LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET LES FONCTIONS SIMPLES de Cédric Christian Bernard Gagneux

25: 16'A VI' LES OPÉRATIONS ENSEMBLISTES SÉQUENTIELLES DE TERMINAISONS SEGMENTALES: Définitions algébriques numériques des opérations ensemblistes séquentielles implicites

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Cédric Christian Bernard Gagneux
48–73 minutes

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Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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Page publiée depuis la ville de Bénodet, dans le Finistère. Pajennoù embannet e kêr Benoded, e Penn-ar-Bed. © « Tous droits réservés » – 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.

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« En informatique, une file d’attente (queue) est un ensemble d’entités qui sont maintenues dans une séquence et qui peuvent être modifiées par l’ajout d’entités à une extrémité de la séquence et la suppression d’entités à l’autre extrémité de la séquence. Par convention, la fin de la séquence à laquelle les éléments sont ajoutés est appelée l’arrière, la queue ou l’arrière de la file d’attente, et la fin à laquelle les éléments sont supprimés est appelée la tête ou l’avant de la file d’attente, de manière analogue aux mots utilisés lorsque les gens font la queue pour attendre des biens ou des services. L’opération d’ajout d’un élément à l’arrière de la file d’attente est connue sous le nom d’ »en-queue », et l’opération de suppression d’un élément à l’avant est connue sous le nom de retrait de la file d’attente. D’autres opérations peuvent également être autorisées, y compris souvent une opération peek ou front qui renvoie la valeur de l’élément suivant à retirer de la file d’attente sans le mettre en file d’attente. Les opérations d’une file d’attente en font une structure de données FIFO (premier entré, premier sorti). Dans une structure de données FIFO, le premier élément ajouté à la file d’attente sera le premier à être supprimé. Cela équivaut à l’exigence selon laquelle, une fois qu’un nouvel élément est ajouté, tous les éléments qui ont été ajoutés auparavant doivent être supprimés avant que le nouvel élément puisse être supprimé. Une file d’attente est un exemple de structure de données linéaire ou de manière plus abstraite, d’une collection séquentielle. » Extrait de l’article intitulé « File d’attente (type de données abstraites) », publié par Wikipédia, l’encyclopédie libre et en ligne.

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« Terminaison: Dans l’espace, partie terminale ou extrémité. Synonyme: bout ». Extrait de l’article « terminaison », dans Trésor de la langue française informatisé, 2012.

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II) LES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES NUMÉRIQUES DE L’OPÉRATION ENSEMBLISTE SÉQUENTIELLE DE TERMINAISONS SEGMENTALES PREMIÈRES ET DERNIÈRES 


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1) Les définitions particulières des opérations ensemblistes séquentielles par les expressions algébriques numériques:

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Si nous avons écrit que dans les chapitres suivants et dédiés par leurs intitulés spécialement à leur sujet nous définirons aussi plus précisément l’expression numérique calculable de toutes ces opérations dont nous n’écrivons ici que des expressions algébriques et algorithmiques, et dont nous écrirons les expressions numériques calculables systématiques de chacune de ces expressions algébriques écrites ici et notamment l’expression numériquement calculable de la fonction de concaténation, car nous devons en finalité dans la première partie de ce chapitre écrire toutes les composantes de l’expression algébrique et algorithmique de l’opération de caractéristique de terminaisons segmentales premières dont ces expressions algébriques et algorithmiques précédentes en sont des sous expressions qui la compose, puis dans la deuxième partie, nous écrirons les expressions numériques calculables de cette même opération ensembliste séquentielle de caractéristique, nous devons néanmoins écrire l’expression algébrique numérique des trois principales opérations ensemblistes séquentielles correspondantes à notre opération ensembliste séquentielle de terminaison segmentale.
Ensuite, nous expliciterons donc l’extension des opérations arithmétiques aux opérations ensemblistes séquentielles, car nous pouvons maintenant aussi effectuer des opérations sur les ensembles que sont aussi les séquences et inversement, en tenant compte de l’ordre des éléments, et nous considérerons cette extension des opérations ensemblistes vers les opérations ensemblistes séquentielles vers les opérations arithmétiques.

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1.1)  Définitions algébriques numériques de l’opération ensembliste séquentielle de caractéristique

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Dans tout ce qui précède, nous avons vu l’importance de l’application de certaines opérations algébriques numériques qui sont tout d’abord l’opération ensembliste séquentielle caractéristique définie par exemple comme suit: 
Soit Seq(B)ᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) résultant dans l’ensemble séquentiel noté Seq(B »)ᵢ₌₁₀=(0.5; 0.9; 10; 19; 0.1; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), des terminaisons de Seq(B)ᵢ₌₁₅, alors SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) est la représentation ensembliste séquentielle de la l’opération de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) appliquée à l’ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {1 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1; 0 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0; et SeqB »ᵢ₌₁₅=(1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 0), est la représentation ensembliste séquentielle de l’opération de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) appliquée à l’ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {0 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0; 1 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1. Mais il existe d’autres expressions de l’opération ensembliste caractéristique qui diffère selon le type d’attribut que l’on souhaite segmenter parmi les éléments de la suite de nombres, c’est à dire par exemple l’attribut du signe, de la parité, etc.

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1.2) Définitions algébriques numériques de l’opération ensembliste séquentielle de caractéristique du cardinal

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Si nous souhaitons déterminer le nombre total d’éléments de notre séquence SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1), l’opération ensembliste séquentielle de cardinal et dont la définition et l’expression correspondent à celles de la fonction caractéristique plus générale et non implicitement d’appartenance, mais de qualification de possession d’attributs telle que des éléments dont les valeurs sont nuls et non nulles qui est définie comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(yᵢ)=0, si yᵢ=0 
  • 1A(yᵢ)=1, si yᵢ≠0 
L’expression de cette fonction caractéristique des éléments yᵢ de valeurs nuls et non nuls de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉         (3)
Donc si nous souhaitons considérer le cas des éléments de valeurs nulles comme caractérisé par la valeur 1 alors nous redéfinissons la fonction caractéristique précédente comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(yᵢ)=1, si yᵢ=0 
  • 1A(yᵢ)=0, si yᵢ≠0 
L’expression de cette fonction caractéristique des éléments yᵢ de valeurs nuls et non nuls de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)=1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉         (4)

Alors, considérant les deux fonctions caractéristiques dont les expressions correspondent à celles de deux opérations ensemblistes séquentielles de caractéristique, elles deviennent en finalité une seule opération ensembliste séquentielle de caractéristique appliquée à l’ensemble séquentiel noté SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1), et une opération que l’on peut appeler l’opération ensembliste séquentielle de caractéristique d’indexation totale (puisqu’il existe plusieurs types d’opérations caractéristiques et que nous pouvons donc les appeler par le type à laquelle cette opération ensembliste caractéristique en général et dont l’expression correspondante à la fonction caractéristique du même nom, appartient), et que nous définissons alors comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(yᵢ)=1, si yᵢ=0  
  • 1A(yᵢ)=1, si yᵢ≠0 
L’expression de cette fonction caractéristique d’indexations globales des éléments yᵢ de valeurs nuls et non nuls de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)=⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉ + 1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉=1       (5)

Si nous appliquons maintenant l’expression (5) aux valeurs de chaque élément appartenant à SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) de la façon suivante:
Seq1AB’ᵢ₌₁₅=(⌈|0|/(||0|+1)⌉ + 1-⌈|0|/(|0|+1)⌉; ⌈|0|/(|0|+1)⌉ + 1-⌈|0|/(|0|+1)⌉; ⌈|0|/(|0|+1)⌉ + 1-⌈|0|/(|0|+1)⌉; ⌈|0|/(|0|+1)⌉ + 1-⌈|0|/(|0|+1)⌉; ⌈|1|/(|1|+1)⌉ + 1-⌈|1|/(|1|+1)⌉; ⌈|1|/(|1|+1)⌉ + 1-⌈|1|/(|1|+1)⌉; ⌈|1|/(|1|+1)⌉ + 1-⌈|1|/(|1|+1)⌉; ⌈|1|/(|1|+1)⌉ + 1-⌈|1|/(|1|+1)⌉; ⌈|0|/(|0|+1)⌉ + 1-⌈|0|/(|0|+1)⌉; ⌈|0|/(|0|+1)⌉ + 1-⌈|0|/(|0|+1)⌉; ⌈|0|/(|0|+1)⌉ + 1-⌈|0|/(|0|+1)⌉; ⌈|1|/(|1|+1)⌉ + 1-⌈|1|/(|1|+1)⌉; ⌈|1|/(|1|+1)⌉ + 1-⌈|1|/(|1|+1)⌉; ⌈|0|/(|0|+1)⌉ + 1-⌈|0|/(|0|+1)⌉; ⌈|1|/(|1|+1)⌉ + 1-⌈|1|/(|1|+1)⌉ ),  (5)’ alors, nous obtenons le nouvel ensemble séquentiel correspondant à la représentation de l’opération ensembliste séquentielle de caractéristique du cardinal, soit:
 Seq1AB’ᵢ₌₁₅=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1).
Maintenant si considérons cette même opération appliquée à un ensemble séquentiel non plus composé d’éléments de valeurs dans {0;1} qui est SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), alors nous devons écrire l’opération ensembliste séquentielle caractéristique appliquée à cet ensemble exactement de la même manière que précédemment en appliquant l’expression (5) aux valeurs de chaque élément appartenant à Seq(B)ᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) de la façon suivante:
Seq1ABᵢ₌₁₅=(⌈|0.5|/(||0.5|+1)⌉ + 1-⌈|0.5|/(|0.5|+1)⌉; ⌈|0.7|/(|0.7|+1)⌉ + 1-⌈|0.7|/(|0.7|+1)⌉; ⌈|0.8|/(|0.8|+1)⌉ + 1-⌈|0.8|/(|0.8|+1)⌉; ⌈|0.9|/(|0.9|+1)⌉ + 1-⌈|0.9|/(|0.9|+1)⌉; ⌈|10|/(|10|+1)⌉ + 1-⌈|10|/(|10|+1)⌉; ⌈|12|/(|12|+1)⌉ + 1-⌈|12|/(|12|+1)⌉; ⌈|17|/(|17|+1)⌉ + 1-⌈|17|/(|17|+1)⌉; ⌈|19|/(|19|+1)⌉ + 1-⌈|19|/(|19|+1)⌉; ⌈|0.1|/(|0.1|+1)⌉ + 1-⌈|0.1|/(|0.1|+1)⌉; ⌈|0.2|/(|0.2|+1)⌉ + 1-⌈|0.2|/(|0.2|+1)⌉; ⌈|0.3|/(|0.3|+1)⌉ + 1-⌈|0.3|/(|0.3|+1)⌉; ⌈|11|/(|11|+1)⌉ + 1-⌈|11|/(|11|+1)⌉; ⌈|13|/(|13|+1)⌉ + 1-⌈|13|/(|13|+1)⌉; ⌈|0.4|/(|0.4|+1)⌉ + 1-⌈|0.4|/(|0.4|+1)⌉; ⌈|15|/(|15|+1)⌉ + 1-⌈|15|/(|15|+1)⌉ ),  (5)’ alors, nous obtenons encore le nouvel ensemble séquentiel correspondant à la représentation de l’opération ensembliste séquentielle de caractéristique du cardinal, soit:
 Seq1ABᵢ₌₁₅=(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1).

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1.3) Définitions algébriques numériques de l’opération ensembliste séquentielle d’indexation

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Nous avons écrit précédemment l’opération ensembliste séquentielle caractéristique d’indexations élémentaires correspondant à la fonction caractéristique du même nom et définie comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n  
  • 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n 
L’expression de cette fonction caractéristique d’indexations élémentaires des éléments yᵢ de valeurs nuls et non nuls de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)= ( (⌈|nᵢ/(p+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(p+1)⌉+1) – (⌈|nᵢ /(a+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(a+1)⌉+1) )        (6), avec a la valeur correspondante à la quantité d’éléments à valeur nulle avant la valeur de p=a+1 correspondante à la valeur d’indexe n de l’élément de l’ensemble séquentiel choisi, c’est-à-dire n=p=a+1. 

Il existe aussi une autre opération ensembliste séquentielle non caractéristique et appelée opération séquentielle ensembliste d’indexation élémentaire correspondante à la fonction simple du même nom et définie comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(yᵢ)=n, si INDEX(yᵢ)=n  
  • 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n 
L’expression de cette fonction simple d’indexation élémentaire des éléments yᵢ de valeurs nulles et non nulles de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)= ( (⌈|n/(p+1)-1|⌉ – ⌈n/(p+1)⌉+1) – (⌈|n/(a+1)-1|⌉ – ⌈n/(a+1)⌉+1) )*n         (6)’, avec a la valeur correspondante à la quantité d’éléments à valeur nulle avant la valeur de p=a+1 correspondante à la valeur d’indexe n de l’élément de l’ensemble séquentiel choisi, c’est-à-dire n=p=a+1. 
Si nous appliquons maintenant l’expression (6)’ aux valeurs de chaque élément appartenant à SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) et notamment si nous prenons la valeur d’indexe de 5 alors l’expression de l’opération d’indexation élémentaire s’écrit en choisissant la valeur de n=5, c’est-à-dire de p=5 et a=4, de la façon suivante :
SeqB’ᵢ₌₁₅=(( (⌈|1/(5+1)-1|⌉ – ⌈1/(5+1)⌉+1) – (⌈|1/(4+1)-1|⌉-⌈1/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|2/(5+1)-1|⌉ – ⌈2/(5+1)⌉+1) – (⌈|2/(4+1)-1|⌉ – ⌈2/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|3/(5+1)-1|⌉ – ⌈3/(5+1)⌉+1) – (⌈|3/(4+1)-1|⌉- ⌈3/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|4/(5+1)-1|⌉ – ⌈4/(5+1)⌉+1) – (⌈|4/(4+1)-1|⌉ – ⌈4/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|5/(5+1)-1|⌉ – ⌈5/(5+1)⌉+1) – (⌈|5/(4+1)-1|⌉ – ⌈5/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|6/(5+1)-1|⌉ – ⌈6/(5+1)⌉+1) – (⌈|6/(4+1)-1|⌉ – ⌈6/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|7/(5+1)-1|⌉ – ⌈7/(5+1)⌉+1) – (⌈|7/(4+1)-1|⌉ – ⌈7/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|8/(5+1)-1|⌉ – ⌈8/(5+1)⌉+1) – (⌈|8/(4+1)-1|⌉-⌈8/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|9/(5+1)-1|⌉ – ⌈9/(5+1)⌉+1) – (⌈|9/(4+1)-1|⌉ – ⌈9/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|10/(5+1)-1|⌉ – ⌈10/(5+1)⌉+1) – (⌈|10/(4+1)-1|⌉ – ⌈10/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|11/(5+1)-1|⌉ – ⌈11/(5+1)⌉+1) – (⌈|11/(4+1)-1|⌉ – ⌈11/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|12/(5+1)-1|⌉ – ⌈12/(5+1)⌉+1) – (⌈|12/(4+1)-1|⌉ – ⌈12/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|13/(5+1)-1|⌉ – ⌈13/(5+1)⌉+1) – (⌈|13/(4+1)-1|⌉ -⌈13/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|14/(5+1)-1|⌉ – ⌈14/(5+1)⌉+1) – (⌈|14/(4+1)-1|⌉ – ⌈14/(4+1)⌉+1) )*n; ( (⌈|15/(5+1)-1|⌉ – ⌈15/(5+1)⌉+1) – (⌈|15/(4+1)-1|⌉ – ⌈15/(4+1)⌉+1) )*n )         (6)’ ↔ (6) »
SeqB’ᵢ₌₁₅=(( (⌈|1/(5+1)-1|⌉ – ⌈1/(5+1)⌉+1) – (⌈|1/(4+1)-1|⌉-⌈1/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|2/(5+1)-1|⌉ – ⌈2/(5+1)⌉+1) – (⌈|2/(4+1)-1|⌉ – ⌈2/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|3/(5+1)-1|⌉ – ⌈3/(5+1)⌉+1) – (⌈|3/(4+1)-1|⌉- ⌈3/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|4/(5+1)-1|⌉ – ⌈4/(5+1)⌉+1) – (⌈|4/(4+1)-1|⌉ – ⌈4/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|5/(5+1)-1|⌉ – ⌈5/(5+1)⌉+1) – (⌈|5/(4+1)-1|⌉ – ⌈5/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|6/(5+1)-1|⌉ – ⌈6/(5+1)⌉+1) – (⌈|6/(4+1)-1|⌉ – ⌈6/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|7/(5+1)-1|⌉ – ⌈7/(5+1)⌉+1) – (⌈|7/(4+1)-1|⌉ – ⌈7/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|8/(5+1)-1|⌉ – ⌈8/(5+1)⌉+1) – (⌈|8/(4+1)-1|⌉-⌈8/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|9/(5+1)-1|⌉ – ⌈9/(5+1)⌉+1) – (⌈|9/(4+1)-1|⌉ – ⌈9/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|10/(5+1)-1|⌉ – ⌈10/(5+1)⌉+1) – (⌈|10/(4+1)-1|⌉ – ⌈10/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|11/(5+1)-1|⌉ – ⌈11/(5+1)⌉+1) – (⌈|11/(4+1)-1|⌉ – ⌈11/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|12/(5+1)-1|⌉ – ⌈12/(5+1)⌉+1) – (⌈|12/(4+1)-1|⌉ – ⌈12/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|13/(5+1)-1|⌉ – ⌈13/(5+1)⌉+1) – (⌈|13/(4+1)-1|⌉ -⌈13/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|14/(5+1)-1|⌉ – ⌈14/(5+1)⌉+1) – (⌈|14/(4+1)-1|⌉ – ⌈14/(4+1)⌉+1) )*5; ( (⌈|15/(5+1)-1|⌉ – ⌈15/(5+1)⌉+1) – (⌈|15/(4+1)-1|⌉ – ⌈15/(4+1)⌉+1) )*5 )           (6) », alors nous obtenons le nouvel ensemble séquentiel représentation de l’opération d’indexation, soit:  SeqB »’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 5; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).


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1.4) Définitions algébriques numériques de l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion équivalente à l’opération de déconcaténation

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Il est nécessaire de rappeler notre définition donnée précédemment de l’opération ensembliste séquentielle en général de la concaténation de deux ensembles correspondant à une séquence d’éléments ordonnés et que je distingue comme étant de deux types d’opérations ensemblistes séquentielles que j’appelle la concaténation insertion qui est toujours implicitement non juxtaposée et réordonnée, et que j’appelle encore la concaténation insertion juxtaposée de début (gauche) ou de fin (droite), et que je définis en général comme si A={a₁; a₂; b₁; b₂}, et B={a₃; b₃; c₁; c₂; c₃}, avec a < b b > c, alors l’opération ensembliste de la concaténation réordonnée non juxtaposée de A et B, c’est-à-dire la concaténation insertion générale est notée A ⊔ B={a₁; a₂; a₃; b₁; b₂; b₃; c₁; c₂; c₃}; et la concaténation insertion particulière juxtaposée non réordonnée de début ou gauche, de A et B est notée A ⋆⊔ B={a₁; a₂; b₁; b₂; a₃; b₃;c₁; c₂; c₃}; et la concaténation particulière juxtaposée non réordonnée de fin ou droite, de A et B, est notée A ⊔⋆ B={a₃; b₃; c₁; c₂; c₃; a₁; a₂; b₁; b₂}. Maintenant que nous avons écrit plus précisément à quelle opération ensembliste existante correspondrait réellement notre hypothétique opération ensembliste notée A ∘ B et son exemple précédent de  A ∘ B  ={1; 2} ∘ {1; 4; 5}={1; 1; 2; 4; 5}={1; 2; 1; 4; 5}={1; 4; 5; 1; 2}, qui devient donc renotée A ⋆⊔⋆ B={1; 2} ⊔ {1; 4; 5}={1; 1; 2; 4; 5}, et correspondant à la représentation de l’opération ensembliste de concaténation insertion sans juxtaposition gauche (avant) ou juxtaposition droite(après); ou A ⋆⊔ B={1; 2} ⋆⊔ {1; 4; 5}={1; 2; 1; 4; 5}, la représentation de l’opération ensembliste de concaténation insertion avec juxtaposition gauche (avant); ou A ⊔⋆ B={1; 2} ⊔⋆ {1; 4; 5}={1; 4; 5; 1; 2} la représentation de l’opération ensembliste de concaténation insertion avec juxtaposition droite. L’opérateur et son expression algébrique ne nous donnent pas l’expression numérique correspondante pas même intuitivement par sa représentation ensembliste séquentielle correspondant à une simple écriture de mouvement d’élément dans un ensemble séquentiel et nous devons donc définir plus précisément numériquement à quoi l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion correspond si ce n’est plus que plusieurs opérations successives en particulier, comme nous l’avons illustré précédemment. Ainsi en général elle correspond à une première opération de concaténation, notée pour deux nombres concaténés formant qw, q ∈ N* et w ∈ N: q∣∣w, dont l’expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 (qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10), et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w. Puis, elle correspond tout d’abord à une deuxième opération de déconcaténation droite ou gauche des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres qui est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣qw, donc q⫲qw ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation droite des deux nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:

  • q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w.  
  • w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.

