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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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« Une fonction caractéristique est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E, et qui est notée 1A, (une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I (i majuscule). Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité. Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E est une fonction:

1A: E→ {0,1}

x↦ 1 si x ∈  E: 1A(x)=1

x↦ 0 si x ∉  E: 1A(x)=0″, extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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I)  LES FONCTIONS ÉCHELONS ET LES FONCTIONS  CARACTÉRISTIQUES

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1.1) Les fonctions d’échelons caractéristiques simples

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« Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)) introduisit le mot «fonction» vers 1692. Leibniz lui-même attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation. – De la nature des mathématiques par Philip E. B. Jourdai. »

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Nous considérons dans ce premier paragraphe qu’à la question de « pourquoi créer de nouvelles fonctions caractéristiques?« , la première réponse correspondante est à cause de l’inexistence d’une formule ou de la restriction du domaine de définition de l’expression pour les fonctions d’échelons définies en général avec, x ∈ R par l’expression χA(x), la fonction indicatrice des intervalles A, définie comme suit:

χA(x): {1 if x ∈ A; 0 if x ∉ A. La condition selon laquelle la collection d’intervalles doit être finie est abandonnée, car avec un nombre infini d’intervalles plus de fonctions peuvent être ainsi catégorisées notamment la fonction de plancher ou de plafond que je redéfinirais par la suite au-delà de cette introduction dans un chapitre spécialement dédié.

Nous considérons tout d’abord parmi toutes ces fonctions d’échelons dont nous devons soit réécrire soit créer une nouvelle formule, la fonction signe, ou signum représentée par l’expression, sgn(x) et qui est une fonction mathématique qui extrait le signe d’un nombre réel, c’est-à-dire défini traditionnellement sous les deux formes différentes suivantes:

∀ x ∈ R, sgn(x): {−1 si x0 (1);

ou bien encore:

x ∈ R, sgn(x): {0 si x=0;  x/|x| ou |x|/x si x≠0   (1).

Mais pour x=0 la fonction signe n’est pas définie par sa formule donnée précédemment soit x/|x| ou |x|/x puisque la division par zéro est indéterminée et donc il nous faut une formule qui soit pratique soit utilisable quelque soit la valeur de x et qui est donc défini pour x ∈ R en général et en particulier pour x=0 soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=-1 si x<0, ou x/|x|<0, ou |x|/x<0
• 1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=0 si x=0
• 1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=1 si x>0, ou  x/|x|>0, ou |x|/x>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=sgn(x), est définie comme suit:

∀ x ∈ R: 

sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉   (1)’.

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Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction d’unité, ε(x), ou « fonction indicatrice de 1 », soit la fonction caractéristique définie comme suit: 

1A: R→ {0,1}

• 1A(x=1)=0, si x≠1
• 1A(x=1)=1, si x=1

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x=1)=ε(x), dont la formule est inexistante et que nous devons donc créer et définir comme suit:

∀ x ∈ R: 

ε(x)=1A(x=1)=1-⌈(|x-1|)/(|x|+1)⌉  (2).

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Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction d’unité d’impulsion, δ(x), ou « fonction indicatrice de 0 », soit la fonction caractéristique définie comme suit: 

1A: R→ {0,1}

• 1A(x=0)=0, si x≠0
• 1A(x=1)=1, si x=0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x=0)=δ(x), dont la formule est inexistante et que nous devons donc créer et définir comme suit, est:

∀ x ∈ R; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉: 

δ(x)=1A(x=0)=1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉   (3);

δ(x)=1-|sgn⁡(x)|=1-|⌈2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉|    (4).

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Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction d’unité positive, u(x) ou « fonction indicatrice de positivité « , soit la fonction caractéristique définie comme suit: 

1A: R→ {0,1}

• 1A(x>=0)=0, si x<0
• 1A(x>=0)=1, si x>=0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x>=0)=u(x), dont la formule est inexistante et que nous devons donc créer comme suit, est:

∀ x ∈ R; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉: 

u(x)=1/2*(sgn(x)+1)+1/2*1A(x=0)=1/2*(2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+1)+1/2*(1-⌈|x|/(|x|+1)⌉)=⌈x/(|x|+1)⌉+(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)   (5);

 u(x)=⌈(1/2*(sgn(x)+1))/(1/2*(sgn(x)+1)+1)⌉=⌈(1/2*(x/|x|+1))/(1/2*(x/|x|+1)+1)⌉+1-⌈|x|/(|x|+1)⌉   (6);

u(x)=1A(x>0)+1A(x=0)=⌈x/(|x|+1)⌉+(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)   (7).

