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« Un diagramme d’Euler est un moyen de représentation schématique des ensembles et des relations en leur sein. La première utilisation des « cercles Eulériens » est communément attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783). Ils sont étroitement liés aux diagrammes de Venn. Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d’Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d’inclusion ou d’exclusion dans chacun des ensembles. Les diagrammes de Venn et d’Euler ont été incorporés à l’enseignement de la théorie des ensembles dans le cadre des mathématiques modernes dans les années 1960.

Les diagrammes d’Euler sont constitués de simples courbes fermées (habituellement des cercles) dans le plan qui représentent les ensembles. Les tailles ou formes des courbes ne sont pas importantes : la signification du diagramme est dans la façon dont les cercles se chevauchent. Les relations spatiales entre les régions délimitées par chaque courbe correspondent aux relations théoriques à ensembles (intersection, sous-ensembles et disjonction). Chaque courbe d’Euler divise le plan en deux régions ou « zones » : l’intérieur, ce qui représente symboliquement les éléments contenus dans l’ensemble, et l’extérieur, qui représente tous les éléments qui ne sont pas membres de l’ensemble. Les courbes dont les zones intérieures ne se coupent pas représentent des ensembles disjoints. Deux courbes dont les zones intérieures se croisent représentent des ensembles qui ont des éléments communs ; la zone à l’intérieur de deux courbes représente l’ensemble des éléments communs aux deux ensembles (l’intersection des ensembles). Une courbe qui est entièrement contenue à l’intérieur de la zone intérieure d’une autre représente un sous-ensemble de celle-ci.

Les diagrammes de Venn sont une forme plus restrictive des diagrammes d’Euler. Un diagramme de Venn doit contenir 2^n zones possibles correspondant au nombre de combinaisons d’inclusion ou d’exclusion dans chacun des ensembles. Les régions qui ne font pas partie de l’ensemble sont indiquées par la couleur noire, contrairement aux diagrammes d’Euler, où l’appartenance à l’ensemble est indiquée par le chevauchement ainsi que la couleur. Lorsque le nombre d’ensembles devient supérieur à 3, un diagramme de Venn devient visuellement complexe, en particulier par rapport au diagramme d’Euler correspondant.« Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

« Soit trois ensembles :

A={1,2,5}

B={1,6}

C={4,7}

Les diagrammes de Venn et d’Euler de ces ensembles sont:

Diagramme de Venn

Diagramme d’Euler »Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

I) LES FONCTIONS SIMPLES D’OPÉRATIONS ENSEMBLISTES ET MULTIENSEMBLISTES SÉQUENTIELLE ÉLÉMENTAIRES:

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« En mathématiques, un ensemble désigne intuitivement un rassemblement d’objets distincts (les éléments de l’ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme une totalité » pour paraphraser Georg Cantor qui est à l’origine de la théorie des ensembles. Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l’appartenance (un élément d’un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble). Le mot ensemble désigne alors un objet du domaine de cette théorie, et les propriétés des ensembles sont régies par les axiomes de celle-ci. La théorie des ensembles est utilisée pour fonder les mathématiques, et dans cette approche tout objet mathématique est in fine un ensemble. En théorie des ensembles on décide qu’un ensemble est complètement caractérisé par ses éléments, son extension, alors qu’il peut avoir plusieurs définitions. Par exemple, il n’y a pas lieu de distinguer l’ensemble des entiers différents d’eux-mêmes et l’ensemble des entiers supérieurs à tous les nombres premiers : ces deux ensembles sont tous les deux vides, donc égaux – ils ont bien les mêmes éléments –, même s’ils ont des définitions différentes, et sont vides pour des raisons très différentes.

L’axiome d’extensionnalité est l’un des axiomes clés de la plupart des théories des ensembles, en particulier, des théories des ensembles de Zermelo, et de Zermelo-Fraenkel (ZF). Il énonce essentiellement qu’il est suffisant de vérifier que deux ensembles ont les mêmes éléments pour montrer que ces deux ensembles sont égaux, au sens où ils ont les mêmes propriétés, aucune propriété ne permettra de distinguer un ensemble de l’autre. Dit d’une façon plus approximative, il affirme que, quelle que soit la façon dont on définit un ensemble, celui-ci ne dépend que de son extension, les éléments qui lui appartiennent, et pas de la façon dont il a été défini. Deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont bien identiques : tout ce qui peut être dit de l’un peut être dit de l’autre. Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. Par contre, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu. Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments.

Quand un ensemble est fini, il est donc possible de le définir en donnant la liste de ses éléments, que l’on note traditionnellement entre accolades. Par exemple l’ensemble auquel appartiennent les éléments 2, 3, et 5, et seulement ces éléments, est noté {2, 3, 5}. L’ensemble est défini en extension. Mais on ne peut procéder ainsi en toute généralité, on ne pourrait définir ainsi un ensemble infini. Même si quelques artifices de notation qui ressemblent à la notation en extension sont possibles, la façon la plus générale de définir un ensemble est de donner une propriété caractéristique des éléments de cet ensemble.Les ensembles finis peuvent être définis en extension, par la liste de leurs éléments, et décrits comme tels ; on place la liste des éléments d’un ensemble entre accolades, comme l’ensemble {2, 3, 5}.

La notation d’un ensemble en extension n’est pas unique : un même ensemble peut être noté en extension de façon différente.

L’ordre des éléments est sans importance, par exemple { 1, 2 } = { 2, 1 }.

La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble : toujours avec le même exemple { 1, 2, 2 } = { 1, 1, 1, 2 } = { 1, 2 }. À cause de la propriété d’extensionnalité, il n’est pas question de distinguer des ensembles par le nombre de répétitions d’un même élément à ces ensembles : un élément appartient ou n’appartient pas à un ensemble, il ne peut appartenir à un ensemble une, deux, ou trois fois…

Un ensemble peut être défini en compréhension, c’est-à-dire qu’on le définit par une propriété caractéristique parmi les éléments d’un ensemble donné. La formulation générale est :

{ x ∈ E ∣ P(x) }

Cette construction a besoin d’un ensemble déjà existant E et d’une propriété P définie sur tous les éléments de E. Elle permet donc de construire des sous-ensembles, mais pas la réunion d’une famille d’ensembles, ni l’ensemble des parties d’un ensemble, ni même les ensembles finis définis par la liste de leurs éléments. On pourrait pourtant écrire, par exemple pour l’ensemble des parties P(E) = { A | A ⊂ E }

Il n’est pas pour autant possible de définir un ensemble par n’importe quelle propriété, et lever entièrement la restriction de la compréhension. On pourrait pourtant écrire, par exemple pour l’ensemble des parties P(E) = { A | A ⊂ E }« Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

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Un multiensemble (parfois appelé sac, de l’anglais bag utilisé comme synonyme de multiset) est une sorte d’ensemble dans lequel chaque élément peut apparaître plusieurs fois. C’est une généralisation de la notion d’ensemble : un ensemble ordinaire est un multiensemble dans lequel chaque élément apparaît au plus une seule fois ; ce qu’impose, pour les ensembles usuels, l’axiome d’extensionnalité. On nomme multiplicité d’un élément donné le nombre de fois où il apparaît. Un multiensemble est fini si la somme des multiplicités de ses éléments est finie, ou plus simplement s’il n’a qu’un nombre fini d’éléments (les multiplicités étant toujours finies).

Définition formelle

Formellement, un multiensemble est un couple

(A,m)} où A est un ensemble appelé support et m une fonction de A dans l’ensemble des entiers naturels, appelé multiplicité (notée m). Dans le multiensemble (A,m)}, l’élément x apparaît m(x)} fois.

Un multiensemble fini se note en utilisant des accolades doubles {{…}} qui encadrent les éléments, ayant une multiplicité strictement positive, éléments qui sont répétés autant de fois que celle-ci. Ainsi {{a,b,a,b,b,d}} représente le multiensemble ({a,b,c,d},m) où

m est la fonction telle que m(a)=2, m(b)=3, m(c)=0 et m(d)=1.On peut également voir un multiensemble comme une liste commutative, c’est-à-dire dont on peut permuter les éléments, autrement dit comme un élément du monoïde commutatif libre sur A.

Une expression {{a}} peut donc représenter des multiensembles distincts, comme ({a},m) et ({a,b},m’) avec m(a)=m'(a)=1; m'(b)=0.

« Contre-exemples : ce diagramme d’Euler n’est pas un diagramme de Venn à quatre ensembles, car il ne comporte que 14 régions contre 2^4 = 16 régions (y compris la région blanche) ; il n’y a pas de région où seuls les cercles jaunes et bleus, ou seulement les cercles rouges et verts se rencontrent. »Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

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Dans notre introduction aux opérations ensemblistes séquentielles nous devons montrer qu’est-ce qui confère aux séquences de nombres la propriété non seulement d’être un ensemble, mais aussi les propriétés ensemblistes pour en finalité adapter les opérations ensemblistes aux « ensemble séquences » ou « séquences ensembles » correspondant à la formation d’un nouvel objet mathématique en combinant deux objets mathématiques qui ne peuvent pas l’être, car « contrairement à un ensemble, les mêmes éléments peuvent apparaître plusieurs fois à différentes positions dans une séquence, et contrairement à un ensemble, l’ordre compte« . Mais si « formellement, une séquence peut être définie comme une fonction des nombres naturels (les positions des éléments dans la séquence) aux éléments à chaque position« . Or si, « un ensemble peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Souvent (ce n’est pas toujours possible), on essaye de le distinguer typographiquement de ses éléments, par exemple en utilisant une lettre latine majuscule, par exemple « E » ou « A », pour représenter l’ensemble, et des minuscules, telles que « x » ou « n », pour ses éléments. » et donc que « les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu » pour pouvoir décrire un ensemble il nous faut donc virtuellement sélectionner les éléments dans un ordre qui correspond à celui même auquel George Cantor clairement et précisément faisait référence dans sa définition de l’ensemble comme objet mathématique de sa théorie des ensembles soit « Par ensemble, nous entendons tout rassemblement M en une totalité d’objets m de notre intuition ou de notre pensée, déterminés et bien différenciés (qui seront appelés les éléments de M). » c’est à dire les éléments de l’ensemble M sont des « objets déterminés » et des « objets bien différenciés » qui ne peut que correspondre à l’ordre de la séquence des entiers naturels, N* faisant donc que tout ensemble sous-entend une relation d’ordre sur l’échelle des entiers naturels entre les éléments de cet ensemble, et donc puisque « formellement, une séquence peut être définie comme une fonction des nombres naturels (les positions des éléments dans la séquence) aux éléments à chaque position« , alors cette fonction est aussi une relation d’ordre dans tout ensemble d’éléments, et plus particulièrement d’éléments à valeurs de nombres. Décrit plus prosaïquement non pas pour illustrer la pseudopropriété de naïveté de la théorie des ensembles, considérons que si trois objets invisibles sont dans un sac formant un tout appelé ensemble alors ces trois éléments ont toujours la propriété d’être le premier, le deuxième et le troisième les uns par rapport aux autres même si cette propriété est seulement instantanée et immédiatement simultanément fluctuante au point que les trois éléments ont tous une position égale aux trois positions possiblement étant donné que la vitesse de numérotation mathématique est une constante « de notre intuition ou de notre pensée », d’après les termes mêmes de la définition d’un ensemble donnée par Cantor.

