Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. © « Tous droits réservés » – 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64 en France.

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La distinction entre extension et compréhension est introduite par la « Logique de Port-Royal » (« La Logique de Port-Royal est le nom habituellement donné à l’ouvrage d’Antoine Arnauld et Pierre Nicole, intitulé La Logique ou l’art de penser et publié pour la première fois en 1662, à Paris sans nom d’auteur. » d’après Wikipédia l’encyclopédie libre et en ligne.) et portant sur les idées universelles : « J’appelle compréhension de l’idée les attributs qu’elle enferme en soi, et qu’on ne peut lui ôter sans la détruire, comme la compréhension de l’idée du triangle enferme extension, figure, trois lignes, trois angles, et l’égalité de ces trois angles à deux droits, etc. […]. J’appelle étendue (ou extension) de l’idée les sujets à qui cette idée convient, ce qu’on appelle aussi les inférieurs d’un terme général, qui à leur égard est appelé supérieur, comme l’idée du triangle en général s’étend à toutes les diverses espèces de triangles… »

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Table de vérité de proposition logique classique avec T ≡ Vrai et F≡ Faux.

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I) INTRODUCTION À LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE ET LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE:

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Dans notre chapitre précédent nous avions montré que l’expression de la fonction caractéristique correspondait à celle de la fonction caractéristique fondamentale d’appartenance c’est-à-dire la fonction caractéristique de x appartenant à SeqE’ᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ-x)=1, notée:

1A: E→ {0,1}

1A(yᵢ-x)=1, si yᵢ-x=0 ∧ x ∈ SeqE’ᵢ₌ₙ₊∞

1A(yᵢ-x)=0, si yᵢ-x≠0 ∧ x ∉ SeqE’ᵢ₌ₙ₊∞

∀ yᵢ ∈ SeqE’ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇… yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ ⊆ R; ∀ x=xᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x=xᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-xᵢ=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors:

1A(yᵢ-x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ (1), et qu’elle était en fait une expression beaucoup plus élémentaire d’une fonction caractéristique au sens de moins particulière, donc d’une fonction caractéristique en général, que celle écrite précédemment, comme seule générale, car fondamentale et implicitement toujours d’appartenance, et qui est la définition et l’expression de la fonction caractéristique des valeurs nulles et non nulles des éléments de tout ensemble séquentiel et que j’ai appelé la fonction caractéristique de structures élémentaires, qui si elle est plus générale, elle reste encore implicitement seulement et non plus explicitement une fonction caractéristique d’appartenance d’un élément à une seule valeur précise (cette propriété est maintenant transposée aux seuls éléments du résultat de la fonction caractéristique, les éléments caractéristiques qui appartiennent à l’ensemble {0;1}, tandis que les éléments caractérisés n’appartiennent plus qu’à l’ensemble des éléments dont les valeurs sont encore précisément nulles, mais aussi et moins précisément non nulles). J’ai défini cette fonction caractéristique de structures élémentaires comme suit:

1A: SeqE’ᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}

1A(yᵢ≠0)=0, si yᵢ=0

1A(yᵢ≠0)=1, si yᵢ≠0.

J’ai encore défini l’expression de cette fonction caractéristique de structures élémentaires des éléments yᵢ de l’ensemble séquentiel SeqE’ᵢ₌ₙ₊∞, de valeurs non nulles, noté 1A(yᵢ≠0)=1, comme suit:

∀ y=yᵢ ∈ SeqE’ᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁ ; yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ y=yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqE’ᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ; nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:

1A(yᵢ≠0)=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ (1)’, et cette dernière expression résulte de l’application de « l’extension en compréhension » à l’objet mathématique des fonctions caractéristiques, dont le concept correspond à l’ensemble des expressions de la fonction caractéristique, comprenant les deux expressions de la fonction caractéristique fondamentale d’appartenance, et de l’expression de la fonction caractéristique de structures élémentaires, sachant qu’en paraphrasant Wikipédia l’encyclopédie libre et en ligne dans sa définition du terme d‘extension, celle du concept d’un objet mathématique est constituée des choses auxquelles il s’applique, conjointement à sa compréhension, consistant en des propriétés impliquées par le concept de l’objet mathématique, et s’il s’agit du type de concept ou d’expression qu’un seul objet mathématique peut satisfaire à lui seul comme c’est le cas de l’extension de l’objet mathématique de la « fonction caractéristique » qui est l’ensemble de toutes les objets mathématiques qui sont des fonctions caractéristiques et comprenant donc les deux expressions précédentes de la fonction caractéristique et leurs propriétés induites.

Ainsi donc, l’extension du concept d’objet mathématique de fonction caractéristique est seulement l’ensemble des objets qui répondent à la définition de cet objet mathématique. En effet, en logique, l’extensionalité, ou égalité extensionnelle fait référence aux principes qui jugent que les objets sont égaux s’ils ont les mêmes propriétés externes. Elle s’oppose au concept d’intentionnalité, qui s’intéresse à la question de savoir si les définitions internes des objets sont les mêmes. Par exemple, d’après Wikipédia, l’encyclopédie libre et en ligne « l’extension d’un énoncé entier, par opposition à un mot ou à une phrase, est définie (depuis « Du sens et de la référence » de Gottlob Frege) comme sa valeur de vérité« , alors l’extension de l’expression de la fonction caractéristique est cette valeur de vérité numérique résultante de l’opération de cette fonction.

Quant à la compréhension d’un concept, c’est l’ensemble des conditions que doit satisfaire un objet pour faire partie de son extension, c’est-à-dire que la compréhension correspond à la définition du concept. « En logique, la compréhension d’un objet est la totalité des intentions, c’est-à-dire des attributs, des caractères, des marques, des propriétés ou des qualités que possède l’objet, ou encore la totalité des intentions qui sont pertinentes au contexte d’une discussion donnée.

Ainsi, joindre l’extension à la compréhension d’un objet mathématique dans le terme de l’extension en compréhension de ce même objet, consiste à joindre la liste des objets d’un même ensemble à la liste des conditions qui sont leurs propriétés communes que satisfont ces objets en tant qu’ils appartiennent à cet ensemble. La distinction entre extension et compréhension est d’ailleurs introduite par la « Logique de Port-Royal » (« La Logique de Port-Royal est le nom habituellement donné à l’ouvrage d’Antoine Arnauld et Pierre Nicole, intitulé La Logique ou l’art de penser et publié pour la première fois en 1662, à Paris sans nom d’auteur.« d’après Wikipédia l’encyclopédie libre et en ligne.) et portant sur les idées universelles : « J’appelle compréhension
de l’idée les attributs qu’elle enferme en soi, et qu’on ne peut lui
ôter sans la détruire, comme la compréhension de l’idée du triangle
enferme extension, figure, trois lignes, trois angles, et l’égalité de
ces trois angles à deux droits, etc. […]. J’appelle étendue
(ou extension) de l’idée les sujets à qui cette idée convient, ce qu’on
appelle aussi les inférieurs d’un terme général, qui à leur égard est
appelé supérieur, comme l’idée du triangle en général s’étend à toutes
les diverses espèces de triangles… »

Mais ma définition logique de « l’extension en compréhension » d’un objet mathématique est néanmoins conforme à la définition mathématique de l’extension d’un concept mathématique comme l’ensemble spécifié par ce concept, résultant d’une hypothèse implicite de la description d’un objet mathématique dont une caractérisation devient l’extension en compréhension. Les objets mathématiques que sont les fonctions caractéristiques sont les éléments d’un ensemble qui ont une relation d’équivalence, et un ensemble naturellement divisé en classes d’équivalence dont les éléments appartiennent à la même classe d’équivalence si, et seulement si, ils sont équivalents. Mais le processus d’extension en compréhension ne transformant jamais cette relation d’équivalence en relation d’égalité entre éléments de cet ensemble qui est alors un ensemble particulier aux propriétés spéciales, c’est-à-dire un « setoïd » dont la propriété est de préserver une différence entre l’égalité intentionnelle et une relation d’équivalence plus générale, permettant de joindre l’extension et la compréhension.

Ce processus lui-même d’extension en compréhension ne transformant jamais cette relation d’équivalence en relation d’égalité entre éléments de cet ensemble « setoïd« , s’applique aux éléments de l’ensemble des expressions algébriques logiques que sont les opérations booléennes d’opération unaire de la négation et les cinq opérations binaires de la conjonction, la disjonction inclusive, la disjonction exclusive, l’implication et l’équivalence, toutes ces opérations algébriques étant seulement équivalentes aux expressions algébriques numériquement calculables, c’est-à-dire les expressions algébriques utilisant les opérations arithmétiques incluant les opérations des fonctions modulo, plancher et plafond dont les résultats sont numériquement calculables. Nous expliciterons cette propriété tout au long de ce chapitre en évitant l’inéluctable aporie consistant à confondre la propriété de l‘offuscation (une stratégie de gestion de l’information qui vise à obscurcir le sens qui peut être tiré d’un message) qui transforme une expression de forme élémentaire en une expression dont la forme est inutilement compliquée et qui ne sont plus qu’équivalentes seulement que comme résultante d’une opération soit de la fonction modulo, plancher ou plafond, avec cette propriété des relations éléments de cet ensemble « setoïd« ne transformant jamais cette relation d’équivalence en relation d’égalité entre éléments de ce même ensemble.

Donc, pour continuer au-delà des deux éléments appartenant à l’ensemble des objets mathématiques de fonctions caractéristiques, précédentes du processus « d’extension en compréhension », nous montrons donc maintenant dans ce nouveau chapitre que les valeurs de 0 et 1 du domaine d’arrivée d’une fonction caractéristique, si elles peuvent être équivalentes à celles du domaine d’arrivée des fonctions booléennes de la logique binaire booléenne, les expressions de l’algèbre booléenne, ce domaine d’arrivée de la fonction caractéristique peut être élargit à trois valeurs dans l’ensemble {0; 1/2; 1} correspondantes à celle de la logique ternaire puis éventuellement élargie à toutes valeurs entre 0 et 1 comme en logique floue, dont les variables prennent une valeur dans l’intervalle des nombres réels [0; 1]. Mais au-delà d’élargir le domaine d’arrivée de la fonction caractéristique en générale de ces valeurs dans l’ensemble {0;1}, puis dans l’ensemble {0; 1/2; 1}, et enfin aux valeurs de l’intervalle réel [0; 1], notre but est de montrer de nouvelles propriétés en logique floue en créant de nouvelles fonctions simples combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques qui soient des formules numériquement calculables de la logique floue améliorant son automatisation formelle numérique, c’est-à-dire en réduisant les étapes calculatoires liées aux conditions multiples en utilisant de nouvelles formes de calcul numérique logique révélant éventuellement de nouvelles propriétés logiques.

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1) Définition de l’objet mathématique de la logique:

⁂

« Un langage logique est défini par une syntaxe, c’est-à-dire un système de symboles et de règles pour les combiner sous forme de formules. De plus, une sémantique est associée au langage. Elle permet de l’interpréter, c’est-à-dire d’attacher à ces formules ainsi qu’aux symboles une signification. Un système de déduction permet de raisonner en construisant des démonstrations. La logique comprend classiquement : la logique des propositions (aussi appelée calcul des propositions); la logique des prédicats, qui contient des notations pour des entités avec des quantifications sur ces entités, auxquelles s’ajoute la logique combinatoire basée sur les notions de fonction et d’application, en lien avec le lambda calcul et la logique intuitionniste.

Syntaxes

La syntaxe de la logique des propositions est fondée sur des variables de propositions appelées également atomes que nous notons avec des lettres minuscules (p, q, r, s, etc.) Ces symboles représentent des propositions sur lesquelles on ne porte pas de jugement vis-à-vis de leur vérité : elles peuvent être soit vraies, soit fausses, mais on peut aussi ne rien vouloir dire sur leur statut. Ces variables sont combinées au moyen de connecteurs logiques qui sont, par exemple :

Le connecteur binaire disjonctif (ou), de symbole : ∨ ;

Le connecteur binaire conjonctif (et), de symbole : ∧ ;

Le connecteur binaire de l’implication, de symbole : → ;

Le connecteur unaire ou monadique de la négation (non), de symbole : ¬.