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Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction que créer en la nommant pour la différencier de la fonction u(x) précédente, la fonction d’unité positive strictement supérieure à 0, us(x) ou « fonction indicatrice de positivité non nul », soit la fonction caractéristique définie comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(x>0)=0, si x<=0
• 1A(x>0)=1, si x>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(x>0)=us(x), dont la formule est inexistante et que nous devons donc créer comme suit, est:

∀ x ∈ R; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:

us(x)=1A(x>0)=⌈x/(|x|+1)⌉   (8)

us(x)=2*(1A(x>0))-⌈(1/2*(x/|x|+1))/(1/2*(x/|x|+1)+1)⌉=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈(1/2*(x/|x|+1))/(1/2*(x/|x|+1)+1)⌉    (9)

us(x)=sgn(x)-u(x)+1    (10)

us(x)=1/2*sgn(x)-1/2*1A(x=0)+1/2    (11)

us(x)=-1A(x<0)-1A(x=0)+1    (12)

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Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction de Heaviside, H(x), « fonction indicatrice de positivité sur l’ensemble des réels R » soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x+|x|)/(2*x))=0, si x<0
• 1A((x+|x|)/(2*x)) non définie si x=0
• 1A((x+|x|)/(2*x))=1, si x>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x+|x|)/(2*x))=H(x) et dont la formule donnée comme suit:

pour ∀ x≠0 ∧ ∀ x ∈ R:

H(x)=(x+|x|)/(2*x)  (13) , n’est pas définie pour x=0, que l’on note conventionnellement H(0)↑, et donc nous devons recréer une formule en adoptant la convention de H(0)=1 comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x+|x|)/(2*x))=0, si x<0
• 1A((x+|x|)/(2*x))=1, si x>=0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x+|x|)/(2*x))=H₁(x) dont la formule que nous devons recréer pour que cette fonction de Heaviside notée H₁(x) pour la différencier de H(x) car elle est définie pour x=0, avec H₁(0)=1, et qui est:

∀ x ∈ R, ; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:

H₁(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉    (14);

 H₁(x)=1/2*(sgn(x)+1)+1/2*1A(x=0)   (15);

 H₁(x)=u(x)=sgn(x)-us(x)+1   (16).

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Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons à nouveau la fonction de Heaviside, H(x), « fonction indicatrice de positivité sur l’ensemble des réels R » soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x+|x|)/(2*x))=0, si x<0
• 1A((x+|x|)/(2*x)) non définie si x=0
• 1A((x+|x|)/(2*x))=1, si x>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x+|x|)/(2*x))=H(x) et dont la formule donnée pour x≠0, H(x)=(x+|x|)/(2*x), n’est pas définie pour x=0, que l’on note conventionnellement H(0)↑, et donc nous devons recréer une formule en adoptant la convention de H(0)=0 comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x+|x|)/(2*x))=0, si x<=0
• 1A((x+|x|)/(2*x))=1, si x>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x+|x|)/(2*x))=H₀(x) dont la formule que nous devons recréer pour que cette fonction de Heaviside notée H₀(x) pour la différencier de H(x) car elle est définie pour x=0, avec H₀(0)=0, et qui est:

∀ x ∈ R ; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:

H₀(x)=⌈x/(|x|+1)⌉    (17);

H₀(x)=1/2*(sgn(x)+1)-1/2*1A(x=0)  (18);

H₀(x)=us(x)=sgn(x)-u(x)+1  (19).

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Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H(0)=1/2 est souvent utilisé, car le graphique a alors une symétrie de rotation, et que je note différemment de la fonction de Heaviside précédente par l’indice ½ soit, H½(x), et soit la fonction caractéristique définit comme suit: 

1A: R→ {0,1}

• 1A((x+|x|)/(2x))=0, si x<0
• 1A((x+|x|)/(2x))=1/2, si x=0
• 1A((x+|x|)/(2x))=1, si x>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x+|x|)/(2x))=H½(x) et dont la formule donnée est pour x≠0, H(x)=(x+|x|)/(2x), mais qui est non définie pour x=0, que l’on note conventionnellement H(0)↑, et donc nous devons recréer une formule pour que x=0 soit définie, c’est-à-dire en adoptant la convention de H½(0)=1/2, comme suit:

∀ x ∈ R; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:

H½(x)=1/2*(sgn(x)+1)=⌈x/(|x|+1)⌉-1/2*⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+1/2  (20)

H½(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)*1/2+⌈x/(|x|+1)⌉  (21).