Nous remarquons encore concernant le dualisme possible des propriétés des deux objets mathématiques que sont les séquences et les ensembles en un seul object mathématique nouveau, que si la notation entre crochets {…} est la notation universellement adoptée par les mathématiciens pour désigner des ensembles et que lorsqu’on énumère les éléments d’un ensemble leur ordre ne joue aucun rôle (par exemple, soit Seq₅N={1,2,3,4,5}={5,3,1,4,2} et soit l’ensemble qui ne possède aucun élément est appelé ensemble vide et se note ∅), or en arithmétique séquentielle, définie en en général comme la Science qui a pour objet l’étude de la formation des suites de nombres, de leurs propriétés et des rapports qui existent entre elles, et définie en particulier comme l’algèbre (la résolution généralisant au moyen de formules de symboles et de variables des problèmes où les grandeurs sont représentées par des symboles avec des règles de manipulation de ces symboles et variables) sur les suites ordonnées d’éléments de séquences, qui sont soit des nombres entiers naturels, soit des nombres rationnels soit des nombres complexes, l’ordre des éléments joue un rôle essentiel, ce qui nous conduit à définir la notation entre parenthèses pour désigner les éléments ordonnés appartenant à une séquence qui n’est pas exactement un ensemble, mais peut être considéré comme un type d’ensemble particulier dont les éléments sont toujours ordonnés et répétés ou non ( d’après l’ extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne: « Une séquence est une collection énumérée d’objets dans laquelle les répétitions sont autorisées et l’ordre compte. Comme un ensemble, il contient des membres (également appelés éléments ou termes). Le nombre d’éléments (éventuellement infini) est appelé la longueur de la séquence. Contrairement à un ensemble, les mêmes éléments peuvent apparaître plusieurs fois à différentes positions dans une séquence, et contrairement à un ensemble, l’ordre est important. Formellement, une suite peut être définie comme une fonction des entiers naturels (les positions des éléments dans la séquence ») aux éléments à chaque position. La notion de séquence peut être généralisée à une famille indexée, définie comme une fonction d’un jeu d’index arbitraire.). Nous adoptons donc la notation entre parenthèses (…) comme la notation d’une séquence et la notation entre crochets {…} de ces éléments pour indiquer une opération sur les ensembles, c’est-à-dire une opération sur les ensembles particuliers que sont les singletons {…} dont le seul élément est celui d’un seul élément d’une séquence de nombres, ce qui nous permet de définir à la fois des opérations sur les séquences sui generis aux objets mathématiques que sont les séquences de nombres, et des opérations sur les ensembles d’éléments toujours ordonnés que sont les suites de nombres, en rappelant d’abord qu’une séquence qui est une collection énumérée d’objets dans laquelle les répétitions sont autorisées et l’ordre est important. Comme un ensemble, il contient des membres (également appelés éléments ou termes). Le nombre d’éléments (éventuellement infini) est appelé la longueur de la séquence. Contrairement à un ensemble, les mêmes éléments peuvent apparaître plusieurs fois à différentes positions dans une séquence, et contrairement à un ensemble, l’ordre est important. Formellement, une séquence peut être définie comme signifiant en fait une suite définie comme « une famille d’éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d’une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble E, cette suite peut être assimilée à une application de {N} dans E. » Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne. Donc des opérations définies sur les suites de nombres comme la somme et le produit direct de deux suites définies comme suit:

Soit SeqR l’ensemble des séquences de nombres réels, Seq(a,b) ⊆ SeqR, Seq(c,d) ⊆ SeqR, alors Seq(a,b) ⊗ Seq(c,d) à toujours {(Seq(a,b),Seq(c,d) ): a,b,c, d ∈ R} comme ensemble sous-jacent; Seq(a,b) ⊕ Seq(c,d) à toujours {(Seq(a,b), Seq(c,d)): a,b,c,d ∈ R} comme ensemble sous-jacent; Seq(a,b) ⊝ Seq(c,d) à toujours {(Seq(a,b), Seq(c,d)): a,b,c,d ∈ R} comme ensemble sous-jacent; Seq(a,b) ⊘ Seq(c,d) à toujours {(Seq(a,b), Seq(c,d)): a,b,c,d ∈ R} comme ensemble sous-jacent.

Et pour que le produit cartésien SeqR × SeqR soit une structure mathématique avec une opération dotée des propriétés d’associativité, de possession d’un élément identité et que chaque élément de l’ensemble possède un élément inverse, c’est à dire soit un groupe pour l’addition, la multiplication, la soustraction et la division, nous devons donc aussi dire définir les opérations d’addition ,de multiplication, de soustraction et de division, de ces éléments, soit:

Seq(a,b)+Seq(c,d)=Seq(a+c,b+d);

Seq(a,b)*Seq(c,d)=Seq(a*c,b*d);

Seq(a,b)-Seq(c,d)=Seq(a-c,b-d);

Seq(a,b)/Seq(c,d)=Seq(a/c,b/d).

Rappelons que par définition, soit SeqR un ensemble non vide munit de deux lois de

composition interne notée « * », « + »,« – » et « / », alors ( SeqR,* +*,+,-/) est un groupe si:

— La loi « * », « + », « – » et « / » sont associatives.

— La loi « * », « + », « – » et « / », admettent respectivement un élément neutre.

— Tout élément x * SeqR, x + SeqR, x – SeqR, x/SeqR, admettent respectivement un élément symétrique. Si de plus les lois, « * », « + », « – » et « / » sont commutatifs, on dit que ( SeqR,*,+,-/) est un groupe abélien.

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Prenons un exemple, avec soit SeqAᵢ=(xₙ, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇…) ↔ SeqAᵢ=({xₙ₌₁→xₙ₌ᵢ}), ∀ n ∈ N*, ∀ x ∈ R; et soit la notation de SeqAᵢ, l’indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l’indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de R), soit la sous suite de nombres appartenant à l’ensemble des entiers naturels N*, que nous appelons indifféremment suite ou séquence et représentée comme suit:

SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,

1244, 57,138, 250, 12171,499) ↔ SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}.

SeqAᵢ₌₇=(1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244)↔ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₈} \ SeqAᵢ₌₁{xₙ₌₁₈}=

SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244}}.

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Par exemple pour effectuer l’opération de soustraction séquentielle entre la suite

SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,

1244, 57,138, 250, 12171,499) et la suite notée SeqAᵢ₌₇=(1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244)

nous devons en général représenter celles-ci sous leurs formes séquentielles développées et non plus sous leurs formes ensemblistes de singletons, et effectuer les opérations considérées entre éléments de même ordre dans chaque séquence, donc plus particulièrement l’opération d’addition séquentielle entre la séquence SeqAᵢ₌₇=(1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244) + Seq(0)ᵢ₌₂₃=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,1244,1244,1244,

1244,1244,0,0,0,0,0,0).

Mais nous obtenons aussi cette même suite que précédemment résultant de l’opération de soustraction séquentielle, la soustraction des éléments de la suite SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,

152,1228, 959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,57,138, 250,12171,499)

d’ avec les éléments de la suite, SeqAᵢ₌₁₆=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,

1244,57,138,250,12171,499)= (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244, 0,0,0,0,0,0). La suite SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,0,0,0,0,0,0,0,1244,57,

138,250,12171,499), est obtenue par les deux opérations de multiplication séquentielle successives comme suit soit:

Seq{0}ᵢ₌₇=(0,0,0,0,0,0,0) * Seq{1}ᵢ₌₂₃=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)=(1,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,0, 0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1); puis, Seq{0}ᵢ₌₇=(0,0,0,0,0,0,0) * Seq{1}ᵢ₌₂₃=(1,1,1,1,1,1,1,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) *SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228, 959,60, 555,199,1244,1244,

1244,1244,1244,1244,1244,1244,57,138,250,12171,499)=(511,177,174,571,152,1228,959,60,

555,199,0,0,0,0,0,0,0,1244,57,138,250,12171,499).

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Nous pouvons aussi effectuer des opérations sur les ensembles que sont aussi les séquences, soit la différence ensembliste notée, – de l’ensemble des éléments de la séquence SeqAᵢ₌₂₃={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}} d’ avec l’ensemble des éléments de la séquence, SeqAᵢ₌₁₆={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}} ∪ SeqA={0}ᵢ₌₇={{0},{0},{0},{0},{0},{0},{0})=({511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}, soit SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} – SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} \ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇} donnant la séquence SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}, car si A={a,b,c,d,e} et B={a,e,i,o,u}, alors A-B={b,c,d}; donc [SeqAᵢ₌₂₃={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}] – [SeqAᵢ₌₁₆ ∪ SeqA{0}ᵢ₌₇={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}] = SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244}}.

La différence symétrique Δ de SeqAᵢ₌₂₃={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}} d’avec l’ensemble des éléments de la séquence, SeqAᵢ₌₁₆ ∪ SeqA{0}ᵢ₌₇={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{1244},{57},{138},{250},{12171},{499}}; soit [SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} – SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} \ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}] ∪ [SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃} \ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇} – SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→ₙ₌₂₃}], car si A={a,b,c,d,e} et B={a,e,i,o,u}, alors A Δ B={b,c,d} ∪ {i,o,u}={b,c,d,i,o,u}. Donc la différence symétrique Δ, de SeqAᵢ₌₂₃ d’avec SeqAᵢ₌₁₆ ∪ SeqA{0}ᵢ₌₇ est égale à SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244}} ∪ Seq{∅}ᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{∅},{∅},{∅},{∅},{{∅},{∅},{∅}}↔ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇} ∪ Seq{∅}ᵢ₌₇{∅=xₙ₌₁₁→ₙ₌₁₇}={{1244},{∅},{1244},{∅},{1244},{∅},{1244},{∅},{1244},{∅},{1244},{∅},{1244}}.

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Pour simplifier nos notations en une seule notation hybride ensembliste séquentielle, nous reprenons la notation précédente qui devient la dernière et troisième notation en remplaçant les crochets par des parenthèses comme suit:

SeqAᵢ₌₂₃=(511,177,174,571,152,1228,959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,

1244,57,138, 250,12171,499) ↔ SeqAᵢ₌₂₃{xₙ₌₁→xₙ₌₂₃}={{511},{177},{174},{571},{152},{1228},{959},{60},{555},{199},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},

{57},{138},{250},{12171},{499}} ↔ SeqAᵢ₌₂₃({xₙ₌₁→xₙ₌₂₃})=(511,177,174,571,152,1228,

959,60,555,199,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244,57,138, 250,12171,499).

SeqAᵢ₌₇=(1244,1244,1244,1244,1244,1244,1244) ↔ SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→xₙ₌₁₈} \ SeqAᵢ₌₁{xₙ₌₁₈}↔

SeqAᵢ₌₇{xₙ₌₁₁→xₙ₌₁₇}={{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244},{1244}}↔

SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→xₙ₌₁₈}) \ SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₁₈})=SeqAᵢ₌₇({xₙ₌₁₁→xₙ₌₁₇})=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1244,1244,

1244,1244,1244,1244,1244,0,0,0,0,0,0).