Ces variables forment alors des formules complexes.

La syntaxe de la logique du deuxième ordre, contrairement à celle du premier ordre, considère : les termes : représentant les objets étudiés ; les formules : propriétés de ces objets étudiés. Dans la suite nous noterons V l’ensemble des variables (x, y, z…), F l’ensemble des symboles de fonctions (f, g…) et P l’ensemble des symboles de prédicats (P, Q…). On dispose également d’une application dite d’arité m. La signification des formules fait l’objet de la sémantique et diffère selon le langage envisagé. En logique traditionnelle (appelée aussi logique classique ou logique du « tiers exclu »), une formule est soit vraie, soit fausse. Plus formellement, l’ensemble des valeurs de vérité est un ensemble B de deux booléens : le vrai et le faux. La signification des connecteurs est définie à l’aide de fonctions de booléens vers des booléens. Ces fonctions peuvent être représentées sous la forme de table de vérité.

La signification d’une formule dépend donc de la valeur de vérité de ses variables. On parle d’interprétation ou d’affectation. Toutefois, il est difficile, au sens de la complexité algorithmique, d’utiliser la sémantique pour décider si une formule est satisfaisante (ou non) voire valide (ou non). Il faudrait pour cela pouvoir énumérer toutes les interprétations qui sont exponentielles en nombre. Une alternative à la sémantique consiste à examiner les preuves bien formées et à considérer leurs conclusions. Cela se fait dans un système de déduction. Un système de déduction est un couple (A, R), où A est un ensemble de formules appelées axiomes et R un ensemble de règles d’inférence, c’est-à-dire de relations entre des ensembles de formules (les prémisses) et des formules (la conclusion). On appelle dérivation à partir d’un ensemble donné d’hypothèses une suite non vide de formules qui sont : soit des axiomes, soit des formules déduites des formules précédentes de la suite. Une démonstration d’une formule ϕ à partir d’un ensemble de formules Γ est une dérivation à partir de Γ dont la dernière formule est ϕ. » Extrait de Wikipédia l’encyclopédie en ligne libre.

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« Un langage L est un ensemble de constantes, de fonctions, de prédicats et de variables. L’objet de recherche dans la théorie des modèles sont des théories, donc des ensembles de formules. Un modèle est une structure sur L, qui satisfait les axiomes de la théorie en question. Il y a deux approches de recherche principales dans la théorie des modèles :

1) La compréhension d’une structure singulière, qu’on considère comme donnant la signification (par exemple (N,+,∗) ou (R,+,∗)).

2) L’enquête pour trouver des caractéristiques communes à un nombre de structures (par exemple des structures algébriques comme un anneau ou un corps).

Parmi les théorèmes importants en théorie des modèles, trois jouent un rôle principal, car ils donnent les conditions générales pour qu’une théorie ait un modèle :

(i) Le théorème de compacité pour la logique du premier ordre (les formulations 1 et 2 sont équivalentes) :

1) Soit X⊨φ est une formule. Il existe un ensemble fini X fin ⊆ tel que X fin⊨φ

2) Si toute partie finie d’un ensemble de formules Γ a un modèle, alors Γ a un modèle.

(ii) Le théorème de complétude de Gödel assure qu’en logique classique du premier ordre, la réciproque est vraie : toute théorie non contradictoire possède au moins un modèle. Il clôt des recherches qui remontent au théorème de Löwenheim-Skolem

(iii), qui énonce que toute théorie, dans un langage dénombrable du premier ordre, qui possède un modèle infini, possède aussi un modèle de n’importe quelle cardinalité infinie. »

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2) Définition et notations des connecteurs de la logique

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Connecteur

Nom pour les parties

Groupe verbal

Conjonction:

A et B

conjonctifs

A et B sont conjoints

Disjonction:

Soit A ou B, soit les deux

disjonctifs

A et B sont disjoints

Négation:

Il n’est pas vrai que A

negatum/negand

A est nié

Conditionnel:

Si A, alors B antécédent,

conséquent

B est impliqué par A

Biconditionnel

A si, et seulement si, B

équivalents

A et B sont équivalents

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ET	$A\land B$ $A\&\&B$
ÉQUIVALENT	$A\equiv B$ $A\leftrightharpoons B$
IMPLIQUE	$A\Rightarrow B$ $A\rightarrow B$
ET-NON	$A{\overline {\land }}B$ ${\overline {A\cdot B}}$
NON ÉQUIVALENT	$A\not \equiv B$ $A\nleftrightarrow B$
OU-NON	$A{\overline {\lor }}B$ ${\overline {A+B}}$
NON	$\neg A$ $\sim A$
OU	$A\lor B$ $A\parallel B$
NON-OU (XNOR; ET exclusif; Non XOR)	$A\ {\text{XNOR}}\ B$
XOR (eXclusive OR; OU exclusif)	$A{\underline {\lor }}B$ $A\oplus B$
CONVERSE	$A\Leftarrow B$ $A\leftarrow B$

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II) LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE DE L’ALGÈBRE DE BOOLE ET LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE:

⁂

1) Traduction de la logique propositionnelle classique (bivalente) en la logique booléenne de l’algèbre de Boole:

⁂

« La logique classique des propositions (ce qui est affirmé par une phrase déclarative) analyse les combinaisons de propositions du seul point de vue de la vérité et de la fausseté des propositions simples. Le mot bivalent signifie « ayant deux valeurs ». Les deux valeurs en question sont le vrai et le faux. Dans la logique des propositions classique, on ne reconnaît pas d’autre possibilité. C’est ce que les anciens logiciens appelaient la « loi du tiers exclu ». Une proposition sera donc considérée ou bien comme vraie, ou bien comme fausse. Une même proposition ne peut pas être vraie et fausse à la fois. Et elle ne pourra pas être ni vraie ni fausse. Même une proposition dont on ignore si elle est vraie ou si elle est fausse sera considérée comme devant être ou bien vraie ou bien fausse. »

« En logique mathématique, une variable propositionnelle est un symbole qui désigne une proposition dans le calcul propositionnel, c’est une variable qui peut être remplacée par une proposition vraie ou fausse ou par une formule qui est elle-même composée de variables propositionnelles et donc qui peut prendre parfois la valeur vraie et parfois la valeur faux. »

« L’algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s’intéresse à une approche algébrique de la logique, vue en termes de variables, d’opérateurs et de fonctions sur les variables logiques, ce qui permet d’utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle fut lancée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole. En mathématiques et en logique mathématique, l’algèbre booléenne est une branche de l’algèbre. Elle diffère de l’algèbre élémentaire de deux manières. Tout d’abord, les valeurs des variables sont les valeurs de vérité vraie et faux, généralement notées 1 et 0, alors que dans l’algèbre élémentaire, les valeurs des variables sont des nombres. Ensuite, l’algèbre booléenne utilise des opérateurs logiques tels que la conjonction (et) notée ∧, la disjonction (ou) notée ∨ et la négation (non) notée ¬. L’algèbre élémentaire, quant à elle, utilise des opérateurs arithmétiques tels que l’addition, la multiplication, la soustraction et la division. L’algèbre booléenne est donc une manière formelle de décrire les opérations logiques de la même manière que l’algèbre élémentaire décrit les opérations numériques.«

« Une algèbre de Boole est un ensemble d’au moins deux éléments, 0, 1, et trois opérations, complément
(le complément de x est noté ~x), somme (+) et produit (.), qui vérifient les axiomes suivants :

la somme est : associative : x + (y + z) = (x + y) +z ; commutative : x + y = y + x; 0 est élément neutre de la somme : 0 + x = x.
le produit est : associatif : x.(y . z) = (x . y).z ; commutatif : x . y = y . x; 1 est élément neutre du produit : 1. x = x.
le produit est distributif sur la somme : x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
la somme est distributive sur le produit : x + (y . z) = (x + y) . (x + z).
les lois de la négation : x + ~x = 1; x . ~x = 0.

« Une fonction booléenne f est une fonction dont les arguments et le résultat sont
dans le domaine B = { 0; 1 }, f : Bⁿ → B.

« Une variable booléenne peut être utilisée pour contenir les valeurs entières 0 ou 1, la représentation des littéraux vrai ou faux. »

« La logique propositionnelle vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole. Ainsi nous pouvons
considérer la logique propositionnelle comme la plus petite algèbre de Boole, car elle contient deux éléments. De ce fait,
nous pouvons utiliser les notations booléennes (plus condensées) en lieu et place des notations propositionnelles, comme
indiqué dans la table de correspondance » donnée dans le tableau suivant:

Fonction booléenne

Notations

Formules équivalentes

Table de vérité

Proposition P

		Q
		0	1
P	0	0	0
P	1	1	1

Proposition Q

		Q
		0	1
P	0	0	1
P	1	0	1

Négation de P

¬P
~P

		Q
		0	1
P	0	1	1
P	1	0	0

Négation de Q

¬Q
~Q

		Q
		0	1
P	0	1	0
P	1	1	0

Disjonction
(OU)

P $\lor$

$\lor$ Q
P ₊ Q
P OR Q

P $\leftarrow$

$\leftarrow$ ¬Q
¬P → Q
¬P ↑ ¬Q

		Q
		0	1
P	0	0	1
P	1	1	1

Conjonction
(ET)

P $\land$

$\wedge$ Q
P & Q
P · Q
P AND Q

P $\not \rightarrow$

$\downarrow$ ¬Q

		Q
		0	1
P	0	0	0
P	1	0	1

Disjonction réciproque
(NON-OU)

P ↓ Q
P NOR Q

P $\not \leftarrow$

$\wedge$ ¬Q

		Q
		0	1
P	0	1	0
P	1	0	0

NON-ET

P ↑ Q
P | Q
P NAND Q

P → ¬Q
¬P ← Q
¬P $\lor$

$\lor$ ¬Q

		Q
		0	1
P	0	1	1
P	1	1	0

Contradiction

$⊥$

$\bot$ FALSE

P $\land$

$\wedge$ ¬P

		Q
		0	1
P	0	0	0
P	1	0	0

Tautologie

$⊤$

$\top$ TRUE

P $\lor$

$\vee$ ¬P

		Q
		0	1
P	0	1	1
P	1	1	1

Implication

P → Q
P $\supset$

$\supset$ Q

P ↑ ¬Q
¬P $\lor$

$\lor$ Q
¬P ← ¬Q

		Q
		0	1
P	0	1	1
P	1	0	1

Implication réciproque

P $\leftarrow$

$\subset$ Q

P $\lor$

$\lor$ ¬Q
¬P ↑ Q
¬P → ¬Q

		Q
		0	1
P	0	1	0
P	1	1	1

Non implication

P $\not \rightarrow$

$\not \supset$ Q

P $\wedge$

$\not \leftarrow$ ¬Q

		Q
		0	1
P	0	0	0
P	1	1	0

Non implication réciproque

P $\not \leftarrow$

$\not \subset$ Q

P ↓ ¬Q
¬P $\wedge$

$\not \rightarrow$ ¬Q

		Q
		0	1
P	0	0	1
P	1	0	0

Équivalence

P $\leftrightarrow$

$\odot$ Q
P XNOR Q
P IFF Q

P $\not \leftrightarrow$

$\leftrightarrow$ ¬Q

		Q
		0	1
P	0	1	0
P	1	0	1

Disjonction exclusive
(OU exclusif)

P $\not \leftrightarrow$

$\oplus$ Q
P XOR Q

P $\leftrightarrow$

$\not \leftrightarrow$ ¬Q

		Q
		0	1
P	0	0	1
P	1	1	0

Schéma récapitulatif des formules d’équivalences entre la logique bivalente classique et la logique bivalente booléenne d’après Wikipédia l’encyclopédie libre et en ligne.