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Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction wagon ou « boxcar » égale à zéro sauf pour un seul intervalle où elle est égale à une constante c’, et dont la formule est boxcar₁(x)=c’*(H₁(x-a)-H₁(x-b)), et soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=0, si x-a<0 et x-b<0
• 1A(((x-a+|x-a|)/(2(x-a))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=1, si x-a>=0 et x-b>=0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=H₁(x-a)-H₁(x-b) dont la formule donnée précédemment généralement pour x, H₁(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉, que j’écrit pour x-a et x-b en général et en particulier pour H₁(x-a)-H₁(x-b) comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*: H₁(x-a)-H₁(x-b)=((1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-((1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉); donc en multipliant cette expression par la constante c’, nous obtenons l’expression de la fonction wagon ou boxcar, définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ N*; soit sgn(x)=1A(|x|/x)=1A(x/|x|)=2*⌈x/(|x|+1)⌉-⌈|x|/(|x|+1)⌉:

boxcar₁(x)=c’*(H₁(x-a)-H₁(x-b))=c’*(((1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉)+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-((1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉)+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉))     (22).

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Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons à nouveau la fonction par convention de demi-maximum wagon ou « boxcar » égale à zéro sauf pour un seul intervalle et à ces deux bornes qui sont égales à la valeur de 1/2 et égale à une constante c dans cet intervalle,  dont la formule est boxcar½(x)=c*(H½(x-a)-H½(x-b)); donc soit la fonction caractéristique définie comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=0, si x-a<0 et x-b<0
• 1A(((x-a+|x-a|)/(2(x-a))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=1/2, si x-a=0 et x-b=0
• 1A(((x-a+|x-a|)/(2(x-a))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=1, si x-a>0 et x-b>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=H½(x-a)-H½(x-b) dont la formule donnée précédemment généralement pour x, H½(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)*1/2+⌈x/(|x|+1)⌉ qui peut donc être aussi écrite pour x-a et x-b en général et en particulier pour H½(x-a)-H½(x-b) comme suit, est:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 

H½(x-a)-H½(x-b)=((1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉)*1/2+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-((1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉)*1/2+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)   (23); donc en multipliant cette expression par la constante c, nous obtenons l’expression de la fonction par convention de demi-maximum boxcar, définie comme suit:

 ∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ N*: 

boxcar½(x)=c*(H½(x-a)-H½(x-b))=c*(((1-⌈(|x-a|)/(|x-a|+1)⌉)*1/2+⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-((1-⌈(|x-b|)/(|x-b|+1)⌉)*1/2+⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉))  (24).

∴

Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons encore la fonction wagon ou « boxcar » égale à zéro sauf pour un seul intervalle où elle est égale à une constante c », et dont la formule est boxcar₀(x)=c »*(H₀(x-a)-H₀(x-b)), et soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=0, si x-a<=0 et x-b<=0
• 1A(((x-a+|x-a|)/(2(x-a))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=1, si x-a>0 et x-b>0

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x-a+|x-a|)/(2(x-a)))-1A((x-b+|x-b|)/(2(x-b)))=H₀(x-a)-H₀(x-b) dont la formule donnée précédemment généralement pour x, H₀(x)=⌈x/(|x|+1)⌉, que j’écrit pour x-a et x-b en général et en particulier pour H₀(x-a)-H₀(x-b) comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 

H₀(x-a)-H₀(x-b)=(⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉)  (25); donc en multipliant cette expression par la constante c’, nous obtenons l’expression de la fonction wagon ou boxcar, définie comme suit:

∀ x ∈ R, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ c ∈ N*: 

boxcar₀(x)=c »*(H₀(x-a)-H₀(x-b))=c »*((⌈(x-a)/(|x-a|+1)⌉)-(⌈(x-b)/(|x-b|+1)⌉))   (26).

∴

Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction discrète d’unité d’impulsion, ou « fonction indicatrice de valeurs supérieures ou égales à 0 et  strictement inférieures à 1 », notée ∆₁(H₁(x))=H₁(x)-H₁(x-1), soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=0, si x=1
• 1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=1, si x>=0 et x<1

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x+|x|)/(2(x)))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=H₁(x)-H₁(x-1) dont la formule donnée précédemment pour x est H₁(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉, et que j’écrit maintenant en particulier pour H₁(x)-H₁(x-1) comme suit:

∀ x ∈ R: 

∆₁(H₁(x))=H₁(x)-H₁(x-1)=((1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉)-((1-⌈(|x-1|)/(|x-1|+1)⌉)+⌈(x-1)/(|x-1|+1)⌉)    (27);

∴

Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons à nouveau la fonction discrète d’unité d’impulsion, ou « fonction indicatrice de valeurs supérieures ou égales à 0 et  inférieures ou égales à 1 », notée ∆½(H½(x))=H½(x)-H½(x-1), soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=0, si x1
• 1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=1/2, si x=1 ou x=0
• 1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=1, si x>=0 et x<1

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x+|x|)/(2(x)))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=H½(x)-H½(x-1) dont la formule donnée précédemment pour x est H½(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)*1/2+⌈x/(|x|+1)⌉, et que j’écrit maintenant en particulier pour H½(x)-H½(x-1) comme suit:

∀ x ∈ R: 

