Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2030 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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Une forme symétrique (A) et une autre asymétrique (B) (Ce document n’est pas soumis au droit d’auteur et est donc dans le domaine public, car il est composé exclusivement d’informations qui sont dans le domaine public et ne contient aucune modification qui en ferait une œuvre originale.)

asymétrique: Qui n’est pas superposable à son image prise dans un miroir plan. Extrait de « Wiktionnaire », le dictionnaire libre.

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V) LA FONCTION DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE FONDAMENTALE SYMETRIQUE ET SES FONCTIONS DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE DÉRIVÉES

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Nous continuons notre exposé sur les fonctions de segmentation dérivées d’une fonction de segmentation caractéristique fondamentale de suites de nombres appartenant à l’ensemble {0,1}, par celles dont la quantité de segments de valeurs correspondant aux sous suites de valeurs successives de 0 et de 1, n’est plus limitée soit à un seul pour le segment correspondant à la sous suite de valeur 0, et à deux pour les segments correspondant aux deux sous suites de valeurs 1, come nous avons exposé dans notre rubrique précédente, mais dont les segments correspondant aux deux types de sous suites de valeurs de 0 ou de 1, sont tous répétés régulièrement c’est à dire qu’ils sont équidistant les un des autres ou bien encore que leur quantité de valeur de 1 ou de 0 est constamment identique, ce qui donne le nom générale de cette forme que prend la représentation de ces types de suites de nombres appartenant au sous ensemble {0,1} de segmentation alterné et répétée possiblement à l’infinie, de la fonction de « segmentation caractéristique symétrique« . La définition du terme « symétrique«  extrait de « Wiktionnaire », le dictionnaire libre, soit, « On peut en effet dire d’une chose qu’elle est symétrique si, après avoir été soumise à une certaine transformation (translation, rotation, réflexion dans un miroir…), son apparence n’est pas modifiée« , ou plus simplement l’opposée de la définition d’asymétrique, soit, « Qui est superposable à son image prise dans un miroir plan« , appliquée à la segmentation caractéristique, signifie une forme de la représentation de la suite des éléments correspondant à la fonction de segmentation symétrique par rapport à la forme de la représentation de la suite des éléments correspondant à la composition de plusieurs fonctions de segmentation caractéristique simple, puisque toute fonction de segmentation caractéristique symétrique est le résultat de la composition de plusieurs fonctions de segmentation caractéristique simple. 

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1.2) la fonction de segmentation caractéristique supérieure

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Au sous-titre, 1.2.a) nous considérons que la première fonction de segmentation caractéristique supérieure que nous élaborons comme étant toujours équivalente à une fonction de compression « vers la gauche », donc avant la première valeur d’une suite de nombres représentant une fonction caractéristique ce qui correspond à un processus d’élimination des valeurs nulles et de déplacement de la sous-suite obtenue de valeurs non nulles successives donc toutes égales à 1, vers la gauche des valeurs originelles de la séquence avant sa compression donc une sous suite de valeurs 1 au début de la nouvelle suite avec un déplacement correspondant des valeurs nulles vers la droite de la séquence originelle, soit d’une sous suite de valeurs successives nulles; un processus de compression donc définit par la nomenclature N° 14′ et N° 15′, la fonction de compression et la fonction de décompression d’une sous-suite des valeurs non nulles de la suite de nombres notée SeqA, soit les fonctions représentées respectivement par les notations Cmprsav(Sgmt(SeqA)) et Dcmprsav(Sgmt(SeqA)), sachant que nous définirons l’opération de compression d’une suite de nombres comme correspondant à l’élimination d’une ou de plusieurs valeurs de la suite de nombres notée SeqA sans annulations et l’opération de décompression comme correspondant à l’insertion d’une série de valeurs nulles entre deux ou plusieurs des valeurs de la suite de nombres notée SeqA.

