LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux

50: 8'A XVII FONCTION SIMPLE D'INTERVERSION

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Cédric Christian Bernard Gagneux
13–19 minutes

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©2019 Cédric Christian Bernard Gagneux

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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« Interversion: Action d’intervertir; résultat de cette action, fait d’être interverti. Synonyme: inversion, permutation, renversement. Interversion de pages, de mots dans une phrase, de lettres dans un mot. L’échange de positions au sein d’une séquence ; transposition ou permutation. »




XIX) LA FONCTION D’INTERVERSION D’UNE VALEUR OU PLUSIEURS VALEURS SUCCESSIVES OU NON DE L’ENSEMBLE DES VALEURS D’UNE SUITE DE NOMBRES

Comme précédemment cette nouvelle fonction d’interversion est en fait une fonction générale correspondant à une catégorie générale comprenant plusieurs fonctions plus spécifiques soit, les nouvelles fonctions suivantes:

N° 16, N° 16′, N° 17, et N° 17′, la fonction de déplacement avant ou après, la valeur du rang d’une valeur donnée appartenant à une suite de nombres notée SeqA, d’une valeur ou d’un sous-ensemble des valeurs successives de la suite de nombres notée SeqA, soit les fonctions représentées respectivement par les notations Dplmtavₓ(SeqA) et Dplmtapₓ(SeqA) d’un élément xₙ ∈ {Seq A} ou Dplmtav(Sgmt(SeqA)) et Dplmtap(Sgmt(SeqA)) dans le cas d’un déplacement de plusieurs valeurs successives d’un sous-ensemble de valeurs de SeqA soit donc appartenant à un segment de SeqA et correspondant à la fonction de segmentation notée Sgmt(SeqA) et qui est un cas particulier de la fonction d’annulation.

9.1) La fonction d’interversion équivalente à un cas particulier de la fonction d’insertion d’une valeur non nulle sans augmentation du nombre total d’éléments de la suite de nombres notée SeqA:

Ce cas particulier correspond à l’expression développée précédemment de la formule de la fonction d’insertion d’une valeur non nulle, jₚ≠0 ∈ R, notée Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA), en modifiant la valeur de jₚ qui doit maintenant être égal à la valeur de l’élément de la suite SeqA que nous avons annulée pour la remplacer par jₚ≠0 ∈ R, et donc cette nouvelle valeur est maintenant xₚ ∈ S={SeqA}, qui est donc égale à la valeur de xₐ, correspondant à la valeur éliminée par compression et dont le rang est égale à la valeur de a. En reprenant seulement la dernière étape du processus d’élaboration de la formule Insrtₙ₌ₚ(jₚ)(SeqA) au titre précédent, 6.1.c, nous obtenons la définition suivante de notre nouvelle fonction d’interversion notée Intrvrsₙ₌ₚ(xₚ)(SeqA=xₐ)=Insrtₙ₌ₚ(xₚ)(SeqA=xₐ) définie comme suit:

∀ n ∧ a ∧ p ∈ SeqIₙ ⊆ N*, ∀ xₚ=xₐ ∧ xₐ ∧ xₚ ∧ xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:

Intrvrsₙ₌ₚ(xₚ=xₐ)(SeqA)=Insrtₙ₌ₚ(xₚ=xₐ)(SeqA)=Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA)+xₚ*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))-(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1))) (98); et en remplaçant par la formule de l’expression de la fonction Cmprsₓ₌ₐ&Dcmprsₓ₌ₚ(SeqA) nous obtenons:

Insrtₙ₌ₚ(xₚ=xₐ)(SeqA)=xₙ*(1-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-(⌈n/(a+1)⌉-1)))*(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1)))+xₚ*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))-(1-(⌈|n/(p+1)-1|⌉-(⌈n/(p+1)⌉-1)))+xₙ₊₁*(1-(⌈|(n+1)/(a+1)-1|⌉-(⌈(n+1)/(a+1)⌉-1)))*(1-(⌈|n/p-1|⌉-(⌈n/p⌉-1)))+xₙ*(⌈|n/(a+1)-1|⌉-(⌈n/(a+1)⌉-1)) (98′).

9.2) La fonction d’interversion équivalente à la fonction de déplacement après la valeur du rang d’une valeur donnée appartenant à une suite de nombres notée SeqA d’une valeur ou d’un sous-ensemble des valeurs successives de la suite de nombres notée SeqA:

Nous pourrions tout aussi bien considérer la fonction précédente comme identique à cette nouvelle fonction de déplacement, mais elle est en faite une fonction déjà composée de deux autres fonctions et donc nous allons développer l’expression d’une fonction sui generis, c’est-à-dire non composée des nouvelles fonctions principales que nous avons introduit. Considérons le déplacement de la première valeur de notre suite de nombres SeqA, que nous déplacerons d’un seul rang, donc après la deuxième valeur, xₙ=x₂, suivante de la séquence de nombres et dont la valeur de rang égale à 2 deviendra la valeur de rang égale à 1, et vis versa pour la première valeur déplacée, l’expression de cette fonction de déplacement notée en générale Dplmtapₓ(SeqA), et en particulier dans notre exemple, Dplmtap₂(SeqA=x₁) est définie comme suit:

Soit n₂=2, ∀ n ∈ SeqIₙ ⊆ N*, xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:

Dplmtap₂(SeqA=x₁)=xₙ*(1-(⌈|(n/(n₂)-1|⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1)))+xₙ₊₁*(⌈|n/(n₂)-1)⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1))-(⌊(n₂/n+n-1)/(n₂)⌋-⌊((n₂)*n+n-1)/n₂⌋-n*⌊(n₂)/n⌋+2*n)*(xₙ-x₁) (99).

La forme du processus nous permettant de continuer à déplacer la première valeur de la SeqA encore après la prochaine et troisième valeur de rang n₃=3 est maintenant intuitivement donnée par le remplacement de la valeur de rang n₂ dans l’expression précédente par la nouvelle valeur de rang n₃ dans la nouvelle expression de notre nouvelle fonction Dplmtap₃(SeqA=x₁) définie comme suit:

Soit n₃=3, ∀ n ∈ SeqIₙ ⊆ N*, xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:

Dplmtap₃(SeqA=x₁)=xₙ*(1-(⌈|(n/(n₃)-1|⌉-(⌈n/(n₃)⌉-1)))+xₙ₊₁*(⌈|n/(n₃)-1)⌉-(⌈n/(n₃)⌉-1))-(⌊(n₃/n+n-1)/(n₃)⌋-⌊((n₃)*n+n-1)/n₃⌋-n*⌊(n₃)/n⌋+2*n)*(xₙ-x₁) (100).

Maintenant que nous savons comment modifier l’expression précédente pour continuer le déplacement de la première valeur de SeqA après la quatrième, puis la cinquième, et ainsi de suite, comment devons modifier la forme du processus précédent pour déplacer la seconde valeur xₙ=x₂ de la suite de nombres de SeqA après la troisième valeur, et ainsi de suite? Intuitivement nous pouvons supposer que la nouvelle expression correspondante comprend 2 étapes, dont la première est de considérée la suite de nombre comme commençant par une nouvelle valeur, soit celle que l’on souhaite déplacer, donc nous devons utiliser la première formule de déplacement de la première valeur intervertissant la deuxième valeur qui devient la première, soit la formule (99). Ensuite nous devons remplacer xₙ et xₙ₊₁ de SeqA par les éléments de la nouvelle séquence SeqA’ correspondante à l’expression  (99), dont les valeurs imputés dans la nouvelle fonction, Dplmtap₂(SeqA’=x’₁)=Dplmtap₃(SeqA=x₂) sera définie comme suit:

Soit n₃=3, ∀ n ∈ SeqIₙ ⊆ N*, xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:

Dplmtap₃(SeqA=x₂)=Dplmtap₂(SeqA=x₁)ₙ*(1-(⌈|(n/(n₃)-1|⌉-(⌈n/(n₃)⌉-1)))+Dplmtap₂(SeqA=x₁)₊₁*(⌈|n/(n₃)-1)⌉-(⌈n/(n₃)⌉-1))-(⌊(n₃/n+n-1)/(n₃)⌋-⌊((n₃)*n+n-1)/n₃⌋-n*⌊(n₃)/n⌋+2*n)*(Dplmtap₂(SeqA=x₁)ₙ-Dplmtap₂(SeqA=x₁)₁)) (101); nous pouvons développer cette dernière expression en remplaçant les expressions de Dplmtap₂(SeqA=x₁)ₙ, Dplmtap₂(SeqA=x₁)₊₁ et Dplmtap₂(SeqA=x₁)₁ par leurs expressions respectivement correspondantes à l’expression (99), et écrites entre des parenthèses en gras pour une meilleure lisibilité, soit:

Dplmtap₃(SeqA=x₂)= (xₙ*(1-(⌈|(n/(n₂)-1|⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1)))+xₙ₊₁*(⌈|n/(n₂)-1)⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1))-(⌊(n₂/n+n-1)/(n₂)⌋-⌊((n₂)*n+n-1)/n₂⌋-n*⌊(n₂)/n⌋+2*n)*(xₙ-x₁))*(1-(⌈|(n/(n₃)-1|⌉-(⌈n/(n₃)⌉-1)))+(xₙ₊₁*(1-(⌈|(n₊₁/(n₂)-1|⌉-(⌈n₊₁/(n₂)⌉-1)))+xₙ₊₂*(⌈|n₊₁/(n₂)-1)⌉-(⌈n₊₁/(n₂)⌉-1))-(⌊(n₂/n₊₁+n₊₁-1)/(n₂)⌋-⌊((n₂)*n₊₁+n₊₁-1)/n₂⌋-n₊₁*⌊(n₂)/n⌋+2*n₊₁)*(xₙ₊₁-x₁))*(⌈|n/(n₃)-1)⌉-(⌈n/(n₃)⌉-1))-(⌊(n₃/n+n-1)/(n₃)⌋-⌊((n₃)*n+n-1)/n₃⌋-n*⌊(n₃)/n⌋+2*n)*((xₙ*(1-(⌈|(n/(n₂)-1|⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1)))+xₙ₊₁*(⌈|n/(n₂)-1)⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1))-(⌊(n₂/n+n-1)/(n₂)⌋-⌊((n₂)*n+n-1)/n₂⌋-n*⌊(n₂)/n⌋+2*n)*(xₙ-x₁))–(x₂))) (102).

Continuant notre processus précédent de déplacement de la deuxième valeur de la suite de nombres SeqA, soit x₂, en la déplaçant d’un rang supplémentaire par rapport au déplacement précédent, soit après la quatrième valeur de la suite de nombres SeqA, x₄, nous obtenons l’expression de la nouvelle fonction Dplmtap₄(SeqA’=x’₁)=Dplmtap₄(SeqA=x₂) définie comme suit: 

Soit n₄=4, ∀ n ∈ SeqIₙ ⊆ N*, xₙ ∧ xₙ₊₁ ∈ SeqA ⊆ R:

Dplmtap₄(SeqA=x₂)=Dplmtap₂(SeqA=x₁)ₙ*(1-(⌈|(n/(n₄)-1|⌉-(⌈n/(n₄)⌉-1)))+Dplmtap₂(SeqA=x₁)₊₁*(⌈|n/(n₄)-1)⌉-(⌈n/(n₄)⌉-1))-(⌊(n₄/n+n-1)/(n₄)⌋-⌊((n₄)*n+n-1)/n₄⌋-n*⌊(n₄)/n⌋+2*n)*(Dplmtap₂(SeqA=x₁)ₙ-Dplmtap₂(SeqA=x₁)₁)) (103); nous pouvons développer cette dernière expression en remplaçant les expressions de Dplmtap₂(SeqA=x₁)ₙ, Dplmtap₂(SeqA=x₁)₊₁ et Dplmtap₂(SeqA=x₁)₁ par leurs expressions respectivement correspondantes à l’expression (99), et écrites entre des parenthèses en gras pour une meilleure lisibilité, soit:

Dplmtap₄(SeqA=x₂)= (xₙ*(1-(⌈|(n/(n₂)-1|⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1)))+xₙ₊₁*(⌈|n/(n₂)-1)⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1))-(⌊(n₂/n+n-1)/(n₂)⌋-⌊((n₂)*n+n-1)/n₂⌋-n*⌊(n₂)/n⌋+2*n)*(xₙ-x₁))*(1-(⌈|(n/(n₄)-1|⌉-(⌈n/(n₄)⌉-1)))+(xₙ₊₁*(1-(⌈|(n₊₁/(n₂)-1|⌉-(⌈n₊₁/(n₂)⌉-1)))+|xₙ₊₂|*(⌈|n₊₁/(n₂)-1)⌉-(⌈n₊₁/(n₂)⌉-1))-(⌊(n₂/n₊₁+n₊₁-1)/(n₂)⌋-⌊((n₂)*n₊₁+n₊₁-1)/n₂⌋-n₊₁*⌊(n₂)/n⌋+2*n₊₁)*(xₙ₊₁-x₁))*(⌈|n/(n₄)-1)⌉-(⌈n/(n₄)⌉-1))-(⌊(n₄/n+n-1)/(n₄)⌋-⌊((n₄)*n+n-1)/n₄⌋-n*⌊(n₄)/n⌋+2*n)*((xₙ*(1-(⌈|(n/(n₂)-1|⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1)))+xₙ₊₁*(⌈|n/(n₂)-1)⌉-(⌈n/(n₂)⌉-1))-(⌊(n₂/n+n-1)/(n₂)⌋-⌊((n₂)*n+n-1)/n₂⌋-n*⌊(n₂)/n⌋+2*n)*(xₙ-x₁))–(x₂))) (104).

9.3) La fonction d’interversion équivalente à la fonction de déplacement après la valeur du rang d’un segment de valeurs données appartenant à une suite de nombres notée SeqA d’une valeur ou d’un sous-ensemble des valeurs successives de la suite de nombres notée SeqA:

Considérons le déplacement d’un segment comprenant la première valeur de notre suite de nombres SeqA, et quelques valeurs suivantes et que nous déplacerons ensemble d’un seul rang, correspondant à celui immédiatement après la dernière valeur de ce segment, donc après la valeur donnée de xₐ dont la valeur de rang égale a, donc la nouvelle valeur de rang égale à a+1, de la première valeur de la suite de nombres déplacée, et ainsi de suite pour les autres valeurs de notre segment dont l’expression de cette fonction de déplacement notée en générale Dplmtapₓ(Sgmt(SeqA)), et en particulier dans notre exemple, Dplmtapₐ(Sgmt(SeqA)={x₁,x₂..xₐ}), est définie comme suit:

1.1) Les fonctions simples de translations de mouvements séquentiels dans N*:

∴

Nous considérons maintenant dans ce nouveau titre les expressions des fonctions de translations de mouvements séquentiels dans l’ensemble N* c’est-à-dire les fonctions simples de translation de mouvement d’un ou plusieurs éléments de N* dans l’ensemble de toutes les valeurs de N*, des éléments qui seront généralement une sous séquence de N* pour des raisons de limites pratiques du nombre infini d’éléments de N*, et des translations de mouvement qui correspondront à des interversions d’un ou plusieurs éléments successifs avec d’autres éléments de la séquence des éléments de N*.

∴

1.1.a) Les fonctions de translations de mouvements séquentiels d’un seul élément dans N*:

∴

1.1.b) Les fonctions de translations de mouvements séquentiels de plusieurs éléments successifs dans N*:

Nous considérons ensuite l’expression de la fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments successifs dans N* limitée à un mouvement d’interversions d’index de positions de ces éléments et de même quantité d’éléments successifs, que nous définissons de la façon suivante:

Soit la translation, une opération binaire notée ⋆⋆ sur deux intervalles, qui est définie par:
∀ xᵢ ∈ SeqAᵢ=(xₙ; xₙ₊₁; xₙ₊₂; xₙ₊₃; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqAᵢ({xᵢ₌ₙ→ᵢ₌ₙ₊∞}) ⊆ {0;1}; ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ({nᵢ₌₁→nᵢ₌∞}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N*: [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]⋆⋆ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₐ₋₁] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ]⋆⋆ [1; a-1] ={xᵢ⋆nᵢ ∈ N* | xᵢ⋆⋆ nᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆ nᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ⋆nᵢ₌ₐ₋₁] ={xᵢ₌ₐ₊₁*1; xᵢ₌ₐ₊₁₊₁*(1+1); xᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁*(1+1+1);…xᵢ₌ₐ₊ₐ*(a-1)}={ nᵢ₌ₐ₊₁=1; nᵢ₌ₐ₊₁₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁;.nᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁₊₁;… nᵢ₌ₐ₊ₐ=a-1}}, l’ensemble de toutes les valeurs possibles qui sont dans leurs intervalles correspondants à [xᵢ₌ₐ₊₁*1; xᵢ₌ₐ₊ₐ*(a-1)]; et [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ]⋆⋆ [nᵢ₌ₐ ; nᵢ₌ₐ₊ₐ]=[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ]⋆⋆ [a; 2*a]={xᵢ⋆⋆ nᵢ ∈ N* | xᵢ⋆nᵢ ∈ [xᵢ₌₁⋆⋆nᵢ₌ₐ; xᵢ₌ₐ⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₐ] ={xᵢ₌₁*a; xᵢ₌₁₊₁*(a+1); xᵢ₌₁₊₁₊₁*(a+1+1);…xᵢ₌ₐ*2*a}={ nᵢ₌ₐ=1; nᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₁; nᵢ₌ₐ₊₁₊₁₊₁;… nᵢ₌ₐ₊ₐ=2*a}}, l’ensemble de toutes les valeurs possibles qui sont dans leurs intervalles correspondants à [xᵢ₌ₐ₊₁*1; xᵢ₌ₐ₊ₐ*2*a]:
TRANSLATION( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₐ] ⋆⋆  [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌ₐ₋₁] ∪ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ⋆⋆  [nᵢ₌ₐ ; nᵢ₌ₐ₊ₐ] ) = ((⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)*a)+(n-1)*(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉ +1)+(n+((⌈|n/(a+1)-1)⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)-(⌈|n/(2*a-1+1)-1|⌉-⌈n/(2*a-1+1)⌉+1))*a)*-1*((⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)-(⌈|n/(2*a)-1|⌉-⌈n/(2*a)⌉+1))+(1-((⌈|n/(2*a)-1|⌉-⌈n/(2*a)⌉+1)))*n         (9). 
∴
Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies par, ∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁,xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ⊆ N*; ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=({xᵢ₌₁→ᵢ₌∞}) ⊆ {0;1}; et ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, nous considérons l’exemple de a=15, correspondant à l’expression de la fonction notée TRANSLATION( [xᵢ₌₁₅₊₁; xᵢ₌₁₅₊₁₅]⋆⋆ [nᵢ₌₁ ; nᵢ₌₁₅₋₁] ∪  [xᵢ₌₁; xᵢ₌₁₅]⋆⋆[nᵢ₌₁₅ ; nᵢ₌₁₅₊₁₅] ) =((⌈|n/(15+1)-1|⌉-⌈n/(15+1)⌉+1)*15)+(n-1)*(⌈|n/(15+1)-1|⌉-⌈n/(15+1)⌉ +1) + (n+((⌈|n/(15+1)-1)⌉-⌈n/(15+1)⌉+1)-(⌈|n/(2*15-1+1)-1|⌉-⌈n/(2*15-1+1)⌉+1))*15)*-1*((⌈|n/(15+1)-1|⌉-⌈n/(15+1)⌉+1)-(⌈|n/(2*15)-1|⌉-⌈n/(2*15)⌉+1))+(1-((⌈|n/(2*15)-1|⌉-⌈n/(2*15)⌉+1)))*(n) dont la représentation est la séquence Seq=(15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;
25;26;27;28;29;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;30;31;32;33;34;35…).
∴
Nous remarquerons dans l’expression précédente (9) que la notation de la translation de mouvements séquentiels simultanés comprend deux opérations de translation d’intervalles soit une opération binaire notée ⋆⋆  sur deux intervalles, et une notation ensembliste notée ∪ l’union de deux ensembles, correspondant à deux intervalles dans N*, que nous définissons maintenant en général donc par un exemple sans valeur numérique et seulement des variables indicées de la façon suivante, avec la première expression de la translation de mouvement séquentiel d’intervalle, soit:

