Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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« Une fonction caractéristique est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E, et qui est notée 1A, (une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I (i majuscule). Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité. Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E est une fonction:

1A: E→ {0, 1}

x↦ 1 si x ∈  E: 1A(x)=1

x↦ 0 si x ∉  E: 1A(x)=0″, extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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« Une fonction simple est une fonction numérique dont l’image est constituée d’un nombre fini de valeurs réelles (ou éventuellement complexes) ;

Une fonction étagée est une fonction simple définie sur un espace mesurable et qui est elle-même une fonction mesurable ;

Une fonction en escalier est une fonction étagée définie sur l’ensemble des réels et dont les valeurs (réelles) sont constantes sur des intervalles : ce sont donc des fonctions constantes par morceaux.

Dans les trois acceptions, chacune de ces fonctions peut s’exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques.« , extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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IV) DES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES SIMPLES SUI GENERIS A NON SIMPLES

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« Sui generis est un terme latin de droit, signifiant « de son propre genre » et qualifiant une situation juridique dont la singularité empêche tout classement dans une catégorie déjà répertoriée et nécessite de créer des textes spécifiques. », extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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« En arithmétique, une fonction multiplicative1 est une fonction arithmétique f : ℕ* → ℂ vérifiant les deux conditions suivantes :

• f(1) = 1 ;
• pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, on a : f (ab) = f(a)f(b).

Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant :

• g(1) = 1 ;
• pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b).

Ces dénominations peuvent varier d’un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative. », extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

4.1) La fonction caractéristique simple sui generis de la fonction de Möbius (ou Moebius)

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« La fonction de Möbius désigne généralement une fonction multiplicative particulière, définie sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans l’ensemble {–1, 0, 1}. L’usage de cette fonction est ancien : on le trouve chez Euler en 1748 ou encore chez Gauss dans ses « Disquisitiones arithmeticae » en 1801. C’est néanmoins Möbius qui le premier l’étudie systématiquement, en 1832. 

La fonction de Möbius μ est définie de N* dans {–1, 0, 1}. L’image μ(n) d’un entier n > 0 vaut :

• 0 si n est divisible par un carré parfait différent de 1;
• 1 si n est le produit d’un nombre pair de nombres premiers distincts;
• –1 si n est le produit d’un nombre impair de nombres premiers distincts. »,

 extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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Un exemple correspondant à notre définition d’une fonction caractéristique simple définie comme si et seulement si elle est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques est la fonction de Möbius (ou Moebius) et notée μ(n), et qui est sui generis parce qu’elle est irréductible à une expression qui n’est plus une itération algorithmique, (l’application n ↦ pgcd(n, m), l’entier m étant fixé, est un exemple) soit il existera toujours 2 itérations algorithmiques minimales pour définir l’expression de la fonction de Moebius, et non pas parce qu’elle désigne généralement une fonction multiplicative particulière, c’est-à-dire une fonction seulement multiplicative et non une fonction complètement multiplicative, et définie sur les entiers strictement positifs et à valeur dans l’ensemble {-1, 0, 1} en fonction de la factorisation de n en facteurs premiers, soit 0 si n est divisible par un carré parfait différent de 1; 1 si n est le produit d’un nombre pair de nombres premiers distincts ; -1 si n est le produit d’un nombre impair de nombres premiers distincts. Une des formules de l’expression de la fonction de Möbius (ou Moebius) qui fut écrite par Reinhard Zumkeller, sur le site O.E.I.S., ( fonction référencée sur le site O.E.I.S., (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) par le numéro, « A008683 », et l’intitulé, « Möbius (or Moebius) function mu(n). mu(1) = 1; mu(n) = (-1)^k if n is the product of k different primes; otherwise mu(n) = 0. »), soit l’expression: μ(n)=(-1)^omega(n) * 0^(bigomega(n)-omega(n)) for n>0, c’est-à-dire la différence entre bigomega(n), qui est la fonction donnant le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec multiplicité, et omega(n) qui est la fonction donnant le nombre de diviseurs premiers distincts de n. Les fonctions notées bigomega(n), omega(n) sont représentées par les suites de nombres respectivement comme suit:

bigomega(n)=(0,1,1,2,1,2,1,3,2,2,1,3,1,2,2,4,1,3,1,3,2,2,1,4,2,2,3,3,1,3,1,5,2,2,2,4,1,2,2,4,1,3,1,3,3,2,

1,5,2,3,2,3,1,4,2,4,2,2,1,4,1,2,3,6,2,3,1,3,2,3,1,5,1,2,3,3,2,3,1,5,4,2,1,4,2,2,2,4,1,4,2,3,2,2,2,6,1,3,3,4,1,3,1,4,3,2,1,5,1,3,2…), (Référencée sur le site O.E.I.S., (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) par le numéro, « A001222 », et l’intitulé, « Number of prime divisors of n counted with multiplicity (also called bigomega(n) or Omega(n))« .

omega(n)=(0,1,1,1,1,2,1,1,1,2,1,2,1,2,2,1,1,2,1,2,2,2,1,2,1,2,1,2,1,3,1,1,2,2,2,2,1,2,2,2,1,3,1,2,2,2,1,2,1,

2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,3,1,2,2,1,2,3,1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,2,3,1,2,1,2,1,3,2,2,2,2,1,3,2,2,2,2,2,2,1,2,2,2,1,3,1,2,3,2,1,2,1,3,2….), (Référencée sur le site O.E.I.S., The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) par le numéro, « A001221″, et l’intitulé, « Number of distinct primes dividing n (also called omega(n)« ).

