© « Tous droits réservés » – 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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En mathématiques, le terme de « segmentation » n’apparait qu’en analyse statistique à propos du « problème de détection de ruptures qui est un problème de régression ayant pour but d’estimer les instants où un signal présente des changements dans la distribution. De manière plus générale, on réalise de la détection de ruptures pour un signal ayant des changements dans la distribution (par exemple, dans la moyenne et la variance). La segmentation binaire cherche à la première itération l’indice de l’instant de ruptures« . Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.
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Ci-dessus mon illustration « d’artiste » (le dernier terme signifiant qu’il manque à cette représentation les parenthèses et les séparateurs qui sied à la rigueur mathématique) de la représentation de la séquence caractéristique de segmentations fondamentale au dessous des trois séquences représentant une fonction caractéristique.
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Ainsi donc si nous considérons un signal fait de nombres correspondant à des mesures de valeurs et ayant des changements dans la moyenne, soit les valeurs de 0 représentant ce changement, tandis que les valeurs de 1 représentent la continuité du signal, soit la continuité de valeur non nulle étant le signal même, nous pouvons donc définir la forme du segment de valeurs non nulles et du segment de valeurs nulles comme un ensemble d’éléments appartenant à une suite de nombres de valeurs dans l’ensemble {0;1}, donc implicitement un ensemble d’éléments appartenant à deux sous suites de nombres à valeurs de l’ensemble {0;1}, qui correspondent aux éléments résultants de la fonction caractéristique de sous segmentations que nous définissons donc généralement, mais non fondamentalement comme la fonction caractéristique donc de valeurs dans {0;1}, des éléments de valeurs successives nulles ou non nulles d’une suite de nombres quelconques, impliquant donc que nous définissons aussi généralement, mais non fondamentalement la fonction caractéristique de segmentations comme la fonction caractéristique particulière qui n’est qu’ à valeurs soit dans {0}, ou soit{1}, des éléments de valeurs successives nulles ou non nulles d’une suite de nombres quelconques.
Mais même par cette analogie entre les fonctions caractéristiques productrices de segments et des segments doubles qui sont soit des sous segments d’éléments uniformes de valeurs égales à 0 ou 1, soit un segment unique d’éléments de valeurs uniformes égales à 1, définissant notre objet mathématique, implicite dans le titre de ce chapitre, soit les segments et les sous segments caractéristiques, comme un ensemble d’éléments appartenant à une suite de nombres de valeurs dans l’ensemble {0;1}, alors implicitement appartenant à deux sous suites de nombres de valeurs de l’ensemble {0;1}, nous n’avons pas pour autant défini parfaitement notre sujet mathématique, aussi implicite dans le titre de ce chapitre, soit l’opération de segmentation fondamentale ce que nous définissons donc comme la production d’éléments appartenant à un ensemble d’éléments d’une suite de nombres uniquement à valeur dans {1} dont la somme totale correspond à la quantité d’éléments de cet ensemble, c’est-à-dire son cardinal; et l’opération de sous segmentation fondamentale comme l’opération de production d’éléments appartenant à un sous-ensemble d’éléments d’une sous suite de nombres
uniquement à valeur dans {1}, et d’un ensemble d’une suite de nombres à valeur dans {0;1}, et dont la somme totale correspond à la quantité d’éléments de cet ensemble de valeurs égales à 1, ou à 0, et formant un segment d’éléments de valeurs continues égales à 1 depuis la première valeur de cette séquence en partant de la gauche soit de la position d’indexe de valeur égale à 1, le début de la séquence, et segment uniforme auquel est concaténé à la fin du premier segment celui de valeur uniforme continue nulle correspondant aux éléments appartenant au deuxième sous-ensemble de la sous suite de nombres de valeurs nuls. Donc si la totalité d’éléments de valeurs 1 dans le cas d’une segmentation fondamentale correspond à la mesure de la quantité totale des éléments d’un ensemble, c’est-à-dire son cardinal d’ensemble d’éléments à valeur dans {0;1}. Tandis que dans une sous segmentation fondamentale, la totalité d’éléments de valeurs 1 correspond à la mesure de la quantité totale des éléments d’un des deux sous-ensembles, c’est à dire aussi le cardinal d’un des deux sous-ensembles d’éléments à valeur dans {0} ou à valeurs dans {1}.
Encore plus précisément, conceptuellement, le processus de la fonction caractéristique de segmentations
et de sous segmentation est le processus d’unification des unités élémentaires d’une suite de nombres appartenant au sous-ensemble {0,1}, qui sont soit produit par une autre fonction caractéristique, soit produit par un type particulier de fonctions caractéristiques formant une combinaison linéaire d’une fonction simple de segmentation. Cette unification qu’est tout processus de la segmentation et de la sous segmentation comme le processus d’unification des sous suites d’élément successif de valeurs identiques à soit à la valeur de 0, soit à la valeur de 1, est donc similaire à un processus de la fonction simple de translation de mouvement séquentiel séparant la séquence originale en deux segments continus de valeurs uniformément identiques soit égales à 0 soit égales à 1, ce qui correspond à un processus de déplacement d’une sous suite de valeurs successives et identiques à 1 de la droite vers la gauche, jusqu’à la position d’index de valeur 1, ou 0, et donc avec leur remplacement par la valeur 1; et avec concaténation aux deux extrémités segmentales des deux segments représentant ces deux sous-ensembles qui sont deux sous suites de nombres.
