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Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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Avertissement
Les chapitres que j’ai écrits sur l’arithmétique des chiffres et les bases n’ont absolument rien à voir avec la vidéo mathématique datée du 26 juillet 2022, publiée sur un site web populaire agrégateur de vidéos par « Michael maths » du Canada, intitulée « Inventing New Math: Operations on Digits with Digit Theory« , et que je n’ai pas visionnée. Je n’ai pas lu non plus le livre de Karam Aloui intitulé « Fonction somme des chiffres: propriétés arithmétiques et combinatoires » publié le 21.10.2016 aux Éditions universitaires européennes. Donc «Toute ressemblance avec des expressions et des analyses mathématiques existantes ou ayant existé serait purement fortuite et ne pourrait être que le fruit d’une pure coïncidence »⁂⁂⁂
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II) LES
OPÉRATIONS SPÉCIALES EN ARITHMÉTIQUE DES CHIFFRES DU NOMBRE
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1) Définitions et expressions
générales des opérations spéciales en arithmétique des chiffres qui refont ou
défont le nombre:
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Nous
avons écrit précédemment les expressions de l’opération d’extraction gauche ou
droite d’un seul chiffre d’un nombre, mais nous pouvons aussi écrire les
expressions de l’opération d’extraction gauche ou droite de plusieurs chiffres
consécutifs ou non et qui sont de deux types:
- Le premier type est équivalent à
l’expression d’une des étapes de l’opération de suite récurrente de
déconcaténation droite ou gauche que nous expliciterons dans un chapitre
consacré à cette opération de déconcaténation.
- Le deuxième type correspondant aux
opérations spéciales en arithmétique des chiffres du fait de leur
multiplicité qui ne permet pas de les organiser par extension, est
équivalent à l’expression de la déconcaténation partielle c’est-à-dire que
les chiffres xᵢ successifs extraits ne sont ni les premiers ni les
derniers chiffres du nombre y à l’ensemble séquentiel duquel ils
appartiennent. Cette déconcaténation partielle notée respectivement par le
symbole ⫳ est l’une des opérations principales en
arithmétiques des chiffres parmi d’autres que nous expliciterons encore
dans les chapitres qui suivront.
concaténation de ces mêmes éléments et notée pour deux nombres q ∈
N* et w ∈ N, q∣∣w=qw, est l’opération de
déconcaténation donc q⫲qw=q
et w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation gauche des deux
nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en
valeur et en quantité est simultanément égale aux résultats des deux
expressions q⫲qw
et w⫲qw
définis de la façon suivante:
- w⫲qw=⌊qw/10^(l(q))⌋=w, avec l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
- q⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(q))⌋*10^(l(qw)-l(w))=q, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
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1.1 Les opérations
d’extraction gauche équivalente aux opérations de déconcaténation partielles de
plusieurs chiffres du nombre
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L’expression de la déconcaténation partielle est notée q⫳w pour deux chiffres successifs des chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, mais au lieu du trait horizontal du milieu correspondant typographiquement à une biffure de l’opération de déconcaténation, nous écrivons en fait un trait ondulant au lieu d’être un trait droit comme pour le symbole algébrique opératoire de déconcaténation; ou bien encore qui est notée q⫵w pour trois chiffres successifs des chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés, etc. Elle correspond à une opération d’extraction droite ou gauche de plusieurs chiffres successifs d’un nombre qui ne sont ni sont premier chiffre celui des unités ni son dernier chiffre dont le rang est le plus élevé d’après la convention de notation mathématique.