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Pour illustrer l’opération de déconcaténation droite des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres, prenons l’exemple de la valeur de la variable qw=794587856533 et soit q=79, alors w=4587856533 et donc 79⫲794587856533=⌊794587856533/10^(l(4587856533))⌋=⌊794587856533/10^(l(4587856533))⌋=⌊794587856533/10^(⌊log(4587856533)⌋+1)⌋=79; et 4587856533⫲794587856533=794587856533 -⌊794587856533 /10^(l(4587856533))⌋*10^(l(794587856533)-l(79))=794587856533 -⌊794587856533 /10^(l(4587856533))⌋*10^((⌊log(794587856533)⌋+1)-(⌊log(79)⌋+1))=4587856533. 

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Ensuite et aussi elle correspond encore à une autre deuxième opération de déconcaténation  gauche des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres qui est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣qw, donc q⫲qw ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation gauche des deux nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:

  • w⫲qw=⌊qw/10^(l(q))⌋=w, avec l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.  
  • q⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(q))⌋*10^(l(qw)-l(w))=q, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.  .

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Pour illustrer l’opération de déconcaténation gauche des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres, reprenons l’exemple de la valeur de la variable qw=794587856533 et soit q=7945878565, alors w=33 et donc 33⫲794587856533=⌊794587856533/10^(l(7945878565))⌋=⌊794587856533/10^(⌊log(7945878565)⌋+1)⌋=33; et 7945878565 ⫲794587856533=
794587856533-⌊794587856533 /10^(l(7945878565))⌋*10^(l(794587856533)-l(33))=794587856533 -⌊794587856533 /10^(l(7945878565))⌋*10^((⌊log(794587856533)⌋+1)-(⌊log(33)⌋+1))=7945878565. 

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Remarquons tout d’abord qu’il est possible d’écrire la quantité de chiffres que nous souhaitons déconcaténer au lieu d’écrire le nombre correspondant à cette quantité c’est-à-dire en reprenant les exemples précédents et tout d’abord avec n correspondant au nombre de chiffres déconcaténés en partant de la gauche du nombre c’est-à-dire son rang du premier chiffre le plus élevé par rapport à son dernier chiffre des unités situé à la droite du nombre, donc de la façon suivante pour l’opération de déconcaténation droite indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à gauche du nombre:

  • q⫲qw=⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋=⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋
  • w⫲qw=qw-⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋*10^(l(qw)-n))=qw-⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋*10^(⌊log(qw)⌋+1-n))

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A nouveau pour illustrer l’opération de déconcaténation droite des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres, reprenons encore l’exemple de la valeur de la variable qw=794587856533 et soit q=794, alors n=3, donc 794⫲794587856533=⌊794587856533 
/10^(l(794587856533 )-3)⌋=⌊794587856533 /10^(⌊log(794587856533)⌋+1-3)⌋=794; 
et 587856533⫲794587856533=794587856533-⌊794587856533/10^(l(794587856533)-3)⌋*10^(l(794587856533)-3))=794587856533-⌊794587856533/10^(⌊log(794587856533)⌋+1-3)⌋*10^(⌊log(794587856533)⌋+1-3))=587856533

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Ensuite avec n correspondant au nombre de chiffres déconcaténés en partant de la droite du nombre c’est-à-dire son rang du premier chiffre le moins élevé donc celui des unités par rapport à son dernier chiffre de rang le plus élevé situé à la gauche du nombre, donc de la façon suivante pour l’opération de la déconcaténation gauche indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à droite du nombre, le chiffre des unités:
  • w⫲qw=⌊qw/10^n⌋
  • q⫲qw=qw-⌊qw/10^n⌋*10^n

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A nouveau pour illustrer l’opération de déconcaténation gauche des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres, reprenons encore l’exemple de la valeur de la variable qw=794587856533 et soit w=6533, alors n=4, donc 6533⫲794587856533=⌊794587856533/10^4⌋=79458785; et 79458785⫲794587856533=794587856533-⌊794587856533/10^4⌋*10^4
=6533

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Remarquons enfin que l’extension du domaine de définition de nos expressions de N à R est possible en convertissant tous nombres en utilisant la fonction de valeur absolue et la fonction de multiplication pour éliminer la partie décimale. Néanmoins, sans plus attendre se pose la question de comment appliquer ces opérations de concaténation et de déconcaténation, ce que nous montrons dans la sous-section suivante.

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2) Les expressions particulières des opérations ensemblistes séquentielles par les expressions algébriques numériques:

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Dans cette nouvelle section nous illustrons numériquement les expressions des opérations ensemblistes séquentielles définies algébriquement numériquement précédemment, l’opération ensembliste séquentielle de caractéristique, l’opération ensembliste séquentielle de caractéristique du cardinal, l’opération ensembliste séquentielle d’indexation, l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion, l’opération ensembliste séquentielle de déconcaténation. Mais aussi nous rajoutons au fur et à mesure la définition et l’illustration algébrique numérique de l’expression de nouvelles opérations nécessaires comme les opérations précédemment définies à l’élaboration de nos opérations ensemblistes séquentielles de terminaisons segmentales, soit:
  •  l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion équivalente à l’opération ensembliste séquentielle de déconcaténation,
  •  les opérations ensemblistes séquentielles de concaténation sérielle récurrente et non récurrente, l’opération ensembliste séquentielle de concaténation semi interne ou encore appelée concaténation de la partie décimale;
  •  les opérations ensemblistes séquentielles de déconcaténation sérielle récurrente et non récurrente; les opérations ensemblistes séquentielles de compression éliminatrice, de décompression éliminatrice
  • et pour finir l’opération ensembliste séquentielle d’addition concaténant et réordonnant ou encore appelée l’opération ensembliste séquentielle de rangement croissant.

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« Visualisation de la loi distributive pour les nombres positifs » extraits du public domaine de Wikipédia l’encyclopédie libre

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2.1) Expressions algébriques numériques de l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion équivalente à l’opération ensembliste séquentielle de déconcaténation

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Nous reprenons le premier exemple descriptif que nous avions écrit, sans l’expression numérique de l’opération de concaténation insertion, ou nous insérons un zéro avant le premier élément préexistant d’un ensemble séquentiel, soit:


SeqXᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (1) = (1)’

SeqB » »ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (1)’ 

Nous nous apercevons immédiatement que l’indexe de position des éléments est indispensable étant donné la ressemblance entre tous les éléments de valeurs soient 0 soient 1, donc afin de reconnaitre celui des éléments sur lequel l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion va être appliquée; mais et surtout afin d’annuler l’opération ensembliste séquentielle appliquée simultanément sur tous les autres éléments puisque toute opération ensembliste séquentielle est distributive sur tous les éléments de l’ensemble séquentiel qui sont le résultat d’une opération préexistante de séquençage, c’est à dire d’ordonnancement indexé des éléments d’un ensemble par l’opération d’index de position sur ces éléments. Rappelons que la propriété distributive des opérations binaires est une généralisation de la loi distributive, qui affirme que l’égalité a*b+a*c=a*(b+c) est vraie.

 Pour cela nous appliquons à notre séquence notée SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1), l’opération ensembliste séquentielle caractéristique d’indexations élémentaires correspondant à la fonction caractéristique du même nom et définie comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n  
  • 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n 
L’expression de cette fonction caractéristique d’indexations élémentaires des éléments yᵢ de valeurs nuls et non nuls de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)= ( (⌈|nᵢ/(p+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(p+1)⌉+1) – (⌈|nᵢ /(a+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(a+1)⌉+1) )        (6), avec a la valeur correspondante à la quantité d’éléments à valeur nulle avant la valeur de p=a+1 correspondante à la valeur d’indexe n de l’élément de l’ensemble séquentiel choisi, c’est-à-dire n=p=a+1. 
Si nous appliquons maintenant l’expression (6) aux valeurs de chaque élément appartenant à SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) et notamment si nous prenons la valeur d’indexe de 1 correspondante à l’opération de concaténation insertion sur le premier élément de SeqB’ᵢ₌₁₅ comme suit:
SeqXᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (1) = (1)’

SeqB » »ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (1)’ 
Alors l’expression de l’opération d’indexation élémentaire de SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) s’écrit en choisissant la valeur de n=1 c’est-à-dire a=0 et p=1, de la façon suivante :
SeqIB’ᵢ₌₁₅=(( (⌈|1/(1+1)-1|⌉ – ⌈1/(1+1)⌉+1) – (⌈|1/(0+1)-1|⌉-⌈1/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1) – (⌈|2/(0+1)-1|⌉ – ⌈2/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|3/(1+1)-1|⌉ – ⌈3/(1+1)⌉+1) – (⌈|3/(0+1)-1|⌉- ⌈3/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|4/(1+1)-1|⌉ – ⌈4/(1+1)⌉+1) – (⌈|4/(0+1)-1|⌉ – ⌈4/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|5/(1+1)-1|⌉ – ⌈5/(1+1)⌉+1) – (⌈|5/(0+1)-1|⌉ – ⌈5/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|6/(1+1)-1|⌉ – ⌈6/(1+1)⌉+1) – (⌈|6/(0+1)-1|⌉ – ⌈6/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|7/(1+1)-1|⌉ – ⌈7/(1+1)⌉+1) – (⌈|7/(0+1)-1|⌉ – ⌈7/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|8/(1+1)-1|⌉ – ⌈8/(1+1)⌉+1) – (⌈|8/(0+1)-1|⌉-⌈8/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|9/(1+1)-1|⌉ – ⌈9/(1+1)⌉+1) – (⌈|9/(0+1)-1|⌉ – ⌈9/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|10/(1+1)-1|⌉ – ⌈10/(1+1)⌉+1) – (⌈|10/(0+1)-1|⌉ – ⌈10/(0+1)⌉+1) );( (⌈|11/(1+1)-1|⌉ – ⌈11/(1+1)⌉+1) – (⌈|11/(0+1)-1|⌉ – ⌈11/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|12/(1+1)-1|⌉ – ⌈12/(1+1)⌉+1) – (⌈|12/(0+1)-1|⌉ – ⌈12/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|13/(1+1)-1|⌉ – ⌈13/(1+1)⌉+1) – (⌈|13/(0+1)-1|⌉ -⌈13/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|14/(1+1)-1|⌉ – ⌈14/(1+1)⌉+1) – (⌈|14/(0+1)-1|⌉ – ⌈14/(0+1)⌉+1) ); ( (⌈|15/(1+1)-1|⌉ – ⌈15/(1+1)⌉+1) – (⌈|15/(0+1)-1|⌉ – ⌈15/(0+1)⌉+1) ) )        (6)’ ↔ (6) »
SeqIB’ᵢ₌₁₅=(  ((⌈|1/2-1|⌉ – ⌈1/2⌉+1) – (⌈|1/1-1|⌉-⌈1/1⌉+1) ); ( (⌈|2/2-1|⌉ – ⌈2/2⌉+1) – (⌈|2/1-1|⌉ – ⌈2/1⌉+1) );  ( (⌈|3/2-1|⌉ – ⌈3/2⌉+1) – (⌈|3/1-1|⌉- ⌈3/1⌉+1) ); ( (⌈|4/2-1|⌉ – ⌈4/2⌉+1) – (⌈|4/1-1|⌉ – ⌈4/1⌉+1) ); ( (⌈|5/2-1|⌉ – ⌈5/2⌉+1) – (⌈|5/1-1|⌉ – ⌈5/1⌉+1) ); ( (⌈|6/2-1|⌉ – ⌈6/2⌉+1) – (⌈|6/1-1|⌉ – ⌈6/1⌉+1) ); ( (⌈|7/2-1|⌉ – ⌈7/2⌉+1) – (⌈|7/1-1|⌉ – ⌈7/1⌉+1) ); ( (⌈|8/2-1|⌉ – ⌈8/2⌉+1) – (⌈|8/1-1|⌉-⌈8/1⌉+1) ); ( (⌈|9/2-1|⌉ – ⌈9/2⌉+1) – (⌈|9/1-1|⌉ – ⌈9/1⌉+1) ); ( (⌈|10/2-1|⌉ – ⌈10/2⌉+1) – (⌈|10/1-1|⌉ – ⌈10/1⌉+1) ); ( (⌈|11/2-1|⌉ – ⌈11/2⌉+1) – (⌈|11/1-1|⌉ – ⌈11/1⌉+1) ); ((⌈|12/2-1|⌉ – ⌈12/2⌉+1) – (⌈|12/1-1|⌉ – ⌈12/1⌉+1) ); ((⌈|13/2-1|⌉ – ⌈13/2⌉+1) – (⌈|13/1-1|⌉ -⌈13/1⌉+1) ); ((⌈|14/2-1|⌉ – ⌈14/2⌉+1) – (⌈|14/1-1|⌉ – ⌈14/1⌉+1) ); ((⌈|15/2-1|⌉ – ⌈15/2⌉+1) – (⌈|15/1-1|⌉ – ⌈15/1⌉+1)) )           (6) ». 
Nous obtenons ainsi la représentation ensembliste séquentielle de l’expression (6) » de l’opération ensembliste séquentielle caractéristique d’indexations, et correspondantes à la nouvelle séquence notée SeqIB’ᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0).
Ensuite nous effectuons la première étape de l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion soit, l’expression (1) notée SeqXᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1), en rappelant qu’elle correspond à une première opération de concaténation, notée pour deux nombres concaténés formant qw, q ∈ N* et w ∈ N: q∣∣w, dont l’expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 (qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10), et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋ +1)+w, et que nous écrivons maintenant comme suit:
  SeqXᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)    (1) = (1)’

SeqB » »ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (1)’ ⇒ (2) & (3₁)
SeqCB’ᵢ₌₁₅=(1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣1; 1∣∣1; 1∣∣1; 1∣∣1; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣1; 1∣∣1; 1∣∣0; 1∣∣1) * SeqCIB’ᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)             (2) ↔ (2)’. Nous remarquons ici que nous avons écrit explicitement l’application de la propriété de distributivité de l’opération de concaténation sur tous les éléments de l’ensemble séquentiel.

SeqCB’ᵢ₌₁₅=((1∣∣0)*1; (1∣∣0)*0; (1∣∣0)*0; (1∣∣0)*0; (1∣∣1)*0; (1∣∣1)*0; (1∣∣1)*0; (1∣∣1)*0; (1∣∣0)*0; (1∣∣0)*0; (1∣∣0)*0; (1∣∣1)*0; (1∣∣1)*0; (1∣∣0)*0; (1∣∣1)*0)        (2)’↔ (2) ». Nous remarquons ici que nous avons écrit explicitement l’opération d’annulation de l’application de la propriété de distributivité de l’opération de concaténation sur tous les éléments de l’ensemble séquentiel pour ne garder que l’application de l’opération de concaténation sur un seul élément, ce qui est aussi une opération équivalente à l’opération d’annulation de ces éléments eux-mêmes.

SeqCIB’ᵢ₌₁₅=(1∣∣0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)         (2) »⇒ (3₁)

SeqCIB’ᵢ₌₁₅=(1*10^(⌊log(0+1)⌋ +1)+0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)   (3₁) ↔ (3₁)’
 SeqCIB’ᵢ₌₁₅=(10; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)      (3₁)’ ⇒ (3₂)

SeqCIB’ᵢ₌₁₅=(10; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0) + SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)                     (3₂) ↔ (3₂)’

SeqCB »ᵢ₌₁₅=(10+0; 0+0; 0+0; 0+0; 0+1; 0+1; 0+1; 0+1; 0+0; 0+0; 0+0; 0+1; 0+1; 0+0; 0+1)       (3₂)’↔ (3₂) » 

SeqCB »ᵢ₌₁₅=(10; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)            (3₂) » 

Ensuite nous effectuons la deuxième étape de l’opération ensembliste séquentielle de 
concaténation insertion soit, l’expression (1) notée SeqXᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1), en rappelant qu’elle correspond à une deuxième opération de « déconcaténation » des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres qui est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments et notée pour deux nombres concaténés qw avec q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement « déconcaténés » q⫳w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation droite des deux nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:

  • q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.  
  • w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.

Donc pour passer à la deuxième étape en reprenant la dernière expression (2) » de notre première étape écrite précédemment, nous écrivons maintenant comme suit:

SeqCB »ᵢ₌₁₅=(10; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)                                (3) » ⇒ (4), cette dernière étant l’expression résultante de notre application de l’opération de déconcaténation gauche de 1 qui est appliquée à tous les éléments de l’ensemble séquentiel, puisque nous ne pouvons pas arbitrairement effectuer cette opération sur une seule valeur, et surtout puisque cette opération de déconcaténation est une opération distributive sur l’ensemble séquentiel par rapport à l’opération d’indexation. Donc nous obtenons la représentation de cette opération de déconcaténation gauche comme suit:

SeqCDB »ᵢ₌₁₅=(1⫲10; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲1)        (4) ⇒ (4₁)

SeqCDB »ᵢ₌₁₅=(1⫲10; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲1)*SeqIB’ᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)          (4₁) ↔ (4₁)’

SeqCDB »ᵢ₌₁₅=(1*1⫲10; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲0; 0*1⫲1)               (4₁)’ ↔ (4)’

SeqCDB »ᵢ₌₁₅=(1⫲10; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1 )              (4)’ ↔ (4) ». 

Remarquons que dans l’expression précédente (4)’ nous avons écrit explicitement le résultat de l’opération d’annulation de l’application de la propriété de distributivité de l’opération de déconcaténation sur tous les éléments de l’ensemble séquentiel pour ne garder que l’application de l’opération de déconcaténation sur un seul élément, celui que nous avons choisi de déconcaténer, car cette opération de déconcaténation n’est pas contrairement à l’opération de concaténation précédente aussi une opération équivalente à l’opération d’annulation de ces éléments eux-mêmes. En effet, si l’opération de déconcaténation à pour propriété la non annulation des éléments de tous les éléments d’un ensemble séquentiel auxquels elle s’applique distributivement, par l’opération d’annulation de son application distributive à tous les éléments d’un ensemble séquentiel, ceci est le résultat d’une nécessité logique mathématique c’est-à-dire d’éviter la récursivité à l’infini de l’opération de déconcaténation puisque si l’opération de déconcaténation annulait les autres éléments plutôt que l’opération s’annulait elle-même et préservait les éléments alors pour recréer ces éléments il nous faudrait partir de la séquence à l’origine et refaire exactement les étapes de notre algorithme d’insertion d’un élément par les opérations successives de concaténation et de déconcaténation, ce qui nécessiterait à nouveau d’effectuer cet algorithme à l’infini! Donc en finalité nous avons implicitement écrit que l’opération de déconcaténation appartient à une nouvelle classe d’opérations (une classe est un ensemble d’objets mathématiques qui peut être défini sans ambiguïté par une propriété partagée par tous ses membres, mais qui ne forme pas nécessairement un ensemble.) Nous chercherons donc dans d’autres chapitres à définir éventuellement d’autres opérations appartenant à cette classe d’objets mathématiques dits opérations dont leurs propriétés est la non annulation des éléments de tous les éléments d’un ensemble séquentiel auxquels elles s’appliquent distributivement, par l’opération d’annulation de leurs applications distributives à tous les éléments d’un ensemble séquentiel.
Néanmoins, il serait aussi possible de définir une nouvelle opération d’annulation et de non annulation qui ne s’appliquerait que sur l’opérateur représentant l’opération appliquée à l’élément de l’ensemble séquentiel en annulant ou n’annulant pas, cet opérateur représentant l’opération seulement et pas les éléments de l’ensemble séquentiel sur lesquels cet opérateur est appliqué. Alors c’est en fait cette opération spéciale qui définirait la nouvelle classe d’opérations dont la propriété est comme précédemment explicitée. Le désavantage de cette définition est que la cause logique de la création de cette propriété mathématique d’annulation et de non annulation d’opération sans annuler les éléments sur lesquelles s’applique l’opération annulée, est d’éviter d’avoir à répéter les étapes de calcul d’un algorithme à l’infini, celui des étapes de notre algorithme d’insertion d’un élément par les opérations successives de concaténation et de déconcaténation. D’autre part notre opération est limitée au domaine ensembliste séquentielle et n’est pas par extension du domaine de définition de cette opération de déconcaténation au domaine de définition d’une fonction ce que cette opération n’est pas par définition d’une fonction définie comme, « Une fonction en mathématiques est une association entre des valeurs d’entrée et des valeurs de sortie, dans laquelle chaque valeur d’entrée est associée à exactement une valeur de sortie. », alors l’opération de déconcaténation qui associe une valeur d’entrée à déconcaténer qw qui n’est donc pas exactement deux valeurs de sortie que sont les deux valeurs des deux nombres déconcaténés q et w des chiffres du nombre précédent, n’est pas une fonction .



