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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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« Un diagramme d’Euler est un moyen de représentation schématique des ensembles et des relations en leur sein. La première utilisation des « cercles Eulériens » est communément attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783). Ils sont étroitement liés aux diagrammes de Venn. Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d’Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d’inclusion ou d’exclusion dans chacun des ensembles. Les diagrammes de Venn et d’Euler ont été incorporés à l’enseignement de la théorie des ensembles dans le cadre des mathématiques modernes dans les années 1960.Les diagrammes d’Euler sont constitués de simples courbes fermées (habituellement des cercles) dans le plan qui représentent les ensembles. Les tailles ou formes des courbes ne sont pas importantes : la signification du diagramme est dans la façon dont les cercles se chevauchent. Les relations spatiales entre les régions délimitées par chaque courbe correspondent aux relations théoriques à ensembles (intersection, sous-ensembles et disjonction). Chaque courbe d’Euler divise le plan en deux régions ou « zones » : l’intérieur, ce qui représente symboliquement les éléments contenus dans l’ensemble, et l’extérieur, qui représente tous les éléments qui ne sont pas membres de l’ensemble. Les courbes dont les zones intérieures ne se coupent pas représentent des ensembles disjoints. Deux courbes dont les zones intérieures se croisent représentent des ensembles qui ont des éléments communs ; la zone à l’intérieur de deux courbes représente l’ensemble des éléments communs aux deux ensembles (l’intersection des ensembles). Une courbe qui est entièrement contenue à l’intérieur de la zone intérieure d’une autre représente un sous-ensemble de celle-ci.
Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d’Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d’inclusion ou d’exclusion dans chacun des ensembles. Les régions qui ne font pas partie de l’ensemble sont indiquées par la couleur noire, contrairement aux diagrammes d’Euler, où l’appartenance à l’ensemble est indiquée par le chevauchement ainsi que la couleur. Lorsque le nombre d’ensembles devient supérieur à 3, un diagramme de Venn devient visuellement complexe, en particulier par rapport au diagramme d’Euler correspondant.« Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.
« Soit trois ensembles :
A={1,2,5}
B={1,6}
C={4,7}
Les diagrammes de Venn et d’Euler de ces ensembles sont:
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Diagramme de Venn
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Diagramme d’Euler »Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.
I) LES FONCTIONS SIMPLES D’OPÉRATIONS ENSEMBLISTES ET MULTIENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES ÉLÉMENTAIRES:
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1.1.c) La fonction simple d’opération ensembliste séquentielle d’ensemble des parties:
Soit E un ensemble. L’ensemble des parties de E est l’ensemble, généralement noté P(E), dont les éléments sont les sous-ensembles de E : A ∈ P(E) ⟺ A ⊆ E. L’ensemble des parties d’un ensemble E, noté habituellement P(E), ou 2^E, est l’ensemble dont les éléments sont tous les sous-ensembles de E :
P(E)={ A ∣ A ⊆ E }.
Par exemple, si E = {a,b}, P(E) = {Ø, {a}, {b}, E}.
P(E) n’est jamais vide, car l’ensemble vide ∅ et E sont toujours des parties de E : ∅ ∈ P(E); E ∈ P(E).
L’ensemble des parties d’un ensemble, muni de la réunion, de l’intersection et du complémentaire, forme une algèbre de Boole. » Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.
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1.1.l) La fonction simple d’opération ensembliste séquentielle de cardinal :
Son cardinal vérifie :
Son cardinal vérifie :
On utilise cette notation exponentielle pour le cardinal aussi bien dans le cas d’un ensemble E fini qu’infini.
« La cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu’un ensemble est fini, c’est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s’agit du nombre d’éléments de l’ensemble. En particulier, le cardinal de l’ensemble vide est zéro. La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d’équipotence: deux ensembles sont dits équipotents s’il existe une bijection de l’un dans l’autre. Par exemple, un ensemble infini est dit dénombrable s’il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels. C’est le cas de l’ensemble des entiers relatifs ou de celui des rationnels, mais pas de celui des réels, d’après l’argument de la diagonale de Cantor. L’ensemble des réels a un cardinal strictement plus grand, ce qui signifie qu’il existe une injection dans un sens, mais pas dans l’autre. Le théorème de Cantor généralise ce résultat en montrant que tout ensemble est de cardinal strictement inférieur à l’ensemble de ses parties. L’étude de la cardinalité en toute généralité peut être approfondie avec la définition des nombres cardinaux. Il existe plusieurs notations classiques pour désigner le cardinal d’un ensemble, avec l’opérateur Card, le croisillon (#) préfixe, à l’aide de barres verticales de chaque côté ou une ou deux barres horizontales au-dessus:
Card(E)=#E=|E|
En théorie des ensembles, le nombre cardinal ou cardinal d’un ensemble E (fini ou infini) est, intuitivement, le « nombre » d’éléments lui appartenant. On peut définir formellement ce « nombre » comme la classe de tous les ensembles équipotents à E (c’est-à-dire en bijection avec E), ou, de manière fort différente, comme le plus petit ordinal équipotent à E. » Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.
