Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© « Tous droits réservés » – 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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Pour qui écris-je?
Mon ouvrage est écrit exclusivement par un humain et non par une machine, en utilisant blogger malgré que lorsque vous tapez sur votre blog, il faut 4 à 5 secondes après avoir tapé les mots pour qu’ils apparaissent sur la page, car je ne vois pas les mots au fur et à mesure que je les tape puisque dans Blogger il y a un délai inhérent récurrent de plusieurs secondes avant qu’ils n’apparaissent sur la page. Mon ouvrage est écrit en hommage aux mathématiciens John Napier, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss et Kenneth E. Iverson, qui ont fait tout leur possible humainement arithmétiquement pour qu’il soit, logarithmiquement, infinitésimales, exponentiellement, « modulairement » et caractéristiquement possible mathématiquement pour tous, nous les humains.
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Avertissement
Les chapitres que j’ai écrits sur l’arithmétique des chiffres et les bases n’ont absolument rien à voir avec la vidéo mathématique datée du 26 juillet 2022, publiée sur un site web populaire agrégateur de vidéos par « Michael maths » du Canada, intitulée « Inventing New Math: Operations on Digits with Digit Theory« , et que je n’ai pas visionnée. Je n’ai pas lu non plus le livre de Karam Aloui intitulé « Fonction somme des chiffres: propriétés arithmétiques et combinatoires » publié le 21.10.2016 aux Éditions universitaires européennes. Donc «Toute ressemblance avec des expressions et des analyses mathématiques existantes ou ayant existé serait purement fortuite et ne pourrait être que le fruit d’une pure coïncidence »⁂⁂⁂
« Un chiffre est un signe d’écriture utilisé seul ou en combinaison pour représenter des nombres entiers. Dans un système de numération positionnel comme le système décimal, un petit nombre de chiffres suffit pour exprimer n’importe quelle valeur. Le nombre de chiffres du système est la base. Le système décimal, le plus courant des systèmes de numération, comporte dix chiffres représentant les nombres de zéro à neuf. L’écriture d’un nombre représente un nombre, c’est-à-dire une quantité alors qu’un chiffre ne représente pas de quantité. On distingue un nombre à un chiffre du chiffre qui est un simple signe. Les chiffres jouent par rapport aux nombres un rôle similaire à celui des lettres par rapport aux mots. À l’écrit, les nombres sont représentés par une juxtaposition de chiffres, de même que les mots sont représentés par une juxtaposition de lettres. « Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre en ligne.
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« En arithmétique, les quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division) sont suivies par le carré, le cube et plus généralement les opérations puissance, la racine carrée, l’exponentiation, la factorielle… Plus généralement, beaucoup de fonctions peuvent être vues comme des opérations élémentaires, telles que la valeur absolue, la prise du logarithme ou de l’exponentielle, les fonctions trigonométriques… » Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre en ligne.
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III) LES OPÉRATIONS EN ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES DU NOMBRE NON DÉCIMAL
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« En mathématiques, la somme des chiffres d’un entier naturel dans une base numérique donnée est la somme de tous ses chiffres. Par exemple, la somme des chiffres de 9045 en base 10 est 9+0+4+5=18 » Extrait de Wikipédia, l’encyclopédie libre sur le web.
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1) Les combinaisons linéaires des expressions des fonctions extractions des chiffres du nombre équivalentes aux fonctions somme, soustraction, multiplication et division des chiffres du nombre
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« Digit Sum Arithmetic » par Thayer Watkins professeur à la retraite de l’université d’état de San José aux USA:
« Ce matériel (« Digit Sum Arithmetic ») examine l’arithmétique des sommes de chiffres. Certaines relations sont simplement intéressantes, d’autres sont tout simplement incroyables. Quelques définitions s’imposent d’abord.