⁂

Donc nous continuons notre algorithme en reprenant à l’étape ou nous nous étions arrêtés soit     (4)’ ↔ (4) » comme suit:


SeqB »’ᵢ₌₁₆=( ⌊10/10^l(0)⌋; 10-⌊10/10^l(0)⌋*10^(l(10)-l(1)); 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1 )                (4) » ↔ (4) »’. Ici par définition l(0)=l(0+1) car log(0) est non définie et l(0)=⌊log(0)⌋+1.


SeqB »’ᵢ₌₁₆=( ⌊10/10^(⌊log(0+1)⌋+1)⌋; 10-⌊10/10^(⌊log(0+1)⌋+1)⌋*10^( (⌊log(10)⌋+1)- (⌊log(1)⌋+1)) ); 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1 )                    (4) »’ ↔ (4) » »

SeqB »’ᵢ₌₁₆=( 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1 )      (4) » »↔ (4) » »’
SeqB »’ᵢ₌₁₆=( 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1 )                                (4) » »’ ⇒ (5)
Il ne nous reste plus qu’à annuler la valeur de 1 du premier élément de SeqB »’ᵢ₌₁₆=( 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1 ), en utilisant l’opération ensembliste séquentielle inverse de l’expression de l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire caractéristique qui est définie comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1-1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)=n  
  • 1-1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)≠n 
L’expression de cette fonction caractéristique inverse d’indexations élémentaires des éléments yᵢ de valeurs nuls et non nuls de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1-1A(yᵢ)= 1-( (⌈|nᵢ/(p+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(p+1)⌉+1) – (⌈|nᵢ /(a+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(a+1)⌉+1) )      (5), avec a la valeur correspondante à la quantité d’éléments à valeur nulle avant la valeur de p=a+1 correspondante à la valeur d’indexe n de l’élément de l’ensemble séquentiel choisi, c’est-à-dire n=p=a+1. 
 Ainsi nous écrivons l’opération ensembliste séquentielle de caractéristique inverse d’indexe d’un élément de SeqB »’ᵢ₌₁₆=( 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1 ), en choisissant la valeur de n=1, soit a=0 et p=a+1=1 de la façon suivante :
SeqI’B »’ᵢ₌₁₆=( 1- ((⌈|1/(1+1)-1|⌉ – ⌈1/(1+1)⌉+1) – (⌈|1/(0+1)-1|⌉-⌈1/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1) – (⌈|2/(0+1)-1|⌉ – ⌈2/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|3/(1+1)-1|⌉ – ⌈3/(1+1)⌉+1) – (⌈|3/(0+1)-1|⌉- ⌈3/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|4/(1+1)-1|⌉ – ⌈4/(1+1)⌉+1) – (⌈|4/(0+1)-1|⌉ – ⌈4/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|5/(1+1)-1|⌉ – ⌈5/(1+1)⌉+1) – (⌈|5/(0+1)-1|⌉ – ⌈5/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|6/(1+1)-1|⌉ – ⌈6/(1+1)⌉+1) – (⌈|6/(0+1)-1|⌉ – ⌈6/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|7/(1+1)-1|⌉ – ⌈7/(1+1)⌉+1) – (⌈|7/(0+1)-1|⌉ – ⌈7/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|8/(1+1)-1|⌉ – ⌈8/(1+1)⌉+1) – (⌈|8/(0+1)-1|⌉-⌈8/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|9/(1+1)-1|⌉ – ⌈9/(1+1)⌉+1) – (⌈|9/(0+1)-1|⌉ – ⌈9/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|10/(1+1)-1|⌉ – ⌈10/(1+1)⌉+1) – (⌈|10/(0+1)-1|⌉ – ⌈10/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|11/(1+1)-1|⌉ – ⌈11/(1+1)⌉+1) – (⌈|11/(0+1)-1|⌉ – ⌈11/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|12/(1+1)-1|⌉ – ⌈12/(1+1)⌉+1) – (⌈|12/(0+1)-1|⌉ – ⌈12/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|13/(1+1)-1|⌉ – ⌈13/(1+1)⌉+1) – (⌈|13/(0+1)-1|⌉ -⌈13/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|14/(1+1)-1|⌉ – ⌈14/(1+1)⌉+1) – (⌈|14/(0+1)-1|⌉ – ⌈14/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|15/(1+1)-1|⌉ – ⌈15/(1+1)⌉+1) – (⌈|15/(0+1)-1|⌉ – ⌈15/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|16/(1+1)-1|⌉ – ⌈16/(1+1)⌉+1) – (⌈|16/(0+1)-1|⌉ – ⌈16/(0+1)⌉+1) ) )                 (5)’ ↔ (5) »
SeqI’B »’ᵢ₌₁₆=( 1- ((⌈|1/2-1|⌉ – ⌈1/2⌉+1) – (⌈|1/1-1|⌉-⌈1/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|2/2-1|⌉ – ⌈2/2⌉+1) – (⌈|2/1-1|⌉ – ⌈2/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|3/2-1|⌉ – ⌈3/2⌉+1) – (⌈|3/1-1|⌉- ⌈3/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|4/2-1|⌉ – ⌈4/2⌉+1) – (⌈|4/1-1|⌉ – ⌈4/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|5/2-1|⌉ – ⌈5/2⌉+1) – (⌈|5/1-1|⌉ – ⌈5/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|6/2-1|⌉ – ⌈6/2⌉+1) – (⌈|6/1-1|⌉ – ⌈6/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|7/2-1|⌉ – ⌈7/2⌉+1) – (⌈|7/1-1|⌉ – ⌈7/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|8/2-1|⌉ – ⌈8/2⌉+1) – (⌈|8/1-1|⌉-⌈8/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|9/2-1|⌉ – ⌈9/2⌉+1) – (⌈|9/1-1|⌉ – ⌈9/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|10/2-1|⌉ – ⌈10/2⌉+1) – (⌈|10/1-1|⌉ – ⌈10/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|11/2-1|⌉ – ⌈11/2⌉+1) – (⌈|11/1-1|⌉ – ⌈11/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|12/2-1|⌉ – ⌈12/2⌉+1) – (⌈|12/1-1|⌉ – ⌈12/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|13/2-1|⌉ – ⌈13/2⌉+1) – (⌈|13/1-1|⌉ -⌈13/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|14/2-1|⌉ – ⌈14/2⌉+1) – (⌈|14/1-1|⌉ – ⌈14/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|15/2-1|⌉ – ⌈15/2⌉+1) – (⌈|15/1-1|⌉ – ⌈15/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|16/2-1|⌉ – ⌈16/2⌉+1) – (⌈|16/1-1|⌉ – ⌈16/1⌉+1) )  )                    (5) »↔ (5) »’

Nous obtenons ainsi la représentation ensembliste séquentielle de l’expression (5)’ » de l’opération ensembliste séquentielle caractéristique inverse d’indexation, et correspondante à la nouvelle séquence notée

 SeqI’B »’ᵢ₌₁₆=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)            (5) »’ ⇒ (6)
SeqB »’ᵢ₌₁₆=(1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) * SeqI’B »’ᵢ₌₁₆=(0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1)                        (6) ↔ (6)’

SeqB » »ᵢ₌₁₆=(1*0; 0*1; 0*1; 0*1; 0*1; 1*1; 1*1; 1*1; 1*1; 0*1; 0*1; 0*1; 1*1; 1*1; 0*1; 1*1)                        (6)’ ↔ (6) »

SeqB » »ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (6) ». 

Nous obtenons donc la dernière expression de toutes les expressions des opérations ensemblistes séquentielles composantes de l’expression de l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion correspondant à notre premier exemple, et notée 
SeqXᵢ₌₁=(0) ⋆⊔ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (1) = (1)’

SeqB » »ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)              (1)’ ↔ (6) ».

⁂⁂

Nous reprenons maintenant le deuxième exemple descriptif que nous avions écrit sans l’expression algébrique numérique correspondante de l’opération de concaténation insertion, soit:

SeqYᵢ₌₁=(1) ⊔⋆ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)      (2)=(2)’

SeqB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1)        (2)’

⁂

Nous nous apercevons immédiatement que l’indexe de position des éléments est indispensable étant donné la ressemblance entre tous les éléments de valeurs soient 0 soient 1 et ensuite afin de reconnaitre celui sur lequel l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion va être appliquée. Pour cela nous appliquons à notre séquence notée SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1), l’opération ensembliste séquentielle caractéristique d’indexations élémentaires correspondant à la fonction caractéristique du même nom et définie comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n  
  • 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n 
L’expression de cette fonction caractéristique d’indexations élémentaires des éléments yᵢ de valeurs nuls et non nuls de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)= ( (⌈|nᵢ/(p+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(p+1)⌉+1) – (⌈|nᵢ /(a+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(a+1)⌉+1) )        (6), avec a la valeur correspondante à la quantité d’éléments à valeur nulle avant la valeur de p=a+1 correspondante à la valeur d’indexe n de l’élément de l’ensemble séquentiel choisi, c’est-à-dire n=p=a+1. 
Si nous appliquons maintenant l’expression (6) aux valeurs de chaque élément appartenant à SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) et notamment si nous prenons la valeur d’indexe égale à 15 correspondantes à l’opération de concaténation insertion sur le dernier élément de SeqB’ᵢ₌₁₅ comme suit:
SeqYᵢ₌₁=(1) ⊔⋆ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)      (2) = (2)’

SeqB » » »ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1)        (2)’

Alors l’expression de l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire s’écrit en choisissant la valeur de n=15 c’est-à-dire a=14 et p=15, de la façon suivante :
SeqIB’ᵢ₌₁₅=(( (⌈|1/(15+1)-1|⌉ – ⌈1/(15+1)⌉+1) – (⌈|1/(14+1)-1|⌉-⌈1/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|2/(15+1)-1|⌉ – ⌈2/(15+1)⌉+1) – (⌈|2/(14+1)-1|⌉ – ⌈2/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|3/(15+1)-1|⌉ – ⌈3/(15+1)⌉+1) – (⌈|3/(14+1)-1|⌉- ⌈3/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|4/(15+1)-1|⌉ – ⌈4/(15+1)⌉+1) – (⌈|4/(14+1)-1|⌉ – ⌈4/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|5/(15+1)-1|⌉ – ⌈5/(15+1)⌉+1) – (⌈|5/(14+1)-1|⌉ – ⌈5/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|6/(15+1)-1|⌉ – ⌈6/(15+1)⌉+1) – (⌈|6/(14+1)-1|⌉ – ⌈6/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|7/(15+1)-1|⌉ – ⌈7/(15+1)⌉+1) – (⌈|7/(14+1)-1|⌉ – ⌈7/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|8/(15+1)-1|⌉ – ⌈8/(15+1)⌉+1) – (⌈|8/(14+1)-1|⌉-⌈8/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|9/(15+1)-1|⌉ – ⌈9/(15+1)⌉+1) – (⌈|9/(14+1)-1|⌉ – ⌈9/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|10/(15+1)-1|⌉ – ⌈10/(15+1)⌉+1) – (⌈|10/(14+1)-1|⌉ – ⌈10/(14+1)⌉+1) );( (⌈|11/(15+1)-1|⌉ – ⌈11/(15+1)⌉+1) – (⌈|11/(14+1)-1|⌉ – ⌈11/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|12/(15+1)-1|⌉ – ⌈12/(15+1)⌉+1) – (⌈|12/(14+1)-1|⌉ – ⌈12/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|13/(15+1)-1|⌉ – ⌈13/(15+1)⌉+1) – (⌈|13/(14+1)-1|⌉ -⌈13/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|14/(15+1)-1|⌉ – ⌈14/(15+1)⌉+1) – (⌈|14/(14+1)-1|⌉ – ⌈14/(14+1)⌉+1) ); ( (⌈|15/(15+1)-1|⌉ – ⌈15/(15+1)⌉+1) – (⌈|15/(14+1)-1|⌉ – ⌈15/(14+1)⌉+1) ) )        (6)’ ↔ (6) »
SeqIB’ᵢ₌₁₅=(  ((⌈|1/16-1|⌉ – ⌈1/16⌉+1) – (⌈|1/15-1|⌉-⌈1/15⌉+1) ); ( (⌈|2/16-1|⌉ – ⌈2/16⌉+1) – (⌈|2/15-1|⌉ – ⌈2/15⌉+1) );  ( (⌈|3/16-1|⌉ – ⌈3/16⌉+1) – (⌈|3/15-1|⌉- ⌈3/15⌉+1) ); ( (⌈|4/16-1|⌉ – ⌈4/16⌉+1) – (⌈|4/15-1|⌉ – ⌈4/15⌉+1) ); ( (⌈|5/16-1|⌉ – ⌈5/16⌉+1) – (⌈|5/15-1|⌉ – ⌈5/15⌉+1) ); ( (⌈|6/16-1|⌉ – ⌈6/16⌉+1) – (⌈|6/15-1|⌉ – ⌈6/15⌉+1) ); ( (⌈|7/16-1|⌉ – ⌈7/16⌉+1) – (⌈|7/15-1|⌉ – ⌈7/15⌉+1) ); ( (⌈|8/16-1|⌉ – ⌈8/16⌉+1) – (⌈|8/15-1|⌉-⌈8/15⌉+1) ); ( (⌈|9/16-1|⌉ – ⌈9/16⌉+1) – (⌈|9/15-1|⌉ – ⌈9/15⌉+1) ); ( (⌈|10/16-1|⌉ – ⌈10/16⌉+1) – (⌈|10/15-1|⌉ – ⌈10/15⌉+1) ); ( (⌈|11/16-1|⌉ – ⌈11/16⌉+1) – (⌈|11/15-1|⌉ – ⌈11/15⌉+1) ); ((⌈|12/16-1|⌉ – ⌈12/16⌉+1) – (⌈|12/15-1|⌉ – ⌈12/15⌉+1) ); ((⌈|13/16-1|⌉ – ⌈13/16⌉+1) – (⌈|13/15-1|⌉ -⌈13/15⌉+1) ); ((⌈|14/16-1|⌉ – ⌈14/16⌉+1) – (⌈|14/15-1|⌉ – ⌈14/15⌉+1) ); ((⌈|15/16-1|⌉ – ⌈15/16⌉+1) – (⌈|15/15-1|⌉ – ⌈15/15⌉+1)) )           (6) ».

Nous obtenons ainsi la représentation ensembliste séquentielle de l’expression (6) » de l’opération ensembliste séquentielle caractéristique inverse d’indexation, et correspondante à la nouvelle séquence notée nous obtenons la nouvelle séquence SeqIB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1).

⁂

 Ensuite nous effectuons la première étape de l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion soit, l’expression (1) notée  SeqYᵢ₌₁=(1) ⊔⋆ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1), en rappelant qu’elle correspond à une première opération de concaténation, notée pour deux nombres concaténés formant qw, q ∈ N* et w ∈ N: q∣∣w, dont l’expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 (qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10), et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋ +1)+w, et que nous écrivons maintenant comme suit:
 SeqYᵢ₌₁=(1) ⊔⋆ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)      (2)=(2)’

SeqB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1)        (2)’ ⇒ (3)

SeqYᵢ₌₁=(1) ⊔⋆ SeqIB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1)            (3)

SeqCI’B’ᵢ₌₁₅=(1∣∣0;1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣1)    (3) ⇒ (4₀)
SeqCI’B’ᵢ₌₁₅=(1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣0; 1∣∣1) *SeqIB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1)           (4₀) ↔ (4₀)’

SeqCI’B’ᵢ₌₁₅=(0*1∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 0*1∣∣0; 1*1∣∣1) *SeqIB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1)           (4₀)’ ↔ (4₀) »
SeqCI’B’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1∣∣1)           (4₀) »⇒ (4₁)

SeqCI’B’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1*10^(⌊log(1)⌋ +1)+1)          (4₁) ↔ (4₁)’
SeqCI’B’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 11)      (4₁)’ ⇒ (4₂)

SeqCI’B’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 11) + SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)                     (4₂) ↔ (4₂)’

SeqCI’B’B’ᵢ₌₁₅=(0+0; 0+0; 0+0; 0+0; 0+1; 0+1; 0+1; 0+1; 0+0; 0+0; 0+0; 0+1; 0+1; 0+0; 11+1)       (4₂)‘↔ (4₂) » 

SeqCB’B’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 12)            (4₂) » 

⁂

Ensuite nous effectuons la deuxième étape de l’opération ensembliste séquentielle de 
concaténation insertion soit, l’expression (1) notée SeqYᵢ₌₁=(1) ⊔⋆ SeqCB’B’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 12), en rappelant qu’elle correspond à une deuxième opération de « déconcaténation » gauche des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres qui est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc q⫲w ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation droite des deux nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:

  • q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.   
  • w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.  