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1.1.a L’opération
d’extraction gauche sans
inversion et sans répétition de plusieurs chiffres du
nombre qui sont successifs et répétés ou non
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Donc après avoir explicité la notation et le mécanisme
fondamental de l’opération de déconcaténation partielle comme celle de
l’opération d’extraction de plusieurs chiffres consécutifs, nous écrivons
maintenant son expression algébrique numériquement calculable équivalente à
l’extraction droite ou gauche de plusieurs chiffres consécutifs d’un
nombre noté algébriquement y ∈ N*, et représenté par
l’ensemble séquentiel de la suite de nombres correspondant à tous les chiffres et
dont la sous suite de nombres qui sont les chiffres extraits ou partiellement
déconcaténés est notée dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₓ ; y) ∈ DNum(y)=(dnumₙ(a; y);
dnumₐ(z; y); dnumₘ(k; y); dnumᵧ(w; y)… dnumₒ(r; y)), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xₙ₌₁=a; xₙ₊₁=z; xₙ₊₂=k; xₙ₊₃=w; xₙ₊₄; xₙ₊₅;xₙ₊₆;
xₙ₊₇… xₙ₌ₓ) ⊆ DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 et 9), où la notation de la sous
suite de nombres qui sont les chiffres extraits correspondent dans l’ordre
positionnel de la droite vers la gauche des chiffres du nombre y toujours à la
quantité de répétition des chiffres extraits. L’expression de cette opération
de déconcaténation multiple des chiffres successifs situés dans l’intervalle
ouvert défini pour sa borne supérieure comme le chiffre du rang le plus élevé
et pour sa borne inférieure comme le chiffre du rang le moins élevé et donc le
chiffre des unités, DNum(y)=]xᵢ₌ₓ; xᵢ₌₁[ et correspondante
ainsi à la définition d’une opération de déconcaténation partielle, est en fait
la combinaison linéaire de plusieurs opérations d’extraction de chiffres
successifs du même nombre. C’est-à-dire que l’opération
d’extraction gauche d’une suite de chiffres successifs correspondante à un
intervalle dont les valeurs sont choisies pour les variables xᵢ=[xᵢ₌ₙ ;xᵢ₌ₙ₊ₐ] de
rangs gauches successifs d’un nombre y, correspondant aux éléments de
l’ensemble séquentiel Seq(RNGS)ᵢ₌ₙ₊ₐ= (a-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)); a-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊₁ ; y)); a-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊₂ ; y)); a-RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊₃ ; y));.…RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ;
y)))=(1; 2; 3;…a), dont je choisis la valeur de
rang de chiffres successif gauche que je note RNGSₗ(dnumsₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ;
y))=a, et dont la valeur résultante de cette nouvelle fonction de rang
successif est celui du résultat de la fonction de distance entre chiffres
successifs que je note DISTₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ;
y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ;
y))–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))=a.
Alors, la fonction
d’extraction de tous les chiffres xᵢ du nombre y compris dans l’intervalle [xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ], que
je note EXTRACTSₗ(dnumsₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ;
y); RNGSₗ(dnumsₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))),
est définie comme suit après que les
expressions obtenues par leur sommation suite récurrente de sommation soient définies
comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma
correspondant soit à une relation de récurrence sur la somme d’une suite de
nombres et qui est en général notée:
∑(n=1→n=∞:
[a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁);
a(nᵢ₌₁)
+ a(nᵢ₊₁);
a(nᵢ₌₁)
+ a(nᵢ₊₁)
+ a(nᵢ₊₂);
a(nᵢ₌₁)
+ a(nᵢ₊₁)
+ a(nᵢ₊₂)
+ a(nᵢ₊₃);
a(nᵢ₌₁)
+ a(nᵢ₊₁)
+ a(nᵢ₊₂)
+ a(nᵢ₊₃) +
a(nᵢ₊₄);
a(nᵢ₌₁)
+ a(nᵢ₊₁)
+ a(nᵢ₊₂)
+ a(nᵢ₊₃)
+ a(nᵢ₊₄)
+ a(nᵢ₊₅);
a(nᵢ₌₁)
+ a(nᵢ₊₁)+
a(nᵢ₊₂)
+ a(nᵢ₊₃)
+ a(nᵢ₊₄)
+ a(nᵢ₊₅)
+ a(nᵢ₊₆)
…), où i représente l’indice de l’étape de sommation, sachant que i est
augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ)
est additionnée pour donner la valeur d’un nouvel élément dans l’ensemble des
éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ)
est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la suite, n=1
est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de
sommation.
Soit
à la somme totale des éléments que sont les nombres de la suite et qui n’est
donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la
somme totale de tous les éléments à indice ou i est l’indexe des
éléments indexés sur N* d’un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que
nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée:
)=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)…a(nᵢ₌ₓ)).
Donc après avoir défini la somme sigma en
général nous écrivons et définissons l’expression de la fonction
d’extraction de tous les chiffres xᵢ du nombre y
compris dans l’intervalle [xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ], que
je note EXTRACTSₗ(dnumsₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGSₗ(dnumsₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))),
comme suit:
∀ a>0 ∈ N*; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n>0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1:
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=∑ (n=0→n=-a-1: [ ( y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-n)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-n)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3-n)+2)*10^n )i]) + ( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+a)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+a)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3-a)+2)*10^a (12′) ↔ (12)’
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))
=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-1) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3–1)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2 –2) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-2)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3-2 )+2)*10^2 …
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-a) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-a)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3-a )+2)*10^(a)
(12)’
⁂⁂
l’exemple de y=794587856533 avec les chiffres dnumₙ₌(6 ; 794587856533),
RNGₗ(dnum(6ᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; et soit a=3, puis remplaçons les valeurs des
variables correspondantes dans notre expression précédente (12) » » de
la manière suivante:
∀
a>0 ∈ N*; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n>0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1:
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2)+2))–794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3)+2)
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2-1)+2) –794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3-1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3–1)+2 )*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; 794587856533))+2 –2) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; 794587856533))+3-2)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; 794587856533)) +3–2)+2)*10^2 …
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; 794587856533))+2-a) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; 794587856533))+3-a)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; 794587856533)) +3-a )+2)*10^(a)
(12)’ ↔ (12) »
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2)+2))–794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋–4+3)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3)+2)
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+2-1)+2) –794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3-1)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3–1)+2 )*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+2
–2) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3-2)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3–2 )+2)*10^2…
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+2
–3) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3-3)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4 +3-3 )+2)*10^(3)
(12) » ↔ (12) »’
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))=7856 (12) »’
La représentation séquentielle ensembliste des étapes des
sommes successives de l’expression de l’opération de la fonction EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ;794587856533);
RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→xᵢ₌₄₊₃ ; 794587856533))=(6; 56; 856; 7856).