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1′) Extension en compréhension de l’expression de la fonction caractéristique à l‘algèbre de Boole

⁂

a) De la logique propositionnelle à la logique booléenne:

⁂

Si « une fonction booléenne f est une fonction dont les arguments et le résultat sont dans le domaine B = {0,1}, f : Bⁿ → B », alors par définition la fonction f : N → B : f(x) = x mod 2 n’est pas une fonction booléenne et pourtant son résultat ressemble à « une variable booléenne qui peut être utilisée pour contenir les valeurs entières 0 ou 1, la représentation des littéraux vrai ou faux. » Or, si la logique propositionnelle vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole qui sont:

la somme est associative : x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ; commutative : x + y = y + x ; 0 est élément neutre de la somme : 0 + x = x; le produit est associatif : x.(y . z) = (x . y).z; commutatif : x . y = y . x ; 1 est élément neutre du produit : 1. x = x.
le produit est distributif sur la somme : x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
la somme est distributive sur le produit : x + (y . z) = (x + y) . (x + z).
les lois de la négation : x + ~x = 1; x .~x = 0.

Et que la logique propositionnelle est la plus petite algèbre de Boole, contenant deux éléments et donc que les notations booléennes plus condensées remplacent les notations propositionnelles. Néanmoins, la logique propositionnelle n’est pas l’unique algèbre de Boole et les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) qui mélangent des opérateurs booléens (∧,∨,¬,⊕,…) et des opérations arithmétiques traditionnelles sur des entiers (+,−,×,…) sont aussi un algèbre de Boole.

⁂⁂

a)’ Les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA):

⁂

Les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) mélangent des opérateurs booléens (∧,∨,¬,⊕,…) et des opérations arithmétiques traditionnelles sur des entiers (+,−,×,…). Il ne s’agit pas néanmoins de la technique algorithmique de l’offuscation qui transforme une expression simple en une forme complexe avec des expressions inutilement compliquées pour composer des expressions arithmétiques booléennes mixtes comme par exemple « parmi de nombreuses équations d’identité impliquant l’addition et la soustraction combinées à des opérations logiques, les équations (1) et (2) peuvent être utilisées pour obscurcir p − q et p ⊕ q :

p − q ≡ p + ¬ q+1 (1)

p ⊕ q ≡ p ∨ q −p ∧ q (2)

« Zhou et al. (Yongxin Zhou, Alec Main, Yuan X. Gu, and Harold Johnson. Information Hiding in Software with Mixed Boolean-Arithmetic Transforms. In Proceedings of the 8th International Conference on Information Security Applications (WISA’07), 2007.) étendent le concept MBA existant à un modèle plus général appelé « algèbres arithmétiques booléennes », qui génère des identités MBA basées sur la définition formelle suivante:

Une expression MBA est : ∑( i ∈ I ) aiei (x₁,…, xₙ) où ai est un coefficient constant, ei sont des expressions bit à bit des variables x₁,…, xₙ. aiei est appelé un terme dans l’expression MBA. L’expression x + y − x ∧ y−3(x ⊕ y) + 5, donne un exemple MBA plus complexe dans la définition ci-dessus. Le MBA comprend 5 termes :

x, y,
−x ∧ y,
−3(x ⊕ y),
et 5.

Notez que si l’expression booléenne est vraie, le terme n’a que le coefficient, comme le dernier terme 5.

Remarquons que toujours dans le but de réduire l’offuscation cette fois ci sémantiquement de ma définition dans mon introduction du processus d’extension en compréhension de la fonction caractéristique, (« L’offuscation, assombrissement, obscurcissement ou brouillage est une stratégie de gestion de l’information qui vise à obscurcir le sens qui peut être tiré d’un message. Cette stratégie peut être intentionnelle ou involontaire. » d’après Wikipédia l’encyclopédie libre et en ligne), car ces expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA), illustrent le processus d’extension en compréhension ne transformant jamais la relation d’équivalence en relation d’égalité entre éléments de cet ensemble « setoïd« , que sont les expressions arithmétiques booléennes et les opérateurs arithmétiques traditionnelles sur des entiers, qui s’appliquent aux éléments de l’ensemble des expressions algébriques logiques que sont les opérations booléennes, car toutes ces opérations algébriques sont encore comme précédemment seulement équivalentes aux expressions numériques.

⁂⁂⁂

a) »Les formules d’équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l’algèbre booléenne dans {0; 1}, l’ensemble des valeurs de variables logiques:

⁂

Mais si les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) sont un algèbre de Boole, alors pour élaborer les formules d’équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l’algèbre booléenne qui sont des formules (« En logique et en mathématiques, une formule est une suite finie d’objets, dotée de propriétés particulières qui rendent possible la syntaxe dans tous ces domaines« , d’après Wikipédia l’encyclopédie libre et en ligne.) de fonctions arithmétiques, ainsi que des formules de la fonction modulo en algèbre modulaire et les formules de la fonction plancher et plafond, nous écrivons tout d’abord les formules d’équivalence entre la fonction modulo en algèbre modulaire et les fonctions plancher et plafond, comme suit:

n mod(d) = n – d*⌊n/d⌋ = n-d*(⌈(n+1)/d⌉-1).

Ainsi sachant que ces expressions arithmétiques booléennes mixtes résultantes, illustrent dans mon introduction l’élaboration du processus d’extension en compréhension ne transformant jamais la relation d’équivalence en relation d’égalité entre éléments de cet ensemble « setoïd » que sont les expressions arithmétiques booléennes et les opérateurs arithmétiques traditionnelles sur des entiers, incluant les opérateurs des fonctions modulo, plancher ⌊ ⌋ et plafond ⌈ ⌉, qui s’appliquent aux éléments de l’ensemble des expressions algébriques logiques que sont les opérations booléennes, car toutes ces opérations algébriques sont encore comme précédemment seulement équivalentes aux expressions numériques, alors nous écrivons donc les formules d’équivalence entre celles de la logique propositionnelle et celles de la logique de l’algèbre booléenne dont les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) sont un algèbre, comme suit en représentant les tables de vérité montrant que la logique propositionnelle vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole avec les valeurs des variables logique p et q appartenant à l’ensemble {0; 1} et correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle P ≡ Vrai ≡1, P ≡ Faux ≡ 0, Q ≡ Vrai ≡1, et Q ≡ Faux ≡ 0, c’est à dire :

Table de vérité de la proposition logique P; et table de vérité de la proposition logique Q.

P ≡1, si P ≡ Vrai ; P ≡0, si P ≡ Faux;

Q ≡1, si Q ≡ Vrai ; Q ≡0, si Q ≡ Faux;

Table de vérité de la proposition logique P ∧ Q

P ∧ Q ≡ p*q

P ∧ Q ≡ p*q mod(2)

P ∧ Q ≡ p*q – 2*⌊p*q/2⌋

P ∧ Q ≡ p*q – 2*(⌈(p*q + 1)/2⌉ – 1)

P ∧ Q ≡ ⌈⌊p+q⌋/(⌊p+q⌋+1)⌉*p*q – (1- ⌈| p+q – 1 | /( | p + q – 1 | + 1)⌉ )*p*q

Table de vérité de la proposition logique P ∨ Q

P ∨ Q ≡ p + q – p*q

P ∨ Q ≡ 1- (1 – p)*(1 – q)

P ∨ Q ≡ (1+ (p + 1)*(q + 1)) mod (2)

P ∨ Q ≡ (p + q – p*q) mod(2)

P ∨ Q ≡1+ (p + 1)*(q + 1) – 2*⌊(1 + (p + 1)*(q + 1))/2⌋

P ∨ Q ≡ p + q – p*q – 2*⌊(p + q – p*q) /2⌋

P ∨ Q ≡ (1- ⌈⌊p + q⌋⌉)*p*q + ⌈⌊p + q⌋/(⌊p + q⌋+1)⌉

P ∨ Q ≡ 1 + (p + 1)*(q + 1)-2*(⌈(1 + (p + 1)*(q + 1) + 1)/2⌉-1)

P ∨ Q ≡ – p – q + p*q-2*(⌈ – p – q + p*q + 1)/2⌉-1)

P ∨ Q ≡1- (1- p)*(1 – q)-2*(⌈(1 – (1 – p)*(1- q)+1)/2⌉ -1)

P ∨ Q ≡ p+q – p*q – 2*(⌈p+q – p*q+1)/2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique P ⊕ Q

P ⊕ Q ≡ ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q )

P ⊕ Q ≡ ( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q )

P ⊕ Q ≡ p + q – 2*p*q

P ⊕ Q ≡ (p + q – p*q)*(1 – p*q)

P ⊕ Q ≡ (p*(1 – q)+((1 – p)*q))-((p*(1 – q)*((1- p)*q))))

P ⊕ Q ≡ p + q – 2*p*q mod(2)

P ⊕ Q ≡ (p + q – p*q)*(1 – p*q) mod(2)

P ⊕ Q ≡ (p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q)))) mod(2)

P ⊕ Q ≡ p + q – 2*p*q – 2*⌊(p + q – 2*p*q)/2⌋

P ⊕ Q ≡ (p + q – p*q)*(1 – p*q) – 2*⌊((p + q – p*q)*(1 – p*q))/2⌋

P ⊕ Q ≡ (p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q))) – 2*⌊((p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q))))/2⌋

Table de vérité de la proposition logique P ↑ Q

P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q )

P ↑ Q ≡ ~ P ∨ ~ Q

P ↑ Q ≡ ¬ P ∨ ¬ Q ≡ 1- p + 1- q – (1 – p)*(1 – q)

P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q ) ≡ 1 – p*q

P ↑ Q ≡ ( -1*(p*q mod(2)) – 1) mod (2)

P ↑ Q ≡ (1 – p*q) mod(2)

P ↑ Q ≡ (-1*(p*q) mod(2) – 1) mod(2)

P ↑ Q ≡ (1 – p*q – 1) mod(2)

P ↑ Q ≡ 1 – p*q – 2*⌊(1- p*q)/2⌋

P ↑ Q ≡ 1 – p + 1 – q – (1- p)*(1-q) – 2*⌊(1- p + 1 – q – (1 – p)*(1 – q))/2⌋

P ↑ Q ≡1 – p*q – 2*(⌈(1 – p*q + 1)/2⌉ – 1)

P ↑ Q ≡ (1 – p)+(1 – q) – (1- p)*(1- q) – 2*(⌈((1 – p)+(1- q)-(1- p)*(1 – q)+1)/2⌉ -1)

Table de vérité de la proposition logique P ↓ Q

P ↓ Q ≡ ¬ (P ∨ Q)

P ↓ Q ≡ ~P ∧ ~ Q

P ↓ Q ≡ 1- p – q + p*q

P ↓ Q ≡ (1- p)*(1 – q)

P ↓ Q ≡ 1 – q – p*(1 – q)

P ↓ Q ≡ (1 – p – q + p*q) mod(2)

P ↓ Q ≡ ((1 – p)*(1- q) ) mod(2)

P ↓ Q ≡ (1 – q – p*(1 – q)) mod(2)

P ↓ Q ≡ (1- q)+(1- q)*p mod(2)

P ↓ Q ≡ (1- q – p*(1- q)) -2*⌊(1 – q – p*(1- q))/ 2⌋

P ↓ Q ≡ (1- p)*(1 – q) – 2*⌊((1- p)*(1 – q))/ 2⌋

P ↓ Q ≡ 1- p – q + p*q – 2*⌊(1- p – q + p*q )/ 2⌋

P ↓ Q ≡ 1-p-q+p*q – 2*(⌈(1- p – q + p*q +1)/2⌉-1)

P ↓ Q ≡ (1-p)*(1-q) – 2*(⌈((1 – p)*(1-q)+1)/ 2⌉-1)

P ↓ Q ≡ (1-q-p*(1-q)) – 2*(⌈(1 – q – p*(1-q)+1)/ 2⌉-1)

P ↓ Q ≡ ((1-q)+(1-q)*p) – 2*(⌈(((1-q)+(1-q)*p)+1) / 2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique P → Q

P → Q ≡ ~ P ∨ Q

P → Q ≡ 1 – p + p * q

P → Q ≡ (1 – p) + q – (1 – p) * q

P → Q ≡ (1 – p + p*q) mod(2)

P → Q ≡ (1 – p) + q – (1 – p) * q mod(2)

P → Q ≡ 1 – (1 – q) + (1 – q)*p mod(2)

