LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux

74: 5A Nouvelles Expressions d'Algèbre Fonctionnelle Simple du PGCD et du PPCM

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Cédric Christian Bernard Gagneux
29–43 minutes

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 ©2019 Cédric Christian Bernard Gagneux

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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. © « Tous droits réservés » – 2019 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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La relation modulaire s’écrit avec le terme de a modulo b sachant que le modulo est abrégé dans la relation qui s’écrit a mod b. L’opérateur mod retourne alors un nombre appelé le modulo ou résidu (le reste de la division euclidienne a/b) toujours compris entre 0 (inclus) et le diviseur b (exclu) et qui a le même signe que le diviseur b. En général, a mod b=a−⌊a/b⌋×b. Par exemple, 9 mod 4 = 9 − ⌊9/4⌋×4 = 9 − 2×4 = 1. Nous utiliserons exceptionnellement ici dans ces quatres rubriques consacrées au PGCD et PPCM, la notation mod(a,b) équivalente à la notation a mod b pour mieux différencier la fonction modulo de la relation de congruence modulo comprenant cet opérateur modulo ou mod. Sa notation, mod(a,b)=a−⌊a/b⌋*b sera donc utilisée dans tous nos développements d’expressions mathématiques dans tous les sous-titres des rubriques qui suivront consacrées au PPCM et au PGCD. Si nous utilisons une notation différente de la notation conventionnelle a mod b  soit mod(a,b), c’est pour des raisons de lisibilité des formules, car la virgule délimitant l’espace de deux valeurs à l’intérieur d’une parenthèse est un repère pratique et nécessaire pour identifier l’ordre des membres dans les très longues expressions contenant ce type d’opérateur avec celui de la fonction plancher et de la fonction plafond. 

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« PGCD(a,b)=max(a|d ; b|d)=d, signifie que d est un PGCD de a et b si d divise a et b et d est divisible par tout élément divisant a et b. En arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur ou PGCD de deux nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise simultanément. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10. Cette notion s’étend aux entiers relatifs grâce aux propriétés de la division euclidienne. Elle se généralise aussi aux anneaux euclidiens comme l’anneau des polynômes sur un corps commutatif. La notion de PGCD peut être définie dans tout anneau commutatif. Cependant, l’existence d’un PGCD de deux éléments quelconques n’est plus garantie, mais c’est le cas pour des classes d’anneaux (plus générales que les seuls anneaux euclidiens) comme les anneaux factoriels. Un anneau pour lequel cette propriété d’existence est satisfaite est appelé anneau à PGCD. Le PGCD de deux entiers a et b se note:

PGCD(a,b).

Par extension, le PGCD d’une famille d’entiers a{i} est noté PGCD(a{i}). PGCD (a,b) est parfois noté a ∧ b. Cette notation fait référence aux ensembles ordonnés : tout diviseur commun à a et b divise leur PGCD.

EXEMPLE: Le nombre 54 peut être exprimé comme un produit de deux nombres entiers de plusieurs manières différentes :
54×1=27×2=18×3=9×6.
Ainsi la liste complète des diviseurs de 54 est:
1,2,3,6,9,18,27,54
De même, les diviseurs de 24 sont:
1,2,3,4,6,8,12,24
Les nombres que ces deux listes ont en commun sont les diviseurs communs de 54 et 24, c’est-à-dire:
1,2,3,6.
Parmi ceux-ci, le plus grand est 6, c’est donc le plus grand commun diviseur :
pgcd(54,24)=6.

Dès que l’un des deux entiers a ou b est non nul, leur plus grand commun diviseur peut être calculé en utilisant leur plus petit commun multiple (PPCM): PGCD(a,b)=|ab|/PPCM(a,b)

l’algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM. Avec l’algorithme d’Euclide, calculons PGCD(60, 168) :

168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 × 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0.

Donc PGCD(60, 168) = 12 et PPCM(60, 168) = (60×168)/12 = 840. »

Utilisation des factorisations premières

Les plus grands diviseurs communs peuvent être calculés en déterminant les factorisations premières des deux nombres et en comparant les facteurs. Par exemple, pour calculer pgcd(48, 180), on trouve les factorisations premières : 48 = 24 · 31 et 180 = 22 · 32 · 51; le PGCD est alors 2min(4,2) · 3min(1,2) · 5min(0,1) = 22 · 31 · 50 = 12
Le PPCM correspondant est alors 2max(4,2) · 3max(1,2) · 5max(0,1) = 24 · 32 · 51 = 720. »

Algorithme euclidien modulaire
Une méthode plus efficace est l’algorithme euclidien modulaire, une variante dans laquelle la différence des deux nombres a et b est remplacée par le reste de la division euclidienne (également appelée division avec reste) de a par b. En désignant ce reste comme un mod b, l’algorithme remplace (a, b) par (b, a mod b) à plusieurs reprises jusqu’à ce que la paire soit (d, 0), où d est le plus grand diviseur commun. Par exemple, pour calculer pgcd(48,18), le calcul est le suivant :

PGCD(48,18)→PGCD(18,48mod18)=PGCD(18,12)→PGCD(12,18mod12)=PGCD(12,6)→PGCD(6,12mod6)=PGCD(6,0).

Cete dernière correspond à la première expression soit à nouveau PGCD(48, 18) = 6. »

Extraits des articles intitulés « Plus grand commun diviseur » et « Plus grand commun diviseur de nombres entiers » publié sur le site de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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« En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – (peut s’appeler aussi PPCM, soit « plus petit multiple commun ») de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de ces deux nombres. On le note a ∨ b ou PPCM(a, b), ou parfois simplement [a, b].
On peut également définir le PPCM de a et b comme un multiple commun de a et de b qui divise tous les autres. Exemple, pour le PPCM(4,6) alors les multiples de 4 sont :
4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76
Les multiples de 6 sont :
6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,…
Les multiples communs de 4 et 6 sont les nombres qui sont dans les deux listes :
12,24,36,48,60,72,12,24,36,48,60,72,…
Dans cette liste, le plus petit nombre est 12. Par conséquent, le plus petit commun multiple est 12.
Dès que l’un des deux entiers a ou b est non nul, leur plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant leur plus grand commun diviseur (PGCD):
PPCM(a,b)=|ab|/PGCD(a,b)
l’algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM. Exemple:
Avec l’algorithme d’Euclide, calculons PGCD(60, 168) :
168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 × 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0.
Donc PGCD(60, 168) = 12 et PPCM(60, 168) = (60×168)/12 = 840.
La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci. On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.
Exemple:
Prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers. On a :
60 = 2×2×3×5 = 22×3×5 ;
168 = 2×2×2×3×7 = 23×3×7.
Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsi PPCM(60, 168) = 23×3×5×7 = 840. »
Extraits des articles intitulés « Plus petit commun multiple », « Plus grand commun diviseur »et « Plus grand commun diviseur de nombres entiers » publié sur le site de Wikipédia l’encyclopédie libre.

