Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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Ci-dessus mon illustration « d’artiste » (il manque les parenthèses délimitant le début et la fin de la séquence, ainsi que les séparateurs des éléments de la séquence, qui sied à la rigueur mathématique) de la représentation séquentielle de l’expression de quatre fonctions caractéristiques de « segmentannulations » de la fonction caractéristique représentée au-dessus d’elles.

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« Le terme de fonction venant du latin functio, functiones, signifiant « accomplissement », « remplir une charge » a été introduit par le mathématicien allemand LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716) en 1673 dans un manuscrit inédit « La Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions ».

« J’appelle fonctions toutes les portions des lignes droites qu’on fait en menant des droites indéfinies qui répondent au point fixe et aux points de la courbe; comme sont les abscisse, ordonnée, corde, tangente, perpendiculaire, sous-tangente …et une infinité d’autres d’une construction plus composée, qu’on ne peut figurer. »

Cette définition se retrouve dans des articles de 1692 et 1694 et est reprise par le mathématicien suisse BERNOULLI Johann francisé Jean (1667-1748) en 1697 et en 1718 propose la définition suivante :

« On appelle fonction d’une grandeur variable une quantité composée, de quelque manière que ce soit, de cette grandeur variable et de constante. »

Il propose la notation : Φx »

Le mathématicien suisse EULER Leonhard (Bâle 1707 – Saint-Pétersbourg 1783) propose une 3ème définition pour la notion de fonction.

« Une fonction est une expression analytique composé d’une manière quelconque de cette quantité variable et de nombres ou de quantités constantes. »

Dans Introductio in analysin infinitorum, Marcum-Michaelem Bousquet & socios, 1748.

Le mot analytique n’est pas précisé et pour EULER, une fonction est obtenue par une combinaison d’opérations et de modes de calculs connus de son époque et applicables aux nombres.

EULER fournit alors une classification des fonctions qu’il classe ainsi :

Fonctions Algébriques: Obtenues par opérations algébriques (au sens large).

Rationnelles : (4 opérations)

Irrationnelles (4 opérations + extraction des racines)

Fonctions transcendantes : trigonométriques, ln, exp, intégrales, puissances irrat.

Obtenues par des opérations répétées à l’infini.

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I) FONCTIONS
CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTANNULATIONS DE FONCTIONS
CARACTÉRISTIQUES D’ANNULATIONS SIMPLES

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Nous avons terminé le chapitre précédent en écrivant l’expression de la fonction caractéristique générale de sous segmentation qui correspond à « l’unarisation » de n’importe quels sous suite de nombre, c’est-à-dire le remplacement des valeurs d’éléments successifs choisies et à valeur dans {0;1} par seulement la valeur 1 indépendamment du cardinal des éléments de la sous suite de nombres de valeurs égales à 1 ou à 0, ce qui correspond visuellement à la représentation des opérations de sous cardinaux de sous suite d’éléments sous segmentés et donc de valeurs 1.

Nous avons donc atteint le stade où la fonction caractéristique d’annulations peut maintenant se confondre avec la fonction de caractéristique de sous segmentations en considérant que cette dernière est le résultat d’une opération d’union de plusieurs fonctions caractéristiques de sous segmentations quel qu’elles soient, fondamentales, quasi fondamentales, quasi générales ou générales, et correspondant ainsi à ce que j’appelle la fonction caractéristique de « segmentannulation« , un néologisme que je crée avec un nouveau mot composé défini comme « une juxtaposition de deux lexèmes libres permettant d’en former un troisième qui soit un lemme (« mot ») à part entière et dont le sens ne se laisse pas forcément deviner par celui des deux constituants », c’est-à-dire ici, les deux constituants « segmentation » et « annulation ». Mais ce néologisme fait d’un nouveau mot composé que je créer ici est aussi un mot-valise défini comme « un mot formé par la fusion d’au moins deux mots existant dans la langue. Pour qu’un mot composé soit un mot-valise, il faut qu’un son au moins soit commun aux mots qu’on y a fait fusionner », c’est-à-dire ici le son commun aux deux mots, « segmentation » et « annulation » est le suffixe « ation », marquant l’action de segmenter et d’annuler simultanément que je représente séquentiellement unitairement comme les deux éléments appartenant au sous ensemble de deux valeurs possibles dans{1;0}; et que je représente élémentairement comme le sous ensemble de plusieurs éléments de deux valeurs successives et égales possible dans {0;1}, avec une quantité égale d’éléments de valeurs différentes. Pourquoi cette création d’un nom de fonction, si ce n’est pas en réaction à ce que « le mathématicien Henri Poincaré au troisième volume de son triptyque (– La Science et l’Hypothèse, La Valeur de la science et Science et méthode, publiées successivement en 1902, 1905 et 1908 (Poincaré, 2013)), écrit: « Je ne sais si je n’ai pas déjà dit quelque part que la mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes » (Poincaré, 2013, p. 346) », tout en déguisant ainsi dans mon raisonnement le sophisme de l’appel à l’autorité ? Et si ce n’est pas non plus parce que nous allons donc écrire dans les pages suivantes comment la fonction caractéristique de segmentannulations comme nous l’avons écrit précédemment est équivalente à l’union de fonctions caractéristiques de sous segmentations et que nous devons donner un nom à cette union en forme de fonction remarquable d’un nom différent à la même chose? Mais c’est avant tout que cette fonction de segmentannulation résulte logiquement du fait que son expression est la constituante d’une expression d’une combinaison linéaire formant l’expression de la fonction de segmentation fondamentale que nous explicitons maintenant dans le premier sous titre qui suit.