⁂
1.2. Les opérations spéciales
d’extraction gauche de plusieurs chiffres successifs et répétés ou non du
nombre
⁂
Remarquons que l’expression (12)’ peut
aussi se transformer en une expression (12) » pour renverser
les chiffres du nombre y par une opération spéciale de déconcaténation partielle gauche, mais aussi en une
expression (12) »’ pour déconcaténer des chiffres non
successifs sans les inverser ou en les inversant, ou plus déconcaténer les
mêmes chiffres plusieurs fois (12) » », sans les
inverser ou en les inversant (12) » »’, et donc
plusieurs opérations spéciales de déconcaténations partielles dont nous
explicitons maintenant la première.
⁂
1.2.a L’opération
spéciale d’extraction gauche avec inversion et sans répétition de
plusieurs chiffres successifs du nombre
Donc nous écrivons
maintenant l’expression de la première pour renverser les chiffres
du nombre y par une opération spéciale de déconcaténation partielle gauche que
nous définissons comme suit après que les expressions obtenues par leur
sommation sérielle récurrente soient définies comme une suite de nombres, avec
l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant soit à une relation
de récurrence sur la somme d’une suite de nombres et qui est en général notée:
∑(n=1→n=∞:
[a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁)
+ a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)
+ a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)
+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁)
+ a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃)
+ a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)
+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄)
+ a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)+
a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄)
+ a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l’indice de l’étape
de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur
de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour
donner la valeur d’un nouvel élément dans l’ensemble des éléments dont les
valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ)
est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1
est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de
sommation. Soit à la somme totale des éléments que sont les nombres de la série
et qui n’est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus
simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l’indexe des
éléments indexés sur N* d’un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que
nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée:
∑ (n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)]
)=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)…a(nᵢ₌ₓ)).
Donc après avoir défini la somme sigma en général sous ces deux formes possibles la première de suite récurrente de sommation créant un nouvel ensemble séquentiel dont les éléments correspondent à chaque étapes successive de la sommation; et la deuxième forme correspond à la somme de tous les éléments résultants dans un ensemble dont le cardinal est un seul élément et correspondant donc à un nombre égal à cette somme, nous écrivons et définissons maintenant l’expression de la fonction d’extraction de tous les chiffres xᵢ du nombre y compris dans l’intervalle [xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ],
que je note EXTRACTSₗ(dnumsₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGSₗ(dnumsₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))), et que
nous
opérons pour renverser les chiffres du
nombre y par une opération spéciale de déconcaténation partielle gauche comme
suit:
∀
a>0 ∈ N* ; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n>0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ; y))=n-a:
EXTRACTₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₐ ; y))=∑ (n=0→n=a: [ ( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+n)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+n)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3+n)+2)*10^n )i])
(12ₐ‘) ↔ (12′) »
EXTRACTₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+1) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+1)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+2) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+2)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+2 ) +2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+a) +2) -y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+a)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+a )+2)*10^a
(12′) »
⁂⁂
Prenons
l’exemple de y=794587856533 avec les chiffres dnumₙ₌(6;794587856533),
RNGₗ(dnum(6ᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; et soit a=3, puis remplaçons les valeurs des
variables correspondantes dans notre expression précédente (12) » » de
la manière suivante:
∀
a>0 ∈ N*; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1:
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁; 794587856533))
=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2)+2))–794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3)+2)
+(794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;
794587856533))+2+1)+2) –794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋–(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3+1)+2))) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+3+1)
+2
)*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; 794587856533))+2+2) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; 794587856533))+3+2)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; 794587856533)) +3+2 )+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; 794587856533))+2 + 3) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; 794587856533))+3+a)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; 794587856533)) +3+ 3)+2)*10^3
(12)’ ↔ (12) »
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ;
794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄;794587856533))+2)+2))–794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀( 794587856533)⌋-(⌊log₁₀( 794587856533)⌋–4+3)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3)+2)
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+2+1)+2) –794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3+1)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3+1)+2 )*10^1
+2) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3+2)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+3+2 )+2)*10^2 …
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+2
+3) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+3+3)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4 +3+3 )+2)*10^(3)
(12) » ↔ (12) »’
EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ; 794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ;
794587856533))=3356
(12) »’, qui
est l’inverse du nombre 6533 résultant d’une déconcaténation
partielle droite ou gauche.