P → Q ≡ (1 – p + p*q ) – ⌊(1 – p + p*q ) / 2 ⌋

P → Q ≡ (1 – p) + q – (1 – p) * q) – 2*⌊((1 – p) + q – (1 – p) * q)/ 2⌋

P → Q ≡ (1 – p + p*q ) – 2*(⌈((1 – p + p*q ) +1)/ 2 ⌉ – 1)

P → Q ≡ (1 – p) + q – (1 – p) * q) – 2*(⌈(((1 – p) + q – (1 – p) * q)+1)/ 2⌉ – 1)

Table de vérité de la proposition logique Q→P

Q→P ≡ ~ Q ∨ P

Q→P ≡ ¬ (~P ∧ Q )

Q→P ≡1 – q + p*q

Q→P ≡ (1 – q) + p – (1 – q)*p

Q→P ≡ (1 – q + p*q) mod(2)

Q→P ≡ (1 – q) + p – p*q mod(2)

Q→P ≡ (1 – q + p*q) – 2*⌊(1-q + p*q)/2⌋

Q→P ≡ (1 – q) + p – p*q) – 2*⌊((1-q) + p – p*q)/2⌋

Q→P ≡ 1 – (1 – p)*q – 2*⌊(1 – (1 – p) * q)/2⌋

Q→P ≡ (1 – q + p*q) – 2*(⌈((1-q + p*q)+1)/2⌉-1)

Q→P ≡ (1 – q) + p – p*q) – 2*(⌈(((1-q) + p – p*q)+1)/2⌉-1)

Q→P ≡ 1 – (1 – p)*q – 2*(⌈(1 – (1 – p) * q)+1)/2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique P ⊅ Q

P ⊅ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1-p)*q

P ⊅ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 – q + p – (1 – q ) * p)

P ⊅ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 – p)*q mod (2)

P ⊅ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ (1- (1 – q + p – (1 – q) * p)) mod (2)

P ⊅ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 – p)*q – 2*⌊(1 – p)*q/2⌋

P ⊅ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 – q + p – (1 – q) * p) – 2*⌊ (1- (1 – q + p – (1 – q) * p))/2 ⌋

P ⊅ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 – p)*q – 2*(⌈((1 – p)*q + 1)/2⌉-1)

P ⊅ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1 – (1 – q + p – (1 – q) * p) – 2*(⌈ ((1 – (1 – q + p – (1 – q) * p)) + 1)/2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique Q ⊅ P

Q ⊅ P ≡ ¬ ( P → Q ) ≡ ¬ (~ P ∨ Q ) ≡ P ∧ ~ Q

Q ⊅ P ≡ p – p*q

Q ⊅ P ≡ (p – p*q) mod 2

Q ⊅ P ≡ (p – p*q) -2*⌊(p – p*q)/2⌋

Q ⊅ P ≡ (p – p*q) – 2*(⌈((p – p*q) +1)/2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique P ⊙ Q

P ⊙ Q ≡ ¬ ( ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q ) )

P ⊙ Q ≡ ¬ (( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q ))

P ⊙ Q ≡ 1- (p + q-2*p*q)

P ⊙ Q ≡ 1- (p + q – p*q)*(1-p*q)

P ⊙ Q ≡ 1- (p*(1-q)+((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q)))

P ⊙ Q ≡ (1- (p + q -2*p*q)) mod(2)

P ⊙ Q ≡ (1- (p + q – p*q)*(1-p*q)) mod(2)

P ⊙ Q ≡ (1- (p*(1-q) + ((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q)))) mod(2)

P ⊙ Q ≡ (1- (p+q-2*p*q)) – 2*⌊(1-(p+q-2*p*q))/2⌋

P ⊙ Q ≡ (1- (p+q-p*q)*(1-p*q)) – 2*⌊(1-(p+q-p*q)*(1-p*q))/2⌋

P ⊙ Q ≡ 1- (p*(1-q)+((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q))) – 2*⌊(1-(p*(1-q)+((1-p)*q))-((p*(1-q)*((1-p)*q))))/2⌋

P ⊙ Q ≡ (1- (p+q-2*p*q)) – 2*(⌈((1-(p+q-2*p*q))+1)/2⌉-1)

P ⊙ Q ≡ (1- (p+q-p*q)*(1-p*q)) – 2*(⌈(1-(p+q-p*q)*(1-p*q))+1)/2⌉-1)

P ⊙ Q ≡ 1- (p*(1-q)+((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q))) – 2*(⌈(1 – (p*(1 – q)+((1-p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q))))+1)/2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique P ↔ Q

P ↔ Q ≡ ( P→Q ) ∧ (Q → P)

P ↔ Q ≡ ( ~ P ∨ Q ) ∧ ( ~ Q ∨ P )

P ↔ Q ≡ 1 – p – q + 2*p*q

P ↔ Q ≡ (1 – p + p * q)*( 1-q + p*q )

P ↔ Q ≡ (1 – p – q + 2*p*q ) mod (2)

P ↔ Q ≡ (1- p – q + 2*p*q) – 2*⌊(1- p – q + 2*p*q)/2⌋

P ↔ Q ≡ ((1 – p + p * q) * (1 – q + p*q)) – 2*⌊((1 – p + p * q)*(1 – q + p*q))/2⌋

P ↔ Q ≡ (1- p – q + 2*p*q ) – 2*(⌈((1- p – q + 2*p*q )+1)/2⌉-1)

P ↔ Q ≡ ((1 – p + p * q)*(1 – q + p*q)) – 2*(⌈(((1 – p + p * q)*(1 – q + p*q)) + 1)/2⌉-1)

⁂⁂⁂

a) »’Les formules d’équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l’algèbre booléenne dans l’ensemble {-1; 1} transposé à {0; 1}, l’ensemble des valeurs des variables logiques :

⁂

Nous reviendrons dans le chapitre suivant sur l’utilité de la translation précédente en formule des fonctions simples des formules de l’algèbre de la logique booléenne, avec les valeurs des variables logique p et q appartenant à l’ensemble {0; 1} et correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle P ≡ Vrai ≡1, et Q ≡ Faux ≡ 0, notamment afin de simplifier le calcul de résolution propositionnelle, le calcul des séquents et le calcul des déduction Naturelle. Néanmoins nous montrons maintenant dans ce nouveau sous titre dédié, l’utilité de cette translation en formule des fonctions simples, notamment afin de simplifier le processus de réécriture des formules logique de l’algèbre booléen, en écrivant les formules d’équivalence entre celles de la logique propositionnelle et celles de la logique de l’algèbre booléenne dont les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) sont un algèbre, comme suit en représentant les tables de vérité des formules logiques classiques montrant ainsi que la logique propositionnelle, qui est une logique classique vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole avec les valeurs des variables logique p et q appartenant à l’ensemble {-1; 1}, transposé à l’ensemble {0; 1} et correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle, P ≡ Vrai ≡1, P ≡ Faux ≡ -1, Q ≡ Vrai ≡1 et Q ≡ Faux ≡ -1, mais des variables propositionnelles formuliquement transformées en variable propositionnelles équivalentes à P ≡ ⌈ | p + 1 | / (| p + 1 | +1)⌉, Q ≡ ⌈ | q+1 | / ( |q+1|+1) ⌉, correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle, P ≡ ⌈ | p + 1 | / (| p + 1 | +1)⌉ ≡ Vrai ≡1; P ≡ ⌈ | p + 1 | / (| p + 1 | +1)⌉ ≡ Faux ≡ 0; Q ≡ ⌈ | q+1 | / ( |q+1|+1) ⌉ ≡ Vrai ≡1 et Q ≡ ⌈ | q+1 | / ( |q+1|+1) ⌉ ≡ Faux ≡ 0, c’est à dire :

Table de vérité de la proposition logique P; et table de vérité de la proposition logique Q.

P ≡1, si P ≡ Vrai ; P ≡ -1, si P ≡ Faux.

Q ≡1, si Q ≡ Vrai ; Q ≡ -1, si Q ≡ Faux.

Table de vérité de la proposition logique P ≡ ⌈| p + 1 | / (| p + 1 | +1)⌉; et table de vérité de la proposition logique Q ≡ ⌈ | q+1 | / (| q+1|+1) ⌉

P ≡ ⌈ | p +1| / ( | p + 1| +1) ⌉

Q ≡ ⌈ | q+1 | / ( | q + 1| +1) ⌉

Table de vérité de la proposition logique P ≡ ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉ ∧ Q ≡ ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉

P ∧ Q ≡ ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉*⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉

P ∧ Q ≡ ( ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉*⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉ ) mod(2)

P ∧ Q ≡ ( ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉*⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉ ) – 2*⌊ ( ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉*⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉ ) /2⌋

P ∧ Q ≡ ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉*⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉ – 2*(⌈(⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉*⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉ + 1)/2⌉ – 1)

P ∧ Q ≡ ⌈⌊ ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉ + ⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉⌋/(⌊ ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉ + ⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉⌋+1)⌉*⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉*⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉- (1- ⌈| ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉ + ⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉ – 1 | /( | ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉ + ⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉ – 1 | + 1)⌉ ) * ⌈|p+1| / (|p+1| +1)⌉*⌈|q+1| / (|q+1| +1)⌉

Table de vérité de la proposition logique P ∨ Q

P ∨ Q ≡ p + q – p*q

P ∨ Q ≡ 1- (1 – p)*(1 – q)

P ∨ Q ≡ (1+ (p + 1)*(q + 1)) mod (2)

P ∨ Q ≡ (p + q – p*q) mod(2)

P ∨ Q ≡1+ (p + 1)*(q + 1) – 2*⌊(1 + (p + 1)*(q + 1))/2⌋

P ∨ Q ≡ p + q – p*q – 2*⌊(p + q – p*q) /2⌋

P ∨ Q ≡ (1- ⌈⌊p + q⌋⌉)*p*q + ⌈⌊p + q⌋/(⌊p + q⌋+1)⌉

P ∨ Q ≡ 1 + (p + 1)*(q + 1)-2*(⌈(1 + (p + 1)*(q + 1) + 1)/2⌉-1)

P ∨ Q ≡ – p – q + p*q-2*(⌈ – p – q + p*q + 1)/2⌉-1)

P ∨ Q ≡1- (1- p)*(1 – q)-2*(⌈(1 – (1 – p)*(1- q)+1)/2⌉ -1)

P ∨ Q ≡ p+q – p*q – 2*(⌈p+q – p*q+1)/2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique P ⊕ Q

P ⊕ Q ≡ ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q )

P ⊕ Q ≡ ( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q )

P ⊕ Q ≡ p + q – 2*p*q

P ⊕ Q ≡ (p + q – p*q)*(1 – p*q)

P ⊕ Q ≡ (p*(1 – q)+((1 – p)*q))-((p*(1 – q)*((1- p)*q))))

P ⊕ Q ≡ p + q – 2*p*q mod(2)

P ⊕ Q ≡ (p + q – p*q)*(1 – p*q) mod(2)

P ⊕ Q ≡ (p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q)))) mod(2)

P ⊕ Q ≡ p + q – 2*p*q – 2*⌊(p + q – 2*p*q)/2⌋

P ⊕ Q ≡ (p + q – p*q)*(1 – p*q) – 2*⌊((p + q – p*q)*(1 – p*q))/2⌋

P ⊕ Q ≡ (p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q))) – 2*⌊((p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q))))/2⌋

Table de vérité de la proposition logique P ↑ Q

P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q )

P ↑ Q ≡ ~P ∨ ~ Q

P ↑ Q ≡ ¬ P ∨ ¬ Q ≡ 1- p + 1- q – (1 – p)*(1 – q)

P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q ) ≡ 1 – p*q

P ↑ Q ≡ ( -1*( p*q mod(2)) – 1) mod (2)

P ↑ Q ≡ (1 – p*q) mod(2)

P ↑ Q ≡ (-1*(p*q) mod(2) – 1) mod(2)

P ↑ Q ≡ (- p*q – 1) mod(2)