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1) La fonction caractéristique de segmentannulation unitaire

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Nous commençons par écrire l’expression correspondant à la définition de la fonction caractéristique de sous segmentations et d’annulation simultanément, correspondant à l’unité caractéristique de sous segmentations de l’opération d’union d’une multitude de fonctions caractéristiques de sous segmentations unitaires similaires formant une fonction caractéristique de « segmentannulation », que j’appelle la fonction de « segmentannulation » unitaire, représentée séquentiellement par les éléments appartenant au sous ensemble de deux éléments de deux valeurs possibles de {1;0}, notée UNITSEGMTANNUL( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₓ₊₁] ), est définie en deux étapes, avec soit la première comme suit:

1A: R → {0, 1}:

1A( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁] )=1A( [yᵢ; yᵢ₊₁] )=[1;0], si yᵢ ∈ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁] ↔ 1A( [yᵢ] )=1, si yᵢ =yᵢ₌ₙ ∧ 1A( [yᵢ₊₁])=0, si yᵢ =yᵢ₌ₙ₊₁

1A( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁] ) ≠ 1A([yᵢ; yᵢ₊₁] )=[0;0], si yᵢ ∉ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁] ↔ 1A( [yᵢ] )=0, si yᵢ ≠yᵢ₌ₙ ∧ 1A( [yᵢ₊₁])=0, si yᵢ=yᵢ₌ₙ₊₁

L’expression de cette fonction caractéristique des éléments yᵢ ∈ [yᵢ; yᵢ₊₁] ⊆ [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁], notée 1A( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁] )=1A( [yᵢ; yᵢ₊₁] )=[1;0], est définie comme suit:

∀ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₓ₊₁=(yᵢ₌₁; yᵢ₌₂; yᵢ₌₃; yᵢ₌₄; yᵢ₌₅; yᵢ₌₆; yᵢ₌₇..yᵢ₌ₓ; yᵢ₌ₓ₊₁) ⊆ R; ∀ x ∈ R alors yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌ₓ₊₁ ↔ SeqA »ᵢ₌ₓ₊₁=({yᵢ ∈ [yᵢ₌₁; yᵢ₌ₓ₊₁] | [yᵢ]-[yᵢ₌₁; yᵢ₌ₓ₊₁]=0 ∧ [yᵢ]-[yᵢ₌₁; yᵢ₌ₓ₊₁]≠0}) ; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₓ₊₁=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…nᵢ₌ₓ; nᵢ₌ₓ₊₁ ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*; INDEX(yᵢ₌ₙ)=α; INDEX(yᵢ₌ₙ₊₁)= α+1; soit la différence ensembliste de A et B notée « A \ B » (lire « A moins B ») est l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B, soit : A\ B=A-B={x ∈ A ∣ x ∉ B}:

1A( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁] )=1A([yᵢ; yᵢ₊₁])=1A( [1;0]⋆⋆[yᵢ; yᵢ₊₁] )=[1;0] =∪ᵢ₌₁ → ᵢ₌ₓ₊₁ { (1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉) } ∖ { (1-⌈|yᵢ₌ₙ|/(|yᵢ₌ₙ|+1)⌉) } ∪ { (⌈|yᵢ₌ₙ|/(|yᵢ₌ₙ|+1)⌉)) } (1) ↔ (1)’

UNITSEGMTANNUL( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌₌ₙ₊₁] )=⌈(n/2-⌊n/2⌋)⌉*(1-⌈⌊(α-1)/n⌋/(⌊(α-1)/n⌋+1)⌉) + ⌈((n+1)/2-⌊(n+1)/2⌋)⌉*(1-⌈⌊α/n⌋/(⌊α/n⌋+1)⌉ ) – ⌈((n+1)/2-⌊(n+1)/2⌋)⌉*(1-⌈⌊α/n⌋/(⌊α/n⌋+1)⌉ ) – ⌈(n/2-⌊n/2⌋)⌉*(1-⌈⌊(α+1)/n⌋/(⌊(α+1)/n⌋+1)⌉ ) = ⌈(n/2-⌊n/2⌋)⌉*( (1-⌈⌊(α-1)/n⌋/(⌊(α-1)/n⌋+1)⌉) – (1-⌈⌊(α+1)/n⌋/(⌊(α+1)/n⌋+1)⌉ ) ) + ⌈((n+1)/2-⌊(n+1)/2⌋)⌉ *( (1-⌈⌊α/n⌋/(⌊α/n⌋+1)⌉ ) – (1-⌈⌊α/n⌋/(⌊α/n⌋+1)⌉ ))=⌈(n/2-⌊n/2⌋)⌉*( (1-⌈⌊(α-1)/n⌋/(⌊(α-1)/n⌋+1)⌉) – (1-⌈⌊(α+1)/n⌋/(⌊(α+1)/n⌋+1)⌉) ) =⌈(n/2-⌊n/2⌋)⌉*( ⌈⌊(α+1)/n⌋/(⌊(α+1)/n⌋+1)⌉ – ⌈⌊(α-1)/n⌋/(⌊(α-1)/n⌋+1)⌉ ) (1)’↔ (1) »