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I) PROPRIÉTÉS DE LA RELATION DE PGCD D’EXPRESSION ÉQUIVALENTE AUX EXPRESSIONS DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND.

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1.a) Les expressions constitutives du PGCD et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo 

Nous considérons dans cette introduction à la relation de PGCD, le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers non nuls c’est-à-dire le plus grand entier qui les divise simultanément, les propriétés de l’expression du PGCD de deux nombres de l’ensemble N que nous ferons varier pour le nombre a prenant l’ensemble de toutes les valeurs de N* tandis que le nombre b prendra une seule valeur fixe parmi les valeurs de l’ensemble N, afin d’évaluer les propriétés de la suite de nombres constituée par la séquence du PGCD variant sur N et sur une seule valeur fixe de N. Prenons pour exemple la valeur de b= 27 et donc comme écrit précédemment a=n ∈ N*, le PGCD(a,b) s’écrit sous forme d’une suite de nombres correspondant à la séquence de valeurs représentées comme suit: PGCD(a,b)=PGCD(n,27)=(1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;

3;1;1;27;1;1;3;1;1;3;1;1;9…). Cet agencement de la relation de PGCD (et PPCM implicitement) sous forme d’une suite de nombres de la séquence du PGCD, nous permet de nous interroger sur les éléments qui composent cette séquence, c’est-à-dire sont-ils constitutifs d’une ou de plusieurs sous séquence(s) et laquelle ou lesquelles dans le but de définir différemment la relation de PGCD (et de PPCM implicitement). Pour le savoir commençons par donner l’expression de quelques formules d’équivalences particulières entre le PGCD et les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo en se rappelant de la propriété générale énoncée précédemment, qui est que dès que l’un des deux entiers a ou b est non nul, leur plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant leur plus grand commun diviseur PGCD soit: PPCM(a,b)=|ab|/PGCD(a,b). Toute la difficulté sera d’isoler séparément l’expression du PGCD de celle du PPCM pour déterminer une expression d’équivalence avec non pas seulement l’expression d’une opération entre a et b, mais avec l’expression des fonctions plancher, plafond et modulo. Par exemple nous connaissons déjà deux expressions du PGCD(a,b), la première expression étant celle de l’algorithme d’Euclide résultant de l’algorithme de division stipulant que pour tout entier, a, et tout entier positif, b, il existe des entiers uniques q et r tels que, a = bq + r (où r est supérieur ou égal à 0 et inférieur à b. On appelle a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.) et du Lemma stipulant que si a=bq+r, alors pgcd(a,b)=pgcd(b,r); et la deuxième expression celle du théorème de Bachet encore appelée identité de Bezout:

(1) PGCD(a, b) = PGCD(b, a – bq) for any integer q.

(2) PGCD(a, b) = ma + nb for some m, n є Z.

Par contre une expression d’équivalence avec non pas seulement l’expression d’une opération entre a et b, ( mais aussi en considérant précédemment (1) et (2) avec q, m, n aussi), mais avec l’expression des fonctions plancher, plafond et modulo, sachant que nous écrivons a mod b par convention, mod(a,b), sera donnée comme suit:
(1′) mod(PGCD(a,b)+PPCM(a,b),b)+(b-mod(a,b)-mod(-a,b))=PGCD(a,b) ↔

(2′) PGCD(a,b)=mod(a,b)/mod(a/PGCD(a,b), b/PGCD(a,b)) ↔

(3′) mod(a,b)=PGCD(a,b)*mod(a/PGCD(a,b), b/PGCD(a,b)) ↔

(4′) mod(a,b)=PGCD(b*mod(mod(a,b),b), mod(a,b)).

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1.a.1) La séquence du PGCD et l’expression d’équivalence du PGCD avec l’expression des fonctions plancher, plafond et modulo:


Dans une première partie de notre calcul nous déterminerons une formule d’équivalence intentionnellement redondante du PGCD, avec les expressions de la fonction plancher, de la fonction plafond et de la fonction modulo; et redondante, car contenant l’expression recherchée elle-même du PGCD. Le seul but est ici d’identifier les fonctions caractéristiques avec leurs intitulées et les opérations de leurs transformations en sous-séquences de la séquence du PGCD.
L’utilité d’avoir précédemment identifié les éléments du PGCD, c’est à dire les sous séquences éléments de la séquence du PGCD dans une première partie sera mis en valeur dans une deuxième partie de notre calcul pour déterminer l’expression d’équivalence entre l’expression du PGCD et les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo sans élément redondant comme précédemment c’est à dire sans l’expression du PGCD.

La première sous séquence élément de la séquence du PGCD est la fonction caractéristique des nombres a=n ∈ N* multiples de b définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

  • 1A(xₙ)=1 si b|xₙ, soit 1 si xₙ est un multiple de b.
  • 1A(xₙ)=0 si b∤xₙ, soit 0 si xₙ n’est pas un multiple de b.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)   (1), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: ∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=⌊xₙ/b⌋-⌊(xₙ-1)/b⌋=⌊(PGCD(xₙ,b)+PPCM(xₙ,b))/b⌋-xₙ/PGCD(xₙ,b)    (1′)


Prenons encore pour exemple la valeur de b=27 et  a=n ∈ N*, la séquence du PGCD(a,b) s’écrit sous forme d’une suite de nombres représentée comme suit:

 PGCD(a,b)=PGCD(n,27)={1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;
1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27…}.  (0)

La représentation correspondante de l’expression (1′) sous forme d’une suite de nombres est:

 Seqa(n)={0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;
0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1..}.  (2)

Si nous multiplions l’expression (1) par b=27, soit 1A(xₙ)*b=(⌊xₙ/b⌋-⌊(xₙ-1)/b⌋)*b=(⌊(PGCD(xₙ,b)+ppcm(xₙ,b))/b⌋-xₙ/PGCD(xₙ,b))*b   (2′), nous obtenons une suite de nombres dont la représentation est:

 Seqa'(n)={0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;27;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;
0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;27;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;27;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;27..}    (3), correspondant à la représentation d’une sous séquence du PGCD(n,27) dont nous allons donner maintenant l’expression générale de la deuxième sous séquence de la séquence du PGCD correspondant à l’expression comme suit:

a(n)=mod(PPCM(xₙ,b)+PGCD(xₙ,b),b)=PGCD(xₙ,b)-(b-mod(xₙ,b)-mod(-xₙ,b)), avec xₙ=n ∈ N*, b ∈ N*  (3′), dont la représentation sous la forme d’une suite de nombre est la séquence suivante:
 Seqa(n)={1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;0;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;
1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;0;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;0;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;0;1;1;3…}    (4). 

Nous devons encore décomposer l’expression (3′) comme illustrée par la séquence  (4), en plusieurs sous séquences afin d’obtenir une équivalence complète sous la forme exclusivement d’expressions des fonctions plancher, plafond ou modulo. Nous remarquons dans la représentation de la sous séquence (4) du PGCD des suites de nombre 1 ce qui correspond à l’expression de la propriété de nombres premiers entre eux, car par définition du corolaire du théorème de Bachelet, soit pour tout couple d’entiers a et b premiers entre eux ou deux entiers sont relativement premiers lorsqu’il n’y a pas de facteurs communs autres que 1 et qu’aucun autre entier ne peut diviser les deux nombres de manière égale, alors il existe 2 entiers x et y tel que ax+by=1 et PGCD(a,b)=1. Ce qui est démontré en écrivant que si pgcd(a,b)=d alors d|a et d|b et d|(ax+by), donc si ax+by=1 alors d|1, ce qui implique que d=1. La sous séquence correspondante à cette suite de nombre 1 du PGCD, donc le PGCD de nombres premiers avec b, est la fonction caractéristique des nombres a=n ∈ N* relativement premiers avec b, et une fonction qui est définie comme suit: 

1A: E→ {0,1}

  • 1A(xₙ)=0 si b|xₙ ou si xₙ|b, soit 0 si xₙ ou b est respectivement soit un diviseur de b ou un diviseur de xₙ.
  • 1A(xₙ)=1 si b∤xₙ ou si xₙ∤b, soit 1 si xₙ ou b n’est pas respectivement soit un diviseur de b ou un diviseur de xₙ.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)   (4′), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=⌊((ppcm(xₙ,b)/pgcd(xₙ,b))/(xₙ*b))⌋=⌊(ppcm(xₙ,b)/(pgcd(xₙ,b)*(xₙ*b))⌋=1-⌈(((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+pgcd(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b-⌊((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+pgcd(mod(xₙ,b), mod(-xₙ,b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ,b)-mod(-xₙ,b))/b    (5). En prenant encore comme exemple la valeur de b= 27 et  a=n ∈ N*, la représentation correspondante de l’expression (5′) sous forme d’une suite de nombres est:

 Seqa(n)={1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;
1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;
0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0…}      (6). 

Il nous faut maintenant terminer en déterminant la dernière sous séquence manquante pour aboutir à la séquence complète de nombres du PGCD(a,b) qui correspond à la fonction caractéristique des nombres de la séquence du PGCD qui ne sont ni premier entre eux et ni multiples de b, c’est-à-dire soit diviseurs non multiples de b (non égaux à b) ou divisibles par b, mais non multiples de b, et fonction définie comme suit: 

1A: E→ {0,1}

  • 1A(xₙ)=1 si b|xₙ ou si xₙ|b, soit 1 si xₙ ou b est respectivement soit un diviseur non multiple de b ou un diviseur de xₙ non multiple de b.
  • 1A(xₙ)=0 si b∤xₙ ou si xₙ∤b, soit 0 si xₙ ou b n’est pas respectivement soit un diviseur de b ou un multiple de b ou un diviseur de xₙ.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)  (6′), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=1-⌊((PPCM(xₙ,b)/PGCD(xₙ,b))/(xₙ*b))⌋-1+⌈xₙ/b⌉-⌊xₙ/b⌋=1-⌊(PPCM(xₙ,b)/(PGCD(xₙ,b)*(xₙ*b))⌋-1+⌈xₙ/b⌉-⌊xₙ/b⌋     (7). En prenant encore comme exemple la valeur de b= 27 et  a=n ∈ N*, la représentation correspondante de l’expression    (7) sous forme d’une suite de nombres est:

Seqa(n)={0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;
0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;0;0;0;1…}      (7′). 

Pour enfin obtenir la dernière sous séquence complétant l’ensemble des sous-séquences dont la somme correspond à l’expression du PGCD, Il ne restera plus qu’à trouver l’expression correspondante à la représentation suivante:

Seqa(n)={0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;0;0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;
0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;0;0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;0;0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;0;0;0;3…}       (8). Cette expression est trivialement égale à l’expression (7′) a(n)=1A(xₙ) multiplié par l’expression a(n)=PGCD(xₙ,b), soit plus explicitement l’expression définie comme suit:

∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)*PGCD(xₙ,b)=(1-⌊((PPCM(xₙ,b)/PGCD(xₙ,b))/(xₙ*b))⌋-1+⌈xₙ/b⌉-⌊xₙ/b⌋)*PGCD(xₙ,b)=(1-⌊(PPCM(xₙ,b)/(PGCD(xₙ,b)*(xₙ*b))⌋-1+⌈xₙ/b⌉-⌊xₙ/b⌋ )*PGCD(xₙ,b)    (8′). Moins trivialement serait aussi cette expression peu pratique définie comme suit:

∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: a(n)=⌊b/(PPCM(xₙ,b)/(xₙ*(1-(1-⌈(((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b-⌊((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ,b)-mod(-xₙ,b))/b))+1-⌈(((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b-⌊((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ,b)-mod(-xₙ,b))/b))⌋-1+mod(1,xₙ)+(-1+⌈xₙ/b⌉-⌊xₙ/b⌋ )*b      (9).

∴

1.a.1′) La sous séquence fondamentale de la séquence du PGCD et l’expression d’équivalence du PGCD avec l’expression des fonctions plancher, plafond et modulo:


Continuant notre approche précédente ayant permis d’identifier les sous-séquences du PGCD dans le but d’éliminer l’expression d’équivalence redondante du PGCD, car comprenant l’expression du PGCD elle-même, nous considérons donc une seule sous séquence fondamentale de la séquence du PGCD, séquence qui est en fait répétée à l’infini pour constituer la suite de nombres de la séquence du PGCD et cette séquence comprenant une suite de nombres inférieurs à b variable de l’expression du PGCD(a,b)=PGCD(n,b) avec a=n ∈ N* et b ∈ N*: PGCD(a,b)=PGCD(n,b)<=b. 

Prenons encore pour exemple la valeur de b=27 et  a=n ∈ N*, la séquence du PGCD(a,b) s’écrit sous forme d’une suite de nombres représentée comme suit: PGCD(a,b)=PGCD(n,27)={1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;9;1;1;3;1;1;3;1;1;27…}.     (0).
La sous séquence répétée à l’infini de la séquence du PGCD(a,b) s’écrit tentativement déduit explicitement de l’observation de l’exemple donné ci-dessus aussi sous forme d’une suite réduite de nombres représentée comme suit: 

PGCD(a,b)=PGCD(n,27)<=27: Seqa(n)={1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0}   (10).

Nous avons déterminé précédemment que la première sous séquence élément de la séquence du PGCD est la fonction caractéristique des nombres a=n ∈ N* multiples de b, mais que nous pouvons remplacer par une autre sous séquence plus inclusive lorsque nous considérons cette sous séquence répétée de la séquence du PGCD(a,b)=PGCD(n,b)<=b. Cet autre sous séquence est la séquence des nombres diviseurs de b définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

  • 1A(xₙ)=1 si si xₙ|b, soit 1 si xₙ est un diviseur de b.
  • 1A(xₙ)=0 si xₙ∤b, soit 0 si xₙ  n’est pas un diviseur de b.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)   (10′), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 

∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=1-⌈b/xₙ|-⌊(b/xₙ|)⌋⌉   (10′). En prenant encore comme exemple la valeur de b= 27 et  a=n ∈ N*, la représentation correspondante de l’expression    (10′) sous forme d’une suite de nombres est: Seqa(n)={1;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1}    (11). En multipliant l’expression (10′) par a=n  soit a(n)=(1-⌈b/xₙ|-⌊(b/xₙ|)⌋⌉)*n nous obtenons les nombres de la sous séquence des diviseurs de b inférieurs ou égaux à b du PGCD(xₙ|,b) comme suit:
Seqa(n)={1;0;3;0;0;0;0;0;9;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;27}    (11′). 