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Tandis qu’au sous-titre 1.2.b) nous considérons les autres fonctions de segmentation caractéristique supérieure que nous élaborons sont toujours équivalentes à une modification de cette première fonction de segmentation caractéristique supérieure par la fonction de déplacement soit N° 17′, la fonction de déplacement après une valeur de la suite de nombres notée SeqA, d’une sous suite de nombres non nulle, soit la fonction représentée respectivement par la notation Dplmtap(Sgmt(SeqA)) dans le cas d’un déplacement de plusieurs valeurs successives d’une sous-suite de valeurs de SeqA après une valeur donnée de cette suite; et de concaténation soit N° 18′, la fonction de concaténation, correspondant au processus de l’ajout de plusieurs valeurs avant la première ou après la dernière valeur de la suite de nombres SeqA et notée Cctnte(Sgmt(SeqA)), et simultanément ou non de décompression comme correspondant à l’insertion d’une série de valeurs nulles entre deux ou plusieurs des valeurs de la suite de nombres notée SeqA.

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1.2.a) la fonction de segmentation caractéristique supérieure équivalente à la fonction de compression « gauche »

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Considérons le type de fonction caractéristique fondamentale symétrique d’un intervalle du rang des valeurs de n’importe quelle suite de nombres correspondants appartenant à R indicées par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(mod(n-1,2*a)+1)=1, si a<=mod(n-1,2*a)+1

• 1A(mod(n-1,2*a)+1)=0, si a>mod(n-1,2*a)+1

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la suite de nombre caractérisée S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ), dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1,2*a)+1)=(1-1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2 (11); ∀ a ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1,2*a)+1)=(1-1/a*(mod(n+a-1,2*a)-mod(n-1,2*a)))/2 (11); a est la variable dont la valeur correspond à la quantité des éléments non nulles et nulles des sous suites répétée de valeurs successives égales à 1 dont la quantité est égale à la variable a, suivit de valeurs successives égales à 0 dont la quantité est aussi égale à a.

Soit la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ) ⊆ N*, et à laquelle nous appliquons le premier type de fonctions de segmentation supérieure caractéristique qui est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊ₕ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₐ₊₂ₕ…nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n<=a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉

• 1A(n)=0, si n>a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ m ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₘ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₘ} ⊆ N*)=⌈|n/(m+1)-1|⌉-⌈n/(m+1)⌉+1=⌈|n/(a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉+1)-1|⌉-⌈n/(a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉+1)⌉+1 (12), sachant que dans cette expression la variable m est la valeur résultant de l’expression permettant de déterminer le nombre de valeurs non nulles donc égale à la valeur 1, de la suite de nombre S définie précédemment qui est a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉=m avec la valeur de la variable p correspondant comme précédemment à la valeur de la quantité d’éléments nuls et non nuls de la séquence S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…..nₙ₌ₚ).

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Considérons un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10, en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (12) on obtient:

Soit a=10, p=1000, m=a(n)=500, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₘ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₘ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(10*⌊1000/10⌋/2+10*(1000/10-⌊1000/10⌋)-(1-⌈((10*⌊1000/10⌋/2+1)/2-⌊(10*⌊1000/10⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈1000/2-⌊1000/2⌋⌉+1)-1|⌉-⌈n/(10*⌊1000/10⌋/2+10*(1000/10-⌊1000/10⌋)-(1-⌈((10*⌊1000/10⌋/2+1)/2-⌊(10*⌊1000/10⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈1000/2-⌊1000/2⌋⌉+1)⌉+1=⌈|n/(500+1)-1|⌉-⌈n/(500+1)⌉+1 (12′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₘ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₘ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,….1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,…..0,0,0,0,0,0,…) avec une quantité q de valeurs nulles égale à la quantité m de valeur 1, soit q=m=500.