A) La somme numérique d’un nombre n est notée DigitSum(n) ou SommeChiffre(n) :
La somme des chiffres d’un nombre, disons 152, est juste la somme des chiffres, 1+5+2=8. Si la somme des chiffres est supérieure à neuf, le processus est répété. Par exemple, la somme des chiffres pour 786 est 7 + 8 + 6 = 21 et la somme des chiffres pour 21 est 3, donc la somme des chiffres de 786 est 3. Dans certains endroits, ce concept de la somme des chiffres d’un nombre est appelé sa somme numérique réduite, mais cette terminologie devient trop lourde. La somme des chiffres d’un nombre peut être différente de sa somme de chiffres. La somme des chiffres est le résultat final du calcul répété de la somme des chiffres jusqu’à ce qu’une réponse à un chiffre soit obtenue. La somme numérique d’un nombre n est notée DigitSum(n) ou SommeChiffre(n) . Dans ce qui suit, il est parfois nécessaire de faire la distinction entre un nombre et la représentation décimale de ce nombre. On peut penser à un nombre en termes de nombre approprié de marques de pointage, donc trois seraient (|||) et onze (||||||||||||). Soit n un nombre et soit Dec10(n) la représentation décimale de n. considérez comment on obtient la représentation décimale d’un nombre. Pour obtenir le dernier chiffre, on divise le nombre par dix et prend le reste comme dernier chiffre. Ce dernier chiffre est soustrait du nombre et le résultat est divisé par dix. Ensuite, la représentation décimale de ce quotient est recherchée. Le processus est répété et le prochain dernier chiffre est obtenu. Voici des illustrations des propriétés de l’arithmétique de la somme des chiffres. Les premiers sont assez banals, mais les derniers peuvent à juste titre être qualifiés d’étonnants. Dans ce qui suit, a et b représentent n’importe quel nombre décimal de fin. Cela inclut les nombres entiers en tant que sous-catégorie.
a) SommeChiffre(a+b) = SommeChiffre(SommeChiffre(a)+SommeChiffre(b)):
Exemple, DigitSum(786+152) = DigitSum(938) = 2
Somme des chiffres (786) + Somme des chiffres (152) = Somme des chiffres (3 + 8) = 2
La propriété la plus célèbre des sommes numériques est que la somme numérique de tous les multiples de 9 est 9. Par exemple, DigitSum(18)=9, DigitSum(27)=9, DigitSum(99)=9, etc.
L’explication de SommeChiffres(a+b) = SommeChiffres(SommeChiffres(a) + SommeChiffres(b)):
Considérons deux chiffres, a et b. Si leur somme est inférieure à dix alors SommeChiffre(a+b) = SommeChiffre(a)+SommeChiffre(b) et donc:
SommeChiffres(a+b) = SommeChiffres(SommeChiffres(a)+SommeChiffres(b)).
Mais si la somme de a et b est supérieure ou égale à dix, la représentation décimale de leur somme est un un à la place des dizaines et (a+b−10) à la place de l’unité. Ainsi SommeChiffre(a+b) = 1 + (a+b−10) = a+b−(10−1) = a+b−9.
Pour les chiffres, DigitSum(a)=a et DigitSum(b)=b donc:
SommeChiffre(SommeChiffre(a)+SommeChiffre(b))=1 + (a+b−10). Donc pour deux chiffres quelconques a et b:
SommeChiffres(a+b) = SommeChiffres(SommeChiffres(a)+SommeChiffres(b)).
