,∣wₙ₊₄; q,wₙ₌₁wₙ₊₂wₙ₊₃wₙ₊₄…wₙ₌ₓ₋₁∣,∣wₙ₌ₓ )        (3) ↔ (3′)

｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i ]) = (⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋; ⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w/10^(⌊log(qₙ₌₂→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋;⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₃→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋; ⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₄→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋;…⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌ₓ,w)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₁)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₂)⌋)⌋;⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₃)⌋)⌋; ⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₄)⌋)⌋;…⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌ₓ)⌋)⌋)   (3′) 

  • Ensuite, la deuxième étape de l’élaboration de l’expression w⫲q,w de l’opération de déconcaténation décimale, correspond à écrire l’expression de l’opération d’indexation des nombres résultant de l’union ensembliste séquentielle des expressions de l’opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire droite des chiffres de la partie entière du nombre décimale et de l‘opération de concaténation décimale interne des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres formant un nombre décimal, est équivalente à l’opération de la quantité des chiffres de ces mêmes nombres. 

a(n)=l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i]))=(⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋)⌋+1; ⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ ,w/10^(⌊log(qₙ₌₂→ₙ₌ₓ ,w)⌋)⌋)⌋+1; ⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₃→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋)⌋+1; ⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌₄→ₙ₌ₓ,w)⌋)⌋)⌋+1;…⌊log(⌊qₙ₌₁→ₙ₌ₓ,w /10^(⌊log(qₙ₌ₓ,w)⌋)⌋)⌋+1; ⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₁)⌋)⌋)⌋ +1; ⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₂)⌋)⌋)⌋+1; ⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₃)⌋)⌋)⌋ +1; ⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌₄)⌋)⌋)⌋+1;…⌊log(⌊q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ /10^(⌊log(wₙ₌ₓ)⌋)⌋)⌋+1) (2)→(2′)

  • Finalement, avec la troisième étape de l’élaboration de l’expression w⫲q,w de l’opération de déconcaténation décimale, nous l’obtenons dans la dernière expression imbriquée des deux expressions imbriquées précédentes que nous écrivons comme suit: 
q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ – a(n)+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ – a(n)+2)         (3′)

q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ – l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] ))+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ – l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: ([q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ] )i))+2)       (3′)’

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Pour illustrer les expression ci dessus des trois étapes de calcul pour l’obtention de la deuxième expression w⫲q,w de l’opération de déconcaténation décimale droite, prenons l’exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec q=794587856 et w=0,573419. Alors nous écrivons l’expression de la première étape comme suit:

｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] )   (A3) ↔ (A3)’

｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i])=(⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)⌋)⌋;⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)⌋)⌋; 
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)⌋)⌋; 
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)⌋)⌋;
⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)⌋)⌋)             (A3)’ ↔  (A3) »

｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i] ) =(7; 79; 794; 7945;79458; 794587; 7945878; 79458785; 794587856; 7945878565,73419 ; 79458785657,3419 ; 794587856573,419 ; 7945878565734,19 ; 79458785657341,9 ; 794587856573419)

  • Puis nous écrivons l’expression de la deuxième étape de calcul pour l’obtention de la deuxième expression w⫲q,w de l’opération de déconcaténation décimale droite, comme suit:

a(n)=l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i])) (A3′)↔(A3′)’

l(｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i] )) =(  ⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(94587856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(4587856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(587856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(87856,573419)⌋)⌋)⌋+1;⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(7856,573419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(856,573419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(56,573419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(6,573419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)⌋)⌋)⌋+1; 
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,073419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,003419)⌋)⌋)⌋+1; 
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000419)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000019)⌋)⌋)⌋+1;
⌊log(⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,000009)⌋)⌋)⌋+1)              (A3′)’ ↔ (A3′) »

l(｜⫦｜(n=1→n=9: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜(n=1→n=6: [(794587856,573419)i]))=(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15)          (A3′) »