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1.2.b) les fonctions de segmentation caractéristiques supérieures équivalentes à la fonction de déplacement avant ou après une valeur d’une suite de nombres

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Pour obtenir les autres types de fonctions de segmentation caractéristiques supérieures similaires à celle obtenue précédemment au sous-titre 1.1.a) appliqués à la séquence de l’expression (1), il nous faut simplement considérer que celles-ci résultent d’un processus similaire au mouvement de déplacement des valeurs non nulles de l’expression précédente (12) illustrée par l’exemple de l’expression (12′), de la gauche vers la droite tandis que les valeurs déplacées de gauche seraient remplacées par des valeurs nulles et que les valeurs correspondantes non nulles seraient aussi déplacées de la gauche vers la droite et dont le nombre de valeurs déplacées correspondrait au type de segmentation caractéristique supérieure, un processus à celui de la nouvelle fonction dont la nomenclature est N° 17, et N° 17′, la fonction de déplacement avant et la fonction de déplacement après, d’une valeur ou d’un sous-ensemble des valeurs de la suite de nombres notée SeqA, soit les fonctions représentées respectivement par les notations Dplmtav(Sgmt(SeqA)) et Dplmtap(Sgmt(SeqA)) dans le cas d’un déplacement de plusieurs valeurs successives d’un sous-ensemble de valeurs de SeqA soit donc un segment de SeqA correspondant à la fonction de segmentation notée Sgmt(SeqA). Plus précisément, dans le cas du processus des autres types de fonctions de segmentation caractéristique supérieure celles-ci sont équivalentes à la fonction de déplacement après une valeur de rang de la fonction caractéristique de SeqA soit:

Dplmtap(Sgmt(1A(SeqA))) en général, correspondant à la première de ces autres fonctions de segmentation caractéristique supérieure, notée Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₊ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ} ⊆ N*) et donc correspondant à la fonction de déplacement plus particulièrement notée Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₊ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ} ⊆ N*)) qui sont toutes les deux définies comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a*h>n et n<=a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉+a*h

• 1A(n)=0, si a*ha(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉+a*h

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ m ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₊ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₊ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ} ⊆ N*)=⌈|n/(a*h+m+1)-1|⌉-⌈n/(a*h+m+1)⌉-⌈|n/(a*h+1)-1|⌉+⌈n/(a*h+1)⌉ (13), sachant que dans cette expression la variable m est la valeur résultant de l’expression permettant de déterminer le nombre de valeurs non nulles donc égale à la valeur 1, de la suite de nombre S définie précédemment qui est a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉=m, avec la valeur de la variable p correspondant comme précédemment à la valeur de la quantité d’éléments nuls et non nul de la séquence S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…..nₙ₌ₚ).

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Considérons un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10 , en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (13) on obtient:

Soit a=10, p=1000, m=a(n)=500, h=1, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₊ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₊ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ} ⊆ N*)=⌈|n/(10*1+500+1)-1|⌉-⌈n/(10*1+500+1)⌉-⌈|n/(10*1+1)-1|⌉+⌈n/(10*1+1)⌉ (13′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₘ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₘ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,….1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1…..0,0,0,0,0,0,…) avec toujours une quantité q de valeurs nulles égale à la quantité m de valeur 1, soit q=m=500. Le déplacement de valeur non nulle vers la droite à la fin de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1, ce qui correspond à un déplacement simultané de valeur nulle vers la gauche au début de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit avant la première valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1.

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Nous continuons d’élaborer les processus d’ autres types de fonctions de segmentation caractéristique supérieure équivalentes à la fonction de déplacement après une valeur de rang donnée de la fonction caractéristique de SeqA, soit Dplmtap(Sgmt(1A(SeqA))) en général, avec la troisième de ces autres fonctions de segmentation caractéristique supérieure, notée Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₋ₐₕ..ₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ..nₙ₌ₘ₋ₐₕ..nₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎} ⊆ N*) et donc correspondant à la fonction de déplacement plus particulièrement notée Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₋ₐₕ..ₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ..nₙ₌ₘ₋ₐₕ..nₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎} ⊆ N*)) qui sont toutes les deux définies comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a*h>n et n<=a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉-a*h et n>p-a*h

• 1A(n)=0, si a*ha(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉-a*h et n<p-a*h.