Après avoir déterminer la sous séquence des diviseurs de b inférieurs ou égaux à b, il reste donc la sous séquence des nombres toujours inférieurs ou égaux à b ayant un facteur qui est un plus grand diviseur de b parmi les autres facteurs diviseurs de b, soit prenant encore comme exemple la valeur de b= 27 et  a=n ∈ N*, les nombres de la sous séquence de la séquence N représentés comme suit: 

Seqa(n)={0;0;0;0;0;6;0;0;0;0;0;12;0;0;15;0;0;18;0;0;21;0;0;24;0;0;0}     (12). L’expression de la séquence du PGCD<=b comprend les facteurs de ces nombres précédents qui sont aussi des plus grands diviseurs de b parmi tous les facteurs diviseurs de b, et inférieurs ou égaux à b, soit prenant encore comme exemple la valeur de b= 27 et  a=n ∈ N*, les nombres de la séquence représentés comme suit: 

Seqa(n)={0;0;0;0;0;3;0;0;0;0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;0}   (12′) qui est cette autre sous séquence de la séquence du PGCD<=b, mais aussi une sous séquence de la séquence précédente (12), soit la séquence des nombres facteurs plus grands diviseurs de b et inférieurs ou égaux à b, est définie en général comme suit:

1A: E→ {0,n}

  • 1A(xₙ)=n si si n|xₙ et n|b et xₙ∤b, soit n si n est respectivement un facteur de xₙ et un plus grand diviseur de b et xₙ n’est pas un diviseur de b.
  • 1A(xₙ)=0 si n∤b ou xₙ|b, soit 0 si n est un facteur de xₙ qui ne divise pas b et xₙ ne divise pas b ou  xₙ est un diviseur de b.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)     (13), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)= ((1-(1-⌈(((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b-⌊((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+gcd(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ,b)-mod(-xₙ,b))/b)+⌈b/xₙ-⌊b/xₙ⌋⌉-1+⌈xₙ/b-⌊xₙ/b⌋⌉-mod(1,xₙ)+((⌈(b+1)/xₙ⌉-2)/b-mod((⌈(b+1)/xₙ⌉-2),b)/b-(⌈b/xₙ⌉-2)/b+mod((⌈b/xₙ⌉-2),b)/b)) * (⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉+1))*PGCD(xₙ;b)     (13′).

Remarquons que correspondante à la fonction précédente, la fonction caractéristique usuelle sur l’ensemble d’arrivée {0,1} est définie comme suit:


1A: E→ {0,1}

  • 1A(xₙ)=1 si si n|xₙ et n|b et xₙ∤b, soit 1 si n est respectivement un facteur de xₙ et un plus grand diviseur de b et xₙ n’est pas un diviseur de b.
  • 1A(xₙ)=0 si n∤b ou xₙ|b, soit 0 si n est un facteur de xₙ qui ne divise pas b et xₙ ne divise pas b ou  xₙ est un diviseur de b.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)     (14), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)= (1-(1-⌈(((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b-⌊((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ,b)-mod(-xₙ,b))/b)+⌈b/xₙ-⌊b/xₙ⌋⌉-1+⌈xₙ/b-⌊xₙ/b⌋⌉-mod(1,xₙ)+((⌈(b+1)/xₙ⌉-2)/b-mod((⌈(b+1)/xₙ⌉-2),b)/b-(⌈b/xₙ⌉-2)/b+mod((⌈b/xₙ⌉-2),b)/b))* (⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉+1)    (14′). 

Prenant encore comme exemple la valeur de b=27 et  a=n ∈ N*, les nombres de la sous séquence de la séquence PGCD(xₙ;b) <=b sont représentés comme suit: 

Seqa(n)={0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;0}    (15).

Donc nous constatons qu’il reste encore une sous séquence pour compléter l’ensemble des sous séquences précédentes, et éléments de la séquence PGCD(a,b)<=b et dont la première est la sous-séquence des nombres facteurs premiers entre xₙ et b qui sont supérieurs à 1 et qui prenant encore comme exemple la valeur de b=27 et  a=n ∈ N*, sont représentés comme suit: 

Seqa(n)={0;2;0;4;5;0;7;8;0;10;11;0;13;14;0;16;17;0;19;20;0;22;23;0;25;26;0}        (15′).  A la sous-séquence correspondante à cette suite de nombre et caractéristique de cette séquence de nombres premiers avec b c’est-à-dire dont le PGCD (a;b)=1, correspond ainsi la fonction caractéristique des nombres a=n ∈ N* relativement premiers avec b, et une fonction qui est définie comme suit: 

1A: E→ {0,1}

  • 1A(xₙ)=0 si  xₙ|b ou n|b, avec n facteur de xₙ et 1<xₙ<=b.
  • 1A(xₙ)=1 si xₙ∤b et si n∤b, avec n facteur de xₙ et 1<xₙ<=b.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)   (16), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=(⌊((PPCM(xₙ,b)/PGCD(xₙ,b))/(xₙ*b))⌋–⌈(⌊1/n⌋/(⌊1/n⌋+1))⌉))*(⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉+1)  = (⌊(PPCM(xₙ,b)/(PGCD(xₙ,b)*(xₙ*b))⌋–⌈(⌊1/n⌋/(⌊1/n⌋+1))⌉)*(⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉+1)  = (1-⌈(((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b-⌊((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b), mod(-xₙ,b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ,b)-mod(-xₙ,b))/b–⌈(⌊1/n⌋/(⌊1/n⌋+1))⌉)*(⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉    (16′). Prenant encore comme exemple la valeur de b=27 et  a=n ∈ N*, les expressions (16′) sont représentées comme suit: 

Seqa(n)={0;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0}.   (17)

∴

1.a.2′) La sous séquence fondamentale de la séquence du PGCD et l’expression d’équivalence du PGCD avec l’expression des fonctions plancher, plafond et modulo:

Une autre possibilité lorsque que nous considérons une seule sous-séquence fondamentale de la séquence du PGCD répétée à l’infini pour constituer la suite de nombres de la séquence du PGCD, et cette séquence comprenant une suite de nombres inférieurs à b variable de l’expression du PGCD(a,b)=PGCD(n,b) avec a=n ∈ N* et b ∈ N* soit PGCD(a,b)=PGCD(n,b)<=b, serait non plus de considérer la première sous séquence élément de la séquence du PGCD<=b et correspondant à la fonction caractéristique des nombres a=n ∈ N* multiples de b, mais la fonction caractéristique des nombres inférieurs à b ayant un ou un produit de deux diviseurs identiques de b. Par exemple en prenant encore comme exemple la valeur de b= 27 et  a=n ∈ N* et n<=b, les nombres de cette sous séquence de la séquence N sont représentés comme suit: 