La liste des facteurs premiers de n correspondante aux sous-séquences des deux fonctions représentées précédemment est notée lfcpr=(1=1*1; 2 = 2*1; 3 = 3*1; 4 = 2*2 ; 5 = 5*1; 6 = 3*2; 7 = 7*1; 8 = 2*2 *2; 9 = 3*3 ; 10 = 5*2; 11 = 11 * 1; 12 = 3 * 2 * 2 ; 13 = 13 * 1; 14 = 7 * 2; 15 = 5 * 3 ; 16 = 2 * 2 * 2 * 2 ;17 = 17 * 1; 18 = 3 * 3 * 2 ;19 = 19 * 1; 20 = 5 * 2 * 2 ; 21 = 7 * 3; 22 = 11 * 2; 23 = 23 * 1; 24 = 3 * 2 * 2 * 2 ; 25 = 5 * 5 ; 26 = 13 * 2 ; 27 = 3 * 3 * 3; 28 = 7 * 2 * 2 ; 29 = 29 * 1; 30 = 5 * 3 * 2 ; 31 = 31 * 1; 32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 ; 33 = 11 * 3 ; 34 = 17 * 2 ; 35 = 7 * 5 ; 36 = 3 * 3 * 2 * 2 ; 37 = 37 * 1; 38 = 19 * 2 ; 39 = 13 * 3 ; 40 = 5 * 2 * 2 * 2 ; 41 = 41 * 1; 42 = 7 * 3 * 2 ; 43 = 43 * 1; 44 = 11 * 2 * 2 ; 45 = 5 * 3 * 3 ; 46 = 23 * 2 ; 47 = 47 * 1; 48 = 3 * 2 * 2 * 2 * 2 ; 49 = 7 * 7 ; 50 = 5 * 5 * 2 51 = 17 * 3 ;52 = 13 * 2 * 2 ; 53 = 53 * 1; 54 = 3 * 3 * 3 * 2 ; 55 = 11 * 5 ; 56 = 7 * 2 * 2 * 2 ; 57 = 19 * 3 ; 58 = 29 * 2 ; 59 = 59 * 1; 60 = 5 * 3 * 2 * 2 ; 61 = 61 * 1; 62 = 31 * 2 ; 63 = 7 * 3 * 3 64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2; 65 = 13 * 5 ; 66 = 11 * 3 * 2 ; 67 = 67 * 1; 68 = 17 * 2 * 2; 69 = 23 * 3 ;70 = 7 * 5 * 2 ; 71 = 71 * 1; 72 = 3 * 3 * 2 * 2 * 2; 73 = 73 * 1; 74 = 37 * 2 ; 75 = 5 * 5 * 3 ; 76 = 19 * 2 * 2 ; 77 = 11 * 7 ; 78 = 13 * 3 * 2 ; 79 = 79 * 1; 80 = 5 * 2 * 2 * 2 * 2 ; 81 = 3 * 3 * 3 * 3 82 = 41 * 2 ; 83 = 83 * 1; 84 = 7 * 3 * 2 * 2 ; 85 = 17 * 5 ; 86 = 43 * 2 ; 87 = 29 * 3 ; 88 = 11 * 2 * 2 * 2 ; 89 = 89 * 1; 90 = 5 * 3 * 3 * 2 ; 91 = 13 * 7 ; 92 = 23 * 2 * 2 ; 93 = 31 * 3 ;94 = 47 * 2 ; 95 = 19 * 5 ; 96 = 3 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 ; 97 = 97 * 1; 98 = 7 * 7 * 2 ; 99 = 11 * 3 * 3 ; 100 = 5 * 5 * 2 * 2 ; 101 = 101 * 1; 102 = 17 * 3 * 2 ; 103 = 103 * 1; 104 = 13 * 2 * 2 * 2; 105 = 7 * 5 * 3; 106 = 53 * 2; 107 = 107 * 1; 108 = 3 * 3 * 3 * 2 * 2; 109 = 109 * 1; 110 = 11 * 5 * 2 ; 111 = 37 * 3…. ). Le nombre 1 est appelé une unité. Il n’a pas de facteurs premiers et n’est ni premier ni composite.

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Mais si la différence entre bigomega(n), qui est la fonction donnant le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec multiplicité, et omega(n) qui est la fonction donnant le nombre de diviseurs premiers distincts de n, est égale à zéro, 0^(bigomega(n)-omega(n)) n’est pas définie. Donc nous devons considérer une autre formule similaire en termes de bigomega(n) et omega(n) de l’expression de la fonction de Möbius (ou Moebius), qui fut écrite par Enrique Pérez Herrero, sur le site O.E.I.S., soit l’expression: μ(n)=floor(omega(n)/bigomega(n))*(-1)^omega(n). Mais elle n’est pas définie pour omega(1)/bigomega(1)=0/0. Nous devons donc utiliser l’expression μ(n)=(-1)^omega(n)*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n))⌉) (1), et qui implique que la fonction de Möbius (ou Moebius) conformément à notre qualification précédente, est bien une fonction une fonction simple car elle est une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques soit la multiplication d’une première fonction caractéristique définie comme suit:

1A: N*→ {-1, 1}

• 1A(omega(n))=-1, si omega(n)=1, c’est-à-dire si n est un entier positif sans carré avec un nombre impair de facteurs premiers.
• 1A(omega(n))=1, si omega(n)>1, c’est-à-dire si n est un entier positif sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers ou si n a un facteur premier au carré;

L’expression de cette fonction caractéristique 1A(omega(n)) est définie comme suit:

∀ n ∈ N*, soit omega(n), la fonction donnant le nombre de diviseurs premiers distincts de n:

1A(omega(n))=(-1)^omega(n)    (2).

Ensuite soit la multiplication de l’expression de cette première fonction caractéristique par l’expression d’une deuxième fonction caractéristique définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n) R bigomega(n))=0, si omega(n)<bigomega(n), c'est-à-dire si n a un facteur premier au carré.
• 1A(omega(n) R bigomega(n))=1, si omega(n)>bigomega(n), c’est-à-dire si si n est un entier positif sans carré avec un nombre pair ou impair de facteurs premiers.

L’expression de cette fonction caractéristique 1A(omega(n) R bigomega(n)) est définie comme suit:

∀ n ∈ N*, soit omega(n), la fonction donnant le nombre de diviseurs premiers distincts de n; soit bigomega(n), la fonction donnant le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit R le symbole de la relation entre objets mathématiques d’un certain domaine qui est une propriété qu’ont, ou non, entre eux certains de ces objets ; ainsi la relation d’ordre strict, notée « < » entre omega(n) et bigomega(n):

1A(omega(n) R bigomega(n))=1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n))⌉    (3).

Nous pouvons donc maintenant par la combinaison linéaire des deux fonctions caractéristiques précédentes, soit la multiplication des expressions (2) et (3) définir la fonction de Möbius (ou Moebius) sous la forme d’une fonction caractéristique comme suit:

1A: N*→ {-1, 0, 1}

• 1A(omega(n) R bigomega(n))=-1, si omega(n)=bigomega(n)=1; c’est-à-dire 0 si n est divisible par un carré parfait différent de 1.

• 1A(omega(n) R bigomega(n))=0, si omega(n)<bigomega(n); c'est-à-dire -1 si n est un entier positif sans carré avec un nombre impair de facteurs premiers.

• 1A(omega(n) R bigomega(n))=1, si omega(n)=bigomega(n) ∧ omega(n)≠1 ∧ bigomega(n)≠1; c’est-à-dire 1 si n est un entier positif sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers ou si n a un facteur premier au carré.