  • Puis nous écrivons l’expression de la troisième et dernière étape de calcul pour l’obtention de la deuxième expression w⫲q,w de l’opération de déconcaténation décimale droite, comme suit:

q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ – a(n)+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ – a(n)+2)=q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ – l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: [(q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ)i] ))+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ – l(｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(qₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] ) ⋃｜,｜( n=1→n=x: ([q,wₙ₌₁→ₙ₌ₓ] )i))+2)       (A3 »)’ ↔ (A3 ») »

q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ – a(n)+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ – a(n)+2)=( 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 1+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 1+2 ; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 2+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 2+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 3+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 3+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 4+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 4+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 5+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 5+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 6+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 6+2 ; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 7+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 7+2;  794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 8+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 8+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 9+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 9+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 10+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 10+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 11+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 11+2 ; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 12+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 12+2;  794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 12+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 12+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 12+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 12+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 13+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 13+2; 794587856,573419-⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 14+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 14+2; 794587856,573419 -⌊794587856,573419/10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 15+2⌋*10^(⌊log(794587856,573419)⌋ – 15+2 )       (A3 ») »↔ (A3 »’) »

q,w-⌊q,w/10^(⌊log(q,w))⌋ – a(n)+2⌋*10^(⌊log(q,w)⌋ – a(n)+2)=( 794 587 856,573419; 94 587 856,573419; 4 587 856,573419; 587 856,573419; 87 856,573419; 7856,573419; 856,573419; 56,573419; 6,573419; 0,573419; 0,073419; 0,003419; 0,000419; 0,000019; 0,000009 )   (A3 »’) »

⁂⁂

Ensuite, l’expression de la déconcaténation décimale dite gauche des deux nombres q et w qui sont concaténés formant le troisième nombre décimal résultant de cette concaténation, soit q,w, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité, est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions possibles de l’opération de déconcaténation droite, respectivement notées identiquement à précédemment w⫲q,w et q⫲q,w, et définies toujours respectivement de la façon suivante:

  • q⫲q,w= ⌊q,w/10^(l(w))⌋=q, (A4), avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui n’est plus l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, comme précédemment pour les chiffres du nombre non décimal, mais la puissance de 10 du polynôme en puissance de dix de la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre q,w. La convention usuelle de notation mathématique est d’ordonner cette suite de chiffres qui font le nombre décimal par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle: les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre q,w=(cₙ; cₙ₋₁; cₙ₋₂; c₁; c₀; c’₀; c’₁;… ; c’ ₙ₋₂ ; c’ₙ₋₁; c’ₙ ) dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre en base dix qui est un polynôme en puissance de dix, où les coefficients c et c’ compris entre 0 et 9 sont respectivement les chiffres de la partie entière et de la partie décimale du nombre q,w, s’écrit de la manière suivante:

q,w=cₙ*10^n + cₙ₋₁*10 ^(n-1) + cₙ₋₂*10^(n-2) +…+ c₁*10^(1) + c₀*10^(0) +c’₁*10^(-1) + c’₂*10^(-2) + c’ₙ₋₁*10 ^(-n+1) + c’ₙ₋₂*10^(-n+2) +… + c’ₙ*10^-n    

⁂

Pour illustrer l’expression (A4) ci dessus de l’opération de déconcaténation décimale gauche des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres qui sont les chiffres d’un nombre décimal, q,w, et que nous feront correspondre à l’opération d’une suite récurrente de nombres, reprenons l’exemple de la valeur des variables q,w=794587856,573419 avec q=794587856 et w=0,573419, les variables de la déconcaténation gauche décimale notée w⫲q,w alors:
｜⫣｜(n=1→n=15: [(a(rₙ))i])=( ⌊794587856533/10^(⌊log(0,000009)⌋+1)⌋;  ⌊794587856533/10^(⌊log(0,000019)⌋+1)⌋ ;⌊794587856533/10^(⌊log(0,000419)⌋+1)⌋; ⌊794587856533/10^(⌊log(0,003419)⌋+1)⌋; ⌊794587856533/10^(⌊log(0,073419)⌋+1)⌋;⌊794587856533/10^(⌊log(0,573419)⌋+1)⌋; ⌊794587856533/10^(⌊log(6,573419)⌋+1)⌋; ⌊794587856533/10^(⌊log(56,573419)⌋+1)⌋; ⌊794587856533/10^(⌊log(856,573419)⌋+1)⌋; ⌊794587856533/10^(⌊log(7856,573419)⌋+1)⌋; ⌊794587856533/10^(⌊log(87856,573419)⌋+1)⌋; ⌊794587856533/10^(⌊log(587856,573419)⌋+1)⌋ ;⌊794587856533/10^(⌊log(457856,573419)⌋+1)⌋ ; ⌊794587856533/10^(⌊log(9457856,573419)⌋+1)⌋ )   (A4′)