Soit la deuxième étape définie comme suit:

1A: N→ {0;1}

1A(α-1<=INDEX(yᵢ) <=α+1)=0, si INDEX(yᵢ) < α-1 ∨ INDEX(yᵢ) >α+1

1A(α-1<=INDEX(yᵢ) <= α+1)=1, si INDEX(yᵢ) >=α-1 ∧ INDEX(yᵢ) <=α+1 ↔ α-1<=INDEX(yᵢ) <= α+1

L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(INDEX(yᵢ)) ⊆ SeqXᵢ₌ₓ₊₁=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₓ₊₁] | xᵢ=1 ∨ xᵢ=0 }), et renotée plus simplement 1A(α-1<=INDEX(yᵢ) <=α+1), de la fonction d’index de [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁], la notation de l’intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres tels que, α-1<=INDEX(yᵢ) <= α+1, notée INDEX( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌ₙ₊₁]), est définie comme suit:

1A(α-1<INDEX(yᵢ) <=α+1))=( ⌈⌊(α+1)/n⌋/(⌊(α+1)/n⌋+1)⌉ – ⌈⌊(α-1)/n⌋/(⌊(α-1)/n⌋+1)⌉ ) (1.1)

UNITSEGMTANNUL( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌₌ₙ₊₁] )=∪ᵢ₌₁ → ᵢ₌ₓ₊₁ { ⌈(n/2-⌊n/2⌋)⌉ * 1A(α-1<INDEX(yᵢ) <=α+1) } (1′) ↔ (1 »)

UNITSEGMTANNUL( [yᵢ₌₁; y ᵢ₌ₓ₊₁ ] )*1A(α-1<=INDEX(yᵢ) <=α+1) =⌈(n/2-⌊n/2⌋)⌉* ( ⌈⌊(α+1)/n⌋/(⌊(α+1)/n⌋+1)⌉ – ⌈⌊(α-1)/n⌋/(⌊(α-1)/n⌋+1)⌉ ) (1 ») ↔ (1) »

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Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies par ∀ yᵢ ∈ SeqA »ᵢ₌₈₊₁=(yᵢ₌₁; yᵢ₌₂; y₌₃; yᵢ₌₄;yᵢ₌₅; yᵢ₌₆; yᵢ₌₇; yᵢ₌₈;yᵢ₌) ⊆ R ↔ SeqYᵢ={ yᵢ ∈ [yᵢ₌₁; yᵢ₌∞] | yᵢ=0 ∨ yᵢ ≠0}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1} ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec

donc considérons l’exemple des valeurs de variable de a=1, p=5 et n=1, et en remplaçant dans l’expression (1)’, soit 1A([yᵢ₌₁₊₁; xᵢ₌₅] ⊆ SeqYᵢ={yᵢ ∈ [yᵢ₌₁₊₁; yᵢ₌₅] | yᵢ=0 ∨ yᵢ ≠0}))

=(⌈|n/(8+1+5)-1|⌉-⌈n/(8+1+5)⌉+1) -(⌈|n/(8+1) -1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) dont la représentation est la séquence, SeqA »ᵢ=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0……..).

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2) La fonction caractéristique de segmentannulation élémentaire

Puisque nous constatons que l’expression précédente (1 ») est en fait équivalente à une opération arithmétique de soustraction segmentale, c’est à dire définie de la façon suivante:

1A: N→ {0;1}

1A(INDEX(yᵢ)=α+1) =0, si INDEX(yᵢ) ≠α+1

1A(INDEX(yᵢ)=α+1) =1, si INDEX(yᵢ) =α+1

L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(INDEX(yᵢ)) ⊆ SeqXᵢ₌ₓ₊₁=({xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₓ₊₁] | xᵢ=1 ∨ xᵢ=0 }), et renotée plus simplement 1A(INDEX(yᵢ)), tel que, INDEX(yᵢ) = α+1, est définie comme suit:

UNITSEGMTANNUL( [yᵢ₌ₙ; yᵢ₌₌ₙ₊₁] )=1A(INDEX(yᵢ))= ⌈⌊(α+1)/n⌋/(⌊(α+1)/n⌋+1)⌉ – ⌈⌊α/n⌋/(⌊α/n⌋+1)⌉ (1.2)