∴

Nous devons maintenant allez plus loin encore dans l’expression de la dualité des propriétés ensemblistes et séquentielles que nous avons exposées précédemment et définir une synthèse finale de la notation duale ensembliste et séquentielle de SeqAᵢ dont l’indice i correspondant à la quantité de variables de cet ensemble (n l’indice des variables de cet ensemble correspondant à la valeur de la position de ces variables dans la séquence de nombres de N), afin d’obtenir une expression algébrique calculable des opérations ensemblistes sur les ensembles séquentiels, en considérant qu’un intervalle peut être défini dans n’importe quel ensemble de nombres pourvu qu’il soit indiqué comme ici l’intervalle des nombres entiers donc un intervalle dans l’ensemble des nombres entiers. Wikipédia confirme d’ailleurs cette notation d’intervalle défini dans n’importe quel ensemble possible comme suit:

« Dans tout ensemble totalement ordonné ( S, ≤ ), on peut définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls). Il est donc tout à fait possible de définir dans ℤ l’intervalle des entiers relatifs compris entre –5 et 3, mais il serait dangereux de le noter [–5, 3] sans avertissements préalables à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de ℝ. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs ⟦–5, 3⟧ et parfois la notation avec des crochets doubles. Un intervalle dégénéré est tout ensemble constitué d’un seul nombre réel c’est-à-dire un intervalle de la forme [a, a]. Certains auteurs incluent l’ensemble vide dans cette définition.«

Donc ma définition par extension d’un intervalle dans l’ensemble des nombres entiers N comprend les intervalles des types suivants ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}); ∀ i=a ∈ N*:

[xᵢ₌ₓ]={xᵢ ∈ {0;1}∣ xᵢ₌ₐ ≤ xᵢ₌ₓ ≤xᵢ₌ₐ₊₂}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1 ∨ xᵢ₌ₓ=0; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que le rang i=x de l’élément xᵢ₌ₓ est supérieur ou égal à l’index i=a de l’élément xᵢ₌ₐ=0 ∨ xᵢ₌ₐ=1; et inférieur ou égal à l’index i=a+2 de l’élément xᵢ₌ₐ₊₂=0 ∨ xᵢ₌ₐ₊₂=1.

Donc soit un intervalle dégénéré, fermé et non ouvert, correspondant à un seul élément d’une séquence de nombres à valeurs dans {0;1}, de la façon suivante:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ i et a ∈ N*:

[xᵢ₌ₐ₊₁]={ xᵢ ∈ {0;1}∣ 0< xᵢ₌ₓ = xᵢ₌ₐ₊₁}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert, et que l’index i=x de l’élément xᵢ₌ₓ est égal à l’index i=a+1 de l’élément xᵢ₌ₐ₊₁=1. (a)

[xᵢ₌ₐ₊₂]={ xᵢ ∈{0;1}∣ 0 < xᵢ₌ₓ =xᵢ₌ₐ₊₂}, la notation qui signifie que xᵢ₌ₓ=1; que xᵢ₌ₓ appartient à un intervalle fermé et non ouvert; et que l’index i=x de l’élément xᵢ est égal à l’index i=a+2 de l’élément xᵢ₌ₐ₊₂=1. (a’)

∴

Nous pouvons maintenant définir les opérations ensemblistes séquentielles comme équivalentes à des opérations sur des intervalles et sachant que l’« On distingue les opérations ensemblistes qui sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans s’occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles, des opérations booléennes (union, intersection, complémentaire, différence et différence symétrique) qui sont constitutives de l’algèbre des parties d’un ensemble étudiant l’arithmétique de ces opérations qui laissent stable l’ensemble des parties d’un ensemble. » Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne. Mais sachant aussi que notre conception dualiste des ensembles séquentiels n’est pas seulement intuitive ou arbitrairement établie pour son utilité calculatoire, car les fonctions indicatrices elles-mêmes caractéristiques de séquences de nombres, sont souvent utiles en théorie des ensembles puisqu’en général les opérations sur les ensembles correspondent aux opérations sur les fonctions indicatrices notées 1A(xₙ) que nous développerons ultérieurement, mais que nous illustrons ici synthétiquement comme suit:

Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} alors {E}⊆{F} ⇔ 1A({E}) ≤ 1A({F})
Si le sous-ensemble {Eᶜ} constitué de tous les éléments de {E} n’appartenant pas à {G}, est le complémentaire d’une partie {E} d’un ensemble {G}, alors 1A({Eᶜ}) ⇔1−1A({E}),
Si {E} et {F} sont deux sous-ensembles de {G} avec {E}∩{F}=∅, alors:

1A({E}∩{F})=min{1A({E}),1A({F})}=1A({E})*1A({F})

1A({E}∪{F})=max{A({E}),1A({F})}=1A({E})+1A({F})−1A({E})*1A({F}),

1A({E}-{F})=1A({E})-1A({F})

1A({E}△{F})=1A({E})+1A({F})−2*1A({E})*1A({F})

Et puis surtout notre conception dualiste des ensembles séquentiels dépend comme nous l’avons expliqué au tout début de notre introduction, de l’ordre implicite de tous éléments d’un ensemble, donc de la fonction d’index de position des éléments dans l’intervalle de la séquence des nombres entiers N soit, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=( xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁–nᵢ₊ₓ=1}) ⊆ N*, et correspondantes à la définition de la fonction caractéristique de la fonction d’index de position séquentiel d’un seul élément, comme suit:

1A: N→ {0,1}

1A(INDEX( [xᵢ] ))=0, si p≠nᵢ*xᵢ₌ₚ ∧ nᵢ*xᵢ=0

1A(INDEX( [xᵢ] ))=1, si p=nᵢ*xᵢ₌ₚ ∧ n*xᵢ≠0

L’expression de cette fonction caractéristique 1A(INDEX(xᵢ₌ₚ)) de la fonction d’index de xᵢ₌ₚ notée INDEX(xᵢ₌ₚ)=p, formulée pour un calcul numérique est encore définie tout d’abord comme suit:

∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N* avec a <= p ; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX([xᵢ=0])>INDEX([xᵢ=1] )}), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; et avec p=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c’est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a:

1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))=(⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (1)

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies, SeqAᵢ₌₂₄=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₄] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}) ⊆ {0;1}); ∀ xₙ ∈ SeqXₙ=(xₙ₌₁, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇…) ⊆ {0;1}↔ SeqXₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1}); ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N avec a<=p, nous considérons l'exemple de a=0, et p=1, correspondant à l'expression 1A(INDEX( [xₙ₌₁] ))=((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)), de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0 ;0;0;0,0); et donc avec a=2 et p+s=3, l'expression correspondant à 1A(INDEX([xₙ₌₃] ))=((⌈|n/(3+1)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)),

de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0)

∴

Après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n’est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que:

(1)⇒INDEX([xᵢ₌ₚ])=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) i) ]=p (1)’. Et nous remarquons encore que la valeur de la variable choisie p est aussi la valeur dans N* de l’index de position de xᵢ₌ₚ.Soit SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁] ) >1; avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=( nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a

1; et avec a=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)})), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p=card(SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}))+a, c’est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a.

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies, SeqAᵢ₌₂₄=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₄] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}) ⊆ {0;1}); ∀ xₙ ∈ SeqXₙ=(xₙ₌₁, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇…) ⊆ {0;1}↔ SeqXₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1}); ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N avec a<=p, nous considérons l'exemple de a=0, et p=1, correspondant à l'expression INDEX( [xₙ₌₁] )=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(1+1)-1|⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))*n) ]=p=1, de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0 ;0;0;0,0); et donc avec a=2 et p+s=3, l'expression correspondant à INDEX( [xₙ₌₃] )=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(3)-1|⌉-⌈n/(3+1)⌉+1)-(⌈|n/(2+1)-1|⌉-⌈n/(2+1)⌉+1)) i) ]=p+s=3, de la séquence représentée par SeqAᵢ₌₂₄=(0;0;3;0;0;0

;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,0).

∴

Mais il n’y a pas que la fonction caractéristique d’index de position séquentiel d’un élément d’un ensemble de valeurs d’une suite de nombres ainsi que la fonction simple d’index de position correspondante dont dépende notre conception dualiste des ensembles séquentiels, car il y a aussi plusieurs autres fonctions simples qui sont implicites dans notre conception dualiste, car leurs définitions comprennent de nouveaux opérateurs pour effectuer les opérations ensemblistes séquentielles avec tout d’abord la fonction simple de différence séquentielle définie comme suit:

Soit SeqYᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), et SeqZᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), avec INDEX( [xᵢ₌ₐ] ) < INDEX( [xᵢ₌ₚ] ); et ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a=card(SeqYᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqYᵢ de valeur 1; avec p=card(SeqZᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})), c’est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqZᵢ de valeur 1.

Soit une opération binaire notée par l’opérateur ⋆-⋆ correspondant à la soustraction sur deux intervalles, qui est définie par exemple, avec [ xᵢ₌₁; xᵢ₌₅ ] ∧ [ xᵢ₌₁; xᵢ₌₂ ] ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), comme [ xᵢ₌₁; xᵢ₌₅ ]⋆-⋆[ xᵢ₌₁; xᵢ₌₂ ]={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ ∈ [xᵢ₌₃; xᵢ₌₅] }. En d’autres termes plus généralement, la soustraction de [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌ₘ₊ₙ]⋆-⋆[xᵢ₌ₘ; xᵢ₌ₘ₊ₜ]={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ ∈ [xᵢ₌ₓ; xᵢ₌₊ₙ₋ₜ] }, c’est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de l’intervalle [xᵢ₌ₓ – xᵢ₌ₘ; xᵢ₌ₘ₊ₙ – xᵢ₌ₘ₊ₜ], car les opérations arithmétiques élémentaires sur les intervalles, et notées par les opérateurs binaires, ⋆+⋆, ⋆*⋆, ⋆/⋆, ainsi que l’opération de soustraction d’intervalles notée par l’opérateur ⋆-⋆, sont monotones pour chaque opérande sur les intervalles, ce qui est le cas pour les quatre opérations arithmétiques élémentaires sur les intervalles (sauf la division lorsque le dénominateur contient 0), et donc les valeurs extrêmes apparaissent aux extrémités des intervalles d’opérandes.

Alors l’expression de la soustraction sur deux intervalles est:

DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]) = ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) – ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) = (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) (13) » ↔ (13)’.

Nous pouvons aussi et préférablement écrire l’opération binaire de soustraction de deux intervalles comme correspondant à une opération de soustractions des éléments de deux séquences, donc nous opérons alors la fonction de différence entre deux séquences, soit dans notre exemple DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆–⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), que nous représentons de la façon suivante:

SeqZᵢ =({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) \ SeqYᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] | xᵢ=1})= SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1 ∧ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] ⊈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] }); puis que nous notons par la fonction de différence séquentielle dont l’expression est:

DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) = ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) – ( (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))= (((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)) ↔ TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]) (13) » ↔ (13)’ ↔ (15).

De l’expression algébrique de cette nouvelle fonction simple de différence séquentielle,

DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=( { xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}), nous pouvons par extension écrire sur le même modèle de notation, la fonction de produit séquentielle, PRODSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆*⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ ] = [ xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ ] ) ⊆ SeqXᵢ=( { xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) avec xᵢ₌ₚ > xᵢ₌ₐ ; ou la fonction de somme séquentielle, avec xᵢ₌ₚ > xᵢ₌ₐ, SOMSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆+⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ]=[2*xᵢ₌₁; 2*xᵢ₌ₐ ] ∪ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ou bien encore, la fonction de quotient séquentielle QUOSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆/⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₌ₐ] | xᵢ =1}), ( le domaine de définition de la séquence résultant de l’opération de cette fonction de quotient séquentielle est l’intervalle excluant les valeurs divisées par 0).