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Nous considérons qu’un intervalle peut être défini dans n’importe quel ensemble de nombres pourvu qu’il soit indiqué comme ici l’intervalle des nombres entiers donc un intervalle dans l’ensemble des nombres entiers. Wikipédia confirme d’ailleurs cette notation d’intervalle défini dans n’importe quel ensemble possible comme suit:
« Dans tout ensemble totalement ordonné (S, ≤), on peut définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls). Il est donc tout à fait possible de définir dans ℤ l’intervalle des entiers relatifs compris entre –5 et 3, mais il serait dangereux de le noter [–5, 3] sans avertissements préalables à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de ℝ. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs ⟦–5, 3⟧ et parfois la notation avec des crochets doubles. Un intervalle dégénéré est tout ensemble constitué d’un seul nombre réel c’est-à-dire un intervalle de la forme [a, a]. Certains auteurs incluent l’ensemble vide dans cette définition. »Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.
Donc ma définition par extension d’un intervalle dans l’ensemble des nombres entiers N comprend les intervalles des types suivants ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ i=a ∈ N*:
[xᵢ₌ₓ]={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ ≤ xᵢ₌ₓ ≤xᵢ₌ₐ₊₂} la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0 ; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que le rang i=x de l’élément xᵢ₌ₓ est supérieur ou égal à l’index i=a de l’élément xᵢ₌ₐ=0 ∨ xᵢ₌ₐ=1; et inférieur ou égal à l’index i=a+2 de l’élément xᵢ₌ₐ₊₂=0 ∨ xᵢ₌ₐ₊₂=1.
si l’on considère seulement l’expression dans (5) de la fonction caractéristique non plus multipliée par n soit 1A(SeqXᵢ)= (⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (6), cette dernière expression est en partie l’expression la fonction de cardinalité donnant le cardinal des éléments de la sous-séquence d’éléments non nuls de la séquence SeqXᵢ, soit la sous-séquence SeqX’ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}, définie comme suit:
Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…), SeqXᵢ{0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a’ ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a1 et p=a+a’; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p+1=card( SeqX’ᵢ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a+1, c’est-à-dire que la valeur de la variable p+1 correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a’=,card( SeqX’ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; et après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n’est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que:
Card( SeqAᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1})) =∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(p+1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ] (7).
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La nouvelle fonction Nbrelt(SeqA) dont on obtient son expression correspondante à la somme sigma de sa fonction caractéristique définie comme suit:
1A: S→ {0,1}:
1A(∅ ∉ S={SeqA} ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ≠∅;1A(∅ ∉ S={SeqA} ∧ xₙ ∈ S={SeqA})=1, si xₙ=∅.
Par définition le symbole ∅ correspondant à la notation de l’ensemble vide représente un ensemble qui ne contient rien, et dont l’expression de cette fonction caractéristique ou indicatrice 1A(Nbrelt(SeqA)) est, sachant que la définition de la somme vide est le résultat d’une addition d’aucun nombre dont sa valeur numérique est par convention égale à zéro, et donc après avoir donné la définition de Eₙ , soit, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ S ⊆ R, Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉ ( ):
∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ S ⊆ R: 1A(Nbrelt(SeqA))=⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉ (83); donc nous obtenons la valeur du nombre d’éléments de SeqA correspondant au résultat de la fonction notée Nbrelt(SeqA) égale à la somme sigma des éléments prenant la valeur de 0 ou 1 de sa fonction caractéristique soit:
Eₙ=⌈(|xₙ +∅|)/(|xₙ +∅|+1)⌉, ∀ n ∈ N*, ∀ xₙ ∈ S ⊆ R : Nbrelt(SeqA)=∑[n=1→∞]: ⌈(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ)/(1-⌊n/((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋-⌊|n-((∑[n=1→∞]:Eₙ)-1|/(((∑[n=1→∞]:Eₙ)+1)⌋+Eₙ+1)⌉ ( ).
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⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ
*( Code des couleurs: 1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ; 2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs 3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ; 4= symbole des opérateurs les plus intérieurs ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )
1A( ∧ a*x<0 ⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ
C
⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ
⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)
⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)
LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux 