Tous les articles des rubriques de ce site web sont en cours de rédaction!

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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2030 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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« Une fonction caractéristique, ou fonction indicatrice, notée 1A, (conventionnellement la notation anglo-saxonne pour la fonction caractéristique de F est ₁F) est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E. Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble F d’un ensemble E est une fonction :

1F: E→ {0,1}

x↦ 1 si x ∈ F

0 si x ∉ F », Extrait de Wikipedia l’encyclopédie libre.

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Les opérations sur les ensembles correspondent aux opérations sur les fonctions indicatrices de la façon suivante :

• Si A et B sont deux sous-ensembles de E alors (A⊆B) ⇔ (1A≤1B)⇔ (1A≤1B).
• 1Ac =1−1A, Ac est le complémentaire d’une partie A d’un ensemble E qui est constitué de tous les éléments de E n’appartenant pas à A
• 1A∩B=min {1A,1 B}=1A×1B,
• 1A∪B =max {1A,1B}=1A+1B−1A×1B,
• 1A△B =1A+1B−2*1A×1B.

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≪ En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d’un nombre réel x est l’unique entier relatif n (positif, négatif ou nul) tel que: n<=x<n+1. On démontre son existence et son unicité par analyse-synthèse: n est le plus grand entier inférieur ou égal à x (ce que l’on peut prendre comme définition équivalente de la partie entière de x), son existence étant garantie par la propriété d’Archimède. Dans le cas où x est un rationnel a/b, avec a ∈ Z, et b ∈ N*, la partie entière de x n’est autre que le quotient euclidien de a par b. La différence entre un nombre x et sa partie entière est appelée sa partie fractionnaire ou partie décimale. La partie entière (par défaut) de x est notée conventionnellement ⌊x⌋. Il y a symétrie entre la partie entière inférieure (appelée en anglais floor, « plancher ») définie par: ⌊x⌋<=x<⌊x⌋+1; et la partie entière supérieure (appelée en anglais ceiling, « plafond ») définie par: ⌈x⌉-1<x<=⌈x⌉. La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité, ou troncature entière, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs. Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1. La partie fractionnaire d'un nombre réel x notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut: {x}=x-⌊x⌋. La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1. On trouve également le terme de partie décimale du nombre, notamment pour les nombres décimaux.≫ extrait de Wikipédia L’Encyclopédie libre.

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Dans tous nos développements d’expressions mathématiques dans tous les titres des rubriques qui suivront, nous utiliserons une notation alternative de la notation classique A mod B de la fonction modulo soit mod(A,B), pour des raisons de lisibilité des formules, car la virgule délimitant l’espace de deux valeurs à l’intérieur d’une parenthèse est un repère pratique et nécessaire pour identifier l’ordre des membres dans les très longues expressions contenant ce type de fonction. Ensuite cette notation est proche de la notation informatique notamment de celle que nous utilisons dans un tableur. En effet, la syntaxe MOD(nombre, diviseur) de la fonction MOD dans Microsoft Excel comporte les arguments suivants:

• Nombre obligatoire. Représente le nombre à diviser pour obtenir le reste.
• Diviseur obligatoire. Représente le nombre par lequel vous souhaitez diviser le nombre.

La fonction MOD renvoie le reste de la division de l’argument nombre par l’argument diviseur. Le résultat est du même signe que le diviseur.

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≪Lorsque nous divisons deux nombres entiers, nous obtenons une équation qui ressemble à la suivante : A/B= Q reste R ou A est le dividende; B est le diviseur; Q est le quotient; R est le reste. Parfois, on ne s’intéresse au reste que si l’on divise A par B. Pour ces cas, il existe un opérateur appelé opérateur modulo (abrégé en mod). En utilisant les mêmes A, B, Q et R que ci-dessus, nous aurions : A mod B=R. Nous dirions que A modulo B est égal à R. Où B est appelé le module. Par exemple : 13 mod5=2 reste 3. ≫ Extrait de « Qu’est-ce que l’arithmétique modulaire? » Khan Académie.

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« La fonction mod(x,y), ou l’opérateur mod x % y en C# ou JavaScript, est très simple, mais vous pouvez y penser d’au moins deux manières différentes, correspondant, grosso modo, à des modèles passifs et actifs de ce qui se passe. La définition la plus évidente est la suivante :

• Premièrement, la passive: mod(x,y) ou x % y donne le reste lorsque vous diviser x par y.
• Deuxièmement, l’active : L’approche active du mod considère ce qui se passe lorsque vous l’utilisez dans le cadre d’opérations arithmétiques de base. Cette approche est beaucoup plus proche du fonctionnement interne de la machine réelle : mod(x,y) ou x % y implémente l’arithmétique finie avec un retournement à y. Dans ce cas, la fonction mod est juste une façon d’imiter ce qui se passe naturellement quand on fait de l’arithmétique des nombres entiers en utilisant un nombre fixe de bits. Vous pouvez également considérer que vous faites de l’arithmétique modulo avec un certain nombre de bits – c’est donc les opérateurs + ou * qui sont modifiés et le mod n’apparaît même pas« . Écrit par Mike James, ..w.i-programmer.info

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I) LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES EQUIVALENTES A LA FONCTION DE PARTIE ENTIERE INFERIEURE OU SUPERIEURE D’UN NOMBRE ENTIER NATUREL

1.a) Définition:

La partie entière (par défaut) inférieure de (x+1)/n est notée conventionnellement par la notation anglo-saxonne ⌊(x+1)/n⌋, appelée en anglais « floor », plancher, et la partie entière supérieure de x/n, appelée en anglais « ceiling », plafond est notée ⌈x/n⌉).

1.b) Expressions:

⌊n/x⌋=(n-(x/2+x*arctan(tan(Pi*((n+1)/x-1/2)))/Pi+(((n+2)-1)/n+1/2-arctan(tan(Pi*((n+1)/x-1/2)))/Pi-((n)/x+1/2-arctan(tan(Pi*((n)/x-1/2)))/Pi))*(x/2-x*arctan(tan(Pi*((n)/x-1/2)))/Pi)*x-1))/x.

⌊n/x⌋+1=(n+x-(x/2+x*arctan(tan(Pi*((n+1)/x-1/2)))/Pi+(((n+2)-1)/n+1/2-arctan(tan(Pi*((n+1)/x-1/2)))/Pi-((n)/x+1/2-arctan(tan(Pi*((n)/x-1/2)))/Pi))*(x/2-x*arctan(tan(Pi*((n)/x-1/2)))/Pi)*x-1))/x.

⌊n/x+1⌋=(n-((x+1)/2+(x+1)*arctan(tan(Pi*((n+1)/(x+1)-1/2)))/Pi+(((n+1+1)-1)/(x+1)+1/2-arctan(tan(Pi*((n+1)/(x+1)-1/2)))/Pi-((n)/(x+1)+1/2-arctan(tan(Pi*((n)/(x+1)-1/2)))/Pi))*((x+1)/2-(x+1)*arctan(tan(Pi*((n)/(x+1)-1/2)))/Pi)*(x+1)-1))/(x+1).

⌊x/n⌋=(x+n-(n/2+n*arctan(tan(Pi*(x/n-1/2)))/Pi+((x-1)/n+1/2-arctan(tan(Pi*((x-1)/n-1/2)))/Pi-((x-1)/n+1/2-arctan(tan(Pi*((x-1)/n-1/2)))/Pi))*(n/2-n*arctan(tan(Pi*((x-1)/n-1/2)))/Pi)*n))/n-(1-(1-cos(1/2*Pi)^(n-1))).

⌈n/x⌉=(x+n-(x/2+x*arctan(tan(Pi*(n/x-1/2)))/Pi+((n+1-1)/x+1/2-arctan(tan(Pi*((n+1-1)/x-1/2)))/Pi-((n-1)/x+1/2-arctan(tan(Pi*((n-1)/x-1/2)))/Pi))*(x/2-x*arctan(tan(Pi*((n-1)/x-1/2)))/Pi)*x))/x-(1-(1-cos(1/2*Pi)^(x-1))).

⌈n/x⌉-1=(n+x-(x/2+x*arctan(tan(pi*(n/x-1/2)))/pi+((n)/x+1/2-arctan(tan(pi*((n)/x-1/2)))/pi-((n-1)/x+1/2-arctan(tan(pi*((n-1)/x-1/2)))/pi))*(x/2-b*arctan(tan(pi*((n-1)/x-1/2)))/pi)*x))/x-1

⌈n/x-1⌉=(n-(x/2+x*arctan(tan(pi*(n/x-1/2)))/pi+((n)/x+1/2-arctan(tan(pi*((n)/x-1/2)))/pi-((n-1)/x+1/2-arctan(tan(pi*((n-1)/x-1/2)))/pi))*(x/2-x*arctan(tan(pi*((n-1)/b-1/2)))/pi)*x))/x

