Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© « Tous droits réservés » – 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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« Déconcaténer: De concaténer, avec le préfixe dé-. Verbe déconcaténer transitif 1er groupe
Faire revenir à l’état qui précédait une concaténation, reséparer. » extrait de l’article déconcaténer de « Wiktionnaire, Le dictionnaire libre et gratuit que tout le monde peut améliorer. »
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I) LES SUITES RECURRENTES ET NON RECURRENTES DE DECONCATENATIONS DES CHIFFRES D’UN SEUL NOMBRE:
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« En mathématiques, une suite récurrente (autonome) est une suite associée à une fonction (d’une ou plusieurs variables) appelée fonction de récurrence, laquelle permet de calculer chaque terme à partir des précédents par une relation de récurrence de la forme ∀ n, uₙ₊ₚ=f(uₙ uₙ₊₁, …uₙ₊ₚ₋₁). Il s’agit d’un système dynamique discret pouvant être défini par la relation et un ou plusieurs termes initiaux, ou comme suite associée à une autre par une transformation bijective. » extrait de l’article « suite récurrente » de Wikipédia l’encyclopédie libre.
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Nous rappelons tout d’abord les définitions et les expressions des opérations de déconcaténation sur un seul nombre, c’est-à-dire que l’opération de déconcaténation des éléments d’un ensemble séquentiel qui sont des chiffres d’un nombre formé par une suite de nombres concaténée est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments et qui est notée en général pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc une opération de déconcaténation qui est notée q⫲w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation droite des deux nombres q et w du troisième nombre résultat de la concaténation des deux précédents qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:
- q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
- w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
Ensuite et aussi elle correspond encore à une autre deuxième opération de « déconcaténation » dite gauche des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres qui sont des chiffres d’un nombre formé par une suite de nombres concaténée et qui est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣qw, donc q⫲qw ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, alors l’expression de la fonction de déconcaténation gauche des deux nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:
- w⫲qw=⌊qw/10^(l(q))⌋=w, avec l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
- q⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(q))⌋*10^(l(qw)-l(w))=q, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10 et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
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Remarquons tout d’abord qu’il est possible d’écrire la quantité de chiffres que nous souhaitons déconcaténer au lieu d’écrire le nombre correspondant à cette quantité c’est-à-dire en reprenant les exemples précédents et tout d’abord avec n correspondant au nombre de chiffres déconcaténés en partant de la gauche du nombre c’est-à-dire son rang du premier chiffre le plus élevé par rapport à son dernier chiffre des unités situé à la droite du nombre, donc de la façon suivante pour l’opération de déconcaténation droite (partant du ou des chiffre(s) le plus à gauche du nombre déconcaténé et en déconcaténant le ou les chiffres à sa droite) indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à gauche du nombre:
- q⫲qw=⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋=⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10.
- w⫲qw=qw-⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋*10^(l(qw)-n))=qw-⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋*10^(⌊log(qw)⌋+1-n)), avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10.
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Ensuite avec n correspondant au nombre de chiffres déconcaténés en partant de la droite du nombre c’est-à-dire son rang du premier chiffre le moins élevé donc celui des unités par rapport à son dernier chiffre de rang le plus élevé situé à la gauche du nombre, donc de la façon suivante pour la déconcaténation gauche indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à droite du nombre, le chiffre des unités:
- w⫲qw=⌊qw/10^n⌋
- q⫲qw=qw-⌊qw/10^n⌋*10^n
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Donc comme nous l’avions déclaré au chapitre 26, nous réécrivons maintenant dans ce chapitre consacré aux autres opérations arithmétiques sur les chiffres, l’expression algébrique générale de l’opération de suite récurrente de déconcaténation double droite ou gauche et comme elle est représentée avec le nombre concaténé écrit à la première et dernière étape calculatoire de la suite, alors nous appelons cette suite récurrente de déconcaténation double, « l’ouroborosuite » (je rappelle simplement que c’est pour une raison mnémotechnique que nous créons ce mot valise à partir du terme d’Ouroboros, le nom d’un symbole représentant un serpent qui avale sa queue, comme les serpents ratiers, qui se consomment eux-mêmes.) récurrente de déconcaténation double droite ou gauche, mais aussi et surtout pour mieux la différencier de l’opération de l’ouroborosuite récurrente de déconcaténation double droite ou gauche augmentée écrite au chapitre 26, que nous appelons seulement l’opération de l’ouroborosuite récurrente de déconcaténation double droite ou gauche, sans le terme d’augmentée car cette opération consiste descriptivement et figurativement en fait en la tête du serpent avalant son corps symbolisée par le nombre déconcaténé écrit à la première et dernière étape calculatoire de la suite, mais sans l’avant dernière étape calculatoire de valeur 0 de l’opération de l’ouroborosuite récurrente de déconcaténation double augmentée. Nous notons et définissons donc cette opération de l’ouroborosuite récurrente de déconcaténation double droite et gauche respectivement de la façon suivante:
｜⫦｜｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (1)
｜⫣｜｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])=(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (1)’