L’expression de cette fonction caractéristique 1A(omega(n) R bigomega(n))=μ(n), est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n:

μ(n)=1A(omega(n) R bigomega(n))=((-1)^omega(n))*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)) (1) et la représentation de cette expression est la sous suite de nombres μ(n)=(1,-1,-1,0,-1,1,-1,0,0,1,-1,0,-1,1,1,0,-1,0,-1,0,1,1,-1,0,0,1,0,0,-1,-1,-1,0,1,1,1,0,-1,1,1,0,-1,-1,-1,0,0,1,

-1,0,0,0,1,0,-1,0,1,0,1,1,-1,0,-1,1,0,0,1,-1,-1,0,1,-1,-1,0,-1,1,0,0,1,-1…).

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Donc comme nous l’avons montré si la fonction de Möbius (ou Moebius) est bien une fonction simple, car elle est une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques élémentaires définies précédemment par les expressions (2) et (3) et leur combinaison correspondante à l’expression   (1), nous devons maintenant définir les autres fonctions caractéristiques beaucoup plus fondamentales dont la combinaison linéaire est la fonction de Moebius, et parmi celles-ci nous considérons tout d’abord la fonction caractéristique des nombres premiers, notée 1A(n ⊂ P) dont nous donnerons sa définition avant de montrer sa relation à la fonction de Moebius μ(n) qui est plus que celle intuitivement simplement déduite de l’expression omega(n)=bigomega(n)=1. 

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Soit la fonction de Totient d’Euler, notée phi(n), qui nous donne les nombres totaux qui sont relativement premiers (co-premiers) avec n dans l’intervalle [1, n-1], c’est-à-dire le nombre d’entiers positifs non supérieurs à n qui sont premiers à n, et sachant que nous avons l’expression des égalités suivante:

1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n))   (4), le terme 1A(n ⊂ P) correspondant à la notation de la fonction caractéristique des nombres premiers dont l’ensemble de tous les nombres premiers est noté P dont la représentation de la suite des nombres premiers est P=(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,

79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271….) (Référencée sur le site O.E.I.S., (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) par le numéro « A000040 » et l’intitulé « The prime numbers ».), soit la fonction caractéristique des nombres premiers définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(n ⊂ P)=0, si ⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n))=0, c’est-à-dire n est un nombre non premier: n ∉ P
• 1A(n ⊂ P)=1, si ⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n))=1, c’est-à-dire n est un nombre premier: n ∈ P

L’expression de cette fonction caractéristique 1A(n ⊂ P) est donc définie après l’expression de ⌊phi(n)/(n-1)⌋ soit en finalité l’expression de phi(n) que nous définissons par deux formules différentes, soit la première calculant la valeur unique de phi(h) et expression de la fonction caractéristique précédente 1A(n ⊂ P) sur un domaine restreint de n<=h, 1A(n ⊂ P<=h) comme suit:

∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*, soit l’expression des nombres n de la Séquence N qui sont co-prime avec un nombre variable b notée n ⊥ h tel que n<=h:

n⊥ h=(1-⌈(gcd(n, h)-1)/gcd(n, h)⌉)*(⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1)*n   (5); et soit la fonction caractéristique correspondante de ces nombres co-prime:

1A(n ⊥ h)=(1-⌈(gcd(n, h)-1)/gcd(n, h)⌉)*(⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1)   (6);

phi(h)=Σ(n=1→ n=h: 1A(n ⊥ h)=(1-⌈(gcd(n, h)-1)/gcd(n, h)⌉)*(⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1))    (7).

La fonction caractéristique 1A(n ⊂ P<=h) est finalement définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(n ⊂ P<=h)=0, si ⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n))=0, c'est-à-dire n est un nombre non premier: n ∉ P<=h
• 1A(n ⊂ P<=h)=1, si ⌊phi(n)/⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n))=1, c'est-à-dire n est un nombre premier: n ∈ P<=h

L’expression de la fonction caractéristique 1A(n ⊂ P<=h) est finalement définie par la dernière formule de la dernière expression précédente comme suit:

∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*, soit 1A(n ⊥ h) avec n<=h, ∀ P ⊂ N*>1, l’ensemble de tous les nombres premiers; et soit 1A(n ⊂ P)=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)) :

1A(n ⊂ P<=h)=⌊ (∑(n=1→n=h: phi(nₕ)=(1-⌈|n-nₕ|/(|n-nₕ|+1)⌉)*∑(n=1→ n=h: 1A(n ⊥ nₕ)=(1-⌈(gcd(n, nₕ)-1)/gcd(n, nₕ)⌉)*(⌈|n/(nₕ+1)-1|⌉-⌈n/(nₕ+1)⌉+1)) )) / (n-1+1-(1mod(n)) ⌋   (8).

∴

Mais une autre expression possible beaucoup plus simple, car utilisant une combinaison linéaire de l’expression plus générale de 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n))  (4), et de l’expression de la nouvelle fonction de segmentation d’une suite de nombre correspondant à l’annulation des éléments de cette suite dont le rang est supérieur ou égal à une variable donnée, soit comme précédemment h, et cette nouvelle expression de la fonction caractéristique des éléments de n premiers et inférieurs ou égaux à la variable h correspond à la fonction caractéristique de combinaison linéaire de (4) et la fonction caractéristique définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(nh
• 1A(n<=h)=1, si n<=h

 L’expression de la fonction caractéristique de 1A(n<=h) est définie comme suit:

∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N

1A(n<=h)=⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1    (9). 

La fonction caractéristique des nombres premiers inférieurs ou égaux à la variable h, et résultante de la combinaison linéaire des deux expressions plus générales de 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)) (4), et de l’expression la nouvelle fonction de segmentation d’une suite de nombre correspondant à l’annulation des éléments de cette suite dont le rang est supérieur ou égal à une variable donnée, soit comme précédemment h, d’expression (9) est définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(n ⊂ P)*1A(n<=h)=0, si (⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)))*(⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1)=0, c'est-à-dire n est un nombre non premier: n ∉ P<=h
• 1A(n ⊂ P)*1A(n<=h)=1, si (⌊phi(n)/⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)))*(⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1)=1, c'est-à-dire n est un nombre premier: n ∈ P<=h

L’expression de la fonction caractéristique 1A(n ⊂ P)*1A(n<=h) est finalement définie par la combinaison linéaire de l'expression (4) avec la dernière expression précédente (9) comme suit:

∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ P ⊂ N*>1, l’ensemble de tous les nombres premiers; et soit 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)) :

1A(n ⊂ P<=h)=(⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n)))*(⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1)=(⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)))*(⌈|n/(b+1)-1|⌉-⌈n/(b+1)⌉+1)   (10).