Donc pour passer à la deuxième étape en reprenant la dernière expression (4₂) » de notre première étape écrite précédemment, nous écrivons maintenant comme suit:

SeqCB’B’ᵢ₌₁₅=( 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 12)                                (4₂) » ⇒ (5)

SeqCB’B’ᵢ₌₁₅=( 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲12 ) 
(5)  ⇒ (5₁)

  SeqIB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1)*SeqCB’B’ᵢ₌₁₅=( 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲0; 1⫲1; 1⫲1; 1⫲0; 1⫲12 )      (5₁) ↔  (5₁)’

SeqIB’CB’B’ᵢ₌₁₅=( 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲0; 0*1⫲1; 0*1⫲1; 0*1⫲0; 1*1⫲12 )   (5₁)’↔ (5₁) » 
SeqIB’CB’B’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1⫲12 )    (5₁) » ⇒ (5₂)

SeqYB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1⫲12; 2⫲12)                    (5₂) ↔ (5₂)’

SeqYB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; ⌊12/10^l(2)⌋; 12-⌊12/10^l(2)⌋*10^(l(12)-l(1))                (5) » ↔ (5) »’

SeqYB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0;  ⌊12/10^(⌊log(2)⌋+1)⌋; 12-⌊12/10^( ⌊log(2)⌋+1)⌋*10^( (⌊log(12)⌋+1) – (⌊log(1)⌋+1)) )                    (5₂) »↔ (5₂) »’

SeqYB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 2)             (5₂) »’⇒ (6)



Il ne nous reste plus qu’à soustraire 1 à la valeur de 2 du dernier élément de SeqYB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 2), en utilisant l’opération ensembliste séquentielle de l’expression de l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire caractéristique s’écrit en choisissant la valeur de n=16, de la façon suivante :
SeqIB » »’ᵢ₌₁₆=(( (⌈|1/(16+1)-1|⌉ – ⌈1/(16+1)⌉+1) – (⌈|1/(15+1)-1|⌉-⌈1/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|2/(16+1)-1|⌉ – ⌈2/(16+1)⌉+1) – (⌈|2/(15+1)-1|⌉ – ⌈2/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|3/(16+1)-1|⌉ – ⌈3/(16+1)⌉+1) – (⌈|3/(15+1)-1|⌉- ⌈3/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|4/(16+1)-1|⌉ – ⌈4/(16+1)⌉+1) – (⌈|4/(15+1)-1|⌉ – ⌈4/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|5/(16+1)-1|⌉ – ⌈5/(16+1)⌉+1) – (⌈|5/(15+1)-1|⌉ – ⌈5/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|6/(16+1)-1|⌉ – ⌈6/(16+1)⌉+1) – (⌈|6/(15+1)-1|⌉ – ⌈6/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|7/(16+1)-1|⌉ – ⌈7/(16+1)⌉+1) – (⌈|7/(15+1)-1|⌉ – ⌈7/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|8/(16+1)-1|⌉ – ⌈8/(16+1)⌉+1) – (⌈|8/(15+1)-1|⌉-⌈8/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|9/(16+1)-1|⌉ – ⌈9/(16+1)⌉+1) – (⌈|9/(15+1)-1|⌉ – ⌈9/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|10/(16+1)-1|⌉ – ⌈10/(16+1)⌉+1) – (⌈|10/(15+1)-1|⌉ – ⌈10/(15+1)⌉+1) );( (⌈|11/(16+1)-1|⌉ – ⌈11/(16+1)⌉+1) – (⌈|11/(15+1)-1|⌉ – ⌈11/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|12/(16+1)-1|⌉ – ⌈12/(16+1)⌉+1) – (⌈|12/(15+1)-1|⌉ – ⌈12/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|13/(16+1)-1|⌉ – ⌈13/(16+1)⌉+1) – (⌈|13/(15+1)-1|⌉ -⌈13/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|14/(16+1)-1|⌉ – ⌈14/(16+1)⌉+1) – (⌈|14/(15+1)-1|⌉ – ⌈14/(15+1)⌉+1) ); ( (⌈|15/(16+1)-1|⌉ – ⌈15/(16+1)⌉+1) – (⌈|15/(15+1)-1|⌉ – ⌈15/(15+1)⌉+1) ) ; ( (⌈|16/(16+1)-1|⌉ – ⌈16/(16+1)⌉+1) – (⌈|16/(15+1)-1|⌉ – ⌈16/(15+1)⌉+1) ))        (6) ↔ (6)’
SeqIB » »’ᵢ₌₁₆=(((⌈|1/17-1|⌉ – ⌈1/17⌉+1) – (⌈|1/16-1|⌉-⌈1/16⌉+1) ); ( (⌈|2/17-1|⌉ – ⌈2/17⌉+1) – (⌈|2/16-1|⌉ – ⌈2/16⌉+1) );  ( (⌈|3/17-1|⌉ – ⌈3/17⌉+1) – (⌈|3/16-1|⌉- ⌈3/16⌉+1) ); ( (⌈|4/17-1|⌉ – ⌈4/17⌉+1) – (⌈|4/16-1|⌉ – ⌈4/16⌉+1) ); ( (⌈|5/17-1|⌉ – ⌈5/17⌉+1) – (⌈|5/16-1|⌉ – ⌈5/16⌉+1) ); ( (⌈|6/17-1|⌉ – ⌈6/17⌉+1) – (⌈|6/16-1|⌉ – ⌈6/16⌉+1) ); ( (⌈|7/17-1|⌉ – ⌈7/17⌉+1) – (⌈|7/16-1|⌉ – ⌈7/16⌉+1) ); ( (⌈|8/17-1|⌉ – ⌈8/17⌉+1) – (⌈|8/16-1|⌉-⌈8/16⌉+1) ); ( (⌈|9/17-1|⌉ – ⌈9/17⌉+1) – (⌈|9/16-1|⌉ – ⌈9/16⌉+1) ); ( (⌈|10/17-1|⌉ – ⌈10/17⌉+1) – (⌈|10/16-1|⌉ – ⌈10/16⌉+1) ); ( (⌈|11/17-1|⌉ – ⌈11/17⌉+1) – (⌈|11/16-1|⌉ – ⌈11/16⌉+1) ); ((⌈|12/17-1|⌉ – ⌈12/17⌉+1) – (⌈|12/16-1|⌉ – ⌈12/16⌉+1) ); ((⌈|13/17-1|⌉ – ⌈13/17⌉+1) – (⌈|13/16-1|⌉ -⌈13/16⌉+1) ); ((⌈|14/17-1|⌉ – ⌈14/17⌉+1) – (⌈|14/16-1|⌉ – ⌈14/16⌉+1) ); ((⌈|15/17-1|⌉ – ⌈15/17⌉+1) – (⌈|15/16-1|⌉ – ⌈15/16⌉+1)))           (6)’ ↔ (6) »

 SeqIB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1)           (6) » ⇒ (7)
SeqYB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 2) – SeqIB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1)                           (7) ↔ (7)’

SeqB » »’ᵢ₌₁₆=(0-0; 0-0; 0-0; 0-0; 1-0; 1-0; 1-0; 1-0; 0-0; 0-0; 0-0; 1-0; 1-0; 0-0 ;1-0; 2-1)                        (7)’ ↔ (7) »

SeqB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1)              (7) ». 

Nous obtenons donc la dernière expression de toutes les expressions des opérations ensemblistes séquentielles composantes de l’expression de l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion, correspondante à notre deuxième exemple et notée: 
 SeqYᵢ₌₁=(1) ⊔⋆ SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1)      (2)=(2)’

SeqB » »’ᵢ₌₁₆=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1; 1)        (2)’ ↔ (7) ».

⁂⁂

Toujours afin de ne plus écrire seulement l’expression algébrique algorithmique de la concaténation insertion, nous prenons maintenant un autre type d’exemple de l’expression algébrique numérique et cette fois-ci non plus des éléments de valeurs dans{1; 0}, mais des éléments de valeurs dans N, en considérant ce que nous avions écrit précédemment au début du sous-titre 1.1) soit pour résumer: 
A ⋆⊔⋆ B correspondant à une concaténation insertion des deux types à la fois soit à une concaténation insertion de juxtaposition de début notée A ⋆⊔ B, ou de fin notée, A ⊔⋆ B, donc deux opérations ensemblistes et par extension deux opérations ensemblistes séquentielles et en reprenant notre exemple de A={1; 2} et B={1; 2; 4} donc par extension, SeqAᵢ₌₂=(1; 2) et SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4), alors si nous considérons la première des deux opérations alors nous pouvons écrire son expression comme suit:
 SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⋆ ⊔ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)      (1) ↔ (1)’
(Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)) + (Seq(0)ᵢ₌₂=(0; 0) ⋆⊔ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4))    (1)’ = (1) »
 SeqA’ᵢ₌₅=(1; 2; 0; 0; 0) + SeqB’ᵢ₌₅=(0; 0; 1; 2; 4)     (1) »=(1) »’
SeqA’B’ᵢ₌₅=(1; 2; 1; 2; 4)            (1) »’
Puis si nous considérons la deuxième des deux opérations alors nous pouvons écrire son expression comme suit:
SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)      (2) ↔ (2)’ 
(Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)) + (Seq(0)ᵢ₌₂=(0; 0) ⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4))   (2)’= (2) » 
SeqA’ᵢ₌₅=( 0; 0; 0; 1; 2) + SeqB’ᵢ₌₅=(1; 2; 4; 0; 0)   (2) »= (2) »’
SeqB’A’ᵢ₌₅=(1; 2; 4; 1; 2)         (2) »’
Finalement si nous considérons la troisième opération notée A ⋆⊔⋆ B, alors nous pouvons écrire son expression comme suit:
 SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⋆⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)                           (0) ↔ (3)
SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) – (SeqAᵢ₌₁=(0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2))           (3) ↔ (3)’
SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) – SeqXᵢ₌₃=(1; 2: 0)           (3)’=(3) »
SeqYᵢ₌₃=(0; 0; 4)             (3 ») ⇒ (4)

Seq({0})ᵢ₌₂=(0; 0) ⋆⊔ SeqYᵢ₌₃=(0; 0; 4)         (4) ↔ (4)’

SeqY’ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 0; 4)         (4)’ ⇒ (5)

SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ∩ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)       (5) ↔ (5)‘

Seq(A∩B)ᵢ₌₂ =(1; 2)        (5)‘⇒ (6)
Seq({1})ᵢ₌₁=(1) ⋆ ⊔ Seq(A ∩ B)ᵢ₌₂=(1; 2)            (6) ↔ (6)’

SeqAA’ᵢ₌₃=(1; 1; 2)          (6)’ ⇒ (7)

Seq({2})ᵢ₌₁ =(2) ⊔ ⋆ SeqAᵢ₌₃=(1; 1; 2)         (7) ↔ (7)’

SeqA’A’ᵢ₌₄=(1; 1; 2; 2)          (7)’ ⇒ (8) 

Seq({0})ᵢ₌₁=(0) ⊔⋆ SeqA’A’ᵢ₌₄=(1; 1; 2; 2)                (8) ↔ (8)’
SeqYA’A’ᵢ₌₅(1; 1; 2; 2; 0)                 (8)’ ⇒ (9)  & (4)’ 
 SeqYA’A’ᵢ₌₅=(1; 1; 2; 2; 0) + SeqY’ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 0; 4)                  (9)  & (4)’ = (9)’
SeqA’B’ᵢ₌₅=(1; 1; 2; 2; 4)                 (9)’.

⁂⁂⁂

Nous commençons donc par écrire l’expression algébrique numérique de la première sous expression algébrique algorithmique (1₁)’ de la première des deux opérations de concaténation précédente, soit:

 SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⋆⊔ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)    (1) ↔ (1)’
(Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)) + (Seq(0)ᵢ₌₂=(0; 0) ⋆⊔ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4))   (1)’ ↔ (1₁)’ 
& (1₂)’ 
Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)=SeqA’ᵢ₌₅=(1; 2; 0; 0; 0)     (1₁)’ ⇒ (2) 

⁂⁂⁂

Nous continuons maintenant en écrivant l’expression algébrique numérique de la première sous expression algébrique algorithmique (2₁)’ de la deuxième des deux opérations de concaténation précédente, soit:

SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)      (2) ↔ (2)’ 
(Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)) + (Seq(0)ᵢ₌₂=(0; 0) ⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4))     (2)’ ↔ (2₁)’ &(2₂)’
 Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)=SeqA’ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 1; 2)         (2₁)’ ⇒ (3)

Nous nous apercevons immédiatement que l’indexe de position des éléments est indispensable  afin de reconnaitre celui sur lequel l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion va être appliquée. Pour cela nous appliquons à notre séquence notée SeqAᵢ₌₂=(1; 2), l’opération ensembliste séquentielle caractéristique d’indexations élémentaires correspondant à la fonction caractéristique du même nom et définie comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n  
  • 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n 
L’expression de cette fonction caractéristique d’indexations élémentaires des éléments yᵢ de valeurs nuls et non nuls de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)=((⌈|nᵢ/(p+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(p+1)⌉+1) – (⌈|nᵢ /(a+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(a+1)⌉+1))        (3), avec la variable a dont la valeur correspondant à la quantité d’éléments à valeur nulle avant la valeur de la variable p=a+1 et de valeur égale à la valeur d’indexe n de l’élément de l’ensemble séquentiel choisi, c’est-à-dire n=p=a+1.
Si nous appliquons maintenant l’expression (3) aux valeurs de chaque élément appartenant à  SeqAᵢ₌₂=(1; 2), et notamment si nous prenons la valeur d’indexe égale à 1 correspondante à l’opération de concaténation insertion sur le premier élément de SeqAᵢ₌₂=(1; 2), alors l’expression de l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire s’écrit en choisissant la valeur de n=1 c’est-à-dire a=0 et p=a+1=1, de la façon suivante:
SeqIA’ᵢ₌₂=(((⌈|1/(1+1)-1|⌉ – ⌈1/(1+1)⌉+1) – (⌈|1/(0+1)-1|⌉-⌈1/(0+1)⌉+1)); ( (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1) – (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1)))        (3)’ ↔ (3) »
SeqIA’ᵢ₌₂=(((⌈|1/2-1|⌉ – ⌈1/2⌉+1) – (⌈|1/1-1|⌉-⌈1/1⌉+1) ); ((⌈ |2/2-1|⌉ – ⌈2/2⌉+1) – (⌈|2/1-1|⌉ – ⌈2/1⌉+1)))           (3) » ↔ (3) »’.

Nous obtenons ainsi la représentation ensembliste séquentielle de l’expression (3) » de l’opération ensembliste séquentielle caractéristique d’indexations, et correspondantes à la nouvelle séquence notée SeqIA’ᵢ₌₂=(1; 0)   (3) »’.    
Ensuite avant d’effectuer la première étape de l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion soit, l’expression (2₁)’, notée Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)
=SeqA’ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 1; 2) nous remarquons que nous ne pouvons pas concaténer le chiffre de 0 avant  un autre chiffre non nul et que nous devons alors modifier notre concaténation en transformant l’expression (2₁)’ notée Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2) en une autre expression équivalente et concaténable cette fois-ci, car sans le chiffre 0 à concaténer devant un autre chiffre ou nombre non nul, et cette expression (4) est notée SeqYXXᵢ₌₁=(100) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2), en rappelant qu’elle correspond à une première opération de concaténation, notée pour deux nombres concaténés formant qw, q ∈ N* et w ∈ N: q∣∣w, dont l’expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 (qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10), et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w, et que nous écrivons maintenant comme suit:
Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)     (2₁)’ ↔ (4)
SeqYXXᵢ₌₁=(100) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)    (4) ⇒ (5)
SeqIA’ᵢ₌₁₅=(1; 0) * SeqYXXAᵢ₌₂=(100∣∣1; 100∣∣2)       (5) ↔ (5′)

SeqYXXIA’Aᵢ₌₂=(1*100∣∣1; 0*100∣∣2)          (5′) ↔ (5 »)

SeqYXXIA’Aᵢ₌₂=(100*10^(⌊log(1)⌋ +1)+1; 0)     (5 ») = (5 »’)

SeqYXXIA’Aᵢ₌₂=(1001; 0)    (5 »’) ⇒ (6)

SeqYXXIA’Aᵢ₌₂=(1001; 0) + SeqAᵢ₌₂=(1; 2)      (6) ↔ (6)’

SeqAA’ᵢ₌₂=(1002; 2)        (6)’

⁂

Ensuite nous effectuons la deuxième étape de l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion soit, l’expression  (2₁)’  notée Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2), remplacée par l’expression (4) SeqYXXᵢ₌₁=(100) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2) en rappelant encore qu’elle correspond à une deuxième opération de « déconcaténation » des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres qui est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc q⫲w ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation droite des deux nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:

  • q⫲w=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
  • w⫲q= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1. 

Donc pour passer à la deuxième étape en reprenant la dernière expression (4 »’) de notre première étape écrite précédemment, nous écrivons maintenant comme suit:

SeqAA’ᵢ₌₂=(1002; 2)                (6)’ ⇒ (7)


Pour pouvoir effectuer l’opération de déconcaténation sur la valeur 1002 du premier élément de SeqAA’ᵢ₌₂=(1002; 2), il nous faut annuler la propriété de distributivité de l’opération externe de concaténation insertion sur tous les éléments d’un ensemble déconcaténé, pour ne retenir seulement que les éléments que nous concaténons puis déconcaténons et non pas tous les éléments de l’ensemble, et donc il ne nous reste plus qu’ à annuler la valeur de 2 du deuxième élément de SeqAA’ᵢ₌₂=(1002; 2), en utilisant encore l’opération ensembliste séquentielle de l’expression de l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire caractéristique qui est définie comme suit:
1A: SeqEᵢ₌ₙ₊∞ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(yᵢ)=1, si INDEX(yᵢ)=n  
  • 1A(yᵢ)=0, si INDEX(yᵢ)≠n 
L’expression de cette fonction caractéristique d’indexations élémentaires des éléments yᵢ de valeurs nuls et non nuls de SeqEᵢ₌ₙ₊∞ notée 1A(yᵢ) est définie comme suit:
∀ yᵢ ∈ SeqAᵢ₌ₙ₊∞=(yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁; yᵢ₌ₙ₊₂; yᵢ₌ₙ₊₃; yᵢ₌ₙ₊₄; yᵢ₌ₙ₊₅; yᵢ₌ₙ₊₆; yᵢ₌ₙ₊₇…yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁;….yᵢ₌ₙ₊∞) ⊆ R; ∀ yᵢ ∈ R alors yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 ˄ yᵢ ∈ SeqEᵢ₌ₙ₊∞  ↔ SeqEᵢ₌ₙ₊∞=({yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊∞] | yᵢ=0 ˅ yᵢ≠0 }); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₙ₊∞=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁;…Nᵢ₌ₙ₊∞ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*:
1A(yᵢ)= ( (⌈|nᵢ/(p+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(p+1)⌉+1) – (⌈|nᵢ /(a+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(a+1)⌉+1) )      (7), avec a la valeur correspondante à la quantité d’éléments à valeur nulle avant la valeur de p=a+1 correspondante à la valeur d’indexe n de l’élément de l’ensemble séquentiel choisi, c’est-à-dire n=p=a+1. 
Alors l’expression de l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire s’écrit en choisissant la valeur de n=1 c’est-à-dire a=0 et p=a+1=1, de la façon suivante:
SeqIA’ᵢ₌₂=(((⌈|1/(1+1)-1|⌉ – ⌈1/(1+1)⌉+1) – (⌈|1/(0+1)-1|⌉-⌈1/(0+1)⌉+1)); ( (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1) – (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1)))        (7)’ ↔ (7) »
SeqIA’ᵢ₌₂=(((⌈|1/2-1|⌉ – ⌈1/2⌉+1) – (⌈|1/1-1|⌉-⌈1/1⌉+1) ); ((⌈ |2/2-1|⌉ – ⌈2/2⌉+1) – (⌈|2/1-1|⌉ – ⌈2/1⌉+1)))           (7) »↔ (7) »’

Nous obtenons ainsi la représentation ensembliste séquentielle de l’expression (3) » de l’opération ensembliste séquentielle caractéristique d’indexations, et correspondantes à la nouvelle séquence notée SeqIA’ᵢ₌₂=(1; 0)             (7) »’⇒ (8) 

SeqIA’ᵢ₌₂=(1; 0) *  SeqAᵢ₌₂=(100⫳1002; 2⫳∅)       (8) ↔  (8)’

 SeqAᵢ₌₂=(1*(100⫳1002); 0*(2⫳∅))                             (8)’↔  (8) »

 SeqAᵢ₌₂=(100⫳1002; 0)                                               (8) »⇒ (9)

Nous remarquons que si nous multiplions par SeqIA’ᵢ₌₁₅=(1; 0) dans l’expression (8) c’est parce que la déconcaténation de 2⫳∅ correspond comme toute opération de déconcaténation aux deux valeurs déconcaténées que sont 2 et ∅, et donc que nous multiplions par la valeur de 0 pour annuler cette opération de déconcaténation ce que signifie notre opération de déconcaténation entre parenthèses multipliée par la valeur de 0 qui vaut donc 0*2⫳0*∅ ↔ 0⫳0=0, puisque 0*∅=0 et que la déconcaténation de deux nombres égaux à 0 est 0, puisque comme l’opération de concaténation ou aucun nombre commençant par 0 ne peut être concaténé avec un autre nombre, aucun nombre commençant par 0 ne peut être déconcaténé d’un autre nombre et de surcroit un nombre égal à 0 sans qu’il ne résulte de l’opération de déconcaténation la valeur de 0. 
SeqAᵢ₌₃=(⌊1002/10^l(2)⌋; 1002-⌊1002/10^l(2)⌋*10^(l(1002))-l(100)); 0)                (9) ↔  (9) »

SeqAᵢ₌₃=(⌊1001/10^(⌊log(2)⌋+1)⌋; 1001-⌊1001/10^(⌊log(2)⌋+1)⌋*10^(⌊log(1)⌋+1-(⌊log(100)⌋+1)); 0)      (9) » ↔  (9) »’