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ m ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₋ₐₕ..ₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ..nₙ₌ₘ₋ₐₕ..nₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₋ₐₕ..ₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ..nₙ₌ₘ₋ₐₕ..nₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎} ⊆ N*)=⌈|n/(m+1)-1|⌉-⌈n/(m+1)⌉+1+⌈n/(p-a*h+1)⌉-⌈|n/(p-a*h+1)-1|⌉-⌈|n/(a*h+1)-1|⌉+⌈n/(a*h+1)⌉-1, (14), sachant que dans cette expression la variable m est la valeur résultant de l’expression permettant de déterminer le nombre de valeurs non nulles donc égale à la valeur 1, de la suite de nombre S définie précédemment qui est a(n)=a*⌊p/a⌋/2+a*(p/a-⌊p/a⌋)-(1-⌈((a*⌊p/a⌋/2+1)/2-⌊(a*⌊p/a⌋/2+1)/2⌋)⌉)+⌈p/2-⌊p/2⌋⌉=m, avec la valeur de la variable p correspondant comme précédemment à la valeur de la quantité d’éléments nuls et non nul de la séquence S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…..nₙ₌ₚ).

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Considérons encore un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10 , en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (14) on obtient:

Soit a=10, p=1000, m=a(n)=500, h=1, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₋ₐₕ..ₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ..nₙ₌ₘ₋ₐₕ..nₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ..ₙ₌ₘ₋ₐₕ..ₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₘ₊ₐₕ..nₙ₌ₘ₋ₐₕ..nₙ₌₁₋₍ₘ₋ₐₕ₎} ⊆ N*)=⌈|n/(500+1)-1|⌉-⌈n/(500+1)⌉+1+⌈n/(p-10*1+1)⌉-⌈|n/(p-10*1+1)-1|⌉-⌈|n/(10*1+1)-1|⌉+⌈n/(10*1+1)⌉-1, (14′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₘ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ,nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₘ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,….1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,….0,0,0,0,0,0,…1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) avec toujours une quantité q de valeurs nulles égale à la quantité m de valeur 1, soit q=m=500. Le déplacement de valeur non nulle vers la droite à la fin de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous suite de nombres de valeurs nulles, ce qui correspond à un déplacement simultané de valeur nulle vers la gauche au début de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit avant la première valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1.

∴

Nous continuons donc le développement du processus des autres types de fonctions de segmentation caractéristique supérieure équivalentes à la fonction de déplacement après une valeur de rang donnée de la fonction caractéristique de SeqA, soit Dplmtap(Sgmt(1A(SeqA))) en général, avec la quatrième de ces autres fonctions de segmentation caractéristique supérieure, notée

Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₐₕ₊ₐ..} ⊆ N*) et donc correspondant à la fonction de déplacement plus particulièrement notée Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₐₕ₊ₐ..} ⊆ N*)) qui sont toutes les deux définies comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a*h<=n

• 1A(n)=0, si a*h>n .

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₐₕ₊ₐ..} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₐₕ₊ₐ..} ⊆ N*)=⌈|n/(a*h+1)-1|⌉-⌈n/(a*h+1)⌉+1  (15) 

∴

Considérons donc encore un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10 , en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (15) on obtient:

Soit a=10, h=2, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₐₕ₊ₐ..} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₐₕ₊ₐ..} ⊆ N*) =⌈|n/(10*2+1)-1|⌉-⌈n/(10*2+1)⌉+1 (15′), et sa représentation correspondante à la séquence Dplmtapₙ₌ₐₕ(Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₐₕ₊ₐ..} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐₕ₎(S={nₙ₌ₐₕ, nₙ₌ₐₕ₊₁, nₙ₌ₐₕ₊₂, nₙ₌ₐₕ₊₃…nₙ₌ₐₕ₊ₐ..} ⊆ N*)

