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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère.  Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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« Un diagramme d’Euler est un moyen de représentation schématique des ensembles et des relations en leur sein. La première utilisation des « cercles Eulériens » est communément attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783). Ils sont étroitement liés aux diagrammes de Venn. Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d’Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d’inclusion ou d’exclusion dans chacun des ensembles. Les diagrammes de Venn et d’Euler ont été incorporés à l’enseignement de la théorie des ensembles dans le cadre des mathématiques modernes dans les années 1960.

Les diagrammes d’Euler sont constitués de simples courbes fermées (habituellement des cercles) dans le plan qui représentent les ensembles. Les tailles ou formes des courbes ne sont pas importantes : la signification du diagramme est dans la façon dont les cercles se chevauchent. Les relations spatiales entre les régions délimitées par chaque courbe correspondent aux relations théoriques à ensembles (intersection, sous-ensembles et disjonction). Chaque courbe d’Euler divise le plan en deux régions ou « zones » : l’intérieur, ce qui représente symboliquement les éléments contenus dans l’ensemble, et l’extérieur, qui représente tous les éléments qui ne sont pas membres de l’ensemble. Les courbes dont les zones intérieures ne se coupent pas représentent des ensembles disjoints. Deux courbes dont les zones intérieures se croisent représentent des ensembles qui ont des éléments communs ; la zone à l’intérieur de deux courbes représente l’ensemble des éléments communs aux deux ensembles (l’intersection des ensembles). Une courbe qui est entièrement contenue à l’intérieur de la zone intérieure d’une autre représente un sous-ensemble de celle-ci.

Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d’Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d’inclusion ou d’exclusion dans chacun des ensembles. Les régions qui ne font pas partie de l’ensemble sont indiquées par la couleur noire, contrairement aux diagrammes d’Euler, où l’appartenance à l’ensemble est indiquée par le chevauchement ainsi que la couleur. Lorsque le nombre d’ensembles devient supérieur à 3, un diagramme de Venn devient visuellement complexe, en particulier par rapport au diagramme d’Euler correspondant.« Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

« Soit trois ensembles :

A={1,2,5}

B={1,6}

C={4,7}

Les diagrammes de Venn et d’Euler de ces ensembles sont:

Diagramme de Venn

Diagramme d’Euler »Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

I) LES FONCTIONS SIMPLES D’OPÉRATIONS ENSEMBLISTES ET MULTIENSEMBLISTES SÉQUENTIELLE ÉLÉMENTAIRES:

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1.1.g) La fonction simple d’opération ensembliste 

séquentielle de complémentaire :

L’ensemble A

Son complémentaire Aᶜ  

Si le sous-ensemble {Eᶜ} constitué de tous les éléments de {E} n’appartenant pas à {G}, est le complémentaire d’une partie {E} d’un ensemble {G}, alors 1A({Eᶜ}) ⇔ 1−1A({E})

Un ensemble de référence U étant donné, le complémentaire du sous-ensemble A de U (sous-entendu relativement à U) est l’ensemble des éléments de U qui n’appartiennent pas à A. Il est noté U – A, Aᶜ, Aᶜ = { x ∈ U | x ∉ A}, c’est-à-dire que x ∈ Aᶜ    si et seulement si   x ∈ U et x ∉ A.

Le complémentaire de A dépend de l’ensemble de référence U. Il est également caractérisé par les deux égalités :

A ∩ Aᶜ = ∅   et   A ∪ Aᶜ = U.

L’opération de passage au complémentaire est involutive c’est-à-dire que   (Aᶜ)ᶜ = A.

Examples:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}.
• {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2}.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}.
• {a, b} × {1, 2, 3} = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.

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1.1.h) La fonction simple d’opération ensembliste 

séquentielle de différence :

La différence A \ B = A ∩ Bᶜ 

Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} avec {E}∩{F}=∅, alors: 1A({E}-{F})=1A({E})-1A({F})

Examples:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}.
• {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2}.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}.
• {a, b} × {1, 2, 3} = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.

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1.1.i) La fonction simple d’opération ensembliste séquentielle

 de différence symétrique:

La différence symétrique A Δ B = (A ∩ Bᶜ ) ∪ (Aᶜ ∩ B).

Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} avec {E}∩{F}=∅, alors: 1A({E}△{F})=1A({E})+1A({F})−2*1A({E})*1A({F})

Examples:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}.
• {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2}.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}.
• {a, b} × {1, 2, 3} = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.

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1.1.j) La fonction simple d’opération ensembliste séquentielle de somme disjointe :

« La réunion de deux ensembles: A ∪ B. »

« La somme disjointe, ou réunion disjointe, de deux ensembles A et B, notée A+B, A∪ B ou encore  A⊔ B, est définie par:

A+B=( {0} × A ) ∪  ( {1} × B )={ ( 0, x ) | ( x ∈ A ) } ∪ { ( 1, x ) | ( x ∈ B ) }.

Les symboles 0 et 1 dans la définition précédente peuvent être remplacés par d’autres, par exemple Ø et {Ø}. La seule exigence est que les deux symboles utilisés diffèrent l’un de l’autre.

Par exemple, si A = {a, b}, A + A = { (0, a), (0, b), (1, a), (1, b) }.

Cette opération permet de définir la somme de cardinaux :

card( A+B )=,card(A) +, card(B).

Dans le cas où au moins l’un des deux ensembles est infini, on a aussi, que les ensembles soient disjoints ou non :

card(A) + card(B)=card( A∪ B )=max( card(A), card(B) ). » Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

Examples:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}.
• {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2}.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}.
• {a, b} × {1, 2, 3} = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.

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1.1.k) La fonction simple d’opération ensembliste séquentielle de produit cartésien:

« A×B={ (x, y) | (x ∈ A) ∧ (y ∈ B) }. Par exemple, si A = {a, b} et B = {c, d, e}, A × B = {(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)}. Son cardinal est : card(A× B)=,card(A) ×, card(B). »
Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

Examples:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}.
• {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2}.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}.
• {a, b} × {1, 2, 3} = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.

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