SeqAᵢ₌₃=(100; 1; 0)          (9) »’ ⇒ (10)

SeqAᵢ₌₃=(10⫳100; 1⫳∅; 0⫳∅)        (10)  ⇒ (11)

l’expression de l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire s’écrit en choisissant la valeur de n=1 c’est-à-dire a=0 et p=a+1=1, de la façon suivante:
SeqIA’ᵢ₌₃=( ((⌈|1/(1+1)-1|⌉ – ⌈1/(1+1)⌉+1) – (⌈|1/(0+1)-1|⌉-⌈1/(0+1)⌉+1)); ( (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1) – (⌈|2/(0+1)-1|⌉ -⌈2/(0+1)⌉+1)); ((⌈|3/(1+1)-1|⌉ – ⌈3/(1+1)⌉+1) – (⌈|3/(0+1)-1|⌉-⌈3/(0+1)⌉+1)) )        (11) ↔ (11)’
SeqIA’ᵢ₌₃=(((⌈|1/2-1|⌉ – ⌈1/2⌉+1) – (⌈|1/1-1|⌉-⌈1/1⌉+1) ); ((⌈ |2/2-1|⌉ – ⌈2/2⌉+1) – (⌈|2/1-1|⌉ – ⌈2/1⌉+1)); ((⌈ |3/2-1|⌉ – ⌈3/2⌉+1) – (⌈|3/1-1|⌉ – ⌈3/1⌉+1))    )           (11)’↔ (11) »

Nous obtenons ainsi la représentation ensembliste séquentielle de l’expression (11) » de l’opération ensembliste séquentielle caractéristique d’indexations, et correspondantes à la nouvelle séquence notée SeqIA’ᵢ₌₃=(1; 0; 0)             (11) »⇒(10) & (12) 

SeqIA’ᵢ₌₃=(1; 0; 0) * SeqAᵢ₌₃=(10⫳100; 1⫳∅; 0⫳∅)        (10) & (12)  ↔  (12)’

SeqIA’ᵢ₌₃=(1; 0; 0) * SeqAᵢ₌₃=( 1*(10⫳100); 0*(1⫳∅); 0*(0⫳∅) )    (12)’ ↔  (12) »

SeqAᵢ₌₄=( ⌊100/10^l(0+1)⌋; 100-⌊100/10^l(0+1)⌋*10^(l(100)-l(10)); 0; 0)             (12) » ↔  (12) »’

SeqAᵢ₌₄=(⌊100/10^(⌊log(1)⌋+1)⌋; 100-⌊100/10^(⌊log(1)⌋+1)⌋*10^(⌊log(100)⌋+1-(⌊log(10)⌋+1)); 0; 0)  (12) »= (12) »’

SeqAᵢ₌₄=(10; 0; 0; 0)                (12) »’⇒ (13)

SeqAᵢ₌₄=(1⫳0; 0⫳0; 0⫳0; 0⫳0)              (13) ⇒(14)


l’expression de l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire s’écrit en choisissant la valeur de n=1 c’est-à-dire a=0 et p=a+1=1, de la façon suivante:
SeqIA’ᵢ₌₄=( ((⌈|1/(1+1)-1|⌉ – ⌈1/(1+1)⌉+1) – (⌈|1/(0+1)-1|⌉-⌈1/(0+1)⌉+1)); ( (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1) – (⌈|2/(0+1)-1|⌉ -⌈2/(0+1)⌉+1)); ((⌈|3/(1+1)-1|⌉ – ⌈3/(1+1)⌉+1) – (⌈|3/(0+1)-1|⌉-⌈3/(0+1)⌉+1)) ; ((⌈|3/(1+1)-1|⌉ – ⌈3/(1+1)⌉+1) – (⌈|3/(0+1)-1|⌉-⌈3/(0+1)⌉+1)); ((⌈|4/(1+1)-1|⌉ – ⌈4/(1+1)⌉+1) – (⌈|4/(0+1)-1|⌉-⌈4/(0+1)⌉+1))  )        (14) ↔ (14)’
SeqIA’ᵢ₌₄=(((⌈|1/2-1|⌉ – ⌈1/2⌉+1) – (⌈|1/1-1|⌉-⌈1/1⌉+1) ); ((⌈ |2/2-1|⌉ – ⌈2/2⌉+1) – (⌈|2/1-1|⌉ – ⌈2/1⌉+1)); ((⌈ |3/2-1|⌉ – ⌈3/2⌉+1) – (⌈|3/1-1|⌉ – ⌈3/1⌉+1)); ((⌈ |4/2-1|⌉ – ⌈4/2⌉+1) – (⌈|4/1-1|⌉ – ⌈4/1⌉+1)))           (14)’↔ (14) »

Nous obtenons ainsi la représentation ensembliste séquentielle de l’expression (14) » de l’opération ensembliste séquentielle caractéristique d’indexations, et correspondantes à la nouvelle séquence notée SeqIA’ᵢ₌₄=(1; 0; 0; 0)             (14) » ⇒ (15) & (16) 


SeqIA’ᵢ₌₄=(1; 0; 0; 0) * SeqAᵢ₌₄=(1⫳0; 0⫳0; 0⫳0; 0⫳0)   (15) ↔ (15)‘

SeqAIA’ᵢ₌₄=(1; 0; 0; 0)=(1*(1⫳0); 0*(0⫳0); 0*(0⫳0); 0*(0⫳0))     (15)‘ ⇒(16) 
SeqAᵢ₌₄=(1⫳0; 0; 0; 0)        (16) ↔  (16)‘
SeqAᵢ₌₅=(⌊10/10^l(0+1)⌋; 10-⌊10/10^l(0+1)⌋*10^(l(10)-l(1)); 0; 0; 0)                (16)’ ↔  (16) »

SeqAᵢ₌₅=(⌊10/10^(⌊log(0+1)⌋+1)⌋; 10-⌊10/10^(⌊log(0+1)⌋+1)⌋*10^(⌊log(10)⌋+1-(⌊log(1)⌋+1)); 0; 0; 0)    (16) »=(16) »’
SeqAᵢ₌₅=(1; 0; 0; 0; 0)         (16) »’ ⇒ (17)
Puisque nous devons maintenant annuler la valeur 1 du premier élément de SeqAᵢ₌₅=(1; 0; 0; 0; 0) nous appliquons à ce dernier ensemble séquentiel l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire caractéristique inverse que nous écrivons en choisissant la valeur de n=1, de la façon suivante :
SeqI’A’ᵢ₌₅=( 1- ((⌈|1/(1+1)-1|⌉ – ⌈1/(1+1)⌉+1) – (⌈|1/(0+1)-1|⌉-⌈1/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1) – (⌈|2/(0+1)-1|⌉ – ⌈2/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|3/(1+1)-1|⌉ – ⌈3/(1+1)⌉+1) – (⌈|3/(0+1)-1|⌉- ⌈3/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|4/(1+1)-1|⌉ – ⌈4/(1+1)⌉+1) – (⌈|4/(0+1)-1|⌉ – ⌈4/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|5/(1+1)-1|⌉ – ⌈5/(1+1)⌉+1) – (⌈|5/(0+1)-1|⌉ – ⌈5/(0+1)⌉+1) ))                 (17) ↔ (17)’
SeqI’A’ᵢ₌₅=( 1- ((⌈|1/2-1|⌉ – ⌈1/2⌉+1) – (⌈|1/1-1|⌉-⌈1/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|2/2-1|⌉ – ⌈2/2⌉+1) – (⌈|2/1-1|⌉ – ⌈2/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|3/2-1|⌉ – ⌈3/2⌉+1) – (⌈|3/1-1|⌉- ⌈3/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|4/2-1|⌉ – ⌈4/2⌉+1) – (⌈|4/1-1|⌉ – ⌈4/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|5/2-1|⌉ – ⌈5/2⌉+1) – (⌈|5/1-1|⌉ – ⌈5/1⌉+1) )  )                    (17)’↔ (17) »

SeqI’A’ᵢ₌₅=(0; 1; 1; 1; 1)            (17) » ⇒ (18)

SeqAᵢ₌₅=(1; 0; 0; 0; 0)*SeqI’A’ᵢ₌₅=(0; 1; 1; 1; 1)    (18) = (18)’

SeqA’ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 0; 0)       (18)’ ⇒  (2₁)’  ≢  (4) 

SeqYXXᵢ₌₁=(100) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)     (4) ⇒ (6)’ 

 SeqAA’ᵢ₌₂=(1002; 2)  (6)’ 
Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)     (2₁)’ 

Or nous savons que (16) ≡ (2₁)’, mais seulement parce que nous l’avons écrit algébriquement algorithmiquement et donc notre raisonnement algébrique numérique sur les ensembles séquentiels considérant que pour pouvoir effectuer l’opération ensembliste séquentielle de déconcaténation sur la valeur du premier élément de SeqAA’ᵢ₌₂=(1002; 2)  (6)’ , il nous faut annuler la propriété de distributivité de l’opération externe de concaténation insertion sur tous les éléments d’un ensemble déconcaténé, pour ne retenir seulement que les éléments que nous concaténons puis déconcaténons et non pas tous les éléments de l’ensemble, est faux, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de propriété de distributivité de l’opération externe de concaténation insertion sur tous les éléments d’un ensemble déconcaténé et donc que cette propriété ensembliste séquentielle existe seulement pour les ensembles séquentiels d’éléments à valeurs dans {0;1} ce que nous démontrerons ultérieurement. En attendant nous considérons que pour les ensembles séquentiels dont les valeurs des éléments ne sont pas toutes strictement dans {0;1}, l’opération ensembliste séquentielle de déconcaténation de même que celle de concaténation ne sont pas des opérations sur tous les éléments d’un ensemble séquentiel et donc ne sont pas des opérations ayant une propriété de distributivité sur tous les éléments et nous reprenons notre raisonnement précédent à l’étape du début pour refléter cette nouvelle considération comme suit: 
Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)     (2₁)’ ↔ (4)
SeqYXXᵢ₌₁=(100) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)    (4) ⇒ (5)
 SeqYXXAᵢ₌₂=(100∣∣1; 2)       (5) ↔ (5)’
SeqYXXIA’Aᵢ₌₂=(100*10^(⌊log(1)⌋ +1)+1; 2)     (5)’ = (5) »

SeqYXXIA’Aᵢ₌₂=(1001; 2)    (5) » ⇒ (6)

Ensuite nous effectuons la deuxième étape de l’opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion soit, l’expression  (2₁)’  notée Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2), remplacée par l’expression (4) SeqYXXᵢ₌₁=(100) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2) en rappelant encore qu’elle correspond à une deuxième opération de « déconcaténation » des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres qui est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc q⫲w ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation droite des deux nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:

  • q⫲w=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.  
  • w⫲q= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.  

Donc pour passer à la deuxième étape en reprenant la dernière expression (5 ») de notre première étape écrite précédemment, nous écrivons maintenant comme suit:

SeqAA’ᵢ₌₂=(1001; 2)                (6)’ ⇒ (7)





 SeqAA’ᵢ₌₂=(100⫳1001; 2)       (7) ↔  (7)’

 SeqAAA’ᵢ₌₃=(⌊1001/10^l(1)⌋; 1001-⌊1001/10^l(1)⌋*10^(l(1001)-l(100)); 2)                (7)’ ↔  (7) »

SeqAAA’ᵢ₌₃=(⌊1001/10^(⌊log(1)⌋+1)⌋; 1001-⌊1001/10^(⌊log(1)⌋+1)⌋*10^(⌊log(1001)⌋+1-⌊log(100)⌋+1); 2)      (7) » ↔  (7) »’

SeqAAA’ᵢᵢ₌₃=(100; 1; 2)          (7) »’ ⇒ (8)






SeqAAA’ᵢᵢ₌₃=(10⫳0; 1; 2)        (10) ↔  (10)’





SeqAAAA’ᵢ₌₄=( ⌊100/10^l(1)⌋; 100-⌊100/10^l(1)⌋*10^l(1); 1;2)             (10)’ ↔  (10) »

SeqAᵢ₌₄=(⌊100/10^(⌊log(1)⌋+1)⌋; 100-⌊100/10^(⌊log(1)⌋+1)⌋*10^(⌊log(1)⌋+1); 1; 2)  (10) »= (10) »’

SeqAᵢ₌₄=(10; 0; 1; 2)                (10) »’⇒ (11)






SeqAᵢ₌₄=(1⫳0; 0; 1; 2)              (11) ↔ (11)‘

SeqAᵢ₌₅=(⌊10/10^l(1)⌋; 10-⌊10/10^l(1)⌋*10^l(1); 0; 1; 2)                (11)’ ↔  (11) »

SeqAᵢ₌₅=(⌊10/10^(⌊log(1)⌋+1)⌋; 10-⌊10/10^(⌊log(1)⌋+1)⌋*10^(⌊log(1)⌋+1); 0; 1; 2)        (11) »=(11) »’
SeqAᵢ₌₅=(1; 0; 0; 1; 2)              (11) »’ ⇒ (11₁) &  (11) »’ ↔ (4) 

SeqYXXᵢ₌₁=(100) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)     (4) 

Puisque nous devons maintenant annuler la valeur 1 du premier élément de SeqAᵢ₌₅=(1; 0; 0; 1; 2) alors nous appliquons à ce dernier ensemble séquentiel l’opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire caractéristique inverse que nous écrivons en choisissant la valeur de n=1, dans l’expression de l’opération ensembliste séquentielle caractéristique inverse 1-1A(yᵢ)=1-((⌈|nᵢ/(p+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(p+1)⌉+1) – (⌈|nᵢ /(a+1)-1|⌉ – ⌈nᵢ /(a+1)⌉+1))     (11₁), avec la variable a dont la valeur correspondant à la quantité d’éléments à valeur nulle avant la valeur de la variable p=a+1 et de valeur égale à la valeur d’indexe n de l’élément de l’ensemble séquentiel choisi, c’est-à-dire n=p=a+1. Donc pour n=1, c’est-à-dire a=0 et p=a+1=1, nous écrivons cette expression de la façon suivante:
SeqI’A’ᵢ₌₅=( 1- ((⌈|1/(1+1)-1|⌉ – ⌈1/(1+1)⌉+1) – (⌈|1/(0+1)-1|⌉-⌈1/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|2/(1+1)-1|⌉ – ⌈2/(1+1)⌉+1) – (⌈|2/(0+1)-1|⌉ – ⌈2/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|3/(1+1)-1|⌉ – ⌈3/(1+1)⌉+1) – (⌈|3/(0+1)-1|⌉- ⌈3/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|4/(1+1)-1|⌉ – ⌈4/(1+1)⌉+1) – (⌈|4/(0+1)-1|⌉ – ⌈4/(0+1)⌉+1) ); 1- ( (⌈|5/(1+1)-1|⌉ – ⌈5/(1+1)⌉+1) – (⌈|5/(0+1)-1|⌉ – ⌈5/(0+1)⌉+1) ))                 (11₁)’ ↔ (11₁) »
SeqI’A’ᵢ₌₅=( 1- ((⌈|1/2-1|⌉ – ⌈1/2⌉+1) – (⌈|1/1-1|⌉-⌈1/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|2/2-1|⌉ – ⌈2/2⌉+1) – (⌈|2/1-1|⌉ – ⌈2/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|3/2-1|⌉ – ⌈3/2⌉+1) – (⌈|3/1-1|⌉- ⌈3/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|4/2-1|⌉ – ⌈4/2⌉+1) – (⌈|4/1-1|⌉ – ⌈4/1⌉+1) ); 1- ( (⌈|5/2-1|⌉ – ⌈5/2⌉+1) – (⌈|5/1-1|⌉ – ⌈5/1⌉+1) )  )                    (11₁) »↔ (11₁) »‘

SeqI’A’ᵢ₌₅=(0; 1; 1; 1; 1)            (11₁) »’ ⇒ (12)’

SeqI’A’ᵢ₌₅=(0; 1; 1; 1; 1) *SeqAᵢ₌₅=(1; 0; 0; 1; 2)       (12) = (12)’

SeqAᵢ₌₅=(0*1; 1*0; 1*0; 1*1; 1*2)       (12)’  ↔  (12) »  

SeqAᵢ₌₅=(0; 0; 0; 1; 2)       (12) »↔  (2₁)’ 
Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)     (2₁)’ 

⁂⁂⁂

Nous continuons maintenant en écrivant l’expression algébrique numérique de la deuxième sous expression algébrique algorithmique (2₂)’ de la deuxième des deux opérations de concaténation précédente, soit:
SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)      (2) ↔ (2)’ 
(Seq(0)ᵢ₌₃=(0; 0; 0) ⋆⊔ SeqAᵢ₌₂=(1; 2)) + (Seq(0)ᵢ₌₂=(0; 0) ⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4))     (2)’ ↔ (2₁)’ &(2₂)’
Seq(0)ᵢ₌₂=(0; 0) ⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)                 (2₂)’ ⇒ (3)

⁂⁂⁂

Finalement si nous considérons la troisième opération ensembliste séquentielle de concaténation insertion redistribution, notée A ⋆⊔⋆ B, alors nous pouvons écrire son expression comme suit:
 SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ⋆⊔⋆ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)                           (0) ↔ (3)
SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) – (SeqAᵢ₌₁=(0) ⊔⋆ SeqAᵢ₌₂=(1; 2))           (3) ↔ (3)’
SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) – SeqXᵢ₌₃=(1; 2: 0)           (3)’=(3) »
SeqYᵢ₌₃=(0; 0; 4)             (3 ») ⇒ (4)

Seq({0})ᵢ₌₂=(0; 0) ⋆⊔ SeqYᵢ₌₃=(0; 0; 4)         (4) ↔ (4)’

SeqY’ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 0; 4)         (4)’ ⇒ (5)

SeqAᵢ₌₂=(1; 2) ∩ SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)       (5) ↔ (5)‘

Seq(A∩B)ᵢ₌₂ =(1; 2)        (5)‘⇒ (6)
Seq(1)ᵢ₌₁=(1) ⋆ ⊔ Seq(A ∩ B)ᵢ₌₂=(1; 2)            (6) ↔ (6)’

SeqAA’ᵢ₌₃=(1; 1; 2)          (6)’ ⇒ (7)

Seq({2})ᵢ₌₁ =(2) ⊔ ⋆ SeqAᵢ₌₃=(1; 1; 2)         (7) ↔ (7)’

SeqA’A’ᵢ₌₄=(1; 1; 2; 2)          (7)’ ⇒ (8) 

Seq({0})ᵢ₌₁=(0) ⊔⋆ SeqA’A’ᵢ₌₄=(1; 1; 2; 2)                (8) ↔ (8)’
SeqYA’A’ᵢ₌₅(1; 1; 2; 2; 0)                 (8)’ ⇒ (9)  & (4)’ 
 SeqYA’A’ᵢ₌₅=(1; 1; 2; 2; 0) + SeqY’ᵢ₌₅=(0; 0; 0; 0; 4)                  (9)  & (4)’ = (9)’
SeqA’B’ᵢ₌₅=(1; 1; 2; 2; 4)                 (9)’.

⁂

2.2) Les expressions algébriques numériques des opérations ensemblistes séquentielles de concaténation récurrente et non récurrente en série, de concaténation semi interne ou encore concaténation de la partie décimale 

⁂

Rappelons ici quelques-uns des éléments précédents concernant tout d’abord l’opération ensembliste de concaténation des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres est définie comme l’opération opposée à celle de la déconcaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres concaténés formant qw, q ∈ N* et w ∈ N: q∣∣w, dont l’expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 (qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10), et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w. 
Puis rappelons aussi que l’opération ensembliste séquentielle de déconcaténation des éléments d’un ensemble séquentiel d’une suite de nombres est définie comme l’opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc q⫲w ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, alors l’expression de l’opération de déconcaténation droite des deux nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:

  • q⫲w=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w.
  • w⫲q= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.  