H½(x)-H½(x-1)=((1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)*1/2+⌈x/(|x|+1)⌉)-((1-⌈(|x-1|)/(|x-1|+1)⌉)*1/2+⌈(x-1)/(|x-1|+1)⌉)  (28);

∴

Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons finalement la fonction discrète d’unité d’impulsion, ou « fonction indicatrice de valeurs strictement supérieures à 0 et  inférieures ou égales à 1 », notée ∆₀(H₀(x))=H₀(x)-H₀(x-1), soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=0, si x1
• 1A((x+|x|)/(2*x))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=1, si x>0 et x<=1

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A((x+|x|)/(2(x)))-1A((x-1+|x-1|)/(2(x-1)))=H₀(x)-H₀(x-1) dont la formule donnée précédemment pour x est H₀(x)=⌈x/(|x|+1)⌉, et que j’écrit maintenant en particulier pour H₀(x)-H₀(x-1) comme suit:

∀ x ∈ R: 

∆₀(H₀(x))=H₀(x)-H₀(x-1)=(⌈x/(|x|+1)⌉)-(⌈(x-1)/(|x-1|+1)⌉)  (29);

∴

Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction porte ou rectangulaire, rect(x) ou Π(x), soit la fonction caractéristique définit comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(1/2<|x|1/2,
• 1A(1/2<|x|<=1/2)=1/2, si |x|=1/2,
• 1A(1/2<|x|<=1/2)=1, si |x|<1/2;

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(1/2<|x|<=1/2)=rect(x)=Π(x), dont la formule est inexistante et que nous devons donc créer comme suit, est:

∀ x ∈ R: 

rect(x)=Π(x)=1A(-1/2=<x=<1/2)+1A(x=1/2)*1/2+1A(x=-1/2)*1/2   (30)

rect(x)=Π(x)=1-|1A(x>=-1/2)-1A(x=<1/2)| +1A(x=1/2)*1/2+1A(x=-1/2)*1/2   (31)

rect(x)=Π(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2    (32)

∴

Ensuite toujours parmi ces fonctions d’échelons, nous considérons la fonction triangulaire (également connu tant que fonction de triangle, fonction de chapeau, ou fonction de tente) notée, tr(x), et qui est une fonction dont le graphe prend la forme d’un triangle (Souvent cela est un triangle isocèle de hauteur 1 et base 2 dans ce cas elle est appelée la fonction triangulaire). On définie habituellement la fonction triangulaire tr(x) comme la convolution de deux fonctions rectangulaires, rect(x)=Π(x), soit la fonction caractéristique définie comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(1/2<|x|1/2
• 1A(1/2<|x|<=1/2)=1/4, si |x|=1/2
• 1A(1/2<|x|<=1/2)=1, si |x|<1/2

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(1/2<|x|<=1/2)=rect(x)=Π(x), est la formule du produit de convolution de deux fonctions rectangulaires rect(x) définie comme suit:

∀ x ∈ R; rect(x)=Π(x)=1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2: 

tr(x)=rect(x)∗rect(x)=(1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2)²   (33);

 tr(x)=rect(x)*(1-|x|)+|x|*1A(-1/2<|x|<1/2)=(⌈|x|/(|x|+1)⌉-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|)*|x|+(1-|⌈(x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉-⌈(-x+1/2)/(|-x+1/2|+1)⌉|+(1-⌈(-x-1/2)/(|x-1/2|+1)⌉)*1/2+(1-⌈(-x+1/2)/(|x+1/2|+1)⌉)*1/2)*(1-|x|)    (34). 

∴

1.2) Les fonctions d’échelons caractéristiques doubles

∴

« Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)) introduisit le mot «fonction» vers 1692. Leibniz lui-même attribua toutes ses découvertes mathématiques à des améliorations de la notation. – De la nature des mathématiques par Philip E. B. Jourdai. »

∴

Nous considérons dans ce deuxième paragraphe qu’à la question de « pourquoi créer de nouvelles fonctions caractéristiques?« , la deuxième réponse correspondante est que nos nouvelles formules précédentes ne sont pas applicables à toutes suites de nombre si l’on souhaite préserver la représentation graphique conventionnelle en forme générale d’échelon de ce fonctions, aussi une propriété de la représentation de ces fonctions par leur suite de nombres correspondante que nous utiliserons donc en supposant soit qu’il existe une suite de nombres restreinte correspondant au domaine de ces fonctions d’échelons définies par ces nouvelles formules qui s’appliqueraient donc sur ces suites de nombres particulières en préservant la représentation d’échelon de ces fonctions, en forme générale d’échelon; soit qu’il existe d’autres formules préservant la représentation en forme d’échelon de ces fonctions d’échelons. Nous explorerons donc la deuxième hypothèse pour éventuellement répondre à la première hypothèse.