｜⫣｜(n=1→n=15: [(a(rₙ))i])=(79 458 785 657 341,000000; 7 945 878 565 734,000000; 794 587 856 573,000000; 79 458 785 657,000000; 7 945 878 565,000000; 794 587 856,000000; 79 458 785,000000; 7 945 878,000000; 794 587,000000; 79 458,000000; 7 945,000000; 794,000000; 79,000000; 7,000000)      (A4′)’


Donc le cas particulier des éléments de cette suite de nombres les variables de la déconcaténation gauche décimale notée w⫲q,w 

 q⫲q,w=⌊q,w/10^(l(w))⌋ ↔ 794587856 ⫲794587856,573419=⌊794587856,573419/10^(l(0,573419))⌋=⌊794587856,573419/10^(⌊log(0,573419)⌋+1)⌋= 794587856      (A4)

⁂

 

  • w⫲q,w=⌊qw/10^(l(q))⌋=w, avec l(q)=⌊log(q)⌋+1, qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10; et si q=0, alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.   (A2)
  • CH$2-FLOOR(CH$2/10^(FLOOR(LOG(FD16)+1;1)+1);1)*10^(FLOOR(LOG(FD16)+1;1)+1)

⁂

Pour illustrer les deux expressions ci dessus de l’opération de déconcaténation gauche des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres, reprenons l’exemple de la valeur des variables qw=794587856533 avec q=7945878565, et w=33 alors:

 w⫲qw=⌊qw/10^(l(q))⌋ ↔ 33⫲794587856533=⌊794587856533/10^(l(7945878565))⌋=⌊794587856533/10^(⌊log(7945878565)⌋+1)⌋=33      (A2)


q⫲qw = qw-⌊qw/10^(l(q))⌋*10^(l(qw) – l(w)) ↔ 7945878565 ⫲794587856533  (A2)’=(A2′)’


=794587856533-⌊794587856533 /10^(l(7945878565))⌋*10^(l(794587856533) -l(33))=794587856533 -⌊794587856533 /10^(l(7945878565))⌋*10^((⌊log(794587856533)⌋+1)-(⌊log(33)⌋+1))=7945878565.      (A2′)’






⁂

Remarquons que dans toutes les expressions précédentes, il est possible d’écrire seulement la quantité de chiffres que nous souhaitons déconcaténer sans écrire le nombre correspondant à cette quantité, c’est-à-dire en reprenant les exemples précédents et tout d’abord avec n correspondant au nombre de chiffres déconcaténés en partant de la gauche du nombre c’est-à-dire son rang du premier chiffre le plus élevé par rapport à son dernier chiffre des unités situé à la droite du nombre, donc de la façon suivante pour tout d’abord l’opération de déconcaténation droite (partant du ou des chiffre(s) le plus à gauche du nombre déconcaténé et en déconcaténant le ou les chiffres à sa droite) indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à gauche du nombre:
  • q⫲qw=⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋=⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋; avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1, qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10.  (A3)
  • w⫲qw=qw-⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋*10^(l(qw)-n))=qw-⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋*10^(⌊log(qw)⌋+1-n)); avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1, qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10.  (A3)’

⁂

A nouveau pour illustrer les deux expressions ci dessus de l’opération de déconcaténation droite des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres, reprenons encore l’exemple des valeurs de la variable qw=794587856533, avec q=794 et n=3, alors:
 q⫲qw=⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋=⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋ ↔ 794⫲794587856533
=⌊794587856533 /10^(l(794587856533 )-3)⌋=⌊794587856533 /10^(⌊log(794587856533)⌋+1-3)⌋=794;      (A3)
 w⫲qw=qw-⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋*10^(l(qw)-n))=qw-⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋*10^(⌊log(qw)⌋+1-n)) ↔ 587856533⫲794587856533    (A3)’=(A3′)’
=794587856533-⌊794587856533/10^(l(794587856533)-3)⌋*10^(l(794587856533)-3))  (A3′)’=(A3 »)’
=794587856533-⌊794587856533/10^(⌊log(794587856533)⌋+1-3)*10^(⌊log(794587856533)⌋+1-3))=587856533.     (A3 »)’

⁂

Ensuite pour l’opération de déconcaténation gauche encore avec n correspondant au nombre de chiffres « déconcaténés » en partant de la droite du nombre c’est-à-dire son rang du premier chiffre le moins élevé donc celui des unités par rapport à son dernier chiffre de rang le plus élevé situé à la gauche du nombre, donc de la façon suivante pour la déconcaténation gauche indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres « déconcaténés » en partant du premier chiffre situé à droite du nombre, le chiffre des unités:
  • w⫲qw=⌊qw/10^n⌋         (A4)
  • q⫲qw=qw-⌊qw/10^n⌋*10^n      (A4)’