∴

La deuxième formule correspondante à l’expression de la fonction caractéristique 1A(n ⊂ P) sur l’ensemble N*, s’obtient d’abord en calculant l’ensemble des valeurs de phi(n) dont l’expression est définie comme suit:

∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*:

 phi(n)=Σ( n=h=1→n=h=∞: 1-⌈((-n mod(nₕ)+n mod(nₕ))/((nₕ-(-n mod(-nₕ))-(n mod(nₕ)))/nₕ + gcd(n (mod(nₕ)),-n mod(nₕ))))/nₕ-⌊((-n mod(nₕ)+n mod(nₕ))/((nₕ- (-n mod(nₕ))-n mod(nₕ))/nₕ + gcd( n mod(nₕ), -n mod(nₕ))))/nₕ⌋⌉-(nₕ-n mod(nₕ)-(-n mod(nₕ)))/nₕ +1-(1 mod(n)))  (11)

La représentation de cette dernière expression est la suite de nombres phi(n)=(1,1,2,2,4,2,6,4,6,4,10,4,12,6,8,8,16,6,18,8,12,10,22,8,20,12,18,12,28,8,30,16,20,16,24,12,

36,18,24,16,40,12,42,20,24,22,46,16,42,20,32,24,52,18,40,24,36,28,58,16,60,30,36,32,48,20,66,32,44….), (Référencée sur le site O.E.I.S., (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) par le numéro « A000010″, et l’intitulé « Euler totient function phi(n): count numbers <= n and prime to n.« ).

L’expression de la fonction caractéristique 1A(n ⊂P) est finalement définie avec la dernière formule de la dernière expression précédente (11) ainsi que celle du deuxième terme de l’expression (4) comme suit:

∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ P ⊂ N*>1, avec P l’ensemble de tous les nombres premiers; et soit 1A(n ⊂ P)=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)) :

1A(n ⊂ P)=⌊ phi(n)/(n-(1 mod(n))) ⌋-1+(1 mod(n))=⌊ ( Σ( n=h=1→n=h=∞: 1-⌈((-n mod(nₕ)+n mod(nₕ))/((nₕ-(-n mod(-nₕ))-(n mod(nₕ)))/nₕ + gcd(n (mod(nₕ)),-n mod(nₕ))))/nₕ-⌊((-n mod(nₕ)+n mod(nₕ))/((nₕ- (-n mod(nₕ))-n mod(nₕ))/nₕ + gcd( n mod(nₕ), -n mod(nₕ))))/nₕ⌋⌉-(nₕ-n mod(nₕ)-(-n mod(nₕ)))/nₕ +1-(1 mod(n)))))/(n-(1 mod(n))) ⌋-1+(1 mod(n))    (12).

Remarquons que l’expression de la fonction caractéristique 1A(n ⊂P) est finalement aussi définie avec la dernière formule de la dernière expression précédente (12) ainsi que celle du premier terme de l’expression (4) mais pour écrire cette nouvelle expression de 1A(n ⊂P) en termes de phi(n) comme l’expression précédente, comparons les termes de la fonction plancher de la même fonction caractéristique 1A(n ⊂P) =⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)) (4) soit les deux expressions, 1/(bigomega(n)+1-(1mod(n)) (13) et phi(n)/(n-(1mod(n))) (14) pour obtenir éventuellement une relation entre phi(n) et omega(n) nous permettant alors d’écrire deux nouvelles expressions de 1A(n ⊂ P) en termes similaires à ceux de l’expression précédente (12) et deux des relations possibles que nous obtenons  résultant de deux opérations entre les deux expressions (13) et (14), soit la fonction caractéristique 1A((1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))) R (phi(n)/(n-(1mod(n))))) définie comme suit: 

1A: N*→ {0, 1}

• 1A((1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))) R (phi(n)/(n-(1mod(n)))))=0, si n est un nombre non premier: n ∉ P.
• 1A((1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))) R (phi(n)/(n-(1mod(n)))))=1, si n est un nombre premier: n ∈ P.

L’expression de cette fonction caractéristique 1A((1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))) R (phi(n)/(n-(1mod(n))))) est définie comme suit:

∀ n ∈ N*, soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit la fonction de Totient d’Euler, notée phi(n), qui nous donne les nombres totaux qui sont relativement premiers (co-premiers) avec n dans l’intervalle [1, n-1], c’est-à-dire le nombre d’entiers positifs non supérieurs à n qui sont premiers à n; et soit 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)) (4): 

1A(n ⊂ P)=⌊(1/(bigomega(n)+1-(1mod(n)))*(phi(n)/(n-1+(1mod(n))))⌋-1+(1 mod(n))  (15).

1A(n ⊂ P)=1-⌈(((phi(n)/(n-1+(1mod(n)))))/(1/(bigomega(n)+1-(1mod(n)))²-1)/((((phi(n)/(n-1+(1mod(n)))))/(1/(bigomega(n)+1-(1mod(n)))²-1)+1)⌉-1+(1mod(n))   (16).

La représentation de ces quatre expressions précédentes (4), (12), (15) et (16) est la suite de nombres de 1A(n ⊂ P)=(0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,

0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0…), (Référencée sur le site O.E.I.S., (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences sous le numéro), par le numéro « A010051 », et l’intitulé « Characteristic function of primes: 1 if n is prime, else 0. »).

∴

De notre recherche précédente nous remarquons la propriété particulière d’une des relations possibles entre les deux expressions, a(n)=1/(bigomega(n)+1-(1mod(n)) (13) et a(n)=phi(n)/(n-(1mod(n))) (14), déduite de la division de l’expression (14) par l’expression (13) soit a(n)=(phi(n)/(n-1+(1mod(n))))/(1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))) (17), et prend la forme de la fonction caractéristique définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n)=2)=0, si n est un entier positif avec un nombre non pair strictement égal à 2 de facteurs premiers distincts dont un égal 2.

• 1A(omega(n)=2)=1, si n est un entier positif avec un nombre pair strictement égal à 2 de facteurs premiers distincts dont un égal 2.

L’expression de cette fonction caractéristique de n avec un nombre pair strictement égal à 2 de facteurs premiers distincts dont un égal 2. notée 1A(bigomega(n)=2), est définie comme suit:

 ∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit la fonction de Totient d’Euler, notée phi(n), qui nous donne les nombres totaux qui sont relativement premiers (co-premiers) avec n dans l’intervalle [1, n-1], c’est-à-dire le nombre d’entiers positifs non supérieurs à n qui sont premiers à n :   

1A(omega(n)=2)=1-⌈⌊ (phi(n)/(n-1+(1mod(n))))/(1/(bigomega(n)+1-(1mod(n)))⌋/(⌊ (phi(n)/(n-1+(1mod(n))))/(1/(bigomega(n)+1-(1mod(n)))⌋+1) ⌉  (18).