Une conséquence de la plus grande simplicité de l’expression ci dessus de la fonction de segmentannulation unitaire, est que nous devons considérer une autre fonction de segmentannulation au domaine d’arrivée beaucoup plus large et donc correspondant à un processus de sous segmentation puis d’annulation sur un intervalle, soit encore d’un seul élément, mais surtout de plusieurs éléments ce qui n’étais pas possible précédemment de manière efficace et pratique notamment avec une expression lisible autre que par l’expression (1.2), Donc nous continuons par écrire l’expression de la fonction caractéristique de sous segmentations correspondant non plus à une segmentation et annulation de deux éléments mais de plusieurs éléments de sous segmentations, formant une fonction caractéristique de « segmentannulation », et que j’appelle la fonction de « segmentannulation » élémentaire, que je note ELTSEGMTANNUL( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ), et que je définie de la façons suivante:

L’expression de 1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p), expression partielle de la fonction caractéristique de segmentation quasi générale, sans que son expression ne tienne compte de la deuxième condition de répétition de la quantité d’éléments de la sous séquence, tant que cette quantité n’est pas supérieure à la valeur du cardinal de tous les éléments de l’ensemble soit la somme des éléments à valeurs non nulles et à valeurs nulles; ainsi que de la troisième condition de centralité segmentale, et expression définie comme suit:

Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}) ⊆ {0;1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₊₁; xᵢ₊₂; xᵢ₊₃; xᵢ₊₄; xᵢ₊₅; xᵢ₊₆; xᵢ₊₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ=({ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}); ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ=({n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1}) ⊆ N*, alors la fonction caractéristique de la fonction d’index de plusieurs éléments successifs égaux à 1 appartenant à une séquence de nombres à valeur dans l’ensemble {0;1} est notée de la façon suivante:

1A: N→ {0;1}

1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p)=0, si nᵢ*xᵢ>p ∨ nᵢ*xᵢ <=a

1A(a <INDEX(xᵢ₌ₙ) <= p)=1, si nᵢ*xᵢ = a+1

L’expression de cette fonction caractéristique notée 1A(INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] ⊆ SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1})), et renotée plus simplement 1A(a <INDEX(xₙ) <= p), de la fonction d’index de [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ], la notation de l’intervalle défini comme le sous-ensemble de tous les nombres égaux à 1 tels que a+1 ≤ nᵢ*xᵢ ≤ a + p, notée INDEX( [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₐ₊ₚ] ), est définie comme suit:

Soit SeqAᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] | xᵢ=1} ⊆ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1} avec, ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1} ⊆ N*; et ∀ a ∈ N*, ∀ a’ ∈ N*, ∀ p ∈ N*; avec a1 et p=a+a’; et avec a=card( SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∧ INDEX(xᵢ=0)>INDEX(xᵢ=1)}), c’est-à-dire que la valeur de la variable a, correspond à la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément appartenant à SeqXᵢ de valeur 1; avec p=card( SeqX’ᵢ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1})+a,

c’est-à-dire que la valeur de la variable p correspond à la somme de la quantité d’éléments

appartenant à SeqXᵢ de valeur 0 et dont la position précède strictement le premier élément de valeur 1, soit a, et de a’=card(SeqX’ᵢ ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=1}), la quantité d’éléments appartenant à SeqXᵢ de valeur 1:

1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ])=(⌈|n/(p+1) -1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (3) ↔ (3)’

1A(INDEX([xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ])=(⌈|n/(a+a’+1) -1|⌉-⌈n/(a+a’+1)⌉+1)-(⌈|n/(a+1) -1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1) (3)’

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Pour remplacer par des valeurs correspondantes aux variables définies par ∀ xᵢ ∈ SeqXᵢ=(xᵢ₌₁; xᵢ₌₂; x₌₃; xᵢ₌₄; xᵢ₌₅; xᵢ₌₆; xᵢ₌₇…) ⊆ {0;1} ↔ SeqXᵢ={ xᵢ ∈ [xᵢ₌₁; xᵢ₌∞] | xᵢ=0 ∨ xᵢ =1}; ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ=(nᵢ₌₁; nᵢ₌₂; nᵢ₌₃; nᵢ₌₄; nᵢ₌₅; nᵢ₌₆; nᵢ₌₇…) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ={ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₊ₓ₊₁-nᵢ₊ₓ=1} ⊆ N*; ∀ a ∈ N*, ∀ a’ ∈ N*, ∀ p ∈ N* avec a1 et p-a=a’, donc considérons l’exemple des valeurs de variable de a=8 et a’=5, et en remplaçant dans l’expression (3), soit 1A(INDEX([xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈] ⊆ SeqXᵢ={xᵢ ∈ [xᵢ₌₅₊₁; xᵢ₌₅₊₈] | xᵢ=1}))

=(⌈|n/(8+1+5)-1|⌉-⌈n/(8+1+5)⌉+1) -(⌈|n/(8+1) -1|⌉-⌈n/(8+1)⌉+1) dont la représentation est la séquence, SeqAᵢ=(0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;0;0;0;0……..).