 Ensuite, rappelons que l’opération ensembliste séquentielle caractéristique est définie par exemple comme suit: 
Soit Seq(B)ᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) résultant dans l’ensemble séquentiel noté Seq(B »)ᵢ₌₁₀=(0.5; 0.9; 10; 19; 0.1; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), des terminaisons de Seq(B)ᵢ₌₁₅, alors SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 1; 1; 0; 1) est la représentation  ensembliste séquentielle de la l’opération de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) appliquée à l’ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {1 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1; 0 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0; et SeqB »ᵢ₌₁₅=(1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 0), est la représentation ensembliste séquentielle de l’opération de la fonction caractéristique 1A(xᵢ) appliquée à l’ensemble séquentiel SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) définie telle que χB( xᵢ ∈ SeqBᵢ₌₁₅): {0 if ⌊xᵢ⌋ >1 →1A(xᵢ)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=0; 1 if ⌊xᵢ⌋=0 →1A(x)=1-⌈|⌊xᵢ⌋|/(|⌊xᵢ⌋|+1)⌉=1. Mais il existe d’autres expressions de l’opération ensembliste caractéristique qui diffère selon le type d’attribut que l’on souhaite segmenter parmi les éléments de la suite de nombres, c’est à dire par exemple l’attribut du signe, de la parité, etc.
Enfin pour définir plus précisément par une expression algébrique les opérations de concaténation et de déconcaténation, nous écrivons en nous servant de l’exemple précédent que les éléments de la représentation de SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1) correspondante à la représentation de la caractéristique des terminaisons segmentales dernières des éléments décimaux et non décimaux de SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) sont de deux types, soit, la terminaison dernière nulle caractérisée par la valeur de -1, et la terminaison segmentale dernière non nulle caractérisée par la valeur de 1. Et nous devons alors écrire encore la représentation de ces deux types en transformant SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1) de la manière suivante, en finissant par celle des terminaisons segmentales dernières non nulles:
SeqB »ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)          (9) »⇒ (10)

SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)*SeqB »ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)                    (10) = (10)’

Seq(BB’)ᵢ₌₁₅=(0*0; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 0*0; 0*0; 1*1; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 1*1; -1*-1; 1*1)     (10)’= (10) »

SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1)            (10) » ⇒ (b₁)

SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1) + SeqB »ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)               (b₁) ↔ (b₂)

SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 2)        (b₂) ⇒ (b₃)

SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 2) * SeqYᵢ₌₁₅=(1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2)     (b₃) ↔ (b₃)’

SeqYᵢ₌₁₅=(0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 2*1/2; 0* 1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 2*1/2; 0*1/2; 2*1/2)      (b₃) ↔ (b₃)

SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1)               (b₃)’⇒ (b₄)
SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1) * SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15)                                  (b₄) ↔ (b₄)’

SeqBᵢ₌₁₅=(0.5*0; 0.7*0; 0.8*0; 0.9*0; 10*0; 12*0; 17*0; 19*1; 0.1*0; 0.2*0; 0.3*0; 11*0; 13*1; 0.4*0; 15*1)                                  (b₄)’

SeqBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15)                                  (b₄)’⇒(b₅) 

SeqBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15) + SeqYᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)                                     (b₅) ↔ (b₅)’

A ce stade de notre raisonnement, nous explicitons les expressions algébriques algorithmiques 
(b₅) par une expression algébrique numérique qui plus particulièrement explique plus précisément comment nous obtenons la représentation ensembliste séquentielle SeqYᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0), c’est-à-dire comme suit: 

SeqBᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15)      (b₅)’ ⇒ (b₆)

Seq(YBᵢ₌₁₅; (1·0·0·0.0·0·0·0; 19·0·0·0·0·0; 13·0))ᵢ₌₄=SeqYBᵢ₌₄=(1·0·0·0·0·0·0·0; 19·0·0·0·0; 13·0; 15)                            (b₆) ↔ (b₆)’ 
SeqYBᵢ₌₄=(10000000; 1900000; 130; 15)            (b₆)’ ⇒ (b₇)  
Ici encore à ce nouveau stade de notre raisonnement, nous explicitons les expressions algébriques algorithmiques (b₆), (b₆)’ et (b₇) plus précisément par des expressions algébriques numériques comme suit, sachant que pour deux nombres concaténés formant qw, q ∈ N* et w ∈ N: q∣∣w, dont l’expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 (qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10), et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w et que nous ne pouvons pas concaténer une concaténation de chiffres tous égaux à 0 avec un autre nombre différent de 0, seulement un seul 0 à la fois avec un nombre non nul qui peut se terminer par plusieurs 0 et donc écrire l’opération de concaténation d’une suite de nombre notée 1·0·0·0.0·0·0·0  dans l’expression (b₆), ne peut que correspondre à une relation de récurrence similaire à la relation de récurrence de sommation sérielle récurrente, donc la concaténation d’une suite de nombres correspondant à une relation de récurrence soit la concaténation sérielle récurrente; mais aussi sachant que l’opération de concaténation n’est pas réductrice d’espace à l’opposé de l’opération ensembliste séquentielle de déconcaténation créatrice d’espace doublé, car occupé par deux éléments dont les valeurs ont été déconcaténées et donc qu’il nous faut avant même d’effectuer l’opération de concaténation reprendre (b₅) tel que cette expression fut explicitée précédemment et procéder à une nouvelle opération ensembliste séquentielle d’indexation élémentaire, définir l’opération de réduction de l’espace ensembliste séquentiel qui est l’opération de concaténation sérielle récurrente, après que les expressions obtenues par leur sommation sérielle récurrente soient définies comme une suite de nombres, avec l’opérateur représenté par le symbole sigma correspondant soit à une relation de récurrence sur la somme d’une suite de nombres et qui est en général notée:
∑(n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i])=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …), où i représente l’indice de l’étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d’un nouvel élément dans l’ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées; a(nᵢ₌ₙ) est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, n=1 est la limite inférieure de sommation, et n=∞ est la limite supérieure de sommation.
Soit à la somme totale des éléments que sont les nombres de la série et qui n’est donc plus une suite de nombre à indice de sommation, mais plus simplement la somme totale de tous les éléments à indice ou i est l’indexe des éléments indexés sur N* d’un ensemble E dont le cardinal n(E)=Card(E)=x que nous connaissons comme correspondant à l’expression a(n) , notée:
 ∑ (n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)…a(nᵢ₌ₓ)). 
Plus particulièrement nous définissons les deux types d’opérations ensemblistes séquentielles de sommations comme suit: 
∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ a(nₙ)=nₙ ∈ N ∧ a(nₙ₌₁)=nₙ₌₁ ∈ N*, la lettre a dans la notation a(nₙ)=nₙ signifiant une fonction a sur N avec a(nₙ)=nₙ ∈ SeqNᵢ :
Index(SeqAᵢ₌₁({xₙ₌₆})=IND(xₙ₌₆)=6     (α) ↔ (α)’
∑ (n=1→ n=6: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆))   (α)’ ↔ (α) »
∑ (n=1→ n=6: [a(nᵢ₌ₙ)] )=(1+1+1+1+1+1)=6      (α) »
∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)i] )=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+
a(nᵢ₊₂)+a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+a(nᵢ₊₂)+a(nᵢ₊₃)+a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+a(nᵢ₊₂)+a(nᵢ₊₃)+a(nᵢ₊₄)
+a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁)+a(nᵢ₊₁)+a(nᵢ₊₂)+a(nᵢ₊₃)+a(nᵢ₊₄)+a(nᵢ₊₅)+a(nᵢ₊₆))          (β) ↔ (β)’
∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)i] )=( 1; 1+1; 1+1+1; 1+1+1+1; 1+1+1+1+1; 1+1+1+1+1+1)        (β)’ ↔ (β) »
∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)i])=( 1; 2; 3; 4; 5; 6)      (β) »

Nous constatons que (α) » ≠ (β) », c’est-à-dire ∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)]) ≠ ∑ (n=1→n=6: [a(nᵢ₌ₙ)i])       (3) et donc que l’opération de la somme totale, correspondante à la sommation sérielle non récurrente n’est pas équivalente à l’opération de sommation sérielle récurrente. 
Donc si nous reprenons l’exemple précédent de SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15), alors nous pouvons définir les opérations ensemblistes séquentielles de sommations comme suit:
∑(n=1→n=15: [(SeqBᵢ₌₁₅)])=(0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3+11+13+0.4+15) =100,9         (γ).
∑ (n=1→n=∞: [(SeqBᵢ₌₁₅)i])=(0.5; 0.5+0.7; 0.5+0.7+0.8; 0.5+0.7+0.8+ 0.9; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10+12; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10+12+17; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10+12+
17+19; 0.5+0.7+0.8+ 0.9+10+12+17+19+0.1;0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2; 
0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3; 0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2
+0.3+11;0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3+11+13;0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3+11+13+0.4; 0.5+0.7+0.8+0.9+10+12+17+19+0.1+0.2+0.3+11+13+0.4+15)       (δ) ↔ (δ)’
SeqΣBᵢ₌₁₅=(0,5; 1,2; 2; 2,9; 12,9; 24,9; 41,9; 60,9; 61; 61,2; 61,5; 72,5; 85,5; 85,9; 100,9)      (δ)’. 
Nous constatons encore que  (γ) ≠ (δ) et donc que l’opération de la somme totale correspondante à la sommation sérielle non récurrente n’est pas équivalente à l’opération de sommation sérielle récurrente.

Maintenant nous devons écrire l’expression de l’opération que j’ai appelée l’opération de concaténation d’une suite de nombre notée 1·0·0·0.0·0·0·0 dans l’expression (b₆), ne peut que correspondre à une relation de récurrence similaire à la relation de récurrence de la sommation sérielle récurrente, donc la concaténation d’une suite de nombres correspondante à une relation de récurrence et donc la concaténation sérielle récurrente, ou encore que j’appelle une concaténation sigma qui est défini comme les opérations de sommation, appelées sommes sigma du nom de la notation mathématique utilisant un symbole qui représente la somme d’une suite de termes le symbole de sommation, Σ, une forme élargie de la lettre grecque sigma capitale, et qui est le symbole de l’addition d’une séquence de nombres dont le résultat est leur somme totale que j’ai notée ∑ n=1→n=x: [a(nᵢ₌ₙ)]=(a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) +a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆)

…a(nᵢ₌ₓ)); ou qui est leur somme récurrente que j’ai notée, ∑ n=1→n=∞: [a(nᵢ₌ₙ)i]=(a(nᵢ₌₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁) + a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅); a(nᵢ₌₁) + a(nᵢ₊₁)+ a(nᵢ₊₂) + a(nᵢ₊₃) + a(nᵢ₊₄) + a(nᵢ₊₅) + a(nᵢ₊₆) …). 
Donc, sachant que pour deux nombres concaténés formant qw, q ∈ R* et w ∈ R: q∣∣w, dont l’expression de la fonction de concaténation de deux nombres q et w, est q∣∣w=q*10^l(w) + w, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 (qui est l’expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10), et si w=0 alors q∣∣w=q*10^(⌊log(w+1)⌋+1)+w, mais si w ou q<1, alors nous ne pouvons pas concaténer q et w parce qu'il sont décimaux, de même que nous ne pouvons pas concaténer plusieurs chiffres tous égaux à 0 avec un autre nombre différent de 0, seulement un seul 0 à la fois avec un nombre non nul qui peut se terminer par plusieurs, alors l'opération de la concaténation totale, correspondante à la concaténation sérielle non récurrente est définie et notée comme suit:
∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇… rₙ₌∞) ⊆ R ↔ SeqRₙ₌∞=({r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices ₙ, ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1});  ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ SeqRₙ ⊆ R*, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(rₙ)=rₙ signifiant une fonction a sur R avec a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R:
｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|…|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|)                  (1) ↔ (1)’ &  (1) ⇒ (2)
L’opération ensembliste séquentielle rendant tout chiffre de la partie décimale d’un nombre une partie entière jointe à la partie entière précédente cette transformation, c’est-à-dire l’opération de concaténation interne des chiffres de la partie entière et de la partie décimale d’un même nombre et que je note CONCATENTDEC, est une nouvelle opération nécessaire pour concaténer des chiffres d’une partie décimale puisque l’expression  de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, l(w)=⌊log(w)⌋+1, pour mesurer la quantité de chiffres de tout nombre ne nous permet pas de mesurer la quantité de chiffres de la partie décimale seulement ceux de la partie entière d’un nombre, il nous faut donc réécrire le nombre a(rₙ) ∈ SeqRₙ afin d’éliminer du nombre a(rₙ) soit l’éventuelle partie entière égale à 0 et convertir la partie décimale en partie entière (remarquons que nous excluons pour l’instant de notre expression de l’opération CONCATENTDEC le deuxième cas de la valeur de l’éventuelle partie entière du nombre a(rₙ) qui n’est pas égale à 0 et qui comprend simultanément une partie décimale, car c’est un deuxième cas que nous développerons spécialement au chapitre suivant 26: 16’A VII, afin ici dans ce chapitre de se limiter au premier cas des valeurs ayant une partie décimale n’ont simultanément qu’une partie entière égale à 0, parce que ces valeurs limitées intentionnellement sont celles des éléments de notre exemple dont toutes les valeurs sont: SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15)), afin de de convertir simplement la partie décimale en partie entière, deux opérations donc que j’écris en une seule expression de l’opération ensembliste séquentielle que je crée dans ce but et que je note CONCATENTDEC et que je définis comme suit:

Soit dec(a(rₙ))=rₙ ∨ dec(a(rₙ))=0  ∧ ∀ a(rₙ))=rₙ ∈ SeqRₙ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇… rₙ₌∞) ⊆ R ↔ SeqRₙ₌∞=({r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices ₙ, ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(rₙ)=rₙ signifiant une fonction a sur R avec a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R; ∀ x ∈ N* la valeur de la quantité maximale de chiffres de la partie décimale de qw:

CONCATENTDEC(n=1→n=x: [(a(rₙ))] ) = ∑( n=1→n=x: [(1-⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^0*|a(rₙ)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^0*a(rₙ)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ)|  + ( ( ⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^x*|a(rₙ)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^n*a(rₙ)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ)| ] )                     (2) ↔ (2)’

CONCATENTDEC(n=1→ n=x: [(qw)])=∑(n=1→ n=x: [( (1-⌈|qw-trunc(qw; 0)|/(|qw-trunc(qw; 0)|+1)⌉)*(10^0)*|qw| + (1A(qw-trunc(qw; n-1)) – 1A(qw-trunc(qw; n)))*(10^n)*qw )] )      (2)’↔ (2) » 

CONCATENTDEC(n=1 → n=x: [(qw)])=∑(n=1→ n=x: [( (1-⌈|qw-⌊10^0*qw⌋/10^0|/(|qw-⌊10^0*qw⌋/10^0|+1)⌉)*(10^0)*qw + (⌈ ( | |qw|-⌊10^(n-1)*|qw|⌋/10^(n-1)|)/(| |qw|-⌊10^(n-1)*qw⌋ /10^(n-1)|+1)⌉) – (⌈ ( | |qw|-⌊10^n*|qw|⌋/10^n|)/(| |qw|-⌊10^n*qw⌋ /10^n|+1)⌉) *(10^n)*qw )] )             (2) »

La représentation séquentielle de l’expression (2) ↔ (2)’ ↔ (2) » est celle que j’écris comme suit:

Seq(CONCATENTDEC(n=1→n=x: [ (a(rₙ))]))=( (1-⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^0*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^0*a(rₙ₌₁)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ₌₁)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^0*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^0*a(rₙ₌₁)⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^1*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^1*a(rₙ₌₁)⌋ /10^1|+1)⌉ ) ) * (10^1)*|a(rₙ₌₁)|  + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^1*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^1*a(rₙ₌₁)⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^2*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^2*a(rₙ₌₁)⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|a(rₙ₌₁)|  + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^2*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^2*a(rₙ₌₁)⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^3*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^3*a(rₙ₌₁)⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|a(rₙ₌₁)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^3*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^3*a(rₙ₌₁)⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^4*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^4|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^4*a(rₙ₌₁)⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|a(rₙ₌₁)|  + …….( ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ₌₁)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^n*|a(rₙ₌₁)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ₌₁)|-⌊10^n*a(rₙ₌₁)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ₌₁)| ;  
(1-⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^0*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^0*a(rₙ₌₂)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ₌₂)|  +  ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^0*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^0*a(rₙ₌₂)⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^1*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^1*a(rₙ₌₂)⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|a(rₙ₌₂)|  + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^1*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^1*a(rₙ₌₂)⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^2*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^2*a(rₙ₌₂)⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|a(rₙ₌₂)|  + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^2*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^2*a(rₙ₌₂)⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*a(rₙ₌₂)⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|a(rₙ₌₂)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*a(rₙ₌₂)⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^4*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^4|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^4*a(rₙ₌₂)⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|a(rₙ₌₂)|  + ….( ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ₌₂)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^n*|a(rₙ₌₂)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^n*a(rₙ₌₂)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ₌₂)| ; 
….;  (1-⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^0*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^0*a(rₙ₌∞)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ₌∞)|  +  ( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^0*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^0*a(rₙ₌∞)⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^1*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^1*a(rₙ₌∞)⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|a(rₙ₌∞)|  + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^1*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^1|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^1*a(rₙ₌∞)⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^2*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^2*a(rₙ₌∞)⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|a(rₙ₌∞)|  + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^2*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^2|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^2*a(rₙ₌∞)⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^3*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^3*a(rₙ₌∞)⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|a(rₙ₌∞)| + ( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^3*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^3*a(rₙ₌∞)⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^4*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^4|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^4*a(rₙ₌∞)⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|a(rₙ₌∞)|  + ….( ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ₌∞)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^n*|a(rₙ₌∞)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ₌∞)|-⌊10^n*a(rₙ₌∞)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ₌∞)| )       (2)’

⁂

Pour illustrer (2) et son développement (2)’, prenons l’exemple de la représentation séquentielle ensembliste des nombres que nous voulons concaténer, soit SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), alors nous observons que la quantité maximale de chiffres après la virgule donc de la partie décimale de l’ensemble de tous les nombres appartenant à SeqVᵢ₌₁₅ est 4, donc nous n’avons pas besoin de calculer éventuellement dans notre expression de de l’expression (2) et son développement (2)’ la valeur de variable x plus grande que 4 pour éventuellement obtenir le résultat de l’expression (2) et son développement (2)’ et donc nous écrivons (2)’ de la façon suivante:
∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇… rₙ₌∞) ⊆ R ↔ SeqRₙ₌∞=({r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices ₙ, ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1});  ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(rₙ)=rₙ signifiant une fonction a sur R avec a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R; n=x=4:

CONCATENTDEC(n=0→n=x: [(a(rₙ))]=∑( n=0→n=x: [(1-⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^0*|a(rₙ)|⌋/10^0|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^0*a(rₙ)⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|a(rₙ)|  + ( ( ⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^(n-1)*|a(rₙ)|⌋/10^(n-1)|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^(n-1)*a(rₙ)⌋ /10^(n-1)|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |a(rₙ)|-⌊10^n*|a(rₙ)|⌋/10^n|)/(| |a(rₙ)|-⌊10^x*a(rₙ)⌋ /10^n|+1)⌉ ) )*(10^n)*|a(rₙ)| ] )      (2) ↔ (2)’, la représentation séquentielle de l’expression (2) que j’écris comme suit:

Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)])) = ( (1-⌈(| |0,5125|-⌊10^0*|0,5125|⌋/10^0|)/(| |0,5125|-⌊10^0*0,5125⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,5125|  +  ( ( ⌈(| |0,5125)|-⌊10^0*|0,5125|⌋/10^0|)/(| |0,5125|-⌊10^0*0,5125⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^1*|0,5125|⌋/10^1|)/(| |0,5125|-⌊10^1*0,5125⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,5125|  + ( ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^1*|0,5125|⌋/10^1|)/(| |0,5125|-⌊10^1*0,5125⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125|⌋/10^2|)/(| |0,5125|-⌊10^2*0,5125⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,5125|  + ( ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125|⌋/10^2|)/(| |0,5125|-⌊10^2*0,5125⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^3*|0,5125|⌋/10^3|)/(| |0,5125|-⌊10^3*0,5125⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125-⌊10^3*|0,5125|⌋/10^3|)/(| |0,5125|-⌊10^3*0,5125⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^4*|0,5125|⌋/10^4|)/(| |0,5125|-⌊10^4*0,5125⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,5125|   ;  (1-⌈(| |0,7|-⌊10^0*|0,7|⌋/10^0|)/(| |0,7|-⌊10^0*0,7⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,7|  +  ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^0*|0,7|⌋/10^0|)/(| |0,7|-⌊10^0*0,7⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,7|-⌊10^1*|0,7|⌋/10^1|)/(| |0,7|-⌊10^1*0,7⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,7|  + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^1*|0,7|⌋/10^1|)/(| |0,7|-⌊10^1*0,7⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,7|-⌊10^2*|0,7|⌋/10^2|)/(| |0,7|-⌊10^2*0,7⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,7|  + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^2*|0,7|⌋/10^2|)/(| |0,7|-⌊10^2*0,7⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,7|-⌊10^3*|0,7|⌋/10^3|)/(| |a(rₙ₌₂)|-⌊10^3*0,7⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^3*|0,7|⌋/10^3|)/(| |0,7|-⌊10^3*0,7⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,7|-⌊10^4*|0,7|⌋/10^4|)/(| |0,7|-⌊10^4*0,7⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,7| ;  ………..; (1-⌈(| |15|-⌊10^0*|15|⌋/10^0|)/(| |15|-⌊10^0*15⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|15|  +  ( ( ⌈(| |15|-⌊10^0*|15|⌋/10^0|)/(| |15|-⌊10^0*15⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |15-⌊10^1*|15|⌋/10^1|)/(| |15|-⌊10^1*15⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|15|  + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^1*|15|⌋/10^1|)/(| |15|-⌊10^1*15⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |15|-⌊10^2*|15|⌋/10^2|)/(| |15|-⌊10^2*15⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|15|  + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^2*|15|⌋/10^2|)/(| |15|-⌊10^2*15⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |15|-⌊10^3*|15|⌋/10^3|)/(| |15|-⌊10^3*15⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^3*|15|⌋/10^3|)/(| |15|-⌊10^3*15⌋ /10^3|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |15|-⌊10^4*|15|⌋/10^4|)/(| |15|-⌊10^4*15⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|15| )    (2)’ dont la représentation est notée SeqVRᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15). Nous détaillons notre expression (2)’  ↔ (2ₙ₌₁→ₙ₌₁₅) » ↔ (2 ») de la façon suivante:
CONCATENTDEC(0,5125)=(1-⌈(| |0,5125|-⌊10^0*|0,5125|⌋/10^0|)/(| |0,5125|-⌊10^0*0,5125⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,5125|  +  ( ( ⌈(| |0,5125)|-⌊10^0*|0,5125|⌋/10^0|)/(| |0,5125|-⌊10^0*0,5125⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^1*|0,5125|⌋/10^1|)/(| |0,5125|-⌊10^1*0,5125⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,5125|  + ( ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^1*|0,5125|⌋/10^1|)/(| |0,5125|-⌊10^1*0,5125⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125|⌋/10^2|)/(| |0,5125|-⌊10^2*0,5125⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,5125|  + ( ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125|⌋/10^2|)/(| |0,5125|-⌊10^2*|0,5125| ⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^3*|0,5125|⌋/10^3|)/(| |0,5125|-⌊10^3*0,5125⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,5125| + ( ( ⌈(| |0,5125-⌊10^3*|0,5125|⌋/10^3|)/(| |0,5125|-⌊10^3*0,5125⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,5125|-⌊10^4*|0,5125|⌋/10^4|)/(| |0,5125|-⌊10^4*0,5125⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,5125|=525          (2ₙ₌₁) »
CONCATENTDEC(0,7)=(1-⌈(| |0,7|-⌊10^0*|0,7|⌋/10^0|)/(| |0,7|-⌊10^0*0,7⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,7|  +  ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^0*|0,7|⌋/10^0|)/(| |0,7|-⌊10^0*0,7⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,7|-⌊10^1*|0,7|⌋/10^1|)/(| |0,7|-⌊10^1*0,7⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,7|  + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^1*|0,7|⌋/10^1|)/(| |0,7|-⌊10^1*0,7⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,7|-⌊10^2*|0,7|⌋/10^2|)/(| |0,7|-⌊10^2*0,7⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,7|  + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^2*|0,7|⌋/10^2|)/(| |0,7|-⌊10^2*0,7⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,7|-⌊10^3*|0,7|⌋/10^3|)/(| |0,7|-⌊10^3*0,7⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,7| + ( ( ⌈(| |0,7|-⌊10^3*|0,7|⌋/10^3|)/(| |0,7|-⌊10^3*0,7⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,7|-⌊10^4*|0,7|⌋/10^4|)/(| |0,7|-⌊10^4*0,7⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,7|=7               (2ₙ₌₂) »
CONCATENTDEC(0,8)=(1-⌈(| |0,8|-⌊10^0*|0,8|⌋/10^0|)/(| |0,8|-⌊10^0*0,8⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,8|  +  ( ( ⌈(| |0,8|-⌊10^0*|0,8|⌋/10^0|)/(| |0,8|-⌊10^0*0,8⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,8|-⌊10^1*|0,8|⌋/10^1|)/(| |0,8|-⌊10^1*0,8⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,8|  + ( ( ⌈(| |0,8|-⌊10^1*|0,8|⌋/10^1|)/(| |0,8|-⌊10^1*0,8⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,8|-⌊10^2*|0,8|⌋/10^2|)/(| |0,8|-⌊10^2*0,8⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,8|  + ( ( ⌈(| |0,8|-⌊10^2*|0,8|⌋/10^2|)/(| |0,8|-⌊10^2*0,8⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,8|-⌊10^3*|0,8|⌋/10^3|)/(| |0,8|-⌊10^3*0,8⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,8| + ( ( ⌈(| |0,8|-⌊10^3*|0,8|⌋/10^3|)/(| |0,8|-⌊10^3*0,8⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,8|-⌊10^4*|0,8|⌋/10^4|)/(| |0,8|-⌊10^4*0,8⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,8|=8               (2ₙ₌₃) »

CONCATENTDEC(0,9)=(1-⌈(| |0,9|-⌊10^0*|0,9|⌋/10^0|)/(| |0,9|-⌊10^0*0,9⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,9|  +  ( ( ⌈(| |0,9|-⌊10^0*|0,9|⌋/10^0|)/(| |0,9|-⌊10^0*0,9⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,9|-⌊10^1*|0,9|⌋/10^1|)/(| |0,9|-⌊10^1*0,9⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,9|  + ( ( ⌈(| |0,9|-⌊10^1*|0,9|⌋/10^1|)/(| |0,9|-⌊10^1*0,9⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,9|-⌊10^2*|0,9|⌋/10^2|)/(| |0,9|-⌊10^2*0,9⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,9|  + ( ( ⌈(| |0,9|-⌊10^2*|0,9|⌋/10^2|)/(| |0,9|-⌊10^2*0,9⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,9|-⌊10^3*|0,9|⌋/10^3|)/(| |0,9|-⌊10^3*0,9⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,9| + ( ( ⌈(| |0,9|-⌊10^3*|0,9|⌋/10^3|)/(| |0,9|-⌊10^3*0,9⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,9|-⌊10^4*|0,9|⌋/10^4|)/(| |0,9|-⌊10^4*0,9⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,9|=9               (2ₙ₌₄) »
CONCATENTDEC(0,1)=(1-⌈(| |0,1|-⌊10^0*|0,1|⌋/10^0|)/(| |0,1|-⌊10^0*0,1⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^0*|0,1|⌋/10^0|)/(| |0,1|-⌊10^0*0,1⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,1|-⌊10^1*|0,1|⌋/10^1|)/(| |0,1|-⌊10^1*0,1⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,1|  + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^1*|0,1|⌋/10^1|)/(| |0,1|-⌊10^1*0,1⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,1|-⌊10^2*|0,1|⌋/10^2|)/(| |0,1|-⌊10^2*0,1⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,1|  + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^2*|0,1|⌋/10^2|)/(| |0,1|-⌊10^2*0,1⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,1|-⌊10^3*|0,1|⌋/10^3|)/(| |0,1|-⌊10^3*0,1⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^3*|0,1|⌋/10^3|)/(| |0,1|-⌊10^3*0,1⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,1|-⌊10^4*|0,1|⌋/10^4|)/(| |0,1|-⌊10^4*0,1⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,1| =1              (2ₙ₌₅) »

CONCATENTDEC(0,12)=(1-⌈(| |0,12|-⌊10^0*|0,12|⌋/10^0|)/(| |0,12|-⌊10^0*0,12⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,12| + ( ( ⌈(| |0,12|-⌊10^0*|0,12|⌋/10^0|)/(| |0,12|-⌊10^0*0,12⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,12|-⌊10^1*|0,12|⌋/10^1|)/(| |0,12|-⌊10^1*0,12⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,12|  + ( ( ⌈(| |0,12|-⌊10^1*|0,12|⌋/10^1|)/(| |0,12|-⌊10^1*0,12⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,12|-⌊10^2*|0,12|⌋/10^2|)/(| |0,12|-⌊10^2*0,12⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,12|  + ( ( ⌈(| |0,12|-⌊10^2*|0,12|⌋/10^2|)/(| |0,12|-⌊10^2*0,12⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,12|-⌊10^3*|0,12|⌋/10^3|)/(| |0,12|-⌊10^3*0,12⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,12| + ( ( ⌈(| |0,12|-⌊10^3*|0,12|⌋/10^3|)/(| |0,12|-⌊10^3*0,12⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,12|-⌊10^4*|0,12|⌋/10^4|)/(| |0,12|-⌊10^4*0,12⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,12| =12              (2ₙ₌₆) »
CONCATENTDEC(0,17)=(1-⌈(| |0,17|-⌊10^0*|0,17|⌋/10^0|)/(| |0,17|-⌊10^0*0,17⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,17| + ( ( ⌈(| |0,17|-⌊10^0*|0,17|⌋/10^0|)/(| |0,17|-⌊10^0*0,17⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,17|-⌊10^1*|0,17|⌋/10^1|)/(| |0,17|-⌊10^1*0,17⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,17|  + ( ( ⌈(| |0,17|-⌊10^1*|0,17|⌋/10^1|)/(| |0,17|-⌊10^1*0,17⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,17|-⌊10^2*|0,17|⌋/10^2|)/(| |0,17|-⌊10^2*0,17⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,17|  + ( ( ⌈(| |0,17|-⌊10^2*|0,17|⌋/10^2|)/(| |0,17|-⌊10^2*0,17⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,17|-⌊10^3*|0,17|⌋/10^3|)/(| |0,17|-⌊10^3*0,17⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,17| + ( ( ⌈(| |0,17|-⌊10^3*|0,17|⌋/10^3|)/(| |0,17|-⌊10^3*0,17⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,17|-⌊10^4*|0,17|⌋/10^4|)/(| |0,17|-⌊10^4*0,17⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,17| =17              (2ₙ₌₇) »

CONCATENTDEC(0,19)=(1-⌈(| |0,19|-⌊10^0*|0,19|⌋/10^0|)/(| |0,19|-⌊10^0*0,19⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,19| + ( ( ⌈(| |0,19|-⌊10^0*|0,19|⌋/10^0|)/(| |0,19|-⌊10^0*0,19⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,19|-⌊10^1*|0,19|⌋/10^1|)/(| |0,19|-⌊10^1*0,19⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,19|  + ( ( ⌈(| |0,19|-⌊10^1*|0,19|⌋/10^1|)/(| |0,19|-⌊10^1*0,19⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,19|-⌊10^2*|0,19|⌋/10^2|)/(| |0,19|-⌊10^2*0,19⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,19|  + ( ( ⌈(| |0,19|-⌊10^2*|0,19|⌋/10^2|)/(| |0,19|-⌊10^2*0,19⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,19|-⌊10^3*|0,19|⌋/10^3|)/(| |0,19|-⌊10^3*0,19⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,19| + ( ( ⌈(| |0,19|-⌊10^3*|0,19|⌋/10^3|)/(| |0,19|-⌊10^3*0,19⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,19|-⌊10^4*|0,19|⌋/10^4|)/(| |0,19|-⌊10^4*0,19⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,19| =19              (2ₙ₌₈) »
CONCATENTDEC(0,1)=(1-⌈(| |0,1|-⌊10^0*|0,1|⌋/10^0|)/(| |0,1|-⌊10^0*0,1⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^0*|0,1|⌋/10^0|)/(| |0,1|-⌊10^0*0,1⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,1|-⌊10^1*|0,1|⌋/10^1|)/(| |0,1|-⌊10^1*0,1⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,1|  + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^1*|0,1|⌋/10^1|)/(| |0,1|-⌊10^1*0,1⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,1|-⌊10^2*|0,1|⌋/10^2|)/(| |0,1|-⌊10^2*0,1⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,1|  + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^2*|0,1|⌋/10^2|)/(| |0,1|-⌊10^2*0,1⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,1|-⌊10^3*|0,1|⌋/10^3|)/(| |0,1|-⌊10^3*0,1⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,1| + ( ( ⌈(| |0,1|-⌊10^3*|0,1|⌋/10^3|)/(| |0,1|-⌊10^3*0,1⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,1|-⌊10^4*|0,1|⌋/10^4|)/(| |0,1|-⌊10^4*0,1⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,1| =1              (2ₙ₌₉) » ↔ (2ₙ₌₅) »
CONCATENTDEC(0,2)=(1-⌈(| |0,2|-⌊10^0*|0,2|⌋/10^0|)/(| |0,2|-⌊10^0*0,2⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,2| + ( ( ⌈(| |0,2|-⌊10^0*|0,2|⌋/10^0|)/(| |0,2|-⌊10^0*0,2⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,2|-⌊10^1*|0,2|⌋/10^1|)/(| |0,2|-⌊10^1*0,2⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,2|  + ( ( ⌈(| |0,2|-⌊10^1*|0,2|⌋/10^1|)/(| |0,2|-⌊10^1*0,2⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,2|-⌊10^2*|0,2|⌋/10^2|)/(| |0,2|-⌊10^2*0,2⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,2|  + ( ( ⌈(| |0,2|-⌊10^2*|0,2|⌋/10^2|)/(| |0,2|-⌊10^2*0,2⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,2|-⌊10^3*|0,2|⌋/10^3|)/(| |0,2|-⌊10^3*0,2⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,2| + ( ( ⌈(| |0,2|-⌊10^3*|0,2|⌋/10^3|)/(| |0,2|-⌊10^3*0,2⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,2|-⌊10^4*|0,2|⌋/10^4|)/(| |0,2|-⌊10^4*0,2⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,2| =2            (2ₙ₌₁₀) »

CONCATENTDEC(0,3)=(1-⌈(| |0,3|-⌊10^0*|0,3|⌋/10^0|)/(| |0,3|-⌊10^0*0,3⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0,3| + ( ( ⌈(| |0,3|-⌊10^0*|0,3|⌋/10^0|)/(| |0,3|-⌊10^0*0,3⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,3|-⌊10^1*|0,3|⌋/10^1|)/(| |0,3|-⌊10^1*0,3⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0,3|  + ( ( ⌈(| |0,3|-⌊10^1*|0,3|⌋/10^1|)/(| |0,3|-⌊10^1*0,3⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,3|-⌊10^2*|0,3|⌋/10^2|)/(| |0,3|-⌊10^2*0,3⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0,3|  + ( ( ⌈(| |0,3|-⌊10^2*|0,3|⌋/10^2|)/(| |0,3|-⌊10^2*0,3⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0,3|-⌊10^3*|0,3|⌋/10^3|)/(| |0,3|-⌊10^3*0,3⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0,3| + ( ( ⌈(| |0,3|-⌊10^3*|0,3|⌋/10^3|)/(| |0,3|-⌊10^3*0,3⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0,3|-⌊10^4*|0,3|⌋/10^4|)/(| |0,3|-⌊10^4*0,3⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0,3| =3            (2ₙ₌₁₁) »

CONCATENTDEC(11)=(1-⌈(| |11|-⌊10^0*|11|⌋/10^0|)/(| |11|-⌊10^0*11⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|11| + ( ( ⌈(| |11|-⌊10^0*|11|⌋/10^0|)/(| |11|-⌊10^0*11⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |11|-⌊10^1*|11|⌋/10^1|)/(| |11|-⌊10^1*11⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|11|  + ( ( ⌈(| |11|-⌊10^1*|11|⌋/10^1|)/(| |11|-⌊10^1*11⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |11|-⌊10^2*|11|⌋/10^2|)/(| |11|-⌊10^2*11⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|11|  + ( ( ⌈(| |11|-⌊10^2*|11|⌋/10^2|)/(| |11|-⌊10^2*11⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |11|-⌊10^3*|11|⌋/10^3|)/(| |11|-⌊10^3*11⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|11| + ( ( ⌈(| |11|-⌊10^3*|11|⌋/10^3|)/(| |11|-⌊10^3*11⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |11|-⌊10^4*|11|⌋/10^4|)/(| |11|-⌊10^4*11⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|11| =11            (2ₙ₌₁₂) »
CONCATENTDEC(13)=(1-⌈(| |13|-⌊10^0*|13|⌋/10^0|)/(| |13|-⌊10^0*13⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|13| + ( ( ⌈(| |13|-⌊10^0*|13|⌋/10^0|)/(| |13|-⌊10^0*13⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |13|-⌊10^1*|13|⌋/10^1|)/(| |13|-⌊10^1*13⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|13|  + ( ( ⌈(| |13|-⌊10^1*|13|⌋/10^1|)/(| |13|-⌊10^1*13⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |13|-⌊10^2*|13|⌋/10^2|)/(| |13|-⌊10^2*13⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|13|  + ( ( ⌈(| |13|-⌊10^2*|13|⌋/10^2|)/(| |13|-⌊10^2*13⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |13|-⌊10^3*|13|⌋/10^3|)/(| |13|-⌊10^3*13⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|13| + ( ( ⌈(| |13|-⌊10^3*|13|⌋/10^3|)/(| |13|-⌊10^3*13⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |13|-⌊10^4*|13|⌋/10^4|)/(| |13|-⌊10^4*13⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|13| =13            (2ₙ₌₁₃) »
CONCATENTDEC(0.4)=(1-⌈(| |0.4|-⌊10^0*|0.4|⌋/10^0|)/(| |0.4|-⌊10^0*0.4⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|0.4| + ( ( ⌈(| |0.4|-⌊10^0*|0.4|⌋/10^0|)/(| |0.4|-⌊10^0*0.4⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0.4|-⌊10^1*|0.4|⌋/10^1|)/(| |0.4|-⌊10^1*0.4⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|0.4|  + ( ( ⌈(| |0.4|-⌊10^1*|0.4|⌋/10^1|)/(| |0.4|-⌊10^1*0.4⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0.4|-⌊10^2*|0.4|⌋/10^2|)/(| |0.4|-⌊10^2*0.4⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|0.4|  + ( ( ⌈(| |0.4|-⌊10^2*|0.4|⌋/10^2|)/(| |0.4|-⌊10^2*0.4⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |0.4|-⌊10^3*|0.4|⌋/10^3|)/(| |0.4|-⌊10^3*0.4⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|0.4| + ( ( ⌈(| |0.4|-⌊10^3*|0.4|⌋/10^3|)/(| |0.4-⌊10^3*0.4⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |0.4|-⌊10^4*|0.4|⌋/10^4|)/(| |0.4|-⌊10^4*0.4⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|0.4| =4            (2ₙ₌₁₄) »