∴

Avant de pouvoir finalement définir l’expression de la relation de la fonction caractéristique des nombres premiers, notée 1A(n ⊂ P) avec la fonction de Moebius μ(n) qui est plus que celle intuitivement simplement déduite de l’expression omega(n)=bigomega(n)=1, et que nous écrirons aussi, mais seulement après avoir défini les expressions correspondantes à l’utilisation de la fonction de Moebius pour différencier les nombres composés en fonction de leurs facteurs premiers. 

∴

Soit l’ensemble des nombres composés qui est une suite de nombres entiers référencés sur le site O.E.I.S., (The online Encyclopédia of Integer Sequences) par le numéro « A002808 » et l’intitulé « The composite numbers: numbers n of the form x*y for x > 1 and y >1 » et représenté par la suite de nombre: (4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40,42,44,45,

46,48,49,50,51,52,54,55,56,57,58,60,62,63,64,65,66,68,69,70,72,74,75,76,77,78,80,81,82,84,85,86,87,88); et considérant que la fonction de Moebius μ(n) traditionnellement permettant de « différencier les nombres composés d’un nombre impair 2x + 1 de facteurs premiers distincts, correspondants à l’expression μ(n)=(-1)^{{2x+1}}=-1, de ceux composés d’un nombre pair 2x de facteurs premiers distincts, correspondant à l’expression μ(n)=(-1)^{{2x}}=1″, (par exemple, si x = 0 : μ(1) = 1 et pour tout nombre premier p, μ(p) = –1. Pour un nombre n avec un ou plus de nombres premiers répétés μ(n) = 0.) », extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre, une formule dont il nous faut considérer que la valeur de x ne peut que correspondre à omega(n) qui en remplaçant par omega(n) dans l’expression «  (-1)^{{2x}} », nous obtenons(-1)^{{2*omega(n)}}, et le résultat correspondant n’est que (-1)^{{2*omega(n)}=0 pour n=0, soit omega(0)=0, et (-1)^{{2*omega(n)}=1 pour omega(n)=1, soit le nombre de facteurs premiers égal à 1 ou supérieur à 2, distincts ou non, et en remplaçant par omega(n) dans l’expression «  (-1)^{{2x+1}} », nous obtenons(-1)^{{2*omega(n)+1}}, et le résultat correspondant n’est que (-1)^{{2*omega(n)+1}}=-1 pour tout omega(n); donc si nous devons considérer la fonction de Möbius pour différencier les nombres composés d’un nombre impair de facteurs premiers distincts, de ceux composés d’un nombre pair de facteurs premiers distincts, elle ne peut que l’être sous la forme de son équivalence à une fonction caractéristique prenant les valeurs de l’ensemble {-1, 1}, que nous définirons comme la combinaison linéaire de deux fonctions caractéristiques, soit la première fonction caractéristique de 1A(omega(n)) définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n))=0, si n est un entier positif avec un nombre impair de facteurs premiers distincts, ou un nombre pair de facteurs premiers différents de 2, ou un nombre de facteurs premiers à la fois non distincts et distincts ou tous égaux.
• 1A(omega(n))=1, si n est un entier positif avec un nombre pair de 2 facteurs premiers distincts.

L’expression de cette première fonction caractéristique 1A(omega(n)), est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition:

1A(omega(n))=1-⌈|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-2|/(|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-2|+1)⌉   (19); si nous multiplions cette expression précédente par n∊ N*, nous obtenons donc la suite des nombres entiers positifs avec un nombre pair égal à 2 de facteurs premiers distincts, soit « Une manière de classer les nombres composés qui consiste à compter le nombre de facteurs premiers dont ceux avec deux facteurs premiers correspondant à un nombre semi-premier ou un nombre 2-presque premier (les facteurs n’ont pas besoin d’être distincts, par conséquent, les carrés de nombres premiers sont inclus).« , extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

Soit la deuxième fonction caractéristique de 1A(omega(n)) définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n))=0, si n est un entier positif avec un nombre de facteurs premiers distincts pair ou impair différent de 1 et 3, ou un nombre de facteurs premiers à la fois non distincts et distincts ou tous égaux.
• 1A(omega(n))=1, si n est un entier positif avec un nombre impair égal à 1 ou 3 de facteurs premiers distincts.

L’expression de cette deuxième fonction caractéristique 1A(omega(n))’, est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de facteurs premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition:

1A(omega(n))’=1-⌈|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-3|/(|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-3|+1)⌉ + 1-⌈|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-1|/(|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-1|+1)⌉   (20); si nous multiplions cette expression précédente par n∊ N*, nous obtenons donc la suite des nombres entiers positifs avec un nombre impair égal à 1 ou 3 de facteurs premiers distincts.

Soit en finalité la combinaison linéaire des deux fonctions caractéristiques précédentes (1A(omega(n)) R 1A(omega(n))’), la fonction caractéristique 1A(omega(n)) » est définie comme suit:

1A: N*→ {-1, 0, 1}

• 1A(omega(n))=0, si n est un entier positif avec un nombre de facteurs premiers non distincts ou distincts ou tous égaux, ou avec un nombre impair différent de 1 et 3, ou avec un nombre pair différent de 2.
• 1A(omega(n))=-1, si n est un entier positif avec un nombre impair égal à 1 ou 3 de facteurs premiers distincts .
• 1A(omega(n))=1, si n est un entier positif avec un nombre pair égal à 2 de facteurs premiers distincts .

L’expression de cette fonction caractéristique combinaison linéaire des deux fonctions caractéristiques précédentes 1A(omega(n)) », est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de facteurs premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition:

1A(omega(n)) »=1-⌈|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-2|/(|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-2|+1)⌉ + -1*( 1-⌈|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-3|/(|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-3|+1)⌉ + 1-⌈|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-1|/(|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-1|+1)⌉ )  (21); si nous multiplions la valeur absolue de cette expression précédente par n∊ N*, nous obtenons donc la suite des nombres entiers positifs avec un nombre pair égal à 2 de facteurs premiers distincts et avec un nombre impair égal à 1 ou 3 de facteurs premiers distincts correspondant en partie à « Une manière de classer les nombres composés consistant à compter le nombre de facteurs premiers, dont ceux avec trois facteurs premiers distincts qui est un nombre sphénique. », extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

∴

Les formules des expressions données ci-dessus sont appliquées à une liste des éléments de omega(n) et bigomega(n) au nombre inférieur à 1000, mais nous pouvons généraliser ces formules pour un nombre à l’infini comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n))=0, si n est un entier positif avec un nombre de facteurs premiers distincts différents de x ou un nombre de facteurs premiers à la fois non distincts et distincts ou tous égaux.
• 1A(omega(n))=1, si n est un entier positif avec un nombre de facteurs premiers égaux à x.