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Nous écrivons donc maintenant l’expression algébrique numériquement calculable de l’opération de l’ouroborosuite récurrente de déconcaténation double droite que nous définissons tout d’abord comme suit:
∀ r=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇… rₙ₌ₓ) ⊆ R* ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*; soit l’expression de l’opération de concaténation totale notée｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|…|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (a₁) ↔ (a₁)’, et de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)..a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)|)=( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))=a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé et noté a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), alors nous pourrions construire la relation de la suite récurrente de déconcaténations doubles droites correspondantes à l’expression (5) ci-dessous c’est-à-dire en partant de la gauche du nombre pour déconcaténer doublement jusqu’à la droite du nombre le chiffre des unités de la façon suivante:
｜⫦｜｜⫦｜( n=1→n=x: [( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (5 ») ↔ (5)’
｜⫦｜｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=( Aₙ₌₁(r)=a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ);
Aₙ₊₁(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₂(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |Aₙ₊₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₁(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₃(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = | a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₂(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₂(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₄(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₃(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₅(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₄(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₆(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₅(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₇(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ )=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₆(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₆(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ );
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₆(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₈(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₇(r)/10|)⌋+1)⌋; ….
Aₙ₌ₓ(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|…|a(rₙ₌ₓ₋₂)| )-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|…|a(rₙ₌ₓ₋₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=x;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌ₓ₋₁(r)/10|)⌋+1)⌋=|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|;
Aₙ₌ₓ₊₁(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|…|a(rₙ₌ₓ₋₁)| )-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|…|a(rₙ₌ₓ₋₁)| )-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=0 ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌ₓ(r)/10|)⌋+1)⌋= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) )
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Nous écrivons donc ensuite l’expression algébrique numériquement calculable de l’opération de l’ouroborosuite récurrente de déconcaténation double gauche que nous définissons tout d’abord comme suit:
∀ r=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇… rₙ₌ₓ) ⊆ R* ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*; soit l’expression de l’opération de concaténation totale notée｜｜(n=x → n=1: [a(rₙ)] )=(|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ₋₁)|…|a(rₙ₊₆)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₌₁)| )
(a₁) ↔ (a₁)’, de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌ₓ)a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₊₆)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₂)a(rₙ₌₁)| )
=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁) )=a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé noté a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), alors nous pourrions construire la relation de la suite récurrente de déconcaténation double gauche c’est-à-dire en déconcaténant de la gauche du nombre vers la droite, donc en partant du premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé, jusqu’au dernier chiffre à gauche du nombre concaténé et correspondant à l’expression (6), de la façon suivante:
｜⫣｜｜⫣｜(n=x → n=1: [(a(rₙ))i])=( Aₙ₌₁(r)= |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|;
Aₙ₊₁(r)= (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋);
Aₙ₊₂(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋);
Aₙ₊₃(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋);
Aₙ₊₄(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋);
Aₙ₊₅(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋);
Aₙ₊₆(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋);
Aₙ₊₇(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋);
Aₙ₊₈(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋);…
…Aₙ₌ₓ(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁(r))-1⌋)⌋)=x;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁(r))-1⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ …⫲ |a(rₙ₌x₋₁)|;
Aₙ₌ₓ₊₁(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ(r))-1⌋)⌋)=0;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ(r))-1⌋)=|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|) (6)’
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II) LES SUITES RECURRENTES ET NON RECURRENTES DE DECONCATENATIONS DES CHIFFRES D’UNE SUITE DE NOMBRES:
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« En mathématiques, une suite récurrente (autonome) est une suite associée à une fonction (d’une ou plusieurs variables) appelée fonction de récurrence, laquelle permet de calculer chaque terme à partir des précédents par une relation de récurrence de la forme ∀ n, uₙ₊ₚ=f(uₙ uₙ₊₁, …uₙ₊ₚ₋₁). Il s’agit d’un système dynamique discret pouvant être défini par la relation et un ou plusieurs termes initiaux, ou comme suite associée à une autre par une transformation bijective. » extrait de l’article « suite récurrente » de Wikipédia l’encyclopédie libre.
LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux 
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