⌈x/n⌉=(x+n-(n/2+n*arctan(tan(Pi*(x/n-1/2)))/Pi+((x-1)/n+1/2-arctan(tan(Pi*((x-1)/n-1/2)))/Pi-((x-1)/n+1/2-arctan(tan(Pi*((x-1)/n-1/2)))/Pi))*(n/2-n*arctan(tan(Pi*((x-1)/n-1/2)))/Pi)*n))/n-(1-(1-cos(1/2*Pi)^(n-1)))

II) LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES EQUIVALENTES A LA FONCTION DE RELATION DE CONGRUENCE MODULO n DE NOMBRES ENTIERS NATURELS a, b et n.

« Deux entiers relatifs a et b sont dits congrus modulo n si leur différence est divisible par n, c’est-à-dire si a est de la forme b + kn avec k entier. On exclut désormais le cas trivial n = 0 (la congruence modulo 0 est l’égalité ; on peut accessoirement remarquer que modulo 1, deux entiers quelconques sont équivalents). Définition équivalente si n > 0 — Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont dits congrus modulo n si le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n. Le caractère utilisé pour exprimer la congruence de deux entiers est ≡. Soit n un entier naturel on peut exprimer que a et b sont congruents modulo n sous quatre formes :

• a ≡ b (n) ;
• a ≡ b [n] ;
• a ≡ b (mod n) ;
• a ≡ b mod n (notation de Gauss)

La congruence modulo n a les propriétés suivantes :

• réflexivité : pour tout entier a, a ≡ a (n) ;
• symétrie : pour tous entiers a et b, a ≡ b (n) ⇔ b ≡ a (n) ;
• transitivité : pour tous entiers a, b et c, si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) alors a ≡ c (n).

Il s’agit donc d’une relation d’équivalence. Elle a des propriétés algébriques remarquables: Si a1 ≡ b1 (n) et a2 ≡ b2 (n), alors a1 + a2 ≡ b1 + b2 (n) et a1a2 ≡ b1b2 (n). (On en déduit facilement d’autres, comme : si a ≡ b (n) alors ac ≡ bc (n) pour tout entier c et aq ≡ bq (n) pour tout entier q ≥ 0.). Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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≪Lorsque nous divisons deux nombres entiers, nous obtenons une équation qui ressemble à la suivante : A/B= Q reste R ou A est le dividende; B est le diviseur; Q est le quotient; R est le reste. Parfois, on ne s’intéresse au reste que si l’on divise A par B. Pour ces cas, il existe un opérateur appelé opérateur modulo (abrégé en mod). En utilisant les mêmes A, B, Q et R que ci-dessus, nous aurions : A mod B=R. Nous dirions que A modulo B est égal à R. Où B est appelé le module. Par exemple : 13 mod5=2 reste 3. ≫ Extrait de « Qu’est-ce que l’arithmétique modulaire? » Khan Academy.

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n mod(x)=x/2+x*arctan(tan(pi*((n+1)/x-1/2)))/pi+((n+1)/x+1/2-arctan(tan(pi*((n+1)/x-1/2)))/pi-((n)/x+1/2-arctan(tan(pi*((n)/x-1/2)))/pi))*(x/2-x*arctan(tan(pi*((n)/x-1/2)))/pi)*x-1

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Pour illustrer les formules d’équivalences précédentes, 3 exemples de formules exactes et proposées pour publication sur le suite de « l’Encyclopédie des Séquences en Lignes », O.E.I.S., mais refusées à la publication:

Soit la séquence répertorié sur le site O.E.I.S correspondante au numéro A063524 et intitulée, « Characteristic function of 1 »: {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}.