Considérons pour illustrer nos propos l’exemple de la suite de nombre de l’ensemble des réels, SeqA={511; -0.177; -174; -0.571; 0; -1228.23; -959; 0; 0; -199; 1244; 1244; 1244.3; -1244;-1244;-1; 1244; 1244.3; 0.57; -1;0.82; 0.1217; 499.65; -168; 804.5; 0.73; -0.5; 0.5; 177; 1140.35; 1; 1067; -617; 570; 1; 839; 1; 754; 279; 1133;-20; 972}; et soit en général l’application des nouvelles formules des fonctions d’échelons précédemment définies à cette suite de nombres SeqA résultants dans une sous suite de nombres SeqA’ définie et illustrée comme suit:

• soit la fonction de Heaviside, H₁(x)=⌈(x+|x|)/(|2x|+1)⌉+(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉): {0, si x<0; 1, si x≥0; SeqA'={1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1}.
• soit la fonction d’échelon d’unité, u(x)=(1-⌈(|x|)/(|x|+1)⌉)+⌈x/(|x|+1)⌉: {1 si x >= 0; 0, si x<0 ; SeqA’={1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1}.
• soit la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside H½(x)=1/2*(sgn(x)+1)=⌈x/(|x|+1)⌉-1/2*⌈(|x|)/(|x|+1)⌉+1/2: {0, if x 0; 1/ 2, if x= 0; 1, if x > 0; SeqA’={1; 0; 0; 0; 1/2; 0; 0; 1/2; 1/2; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1}.

∴

Mais considérons la nouvelle fonction caractéristique que je décris comme étant « la fonction caractéristique de l’annulation d’intervalle de nombres de n’importe quelles suites de nombres » et dont la représentation est similaire à la représentation d’une fonction d’échelon unité, u(xₙ), elle-même similaire à la représentation de la fonction de Heaviside H₁(xₙ) et représentation définie comme celle de toute fonction qui est nulle sur toute la ligne réelle sauf pour un seul intervalle où elle est égale à une constante de valeur un, et donc une nouvelle fonction caractéristique de x de SeqA dont les éléments sont indicés par l’ensemble des nombres naturels N, le résultat de la fonction rang(xₙ) dont la formule exacte est donnée dans la rubrique dédiée aux fonctions de rang et intitulée « Rang », et la représentation de cette fonction de rang, que j’ai crée (sa formule fait l’objet d’une rubrique dédiée) et notée, rang(xₙ)=n, appliquée à notre exemple des éléments xₙ ∈ SeqA est la séquence N’⊂ N* avec N’={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42} et qui est définie comme suit:

1A: R→ {0,1}

• 1A(rang(xₙ)=n)=0, si b>n=rang(xₙ),
• 1A(rang(xₙ)=n)=1, si a<=rang(xₙ)=n<=b,

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(a<=rang(xₙ)=n<=b)=H₁((|xₙ|+(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉))*-1*(1-((⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)|-1⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1)))) est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, a<b: 1A(rang(xₙ)=n)=(⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)-1|⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1); pour a=2 et b=5, la représentation de cette formule appliquée aux nombres de la suite SeqA correspond à la sous suite de nombres SeqA »={0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0}. En comparaison, la représentation de la formule de la fonction de Heaviside H₁(xₙ)=⌈(xₙ+|xₙ|)/(|2xₙ|+1)⌉+(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉), ou bien encore la représentation de  sa fonction équivalente, la fonction d’échelon d’unité u(xₙ)=(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉)+⌈xₙ/(|xₙ|+1)⌉ appliquées aux éléments xₙ de SeqA, par la même sous séquence SeqA’={1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1} ne correspond pas à la représentation de la formule de toute fonction qui est nulle sur toute la ligne réelle sauf pour un seul intervalle où elle est égale à une constante de valeur un. C’est la raison pour laquelle nous avons du transformer la séquence de nombre SeqA par la formule suivante donnée précédemment: a(n)=(|xₙ|+(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉))*-1*(1-1A(a<=rang(xₙ)=n<=b))= (|xₙ|+(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉))*-1*(1-((⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)|-1⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1))) qui correspond à la représentation de la séquence donc transformée de SeqA que nous notons SeqTr(SeqA)={-511; -0.177; 0; 0; 0; -1228.23; -959; -1; -1; -199; -1244; -1244; -1244.3; -1244;-1244;1; -1244; -1244.3; -0.57; -1;-0.82; -1.1217; -499.65; -168; -804.5; -0.73;- 0.5; -0.5; -177; -1140.35; -1; -1067; -617; -570; -1; -839; -1; -754; -279; -1133; -20; -972}, et que nous pouvons décrire simplement comme l’ensemble des éléments de SeqA mis en valeur absolue et tous supérieures à 0 par l’ajout de la fonction caractéristique des éléments nuls de SeqA soit 1A(xₙ=0)=(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉) et l’ensemble des deux membres additionnés multipliés par la nouvelle fonction d’annulation négative définie par la notation et sa formule correspondante soit: pour a=2 et b=5, -1*(1-1A(a<=rang(xₙ)=n<=b))=-1*(1-((⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)|-1⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1))); cette nouvelle fonction d’annulation négative est représentée par la sous-séquence notée, -1*(1-1A(a<=rang(xₙ)=n<=b))={-1; -1; 0; 0; 0; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1;-1; -1; -1; -1; -1; -1; -1;-1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; -1; 1; -1; -1; -1; -1; -1}.