=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…) avec toujours la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ) ⊆ N* et donc le nombre d’éléments nul x, égale -a*h+p, a*h étant le nombre d’éléments non nuls de cette suite d’expression générale (15). Le déplacement de valeur non nulle vers la droite à la fin de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles, ne correspond pas à un déplacement simultané de valeur nulle vers la gauche au début de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit avant la première valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1, mais correspond à un processus de concaténation de sous suite de nombres de valeurs tout identiques à 1 et de quantité q=a*h-a.

∴

Nous continuons encore le développement du processus des autres types de fonctions de segmentation caractéristique supérieure équivalentes à la fonction de déplacement après une valeur de rang donnée de la fonction caractéristique de SeqA, soit Dplmtap(Sgmt(1A(SeqA))) en général, avec la cinquième de ces autres fonctions de segmentation caractéristique supérieure, notée Sgmtval₍ₙ₌ₐ₎(S={nₙ₌ₐₕ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ..} ⊆ N*) et donc correspondant à la fonction de déplacement plus particulièrement notée Dplmtapₙ₌ₐ(Sgmtval₍ₙ₌ₐ₎(S={nₙ₌ₐₕ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ..} ⊆ N*)) qui sont toutes les deux définies comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a*(h-1)<n<=a*h

• 1A(n)=0, si a*h<n<a*(h-1) .

Cette fonction indicatrice particulière des éléments résultant de la fonction caractérisée dont l’expression est n ∈ N*, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐ(Sgmtval₍ₙ₌ₐ₎(S={nₙ₌ₐₕ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ..} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐ₎(S={nₙ₌ₐₕ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ..} ⊆ N*)=⌈|n/(a*h+1)-1|⌉-⌈n/(a*h+1)⌉-⌈|n/(a*(h-1)+1)-1|⌉+⌈n/(a*(h-1)+1)⌉ (16).

∴

Considérons donc encore un exemple pour illustrer notre exposé précédent, soit, a=10 , en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, ∀ n ∈ N*: 1A(mod(n-1, 2*10)+1)=(1-1/10*(mod(n+10-1, 2*10)-mod(n-1, 2*10)))/2 (11′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,…); en remplaçant dans l’expression (16) on obtient:

Soit a=10, h=2, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Dplmtapₙ₌ₐ(Sgmtval₍ₙ₌ₐ₎(S={nₙ₌ₐₕ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ..} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐ₎(S={nₙ₌ₐₕ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ..} ⊆ N*)=⌈|n/(10*2+1)-1|⌉-⌈n/(10*2+1)⌉-⌈|n/(10*(2-1)+1)-1|⌉+⌈n/(10*(2-1)+1)⌉ (16′), et sa représentation correspondante à la séquence Dplmtapₙ₌ₐ(Sgmtval₍ₙ₌ₐ₎(S={nₙ₌ₐₕ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ..} ⊆ N*))=Sgmtval₍ₙ₌ₐ₎(S={nₙ₌ₐₕ₋₁, nₙ₌ₐₕ₋₂, nₙ₌ₐₕ₋₃…nₙ₌ₐₕ..} ⊆ N*)

=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…) avec toujours la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃, nₙ₌ₐ₊ₐ, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₐ₊₃..nₙ₌ₐ₊ₐ₊ₐ…nₙ₌ₚ) ⊆ N* et donc le nombre d’éléments nul x, égale -a+p, a étant le nombre d’éléments non nuls de cette suite d’expression générale (16′). Le déplacement de valeur non nulle vers la droite à la fin de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit après la dernière valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles, correspond à un déplacement simultané de valeurs nulles vers la gauche au début de la suite caractéristique de nombres de valeurs 0 et 1, soit avant la première valeur de la sous-suite de nombres de valeurs non nulles égale à 1.

∴

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