Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2030 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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Une forme symétrique (A) et une autre asymétrique (B) (Ce document n’est pas soumis au droit d’auteur et est donc dans le domaine public, car il est composé exclusivement d’informations qui sont dans le domaine public et ne contient aucune modification qui en ferait une œuvre originale.)

asymétrique: Qui n’est pas superposable à son image prise dans un miroir plan. Extrait de « Wiktionnaire », le dictionnaire libre.

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V’) LA FONCTION DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE FONDAMENTALE SYMETRIQUE ET SES FONCTIONS DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE DÉRIVÉES

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1.2) la fonction de segmentation caractéristique inférieure 

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Au sous-titre 1.2.c), nous considérons la première fonction de segmentation caractéristique inférieure équivalente à une fonction de compression « vers la droite », donc après la première valeur d’une suite de nombres représentant une fonction caractéristique ce qui correspond à un processus d’élimination des valeurs nulles et de déplacement de la sous-suite obtenue de valeurs non nulles successives donc toute égale à 1, vers la droite des valeurs originelles de la séquence avant sa compression donc une sous suite de valeurs 1 à la fin de la nouvelle suite avec un déplacement correspondant des valeurs nulles vers la gauche de la séquence originelle, soit d’une sous suite de valeurs successives nulles; un processus de compression donc définit par la nomenclature N° 14 » et N° 15 », la fonction de compression et la fonction de décompression d’une sous-suite des valeurs non nulles de la suite de nombres notée SeqA, soit les fonctions représentées respectivement par les notations Cmprsap(Sgmt(SeqA)) et Dcmprsap(Sgmt(SeqA)).

Au quatrième sous-titre 1.2.d), nous considérons que les autres fonctions de segmentation caractéristique inférieure que nous élaborons sont toujours équivalentes à une modification de cette première fonction de segmentation caractéristique inférieure par la fonction de déplacement soit N° 17 la fonction de déplacement avant une valeur de la suite de nombres notée SeqA, d’une sous suite de nombres non nulle soit la fonction représentée respectivement par la notation Dplmtav(Sgmt(SeqA)) dans le cas d’un déplacement de plusieurs valeurs successives d’une sous-suite de valeurs de SeqA avant une valeur donnée de cette suite.

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1.2.c) la fonction de segmentation caractéristique inférieure équivalente à la fonction de compression « droite »

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Soit la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ) ⊆ N*, et à laquelle nous appliquons le premier type de fonctions de segmentation inférieure caractéristique qui est notée Sgmtval₍ₙ₌ₘ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₘ, nₙ₌ₘ₊₁, nₙ₌ₘ₊₂,…nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>=a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉

• 1A(n)=0, si n<a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ m ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₘ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₘ, nₙ₌ₘ₊₁, nₙ₌ₘ₊₂,…nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=⌈n/(m+1)⌉-⌈|n/(m+1)-1|⌉=⌈n/(a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉+1)⌉-(⌈|n/(a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉)+1)-1|⌉ (17), sachant que dans cette expression la variable m est la valeur résultant de l’expression permettant de déterminer le nombre de valeurs non nulles donc égale à la valeur 1, de la suite de nombre S définie précédemment qui est a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉=m avec la valeur de la variable p correspondant comme précédemment à la valeur de la quantité d’éléments nuls et non nul de la séquence S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…..nₙ₌ₚ).

∴

Considérons un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10, en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (16) on obtient:

Soit a=10, p=1000, m=a(n)=500, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₘ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₘ, nₙ₌ₘ₊₁, nₙ₌ₘ₊₂,…nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈n/(500+1)⌉-⌈|n/(500+1)-1|⌉=⌈n/(10*⌊1000/10⌋/2+10*(1000/10-⌊1000/10⌋)-(1-⌈((10*⌊1000/10⌋/2+1)/2-⌊(10*⌊1000/10⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈1000/2-⌊1000/2⌋⌉+1)⌉-(⌈|n/(10*⌊1000/10⌋/2+a*(1000/10-⌊1000/10⌋)-(1-⌈((10*⌊1000/10⌋/2+1)/2-⌊(10*⌊1000/10⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈1000/2-⌊1000/2⌋⌉)+1)-1|⌉ (17′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,…..0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,….1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) avec une quantité q de valeurs nulles égale à la quantité m de valeur 1, soit q=m=500. Cette nouvelle suite de nombres nulle et non nulle d’expression (16′) correspond encore au processus résultant de la fonction Dplmtapₙ₌ₘ(Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₘ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₘ} ⊆ N*)) de déplacement de valeur non nulle vers la droite à la fin de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous suite de nombres de valeurs non nulles, de l’expression (12′) correspondant donc à un déplacement simultané de valeur nulle vers la gauche au début de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit avant la première valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1, de l’expression (12′).