P ↑ Q ≡ 1 – p*q – 2*⌊(1- p*q)/2⌋

P ↑ Q ≡ 1 – p + 1 – q – (1- p)*(1-q) – 2*⌊(1- p + 1 – q – (1 – p)*(1 – q))/2⌋

P ↑ Q ≡1-p*q-2*(⌈(1-p*q+1)/2⌉-1)

P ↑ Q ≡ (1 – p)+(1 – q) – (1- p)*(1- q) – 2*(⌈((1 – p)+(1- q)-(1- p)*(1 – q)+1)/2⌉ -1)

Table de vérité de la proposition logique P ↓ Q

P ↓ Q ≡ ¬ (P ∨ Q)

P ↓ Q ≡ ~P ∧ ~ Q

P ↓ Q ≡ 1- p – q + p*q

P ↓ Q ≡ (1- p)*(1 – q)

P ↓ Q ≡ 1 – q – p*(1 – q)

P ↓ Q ≡ (1 – p – q + p*q) mod(2)

P ↓ Q ≡ ((1 – p)*(1- q) )mod(2)

P ↓ Q ≡ (1 – q – p*(1 – q)) mod(2)

P ↓ Q ≡ (1- q)+(1- q)*p mod(2)

P ↓ Q ≡ (1- q – p*(1- q)) -2*⌊(1 – q – p*(1- q))/ 2⌋

P ↓ Q ≡ (1- p)*(1 – q) – 2*⌊((1- p)*(1 – q))/ 2⌋

P ↓ Q ≡ 1- p – q + p*q – 2*⌊(1- p – q + p*q )/ 2⌋

P ↓ Q ≡ 1-p-q+p*q – 2*(⌈(1- p – q + p*q +1)/2⌉-1)

P ↓ Q ≡ (1-p)*(1-q) – 2*(⌈((1 – p)*(1-q)+1)/ 2⌉-1)

P ↓ Q ≡ (1-q-p*(1-q)) – 2*(⌈(1 – q – p*(1-q)+1)/ 2⌉-1)

P ↓ Q ≡ ((1-q)+(1-q)*p) – 2*(⌈(((1-q)+(1-q)*p)+1) / 2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique P → Q

P → Q ≡ ~ P ∨ Q

P → Q ≡ 1 – p + p * q

P → Q ≡ (1 – p) + q – (1 – p) * q

P → Q ≡ (1 – p + p*q) mod(2)

P → Q ≡ (1 – p) + q – (1 – p) * q mod(2)

P → Q ≡ 1 – (1 – q) + (1 – q)*p mod(2)

P → Q ≡ (1 – p + p*q ) – ⌊(1 – p + p*q ) / 2 ;1)

P → Q ≡ (1 – p) + q – (1 – p) * q) – 2*⌊((1 – p) + q – (1 – p) * q)/ 2⌋

P → Q ≡ (1 – p + p*q ) – 2*(⌈((1 – p + p*q ) +1)/ 2 ⌉ – 1)

P → Q ≡ (1 – p) + q – (1 – p) * q) – 2*(⌈(((1 – p) + q – (1 – p) * q)+1)/ 2⌉ – 1)

Table de vérité de la proposition logique Q→P

Q→P ≡ ~ Q ∨ P

Q→P ≡ ¬ (~P ∧ Q )

Q→P ≡1 – q + p*q

Q→P ≡ (1 – q) + p – (1 – q)*p

Q→P ≡ (1 – q + p*q) mod(2)

Q→P ≡ (1 – q) + p – p*q mod(2)

Q→P ≡ (1 – q + p*q) – 2*⌊(1-q + p*q)/2⌋

Q→P ≡ (1 – q) + p – p*q) – 2*⌊((1-q) + p – p*q)/2⌋

Q→P ≡ 1 – (1 – p)*q – 2*⌊(1 – (1 – p) * q)/2⌋

Q→P ≡ (1 – q + p*q) – 2*(⌈((1-q + p*q)+1)/2⌉-1)

Q→P ≡ (1 – q) + p – p*q) – 2*(⌈(((1-q) + p – p*q)+1)/2⌉-1)

Q→P ≡ 1 – (1 – p)*q – 2*(⌈(1 – (1 – p) * q)+1)/2⌉-1)

Table de vérité de P ⊅ Q

P ⊅ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 – p)*q

P ⊅ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1 – (1 – q + p – (1 – q) * p)

P ⊅ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 – p)*q mod (2)

P ⊅ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ (1 – (1 – q + p – (1 – q) * p)) mod (2)

P ⊅ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 – p)*q – 2*⌊(1 – p)*q / 2⌋

P ⊅ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 – q + p – (1 – q) * p)-2*⌊ (1 – (1 – q + p – (1 – q) * p))/2 ⌋

P ⊅ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1 – p)*q – 2*(⌈((1 – p)*q + 1)/2⌉-1)

P ⊅ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1 – (1 – q + p – (1 – q) * p)-2*(⌈ ((1- (1 – q + p – (1 – q) * p))+1)/2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique Q ⊅ P

Q ⊅ P ≡ ¬ ( P → Q ) ≡ ¬ (~ P ∨ Q ) ≡ P ∧ ~ Q

Q ⊅ P ≡ p – p*q

Q ⊅ P ≡ (p – p*q) mod 2

Q ⊅ P ≡ (p – p*q) -2*⌊(p – p*q)/2⌋

Q ⊅ P ≡ (p – p*q) – 2*(⌈((p – p*q) +1)/2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique P ⊙ Q

P ⊙ Q ≡ ¬ ( ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q ) )

P ⊙ Q ≡ ¬ (( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q ))

P ⊙ Q ≡ 1- (p + q-2*p*q)

P ⊙ Q ≡ 1- (p + q – p*q)*(1-p*q)

P ⊙ Q ≡ 1- (p*(1-q)+((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q)))

P ⊙ Q ≡ (1- (p + q -2*p*q)) mod(2)

P ⊙ Q ≡ (1- (p + q – p*q)*(1-p*q)) mod(2)

P ⊙ Q ≡ (1- (p*(1-q) + ((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q)))) mod(2)

P ⊙ Q ≡ (1- (p+q-2*p*q)) – 2*⌊(1-(p+q-2*p*q))/2⌋

P ⊙ Q ≡ (1- (p+q-p*q)*(1-p*q)) – 2*⌊(1-(p+q-p*q)*(1-p*q))/2⌋

P ⊙ Q ≡ 1- (p*(1-q)+((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q))) – 2*⌊(1-(p*(1-q)+((1-p)*q))-((p*(1-q)*((1-p)*q))))/2⌋

P ⊙ Q ≡ (1- (p+q-2*p*q)) – 2*(⌈((1-(p+q-2*p*q))+1)/2⌉-1)

P ⊙ Q ≡ (1- (p+q-p*q)*(1-p*q)) – 2*(⌈(1-(p+q-p*q)*(1-p*q))+1)/2⌉-1)

P ⊙ Q ≡ 1- (p*(1-q)+((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q))) – 2*(⌈(1 – (p*(1 – q)+((1-p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q))))+1)/2⌉-1)

Table de vérité de la proposition logique P ↔ Q

P ↔ Q ≡ ( P→Q ) ∧ (Q → P)

P ↔ Q ≡ ( ~ P ∨ Q ) ∧ ( ~ Q ∨ P )

P ↔ Q ≡ 1 – p – q + 2*p*q

P ↔ Q ≡ (1 – p + p * q)*( 1-q + p*q )

P ↔ Q ≡ (1 – p – q + 2*p*q ) mod (2)

P ↔ Q ≡ (1- p – q + 2*p*q) – 2*⌊(1- p – q + 2*p*q)/2⌋

P ↔ Q ≡ ((1 – p + p * q) * (1 – q + p*q)) – 2*⌊((1 – p + p * q)*(1 – q + p*q))/2⌋

P ↔ Q ≡ (1- p – q + 2*p*q ) – 2*(⌈((1- p – q + 2*p*q )+1)/2⌉-1)

P ↔ Q ≡ ((1 – p + p * q)*(1 – q + p*q)) – 2*(⌈(((1 – p + p * q)*(1 – q + p*q)) + 1)/2⌉-1)

⁂⁂⁂⁂

a) » »Les formules d’équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l’algèbre booléenne dans {-1; 1}, l’ensemble des valeurs des variables logiques:

⁂

Nous reviendrons dans le chapitre suivant sur l’utilité de la translation précédente en formule des fonctions simples des formules de l’algèbre de la logique booléenne, avec les valeurs des variables logique p et q appartenant à l’ensemble {0; 1} et correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle P ≡ Vrai ≡1, et Q ≡ Faux ≡ 0, notamment afin de simplifier le calcul de résolution propositionnelle, le calcul des séquents et le calcul des déduction Naturelle. Mais néanmoins nous montrons maintenant dans ce nouveau sous titre dédié, l’utilité de cette translation en formule des fonctions simples, notamment afin de simplifier le processus de réécriture des formules logique de l’algèbre booléen, en écrivant les formules d’équivalence entre celles de la logique propositionnelle et celles de la logique de l’algèbre booléenne dont les expressions arithmétiques booléennes mixtes (MBA) sont un algèbre, comme suit en représentant les tables de vérité montrant que la logique propositionnelle vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole avec les valeurs des variables logique p et q appartenant à l’ensemble {-1; 1} et correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle, P ≡ Vrai ≡1, P ≡ Faux ≡ -1, Q ≡ Vrai ≡1 et Q ≡ Faux ≡ -1, c’est à dire en utilisant le symbole de la non équivalence ≢ pour les formules non correspondantes à celles du sous chapitre précédent et écartées disposées après l’astérisme (⁂), comme suit :

Table de vérité de la proposition logique P; et table de vérité de la proposition logique Q

P ≡1, si P ≡ Vrai ; P ≡ -1, si P ≡ Faux.

Q ≡1, si Q ≡ Vrai ; Q ≡ -1, si Q ≡ Faux.

Table de vérité de la proposition logique ~ P

~ P ≡ -1*p

~ P ≡ 1 – 2*⌈ |p+1| / ( | p+1| + 1) ⌉

⁂

~ P ≢ 1-p

⁂

Table de vérité de la proposition logique ~ Q

~ Q ≡-1*q

~ Q ≡ 1 – 2*⌈ |q+1| / ( | q+1| + 1) ⌉

⁂

~ Q ≢ 1 – q

⁂

Table de vérité de P ∧ Q

P ∧ Q ≡ p*q

P ∧ Q ≡ (p + q + p*q – 1)/2

P ∧ Q ≡ 2*⌈ (p+q-(1-p)*(1-q)) / ( | p+q-(1-p)*(1-q) | +1) – ⌊ | p+q-(1-p)*(1-q) | / ( | p+q-(1-p)*(1-q) | +1) ⌋ ⌉-1

⁂

P ∧ Q ≢ ((p*q) mod(2))*p*q

P ∧ Q ≢ p*q mod(2)*((p + q + p*q-1)/2)

P ∧ Q ≢ ⌈|p*q| / (|p*q| +1)

P ∧ Q ≢ p*q mod(2)

P ∧ Q ≢ p*q – 2*⌊p*q/2⌋

P ∧ Q ≢ p*q – 2*(⌈(p*q + 1)/2⌉ – 1)

P ∧ Q ≢ ⌈⌊p+q⌋/(⌊p+q⌋+1)⌉*p*q – (1- ⌈| p+q – 1 | /( | p + q – 1 | + 1)⌉ )*p*q

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ∨ Q

P ∨ Q ≡ (1 + p + q – p*q)/2

P ∨ Q ≡

P ∨ Q ≡ -1*⌈-(1 – (1-p)*(1-q))/ | (1 – (1-p)*(1-q)) +1 |⌉ + ⌈(1 – (1-p)*(1-q))/ | (1 – (1-p)*(1-q)) +1 | ⌉

⁂

P ∨ Q ≢ (1+ (p + 1)*(q + 1)) mod (2)

P ∨ Q ≢ (p + q – p*q) mod(2)