et de sous segmentation est le processus d’unification des unités élémentaires d’une suite de nombres appartenant au sous-ensemble {0,1}, qui sont soit produit par une autre fonction caractéristique, soit produit par un type particulier de fonctions caractéristiques formant une combinaison linéaire d’une fonction simple de segmentation. Cette unification qu’est tout processus de la segmentation et de la sous segmentation comme le processus d’unification des sous suites d’élément successif de valeurs identiques à soit à la valeur de 0, soit à la valeur de 1, est donc similaire à un processus de la fonction simple de translation de mouvement séquentiel séparant la séquence originale en deux segments continus de valeurs uniformément identiques soit égales à 0 soit égales à 1, ce qui correspond à un processus de déplacement d’une sous suite de valeurs successives et identiques à 1 de la droite vers la gauche, jusqu’à la position d’index de valeur 1, ou 0, et donc avec leur remplacement par la valeur 1; et avec concaténation aux deux extrémités segmentales des deux segments représentant ces deux sous-ensembles qui sont deux sous suites de nombres.
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I) LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE DE SEGMENTATION FONDAMENTALE
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Après avoir dans notre introduction précédemment défini l’objet et le sujet mathématiques implicites dans le titre de notre chapitre, il nous reste néanmoins à expliciter la notion du terme fondamentale dans fonction caractéristique de segmentation fondamentale et pour cela il est nécessaire avant même d’écrire cette deuxième catégorisation générale des fonctions caractéristiques de segmentation que nous écrirons dans les chapitres qui vont suivre, d’énoncer que si toute fonction caractéristique d’annulation est aussi une fonction caractéristique de segmentation c’est à la première condition qu’il existe au moins une valeur nulle dans le domaine d’arrivée de la fonctions caractéristique d’annulation pour qu’elle soit définie comme telle; et à la deuxième condition qu’il existe au moins une valeur non nulle dans son ensemble d’arrivée pour qu’une fonction caractéristique de segmentation soit définie comme telle. Nous rappelons qu’en mathématiques, « un codomaine ou ensemble de destination ou ensemble d’arrivée d’une fonction est un ensemble dans lequel toute la sortie de la fonction est contrainte de tomber. C’est l’ensemble Y dans la notation f : X → Y. Le terme plage est parfois utilisé de manière ambiguë pour désigner soit le codomaine, mais l’ensemble d’arrivée ne doit pas être confondu avec l’image f(A) de f, qui est en général seulement un sous-ensemble de B. » Extrait de l’article intitulé « Ensemble d’arrivée Codomaine » de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.
Donc toute fonction caractéristique ayant à la fois au moins une seul valeur nulle et au moins une seul valeur non nulle est donc simultanément une fonction caractéristique d’annulation et de segmentation. Donc nous nous intéresserons ici dans ce chapitre au seul cas ou la fonction de segmentation n’est pas simultanément une fonction d’annulation, c’est à dire la fonction caractéristique dont aucune valeurs de ces éléments n’est nulles et dont tous les éléments sont à valeurs dans l’ensemble {1}, et cette propriété correspond à la définition du terme de fondamentale souligné dans les termes de fonction caractéristique de segmentation fondamentale.
Il existe néanmoins une autre manière de concevoir cette même définition du terme de fondamentale en considérant que la première catégorisation élémentaire des fonctions caractéristiques d’annulations, déterminant justement une fonction caractéristique d’annulation fondamentale n’aboutis pas à la création d’une fonction caractéristique de segmentation et ne doit pas être confondue avec une fonction de segmentation. En effet rappelons qu’une fonction caractéristique d’annulation simple notée en général NULL([xₙ₌ₚ]) ↔1A(INDEX(xₙ₌ₚ))*xₙ=0, et définie comme la fonction caractéristique d’annulation d’une seule valeur non nulle de n’importe quel élément xₙ₌ₚ d’une suite de nombres à valeurs dans un ensemble quelconque de R*, est définie comme suit:
1A: R*→ {0,1}
- 1A(INDEX(xᵢ))=1, si INDEX(xₙ)≠p ∧ xᵢ ≠ xₙ₌ₚ
- 1A(INDEX(xᵢ))=0, si INDEX(xₙ₌ₚ)=p ∧ xᵢ= xₙ₌ₚ
L’expression de cette fonction caractéristique de la valeur d’indexe de l’élément xᵢ d’une séquence quelconque de nombres SeqXₙ₌ₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃..xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ..) de valeurs non nulles dans R* et de valeur d’index différente de la valeur d’index égale à p de N*, est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqXₙ₌ₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ…) ∈ R*; ∀ n ∈ N*; et soit NULL([xₙ₌ₚ]) ↔
1A(INDEX(xₙ₌ₚ))*xₙ=0:
1A(INDEX(xₙ₌ₚ))=⌈ ⌈ |n/p-1| ⌉/( ⌈ |n/p-1| ⌉+1) ⌉ (a₁).
Ou bien encore la fonction caractéristique inverse, toujours notée 1- 1A(INDEX(xₙ₌ₚ)), soit:
1A: R*→ {0,1}
- 1A(INDEX(xₙ₌ₚ))=1, si INDEX(xₙ)=p
- 1A(INDEX(xₙ₌ₚ))=0, si INDEX(xₙ)≠p
L’expression de cette fonction caractéristique de la valeur d’indexe de l’élément xᵢ d’une séquence quelconque de nombres SeqXₙ₌ₚ₊ₓ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃..xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ..) de valeurs non nulles dans R* et de valeur d’indexe égale à la valeur d’indexe égale à p de N*, est définie comme suit:
∀ xₙ ∈ SeqX=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ…) ∈ R, ∀ n ∈ N*, et soit NULL([xₙ≠ₚ]) ↔ (1-1A(INDEX(xₙ₌ₚ))*xₙ=0 ↔1A(INDEX(xₙ≠ₚ))*xₙ=0:
1-1A(INDEX(xₙ₌ₚ))=1-⌈⌈ |n/p -1| ⌉/( ⌈ |n/p -1| ⌉+1)⌉ (a₂).
