∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par la valeur correspondante de la variable a dans l’expression (a), soit a(n)=1A(dₙ|126)=1A(nₓ)=1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉, nous obtenons sa représentation séquentielle comme suit:
Seq=(1;1;1;0;0;1;1;0;1;0;0……). Remarquons que si nous multiplions l’expression (a) par n ∈ N* nous obtenons la suite des nombres diviseurs de a=126, inférieurs ou égaux à 126, et dont la représentation séquentielle est Seq=(1;2;3;0;0;6;7;0;9;0;0……).
∴
L’expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la divisibilité de la variable b par nₓ, soit d’ₙ|b, est définie comme suit:
1A: N→ {0,1}:
- 1A(nₓ)=0, si nₓ∤b
- 1A(nₓ)=1, si nₓ|b
∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N* et et dₙ <= b:
a'(n)=1A(dₙ|b)=1A(nₓ)=1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉ (b)
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par la valeur correspondante de la variable b dans l’expression (b), soit a(n)=1A(dₙ|35)=1A(nₓ)=1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉, nous obtenons sa représentation séquentielle comme suit:
Seq=(1;0;0;0;1;0;1;0;0;0……). Remarquons que si nous multiplions l’expression (b) par n ∈ N*, nous obtenons la suite des nombres diviseurs de b=35, inférieurs ou égaux à b=35, de représentation séquentielle Seq=(1;0;0;0;5;0;7;0;0;0……).
∴
La multiplication des expressions précédentes (a) et (b) résulte dans l’expression de la nouvelle fonction indicatrice de la caractéristique des nombres diviseurs communs à, a et b, soit 1A(dₙ|a)*1A(dₙ|b), est définie comme suit:
1A: N→ {0,1}:
- 1A(nₓ)=0, si nₓ∤a ∧ nₓ∤b
- 1A(nₓ)=1, si nₓ|a ∧ nₓ|b
L’expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la divisibilité des variables a et b par nₓ, soit dₙ|a ∧ dₙ|b, est définie comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N* et dₙ <= b:
a(n)*a'(n)=1A(dₙ|a)*1A(dₙ|b)=(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) (c) ↔ (a)*(b)
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (c), soit a(n)*a'(n)=1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), nous obtenons sa représentation séquentielle comme suit:
Seq=(1;0;0;0;0;0;1;0;0;0……). Remarquons que si nous multiplions l’expression (c) par n ∈ N*, nous obtenons la suite des nombres communs diviseurs de a =126 et b=35, inférieurs ou égaux à 126, de représentation séquentielle, Seq=(1,0,0,0,0, 0,7,0,0,0,0,0,0,0,0.0,0,0,0..)
∴
Enfin le plus grand diviseur commun à, a et b correspond à la dernière valeur non nulle de la séquence de nombres représentant cette dernière expression (c). En effet nous obtenons cette valeur égale au PGCD(a,b) en définissant tout d’abord l’expression de la fonction indicatrice inverse de la précédente soit :
1A: N→ {0,1}:
- 1A(nₓ)=1, si nₓ∤a ∧ nₓ∤b
- 1A(nₓ)=0, si nₓ|a ∧ nₓ|b
L’expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de la non divisibilité des variables a et b par nₓ, soit dₙ∤a ∧ dₙ∤ b, est définie comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ∤a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ∤b ∈ N*:
a(n)=1A(dₙ∤a)*1A(dₙ∤b)=1-1A(dₙ|a)*1A(d’ₙ|b)=1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) (d) ↔ 1- (c) ↔ 1- (a)* (b)
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (d), soit 1A(dₙ∤a)*1A(dₙ∤b)=1-1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), nous obtenons sa représentation séquentielle, Seq=(0;1;1;1;1;1;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1……). Remarquons que si nous multiplions l’expression (c) par n ∈ N*, nous obtenons la suite des nombres non communs diviseurs de a =126 et b=35, de représentation séquentielle, Seq=(0;2;3;4;5;6;0;8;9;10;11;12;13;14;15;16……).
