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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère.  Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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« Un diagramme d’Euler est un moyen de représentation schématique des ensembles et des relations en leur sein. La première utilisation des « cercles Eulériens » est communément attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783). Ils sont étroitement liés aux diagrammes de Venn. Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d’Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d’inclusion ou d’exclusion dans chacun des ensembles. Les diagrammes de Venn et d’Euler ont été incorporés à l’enseignement de la théorie des ensembles dans le cadre des mathématiques modernes dans les années 1960.

Les diagrammes d’Euler sont constitués de simples courbes fermées (habituellement des cercles) dans le plan qui représentent les ensembles. Les tailles ou formes des courbes ne sont pas importantes : la signification du diagramme est dans la façon dont les cercles se chevauchent. Les relations spatiales entre les régions délimitées par chaque courbe correspondent aux relations théoriques à ensembles (intersection, sous-ensembles et disjonction). Chaque courbe d’Euler divise le plan en deux régions ou « zones » : l’intérieur, ce qui représente symboliquement les éléments contenus dans l’ensemble, et l’extérieur, qui représente tous les éléments qui ne sont pas membres de l’ensemble. Les courbes dont les zones intérieures ne se coupent pas représentent des ensembles disjoints. Deux courbes dont les zones intérieures se croisent représentent des ensembles qui ont des éléments communs ; la zone à l’intérieur de deux courbes représente l’ensemble des éléments communs aux deux ensembles (l’intersection des ensembles). Une courbe qui est entièrement contenue à l’intérieur de la zone intérieure d’une autre représente un sous-ensemble de celle-ci.

Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d’Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d’inclusion ou d’exclusion dans chacun des ensembles. Les régions qui ne font pas partie de l’ensemble sont indiquées par la couleur noire, contrairement aux diagrammes d’Euler, où l’appartenance à l’ensemble est indiquée par le chevauchement ainsi que la couleur. Lorsque le nombre d’ensembles devient supérieur à 3, un diagramme de Venn devient visuellement complexe, en particulier par rapport au diagramme d’Euler correspondant.« Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

« Soit trois ensembles :

A={1,2,5}

B={1,6}

C={4,7}

Les diagrammes de Venn et d’Euler de ces ensembles sont:

Diagramme de Venn

Diagramme d’Euler »Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

I) LES FONCTIONS SIMPLES D’OPÉRATIONS ENSEMBLISTES ET MULTIENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES ÉLÉMENTAIRES:

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1.1.d) La fonction simple d’opération ensembliste
séquentielle de réunion :

La réunion de deux ensembles : A∪ B.

Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} avec {E} ∩ {F}=∅, alors: 1A({E}∪ { F} )=max{A({E}), 1A({F})}=1A({E}) + 1A({F}) − 1A({E})*1A({F})

Examples:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}.
• {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2}.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}.
• {a, b} × {1, 2, 3} = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.

« L’ensemble réunion de A et de B, noté « A U B » (lire « A union B »), est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B :

x ∈ A ∪ B   si et seulement si   x ∈ A ou x ∈ B. »

L’union de deux ensembles A et B est l’ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On la note A ∪ B et on la dit « A union B »

Formellement :

x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨  x ∈ B)

Par exemple l’union des ensembles A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4} est l’ensemble {1, 2, 3, 4}.

L’union est associative, c’est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

L’union est commutative, c’est-à-dire que, pour des ensembles A et B quelconques, on a :

A ∪ B = B ∪ A.

L’intersection est distributive sur l’union, c’est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

L’union est distributive sur l’intersection, c’est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

∴∴∴

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1.1.e) La fonction simple d’opération ensembliste 

séquentielle d’intersection :

L’intersection de deux ensembles : A ∩ B.

Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} avec {E}∩{F}=∅, alors: 1A({E}∩{F}) = min{1A({E}),1A({F})}=1A({E})*1A({F})

Examples:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}.
• {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2}.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}.
• {a, b} × {1, 2, 3} = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.

∴∴∴

∴

1.1.f) La fonction simple d’opération ensembliste séquentielle de concaténation :

« L’opération ensembliste qui se rapproche le plus de la concaténation de deux ensembles est celle résultante de l’opérateur dont le symbole ⊔ , appelé « coupe carrée » ou « union carrée », est une notation mathématique souvent utilisée en théorie des ensembles et en algèbre booléenne. Il représente l’opération d’union pour deux ensembles, en particulier lorsqu’il s’agit d’ensembles non disjoints. Traditionnellement, l’opération d’union simple, représentée par le symbole « U », combine des éléments de deux ensembles sans duplication. Cependant, dans les contextes où les répétitions sont autorisées ou où des multiensembles sont pris en compte, l’union carrée ⊔  peut être utilisée pour souligner que les éléments peuvent apparaître plusieurs fois dans l’ensemble résultant. Le symbole ⊔ offre une approche nuancée du fonctionnement syndical dans des contextes où les répétitions sont prises en compte. Par exemple, étant donné deux multiensembles A = {1, 1, 2} et B = {1, 2, 2}, l’union carrée serait A ⊔ B = {1, 1, 1, 2, 2, 2}. » Extrait de l’article « The Mathematical Symbol Square Cup⊔  » sur le site « Mathematics Monster ».

∴∴

Donc soit l’opération ensembliste en générale de la concaténation sur deux ensembles ordonnés que je distingue comme étant de deux types que j’appelle tout d’abord la concaténation non juxtaposée, et ensuite la concaténation juxtaposée, et que je définis en général comme suit:

Si A={a₁, a₂, b₁, b₂ } et B={a₃, b₃, c₁, c₂, c₃}, avec a < b b > c, alors la concaténation non juxtaposée de A et B={a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃}. La concaténation juxtaposée de A et B={a₁, a₂, b₁, b₂, a₃, b₃, c₁, c₂, c₃}. 

∴∴∴

Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a’ ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a1 et p+1=a+a’; et avec a=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec 

p+1=card( SeqX’ᵢ ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}))+a+1, c’est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a’=,card( SeqX’ᵢ ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; soit la fonction de concaténation de deux intervalles d’éléments d’une séquence SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) notée par l’opérateur ‖, CONCATÉNATION( [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₓ₊ₖ] ‖ [xᵢ₌ₓ₊ₖ₊₁; xᵢ₌ₚ]  = [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}):

CONCATÉNATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ‖ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]  = [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] ) = ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) + (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))=( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))    

Nous remplaçons par des valeurs numériques, les variables x, n, a et p, définies par, ∀ xₙ ∈ SeqAₙ=( xₙ₌₁; xₙ₊₁; xₙ₊₂; xₙ₊₃; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqAₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1 }); ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*,  avec a=8, p=13, et toujours ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), nous détaillons maintenant chacune des expressions de (13) à (15), en écrivant leurs expressions et leurs représentations séquentielles comme soit la première fonction composée de la fonction de composition de la fonction de translation de mouvement séquentiel, qui est notée, CONCATÉNATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ‖ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) = [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] )= ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) + (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) = ( (⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)), devient en remplaçant par a=8 et p=13, l’expression notée CONCATÉNATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌₈] ‖ [xᵢ₌₈₊₁; xᵢ₌₁₃] ) = [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₃] ) = ( (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) + (((⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) – (⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1)) = ( (⌈|n/(13+1)-1|⌉-⌈n/(13+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)), dont la représentation est Seq=(1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0….), concaténée avec la séquence, Seq=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0…), résultant dans la séquence de concaténation Seq=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; 0;0;0;0;0;0….).