Avant d’utiliser les expressions algébriques développées c’est-à-dire numériquement calculables et qu’il nous reste à écrire et correspondants à la notation de ces nouvelles fonctions simples précédentes pour écrire les opérations ensemblistes séquentielles, rappelons aussi comme nous l’avons écrit précédemment la propriété fondamentale de l’opération de la fonction simple de translation de mouvement séquentiel en général, TRANSLATIONR( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]⋆⋆[xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ), comme étant fondamentalement équivalente à l’opération de la fonction de différence séquentielle, DIFFSEQ( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ), avant d’être moins fondamentalement équivalente à la l’opération de la fonction de composition d’une fonction simple de concaténation CONCATÉNATION( [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₐ] ‖ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] = [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] ), et d’annulation, NULL( [xᵢ₌₁=0; xᵢ₌ₐ=0]⋆⋆⋆[xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ). Cette fonction de translation de mouvement séquentiel nous sera aussi utile pour écrire les expressions des fonctions simples d’opération ensembliste séquentielle.

∴

1.1.a) La fonction simple d’opération ensembliste séquentielle d’appartenance :

« Ce qui est en jeu au premier chef dans la notion d’ensemble, c’est la relation d’appartenance : un élément appartient à un ensemble. Ce sont les propriétés de cette relation que Zermelo, puis d’autres ont axiomatisées en théorie des ensembles. Il est assez remarquable que l’on puisse s’en contenter pour une théorie qui peut potentiellement formaliser les mathématiques. » Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne.

« Le symbole d’appartenance « ∈ » est un symbole mathématique introduit par Giuseppe Peano pour l’appartenance en théorie des ensembles. Sa graphie correspond à celle de la lettre grecque epsilon en Europe continentale à cette époque. En mathématique ensembliste, l’appartenance est une relation entre un élément et un ensemble, et également par abus de notations une relation entre un objet et une classe. On écrit x ∈ U pour signifier que l’élément x appartient à l’ensemble U, ou que l’objet x appartient à la classe U. L’axiome d’extensionnalité donne un rôle important à la relation d’appartenance, car elle permet de caractériser un ensemble par les éléments qui lui appartiennent. L’axiome de fondation énonce que la relation d’appartenance est bien fondée, ce qui interdit notamment qu’un ensemble puisse être élément de lui-même. L’appartenance n’est ni symétrique, ni transitive, ni réflexive. La relation réciproque « U ∋ x » , qui est moins utilisée, se lit, « U contient x ». Le terme « U inclut x » pour « U ⊇ x ». La définition historique donnée par Cantor en 18955 est : « Un ensemble est une collection U d’objets issus de notre intuition ou de notre pensée (que nous appellerons éléments de U, considérée comme un tout.» Par exemple, si ={ 1, 2, 3 }, alors 1, 2 et 3 sont les éléments de U. Ils appartiennent à U. On prendra garde à ne pas confondre « élément » et « sous-ensemble ». Dans l’exemple qui précède { 1, 2 } et { 3 } sont parmi d’autres des sous-ensembles de U, mais n’en sont pas des éléments. Ils n’appartiennent donc pas à U, au même titre que 7 ou pi . » Extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre en ligne ( M et E ont été remplacée par U).

∴∴∴

« Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E est une fonction:

1A: E→ {0,1}

x↦ 1 si x ∈ E: 1A(x)=1

x↦ 0 si x ∉ E: 1A(x)=0

Donc une fonction caractéristique est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble A de l’ensemble E de tout élément de l’ensemble E, et qui est notée 1A, (une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de A est χA, parfois aussi I (i majuscule). Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité, mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe. Une autre confusion vient de la notation 1A qui peut désigner aussi la fonction identité.« , extrait de Wikipédia l’encyclopédie libre.

C’est donc une définition algébriquement générale qui pour être utilisable doit et peut être explicitée par une expression algébrique numériquement calculable, et dont la première est définie de la façon suivante:

Soit, ∀ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ ⊆ R; et soit la notation χA(x) de la fonction caractéristique ou indicatrice des intervalles de la séquence SeqEᵢ₌ₙ₊∞ et soit, sa définition ensembliste telle que, χA(x): {1 if x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞; 0 if x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ (χ) , alors l’expression numérique calculable correspondante à cette expression algébrique ensembliste (χ) est définie comme suit:

χA(x):{1 if x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ →1A(x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=1; 0 if x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ →1A(x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=0. (A).

Nous réécrirons l’expression (A) pour en améliorer la lisibilité et la détailler dans toutes les pages qui vont suivre de la manière suivante:

1A: E→ {0,1}

1A(x)=1, si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞

1A(x)=0, si x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞

L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(x) de x appartenant à SeqEᵢ₌ₙ₊∞ est encore définie tout d’abord comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({x ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:

1A(x)=1-⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ (A)’.

Nous remarquons qu’en considérant cette même définition algébriquement générale que précédemment (χ) qui pour être utilisable doit donc être explicitée par une multiplicité d’expressions algébriques numériquement calculables, et dont la deuxième pour en déduire l’expression numérique calculable est définie de la façon suivante:

Soit, ∀ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R, ∀ x ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊ₓ ⊆ R; et soit la notation χA(x) de la fonction caractéristique ou indicatrice des intervalles de la séquence SeqEᵢ₌ₙ₊∞ et soit, sa définition ensembliste telle que, χA(x): {0 if x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ; 1 if x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ (χ) , alors l’expression numérique calculable correspondante à cette expression algébrique ensembliste (χ) est définie comme suit:

χA(x):{0 if x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ →1A(x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=0; 1 if x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ →1A(x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉=1. (A’).

Nous réécrirons l’expression (A’) pour en améliorer la lisibilité et la détailler dans toutes les pages qui vont suivre de la manière suivante:

1A: E→ {0,1}

1A(x)=0, si x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞

1A(x)=1, si x ∉ SeqEᵢ₌ₙ₊∞

L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(x) de x appartenant à SeqEᵢ₌ₙ₊∞ est encore définie tout d’abord comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors x ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({xᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ-x=0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:

1A(x)=⌈|yᵢ-x|/(|yᵢ-x|+1)⌉ (A’)’.

∴

« En théorie des ensembles classique, une partie A d’un ensemble U est usuellement associée à sa fonction caractéristique. Celle-ci s’applique sur les éléments y de U. Elle prend la valeur 0 si y n’appartient pas à A et 1 si y appartient à A« , donc nous conserverons par convention cette définition de l’appartenance d’un élément à un ensemble mais nous réécrirons plus précisément cette définition sous la forme d’une nouvelle expression arithmétique dont il résultera alors et surtout une deuxième expression numérique calculable comme précédemment. Pourtant cette valeur de 1 de la fonction caractéristique d’un ensemble E d’éléments à valeur dans {0;1}, {0; n} ou N* signifiant, car représentant symboliquement l’appartenance de cet élément y à cet ensemble U est contre-intuitive, car il semble évident que l’appartenance de y à l’ensemble U se détermine par soustraction des valeurs des éléments de cet ensemble avec la valeur de la variable choisie de l’élément y pour tester l’appartenance de cet élément y à cet ensemble U qui est ensuite codifié en quelque sorte par le résultat de l’expression de la fonction caractéristique des valeurs nulles résultant de cette opération arithmétique de soustraction de la valeur de y avec la valeur des autres éléments de la séquence. Mais il reste néanmoins à considérer que cette opération ensembliste d’appartenance pour être efficace doit se faire sur un grand nombre de valeurs de l’ensemble U et non pas pour chaque valeur séparément. Écrivons donc quelle est l’expression algébrique de cette fonction simple correspondant à l’opération ensembliste d’appartenance et comprenant l’expression de la fonction caractéristique de la fonction d’index de position séquentiel d’un seul élément de cette séquence, comme suit:

1A: N→ {0,1}

1A(INDEX( [xᵢ₌ₚ] ))=0, si p≠nᵢ*xᵢ

1A(INDEX( [xᵢ₌ₚ] ))=1, si p=nᵢ*xᵢ

L’expression de cette fonction caractéristique 1A(INDEX(xᵢ₌ₚ)) de la fonction d’index de xᵢ₌ₚ notée INDEX(xᵢ₌ₚ)=p, formulée pour un calcul numérique est encore définie tout d’abord comme suit:

Soit 1A(SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ₊₁] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1})) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ{0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N* avec a <= p ; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX( [xᵢ=0]) >INDEX([xᵢ=1] )}), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; et avec p=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c’est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a qui dans le cas particulier d’une seule valeur est égale à 1:

1A( INDEX( [xᵢ₌ₚ] ))=(⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (1)

Maintenant si nous multiplions cette expression de la fonction caractéristique des index de position des éléments de la séquence par la valeur de la variable choisie ω et que nous soustrayons la nouvelle expression obtenue par l’élément yᵢ de Seq(UAᵢ) dont la valeur de l’index de position par rapport aux autres éléments de la séquence Seq(UAᵢ) est INDEX( [nᵢ*xᵢ₌ₚ] )=p, avec p ∈ SeqAᵢ=({ n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌ₐ₊₁; n*xᵢ₌ₚ₊₁] | n*xᵢ=n*1}) ⊇ SeqXᵢ=({ n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] | n*xᵢ=n*0 ∨ n*xᵢ=n*1}), et avec lequel nous testons son égalité avec la valeur de ω, de la façon suivante:

1A(ω-y)=1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*ω – 1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*y = ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*ω – ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*y (2)*

Alors nous obtenons l’expression d’une fonction simple d’une relation d’appartenance ensembliste séquentielle de y à SeqAᵢ={ n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌ₐ₊₁; n*xᵢ₌ₚ₊₁] | n*xᵢ=n*1} ⊆ SeqAᵢ*Xᵢ={ n*xᵢ ∈ [n*xᵢ₌₁; n*xᵢ₌∞] | n*xᵢ=n*0 ∨ n*xᵢ=n*1} et dont l’expression correspond à une fonction caractéristique d’appartenance ensembliste séquentielle notée comme suit:

1A: N→ {0, n}:

1A(ω-yᵢ) = 0, si 1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*ω –1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*yᵢ = 0,

1A(ω-yᵢ) ≠ 0, si 1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*ω –1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*yᵢ≠ 0.

L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(ω-yᵢ) d’appartenance ensembliste séquentielle de ω à Seq(UAᵢ) est définie comme suit:

1A(ω-yᵢ)=1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*ω–1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*yᵢ=((⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*ω – ((⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))*yᵢ (2)*

Mais aussi, l’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(ω-yᵢ) d’appartenance ensembliste séquentielle de y à Seq(UAᵢ) en testant l’égalité de l’élément y et de l’élément z de Seq(UAᵢ) correspondant à la fonction d’index de xᵢ₌ₚ notée INDEX(xᵢ₌ₚ)=p, et qui est formulée pour un calcul numérique satisfaisant la convention de la valeur caractéristique 1 symbolisant l’appartenance ensembliste séquentielle d’un élément et de la valeur caractéristique 0 symbolisant l’appartenance ensembliste séquentielle d’un élément, est donc ensuite notée de la manière suivante:

1A: N→ {0, 1}:

1A(ω-yᵢ)≠ 0, si ||1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*ω-1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*yᵢ|+1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))+1|-1=0,

1A(ω-yᵢ)=0, si | |1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*ω-1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*yᵢ|+1A(INDEX([xᵢ₌ₚ])) +1|-1=1.