∴
Ensuite, en définissant tout d’abord les expressions obtenues par leur sommation comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général ( noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation, nous écrivons maintenant l’expression de la valeur du PGCD(a,b) qui représente l’expression se substituant à l’ensemble de toutes les étapes de la méthode de l’algorithme d’Euclide, qui est définie et décomposée comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:
a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (a(n₊₁)*a'(n₊₁) )i ] =∑ n=1→n=∞: [ (1A(dₙ₊₁|a)*1A(dₙ₊₁|b))i ] =∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] (e) ↔ ∑ n=1→n=∞: [ ( (a)*(b) )i ].
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (e), soit ∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ], nous obtenons sa représentation séquentielle, qui est comme suit:
Seq=(1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2…). Remarquons avec le décalage indiciel de de n₊₁, la différence d’ avec l’expression sans ce décalage, ∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n–⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n–⌊35/n⌉) )i ] dont la représentation séquentielle est comme suit:
Seq=(1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2…), il y a une quantité de six 1 au lieu de cinq comme précédemment. Cette difference tient au fait que chaque nombre 1 ou 2 correspond au rang des segments de la suite de nombres de l’expression (c), soit a(n)*a'(n)=
1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), de représentation séquentielle, Seq=(1;0;0;0;0;0;1;0;0): chaque nombre 1 détermine un nouveau rang de segmentation avec le premier déterminant le rang 1, et le deuxième nombre 1 déterminant le segment de rang 2, etc. comme nous l’avons écrit à la rubrique 17 intitulée « 8’A IV FONCTION DE SEGMENTATION CARACTÉRISTIQUE FONDAMENTALE« .
∴
Nous avons aussi besoin de déterminer l’expression du rang des segments de la fonction indicatrice caractéristique de l’inverse de la précédente soit, le rang des segments de la fonction indicatrice de la caractéristique de l’ensemble des nombres non diviseurs commun de a et b, et inférieurs à a>b, qui est définie comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:
a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1-a(n)*a'(n))i ]=∑ n=1→n=∞: [ (1-1A(dₙ₊₁|a)*1A(dₙ₊₁|b) )i ] =∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] (g) ↔ ∑ n=1→n=∞: [ ( 1- (a)* (b) )i ]
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (g), soit ∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )i ] nous obtenons sa représentation séquentielle qui est Seq=( 0,1,2,3,4,5,5,6,7,8.).
∴
Enfin nous avons aussi besoin de déterminer le cardinal de l’ensemble des nombres communs diviseurs avec a et b, défini comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:
a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) (f) ↔ ∑ n=1→n=∞: [ (a)*(b) ]. Cette dernière expression avec la sommation est sans indice pour indiquer la non itération correspondante à celle de la fonction du cardinal des éléments non nuls de la séquence de nombres caractéristique d’expression (a)*(b) dont la valeur est donc 1 ou 0 et la valeur de leur somme est celle d’une variable fixe.
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (f), soit a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈23/n-⌊23/n⌋⌉)] )= 2, nombre qui correspond à la valeur du cardinal du sous ensemble des éléments non nuls de la suite de nombres de l’expression (c), soit a(n)*a'(n)=1A(dₙ|126)*1A(dₙ|35)=(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉), de représentation séquentielle, Seq=(1;0;0;0;0;0;1;0;0).
∴
Si avec les deux expressions précédentes (e), (f) et (g), nous avons écrit les paramètres nécessaires à l’élaboration de l’expression du rang caractéristique de la plus grande valeur des diviseurs communs de a et b, alors nous écrivons maintenant l’opération sur les sous-ensembles de nombres qui compte tenu de ces deux paramètres nous donnera en finalité l’expression de ce rang caractéristique recherché, que nous pouvons définir comme la dernière de premières valeurs non nulles avant une série de valeurs nulles. La première opération est en fait celle de la caractérisation par la fonction indicatrice des valeurs nulles de la fonction indicatrice d’expression (c), soit, a(n)*a'(n)=1A(dₙ|a)*1A(dₙ|b)=(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉), donc si nulles alors correspondant à l’expression de l’ensemble des nombres caractéristique des nombres commun non diviseurs de a et b qui sont inférieurs à la plus grande valeur de ces nombres correspondant à la valeur recherché du PGCD(a,b) et caractérisé par le nombre 1. Cette opération de caractérisation est définie comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:
a(n)=( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁–⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) (h) ↔ (⌈ ((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d)*(n-(g) +(d)₊₁ )))/(((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d) *(n-(g) +(d)₊₁ ))+1)⌉)*(d)
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (h) soit a(n)=(⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁–⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁–⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ), de représentation séquentielle, Seq=(0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,….).