L’expression de cette première fonction caractéristique 1A(omega(n)), est définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition:

1A(omega(n))=1-⌈|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-x|/(|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-x|+1)⌉   (22); si nous multiplions la valeur absolue de cette expression précédente par n∊ N*, nous obtenons donc la suite des nombres entiers positifs avec un nombre égal à x de facteurs premiers distincts.

∴

Nous devons encore remarquer que l’expression précédente (23) est pour x=1 équivalente à l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers  définie comme suit:

∀ n ∈ N*, ∀ P ⊂ N*>1, avec P l’ensemble de tous les nombres premiers; soit x =1:

1A(n ⊂ P)=1A(omega(n))=1-⌈|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-x|/(|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-x|+1)⌉= 1-⌈|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-1|/(|(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)*omega(n)-1|+1)⌉  (24).

Mais nous n’avons en fait que seulement définie plus précisément la relation de la fonction caractéristique des nombres premiers, notée 1A(n ⊂ P) à la fonction de Moebius μ(n) intuitivement simplement déduit de l’expression omega(n)=bigomega(n)=1. Il nous reste encore à définir l’expression de la relation de la fonction caractéristique des nombres premiers, notée 1A(n ⊂ P) à la fonction de Moebius μ(n) que nous écrirons seulement après avoir défini encore plus d’expressions de l’utilisation de la fonction de Moebius pour différencier les nombres composés en fonction de leurs facteurs premiers. 

∴

Donc si dans notre exposition précédente ce n’est pas la fonction de Moebius directement qui nous permet de donner dans la suite des facteurs premiers de N*>1, les éléments de la sous suite de nombres dont le nombre des facteurs premiers distincts est égal à une variable x, mais la fonction caractéristique de omega(n) soit 1A(omega(n)) d’expression générale (22), nous pouvons toujours écrire l’équivalence de cette dernière expression avec l’expression en termes de omega(n) et bigomega(n) de la fonction de Moebius, soit μ(n)=((-1)^omega(n))*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉))  (1); mais la fonction de Moebius μ(n) est aussi une combinaison linéaire de deux autres fonctions caractéristiques permettant de différencier encore, mais différemment de précédemment les facteurs premiers des nombres composés, et deux fonctions caractéristiques donc définies comme suit respectivement:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n))=0, si n est un entier positif avec un nombre impair de facteurs premiers distincts ou un nombre impair de facteurs premiers à la fois non distincts et distincts ou tous égaux.

• 1A(omega(n))=1, si n est un entier positif avec un nombre pair de facteurs premiers distincts.

L’expression de cette première fonction caractéristique 1A(omega(n)), est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit la fonction de Moebius, μ(n)=((-1)^omega(n))*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)):

1A(omega(n))=⌈(μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-1+(1 mod(n))   (23), l’expression de la fonction caractéristique des nombres composites avec un nombre pair de facteurs premiers distincts.

Soit la deuxième fonction caractéristique définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n))=0, si n est un entier positif avec un nombre pair de facteurs premiers distincts, ou avec un nombre impair égale à 1 de facteurs premiers distincts, ou avec un nombre de facteurs premiers à la fois non distincts et distincts ou tous égaux.

• 1A(omega(n))=1, si n est un entier positif avec un nombre impair supérieur ou égal à 3 de facteurs premiers distincts.

L’expression de cette fonction caractéristique 1A(omega(n)), est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit la fonction de Moebius, μ(n)=((-1)^omega(n))*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)); soit la fonction de Totient d’Euler, notée phi(n), qui nous donne les nombres totaux qui sont relativement premiers (co-premiers) avec n dans l’intervalle [1, n-1], c’est-à-dire le nombre d’entiers positifs non supérieurs à n qui sont premiers à n; soit l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n))  (4):

1A(omega(n))’=(|μ(n)|-⌈(μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-1+(1 mod(n)))-1A(n ⊂ P)=((μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-1+(1 mod(n)))-(⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n)))=(|μ(n)|-⌈(μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-1+(1 mod(n)))-(⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)))=|μ(n)|-⌈(μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-⌊ phi(n)/(n-(1 mod(n))) ⌋+1-(1 mod(n))   (24), l’expression de la fonction caractéristique des nombres composites avec un nombre impair de facteurs premiers, distincts supérieur ou égal à 3.

Soit en finalité la combinaison linéaire des deux fonctions caractéristiques précédentes 1A(omega(n)) R 1A(omega(n))’, la fonction caractéristique 1A(omega(n)) » est définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n)) »=0, si n est un entier positif  avec un nombre impair égal à 1 de facteurs premiers distincts, ou avec un nombre de facteurs premiers à la fois non distincts et distincts ou tous égaux.

• 1A(omega(n)) »=1, si n est un entier positif avec un nombre pair ou impair supérieur à 1 de facteurs premiers distincts.

L’expression de cette fonction caractéristique 1A(omega(n)) », est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit la fonction de Moebius, μ(n)=((-1)^omega(n))*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)); soit l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)):

1A(omega(n))+1A(omega(n))‘=1A(omega(n)) »=|μ(n)|-⌈μ(n)+|μ(n)|/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-⌊phi(n)/(n-(1 mod(n)))⌋+1-(1 mod(n)) +⌈(μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-1+(1 mod(n))  (25).

L’inverse de cette fonction caractéristique 1A(omega(n)) » définie précédemment est 1A(omega(n)) »’=1-1A(omega(n)) », car cette dernière fonction caractéristique est définie de N* dans {0, 1}, donc soit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n)) »’=0, si n est un entier positif avec un nombre pair ou impair supérieur à 1 de facteurs premiers distincts.

• 1A(omega(n)) »’=1, si n est un entier positif avec un nombre impair égale à 1 de facteurs premiers distincts, ou avec un nombre de facteurs premiers à la fois non distincts et distincts ou tous égaux.