Après avoir fait remarquer l’avantage de l’une de ces nouvelles fonctions caractéristiques de sa représentation plus conforme à celle de la fonction d’échelon d’unité ou de la fonction de Heaviside, nous remarquerons encore que la nouvelle fonction caractéristique 1A(rang(xₙ)), pour a=2 et b=5, si elle peut se généraliser pour toute valeurs de l’ensemble N des variables a et b de son expression donnée précédemment, elle le peut aussi par une nouvelle expression de cette fonction 1A(rang(xₙ)) dont la représentation est similaire à la représentation de la fonction de Heaviside et à la fonction unité, et qui est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, a<b: 1A(rang(xₙ)=n)=(⌈(|n/(a+b+1)-1|⌉-⌈(n/(a+b+1)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)-1|⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1). Et de ce deuxième exemple qui peut sembler superflu, nous tirons pourtant encore la conclusion de l’avantage apportée par ces nouvelles fonctions dans la non-limitation de leurs expressions possibles à une seule expression. 

Mais ce n’est pas bien sûr l’explication de la propriété de doubles caractéristique énoncés dans une partie du titre de cette sous rubrique de fonctions caractéristiques doubles que nous donnons donc maintenant et illustrons encore au prochain paragraphe: la fonction de Heaviside H₁(xₙ) comme explicitée précédemment sous entends le processus de transformation de la séquence par la nouvelle fonction caractéristique d’annulations, ayant la forme d’une fonction de Heaviside dont le domaine n’est plus R mais l’ensemble N des nombres éléments de la fonction de rang de la séquence SeqA à laquelle la fonction de Heaviside est appliquée originellement. Il s’agit d’une nouvelle fonction choisie arbitrairement quand aux valeurs successives annulées même si nous pouvons établir une pseudo règle d’annulation du nombre de valeurs correspondant au nombre de valeurs nulles dans la séquence d’origine, SeqA. Malgré cette tentative de règle, le choix des éléments annulées reste arbitraire et cette propriété de double caractéristique n’est donc pas suffisamment rigoureusement définie et justifiée ce que nous essaierons éventuellement de corriger dans le paragraphe suivant avec un autre exemple similaire à celui donné précédemment.

∴

Nous considérerons donc encore la nouvelle fonction caractéristique que je décris comme étant « la fonction caractéristique de l’annulation d’intervalle de nombres de n’importe quelles suites de nombres » et dont la représentation est similaire à la représentation de la fonction d’échelon, la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H½(xₙ), et donc une nouvelle fonction caractéristique de xₙ ∈ SeqA dont les éléments sont indicés par l’ensemble des nombres naturels N, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

• 1A(rang(xₙ)=n)=0, si b>n=rang(xₙ),
• 1A(rang(xₙ)=n)=1/2, si rang(xₙ)=n=a
• 1A(rang(xₙ)=n)=1/2, si rang(xₙ)=n=b
• 1A(rang(xₙ)=n)=1, si a<rang(xₙ)=n<b,

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n) est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ b ∈ N*, a2: 

1A(a<rang(xₙ)=n<b)=(⌈(|n/(b+2)-1|⌉-⌈(n/(b+2)⌉+1)-(⌈(|n/(a+1)-1|⌉-⌈(n/(a+1)⌉+1)*1/2+(⌈(|n/(b+1)-1|⌉-⌈(n/(b+1)⌉+1)-(⌈(|n/a-1|⌉-⌈(n/a⌉+1)*1/2+(⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(a+2)-1|⌉-⌈(n/(a+2)⌉+1); pour a=2 et b=5, la représentation de cette formule appliquée aux nombres de la suite SeqA correspond à la sous suite de nombres SeqA »’={0; 0; 1/2; 1; 1/2; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0} et donc à la description d’une fonction f (x) continue par morceaux sur le segment [a, b] avec a=2 et b=5 et qui est la définition de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ). En comparaison, la représentation de la formule de H½(xₙ)=(1-⌈(|xₙ|)/(|xₙ|+1)⌉)*1/2+⌈xₙ/(|xₙ|+1)⌉, appliquée aux nombres de la suite SeqA correspondant à la sous-suite de nombres SeqA’={1; 0; 0; 0; 1/2; 0; 0; 1/2; 1/2; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 1} ne correspond pas à la description d’une fonction f (xₙ) continue par morceaux sur le segment [a, b] avec a=2 et b=5 qui correspondrait à la définition d’une fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ).