∀ xᵢ ∈ SeqAᵢ=(xₙ; xₙ₊₁; xₙ₊₂; xₙ₊₃; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqAᵢ({xᵢ₌ₙ→ᵢ₌ₙ₊∞}) ⊆ {0;1}; ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ({nᵢ₌₁→nᵢ₌∞}) ⊆ N*; ∀ a, p, x ∈ N* avec a+p+2-(a+2)=a+x+1-(a+1):
  • [xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂] ={xᵢ ∈ {0;1}∣ 0< xᵢ₌ₐ₊₂ ≤ xᵢ₌ₓ  ≤xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ =1; que xᵢ₌ₓ  appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que l’index i=x de l’élément xᵢ₌ₓ  est supérieur ou égal à l’index i=a+2 de l’élément xᵢ₌ₐ₊₂ et inférieur ou égal à l’index i=a+p+2 de l’élément xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂.
  • [nᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁]={nᵢ ∈ N*∣ 0<nᵢ₌ₐ₊₁ ≤ nᵢ₌ₓ  ≤nᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁}, la notation qui signifie que nᵢ₌ₓ≠0; que nᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que l’index i=x de l’élément nᵢ₌ₓ est supérieur ou égal à l’index i=a+1 de l’élément nᵢ₌ₐ₊₁ et inférieur ou égal à l’index i=a+x+1 de l’élément nᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁.
Alors [xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂]⋆⋆[nᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁] ={xᵢ⋆⋆ nᵢ ∈ N*| xᵢ⋆nᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₂⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁] }, et cet ensemble de toutes les valeurs possibles qui sont dans leurs intervalles correspondants à 
[ xᵢ₌ₐ₊₂⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁], s’écrit par extension l’ensemble { xᵢ₌ₐ₊₂⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₁; 
xᵢ₌ₐ₊₂₊₁⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊₂₊₁₊₁⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₃;..xᵢ₌ₐ₊ₚ⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₓ₋₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₁⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₓ; xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁}. 

Considérons maintenant la seconde expression de la translation de mouvement séquentiel d’interval définie comme suit:

  • [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁] ={xᵢ ∈ {0;1}∣ 0< xᵢ₌ₐ₊₁; ≤ xᵢ₌ₓ  ≤xᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que l’index i=x de l’élément xᵢ₌ₓ est supérieur ou égal au rang i=a+1 de l’élément xᵢ₌ₐ₊₁ et inférieur ou égal à l’index i=a+x+1 de l’élément xᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁.
  • [ nᵢ₌ₐ₊₂; nᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂ ]={nᵢ ∈ N*∣ 0< nᵢ₌ₐ₊₂ ≤ nᵢ₌ₓ  ≤nᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂}, la notation qui signifie que nᵢ₌ₓ≠0; que nᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que l’index i=x de l’élément nᵢ₌ₓ est supérieur ou égal au rang i=a+2 de l’élément nᵢ₌ₐ₊₂ et inférieur ou égal à l’index i=a+p+2 de l’élément nᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂.
Alors [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₐ₊₂;nᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂]={ xᵢ⋆⋆nᵢ ∈ N* | xᵢ⋆⋆nᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁ ⋆⋆ nᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂] }, et cet ensemble de toutes les valeurs possibles qui sont dans leurs intervalles correspondants à 
[ xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂], s’écrit par extension l’ensemble{ xᵢ₌ₐ₊₁⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊₂⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₂₊₁;
 xᵢ₌ₐ₊₃⋆⋆nᵢ₌ₐ₊₂₊₁₊₁;..xᵢ₌ₐ₊ₓ₋₁⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₚ; xᵢ₌ₐ₊ₓ⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₚ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁⋆⋆nᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂}.

∴
Donc la nouvelle notation de la translation de mouvement simultané comprend deux translations de mouvement TRANSLATION([xᵢ₌ₐ₊₂; xᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂]⋆⋆[nᵢ₌ₐ₊₁; nᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁]∪[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₐ₊₂;nᵢ₌ₐ₊ₚ₊₂]).