⁂

A nouveau pour illustrer les deux expressions ci dessus de l’opération de déconcaténation gauche des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres, reprenons encore l’exemple de la valeur des variables qw=794587856533 avec w=6533, et n=4, alors:

 w⫲qw=⌊qw/10^n⌋ ↔ 6533⫲794587856533=⌊794587856533/10^4⌋=79458785;       (A4)


q⫲qw=qw-⌊qw/10^n⌋*10^n ↔ 79458785⫲794587856533=794587856533-⌊794587856533/10^4⌋*10^4=6533       (A4)’

⁂⁂

En général nous définissons les chiffres de n’importe quel nombre r ∈ R comme les éléments appartenant à l’ensemble séquentiel que je note DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), et plus spécifiquement les éléments que je note algébriquement q ∈ N* et w ∈ N chiffres d’un nombre noté qw, et dont la longueur numérique égale à 1, et dont le résultat de l’opération de leur concaténation d’expression générale notée, q∥w=q*b^(l(q)) + w=qw,  (1) où l(q) est la notation de la longueur numérique en base b=10 d’expression l(q)=⌊log₁₀(q)⌋+1  (2) est un nombre noté qw; et/ou le résultat de l’opération de leur déconcaténation est deux nombres, sachant que l’opération de déconcaténation est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments et qui est notée en général pour deux chiffres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc une opération de déconcaténation qui est notée q⫲w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation droite ou gauche des deux chiffres q et w du nombre qw, résultant de la concaténation précédente des deux chiffres q et w quelque soit leurs valeurs de chiffres en valeur dans l’ensemble de10 chiffres que je note DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9) est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw, qui sont définies de la façon suivante:

  • q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, (3) avec l(w)=⌊log₁₀(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base b=10, et si w=0 alors l(w)=⌊log₁₀(w+1)⌋+1     (2)’. Ici, dans notre illustration de la propriété des nombres particuliers que sont les chiffres, w est un nombre d’un seul chiffre donc un chiffre de longueur 1, donc l(w)=1.
  • w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, (3)’ avec l(qw)=⌊log₁₀(qw)⌋+1    (2) » qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base b=10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1    (2) qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base b=10, et si q=0 alors l(q)=⌊log₁₀(q+1)⌋+1. Ici encore, dans notre illustration de la propriété des nombres particuliers que sont les chiffres, q est un nombre d’un seul chiffre donc un chiffre de longueur 1, donc l(q)=1, et qw est un nombre résultant de l’opération de concaténation de q et w donc un nombre de deux chiffres et l(qw)=2.