∴
Ensuite, après l’opération de caractérisation précédente, nous allons soustraire au résultat de cette opération précédente soit l’expression (h), l’expression (d), pour obtenir l’expression de la fonction indicatrice des nombres inférieurs à la plus grande valeur des nombres commun diviseurs à a et b, une opération résultant dans l’expression d’une fonction indicatrice qui est définie comme suit:
1A: N→ {0,1}:
- 1A(nₓ)=1, si nₓ > 1A(PGCD(a,b))*nₓ
- 1A(nₓ)=0, si nₓ <= 1A(PGCD(a,b))*nₓ
L’expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ>1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:
a(n)= (1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) (i) ↔ (d) – (h) ↔ 1- (c) – (h) ↔ 1- (a)* (b) – (h) ↔ 1- (a)* (b) – ( (⌈ ((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d)*(n-(g) +(d)₊₁ )))/(((f)-((c)*(n- (e) +(c)₊₁)+(d) *(n-(g) +(d)₊₁ ))+1)⌉)*(d) )
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (i) soit:
a(n)= (1-(1-⌈126/n-⌊126 /n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35,/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ), de représentation séquentielle:
Seq=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1..).
Puis, nous considérons l’inverse de la fonction indicatrice précédente et dont l’expression est définie comme suit:
1A: N→ {0,1}:
- 1A(nₓ)=0, si nₓ > 1A(PGCD(a,b))*nₓ
- 1A(nₓ)=1, si nₓ < =1A(PGCD(a,b))*nₓ
L’expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ<=1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:
a(n)= 1- ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁–⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) (j) ↔ 1-(i) ↔ 1- (d) + (h) ↔ (c) + (h) ↔ (a)*(b)+(h)
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (j) soit:
a(n)= 1- ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ), de représentation séquentielle:
Seq(1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…).
∴
Enfin nous déterminons le cardinal de l’ensemble des nombres inférieurs ou égaux au PGCD(a,b), défini comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:
a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] (k) ↔ ∑ n=1→n=∞: [(j)]. Cette dernière expression avec la sommation est sans indice pour indiquer la non itération correspondante à celle de la fonction du cardinal des éléments non nuls de la séquence de nombres caractéristiques de nₓ<=1A(PGCD(a,b))*nₓ et d’expression (j), dont la valeur est donc 1 ou 0, et la valeur de leur somme est une variable fixe.
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (k) soit:
a(n)=∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁–⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁–⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ]=7
∴
Enfin nous obtenons l’expression de la fonction indicatrice de la caractéristique de l’index de position du nombre correspondant à la valeur du PGCD(a,b) obtenu précédemment par la sommation totale de l’expression précédente, (j), et dont l’expression (k) est à la fois ce cardinal et cet index de position de PGCD(a,b), et qui est définie comme suit:
1A: N→ {0,1}:
- 1A(nₓ)=1, si nₓ = 1A(PGCD(a,b))*nₓ
- 1A(nₓ)=0, si nₓ ≠1A(PGCD(a,b))*nₓ
L’expression de cette fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ=1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:
a(n)= ( 1- ⌈ | n – (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁–⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁–⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) | / (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁–⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) – ⌊ | n – (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) | / ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉ ) * (1- ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ) (l) ↔ (1-⌈ |n-(k)| / (k) –⌊ |n-(k)| / (k) ⌋ ⌉ )*(j) avec (k) ↔ ∑ n=1→n=∞: [(j)]; et avec (j) ↔ 1-(i) ↔ 1- (d) + (h) ↔ (c) + (h) ↔ (a)*(b)+(h)
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (l) soit:
a(n)= ( 1- ⌈ | n – (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁-⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) | / (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) – ⌊ | n – (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) | / ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉ ) * (1- ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ), de représentation séquentielle: Seq(0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…).