P ∨ Q ≢ 1+ (p + 1)*(q + 1) – 2*⌊(1 + (p + 1)*(q + 1))/2⌋

P ∨ Q ≢ p + q – p*q – 2*⌊(p + q – p*q) /2⌋

P ∨ Q ≢ (1- ⌈⌊p + q⌋⌉)*p*q + ⌈⌊p + q⌋/(⌊p + q⌋+1)⌉

P ∨ Q ≢ 1 + (p + 1)*(q + 1) – 2*(⌈(1 + (p + 1)*(q + 1) + 1)/2⌉-1)

P ∨ Q ≢ – p – q + p*q – 2*(⌈ – p – q + p*q + 1)/2⌉-1)

P ∨ Q ≢ 1- (1- p)*(1 – q) – 2*(⌈(1 – (1 – p)*(1- q)+1)/2⌉ -1)

P ∨ Q ≢ p+q – p*q – 2*(⌈p+q – p*q+1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ⊕ Q

P ⊕ Q ≡ ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q )

P ⊕ Q ≡ ( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q )

P ⊕ Q ≡ -p*q

P ⊕ Q ≡ 2*⌈(p + q – 2*p*q)/(|p + q – 2*p*q |+1)-⌊ |p + q – 2*p*q | / ( | p + q – 2*p*q |+1)⌋⌉ – 1

P ⊕ Q ≡ 1 – p+1 – q – (1 – p)*(1 – q) – 1

P ⊕ Q ≡ (p + q – p*q)*(1 – p*q) – 1

P ⊕ Q ≡ (p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1- p)*q))))

P ⊕ Q ≡ 2*⌈ (p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1- p)*q)))) /( | (p*(1 – q)+((1 – p)*q))-((p*(1 – q)*((1- p)*q)))) |+1)-⌊ | (p*(1 – q)+((1 – p)*q))-((p*(1 – q)*((1- p)*q)))) | / (| (p*(1 – q)+((1 – p)*q))-((p*(1 – q)*((1- p)*q)))) |+1) ⌋ ⌉-1

⁂

P ⊕ Q ≢ p + q – 2*p*q

P ⊕ Q ≢ p + q – 2*p*q mod(2)

P ⊕ Q ≢ (p + q – p*q)*(1 – p*q) mod(2)

P ⊕ Q ≢ (p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q)))) mod(2)

P ⊕ Q ≢ p + q – 2*p*q – 2*⌊(p + q – 2*p*q)/2⌋

P ⊕ Q ≢ (p + q – p*q)*(1 – p*q) – 2*⌊((p + q – p*q)*(1 – p*q))/2⌋

P ⊕ Q ≢ (p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q))) – 2*⌊((p*(1 – q)+((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q))))/2⌋

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ↑ Q

P ↑ Q ≡ ¬ ( P ∧ Q )

P ↑ Q ≡ ~ P ∨ ~ Q

P ↑ Q ≡ (1- p – q – p*q)/2

P ↑ Q ≡ -p*q*(p+q – p*q+1)

P ↑ Q ≡ 1 – p + 1 – q – (1 – p)*(1 – q) – (p + q – p*q + 1)/2

P ↑ Q ≡ 1 – p*q

⁂

P ↑ Q ≢ ( -1*( p*q mod(2)) – 1) mod (2)

P ↑ Q ≢ (1 – p*q) mod(2)

P ↑ Q ≢ (-1*(p*q) mod(2) – 1) mod(2)

P ↑ Q ≢ (- p*q – 1) mod(2)

P ↑ Q ≢ 1 – p*q – 2*⌊(1- p*q)/2⌋

P ↑ Q ≢ 1 – p + 1 – q – (1- p)*(1 – q) – 2*⌊(1- p + 1 – q – (1 – p)*(1 – q))/2⌋

P ↑ Q ≢ 1 – p*q – 2*(⌈(1-p*q+1)/2⌉-1)

P ↑ Q ≢ (1 – p) + (1 – q) – (1- p)*(1- q) – 2*(⌈((1 – p) + (1- q)-(1- p)*(1 – q)+1)/2⌉ -1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ↓ Q

P ↓ Q ≡ ¬ (P ∨ Q)

P ↓ Q ≡ ~P ∧ ~ Q

P ↓ Q ≡ (p*q – p – q – 1)/2

P ↓ Q ≡ (1- p – q + p*q)/2 – 1

P ↓ Q ≡ 2*⌈(1- p – q + p*q) / ( (1- p – q + p*q) +1)⌉-1

P ↓ Q ≡ (1- p)*(1 – q)/2 – 1

P ↓ Q ≡ 2*⌈(1- p)*(1 – q) / ( (1- p)*(1 – q) +1)⌉-1

P ↓ Q ≡ (1 – q – p*(1 – q))/2-1

P ↓ Q ≡ 2*⌈ (1 – q – p*(1 – q)) / ( (1 – q – p*(1 – q)) + 1)⌉-1

⁂

P ↓ Q ≢ (1 – p – q + p*q) mod(2)

P ↓ Q ≢ ((1 – p)*(1- q) )mod(2)

P ↓ Q ≢ (1 – q – p*(1 – q)) mod(2)

P ↓ Q ≢ 1- ( -1*(1- (p + q – p*q)) -1) ) mod(2)

P ↓ Q ≢ (1- q)+(1- q)*p mod(2)

P ↓ Q ≢ (1- q – p*(1- q)) -2*⌊(1 – q – p*(1- q))/ 2⌋

P ↓ Q ≢ (1- p)*(1 – q) – 2*⌊((1- p)*(1 – q))/ 2⌋

P ↓ Q ≢ 1- p – q + p*q – 2*⌊(1- p – q + p*q )/ 2⌋

P ↓ Q ≢ 1-p-q+p*q – 2*(⌈(1- p – q + p*q +1)/2⌉-1)

P ↓ Q ≢ (1-p)*(1-q) – 2*(⌈((1 – p)*(1-q)+1)/ 2⌉-1)

P ↓ Q ≢ (1-q-p*(1-q)) – 2*(⌈(1 – q – p*(1-q)+1)/ 2⌉-1)

P ↓ Q ≢ ((1-q)+(1-q)*p) – 2*(⌈(((1-q)+(1-q)*p)+1) / 2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique P → Q

P → Q ≡ ~ P ∨ Q

P → Q ≡ ((1+ q) – (1 – q) *p)/2

P → Q ≡ (1- p + q + p * q)/2

P → Q ≡ 2*⌈(1 – p + p * q) / (|1 – p + p * q| +1)⌉ -1

P → Q ≡ 2*⌈((1-p) + q – (1 – p) * q) / ( | (1-p) + q – (1 – p) * q |+1)⌉ -1

⁂

P → Q ≢ (1 – p + p*q) mod(2)

P → Q ≢ (1 – p) + q – (1 – p) * q mod(2)

P → Q ≢ 1 – (1 – q) + (1 – q)*p mod(2)

P → Q ≢ (1 – p + p*q ) – ⌊(1 – p + p*q ) / 2 ;1)

P → Q ≢ (1 – p) + q – (1 – p) * q) – 2*⌊((1 – p) + q – (1 – p) * q)/ 2⌋

P → Q ≢ (1 – p + p*q ) – 2*(⌈((1 – p + p*q ) +1)/ 2 ⌉ – 1)

P → Q ≢ (1 – p) + q – (1 – p) * q) – 2*(⌈(((1 – p) + q – (1 – p) * q)+1)/ 2⌉ – 1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique Q→P

Q→P ≡ ~ Q ∨ P

Q→P ≡ ¬ (~P ∧ Q )

Q→P ≡ (1 + p – q + p*q)/2

Q→P ≡ ((1+q) – (1- p)*q)/2

Q→P ≡ 2*⌈(1 – q + p*q) / ( |1 – q + p*q| +1)⌉ -1

Q→P ≡ 2*⌈( (1 – q) + p – p*q) / ( | (1 – q) + p – p*q| +1) ⌉ – 1

Q→P ≡ 2*⌈((1- (1 – p) * q) / ((1- (1 – p)*q )+1)⌉ -1

Q→P ≡ 2*⌈(1 + q -(1 – q)*p) / (1 + q – (1 – q)*p +1)⌉ – 1

⁂

Q→P ≢ (1 – q + p*q) mod(2)

Q→P ≢ (1 – q) + p – p*q mod(2)

Q→P ≢ (1 – q + p*q) – 2*⌊(1-q + p*q)/2⌋

Q→P ≢ (1 – q) + p – p*q) – 2*⌊((1-q) + p – p*q)/2⌋

Q→P ≢ 1 – (1 – p)*q – 2*⌊(1 – (1 – p) * q)/2⌋

Q→P ≢ (1 – q + p*q) – 2*(⌈((1-q + p*q)+1)/2⌉-1)

Q→P ≢ (1 – q) + p – p*q) – 2*(⌈(((1-q) + p – p*q)+1)/2⌉-1)

Q→P ≢ 1 – (1 – p)*q – 2*(⌈(1 – (1 – p) * q)+1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ⊅ Q

P ⊅ Q ≡ ~P ∧ Q ≡ (1-p)*q

P ⊅ Q ≡ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 – q + p – (1 – q) * p)

P ⊅ Q ≡ (q – p – q*p – 1)/2

P ⊅ Q ≡ 2*⌈ (1−p)*q / ( | (1−p)*q | +1) – ⌊ | (1−p)*q | / ( | (1−p)*q | +1) ⌋ ⌉ – 1

P ⊅ Q ≡ 2*⌈ (1- (1 – q + p – (1 – q) * p)) / ( | 1- (1 – q + p – (1 – q) * p) | +1) – ⌊ | 1- (1 – q + p – (1 – q) * p) | / ( | 1- (1 – q + p – (1 – q) * p) | +1) ⌋ ⌉ – 1

⁂

P ⊅ Q ≢ ~P ∧ Q ≡ (1-p)*q mod (2)

P ⊅ Q ≢ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ (1- (1 – q + p – (1 – q) * p)) mod (2)

P ⊅ Q ≢ ~P ∧ Q ≡ (1-p)*q-2*⌊(1-p)*q/2⌋

P ⊅ Q ≢ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1- (1 – q + p – (1 – q) * p)-2*⌊ (1- (1 – q + p – (1 – q) * p))/2 ⌋

P ⊅ Q ≢ ~P ∧ Q ≡ (1-p)*q-2*(⌈((1-p)*q+1)/2⌉-1)

P ⊅ Q ≢ ¬ ( ~ Q ∨ P ) ≡ 1 – (1 – q + p – (1 – q) * p)-2*(⌈ ((1- (1 – q + p – (1 – q) * p))+1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique Q ⊅ P

Q ⊅ P ≡ ¬ ( P → Q ) ≡ ¬ (~ P ∨ Q ) ≡ P ∧ ~ Q

Q ⊅ P ≡ (p- q – p*q – 1) / 2

Q ⊅ P ≡ 2*⌈ ( p – p*q ) / ( | p – p*q | + 1) – ⌊ | p – p*q | / ( | p – p*q) | +1) ⌋ ⌉ -1

⁂

Q ⊅ P ≢ (p – p*q) mod 2

Q ⊅ P ≢ (p*(1 – q)) mod 2

Q ⊅ P ≢ (p – p*q) -2*⌊(p – p*q)/2⌋

Q ⊅ P ≢ p*(1 – q) -2*⌊p*(1- q)/2⌋

Q ⊅ P ≢ (p – p*q) – 2*(⌈((p – p*q) +1)/2⌉-1)

Q ⊅ P ≢ p*(1 – q) – 2*(⌈(p*(1- q) + 1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de P ⊙ Q

P ⊙ Q ≡ ¬ ( ( P ∨ Q ) ∧ ¬ ( P ∧ Q ) )

P ⊙ Q ≡ ¬ (( P ∧ ~ Q) ∨ ( ~ P ∧ Q ))

P ⊙ Q ≡ P ↔ Q

P ⊙ Q ≡ p*q

P ⊙ Q ≡ 1- (p + q – 2*p*q)

P ⊙ Q ≡ 1- (p + q – p*q)*(1-p*q)

P ⊙ Q ≡ 1- (p*(1-q)+((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q)))

⁂

P ⊙ Q ≢ (1- (p + q -2*p*q)) mod(2)

P ⊙ Q ≢ (1- (p + q – p*q)*(1-p*q)) mod(2)