∴
Nous remarquons que l’expression précédente correspond à une fonction simple de translation de mouvement séquentiel de la droite vers la gauche d’une séquence et toujours positionnée comme premier élément donc résultant dans une translation de mouvement simultané de la gauche vers la droite du premier élément soit le nombre 1 et les éléments successifs de même quantité que celle des éléments translatés de la droite vers la gauche. Considérons maintenant la généralisation de cette translation de mouvement séquentiel de plusieurs éléments successifs de N* sans limitation de translation de mouvement de la droite vers la gauche et en remplaçant le premier élément de la séquence translaté en retour, par l’expression que nous obtenons par quatre expressions intermédiaires de fonctions que nous écrivons de la manière suivante:
Nous commençons par écrire l’expression de la fonction d’annulation des valeurs de n appartenant à N* entre un intervalle de deux variables choisies [a;q] et correspondantes à celles que nous translaterons, soit:
∀ x ∈ SeqAᵢ=(xₙ; xₙ₊₁; xₙ₊₂; xₙ₊₃; xₙ₊₄; xₙ₊₅; xₙ₊₆; xₙ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqAᵢ({xₙ₌₁→ₙ₌ᵢ}) ⊆ N*; ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=({xᵢ₌₁→ᵢ₌∞}) ⊆ {0;1}; et ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*,∀ m ∈ N* et ∀ [a ; m] = {n ∈ [a ; m] | n ∈ { nₐ; n₊₁; n₊₂; n₊₃;..nₐ₊ₘ } }
Null( [a ; m] )=((⌈ |n/(a+1)-1| ⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*n+(1- ((⌈ |n/(a+1+m)-1| ⌉-⌈n/(a+1+m)⌉+1)))*n    (10) 
Ensuite nous écrivons l’expression de la fonction caractéristique d’annulations de la fonction simple précédente, soit: 
1A( Null( [a ; m] ) )=((⌈ |n/(a+1)-1| ⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1- ((⌈ |n/(a+1+m)-1| ⌉-⌈n/(a+1+m)⌉+1)))     (11) 
Puis nous écrivons l’expression de la fonction de translation de mouvement des éléments appartenant à la sous séquence des éléments translatés dans {1; n} avec ∀ n ∈ N*, ∀ p ∈ N*, et p la valeur du dernier élément de cette sous-séquence translatée; ∀ k ∈ N* le nombre d’éléments translatés avec p > k et p – k > k et avec p – k la valeur du premier élément de cette sous-séquence translatée; a + k + p + 1, la valeur de la quantité d’éléments de valeur 1 précédents le premier élément de la sous séquence des éléments translatés; p – 2*k +2, la valeur de l’index de position du premier élément de cette même sous séquence; p – k +1 la valeur de l’index de position du dernier élément de cette même sous séquence:
TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₋ₖ₋ₖ₊₂; xᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁ ; nᵢ₌ₚ] ) = | nᵢ₌₁*1A(Null([a ; m]))ᵢ₌₁+(1-1A(Null( [a; m] ))ᵢ₌₁)*| Null([a ; m])ᵢ₌₁₊ₚ -Null([a ; m])ᵢ₌₁) -Null([a ; m])ᵢ₌₁ -1) |                          (12)
Écrivons maintenant la fonction caractéristique de l’expression de la sous séquence des éléments translatés dans {1;n} avec ∀ n ∈ N*:
1A( TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₋ₖ₋ₖ₊₂; xᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁ ; nᵢ₌ₚ]))=1A( | nᵢ₌₁*1A(Null([a; m]))ᵢ₌₁+(1-1A(Null( [a; m] ))ᵢ₌₁)*| Null([a ; m])ᵢ₌₁₊ₚ – Null([a ; m])ᵢ₌₁) – Null([a ; m])ᵢ₌₁ -1) | ) = 1- ⌈ ( ( | nᵢ₌₁*1A(Null([a ; m]))ᵢ₌₁+(1-1A(Null( [a; m] ))ᵢ₌₁) * | Null([a ; m])ᵢ₌₁₊ₚ – Null([a ; m])ᵢ₌₁) – Null([a ; m])ᵢ₌₁ -1) | ) – 1) / ( | nᵢ₌₁*1A(Null([a ; m]))ᵢ₌₁+(1-1A(Null( [a; m] ))ᵢ₌₁)*| Null([a ; m])ᵢ₌₁₊ₚ – Null([a ; m])ᵢ₌₁) – Null([a ; m])ᵢ₌₁ -1) | ) ⌉          (12′)
Après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général ( noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n’est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], finalement, l’expression de cette fonction de translation de mouvement de plusieurs éléments successifs dans N* qui est sans les limitations de cette même fonction précédente d’expression  (9).
 
TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₋ₖ₋ₖ₊₂; xᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁ ; nᵢ₌ₚ] ∪ [xᵢ₌ₚ₊₁; xᵢ₌ₚ₊ₖ₋₁]⋆⋆[nᵢ₌ₚ₋ₖ₋ₖ₊₂ ; nᵢ₌ₚ₋ₖ] )= ( ∑ n=1→n=∞: [1A(TRANSLATION([xᵢ₌ₚ₋ₖ₋ₖ₊₂; xᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁ ; nᵢ₌ₚ] ) )ᵢ])*
1A(TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₋ₖ₋ₖ₊₂; xᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁ ; nᵢ₌ₚ] ) ) + ⌈ (TRANSLATION([xᵢ₌ₚ₋ₖ₋ₖ₊₂; xᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁ ; nᵢ₌ₚ] )-1) / TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₋ₖ₋ₖ₊₂; xᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁ ; nᵢ₌ₚ] ) ⌉ * TRANSLATION( [xᵢ₌ₚ₋ₖ₋ₖ₊₂; xᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁]⋆⋆[nᵢ₌ₚ₋ₖ₊₁ ; nᵢ₌ₚ] ) + (1-(⌈ |n/(p+1)-1| ⌉-⌈n/(p+1)⌉+1))*k                         (13)