a(n)=(((2+n-(n/2+n*arctan(tan(Pi*(2/n-1/2)))/Pi+(1/n+1/2-arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi-(1/n+1/2-arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi))*(n/2-n*arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi)*n))/n-2)/2-(1+2*arctan(tan(Pi*(((2+n-(n/2+n*arctan(tan(Pi*(2/n-1/2)))/Pi+((2-1)/n+1/2-arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi-(1/n+1/2-arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi))*(n/2-n*arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi)*n))/n-2+1)/2-1/2)))/Pi+((((n+3-((n+1)/2+(n+1)*arctan(tan(Pi*(2/(n+1)-1/2)))/Pi+(1/(n+1)+1/2-arctan(tan(Pi*(1/(n+1)-1/2)))/Pi-(1/(n+1)+1/2-arctan(tan(Pi*(1/(n+1)-1/2)))/Pi))*((n+1)/2-(n+1)*arctan(tan(Pi*(1/(n+1)-1/2)))/Pi)*(n+1)))/(n+1)-2+1)-1)/2+1/2-arctan(tan(Pi*(((2+(n+1)-((n+1)/2+(n+1)*arctan(tan(Pi*(2/(n+1)-1/2)))/Pi+((2-1)/(n+1)+1/2-arctan(tan(Pi*(1/(n+1)-1/2)))/Pi-(1/(n+1)+1/2-arctan(tan(Pi*(1/(n+1)-1/2)))/Pi))*((n+1)/2-(n+1)*arctan(tan(Pi*(1/(n+1)-1/2)))/Pi)*(n+1)))/(n+1)-2)/2-1/2)))/Pi-(((2+n-(n/2+n*arctan(tan(Pi*(2/n-1/2)))/Pi+(1/n+1/2-arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi-(1/n+1/2-arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi))*(n/2-n*arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi)*n))/n-2)/2+1/2-arctan(tan(Pi*(((2+n-(n/2+n*arctan(Tan(Pi*(2/n-1/2)))/Pi+(1/n+1/2-arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi-(1/n+1/2-arctan(Tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi))*(n/2-n*arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi)*n))/n-2)/2-1/2)))/Pi))*(1-2*arctan(tan(Pi*(((2+n-(n/2+n*arctan(tan(Pi*(2/n-1/2)))/Pi+(1/n+1/2-arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi-(1/n+1/2-arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi))*(n/2-n*arctan(tan(Pi*(1/n-1/2)))/Pi)*n))/n-2)/2-1/2)))/Pi)*2-1)/2)/2.. – Cédric Christian Bernard Gagneux_, May 28 2019.

Soit la séquence répertorié sur le site O.E.I.S correspondante au numéro A079998, intitulée, « The characteristic function of the multiples of five »: {1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1}.

a(n)=((n+1+5-(5/2+5*arctan(tan(Pi*((n+1+1)/5-1/2)))/Pi+(((n+2+1)-1)/5+1/2-arctan(tan(Pi*((n+2)/5-1/2)))/Pi-((n+1)/5+1/2-arctan(tan(Pi*((n+1)/5-1/2)))/Pi))*(5/2-5*arctan(tan(Pi*((n+1)/5-1/2)))/Pi)*5-1))/5)-(5+n+1-(5/2+5*arctan(tan(Pi*((n+1)/5-1/2)))/Pi+((n+2-1)/5+1/2-arctan(tan(Pi*((n+2-1)/5-1/2)))/Pi-((n+1-1)/5+1/2-arctan(tan(Pi*((n+1-1)/5-1/2)))/Pi))*(5/2-5*arctan(tan(Pi*((n+1-1)/5-1/2)))/Pi)*5))/5 –n-1+(n+1)*((n+1+1-((n+1)/2+(n+1)*arctan(tan(Pi*((n+1+2)/(n+1)-1/2)))/Pi+(((n+2+1)-1)/(n+1)+1/2-arctan(tan(Pi*((n+2)/(n+1)-1/2)))/Pi-((n+1+1)/(n+1)+1/2-arctan(tan(Pi*((n+1+1)/(n+1)-1/2)))/Pi))*((n+1)/2-(n+1)*arctan(tan(Pi*((n+1+1)/(n+1)-1/2)))/Pi)*(n+1)-1))/(n+1)). – Cédric Christian Bernard Gagneux_, May 28 2019.

Soit la séquence répertorié sur le site O.E.I.S correspondante au numéro A027868, intitulée, « Number of trailing zeros in n!; highest power of 5 dividing n! »: {0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 19}.

a(n)=(6+n-(5/2+5*arctan(tan(Pi*((n+1)/5-1/2)))/Pi+((n+1)/5+1/2-arctan(tan(Pi*((n+1)/5-1/2)))/Pi-(n/5+1/2-arctan(tan(Pi*(n/5-1/2)))/Pi))*(5/2-5*arctan(tan(Pi*(n/5-1/2)))/Pi)*5))/5-1. – Cédric Christian Bernard Gagneux_, May 28 2019.