∴
Nous écrivons pour conclure l’expression de la fonction indicatrice de la caractéristique de la valeur du PGCD(a,b) qui est égale à la multiplication de nₓ ∈ N* par l’expression précédente (l) de la fonction indicatrice de la caractéristique de l’index de position du nombre correspondant à la valeur du PGCD(a,b) obtenu précédemment par la sommation totale de l’expression précédente, (j), et dont l’expression (k) est à la fois ce cardinal et cet index de position de PGCD(a,b), et qui est définie comme suit:
1A: N→ {0,1}:
- 1A(nₓ)=1*nₓ, si nₓ = 1A(PGCD(a,b))*nₓ
- 1A(nₓ)=0*nₓ, si nₓ ≠1A(PGCD(a,b))*nₓ
L’expression de la multiplication de nₓ par l’expression de la fonction indicatrice de la caractéristique de nₓ=1A(PGCD(a,b))*nₓ, est définie comme suit:
∀ a ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|a ∈ N* et dₙ <= a, ∀ b ∈ N*, ∀ nₓ ∈ N*, ∀ x ∈ N*, ∀ dₙ ∈ N*, avec dₙ|b ∈ N*:
a(n)= ( ( 1- ⌈ | n – (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁–⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁–⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) | / (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁–⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) – ⌊ | n – (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) | / ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉ ) * (1- ((1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈a/n₊₁–⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁–⌊b/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈a/n-⌊a/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) ) ) ) )*n (m) ↔ (l) * (a(n)=n)
∴
Reprenons notre exemple précédent, soit a=126 et b=35, et en remplaçant par les valeurs correspondantes des variables a et b dans l’expression (m) soit:
a(n)= (( 1- ⌈ | n – (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊b/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊b/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁-⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) | / (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈b/n-⌊b/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁-⌋⌉ )*(1-⌈b/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) – ⌊ | n – (∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )))) / ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) | / ( ∑ n=1→n=∞: [ (1 – ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ] ) ⌋ ⌉ ) * (1- ((1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)) – ( ⌈ ( (∑ n=1→n=∞: [ (1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊a/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))/((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉)] ) – ( ((1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) * (n-(∑ n=1→n=∞: [ ( (1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ]) + ((1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ) )+(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) )*(n-(∑ n=1→n=∞: [ (1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) )i ] )+(1-(1-⌈126/n₊₁-⌊126/n₊₁⌋⌉ )*(1-⌈35/n₊₁-⌊35/n₊₁⌋⌉) ))))+1)⌉ )*(1-(1-⌈126/n-⌊126/n⌋⌉ )*(1-⌈35/n-⌊35/n⌋⌉) ) ) ) ) * n, de représentation séquentielle, Seq(0,0,0,0,0,0,7,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…).
∴
Le PGCD(a,b)=∑ n=1→n=∞: [(m) ]↔ ∑ n=1→n=∞: [(l)*(a(n)=n)]. Ces dernières expressions avec la sommation sont sans indice pour indiquer la non itération correspondante à celle de la fonction du cardinal des éléments non nuls de la séquence de nombres caractéristiques de nₓ=1A(PGCD(a,b))*nₓ et d’expression (m), dont la valeur est donc 1 ou 0, et la valeur de leur somme égale à leur cardinal est une variable fixe toujours égale à la valeur du PGCD(a,b).
∴
1.c) Les expressions systématiques courtes du PGCD et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo
∴
II) LES EXPRESSIONS SYSTEMATIQUES DU PPCM ET LEURS EQUIVALENCES AVEC LES EXPRESSIONS DES FONCTIONS PLANCHER, PLAFOND ET MODULO
₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ
⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉
∴
LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux 
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