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 Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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IV’) LA FONCTION DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE FONDAMENTALE SIMPLE 

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1.1.c) la fonction de segmentation caractéristique simple inférieure équivalente à la fonction de déplacement après une valeur d’une suite de nombres 

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Considérons le type de fonction caractéristique fondamentale simple d’un intervalle du rang des valeurs de n’importe quelle suite de nombres correspondants appartenant à R indicées par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a>=n>a+h
• 1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1,précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et cette fonction indicatrice est représentée par la suite de nombre n ∈ {0,1}, S =(1,1,1,1,1,…,0,0,0,0,….1,1,1,1,1,1,1,….1,1), à laquelle nous appliquons maintenant la première fonction de segmentation caractéristique inférieure qui est notée Sgmtval₍ₙ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₊ₕ, nₙ₊ₕ₊₁, nₙ₊ₕ₊₂, nₙ₊ₕ₊₃...nₙ₌ₚ}⊆ N*)et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>=h
• 1A(n)=0, si n<h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette première fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₊ₕ, nₙ₊ₕ₊₁, nₙ₊ₕ₊₂, nₙ₊ₕ₊₃...nₙ₌ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈n/(p-h+1)⌉-⌈|n/(p-h+1)-1|⌉ (7), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

∴

Considérons un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l’expression (1) nous obtenons:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (7) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₊ₕ, nₙ₊ₕ₊₁, nₙ₊ₕ₊₂, nₙ₊ₕ₊₃...nₙ₌ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈n/(30-7+1)⌉-⌈|n/(30-7+1)-1|⌉ (7′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₊ₕ, nₙ₊ₕ₊₁, nₙ₊ₕ₊₂, nₙ₊ₕ₊₃...nₙ₌ₚ}⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

∴

1.1.d) la fonction de segmentation caractéristique simple inférieure équivalente à la fonction de déplacement après une valeur d’une suite de nombres

∴

Une deuxième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>a
• 1A(n)=0, si n<=a

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette deuxième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, n₌ₐ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(a+1)-1|⌉+⌈n/(a+1)⌉ (8), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite de nombres d’expression (1).

∴

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (8) on obtient:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>a
• 1A(n)=0, si n<=a

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette deuxième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

Soit a=10, h=7, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(10+1)-1|⌉+⌈n/(10+1)⌉(8′),et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

∴

Une troisième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ., nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₂, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>=-a-h+p
• 1A(n)=0, si n<-a-h+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette troisième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ., nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₂, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*))=-⌈|n/(p-h-a+1)-1|⌉+⌈n/(p-h-a+1)⌉ (9); avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite de nombres d’expression (1).

∴

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit a=10, h=7, et en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (9) on obtient:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>=-a-h+p
• 1A(n)=0, si n<-a-h+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette troisième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

Soit a=10, h=7, p=30, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ., nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₂, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*))=-⌈|n/(30-7-10+1)-1|⌉+⌈n/(30-7-10+1)⌉ (9′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ., nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₂, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*))=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

∴

Une quatrième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₐ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ₊ₕ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>=a+h
• 1A(n)=0, si n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette quatrième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ₊ₕ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(a+h+1)-1|⌉+⌈n/(a+h+1)⌉ (10), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite de nombres d’expression (1).

∴

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (10) on obtient:

Soit a=10, h=7, p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ₊ₕ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ}⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(10+7+1)-1|⌉+⌈n/(10+7+1)⌉ (10′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₐ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ₊ₕ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ}⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

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Une cinquième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₊ₚ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>=-a+p
• 1A(n)=0, si n<-a+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette cinquième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₊ₚ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(-a+p+1)-1|⌉+⌈n/(-a+p+1)⌉ (11), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite de nombres d’expression (1).