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Prenons un exemple, avec l’annulation de la quatrième valeur d’une suite de nombres représentée par SeqXₙ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃,.xₙ₌ₚ,..xₙ₌ₚ₊ₓ…), en général et en particulier par SeqAᵢ₌₂₃=(511;177;
174;571;152;1228;959;60;555;199;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;57;138; 250; 12171; 499). Donc en remplaçant par les valeurs de SeqAᵢ₌₂₃ dans l’expression précédente (a₁), comme suit:
Soit p=4, la valeur d’index de xₙ₌ₚ donc INDEX(xₙ₌₄)=4; ∀ n ∈ N*; et soit NULL([xₙ₌₄]) ↔ 1A(INDEX(xₙ₌₄))*xₙ=0:
1A(INDEX(xₙ₌₄))=⌈ ⌈ |n/4 -1| ⌉/( ⌈ |n/4 -1| ⌉+1) ⌉ , dont la représentation est la séquence Seq(0;1)ᵢ₌₂₃=(1;1;1;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1). Nous obtenons l’annulation de la quatrième valeur de SeqAᵢ₌₂₃, soit l’expression:
1A(INDEX(xₙ₌₄)))*xₙ=⌈ ⌈ |n/4 -1| ⌉/( ⌈ |n/4 -1| ⌉+1) ⌉*xₙ, soit une expression dont la représentation est SeqA’ᵢ₌₂₃(511;177;174;0;152;1228;959;60;555;199;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;57;138;250;12171;499).
On pourrait donc penser que l’expression de la fonction caractéristique de segmentation de SeqA’ᵢ₌₂₃ est identique à celle de la fonction caractéristique d’annulation dans l’exemple ci-dessus notée 1A(INDEX(xₙ₌₄)=4)=⌈⌈ |n/4 -1| ⌉/( ⌈ |n/4 -1| ⌉+1)⌉, et dont la représentation est la séquence Seq(0;1)ᵢ₌₂₃=(1;1;1;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1), car cette représentation semble correspondre symboliquement à tous les éléments de SeqA’ᵢ₌₂₃ écrit symboliquement représenté exhaustivement par 1 et 0, c’est-à-dire que les éléments non nuls de SeqA’ᵢ₌₂₃ sont représentés par des éléments de valeur égale à 1 tandis que les éléments nuls sont représentés par des éléments de valeur égale à 0. Mais il n’en est rien si nous rappelons que cette représentation de SeqA’ᵢ₌₂₃ correspond exactement à la définition de la fonction caractéristique à l’origine ou fondamentale qui est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E telle que:
1A: R → {0,1}
- 1A(yᵢ-x)=0, si yᵢ-x=0 ∧ x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞
- 1A(yᵢ-x)=1, si yᵢ-x≠0 ∧ x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞
L’expression de cette fonction caractéristique fondamentale notée 1A(yᵢ-x) de yᵢ-x=0 et x appartenant à SeqEᵢ₌ₙ₊∞ est encore définie tout d’abord comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ-x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ (A)’.
Donc dans notre exemple, si nous vérifions l’appartenance de chaque élément x=xₙ=yᵢ₌ₙ ∈ SeqA’ᵢ₌₂₃=(511;177;174;0;152;1228;959;60;555;199;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;57;138;250;
12171;499) en replaçant par les valeurs correspondantes à x=xₙ=0 et yᵢ ∈ SeqA’ᵢ₌₂₃ dans l’expression 1A(x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ avec ∀ yᵢ ∈ SeqA’ᵢ₌₂₃=(yᵢ₌₁; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇;….yᵢ₌₂₃) soit l’expression:
1A(yᵢ-x)={ 1A(x)=0 ∨ 1A(x)=1 | ⌈|yᵢ₌₁-x|/(|yᵢ₌₁-x|+1)⌉ ∪⌈|yᵢ₌₂-x|/(|yᵢ₌₂-x|+1)⌉ ∪⌈|yᵢ₌₃-x|/(|yᵢ₌₃-x|+1)⌉ ∪⌈|yᵢ₌₄-x|/(|yᵢ₌₄-x|+1)⌉ ∪⌈|yᵢ₌₅-x|/(|yᵢ₌₅-x|+1)⌉ ∪⌈|yᵢ₌₆-x|/(|yᵢ₌₆-x|+1)⌉ ∪⌈|yᵢ₌₇-x|/(|yᵢ₌₇-x|+1)⌉ ∪ ⌈ |yᵢ₌₈-x|/(|yᵢ₌₈-x|+1)⌉∪⌈|yᵢ₌₉-x|/(|yᵢ₌₉-x|+1)⌉ ∪ ⌈|yᵢ₌₁₀-x|/(|yᵢ₌₁₀-x|+1)⌉ ∪ ⌈|yᵢ₌₁₁-x|/(|yᵢ₌₁₁-x|+1)⌉∪⌈|yᵢ₌₁₂-x|/(|yᵢ₌₁₂-x|+1)⌉∪⌈|yᵢ₌₁₃-x|/(|yᵢ₌₁₃-x|+1)⌉∪⌈|yᵢ₌₁₄-x|/(|yᵢ₌₁₄-x|+1)⌉∪⌈|yᵢ₌₁₅-x|/(|yᵢ₌₁₅-x|+1)⌉∪⌈|yᵢ₌₁₆-x|/(|yᵢ₌₁₆-x|+1)⌉∪⌈|yᵢ₌₁₇-x|/(|yᵢ₌₁₇-x|+1)⌉∪⌈|yᵢ₌₁₈-x|/(|yᵢ₌₁₈-x|+1)⌉ ∪ ⌈|yᵢ₌₁₉-x|/(|yᵢ₌₁₉-x|+1)⌉∪⌈|yᵢ₌₂₀-x|/(|yᵢ₌₂₀-x|+1)⌉ ∪ ⌈|yᵢ₌₂₁-x|/(|yᵢ₌₂₁-x|+1)⌉ ∪⌈|yᵢ₌₂₂-x|/(|yᵢ₌₂₂-x|+1)⌉ ∪⌈|yᵢ₌₂₃-x|/(|yᵢ₌₂₃-x|+1)⌉ } (A1)’↔ (A2)’
1A(yᵢ-x)={ 1A(x)=0 ∨ 1A(x)=1 | ⌈|511-x|/(|511-x|+1)⌉ ∪ ⌈|177-x|/(|177-x|+1)⌉ ∪ ⌈|174-x|/(|174-x|+1)⌉ ∪ ⌈|0-x|/(|0-x|+1)⌉ ∪ ⌈|152-x|/(|152-x|+1)⌉ ∪ ⌈|1228-x|/(|1228-x|+1)⌉ ∪ ⌈|959-x|/(|959-x|+1)⌉ ∪ ⌈|60-x|/(|60-x|+1)⌉ ∪ ⌈|555-x|/(|555-x|+1)⌉ ∪ ⌈|199-x|/(|199-x|+1)⌉ ∪ ⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ ⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ ⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ ⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ ⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ ⌈ |1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ ⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ ⌈|57-x|/(|57-x|+1)⌉ ∪ ⌈ |138-x|/(|138-x|+1)⌉∪ ⌈|250-x|/(|250-x|+1)⌉ ∪ ⌈|12171-x|/(|12171-x|+1)⌉ ∪ ⌈|499-x|/(|499-x|+1)⌉ } (A2)’ ↔ (A3)’