L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(ω-yᵢ) d’appartenance ensembliste séquentielle de ω à Seq(UAᵢ) en testant l’égalité de l’élément ω et de l’élément yᵢ de Seq(UAᵢ) correspondant à la fonction d’index de xᵢ₌ₚ notée INDEX(xᵢ₌ₚ)=p, et correspondante à la reformulation pour un calcul numérique satisfaisant la convention de la valeur caractéristique 1 symbolisant l’appartenance ensembliste séquentielle d’un élément et de la valeur caractéristique 0 symbolisant l’appartenance ensembliste séquentielle d’un élément, est donc ensuite définie de la manière suivante:

1A(ω-yᵢ)= | |1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*ω–1A(INDEX([xᵢ₌ₚ]))*yᵢ | + 1A(INDEX([xᵢ₌ₚ])) +1|-1= | | ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*ω – ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*yᵢ | + (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) +1 | -1 (2)’*

Nous concluons que si l’expression précédente (2)’ est égale à 1 alors cela signifiera que la valeur de la variable ω choisie est égale à yᵢ l’élément appartenant à la séquence de nombres Seq(UAᵢ) et donc que ω appartient à Seq(UAᵢ); et si l’expression précédente (2)’ est égale à 0 alors cela signifiera que la valeur de la variable ω choisie n’est est égale à yᵢ l’élément appartenant à la séquence de nombres Seq(UAᵢ), et donc que ω n’appartient pas à Seq(UAᵢ).

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies, SeqAᵢ₌₂₄=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌₂₄] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}) ⊆ {0;1}) ↔ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ =(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; xᵢ₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1}↔ SeqXᵢ =({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ =0 ∨ xᵢ=1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N* avec a<=p, et p-a=1, nous considérons l'exemple de a=8, et p=9, et soit l'exemple de Seq(UAᵢ₌₂₄)=(0; 0; -199; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 10; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 511; -0,177; -174; -0,571; 0; -1228,23; 0; 0; 0; 0), alors l’expression correspondante à INDEX( [xᵢ₌₉])=((⌈|n/(9+1)-1|⌉-⌈n/(9+1)⌉+1)-(⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1))*n=9, dont la représentation séquentielle est SeqAᵢ₌₂₄=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0). Cette expression est donc l’index de l’élément de Seq(UAᵢ) dont la valeur correspondante est notée 1A(INDEX( [xᵢ₌₉] ))*[0*xᵢ₌₁; 0*xᵢ₌₂₄]=((⌈|n/(9+1)-1|⌉-⌈n/(9+1)⌉+1)-(⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1))*[0*xᵢ₌₁;0*xᵢ₌₂₄]=10. Donc soit yᵢ=10 et ω=12578, la valeur de l’élément dont nous voulons tester l’appartenance à Seq(UAᵢ₌₂₄), en calculant la valeur numérique de l’expression de la fonction simple d’opération ensembliste séquentielle d’appartenance qui est:

1A(ω–yᵢ₌₉)=1A(12578–10)= | |1A(INDEX([xᵢ₌₉]))*12578-1A(INDEX([xᵢ₌₉]))*10| + 1A(INDEX([xᵢ₌₉])) +1|-1= | | ( (⌈|n/(9+1)-1|⌉ – ⌈n/(9+1)⌉+1)-(⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) )*12578 – ( (⌈|n/(9+1)-1|⌉ – ⌈n/(9+1)⌉+1)-(⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) )*10 | + (⌈|n/(9+1)-1|⌉ – ⌈n/(9+1)⌉+1)-(⌈|n/(8+1)-1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) +1 | -1=0; l’expression précédente est égale à 0 alors cela signifie que la valeur de la variable ω choisie, 12578 n’est est égale à yᵢ₌₉ 10, l’élément appartenant à la séquence de nombres Seq(UAᵢ), et donc que ω=12578 n’appartient pas à Seq(UAᵢ).

∴

*( Code des couleurs: 1= Symbole des opérateurs les plus extérieurs ; 2= Symbole des opérateurs intérieurs les plus extérieurs 3= Symboles des opérateurs intérieurs extérieurs ; 4= symbole des opérateurs les plus intérieurs ; 5=Symbole des variables intérieures extérieures ; 6=Symbole des variables extérieures intérieures ; 7=Symbole des variables extérieures )

∴∴∴

Donc nous constatons ci-dessus comme nous l’avions précédemment énoncé que l’utilisation d’une seule expression (2)’ pour tester l’appartenance de la valeur de la variable choisie ω par l’égalité de valeur avec un élément de l’ensemble des valeurs de nombres séquentiels est un procédé fastidieux s’il ne s’applique pas à tous les éléments de l’ensemble séquentiel simultanément, au lieu de répétitivement successivement pour chaque élément de l’ensemble séquentiel. Alors nous devons écrire maintenant, l’expression algébrique de cette fonction simple correspondant à l’opération ensembliste d’appartenance d’une seule valeur de la variable choisie ω par l’égalité de valeur avec plusieurs éléments de l’ensemble des valeurs de nombres séquentiels, soit l’égalité de la sous séquence de nombre tous égal à la variable ωᵢ=({ωᵢ ∈[ωᵢ₌ₐ₊₁;ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}), après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [a(n)i], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n’est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que cette expression est composée de trois expressions de la façon suivante:

La première expression est celle du cardinal d’un ensemble d’éléments de valeurs appartenant à une séquence de nombres, soit prenons seulement et séparément deux exemples correspondant aux deux valeurs de chaque élément, soit nulle ou non nulle, et donc par exemple algébriquement, Seq(UAᵢ₌ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R*; et soit 1A(SeqAᵢ₌ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ₌∞=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1})) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₚ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇; xᵢ₌₈; xᵢ₌₉; xᵢ₌₁₀) ⊆ {1} ↔ SeqXᵢ₌ₚ{1}; et ωᵢ=({ωᵢ ∈[ωᵢ₌ₐ₊₁;ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}), alors l’expression du cardinal de Seq(UAᵢ₌ₚ) est définie de la façon suivante:

Card(Seq(UAᵢ₌ₚ)=({ωᵢ ∈ [w*xᵢ₌ₐ₊₁; r*xᵢ₌ₚ] | w*xᵢ₌ₐ₊₁<=ωᵢ*xᵢ=ωᵢ*1ᵢ<=r*xᵢ₌ₚ}))=⌈|wᵢ₌ₐ₊₁|/(|wᵢ₌ₐ₊₁|+1)⌉+⌈|zᵢ₌ₐ₊₂|/(|zᵢ₌ₐ₊₂|+1)⌉+⌈|qᵢ₌ₐ₊₃|/(|qᵢ₌ₐ₊₃|+1)⌉+⌈|dᵢ₌ₐ₊₄|/(|dᵢ₌ₐ₊₄|+1)⌉+⌈|gᵢ₌ₐ₊₅|/(|gᵢ₌ₐ₊₅|+1)⌉+⌈|jᵢ₌ₐ₊₆|/(|jᵢ₌ₐ₊₆|+1)⌉+⌈|lᵢ₌ₐ₊₇|/(|lᵢ₌ₐ₊₇|+1)⌉+⌈|mᵢ₌ₐ₊₈|/(|mᵢ₌ₐ₊₈|+1)⌉+⌈|kᵢ₌ₐ₊₉|/(|kᵢ₌ₐ₊₉|+1)⌉+⌈|rᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|/(|rᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|+1)⌉=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10 avec les valeurs d’indice a=0 et p=10. (3).

Soit, prenons par exemple algébriquement Seq(UAᵢ₌ₚ)=({s; t; u; v; α; β; γ; δ; ε; ζ}) ⊆ {0}; et soit 1A(SeqAᵢ₌ₚ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=0}) ⊆ SeqXᵢ₌∞=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1})) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌ₚ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇; xᵢ₌₈; xᵢ₌₉; xᵢ₌₁₀) ⊆ {0} ↔ SeqXᵢ₌ₚ{0}, alors l’expression du cardinal de Seq(UAᵢ₌ₚ) est définie de la façon suivante:

Card(Seq(UAᵢ₌ₚ)=({ωᵢ ∈ [s*xᵢ₌ₐ; ζ*xᵢ₌ₚ] | s*xᵢ₌ₐ<= ωᵢ*xᵢ=ωᵢ*0ᵢ <= ζ*xᵢ₌ₚ}))=1-⌈|sᵢ₌ₐ₊₁|/(|sᵢ₌ₐ₊₁|+1)⌉+1-⌈|tᵢ₌ₐ₊₂|/(|tᵢ₌₊₂|+1)⌉+1-⌈|uᵢ₌ₐ₊₃|/(|uᵢ₌ₐ₊₃|+1)⌉+1-⌈|vᵢ₌ₐ₊₄|/(|vᵢ₌ₐ₊₄|+1)⌉+1-⌈|αᵢ₌ₐ₊₅|/(|αᵢ₌ₐ₊₅|+1)⌉+1-⌈|βᵢ₌ₐ₊₆|/(|βᵢ₌ₐ₊₆|+1)⌉+1-⌈|γᵢ₌ₐ₊₇|/(|γᵢ₌ₐ₊₇|+1)⌉+1-⌈|δᵢ₌ₐ₊₈|/(|δᵢ₌ₐ₊₈|+1)⌉+1-⌈|εᵢ₌ₐ₊₉|/(|εᵢ₌ₐ₊₉|+1)⌉+1-⌈| ζᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|/(| ζᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ|+1)⌉=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10 avec les valeurs d’indice a=0 et p=10. (4).