CONCATENTDEC(15)=(1-⌈(| |15|-⌊10^0*|15|⌋/10^0|)/(| |15|-⌊10^0*15⌋ /10^0|+1)⌉)*(10^0)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^0*|15|⌋/10^0|)/(| |15|-⌊10^0*15⌋ /10^0|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |15|-⌊10^1*|15|⌋/10^1|)/(| |15|-⌊10^1*15⌋ /10^1|+1)⌉ ) )*(10^1)*|15|  + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^1*|15|⌋/10^1|)/(| |15|-⌊10^1*15⌋ /10^1|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |15|-⌊10^2*|15|⌋/10^2|)/(| |15|-⌊10^2*15⌋ /10^2|+1)⌉ ) )*(10^2)*|15|  + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^2*|15|⌋/10^2|)/(| |15|-⌊10^2*15⌋ /10^2|+1)⌉ ) – ( ⌈(| |15|-⌊10^3*|15|⌋/10^3|)/(| |15|-⌊10^3*15⌋ /10^3|+1)⌉ ) )*(10^3)*|15| + ( ( ⌈(| |15|-⌊10^3*|15|⌋/10^3|)/(| |15-⌊10^3*15⌋ /10^3|+1)⌉ ) –  ( ⌈(| |15|-⌊10^4*|15|⌋/10^4|)/(| |15|-⌊10^4*15⌋ /10^4|+1)⌉ ) )*(10^4)*|15| =15           (2ₙ₌₁₅) »
Alors la représentation ensembliste correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l’application à ces éléments de l’opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1); 
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19); 
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3); 
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4); 
CONCATENTDEC(15))              (2 »)=(2 »’)
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV’ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15)            (2 »’)

⁂

Ensuite toujours avec notre exemple précédent Seq(CONCATENTDEC( n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)])ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15)       (2 »’), nous écrivons l’opération ensembliste séquentielle de la concaténation sérielle non récurrente des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), comme équivalente à cette même opération ensembliste séquentielle sur les éléments de SeqV’ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15), dont nous rappelons que la définition en général est comme suit:

｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|…|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|)     (1) ↔ (1)’. Nous insistons ici sur la nécessité de faire la différence entre les deux expressions de concaténation sérielle récurrente et non récurrente, car il semble que la concaténation sérielle non récurrente soit nécessairement aussi récurrente puisqu’elle requiert la même série de sous opérations récurrentes de concaténation de tout nombre avec le nombre précédent concaténé, mais il n’en est rien et c’est la tout l’intérêt de la notation ensembliste séquentielle qui nous permet comme les sommes sigma de différencier entre les éléments d’un ensemble qui sont le résultat de chacune des différentes sous opération récurrente successive intermédiaire et la représentation visuelle pratique d’une opération télescopique à laquelle correspond l’expression de concaténation sérielle non récurrente. Et ce d’autant plus que la notation des deux opérations rappelle cette différence premièrement par la représentation de la concaténation sérielle récurrente｜｜(n=1→n=∞: [a(rₙ)i]) qui à pour dernière valeur l’infini,  n=∞, différemment à la notation de la concaténation sérielle non récurrente dont le dernier terme est n=x correspondant au cardinal de l’ensemble séquentiel ou valeur de l’indexe du dernier élément de l’ensemble séquentiel, une différence indiquant que dans les deux cas l’opération s’effectue sur tous les éléments de l’ensemble séquentiel, mais le symbole infini nous rappelant qu’il s’agit d’éléments d’un ensemble séquentiel qui sont successivement répétitivement 

transformés par l’opération de concaténation récurrente sérielle à l’infini tandis que l’absence de ce symbole de l’infini et le symbole x correspondants au cardinal de l’ensemble indiquent que la concaténation est totale sur tous les éléments de l’ensemble est que le résultat final n’est pas un nouvel ensemble avec autant d’éléments que précédemment et de nouvelles valeurs concaténées, mais un nombre concaténé. Remarquons encore que pour marquer cette différence entre les deux types d’opérations nous avons la présence et l’absence du symbole i qui représente l’indice de l’étape de sommation, sachant que i est augmenté d’une unité chaque fois que la valeur de la variable a(nᵢ₌ₙ) est additionnée pour donner la valeur d’un nouvel élément dans l’ensemble des éléments dont les valeurs sont successivement additionnées, car il indique aussi que chaque étape précédente est indicée pour un résultat qui subsiste concouraient au nouveau résultat suivant nouvellement indicé. D’ailleurs ces deux notations symboliquement différentes impliquent de répondre à la question de quelle est alors l’expression corresponde à ces opérations partielles, c’est à dire seulement pour les renommer plus distinctement, quelle sont les expressions de la concaténation non récurrente sérielle partielle et de la concaténation récurrente sérielle partielle ce que nous écrirons avec un exemple parmi ceux précédemment après que nous avons terminé d’illustrer l’expression (1)’ en reprenant notre exemple précédent de SeqV’ᵢ₌₁₅ et de la façon suivante:  

｜｜( n=1→n=15: [SeqV’ᵢ₌₁₅] ) = ( |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8| ∣∣ |9| ∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )                  (1)’ ↔ (1₁)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( ( |5125| *10^(⌊LOG(|( |7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7| )  ∣∣ |8| ∣∣ |9| ∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )   (1₁)’↔ (1₂)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) =  (   (( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| ) ∣∣ |9| ∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )               (1₂)’↔ (1₃)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| ) ∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )         (1₃)’↔ (1₄)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| ) ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )         (1₄)’↔ (1₅)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| ) ∣∣ |17| ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )         (1₅)’↔ (1₆)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )  ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )         (1₆)’↔ (1₇)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| ) ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )         (1₇)’↔ (1₈)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|( |7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7| )*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| ) ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )         (1₈)’↔ (1₉)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| ) ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )    (1₉)’↔ (1₁₀)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) =( ((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| ) ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )     (1₁₀)’↔ (1₁₁)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( (((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )    (1₁₁)’↔ (1₁₂)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| ) ∣∣ |4| ∣∣ |15| )    (1₁₂)’↔ (1₁₃)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| ) ∣∣ |15| )         (1₁₃)’↔ (1₁₄)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| )*10^(⌊LOG(|(|15| +1-⌈ |15| /(|15| +1)⌉)|)⌋ +1)+|15| )     (1₁₄)’↔(1₁₅)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] ) = ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| )*10^(⌊LOG(|(|15| +1-⌈ |15| /(|15| +1)⌉)|)⌋ +1)+|15|    (1₁₅)’↔(1₁₆)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)] )=512578911217191231113415         (1₁₆)’

⁂

Ainsi illustré précédemment est le fait que l’opération de concaténation sérielle successive non récurrente correspond à une concaténation totale sur tous les éléments d’un ensemble séquentiel et par conséquent retourne un seul élément qui est un nombre concaténé, tandis que l’opération de la concaténation successive correspondante à la concaténation sérielle récurrente résulte dans un ensemble séquentiel des éléments dont les valeurs sont des nombres concaténés et elle est donc définie et notée de la façon suivante:
∀ r=rₙ ∈ SeqRₙ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇… rₙ₌∞) ⊆ R* ↔ SeqRₙ₌∞=({r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ}) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*:  

｜｜(n=1→n=∞: [(a(rₙ))i])=(a(rₙ₌₁); |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)|; |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)|; |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)|; |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)|; |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)|; |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|…∣∣ |a(rₙ₊∞)|)                       (2) ↔ (2)’ 


⁂

Ensuite toujours avec notre exemple précédent nous écrivons l’opération ensembliste séquentielle de la concaténation sérielle non récurrente des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), comme équivalente à cette même opération ensembliste séquentielle sur les éléments de SeqV’ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15), dont l’expression générale est (2), et que nous appliquons maintenant à SeqV’ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15), comme suit:

  ｜｜( n=1→n=1∞: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)i] ) =( |5125|;  |5125| ∣∣ |7| ;  |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8| ;  |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9| ;   |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9| ∣∣ |1| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1|  ∣∣ |12|; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1|  ∣∣ |12| ∣∣ |17| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1|  ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1|  ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2| ;  |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 |; 

|5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 | ∣∣ |11| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 | ∣∣ |11|∣∣ |13| ; |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4|;  |5125| ∣∣ |7| ∣∣ |8|∣∣ |9|∣∣ |1| ∣∣ |12| ∣∣ |17| ∣∣ |19|∣∣ |1| ∣∣ |2|∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )        (2)’↔ (2) »
 ｜｜( n=1→n=∞: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)i] ) = ( |5125| ; |5125| *10^(⌊LOG(|( |7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|) ; ((|5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8|) ; ((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9|) ; (((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| ) ; 
(((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| ) ;  ((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| ) ; (((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| ) ;  ((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|( |7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7| )*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )  ; (((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| ) ;  ((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| ) ; (((((((((( |5125|*10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| )  ;  ((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| ))*10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| )*10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| ) ; ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| )*10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| ) ;   ((((((((((((( |5125| *10^(⌊LOG(|(|7| +1-⌈ |7| /(|7| +1)⌉)|)⌋ +1)+|7|)*10^(⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |8| /(|8| +1)⌉)|)⌋ +1)+|8| )) *10^( ⌊LOG(|(|8| +1-⌈ |9| /(|9| +1)⌉)|)⌋ +1)+|9| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|( |12| +1-⌈ |12| /(|12| +1)⌉)|)⌋ +1)+|12| )*10^(⌊LOG(|( |17| +1-⌈ |17| /(|17| +1)⌉)|)⌋ +1)+|17| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|1| +1-⌈ |1| /(|1| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|2| +1-⌈ |2| /(|2| +1)⌉)|)⌋ +1)+|2| )*10^(⌊LOG(|(|3| +1-⌈ |3| /(|3| +1)⌉)|)⌋ +1)+|3| )*10^(⌊LOG(|(|11| +1-⌈ |11| /(|11| +1)⌉)|)⌋ +1)+|11| )*10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|4| +1-⌈ |4| /(|4| +1)⌉)|)⌋ +1)+|4| )*10^(⌊LOG(|(|15| +1-⌈ |15| /(|15| +1)⌉)|)⌋ +1)+|15| )            (2) »↔ (2) »’
 ｜｜( n=1→n=∞: [(SeqV’ᵢ₌₁₅)i] ) =( 5125; 51257; 512578; 5125789; 51257891; 5125789112; 
512578911217; 51257891121719 ; 512578911217191; 5125789112171912; 
51257891121719123; 5125789112171912311; 512578911217191231113; 
5125789112171912311134; 512578911217191231113415 )           (2) »’

⁂

Après ces nouvelles définitions nécessaires des opérations de concaténation internes, nous pouvons revenir maintenant au deuxième stade de notre raisonnement où nous étions arrêtés pour que nous explicitions enfin plus précisément par des expressions algébriques numériques comme précédemment, les expressions algébriques algorithmiques (b₆), (b₆)’ et (b₇) sachant qu’il nous reste encore à expliciter quelles sont la définition et l’expression d’une opération séquentielle ensembliste de concaténation partielle puisque c’est évidement ce que sont les expressions algébriques algorithmiques (b₆), (b₆)’ et (b₇), soit pour définir plus précisément par une expression algébrique les opérations de concaténation et de déconcaténation, et donc nous réécrivons ce que nous avions écrit précédent que les éléments de la représentation de SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1) correspondante à la représentation de la caractéristique des terminaisons segmentales dernières des éléments décimaux et non décimaux de SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15) sont de deux types, soit, la terminaison dernière nulle caractérisée par la valeur de -1, et la terminaison segmentale dernière non nulle caractérisée par la valeur de 1. Et nous devons alors écrire encore la représentation de ces deux types en transformant SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1) de la manière suivante, en finissant par celle des terminaisons segmentales dernières non nulles:

SeqB »ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)          (9) »⇒ (10)
SeqB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)*SeqB »ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)                    (10) = (10)’
Seq(BB’)ᵢ₌₁₅=(0*0; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 0*0; 0*0; 1*1; 0*0; 0*0; -1*-1; 0*0; 1*1; -1*-1; 1*1)     (10)’= (10) »
SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1)            (10) » ⇒ (b₁)
SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1) + SeqB »ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; -1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; -1; 0; 1; -1; 1)               (b₁) ↔ (b₂)
SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 2)        (b₂) ⇒ (b₃)
SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 2; 0; 2) * SeqYᵢ₌₁₅=(1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2; 1/2)     (b₃) ↔ (b₃)’
SeqYᵢ₌₁₅=(0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 2*1/2; 0* 1/2; 0*1/2; 0*1/2; 0*1/2; 2*1/2; 0*1/2; 2*1/2)      (b₃) ↔ (b₃)
SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1)               (b₃)’⇒ (b₄)
SeqBB’ᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 1) * SeqBᵢ₌₁₅=(0.5; 0.7; 0.8; 0.9; 10; 12; 17; 19; 0.1; 0.2; 0.3; 11; 13; 0.4; 15)                                  (b₄) ↔ (b₄)’
SeqBᵢ₌₁₅=(0.5*0; 0.7*0; 0.8*0; 0.9*0; 10*0; 12*0; 17*0; 19*1; 0.1*0; 0.2*0; 0.3*0; 11*0; 13*1; 0.4*0; 15*1)                                  (b₄)’
SeqBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15)                                  (b₄)’⇒(b₅) 
SeqBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15) + SeqYᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)                                     (b₅) ↔ (b₅)’
A ce stade de notre raisonnement que nous avons réécrit, nous explicitons enfin les expressions algébriques algorithmiques (b₅) par une expression algébrique numérique qui plus particulièrement explique plus précisément comment nous obtenons la représentation ensembliste séquentielle SeqYᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0), que nous pouvons définir comme l’opération ensembliste séquentielle de caractéristiques de toute valeur d’index 1 correspondant à la position du premier élément a(rₙ)=qw de n’importe quel ensemble séquentiel SeqRₙ⊆ R, comme suit:
1A: SeqRₙ ⊆ R→{0,1}
  • 1A(a(rₙ)=qw)=1, si INDEX(a(rₙ)=qw)=1
  • 1A(a(rₙ)=qw)=0, si INDEX(a(rₙ)=qw)=0

L’expression de cette fonction caractéristique des éléments a(rₙ)=qw de n’importe quelle séquence de nombres dont la valeur d’indexe est 1 correspondante à leurs positions de premier élément de cette séquence qui est notée 1A(a(rₙ)=qw), est définie comme suit:

∀ a(rₙ)=r=qw ∈ SeqRₙ=(qwₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇… rₙ₌∞) ⊆ R ↔ SeqRₙ₌∞=({a(rₙ)=rₙ=qw ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ}) ; ∀ a(rₙ)=rₙ=qw ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁=qw₁ ∈ R; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}):  

1A(a(rₙ)=qw)=(⌈|n/(1+1)-1)⌉-⌈n/(1+1)⌉+1)-(⌈|n/(0+1)-1)⌉-⌈n/(0+1)⌉+1)              (ab)
La représentation ensembliste séquentielle de l’expression (ab) est, SeqYᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0), et c’est-à-dire qu’elle est aussi comme suit dans l’opération ensembliste séquentielle de notre exemple précédent:   
SeqBᵢ₌₁₅=(0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15) + SeqYᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)          (b₅) ↔ (b₅)’   
SeqBᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15)      (b₅)’ ⇒ (b₆)

Ensuite nous devons concaténer les éléments de SeqBᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15)      (b₅)’ pour obtenir l’expression (b₆) en utilisant l’opération de concaténation définie comme précédemment seulement par une expression algébrique, soit comme suit:
Seq(YBᵢ₌₁₅; (1·0·0·0.0·0·0·0; 19·0·0·0·0·0; 13·0))ᵢ₌₄=SeqYBᵢ₌₄=(1·0·0·0·0·0·0·0; 19·0·0·0·0; 13·0; 15)                            (b₆) ↔ (b₆)’ 
Puis nous réécrivons l’expression (b₆) pour obtenir l’expression (b₆)’ en opérant la concaténation sérielle non récurrente sur les éléments de l’ensemble séquentiel, SeqBᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15), qui est définie et notée comme suit:
∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇… rₙ₌∞) ⊆ R ↔ SeqRₙ₌∞=({r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}); et pour les indices ₙ, ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇… nᵢ₌∞) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌∞=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1});  ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ SeqRₙ ⊆ R*, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(rₙ)=rₙ signifiant une fonction a sur R avec a(rₙ)=rₙ ∈ SeqRₙ ⊆ R:
｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|…|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|)                  (1)
En prenant l’exemple de SeqBᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15)      (b₅)’, nous obtenons l’expression de concaténation sérielle non récurrente suivante:
｜｜( n=1→n=15: ([SeqYBᵢ₌₁₅])) =( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₌₂)| ∣∣ |a(rₙ₌₃)| ∣∣ |a(rₙ₌₄)| ∣∣ |a(rₙ₌₅)| ∣∣ |a(rₙ₌₆)|∣∣a(rₙ₌₇)| ∣∣ |a(rₙ₌₈)| ∣∣ |a(rₙ₌₉)| ∣∣ |a(rₙ₌₁₀)| ∣∣ |a(rₙ₌₁₁)|∣∣ |a(rₙ₌₁₂)| ∣∣ |a(rₙ₌₁₃)| ∣∣ |a(rₙ₌₁₄)| ∣∣ |a(rₙ₌₁₅)| )        (1) ↔  (1)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)]) =( |1| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣ ∣ ∣ 0 ∣ | ∣ ∣19| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )        (1) »↔ (1) »’

｜｜( n=1→n=15: ([SeqYBᵢ₌₁₅]) ) = ( |1| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |19| ∣∣ |0| ∣ ∣ |0| ∣∣ |0 | ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )                  (1)’ ↔ (1₁)’
｜｜( n=1→n=15: ([SeqYBᵢ₌₁₅])) = ( ( |1| *10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )  ∣∣ |0| ∣∣ |0 ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |19| ∣∣ |0| ∣ ∣ |0| ∣∣ |0 | ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )   (1₁)’↔ (1₂)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) =  (   (( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |19| ∣∣ |0| ∣ ∣ |0| ∣∣ |0 | ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )               (1₂)’↔ (1₃)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( ((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |19| ∣∣ |0| ∣ ∣ |0| ∣∣ |0 | ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )         (1₃)’↔ (1₄)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( (((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| ) ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |19| ∣∣ |0| ∣ ∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )         (1₄)’↔ (1₅)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( (((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1) + |0| ) ∣∣ |0| ∣∣ |19| ∣∣ |0 ∣ ∣ |0| ∣∣ |0 | ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )         (1₅)’↔ (1₆)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )  ∣∣ |19| ∣∣ |1| ∣ ∣ |2| ∣∣ |3 | ∣∣ |11| ∣∣ |13| ∣∣ |4| ∣∣ |15| )         (1₆)’↔ (1₇)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( (((((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| ) ∣∣ |0| ∣ ∣ |0| ∣∣ |0 | ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )         (1₇)’↔ (1₈)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((( |1| *10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) ∣ ∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )         (1₈)’↔ (1₉)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( (((((((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|1| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) ∣∣ |0 | ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )    (1₉)’↔ (1₁₀)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) =( ((((((((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) ∣∣ |0| ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )     (1₁₀)’↔ (1₁₁)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( (((((((((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) ∣∣ |13| ∣∣ |0| ∣∣ |15| )    (1₁₁)’↔ (1₁₂)’
｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((((((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0 +1-⌈ |0| /(|0 +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| ) ∣∣ |0| ∣∣ |15| )    (1₁₂)’↔ (1₁₃)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((((((((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) ∣∣ |15| )         (1₁₃)’↔ (1₁₄)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ( ((((((((((((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|15| +1-⌈ |15| /(|15| +1)⌉)|)⌋ +1)+|15| )       (1₁₄)’↔(1₁₅)’

｜｜( n=1→n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)] ) = ((((((((((((( |1| *10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0|)*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )) *10^( ⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0 /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|( |19| +1-⌈ |19| /(|19| +1)⌉)|)⌋ +1)+|19| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| ) *10^(⌊LOG(|(|13| +1-⌈ |13| /(|13| +1)⌉)|)⌋ +1)+|13| )*10^(⌊LOG(|(|0| +1-⌈ |0| /(|0| +1)⌉)|)⌋ +1)+|0| )*10^(⌊LOG(|(|15| +1-⌈ |15| /(|15| +1)⌉)|)⌋ +1)+|15|          (1₁₅)’↔(1₁₆)’
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)])=(10000000190000013015)         (16)’. Nous notons la représentation ensembliste de l’expression (1) », SeqYB’ᵢ₌₁=(10000000190000013015)  et nous effectuons ensuite sur cet ensemble séquentiel l’opération de déconcaténation des éléments de cet ensemble séquentiel qui est une suite de nombres, correspondant à une opération de déconcaténation sérielle non récurrente dont nous explicitons d’abord l’expression puis celle de l’opération de déconcaténation sérielle non récurrente dans la sous-section suivante.

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