Pour x=0, 1A(yᵢ-x)={1A(x)=0 ∨ 1A(x)=1 | ⌈|511-0|/(|511-0|+1)⌉ ∪⌈|177-0|/(|177-0|+1)⌉∪⌈|174-0|/(|174-0|+1)⌉ ∪⌈|0-0|/(|0-0|+1)⌉∪⌈|152-0|/(|152-0|+1)⌉ ∪ ⌈|1228-0|/(|1228-0|+1)⌉ ∪ ⌈|959-0|/(|959-0|+1)⌉ ∪ ⌈|60-0|/(|60-0|+1)⌉∪⌈|555-0|/(|555-0|+1)⌉ ∪⌈|199-0|/(|199-0|+1)⌉∪⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉∪⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉∪⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪ ⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪ ⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪⌈|57-0|/(|57-0|+1)⌉ ∪⌈|138-0|/(|138-0|+1)⌉ ∪⌈|250-0|/(|250-0|+1)⌉ ∪⌈|12171-0|/(|12171-0|+1)⌉ ∪⌈|499-0|/(|499-0|+1)⌉ } (A3)’↔(A4)’
Pour x=0, 1A(yᵢ-x)={1A(yᵢ-x)=0 ∨ 1A(yᵢ-x)=1 | Seq(0;1)ᵢ₌₂₃=(1;1;1;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1
;1;1;1;1)} (A4)’.
Donc cette dernière expression de la représentation ensembliste de la fonction caractéristique fondamentale d’appartenance de x à SeqA’ᵢ₌₂₃ notée 1A(x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ signifie que seul 0 appartient à SeqA’ᵢ₌₂₃ et donc il nous faut compléter la relation d’appartenance pour quelle soit exhaustive en écrivant la fonction caractéristique d’appartenance fondamentale de tous les autres éléments de SeqA’ᵢ₌₂₃ autre que 0, soit pour toutes autres valeurs possible que la valeur de 0 de x=xₙ=yᵢ₌ₙ ∈ SeqA’ᵢ₌₂₃. Nous obtenons ainsi l’expression finale suivante:
∪ᵢ₌₁→ᵢ₌₂₃1A(yᵢ-x)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃)=1A(yᵢ-511)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-177)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃)
∪ 1A(yᵢ-174)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪1A(yᵢ-0)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-152)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1228)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-959)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-60)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-555)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-199)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-57)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-138)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-250)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-12171)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-499)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) (A5)’ ↔(A6)’
∪ᵢ₌₁→ᵢ₌₂₃1A(yᵢ-x)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃)={1A(yᵢ-x)=0 ∧ 1A(yᵢ-x)=1 | Seq(0;1)ᵢ₌₂₃=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;
1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1)} (A6)’ ↔ (A6′)’.
Donc la fonction caractéristique fondamentale dite fonction caractéristique d’appartenance de tous les éléments x à un ensemble quelconque noté SeqA »ᵢ tel que yᵢ₌ₙ ∈ SeqA »ᵢ, si elle est exhaustive notée ∪ᵢ₌ₙ→ᵢ₌ₙ₊∞ 1A(yᵢ-x)/Card(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞), avec 1A(yᵢ-x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉, alors elle est aussi appelée la fonction caractéristique de segmentation fondamentale de SeqA »ᵢ qui, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n’est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R dont le cardinal n(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞)=Card(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞)=ω que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; :
SGMTFDMT([xᵢ₌₁; xᵢ₌ₙ₊∞]) ↔ ∪ᵢ₌ₙ→ᵢ₌ₙ₊∞ 1A(yᵢ-x)/Card(SeqA’ᵢ₌ₙ₊∞)={1A(yᵢ-x)=0 ∧ 1A(yᵢ-x)=1 | Seq(0;1)ᵢ₌ₙ₊∞=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1……)} (A6′)’↔ (A7)’
SGMTFDMT([xᵢ₌₁; xᵢ₌ₙ₊∞])=∪ᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₊∞ ( ⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ / ( ∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] + ∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) ) (A7)’.