La représentation ensembliste séquentielle des
étapes de calcul de la somme sigma de l’expression de l’opération de la
fonction EXTRACTSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ;
794587856533); RNGSₗ(dnumsₙₐₑ(6=xᵢ₌₄→3=xᵢ₌₄₋₃₌₁ ;
794587856533))
est Seq=(6; 56; 356; 3356).
⁂
1.2.b L’opération spéciale
d’extraction gauche sans répétition et sans inversion de plusieurs
chiffres non successifs du nombre
⁂
Donc encore parmi les opérations spéciales de déconcaténation partielles gauches,
nous écrivons maintenant l’expression de l’opération pour déconcaténer des
chiffres non successifs et non inversés nous notons EXTRACTMNIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)) et que
nous définissons comme suit :
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N*
et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀
y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ nᵢ>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=a:
EXTRACTMNIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₕ) +2) – y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-aᵢ₌ₕ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3–aᵢ₌ₕ)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₘ) +2) – y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-aᵢ₌ₘ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3–aᵢ₌ₘ)+2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₙ₊ₐ ) +2) -y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)*10^3
(12) »’
⁂⁂
encore l’exemple du nombre y=794587856533 avec le chiffre noté dnum(6=xᵢ₌₄ ;
794587856533)=6 et RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; dnum(4=xᵢ₌₄₊₆; 794587856533)=4 et RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆; 794587856533)=10; et soit a=6, aᵢ₌ₕ=
3,
aᵢ₌ₘ=5, puis
nous remplaçons les valeurs des variables correspondantes dans notre expression
précédente (12) »’ de la manière suivante:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533)))=RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) – RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆; 794587856533))=a=6:
EXTRACTMNIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ;794587856533))+2)+2) )– 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2) *10^0
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2-3) +2) – 794587856533
mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-3)+2 )*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2 –5) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-5)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3–5)+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; y))+2-6) +2) –794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-6)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-6)+2)*10^3
(12) »’
EXTRACTMNIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533))=4576
(12) »’, qui
est aussi le résultat d’une reconcaténation partielle gauche des chiffres non
successifs du nombre.
représentation ensembliste séquentielle des étapes des expressions
intermédiaires de l’expression de l’opération de la fonction EXTRACTMNIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533)) est Seq=(6; 76; 576; 4576).
⁂
1.2.c L’opération spéciale
d’extraction gauche sans répétition et avec inversion de plusieurs
chiffres non successifs du nombre
⁂
Donc encore parmi les opérations spéciales de
déconcaténation partielles gauches, nous écrivons maintenant l’expression de
l’opération pour déconcaténer des chiffres non successifs et en les
inversant nous notons EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)) et que
nous définissons comme suit :
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N*
et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀
y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀
n>=0 ∈ N* avec
n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=a:
EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₕ) +2) – y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+aᵢ₌ₕ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₕ)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₘ) +2) – y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3+aᵢ₌ₘ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₘ)+2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₙ₋ₐ ) +2) -y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3+aᵢ₌ₙ₋ₐ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₙ₋ₐ)+2)*10^3
(12) »’
⁂⁂
Reprenons l’exemple du nombre
y=794587856533 avec le chiffre noté dnum(6=xᵢ₌₄ ;
794587856533)=6 et RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; dnum(5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533)=4 et RNGₗ(dnum(5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533)=3; et soit a=1, aᵢ₌ₕ=
3,
aᵢ₌ₘ=5, puis
nous remplaçons les valeurs des variables correspondantes dans notre expression
précédente (12) »’ de la manière suivante:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N* et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀ y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀ n>0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnum(5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533)))=RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) – RNGₗ(dnum(5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533))=1:
EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁; 794587856533))=( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ;794587856533))+2)+2) )– 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3)+2) *10^0
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ;794587856533))+2+3) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533)) +3+3)+2 )*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; y))+2+5) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3+5)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533)) +3+5)+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ;794587856533))+2+1) +2) –794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533))+3+1)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄; 794587856533)) + 3+1)+2)*10^3
(12) »’
EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁ ; 794587856533))=5336 (12) »’, qui
est aussi le résultat d’une reconcaténation partielle gauche des chiffres
non successifs du nombre.
La
représentation ensembliste séquentielle des étapes de calcul de la
somme des expressions intermédiaires de l’expression de l’opération de la
fonction EXTRACTMIₗ(dnumₙₐₑ
(6=xᵢ₌₄ →5=xᵢ₌₄₋₁ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 5=xᵢ₌₄₋₁ ; 794587856533)) est Seq=(6; 36; 336; 5336 ).