P ⊙ Q ≢ (1- (p*(1-q) + ((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q)))) mod(2)

P ⊙ Q ≢ (1- (p+q-2*p*q)) – 2*⌊(1-(p+q-2*p*q))/2⌋

P ⊙ Q ≢ (1- (p+q-p*q)*(1-p*q)) – 2*⌊(1-(p+q-p*q)*(1-p*q))/2⌋

P ⊙ Q ≢ 1- (p*(1-q)+((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q))) – 2*⌊(1-(p*(1-q)+((1-p)*q))-((p*(1-q)*((1-p)*q))))/2⌋

P ⊙ Q ≢ (1- (p+q-2*p*q)) – 2*(⌈((1-(p+q-2*p*q))+1)/2⌉-1)

P ⊙ Q ≢ (1- (p+q-p*q)*(1-p*q)) – 2*(⌈(1-(p+q-p*q)*(1-p*q))+1)/2⌉-1)

P ⊙ Q ≢ 1- (p*(1-q)+((1-p)*q)) – ((p*(1-q)*((1-p)*q))) – 2*(⌈(1 – (p*(1 – q)+((1-p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q))))+1)/2⌉-1)

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ↔ Q

P ↔ Q ≡ ( P→Q ) ∧ (Q → P)

P ↔ Q ≡ ( ~ P ∨ Q ) ∧ ( ~ Q ∨ P )

P ↔ Q ≡ p*q

P ↔ Q ≡ 1 – ( p + q – 2*p*q)

P ↔ Q ≡ 1- ( p + q – p*q)*(1 – p*q)

P ↔ Q ≡ 1 – ( p*(1 – q) + ((1 – p)*q)) – ((p*(1 – q)*((1 – p)*q)))

P ↔ Q ≡ 2*⌈ (1-p-q+2*p*q) / ( | 1-p-q+2*p*q | +1) – ⌊ | 1-p-q+2*p*q | / ( |1-p-q+2*p*q | +1) ⌋ ⌉ -1

P ↔ Q ≡ 2*⌈ ((1 – p + p * q)*(1-q + p*q)) / ( | (1 – p + p * q)*(1-q + p*q) | +1) – ⌊ | (1 – p + p * q)*(1-q + p*q)| / ( |(1 – p + p * q)*(1-q + p*q) | +1) ⌋ ⌉ -1

⁂

P ↔ Q ≢ (1 – p – q + 2*p*q ) mod (2)

P ↔ Q ≢ (1- p – q + 2*p*q) – 2*⌊(1- p – q + 2*p*q)/2⌋

P ↔ Q ≢ ((1 – p + p * q) * (1 – q + p*q)) – 2*⌊((1 – p + p * q)*(1 – q + p*q))/2⌋

P ↔ Q ≢ (1- p – q + 2*p*q ) – 2*(⌈((1- p – q + 2*p*q )+1)/2⌉-1)

P ↔ Q ≢ ((1 – p + p * q)*(1 – q + p*q)) – 2*(⌈(((1 – p + p * q)*(1 – q + p*q)) + 1)/2⌉-1)

⁂⁂⁂⁂⁂

a) » »Les formules d’équivalence de la logique propositionnelle à celles de la logique de l’algèbre booléenne des valeurs de variables logiques dans l’ensemble {p; q}, puis transposé à {0; 1}, l’ensemble de ces mêmes variables logiques :

⁂

En représentant précédemment les tables de vérité des formules logiques classiques montrant ainsi que la logique propositionnelle, qui est une logique classique, vérifie l’ensemble des axiomes d’une algèbre de Boole avec les valeurs des variables logique p et q appartenant à l’ensemble {-1; 1}, transposé à l’ensemble {0; 1} et correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle, P ≡ Vrai ≡1, P ≡ Faux ≡ -1, Q ≡ Vrai ≡1 et Q ≡ Faux ≡ -1, nous avons donné un exemple des tables de vérité et de leurs formules logiques correspondantes à d’autres valeurs que celles de l’ensembles {0;1} transposé à d’autres ensemble mais nous n’avons pas systématisé les formules à n’importe quel ensemble et ce d’autant plus qu’avant cet exemple précédent de valeurs logiques appartenant à l’ensemble {-1; 1} nous avons simplifié cette systématisation possible avant même de l’avoir écrite avec des variables propositionnelles formuliquement transformées en variable propositionnelles équivalentes à P ≡ ⌈ | p + 1 | / (| p + 1 | +1)⌉, Q ≡ ⌈ | q + 1 | / ( |q + 1| + 1) ⌉, correspondante aux valeurs des variables de logique propositionnelle, P ≡ ⌈ | p + 1 | / ( | p + 1 | +1)⌉ ≡ Vrai ≡1; P ≡ ⌈ | p + 1 | / (| p + 1 | +1)⌉ ≡ Faux ≡ 0; Q ≡ ⌈ | q + 1 | / ( | q + 1 | + 1) ⌉ ≡ Vrai ≡1 et Q ≡ ⌈ | q + 1 | / ( | q + 1 | +1) ⌉ ≡ Faux ≡ 0, avec p ∈ N et q ∈ N. En effet il parait plus simple de garder les mêmes formules logiques de variables logiques appartenant à l’ensemble ainsi généralisé par les fonctions simples, des valeurs de variables logiques {p; q} ∈ N transposé à {0;1} plutôt que de réécrire les formules différentes pour chaque nouvelle ensemble de valeurs comme par exemple précédemment p ∈ {-1; 1} et q ∈ {-1; 1}.

Nous généralisons donc cette première méthode de simplification de la transposition d’un ensemble {p; q} à l’ensemble {0; 1} des valeurs des variables de logique propositionnelle comme suit:

Soit la transposition de p ∈ N⁺ et p ∈{p; -p}, et q ∈ N⁺ et q ∈ {q; -q} à l’ensemble {0;1} de valeurs de variables logiques avec p ∈ {0; 1} et q ∈ {0; 1}:

Table de vérité de la proposition logique P; et table de vérité de la proposition logique Q.

P ≡p, si P ≡ Vrai ; P ≡ -p, si P ≡ Faux.

Q ≡q, si Q ≡ Vrai ; Q ≡ -q, si Q ≡ Faux.

Table de vérité de P ≡ ⌈ | p / | p | +1| / ( | p / | p | + 1| +1) ⌉: et table de vérité de Q ≡ ⌈ | q / | q | +1 | / ( | q / | q | + 1| +1) ⌉.

P ≡ ⌈ | p / | p | +1| / ( | p / | p | + 1| +1) ⌉ (1)

Q ≡ ⌈ | q / | q | +1 | / ( | q / | q | + 1| +1) ⌉ (2)

Soit la transposition de p ∈ N⁺ et p ∈{-q; p}, et q ∈ N⁺ et q ∈ {-q; p}, à l’ensemble {0;1} de valeurs de variables logiques avec p ∈ {0; 1} et q ∈ {0; 1}:

Table de vérité de la proposition logique P; et table de vérité de la proposition logique Q.

P ≡ p, si P ≡ Vrai ; P ≡ -q, si P ≡ Faux.

Q ≡ p, si Q ≡ Vrai ; Q ≡ -q, si Q ≡ Faux.

Table de vérité de P ≡ ⌈ | p / | p | +1| / ( | p / | p | + 1| +1) ⌉: et table de vérité de Q ≡ ⌈ | q / | q | +1 | / ( | q / | q | + 1| +1) ⌉.

P ≡ ⌈ | p / | p | +1| / ( | p / | p | + 1| +1) ⌉ (1)’

Q ≡ ⌈ | q / | q | +1 | / ( | q / | q | + 1| +1) ⌉ (2)’

Soit la transposition de {p; q} ⊆ N⁺ à l’ensemble {0;1} de valeurs de variables logiques avec p ∈ {1}, et q ∈ {0}:

Table de vérité de la proposition logique P; et table de vérité de la proposition logique Q.

Dans ce dernier cas pour écrire les formules logiques correspondantes à la table de vérité ci dessus, nous ne pouvons plus utiliser seulement la fonction caractéristique comme précédemment, mais nous utilisons une fonction simple, combinaison linéaire de fonctions caractéristique comme suit:

P ≡ ⌈ | 1/2*( p + q + | p – q | – ( |1 – | 1/2*( p + q + | p – q | ) – q | | + | 1- | 1/2*(p + q + | p – q | ) – p | | ) | / ( | 1/2*( p + q +| p – q | ) – ( | 1- | 1/2*( p + q + | p – q | ) – q | | + |1 – | 1/2*( p + q + | p – q | ) – p | | ) | + 1) ⌉ *| 1 – | 1/2*( p + q + | p – q | ) – p | | (1) »

Q ≡ ⌈ | 1/2*( p + q + | p – q | ) – ( | 1 – | 1/2*( p + q + | p – q | ) – q | | + | 1 – | 1/2*( p + q + | p – q | ) – p | | ) | / ( | 1/2*( p + q + | p – q | ) – ( | 1 – | 1/2*( p + q + | p – q | ) – q || + | 1 – | 1/2*( p + q + | p – q | ) – p | | )| +1) ⌉ * | 1 – | 1/2*( p + q + | p – q | ) – q | | (2) »

⁂⁂

Nous généralisons maintenant nos tables de vérité et leurs formules correspondantes à n’importe quelles valeurs des variables logique p et q appartenant à l’ensemble des entiers naturels, soit {p ; q} ∈ N, avec cette deuxième méthode de simplification de la transposition d’appartenance des valeurs des variables de logique propositionnelle à l’ensemble {p; q} ∈ N à l’ensemble {0; 1}, mais différente de la première méthode car la transposition conserve les valeurs des variables logiques dans l’ensemble {p; q} ∈ N et utilise l’expression de la distance entre les valeurs des variables {p’; q’} ∈ {0; 1} à l’origine, |p – p’| et |q – q’| comme suit:

Table de vérité de la proposition logique P; et table de vérité de la proposition logique Q.

P ≡ p, si P ≡ Vrai ; P ≡ -q, si P ≡ Faux; avec {p; q} ∈ N.

Q ≡ p, si Q ≡ Vrai ; Q ≡ -q, si Q ≡ Faux; avec {p; q} ∈ N.

⁂

Table de vérité de la proposition logique P; et table de vérité de la proposition logique Q.

P ≡ p’=1, si P ≡ Vrai ; P ≡ q’=0, si P ≡ Faux;

Q ≡ p’=1, si Q ≡ Vrai ; Q ≡ q’=0, si Q ≡ Faux.

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ∧ Q

P ∧ Q ≡ (p*q) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’| ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’| ) ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) = p, si P ≡ Vrai ≡ p, et si Q ≡ Vrai ≡ p. (1′)

P ∧ Q ≡ (p*q) / ( (| p – p’ | + | q – q’ |) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’| ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’| ) ) * (⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1) / (| -1*p + 1)+1| ⌉) ) = -q, si P ≡ Faux ≡ -q, et/ou si Q ≡ Faux ≡ -q; (1′)’

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ∨ Q

P ∨ Q ≡ ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) + (-1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | )) * ( ⌈ |-1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( |-1*p + 1)+1 | ⌉ ) = p, si P ≡ Vrai ≡ p et si Q ≡ Vrai ≡ p; ou si P ≡ Vrai ≡ p et si Q ≡ Faux ≡ -q ; ou si P ≡ Faux ≡ -q et si Q ≡ Vrai ≡ p. (2′)

P ∨ Q ≡ ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | )) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ ) = -q, si P ≡ Faux ≡ -q et si Q ≡ Faux ≡ -q. (2′)’

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ↑ Q

P ↑ Q ≡ ( -1*( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | )*( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | )) + ( 3 – 2*⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q +1) ⌉ ) (3′)

P ↑ Q ≡ ( -1*( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | )*( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | )) + ( 3 – 2*⌈ (( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | )) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ )) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | )) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ ) +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ ((p*q) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’| ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’| ) ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) ) / ( (p*q) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’| ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’| ) ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) +1) ⌉ ) = -q, si P ≡ Vrai ≡ p et si Q ≡ Vrai ≡ p. (3′)’.