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment, considérons avec les valeurs d’indices a=0 et p=10, l’exemple de SeqAᵢ₌₁₀=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌₁₀] | xᵢ=1}) ⊆ {1}) ↔ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌₁₀=(1ᵢ₌₁; 1ᵢ₌₂; 1ᵢ₌₃; 1ᵢ₌₄; 1ᵢ₌₅; 1ᵢ₌₆; 1ᵢ₌₇;1ᵢ₌₈;1ᵢ₌₉;1ᵢ₌₁₀) ⊆ {1}; Seq(UAᵢ₌₁₀)=({3; -0.78; 76; 831.02; -102; 2.53; 897; 23; -0.124; 7845}) ⊆ R; alors l’expression correspondante à Card(Seq(UAᵢ₌₁₀) =({ωᵢ ∈ [3*1ᵢ₌₁; 7845*1ᵢ₌₁₀] | 3*1ᵢ₌₁<=ωᵢ*xᵢ=ωᵢ*1ᵢ <=7845*1ᵢ₌₁₀})) = ⌈|3ᵢ₌₁|/(|3ᵢ₌₁|+1)⌉+⌈|-0.78ᵢ₌₁₊₁|/(|-0.78ᵢ₌₁₊₁|+1)⌉+⌈|76ᵢ₌₁₊₂|/(|76ᵢ₌₁₊₂|+1)⌉+⌈|831.02ᵢ₌₁₊₃|/(|831.02ᵢ₌₁₊₃|+1)⌉+⌈|-102ᵢ₌₁₊₄|/(|-102ᵢ₌₁₊₄|+1)⌉+⌈|2.53ᵢ₌₁₊₅|/(|2.53ᵢ₌₁₊₅|+1)⌉+⌈|897ᵢ₌₁₊₆|/(|897ᵢ₌₁₊₆|+1)⌉+⌈|23ᵢ₌₁₊₇|/(|23ᵢ₌₁₊₇|+1)⌉+⌈| -0.124ᵢ₌₁₊₈| / ( |-0.124ᵢ₌₁₊₈|+1)⌉+⌈|7845ᵢ₌₁₊₉₌₁₀|/(|7845ᵢ₌₁₊₉₌₁₀|+1)⌉=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10. (3)’

Considérons avec les valeurs d’indice a=0 et p=10, l’exemple de SeqAᵢ₌₁₀=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌₁₀] | xᵢ=0 }) ⊆ {0}) ↔ ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ₌₁₀=(0ᵢ₌₁; 0ᵢ₌₂; 0ᵢ₌₃; 0ᵢ₌₄; 0ᵢ₌₅; 0ᵢ₌₆; 0ᵢ₌₇; 0ᵢ₌₈; 0ᵢ₌₉; 0ᵢ₌₁₀) ⊆ {0}; Seq(UAᵢ₌₁₀)=({0; 0; 0; 0; 0;0; 0; 0; 0; 0}) ⊆ R; alors l’expression correspondante

à Card(Seq(UAᵢ₌₁₀) =({ωᵢ ∈ [0*0ᵢ₌₁; 0*0ᵢ₌₁₀] | 0*0ᵢ₌₁<=ωᵢ *xᵢ=ωᵢ *0ᵢ<=0*0ᵢ₌₁₀})) = 1-⌈|0ᵢ₌₁|/(|0ᵢ₌₁|+1)⌉+1-⌈|0ᵢ₌₁₊₁|/(|0ᵢ₌₁₊₁|+1)⌉+1-⌈|0ᵢ₌₁₊₂|/(|0ᵢ₌₁₊₂|+1)⌉+1-⌈|0ᵢ₌₁₊₃|/(|0ᵢ₌₁₊₃|+1)⌉+1-⌈|-102ᵢ₌₁₊₄|/(|0ᵢ₌₁₊₄|+1)⌉+1-⌈|0ᵢ₌₁₊₅|/(|0ᵢ₌₁₊₅|+1)⌉+1-⌈|0ᵢ₌₁₊₆|/(|0ᵢ₌₁₊₆|+1)⌉+1-⌈|0ᵢ₌₁₊₇|/(|0ᵢ₌₁₊₇|+1)⌉+1-⌈|0₌₁₊₈| / (| 0ᵢ₌₁₊₈|+1)⌉+1-⌈|0ᵢ₌₁₊₉₌₁₀|/(|0ᵢ₌₁₊₉₌₁₀|+1)⌉=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10. (4)’.

∴

La deuxième expression est celle de la fonction caractéristique du cardinal des indices d’un ensemble d’éléments de valeurs appartenant à une séquence de nombres, et dont la somme des éléments de valeurs égales à 1 est égale à la valeur du cardinal d’une séquence de nombres résultat du calcul numérique de l’expression algébrique précédente soit (3) et (4), et surtout qui est plus synthétique que la somme par extension des expressions de la fonction caractéristique appliquée à chaque élément des ces deux expressions précédentes, et que nous définissons pour la première expression du cardinal des indices et ensuite l’expression de la fonction caractéristique du cardinal des indices de la façon suivante:

Soit 1A(SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1})) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; xᵢ₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ{0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N* avec a 1 ; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX( [xᵢ=0]) >INDEX([xᵢ=1] )}), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; et avec p=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c’est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a qui dans le deuxième cas de plusieurs valeurs est supérieur à 1:

Card(SeqAᵢ=({xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}))=∑ n=1→n=∞: [ ((⌈|n/(p+1)-1|⌉–⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1) -1|⌉–⌈n/(a+1)⌉+1)) ]= p-a. (5), avec:

1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ))=(⌈|n/(p+1)-1|⌉–⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1) -1|⌉–⌈n/(a+1)⌉+1) (6).

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment soit, SeqAᵢ₌₂₀=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}) ⊆ {0;1}); ∀ xₙ ∈ SeqXₙ=(xₙ₌₁, xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄,xₙ₊₅, xₙ₊₆, xₙ₊₇…) ⊆ {0;1}↔ SeqXₙ=({ xₙ ∈ [xₙ₌₁; xₙ₌∞] | xₙ=0 ∨ xₙ =1}); ∀ nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n*nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ n ∈ N*, ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N avec a1, nous considérons l’exemple de a=0, et p=20, et soit l’exemple de Seq(UAᵢ₌₂₀)= (0; 1; -199; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 10; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 511; -0,177; -174; -0,571; 0; -1228,23), alors l’expression correspondante à Card(SeqAᵢ₌₂₀=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀] | xᵢ=0 ∨ xᵢ=1}))=∑ n=1→n=∞: [((⌈|n/(20+1)-1|⌉-⌈n/(20+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1))) ] est égale à: p-a=20 (5); et dont l’expression de la fonction caractéristique est 1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))=(⌈|n/(20+1)-1|⌉-⌈n/(20+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1|⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)) (6), représentée par la séquence, SeqAᵢ₌₂₀=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0).

∴

La troisième expression est celle de la fonction caractéristique du premier élément de valeur non nulle d’une suite de nombre qui permet d’éliminer les valeurs répétées d’un élément de l’ensemble Seq(UAᵢ) à valeur dans une suite des nombres, correspondant à la valeur de la variable choisie ωᵢ=({ωᵢ ∈[ωᵢ₌ₐ₊₁;ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}), dont nous testons l’appartenance à l’ensemble Seq(UAᵢ₌ₚ)=({w; α; β; γ; δ; ζ; η; θ; κ; λ; μ; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R, donc une expression de la fonction caractéristique du premier élément et qui est notée 1A(INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ]))=1 (6)’, et définie de la façon suivante après que nous avons explicité ce qui différentie la fonction d’indexe de position d’un élément d’un ensemble à valeur dans une suite de nombres et notée INDEX de la fonction d’indexe interne de position toujours d’un élément d’un ensemble à valeur dans une suite de nombres et notée ci-dessus INDEXINT. Soit une suite de nombres à valeur dans R notée Seq(UAᵢ₌ₚ)=({w; z; q; d; g; j; l; m; k; r}), alors soit les deux fonctions caractéristiques des éléments de Seq(UAᵢ₌ₚ) définie pour la première fonction caractéristique des éléments à valeurs négatives de Seq(UAᵢ₌ₚ), comme suit:

1A: N→ {0, 1}:

1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] <0 )=0, si [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] ∧ [yᵢ⋆*⋆xᵢ] > 0

1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] < 0 )=1, si [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] ∧ [yᵢ⋆*⋆xᵢ] < 0

L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ) de l’appartenance de yᵢ à Seq(UAᵢ₌ₚ) et de yᵢ<0 est définie comme suit:

Soit 1A(SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1})) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; xᵢ₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ{0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ n ∈ N*:

1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] <0 )=⌈ yᵢ₌ₙ / (yᵢ₌ₙ+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ| ) / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉=Y(yᵢ₌ₙ) (1)

Après que les expressions obtenues par leur sommation soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant à la somme d’une suite de nombres en général (noté ∑ n=1→n=∞: [ a(n)i ], où i représente l’indice de sommation, a(n)i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation); la somme totale n’est plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments indexés sur N* d’un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n), notée ∑n=1→n=x: [a(n)], nous remarquons que

INDEXINT( [yᵢ⋆*⋆xᵢ]<0) = (∑ n=1→n=∞: [ (Y(yᵢ₌ₙ) +Y(yᵢ₌ₙ₊₁) )i ]–Y(yᵢ₌ₙ₊₁) )*Y(yᵢ₌ₙ) = ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈yᵢ₌ₙ / (yᵢ₌ₙ+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ| ) / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉+⌈yᵢ₌ₙ₊₁ / (yᵢ₌ₙ₊₁+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| ) / ( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) ⌉ )i ] – (⌈yᵢ₌ₙ₊₁ / (yᵢ₌ₙ₊₁+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| ) / ( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) ⌉ ) ) * ( ⌈yᵢ₌ₙ / (yᵢ₌ₙ+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ| ) / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉+⌈yᵢ₌ₙ₊₁ / (yᵢ₌ₙ₊₁+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| ) / ( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) (1)’

Puis soit la deuxième fonction caractéristique des éléments de Seq(UAᵢ₌ₚ) des éléments à valeurs non nulles de Seq(UAᵢ₌ₚ), comme suit:

1A: N→ {0, 1}:

1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ≠0 )=0, si [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] ∧ [yᵢ⋆*⋆xᵢ] = 0

1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ≠0)=1, si [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ∈ [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] ∧ [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ≠0

L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ) de l’appartenance de y à Seq(UAᵢ₌ₚ) et de y≠0 est définie comme suit:

Soit 1A(SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1})) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; xᵢ₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ{0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; ∀ n ∈ N*:

1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ≠0) =⌈ |yᵢ₌ₙ| / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉=Y'(yᵢ₌ₙ) (2)

INDEXINT( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ≠0) = (∑ n=1→n=∞: [ (Y'(yᵢ₌ₙ) +Y'(yᵢ₌ₙ₊₁) )i ]–Y'(yᵢ₌ₙ₊₁) )*Y'(yᵢ₌ₙ) = ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈ |yᵢ₌ₙ| /( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉+⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| / ( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) ⌉ )i ] – ⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| /( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) ⌉)*⌈ |yᵢ₌ₙ| /( |yᵢ₌ₙ|+1)⌉ (2)’

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment soit,

l’exemple de Seq(XAᵢ₌₂₃)= (511;0;0;-16;-152;1228; 959;-14;-15;0;0;10;1244;-17;1244;12; 1244;1244;57;138;250;0;0), alors 1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] <0 )=⌈ yᵢ₌ₙ / (yᵢ₌ₙ+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ| ) / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉=Y(yₙ) =⌈ 511 / (511+1) ⌉-⌈ |511| ) / ( |511|+1) ⌉ ∪ ⌈ 0 / (0+1) ⌉-⌈ |0| ) / ( |0|+1) ⌉ ∪…=Y(yₙ₌₁) ∪ Y(yₙ₌₂)

∪… (1), dont la représentation est la séquence Seq(Xᵢ₌₂₃)=(0; 0; 0; 1;1; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0). Alors, INDEXINT( [yᵢ⋆*⋆xᵢ]<0) = (∑ n=1→n=∞: [ (Y(yₙ) +Y(yₙ₊₁) )i ]–Y(yₙ₊₁) )*Y(yₙ) = ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈yᵢ₌ₙ / (yᵢ₌ₙ+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ| ) / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉+⌈yᵢ₌ₙ₊₁ / (yᵢ₌ₙ₊₁+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| ) / ( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) ⌉ )i ] -(⌈yᵢ₌ₙ₊₁ / (yᵢ₌ₙ₊₁+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| ) / ( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) ⌉ ) ) * ( ⌈yᵢ₌ₙ / (yᵢ₌ₙ+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ| ) / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉+⌈yᵢ₌ₙ₊₁ / (yᵢ₌ₙ₊₁+1) ⌉-⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| ) / ( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) = ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈511 / (511+1) ⌉-⌈ |511| ) / ( |511|+1) ⌉+⌈0/ (0+1) ⌉-⌈ |0| ) / ( |0|+1) ⌉ )i ] – (⌈0 / (0+1) ⌉-⌈ |0| ) / ( |0|+1) ⌉ ) ) * ( ⌈511 / (511+1) ⌉-⌈ |511| ) / ( |511|+1) ⌉+⌈0 / (0+1) ⌉-⌈ |0| ) / ( |0|+1), dont la représentation séquentielle est Seq(Aᵢ₌₂₃)=(0; 0; 0; 1;2; 0; 0; 3; 4; 0; 0; 0; 0; 5; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0). Nous illustrons par cette représentation séquentielle l’index de position des valeurs négatives des éléments de Seq(XAᵢ₌₂₃) qui correspond à un index de position interne puisque l’index de position correspondant à la valeur du premier index de position interne soit 1 est 4.