⁂
1.2.d L’opération spéciale
d’extraction gauche sans répétition et avec à la fois non-inversion
majeure et inversion mineure de plusieurs chiffres non
successifs du nombre
⁂
Donc encore parmi les opérations spéciales de
déconcaténation partielles gauches, nous écrivons maintenant l’expression de
l’opération pour déconcaténer des chiffres non successifs et à la fois
plus non inversés et moins inversés que nous notons:
EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)) et que
nous définissons comme suit:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N*
et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀
y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N,
∀ n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=a:
∀ a>0 ∈ N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N*
et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀
y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N,
∀ nᵢ>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=a:
EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))
( y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )– y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2)) )
/ 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+3)+2) *10^0
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₕ) +2) – y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-aᵢ₌ₕ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3–aᵢ₌ₕ)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₘ) +2) – y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3+aᵢ₌ₘ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₘ)+2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₙ₊ₐ ) +2) -y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)*10^3
(12₁₂) »’
⁂
Prenons encore l’exemple du nombre y=794587856533
avec le chiffre noté dnum(6=xᵢ₌₄ ;
794587856533)=6 et RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; dnum(4=xᵢ₌₄₊₆; 794587856533)=4 et RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆;
794587856533)=10; et soit a=6, aᵢ₌ₕ=
3,
aᵢ₌ₘ=3, puis
nous remplaçons les valeurs des variables correspondantes dans notre expression
précédente (12₁₂) »’ de la manière suivante:
∀ a>0 ∈
N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N*
et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀
y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀
n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533)))=RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) – RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))=a=6:
EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ
(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533)) =( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ;794587856533)) +2)+2) ) – 794587856533
mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3)+2) *10^0
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +2-3) +2) – 794587856533
mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-3)+2)*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2+3) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3+3)+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; y))+2-6) +2) –794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-6)+2))) /
10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-6)+2)*10^3
(12₁₂) »’
EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ;794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533))=4376
(12₁₂) »’, qui est aussi le résultat
d’une reconcaténation partielle gauche et droite des chiffres non successifs du
nombre.
La
représentation ensembliste séquentielle des étapes des expressions
intermédiaires de l’expression de l’opération de la fonction EXTRACTMNIIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂
→ 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))
est Seq=(6;
76; 376; 4376).
⁂
1.2.e L’opération spéciale
d’extraction gauche sans répétition et avec à la fois inversion
majeure et non-inversion mineure de plusieurs chiffres non
successifs du nombre
⁂
Donc
encore parmi les opérations spéciales de déconcaténation partielles gauches,
nous écrivons maintenant l’expression de l’opération pour déconcaténer des
chiffres non successifs et à la fois plus inversés et
moins non inversés que nous notons
EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)) et que nous
définissons comme suit :
∀ a>0 ∈
N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N*
et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀
y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N,
∀ n>=0 ∈
N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=a:
∀ a>0 ∈
N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N*
et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀
y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N,
∀ nᵢ>=0 ∈
N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y))=a:
EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₐ→xᵢ₌ₙ₋ₐ ; y))=
( y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+3)+2) *10^0
+ (y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₕ) +2) – y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3-aᵢ₌ₕ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3–aᵢ₌ₕ)+2 )*10^1
+ (y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+aᵢ₌ₘ) +2) – y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3+aᵢ₌ₘ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3+aᵢ₌ₘ)+2)*10^2 …
…+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-aᵢ₌ₙ₊ₐ ) +2) -y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ ; y))+3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) +3-aᵢ₌ₙ₊ₐ)+2)*10^3
(12₁₂) »’
⁂⁂
Prenons
encore l’exemple du nombre y=794587856533 avec le chiffre noté dnum(6=xᵢ₌₄ ;
794587856533)=6 et RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; dnum(4=xᵢ₌₄₊₆; 794587856533)=4 et RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆;
794587856533)=10; et soit a=6, aᵢ₌ₕ=
3, aᵢ₌ₘ=3, puis
nous remplaçons les valeurs des variables correspondantes dans notre expression
précédente (12₁₂) »’ de la manière suivante:
∀ a>0 ∈
N*, ∀ aᵢ>0 ∈ N*
et aᵢ>0 ∈ (aᵢ₌ₙ |aᵢ₌₁-aᵢ₌₀=aᵢ₌₁ ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠1 ∧ aᵢ₌₂-aᵢ₌₁≠0); ∀
y>0 ∈ N*, ∀ xᵢ>0 ∈ N, ∀
n>=0 ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(794587856533)⌋+1; distₗ(RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) → RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533)))=RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) – RNGₗ(dnum(4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))=a=6:
EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ
(6=xᵢ₌₄ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533)) =( 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ;794587856533)) +2)+2) ) – 794587856533
mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3)+2) *10^0
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +2-3) +2) – 794587856533
mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-3)+2)*10^1
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+2+3) +2) – 794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3+3)+2)*10^2
+ (794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; y))+2-6) +2) –794587856533 mod (10^( ⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnum(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533))+3-6)+2))) /
10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-(⌊log₁₀(794587856533)⌋–RNGₗ(dnumₙ(6=xᵢ₌₄ ; 794587856533)) +3-6)+2)*10^3
(12₁₂) »’
EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ;794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ →4=xᵢ₌₄₊₆ ;
794587856533))=4376
(12₁₂) »’, qui est aussi le résultat
d’une reconcaténation partielle gauche et droite des chiffres non successifs du
nombre.