Seqa(n)={0;0;3;0;0;6;0;0;9;0;0;12;0;0;15;0;0;18;0;0;21;0;0;24;0;0;27}. La fonction caractéristique de la séquence des nombres de la séquence du PGCD de b et des nombres précédents est définie comme suit:

1A: E→ {0,n}

  • 1A(xₙ)=n si si n|xₙ et n|b et xₙ∤b, soit n si n est respectivement un facteur de xₙ et un plus grand diviseur de b et xₙ n’est pas un diviseur de b; si xₙ|b, c’est-à-dire si xₙ est un diviseur de b.
  • 1A(xₙ)=0 si n∤b ou xₙ|b, soit 0 si n est un facteur de xₙ qui ne divise pas b et xₙ ne divise pas b ou xₙ n’est pas un diviseur de b.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)     (17′), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N* et n<=b, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=((⌊PGCD(xₙ;b)/(xₙ/(xₙ*(1-(1-⌈(((mod(-xₙ;b)+mod(xₙ;b))/((b-mod(-xₙ;b)-mod(xₙ;b))/b+PGCD(mod(xₙ;b);mod(-xₙ;b))))/b-⌊((mod(-xₙ;b)+mod(xₙ;b))/((b-mod(-xₙ;b)-mod(xₙ;b))/b+PGCD(mod(xₙ;b);mod(-xₙ;b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ;b)-mod(-xₙ;b))/b))+1-⌈(((mod(-xₙ;b)+mod(xₙ;b))/((b-mod(-xₙ;b)-mod(xₙ;b))/b+PGCD(mod(xₙ;b);mod(-xₙ;b))))/b-⌊((mod(-xₙ;b)+mod(xₙ;b))/((b-mod(-xₙ;b)-mod(xₙ;b))/b+PGCD(mod(xₙ;b);mod(-xₙ;b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ;b)-mod(-xₙ;b))/b))⌋-1+mod(1;xₙ)))* (⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉+1)  (18). Prenant encore comme exemple la valeur de b=27 et  a=n ∈ N* et n<=b, l'expression (18) est représentée comme suit: 

 Seqa(n)={0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;9;0;0;3;0;0;3;0;0;27}   (18′).

Remarquons que correspondante à la fonction précédente, la fonction caractéristique usuelle sur l’ensemble d’arrivée {0,1} est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

  • 1A(xₙ)=1 si si n|xₙ et n|b et xₙ∤b, soit 1 si n est respectivement un facteur de xₙ et un plus grand diviseur de b et xₙ n’est pas un diviseur de b; si xₙ|b, c’est-à-dire si xₙ est un diviseur de b.
  • 1A(xₙ)=0 si n∤b ou xₙ|b, soit 0 si n est un facteur de xₙ qui ne divise pas b et xₙ ne divise pas b ou xₙ n’est pas un diviseur de b.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)     (19), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N* et n<=b, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=(1-⌊(PGCD(xₙ,b)+lcm(xₙ,b))/(xₙ*b)⌋) * (⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉+1)=(1-(1-⌈(((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b-⌊((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ,b)-mod(-xₙ,b))/b))* (⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉+1)   (19′). Prenant encore comme exemple la valeur de b=27 et  a=n ∈ N* et n<=b, l'expression (19′) est représentée comme suit: 

 Seqa(n)={0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1;0;0;1}   (20).

Donc nous constatons qu’il ne reste plus qu’ une sous séquence pour compléter la sous-séquence précédente élément de la séquence PGCD(a,b)<=b et dont la première est la sous-séquence des nombres facteurs premiers entre xₙ et b qui sont supérieurs à 1, et prenant encore comme exemple la valeur de b=27 et  a=n ∈ N*, qui est représentée comme suit: 

Seqa(n)={1;2;0;4;5;0;7;8;0;10;11;0;13;14;0;16;17;0;19;20;0;22;23;0;25;26;0}        (20′).  La sous-séquence correspondante à cette suite de nombre est la sous séquence caractéristique de cette séquence de nombres premiers avec b de PGCD (a;b)=1, est la fonction caractéristique des nombres a=n ∈ N* relativement premiers avec b, et une fonction définie comme suit: 

1A: E→ {0,1}

  • 1A(xₙ)=0 si  xₙ|b ou n|b, avec n facteur de xₙ et xₙ<=b.
  • 1A(xₙ)=1 si xₙ∤b et si n∤b, avec n facteur de xₙ et xₙ<=b.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)      (21), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 

∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=(⌊((PPCM(xₙ,b)/PGCD(xₙ,b))/(xₙ*b))⌋–⌈(⌊1/n⌋/(⌊1/n⌋+1))⌉))*(⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉+1)  = (⌊(PPCM(xₙ,b)/(PGCD(xₙ,b)*(xₙ*b))⌋)*(⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉+1)  = (1-⌈(((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b),mod(-xₙ,b))))/b-⌊((mod(-xₙ,b)+mod(xₙ,b))/((b-mod(-xₙ,b)-mod(xₙ,b))/b+PGCD(mod(xₙ,b), mod(-xₙ,b))))/b⌋)⌉-(b-mod(xₙ,b)-mod(-xₙ,b))/b)*(⌈|xₙ/(b+1)-1|⌉–⌈xₙ/(b+1)⌉)    (21′). Prenant encore comme exemple la valeur de b=27 et  a=n ∈ N*, les expressions (21′) sont représentées comme suit: 

Seqa(n)={1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0;1;1;0}   (22).

∴

1.a.3′) La sous séquence fondamentale de la séquence du PGCD et l’expression d’équivalence du PGCD avec l’expression des fonctions plancher, plafond et modulo:

Une autre possibilité lorsque que nous considérons une seule sous-séquence fondamentale de la séquence du PGCD répétée à l’infini pour constituer la suite de nombres de la séquence du PGCD, et comprenant une suite de nombres inférieurs à b variable de l’expression du PGCD(a,b)=PGCD(n,b) avec a=n ∈ N* et b ∈ N* soit PGCD(a,b)=PGCD(n,b)<=b, serait à nouveau de considérer la première sous-séquence élément de la séquence du PGCD<=b et correspondant à la fonction caractéristique des nombres a=n ∈ N* multiples de b, mais cette fois-ci la fonction caractéristique faite d'une une seule sous-séquence composant la séquence du PGCD au lieu de trois sous-séquences comme précédemment. Ainsi donc, la première sous-séquence est celle des nombres diviseurs de b définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

  • 1A(xₙ)=1 si si xₙ|b, soit 1 si xₙ est un diviseur de b.
  • 1A(xₙ)=0 si xₙ∤b, soit 0 si xₙ  n’est pas un diviseur de b.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)     (22′), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=1-⌈b/xₙ-⌊(b/xₙ)⌋⌉ (23). En prenant encore comme exemple la valeur de b= 27 et a=n ∈ N*, la représentation correspondante de l’expression (10′) sous forme d’une suite de nombres est: Seqa(n)={1;0;1;0;0;0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;1} (11). En multipliant l’expression (23) par a=n<=b, soit a(n)=(1-⌈b/xₙ-⌊(b/xₙ)⌋⌉)*n nous obtenons les nombres de la sous séquence des diviseurs de b inférieurs ou égaux à b du PGCD(xₙ,b) comme suit:
Seqa(n)={1;0;3;0;0;0;0;0;9;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;27} (23′).