Ceci s’applique également aux chiffres de la k-ième place. Ainsi, la proposition générale pour deux représentations décimales de nombres, x et y s’étend aux nombres décimaux d’un nombre fini de chiffres.
b) SommeChiffre(a-b) = SommeChiffre(SommeChiffre(a)-SommeChiffre(b)):
Exemple, DigitSum(962-151) = DigitSum(811) = 1
Somme des chiffres (962) – Somme des chiffres (151) = Somme des chiffres (8-7) = 1
Cette propriété doit être correctement interprétée lorsque la différence des sommes des chiffres est négative ou nulle. Cela est également vrai dans ces cas, mais il faut tenir compte du fait qu’en arithmétique de somme de chiffres, une réponse de 9 est la même qu’une réponse de 0. Pour les différences, si a et b sont des chiffres et a>b alors:
DigitSum(a−b) = DigitSum(DigitSum(a)−DigitSum(b)). Par contre si a<b alors (a−b)=−(b−a) et, puisque DigitSum(−c) = DigitSum(c), il est aussi vrai que:
DigitSum(a−b) = DigitSum(DigitSum(a)−DigitSum(b)).
Encore une fois, cela s’étend aux chiffres à n’importe quel endroit dans une représentation décimale d’un nombre. Pour tout nombre décimal x et y alors DigitSum(x±y) = DigitSum(DigitSum(x)±DigitSum(y)). Puisque la multiplication est simplement une addition répétée, il s’ensuit également que:
SommeChiffre(x*y) = SommeChiffre(SommeChiffre(x)*y)
SommeChiffre(x*y) = SommeChiffre(x*SommeChiffre(y))
SommeChiffre(x*y) = SommeChiffre(SommeChiffre(x)*SommeChiffre(y)).
c) SommeChiffre(a*b) = SommeChiffre(SommeChiffre(a)*SommeChiffre(b))
Exemple :
DigitSum(35*16) = DigitSum(560) = 2;
SommeChiffres(35)*SommeChiffres(16) = SommeChiffres(8*7) = SommeChiffres(56) = 2.
d)SommeChiffre(a/b) = SommeChiffre(SommeChiffre(a)/SommeChiffre(b))
Considérez 63/21=3. La somme des chiffres de 63 et celle divisée par 3, la somme des chiffres de 21 donne un résultat de 3. Mais 84/21=4 ne correspond pas à la règle proposée puisque la somme des chiffres de 84 est 3, et 3 divisé par 3 est 1, pas 4. (Il est vrai que la somme des chiffres de 84 est 12 et ceci divisé par 3 est 4. Mais 126/42=3 la somme des chiffres de 126 est 9 et cette procédure ne donne pas le résultat correct. ). Ainsi, la division par multiples de 7 suit l’arithmétique de la somme des chiffres si la somme des chiffres du multiple de 7 n’est pas 3, 6 ou 9. Ainsi 70/35 = 2 et la somme des chiffres de 35 est 8 donc le résultat devrait être le même que le somme de chiffres de 7*8=56 qui est 2 et c’est le cas. Ainsi, l’arithmétique de la somme des chiffres peut être étendue aux diviseurs à plusieurs chiffres à condition qu’ils ne soient pas des multiples de 3.
e) La règle est DigitSum(a/b) = DigitSum(DigitSum(a)*équivalent(DigitSum(b))) à condition que DigitSum(b) ne soit pas un multiple de 3.
La division par des nombres à un chiffre autres que des multiples de 3 équivaut à une multiplication par un chiffre spécifique pour ce diviseur. Par exemple, la division par 2 équivaut à la multiplication par 5. Ainsi DigitSum(32/2) = DigitSum(32*5) = DigitSum(160) = 7. qui est identique à DigitSum(16). La division par 4 équivaut à la multiplication par 7 donc DigitSum(20/4) = DigitSum(20*7) = DigitSum(140) = 5, ce qui est correct. SommeChiffre(a/b) = SommeChiffre(SommeChiffre(a)*Eqiv(SommeChiffre(b)) si Equiv(DigitSum(b)) existe. Donc 50/16 = 3,125 a une somme de chiffres de 2. La somme de chiffres de 50 est 5. Ceci multiplié par 4 donne 20 qui a la somme de chiffres de 2. Considérons pour un autre exemple, 90/32=2.8125. La somme des chiffres de ceci est 9. La somme des chiffres de 90 est 9. La somme des chiffres de 32 est 5 et Equiv(5)=2, donc le RHS de ce qui précède se réduit à DigitSum(18)=9. Il a été constaté ci-dessus que même si la division par 7 donne des décimales non terminales, l’arithmétique de la somme des chiffres s’applique, car 7 a un inverse multiplicatif de 4 modulo 9. Considérons un multiple de 7, disons 14. La somme des chiffres de 14 est 5, donc la division par 14 est équivalente à une multiplication par 2. Par exemple, 42/14=3. La somme des chiffres du dividende est 6, et 6 multiplié par 2 donne 12 qui a la somme des chiffres de 3. Cependant pour la division par 21 il n’y a pas de règle, car la somme des chiffres de 21 est 3 et 3 n’a pas d’équivalence. Ainsi, la règle ci-dessus ne peut pas être appliquée à 42/21.