La
représentation ensembliste séquentielle des étapes des expressions
intermédiaires de l’expression de l’opération de la fonction EXTRACTMINIₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂
→ 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533); RNGₗ(dnumₙₐₑ(6=xᵢ₌₄ → 3=xᵢ₌₄₋₂ → 4=xᵢ₌₄₊₆ ; 794587856533))
est Seq=(6;
76; 376; 4376).
∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ
ⱼ
⁂
1.2.f L’opération spéciale
d’extraction gauche avec répétition sans inversion de plusieurs
chiffres non successifs du nombre
⁂
toujours parmi les opérations spéciales de déconcaténation partielles gauches,
nous écrivons maintenant l’expression de la troisième que nous définissons
pour déconcaténer les mêmes chiffres plusieurs fois sans les
inverser, comme
suit:
b ∈ N* et a<0 et b<0; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1;
distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ; y))=a:
EXTRACTₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3)+2)
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-1) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2 -2) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b )+2)*10^2 …
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+a) +2) -y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b )+2)*10^(-a+1)
(12) » »
⁂
Prenons
un exemple
⁂
1.2.g L’opération spéciale
d’extraction gauche sans inversion et avec répétition de plusieurs
chiffres non successifs du nombre
⁂
1.1.h L’opération
spéciale d’extraction gauche avec inversion et répétition de plusieurs
chiffres non successifs du nombre
⁂
Puis
toujours parmi les quatre opérations spéciales de déconcaténation partielle
gauche, nous écrivons maintenant l’expression de la quatrième que nous
définissons pour déconcaténer les mêmes chiffres plusieurs fois en les
inversant comme suit:
b ∈ N* et a<0 et b>0; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1;
distₗ(RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ ; y)))=RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₐ; y))=a:
EXTRACTₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₐ ; y); RNGₗ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₐ ; y))=( y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2)+2) )–
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y))+3)+2)
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-1) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b)+2 )*10^1
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2 -2) +2) –
y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b )+2)*10^2 …
+ (y mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+a) +2) -y
mod (10^( ⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ; y))+3+b)+2)) ) / 10^(⌊log₁₀(y)⌋-(⌊log₁₀(y)⌋–RNGₗ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ; y)) +3+b )+2)*10^(-a+1)
(12) » »
⁂⁂⁂⁂⁂⁂
1.3 Les opérations
d’extraction droite de plusieurs chiffres successifs du nombre
⁂
Nous rappelons
que y=xᵢ₌ₓ*10^n=x + xᵢ₌ₓ₋₁*10 ^(n-1) + xᵢ₌ₓ₋₂*10^(n-2) + xᵢ₌ₓ₋₃*10^(n-3)…+ xᵢ₊₁*10^(1)
+ xᵢ₌₁*10^(0)
(A)’ où les coefficients c compris entre 0 et
9 sont les chiffres du nombre y. avec les chiffres a, z, k, w de ce
nombre noté algébriquement en général ∀ dnumₙ(xᵢ ; y) ∈
DNum(y)=(dnumₐ(a; y); dnumₛ(z; y); dnumₓ(k; y); dnumᵧ(w; y)…), ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₓ=(xᵢ₌₁=a; xᵢ₊₁=z; xᵢ₊₂=k; xᵢ₊₃=w; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇… xᵢ₌ₓ) ⊆
DNum(n)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9). Nous rappelons encore que
l’expression de cette opération de déconcaténation multiple des chiffres
successifs dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₚ ; y) situés dans l’intervalle ouvert défini
pour sa borne supérieure comme le chiffre du rang le plus élevé DNum(y)=]xᵢ₌ₓ; xᵢ₌₁[ et pour sa borne
inférieure comme le chiffre du rang le moins élevé et donc le chiffre des
unités, et correspondante ainsi à la définition d’une opération de
déconcaténation partielle, est en fait la combinaison linéaire de plusieurs
opérations d’extraction de chiffres successifs du même nombre. C’est à
dire que l’opération d’extraction droite (correspondante à un intervalle de
valeurs choisies des variables résultats de la fonction de rang
droit RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) et RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y))) d’un
nombre y, dont je choisis la valeur de rang de chiffres successifs droits notés
⁂
1.3.a L’opération
d’extraction droite sans
inversion et sans répétition de plusieurs chiffres du
nombre qui sont successifs et répétés ou non
⁂
conséquence de ce que nous avons écrit précédemment j’écris donc maintenant
l’expression de la fonction d’extraction sans inversion et sans répétition
droite de plusieurs chiffres successifs et répétés ou non du nombre et que je note EXTRACTᵣ(dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₘ ; y); RNGᵣ(dnumₐₑₙ
∀ m ∈ N⁺; ∀ y ∈ N*⁺, ∀ xᵢ ∈ N⁺, ∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, et distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₘ ;
y)))=distᵣ(RNGᵣ(dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y)))=RNGᵣ(dnumₐₑ(xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y) –RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)))=m, alors:
⁂⁂
l’exemple de y=794587856533 avec les chiffres dnumₙ₌₂(5;794587856533),
RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ;
794587856533))=4; m=2, puis remplaçons les variables correspondantes dans
notre expression précédente (13)’ de la façon suivante:
EXTRACTᵣ(dnum₂₁(5=xᵢ₌₄→7=xᵢ₌₄₊₂; 794587856533) ; RNGᵣ(dnum₁(7=xᵢ₌₄₊₂ ; 794587856533)) – RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ; 794587856533)))
(13)’↔(13′)’
a(y)=⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ;794587856533))+1-2⌋ –⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2⌋*10^(2+1)
(13′)’↔(13 »)’
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+1–2⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋–4+2⌋*10^(2+1)
(13 »)’↔(13 »’)’
a(y)=587
(13 »’)’
⁂
1.2 Les opérations
spéciales d’extraction droite de plusieurs chiffres successifs et non
successifs du nombre
⁂
aussi se transformer en une expression (13) » d’une
opération spéciale de déconcaténation partielle droite pour renverser
le sens de l’ordre déconcaténation partielle de la gauche vers la droite et
donc de la droite vers la gauche un sens de déconcaténation équivalent à une
déconcaténation gauche des chiffres du nombre y; mais aussi en une
expression (13) »’ d’une opération spéciale de
déconcaténation partielle droite pour déconcaténer des chiffres non
successifs en les inversant ou sans les inverser (13) » » et en éliminant tous les chiffres de l’intervalle de
déconcaténation partielle sauf les deux chiffres de la borne inférieure et
supérieure.
1.2.a Les opérations spéciales
d’extraction droite sans répétition et avec inversion de plusieurs chiffres
successifs répétés ou non du nombre
spéciales de déconcaténation partielle dont nous écrivons maintenant l’expression de la première que nous
définissons pour renverser le sens de l’ordre de déconcaténation des chiffres
du nombre y par une opération spéciale de déconcaténation partielle
droite comme suit:
∀ p ∈ N*
et p>0; ∀ y ∈
N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N*
avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, et distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₚ ; y)))=distᵣ(RNGᵣ(dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₚ ; y)))=RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₚ ; y)) –RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))=p; et avec RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₚ ; y))= ( …n-p; n-p-1; n-p-2; …n), alors:
EXTRACTᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ-ₚ ;
y); RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→ₙ-ₚ ; y)))=⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1⌋–⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+p⌋*10^(p+1)
(13) ».
⁂⁂
Prenons
l’exemple de y=794587856533 avec les chiffres dnumₙ₌₂(5;794587856533),
RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ;
794587856533))=4; p=2, puis remplaçons les variables correspondantes dans
notre expression précédente (13) » de la façon suivante:
EXTRACTᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄→9=xᵢ₌₄₋₂;
794587856533) ; RNGᵣ(dnum(9=xᵢ₌₄₋₂ ; 794587856533)) – RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄ ; 794587856533)))
(13) »↔(13′) »
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2+2⌋*10^(2+1)
(13′) »↔(13 ») »
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2+2⌋*10^(2+1)
(13 ») »↔(13 »’) »
(13 »’) »
⁂
1.2.b Les
opérations spéciales d’extraction droite sans répétition, avec inversion et
élimination de plusieurs chiffres successifs répétés ou non du nombre
⁂
les trois opérations spéciales de déconcaténations partielles droites, nous écrivons
maintenant l’expression de la deuxième expression que nous définissons pour
déconcaténer des chiffres non successifs en les inversant et en éliminant tous les
chiffres de l’intervalle de déconcaténation partielle sauf les deux chiffres de
la borne inférieure et supérieure [xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₋ₘ₋₁], comme suit:
∀ m >0 et m ∈
N* avec n > m; ∀ y ∈
N*, ∀ xᵢ ∈ N, ∀ n ∈ N*
avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, et distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₘ ; y)))=distᵣ(RNGᵣ(dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₋ₘ ; y)))=RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) – RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₋ₘ ; y))=n-m, et avec RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y))= (m; n₁-m; n₂-m; …; n), alors:
EXTRACTELIMᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₘ ; y) ∗–∗ dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ₋₁→xᵢ₌ₙ₋ₘ₊₁ ;
y) ;
RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₋ₘ; y)) – RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ₋₁→xᵢ₌ₙ₋ₘ₊₁;
y)))=(⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1⌋)*10-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2⌋*100 +(⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1+m⌋)-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2+m⌋ *10
(13) »’.
