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Ensuite, toujours le même code que précédemment en langage de programmation Ruby est transposé mathématiquement et deuxièmement la formule {k=2…n-1}: n mod k (3), que l’on décrit comme étant le calcul successif des modulo de n mod k, avec k = 1, 2, 3, …, n, mod étant l’opération binaire qui associe à deux entiers naturels le reste de la division euclidienne de n (n ≠ 0 et n ∈ N ) par k. Et pour retrouver les valeurs de x=p(n) définit comme la valeur de n ∈ N et n ∈ P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97….}, l’ensemble des nombres premiers, qui est donc un nombre premier soit un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs qui sont 1 et le nombre considéré lui-même. Cette opération de composition successive de x=n mod k de k=2 à k=n-1 doit encore être mathématiquement transformée pour déterminer quelle valeur de x=p(n). C’est ainsi que la fonction d’annulation caractéristique simple que nous avons introduit précédemment comme la « fonction caractéristique fondamentale » de n’importe quelle valeur nulle d’un nombre xₙ de l’ensemble R, et définie comme formellement la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E soit la fonction:1A: E→ {0,1}

• 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠0

• 1A(xₙ)=0 si xₙ=0

L’expression de cette fonction caractéristique de l’expression a(n)=xₙ (4), correspondant à la « fonction caractéristique fondamentale » est:

∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉       (4′)

Donc la « fonction caractéristique fondamentale » de notre deuxième expression précédente correspondant à la transposition mathématique de l’algorithme des nombres premiers en langage de programmation Ruby, soit xₙ={k=2…n-1}: n mod k, est comme suit:

∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉=⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2…n-1}: n mod k|+1)⌉ (5) dont le résultat est un ensemble de 0 et de 1 qui correspond à la fonction caractéristique pour xₙ={k=2…n-1}: n mod k, qui est définie comme suit :
1A: E→ {0,1}

• x=1 si x ∈ A: {k=2..n-2}: n mod k=1

• x=0 si x ∉ A: {k=2..n-2}: n mod k=0

Ensuite, toujours le même code que précédemment en langage de programmation Ruby est transposé mathématiquement et troisièmement pour identifier les valeurs de p(n) d’après la formule précédente (5) de la « fonction caractéristique fondamentale de xₙ={k=2…n-1}: n mod k. L’utilité de cette fonction caractéristique fondamentale se révèle si l’on considère que sa somme correspond au nombre total de valeurs non nulles et donc que par implication si l’on soustrait le montant de cette somme au nombre total de valeurs en général obtenues dans le cas de l’algorithme des nombres premiers définit précédemment « for i in 2..n-1 » soit pour k ∈{k=2..n-1}, n-2 , nous obtenons ainsi le nombre de valeurs égales à zéro qui sera de zéro pour tout nombre premier, soit plus précisément en considérant la formule comme suit:

| (n-2)-( ∑{k=2…n-1}: ⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2…n-1}: n mod k|+1)⌉)| (5′)

Mais considérant la formule ci-dessus, ∑{k=2…n-1}: ⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2…n-1}: n mod k|+1)⌉ comme équivalente à n – d(n), avec d(n) la fonction du nombre de diviseurs de n, ce que nous confirme le site de l’O.E.I.S. (The Online Encyclopedia of Integer sequence) ou cette dernière expression est référencée A049820, nous pouvons ainsi simplifiez l’expression (5′) en écrivant la formule de d(n), la fonction du nombre de diviseurs de n, comme étant d(n)=Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋ donc l’expression de n-d(n)= n-Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋, que nous remplaçons donc dans l’expression (5′) et nous obtenons :

(5′) | (n-2)-( ∑{k=2…n-1}: ⌈|{k=2..n-1}: n mod k|/(|{k=2…n-1}: n mod k|+1)⌉)| = | (n-2)-n+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |=| -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | (5 »)

Cette dernière expression (5 ») nous donne ainsi le nombre de zéro obtenu par l’opération successive formulée par l’expression {k=2…n-1}: n mod k (1).