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3) La fonction caractéristique de segmentannulation

équivalente à la fonction caractéristique d’annulation

simple

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« En théorie des ensembles, une fonction ou application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier est en relation avec un unique élément du second1. Parfois, on distingue la notion de fonction en affaiblissant la condition comme suit : chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus un élément du second. En théorie des types, une fonction est la description de la méthode pour obtenir le résultat à partir de ses paramètres. Autrement dit une fonction est l’algorithme qui permet de la calculer. Par défaut, on considère souvent que la fonction est définie partout en dehors des valeurs interdites. Cependant, on peut aussi spécifier un domaine de définition qui rassemble toutes les valeurs possibles pour les variables (assimilé à l’ensemble de départ ou source pour une application) et un ensemble d’arrivée (but) qui contient toutes les valeurs possibles de la fonction. »

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Considérons l’expression de la fonction caractéristique d’annulation des éléments d’une suite de nombres de valeurs non nulles dans R* indicées par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit:

1A: N→ {0,1}

1A(n)=1, si a>=n>a+h

1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière peut se définir comme suit :

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*:

1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1),

Avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulle donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeur nulle dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs da valeur nulle dans (1). Cette fonction caractéristique est représentée théoriquement par la suite de nombre n ∈ Seq{0,1}=(1,1,1,1,1,.,0,0,0,0,..1,1,1,1,1,1,1,..1,1).

Considérons maintenant l’expression de la fonction caractéristique de sous segmentation fondamentale dont le domaine de départ est celui des éléments du domaine d’arrivée de la fonction d’annulation précédente, d’expression (1), soit la fonction de composition de notée

Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ}⊆ N*) ∖ Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ}⊆ N*)

et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n<=p-h

1A(n)=0, si n>p-h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière, car correspondant à cette première fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit :

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*:

Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖ Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=

1A(n)=⌈|n/(p-h+1)-1|⌉-⌈n/(p-h+1)⌉+1 (2),

avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

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Considérons maintenant un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l’expression (1) nous obtenons :

Soit a=10, h=7, ∀ n ∈ N*:

1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…1,1); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (2) on obtient :

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30-7+1)-1|⌉-⌈n/(30-7+1)⌉+1 (2′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0).

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La fonction caractéristique de segmentation fondamentale que nous appliquons à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée SGMTFDMT([xᵢ₌₁; xᵢ₌ₙ₊∞]) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n<=p

1A(n)=0, si n>p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière, car correspondant à cette fonction caractéristique de segmentation fondamentale peut se définir comme suit :

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) =1A(n)=⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1 (6); avec la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d'éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

⁂

Considérons encore et toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient :

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (6) on obtient :

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30+1)-1|⌉-⌈n/(30+1)⌉+1 (6′), et sa représentation correspondante à la séquence de la fonction de segmentation caractéristique maximum notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

⁂

1.1.b) La fonction caractéristique de segmentation simple supérieure équivalente à la fonction de compression « gauche »

⁂

Considérons le type de fonction caractéristique fondamentale simple d’un intervalle du rang des valeurs de n’importe quelle suite de nombres correspondants appartenant à R indicées par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit :

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si a>=n>a+h

1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière peut se définir comme suit :
∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*:

1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1),

avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et cette fonction indicatrice est représenté par la suite de nombre n ∈ {0,1}, S =(1,1,1,1,1,…,0,0,0,0,….

1,1,1,1,1,1,1,….1,1), à laquelle nous appliquons maintenant la première fonction de segmentation caractéristique supérieure qui est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ}⊆ N*) ∖ Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ}⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n<=p-h

1A(n)=0, si n>p-h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette première fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit :

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*:

Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) ∖ Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ….nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(p-h+1)-1|⌉-⌈n/(p-h+1)⌉+1 (2),

⁂

Considérons un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l’expression (1) nous obtenons :

0,0,0,1,1,1,1,1,1,1.1,1); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (2) on obtient:

0,0,0,0,0,0,0).

⁂

1.1.c) La fonction caractéristique de segmentation simple supérieure équivalente à la fonction de déplacement avant une valeur d’une suite de nombres

⁂

Considérons encore le type de fonction caractéristique fondamentale simple d’un intervalle du rang des valeurs de n’importe quelle suite de nombres correspondants appartenant à R indicées par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit :

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si a>=n>a+h

1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice peut se définir comme suit :

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*:

1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1,précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et cette fonction indicatrice est représenté par la suite de nombre n ∈ {0,1}, S =(1,1,1,1,1,…,0,0,0,0,….1,1,1,1,1,1,1,….), à laquelle nous appliquons la deuxième fonctions de segmentation caractéristique supérieure qui est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n<=a

1A(n)=0, si n>a

Cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette deuxième fonction de segmentation caractéristique supérieure, peut se définir comme suit :

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*:

1A(n)=Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*)=⌈|n/(a+1)-1|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1 (3), avec encore la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égal à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1).

⁂

Considérons un exemple pour illustrer nos deux expressions précédentes, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient :

,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…1,1); en remplaçant dans l’expression (3) on obtient :

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*)=⌈|n/(10+1)-1|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1 (3′) et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0…).

⁂

Une troisième fonction de segmentation caractéristique supérieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ}⊆ N*) correspond à la fonction caractéristique que nous définissons comme suit :

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n<=a+h

1A(n)=0, si n>a+h

L ‘expression de cette fonction indicatrice particulière correspondante à cette troisième fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit :

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(a+h+1)-1|⌉-⌈n/(a+h+1)⌉+1 (4), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1).