∴
Maintenant que nous avons déterminé la représentation fondamentale de la fonction caractéristique, illustrée dans les termes de l’expression (A6′)’, nous pouvons donc simplifier cette dernière expression équivalente (A7)’, en considérant l’expression de la fonction caractéristique de segmentation fondamentale comme équivalente à l’autre expression de la fonction caractéristique à l’origine ou fondamentale de l’appartenance d’un élément à un ensemble d’élément, que nous avons définie dans notre introduction à notre ouvrage, intitulé « Avant tout commencement« , qui est une fonction définie sur un ensemble SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R de tout élément de l’ensemble SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R telle que:
1A: R → {0,1}
- 1A(yᵢ-x)=0, si yᵢ-x=0 ∧ x ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
- 1A(yᵢ-x)=1, si yᵢ-x≠0 ∧ x ∉ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(yᵢ-x) de yᵢ-x=0 et x appartenant à SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ est encore définie tout d’abord comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({xᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ (A’)’.
⁂
Donc d’après notre définition ci-dessus notre nouvelle expression simplifiée de la fonction caractéristique de segmentation fondamentale ne comprendra plus les termes de l’union d’éléments de séquence de nombres dont un seul à la valeur de zéro et tous donc sauf un seul élément ont une valeur de 1 ce qui résulte en une opération de division par le cardinal de l’ensemble pour réduire l’ensemble des éléments résultants de l’opération ensembliste d’union en un ensemble d’éléments à valeur 1 et non pas chacun à valeur du cardinal de l’ensemble, donc la justification de la simplification de cette nouvelle expression étant maintenant seulement expliquée dans son mécanisme, il nous reste à l’écrire pour achever de la simplifier en la définissant comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
SGMTFDMT([xᵢ₌₁;xᵢ₌ₙ₊∞]) ↔ ∪ᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₊∞ (1-1A(yᵢ-x))={1-1A(yᵢ-x)=0 ∧ 1-1A(yᵢ-x)=1 | Seq(0;1)ᵢ₌ₙ₊∞=(1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1……)} (A’1′) ↔ (A’2′)
SGMTFDMT([xᵢ₌₁;xᵢ₌ₙ₊∞])=∪ᵢ₌₁→ᵢ₌ₙ₊∞( 1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ ) (A’2′).
⁂
Donc en reprenant notre exemple précédent , si nous vérifions l’appartenance de chaque élément x=xₙ=yᵢ ∈ SeqA’ᵢ₌₂₃=(511;177;174;0;152;1228;959;60;555;199;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244
;1244;57;138;250;12171;499) en replaçant par les valeurs correspondantes à x=xₙ=0 et yᵢ ∈ SeqA’ᵢ₌₂₃ dans l’expression 1-1A(x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ avec ∀ yᵢ ∈ SeqA’ᵢ₌₂₃=(yᵢ₌₁; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇;….yᵢ₌₂₃) soit l’expression:
1-1A(yᵢ-x)={ 1-1A(x)=0 ∨ 1- 1A(x)=1 | 1-⌈|yᵢ₌₁-x|/(|yᵢ₌₁-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₂-x|/(|yᵢ₌₂-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₃-x|/(|yᵢ₌₃-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₄-x|/(|yᵢ₌₄-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₅-x|/(|yᵢ₌₅-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₆-x|/(|yᵢ₌₆-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₇-x|/(|yᵢ₌₇-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₈-x|/(|yᵢ₌₈-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₉-x|/(|yᵢ₌₉-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₀-x|/(|yᵢ₌₁₀-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₁-x|/(|yᵢ₌₁₁-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₂-x|/(|yᵢ₌₁₂-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₃-x|/(|yᵢ₌₁₃-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₄-x|/(|yᵢ₌₁₄-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₅-x|/(|yᵢ₌₁₅-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₆-x|/(|yᵢ₌₁₆-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₇-x|/(|yᵢ₌₁₇-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₈-x|/(|yᵢ₌₁₈-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₁₉-x|/(|yᵢ₌₁₉-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₂₀-x|/(|yᵢ₌₂₀-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₂₁-x|/(|yᵢ₌₂₁-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₂₂-x|/(|yᵢ₌₂₂-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|yᵢ₌₂₃-x|/(|yᵢ₌₂₃-x|+1)⌉ } (A’1’1) ↔ (A’2’1)
1-1A(yᵢ-x)={ 1-1A(x)=0 ∨ 1-1A(x)=1 | 1-⌈|511-x|/(|511-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|177-x|/(|177-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|174-x|/(|174-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|0-x|/(|0-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|152-x|/(|152-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1228-x|/(|1228-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|959-x|/(|959-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|60-x|/(|60-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|555-x|/(|555-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|199-x|/(|199-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉∪ 1-⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-x|/(|1244-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|57-x|/(|57-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|138-x|/(|138-x|+1)⌉ ∪ ⌈1-|250-x|/(|250-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|12171-x|/(|12171-x|+1)⌉ ∪ 1-⌈|499-x|/(|499-x|+1)⌉ } (A’2’1) ↔ (A’3’1)
Pour x=0, 1A(yᵢ-x)={1A(x)=0 ∨ 1A(x)=1 | 1-⌈|511-0|/(|511-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|177-0|/(|177-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|174-0|/(|174-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|0-0|/(|0-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|152-0|/(|152-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1228-0|/(|1228-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|959-0|/(|959-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|60-0|/(|60-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|555-0|/(|555-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|199-0|/(|199-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉∪⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|1244-0|/(|1244-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|57-0|/(|57-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|138-0|/(|138-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|250-0|/(|250-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|12171-0|/(|12171-0|+1)⌉ ∪ 1-⌈|499-0|/(|499-0|+1)⌉ } (A’3’1) ↔ (A’4’1)
Pour x=0, 1A(yᵢ-x)={1-1A(x)=0 ∨ 1-1A(x)=1 | Seq(0;1)ᵢ₌₂₃=(0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0
;0)} (A’4’1).