f) SommeChiffre(Polynôme(a)) = SommeChiffre(Polynôme(SommeChiffre(a))
Exemple : Soit Polynôme(a) = a²+a. Alors Polynomial(11)=121+11=132 et donc DigitSum(Polynomial(11))=6. DigitSum(11)=2 donc Polynomial(DigitSum(11))=4+2=6. »
g) DigitSum(10k*n) = DigitSum(n).
h) SommeDeChiffres(x) = SommeDeChiffres(x) − m*9
En général alors pour toute représentation décimale x où m est tel que DigitSum(x) est réduit à un seul chiffre. Il a été noté précédemment que pour deux chiffres dont la somme est supérieure à dix, SommeChiffre(a+b) = 1 + (a+b−10) = a+b−(10−1) = a+b−9
i) DigitSum(x) est équivalent à (Somme des chiffres de x) mod 9
Cette proposition est une autre façon de dire que l’arithmétique de la somme des chiffres est simplement de l’arithmétique modulo 9 ; c’est-à-dire l’arithmétique des restes après division par 9. Cette proposition est à la base du processus connu sous le nom de rejet de neuf qui est utilisé pour fournir un contrôle sur les calculs arithmétiques. Il faut noter que dans les calculs DigitSum( ) une valeur de 9 est donnée comme 9, alors que dans l’arithmétique modulo 9 une valeur de 9 est donnée comme 0 ; c’est-à-dire 9 = 0 (mod 9).
i’) Équivalence en arithmétique de somme de chiffres:
La division par 1,2,4,5,7,8 est équivalente à la multiplication par : 1,5,7,2,4,8
Exprimons cette relation fonctionnelle sous la forme Eqiv(b) ; c’est-à-dire, Equiv(2)=5, Equiv(4)=7 et ainsi de suite.
j) La somme des chiffres pour les polynômes:
SommeChiffre(f(x) =SommeChiffre(f(SommeChiffre(x))
Pour les polynômes dont les coefficients se terminent par des décimales (cela inclut les nombres entiers), l’arithmétique de la somme des chiffres s’applique. Si f(x) est un tel polynôme et x est un nombre décimal final alors SommeChiffre(f(x) = SommeChiffre(f(SommeChiffre(x))
Par exemple, si f(x) = x² + x alors DigitSum(f(1.1)) = DigitSum(1.32)=6 et f(DigitSum(1.1) = f(2) = 2²+2 = 4 + 2 = 6. Ainsi DigitSum(f(x) = DigitSum(f(DigitSum(x)).Cette propriété fournit une vérification pratique de la précision du calcul de la valeur d’un polynôme.
j’) Puissance Série
Une puissance ou une série géométrique est juste un type spécial de polynôme, donc l’arithmétique de la somme des chiffres s’applique. Soit x un nombre décimal final.S = Σ0nn xj = (xn+1−1)/(x−1)
Ainsi DigitSum(S) = DigitSum[((DigitSum(x))n+1−1)*équivalent(DigitSum(x)−1)]
à condition que DigitSum(x)−1 ne soit pas un multiple de 3. Par exemple, soit x=11 et n=6. Alors S=(117−1)/(11−1)=1948717 et donc DigitSum(S)=1. DigitSum(x)=2 et DigitSum(27−1)=DigitSum(127)=1. Comme DigitSum(x)−1=1 la valeur calculée est égale à DigitSum(S).