∴
⌈⌉ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ
ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ
a(n)= | nᵢ₌₁*1A(Null([a ; m]))ᵢ₌₁+(1-1A(Null([a ; m]))ᵢ₌₁)*| Null([a ; m])ᵢ₌₁₊ₚ -Null([a ; m])ᵢ₌₁) -Null( [a ; m])ᵢ₌₁ -1) |   
1A(Null([a ; m]))ᵢ₌₁

∴
a(n)=(ABS(AM20*IT20+(1-IT20)*ABS(IU44-IU20)-IU20-1))
((CEILING(ABS(AM16/(OK$11+1)-1);1)-CEILING(AM16/(OK$11+1);1)+1)-(CEILING(ABS(AM16/(OK$9)-1);1)-CEILING(AM16/(OK$9);1)+1))*OJ$9+AM16-OM16*ABS(CEILING((OJ$9-OL$9)/(ABS(OJ$9-OL$9)+1);1)-1)*OL$9-OM16*ABS(CEILING((OJ$9-OL$9)/(ABS(OJ$9-OL$9)+1);1))*OJ$9
∴
((CEILING(ABS(AM16/(OM$11+1)-1);1)-CEILING(AM16/(OM$11+1);1)+1)-(CEILING(ABS(AM16/(OM$9)-1);1)-CEILING(AM16/(OM$9);1)+1))
SEQ=(1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;25;26;27;28;29;24;19;20;21;
22;23;30;31;32;33;34…..)

∴

1.2) Les fonctions simples de translations de mouvements séquentiels d’un ou de plusieurs éléments non successifs à valeur dans R*:

∴

Élémentairement, nous pouvons conceptualiser puis réaliser toute translation de mouvement de n’importe quel élément d’une séquence de nombres qui soit de valeur 1, ou de valeur autre dans N* ou R* par quatre opérations dont deux opérations de la fonction d’annulation caractéristique de deux éléments et deux opérations de la fonction caractéristique de translations de mouvement de ces deux mêmes éléments, donc comme quatre opérations que nous pouvons éventuellement écrire en une seule expression, celle de la fonction simple de translations de mouvement d’un seul  élément dans n’importe quel ensemble d’éléments de valeur de nombres appartenant à SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇…) ⊆ R* et par extension celle de cette même fonction, mais pour plusieurs éléments successifs. Or comme précédemment notre objectif dans ce troisième et dernier sous-titre est plus que de simplement d’exposer une méthode uniforme de translation de mouvement séquentiel appliquée à {0;1}, puis à {0; n} ou {1; n}, puis {0; r} parce que dans le cas particulier des valeurs non successives de N* et R*, cette méthode s’avère fastidieuse si elle se résume à utiliser la même méthode appliquée à un ou plusieurs éléments successifs à plusieurs éléments non successifs. Nous chercherons donc à déterminer comme précédemment l’expression sui generis (sortant de l’ordinaire de la répétition de notre méthode appliquée à un seul élément) de la translation de mouvement de plusieurs éléments non successifs, et sachant qu’il existe une limitation inhérente à cette expression sui generis que sont les valeurs de la fonction l’index de position de chaque élément non successif qui sont aussi nombreux que les éléments qu’elle positionne et qui sont les variables entrantes de la fonction de translation de mouvement séquentiel: il y aura toujours autant de variables dans cette expression sui generis comme dans toute autre expression que d’éléments à translater et seule leur mise en forme éventuellement sera plus ou moins algébriquement longue.

∴

1.5.a) Les fonctions simples de translations de mouvement d’un seul élément dans n’importe quel ensemble d’éléments à valeur de nombres appartenant à SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇…) ⊆ R*:

∴

1.5.b) Les fonctions simples de translations de mouvement de plusieurs éléments successifs dans n’importe quel ensemble d’éléments à valeur de nombres appartenant à SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇…) ⊆ R*:

₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

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