∴

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, h=7, p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₊ₚ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*))=1A(n)=-⌈|n/(-10+30+1)-1|⌉+⌈n/(-10+30+1)⌉ (11′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₊ₚ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

∴

Une sixième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₚ₋ₕ, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₁, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₂, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n>=p-h
• 1A(n)=0, si n<p-h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette sixième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₚ₋ₕ, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₁, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₂, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(p-h+1)-1|⌉+⌈n/(p-h+1)⌉ (12), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite d’expression (1).

∴

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10, et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (12) on obtient: Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₚ₋ₕ, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₁, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₂, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=-⌈|n/(30-7+1)-1|⌉+⌈n/(30-7+1)⌉ (12′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₚ₋ₕ, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₁, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₂, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1).

∴

1.1.e) la fonction de segmentation caractéristique simple inférieure équivalente à la fonction de déplacement avant une valeur d’une suite de nombres

∴

Considérons encore comme précédemment le type de fonction caractéristique fondamentale simple d’un intervalle du rang des valeurs de n’importe quelle suite de nombres correspondantes appartenant à R indicés par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a>=n>a+h
• 1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et cette fonction indicatrice est représenté par la suite de nombre n ∈ S ⊆ N* à laquelle correspond le premier type de fonction de segmentation caractéristique inférieure

équivalente à la fonction de déplacement avant qui est notée Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a<n<=a+h
• 1A(n)=0, si a=>n>a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à ce premier type de fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ p ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=-⌈|n/(a+1)-1|⌉+⌈n/(a+1)⌉+⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉ (13), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1,précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1).

∴

Considérons un exemple pour illustrer nos deux expressions précédentes, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (13) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=-⌈|n/(10+1)-1|⌉+⌈n/(10+1)⌉+⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉ (13′) et sa représentation correspondante à la séquence 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).

∴

Un deuxième type fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ₋ₕ}⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a<n<=p-h
• 1A(n)=0, si a>n>p-h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à ce deuxième type de fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₐ , nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ₋ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(p-h+1)-1|⌉-⌈n/(p-h+1)⌉-⌈|n/(a+1)-1|⌉+⌈n/(a+1)⌉ (14), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

∴

Considérons toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (14) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₐ , nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ₋ₕ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30-7+1)-1|⌉-⌈n/(30-7+1)⌉-⌈|n/(10+1)-1|⌉+⌈n/(10+1)⌉ (14′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₐ , nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ₋ₕ}⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0).

∴

Un troisième type fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₕ..ₙ₌₋ₐ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₊ₚ}⊆ N*)

, et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si h<n<=-a+p
• 1A(n)=0, si h>n>-a+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à ce troisième type de fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₕ..ₙ₌₋ₐ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₊ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(p-a+1)-1|⌉-⌈n/(p-a+1)⌉-⌈|n/(h+1)-1|⌉+⌈n/(h+1)⌉ (15); avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

∴

Considérons toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (15) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₕ..ₙ₌₋ₐ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₊ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30-10+1)-1|⌉-⌈n/(30-10+1)⌉-⌈|n/(7+1)-1|⌉+⌈n/(7+1)⌉ (15′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₕ..ₙ₌₋ₐ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₊ₚ}⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).

∴

Un quatrième type fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₕ₊ₐ..ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ₊ₐ, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ}⊆ N*), et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si h+a<n<=-a-h+p
• 1A(n)=0, si h+a>n>-a-h+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à ce quatrième type de fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₕ₊ₐ..ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ₊ₐ, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(-a-h+p+1)-1|⌉-⌈n/(-a-h+p+1)⌉-⌈|n/(h+a+1)-1|⌉+⌈n/(h+a+1)⌉ (16); avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

∴

Considérons toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (16) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₕ₊ₐ..ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ₊ₐ, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(-10-7+30+1)-1|⌉-⌈n/(-10-7+30+1)⌉-⌈|n/(7+10+1)-1|⌉+⌈n/(7+10+1)⌉ (16′); et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₕ₊ₐ..ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ₊ₐ, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ}⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).