L’utilité de la fonction caractéristique fondamentale définie comme ∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (1′), se révèle encore si l’on considère son application à l’expression (5 ») dont l’expression de sa fonction caractéristique s’écrit comme suit en remplaçant dans l’expression (4′) :

(4′) 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ ⇒ ⌈ | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | / ( | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |+1) ⌉ (6) correspondant généralement à l’expression de la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E soit la fonction:
1A: E→ {0,1}

• 1A(xₙ)=1 si xₙ ≠0

• 1A(xₙ)=0 si xₙ=0

Si nous réécrivons (6) comme 1-⌈ | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | / ( | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |+1) ⌉ (6′) correspondant aussi généralement à l’expression de la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A d’un ensemble E soit la fonction:

1A: E→ {0,1}

• 1A(xₙ)=0 si xₙ ≠0

• 1A(xₙ)=1 si xₙ=0

Nous obtenons la formule de l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers référencée encore sur le site de l’O.E.I.S. A010051 « Characteristic of primes: 1 if n is prime else 0 ». et dont les trois formules données sont (7) 1A(pₙ)=a(n) = floor(cos(Pi*((n – 1)! + 1)/n)^2) for n >= 2; n >= 2, a(n) = floor(phi(n)/(n – 1)) = floor(A000010(n)/(n – 1)); a(n) = (n – 1)!^2 mod n, mais dont l’application sur simple tableur est limitée du fait du calcul de très grands nombres après moins d’une dizaine d’itérations successives seulement comparées à 1A(p(n))= 1-⌈ | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | / ( | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |+1) ⌉ (6′) non limitée par le calcul de grands nombres. Finalement l’utilité de la fonction caractéristique fondamentale définie comme ∀ xₙ ∈ R, ∀ n ∈ N*: 1A(xₙ)=⌈|xₙ|/(|xₙ|+1)⌉ (4′) , se révèle encore si l’on considère que l’expression (7) 1A(p(n))*n correspond à la formule de l’expression des nombres premiers soit les nombres entiers naturels multipliés par la fonction caractéristique des nombres premiers, soit 1A(pₙ)*n=n*(1-⌈ | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) | / ( | -2+(Σ {k=1…n}:⌊k/n⌋-⌊(k-1)/n⌋) |+1) ⌉) (7′) référencée encore sur le site de l’O.E.I.S, A061397: « Séquence de fonctions caractéristiques des nombres premiers multipliés par composante par N, les nombres naturels. »

Nous pouvons remarquer sur le site OEIS que l’une des formules nécessitant une programmation due à la limitation des grands nombres rapidement atteint lors de son calcul de l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers et qui est « a(n)=n*floor(gcd(((n-1)!+1)/n,2)) » (8), comprend l’expression gcd(((n-1)!+1)/n,2) (8′) qui doit être mise en relation avec une autre fonction indicatrice, celle de deux nombres premiers entre eux ou co-premiers définie comme deux nombres dont leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ou leur Gcd est égal à 1, et dont la formule pour un nombre x choisit et coprimalement comparé à tous les nombres n ∈ N*, est l’expression:
∀ x ∈ N, ∀ n ∈ N*: 

• (1-⌈(gcd(n,x)-1)/gcd(n,x)⌉*(⌈|n/(x+1)-1|⌉-⌈n/(x+1)⌉+1) (9) avec (1-⌈(gcd(n,x)-1)/gcd(n,x)⌉*(⌈|n/(x+1)-1|⌉-⌈n/(x+1)⌉+1)=1 si x et n sont co-premiers
• (1-⌈(gcd(n,x)-1)/gcd(n,x)⌉*(⌈|n/(x+1)-1|⌉-⌈n/(x+1)⌉+1)=0 si x et n sont co-premiers

Or la somme de cette expression précédente de n=1 jusqu’à n→∞ est exactement le nombre phi(x) en rappelant que cette expression est celle de la fonction Totient d’Euler, phi(n), égale au total des nombres qui sont relativement premiers avec n dans l’intervalle [1,n-1] c’est-à-dire que phi(n) est le nombre d’entiers positifs pas plus grands que n qui sont premiers à n. La formule de l’expression de la fonction Totient d’Euler est comme suit:

∀ x∈ N, ∀ n ∈ N*: phi(x)=Σ{x, n→∞}: (1-⌈(gcd(n,x)-1)/gcd(n,x)⌉*(⌈|n/(x+1)-1|⌉-⌈n/(x+1)⌉+1) (10)

et généralisant l’expression de phi(x) pour x=n par phi(xₙ) que nous pouvons ensuite remplacer dans celle de l’expression de la fonction caractéristique des nombres premiers qui est 1A(p(xₙ))=⌊(phi(xₙ))/(n-mod(1,n))⌋-1+mod(1,n) (11), et donc devenant comme suit:

∀ xₙ ∈ N, ∀ n ∈ N*: 1A(pₓ₌xₙ)=⌊(Σ{xₙ, n→∞}: (1-⌈(gcd(n,xₙ)-1)/gcd(n,xₙ)⌉*(⌈|n/(xₙ+1)-1|⌉-⌈n/(xₙ+1)⌉+1))/(n-mod(1,n))⌋-1+mod(1,n) (11′).