SGMTFDMT([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₃]) ↔ ∪ᵢ₌₁→ᵢ₌₂₃1A(yᵢ-x)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃)=1A(yᵢ-511)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪
1A(yᵢ-177)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-174)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪1A(yᵢ-0)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-152)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1228)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-959)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-60)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-555)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-199)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-1244)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-57)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-138)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-250)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-12171)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) ∪ 1A(yᵢ-499)/Card(SeqA’ᵢ₌₂₃) (A5)’ ↔(A6)’
SGMTFDMT([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₃]) ↔ ∪ᵢ₌₁→ᵢ₌₂₃1A(yᵢ-x)/23=1A(yᵢ-511)/23 ∪ 1A(yᵢ-177)/23 ∪ 1A(yᵢ-174)/23
∪1A(yᵢ-0)/23 ∪ 1A(yᵢ-152)/23 ∪ 1A(yᵢ-1228)/23 ∪ 1A(yᵢ-959)/23 ∪ 1A(yᵢ-60)/23 ∪ 1A(yᵢ-555)/23 ∪ 1A(yᵢ-199)/23 ∪ 1A(yᵢ-1244)/23 ∪ 1A(yᵢ-1244)/23 ∪ 1A(yᵢ-1244)/23 ∪ 1A(yᵢ-1244)/23 ∪ 1A(yᵢ-1244)/23 ∪ 1A(yᵢ-1244)/23 ∪ 1A(yᵢ-1244)/23 ∪ 1A(yᵢ-1244)/23 ∪ 1A(yᵢ-57)/23 ∪ 1A(yᵢ-138)/23 ∪ 1A(yᵢ-250)/23 ∪ 1A(yᵢ-12171)/23 ∪ 1A(yᵢ-499)/23 (A5)’ ↔(A6)’
SGMTFDMT([xᵢ₌₁;xᵢ₌₂₃]) ↔∪ᵢ₌₁→ᵢ₌₂₃1A(yᵢ-x)/23={1A(yᵢ-x)=0 ∧ 1A(yᵢ-x)=1 | Seq(0;1)ᵢ₌₂₃=(1;1;1;1;
1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1)} (A6)’ ↔ (A6′)’.
⁂
Néanmoins après avoir simplifié l’expression de la fonction caractéristique de segmentation fondamentale, nous remarquons que le terme supprimé qui correspond à l’expression du cardinal d’un ensemble est modifiable pour devenir l’expression encore plus simplifiée de cette fonction caractéristique et que nous définissons maintenant à nouveau comme suit:
1A: R → {0, 1}:
- 1A(yᵢ)=1, si yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
- 1A(yᵢ)=0, si yᵢ ∉ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
L’expression de cette fonction caractéristique des éléments yᵢ de ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ notée, 1A(yᵢ ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] ∪ (1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)
Remarquons que l’expression du cardinal de n’importe quel ensemble d’éléments d’une séquence de nombres après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n’est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R dont le cardinal n(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞)=Card(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞)=ω que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], est définie comme suit:
Card(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞) = ( ∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ))] ) + ( ∑ n=1→n=∞: [(1-1A(yᵢ))] ) = ( ∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] ) + ( ∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] ) (A’1’1′)
Alors l’expression de l’opération ensembliste correspondant à l’expression de la fonction caractéristique de segmentation fondamentale est donc:
SGMTFDMT( [yᵢ₌₁;yᵢ₌ₙ₊∞] ) = (1-1A(yᵢ)) ∪ 1A(yᵢ)=(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉) ∪ ⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ (A’2’1′)
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Nous devons maintenant pour conclure ce premier titre de notre chapitre, nous demander à quoi sert le terme de fondamentale dans l’expression de la fonction caractéristique de segmentation fondamentale autrement qu’à exprimer celui ci, et la réponse est que ce n’est simplement pas exactement comme ce à quoi sert l’expression de la fonction caractéristique à l’origine ou fondamentale d’appartenance d’un élément à un ensemble, ou le terme de fondamentale permet de catégoriser une fonction caractéristique comme étant par extension toutes les autres expressions possibles de fonction caractéristiques d’appartenance mais pas seulement, et donc à toutes les replacer fondamentalement éventuellement. Tandis qu’ici le terme de fondamentale sert à catégoriser strictement en les séparant dans une catégorie différente toutes les autres fonctions de segmentation que l’on qualifiera de générales parce qu’elles sont toutes à la fois des fonctions d’annulations et des fonction de segmentation contrairement à la fonction caractéristique de segmentation fondamentale qui n’est absolument pas simultanément une fonction caractéristique d’annulation de part son unique propriété de non annulation.