Puis nous remplaçons par des valeurs correspondantes aux variables définies 1A( [yᵢ⋆*⋆xᵢ] ≠0) =⌈ |yᵢ₌ₙ| ) / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉=⌈ |511| ) / ( |511|+1) ⌉ ∪ ⌈ |0| ) / ( |0|+1) ⌉ ∪ …..dont la représentation est la séquence Seq(Xᵢ₌₂₃)=(1; 0; 0; 1;1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 1;1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0).

Alors, INDEXINT( [yᵢ⋆*⋆xᵢ]≠0) = ( ∑ n=1→n=∞: [ (Y'(yₙ) +Y'(yₙ₊₁) )i ]–Y'(yₙ₊₁) )*Y'(yₙ) = ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈ |yᵢ₌ₙ| / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉+⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| / ( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) ⌉ )i ] – ⌈ |yᵢ₌ₙ₊₁| / ( |yᵢ₌ₙ₊₁|+1) ⌉ ) * ⌈ |yᵢ₌ₙ| / ( |yᵢ₌ₙ|+1) ⌉ = ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈ |511| / ( |511|+1) ⌉+⌈ |0| / ( |0|+1) ⌉ )i ] – ⌈ |0| / ( |0|+1) ⌉ ) * ⌈ |511| / ( |511|+1) ⌉ ∪ ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈ |0| /(|0|+1) ⌉+⌈ |-16| / (|-16|+1) ⌉ )i ] – ⌈ |-16| / ( |-16|+1)⌉) * ⌈ |0| / ( |0|+1) ⌉ …..dont la représentation est la séquence Seq(Aᵢ₌₂₃)=(1; 0; 0; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 0; 0; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 0; 0). Nous illustrons par cette représentation séquentielle l’index de position des valeurs non nulles des éléments de Seq(XAᵢ₌₂₃) qui correspond à un index de position interne puisque l’index de position correspondant à la valeur du deuxième index de position interne soit 2 est 4.

∴

Maintenant pour obtenir cette troisième expression (6)’ de la fonction caractéristique du premier élément de valeur non nulle d’une suite de nombre qui permet d’éliminer les valeurs répétées d’un élément de l’ensemble Seq(UAᵢ) à valeur dans une suite des nombres, correspondant à la valeur de la variable choisie ωᵢ=({ωᵢ ∈[ωᵢ₌ₐ₊₁;ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}), dont nous testons l’appartenance à l’ensemble Seq(UAᵢ₌ₚ)=({w; α; β; γ; δ; ζ; η; θ; κ; λ; μ; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R ↔ Seq(UAᵢ₌ₚ)=({ yᵢ ∈[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | yᵢ =w ∨ yᵢ =α ∨ yᵢ =β ∨ yᵢ=γ ∨ yᵢ=δ ∨ yᵢ= ζ ∨ yᵢ=η ∨ yᵢ=θ ∨ yᵢ=κ

∨ yᵢ=λ ∨ yᵢ=μ ∨ yᵢ= z ∨ yᵢ=q ∨ yᵢ=d ∨ yᵢ=g ∨ yᵢ= j ∨ yᵢ= l ∨ yᵢ=m ∨ yᵢ=k ∨ yᵢ=r}) donc une expression de la fonction caractéristique du premier élément qui est notée: 1A(INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ]))=1 (6)’ alors nous écrivons maintenant, l’expression algébrique de la fonction simple correspondant à l’opération ensembliste séquentielle d’appartenance de ωᵢ à Seq(UAᵢ) en considérant des éléments répétés ωᵢ tels que ωᵢ=({ωᵢ ∈[ωᵢ₌ₐ₊₁;ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}), et comprenant les deux expressions précédentes, et dont l’ensemble d’arrivée est {0, n} et qui est définie de la façon suivante:

1A: N→ {1, n}:

1A([ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ] )=1, si ωᵢ ∈ Seq(UAᵢ₌ₚ)

1A([ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ] ) >0, si ωᵢ ∉ Seq(UAᵢ₌ₚ)

L’expression de cette fonction caractéristique notée, 1A( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ] ), d’appartenance ensembliste séquentielle de ωᵢ à Seq(UAᵢ) en testant l’égalité des éléments répétés ωᵢ telle que ωᵢ=({ωᵢ ∈ [ωᵢ₌ₐ₊₁;ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}), et de tous les éléments d’une suite de nombres à valeur dans R notée Seq(UAᵢ₌ₚ)=({w; α; β; γ; δ; ζ; η; θ; κ; λ; μ; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R ↔ Seq(UAᵢ₌ₚ)=({ yᵢ ∈[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | yᵢ =w ∨ yᵢ =α ∨ yᵢ =β ∨ yᵢ=γ ∨ yᵢ=δ ∨ yᵢ= ζ ∨ yᵢ=η ∨ yᵢ=θ ∨ yᵢ=κ ∨ yᵢ=λ ∨ yᵢ=μ ∨ yᵢ= z ∨ yᵢ=q ∨ yᵢ=d ∨ yᵢ=g

∨ yᵢ= j ∨ yᵢ= l ∨ yᵢ=m ∨ yᵢ=k ∨ yᵢ=r}), est définie comme suit:

Soit 1A(SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; xᵢ₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ{0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N* avec a 1 ; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX( [xᵢ=0]) >INDEX([xᵢ=1] )}), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; et avec p=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c’est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a qui dans le deuxième cas de plusieurs valeurs est supérieur à 1:

1A([ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ] )=| |1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]))*ωᵢ -1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ]))*[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] |+1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ])) +1|-1= | | ((⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*ωᵢ – ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | + (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)+1| –1= | | ((⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*[ωᵢ₌ₐ₊₁;ωᵢ₌ₚ] – ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | + (⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1)+1| –1=B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) (7)*

∴

Puis nous écrivons maintenant la même fonction caractéristique que précédemment (7) de cette fonction simple correspondant à l’opération ensembliste séquentielle d’appartenance de ωᵢ tel que ωᵢ=({ωᵢ ∈ [ωᵢ₌ₐ₊₁;ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}) à Seq(UAᵢ) mais dont l’ensemble d’arrivée dans {0;1}et non plus dans {0; n} et qui est définie de la façon suivante:

1A: N→ {0, 1}:

1A([ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ] )=1, si ωᵢ ∈ Seq(UAᵢ₌ₚ)

1A([ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ] ) =0, si ωᵢ ∉ Seq(UAᵢ₌ₚ)

L’expression de cette fonction caractéristique notée, 1A( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]⋆-⋆[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ] )=1A(INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])), d’appartenance ensembliste séquentielle de ωᵢ à Seq(UAᵢ) en testant l’égalité des éléments répétés ωᵢ telle que ωᵢ =({ωᵢ ∈ [ωᵢ₌ₐ₊₁;ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}) et de tous les éléments yᵢ₌ₙ d’une suite de nombres à valeur dans R notée Seq(UAᵢ₌ₚ)=({w; α; β; γ; δ; ζ; η; θ; κ; λ; μ; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R ↔ Seq(UAᵢ₌ₚ)=({ yᵢ ∈[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | yᵢ =w ∨ yᵢ =α ∨ yᵢ =β ∨ yᵢ=γ ∨ yᵢ=δ ∨ yᵢ= ζ ∨ yᵢ=η ∨ yᵢ=θ ∨ yᵢ=κ ∨ yᵢ=λ ∨ yᵢ=μ ∨ yᵢ= z ∨ yᵢ=q ∨ yᵢ=d ∨ yᵢ=g
∨ yᵢ= j ∨ yᵢ= l ∨ yᵢ=m ∨ yᵢ=k ∨ yᵢ=r}), est définie comme suit:

Soit 1A(SeqAᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1}) ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1})) avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; xᵢ₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ{0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁–nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; et ∀ a ∈ N, ∀ p ∈ N* avec a 1; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX( [xᵢ=0]) >INDEX([xᵢ=1] )}), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1; et avec p=card( SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a, c’est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1, soit p-a qui dans le deuxième cas de plusieurs valeurs est supérieur à 1:

1A(INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ]))=

⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)=C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) (8)

1A(INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ]))

=⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)=C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) (8)’

∴

Mais l’expression précédente (8) à laquelle nous avons rajouté (8)’ pour nous en servir dans l’écriture de l’expression qui va suivre, si elle est une fonction caractéristique correspondant à la fonction d’opération d’appartenance ensembliste séquentielle de ωᵢ à Seq(UAᵢ) testant l’égalité des éléments répétés ωᵢ telle que ωᵢ =({ωᵢ ∈ [ωᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}) et de tous les éléments yᵢ₌ₙ d’une suite de nombres à valeur dans R, Seq(UAᵢ₌ₚ)=({w; α; β; γ; δ; ζ; η; θ; κ; λ; μ; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R ↔ Seq(UAᵢ₌ₚ)=({ yᵢ ∈[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | yᵢ =w ∨ yᵢ =α ∨ yᵢ =β ∨ yᵢ=γ ∨ yᵢ=δ ∨ yᵢ= ζ ∨ yᵢ=η ∨ yᵢ=θ ∨ yᵢ=κ ∨ yᵢ=λ ∨ yᵢ=μ ∨ yᵢ= z ∨ yᵢ=q ∨ yᵢ=d ∨ yᵢ=g

∨ yᵢ= j ∨ yᵢ= l ∨ yᵢ=m ∨ yᵢ=k ∨ yᵢ=r}), elle est aussi simultanément une fonction caractéristique de l’index interne de position des éléments yᵢ₌ₙ de Seq(UAᵢ) dont les valeurs sont égales à la valeur de la variable ωᵢ qui peuvent donc en cas de répétition des éléments de Seq(UAᵢ), être identiques et donc nous devons écrire l’expression qui élimine les éléments répétés de Seq(UAᵢ) correspondant au résultat de l’expression de la fonction caractéristique (8) qui sont de multiples valeurs égales à 1, en écrivant tout d’abord l’expression de la fonction d’indexe interne des éléments de Seq(UAᵢ) dont la valeur est égale à ωᵢ:

INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])=(∑ n=1→n=∞: [ (⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ + ⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )i ] – ⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ ) *⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ (9)