L’expression de cette fonction caractéristique des nombres composés et premiers avec un nombre impair égal à 1 de facteurs premiers distincts et un nombre de facteurs premiers non distincts, 1A(omega(n)) »’ est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit la fonction de Moebius, μ(n)=((-1)^omega(n))*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)); soit l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)):

1A(omega(n)) »’=1-1A(omega(n)) »=1-(1A(omega(n))+1A(omega(n))‘)=1-( 1A(omega(n))+1A(omega(n))’)=1-( |μ(n)|-⌈μ(n)+|μ(n)|/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-⌊phi(n)/(n-(1 mod(n)))⌋+1-(1 mod(n)) +⌈(μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-1+(1 mod(n)) )   (26).

Nous pouvons déduire de cette dernière expression celle de la fonction caractéristique des nombres composés de facteurs premiers non distincts, définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n)) » »=0, si n est un entier positif avec un nombre impair supérieur ou égal à 1 de facteurs premiers distincts, ou avec un nombre pair de facteurs premiers distincts.

• 1A(omega(n)) » »=1, si n est un entier positif avec un nombre de facteurs premiers à la fois non distincts et distincts ou tous égaux.

L’expression de cette fonction caractéristique des nombres composés avec un nombre de facteurs premiers non distincts, 1A(omega(n)) » » est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit la fonction de Moebius, μ(n)=((-1)^omega(n))*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)); soit l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)):

1-(1A(omega(n))+1A(omega(n))’-1A(n ⊂ P))=1A(omega(n)) » »=1-(|μ(n)|-⌈μ(n)+|μ(n)|/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉+⌈(μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-1+(1 mod(n)))    (27).

∴

Considérons maintenant que « si tous les facteurs premiers d’un nombre sont répétés, on l’appelle un nombre puissant qui est un entier naturel m non nul tel que, pour chaque nombre premier p divisant m, p² divise aussi m ou, ce qui est équivalent, m est un carré, un cube ou le produit d’un carré par un cube« , extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre, et dont la suite de nombres puissants est représentée par S=(1,4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,72,81,100,108,121,125,128,144,169,

196,200,216,225,243,256,288,289,324,343,361,392,400,432,441,484,500,512,529,576,625,648,675,676,729,784,800,841,864,900,961,968,972,1000), dont l’expression peut être obtenue par une combinaison linéaire de l’expression précédente (27) et la fonction caractéristique de n avec un nombre de facteurs premiers distincts égal à 2, soit omega(n)=2 et avec au moins un carré de facteurs premiers déduit de l’expression de la fonction caractéristique des nombres n tel qu’omega(n)=2 définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n)=2)=0, si omega(n)≠2.

• 1A(omega(n)=2)’=1,  si omega(n)=2.

L’expression de cette fonction caractéristique des nombres tels que omega(n) est égal à 2, soit omega(n)=2 , 1A(omega(n)) » »’ est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit la fonction de Moebius, μ(n)=((-1)^omega(n))*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)); soit l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)):

1A(omega(n)=2)=⌈((-1)^omega(n)+1)/((-1)^omega(n)+2)⌉-1+(1 mod(n)))   (28).

Nous déduisons donc de cette dernière expression (28) par soustraction avec l’expression (27) la nouvelle fonction caractéristique de n avec la fonction omega(n) égale à un nombre impair et soit au moins un facteur premier au carré et au plus tous les facteurs premiers identiques si le nombre de facteurs est supérieur à 2; ou soit un nombre de facteurs premiers distincts et au moins un facteur premier au carré. Cette nouvelle fonction caractéristique est définie comme suit:

1A: N*→ {0, 1}

• 1A(omega(n)) » »’=0, si n est un entier positif et si n n’a pas de carré de facteurs premiers distincts, ou avec un nombre pair de facteurs premiers distincts.

• 1A(omega(n)) » »’=1, si n est un entier positif et si omega(n)=2 et si n a au moins un carré de facteurs premiers.

L’expression de cette fonction caractéristique des nombres avec un nombre de facteurs premiers distincts égal à 2, soit omega(n)=2 et avec au moins un carré de facteurs premiers, 1A(omega(n)) » »’ est définie comme suit:

∀ n ∈ N*; soit omega(n) le nombre de nombres premiers distincts divisant n; soit bigomega(n) ou Omega(n) le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec répétition; soit la fonction de Moebius, μ(n)=((-1)^omega(n))*(1-⌈(bigomega(n)-omega(n))/(bigomega(n)-omega(n)+1)⌉)); soit l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers 1A(n ⊂ P)=⌊1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))⌋-1+(1 mod(n))=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)):

1A(omega(n)) » »’=1A(omega(n)=2)-1A(omega(n)) » »=(⌈((-1)^omega(n)+1)/((-1)^omega(n)+2)⌉-1+(1 mod(n)))-(⌈(μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉-1+(1 mod(n)))=⌈((-1)^omega(n)+1)/((-1)^omega(n)+2)⌉-⌈(μ(n)+|μ(n)|)/(μ(n)+|μ(n)|+1)⌉  (29).

∴

Avec l’expression (29) nous n’obtenons pas encore les éléments de la fonction caractéristique des nombres puissants dans son intégralité, et pour obtenir les obtenir complètement nous devons encore 

∴

soit l’expression précédente de la fonction caractéristique 1A(n ⊂ P) multipliée par n, dont la représentation est la suite de nombres notée 1A(n ⊂ P)*n=(0,2,3,0,5,0,7,0,0,0,11,0,13,0,0,0,17,0,

19,0,0,0,23,0,0,0,0,0,29,0,31,0,0,0,0,0,37,0,0,0,41,0,43,0,0,0,47,0,0,0,0,0,53,0,0,0,0,0,59,0,61,0,0,0,0,0,67,0,0,0,71,0,73,0,0,0,0,0,79,0,0,0,83,0,0,0,0,0,89,0,0,0,0,0), (Référencée sur le site O.E.I.S., (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences sous le numéro), par le numéro « A061397« , et l’intitulé « Characteristic function sequence of primes multiplied componentwise by N, the natural numbers« ) :

∴

4.2) La fonction caractéristique simple sui generis de

Si par fonctions caractéristiques simples nous entendons une fonction caractéristique composée de deux ou plusieurs fonctions caractéristiques donc une fonction simple définie comme si et seulement si elle est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, et qui est une fonction caractéristique prenant trois valeurs de {-1,0,1} dont l’expression ne peut être entièrement composée d’une fonction plancher ou d’une fonction plafond les deux fonctions dont toute fonction caractéristique n’est qu’une combinaison linéaire soit de l’une soit de l’autre ou des deux.