Mais il pourrait sembler que la définition du terme de fondamentale dans les termes de fonctions caractéristiques de sous segmentation ne soit plus la même et ne corresponde plus à la même propriété d’unicité comme précédemment pour la fonction caractéristique de segmentation fondamentale dont les éléments sont tous et toujours de valeurs dans {1}, parce que le terme fondamentale dans les termes de fonction caractéristique de sous segmentation fondamentale correspondrait à un processus unique d’une expression unique pour obtenir cette deuxième fonction caractéristique, mais pas seulement car en fait il correspond aussi à la référence à l’origine du début de la séquence correspondant à la représentation de la fonction caractéristique de sous segmentation fondamentale, soit le premier élément à valeur d’indexe de position égal à 1, plus familièrement au début de la séquence, ce que nous explicitons maintenant dans le deuxième titre suivant de notre chapitre.
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Ci-dessus à droite mon illustration « d’artiste » (le dernier terme signifiant qu’il manque à cette représentation les parenthèses et séparateurs qui sied à la rigueur mathématique) de la représentation séquentielle de la fonction caractéristique de sous segmentation double fondamentales de deux types, représentées sous les trois séquences caractéristiques.
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II) LES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SOUS SEGMENTATIONS FONDAMENTALES NULLES ET NON NULLES
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Si une fonction de segmentation semble correspondre à un processus opposé à celui de l’annulation remplaçant les valeurs des éléments d’une suite de nombres par la valeur de 0, c’est à dire que la segmentation est un processus d’unitarisation (un néologisme provenant du français laurentien signifiant « Emballage des produits à l’unité », et par extension ici la transformation en l’unité des nombres.) au sens de remplacement des valeurs des éléments d’une suite de nombres par 1, le processus de sous segmentation vient compléter utilement cette dernière qualification en ajoutant celle de mesure de la longueur d’un segment de valeur non nulle et nulle, car la sous segmentation n’est qu’un processus d’unitarisation partiel soit de toutes les valeurs non nulles ou soit de toutes les valeurs nulles une alternance donc résultant dans un contraste entre valeurs nulles et non nulles, la base de leur mesure respective par la longueur segmentale soit la quantité d’éléments, le cardinal. Donc, nous continuons dans ce deuxième titre notre catégorisation des fonctions indicatrices, et nous considérons ensuite dans cette nouvelle catégorisation générale des fonctions indicatrices, après la deuxième catégorie des fonctions caractéristiques de segmentation fondamentale, la troisième catégorie qui est celle que j’appelle « la fonction caractéristique de sous segmentation fondamentale« , notée de deux façons correspondant à deux cas possible de son ensemble de définition soit, la première étant SOUSGMTFDMTNL( [ yᵢ₌ₙ=0; yᵢ₌ₙ₊∞=0 ] ), c’est-à-dire la fonction indicatrice de n’importe quelle suite de nombres caractéristiques d’un sous segment d’éléments d’un ensemble d’éléments noté SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ et à valeurs nulles, définies comme suit en trois étapes:
1A: R → {0, 1}:
- 1A(yᵢ)=1, si yᵢ=0 ∧ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
- 1A(yᵢ)=0, si yᵢ≠0 ∧ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
L’expression de cette fonction caractéristique des éléments yᵢ nuls de ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ notée, 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*. Alors l’expression de la fonction du cardinal ω des éléments de yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs nulles, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n’est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R dont le cardinal n(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞)=Card(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞)=ω que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], est définie comme suit:
Card(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0})) =∑ n=1→n=∞: [ (1-1A(yᵢ)) ]=∑ n=1→n=∞: [(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]=ω (A’1’2′)
Puis dans une deuxième étape, nous déduisons de l’expression de l’opération ensembliste du cardinal des éléments de yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs nulles, et égales à la variable ω, l’expression de la première fonction caractéristique de sous segmentation fondamentale d’éléments yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ de valeurs nulles, comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(INDEX(yᵢ))=0, si INDEX(yᵢ) < = ω
- 1A(INDEX(yᵢ))=1, si INDEX(yᵢ) > ω
L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(INDEX(yᵢ)) des valeurs d’indexe des éléments yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ inférieure ou égale à ω est définie comme suit :
∀ ω ∈ N*; ∀ n ∈ N*;∀ x ∈ N*; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
TRANSLATION( [yᵢ₌ₙ=0; yᵢ₌ₙ₊∞=0]⋆⋆[yᵢ₌₁=0; yᵢ₌ₙ₊∞₋ₓ=0] )= 1-(⌈|n/(ω+1)-1|⌉-⌈n/(ω+1)⌉+1) (A’2’2′), avec comme précédemment la valeur de la variable ω est égale à la quantité des éléments de valeur nulle dans (A’2’2′), expression de la fonction de segmentation fondamentale translationnelle, c’est à dire simultanément une fonction de segmentation et une fonction de translation de mouvement séquentiel représentée théoriquement par la séquence correspondant à la suite de nombre Seq{0;1}=(0;0;0;0;0;……1;1;1;1).