Après avoir fait remarquer l’avantage de l’une de ces nouvelles fonctions caractéristiques de sa représentation plus conforme à celle de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H½(xₙ), nous remarquerons encore que la nouvelle fonction caractéristique 1A(rang(xₙ)=n), pour a=2 et b=5, si elle peut se généraliser pour toute valeurs de l’ensemble N des variables a et b étant donnée la condition de a>b et de b-a>2, à la seule fin d’obtenir au moins une seule une valeur de 1 bornée par deux valeurs de 1/2, dans la représentation de son expression donnée précédemment, elle le peut aussi par une nouvelle expression de cette fonction 1A(rang(xₙ)) la représentation est similaire à la représentation de la fonction d’échelon, la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H½(xₙ), dont le détail de la composition d’expressions correspondantes à des fonctions caractéristiques de xₙ ∈ SeqA dont les éléments sont indicés par l’ensemble des nombres naturels N, est définie comme suit:

Soit la première nouvelle fonction caractéristique de la première partie de notre fonction générale composée:

1A: E→ {0,1}

• 1A(rang(xₙ)=n=b-1)=0, si rang(xₙ)=n≠b-1
• 1A(rang(xₙ)=n=b-1)=1, si rang(xₙ)=n=b-1

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=n=b-1) est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ c ∈ N*, ∀ b ∈ N*, avec a2: 

1A(rang(xₙ)=b-1)=(⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(a+c)|-1⌉-⌈(n/(a+c)⌉+1) avec a<b, et a+c=b-1, donc 1A(rang(xₙ)=n=b-1)=(⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(b-1)|-1⌉-⌈(n/(b-1)⌉+1)  (A); soit par exemple, en choisissant les valeurs des variables dans l’expression (A) tel que, a=8, c=-3, b=6 et donc a+c=b-1, soit 8-3=5, la représentation de l’expression (A) correspondante à la fonction caractéristique 1A(rang(xₙ)=n=b-1) est la sous séquence SN1={0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;…..}. Nous multiplions cette expression par 1/2 pour obtenir la valeur à la première borne inférieure de notre segment intervalle de valeurs toutes égales à 1 et correspondant en partie à la représentation de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ), soit 1/2*1A(rang(xₙ)=n=b-1)=((⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(b-1)|-1⌉-⌈(n/(b-1)⌉+1))*1/2  (B), représentée par la sous séquence SN1’={0; 0; 0; 0; 1/2; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;…..}.

Nous recommençons les deux étapes du processus précédent pour obtenir la seconde la valeur à la deuxième borne inférieure de notre segment intervalle de valeurs toutes égales à 1 correspondant à la représentation de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ), soit la deuxième nouvelle fonction caractéristique composée définie comme suit :

1A: E→ {0,1}

• 1A(rang(xₙ)=n=e-1)=0, si e-1≠rang(xₙ),
• 1A(rang(xₙ)=n=e-1)=1, si rang(xₙ)=e-1

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(rang(xₙ)=e-1) est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ d ∈ N*, ∀ f ∈ N*, ∀ e ∈ N*,  avec d2:

1A(rang(xₙ)=n=e-1)=(⌈(|n/e-1|⌉-⌈(n/e⌉+1)-(⌈(|n/(d+f)|-1⌉-⌈(n/(d+f)⌉+1) avec d<e, et d+f=e-1 et e-b>=2, donc (⌈(|n/e-1|⌉-⌈(n/e⌉+1)-(⌈(|n/(e-1)|-1⌉-⌈(n/(e-1)⌉+1)  (C); soit par exemple, en choisissant les valeurs des variables dans l’expression (A) tel que, d=5, f=5, e=11 et donc d+f=e-1, soit 5+5=10, la représentation de l’expression (C) correspondante à la fonction caractéristique 1A(rang(xₙ)=n=e-1) est la sous séquence SN2={0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0;…..}. Nous multiplions cette expression par 1/2 pour obtenir la valeur à la deuxième borne supérieure de notre segment intervalle de valeurs toutes égales à 1 et correspondant en partie à la représentation de la fonction par convention de demi-maximum de Heaviside, H₂(xₙ), soit 1/2*1A(rang(xₙ)=n=e-1)=((⌈(|n/e-1|⌉-⌈(n/e⌉+1)-(⌈(|n/(e-1)|-1⌉-⌈(n/(e-1)⌉+1))*1/2  (D), représentée par la sous séquence SN2’={0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1/2; 0; 0; 0;…..}.