⁂
les chiffres dnumₙ₌₂(5;794587856533) et dnum(9;
794587856533), RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))=4; m=2, puis remplaçons les variables correspondantes
dans notre expression précédente (13) »’ de la façon suivante:
EXTRACTELIMᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄→9=xᵢ₌₄₋₂; 794587856533) ∗–∗ dnum(4=xᵢ₌₄₋₁→4=xᵢ₌₄₋₂₊₁ ;794587856533) ; RNGᵣ(dnum₂(5=xᵢ₌₄→9=xᵢ₌₄₋₂ ; 794587856533)) -RNGᵣ(dnum(4=xᵢ₌₄₋₁→4=xᵢ₌₄₋₂₊₁;794587856533)))
(13) »’↔(13′) »’
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1⌋)*10-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2⌋*100 +(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1+2⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2+2⌋ *10
(13′) »’↔(13 ») »’
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1⌋)*10-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2⌋*100 +(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1+2⌋) –⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2+2⌋*10
(13 ») »’↔(13 »’) »’
a(y)=59 (13 »’) »’
⁂
1.2.c Les
opérations spéciales d’extraction droite sans répétition, sans inversion
et avec élimination de plusieurs chiffres successifs répétés ou non du nombre
⁂
les trois opérations spéciales de déconcaténations partielles droites, nous
écrivons maintenant l’expression de la troisième expression que nous
définissons pour déconcaténer des chiffres non successifs sans les inverser et
en éliminant tous les chiffres de l’intervalle de déconcaténation partielle
sauf les deux chiffres de la borne inférieure et supérieure [xᵢ₌ₙ; xᵢ₌ₙ₊ₘ₊₁], comme suit:
∀ m >0 et m ∈
N* ; ∀ y ∈ N*, ∀ xᵢ ∈ N,
∀ n ∈ N* avec n<=⌊log₁₀(y)⌋+1, et
distᵣ(RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) → RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₘ; y)))=distᵣ(RNGᵣ(dnumₐₑₙ(xᵢ₌ₙ→ₙ₊ₘ ;
y)))=RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y)) -RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₘ ;
y))=n+m-1, et avec RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ₊ₘ; y))= (n; n+1; n+2; …n+m;
n+m+1 ); distᵣ( RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y))
– RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ₊₁→xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y)))=2, alors:
alors:
EXTRACTELIMᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₘ₋₁ ; y) ∗–∗ dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ₊₁→xᵢ₌ₙ₊ₘ₋₁ ; y) ; RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ→xᵢ₌ₙ₊ₘ ; y))
– RNGᵣ(dnumₙₐₑ(xᵢ₌ₙ₊₁→xᵢ₌ₙ₊ₘ₋₁; y)))=(⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1⌋)*10-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2⌋*100 +(⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+1-m⌋)-⌊y/10^(⌊log₁₀(y)⌋–RNGᵣ(dnumₙ(xᵢ₌ₙ ; y))+2-m⌋ *10
(13) » ».
⁂
Prenons
l’exemple de y=794587856533 avec les chiffres dnumₙ₌₂(5;794587856533) et dnum₁(7; 794587856533), RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ;
794587856533))=4; m=2,
puis remplaçons les variables correspondantes dans notre expression
précédente (13) » » de la
façon suivante:
EXTRACTELIMᵣ(dnum₂₂₂(5=xᵢ₌₄→7=xᵢ₌₄₊₂; 794587856533) ∗–∗ dnum₂(8=xᵢ₌₄₊₁→8=xᵢ₌₄₊₂₋₁
;794587856533) ; RNGᵣ(dnum₂₂₂(5=xᵢ₌₄→7=xᵢ₌₄₊₂ ; 794587856533)) – RNGᵣ(dnum₂₂(8=xᵢ₌ₙ₊₁→7=xᵢ₌₄₊₂₋₁ ; 794587856533)))
(13) » »↔(13′) » »
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1⌋)*10-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2⌋*100 +(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+1-2⌋)-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-RNGᵣ(dnum₂(5ᵢ₌₄ ; 794587856533))+2-2⌋ *10 (13′) » »↔(13 ») » »
a(y)=(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1⌋)*10-⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2⌋*100 +(⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+1-2⌋) –⌊794587856533/10^(⌊log₁₀(794587856533)⌋-4+2-2⌋*10
(13 ») » »↔(13 »’) » »
a(y)=57
(13 »’) » »
⁂⁂⁂
LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux 
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