Donc nous constatons qu’il ne reste plus qu’une sous-séquence pour compléter la sous-séquence précédente, élément de la séquence PGCD(a,b)<=b et dont la première est la sous-séquence des diviseurs de b inférieurs ou égaux à b du PGCD(a,b). Cette deuxième et dernière sous-séquence est celle des nombres diviseurs de b, qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,n}:

  • 1A(xₙ)=0 si si xₙ|b, soit 0 si xₙ est un diviseur de b.
  • 1A(xₙ)=n si xₙ∤b, soit n si xₙ n’est pas un diviseur de b.
L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ) (24), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit:
∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ N*: 1A(xₙ)=mod(PPCM(xₙ,b)+PGCD(xₙ,b),xₙ)=⌈b/xₙ-⌊(b/xₙ)⌋⌉*PGCD(xₙ,b) (24′). En prenant encore comme exemple la valeur de b= 27 et a=n ∈ N*, la représentation correspondante de l’expression (24′) sous forme d’une suite de nombres est: Seqa(n)={0;2;0;4;5;6;7;8;0;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26;0}     (25)

∴

1.b) Les expressions du PGCD et leurs équivalences avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo

Dans une deuxième partie de notre calcul nous déterminerons une expression d’équivalence non redondante du PGCD, avec les expressions de la fonction plancher, de la fonction plafond et de la fonction modulo; et non redondante, car ne contenant plus l’expression recherchée elle-même du PGCD. Contrairement au sous-titre précédent le seul but de cette deuxième partie de notre calcul n’est plus d’identifier les fonctions caractéristiques avec leurs intitulées et les opérations de leurs transformations en sous-séquences de la séquence du PGCD. Et conformément à ce que nous avons écrit dans l’introduction du sous-titre précédent l’utilité d’avoir précédemment identifié les éléments du PGCD, c’est à dire les sous séquences éléments de la séquence du PGCD dans une première partie est mis en valeur dans cette deuxième partie de notre calcul pour déterminer l’expression d’équivalence entre l’expression du PGCD et les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo sans élément redondant comme précédemment c’est à dire sans l’expression du PGCD. Maintenant au lieu de considérer des éléments de sous séquences de la séquence du PGCD nous considérons deux façons de concevoir le domaine restreint de « l’ensemble de définition » N* du PGCD(a,b) qui donne un ensemble d’arrivée exactement correspondant à la valeur du PGCD(a,b) et résultant de l’expression du PGCD(a,b) exclusivement constituée d’expressions des fonctions plancher, plafond et modulo. 

∴

1.b.1) Les expressions du PGCD et leurs équivalences exactes avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo sur différents domaines restreints de l’ensemble de « l’ensemble de définition N* » du PGCD:

Nous commençons par le domaine de définition restreint de « l’ensemble de définition N* » du PGCD correspondant à celui des nombres entiers a=xₙ ∈ N* et des nombres premiers b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97….} dont le PGCD(a,b) est défini par la fonction caractéristique comme suit:

1A: E→ {1,n}

  • 1A(xₙ)=n si si xₙ|b ou b|xₙ, soit n si xₙ est un diviseur de b ou b est un diviseur de xₙ.
  • 1A(xₙ)=1 si xₙ∤b ou b∤xₙ, soit n si xₙ n’est pas un diviseur de b ou b n’est pas un diviseur de xₙ.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)      (25′), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97….}: PGCD(xₙ,b)=b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b-mod(b,b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)-mod(-b,b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b))+1-(b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b-mod(b,b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)-mod(-b,b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b))/(b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)=b-(b-1)*((mod(xₙ,b)+mod(-xₙ,b))/b      (26). En prenant comme exemple la valeur de b= 23 et  a=n ∈ N*, la représentation correspondante de l’expression (26) sous forme d’une suite de nombres est:

Seqa(n)={1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;23;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;

1;1;1;1;1;1;23;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;23…}         (26′)


Remarquons cette autre expression alternative telle que si b est un nombre premier dont l’ensemble des nombres premiers est noté P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97….}, alors l’expression du PGCD est définie comme suit:

Si b ∈ P , alors ∀ a=xₙ ∈ N*: PGCD(a,b)=b-(b-1)*((mod(xₙ,b)+mod(-xₙ,b))/b.   (27). Cette expression du PGCD d’un nombre premier et de tout nombre entier non nul est remarquable parce que l’expression du PGCD d’un multiple d’un nombre premier et d’un nombre entier résulte d’un ajout beaucoup plus simple que celui de l’expression  (26) comme nous allons le montrer ci-dessous.

∴

Après avoir défini le PGCD sur un premier domaine restreint nous continuons par définir le PGCD sur d’autres domaines de définition restreints du PGCD, donc maintenant nous considérons le deuxième domaine de définition restreint du PGCD, correspondant à celui des nombres entiers a=xₙ ∈ N* et des multiples de nombres premiers qui sont des nombres premiers soit m*b avec 1<=m<=p*m, m ∈ N*, p et b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…} dont le PGCD(a,m*b) est défini comme suit:

1A: E→ {1,k,n}

  • 1A(xₙ)=n si xₙ|m*b, soit n si xₙ est un diviseur de m*b, c’est-à-dire soit n=b ou n= m*b.
  • 1A(xₙ)=k si k|xₙ, et si k|m*b, soit n si xₙ est un diviseur de b ou b est un diviseur de xₙ.
  • 1A(xₙ)=1 si xₙ∤b*m ou m*b∤xₙ, soit n si xₙ n’est pas un diviseur de m*b ou m*b n’est pas un diviseur de xₙ.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)      (27′), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, m*b avec 1<=m<=p*m, m ∈ N*, ∀ p et b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97….}: PGCD(xₙ,b*m)=b*m-(b*m-1)*((mod(xₙ,b*m)+mod(-xₙ,b*m))/(b*m)+(⌊xₙ/m⌋ -⌊(xₙ-1)/m⌋)*(m-1)+(⌊xₙ/b⌋-⌊(xₙ-1)/b⌋ )*(b-1)-(⌊xₙ/b*m⌋ -⌊(xₙ-1)/b*m⌋ )*(b+m-2).    (28). En prenant comme exemple la valeur de b=23 et a=n ∈ N*, m=2, la représentation correspondante de l’expression   (28) sous forme d’une suite de nombres de la séquence du PGCD(n,46) est:


Seqa(n)={1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;23;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;

2;1;2;1;2;1;46;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;23;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;2;1;46;…} (28′).