∴

4.3) La fonction caractéristique non simple sui generis de l’indicatrice d’Euler

∴

« En théorie des nombres , la fonction totient d’Euler compte les entiers positifs jusqu’à un entier donné n qui sont relativement premiers à n. Il est écrit en utilisant la lettre grecque phi et peut également être appelé fonction phi d’Euler. En d’autres termes, c’est le nombre d’entiers k compris entre 1 ≤ k ≤ n pour lequel le plus grand diviseur commun pgcd (n, k) est égal à 1. Les entiers k de cette forme sont parfois appelés totatifs de n. Leonhard Euler a introduit la fonction en 1763. Cependant, il n’a choisi à ce moment-là aucun symbole spécifique pour la désigner. Dans une publication de 1784, Euler a étudié la fonction plus loin, choisissant la lettre grecque π pour la désigner: il a écrit πD pour « la multitude de nombres inférieurs à D, et qui n’ont pas de diviseur commun avec elle ». Cette définition diffère de la définition actuelle de la fonction totient à D = 1 mais est par ailleurs la même. La notation désormais standard φ(A) vient du traité de 1801 de Gauss « Disquisitiones Arithmeticae », bien que Gauss n’ait pas utilisé de parenthèses autour de l’argument et ait écrit φA . Ainsi, elle est souvent appelée fonction phi d’Euler ou simplement fonction phi . En 1879, JJ Sylvester a inventé le terme totient pour cette fonction, il est donc aussi appelée la fonction indicatrice d’Euler, l’indicatrice d’ Euler. Le totient de Jordan est une généralisation de celui d’Euler. Le cototient de n est défini par n-φ (n). Il compte le nombre d’entiers positifs inférieurs ou égaux à n qui ont au moins un facteur premier en commun avec n. « , extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

∴

Nous considérons à nouveau la fonction de Totient d’Euler, notée phi(n), qui nous donne les nombres totaux qui sont relativement premiers (co-premiers) avec n dans l’intervalle [1, n-1], c’est-à-dire le nombre d’entiers positifs non supérieurs à n qui sont premiers à n, mais qui n’est pas une fonction simple car elle n’est pas une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, et elle n’est pas l’expression de quelques valeurs, les fonctions simples n’atteignent qu’un nombre fini de valeurs, comme le montre la représentation de cette dernière expression étant la suite de nombres phi(n)=(1,1,2,2,4,2,6,4,6,4,10,4,12,6,8,8,16,6,18,8,12,10,22,8,20,12,18,12,28,8,30,16,20,16,

24,12,36,18,24,16,40,12,42,20,24,22,46,16,42,20,32,24,52,18,40,24,36,28,58,16,60,30,36,32,48,20,66,32,44….), (Référencée sur le site O.E.I.S., (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) par le numéro « A000010″, et l’intitulé « Euler totient function phi(n): count numbers <= n and prime to n.« ). Nous avons vu précédemment l’expression des égalités suivante:

1A(n ⊂ P)=⌊phi(n)/(n-(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n)) (4), le terme 1A(n ⊂ P) correspondant à la notation de la fonction caractéristique des nombres premiers. Si nous considérons maintenant l’expression a(n)=|n-phi(n)-1|   (30)

1A(n ⊂ C)=⌈|n-phi(n)-1|/(|n-phi(n)-1|+1)⌉ (31)

(Référencée sur le site O.E.I.S., (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) par le numéro « A066247″ et l’intitulé «  function of composite numbers: 1 if n is composite else 0″. S=(0,0,0,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1).

(Référencée sur le site O.E.I.S., (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) par le numéro « A002808″ et l’intitulé « The composite numbers: numbers n of the form x*y for x > 1 and y > 1. »

S=(4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40,42,44,45,46,

48,49,50,51,52,54,55,56,57,58,60,62,63,64,65,66,68,69,70,72,74,75,76,77,78,80,81,82,84,85,86,87,88). 

1A(n ⊂ P)=1-⌈|n-phi(n)-1|/(|n-phi(n)-1|+1)⌉  (32)

1A(n ⊂ P)=⌊phi(n)/(n-1+(1mod(n)))⌋-1+(1 mod(n))   (4)

∴

Mais comme la fonction de Moebius précédemment nous pouvons aussi définir les expressions correspondantes à l’utilisation de la fonction de Totient d’Euler pour différencier les nombres composés en fonction de leurs facteurs premiers. 

a(n)=phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n)))  (33)

a(n)=phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n)))  (34)

a(n)=(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1   (35)

Caractéristique de n avec un nombre de facteurs premiers au moins au carré:

⌈((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)/(((phi(n)/(omega(n)

+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)+1)⌉   (36)

∴

Caractéristique des nombres n tels que leurs nombres de facteurs premiers avec répétition est égal à 5 avec un cube ou 2 carrés:

1A(n)=(bigomega(n)-omega(n))*(⌈((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)/(((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)+1)⌉-⌈⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋/(⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋+1)⌉) – ⌈((bigomega(n)-omega(n))*(⌈((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)/(((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)+1)⌉-⌈⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋/(⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋+1)⌉) ) / ((bigomega(n)-omega(n))*(⌈((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)/(((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)+1)⌉-⌈⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋/(⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋+1)⌉) +1) ⌉       (37)

∴

Caractéristique des nombres n tels que leurs nombre de facteurs premiers distincts et avec répétition qui ont un seul carré, donc au moins 3 facteurs et au moins 2 distincts.

1A(n)=⌈((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)/(((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)+1)⌉-⌈⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋/(⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋+1)⌉ – ((bigomega(n)-omega(n))*(⌈((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)/(((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)+1)⌉-⌈⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋/(⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋+1)⌉) – ⌈((bigomega(n)-omega(n))*(⌈((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)/(((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)+1)⌉-⌈⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋/(⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋+1)⌉) ) / ((bigomega(n)-omega(n))*(⌈((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)/(((phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1)+1)⌉-⌈⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋/(⌊(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1⌋+1)⌉) +1) ⌉)   (38)

∴

Considérons que les deux formules précédentes  (37) et (38) ne sont que des cas particuliers que nous devons donc généraliser pour obtenir leurs expressions simplifiées correspondantes à une seule expression systématisée par des variables a et b et soit les termes de l’expression a(n)=1/(bigomega(n)+1-(1mod(n)) (13) et a(n)=phi(n)/(n-(1mod(n))) (14), déduite de la division de l’expression (14) par l’expression (13) soit a(n)=(phi(n)/(n-1+(1mod(n))))/(1/(bigomega(n)+1-(1mod(n))) (17); soit les termes de l’expression a(n)=phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))) (33) et a(n)=phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))) (34), déduite de la division de l’expression (33) par l’expression (34), a(n)=(phi(n)/(omega(n)+1-(1 mod(n))))/(phi(n)/(bigomega(n)+1-(1 mod(n))))-1  (35).

∴

∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ᵦ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ)