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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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« Une fonction caractéristique est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E, et qui est notée 1A, (une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I (i majuscule). Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité. Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E est une fonction:

1A: E→ {0,1}

x↦ 1 si x ∈  E: 1A(x)=1

x↦ 0 si x ∉  E: 1A(x)=0″, extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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II) LES FONCTIONS LINÉAIRES PAR MORCEAUX ET LES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES

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2.1) Les fonctions linéaires par morceaux caractéristiques simples

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« Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)) introduisit le mot «fonction» vers 1692. Leibniz lui-même attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation. – De la nature des mathématiques par Philip E. B. Jourdai. »

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Comme précédemment, nous considérons dans ce premier paragraphe qu’à la question de « pourquoi créer de nouvelles fonctions caractéristiques?« , la première réponse correspondante est à cause de l’inexistence d’une formule de l’expression des fonctions linéaires par morceaux définis en général avec, x ∈ R par l’expression χA(x), la fonction indicatrice des intervalles A, définie comme suit:

χA(x): {1 if x ∈ A; 0 if x ∉ A. Mais plus précisément, les fonctions caractéristiques sont fondamentales à l’élaboration de l’expression des fonctions linéaires par morceaux.

En général, les fonctions linéaires par morceaux peuvent être définies en utilisant la commune notation fonctionnelle, où le corps de la fonction est un tableau de fonctions et de sous-domaines associés. Ces sous-domaines doivent couvrir l’ensemble du domaine; souvent, il est également nécessaire qu’ils soient disjoints par paires, c’est-à-dire qu’ils forment une partition du domaine. Pour que la fonction globale soit appelée « par morceaux », les sous-domaines doivent généralement être des intervalles (certains peuvent être des intervalles dégénérés, c’est-à-dire des points uniques ou des intervalles illimités). Pour les intervalles bornés, le nombre de sous-domaines doit être fini, pour les intervalles illimités, il est souvent seulement nécessaire d’être localement finis.

En particulier, une fonction linéaire par morceaux par définition est une fonction à valeur réelle d’une variable réelle, dont le graphique est composé de segments de ligne droite et définie sur un intervalle éventuellement illimité de nombres réels, de sorte qu’il existe une collection d’intervalles sur chacun desquels la fonction est une fonction affine (une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes). Par exemple la fonction de valeur absolue est une fonction définie par morceaux par définition par de multiples sous-fonctions, où chaque sous-fonction s’applique à un intervalle différent du domaine; il s’agit en fait d’une façon d’exprimer la fonction, plutôt que d’une caractéristique de la fonction elle-même.

Une notion distincte, mais connexe, est celle d’une propriété détenant par morceaux pour une fonction, utilisée lorsque le domaine peut être divisé en intervalles sur lesquels la propriété tient. Contrairement à la notion de fonction linéaire par morceaux par définition, et il s’agit en fait d’une propriété de la fonction elle-même. Les exemples de ces autres types de fonctions linéaires par morceaux par propriété incluent la fonction en dents de scie et la fonction de plancher.

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Le premier exemple est la fonction de valeur absolue est une fonction définie par morceaux par définition par de multiples sous-fonctions, où chaque sous-fonction s’applique à un intervalle différent du domaine; il s’agit en fait d’une façon d’exprimer la fonction, plutôt que d’une caractéristique de la fonction elle-même. La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux définie sur ℝ par :

• |x|= -x, si x < 0
• |x|= x , si x ≥ 0

L’expression de cette fonction est |x|=2*x*⌈x/(|x|+1)⌉-x*⌈|x|/(|x|+1)⌉  (1); mais en fait elle est décomposable en la multiplication de x par la fonction caractéristique du signe, soit la première fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=-1 si x<0, ou x/|x|<0, ou |x|/x<0
• 1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=0 si x=0
• 1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=1 si x>0, ou x/|x|>0, ou |x|/x>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=sgn(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ R:

sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉   (1)’.

Soit en finalité la fonction caractéristique du signe multiplié par x définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(|x|/x)*x=1A(x/|x|)*x=-1*x si x<0, ou x/|x|<0, ou |x|/x<0
• 1A(|x|/x)*x=1A(x/|x|)*x=0 si x=0
• 1A(|x|/x)*x=1A(x/|x|)*x=1*x si x>0, ou x/|x|>0, ou |x|/x>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(|x|/x)*x=1A(x/|x|)*x=sgn(x)*x, est définie comme suit:

∀ x ∈ R; soit sgn(x)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉: 

|x|=sgn(x)*x   (2).

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Ensuite toujours parmi ces fonctions linéaires par morceaux, nous considérons la fonction de rampe qui est une fonction réelle élémentaire, dont le graphe à la forme d’une rampe. Elle peut être exprimée par de nombreuses définitions, comme la fonction dont la valeur est « 0 pour les impulsions entrées négatives », ou bien encore la fonction dont « la valeur d’impulsion à la sortie est égale à la valeur d’impulsion à l’entrée pour les entrées non négatives ». Le terme «rampe» peut également être utilisé pour d’autres fonctions obtenues par mise à l’échelle et décalage, et la fonction est la fonction de rampe unitaire est la fonction de pente 1, à partir de 0. La fonction de rampe, R(x), ou « fonction indicatrice de pente », soit la fonction caractéristique définie comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(0<=x)=0, si x<0,
• 1A(0=0;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(0<=x<1)=R(x), dont la formule est R(x)=(x+|x|)/2 et que nous pouvons donc compléter comme suit, est:

∀ x ∈ R: 

1A(0<=x<1)=R(x)=(⌈(x+|x|)/(|2x|+1)⌉+(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉))*x   (3)

1A(0<=x<1)=R(x)=((1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉)*x     (4)

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2.2) Les fonctions linéaires par morceaux caractéristiques systématiques

∴

« Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)) introduisit le mot «fonction» vers 1692. Leibniz lui-même attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation. – De la nature des mathématiques par Philip E. B. Jourdai. »

∴

Nous considérons comme dans le deuxième paragraphe de notre rubrique précédente qu’à la question de « pourquoi créer de nouvelles fonctions caractéristiques?« , la deuxième réponse correspondante est que pour systématiser les fonctions linéaires par morceaux, soit élaborer une seule expression correspondante à une seule fonction générale linéaire par morceaux, nous pouvons considérer qu’une fonction linéaire par morceaux par propriété, f(x), est une fonction par morceaux, composée de segments de ligne définie exhaustivement par plusieurs sous-fonctions, a(x), b(x), c(x), d(x), e(x), f(x), g(x), avec chaque sous-fonction valide sur un intervalle différent dans le domaine, et composée de segments de lignes définies en général par l’ensemble de tous ces cas particuliers de la fonction linéaire par morceaux f(x), qui se trouve être la représentation d’un ensemble de fonctions caractéristiques définies comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(x>a)=0, si x<=a,
• 1A(x>a)=1, si x>a;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x>a)=a(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R: 

a(x)=1A(x>a)=⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉    (1).

 a(x)=1A(x>a)=⌈(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(-x+a)/(|-x+a|+1)⌉)⌉-⌈(-x+a)/|(-x+a)|+1)⌉      (1′).

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(x>=b)=0, si x<b,
• 1A(x>=b)=1, si x>=b;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x>=b)=b(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

b(x)=1A(x>=b)=1-⌈(-x+b)/(|(-x+b)|+1)⌉     (2).

b(x)=1A(x>=b)=⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉    (2′).

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(x>c)=0, si x<c,
• 1A(x>c)=1, si x>c;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x>c)=c(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ c ∈ R: 

c(x)=1A(x>c)=⌈(x-c)/(|x-c|+1)⌉-1+⌈(⌈(x-c)/(|x-c|+1)⌉)+⌈(-x+c)/(|-x+c|+1)⌉)⌉  (3).

∀ x ∈ R, ∀ c ∈ R:

c(x)=1A(x>c)=2*(⌈(⌈(x-c)/(|x-c|+1)⌉)+⌈(-x+c)/(|-x+c|+1)⌉)⌉)-⌈(-x+c)/|(-x+c)|+1)⌉-1   (3′).

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(xd,
• 1A(x<d)=1, si x<d;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x<d)=d(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ d ∈ R:

d(x)=1A(x<d)=⌈(-x+d)/(|-x+d|+1)⌉    (4).

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(xe,
• 1A(x<=e)=1, si x<=e;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x<=e)=e(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ e ∈ R: 

e(x)=1A(x<=e)=1-⌈(⌈(x-e)/(|x-e|+1)⌉)+⌈(-x+e)/(|-x+e|+1)⌉)⌉+⌈(-x+e)/|(-x+e)|+1)⌉   (5).

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(xf,
• 1A(x<f)=1, si x<f;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x<f)=f(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ f ∈ R:

f(x)=1A(x<f)=⌈(-x+f)/(|-x+f|+1)⌉-1+⌈(⌈(x-f)/(|x-f|+1)⌉)+⌈(-x+f)/(|-x+f|+1)⌉)⌉    (6).

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(x=g)=0, si x≠g
• 1A(x=g)=1, si x=g;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x=g)=g(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ g∈ R:

g(x)=1A(x=g)=1-⌈(⌈(x-g)/(|x-g|+1)⌉)+⌈(-x+g)/(|-x+g|+1)⌉)⌉    (7).

∴

Nous avons donc défini précédemment 7 sous-fonctions générales, soit, a(x)=1A(x>a), b(x)=1A(x>=b), c(x)=1A(x>c), d(x)=1A(x<d), e(x)=1A(x<=e), f(x)=1A(x<f) et g(x)=1A(x=g), chacune correspondantes à une fonction caractéristique, et que nous pouvons composées entre elles par les opérations d’arithmétique classique sur les réels puisqu’ à chaque fonction caractéristique que nous avons définie correspond un sous-ensemble d’éléments de la Séquence SeqA telle que x ∈ SeqA ⊂ R, soit x*a(x)=1A(x>a)*x ∈ SeqA ⊂ R; x*b(x)=1A(x>=b)*x ∈ SeqA ⊂ R; x*c(x)=1A(x>c)*x ∈ SeqA ⊂ R; x*d(x)=1A(x<d)*x ∈ SeqA ⊂ R; x*e(x)=1A(x<=e)*x ∈ SeqA ⊂ R; x*f(x)=1A(x<f)*x ∈ SeqA ⊂ R; et x*g(x)=1A(x=g)*x ∈ SeqA ⊂ R; cette composition par opération arithmétique sur ces sous-fonctions caractéristiques multipliées par les valeurs correspondantes de la SeqA résultera dans la fonction générale d’une fonction linéaire par morceaux, mais avant de généraliser encore l’expression de cette composition de sous fonctions comme nous l’avons fait précédemment, nous illustrerons ce processus par quelques exemples néanmoins systématisés par leurs usages plus  fréquents que d’autres, soit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(0a’)=0, si 0>x<a',
• 1A(0a’)=1, si x>0 et x>a’;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(0a’), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a’ ∈ R:

1A(0a’)=⌈(|x|-a’)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-a’)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉  (8)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(0=a’)=0, si 0>x<a',
• 1A(0=a’)=1, si x>0 et x>=a’;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(0=a’), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a’ ∈ R:

1A(0=a’)=⌈(|x|-a’)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-a’)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-a’)/(|x-a’|+1)⌉)+⌈(-x+a’)/(|-x+a’|+1)⌉)⌉   (8′)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(0a’)=0, si 0>x<a',
• 1A(0a’)=1, si x>=0 et x>a’;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(0a’), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a’ ∈ R:

1A(0a’)=⌈(|x|-a’)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-a’)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉    (8 »)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(0=a’)=0, si 0>x<a',
• 1A(0=a’)=1, si x>=0 et x>=a’;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(0=a’), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a’ ∈ R:

1A(0=a’)=⌈(|x|-a’)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(|x|-a’)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-a’)/(|x-a’|+1)⌉)+⌈(-x+a’)/(|-x+a’|+1)⌉)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉     (8 »’)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-1<x<b)=0, si xb
• 1A(-1<x-1 et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-1<x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(-1<x<b)=⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(b-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(b-|x|))|+1)⌉-1+⌈(⌈(x+1)/(|x+1|+1)⌉+⌈(-x-1)/(|-x-1|+1)⌉)⌉  (9)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-1<=x<b)=0, si xb
• 1A(-1<=x=-1 et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-1<=x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(-1<=x<b)=⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(b-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(b-|x|))|+1)⌉   (9′)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-1<x<=b)=0, si xb
• 1A(-1<x-1 et x<=b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-1<x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(-1<x<=b)=⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(b-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(b-|x|))|+1)⌉-1+⌈(⌈(x+1)/(|x+1|+1)⌉+⌈(-x-1)/(|-x-1|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉      (9 »)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-1<=x<=b)=0, si xb
• 1A(-1<=x=-1 et x<=b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-1<=x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(-1<=x<=b)=⌈((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(b-|x|))/(|((⌈|x|/(|x|+1)⌉-⌈x/(|x|+1)⌉)*(b-|x|))|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉     (9 »’)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(0<x<b)=0, si xb
• 1A(0<x0 et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(0<x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(0<x<b)=⌈(b-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉    (10)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(0<=x<b)=0, si xb
• 1A(0<=x=0 et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(0<=x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(0<=x<b)=⌈(b-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉   (10′)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(0<x<=b)=0, si xb
• 1A(0<x0 et x<=b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(0<x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(0<x<=b)=⌈(b-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉   (10 »)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(0<=x<=b)=0, si xb
• 1A(0<=x=0 et x=<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(0<=x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(0<=x<=b)=⌈(b-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉)/(|(b-|x|)*⌈x/(|x|+1)⌉|+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉   (10 »’)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-b<x<b)=0, si xb
• 1A(-b<x-b et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-b<x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(-b<x<b)=1-|⌈(x+b)/(|x+b|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|   (11)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-b<x<=b)=0, si xb
• 1A(-b<x-b et x<=b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-b<x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(-b<x<=b)=1-|⌈(x+b)/(|x+b|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉   (11′)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-b<=x<b)=0, si xb
• 1A(-b<=x=-b et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-b<=x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(-b<=x<b)=1-|⌈(x+b)/(|x+b|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x+b)/(|x+b|+1)⌉)+⌈(-x-b)/(|-x-b|+1)⌉)⌉   (11 »)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-b<=x<=b)=0, si xb
• 1A(-b<=x=-b et x<=b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-b<=x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ b ∈ R:

1A(-b<=x<=b)=1-|⌈(x+b)/(|x+b|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x+b)/(|x+b|+1)⌉)+⌈(-x-b)/(|-x-b|+1)⌉)⌉    (11 »’)

∴

Après avoir écrit ces quelques exemples les plus significatifs, car fréquemment utilisés, nous allons donc définir l’expression de la forme générale de cette fonction linéaire par morceaux en écrivant les expressions systématisées dont elle est composée et comprenant les expressions des 7 sous-fonctions générales, soit, a(x)=1A(x>a), b(x)=1A(x>=b), c(x)=1A(x>c), d(x)=1A(x<d), e(x)=1A(x<=e), f(x)=1A(x<f) et g(x)=1A(x=g), pour obtenir en finalité l’expression générale de n’importe quel intervalle sur SeqA ⊂ R, dont la première expression systématisée est définie comme suit: 

1A: R→ {0,1}

• 1A(-a<x<b)=0, si xb
• 1A(-a<x-a et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-a<x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R, avec a<b:

1A(-a<x<b)=1-|⌈(x+a)/(|x+a|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|    (12)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-a<=x<b)=0, si xb
• 1A(-a<=x=-a et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-a<=x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R, avec a<b:

1A(-a<=x<b)=1-|⌈(x+a)/(|x+a|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x+a)/(|x+a|+1)⌉)+⌈(-x-a)/(|-x-a|+1)⌉)⌉     (12′)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-a<x<=b)=0, si xb
• 1A(-a<x-a et x<=b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-a<x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R, avec a<b:

1A(-a<x<=b)=1-|⌈(x+a)/(|x+a|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉      (12 »)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(-a<=x<=b)=0, si xb
• 1A(-a<=x=-a et x<=b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(-a<=x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R, avec a<b:

1A(-a<=x<=b)=1-|⌈(x+a)/(|x+a|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(-x+a)/(|-x+a|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x+b)/(|x+b|+1)⌉)+⌈(-x-b)/(|-x-b|+1)⌉)⌉    (12 »’)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(a<x<b)=0, si xb
• 1A(a<xa et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(a<x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R, avec a<b:

1A(a<x<b)=1-|⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|   (13)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(a<=x<b)=0, si xb
• 1A(a<=x=a et x<b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(a<=x<b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R, avec a<b:

1A(a<=x<b)=1-|⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(-x+a)/(|-x+a|+1)⌉)⌉   (13′)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(a<x<=b)=0, si xb
• 1A(a<xa et x<=b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(a<x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R, avec a<b:

1A(a<x<=b)=1-|⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉   (13 »)

∴

1A: R→ {0,1}

• 1A(a<=x<=b)=0, si xb
• 1A(a<=xa et x<=b

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(a<=x<=b), est définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R, avec a<b:

1A(a<=x<=b)=1A(a<x<=b)=1-|⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉-⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉|+1-⌈(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(-x+a)/(|-x+a|+1)⌉)⌉+1-⌈(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(-x+b)/(|-x+b|+1)⌉)⌉   (13 »’)