⁂

Considérons le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…1,1); en remplaçant dans l’expression (4) on obtient :

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(10+7+1)-1|⌉-⌈n/(10+7+1)⌉+1 (4′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₐ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…).

⁂

Une quatrième fonction de segmentation caractéristique supérieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*) et est définie comme suit :

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n<=h

1A(n)=0, si n>h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette quatrième fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit :

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(h+1)-1|⌉-⌈n/(h+1)⌉+1 (5), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1).
∴
Considérons toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient :

0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (5) on obtient :

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(7+1)-1|⌉-⌈n/(7+1)⌉+1 (5′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…).

⁂

Une cinquième fonction de segmentation caractéristique supérieure, que nous avons déjà développé dans notre introduction, que nous reprenons par cohérence de la forme de notre développement des fonctions de segmentation symétrique supérieure dans ce sous-titre, et que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n<=p

1A(n)=0, si n>p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette cinquième fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit :

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) =1A(n)=⌈|n/(p+1)-1|⌉-⌈n/(p+1)⌉+1 (6);

avec la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

⁂

Considérons encore et toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient :

,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (6) on obtient :

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30+1)-1|⌉-⌈n/(30+1)⌉+1 (6′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ
1A( ∧ a*x<0 ⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ

1A( ∧ a*x<0 ⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ

∑ n=1→n=∞: [(1A(yₙ))]=

Seq(AUA’ᵢ₌ₐ₊ₚ₊∞)=({wᵢ₌ₐ₊₁; z₌ₐ₊₂; q₌ₐ₊₃; dᵢ₌ₐ₊₄; gᵢ₌ₐ₊₅; jᵢ₌ₐ₊₆; lᵢ₌ₐ₊₇; mᵢ₌ₐ₊₈; kᵢ₌ₐ₊₉; rᵢ₌ₐ₊₁₀₌ₚ; …ωᵢ₌∞})
₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₁₉₂₃

⁂

NULL( [0=xᵢ₌₁; 0=xᵢ₌ₐ] ⋆⋆⋆ [xᵢ₌₁; xᵢ₌ₚ] = [xᵢ₌ₐ₊₁; xᵢ₌ₚ] )

⁂

1.1.a) La fonction simple de segmentation inférieure équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel d’un élément d’une suite de nombres de la gauche vers la droite après un élément de valeur choisie

⁂

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si a>=n>a+h

1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1),

avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1,précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et cette fonction indicatrice est représentée par la suite de nombre n ∈ {0,1}, S =(1,1,1,1,1,…,0,0,0,0,….1,1,1,1

,1,1,1,….1,1), à laquelle nous appliquons maintenant la première fonction de segmentation caractéristique inférieure qui est notée Sgmtval₍ₙ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₊ₕ, nₙ₊ₕ₊₁, nₙ₊ₕ₊₂, nₙ₊ₕ₊₃…nₙ₌ₚ}⊆ N*)et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n>=h

1A(n)=0, si n<h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette première fonction de segmentation caractéristique supérieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₊ₕ, nₙ₊ₕ₊₁, nₙ₊ₕ₊₂, nₙ₊ₕ₊₃…nₙ₌ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈n/(p-h+1)⌉-⌈|n/(p-h+1)-1|⌉ (7), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d’éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

⁂

Considérons un exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, et en remplaçant dans l’expression (1) nous obtenons:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₊ₕ, nₙ₊ₕ₊₁, nₙ₊ₕ₊₂, nₙ₊ₕ₊₃…nₙ₌ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈n/(30-7+1)⌉-⌈|n/(30-7+1)-1|⌉ (7′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₊ₕ, nₙ₊ₕ₊₁, nₙ₊ₕ₊₂, nₙ₊ₕ₊₃…nₙ₌ₚ}⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

⁂

1.1.b) La fonction simple de segmentation inférieure équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel d’un élément d’une suite de nombres de la gauche vers la droite après un élément de valeur choisie

⁂

Une deuxième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:
1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n>a

1A(n)=0, si n<=a

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette deuxième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, n₌ₐ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(a+1)-1|⌉+⌈n/(a+1)⌉ (8), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite de nombres d’expression (1).

⁂

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (8) on obtient:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n>a

1A(n)=0, si n<=a

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette deuxième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

Soit a=10, h=7, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(10+1)-1|⌉+⌈n/(10+1)⌉(8′),et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ…nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

⁂

Une troisième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ., nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₂, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n>=-a-h+p

1A(n)=0, si n<-a-h+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette troisième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ n ∈ N*:

1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ., nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₂, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*))=-⌈|n/(p-h-a+1)-1|⌉+⌈n/(p-h-a+1)⌉ (9);

avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite de nombres d’expression (1).

⁂

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit a=10, h=7, et en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (9) on obtient:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n>=-a-h+p

1A(n)=0, si n<-a-h+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette troisième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

Soit a=10, h=7, p=30, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ., nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₂, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*))=-⌈|n/(30-7-10+1)-1|⌉+⌈n/(30-7-10+1)⌉ (9′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ., nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.₊₂, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ.ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*))=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

⁂

Une quatrième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₐ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ₊ₕ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n>=a+h

1A(n)=0, si n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette quatrième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*:

Sgmtval₍ₙ₌ₐ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ₊ₕ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(a+h+1)-1|⌉+⌈n/(a+h+1)⌉ (10), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite de nombres d’expression (1).