∴

Après avoir défini le PGCD sur un deuxième domaine restreint nous continuons par définir le PGCD sur d’autres domaines de définition restreints du PGCD, donc maintenant nous considérons le troisième domaine de définition restreint du PGCD, correspondant à celui des nombres entiers a=xₙ ∈ N* et des multiples de nombres premiers qui sont des nombres composés soit b*q avec 4<=q,  b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…} et q  ∈ N \ P={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45…} c’est à dire q est « un nombre composé soit un entier naturel différent de 0 qui possède un diviseur positif autre que 1 ou lui-même« , donc un entier plus grand que 1 qui n’est pas un nombre premier, sachant que les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Dans ce cas particulier du troisième domaine de définition restreint, le PGCD(a,b*q) tout d’abord pour la valeur de q=4 est défini comme suit:

1A: E→ {1,k,n}

  • 1A(xₙ)=n si xₙ|b*q, soit n si xₙ est un diviseur de b*q, c’est-à-dire soit n=b ou n= b*q.
  • 1A(xₙ)=k si k|xₙ, et si k|q*b, soit n si xₙ est un diviseur de b ou b est un diviseur de xₙ.
  • 1A(xₙ)=1 si xₙ∤b*q ou b*q∤xₙ, soit n si xₙ n’est pas un diviseur de q*b ou q*b n’est pas un diviseur de xₙ.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)      (29), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit: 

∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, q=4, PGCD(xₙ,b*q)=((1-⌈xₙ/(b*q/2)-⌊xₙ/(b*q/2)⌋⌉)-((1+mod(xₙ-1; b*q)-mod(xₙ ; b*q))/(b*q/2)+(mod(xₙ ; b*q)+mod(-xₙ; b*q))/(b*q)-1))*(b-1).    (29′). En prenant comme exemple la valeur de b=23 et a=n ∈ N*, q=4, la représentation correspondante de l’expression   (29′) sous forme d’une suite de nombres de la séquence du PGCD(xₙ,92) est:


Seqa(n)={1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;23;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;
4;1;2;1;4;1;46;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;23;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;4;1;2;1;92;…}  (30).

∴

Toujours dans ce cas particulier du troisième domaine de définition restreint, le PGCD(a,b*q) est pour la valeur de q ∈ {4,6,10}, défini comme suit:

1A: E→ {1,k,n}

  • 1A(xₙ)=n si xₙ|b*q, soit n si xₙ est un diviseur de b*q, c’est-à-dire soit n=b ou n= b*q.
  • 1A(xₙ)=k si k|xₙ, et si k|b*q, soit n si xₙ est un diviseur de b ou b est un diviseur de xₙ.
  • 1A(xₙ)=1 si xₙ∤b*q ou b*q∤xₙ, soit n si xₙ n’est pas un diviseur deb ou b*q n’est pas un diviseur de xₙ.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)   (30′), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit:


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, q ∈ {4,6,10}, PGCD(xₙ,b*q)=( b*q-(b*q-1)*((mod(xₙ ; b*q)+mod(-xₙ ; b*q))/(b*q))+(⌊xₙ/q⌋-⌊(xₙ-1)/q⌋)*(q-1)+(⌊xₙ/b⌋-⌊(xₙ-1)/b⌋)*(b-1)-(⌊xₙ/(b*q)⌋-⌊(xₙ-1)/(b*q)⌋)*(b*q-2) )  * (mod(q-1; mod(q-1; q+xₙ-⌈xₙ/q⌉*q)+1)+1-(⌊xₙ/q⌋-⌊(xₙ-1)/q⌋)*q+(⌊xₙ/q⌋-⌊(xₙ-1)/q⌋) )     (31)


En prenant comme exemple la valeur de b=13 et a=n ∈ N*, q=6 la représentation correspondante de l’expression (31) sous forme d’une suite de nombres de la séquence du PGCD(xₙ,78) est:


Seqa(n)={1,2,3,2,1,6,1,2,3,2,1,6,13,2,3,2,1,6,1,2,3,2,1,6,1,26,3,2,1,6,1,2,3,2,1,6,1,2,39,2,1,6,1,2,3,2,1,6,
1,2,3,26,1,6,1,2,3,2,1,6,1,2,3,2,13,6,1,2,3,2,1,6,1,2,3,2,1,78…}    (31′).

∴

Toujours dans ce cas particulier du troisième domaine de définition restreint, le PGCD(a,b*q), pour la valeur de q=8, est défini comme suit:

1A: E→ {1,k,n}

  • 1A(xₙ)=n si xₙ|b*q, soit n si xₙ est un diviseur de b*q, c’est-à-dire soit n=b ou n= b*q.
  • 1A(xₙ)=k si k|xₙ, et si k|b*q, soit n si xₙ est un diviseur de b ou b est un diviseur de xₙ.
  • 1A(xₙ)=1 si xₙ∤b*q ou b*q∤xₙ, soit n si xₙ n’est pas un diviseur deb ou b*q n’est pas un diviseur de xₙ.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)   (32), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit:


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, q=8, PGCD(xₙ,b*q)=(b*q-(b*q-1)*((mod(xₙ;b*q)+mod(-xₙ;b*q))/(b*q))+(⌊a/q⌋-⌊(a-1)/q⌋)*(q-1)+(⌊xₙ/b⌋-⌊(xₙ-1)/b⌋)*(b-1)-(⌊xₙ/(b*q)⌋-⌊(xₙ-1)/(b*q)⌋)*(b+q-2) )  *  ( ((5-mod(xₙ-1,2)-2*mod(xₙ,2)+(-mod(xₙ,4)-mod(-xₙ,4))/2)*(3-mod(xₙ-1,2)-2*mod(xₙ,2))/(((2-mod(xₙ,2)-mod(-xₙ,2))/2+1)*(1-(8-mod(xₙ,8)-mod(-xₙ,8))/8)+(b-mod(xₙ,8)-mod(-xₙ,8))/8))-(⌊xₙ/q⌋-⌊(xₙ-1)/q⌋)*q+(⌊xₙ/q⌋-⌊(xₙ-1)/q⌋) )      (32′)


En prenant comme exemple la valeur de b=13 et a=n ∈ N*, q=8 la représentation correspondante de l’expression (32′) sous forme d’une suite de nombres de la séquence du PGCD(xₙ,104) est:


Seqa(n)={1,2,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,13,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1,8,1,26,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,13,8,1,2,1,4,1,2,1
,8,1,2,1,52,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1,8,13,2,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,26,1,8,1,2,1,4,1,2,1,8,1,2,13,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1,104…}    (33).