Enfin dans une troisième étape nous l’expression de la première fonction caractéristique de sous segmentation fondamentale d’éléments yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs nulles, définie comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(1-(⌈|n/(ω+1)-1|⌉-⌈n/(ω+1)⌉+1) )=1, si INDEX(yᵢ) <= ω
- 1A(1-(⌈|n/(ω+1)-1|⌉-⌈n/(ω+1)⌉+1) )=0, si INDEX(yᵢ) > ω
L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(1-(⌈|n/(ω+1)-1|⌉-⌈n/(ω+1)⌉+1) ) de l’expression de la fonction caractéristique notée 1A(INDEX(yᵢ)) des valeurs d’indexe des éléments yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
inférieure ou égale à ω est définie comme suit :
∀ ω ∈ N*. ∀ n ∈ N*; Kᵢ=1-(⌈|n/(ω+1)-1|⌉-⌈n/(ω+1)⌉+1); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
SOUSGMTFDMTNL( [yᵢ₌ₙ=0; yᵢ₌ₙ₊∞=0 )=1-1A(Kᵢ)=1-⌈|Kᵢ| / (|Kᵢ|+1)⌉ (A’2’3′)
SOUSGMTFDMTNL( [yᵢ₌ₙ=0; yᵢ₌ₙ₊∞=0] )=(1-1A(1-(⌈|n/(ω+1)-1|⌉-⌈n/(ω+1)⌉+1) ))=(1-⌈|1-(⌈|n/(ω+1)-1|⌉-⌈n/(ω+1)⌉+1) |/(|1-(⌈|n/(ω+1)-1|⌉-⌈n/(ω+1)⌉+1) +1)⌉) (A’2’3′)
⁂
Donc en prenant l’exemple de yᵢ₌ₙ ∈ SeqA »’ᵢ₌₁₃=(511;0;174;0;0;0;0;60;555;0;0;1244;1244)
⁂
Soit la deuxième façon notée SOUSGMTFDMTNNL( [yᵢ₌ₙ≠0; yᵢ₌ₙ₊∞≠0] ), c’est-à-dire la fonction caractéristique d’un sous segment d’éléments à valeurs non nulles d’un ensemble d’éléments noté SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞, et qui est définie comme suit en trois étapes:
1A: R→ {0, 1}:
- 1A(yᵢ)=0, si yᵢ=0 ∧ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
- 1A(yᵢ)=1, si yᵢ≠0 ∧ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
L’expression de cette fonction caractéristique des éléments yₙ non nuls de ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ notée, 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; alors l’expression de la fonction du cardinal des éléments de yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs non nulles, de valeur ν, après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n’est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R dont le cardinal n(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞)=Card(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞)=ω que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], est définie comme suit:
Card(SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞={yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ≠0})) =∑ n=1→n=∞: [(1A(yᵢ))]=∑ n=1→n=∞: [(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)] = ν (A »1 »3 »)
Puis dans une deuxième étape nous déduisons de l’expression de l’opération ensembliste du cardinal des éléments de yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs nulles, et égale à la variable ν, l’expression de la deuxième fonction caractéristique de sous segmentation fondamentale d’éléments yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs non nulles, comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(INDEX(yᵢ))=1, si INDEX(yᵢ) < = ν
- 1A(INDEX(yᵢ))=0, si INDEX(yᵢ) > ν
L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(INDEX(yᵢ)) des valeurs d’indexe des éléments yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ et qui sont inférieures ou égales à ν est définie comme suit :
∀ ω ∈ N*; ∀ n ∈ N*;∀ x ∈ N*;∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N* :
TRANSLATION( [yᵢ₌ₙ≠0; yᵢ₌ₙ₊∞≠0 ]⋆⋆[yᵢ₌₁≠0 ; yᵢ₌ₙ₊∞₋ₓ≠0])=⌈|n/(ν+1)-1|⌉-⌈n/(ν+1)⌉+1 (A’2’2′), avec comme précédemment la valeur de la variable ω est égale à la quantité des éléments de valeur nulle dans (A’2’2′), expression de la fonction de segmentation fondamentale translationnelle, c’est à dire simultanément une fonction de segmentation et une fonction de translation de mouvement séquentiel représentée théoriquement par la séquence correspondant à la suite de nombre Seq{0;1}=(1;1;1;1……0;0;0;0;0;).
Enfin dans une troisième étape nous l’expression de la première fonction caractéristique de sous segmentation fondamentale d’éléments yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞ à valeurs nulles, définie comme suit:
1A: R→ {0,1}
- 1A(1-(⌈|n/(ν+1)-1|⌉-⌈n/(ν+1)⌉+1) )=1, si INDEX(yᵢ) <= ν
- 1A(1-(⌈|n/(ν+1)-1|⌉-⌈n/(ν+1)⌉+1) )=0, si INDEX(yᵢ) > ν
L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(1-(⌈|n/(ν+1)-1|⌉-⌈n/(ν+1)⌉+1) ) de l’expression de la fonction caractéristique notée 1A(INDEX(yᵢ)) des valeurs d’indexe des éléments yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₙ₊∞
et qui sont inférieures ou égales à ν est définie comme suit :
∀ ν ∈ N*, ∀ n ∈ N*; Vᵢ=⌈|n/(ν+1)-1|⌉-⌈n/(ν+1)⌉+1; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
SOUSGMTFDMTNNL( [yᵢ₌ₙ≠0; yᵢ₌ₙ₊∞≠0] )=1A(Vᵢ)=⌈|Vᵢ| / (|Vᵢ|+1)⌉ (A »2 »3 »)
SOUSGMTFDMTNNL( [yᵢ₌ₙ≠0; yᵢ₌ₙ₊∞≠0] )=1A((⌈|n/(ν+1)-1|⌉-⌈n/(ν+1)⌉+1) ))=⌈|1-(⌈|n/(ν+1)-1|⌉-⌈n/(ν+1)⌉+1) |/(|1-(⌈|n/(ν+1)-1|⌉-⌈n/(ν+1)⌉+1) +1)⌉ (A »2 »3 »)
⁂
Donc en prenant l’exemple de yᵢ₌ₙ ∈ SeqA »’ᵢ₌₁₃=(511;0;174;0;0;0;0;60;555;0;0;1244;1244)
LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux 
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