B) La Fonction somme des chiffres d’un nombre N :
Cette fonction désigne la somme des chiffres d’un nombre N sous la forme ds(N). Cette fonction a les belles propriétés:
- ds(N+M) = ds(ds(N)+ds(M)) et ds(N*M) = ds(ds(N)*ds(M))
Par exemple, considérons 123 et 987. La somme des chiffres de 123 est 6 et c’est la somme des chiffres de 123. La somme des chiffres de 987 est 24 et la somme des chiffres de 24 est 6. Ainsi 6 est la somme des chiffres de 987. La somme de 123 et 987 est 1110, dont la somme des chiffres est 3. La somme des sommes des chiffres de 123 et 987 est 12, dont la somme des chiffres est 3. Le produit de 123 et 987 est 121401, dont la somme de chiffres est 9, Le produit des sommes des chiffres de 123 et 987 est 36, dont la somme des chiffres est 9. » extrait de l’article « Digit Sum Arithmetic » publié sur le web à l’adresse suivante:
« https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/Digitsum.htm » par Thayer Watkins professeur à la retraite de l’université d’état de San José aux USA.
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1.1.a) La fonction d’extraction des chiffres équivalente à la fonction somme des chiffres du nombre:
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Après ce long résumé d’une toute petite partie du travail entre autres sur « l’arithmétique des sommes de chiffres » de M. Thayer Watkins, un professeur retraité du département d’économie de l’Université d’État de San Jose, qui n’a ni lu, ni approuvé ou même endossé mon travail qui ne prendra donc pas plus de valeur extrinsèquement qu’il ne doit en avoir qu’intrinsèquement, alors, sachant que le nombre de chiffres de b, noté l(b), et correspondant à sa longueur numérique en base 10 est donné par l’expression a(n)=l(b)=⌊log₁₀(b)⌋+1 (0), avec dans notre exemple donné soit b=794587856533 et a(n)=12, je développe ici une l’utilisation pratique de « l’arithmétique des sommes de chiffres », avec l’expression concrète de la somme des chiffres d’un nombre b qui est construit par addition successive de l’expression générale d’extraction d’un chiffre choisit parmi l’ensemble des chiffres d’un nombre. Mais dans le sous-titre précédent la fonction ds(b) de la somme des chiffres d’un nombre n’est pas identique à la définition mathématique de la fonction de la somme des chiffres d’un entier naturel dans une base numérique donnée, par exemple en base 10, la fonction est notée F₁₀(b) correspondant à la somme de tous ses chiffres et si la somme des chiffres est supérieure à neuf, le processus n’est pas répété (par exemple pour b=786, alors F₁₀(b)=21 et ds(b)=3), contrairement à la définition de la fonction de la somme des chiffres donnée par M. Thayer Watkins et notée en anglais ds(b) = Fᵦ(Fᵦ(b)).