Plutôt que de continuer la déclinaison des expressions toutes différentes correspondantes aux différentes valeurs de la variable q prises dans l’ensemble des nombres composites, nous donnerons la structure de la formule systématique du plus grand dénominateur commun, PGCD(a;b*q) = PGCD(n; p(n)*c(n)) ou q=c(n) est l’expression d’un nombre composite n ∈ N* avec n>=4 et b=p(n) est l’expression d’un nombre premier.  n ∈ N* avec n>=2, nous pouvons proposer l’expression structurée entièrement systématiquement équivalente avec les expressions de la fonction plancher, de la fonction plafond et de la fonction modulo de ce PGCD(a;b*q) qui est pour la valeur de q=c(n) et b=p(n) définie comme suit:

1A: E→ {1,k,n}

  • 1A(xₙ)=n si xₙ|b*q, soit n si xₙ est un diviseur de b*q, c’est-à-dire soit n=b ou n= b*q.
  • 1A(xₙ)=k si k|xₙ, et si k|b*q, soit n si xₙ est un diviseur de b ou b est un diviseur de xₙ.
  • 1A(xₙ)=1 si xₙ∤b*q ou b*q∤xₙ, soit n si xₙ n’est pas un diviseur deb ou b*q n’est pas un diviseur de xₙ.

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(xₙ)   (33′), avec xₙ la valeur inconnue particulière sur l’ensemble des valeurs de n tels que a=n ∈ N*, est définie comme suit:


∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, q=c(n) soit q ∈ N \ P={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45…}, et b=p(n) soit b ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…}:


PGCD(xₙ,b*q)=( p(n)*c(n)-(p(n)*c(n)-1)*((mod(xₙ;p(n)*c(n))+mod(-xₙ;p(n)*c(n)))/(p(n)*c(n)))+(⌊xₙ/c(n)⌋-⌊(xₙ-1)/c(n)⌋)*(c(n)-1)+(⌊a/p(n)⌋-⌊(xₙ-1)/p(n)⌋)*(p(n)-1)-(⌊xₙ/(p(n)*c(n))⌋-⌊(xₙ-1)/(p(n)*c(n))⌋)*(p(n)+c(n)-2) )  *  ( PGCD(xₙ,c(n)) – (⌊xₙ/c(n)⌋-⌊(xₙ-1)/c(n)⌋)*c(n)+(⌊xₙ/c(n)⌋-⌊(xₙ-1)/c(n)⌋) )     (34). 

Nous remarquons donc que seule l’expression du PGCD(a;q)=PGCD(xₙ;c(n)) n’est pas donnée sous la forme d’une équivalence avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo et c’est ce qu’il restera à déterminer.en recherchant maintenant l’expression systématiquement équivalente du pgcd(a,c(n)) dans l’expression   (34). Nous avons donc à nouveau presque une formule d’équivalence redondante du PGCD, avec les expressions de la fonction plancher, de la fonction plafond et de la fonction modulo; et redondante, car contenant l’expression recherchée elle-même du PGCD, soit pgcd(a,c(n))=pgcd(xₙ;q). Donc une fois encore nous procédons par domaine de définition restreint progressivement agrandi correspondant à expression l’expression systématiquement équivalente du pgcd(a,c(n)) sur ce domaine restreint uniquement. Or les expressions d’équivalences sur le domaine de définition restreint du PGCD sur l’ensemble des nombres composites sont en fait aussi valides pour le domaine restreint de l’ensemble des entiers N* et nous énoncerons ces expressions dans le chapitre suivant.

∴

1.b.2) Les expressions du PGCD et leurs équivalences exactes avec les expressions des fonctions plancher, plafond et modulo sur un domaine restreint croissant de « l’ensemble de définition N* » du PGCD:

  • ∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ SeqN={1;2;3;4;5;6;7;9;10}, à l’exception donc de b={8}:
PGCD(a;b)=PGCD(xₙ;b)=mod(b-1; mod(b-1; b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)+1)+1      (35).

  • ∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ SeqN={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;12;13;16}, à l’exception donc de b={11;14;15}:

PGCD(a;b)=PGCD(xₙ;b)=|mod(b-1;mod(b-1;b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)+1)+1-(mod(xₙ-⌈(xₙ-b)/b⌉*b;
mod(b-1;mod(b-1;b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)+1)+1))|    (35′). 

  • ∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ SeqN={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;12;13;14;15;18;20}, à l’exception donc de b={11;16;17;19}:
PGCD(a;b)=PGCD(xₙ;b)=mod(b-1,mod(b-1,b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)+1)+1-(mod(mod(b-1,mod(b-1,b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)+1)+1,b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)-mod(b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b,mod(b-1,mod(b-1,b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)+1)+1))*mod(b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b,mod(b-1,mod(b-1,b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)+1)+1)     (36).
  • ∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ SeqN={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;16;17;20;21;

22;24;25}, à l’exception donc de b={15;18;19;23}:


PGCD(a;b)=PGCD(xₙ;b)=mod((b+a-⌈xₙ/b⌉*b)-1,mod((b+a-⌈xₙ/b⌉*b)-1,(b+a-⌈xₙ/b⌉*b)+b-⌈b/(b+a-⌈xₙ/b⌉*b⌉*(b+a-⌈xₙ/b⌉*b))+1)+1-(mod(b-⌈(b-(b+a-⌈xₙ/b⌉*b))/(b+a-⌈xₙ/b⌉*b⌉*(b+a-⌈xₙ/b⌉*b),mod((b+a-⌈xₙ/b⌉*b)-1,mod((b+a-⌈xₙ/b⌉*b)-1,(b+a-⌈xₙ/b⌉*b)+b-⌈b/(b+a-⌈xₙ/b⌉*b⌉*(b+a-⌈xₙ/b⌉*b))+1)+1))     (36′).

  • ∀ a=xₙ ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ b ∈ SeqN={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;12;13;14;15;18;20;21;

26;}, à l’exception donc de b={11;16;17;19;22;23;24;25;27;28;29;30}:


PGCD(a;b)=PGCD(xₙ;b)= |mod(b-1;mod(b-1;b+xₙ– ⌈xₙ/b⌉ *b)+1)+1-((mod(mod(b-1;mod(b-1;b+xₙ-⌈a/b⌉ *b)+1)+1;xₙ-⌈(xₙ–b)/b⌉ *b)-(mod(xₙ-⌈(xₙ–b)/b⌉*b;mod(b-1;mod(b-1;b+xₙ-⌈xₙ/b⌉ *b)+1)+1)))*(mod(xₙ-⌈(xₙ–b)/b⌉ *b;mod(b-1;mod(b-1;b+xₙ-⌈xₙ/b⌉*b)+1)+1)))|     (37).

∴

II) PROPRIÉTÉS DE LA RELATION DE PPCM ET DE PGCD D’EXPRESSIONS ÉQUIVALENTES À L’EXPRESSION DES FONCTIONS MODULO, PLANCHER ET PLAFOND.

∴


1.a.1) Les combinaisons des expressions ppcm et pgcd équivalentes aux expressions des fonctions plancher, plafond et modulo:
PGCD(a,b)-mod(PPCM(a,b)+PGCD(a,b),b)=(b-mod(a,b)-mod(-a,b))

⌊ ⌋ ⌈ ⌉

∀ ∈ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

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