P ↑ Q ≡ ( -1*( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | )*( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | )) + ( 3 – 2*⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q +1) ⌉ ) (3 »)

P ↑ Q ≡ ( -1*( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | )*( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | )) + ( 3 – 2*⌈ (( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | )) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ )) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | )) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ ) +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ ((p*q) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’| ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’| ) ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) ) / ( (p*q) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’| ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’| ) ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) +1) ⌉ ) = p, si P ≡ Faux ≡ -q et si Q ≡ Faux ≡ -q; si P ≡ Faux ≡ -q et si Q ≡ Vrai ≡ p, ou si P ≡ Vrai ≡ p et si Q ≡ Faux ≡ -q. (3 »)’

Nous remarquons que dans les deux cas précédents d’expression des variables logiques, (3′)’ et (3 »)’, l’atome logique | Q | a pour table de valeurs des variables celle comme suit:

Table de valeurs des variables de l’atome logique | Q |

⁂⁂⁂

Prenons un exemple, avec p = 5, q = 8, p’ = 1, et q’ = 0; | p – p’ | = 5, | q – q’ | = 8; | p – p’ | + | q – q’ | =13 et | q – q’ | – | p – p’ | =3 et écrivons les expressions correspondantes aux propositions logiques et leurs tables de vérités comme suit:

Table de vérité de la proposition logique P; et table de vérité de la proposition logique Q.

P ≡ p=5, si P ≡ Vrai ; P ≡q=-8, si P ≡ Faux;

Q ≡ p=5, si Q ≡ Vrai ; Q ≡q=-8, si Q ≡ Faux.

⁂

Table de valeurs de l’atome logique*: -1*p

* »En logique mathématique, une formule atomique ou atome est une formule qui ne contient pas de sous – formules propres. La structure d’une formule atomique dépend de la logique considérée, p. ex. en logique des propositions, les formules atomiques sont les variables propositionnelles. Les atomes sont les formules les plus simples dans un système logique et servent à construire les formules les plus générales. Ainsi, les formules bien formées dans un système logique sont définies récursivement, en donnant les règles pour créer des formules bien formées à partir d’autres formules bien formées, les formules atomiques servant de point de départ à la construction récursive. À partir des formules atomiques, on crée, dans les logiques où il existe une négation, des formules très simples qui sont appelées des littéraux ; ce sont soit des formules atomiques, soit des négations de formules atomiques. Ainsi, si les formules s’écrivent a et la négation s’écrit ¬, les littéraux sont soit a, soit ¬a. » d’après l’article de Wikipédia l’encyclopédie libre et en ligne intitulé « Formule atomique«

-1*p=-5, si P ≡ Vrai ≡p=5;

-1*p=8, si P ≡q=-8, si P ≡ Faux.

⁂

Table de valeurs de l’atome logique*: 1 – ⌈ -1*p ⌉

1 – ⌈ -1*p ⌉=⌈ |-1*p+1) /( | -1*p+1)+1| ⌉ -2*⌈(-1*p+1) / ( |-1*p+1)+1| ⌉-1*p = 1, si -1*p = -5, si P ≡ Vrai ≡ p=5

1 – ⌈ -1*p ⌉=⌈ |-1*p+1) / ( | -1*p+1)+1| ⌉ -2*⌈(-1*p+1) / ( | -1*p+1)+1| ⌉ -1*p = -1, si -1*p=8, si P ≡ Faux ≡ -q= -8.

⁂

Table de vérité de la proposition logique ~ P ≡ -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | ), avec p = 5, q = 8, p’ = 1, et q’ = 0; | p – p’ | = 5, | q – q’ | = 8; | p – p’ | + | q – q’ | =13 et | q – q’ | – | p – p’ | =3

~ P ≡ -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | ) = q = -8, si ~P ≡ Faux;
~ P ≡ -1*p – 3 = q = -8, si ~P ≡ Faux;

~ P ≡ -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | ) = p = 5, si ~P ≡ Vrai.
~ P ≡ -1*p -3= p = 5, si ~P ≡ Vrai.

⁂

Table de vérité de la proposition logique ~ Q ≡ -1*q – ( |q – q’| – |p – p’| ), avec p = 5, q = 8, p’ = 1, et q’ = 0; | p – p’ | = 5, | q – q’ | = 8; | p – p’ | + | q – q’ | =13 et | q – q’ | – | p – p’ | =3.

~ Q ≡ -1*q – ( | q – q’ | – | p – p’ | ) = q= -8, si ~ Q ≡ Faux;
~ Q ≡ -1*q – 3 = q= -8, si ~ Q ≡ Faux;

~ Q ≡ -1*q – ( | q – q’ | – | p – p’ | ) = p = 5, si ~ Q ≡ Vrai;
~ Q ≡ -1*q – 3= p = 5, si ~ Q ≡ Vrai.

⁂

Table de valeurs de la combinaison d’atomes logiques*: ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | )*(q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |), avec p = 5, q = 8, p’ = 1, et q’ = 0; | p – p’ | = 5, | q – q’ | = 8; | p – p’ | + | q – q’ | =13 et | q – q’ | – | p – p’ | =3.

( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) ;

13 – ( p – 5 )*( q – 8 ) / 13.

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ∧ Q ≡ (p*q) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ |) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’| ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’| ) ) * (⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1) / (| -1*p + 1)+1| ⌉) ), avec p = 5, q = 8, p’ = 1, et q’ = 0; | p – p’ | = 5, | q – q’ | = 8; | p – p’ | + | q – q’ | =13 et | q – q’ | – | p – p’ | =3.

P ∧ Q ≡ (p*q) / ( 13 – ( p -5 ) * ( q – 8) / 13 + ( -1*p – 3 ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1) /( | -1*p + 1)+1| ⌉) ) = 5, si P ≡ Vrai ≡ 5, et si Q ≡ Vrai ≡ 5. (1′)

P ∧ Q ≡ (p*q) / (13- ( p – 5) * (q – 8) /13 + (-1*p – 3) * (⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1) / (| -1*p + 1)+1| ⌉) ) = -8, si P ≡ Faux ≡ -8, et/ou si Q ≡ Faux ≡ -8; (1′)’

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ∨ Q ≡ ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) + (-1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | )) * ( ⌈ |-1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( |-1*p + 1)+1 | ⌉ ), avec p = 5, q = 8, p’ = 1, et q’ = 0; | p – p’ | = 5, | q – q’ | = 8; | p – p’ | + | q – q’ | =13 et | q – q’ | – | p – p’ | =3.

P ∨ Q ≡ ( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13 + ( -1*p – 3) * ( ⌈ | -1*p + 1 ) / ( | -1*p + 1 ) + 1| ⌉ -2*⌈ ( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ ) = 5, si P ≡ Vrai ≡5 et si Q ≡ Vrai ≡ 5; ou si P ≡ Vrai ≡ 5 et si Q ≡ Faux ≡ -8 ; ou si P ≡ Faux ≡ -8 et si Q ≡ Vrai ≡ 5. (2′)

P ∨ Q ≡ ( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13 + (-1*p – 3) * ( ⌈ |-1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ ) = -8, si P ≡ Faux ≡ -8 et si Q ≡ Faux ≡ -8. (2′)’

⁂

Table de vérité de la proposition logique P ↑ Q ≡ ( -1*( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | )*( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | )) + ( 3 – 2*⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q +1) ⌉ ) ≡ ( -1*( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | )*( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | )) + ( 3 – 2*⌈ (( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | )) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ )) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’ | ) / ( | p – p’ | + | q – q’ | ) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’ | )) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ ) +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ ((p*q) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’| ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’| ) ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) ) / ( (p*q) / ( ( | p – p’ | + | q – q’ | ) – ( p – | p – p’ | ) * ( q – | q – q’| ) / ( | p – p’ | + | q – q’ |) + ( -1*p – ( | q – q’ | – | p – p’| ) ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) +1) ⌉ ); avec p = 5, q = 8, p’ = 1, et q’ = 0; | p – p’ | = 5, | q – q’ | = 8; | p – p’ | + | q – q’ | =13 et | q – q’ | – | p – p’ | =3.

P ↑ Q ≡ ( -1*( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13) + ( 3 – 2*⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q +1) ⌉ ) (3′)

P ↑ Q ≡ ( -1*(13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13) + ( 3 – 2*⌈ ((13 – ( p -5 ) * ( q – 8 ) / 13 + ( -1*p – 3) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) +1 | ⌉ )) / ( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13 + ( -1*p – 3) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ ) +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ ((p*q) / ( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13 + ( -1*p – 3 ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1) /( | -1*p + 1) +1| ⌉) ) ) / ( (p*q) / ( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13 + ( -1*p – 3 ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) +1) ⌉ ) = -8, si P ≡ Vrai ≡ 5 et si Q ≡ Vrai ≡ 5. (3′)’

P ↑ Q ≡ ( -1*(13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13) + ( 3 – 2*⌈ (P ∨ Q) / ( P ∨ Q +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ (P ∧ Q) / ( P ∧ Q +1) ⌉ ) (3 »)

P ↑ Q ≡ ( -1*( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13) + ( 3 – 2*⌈ (13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13 + ( -1*p – 3) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ )) / ( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13 + ( -1*p – 3) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1 )+1| ⌉ -2*⌈( -1*p + 1) / ( | -1*p + 1)+1 | ⌉ ) +1) ⌉ ) * | Q | )*( 3 – 2*⌈ ((p*q) / ( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) / 13 + ( -1*p – 3 ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) ) / ( (p*q) / ( 13 – ( p – 5) * ( q – 8 ) /13+ ( -1*p – 3 ) * ( ⌈ | -1*p + 1) / ( | -1*p + 1) + 1| ⌉ -2*⌈ (-1*p +1)/(| -1*p + 1)+1| ⌉) ) +1) ⌉ ) = 5, si P ≡ Faux ≡ -8 et si Q ≡ Faux ≡ -8; si P ≡ Faux ≡ -8 et si Q ≡ Vrai ≡ 5, ou si P ≡ Vrai ≡ 5 et si Q ≡ Faux ≡ -8. (3 »)’

Nous remarquons que dans les deux cas précédents d’expression des variables logiques, (3′)’ et (3 »)’, l’atome logique | Q | a pour table de valeurs des variables celle comme suit:

Table de valeurs des variables de l’atome logique | Q |, avec p = 5, q = 8.

⁂⁂

ÈÉ ⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋⌈⌉⌊⌋

⁂⁂⁂

Une norme triangulaire (abréviation t-norm) est une opération binaire T sur l’intervalle [0,1] satisfaisant les conditions suivantes :

T(x,y)=T(y,x) (commutativité)

T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z) (associativité)

y≤z⟹T(x,y)≤T(x,z) (monotonie)

T(x,1)=x (élément neutre 1)

⁂⁂⁂

*( Code des couleurs: 1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ; 2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs 3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ; 4= symbole des opérateurs les plus intérieurs ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )

⁺⁺⁺⁺

∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

⁂

⁂

2) Définition et notations des connecteurs de la logique

⁂

⁂⁂

II) LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE DE L’ALGÈBRE DE BOOLE ET LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE:

1) Traduction de la logique propositionnelle classique (bivalente) en la logique booléenne de l’algèbre de Boole:

1′) Extension en compréhension de l’expression de la fonction caractéristique à l‘algèbre de Boole

⁂⁂⁂

⁂⁂⁂

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TABLE DES MATIÈRES:

2: 1'A I' EXTENSION EN COMPRÉHENSION DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE EN LOGIQUE PROPOSITIONELLE ET DU PREMIER ORDRE VÉRIFIANT L’ENSEMBLE DES AXIOMES D’UNE ALGÈBRE DE BOOLE

⁂

⁂

I) INTRODUCTION À LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE ET LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE:

1) Définition de l’objet mathématique de la logique:

2) Définition et notations des connecteurs de la logique

⁂

⁂⁂

II) LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE DE L’ALGÈBRE DE BOOLE ET LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE:

1) Traduction de la logique propositionnelle classique (bivalente) en la logique booléenne de l’algèbre de Boole:

1′) Extension en compréhension de l’expression de la fonction caractéristique à l‘algèbre de Boole

⁂⁂⁂

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