⁂

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7, p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ₊ₕ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ}⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(10+7+1)-1|⌉+⌈n/(10+7+1)⌉ (10′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₐ₊ₕ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌ₐ₊ₕ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ}⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

⁂

Une cinquième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₊ₚ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n>=-a+p

1A(n)=0, si n<-a+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette cinquième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₊ₚ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(-a+p+1)-1|⌉+⌈n/(-a+p+1)⌉ (11), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite de nombres d’expression (1).

⁂

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (11) on obtient:

Soit a=10, h=7, p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₊ₚ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*))=1A(n)=-⌈|n/(-10+30+1)-1|⌉+⌈n/(-10+30+1)⌉ (11′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌₋ₐ₊ₚ..ₙ₌ₚ₎(S={nₙ₌₋ₐ₊ₚ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1).

⁂

Une sixième fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₚ₋ₕ, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₁, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₂, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si n>=p-h

1A(n)=0, si n<p-h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à cette sixième fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₚ₋ₕ, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₁, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₂, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=1A(n)=-⌈|n/(p-h+1)-1|⌉+⌈n/(p-h+1)⌉ (12), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1). La valeur de la variable p est égale au nombre d’élément de la suite d’expression (1).

⁂

Considérons encore et toujours le même exemple pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10, et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1…); en remplaçant dans l’expression (12) on obtient: Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₚ₋ₕ, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₁, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₂, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=-⌈|n/(30-7+1)-1|⌉+⌈n/(30-7+1)⌉ (12′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₚ₋ₕ, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₁, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₂, nₙ₌ₚ₋ₕ₋₃..nₙ₌ₚ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1).

⁂

1.1.c) La fonction simple de segmentation inférieure équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel d’un élément d’une suite de nombres de la droite vers la gauche avant un élément de valeur choisie

⁂

Considérons encore comme précédemment le type de fonction caractéristique fondamentale simple d’un intervalle du rang des valeurs de n’importe quelle suite de nombres correspondantes appartenant à R indicés par les valeurs n de l’ensemble N*, et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si a>=n>a+h

1A(n)=0, si a<n<a+h

L’expression de cette fonction indicatrice peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*:

1A(n)=((⌈|(n/(a+1)-1)|⌉-⌈n/(a+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉+1))) (1),

avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et cette fonction indicatrice est représenté par la suite de nombre n ∈ S ⊆ N* à laquelle correspond le premier type de fonction de segmentation caractéristique inférieure

équivalente à la fonction de déplacement avant qui est notée Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*) et qui est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si a<n<=a+h

1A(n)=0, si a=>n>a+h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à ce premier type de fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n ∈ N*, ∀ p ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=-⌈|n/(a+1)-1|⌉+⌈n/(a+1)⌉+⌈|(n/(a+1+h)-1)|⌉-⌈n/(a+1+h)⌉ (13), avec la valeur de la variable a égale à la quantité d’éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1,précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1).

⁂

Considérons un exemple pour illustrer nos deux expressions précédentes, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=-⌈|n/(10+1)-1|⌉+⌈n/(10+1)⌉+⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉ (13′) et sa représentation correspondante à la séquence 1A(n)=Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₐ₊ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊₁, nₙ₌ₐ₊₂, nₙ₌ₐ₊₃…nₙ₌ₐ₊ₕ} ⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).

⁂

Un deuxième type fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₐ, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ₋ₕ}⊆ N*) et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si a<n<=p-h

1A(n)=0, si a>n>p-h

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à ce deuxième type de fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₐ , nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ₋ₕ} ⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(p-h+1)-1|⌉-⌈n/(p-h+1)⌉-⌈|n/(a+1)-1|⌉+⌈n/(a+1)⌉ (14), avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d'éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d'éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

⁂

Considérons toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (14) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₐ , nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ₋ₕ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30-7+1)-1|⌉-⌈n/(30-7+1)⌉-⌈|n/(10+1)-1|⌉+⌈n/(10+1)⌉ (14′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₐ..ₙ₌ₚ₋ₕ₎(S={nₙ₌ₐ , nₙ₌ₐ₊ₕ₊₁, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₂, nₙ₌ₐ₊ₕ₊₃..nₙ₌ₚ₋ₕ}⊆ N*)(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0).

⁂

Un troisième type fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₕ..ₙ₌₋ₐ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₊ₚ}⊆ N*), et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si h<n<=-a+p

1A(n)=0, si h>n>-a+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à ce troisième type de fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₕ..ₙ₌₋ₐ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₊ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(p-a+1)-1|⌉-⌈n/(p-a+1)⌉-⌈|n/(h+1)-1|⌉+⌈n/(h+1)⌉ (15); avec comme précédemment la valeur de la variable a égale à la quantité d'éléments de la sous suite de nombres successifs de valeurs non nulles donc égales à 1, précédant la sous suite de nombres successifs de valeurs nulles dont la valeur de la variable h est égale à la quantité de ces éléments successifs nulles dans (1); et la valeur de la variable p correspondant à la valeur de la quantité d'éléments de la séquence représentée par la suite de nombre n ∈ S=(nₙ, nₙ₊₁, nₙ₊₂, nₙ₊₃…nₙ₌ₐ..nₙ₌ₚ).