∴

Enfin nous écrivons maintenant, l’expression algébrique de cette fonction simple de l’opération ensembliste séquentielle d’appartenance de ωᵢ à Seq(UAᵢ), en testant l’égalité des éléments répétés ωᵢ telle que ωᵢ =({ωᵢ ∈ [ωᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}) et de tous les éléments yᵢ₌ₙ d’une suite de nombres à valeur dans R, et correspondant à la fonction caractéristique dont l’ensemble d’arrivée est dans {0;1} et non plus dans {0; n} comme précédemment (7), et surtout qui est la fonction caractéristique seulement du premier élément donc d’un seul élément, et qui est notée: INDEXINTERMD( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ]))=1

(6)’, et qui est définie de la façon suivante:

1A: N→ {0,1}:

INDEXINTERMD( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])=1, si INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])=1 ∧ y ∈ Seq(UAᵢ₌ₚ)

INDEXINTERMD( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])=∅, si INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])>1 ∧ y ∉ Seq(UAᵢ₌ₚ)

L’expression de cette fonction caractéristique notée INDEXINTERMD( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; 0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])=1 correspondant à la fonction d’opération d’appartenance ensembliste séquentielle de ωᵢ à Seq(UAᵢ) en testant l’égalité des éléments répétés ωᵢ telle que ωᵢ =({ωᵢ ∈ [ωᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}) et de tous les éléments yᵢ₌ₙ d’une suite de nombres à valeur dans R, Seq(UAᵢ₌ₚ)=({w; α; β; γ; δ; ζ; η; θ; κ; λ; μ; z; q; d; g; j; l; m; k; r}) ⊆ R ↔ Seq(UAᵢ₌ₚ)=({ yᵢ ∈[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | yᵢ =w ∨ yᵢ =α ∨ yᵢ =β ∨ yᵢ=γ ∨ yᵢ=δ ∨ yᵢ= ζ ∨ yᵢ=η ∨ yᵢ=θ ∨ yᵢ=κ ∨ yᵢ=λ ∨ yᵢ=μ ∨ yᵢ= z ∨ yᵢ=q ∨ yᵢ=d ∨ yᵢ=g

∨ yᵢ= j ∨ yᵢ= l ∨ yᵢ=m ∨ yᵢ=k ∨ yᵢ=r}), est définie comme suit avec l’expression notée par la variable indicée sur N* notée C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) (8), et C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) (8)’:

1A(INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])=1) =

( ⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) |/(| C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) |+1)⌉ – ⌈ ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ ( ⌈ |C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) | / ( |C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) |+1)⌉ + ⌈ |C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)| / ( |C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1) ⌉ )i ] -⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )*⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ ) – ⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉+ ⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )i ] -⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )*⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ ) – ⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ )+1 ) ⌉ ) (10)

∴

Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies précédemment soit, nous considérons l’exemple de l’opération ensembliste séquentielle d’appartenance appliquée à la variable ωᵢ= 1244, en testant l’égalité des éléments répétés ωᵢ telle que ωᵢ =({ωᵢ ∈ [ωᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ₌ₚ] |ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₂-ωᵢ₌ₐ₊ₓ₊₁=0}) et de tous les éléments yᵢ₌ₙ d’une suite de nombres à valeur dans R, soit l’ensemble Seq(UAᵢ₌₂₀)= (0; 1; -199; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 10; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 511; -0,177; -174; -0,571; 0; -1228,23), avec a=0, et considérant le cardinal de Seq(UAᵢ₌₂₀) étant noté et égal à Card(SeqAᵢ₌₂₀=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀] | xᵢ=1}))=p=20, alors:

1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]))*ωᵢ =1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))*[1244⋆*⋆xᵢ₌₁;1244⋆*⋆xᵢ₌₂₀]=((⌈|n/(p+1)-1|⌉–⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1) -1|⌉–⌈n/(a+1)⌉+1) )*ωᵢ =((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244, dont la représentation est la séquence Seqᵢ₌₂₀=(1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244;1244); puis 1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]))*[w⋆*⋆xᵢ₌₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))*[0⋆*⋆xᵢ₌₁;-1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀]=(⌈|n/(p+1)-1|⌉–⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1) -1|⌉–⌈n/(a+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀]=((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] dont la représentation est la séquence notée Seqᵢ₌₂₀(1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))*[1244⋆*⋆xᵢ₌₁;1244⋆*⋆xᵢ₌₂₀])=Seq(UAᵢ₌₂₀)= (0; 1; -199; 1244; 1244; 1244,3; -1244; -1244; 10; 1244; 1244,3; 0,57; -1; 0,82; 511; -0,177; -174; -0,571; 0; -1228,23).

Puis, 1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]))*ωᵢ –1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]))*[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] =1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))*[1244⋆*⋆xᵢ₌₁;1244⋆*⋆xᵢ₌₂₀] –1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))*[0⋆*⋆xᵢ₌₁;-1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] = ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*ω – ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀], dont la représentation est la séquence Seqᵢ₌₂₀(1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))*[1244⋆*⋆xᵢ₌₁;1244⋆*⋆xᵢ₌₂₀] –1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))*[0⋆*⋆xᵢ₌₁;-1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] )=( 1244;1243;1443;0;0;-0,3; 2488;2488;1234;0;-0,3;1243,43;

1245;1243,18;733;1244,177;1418;1244,571;1244;2472,23).

Ensuite, |1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]))*ωᵢ – 1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]))*[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] |+1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ]))+1 = |1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))**[1244⋆*⋆xᵢ₌₁;1244⋆*⋆xᵢ₌₂₀]- 1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))*[0⋆*⋆xᵢ₌₁;-1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀]|+

1A(INDEX([0⋆*⋆xᵢ₌₁;-1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀]))+1 = | ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*ωᵢ – ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | + (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) +1=|((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1, dont la représentation est la séquence Seqᵢ₌₂₀(|1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))**[1244⋆*⋆xᵢ₌₁;1244⋆*⋆xᵢ₌₂₀]- 1A(INDEX([xᵢ₌₁; xᵢ₌₂₀]))*[0⋆*⋆xᵢ₌₁;-1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀]|+1A(INDEX([0⋆*⋆xᵢ₌₁;-1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀]))+1)=(1246; 1245; 1445; 2; 2; 2,3; 2490; 2490; 1236; 2; 2,3; 1245,43; 1247; 1245,18; 735; 1246,177; 1420; 1246,571; 1246; 2474,23).

1A(INDEX([0⋆*⋆xᵢ₌₁;-1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀]))+1 = | | ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) )*ωᵢ – ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) ) * [w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ] | + (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) +1| -1 (10.1)

(10.1) ↔ B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) = | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1; et dont la représentation est la séquence Seqᵢ₌₂₀(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ))=(1245; 1244; 1444; 1; 1; 1,3; 2489; 2489; 1235; 1; 1,3; 1244,43; 1246; 1244,18; 734; 1245,177; 1419;124,571; 1245; 2473,23).

Ensuite, C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)= ⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)= ⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉); et dont la représentation est la séquence Seqᵢ₌₂₀( C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ))=(0; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).

Ensuite, C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)=⌈ B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉) (10.2)

(10.2) ↔ C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)= ⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉); et dont la représentation est la séquence Seqᵢ₌₂₀( C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) )=(0; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).

Et enfin presque, D(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)=INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])=INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])=( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉+ ⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )i ] -⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )*⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) |/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) |+1)⌉ (10.3)

(10.3) ↔ D(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) =( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈ | ⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)| / ( | ⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉) |+1)⌉+ ⌈ |⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)| /( |⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉ )i ] – ⌈ |⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)| / ( |⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)| +1) ⌉ )*⌈ |⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)| / ( |⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)| +1)⌉; dont la représentation est la séquence

Seqᵢ₌₂₀(D(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) )=(0;0;0;1;2;0;0;0;0;3;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0).

Finalement définitivement, INDEXINT( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ])=1 (10.4)

(10.4)↔ INDEXINTERMD( [ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; ωᵢ⋆*⋆xᵢ₌ₚ]–[w⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁; r⋆*⋆xᵢ₌ₚ]=[0⋆*⋆xᵢ₌ₐ₊₁;0⋆*⋆xᵢ₌ₚ]) ↔ (10.4)’

(10.4)’↔E(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) =⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)/(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)+1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)-1) / (|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)-1|+1)⌉)-⌈(D(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) – C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)) / ((D(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) – C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁))+1)⌉

(10.4)’↔E(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) = ⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ – ⌈(((∑ n=1→n=∞: [ (⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ +⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )i ] -⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )*⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉) – ⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)+1)⌉+ ⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|/(|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )i ] -⌈|C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)| / ( |C(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁)|+1)⌉ )*⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉) – ⌈|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|/(|C(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ)|+1)⌉ )+1)⌉

(10.4)’↔E(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) =⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|+1)⌉ – ⌈(((∑ n=1→n=∞: [ (⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|+1)⌉ +⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)|+1)⌉ )i ] -⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)|+1)⌉ )*⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|+1)⌉) – ⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)+1)⌉+ ⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)|+1)⌉ )i ] -⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)| / ( |⌈B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) /(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₁) -1|+1)⌉)|+1)⌉ )*⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|+1)⌉) – ⌈|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|/(|⌈B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) /(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) +1)⌉*(1-⌈(B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1)/(|B(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) -1|+1)⌉)|+1)⌉ )+1)⌉

(10.4)’↔E(ωᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ) = ⌈|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉ – ⌈(((∑ n=1→n=∞: [ (⌈|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉ +⌈| ⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(| ⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉ )i ] -⌈| ⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(| ⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉ )*⌈|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉) – ⌈|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉ ) / ( ( ( ( ∑ n=1→n=∞: [ (⌈|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)+1)⌉+ ⌈|⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(|⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉ )i ] -⌈|⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)| / ( |⌈( | |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁₊₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )*[1⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n₊₁/(20+1)-1|⌉–⌈n₊₁/(20+1)⌉+1) – (⌈|n₊₁/(0+1) -1|⌉–⌈n₊₁/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉ )*⌈|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉) – ⌈|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|/(|⌈( | |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1) /(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 +1)⌉*(1-⌈(| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1)/(|| |((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*1244 – ((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )*[0⋆*⋆xᵢ₌₁; -1228,23⋆*⋆xᵢ₌₂₀] | + (((⌈|n/(20+1)-1|⌉–⌈n/(20+1)⌉+1) – (⌈|n/(0+1) -1|⌉–⌈n/(0+1)⌉+1) )) +1|-1 -1|+1)⌉)|+1)⌉ )+1)⌉ ; dont la représentation est la séquence Seqᵢ₌₂₀=(0;0;0;1;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0).

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I) LES FONCTIONS SIMPLES D’OPÉRATIONS ENSEMBLISTES ET MULTIENSEMBLISTES SÉQUENTIELLE ÉLÉMENTAIRES:

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1.1.a) La fonction simple d’opération ensembliste séquentielle d’appartenance :

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Hello World!

TABLE DES MATIÈRES:

44: 2'A XIII FONCTIONS SIMPLES D'OPÉRATIONS ENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES

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I) LES FONCTIONS SIMPLES D’OPÉRATIONS ENSEMBLISTES ET MULTIENSEMBLISTES SÉQUENTIELLE ÉLÉMENTAIRES:

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1.1.a) La fonction simple d’opération ensembliste séquentielle d’appartenance :

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