Maintenant une fois défini ci-dessus le nombre qw obtenu par deux chiffres q et w concaténés ou les deux nombres obtenus q et w correspondant au résultat double de l’opération de déconcaténation de qw soit le nombre q et le nombre w, tous deux égaux au chiffre q et w, nous pouvons définir le résultat des deux opérations de concaténations ou de déconcaténation qui est un nombre quelconque noté y=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1) + xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2) + xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+ xᵢ₊₁*10^(1) + xᵢ₌₁*10^(0)     (A)’ où les coefficients c compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre y. avec les chiffres a, z, k, w de ce nombre noté algébriquement en général ∀ dnumₙ(xᵢ ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₐ(a; y); dnumₛ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xᵢ₌₁=a; xᵢ₊₁=z; xᵢ₊₂=k; xᵢ₊₃=w; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇… xᵢ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9). Nous remarquons qu’avec la notation dnumₙ(xᵢ; y) correspondantes à un chiffre xᵢ du nombre y, nous écrivons toujours un indice correspondant à la quantité de répétition du chiffre xᵢ égal à dnumₙ(xᵢ; y) sa représentation algébrique générale donc, en considérant que la valeur de l’indice n suit toujours la convention usuelle de notation mathématique qui est comme celle « d’ordonner cette suite de tous chiffres représentant un nombre, par poids, ou puissance croissante de droite à gauche. Donc la valeur de l’indice n de la notation du chiffre dnumₙ(xᵢ; y), correspond à la quantité de répétitions du chiffre dnumₙ(xᵢ; y) du nombre y. Nous remarquons que cette notation est dite positionnelle, car les chiffres notés en général dnumₙ(xᵢ ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y); dnumₐ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xᵢ₌₁=a; xᵢ₊₁=z; xᵢ₊₂=k; xᵢ₊₃=w; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇… xᵢ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), indiquent une valeur d’indice et une valeur de multiple de puissance de 10 dépendant de leur position par rapport aux autres chiffres a, z, k, w du nombre y=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1) + xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2) + xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+ xᵢ₊₁*10^(1) + xᵢ₌₁*10^(0)     (A)’, où les coefficients xᵢ compris entre 0 et 9 sont les chiffres du nombre y. Par convention le sens de l’orientation de l’accroissement indiciel du chiffre est celui qui débute à la droite du nombre correspondant au chiffre des unités vers la gauche. La notation  de « dnum » qui est une forme abrégée de « digit number » en hommage à M. le professeur Thayer Watkins de l’université d’état de San José en Californie et ses articles à propos de « Digit Sum Arithmetic » qui sont une inspiration en arithmétique des chiffres, sans pour autant en ni reprendre le raisonnement ni les expressions algébriques et numériques qui lui sont personnelles ( les deux autres notations indicielles l et r, pour « left » et right » indiquant le sens de la valeur de position des chiffres correspondant au rang considéré soit droit donc r, soit gauche donc l sont en anglais du fait que l’indice g et d sont inexistant) est une notation qui si elle est complètement informative n’en demeure pas moins limitée quant à son usage, car nous ne l’utiliserons dans les pages qui suivent que si le calcul algébrique et numérique de nos expressions nécessite l’emploi de la valeur du rang d’un chiffre ou un chiffre individuel particulier sélectionné parmi tous les autres chiffres. D’autre part cette notation est utile principalement pour le calcul de la fonction de rang d’un chiffre. En effet, rappelons que pour un nombre y composé de plusieurs chiffres dnumₙ(xᵢ; y) possédant leur propre rang (ici le terme de rang signifie l’index de position et non pas au sens normal de rang c’est-à-dire la valeur du chiffre plus ou moins élevée par rapport à la valeur des autres chiffres) correspondant à la position du chiffre au sein du nombre déterminée en plaçant « le nombre dans le tableau de numération ou chaque chiffre est placé dans une colonne du tableau de numération comme suit: « Les chiffres sont placés de droite à gauche (d’abord le chiffre des unités, puis le chiffre des dizaines…) dans un tableau de numération composé de 4 colonnes principales, soit les unités simples, les milliers, les millions et les milliards. Chaque colonne principale du tableau de numération est composée de 3 colonnes secondaires: les unités, les dizaines et les centaines. Chaque colonne du tableau de numération est associée à un rang. Le rang d’un chiffre est composé du nom de la colonne secondaire, suivi du nom de la colonne principale ( pour le détail et pour être précis sauf si un chiffre est situé dans la colonne secondaire des unités, le rang est uniquement composé du nom de la colonne principale; sauf si un chiffre est situé dans la colonne principale des unités, le rang est uniquement composé du nom de la colonne secondaire. » 


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1.1.b Les deux notations fondamentales du nombre décimale et des chiffres du nombre décimal 

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La convention usuelle de notation mathématique est d’ordonner cette suite de chiffres qui font le nombre décimal par poids, ou puissance de n, croissant de droite à gauche. Cette notation est dite positionnelle: les chiffres indiquent une valeur dépendant de leur position. Ainsi la représentation ensembliste séquentielle des chiffres du nombre y=(cₙ; cₙ₋₁; c ₙ₋₂; c₁; c₀; c’₀; c’₁;… ; c’ ₙ₋₂ ; c’ₙ₋₁; c’ₙ ) dans une base 10 est la suite de chiffres de ce nombre en base dix qui est un polynôme en puissance de dix, où les coefficients c et c’ compris entre 0 et 9 sont respectivement les chiffres de la partie entière et de la partie décimale du nombre y, s’écrit de la manière suivante:

y=cₙ*10^n + cₙ₋₁*10 ^(n-1) + cₙ₋₂*10^(n-2) +…+ c₁*10^(1) + c₀*10^(0) +c’₁*10^(-1) + c’₂*10^(-2) + c’ₙ₋₁*10 ^(-n+1) + c’ₙ₋₂*10^(-n+2) +… + c’ₙ*10^-n      (A)’

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∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

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