⁂

Considérons toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (15) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₕ..ₙ₌₋ₐ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₊ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(30-10+1)-1|⌉-⌈n/(30-10+1)⌉-⌈|n/(7+1)-1|⌉+⌈n/(7+1)⌉ (15′), et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₕ..ₙ₌₋ₐ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₊ₚ}⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).

⁂

Un quatrième type fonction de segmentation caractéristique inférieure que nous appliquons aussi à l’expression de la fonction caractéristique (1), est notée Sgmtval₍ₙ₌ₕ₊ₐ..ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ₊ₐ, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ}⊆ N*), et est définie comme suit:

1A: E→ {0,1}

1A(n)=1, si h+a<n<=-a-h+p

1A(n)=0, si h+a>n>-a-h+p

L’expression de cette fonction indicatrice particulière car correspondante à ce quatrième type de fonction de segmentation caractéristique inférieure peut se définir comme suit:

∀ a ∈ N*, ∀ h ∈ N*, ∀ p ∈ N*, ∀ n<=p ∈ N*:

Sgmtval₍ₙ₌ₕ₊ₐ..ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ₊ₐ, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(-a-h+p+1)-1|⌉-⌈n/(-a-h+p+1)⌉-⌈|n/(h+a+1)-1|⌉+⌈n/(h+a+1)⌉ (16);

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Considérons toujours le même exemple que précédemment pour illustrer notre expression précédente, soit, a=10 et h=7, en remplaçant dans l’expression (1) on obtient:

Soit a=10, h=7 , ∀ n ∈ N*: 1A(n)=((⌈|(n/(10+1)-1)|⌉-⌈n/(10+1)⌉+1))+(1-((⌈|(n/(10+1+7)-1)|⌉-⌈n/(10+1+7)⌉+1))) (1′) et sa représentation correspondante à la séquence E=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,…); et soit p=30, en remplaçant dans l’expression (16) on obtient:

Soit a=10, h=7 , p=30, ∀ n ∈ N*: Sgmtval₍ₙ₌ₕ₊ₐ..ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ₊ₐ, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ}⊆ N*)=1A(n)=⌈|n/(-10-7+30+1)-1|⌉-⌈n/(-10-7+30+1)⌉-⌈|n/(7+10+1)-1|⌉+⌈n/(7+10+1)⌉ (16′); et sa représentation correspondante à la séquence Sgmtval₍ₙ₌ₕ₊ₐ..ₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₎(S={nₙ₌ₕ₊ₐ, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₁, nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₂,nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ₊₃..nₙ₌₋ₐ₋ₕ₊ₚ}⊆ N*)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0).

∀∈⌊⌋⌈⌉₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∧ yᵢ≠0 ∧ yᵢ₋₁=0 ∨ yᵢ₋₁=∅ ∧ xᵢ₋₁=0∴
⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ
1A( ∧ a*x<0 ⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ

1A( ∧ a*x<0 ⋆⋆ ∀∈⌊⌋⌈⌉ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ₐ ₑ ₒ ᵢ ᵣ ᵥ ₓ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩ ᵪ ᵤ∴

∀∈⌊⌋⌈⌉₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌₍₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ ⱼ

∪ᵢ₌ₙ → ᵢ₌ₓ₊₁(⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)]) ^ (∪ᵢ₌ₙ → ᵢ₌ₓ₊₁(1-⌈|yᵢ|/(|yᵢ|+1)⌉)])) = ((⌈|yᵢ₌ₙ|/(|yᵢ₌ₙ|+1)⌉) ^ (1-⌈|yᵢ₌ₙ | / ( |yᵢ₌ₙ |+1)⌉)] ) ∪ ….∪ (⌈|yᵢ₌ₓ₊₁|/(|yᵢ₌ₓ₊₁|+1)⌉)) ^ (1-⌈|yᵢ₌ₓ₊₁| / ( |yᵢ₌ₓ₊₁|+1)⌉)] ) ….

20: 11'A V FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE SEGMENTANNULATIONS

Article de cette rubrique en cours de rédaction!

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1.1.b) La fonction caractéristique de segmentation simple supérieure équivalente à la fonction de compression « gauche »

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1.1.c) La fonction caractéristique de segmentation simple supérieure équivalente à la fonction de déplacement avant une valeur d’une suite de nombres

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1.1.a) La fonction simple de segmentation inférieure équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel d’un élément d’une suite de nombres de la gauche vers la droite après un élément de valeur choisie

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1.1.b) La fonction simple de segmentation inférieure équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel d’un élément d’une suite de nombres de la gauche vers la droite après un élément de valeur choisie

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1.1.c) La fonction simple de segmentation inférieure équivalente à la fonction de translation de mouvement séquentiel d’un élément d’une suite de nombres de la droite vers la gauche avant un élément de valeur choisie

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