Donc je rappelle la définition et la notation de la fonction « extract » que j’ai crée au chapitre 78 et que j’ai notée extract(dnₙ(b)) et correspondante à l’opération d’extraction du chiffre du nombre b noté dnₙ₊₁(b) ∈ b={dnₙ ; dnₙ₊₁; dnₓ ;dnᵧ…}, de rang n₊₁ noté rngₗ(b; dnₙ₊₁)=n₊₁, avec b={dnₓ ;dnᵧ…}, ou dn est la notation correspondant à un chiffre du nombre b définit en sachant que comme nous l’avions déjà écrit dans la rubrique consacrée à la fonction de concaténation, qu’à à chaque chiffre d’un nombre peut être associé à un nom qui décrit sa position, c’est-à-dire son rang comme les chiffres des unités, dizaines, centaines, milliers pour les nombres entiers à ce rang est aussi associé un numéro de rang, soit dans notre exemple b=794587856533 avec la fonction de rang, correspondant au rang commençant par le premier chiffre à gauche vers le dernier à droite, notée rngₗ(b,3)=12 qui est le numéro de rang pour le chiffre du rang des unités, 11 est le numéro de rang pour le chiffre du rang des dizaines, 10 est le numéro de rang pour le chiffre du rang des centaines, etc., car par extension du rang du nom de la colonne dans lequel est situé le chiffre correspond un rang du numéro de cette colonne allant de 1 à ⌊log₁₀(b)⌋+1 l’expression (0) de la longueur numérique en base 10. L’expression de la fonction d’extraction extract(dnₙ₊₁(b)) telle que définie ci dessus est comme suit:
∀ b ∈ N*, ∀ dnₙ(b) ∈ b={dnₓ, dnᵧ…}, ∀ n ∈ N avec 0<=n<=⌊log₁₀(b)⌋+1:
extract(dnₙ₊₁(b)) = ((mod(|b|;10^(⌊log₁₀(b)⌋+1-n)))-(mod( |b|;10^(⌊log₁₀(b)⌋+1-n₊₁))))/10^(⌊log₁₀(b)⌋+1-n₊₁) (1).
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Illustrons l’expression (1) de la fonction d’extraction avec b=794587856533, n=0 et donc n₊₁=1:
extract(dn₁(794587856533)) = ((mod(|794587856533|;10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1)))-(mod( |794587856533|;10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋))))/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋) =7. (1)
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De l’expression (1) nous pouvons déduire que la somme de deux expressions différentes correspond à la somme des chiffres extraits correspondant à chacune des deux expressions, c’est à dire éventuellement l’expression générale de la somme totale de l’ensemble des chiffres du nombre b, notée Fᵦ(b) définit comme suit:
∀ b ∈ N*, ∀ dnₙ(b) ∈ b={dnₓ; dnᵧ…}, ∀ n ∈ N* avec 0<=n<=⌊log₁₀(b)⌋+1:
Fᵦ(b) =∑(n=0→n=⌊log₁₀(b)⌋+1: dnₙ₊₁(b) ) (2) ⇔(2)’
Fᵦ(b)= ∑n=0→n=⌊log₁₀(b)⌋+1: ((mod(|b|;10^(⌊log₁₀(b)⌋+1-n)))-(mod( |b|;10^(⌊log₁₀(b)⌋+1-n₊₁))))/10^(⌊log₁₀(b)⌋+1-n₊₁) ) (2)’.
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Pour illustrer l’application de notre expression précédente, prenons l’exemple de b=794587856533 et écrivons l’expression (2) de la somme de ces chiffres comme suit:
Fᵦ(794587856533) = ∑n=0→n=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1=12: dnₙ₊₁(794587856533)) (2) ⇔ (2)’
Fᵦ(794587856533)= ∑n=0→n=⌊log₁₀(b)⌋+1=12: ((mod(|794587856533|;
10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-n)))-(mod( |794587856533|;10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-n₊₁))))/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-n₊₁) = ((mod(|794587856533|;
10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1)))-(mod( |794587856533|;10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-1))))/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-1) +((mod(|794587856533|;
10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-1)))-(mod( |794587856533|;
10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-2))))/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-2) +((mod(|794587856533|;
10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-2)))-(mod( |794587856533|;10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-3))))/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-3) +((mod(|794587856533|;
10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-3)))-(mod( |794587856533|;10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-4))))/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-4) +……..
…((mod(|794587856533|;10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-11)))-(mod( |794587856533|;10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-12))))/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋+1-12) ) (2)’ ⇔ (2) »
Fᵦ(794587856533)=70
∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ
LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux 
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