Soit la deuxième nouvelle fonction caractéristique de la troisième partie de notre fonction générale composée:

1A: E→ {0,1}

• 1A(b-1<rang(xₙ)=n=rang(xₙ)=n ou e-1<=rang(xₙ)=n
• 1A(b-1<rang(xₙ)=n<e-1)=1, si b-1<rang(xₙ)=n<e-1

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(b<rang(xₙ)=n<e) est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ e ∈ N*, ∀ g ∈ N*, ∀ h ∈ N*, avec g=b-1 et h=e-b-1: 1A(b<rang(xₙ)=n<e)=(⌈(|n/(g+h+1)-1|⌉-⌈(n/(g+h+1)⌉+1)-(⌈(|n/(g+1)-1|⌉-⌈(n/(g+1)⌉+1)  (E); en reprenant les valeurs des variables données précédemment soit, b=6, e=11, nous obtenons les valeurs des variables g=b-1=6-1=5, et h=e-b-1=11-6-1=4 et en remplaçant dans l’expression (E), nous obtenons sa représentation correspondante à la fonction caractéristique 1A(b<rang(xₙ)=n<e), soit la sous séquence SN3={0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0;…..}.

Soit la troisième nouvelle fonction caractéristique de la quatrième et dernière partie de notre fonction générale composée telle que:

1A: E→ {0,1}

• 1A(b-1<rang(xₙ)=nrang(xₙ)=n ou e-1<rang(xₙ)=n
• 1A(b-1<rang(xₙ)=n<e-1)=1/2, si b-1=rang(xₙ)=n ou e-1=rang(xₙ)=n
• 1A(b-1<rang(xₙ)=n<e-1)=1, si b-1<rang(xₙ)=n<e-1

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(b-1<=rang(xₙ)=n<=e-1) est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ b ∈ N*, ∀ e ∈ N*, ∀ g ∈ N*, ∀ h ∈ N*, avec e-b>=2, g=b-1 et h=e-b-1: 1A(b-1<=rang(xₙ)=n<=e-1)=((⌈(|n/b-1|⌉-⌈(n/b⌉+1)-(⌈(|n/(b-1)|-1⌉-⌈(n/(b-1)⌉+1))*1/2+((⌈(|n/e-1|⌉-⌈(n/e⌉+1)-(⌈(|n/(e-1)|-1⌉-⌈(n/(e-1)⌉+1))*1/2+(⌈(|n/(g+h+1)-1|⌉-⌈(n/(g+h+1)⌉+1)-(⌈(|n/(g+1)-1|⌉-⌈(n/(g+1)⌉+1)  (F); en reprenant les valeurs des variables données précédemment soit, b=6, e=11, avec e-b>=2, 11-6=5>2, nous obtenons les valeurs des variables g=b-1=6-1=5, et h=e-b-1=11-6-1=4 et en remplaçant dans l’expression (F), nous obtenons sa représentation correspondante à la fonction caractéristique 1A(b<rang(xₙ)=n<e), soit la sous séquence SN4={0; 0; 0; 0; 1/2; 1; 1; 1; 1; 1/2; 0; 0; 0;…..}.

Nous pouvons encore simplifier cette expression (F) en diminuant le nombre de variables soit seulement les 2 variables g et h, soit la quatrième nouvelle fonction caractéristique de la quatrième et dernière partie bis de notre fonction générale composée telle que:

1A: E→ {0,1}

• 1A(g<=rang(xₙ)=nrang(xₙ)=n ou g+h+1<rang(xₙ)=n
• 1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1)=1/2, si g=rang(xₙ)=n ou g+h+1=rang(xₙ)=n
• 1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1)=1, si g<rang(xₙ)=n<g+h+1

L’expression de cette fonction caractéristique de 1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1) est définie comme suit:

∀ xₙ ∈ SeqA ⊂ R, ∀ rang(xₙ)=n ∈ N*, ∀ g ∈ N*, ∀ h ∈ N*, avec g-h>=0 et g>=1 et h>=1:

 1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1)=(⌈(|n/(g+h+1)-1|⌉-⌈(n/(g+h+1)⌉+1)-(⌈(|n/(g+1)-1|⌉-⌈(n/(g+1)⌉+1)+((⌈(|x/(g+1)-1|⌉-⌈(x/(g+1)⌉+1)-(⌈(|x/(g)-1|⌉-⌈(x/(g)⌉+1))+((⌈(|x/(g+h+2)-1|⌉-⌈(x/(g+h+2)⌉+1)-(⌈(|x/(g+h+1)-1|⌉-⌈(x/(g+h+1)⌉+1))   (G); en reprenant les valeurs des variables données précédemment soit, g=5, h=4, dans l’expression (G), nous obtenons sa représentation correspondante à la fonction caractéristique 1A(g<=rang(xₙ)=n<=g+h+1), soit la sous séquence SN4=SN5={0; 0; 0; 0; 1/2; 1; 1; 1; 1; 1/2; 0; 0; 0;…..}.

∴