IV) LA FONCTION DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE FONDAMENTALE SIMPLE ET SES FONCTIONS DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE SIMPLE DÉRIVÉES

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En mathématiques, le terme de « segmentation » n’apparait qu’en analyse statistique à propos du « problème de détection de ruptures qui est un problème de régression ayant pour but d’estimer les instants où un signal présente des changements dans la distribution. De manière plus générale, on réalise de la détection de ruptures pour un signal ayant des changements dans la distribution (par exemple, dans la moyenne et la variance). La segmentation binaire cherche à la première itération l’indice de l’instant de ruptures« . Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre. Ainsi donc si nous considérons que deux sous suites de nombres de valeurs de l’ensemble {0;1} correspondent à un exemple de signal ayant des changements dans la moyenne, soit les valeurs de 0 représentant ce changement, tandis que les valeurs de 1 représentent la continuité du signal, soit la continuité de valeur non nulle étant le signal même, nous pouvons donc définir la forme du segment de valeurs non nulles et du segment de valeurs nulles comme le résultat de la fonction de segmentation caractéristique. Mais même par cette analogie entre les fonctions caractéristiques et des segmentations binaires nous n’avons pas pour autant défini parfaitement notre objet mathématique, les segments, que nous définissons donc généralement comme le résultat de la fonction de segmentation caractéristique équivalente à la fonction caractéristique des sous-suites de valeurs successives nulles ou non nulles d’une suite de nombres 0 et 1, valeurs résultant de toute autre fonction caractéristique, d’une suite de nombres appartenant à N ou R; un peut plus précisément c’est à dire pratiquement, nous avons définie la fonction de segmentation caractéristique dans la rubrique consacrée à l’introduction aux nouvelles fonctions comme N°1′ la fonction de segmentation caractéristique de plusieurs éléments successifs ou non appartenant à une suite de nombres notée SeqA, notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ…xₙ₌ₐ} ⊆ SeqA). Encore un peu plus précisément, car conceptuellement la segmentation caractéristique est le processus d’identification des unités élémentaires d’une suite de nombres appartenant au sous-ensemble {0,1} d’une fonction caractéristique, soit donc la segmentation comme le processus d’identification des sous-suites d’élément successif identiques soit à la valeur de 0, soit à la valeur de 1, est donc similaire à un processus de compression, puisque nous séparons la séquence originale en 2 segments continus de valeur 0 et 1; mais aussi à un processus de déplacement d’une sous suite de valeurs successives identiques à 1 ou 0, avec concaténation ou non des segments représentant ces sous-suites.

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Comme précédemment pour les fonctions d’annulation dont l’expression correspondante peut être considérée comme étant celles de n’importe quelle fonction caractéristique, pourvu que sa représentation de sa suite de nombres comporte au moins un élément dont la valeur est égale à 0, pour opérer au moins une annulation par multiplication, qui nécessite donc d’élaborer une distinction efficace entre toutes les fonctions caractéristiques pour déterminer une fonction caractéristique plus efficacement correspondant à une fonction d’annulation que d’autres il s’agit ici d’opérer la même distinction, semble-t-il, inversement soit différencier ce qui fait qu’une fonction caractéristique correspond plus efficacement à une fonction de segmentation que d’autres puisque toute fonction caractéristique est aussi nécessairement une fonction de segmentation, soit de composition de segments de valeurs successives exclusivement égales à la valeur de 0 ou égale à la valeur de 1. Cette distinction est possible en considérant soit que la représentation de la fonction caractéristique présente une quantité de valeurs de 1 supérieure à la quantité de valeurs de 0, correspond donc à celle d’une fonction de segmentation et à l’inverse d’une fonction d’annulation si la quantité de valeurs de 0 est supérieure à celle de valeurs 1; mais elle est trop artificielle, car la différence entre les deux types de fonctions de segmentation et d’annulation est ambiguë puisqu’une petite quantité d’annulations comme une grande quantité d’annulations est toujours une annulation et ne permet plus la différence entre segmentation et annulation donc! Cette distinction est encore possible en considérant et en apparence tout aussi arbitrairement que précédemment en considérant la quantité de valeurs 1 et 0, que la représentation de la suite de nombres appartenant toute à l’ensemble {0,1} doit commencée par une certaine quantité de valeur 1, soit au moins une pour correspondre à la représentation d’une fonction de segmentation caractéristique; mais elle est une distinction plus efficace, car moins artificielle que précédemment, car cohérente avec la représentation élémentaire de tout processus de segmentation maximale soit une suite de valeurs exclusivement de 1, ce que nous illustrons comme suit:

Considérons le type de fonction caractéristique fondamentale simple (un concept que nous définissons ultérieurement) d’un intervalle du rang des valeurs de n’importe quelle suite de nombres correspondants appartenant à R indicées par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a>=n>a+h
• 1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et cette fonction indicatrice est représenté par la suite de nombre n ∈ {0,1}, S =(1,1,1,1,1,…,0,0,0,0,….1,1,1,1,1,1,1,….1,1), à laquelle nous appliquons maintenant la première fonction de segmentation caractéristique supérieure qui est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ}⊆ N*) ∖ Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ}⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n<=p-h
• 1A(n)=0, si n>p-h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondant à cette première fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖ Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(p-h+1)-1|⌉-⌈n/(p-h+1)⌉+1 (2), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

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Considérons maintenant un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l’expression (1) nous obtenons:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…1,1); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (2) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30-7+1)-1|⌉-⌈n/(30-7+1)⌉+1 (2′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0).

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La fonction de segmentation caractéristique maximum que nous appliquons à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n<=p
• 1A(n)=0, si n>p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondant à cette fonction de segmentation caractéristique maximum peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) =1A(n)=⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1 (6); avec la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

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Considérons encore et toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (6) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30+1)-1|⌉-⌈n/(30+1)⌉+1 (6′), et sa représentation correspondante à la séquence de la fonction de segmentation caractéristique maximum notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

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Cette dernière représentation fait que nous choisissons comme critère de distinction d’une fonction de segmentation caractéristique des autres fonctions caractéristiques la présence au minimum de deux éléments de valeurs non nul comme deux premières valeurs de la suite de nombres représentant cette fonction caractéristique (une quantité non choisie arbitrairement, mais pour distinguer la fonction de segmentation de la fonction de terminaison) que nous développons ultérieurement. Néanmoins pour entériner cette distinction et contribuer à supprimer toute trace d’ambiguïté par usage normalisateur, je distingue encore entre les fonctions de segmentation caractéristique dérivées de la fonction fondamentales simples comme fonction de segmentation caractéristique supérieure représentée par une suite de nombres commençant par des valeurs non nulles et fonctions de segmentation caractéristique inférieures représentées par des valeurs nulles.

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Nous commençons donc notre exposé sur les fonctions de segmentation caractéristique dérivées d’une fonction de segmentation caractéristique fondamentale de suites de nombres appartenant à l’ensemble {0,1} en général, et ici en particulier une fonction de segmentation caractéristique fondamentale simple, c’est à dire dont la quantité de segments de valeurs correspondant aux sous suites de valeurs successives de 0 et de 1, est limitée soit à un seul pour le segment correspondant à la sous-suite de valeur 0, et à deux pour les segments correspondant aux deux sous suites de valeurs 1, ce qui donne le nom général de cette forme que prend la représentation de ces types de suites de nombres appartenant au sous-ensemble {0,1} de segmentation alternée, mais non répétée de la fonction de « segmentation caractéristique fondamentale simple« , car ce dernier terme utilisé dans l’intitulé de notre rubrique signifie que la quantité de sous suite de nombre de valeurs nulles résultant d’une fonction caractéristique est limitée à un seul segment de valeurs successives et donc un segment non répété comme ce sera le cas contraire dans l’intitulé de nos deux rubriques suivantes de segmentation caractéristique fondamentale symétrique et asymétrique.

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Au sous-titre, 1.1.a) nous considérons la première fonction de segmentation caractéristique dérivée d’une fonction de segmentation caractéristique fondamentale simple soit par extension, la fonction de segmentation caractéristique simple supérieure, comme étant toujours équivalente à une fonction de compression « vers la gauche », donc avant la première valeur d’une suite de nombres représentant une fonction caractéristique ce qui correspond à un processus d’élimination des valeurs nulles et de déplacement de la sous-suite obtenue de valeurs non nulles successives donc toutes égales à 1, vers la gauche des valeurs originelles de la séquence avant sa compression donc une sous suite de valeurs 1 au début de la nouvelle suite avec un déplacement correspondant des valeurs nulles vers la droite de la séquence originelle, soit d’une sous suite de valeurs successives nulles; un processus de compression donc définit par la nomenclature N° 14′ et N° 15′, la fonction de compression et la fonction de décompression d’une sous-suite des valeurs non nulles de la suite de nombres notée SeqA, soit les fonctions représentées respectivement par les notations Cmprsav(Sgmtval(SeqA)) et Dcmprsav(Sgmtval(SeqA)), sachant que nous définirons l’opération de compression d’une suite de nombres comme correspondant à l’élimination d’une ou de plusieurs valeurs de la suite de nombres notée SeqA sans annulations et l’opération de décompression comme correspondant à l’insertion d’une série de valeurs nulles entre deux ou plusieurs des valeurs de la suite de nombres notée SeqA.

Tandis qu’au sous-titre 1.1.b) nous considérons les autres fonctions de segmentation caractéristique simple supérieure que nous élaborons sont toujours équivalentes à une modification de cette première fonction de segmentation caractéristique supérieure par la fonction de déplacement soit N° 17′, la fonction de déplacement après une valeur de la suite de nombres notée SeqA, d’une sous suite de nombres non nulle, soit la fonction représentée respectivement par la notation Dplmtap(Sgmtval(SeqA)) dans le cas d’un déplacement de plusieurs valeurs successives d’une sous-suite de valeurs de SeqA après une valeur donnée de cette suite; et de concaténation soit N° 18′, la fonction de concaténation, correspondant au processus de l’ajout de plusieurs valeurs avant la première ou après la dernière valeur de la suite de nombres SeqA et notée Cctnte(Sgmtval(SeqA)), et simultanément ou non de décompression comme correspondant à l’insertion d’une série de valeurs nulles entre deux ou plusieurs des valeurs de la suite de nombres notée SeqA.

Au sous-titre 1.1.c), nous considérons la première fonction de segmentation caractéristique simple inférieure équivalente à une fonction de compression « vers la droite », donc après la première valeur d’une suite de nombres représentant une fonction caractéristique ce qui correspond à un processus d’élimination des valeurs nulles et de déplacement de la sous-suite obtenue de valeurs non nulles successives donc toute égale à 1, vers la droite des valeurs originelles de la séquence avant sa compression donc une sous suite de valeurs 1 à la fin de la nouvelle suite avec un déplacement correspondant des valeurs nulles vers la gauche de la séquence originelle, soit d’une sous suite de valeurs successives nulles; un processus de compression donc définit par la nomenclature N° 14 » et N° 15 », la fonction de compression et la fonction de décompression d’une sous-suite des valeurs non nulles de la suite de nombres notée SeqA, soit les fonctions représentées respectivement par les notations Cmprsap(Sgmtval(SeqA)) et Dcmprsap(Sgmtval(SeqA)).

Enfin au quatrième sous-titre 1.1.d), nous considérons que les autres fonctions de segmentation caractéristique simple inférieure que nous élaborons sont toujours équivalentes à une modification de cette première fonction de segmentation caractéristique inférieure par la fonction de déplacement soit N° 17 la fonction de déplacement avant une valeur de la suite de nombres notée SeqA, d’une sous suite de nombres non nulle soit la fonction représentée respectivement par la notation Dplmtav(Sgmtval(SeqA)) dans le cas d’un déplacement de plusieurs valeurs successives d’une sous-suite de valeurs de SeqA avant une valeur donnée de cette suite.

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1.1.a) la fonction de segmentation caractéristique simple supérieure équivalente à la fonction de compression « gauche »

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Considérons le type de fonction caractéristique fondamentale simple d’un intervalle du rang des valeurs de n’importe quelle suite de nombres correspondants appartenant à R indicées par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a>=n>a+h
• 1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et cette fonction indicatrice est représenté par la suite de nombre n ∈ {0,1}, S =(1,1,1,1,1,…,0,0,0,0,….1,1,1,1,1,1,1,….1,1), à laquelle nous appliquons maintenant la premiere fonction de segmentation caractéristique supérieure qui est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ}⊆ N*) ∖ Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ}⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n<=p-h
• 1A(n)=0, si n>p-h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette première fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖ Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(p-h+1)-1|⌉-⌈n/(p-h+1)⌉+1 (2), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

∴

Considérons un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l’expression (1) nous obtenons:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…1,1); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (2) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30-7+1)-1|⌉-⌈n/(30-7+1)⌉+1 (2′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0).

∴

1.1.b) la fonction de segmentation caractéristique simple supérieure équivalente à la fonction de déplacement avant une valeur d’une suite de nombres

∴

Considérons encore le type de fonction caractéristique fondamentale simple d’un intervalle du rang des valeurs de n’importe quelle suite de nombres correspondants appartenant à R indicées par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si a>=n>a+h
• 1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1,précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et cette fonction indicatrice est représenté par la suite de nombre n ∈ {0,1}, S =(1,1,1,1,1,…,0,0,0,0,….1,1,1,1,1,1,1,….), à laquelle nous appliquons la deuxième fonctions de segmentation caractéristique supérieure qui est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n<=a
• 1A(n)=0, si n>a

Cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette deuxième fonction de segmentation caractéristique supérieure, peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*)=⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1 (3), avec encore la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1).

∴

Considérons un exemple pour illustrer nos deux expressions précédentes, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…1,1); en remplaçant dans l’expression (3) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*)=⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1 (3′) et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0…).

∴

Un troisième fonction de segmentation caractéristique supérieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ}⊆ N*) correspond à la fonction caractéristique que nous définissons comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n<=a+h
• 1A(n)=0, si n>a+h

L ‘expression de cette fonction indicatrice particulière correspondante à cette troisième fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(a+h+1)-1|⌉-⌈n/(a+h+1)⌉+1 (4), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1).

∴

Considérons le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…1,1); en remplaçant dans l’expression (4) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(10+7+1)-1|⌉-⌈n/(10+7+1)⌉+1 (4′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…).

∴

Une quatrième fonction de segmentation caractéristique supérieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n<=h
• 1A(n)=0, si n>h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette quatrième fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1 (5), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous-suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1).

∴

Considérons toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (5) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(7+1)-1|⌉-⌈n/(7+1)⌉+1 (5′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…).

∴

Une cinquième fonction de segmentation caractéristique supérieure, que nous avons déjà développé dans notre introduction, que nous reprenons par cohérence de la forme de notre développement des fonctions de segmentation symétrique supérieure dans ce sous titre, et que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(n)=1, si n<=p
• 1A(n)=0, si n>p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette cinquième fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) =1A(n)=⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1 (6); avec la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

∴

Considérons encore et toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (6) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30+1)-1|⌉-⌈n/(30+1)⌉+1 (6′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).