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1.2.d) les fonctions de segmentation caractéristiques inférieures équivalentes à la fonction de déplacement avant ou après une valeur de cette suite de nombres

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Soit encore la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ) ⊆ N*, et à laquelle correspond le deuxième type de fonctions de segmentation inférieure caractéristique qui est notée Sgmtval₍ₙ₌ₘ₋ₐ..ₙ₌ₚ₋ₐ₎(S={nₙ₌ₘ₋ₐ, nₙ₌ₘ₋ₐ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐ} ⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>=a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉-a*h

• 1A(n)=0, si n<a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉-a*h

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ m ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₘ₋ₐ..ₙ₌ₚ₋ₐ₎(S={nₙ₌ₘ₋ₐ, nₙ₌ₘ₋ₐ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐ} ⊆ N*)=⌈n/(-a*h+m+1)⌉-⌈|n/(-a*h+m+1)-1|⌉-⌈n/(-a*h+p+1)⌉+⌈|n/(-a*h+p+1)-1|⌉ (18); sachant que dans cette expression la variable m est la valeur résultant de l’expression permettant de déterminer le nombre de valeurs non nulles donc égale à 1, de la suite de nombre S défini précédemment et qui correspond au résultat de l’expression a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉=m, avec la valeur de la variable p correspondant comme précédemment à la valeur de la quantité d’éléments nuls et non nuls de la séquence S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…..nₙ₌ₚ).

∴

Considérons un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10, en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (18) on obtient:

Soit a=10, p=1000, m=a(n)=500, h=1, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₘ₋ₐ..ₙ₌ₚ₋ₐ₎(S={nₙ₌ₘ₋ₐ, nₙ₌ₘ₋ₐ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐ} ⊆ N*)=⌈n/(500-10*1+1)⌉-⌈|n/(500-10*1+1)-1|⌉-⌈n/(1000-10*1+1)⌉+⌈|n/(1000-10*1+1)-1|⌉ (17′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₘ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₘ, nₙ₌ₘ₊₁, nₙ₌ₘ₊₂,…nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,…..0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,….0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) avec une quantité q de valeurs nulles égale à la quantité m de valeur 1, soit q=m=500. Cette nouvelle suite de nombres nulle et non nulle d’expression (18′) correspond encore au processus résultant de la fonction Dplmtapₙ₌ₘ₋ₐ(Sgmtval₍ₙ₌ₘ₋ₐ..ₙ₌ₚ₋ₐ₎(S={nₙ₌ₘ₋ₐ, nₙ₌ₘ₋ₐ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐ} ⊆ N*)) de déplacement de valeur non nulle de quantité h*a=1*10, vers la gauche au début de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous suite de nombres de valeurs non nulles, de l’expression (17′) correspondant donc à un déplacement simultané de valeur nulle vers la droite à la fin de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1, de l’expression (17′).

∴

Soit encore la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ) ⊆ N*, et à laquelle nous appliquons le troisième type de fonctions de segmentation inférieure caractéristique qui est notée Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*)et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a>n>=a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉-a*h

• 1A(n)=0, si a<n<a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉-a*h

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ m ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*)=⌈n/(m+1)⌉-⌈|n/(m+1)-1|⌉-⌈n/(-a*h+p+1)⌉+⌈|n/(-a*h+p+1)-1|⌉+⌈|n/(a*h+1)-1|⌉-⌈n/(a*h+1)⌉+1 (19); sachant que dans cette expression la variable m est la valeur résultant de l’expression permettant de déterminer le nombre de valeurs non nulles donc égale à 1, de la suite de nombre S défini précédemment et qui correspond au résultat de l’expression a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉=m, avec la valeur de la variable p correspondant comme précédemment à la valeur de la quantité d’éléments nuls et non nuls de la séquence S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…..nₙ₌ₚ).

∴

Considérons un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10, en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (19) on obtient:

Soit a=10, p=1000, m=a(n)=500, h=1, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*)=⌈n/(500+1)⌉-⌈|n/(500+1)-1|⌉-⌈n/(1000-10*1+1)⌉+⌈|n/(1000-10*1+1)-1|⌉+⌈|n/(10*1+1)-1|⌉-⌈n/(10*1+1)⌉+1 (18′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₘ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₘ, nₙ₌ₘ₊₁, nₙ₌ₘ₊₂,…nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,…..0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,….0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) avec une quantité q de valeurs nulles égale à la quantité m de valeur 1, soit q=m=500. Cette nouvelle suite de nombres nulle et non nulle d’expression (19′) correspond encore au processus résultant de la fonction Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌₁..ₙ₌ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂,nₙ₌ₐₕ₋₃,..…nₙ₌ₐₕ} ⊆ N*)) de déplacement de valeur non nulles de quantité h*a=1*10, vers la gauche de la suite caractéristique de nombres de valeur 0 et 1, soit avant la première valeur de la sous suite de nombres de valeur nulles, et de la fonction Dplmtapₙ₌ₚ₋ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*)) de déplacement de valeur nulle de quantité h*a=1*10, vers la droite à la fin de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles de l’expression (17′), correspondant donc à un déplacement simultané de valeur non nulle vers la gauche au début de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit avant la première valeur de la sous suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1, de l’expression (17′) comme indiquée précédemment par la première fonction de déplacement correspondante.

∴

Soit encore la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ) ⊆ N*, et à laquelle nous appliquons le quatrième type de fonctions de segmentation inférieure caractéristique qui est notée Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a*h>=n

• 1A(n)=0, si n>a*h

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*)=⌈n/(-a*h+p+1)⌉-⌈|n/(-a*h+p+1)-1|⌉ (20).

∴

Considérons donc encore un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10 , en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (20) on obtient:

Soit a=10, h=2, p=1000, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*)=⌈n/(-10*2+1000+1)⌉-⌈|n/(-10*2+1000+1)-1|⌉ (20′), et sa représentation correspondante à la séquence Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₐₕ₎(S={nₙ,…nₙ₌ₐₕ,.. nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₁, nₙ₌ₘ₋ₐₕ₊₂,…nₙ₌ₚ₋ₐₕ} ⊆ N*)

=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) avec toujours la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ) ⊆ N* et donc le nombre d’éléments nul x, égale -a*h+p, a*h étant le nombre d’éléments non nuls de cette suite d’expression générale (20′). Le déplacement de valeur non nulle vers la gauche au début de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit avant la première valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles, ne correspond pas à un déplacement simultané de valeurs nulles vers la droite à la fin de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1, mais correspond à un processus de concaténation de sous suite de nombres de valeurs tout identiques à 1 et de quantité q=a*h-a.

∴

Nous continuons encore le développement du processus des autres types de fonctions de segmentation caractéristique inférieure équivalentes à la fonction de déplacement après une valeur de rang donnée de la fonction caractéristique de SeqA, soit Dplmtap(Sgmt(1A(SeqA))) en général, avec la cinquième de ces autres fonctions de segmentation caractéristique inférieure, notée Sgmtval₍₋ₐₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐₕ₊ₚ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ₋ₐ₍ₕ₋₁₎..} ⊆ N*) et donc correspondant à la fonction de déplacement plus particulièrement notée Dplmtapₙ₌ₐ(Sgmtval₋ₐₕ₊ₚ(S={nₙ₌₋ₐₕ₊ₚ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ₋ₐ₍ₕ₋₁₎..} ⊆ N*)) qui sont toutes les deux définies comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si -a*(h-1)+p<n<=-a*h+p

• 1A(n)=0, si -a*h+p<n<-a*(h-1)+p.

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍₋ₐₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐₕ₊ₚ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ₋ₐ₍ₕ₋₁₎..} ⊆ N*)=⌈n/(-a*h+p+1)⌉-⌈|n/(-a*h+p+1)-1|⌉-⌈n/(-a*(h-1)+p+1)⌉+⌈|n/(-a*(h-1)+p+1)-1|⌉ (21)

∴

Considérons donc encore un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10 , en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (21) on obtient:

Soit a=10, h=2, p=1000, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍₋ₐₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐₕ₊ₚ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ₋ₐ₍ₕ₋₁₎..} ⊆ N*))=Sgmtval₍₋ₐₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐₕ₊ₚ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ₋ₐ₍ₕ₋₁₎..} ⊆ N*)=⌈n/(-10*2+1000+1)⌉-⌈|n/(-10*2+1000+1)-1|⌉-⌈n/(-10*(2-1)+1000+1)⌉+⌈|n/(-10*(2-1)+1000+1)-1|⌉ (21′), et sa représentation correspondante à la séquence Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍₋ₐₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐₕ₊ₚ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ₋ₐ₍ₕ₋₁₎..} ⊆ N*))=Sgmtval₍₋ₐₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐₕ₊ₚ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ₋ₐ₍ₕ₋₁₎..} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) avec toujours la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ) ⊆ N* et donc le nombre d’éléments nul x, égale -a+p, a étant le nombre d’éléments non nuls et non nuls répétés de cette suite d’expression générale (21′). Le déplacement de valeur non nulle vers la gauche au début de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit avant la première valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles, correspond à un déplacement simultané de valeurs nulles vers la droite à la fin de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1.

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